multiplexage en longueur d'onde

8/21/2019 Multiplexage en Longueur d'Onde

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T H S E

p r s e n t e

L ' U N I V E R S I T D E N I C E S O P H I A A N T I P O L I S

U . F . R . S C I E N C E S

p o u r o b t e n i r l e t i t r e d e

D O C T E U R

S p c i a l i t : I N F O R M A T I Q U E

C O M M U N I C A T I O N S D A N S

L E S R S E A U X O P T I Q U E S

P A R M U L T I P L E X A G E

E N L O N G U E U R D ' O N D E

p a r B r u n o B E A U Q U I E R

S o u t e n u e l e 1 7 j a n v i e r 2 0 0 0 d e v a n t l e j u r y c o m p o s d e :

M . I o a n B O N D P r s i d e n t

M . J e a n - C l a u d e B E R M O N D D i r e c t e u r

M m e . D o m i n i q u e S O T T E A U R a p p o r t e u r

M . F r a n o i s T I L L E R O T R a p p o r t e u r

M . U g o V A C C A R O R a p p o r t e u r

M . P i e r r e F R A I G N I A U D E x a m i n a t e u r

M . J e a n - C l a u d e K N I G E x a m i n a t e u r

http://hal.archives-ouvertes.fr/



m e s p a r e n t s .



R e m e r c i e m e n t s

J e t i e n s p a r t i c u l i r e m e n t r e m e r c i e r t o u t e s l e s p e r s o n n e s q u i m ' o n t a i d , t a n t s u r

l e p l a n p r o f e s s i o n n e l q u e s u r l e p l a n p e r s o n n e l , m e n e r t e r m e c e t t e p r e u v e :

- J o h n y B o n d , r e s p o n s a b l e d e l ' q u i p e P a C o m , p o u r l ' h o n n e u r q u ' i l m e f a i t d e

p r s i d e r m o n j u r y , e t p o u r l ' e x t r m e g e n t i l l e s s e a v e c l a q u e l l e i l m ' a a c c u e i l l i

l o r s d e m o n a r r i v e S o p h i a A n t i p o l i s

- J e a n - C l a u d e B e r m o n d , p o u r m ' a v o i r a c c u e i l l i d a n s s o n q u i p e e t a v o i r a c -

c e p t d e d i r i g e r c e t t e t h s e . J e l u i s u i s p r o f o n d m e n t r e c o n n a i s s a n t d e

l ' a i d e e t d u t e m p s p r c i e u x q u ' i l m ' a c o n s a c r s , d e l a c o n a n c e q u ' i l m ' a

t o u j o u r s a c c o r d e , e t s u r t o u t d e l ' a m b i a n c e p a r t i c u l i r e m e n t a m i c a l e q u ' i l

s a i t i n s t a u r e r e t q u i m ' a p e r m i s d ' e e c t u e r m o n d o c t o r a t d a n s l e s m e i l l e u r e s

c o n d i t i o n s p o s s i b l e s

- D o m i n i q u e S o t t e a u , p o u r l ' h o n n e u r q u ' e l l e m e f a i t d e p a r t i c i p e r m o n

j u r y , m a l g r s e s c o n t r a i n t e s p r o f e s s i o n n e l l e s , p o u r l a g e n t i l l e s s e e t l e c o u r a g e

d ' a v o i r r a p p o r t c e t t e t h s e , e t p o u r s e s n o m b r e u x c o n t a c t s c o r d i a u x e t

u t i l e s t o u t a u l o n g d e m e s t r a v a u x

- F r a n o i s T i l l e r o t , p o u r l ' h o n n e u r q u ' i l m e f a i t d e p a r t i c i p e r m o n j u r y ,

p o u r l a g e n t i l l e s s e e t l e c o u r a g e d ' a v o i r r a p p o r t c e t t e t h s e d a n s d e s d l a i s

a u s s i c o u r t s , e t p o u r s e s n o m b r e u s e s r e m a r q u e s t r s p r o t a b l e s s u r l a p a r t i e

t e c h n o l o g i q u e d e c e m a n u s c r i p t

- U g o V a c c a r o , p o u r l ' h o n n e u r q u ' i l m e f a i t d e p a r t i c i p e r m o n j u r y , p o u r

l a g e n t i l l e s s e e t l e c o u r a g e d ' a v o i r r a p p o r t c e t t e t h s e , e t p o u r l ' h o s p i t a l i t

c h a l e u r e u s e d o n t i l a f a i t p r e u v e l o r s d e m o n s j o u r S a l e r n o

- P i e r r e F r a i g n i a u d e t J e a n - C l a u d e K n i g , p o u r l ' h o n n e u r q u ' i l s m e f o n t d e

f a i r e p a r t i e d e m o n j u r y

- S t p h a n e P r e n n e s , p o u r s a p r c i e u s e c o l l a b o r a t i o n e t s o n c o n t a c t t r s e n -

r i c h i s s a n t , e t p o u r n o s n o m b r e u s e s d i s c u s s i o n s a m i c a l e s

- M i c h e l S y s k a , p o u r a v o i r a c c e p t d ' t r e m o n t u t e u r d e m o n i t o r a t , p o u r t o u s

l e s p r c i e u x c o n s e i l s q u ' i l m ' a f o u r n i s , p o u r s o n a m i t i s i n c r e , v o i r e ( m m e )

p o u r s o n h o s p i t a l i t g n r e u s e l o r s d e n o m b r e u s e s s o i r e s f o o t b a l l i s t i q u e s

- O l i v i e r D e l m a s , p o u r l e p l a i s i r d ' a v o i r p a r t a g s o n b u r e a u e t d ' a v o i r t r a v a i l l

a v e c l u i , e t p o u r t o u t e s n o s d i s c u s s i o n s e n j o u e s

- E r i c D a r r o t , p o u r l e p l a i s i r d ' a v o i r c o l l a b o r a v e c l u i e t p o u r a v o i r a p p r c i

s o n o b s t i n a t i o n a c h a r n e e t s o n s e n s d e l a r p a r t i e

i



- N a u s i c a M a r l i n , p o u r l e p l a i s i r d e l ' a v o i r c t o y e d a n s l a b o n n e h u m e u r ,

p o u r t o u s l e s m o m e n t s p a s s s e n s e m b l e e t l a c o m p l i c i t q u e n o u s a v o n s

p a r t a g e .

- A f o n s o F e r r e i r a , p o u r s e s c o n s e i l s a v i s s , s o n c o n t a c t a m i c a l e t p o u r n o s

n o m b r e u s e s d i s c u s s i o n s e x t r a - p r o f e s s i o n n e l l e s

- l e s a u t r e s m e m b r e s d u p r o j e t S L O O P , D a v i d C o u d e r t , T a n i a J i m n e z ,

P h i l i p p e M u s s i , J e a n - N o l P e t i t , s e s e x - m e m b r e s , F r a n o i s e B a u d e , D e n i s

C a r o m e l , N a t h a l i e F u r m e n t o , B r u n o G a u j a l , P e t e r M a m m a y , Y v e s R o u d i e r ,

D a v i d S a g n o l , G n t h e r S i e g e l , L a u r e n t V i l l e f r a n c h e , e t l e s n o u v e a u x , S b a s -

t i e n C h o p l i n e t X a v i e r H a r d y , p o u r l ' a m b i a n c e s y m p a t h i q u e q u ' i l s f o n t o u

o n t f a i t r g n e r d a n s l e s b u r e a u x e t l e s c o u l o i r s d u p r o j e t

- E p h i e D e r i c h e , Z o h r a K h a l a e t P a t r i c i a L a c h a u m e , t a n t p o u r l e u r d i l i g e n c e

e t l e u r e c a c i t r s o u d r e m e s e m b a r r a s a d m i n i s t r a t i f s , q u e p o u r l e u r

g e n t i l l e s s e e t l e u r d i s p o n i b i l i t

- F r a n o i s B r m o n d , O l i v i e r D a l l e e t C y r i l G o d a r t , d i t s l e s M a r m u l e s , p o u r

l e u r a c c u e i l s y m p a t h i q u e , l e u r s b o u e s s o i t d i t t i q u e s , s o i t p a n t a g r u l i q u e s ,

e t p o u r l ' a m i t i f o r g e a u t o u r d e l e u r t a b l e o u e n c o r e l a s u e u r d e s b o u r r e s

t i r e s d a n s l e s c t e s s o p h i a p o l i t a i n e s

- m e s a u t r e s c o m p a g n o n s d e c o u r s e p i e d , J r m e G a l t i e r , I g o r L i t o v s k i e t

P h i l i p p e N a i n , p o u r l e u r b o n n e h u m e u r p e r m a n e n t e e t l e u r s a i n e m u l a t i o n

l o r s d e n o s s o r t i e s l ' h e u r e d u d j e u n e r

- S a n d r i n e J u l i a e t B r u n o M a r t i n , p o u r l e u r a c c u e i l c h a l e u r e u x e t l e u r a m i t i ,

e n t r e t e n u e m a l g r l ' l o i g n e m e n t , c o u p s d e b o u e s e t d e s o r t i e s a u s k i

- J o s e p h Y u , p o u r l e p l a i s i r d ' a v o i r f a i t s a c o n n a i s s a n c e d s m o n a r r i v e , p o u r

s e s c o n s e i l s a v i s s e t s a g e n t i l l e s s e p e r p t u e l l e

- L u i s a G a r g a n o , P a v o l H e l l e t D a v i d P e l e g , p o u r l e u r c o n t a c t l a f o i s e n -

r i c h i s s a n t s u r l e p l a n p r o f e s s i o n n e l e t t r s a m i c a l s u r l e p l a n p e r s o n n e l

- t o u t e s l e s p e r s o n n e s r e n c o n t r e s s u r S o p h i a e t q u i m ' o n t p e r m i s d e p a s s e r

d e t r s b o n s m o m e n t s : S o r a y a A r i a s , T h o m a s B o n a l d , S a n d r i n e C h e v r i s ,

J r m e D u r a n d - L o s e , P a t r i c k I t e y , N a t h a n a e l R o t a , e t j ' e n o u b l i e

- m e s a m i s d e p l u s l o n g u e d a t e , A l e x a n d r e , A n n e - E m m a n u e l l e , F r d r i c , J u l i a

e t Y v e s , p o u r l e p l a i s i r q u e j ' a i e u l e s c o n n a t r e , p o u r t o u t e s l e s a v e n t u r e s

v c u e s e n s e m b l e e t p o u r l e u r a m i t i s i n c r e

- e t b i e n s r m e s p a r e n t s , p o u r l ' a i d e e t l ' a e c t i o n q u ' i l s n ' o n t j a m a i s c e s s

d e m ' a p p o r t e r .

i i



T a b l e d e s m a t i r e s

I n t r o d u c t i o n 1

1 L a t e c h n o l o g i e o p t i q u e p o u r l e s t l c o m m u n i c a t i o n s 1 1

1 . 1 A p e r u h i s t o r i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1

1 . 2 S y s t m e s d e t r a n s m i s s i o n o p t i q u e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6

1 . 2 . 1 F i b r e o p t i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6

1 . 2 . 2 m e t t e u r s o p t i q u e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8

1 . 2 . 3 R c e p t e u r s o p t i q u e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0

1 . 2 . 4 A m p l i c a t e u r s o p t i q u e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1

1 . 3 M u l t i p l e x a g e o p t i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3

1 . 3 . 1 M u l t i p l e x a g e t e m p o r e l ( T D M ) . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3

1 . 3 . 2 M u l t i p l e x a g e e n l o n g u e u r d ' o n d e ( W D M ) . . . . . . . . . . 2 4

1 . 3 . 3 C o m p a r a i s o n e n t r e T D M e t W D M . . . . . . . . . . . . . 2 5

1 . 4 C o m m u t a t i o n o p t i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6

1 . 4 . 1 G n r a t i o n s d e r s e a u x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6

1 . 4 . 2 C o m m u t a t e u r s o p t i q u e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7

1 . 4 . 3 C o n v e r t i s s e u r s o p t i q u e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0

2 P r o b l m a t i q u e e t m o d l i s a t i o n 3 5

2 . 1 P r o b l m a t i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5

2 . 2 G r a p h e s e t r s e a u x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7

2 . 2 . 1 N o t i o n s l m e n t a i r e s d e t h o r i e d e s g r a p h e s . . . . . . . . 3 8

2 . 2 . 2 R s e a u x u s u e l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0

2 . 3 O p t i m i s a t i o n e t a p p r o x i m a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2

2 . 4 F o r m u l a t i o n d e s p r o b l m e s t u d i s . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4

2 . 4 . 1 P r o b l m e d u r o u t a g e t o u t - o p t i q u e . . . . . . . . . . . . . . 4 5

2 . 4 . 2 P r o b l m e d e l a c h a r g e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7

2 . 4 . 3 R e l a t i o n s e n t r e l e s p r o b l m e s . . . . . . . . . . . . . . . . 4 9

2 . 5 C o m m u n i c a t i o n s s t r u c t u r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1

3 R o u t a g e W D M t o u t - o p t i q u e 5 9

3 . 1 R s e a u x g n r a u x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 9

3 . 1 . 1 I n s t a n c e s q u e l c o n q u e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 9

i i i



3 . 1 . 2 P e r m u t a t i o n s e t k - r e l a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 8

3 . 1 . 3 D i u s i o n e t m u l t i c a s t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2

3 . 1 . 4 c h a n g e t o t a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3

3 . 2 R s e a u x p a r t i c u l i e r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5

3 . 2 . 1 A r b r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5

3 . 2 . 2 C y c l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1

3 . 2 . 3 G r i l l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3

C o n c l u s i o n e t p e r s p e c t i v e s 9 1

A O p t i m a l w a v e l e n g t h r o u t e d m u l t i c a s t i n g

B . B e a u q u i e r , P . H e l l e t S . P r e n n e s

D i s c r e t e A p p l i e d M a t h e m a t i c s , v o l u m e 8 4 , p a g e s 1 5 2 0 , E l s e v i e r S c i e n c e ,

1 9 9 8 . E d i t o r s ' C h o i c e 1 9 9 8 .

R a p p o r t s d e r e c h e r c h e I 3 S 9 7 - 3 2 e t I N R I A 3 2 7 6 . 9 5

B A l l - t o - a l l c o m m u n i c a t i o n i n s o m e w a v e l e n g t h r o u t e d a l l o p t i c a l

n e t w o r k s

B . B e a u q u i e r

N e t w o r k s : A n I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l , v o l u m e 3 3 , n u m r o 3 , p a g e s 1 7 9 1 8 7 ,

W i l e y - I n t e r s c i e n c e , 1 9 9 9 .

R a p p o r t s d e r e c h e r c h e I 3 S 9 8 - 0 6 e t I N R I A 3 4 5 2 . 1 0 3

C A l l - t o - a l l r o u t i n g a n d c o l o r i n g i n w e i g h t e d t r e e s o f r i n g s

B . B e a u q u i e r , S . P r e n n e s e t D . T t h

I n P r o c e e d i n g s o f t h e 1 1 t h A C M S y m p o s i u m o n P a r a l l e l A l g o r i t h m s a n d

A r c h i t e c t u r e s ( S P A A ' 9 9 ) , p a g e s 1 8 5 1 9 0 , S a i n t - M a l o , F r a n c e , 2 7 - 3 0 j u i n

1 9 9 9 .


D T i g h t b o u n d s f o r b r o a d c a s t i n g i n t h e l i n e a r c o s t m o d e l

B . B e a u q u i e r , O . D e l m a s e t S . P r e n n e s


E B r o a d c a s t i n g i n W D M o p t i c a l r i n g s a n d t o r i

B . B e a u q u i e r

I n P - J . W a n , D - Z . D u e t P . M . P a r d a l o s , e d i t o r s , D I M A C S W o r k s h o p

o n M u l t i c h a n n e l O p t i c a l N e t w o r k s : T h e o r y a n d P r a c t i c e , R u t g e r s U n i -

v e r s i t y , N J , 1 6 - 1 9 m a r s 1 9 9 8 , v o l u m e 4 6 o f D I M A C S S e r i e s i n D i s c r e t e

M a t h e m a t i c s a n d T h e o r e t i c a l C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s 6 3 7 3 . A m e r i c a n

M a t h e m a t i c a l S o c i e t y , 1 9 9 8 .


i v



F O n a r b i t r a r y W a k s m a n n e t w o r k s a n d t h e i r v u l n e r a b i l i t y

B . B e a u q u i e r e t E . D a r r o t

S o u m i s P a r a l l e l P r o c e s s i n g L e t t e r s ( W o r l d S c i e n t i c ) . V e r s i o n t e n d u e

d e l ' a r t i c l e p a r u d a n s A c t e s d e s 1 r e s R e n c o n t r e s F r a n c o p h o n e s s u r l e s

A s p e c t s A l g o r i t h m i q u e s d e s T l c o m m u n i c a t i o n s ( A l g o T e l ' 9 9 ) , p a g e s 9 5

1 0 0 , R o s c o , F r a n c e , 5 - 7 m a i 1 9 9 9 .


v



v i



I n t r o d u c t i o n

L e s r s u l t a t s o b t e n u s d a n s c e t t e t h s e , q u i s ' e s t d r o u l e a u s e i n d u p r o j e t

S l o o p

1

, p o r t e n t p r i n c i p a l e m e n t s u r l ' t u d e d e s c o m m u n i c a t i o n s d a n s l e s

r s e a u x o p t i q u e s p a r m u l t i p l e x a g e e n l o n g u e u r d ' o n d e . I l s s ' i n s c r i v e n t

d a n s u n e t h m a t i q u e d ' a l l o c a t i o n d e s r e s s o u r c e s e n v u e d e r a l i s e r d e s c o m m u -

n i c a t i o n s d a n s u n r s e a u . L a p r o b l m a t i q u e g n r a l e q u e n o u s a v o n s c o n s i d r e

p e u t s e r s u m e r d e l a m a n i r e s u i v a n t e . I l s ' a g i t d e s a t i s f a i r e d a n s u n r s e a u

o p t i q u e u n e f a m i l l e d e r e q u t e s d e c o n n e x i o n , a p p e l e i n s t a n c e d e c o m m u n i c a -

t i o n e t f o r m e d e c o u p l e s d e n u d s ( s o u r c e , d e s t i n a t i o n ) . L a s a t i s f a c t i o n d ' u n e

r e q u t e p a s s e p a r l ' a t t r i b u t i o n d ' u n c h e m i n d a n s l e r s e a u e t d ' u n e l o n g u e u r

d ' o n d e s u r l e s l i e n s u t i l i s s , a v e c l a c o n t r a i n t e q u e d e u x r e q u t e s n e p e u v e n t p a s

u t i l i s e r l e m m e l i e n a v e c l a m m e l o n g u e u r d ' o n d e . L ' o b j e c t i f d a n s c e c a d r e e s t

d e m i n i m i s e r l ' u t i l i s a t i o n d e s r e s s o u r c e s o p t i q u e s , c ' e s t - - d i r e l e n o m b r e t o t a l d e

l o n g u e u r s d ' o n d e p e r m e t t a n t d e s a t i s f a i r e l ' i n s t a n c e d o n n e .

L a n c e s s i t p r e s s a n t e d e d i s p o s e r d e r s e a u x d e c o m m u n i c a t i o n t r s h a u t

d b i t , d o n t l e s p e r f o r m a n c e s d p a s s e n t l a r g e m e n t c e l l e s q u e p e u v e n t f o u r n i r l e s

r s e a u x A T M a c t u e l s , s e f a i t j o u r f a c e a u n o m b r e c r o i s s a n t d ' u t i l i s a t e u r s e t

l ' m e r g e n c e d ' a p p l i c a t i o n s e n r s e a u i n t e n s i v e s , t e l l e s q u e l a r c u p r a t i o n d e

d o n n e s s u r I n t e r n e t , l e s a p p l i c a t i o n s J a v a , l e s c o n f r e n c e s d i s t a n c e , l ' i m a g e r i e

e n t e m p s r e l o u e n c o r e l e c a l c u l i n t e n s i f d i s t r i b u . L a t e c h n o l o g i e d e l a b r e

o p t i q u e p e u t a p p o r t e r u n e s o l u t i o n p o u r s u b v e n i r c e b e s o i n , g r c e s e s c a r a c -

t r i s t i q u e s d e t r a n s m i s s i o n e x c e p t i o n n e l l e s , s a n s c o m p a r a i s o n a v e c l e s c a p a c i t s

d e s r s e a u x c l a s s i q u e s . S o n i n t r t m a j e u r r s i d e d a n s s a b a n d e p a s s a n t e n o r m e

q u i d p a s s e c e l l e d e s t r a n s m i s s i o n s l e c t r o n i q u e s d e p l u s i e u r s o r d r e s d e g r a n d e u r .

A l o r s q u e l a b r e o p t i q u e t a i t u n e c u r i o s i t t e c h n o l o g i q u e p e n d a n t l e s d e r n i r e s

d c e n n i e s , l e d e s t p r s e n t d e r e n d r e s e s p r o m e s s e s e e c t i v e s a n d e p o u r v o i r

l a d e m a n d e d e s r s e a u x d e c o m m u n i c a t i o n d u f u t u r .

E n t e n a n t c o m p t e d e l a c o n t r a i n t e p o u r u n s i t e c o n n e c t q u i p e u t t r e

u n e s t a t i o n d e t r a v a i l o u u n e p o r t e d ' a c c s v e r s d e s s o u s - r s e a u x l o c a u x d e n e

p o u v o i r t r a n s m e t t r e e t r e c e v o i r d e s d o n n e s q u ' a u d b i t l e c t r o n i q u e , l a c l d u

p r o b l m e d a n s l a c o n c e p t i o n d e r s e a u x d e c o m m u n i c a t i o n e x p l o i t a n t l a b a n d e

1

S l o o p e s t u n p r o j e t c o m m u n C n r s / I n r i a / U n i v e r s i t d e N i c e - S o p h i a A n t i p o l i s .

1



p a s s a n t e o p t i q u e e s t d e p a r v e n i r i n t r o d u i r e d a n s l e s a r c h i t e c t u r e s e t l e s p r o t o -

c o l e s d e s m o y e n s d e t r a n s m i s s i o n d e s d o n n e s c o n c u r r e n t s . D a n s u n r s e a u d e

c o m m u n i c a t i o n o p t i q u e , c e t t e c o n c u r r e n c e p e u t t r e t a b l i e p a r l a t e c h n i q u e d u

m u l t i p l e x a g e e n l o n g u e u r d ' o n d e ( W a v e l e n g t h - D i v i s i o n M u l t i p l e x i n g , W D M ) .

L a t e c h n o l o g i e W D M e s t u n e a p p r o c h e q u i p e r m e t d e g r e r l ' i m p o r t a n t e d i s -

c o r d a n c e o p t o - l e c t r o n i q u e e n t e r m e s d e b a n d e p a s s a n t e , e n p e r m e t t a n t a u x

q u i p e m e n t s d e s s i t e s c o n n e c t s d ' a c c d e r a u r s e a u a u d b i t d e l ' l e c t r o n i q u e

s e u l e m e n t , c e c i e n m u l t i p l e x a n t s u r l a m m e b r e o p t i q u e p l u s i e u r s c a n a u x W D M

c o n n e c t a n t d i r e n t s s i t e s . L e s p e c t r e o p t i q u e d ' u n e b r e e s t d c o u p e n u n

c e r t a i n n o m b r e d ' i n t e r v a l l e s d e l o n g u e u r s d ' o n d e ( o u f r q u e n c e s ) d i s t i n c t s , d e

t e l l e s o r t e q u e c h a q u e i n t e r v a l l e s u p p o r t e u n c a n a l d e c o m m u n i c a t i o n t r a n s m e t -

t a n t a u d b i t d s i r , e n p a r t i c u l i e r c e l u i d e l ' l e c t r o n i q u e .

I l e s t c o m m u n m e n t a d m i s q u e l a t e c h n o l o g i e W D M c o n s t i t u e a c t u e l l e m e n t

l e p r o c d d e m u l t i p l e x a g e f a v o r i p o u r l e s r s e a u x d e c o m m u n i c a t i o n o p t i q u e s .

L e p r o b l m e d e v i e n t a l o r s d e c o n c e v o i r e t d e d v e l o p p e r d e s a r c h i t e c t u r e s d e

r s e a u , d e s p r o t o c o l e s e t d e s a l g o r i t h m e s a p p r o p r i s , d e s t i n s a s s u r e r u n e u t i l i -

s a t i o n e c a c e d e s n o u v e l l e s p o t e n t i a l i t s o e r t e s , n o t a m m e n t e n c e q u i c o n c e r n e

l ' a l l o c a t i o n d e s r e s s o u r c e s o p t i q u e s . P l u s s p c i q u e m e n t , l e p r o b l m e d u r o u t a g e

o p t i q u e d e s c o m m u n i c a t i o n s , q u i c o n s i s t e a t t r i b u e r u n e r o u t e e t u n e l o n g u e u r

d ' o n d e a u x d i r e n t e s r e q u t e s e n t r e l e s s i t e s c o n n e c t s , r e q u i e r t l a r s o l u t i o n d e

n o m b r e u x p r o b l m e s a l g o r i t h m i q u e s d e n a t u r e c o m b i n a t o i r e .

P o u r r s o u d r e c e t y p e d e p r o b l m e s , n o u s n o u s s o m m e s p l a c s d a n s u n c o n -

t e x t e d ' o p t i m i s a t i o n a l g o r i t h m i q u e d t e r m i n i s t e e t s t a t i q u e ( o - l i n e ) . E n d ' a u t r e s

t e r m e s , n o u s s u p p o s o n s l e s d o n n e s d u r s e a u e t d e l ' i n s t a n c e x e s u n e f o i s p o u r

t o u t e s , e t n o u s c h e r c h o n s u n r o u t a g e o p t i q u e s a t i s f a i s a n t d e s c o n t r a i n t e s e t m i n i -

m i s a n t u n e f o n c t i o n d e c o t . C e t t e s i t u a t i o n s e r e n c o n t r e a u s s i b i e n d a n s l e

c a d r e d e s r s e a u x d e t r a n s p o r t , d e s r s e a u x l o c a u x o u d e s i n t e r c o n n e x i o n s d e

p r o c e s s e u r s , l o r s q u e l e s c o m m u n i c a t i o n s s o n t c o n n u e s l ' a v a n c e . E n r e v a n c h e ,

n o u s n ' a v o n s p a s c o n s i d r d e m t h o d e s p r o b a b i l i s t e s d e r s o l u t i o n , n i l ' a p p r o c h e

d y n a m i q u e ( o n - l i n e ) d u p r o b l m e , p o u r l a q u e l l e l e s r e q u t e s d e c o n n e x i o n s e

p r s e n t e n t a u c o u r s d u t e m p s .

D a n s l e s r s e a u x o p t i q u e s W D M , l e n o m b r e d e l o n g u e u r s d ' o n d e d i s p o n i b l e s

e s t f o r t e m e n t l i m i t , g n r a l e m e n t d e l ' o r d r e d e l a t r e n t a i n e ( o n t r o u v e c e p e n d a n t

a u j o u r d ' h u i u n e o r e c o m m e r c i a l e d e L u c e n t 8 0 c a n a u x ) , e t l e s p e r s p e c t i v e s f u -

t u r e s n e l a i s s e n t p a s e n v i s a g e r d e d p a s s e r l ' o r d r e d e l a c e n t a i n e . D e p l u s , l e c o t

e t l a c o m p l e x i t d e s n u d s d e c o m m u t a t i o n a u g m e n t e n t s i g n i c a t i v e m e n t a v e c

l e n o m b r e d e l o n g u e u r s d ' o n d e t r a i t e r . C ' e s t p o u r q u o i i l e s t c r u c i a l d e c h e r c h e r

m i n i m i s e r l ' u t i l i s a t i o n d e c e s r e s s o u r c e s o p t i q u e s . C e t y p e d ' o p t i m i s a t i o n r e v t

u n e i m p o r t a n c e p a r t i c u l i r e d a n s l e c a d r e d e l a c o n c e p t i o n e t d u d i m e n s i o n n e m e n t

2



d ' u n r s e a u o p t i q u e : d ' u n e p a r t , e n v u e d e s a t i s f a i r e u n e c e r t a i n e d e m a n d e d e

t r a c p r v u e l ' a v a n c e , e t a n d e m i n i m i s e r l e c o t g l o b a l d e s q u i p e m e n t s n c e s -

s a i r e s d ' a u t r e p a r t , p o u r g r e r l ' u t i l i s a t i o n d e s r e s s o u r c e s o p t i q u e s e n a s s u r a n t

l a p o s s i b i l i t d ' t a b l i r d e n o u v e l l e s c o n n e x i o n s . C e t t e p r o b l m a t i q u e e s t c e l l e d u

p r o j e t P o r t o

2

q u i a r c e m m e n t d m a r r .

L e s p o i n t s d ' a c c s a u r s e a u o p t i q u e c o m m u n i q u e n t e n t r e e u x v i a d e s c a n a u x

W D M , d i t s t o u t - o p t i q u e s l o r s q u ' i l s n e s u b i s s e n t p a s d e c o n v e r s i o n l e c t r o n i q u e

i n t e r m d i a i r e , e t q u i s o n t g a l e m e n t a p p e l s c h e m i n s o p t i q u e s . U n e t e l l e l i a i s o n

p e u t r e c o u v r i r u n e s r i e d e l i e n s e n b r e o p t i q u e e t f o u r n i r a i n s i u n e c o n n e -

x i o n d e t y p e c o m m u t a t i o n d e c i r c u i t s ( c i r c u i t - s w i t c h i n g , e n a n g l a i s ) e n t r e d e u x

s i t e s d i s t a n t s d a n s l a t o p o l o g i e p h y s i q u e . C h a q u e n u d d e r o u t a g e i n t e r m -

d i a i r e d o i t p o u r c e l a p o s s d e r u n e f o n c t i o n d e c o m m u t a t i o n o p t i q u e a d a p t e .

L e s c o m m u t a t e u r s o p t i q u e s l e s p l u s s i m p l e s a c t u e l l e m e n t c o m m e r c i a l i s s ( p a r

e x e m p l e p a r A l c a t e l o u L u c e n t T e c h n o l o g i e s ) s o n t c a p a b l e s d e d i r i g e r u n e b r e

d ' e n t r e s u r n ' i m p o r t e q u e l l e b r e d e s o r t i e ( r p a r t i t e u r o u b e r o p t i c a l c r o s s -

c o n n e c t ( f - o x c ) ) . D ' a u t r e s , p l u s v o l u s , p e u v e n t e x t r a i r e d ' u n e b r e c e r t a i n e s

l o n g u e u r s d ' o n d e e t e n r i n s r e r ( m u l t i p l e x e u r i n s e r t i o n / e x t r a c t i o n ( m i e ) o u

o p t i c a l a d d / d r o p m u l t i p l e x e r ( o a d m ) ) . D ' a u t r e s e n n , p l u s s o p h i s t i q u s e n c o r e ,

a p p e l s b r a s s e u r s , p e r m e t t e n t d ' e n v o y e r u n c a n a l W D M i n d p e n d a m m e n t d e s

a u t r e s s u r n ' i m p o r t e q u e l l e b r e d e s o r t i e , s a n s m o d i e r s a l o n g u e u r d ' o n d e

( w a v e l e n g t h r o u t i n g o p t i c a l c r o s s - c o n n e c t ( w r - o x c ) ) , o u e n l a c o n v e r t i s s a n t e n

u n e a u t r e ( w a v e l e n g t h t r a n s l a t i n g o p t i c a l c r o s s - c o n n e c t ( w t - o x c ) ) .

E n f o n c t i o n d e c e s t y p e s d e n u d s d e c o m m u t a t i o n , d i r e n t e s a r c h i t e c t u r e s

p o u r l e s r s e a u x t o u t - o p t i q u e s o n t t p r o p o s e s d a n s l a d e r n i r e d c e n n i e . T o u t e s

p r s u p p o s e n t c e p e n d a n t l ' u t i l i s a t i o n d e l i e n s e n t r e l e s n u d s d e r o u t a g e q u i s o n t

c o n s t i t u s d e p a i r e s d e b r e s o p t i q u e s u n i d i r e c t i o n n e l l e s . A i n s i , n o u s m o d l i s o n s

u n r s e a u t o u t - o p t i q u e p a r u n g r a p h e o u m u l t i - g r a p h e o r i e n t s y m t r i q u e , d o n t l e s

s o m m e t s r e p r s e n t e n t i n d i r e m m e n t l e s p o i n t s d ' a c c s e t l e s n u d s d e r o u t a g e .

D a n s c e c a d r e , c h a q u e a r c c o r r e s p o n d u n e b r e o p t i q u e u n i d i r e c t i o n n e l l e q u i

s u p p o r t e u n n o m b r e x d e l o n g u e u r s d ' o n d e , q u e n o u s s u p p o s o n s u n i f o r m e d a n s

t o u t l e r s e a u . N o t o n s t o u t e f o i s q u ' u n a r c n e r e p r s e n t e p a s n c e s s a i r e m e n t u n e

l i a i s o n p h y s i q u e p o i n t - - p o i n t , m a i s p e u t c o r r e s p o n d r e u n e l i a i s o n v i r t u e l l e p r -

t a b l i e . A i n s i l a t o p o l o g i e f o u r n i e a u d p a r t p e u t t r e c e l l e l i b r e m e n t c h o i s i e p a r

l e c o n c e p t e u r d u r s e a u . D e p l u s , n o u s c o n s i d r o n s l ' u n e d e s a r c h i t e c t u r e s l e s p l u s

c o m m u n e s e t l e s p l u s s o u v e n t t u d i e s , q u i e s t c o n s t i t u e d e n u d s d e c o m m u t a -

t i o n f o r m s d e b r a s s e u r s e t d e m u l t i p l e x e u r s i n s e r t i o n / e x t r a c t i o n , s a n s t o u t e f o i s

a u t o r i s e r l a c o n v e r s i o n d e s l o n g u e u r s d ' o n d e . L a p o s s i b i l i t d e c o n v e r s i o n t o t a l e

2

P o r t o ( P l a n i c a t i o n e t O p t i m i s a t i o n d e s R s e a u x d e T r a n s p o r t O p t i q u e s ) e s t u n p r o j e t

p r c o m p t i t i f d u R n r t ( R s e a u N a t i o n a l d e R e c h e r c h e e n T l c o m m u n i c a t i o n s ) e n t r e l e p r o j e t

S l o o p , A l c a t e l ( C o r p o r a t e R e s e a r c h C e n t e r ) e t F r a n c e T e l e c o m ( C N E T ) .

3



d a n s t o u t l e r s e a u a t c e p e n d a n t a b o r d e , m a i s n o u s a v o n s l a i s s d e c t

l ' h y p o t h s e d e c o n v e r s i o n p a r t i e l l e e t l i m i t e c e r t a i n s n u d s .

D a n s l e c h a p i t r e 1 , n o u s p r s e n t o n s l a t e c h n o l o g i e o p t i q u e p o u r l e s t l c o m -

m u n i c a t i o n s , a n d e p r c i s e r l e c a d r e t e c h n i q u e d e n o t r e r e c h e r c h e e t d ' a i d e r l e

l e c t e u r i n f o r m a t i c i e n l a c o m p r h e n s i o n d e s c o n t r a i n t e s p h y s i q u e s s o u s - j a c e n t e s

l a m o d l i s a t i o n t h o r i q u e . C e t t e p r s e n t a t i o n v i s e c a r a c t r i s e r l e s p r o b l m e s

e s s e n t i e l s r e n c o n t r s e n p r a t i q u e , e n g a r d a n t t o u t e f o i s l ' e s p r i t q u e l e s p r o g r s

t e c h n o l o g i q u e s d a n s l e d o m a i n e s o n t r a p i d e s .

N o u s c o m m e n o n s d a n s l a s e c t i o n 1 . 1 p a r d o n n e r u n a p e r u h i s t o r i q u e d e

l ' v o l u t i o n d e s t l c o m m u n i c a t i o n s e t d e l ' a v n e m e n t d e l a b r e o p t i q u e c o m m e

s u p p o r t d e t r a n s m i s s i o n p r i v i l g i . N o u s p o u r s u i v o n s d a n s l a s e c t i o n 1 . 2 e n

d c r i v a n t l e s d i r e n t s l m e n t s d ' u n s y s t m e d e t r a n s m i s s i o n o p t i q u e q u e s o n t

l a b r e , l e s m e t t e u r s , l e s r c e p t e u r s e t l e s a m p l i c a t e u r s e t e n d o n n a n t q u e l q u e s

c a r a c t r i s t i q u e s t e c h n i q u e s .

D a n s l a s e c t i o n 1 . 3 , n o u s p r s e n t o n s d e u x t e c h n i q u e s d e m u l t i p l e x a g e q u i

p e r m e t t e n t d ' e x p l o i t e r l a b a n d e p a s s a n t e s p e c t r a l e d e l a b r e o p t i q u e : l e m u l -

t i p l e x a g e t e m p o r e l ( T i m e - D i v i s i o n M u l t i p l e x i n g , T D M ) e t l e m u l t i p l e x a g e e n

l o n g u e u r d ' o n d e ( W D M ) . N o u s e x p l i q u o n s p o u r q u o i c e t t e d e r n i r e a p p r o c h e s e m -

b l e p r f r a b l e . E n n , n o u s d o n n o n s d a n s l a s e c t i o n 1 . 4 u n e c l a s s i c a t i o n d e s d i f -

f r e n t s t y p e s d e n u d s d e c o m m u t a t i o n e n v i s a g s d a n s l a c o n c e p t i o n d e r s e a u x

d i t s t o u t - o p t i q u e s , d a n s l e s q u e l s l e s s i g n a u x s o n t a c h e m i n s t r s h a u t d b i t s a n s

c o n v e r s i o n o p t o - l e c t r o n i q u e i n t e r m d i a i r e e n t r e l a s o u r c e e t l a d e s t i n a t i o n .

D a n s l e c h a p i t r e 2 , n o u s p o s o n s l a p r o b l m a t i q u e t u d i e a u c o u r s d e l a

t h s e e t n o u s d o n n o n s l a m o d l i s a t i o n q u i a s e r v i d e b a s e n o s r e c h e r c h e s . N o u s

c o m m e n o n s d a n s l a s e c t i o n 2 . 1 p a r r a p p e l e r l e c o n t e x t e q u i e s t c e l u i d e s r s e a u x

d e t l c o m m u n i c a t i o n s t o u t - o p t i q u e s , d a n s l e s q u e l s i l e s t p o s s i b l e d e r a l i s e r d e s

c o m m u n i c a t i o n s s o u s l e m o d e d e l a c o m m u t a t i o n d e c i r c u i t ( c i r c u i t s w i t c h i n g ) ,

d j a b o n d a m m e n t t u d i p o u r l e s r s e a u x d ' i n t e r c o n n e x i o n e n t r e p r o c e s s e u r s .

A i n s i u n e r e q u t e d e c o n n e x i o n e n t r e d e u x s i t e s d i s t a n t s p e u t t r e t a b l i e p a r

l ' a l l o c a t i o n d ' u n c h e m i n o p t i q u e , q u i c o n s i s t e e n l ' a t t r i b u t i o n d ' u n e r o u t e d a n s

l e r s e a u e t d ' u n e l o n g u e u r d ' o n d e s u r l e s l i e n s u t i l i s s . U n t e l r o u t a g e o p t i q u e

p r s u p p o s e u n e c e r t a i n e f o n c t i o n a l i t d e s n u d s d e c o m m u t a t i o n . N o u s p r c i s o n s

l e t y p e d e c o m m u t a t e u r s o p t i q u e s r e t e n u d a n s n o t r e t u d e , e n i n s i s t a n t s u r s a

s l e c t i v i t e n l o n g u e u r d ' o n d e . C e t t e h y p o t h s e p e r m e t d e c o m m u t e r l e s c h e m i n s

o p t i q u e s i n d p e n d a m m e n t l e s u n s d e s a u t r e s , a v e c l a c o n t r a i n t e q u e d e u x c h e m i n s

n e p e u v e n t u t i l i s e r l a m m e l o n g u e u r d ' o n d e s u r l e m m e l i e n . D e p l u s , s a n s

c o n v e r s i o n d a n s l e s n u d s d e r o u t a g e , l a m m e l o n g u e u r d ' o n d e d o i t t r e u t i l i s e

t o u t l e l o n g d ' u n c h e m i n o p t i q u e .

4



D a n s l a s e c t i o n 2 . 2 , n o u s d o n n o n s l e s n o t i o n s l m e n t a i r e s d e l a t h o r i e

d e s g r a p h e s n c e s s a i r e s l a m o d l i s a t i o n d e s c o m m u n i c a t i o n s d a n s l e s r s e a u x

o p t i q u e s , a i n s i q u e l a d n i t i o n d e t o p o l o g i e s p a r t i c u l i r e s t u d i e s p a r l a s u i t e .

N o u s r a p p e l o n s d a n s l a s e c t i o n 2 . 3 q u e l q u e s n o t i o n s s u r l e s p r o b l m e s d ' o p t i m i -

s a t i o n e t l e s a l g o r i t h m e s d ' a p p r o x i m a t i o n .

N o u s f o r m u l o n s d a n s l a s e c t i o n 2 . 4 l e s p r o b l m e s d ' o p t i m i s a t i o n t u d i s d a n s

l e c h a p i t r e s u i v a n t e t l e s a n n e x e s . N o u s c o m m e n o n s p a r m o d l i s e r u n r s e a u

t o u t - o p t i q u e p a r u n g r a p h e o r i e n t , l a p l u p a r t d u t e m p s s y m t r i q u e , p u i s n o u s

d n i s s o n s f o r m e l l e m e n t d ' u n e p a r t l e p r o b l m e d u r o u t a g e o p t i q u e , e t d ' a u t r e

p a r t c e l u i d e l a c h a r g e . C e d e r n i e r p r o b l m e c o r r e s p o n d a u c a s o l a c o n v e r s i o n

e n l o n g u e u r d ' o n d e e s t p o s s i b l e . D a n s l e s d e u x c a s , l ' o b j e c t i f e s t d e t r o u v e r u n

e n s e m b l e R d e c h e m i n s o p t i q u e s p o u r u n e n s e m b l e I d e r e q u t e s d e c o n n e x i o n

d o n n d a n s u n g r a p h e G d o n n , e t d e m i n i m i s e r l e n o m b r e t o t a l d e l o n g u e u r s

d ' o n d e u t i l i s e s ( l ' o p t i m a l e s t n o t ~ w ( G I ) d a n s l e p r e m i e r c a s , n o t ~ ( G I ) e t

a p p e l c h a r g e d a n s l e s e c o n d ) . C e s p r o b l m e s d e m i n i m i s a t i o n s o n t r e l i s d e s

p r o b l m e s d e m a x i m i s a t i o n a s s o c i s , p o u r l e s q u e l s i l s ' a g i t d e t r o u v e r u n e n s e m -

b l e d e r e q u t e s r a l i s a b l e s d e c a r d i n a l i t m a x i m a l e , t a n t d o n n u n n o m b r e d e

l o n g u e u r s d ' o n d e x . P l u s g n r a l e m e n t , t o u s c e s p r o b l m e s s o n t i n t r i n s q u e -

m e n t c o n n e c t s d e s p r o b l m e s d e r o u t a g e d i s j o i n t e t d e m u l t i o t e n t i e r .

N o u s t e r m i n o n s c e c h a p i t r e p a r l a s e c t i o n 2 . 5 q u i e x p o s e c e r t a i n s s c h m a s

d e c o m m u n i c a t i o n t u d i s p a r l a s u i t e . C e t y p e d e c o m m u n i c a t i o n s , d i t e s s t r u c -

t u r e s , p o s s d e u n e r g u l a r i t q u i p e r m e t u n e f o r m a l i s a t i o n e t u n e r s o l u t i o n p l u s

a i s e s , e t p e u t s e r v l e r i n t r e s s a n t t u d i e r d a n s l a m e s u r e o i l s e r a p p r o c h e

d e s s i t u a t i o n s r e l l e s p l u s i r r g u l i r e s .

L e c h a p i t r e 3 e s t u n e s y n t h s e d e s r s u l t a t s o b t e n u s d a n s l a l i t t r a t u r e c o n -

c e r n a n t p r i n c i p a l e m e n t l e p r o b l m e d u r o u t a g e o p t i q u e . U n e v e r s i o n p r l i m i n a i r e

d e c e t t a t d e l ' a r t a v a i t t f o u r n i e d a n s 1 ] . N o u s a v o n s t e n t d e p r s e n t e r l e s

a p p o r t s l e s p l u s s i g n i c a t i f s s e l o n n o t r e p o i n t d e v u e , e n e s p r a n t n ' a v o i r o u b l i

a u c u n e c o n t r i b u t i o n i m p o r t a n t e . L ' a c c e n t a t m i s s u r l e s r a p p o r t s e n t r e l e s

p a r a m t r e s ~ w e t ~ , c ' e s t - - d i r e s u r l e s r e l a t i o n s e n t r e l e p r o b l m e d u r o u t a g e o p -

t i q u e e t c e l u i d e l a c h a r g e , p o u r l e q u e l i l e x i s t a i t d j n o m b r e d e m t h o d e s d e

r s o l u t i o n a l g o r i t h m i q u e s , d e p a r s o n a n t r i o r i t d a n s l e s d o m a i n e s d e l a t h o r i e

d e s g r a p h e s e t d e l ' o p t i m i s a t i o n c o m b i n a t o i r e .

N o u s c o m m e n o n s d a n s l a s e c t i o n 3 . 1 p a r d o n n e r d e s r s u l t a t s d e c o m p l e x i t

m o n t r a n t l a d i c u l t d u p r o b l m e t u d i d a n s s a g n r a l i t , c a u s e d e s e s l i e n s

t r o i t s a v e c l e s p r o b l m e s d e m u l t i o t e n t i e r e t d e c o l o r a t i o n , c o n n u s c o m m e

t a n t d i c i l e s . N o u s m e n t i o n n o n s e n s u i t e d e s b o r n e s i n f r i e u r e s e t s u p r i e u r e s

g n r a l e s r e l a t i v e s c e r t a i n s p a r a m t r e s d e s g r a p h e s . N o u s p o u r s u i v o n s c e t t e

a p p r o c h e e n r e s t r e i g n a n t l e s i n s t a n c e s d e c o m m u n i c a t i o n c o n s i d r e s c e l l e s d e s

5



p e r m u t a t i o n s , d e s k - r e l a t i o n s , d e l a d i u s i o n , d u m u l t i c a s t , p u i s d e l ' c h a n g e

t o t a l . D a n s l a s e c t i o n 3 . 2 , n o u s e n v e n o n s c o n s i d r e r d e s t o p o l o g i e s d e r s e a u x

p a r t i c u l i r e s , q u e s o n t l e s a r b r e s , l e s c y c l e s e t l e s g r i l l e s , d o n t i l e s t g n r a l e m e n t

p l u s f a c i l e d ' e x p l o i t e r l e s p r o p r i t s s t r u c t u r e l l e s .

L a c o n c l u s i o n p r s e n t e d e s p e r s p e c t i v e s d e n o u v e a u x a x e s d e r e c h e r c h e s u r l e s

c o m m u n i c a t i o n s o p t i q u e s , q u ' i l s e m b l e d ' o r e s e t d j i n t r e s s a n t d ' a p p r o f o n d i r

a u v u d e l ' v o l u t i o n d e l a t e c h n o l o g i e e t d e s o n a p p l i c a t i o n e e c t i v e . L e r e s t e d e

l a t h s e e s t c o n s t i t u e d e s a n n e x e s q u i r a s s e m b l e n t l e s a r t i c l e s p u b l i s , d a n s l e

f o r m a t d e s r a p p o r t s d e r e c h e r c h e .

L ' a n n e x e A c o r r e s p o n d l ' a r t i c l e 2 ] e t p r s e n t e u n a l g o r i t h m e p o l y n m i a l

p o u r r s o u d r e d e f a o n o p t i m a l e l e p r o b l m e d u r o u t a g e o p t i q u e p o u r l e s i n s t a n c e s

d e m u l t i c a s t d a n s l e s g r a p h e s o r i e n t s , a v e c u n n o m b r e d e l o n g u e u r s d ' o n d e g a l

l a c h a r g e ( ~ w = ~ ) . U n e c o n s q u e n c e d e c e r s u l t a t , c o m m e d ' a u t r e s q u i s u i v e n t ,

e s t q u e l a c o n v e r s i o n d e s l o n g u e u r s d ' o n d e n ' e s t p a s u t i l e p o u r r o u t e r o p t i q u e m e n t

c e t y p e d e c o m m u n i c a t i o n s . L a p a r t i c u l a r i t d u m u l t i c a s t , q u i p o s s d e u n e s o u r c e

u n i q u e p o u r t o u t e s l e s r e q u t e s d e c o n n e x i o n , a p e r m i s d e r a m e n e r l a r s o l u t i o n

d u p r o b l m e c e l l e d ' u n o t e n t i e r s i m p l e d a n s u n r s e a u a s s o c i , p o u r l e q u e l

u n e m t h o d e o p t i m a l e e s t c o n n u e . U n a r g u m e n t d e c o u p e p e r m e t d e r e l i e r c e t t e

o p t i m a l i t c e l l e d e l a c h a r g e .

L ' a n n e x e B c o r r e s p o n d l ' a r t i c l e 3 ] e t d o n n e d e s m t h o d e s c o n s t r u c t i v e s

o p t i m a l e s ( o u q u a s i - o p t i m a l e s ) p o u r r o u t e r o p t i q u e m e n t l ' i n s t a n c e d e l ' c h a n g e

t o t a l d a n s d i v e r s e s t o p o l o g i e s r g u l i r e s : l e s g r i l l e s t o r i q u e s c a r r e s m u l t i - d i m e n -

s i o n n e l l e s , l e s g r i l l e s s i m p l e s a s s o c i e s , e t l e s s o m m e s c a r t s i e n n e s d e g r a p h e s

c o m p l e t s . L a s t r u c t u r e r g u l i r e d e c e s r s e a u x a p e r m i s u n e r s o l u t i o n d e t y p e

a l g b r i q u e . I c i e n c o r e n o u s a v o n s m o n t r l ' g a l i t e n t r e l e s p a r a m t r e s ~ w e t ~ .

L ' a n n e x e C c o r r e s p o n d l ' a r t i c l e 4 ] e t m o n t r e , e n c o r e u n e f o i s , q u e l e p r o -

b l m e d u r o u t a g e o p t i q u e s e r s o u t a u s s i b i e n q u e l e p r o b l m e d e l a c h a r g e p o u r

l ' c h a n g e t o t a l , c e t t e f o i s - c i p o u r u n e c l a s s e d e r s e a u x t r s u t i l i s e d a n s l e s t l -

c o m m u n i c a t i o n s , c e l l e d e s a r b r e s d e c y c l e s . C e r s u l t a t p o s s d e e n p l u s l ' a v a n t a g e

d e v o i r l a d n i t i o n d e l ' c h a n g e t o t a l g n r a l i s e u n r s e a u d o n t l e s n u d s s o n t

p o n d r s , c e q u i p e r m e t d e c o n s i d r e r u n t r a c n o n u n i f o r m e d p e n d a n t d u p r o -

d u i t d e s p o i d s d e s c o u p l e s d e n u d s c o m m u n i q u a n t .

L ' a n n e x e D c o r r e s p o n d l ' a r t i c l e 5 ] q u i t u d i e u n e m o d l i s a t i o n d e s c o m -

m u n i c a t i o n s d i r e n t e d e c e l l e a b o r d e j u s q u ' p r s e n t . C e t t e t u d e c o n c e r n a n t

l a d i u s i o n e s t v a l a b l e a u s s i p o u r t o u s l e s m o d l e s d e r s e a u x d ' i n t e r c o n n e x i o n

u t i l i s a n t l e m o d e d e l a c o m m u t a t i o n d e c i r c u i t . L ' h y p o t h s e d e t r a v a i l e s t l a

r a l i s a t i o n d ' u n e i n s t a n c e d e r e q u t e s e n p l u s i e u r s t a p e s s u c c e s s i v e s . D a n s l e

c a d r e d e s r s e a u x o p t i q u e s , u n e t e l l e c o n t r a i n t e s u r v i e n t l o r s q u ' i l n ' e s t p a s p o s -

6



s i b l e d e r a l i s e r l ' i n s t a n c e d o n n e e n u n e s e u l e t a p e , p a r e x e m p l e c a u s e d ' u n

n o m b r e d e l o n g u e u r s d ' o n d e i n s u s a n t . O n p a r l e a l o r s d e r s e a u x m u l t i h o p . L e

c o t d ' u n p r o t o c o l e r a l i s a n t u n e n s e m b l e d e r e q u t e s p e u t a l o r s t r e e x p r i m

c o m m e l a s o m m e d e s c o t s d e s d i r e n t e s t a p e s e e c t u e s p o u r l e s s a t i s f a i r e .

L e c o t d ' u n e t a p e d e c o m m u n i c a t i o n e s t s u p p o s d p e n d r e d e m a n i r e a n e

d e l a q u a n t i t d ' i n f o r m a t i o n t r a n s m i s e , c ' e s t - - d i r e c o m p o s d ' u n c o t x e e t

d ' u n c o t d e t r a n s m i s s i o n . D a n s c e c o n t e x t e , n o u s f o u r n i s s o n s d e s p r o t o c o l e s

d e d i u s i o n p o u r l e g r a p h e c o m p l e t e t n o u s o b t e n o n s d e s b o r n e s i n f r i e u r e s c o r -

r e s p o n d a n t e s t r s n e s , q u i r e s t e n t v a l a b l e s d a n s t o u t e t o p o l o g i e . I l e s t a i n s i

o b s e r v u n e d c r o i s s a n c e e x p o n e n t i e l l e d u c o t g l o b a l d e t r a n s m i s s i o n l o r s q u ' u n

p e t i t n o m b r e d ' t a p e s e s t a j o u t p a r r a p p o r t a u m i n i m u m , e t u n e d c r o i s s a n c e

l i n a i r e p o u r u n t r s g r a n d n o m b r e d ' t a p e s s u p p l m e n t a i r e s .

L ' a n n e x e E c o r r e s p o n d l ' a r t i c l e 6 ] e t m e t e n a p p l i c a t i o n p o u r l e s r s e a u x

o p t i q u e s W D M l e s r s u l t a t s o b t e n u s d a n s l ' a n n e x e p r c d e n t e . S a l e c t u r e s e s u f -

t c e p e n d a n t e l l e - m m e . N o u s o b t e n o n s , s o u s u n m o d l e d e c o t a n e , d e s

f a m i l l e s d e p r o t o c o l e s q u a s i - o p t i m a u x p o u r l a d i u s i o n d a n s d e s r s e a u x o p t i q u e s

m u l t i h o p , q u i s o n t d e s c y c l e s e t d e s g r i l l e s t o r i q u e s b i d i m e n s i o n n e l l e s . C e s a l -

g o r i t h m e s e x p l o i t e n t l e g a i n d e c o n n e c t i v i t f o u r n i p a r l e r o u t a g e o p t i q u e , d e

m a n i r e t r a n s p o s e r l ' t u d e p r c d e n t e r e l a t i v e a u g r a p h e c o m p l e t , e t a p p o r t e n t

d e s p e r f o r m a n c e s s i g n i c a t i v e s p a r r a p p o r t l a d i u s i o n c l a s s i q u e s u r u n a r b r e

c o u v r a n t .

P o u r t e r m i n e r , n o u s p r s e n t o n s d a n s l ' a n n e x e F , q u i c o r r e s p o n d l ' a r t i c l e 7 ] ,

d e s r s u l t a t s i s s u s d ' u n e c o l l a b o r a t i o n a v e c l a s o c i t A l c a t e l S p a c e I n d u s t r i e s e t

q u i s o r t e n t d u c a d r e d e l ' t u d e d e s r s e a u x o p t i q u e s . C e s t r a v a u x o n t t m o t i v s

p a r l a c o n c e p t i o n d e r s e a u x d e p e r m u t a t i o n t o l r a n t s a u x p a n n e s e t d e s t i n s

t r e e m b a r q u s d a n s d e s s a t e l l i t e s d e t l c o m m u n i c a t i o n s . L e p r o b l m e g n r a l

c o n s i s t e m i n i m i s e r l e n o m b r e d e c o m m u t a t e u r s u t i l i s s , c a u s e d e l e u r c o t

p r o h i b i t i f , p o u r r a l i s e r u n r s e a u d e p e r m u t a t i o n r a r r a n g e a b l e . N o u s a v o n s

a i n s i g n r a l i s l a f a m i l l e d e s r s e a u x d e W a k s m a n q u i t a i t d n i e e t d m o n t r e

v a l i d e s e u l e m e n t p o u r l e s p u i s s a n c e s d e d e u x . N o u s a v o n s g a l e m e n t c o n s i d r l e

c a s d ' u n b l o c a g e q u e l c o n q u e d e c o m m u t a t e u r e t f o u r n i u n e c o n s t r u c t i o n p o u r l e

t o l r e r .

7



8



B i b l i o g r a p h i e

1 ] B . B e a u q u i e r , J - C . B e r m o n d , L . G a r g a n o , P . H e l l , S . P r e n n e s e t

U . V a c c a r o . G r a p h p r o b l e m s a r i s i n g f r o m w a v e l e n g t h - r o u t i n g i n a l l - o p t i c a l

n e t w o r k s . I n P r o c . o f I P P S ' 9 7 , 2 n d W o r k s h o p o n O p t i c s a n d C o m p u t e r S c i -

e n c e ( W O C S ' 9 7 ) , G e n e v a , S w i t z e r l a n d , a v r i l 1 9 9 7 . I E E E P r e s s .

2 ] B . B e a u q u i e r , P . H e l l e t S . P r e n n e s . O p t i m a l w a v e l e n g t h - r o u t e d m u l t i c a s t i n g .

D i s c r e t e A p p l i e d M a t h e m a t i c s ( E l s e v i e r S c i e n c e ) , 8 4 : 1 5 2 0 , 1 9 9 8 . E d i t o r s '

C h o i c e 1 9 9 8 .

3 ] B . B e a u q u i e r . A l l - t o - a l l c o m m u n i c a t i o n i n s o m e w a v e l e n g t h - r o u t e d a l l - o p t i c a l

n e t w o r k s . N e t w o r k s ( W i l e y - I n t e r s c i e n c e ) , 3 3 ( 3 ) : 1 7 9 1 8 7 , m a i 1 9 9 9 .

4 ] B . B e a u q u i e r , S . P r e n n e s e t D . T t h . A l l - t o - a l l r o u t i n g a n d c o l o r i n g i n

w e i g h t e d t r e e s o f r i n g s . I n P r o c . o f t h e 1 1 t h A C M S y m p o s i u m o n P a r a l l e l

A l g o r i t h m s a n d A r c h i t e c t u r e s ( S P A A ) , p a g e s 1 8 5 1 9 0 , S a i n t - M a l o , F r a n c e ,

j u i n 1 9 9 9 . A C M P r e s s .

5 ] B . B e a u q u i e r , O . D e l m a s e t S . P r e n n e s . T i g h t b o u n d s f o r b r o a d c a s t i n g i n

t h e l i n e a r c o s t m o d e l . R a p p o r t d e r e c h e r c h e S l o o p , n o v e m b r e 1 9 9 9 . E n c o u r s

d e d p t .

6 ] B . B e a u q u i e r . B r o a d c a s t i n g i n W D M o p t i c a l r i n g s a n d t o r i . I n D - Z . D u

P - J . W a n a n d P . M . P a r d a l o s , e d i t o r s , P r o c . t h e D I M A C S W o r k s h o p : " M u l -

t i c h a n n e l O p t i c a l N e t w o r k s : T h e o r y a n d P r a c t i c e " , v o l u m e 4 6 o f D I M A C S

S e r i e s o n D i s c r e t e M a t h e m a t i c s a n d T h e o r e t i c a l C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s 6 3

7 3 , R u t g e r s U n i v e r s i t y , N J , m a r s 1 9 9 8 . A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y .

7 ] B . B e a u q u i e r a n d E . D a r r o t . A r b i t r a r y s i z e W a k s m a n n e t w o r k s a n d t h e i r

v u l n e r a b i l i t y . S o u m i s P a r a l l e l P r o c e s s i n g L e t t e r s ( W o r l d S c i e n t i c ) . V e r s i o n

t e n d u e d e l ' a r t i c l e p a r u d a n s A c t e s d e s 1 r e s R e n c o n t r e s F r a n c o p h o n e s s u r l e s

A s p e c t s A l g o r i t h m i q u e s d e s T l c o m m u n i c a t i o n s ( A l g o T e l ' 9 9 ) , p a g e s 9 5 1 0 0 ,

R o s c o , F r a n c e , m a i 1 9 9 9 .

9



1 0



C H A P I T R E 1

L a t e c h n o l o g i e o p t i q u e p o u r l e s

t l c o m m u n i c a t i o n s

1 . 1 A p e r u h i s t o r i q u e

L e s p r e m i r e s l i a i s o n s s e r v a n t c o m m u n i q u e r e n t r e l e s c o n t i n e n t s f u r e n t l e s c b l e s

t l g r a p h i q u e s , i n s t a l l s s o u s l a m e r d e p u i s l ' p o q u e d e l a g u e r r e d e S c e s s i o n .

L e s c b l e s c o a x i a u x l e u r o n t s u c c d p o u r a c h e m i n e r l e s c o n v e r s a t i o n s t l p h o -

n i q u e s . L e p r e m i e r c b l e c o a x i a l t r a v e r s a n t l ' A t l a n t i q u e f u t p o s e n 1 9 5 5 e t c o r r e s -

p o n d a i t 4 8 l i g n e s t l p h o n i q u e s . D e p u i s , q u e l c h e m i n p a r c o u r u g r c e a u x b r e s

o p t i q u e s ! U n e s e u l e p a i r e d e c e s m i n c e s e t l o n g s l s d e v e r r e , q u i p r o p a g e n t

l ' i n f o r m a t i o n s o u s f o r m e d ' i m p u l s i o n s d e l u m i r e , t r a n s m e t s i m u l t a n m e n t p r s

d ' u n d e m i - m i l l i o n d e c o m m u n i c a t i o n s t l p h o n i q u e s d ' u n c o n t i n e n t l ' a u t r e .

L ' i d e d e f a b r i q u e r d e s b r e s e n v e r r e d e s i l i c e s u s a m m e n t p u r p o u r t r a n s -

p o r t e r l a l u m i r e s u r d e g r a n d e s d i s t a n c e s a f a i t s o n c h e m i n d s l a n d e s

a n n e s 1 9 6 0 . L e p r i n c i p e s i m p l i e s t l e s u i v a n t : l a l u m i r e e n v o y e d a n s l e

c u r d e l a b r e s e r c h i t s u r s e s p a r o i s , c e q u i p e r m e t d e g u i d e r l e f a i s c e a u

l u m i n e u x l e l o n g d e l a b r e , m a l g r s a c o u r b u r e .

L a c o n c r t i s a t i o n d e c e t t e i d e a p r i s d u t e m p s . I l a f a l l u d e s i n n o v a t i o n s

t e c h n o l o g i q u e s s u c c e s s i v e s t o u c h a n t l a f o i s l e s u p p o r t m a t r i e l e t l a m a n i r e

d ' y f a i r e c i r c u l e r l ' i n f o r m a t i o n . I l a f a l l u e n p a r t i c u l i e r d v e l o p p e r d e s s o u r c e s

l a s e r m i n i a t u r e s ( d i o d e s l a s e r ) e t d e s d i s p o s i t i f s d e r c e p t i o n ( p h o t o d i o d e s ) , a i n s i

q u e l ' l e c t r o n i q u e n u m r i q u e d e s c i r c u i t s i n t g r s . A u s s i , p o u r l e s c o m m u n i c a -

t i o n s l o n g u e d i s t a n c e , l e s l i a i s o n s r a d i o p a r s a t e l l i t e s o n t l o n g t e m p s r e s t e s l e s

p l u s u t i l i s e s e t e l l e s n ' o n t c d l e p a s d e v a n t l e s c b l e s o p t i q u e s q u ' l a n d e s

a n n e s 1 9 8 0 . M a i s a u j o u r d ' h u i , l ' e s s e n t i e l d e s c o m m u n i c a t i o n s i n t e r c o n t i n e n t a l e s

p a s s e p a r d e s c b l e s o p t i q u e s s o u s - m a r i n s d p o s s s u r l e f o n d d e s o c a n s , q u i

t i s s e n t u n e v r i t a b l e t o i l e s u r l a p l a n t e . L e s b r e s o p t i q u e s o n t a i n s i c o m p l t e -

1 1



m e n t r e m p l a c l e s c b l e s c o a x i a u x . P o u r l ' u t i l i s a t e u r , u n s i g n e t a n g i b l e d e c e t t e

m u t a t i o n a t l a d i s p a r i t i o n , e n 1 9 8 8 , d u t e m p s m o r t d e 0 , 4 s e c o n d e , d l a

l i a i s o n v e r s l e s a t e l l i t e r e l a i s .

E n q u o i r s i d e l ' i n t r t d e s l i a i s o n s o p t i q u e s e t q u e l l e e s t l a t e c h n o l o g i e n c e s -

s a i r e l e u r u t i l i s a t i o n ? R a p p e l o n s d ' a b o r d l e s p r i n c i p a u x l m e n t s d ' u n e l i a i s o n

o p t i q u e . E l l e c o m p r e n d u n e s o u r c e d e l u m i r e l a s e r , q u i e s t u n e d i o d e l a s e r s e m -

b l a b l e c e l l e d e s l e c t e u r s d e d i s q u e s c o m p a c t s , f o n c t i o n n a n t p r s d e l ' i n f r a r o u g e

( d e s l o n g u e u r s d ' o n d e a l l a n t d e 1 , 2 1 , 6 m ) . L a l u m i r e m i s e e s t m o d u -

l e p a r u n t r a n s m e t t e u r , s y s t m e c o m m a n d p a r l e s i g n a l l e c t r i q u e q u i a p p o r t e

l ' i n f o r m a t i o n . C e s i m p u l s i o n s l u m i n e u s e s s o n t e n v o y e s d a n s l a b r e e t r c u p r e s

l ' a u t r e e x t r m i t p a r u n r c e p t e u r ( u n e p h o t o d i o d e ) q u i r e c o n v e r t i t l e s i g n a l

o p t i q u e e n s i g n a l l e c t r i q u e , l e q u e l e s t e n n t r a n s f o r m e n s o n , i m a g e o u t e x t e ,

d a n s l e t l p h o n e , l a t l v i s i o n o u l ' c r a n d ' o r d i n a t e u r .

C o m m e d a n s t o u t s y s t m e d e c o m m u n i c a t i o n n u m r i q u e , l ' i n f o r m a t i o n e s t

c o d e s o u s l a f o r m e d ' u n e s u c c e s s i o n d e b i t s ( d e b i n a r y d i g i t , p o u r d s i g n e r 0

o u 1 ) . D a n s u n e b r e o p t i q u e , l e s b i t s s o n t a c h e m i n s p h y s i q u e m e n t p a r u n e

o n d e l u m i n e u s e d o n t o n m o d u l e l ' i n t e n s i t : l e t e m p s e s t d i v i s e n c r n e a u x d e

m m e d u r e , p e n d a n t l e s q u e l s l e b i t 1 e s t c o d p a r u n e i m p u l s i o n l u m i n e u s e e t

l e b i t 0 p a r u n e a b s e n c e d e l u m i r e , c o m m e p o u r l a l e c t u r e d e s d i s q u e s l a s e r

c o m p a c t s .

L e t l p h o n e s t a n d a r d f o n c t i o n n e 6 4 k i l o b i t s ( 6 4 m i l l e b i t s ) p a r s e c o n d e ,

l a f u t u r e t l v i s i o n n u m r i q u e q u e l q u e 1 0 0 m g a b i t s ( c e n t m i l l i o n s d e b i t s )

p a r s e c o n d e . D a n s l e s c o m m u n i c a t i o n s n u m r i q u e s h a u t d b i t , o n c o m p t e

m a i n t e n a n t e n g i g a b i t s p a r s e c o n d e ( G b i t / s ) , s o i t u n m i l l i a r d d e b i t s t r a n s m i s

p a r s e c o n d e s o u s f o r m e d ' i m p u l s i o n s l u m i n e u s e s . P o u r d o n n e r u n e i d e , 1 G b i t / s

r e p r s e n t e e n v i r o n q u i n z e m i l l e c o n v e r s a t i o n s t l p h o n i q u e s s i m u l t a n e s .

P o u r q u o i l e d b i t e s t - i l l i m i t ? N ' o u b l i o n s p a s q u e l e s i m p u l s i o n s c o n s t i t u a n t

l e s s i g n a u x s o n t d c o u p e s d a n s u n e o n d e l u m i n e u s e . C e d c o u p a g e n ' a d e s e n s

q u e s i c h a q u e c r n e a u c o n t i e n t a u m o i n s u n e p r i o d e d e l ' o n d e . P l u s f o r m e l l e m e n t ,

l a t h o r i e d e s c o m m u n i c a t i o n s n o u s d i t q u e l e n o m b r e d ' i n f o r m a t i o n s t r a n s m i s e s

p a r s e c o n d e n e p e u t e x c d e r l a f r q u e n c e d e l ' o n d e p o r t e u s e ( s o i t a u p l u s u n b i t

p a r p r i o d e d e l ' o n d e ) . C e t t e p r o p r i t m o n t r e l ' i n t r t d ' u t i l i s e r d e s s i g n a u x

o p t i q u e s , d o n t l e s f r q u e n c e s v o n t d e 1 0

1 4

1 0

1 5

H e r t z ( H z ) , p l u t t q u e l e s o n d e s

r a d i o d e f r q u e n c e s p l u s f a i b l e s ( d e l ' o r d r e d e 1 0

5

1 0

1 1

H z ) .

U n d b i t s u p r i e u r n ' e s t p a s l e s e u l a v a n t a g e d e l a l u m i r e . L e s b r e s o p t i q u e s

p r s e n t e n t d e s p e r t e s b i e n m o i n d r e s q u e l e s c b l e s e n c u i v r e u t i l i s s p o u r l e s

t r a n s m i s s i o n s l e c t r i q u e s , j u s q u ' c e r t a i n e s d i s t a n c e s . P r e n o n s u n e x e m p l e : p o u r

d e s d b i t s d e 1 G b i t / s , l a f r q u e n c e d e l ' o n d e p o r t e u s e d o i t t r e a u m o i n s d e

1 2



l ' o r d r e d u g i g a h e r t z ( 1 0

9

H z ) . O r d a n s c e t t e g a m m e , u n c b l e c o a x i a l p e r d

9 9 9 % d e l ' n e r g i e s u r 1 k i l o m t r e , e t p l u s e n c o r e a u x f r q u e n c e s p l u s l e v e s .

C e s u p p o r t n e s i e d q u e p o u r d e s s i g n a u x d e p l u s b a s s e f r q u e n c e ( 1 - 1 0 0 M H z ) ,

d o n c d e f a i b l e s d b i t s . l ' i n v e r s e , l e s b r e s d e v e r r e p r s e n t e n t l a f r q u e n c e

d e 2 1 0

1 4

H z u n e t r a n s m i s s i o n d e 9 5 % p a r k i l o m t r e , c e q u i a u t o r i s e u n e t r s

l o n g u e p o r t e . L ' a m p l e u r e t l a r a p i d i t d e s p r o g r s a p p a r a i s s e n t c l a i r e m e n t q u a n d

o n s a i t q u e l a p r e m i r e b r e d v e l o p p e p a r l a s o c i t C o r n i n g e n 1 9 7 0 p e r d a i t

g a l e m e n t 9 9 % d e l a l u m i r e a u b o u t d ' u n k i l o m t r e s e u l e m e n t , c o m p a r e r a v e c

l a m m e p e r t e p o u r 1 0 0 k i l o m t r e s a c t u e l l e m e n t .

E n d p i t d e c e s p e r f o r m a n c e s r e m a r q u a b l e s , l e s i g n a l n i t p a r s ' a a i b l i r a p r s

u n e c e r t a i n e d i s t a n c e e t s e r a p p r o c h e t r o p d u b r u i t d e f o n d d e s d t e c t e u r s . A u -

d e s s o u s d ' u n c e r t a i n s e u i l d ' n e r g i e , l e r c e p t e u r d e v i e n t i n c a p a b l e d e d i s t i n g u e r

l e s b i t s s a n s a m b i g u t . L e s s t a n d a r d s h a b i t u e l s d e s t l c o m m u n i c a t i o n s i m -

p o s e n t u n m a x i m u m d ' u n e e r r e u r p a r m i l l i a r d d e b i t s r e u s , e t c e l a c o r r e s p o n d

g r o s s i r e m e n t 5 0 0 p h o t o n s p a r b i t . D a n s l e s c o m m u n i c a t i o n s f o r t d b i t , o n

a t t e i n t v i t e c e t t e l i m i t e . L a p u i s s a n c e o p t i q u e d ' u n e d i o d e l a s e r e s t d e q u e l q u e s

m i l l i w a t t s , c e q u i r e p r s e n t e q u e l q u e 1 0

1 6

p h o t o n s p a r s e c o n d e . u n t a u x d e

t r a n s m i s s i o n d e 1 G b i t / s , i l y a d o n c 1 0

7

p h o t o n s p a r b i t . O n c a l c u l e f a c i l e m e n t

q u ' a v e c u n e t r a n s p a r e n c e d e 9 5 % p a r k i l o m t r e , l e s e u i l d e 5 0 0 p h o t o n s p a r b i t

e s t f r a n c h i a u b o u t d ' e n v i r o n 2 0 0 k i l o m t r e s .

P o u r t e n d r e l a p o r t e d e s l i a i s o n s s u r p l u s i e u r s c e n t a i n e s d e k i l o m t r e s s a n s

d g r a d e r l e t a u x d ' e r r e u r , i l s u t d e m a i n t e n i r l e n o m b r e d e p h o t o n s p a r b i t

a u - d e s s u s d e l a v a l e u r f a t i d i q u e a u m o y e n d e d i s p o s i t i f s q u i r e g n r e n t l e s i g n a l

a a i b l i . D e s r p t e u r s o p t o l e c t r o n i q u e s s o n t a r r i v s s u r l e m a r c h d s l e s a n -

n e s 1 9 8 0 . I l s c o m p o r t e n t u n e p h o t o d i o d e ( p u c e e n m a t r i a u s e m i - c o n d u c t e u r

m i s e s o u s t e n s i o n ) q u i c o n v e r t i t l e s i g n a l o p t i q u e e n s i g n a l l e c t r i q u e , u n a m -

p l i c a t e u r , u n e b a s c u l e l e c t r o n i q u e q u i i d e n t i e l e s b i t s , e t n a l e m e n t u n e d i o d e

l a s e r c o m m a n d e p a r l e s i g n a l l e c t r i q u e r s u l t a n t p o u r l a c o n v e r s i o n i n v e r s e .

C ' e s t e n 1 9 8 8 q u e l e t o u t p r e m i e r s y s t m e d e c e t y p e a t i n s t a l l e n t r e

l a F r a n c e , l ' A n g l e t e r r e e t l e s t a t s - U n i s . I l e s t c o n s t i t u d ' u n c b l e s o u s - m a r i n

d ' u n e l o n g u e u r d e 7 5 0 0 k m , d o t d ' e n v i r o n 1 1 0 r p t e u r s p l a c s t o u s l e s 7 0 k m ,

e t i l o p r e 0 2 8 G b i t s / s , s o i t l ' q u i v a l e n t d e q u a r a n t e m i l l e l i g n e s t l p h o n i q u e s .

M a i s p o u r l e s d i s t a n c e s t r a n s o c a n i q u e s , l e d b i t m a x i m a l d e c e t y p e d e l i a i s o n s

a v e c r p t e u r s o p t o l e c t r o n i q u e s t a i t l i m i t n o n p a r l a b r e e l l e - m m e , m a i s

p a r l a r a p i d i t d e l ' l e c t r o n i q u e . E n e e t , d e s f r q u e n c e s d e f o n c t i o n n e m e n t

s u p r i e u r e s a u g i g a h e r t z , l e s c i r c u i t s l e c t r o n i q u e s d e v i e n n e n t c o t e u x e t l e u r

a b i l i t d i m i n u e .

C e t o b s t a c l e a t c o n t o u r n l a n d e s a n n e s 1 9 8 0 g r c e l ' a p p a r i t i o n r v o -

l u t i o n n a i r e d e s a m p l i c a t e u r s o p t i q u e s b r e d e v e r r e d o p e l ' e r b i u m G l a 9 3 ,

1 3



D e s 9 4 ] . U n d v e l o p p e m e n t q u i f u t r a p i d e m e n t s u i v i e n 1 9 9 5 p a r l e u r m i s e e n s e r -

v i c e d a n s l e d o m a i n e d e s c b l e s s o u s - m a r i n s . U n a m p l i c a t e u r o p t i q u e f o n c t i o n n e

s u r l e p r i n c i p e d e l ' m i s s i o n s t i m u l e c o m m e u n l a s e r . L e s a t o m e s d ' e r b i u m c o n -

t e n u s d a n s l a b r e s o n t e x c i t s p a r u n e d i o d e l a s e r a u x i l i a i r e q u i l e s p o r t e v e r s

u n t a t d ' n e r g i e s u p r i e u r , n e r g i e q u ' i l s p e u v e n t c d e r e n r e t o u r p o u r a m p l i e r

l e s i g n a l a a i b l i p a s s a n t d a n s l a b r e . L e s i g n a l o p t i q u e v o i t a i n s i s a p u i s s a n c e

m u l t i p l i e p a r u n f a c t e u r a l l a n t d e 1 0 0 1 0 0 0 0 .

D a n s l e s t l c o m m u n i c a t i o n s o p t i q u e s , l ' i n t r t d ' u t i l i s e r d e t e l s a m p l i c a -

t e u r s o p t i q u e s p l u t t q u ' l e c t r o n i q u e s e s t n o r m e . T o u t d ' a b o r d , i l s s e r a c c o r -

d e n t p a r s i m p l e s o u d u r e a u x b r e s d e t r a n s m i s s i o n . M a i s s u r t o u t , i l s v i t e n t l e s

c o n v e r s i o n s o p t o l e c t r o n i q u e s e e c t u e s p a r l e s r p t e u r s e t d o n c l a l i m i t a t i o n d u

d b i t a s s o c i e c e s d e r n i e r s . L a g a m m e d e f r q u e n c e s q u ' a c c e p t e l ' a m p l i c a t e u r

o p t i q u e s ' t e n d s u r p l u s i e u r s t r a H e r t z ( 1 T H z = m i l l e m i l l i a r d s d e H e r t z ) , c e q u i

e n g l o b e t r s l a r g e m e n t l e s i g n a l a m p l i e r . A u t r e p r o p r i t , d o n t n o u s v e r r o n s

l ' i n t r t p a r l a s u i t e : p l u s i e u r s c a n a u x o p t i q u e s d e l o n g u e u r s d ' o n d e d i r e n t e s

p e u v e n t t r e a m p l i s s i m u l t a n m e n t .

E n s u s d u p o m p a g e e c a c e p a r d i o d e l a s e r , l a b r e d o p e l ' e r b i u m p o s -

s d e d e u x q u a l i t s s u p p l m e n t a i r e s . D ' a b o r d , l e g a i n - c ' e s t - - d i r e l e r a p p o r t

d ' a m p l i c a t i o n - e s t t r s p e u s e n s i b l e l a p o l a r i s a t i o n d u s i g n a l i n c i d e n t ( l a p o -

l a r i s a t i o n c a r a c t r i s e l a d i r e c t i o n d a n s l a q u e l l e v i b r e l e c h a m p l e c t r i q u e a s s o c i

l ' o n d e l u m i n e u s e ) . C ' e s t u n a t o u t e s s e n t i e l , c a r l ' t a t d e p o l a r i s a t i o n d e s s i g n a u x

s e m o d i e d e f a o n a l a t o i r e a u f u r e t m e s u r e q u ' i l s s e p r o p a g e n t d a n s l a b r e .

E n s u i t e , l ' a m p l i c a t e u r n e d f o r m e p a s l e s s i g n a u x , i l l e s a m p l i e l ' i d e n t i q u e

( y c o m p r i s l e b r u i t e n g e n d r p a r l ' m i s s i o n s p o n t a n e q u i p e u t t r e l i m i t p a r

l e p l a c e m e n t d ' u n l t r e o p t i q u e e n s o r t i e ) . C e t t e p r o p r i t s u b s i s t e d a n s d e s

c o n d i t i o n s d e f o n c t i o n n e m e n t e x t r m e s . P a r e x e m p l e , a v e c u n e p u i s s a n c e d ' e n t r e

t r o p l e v e , l e g a i n d i m i n u e m a i s l e s i g n a l n e s u b i t p a s d e d i s t o r s i o n , c o n t r a i r e m e n t

a u c a s d e s a m p l i c a t e u r s l e c t r o n i q u e s .

A u x t r o i s g r o s a t o u t s d e l ' a m p l i c a t e u r b r e d o p e l ' e r b i u m ( p o m p a g e

e c a c e , i n s e n s i b i l i t l a p o l a r i s a t i o n , a b s e n c e d e d i s t o r s i o n ) s ' a j o u t e n t l a c o m -

p a t i b i l i t a v e c l e s b r e s s t a n d a r d s , l a f a i b l e s s e d e s p e r t e s d ' n e r g i e d a n s l e s c o n -

n e x i o n s , l e b r u i t m i n i m a l , l ' i n s e n s i b i l i t l a t e m p r a t u r e . S e l o n l e s a p p l i c a t i o n s ,

l a p l a g e d e g a i n e x p l o i t a b l e a u t o u r d e l a l o n g u e u r d ' o n d e 1 5 m s ' t a l e s u r 1 0 0

3 0 0 0 G H z .

L a c o u r s e v e r s l e s h a u t s d b i t s a g a l e m e n t b n c i d u d v e l o p p e m e n t d e s

t e c h n i q u e s o p t i q u e s d e m u l t i p l e x a g e e t d e c o m m u t a t i o n . L e m u l t i p l e x a g e

c o n s i s t e t r a n s p o r t e r s u r u n m m e s u p p o r t p h y s i q u e p l u s i e u r s s i g n a u x . L a c o m -

m u t a t i o n e s t u n e o p r a t i o n d e r o u t a g e a u n i v e a u d u r s e a u g l o b a l q u i p e r m e t

d ' a c h e m i n e r l e s s i g n a u x d e c h a q u e m e t t e u r v e r s c h a q u e d e s t i n a t a i r e .

1 4



L e m u l t i p l e x a g e d i t t e m p o r e l d e m e u r e t r s u t i l i s . I l c o n s i s t e i m b r i q u e r

t e m p o r e l l e m e n t l e s d i r e n t s o t s d ' i n f o r m a t i o n e n t r a m e s s u c c e s s i v e s . O n p e u t

r a l i s e r l e c t r o n i q u e m e n t l e s f o n c t i o n s d e m u l t i p l e x a g e / d m u l t i p l e x a g e t e m p o r e l s

a v e c d e s c i r c u i t s i n t g r s u l t r a - r a p i d e s ( 4 0 G b i t s / s e n l a b o r a t o i r e ) . T o u t e f o i s , l e

c o t p r o h i b i t i f d e c e s c i r c u i t s p o u r l e s t r s h a u t s d b i t s s u g g r e d ' e e c t u e r l e

m u l t i p l e x a g e t e m p o r e l p a r d e s m o y e n s p u r e m e n t o p t i q u e s , u n e v o i e a c t u e l l e m e n t

e x p l o r e .

D a n s l e s g n r a t i o n s d e c b l e s o p t i q u e s e n d v e l o p p e m e n t , l ' a c c r o i s s e m e n t

d u d b i t e s t a s s u r p a r u n e t e c h n i q u e q u i s e s u p e r p o s e l a p r e m i r e : l e m u l t i -

p l e x a g e e n l o n g u e u r d ' o n d e , c o n n u s o u s l ' a p p e l l a t i o n a n g l a i s e W D M ( W a v e l e n g t h -

D i v i s i o n M u l t i p l e x i n g ) . C e l u i - c i c o n s i s t e e n v o y e r p l u s i e u r s s i g n a u x d e l o n g u e u r s

d ' o n d e d i r e n t e s s i m u l t a n m e n t d a n s l a m m e b r e o p t i q u e . M u l t i p l e x a g e e t

d m u l t i p l e x a g e e n l o n g u e u r d ' o n d e s o n t e e c t u s p a r d e s c o m p o s a n t s o p t i q u e s

p a s s i f s , d e f a o n s i m i l a i r e l a d c o m p o s i t i o n e t r e c o m p o s i t i o n d e s c o u l e u r s d e

l ' a r c - e n - c i e l p a r u n p r i s m e . L a t e c h n i q u e W D M o u v r e g a l e m e n t d e s p e r s p e c t i v e s

d e r o u t a g e o p t i q u e d a n s l e s r s e a u x . L e s c o m m u n i c a t i o n s p e u v e n t t r e a i n s i

a i g u i l l e s d a n s t e l l e o u t e l l e d i r e c t i o n s u i v a n t l e u r l o n g u e u r d ' o n d e .

D e u x q u e s t i o n s m a j e u r e s s e p o s e n t : q u e l l e e s t l a p o r t e m a x i m a l e d e s l i a i s o n s

a m p l i e s ? J u s q u ' q u e l d b i t d ' i n f o r m a t i o n p e u t - o n a l l e r ? C a r l o r s q u ' o n

a t t e i n t d e s d b i t s d e p l u s d e 1 0 G b i t s / s s u r d e s m i l l i e r s d e k i l o m t r e s , d ' a u t r e s

d i c u l t s m a j e u r e s d ' o r d r e p h y s i q u e s e f o n t j o u r , e n p a r t i c u l i e r l a d i s p e r s i o n c h r o -

m a t i q u e e t l e s e e t s n o n - l i n a i r e s ( v a r i a t i o n d e l a v i t e s s e d e p r o p a g a t i o n l i e l a

l o n g u e u r d ' o n d e d ' u n e p a r t , l i e l ' i n t e n s i t d ' a u t r e p a r t ) . L e s o l i t o n ( i m p u l s i o n

t r s b r v e , c f . L T 7 6 ] ) p e r m e t d ' c h a p p e r c e d i l e m m e e n c o n j u g u a n t i d a l e m e n t

l e s d e u x t y p e s d e d i s p e r s i o n d e m a n i r e l e s n e u t r a l i s e r , c e c i e n c a l c u l a n t j u d i -

c i e u s e m e n t s o n i n t e n s i t e t s a l o n g u e u r d ' o n d e . L e s o l i t o n e x c i t e l ' i m a g i n a t i o n

d e s i n g n i e u r s d u m o n d e d e s t l c o m m u n i c a t i o n s . M a i s s o n u t i l i s a t i o n s u p p o s e

c e r t a i n s d v e l o p p e m e n t s t e c h n i q u e s p o i n t u s , r e l a t i f s a u x d i s p o s i t i f s d ' m i s s i o n e t

a u l t r a g e e n r c e p t i o n .

L e s t e c h n i q u e s p r o g r e s s a n t c o n t i n u e l l e m e n t , i l e s t h a s a r d e u x d e f a i r e u n

p r o n o s t i c s u r l e s c a p a c i t s u l t i m e s d e s s y s t m e s d e c o m m u n i c a t i o n o p t i q u e s .

c h a q u e r e c o r d d e t r a n s m i s s i o n , d e n o u v e a u x e e t s l i m i t a n t s s o n t d c o u v e r t s , e t

d e n o u v e l l e s p a r a d e s m i s e s e n u v r e p o u r c h a c u n . I l n ' e n r e s t e p a s m o i n s q u e l e s

d b i t s f a r a m i n e u x d e l ' o r d r e d u T b i t s / s d j d m o n t r s e n l a b o r a t o i r e , q u i v a l e n t

p l u s i e u r s d i z a i n e s m i l l i o n s d e c o n n e x i o n s t l p h o n i q u e s s i m u l t a n e s d a n s u n e

s e u l e b r e . D e t e l s d b i t s o u v r e n t d e s p e r s p e c t i v e s p r a t i q u e m e n t i l l i m i t e s a u x

a u t o r o u t e s d e l ' i n f o r m a t i o n .

1 5



1 . 2 S y s t m e s d e t r a n s m i s s i o n o p t i q u e s

U n s y s t m e d e t r a n s m i s s i o n o p t i q u e l m e n t a i r e e s t c o n s t i t u d e t r o i s p a r t i e s ,

c o m m e i l e s t m o n t r s u r l a g u r e 1 . 1 : u n m e t t e u r , u n e b r e o p t i q u e e t u n

r c e p t e u r . C o m m e p l u s i e u r s l i v r e s e x c e l l e n t s t r a i t e n t e n d t a i l s d e s s y s t m e s

d e t r a n s m i s s i o n o p t i q u e s , p a r e x e m p l e J J 9 6 , G r e 9 3 , A g r 9 2 , v E v d P 9 1 ] , n o u s n e

d c r i v o n s d a n s c e t t e s e c t i o n q u e l e s c o n c e p t s d e b a s e .

fibreoptique

récepteuroptique

émetteuroptique

F i g u r e 1 . 1 : S y s t m e d e t r a n s m i s s i o n o p t i q u e l m e n t a i r e .

1 . 2 . 1 F i b r e o p t i q u e

L a b r e o p t i q u e p o s s d e u n g r a n d n o m b r e d e p r o p r i t s r e m a r q u a b l e s q u i e n

f o n t u n s u p p o r t p h y s i q u e e x c e l l e n t p o u r l e s t l c o m m u n i c a t i o n s . L a q u a l i t d ' u n

m i l i e u p h y s i q u e p o u r l a t r a n s m i s s i o n d e s i g n a u x s e f o n d e s u r d e u x p r i n c i p a u x

f a c t e u r s q u i s o n t l ' a t t n u a t i o n e t l a d i s p e r s i o n .

A t t n u a t i o n

L ' a t t n u a t i o n r e p r s e n t e l a r d u c t i o n d e l a p u i s s a n c e d u s i g n a l a u c o u r s d e s a

p r o p a g a t i o n . C e f a c t e u r e s t d t e r m i n a n t p o u r c o n n a t r e l a d i s t a n c e m a x i m a l e q u e

p e u t p a r c o u r i r u n s i g n a l , t a n t d o n n e s l a p u i s s a n c e d ' m i s s i o n e t l a s e n s i b i l i t

e n r c e p t i o n .

N o t o n s P ( D ) l a p u i s s a n c e d e l ' i m p u l s i o n l u m i n e u s e d a n s u n e b r e o p t i q u e

l a d i s t a n c e d e D k m d e l ' m e t t e u r , P

r

l a s e n s i b i l i t d u r c e p t e u r ( p u i s s a n c e

m i n i m a l e r e q u i s e p o u r d t e c t e r l e s i g n a l ) e t A l e f a c t e u r d ' a t t n u a t i o n d e l a b r e .

D ' a p r s H e n 8 5 ] , l ' a t t n u a t i o n e s t c a r a c t r i s e p a r

P ( D ) = 1 0

; A D = 1 0

P ( 0 )

P o u r u n e l o n g u e u r d e b r e d e D k m , l a p u i s s a n c e P ( D ) d o i t t r e a u m o i n s g a l e

l a s e n s i b i l i t P

r

, d ' o n o u s d d u i s o n s

D

m a x

=

1 0

A

l o g

1 0

P ( 0 )

P

r

1 6



L a d i s t a n c e m a x i m a l e e n t r e l ' m e t t e u r e t l e r c e p t e u r ( o u e n t r e l e s a m p l i c a -

t e u r s ) d p e n d d o n c b i e n d a v a n t a g e d u f a c t e u r d ' a t t n u a t i o n q u e d e l a p u i s s a n c e

d ' m i s s i o n o u d e l a s e n s i b i l i t e n r c e p t i o n .

L a g u r e 1 . 2 ( a ) m o n t r e u n e c o u r b e t y p i q u e d e l ' a t t n u a t i o n ( e x p r i m e e n

d c i b e l s p a r k i l o m t r e ( d B / k m ) ) d e l a p u i s s a n c e d u s i g n a l l u m i n e u x e n f o n c t i o n

d e s a l o n g u e u r d ' o n d e ( e x p r i m e e n m ) d a n s u n e b r e o p t i q u e u t i l i s e e n r g i m e

m o n o m o d e . L a b a n d e p a s s a n t e s p e c t r a l e e s t d ' e n v i r o n 2 5 t e r a h e r t z ( T H z ) a u t o u r

d e l a l o n g u e u r d ' o n d e 1 . 3 m p o u r u n e a t t n u a t i o n i n f r i e u r e 0 . 5 d B / k m , e t

d ' a u t a n t a u t o u r d e l a l o n g u e u r d ' o n d e 1 . 5 m p o u r u n e a t t n u a t i o n i n f r i e u r e

0 . 2 d B / k m . C e s v a l e u r s s o n t d e u x o r d r e s d e g r a n d e u r p l u s f a i b l e s e n a t t n u a t i o n

e t q u a t r e o r d r e s d e g r a n d e u r p l u s l e v s e n b a n d e p a s s a n t e q u e c e l l e s d e s c b l e s

c o a x i a u x .

F i g u r e 1 . 2 : C o u r b e s t y p i q u e s d e l ' a t t n u a t i o n ( a ) e t d e l a d i s p e r s i o n ( b ) e n

f o n c t i o n d e l a l o n g u e u r d ' o n d e p o u r u n e b r e o p t i q u e e n m o d e s i m p l e .

D i s p e r s i o n

L a d i s p e r s i o n r e p r s e n t e l a d p e n d a n c e d e l a c o n s t a n t e d e p r o p a g a t i o n p a r r a p -

p o r t l a f r q u e n c e . E l l e p e r m e t d e c a l c u l e r l ' l a r g i s s e m e n t d e l a d u r e d e s i m -

p u l s i o n s a u c o u r s d e l e u r p r o p a g a t i o n . P o u r d e s s i g n a u x l u m i n e u x , o n p a r l e d e

d i s p e r s i o n c h r o m a t i q u e , c e p h n o m n e t a n t r e s p o n s a b l e d e l a d c o m p o s i t i o n

d e l a l u m i r e b l a n c h e p a r u n p r i s m e d e v e r r e .

E n e e t , l a v i t e s s e d e p r o p a g a t i o n d e l a l u m i r e d a n s l a m a t i r e t r a n s p a r e n t e ,

d n i e p a r l ' i n d i c e d e r f r a c t i o n o p t i q u e , e s t f o n c t i o n d e l a l o n g u e u r d ' o n d e . O r

u n e i m p u l s i o n l u m i n e u s e d a n s u n e b r e o p t i q u e n ' e s t p a s p a r f a i t e m e n t m o n o c h r o -

m a t i q u e , p u i s q u ' u n l a s e r n e t r a n s m e t p a s s u r u n e f r q u e n c e u n i q u e , e t p u i s q u ' u n

1 7



s i g n a l t r a n s p o r t a n t d e l ' i n f o r m a t i o n a u n e l a r g e u r s p e c t r a l e n o n n u l l e . P a r c o n -

s q u e n t , l e s d i r e n t e s l o n g u e u r s d ' o n d e c o n s t i t u a n t l e s i g n a l l u m i n e u x v o n t s e

p r o p a g e r d e s v i t e s s e s d i r e n t e s , c e q u i e n t r a i n e l ' l a r g i s s e m e n t t e m p o r e l d e s

i m p u l s i o n s q u i p e u v e n t a l o r s s e c h e v a u c h e r , p r o v o q u a n t d e s e r r e u r s l a d t e c -

t i o n . E n o u t r e , p l u s u n e i m p u l s i o n e s t b r v e , p l u s s a g a m m e d e f r q u e n c e s e s t

t e n d u e . A u s s i l a d i s p e r s i o n c h r o m a t i q u e e s t u n f a c t e u r d ' a u t a n t p l u s l i m i t a t i f

q u e l e s d b i t s s o n t l e v s , c a r l e s i m p u l s i o n s s o n t a l o r s t r s b r v e s e t p r o c h e s l e s

u n e s d e s a u t r e s d a n s l e t e m p s .

L a g u r e 1 . 2 ( b ) m o n t r e u n e c o u r b e t y p i q u e d e l a d i s p e r s i o n c h r o m a t i q u e ( e x -

p r i m e e n p i c o s e c o n d e s p a r n a n o m t r e p a r k i l o m t r e ( p s / ( n m . k m ) ) ) d u s i g n a l

l u m i n e u x p a r r a p p o r t s a l o n g u e u r d ' o n d e ( e x p r i m e e n m ) d a n s u n e b r e

o p t i q u e s t a n d a r d ( G . 6 5 2 ) u t i l i s e e n m o d e s i m p l e . L a d i s p e r s i o n e s t q u a s i m e n t

n u l l e a u t o u r d e l a l o n g u e u r d ' o n d e 1 . 3 m e t c o n s e r v e d e s v a l e u r s f a i b l e s a u t o u r

d e l a l o n g u e u r d ' o n d e 1 . 5 m . P a r c h a n c e , l a b r e o p t i q u e c o m b i n e d o n c d a n s

l e s m m e s z o n e s d e f r q u e n c e s s e s t r s b o n n e s p e r f o r m a n c e s e n d i s p e r s i o n e t e n

a t t n u a t i o n .

1 . 2 . 2 m e t t e u r s o p t i q u e s

D a n s u n s y s t m e d e t r a n s m i s s i o n o p t i q u e , u n m e t t e u r a d e u x f o n c t i o n s p r i -

m o r d i a l e s : l a g n r a t i o n d ' u n s i g n a l o p t i q u e e t l a m o d u l a t i o n d e c e s i g n a l p a r

l ' i n f o r m a t i o n m e t t r e ( v o i r F i g u r e 1 . 1 ) . U n e q u a l i t s u p p l m e n t a i r e t r s u t i l e

d ' u n m e t t e u r o p t i q u e e s t s a c a p a c i t d ' t r e a c c o r d a b l e e n f r q u e n c e .

P r i n c i p e d u l a s e r

L e m o t l a s e r e s t l ' a c r o n y m e d e L i g h t A m p l i c a t i o n b y S t i m u l a t e d E m i s s i o n o f

R a d i a t i o n , s i g n i a n t l i t t r a l e m e n t a m p l i c a t i o n d e l u m i r e p a r m i s s i o n s t i m u l e

d e r a y o n n e m e n t . L e b u t e s t d e p r o d u i r e u n f a i s c e a u t r s i n t e n s e d e l u m i r e

c o h r e n t e m o n o c h r o m a t i q u e .

P o u r c o m p r e n d r e l e p r i n c i p e d u l a s e r e t d e l ' m i s s i o n s t i m u l e , n o u s d e v o n s

r a p p e l e r q u e l q u e s n o t i o n s s u r l e s n i v e a u x d ' n e r g i e d e s p a r t i c u l e s l m e n t a i r e s .

U n a t o m e e s t d i t s t a b l e l o r s q u e s e s l e c t r o n s s o n t d a n s l e s n i v e a u x d ' n e r g i e l e s

p l u s f a i b l e s . P o u r c h a q u e t y p e d ' a t o m e , l e s l e c t r o n s o n t u n n o m b r e n i d e

n i v e a u x d ' n e r g i e p o s s i b l e s , a p p e l s t a t s . L o r s q u ' u n a t o m e a b s o r b e d e l ' n e r g i e ,

c e s l e c t r o n s s o n t p o r t s d a n s d e s t a t s d ' n e r g i e p l u s l e v s . L ' a t o m e d e v i e n t

a l o r s i n s t a b l e e t g n r a l e m e n t i l r e t o u r n e d a n s u n t a t i n f r i e u r r a p i d e m e n t e n

l i b r a n t u n p h o t o n . C e p e n d a n t , c e r t a i n e s m o l c u l e s s o n t d i t e s m t a s t a b l e s c a r

e l l e s p e u v e n t d e m e u r e r d a n s u n t a t e x c i t p l u s l o n g t e m p s . C e t t e p r o p r i t

p e r m e t l ' m i s s i o n s t i m u l e c o m m e n o u s a l l o n s l e v o i r i m m d i a t e m e n t .

1 8



L a g u r e 1 . 3 m o n t r e u n e r e p r s e n t a t i o n s c h m a t i q u e d e l a s t r u c t u r e d ' u n

l a s e r . I l e s t c o n s t i t u d e d e u x m i r o i r s q u i f o r m e n t u n e c a v i t c o n t e n a n t u n e

s u b s t a n c e q u a s i - s t a b l e . L ' e x c i t a t i o n d e s l e c t r o n s d e c e t t e s u b s t a n c e p a r a p p o r t

d ' n e r g i e ( p a r e x e m p l e p a r u n c o u r a n t l e c t r i q u e ) p r o v o q u e d a n s u n p r e m i e r

t e m p s l ' m i s s i o n d e p h o t o n s , q u i v o n t e n s u i t e s e r c h i r s u r l e s m i r o i r s a u x

e x t r m i t s d e l a c a v i t .

Milieu excité

semi-réfléchissant

MiroirMiroir

réfléchissant

LASERFaisceau

Cavité

Excitation

F i g u r e 1 . 3 : L a s t r u c t u r e g n r a l e d ' u n l a s e r .

L ' m i s s i o n s t i m u l e s e p r o d u i t l o r s q u ' u n p h o t o n r e n c o n t r e u n l e c t r o n e x c i t .

C e t t e p r o b a b i l i t e s t d ' a u t a n t p l u s f o r t e d a n s u n m i l i e u q u a s i - s t a b l e , p u i s q u e

l e s l e c t r o n s e x c i t s p e u v e n t y d e v e n i r m a j o r i t a i r e s s i s u s a m m e n t d ' n e r g i e e s t

a p p o r t e . L ' l e c t r o n p e u t a l o r s r e t o u r n e r d a n s u n t a t i n f r i e u r e t l i b r e r s o n

n e r g i e s o u s l a f o r m e d ' u n a u t r e p h o t o n q u i p o s s d e l a m m e d i r e c t i o n e t l a

m m e c o h r e n c e q u e l e p h o t o n s t i m u l a n t . S i l a l o n g u e u r d e l a c a v i t e s t m u l t i p l e

e n t i e r d e l a d e m i - l o n g u e u r d ' o n d e d e s p h o t o n s , c e u x - c i v o n t p o u v o i r s e c o m b i n e r

d e f a o n c o h r e n t e e t s e d u p l i q u e r , d e m a n i r e p r o d u i r e u n f a i s c e a u d e p l u s e n

p l u s i n t e n s e u n e f r q u e n c e p r c i s e . C e f a i s c e a u l a s e r e s t r c u p r e n u t i l i s a n t

u n m i r o i r s e m i - r c h i s s a n t l ' u n e d e s e x t r m i t s d e l a c a v i t , e t s a f r q u e n c e

p e u t t r e a j u s t e e n m o d i a n t l a t a i l l e d e l a c a v i t . O n p e u t g a l e m e n t a c c o r d e r

u n l a s e r p l u s r a p i d e m e n t e n m o d i a n t l ' i n d i c e o p t i q u e d u m i l i e u e x c i t .

M o d u l a t i o n

L a m o d u l a t i o n e s t l e p r o c d q u i p e r m e t a u l a s e r d e t r a n s m e t t r e d e l ' i n f o r m a t i o n

d a n s u n e b r e o p t i q u e , e n f a i s a n t v a r i e r c e r t a i n e s c a r a c t r i s t i q u e s d u s i g n a l

l u m i n e u x m i s , e n p a r t i c u l i e r s o n a m p l i t u d e , s a f r q u e n c e o u s a p h a s e . L a

f r q u e n c e d e m o d u l a t i o n d t e r m i n e l e d b i t d e d o n n e s q u i p e u t t r e t r a n s -

m i s . O n p a r l e d e m o d u l a t i o n d i r e c t e o u e x t e r n e , s e l o n q u e l e l a s e r l u i - m m e

o u u n c o m p o s a n t e x t r i e u r ( m o d u l a t e u r ) f a i t v a r i e r l e s i g n a l .

U n e t u d e d t a i l l e d e l a m o d u l a t i o n d i r e c t e p e u t t r e t r o u v e d a n s P e t 8 8 ] .

L e s l a s e r s s e m i - c o n d u c t e u r s p e r m e t t e n t d e s f r q u e n c e s d e m o d u l a t i o n d i r e c t e

j u s q u ' q u e l q u e s d i z a i n e s d e g i g a h e r t z , m a i s c e t t e m o d u l a t i o n e s t l i m i t e e n p r a -

t i q u e p a r d e s e e t s d e d i s p e r s i o n . P o u r d e s d b i t s s u p r i e u r s q u e l q u e s g i g a b i t s

1 9



p a r s e c o n d e , l a m o d u l a t i o n e x t e r n e e s t p r f r a b l e , n o t a m m e n t l ' a i d e d e m o d u l a -

t e u r s p a r l e c t r o - a b s o r p t i o n ( v o i r W o o 8 8 ] p o u r u n e p r s e n t a t i o n e x h a u s t i v e ) .

A c c o r d a b i l i t

I l e x i s t e p l u s i e u r s t e c h n i q u e s p o u r a c c o r d e r d y n a m i q u e m e n t l a l o n g u e u r d ' o n d e

d ' m i s s i o n d e s s i g n a u x l a s e r . L e s d e u x p a r a m t r e s i m p o r t a n t s s o n t l e t e m p s d e

r g l a g e s u r u n e f r q u e n c e d o n n e e t l a l a r g e u r d e l a b a n d e d e f r q u e n c e s a c c e s s i b l e .

S a n s e n t r e r d a n s l e s d t a i l s t e c h n i q u e s , n o u s d o n n o n s d a n s l e t a b l e a u 1 . 1 l e s p e r -

f o r m a n c e s a c t u e l l e s , s u s c e p t i b l e s d ' v o l u e r , d e s d i r e n t s m e t t e u r s l a s e r a c c o r d -

a b l e s c o m m u n m e n t u t i l i s s B r a 9 0 , M u k 9 2 ] . N o t o n s l ' e x i s t e n c e d ' u n c o m p r o m i s

e n t r e l e s d e u x p a r a m t r e s d ' a c c o r d a b i l i t .

L a s e r a c c o r d a b l e B a n d e d e f r q u e n c e s ( n m ) T e m p s d e r g l a g e

M c a n i q u e 5 0 0 1 1 0 m s

A c o u s t o - o p t i q u e 8 3 1 0 s

E l e c t r o - o p t i q u e 7 1 1 0 n s ( e s t i m )

I n j e c t i o n D B R

1

1 0 1 1 0 n s

T a b l e a u 1 . 1 : C a r a c t r i s t i q u e s d e s m e t t e u r s l a s e r .

1 . 2 . 3 R c e p t e u r s o p t i q u e s

L a f o n c t i o n d ' u n r c e p t e u r d a n s u n s y s t m e d e t r a n s m i s s i o n o p t i q u e e s t d e

d t e c t e r e t d e d m o d u l e r u n s i g n a l l u m i n e u x t r a n s m i s s u r u n e b r e .

L a d t e c t i o n c o n s i s t e e n l a c o n v e r s i o n d u s i g n a l o p t i q u e e n s i g n a l l e c -

t r i q u e . L a d m o d u l a t i o n e s t g n r a l e m e n t a c c o m p l i e e n s u i t e p a r l e s t e c h n i q u e s

h a b i t u e l l e s d e s s y s t m e s d e t r a n s m i s s i o n l e c t r i q u e s .

D t e c t i o n

D e u x t e c h n i q u e s d e d t e c t i o n s o n t u t i l i s e s . L a d t e c t i o n d i r e c t e e s t r a l i s e p a r

u n e d i o d e p h o t o - s e n s i b l e q u i c o n v e r t i t u n o t d e p h o t o n s e n u n o t d ' l e c t r o n s .

L e c o u r a n t l e c t r i q u e r s u l t a n t e s t e n s u i t e a m p l i p u i s s o u m i s u n t e s t d e s e u i l

p o u r d t e r m i n e r s i l ' i n f o r m a t i o n l o g i q u e c o r r e s p o n d a n t e e s t u n b i t 0 o u 1 .

U n e a l t e r n a t i v e e s t l a d t e c t i o n c o h r e n t e q u i u t i l i s e u n l a s e r a u x i l i a i r e

c o m m e o s c i l l a t e u r l o c a l . U n e p h o t o d i o d e r e o i t a l o r s u n s i g n a l i s s u d e l a c o m b i -

n a i s o n d e s d e u x s i g n a u x l a s e r , q u i e s t p l u s f a c i l e d t e c t e r e t q u i e s t c o m p a t i b l e

a v e c l e s t r o i s t y p e s d e m o d u l a t i o n ( e n a m p l i t u d e , f r q u e n c e e t p h a s e ) . C e s y s t m e

1

r e c t e u r d e B r a g g d i s t r i b u ( D i s t r i b u t e d B r a g g R e e c t o r ) .

2 0



e s t n a n m o i n s p l u s c o m p l e x e e t b e a u c o u p p l u s c o t e u x . L ' a v a n t a g e d e l a d t e c -

t i o n c o h r e n t e e s t l a r c e p t i o n d e s i g n a u x f a i b l e s , r e n d u e d i c i l e p a r l e b r u i t

d e f o n d , l ' i n c o n v n i e n t t a n t s a c o m p l e x i t d e m i s e e n p l a c e . N o u s r e n v o y o n s

A g r 9 2 , L G 8 8 ] p o u r d a v a n t a g e d ' i n f o r m a t i o n s u r l a d t e c t i o n c o h r e n t e .

A c c o r d a b i l i t

C o m m e l e s m e t t e u r s l a s e r , l e s r c e p t e u r s o p t i q u e s s o n t s u s c e p t i b l e s d ' t r e a c -

c o r d a b l e s e n f r q u e n c e d e r c e p t i o n . U n e d o c u m e n t a t i o n s u r l e s d i r e n t e s t e c h -

n o l o g i e s p e u t t r e t r o u v e d a n s G r e 9 3 ] e t B r a 9 0 ] . L e t a b l e a u 1 . 2 d o n n e l e s

c a r a c t r i s t i q u e s d e s r c e p t e u r s a c c o r d a b l e s c o m m u n m e n t u t i l i s s , e n t e r m e s d e

b a n d e d e f r q u e n c e s e t d e t e m p s d e r g l a g e . I c i e n c o r e , l e s d e u x p a r a m t r e s d e

r g l a g e s o n t i n v e r s e m e n t p r o p o r t i o n n e l s .

R c e p t e u r a c c o r d a b l e B a n d e d e f r q u e n c e s ( n m ) T e m p s d e r g l a g e

F a b r y - P e r o t 5 0 0 1 1 0 m s

A c o u s t o - o p t i q u e 2 5 0 1 0 s

E l e c t r o - o p t i q u e 1 6 1 1 0 n s

T a b l e a u 1 . 2 : C a r a c t r i s t i q u e s d e s r c e p t e u r s o p t i q u e s .

1 . 2 . 4 A m p l i c a t e u r s o p t i q u e s

B i e n q u e l a g u r e 1 . 1 n e m e n t i o n n e p a s l a p r s e n c e d ' a m p l i c a t e u r s d a n s u n

s y s t m e d e t r a n s m i s s i o n o p t i q u e l m e n t a i r e , c e u x - c i s o n t n c e s s a i r e s l o r s q u e l e s

s i g n a u x o p t i q u e s p a r c o u r e n t d e l o n g u e s d i s t a n c e s d a n s l a b r e o p t i q u e , c a u s e

d u p h n o m n e d ' a t t n u a t i o n . I l s s o n t g a l e m e n t u t i l e s d a n s l e s r s e a u x o p t i q u e s

l o c a u x p o u r r e s t a u r e r l a q u a l i t d e s s i g n a u x a e c t e p a r l a d i s p e r s i o n e t l e b r u i t .

L e s d e u x p r i n c i p a u x p a r a m t r e s q u i d t e r m i n e n t l a q u a l i t d ' u n a m p l i c a t e u r

o p t i q u e s o n t : l e g a i n , e x p r i m e n d c i b e l s ( d B ) , q u i m e s u r e l e r a p p o r t e n t r e l a

p u i s s a n c e d u s i g n a l e n t r a n t e t c e l l e d u s i g n a l s o r t a n t , e t l a l a r g e u r d e b a n d e

d e s f r q u e n c e s a m p l i a b l e s . N o t o n s q u e l e s a m p l i c a t e u r s p e u v e n t t r e g a l e m e n t

c a r a c t r i s s p a r l e u r g a i n e c a c e , e x p r i m e n d c i b e l s p a r m i l l i w a t t ( d B / m W ) ,

q u i m e s u r e l e r a p p o r t e n t r e l e g a i n e t l a p u i s s a n c e u t i l i s e p o u r l ' a m p l i c a t i o n .

L ' a m p l i c a t i o n o p t i q u e r e p o s e s u r l e p r i n c i p e d e l ' m i s s i o n s t i m u l e , c o m m e

p o u r l e s m e t t e u r s l a s e r . L e s d e u x g r a n d s t y p e s d e c o m p o s a n t s s o n t l e s a m -

p l i c a t e u r s s e m i - c o n d u c t e u r e t l e s a m p l i c a t e u r s b r e d o p e . U n e

p r s e n t a t i o n g n r a l e d e s a m p l i c a t e u r s o p t i q u e s s e t r o u v e d a n s O ' M 9 3 ] .

2 1



L e s a m p l i c a t e u r s s e m i - c o n d u c t e u r s o n t c o n s t i t u s d ' u n l a s e r s e m i - c o n d u c -

t e u r , m o d i e n s u p p r i m a n t l a c a v i t r s o n a n t e . L e s i g n a l l u m i n e u x d ' e n t r e

t r a v e r s e l a r g i o n a c t i v e d u s e m i - c o n d u c t e u r q u i , p a r m i s s i o n s t i m u l e , l ' a m p l i e .

L e s a m p l i c a t e u r s b r e d o p e s o n t c o m p o s s d ' u n e p o m p e l a s e r , d ' u n

c o u p l e u r , d ' u n e p o r t i o n d e b r e d o p e a v e c d e s i o n s d e t e r r e r a r e , e t d ' u n

l t r e , c o m m e i l e s t r e p r s e n t s u r l a g u r e 1 . 4 . L a p o m p e l a s e r m e t u n s i g n a l

p u i s s a n t q u i e x c i t e l e s i o n s d o p a n t s , a n q u e l e s i g n a l t r a n s m e t t a n t l e s d o n n e s

p u i s s e a g i r s u r l e s i o n s e x c i t s p a r l e p r i n c i p e d e l ' m i s s i o n s t i m u l e . L e b r u i t

e n g e n d r p a r l ' m i s s i o n s p o n t a n e p e u t t r e l i m i t p a r l e p l a c e m e n t d ' u n l t r e

o p t i q u e e n s o r t i e .

pompe

laser

originalsignal

coupleur fibre dopéesignal

amplifié

filtre

F i g u r e 1 . 4 : A m p l i c a t e u r b r e d o p e .

L ' l m e n t d o p a n t d e t e r r e r a r e l e p l u s u t i l i s e s t l ' e r b i u m , q u i p e r m e t d ' a m p l i -

e r l e s l o n g u e u r s d ' o n d e e n t r e 1 5 2 5 n m e t 1 5 6 0 n m . L e s a m p l i c a t e u r s b r e

d o p e l ' e r b i u m ( A F D E ) o n t d e s g a i n s d e l ' o r d r e d e 2 5 d B , e t m m e 5 1 d B

e x p r i m e n t a l e m e n t . L e s g a i n s e c a c e s v a r i e n t e n t r e 5 e t 1 0 d B / m W . L a p u i s s a n c e

r e q u i s e d e c e s p o m p e s l a s e r r e s t e d o n c t r s f a i b l e , q u o i q u e s u p r i e u r e c e l l e d e s

a u t r e s l a s e r s d ' m i s s i o n ( 2 5 0 m W c o n t r e 1 2 m W ) .

P o u r a m p l i e r l e s s i g n a u x a u t o u r d e l a l o n g u e u r d ' o n d e 1 3 0 0 n m , l e s a m -

p l i c a t e u r s b r e u o r e d o p e a u p r a s e o d y m i u m ( A F F D P ) o n t r c e m m e n t

r e t e n u l ' a t t e n t i o n d e s c h e r c h e u r s . L e s d e r n i e r s d v e l o p p e m e n t s s o n t p r s e n t s

d a n s W h i 9 5 ] .

A m p l i c a t e u r F r q u e n c e s L a r g e u r d e b a n d e G a i n

S e m i - c o n d u c t e u r T o u t e s 4 0 n m 2 5 d B

A F D E 1 5 2 5 1 5 6 0 n m 3 5 n m 2 5 5 1 d B

A F F D P 1 2 8 0 1 3 3 0 n m 5 0 n m 2 0 4 0 d B

T a b l e a u 1 . 3 : C a r a c t r i s t i q u e s d e s a m p l i c a t e u r s o p t i q u e s .

2 2



1 . 3 M u l t i p l e x a g e o p t i q u e

C e t t e p a r t i e r p o n d l a q u e s t i o n d e s a v o i r c o m m e n t e x p l o i t e r l e s d i z a i n e s d e

t r a h e r t z d e b a n d e p a s s a n t e s p e c t r a l e d i s p o n i b l e s d a n s l a b r e o p t i q u e . L a t e c h -

n i q u e g n r a l e u t i l i s e e s t l e m u l t i p l e x a g e d a n s l e d o m a i n e o p t i q u e , c e q u i s i g n i e

q u e l a c a p a c i t d e l a b r e e s t d i v i s e p a r d e s m o y e n s o p t i q u e s e n p l u s i e u r s c a n a u x

a c c e s s i b l e s i n d i v i d u e l l e m e n t e t i n d p e n d a m m e n t .

L a d i v i s i o n d e l a b a n d e p a s s a n t e e n c a n a u x p e u t t r e r a l i s e , c o m m e e n

l e c t r o n i q u e , d a n s l a d i m e n s i o n t e m p o r e l l e o u d a n s l a d i m e n s i o n d e s f r q u e n c e s

( o u l o n g u e u r s d ' o n d e ) . D a n s l e p r e m i e r c a s , o n p a r l e d e m u l t i p l e x a g e t e m -

p o r e l ( T i m e - D i v i s i o n M u l t i p l e x i n g , T D M ) e t d a n s l e s e c o n d d e m u l t i p l e x a g e e n

l o n g u e u r d ' o n d e ( W a v e l e n g t h - D i v i s i o n M u l t i p l e x i n g , W D M ) .

1 . 3 . 1 M u l t i p l e x a g e t e m p o r e l ( T D M )

L e m u l t i p l e x a g e T D M c o n s i s t e i m b r i q u e r t e m p o r e l l e m e n t d i r e n t s c a n a u x d e

c o m m u n i c a t i o n e n t r a m e s s u c c e s s i v e s . S i l ' o n s e r e p r s e n t e u n o t d ' i n f o r m a t i o n

p a r l e s d e n t s d ' u n p e i g n e , l e m u l t i p l e x a g e t e m p o r e l r e v i e n t s u p e r p o s e r l e s

p e i g n e s d e s d i r e n t s c a n a u x e n l e s d c a l a n t l e s u n s p a r r a p p o r t a u x a u t r e s ( v o i r

g u r e 1 . 5 ) . C e l a n c e s s i t e u n e s y n c h r o n i s a t i o n p r c i s e . l a r c e p t i o n , c h a q u e

c a n a l t e m p o r e l e s t d m u l t i p l e x p u i s a c h e m i n v e r s s a d e s t i n a t i o n . O n p e u t

r a l i s e r l e c t r o n i q u e m e n t l e s f o n c t i o n s d e m u l t i p l e x a g e / d m u l t i p l e x a g e t e m p o r e l s

a v e c d e s c i r c u i t s i n t g r s u l t r a - r a p i d e s ( 4 0 G b i t s / s e n l a b o r a t o i r e ) . T o u t e f o i s , l e

c o t p r o h i b i t i f d e c e s c i r c u i t s p o u r l e s t r s h a u t s d b i t s s u g g r e d ' e e c t u e r l e

m u l t i p l e x a g e t e m p o r e l p a r d e s m o y e n s p u r e m e n t o p t i q u e s , u n e v o i e a c t u e l l e m e n t

e x p l o r e .

multiplexeur

électronique

laser

émetteurselectroniques

tempsfréquence

filtre démultiplexeur

électronique

récepteursélectroniques

t

t

t t

t

t

F i g u r e 1 . 5 : M u l t i p l e x a g e t e m p o r e l ( T D M ) .

2 3



1 . 3 . 2 M u l t i p l e x a g e e n l o n g u e u r d ' o n d e ( W D M )

L e m u l t i p l e x a g e e n l o n g u e u r d ' o n d e ( W a v e l e n g t h - D i v i s i o n M u l t i p l e x i n g , W D M )

e s t u n e t e c h n i q u e d e m u l t i p l e x a g e q u i p e u t s e s u p e r p o s e r l a p r c d e n t e . L e

p r i n c i p e e s t l e m m e q u e c e l u i d u m u l t i p l e x a g e e n f r q u e n c e s ( F r e q u e n c y - D i v i s i o n

M u l t i p l e x i n g , F D M ) d a n s l e s t r a n s m i s s i o n s l e c t r i q u e s . P l u s i e u r s s i g n a u x s o n t

g n r s s i m u l t a n m e n t s u r d e s f r q u e n c e s o p t i q u e s ( o u l o n g u e u r s d ' o n d e )

d i r e n t e s e t p e u v e n t t r e m o d u l s i n d i v i d u e l l e m e n t .

L e m u l t i p l e x a g e W D M e s t u n e a p p r o c h e q u i p e r m e t d e g r e r l ' i m p o r t a n t e

d i s c o r d a n c e o p t o - l e c t r o n i q u e e n t e r m e s d e b a n d e p a s s a n t e . L e s p e c t r e o p t i q u e

d ' u n e b r e e s t d c o u p e n u n c e r t a i n n o m b r e d ' i n t e r v a l l e s d e l o n g u e u r s d ' o n d e

( o u f r q u e n c e s ) d i s t i n c t s , d a n s l e s r g i o n s d e f a i b l e a t t n u a t i o n ( v o i r g u r e 1 . 2 ) ,

d e t e l l e s o r t e q u e c h a q u e i n t e r v a l l e s u p p o r t e u n c a n a l d e c o m m u n i c a t i o n t r a n s -

m e t t a n t a u d b i t d s i r , p a r e x e m p l e c e l u i d e l ' l e c t r o n i q u e . A i n s i , e n a u t o r i s a n t

l a c o e x i s t e n c e d e p l u s i e u r s c a n a u x W D M s u r u n e m m e b r e , l ' n o r m e b a n d e

p a s s a n t e o p t i q u e p e u t t r e e x p l o i t e , e n p e r m e t t a n t a u x q u i p e m e n t s d ' a c c d e r

a u r s e a u a u d b i t d e l ' l e c t r o n i q u e s e u l e m e n t .

L e s c a n a u x W D M s o n t a c c e s s i b l e s p a r d e s m e t t e u r s l a s e r r g l s s u r d e s

l o n g u e u r s d ' o n d e s p c i q u e s . L e m u l t i p l e x a g e e t l e d m u l t i p l e x a g e e n l o n g u e u r

d ' o n d e s o n t e e c t u s p a r d e s c o m p o s a n t s o p t i q u e s p a s s i f s , d e f a o n s i m i l a i r e l a

d c o m p o s i t i o n e t r e c o m p o s i t i o n d e s c o u l e u r s d e l ' a r c - e n - c i e l p a r u n p r i s m e .

fréquence temps

multiplexeur

optique

transmetteurs

laser

démultiplexeur

optique

filtres

optiques

t

t

t t

t

t

F i g u r e 1 . 6 : M u l t i p l e x a g e e n l o n g u e u r d ' o n d e ( W D M ) .

C a n a u x W D M

U n f a c t e u r i m p o r t a n t d a n s l a c o n c e p t i o n d e s r s e a u x o p t i q u e s W D M e s t l e n o m b r e

d e l o n g u e u r s d ' o n d e u t i l i s a b l e s , q u i e s t l i m i t p a r l a t e c h n o l o g i e d e s c o m p o s a n t s .

L a b a n d e p a s s a n t e d e l a b r e o p t i q u e , c o m m e i l e s t m e n t i o n n d a n s l a

s e c t i o n 1 . 2 . 1 , e s t l i m i t e p a r l e s r g i o n s d e f a i b l e a t t n u a t i o n a u t o u r d e s l o n g u e u r s

2 4



d ' o n d e 1 . 3 m e t 1 . 5 m . C e s r g i o n s o n t u n e b a n d e p a s s a n t e d ' e n v i r o n 2 5 T H z

c h a c u n e . C e p e n d a n t , l e s r s e a u x o p t i q u e s n e v o n t p a s p o u v o i r b n c i e r d e t o u t e

c e t t e l a r g e u r d e b a n d e e n r a i s o n d e l a l i m i t a t i o n d e s c o m p o s a n t s o p t i q u e s e t d e

l ' e s p a c e m e n t d e s c a n a u x W D M .

L e s a m p l i c a t e u r s o p r e n t s u r d e s b a n d e s d e f r q u e n c e s d e 3 5 n m 4 0 n m ,

l e s m e t t e u r s l a s e r r g l a b l e s s u r 1 0 n m , e t l e s l t r e s r g l a b l e s n e c o u v r e n t p a s

t o u j o u r s t o u t e l a g a m m e d e s f r q u e n c e s d i s p o n i b l e s ( 1 6 n m p o u r l e s l t r e s l e c t r o -

o p t i q u e s ) .

P a r a i l l e u r s , l e n o m b r e d e c a n a u x u t i l i s a b l e s d p e n d f o r t e m e n t d e l e u r

e s p a c e m e n t . D ' a p r s B r a 9 0 ] , l ' e s p a c e m e n t d e s c a n a u x d o i t v a l o i r a u m o i n s 6 f o i s

l e u r b a n d e p a s s a n t e p o u r v i t e r l e s i n t e r f r e n c e s . E n s u p p o s a n t u n e e c a c i t e n

m o d u l a t i o n d e 0 . 5 b p s / H z ( c e q u i s i g n i e q u ' u n b i t e s t c o d s u r d e u x i n t e r v a l l e s

d e t e m p s ) , i l e n r s u l t e u n f a c t e u r 8 e n t r e l a b a n d e d e s f r q u e n c e s u t i l i s e s e t l e

d b i t d ' i n f o r m a t i o n q u i v a p o u v o i r c i r c u l e r s u r l e s c a n a u x .

U n n o m b r e l e v d e c a n a u x f o u r n i t a u r s e a u d a v a n t a g e d e c a p a c i t , a i n s i

q u ' u n c o t p l u s l e v d e s c o m p o s a n t s e t u n e p l u s g r a n d e c o m p l e x i t d e s m c a n -

i s m e s d e g e s t i o n .

1 . 3 . 3 C o m p a r a i s o n e n t r e T D M e t W D M

A u p r e m i e r a b o r d , o n p o u r r a i t p e n s e r q u e l e s d e u x a p p r o c h e s d e m u l t i p l e x a g e

o p t i q u e T D M e t W D M s o n t s e m b l a b l e s . E l l e s l e s o n t a u n i v e a u f o r m e l p u i s q u ' e l l e s

p e r m e t t e n t l a s u p e r p o s i t i o n s u r l e m m e s u p p o r t p h y s i q u e d e t r a n s m i s s i o n d e

p l u s i e u r s c a n a u x d e c o m m u n i c a t i o n , i d e n t i a b l e s s e l o n l e u r d c a l a g e t e m p o r e l

p o u r T D M e t s e l o n l e u r l o n g u e u r d ' o n d e p o u r W D M . C e p e n d a n t , a u n i v e a u t e c h -

n o l o g i q u e l ' a p p r o c h e T D M p r s e n t e d e s i n c o n v n i e n t s s i g n i c a t i f s p a r r a p p o r t

l ' a p p r o c h e W D M .

E n p r e m i e r l i e u , l e s c a n a u x T D M n e s o n t p a s t r a n s p a r e n t s p o u r l e d b i t

d e m o d u l a t i o n n i p o u r l e t y p e d e m o d u l a t i o n . I l s s o n t u n i q u e m e n t m o d u l a -

b l e s n u m r i q u e m e n t e n a m p l i t u d e e t l e u r d b i t e s t i m p o s p a r l e m u l t i p l e x e u r

t e m p o r e l . l ' i n v e r s e , c h a q u e c a n a l W D M p e u t t r e m o d u l i n d i v i d u e l l e m e n t ,

n u m r i q u e m e n t o u a n a l o g i q u e m e n t , e n a m p l i t u d e o u e n p h a s e . L e d b i t d e c h a q u e

c a n a l W D M p e u t e n o u t r e t r e c h o i s i a r b i t r a i r e m e n t , d u m o m e n t q u e l e s s i g n a u x

n e s e r e c o u v r e n t p a s s p e c t r a l e m e n t . I l e n r s u l t e u n e p l u s g r a n d e e x i b i l i t .

U n e a u t r e c a r a c t r i s t i q u e d s a v a n t a g e u s e d u m u l t i p l e x a g e o p t i q u e T D M

p r o v i e n t d u t r s h a u t d b i t d u s i g n a l m u l t i p l e x , q u i r s u l t e d e l ' a g r g a t i o n d e s

c a n a u x e n t r e l a c s t e m p o r e l l e m e n t . C e t t e c o n s q u e n c e i n h r e n t e a u m u l t i p l e x a g e

t e m p o r e l c o n s t i t u e u n i n c o n v n i e n t m a j e u r p o u r l e s s y s t m e s d e t r a n s m i s s i o n

o p t i q u e s , l o r s q u e l e s i g n a l m u l t i p l e x s e m e t c o u v r i r d e s d i z a i n e s d e g i g a h e r t z .

L e t r a i t e m e n t l e c t r o n i q u e c o n s t i t u e a l o r s u n f r e i n a u x o p r a t i o n s d e m u l t i p l e x a g e

2 5



e t d m u l t i p l e x a g e t e m p o r e l s , a l o r s q u e l ' a p p r o c h e W D M e e c t u e c e l l e s - c i o p t i q u e -

m e n t e t p a s s i v e m e n t . D e p l u s , l e p h n o m n e d e d i s p e r s i o n l i m i t e d ' a u t a n t p l u s l a

p r o p a g a t i o n d u s i g n a l T D M m u l t i p l e x q u e s o n d b i t e s t i m p o r t a n t . L e s d b i t s

m o i n d r e s d e c h a q u e c a n a l W D M p e r m e t t e n t d ' v i t e r c e p r o b l m e .

E n n , l ' a p p r o c h e T D M s o u r e d ' u n m a n q u e d ' e x t e n s i b i l i t . L ' a d d i t i o n d ' u n

n o u v e a u c a n a l T D M n c e s s i t e u n e m o d i c a t i o n d e s d c a l a g e s t e m p o r e l s e t u n e

r e s y n c h r o n i s a t i o n d e t o u s l e s c a n a u x d j e x i s t a n t s . I n v e r s e m e n t , l ' i n d p e n d a n c e

d e s c a n a u x W D M a u t o r i s e l a c r a t i o n d ' u n n o u v e a u c a n a l s i m p l e m e n t p a r l ' a j o u t

d ' u n m e t t e u r l a s e r e t d ' u n l t r e o p t i q u e a p p r o p r i s , s a n s a e c t e r l e s a u t r e s

c a n a u x .

E n c o n c l u s i o n , l ' a p p r o c h e W D M s ' a v r e l a t e c h n i q u e d e m u l t i p l e x a g e p r f r e n -

t i e l l e p o u r l e s s y s t m e s d e t r a n s m i s s i o n o p t i q u e s , e n r a i s o n d e l a t r a n s p a r e n c e ,

d e l a e x i b i l i t e t d e l ' e x t e n s i b i l i t d e s c a n a u x W D M .

1 . 4 C o m m u t a t i o n o p t i q u e

L a p l u p a r t d e s r s e a u x a c t u e l s p r o c d e n t l e c t r o n i q u e m e n t a u t r a i t e m e n t d e s

d o n n e s e t u t i l i s e n t l a b r e o p t i q u e s e u l e m e n t c o m m e u n s u p p o r t d e t r a n s m i s s i o n .

L e s o p r a t i o n s d e c o m m u t a t i o n e t d e r o u t a g e s o n t r a l i s e s e n c o n v e r t i s s a n t l e s

s i g n a u x o p t i q u e s s o u s l e u r f o r m e l e c t r o n i q u e o r i g i n e l l e . I l e n r s u l t e u n e g r a n d e

e x i b i l i t , c e p e n d a n t l e d b i t d e l ' l e c t r o n i q u e n ' e s t p a s c o m p a t i b l e a v e c l ' n o r m e

b a n d e p a s s a n t e d e l a b r e o p t i q u e .

D e p l u s , l a c o n v e r s i o n o p t o - l e c t r o n i q u e i n t r o d u i t u n d l a i s u p p l m e n t a i r e

d a n s l e r o u t a g e d e s o t s d ' i n f o r m a t i o n . P o u r s ' a r a n c h i r d e c e s l i m i t a t i o n s d e s

c o m p o s a n t s d e c o m m u t a t i o n o p t i q u e s o n t t d v e l o p p s , c a p a b l e s d e t r a i t e r d e s

s i g n a u x o p t i q u e s t r s h a u t d b i t s a n s c o n v e r s i o n o p t o - l e c t r o n i q u e .

P o u r c e t t e r a i s o n , l e s r s e a u x u t i l i s a n t c e t t e t e c h n o l o g i e d e c o m m u t a t i o n s o n t

a p p e l s r s e a u x t o u t - o p t i q u e s . D a n s l ' t a t a c t u e l , l e c o n t r l e d e s f o n c t i o n s d e

c o m m u t a t i o n d e m e u r e c e p e n d a n t r a l i s d e f a o n l e c t r o n i q u e .

1 . 4 . 1 G n r a t i o n s d e r s e a u x

A u v u d e l e u r v o l u t i o n , o n p e u t c l a s s i e r l e s r s e a u x d e c o m m u n i c a t i o n c b l s

e n t r o i s g n r a t i o n s , s e l o n l e r l e d e s b r e s o p t i q u e s d a n s l e u r t o p o l o g i e . C e t t e

c l a s s i c a t i o n a t t a b l i e d a n s G r e 9 1 ] .

L a p r e m i r e g n r a t i o n d e r s e a u x n e f a i t a u c u n e u t i l i s a t i o n d e l a b r e o p t i q u e .

L e s r s e a u x l o c a u x t r a d i t i o n n e l s L A N ( L o c a l A r e a N e t w o r k ) , c o m m e E t h e r n e t ,

t o m b e n t d a n s c e t t e c a t g o r i e , d e m m e q u e c e r t a i n s g r a n d s r s e a u x W A N ( W i d e

A r e a N e t w o r k ) c o m m e A R P A n e t . I l s o n t t c o n u s s u r l a b a s e d ' u n m i l i e u d e

2 6



t r a n s m i s s i o n e n c u i v r e p l u s o u m o i n s a b l e . U n e c a r a c t r i s t i q u e p r i n c i p a l e d e c e s

r s e a u x e s t l e c o n t r l e e n c h a q u e n u d d e s o t s d ' i n f o r m a t i o n a n d e r a l i s e r

l e u r c o m m u t a t i o n .

D a n s l a d e u x i m e g n r a t i o n d e r s e a u x , l e s t r a n s m i s s i o n s l e c t r i q u e s d e s

d o n n e s s o n t r e m p l a c e s p a r d e s s y s t m e s d e t r a n s m i s s i o n o p t i q u e s . L ' a r c h i t e c -

t u r e t r a d i t i o n n e l l e d e s r s e a u x e s t c e p e n d a n t c o n s e r v e . L e s a v a n t a g e s i m m d i a t s

s o n t u n d b i t b e a u c o u p p l u s l e v , d e s d i s t a n c e s d e t r a n s m i s s i o n p l u s g r a n d e s e t

u n e a b i l i t a c c r u e . I l e n a r s u l t l ' m e r g e n c e d e r s e a u x m t r o p o l i t a i n s M A N

( M e t r o p o l i t a n A r e a N e t w o r k ) , a i n s i q u e l e s p r e m i e r s r s e a u x S O N E T ( S y n c h r o -

n o u s O p t i c a l N E T w o r k ) e t S D H ( S y n c h r o n o u s D i g i t a l H i e r a r c h y ) .

L a t r o i s i m e e t d e r n i r e g n r a t i o n d e r s e a u x p e r m e t d e p r o t e r p l e i n e m e n t

d e s p r o p r i t s u n i q u e s d e l a t r a n s m i s s i o n o p t i q u e p a r b r e . L ' e x c e p t i o n n e l l e

b a n d e p a s s a n t e s p e c t r a l e p e u t e n e e t t r e e x p l o i t e p a r l a t e c h n i q u e d u m u l t i -

p l e x a g e e n l o n g u e u r d ' o n d e W D M q u e n o u s a v o n s v o q u e d a n s l a s e c t i o n 1 . 3 . 2 .

D e p l u s , n o n s e u l e m e n t l e s f o n c t i o n s d ' m i s s i o n e t d e r c e p t i o n s o n t r a l i s e s

p a r d e s c o m p o s a n t s o p t i q u e s ( d i o d e s l a s e r e t p h o t o - d i o d e s ) , m a i s g a l e m e n t l e s

f o n c t i o n s d e c o m m u t a t i o n e n c h a q u e n u d d u r s e a u .

P o u r c e t t e r a i s o n , l e s r s e a u x d e l a t r o i s i m e g n r a t i o n s o n t a p p e l s r s e a u x

t o u t - o p t i q u e s . N o u s a l l o n s d c r i r e p r s e n t l e s d i r e n t s c o m p o s a n t s o p t i q u e s

d e c o m m u t a t i o n q u i s o n t l ' o r i g i n e d e l e u r a v n e m e n t .

1 . 4 . 2 C o m m u t a t e u r s o p t i q u e s

R p a r t i t e u r

U n r p a r t i t e u r ( F i b e r O p t i c a l C r o s s - C o n n e c t , F - O X C ) p e r m e t d ' e e c t u e r u n e

f o n c t i o n d e c o m m u t a t i o n e n t r e l e s b r e s d ' e n t r e e t d e s o r t i e d u r o u t e u r ( v o i r

g u r e 1 . 7 ) . C ' e s t l e p l u s l m e n t a i r e d e s c o m m u t a t e u r s o p t i q u e s e t l e m o i n s

c o t e u x e n f a b r i c a t i o n . C e t y p e d ' q u i p e m e n t s n e p e r m e t p a s d ' e e c t u e r l e s

o p r a t i o n s d e d m u l t i p l e x a g e s u r l e s s i g n a u x e n t r a n t s n i d e m u l t i p l e x a g e s u r l e s

s i g n a u x s o r t a n t s . C ' e s t p o u r q u o i l e r p a r t i t e u r e s t d i t i n s e n s i b l e a u x l o n g u e u r s

d ' o n d e . L e s f o n c t i o n s d ' e x t r a c t i o n e t d ' i n s e r t i o n d e s i g n a u x a v e c l e t e r m i n a l

r e l i a u r o u t e u r s o n t p o s s i b l e s , m a i s c ' e s t a l o r s l ' e n s e m b l e d e s c a n a u x W D M

m u l t i p l e x s q u i e s t e x t r a i t d ' u n e b r e d ' e n t r e o u i n s r d a n s u n e b r e d e s o r t i e .

M u l t i p l e x e u r i n s e r t i o n / e x t r a c t i o n ( M I E )

U n m u l t i p l e x e u r i n s e r t i o n / e x t r a c t i o n ( O p t i c a l A d d / D r o p M u l t i p l e x e r , O A D M )

p e r m e t d ' e x t r a i r e c e r t a i n s c a n a u x W D M e n t r a n s i t s u r u n e b r e o p t i q u e e t d ' e n

i n s r e r d ' a u t r e s . I l e s t g n r a l e m e n t c o n s t i t u d ' u n d m u l t i p l e x e u r o p t i q u e p a s -

s i f , d e c o m m u t a t e u r s 2 2 d d i s a u x d i r e n t e s l o n g u e u r s d ' o n d e e t d ' u n m u l -

2 7



d’entrée de sortie

Extraction Insertion

Fibres Fibres

F i g u r e 1 . 7 : R p a r t i t e u r ( F - O X C ) .

t i p l e x e u r o p t i q u e p a s s i f , c o m m e i l e s t m o n t r s c h m a t i q u e m e n t s u r l a g u r e 1 . 8 .

L e s t a t s d e s c o m m u t a t e u r s i n t e r m d i a i r e s c o n t r l s l e c t r o n i q u e m e n t d t e r m i -

n e n t q u e l s c a n a u x W D M p o u r s u i v e n t l e u r c h e m i n , l e s q u e l s s o n t e x t r a i t s e n v u e

d e l e u r r c e p t i o n l o c a l e e t l e s q u e l s p e u v e n t t r e i n s r s a p r s m i s s i o n l o c a l e .

F i g u r e 1 . 8 : M u l t i p l e x e u r i n s e r t i o n / e x t r a c t i o n ( M I E ) .

L e c o m p o s a n t M I E p e u t t r e g r e d i r e c t e m e n t s u r u n e b r e o p t i q u e , o u

f a i r e p a r t i e d ' u n n u d d e r o u t a g e p l u s c o m p l e x e . E n p a r t i c u l i e r , a s s o c i s a v e c

u n r p a r t i t e u r , p l u s i e u r s M I E p e u v e n t f o r m e r u n r o u t e u r M I E , c o m m e i l e s t

r e p r s e n t s u r l a g u r e 1 . 9 .

2 8




d’entréeFibres

de sortieFibres


F i g u r e 1 . 9 : R p a r t i t e u r a v e c M I E .

B r a s s e u r

U n b r a s s e u r ( W a v e l e n g t h R o u t i n g O p t i c a l C r o s s - C o n n e c t , W R - O X C ) e s t u n c o m -

p o s a n t d e c o m m u t a t i o n s l e c t i f e n l o n g u e u r d ' o n d e . C e l a s i g n i e q u e c h a q u e

c a n a l W D M p e u t t r e d i r i g v e r s u n e b r e d e s o r t i e i n d p e n d a m m e n t d e s a u t r e s

c a n a u x m u l t i p l e x s s u r l a m m e b r e d ' e n t r e .

CommutateursFibresd’entrée

MultiplexeursDémultiplexeurs

de sortieFibres

F i g u r e 1 . 1 0 : B r a s s e u r r e c o n g u r a b l e ( W R - O X C ) .

L a c o m p o s i t i o n d ' u n b r a s s e u r e s t r e p r s e n t e s u r l a g u r e 1 . 1 0 . U n e s r i e

d e d m u l t i p l e x e u r s s i t u s a u x e x t r m i t s d e s b r e s d ' e n t r e p e r m e t d a n s u n

p r e m i e r t e m p s d e d m u l t i p l e x e r l e s s i g n a u x e n t r a n t s e t d e d i r i g e r s p a t i a l e m e n t

c h a q u e g r o u p e d e c a n a u x W D M l a m m e l o n g u e u r d ' o n d e v e r s u n c o m m u t a -

2 9



t e u r p h o t o n i q u e p a r t i c u l i e r . C e s c o m m u t a t e u r s s o n t c o n t r l s l e c t r o n i q u e m e n t

e t a p p l i q u e n t s u r l e s g r o u p e s d e c a n a u x d e s f o n c t i o n s d e c o m m u t a t i o n i n d p e n -

d a n t e s l e s u n e s d e s a u t r e s . L e s c a n a u x W D M s o n t e n n r e m u l t i p l e x s s u r c h a q u e

b r e d e s o r t i e .

A s s o c i d e s m u l t i p l e x e u r s i n s e r t i o n / e x t r a c t i o n , u n b r a s s e u r p o s s d e u n e

c a p a c i t d e r o u t a g e p l u s t e n d u e , p u i s q u ' a i n s i l e s c a n a u x W D M p e u v e n t t r e

c o m m u t s , e x t r a i t s o u i n s r s , c o m m e i l e s t r e p r s e n t s u r l a g u r e 1 . 1 1 .



Fibres Fibres

F i g u r e 1 . 1 1 : B r a s s e u r a v e c M I E .

1 . 4 . 3 C o n v e r t i s s e u r s o p t i q u e s

L e s d i r e n t s c o m p o s a n t s o p t i q u e s d e c o m m u t a t i o n q u e n o u s v e n o n s d e d c r i r e

i m p o s e n t a u x c a n a u x W D M d e r e s p e c t e r l a c o n t r a i n t e d e c o n t i n u i t e n

l o n g u e u r d ' o n d e . E n d ' a u t r e s t e r m e s , l e s c a n a u x c o m m u t s c o n s e r v e n t e n

s o r t i e l a l o n g u e u r d ' o n d e q u ' i l s p o s s d e n t e n e n t r e . O n p e u t s ' a r a n c h i r d e c e t t e

c o n t r a i n t e e t a u g m e n t e r a i n s i l e s c a p a c i t s d e r o u t a g e o p t i q u e p a r l ' u t i l i s a t i o n d e

c o n v e r t i s s e u r s d e l o n g u e u r d ' o n d e .

L e s d i r e n t e s t e c h n i q u e s p e r m e t t a n t l a c o n v e r s i o n d e l o n g u e u r d ' o n d e o n t t

c l a s s i e s e t c o m p a r e s d a n s d i r e n t e s t u d e s D M J

+

9 6 , S I 9 6 , W i e 9 6 , Y o o 9 6 ] .

O n p e u t d i s t i n g u e r d e u x g r a n d s t y p e s d e t e c h n o l o g i e s : l a c o n v e r s i o n o p t o -

l e c t r o n i q u e , p o u r l a q u e l l e l e s i g n a l o p t i q u e d o i t t r e p r a l a b l e m e n t c o n v e r t i

e n u n s i g n a l l e c t r i q u e , e t l a c o n v e r s i o n t o u t - o p t i q u e , p o u r l a q u e l l e l e s i g n a l

d e m e u r e d a n s l e d o m a i n e o p t i q u e . L e s t e c h n i q u e s d e c o n v e r s i o n t o u t - o p t i q u e

p e u v e n t l e u r t o u r t r e d i v i s e s e n c e l l e s b a s e s s u r l e s e e t s c o h r e n t s e t c e l l e s

q u i u t i l i s e n t l a m o d u l a t i o n c r o i s e .

3 0



C o n v e r s i o n o p t o - l e c t r o n i q u e

D a n s l a c o n v e r s i o n d e l o n g u e u r d ' o n d e o p t o - l e c t r o n i q u e , l e s i g n a l o p t i q u e c o n -

v e r t i r d o i t d ' a b o r d t r e t r a d u i t d a n s l e d o m a i n e l e c t r i q u e l ' a i d e d ' u n e p h o t o -

d i o d e ( v o i r g u r e 1 . 1 2 ) . L e o t l e c t r o n i q u e r s u l t a n t e s t e n s u i t e r i n j e c t , a p r s

s t o c k a g e v e n t u e l d a n s u n e m m o i r e t a m p o n , s u r l a c o m m a n d e d e m o d u l a t i o n

d ' u n m e t t e u r l a s e r r g l s u r l a l o n g u e u r d ' o n d e d s i r e .

C e t t e m t h o d e a t e x p r i m e n t e p o u r d e s d b i t s a l l a n t j u s q u ' 1 0 G b p s

Y o o 9 6 ] . C e p e n d a n t , e l l e e s t p l u s c o m p l e x e e t c o n s o m m e d a v a n t a g e d e p u i s s a n c e

q u e l e s a u t r e s m t h o d e s d c r i t e s c i - d e s s o u s D M J

+

9 6 ] . D e p l u s , l e p r o c d d e

c o n v e r s i o n o p t o - l e c t r o n i q u e a e c t e l a t r a n s p a r e n c e d u s i g n a l , e n l u i i m p o s a n t

u n f o r m a t d e m o d u l a t i o n e t u n d b i t s p c i q u e s . T o u t e i n f o r m a t i o n m o d u l e

e n p h a s e , e n f r q u e n c e o u a n a l o g i q u e m e n t , e s t p e r d u e d u r a n t c e p r o c e s s u s d e

c o n v e r s i o n .

photodiode tampon laser

signal signal

d’entrée converti

F i g u r e 1 . 1 2 : C o n v e r t i s s e u r d e l o n g u e u r d ' o n d e o p t o - l e c t r o n i q u e .

C o n v e r s i o n t o u t - o p t i q u e

S a n s e n t r e r d a n s l e s d t a i l s t e c h n o l o g i q u e s , n o u s d o n n o n s i c i b r i v e m e n t l e s p r o -

p r i t s d e s d e u x p r i n c i p a l e s t e c h n i q u e s d e c o n v e r s i o n t o u t - o p t i q u e .

L e s m t h o d e s d e c o n v e r s i o n b a s e s s u r l e s e e t s c o h r e n t s t o l r e n t t o u s l e s

f o r m a t s d e m o d u l a t i o n , o r a n t a i n s i u n e t r a n s p a r e n c e t o t a l e d u s i g n a l . C ' e s t d e

p l u s l e s e u l t y p e d ' a p p r o c h e q u i p e r m e t l a c o n v e r s i o n s i m u l t a n e d ' u n e n s e m b l e

d e l o n g u e u r s d ' o n d e v e r s u n a u t r e e t q u i p e u t t o l r e r d e s d b i t s d p a s s a n t l e s

1 0 0 G b p s Y o o 9 6 ] .

L e s t e c h n i q u e s d e c o n v e r s i o n b a s e s s u r l a m o d u l a t i o n c r o i s e u t i l i s e n t d e s

c o m p o s a n t s o p t i q u e s a c t i f s s e m i - c o n d u c t e u r s , t e l s q u e d e s a m p l i c a t e u r s o u

d e s m e t t e u r s l a s e r . L e s d b i t s a u t o r i s s s o n t d e l ' o r d r e d e 1 0 G b p s . L ' a v a n t a g e

d e c e t t e a p p r o c h e r s i d e d a n s s a f a c i l i t d ' u t i l i s a t i o n .

3 1



B r a s s e u r c o n v e r t i s s e u r

U n b r a s s e u r c o n v e r t i s s e u r ( W a v e l e n g t h T r a n s l a t i n g O p t i c a l C r o s s - C o n n e c t , W T -

O X C ) e s t u n c o m p o s a n t d e c o m m u t a t i o n s l e c t i f e n l o n g u e u r d ' o n d e e t q u i p e r m e t

d e p l u s l e u r c o n v e r s i o n . L e b r a s s a g e d e s c a n a u x W D M n e s ' e e c t u e d o n c p a s

n c e s s a i r e m e n t l o n g u e u r d ' o n d e c o n s t a n t e , c o m m e d a n s u n b r a s s e u r s i m p l e .

C e s n u d s d e c o m m u t a t i o n p r s e n t e n t a i n s i d a v a n t a g e d e e x i b i l i t , m a i s u n e

s t r u c t u r e b e a u c o u p p l u s c o m p l e x e .

L e s a r c h i t e c t u r e s d e s b r a s s e u r s c o n v e r t i s s e u r s t a n t a u s s i v a r i e s q u e s o p h i s -

t i q u e s , n o u s n e d o n n o n s p a s i c i d e r e p r s e n t a t i o n d t a i l l e . I l f a u t m e n t i o n n e r

d e p l u s q u e l e d o m a i n e t e c h n o l o g i q u e d e l a c o n v e r s i o n d e l o n g u e u r d ' o n d e e s t e n

p l e i n e v o l u t i o n , e t l e s t e c h n i q u e s a c t u e l l e s p e u v e n t c h a n g e r r a p i d e m e n t .

C e p e n d a n t , n o u s r e p r s e n t o n s s u r l a g u r e 1 . 1 3 l a c a p a c i t d e r o u t a g e o p t i q u e

d ' u n b r a s s e u r c o n v e r t i s s e u r t o t a l , c ' e s t - - d i r e c a p a b l e d ' e e c t u e r n ' i m p o r t e q u e l l e

c o n v e r s i o n d ' u n c a n a l W D M , a s s o c i d e s m u l t i p l e x e u r s i n s e r t i o n / e x t r a c t i o n .

C e t t e f o n c t i o n a l i t p u i s s a n t e s e r a c o n s i d r e d a n s l e s c h a p i t r e s s u i v a n t s e t n o u s

t u d i e r o n s s o n i n t r t p a r r a p p o r t c e l l e d e s b r a s s e u r s s i m p l e s .



Fibres Fibres

F i g u r e 1 . 1 3 : B r a s s e u r c o n v e r t i s s e u r t o t a l a v e c M I E .

R e m a r q u e . L e s s y s t m e s d e t r a n s m i s s i o n W D M p o i n t - - p o i n t a u j o u r d ' h u i

d i s p o n i b l e s u t i l i s e n t l ' e n t r e d e s l i a i s o n s d e s c o n v e r t i s s e u r s o p t o - l e c t r o n i q u e s

a p p e l s t r a n s p o n d e u r s . U t i l i s s l ' o r i g i n e c o m m e i n t e r f a c e a v e c l e s a u t r e s r s e a u x

( S D H e n l ' o c c u r e n c e ) , i l s p r e n n e n t d e l ' i m p o r t a n c e d a n s l e b r a s s a g e o p t i q u e

p u i s q u ' i l s p e u v e n t t r e u t i l i s s a u t o u r d e b r a s s e u r s r e c o n g u r a b l e s , p a r a n t a i n s i

l ' i n c o m p a t i b i l i t e n t r e l e s l o n g u e u r s d ' o n d e p r o p r i t a i r e s d e s d i r e n t s c o n s t r u c -

t e u r s .

3 2




A g r 9 2 ] G . P . A g r a w a l . F i b e r - O p t i c C o m m u n i c a t i o n S y s t e m s . W i l e y , 1 9 9 2 .

B r a 9 0 ] C . A . B r a c k e t t . D e n s e w a v e l e n g t h d i v i s i o n m u l t i p l e x i n g n e t w o r k s :

p r i n c i p l e s a n d a p p l i c a t i o n s . I E E E J o u r n a l o n S e l e c t e d A r e a s i n C o m -

m u n i c a t i o n s , 8 ( 6 ) : 9 4 8 9 6 4 , 1 9 9 0 .

D e s 9 4 ] E . D e s u r v i r e . E r b i u m - D o p e d F i b e r A m p l i e r s : P r i n c i p l e s a n d A p p l i -

c a t i o n s . W i l e y , N e w - Y o r k , 1 9 9 4 .

D M J

+

9 6 ] T . D u r h u u s , B . M i k k e l s e n , C . J o e r g e n s e n , S . L . D a n i e l s e n , a n d K . E .

S t u b k j a e r . A l l - o p t i c a l w a v e l e n g t h c o n v e r s i o n b y s e m i c o n d u c t o r o p t i -

c a l a m p l i e r s . I E E E / O S A J o u r n a l o f L i g h t w a v e T e c h n o l o g y , 1 4 : 9 4 2

9 5 4 , 1 9 9 6 .

G l a 9 3 ] A . M . G l a s s . F i b e r o p t i c s . P h y s i c s T o d a y , J a n u a r y 1 9 9 3 .

G r e 9 1 ] P . E . G r e e n . T h e f u t u r e o f b e r o p t i c c o m p u t e r n e t w o r k s . I E E E

C o m p u t e r , 2 4 ( 9 ) : 7 8 8 7 , S e p t e m b e r 1 9 9 1 .

G r e 9 3 ] P . E . G r e e n . F i b e r O p t i c N e t w o r k s . P r e n t i c e - H a l l , 1 9 9 3 .

H e n 8 5 ] P . S . H e n r y . L i g h t w a v e p r i m e r . I E E E J o u r n a l o f Q u a n t u m E l e c t r o n i c s ,

2 1 : 1 8 6 2 1 8 7 9 , D e c e m b e r 1 9 8 5 .

J J 9 6 ] I . J o i n d o t a n d M . J o i n d o t . L e s T l c o m m u n i c a t i o n s p a r F i b r e O p -

t i q u e . C o l l e c t i o n T e c h n i q u e e t S c i e n t i q u e d e s T l c o m m u n i c a t i o n s .

D u n o d , 1 9 9 6 .

L G 8 8 ] R . A . L i n k e a n d A . H . G n a u k . H i g h - c a p a c i t y c o h e r e n t l i g h t w a v e s y s -

t e m s . I E E E J o u r n a l o f L i g h t w a v e T e c h n o l o g y , 6 ( 1 1 ) : 1 7 5 0 1 7 6 9 , N o -

v e m b e r 1 9 8 8 .

L T 7 6 ] A . L i b c h a b e r a n d G . T o u l o u s e . L e r e t o u r d e s s o l i t o n s . L a R e c h e r c h e ,

D e c e m b e r 1 9 7 6 .

M u k 9 2 ] B . M u k h e r j e e . W D M - b a s e d l o c a l l i g h t w a v e n e t w o r k s , P a r t 1 : S i n g l e -

h o p s y s t e m s . I E E E N e t w o r k M a g a z i n e , 6 ( 3 ) : 1 2 2 7 , M a y 1 9 9 2 .

3 3



O ' M 9 3 ] M . J . O ' M a h o n y . O p t i c a l a m p l i e r s . I n J . E . M i d w i n t e r , e d i t o r , P h o -

t o n i c s i n S w i t c h i n g , v o l u m e 1 , p a g e s 1 4 7 1 6 7 . A c a d e m i c P r e s s , S a n

D i e g o , C A , 1 9 9 3 .

P e t 8 8 ] K . P e t e r m a n n . L a s e r D i o d e M o d u l a t i o n a n d N o i s e . K l u w e r A c a d e m i c

P u b l i s h e r s , 1 9 8 8 .

S I 9 6 ] R . S a b e l l a a n d E . I a n n o n e . W a v e l e n g t h c o n v e r s i o n i n o p t i c a l t r a n s -

p o r t n e t w o r k s . J o u r n a l o f F i b e r a n d I n t e g r a t e d O p t i c s , 1 5 ( 3 ) : 1 6 7 1 9 1 ,

1 9 9 6 .

v E v d P 9 1 ] W . v a n E t t e n a n d J . v a n d e r P l a a t s . F u n d a m e n t a l s o f O p t i c a l F i b e r

C o m m u n i c a t i o n s . P r e n t i c e - H a l l , 1 9 9 1 .

W h i 9 5 ] T . J . W h i t l e y . A r e v i e w o f r e c e n t s y s t e m d e m o n s t r a t i o n s i n c o r p o r a t -

i n g 1 . 3 - m p r a s e o d y m i u m - d o p e d u o r i d e b e r a m p l i e r s . I E E E / O S A

J o u r n a l o f L i g h t w a v e T e c h n o l o g y , 1 3 : 7 4 4 7 6 0 , M a y 1 9 9 5 .

W i e 9 6 ] J . M . W i e s e n f e l d . W a v e l e n g t h c o n v e r s i o n t e c h n i q u e s . I n P r o c . o f

O p t i c a l F i b e r C o m m u n i c a t i o n ( O F C ' 9 6 ) , p a g e s 7 1 7 2 , S a n J o s e , C A ,

1 9 9 6 .

W o o 8 8 ] T . H . W o o d . M u l t i p l e Q u a n t u m W e l l ( M Q W ) w a v e g u i d e m o d u l a t o r s .

I E E E J o u r n a l o f L i g h t w a v e T e c h n o l o g y , 6 ( 6 ) : 1 4 3 1 5 7 , J u n e 1 9 8 8 .

Y o o 9 6 ] S . J . B . Y o o . W a v e l e n g t h c o n v e r s i o n t e c h n o l o g i e s f o r W D M n e t w o r k

a p p l i c a t i o n s . I E E E / O S A J o u r n a l o f L i g h t w a v e T e c h n o l o g y , 1 4 : 9 5 5

9 6 6 , J u n e 1 9 9 6 .

3 4



C H A P I T R E 2

P r o b l m a t i q u e e t m o d l i s a t i o n

2 . 1 P r o b l m a t i q u e

U n r s e a u d e c o m m u n i c a t i o n e n b r e o p t i q u e e s t d p l o y s u r u n e r g i o n t r s

t e n d u e p a r u n o p r a t e u r e n t l c o m m u n i c a t i o n s e n t a n t q u ' p i n e d o r s a l e d e s o n

r s e a u g l o b a l . U n p o i n t d ' a c c s e s t r a t t a c h a u r s e a u b r p a r l ' i n t e r m d i a i r e

d ' u n n u d d e r o u t a g e o p t i q u e . D a n s c e c o n t e x t e , u n p o i n t d ' a c c s n e f o u r n i t p a s

n c e s s a i r e m e n t u n e p o r t e d ' e n t r e u n t e r m i n a l p a r t i c u l i e r , m a i s p l u t t u n e

c o l l e c t i o n d e t e r m i n a u x i s s u s d e s o u s - r s e a u x l o c a u x , d o n t l ' a c t i v i t s e t r o u v e

a g r g e , d e m a n i r e c e q u e c h a q u e m e t t e u r o u r c e p t e u r d u p o i n t d ' a c c s

f o n c t i o n n e u n d b i t d e t r a n s m i s s i o n l e c t r o n i q u e .

L e s p o i n t s d ' a c c s a u r s e a u o p t i q u e c o m m u n i q u e n t e n t r e e u x v i a d e s c a n a u x

W D M ( c f . s e c t i o n 1 . 3 . 2 ) , d i t s t o u t - o p t i q u e s c a r i l s n e s u b i s s e n t p a s d e c o n v e r s i o n

l e c t r o n i q u e i n t e r m d i a i r e , e t q u i s o n t g a l e m e n t a p p e l s c h e m i n s o p t i q u e s . U n e

t e l l e l i a i s o n p e u t r e c o u v r i r u n e s r i e d e l i e n s e n b r e o p t i q u e e t f o u r n i r a i n s i u n e

c o n n e x i o n d e t y p e c o m m u t a t i o n d e c i r c u i t s ( c i r c u i t - s w i t c h i n g , e n a n g l a i s ) e n t r e

d e u x s i t e s d i s t a n t s d a n s l a t o p o l o g i e p h y s i q u e . C h a q u e n u d d e r o u t a g e i n t e r -

m d i a i r e d o i t p o u r c e l a p o s s d e r u n e f o n c t i o n d e c o m m u t a t i o n o p t i q u e a d a p t e .

L e s d i r e n t s t y p e s d e c o m m u t a t e u r s o p t i q u e s e x i s t a n t s o n t t p r s e n t s d a n s

l a s e c t i o n 1 . 4 . N o u s n e n o u s i n t r e s s o n s p a s i c i a u x m c a n i s m e s d e c o m m u t a t i o n

p e r m e t t a n t l ' t a b l i s s e m e n t d e s c o n n e x i o n s , m a i s n o u s s u p p o s o n s q u e l e c o n t r l e

d u r s e a u e s t e e c t u d e m a n i r e c e n t r a l i s e e n v u e d ' a s s u r e r d e s l i a i s o n s d u r a b l e s .

P l u s i e u r s a r c h i t e c t u r e s p o u r l e s r s e a u x t o u t - o p t i q u e s o n t t p r o p o s e s d a n s

l a d e r n i r e d c e n n i e . T o u t e s p r s u p p o s e n t c e p e n d a n t l ' u t i l i s a t i o n d e l i e n s e n t r e

l e s n u d s d e r o u t a g e q u i s o n t c o n s t i t u s d e p a i r e s d e b r e s o p t i q u e s u n i d i r e c t i o n -

n e l l e s , p u i s q u e l a p o s e d e c e s b r e s e n p r a t i q u e s ' e e c t u e f a c i l e m e n t d e m a n i r e

s y m t r i q u e . L a d i s t i n c t i o n e n t r e l e s d i r e n t e s a r c h i t e c t u r e s i n t e r v i e n t a u n i v e a u

3 5



d u t y p e d e s n u d s d e c o m m u t a t i o n u t i l i s s . P o u r n o t r e p a r t , n o u s c o n s i d r o n s

l ' u n e d e s a r c h i t e c t u r e s l e s p l u s c o m m u n e s e t l e s p l u s s o u v e n t t u d i e s , p a r e x -

e m p l e d a n s C N W 9 0 , P a n 9 2 , V D 9 3 , R S 9 5 ] , q u i e s t c o n s t i t u e d e n u d s d e c o m -

m u t a t i o n f o r m s p a r t i r d e b r a s s e u r s a v e c m u l t i p l e x e u r s i n s e r t i o n / e x t r a c t i o n

( n u d s W R - O X C a v e c M I E ) , t e l s q u ' i l s s o n t p r s e n t s d a n s l a s e c t i o n 1 . 4 . 2 ( v o i r

g u r e 1 . 1 1 , p a g e 3 0 ) . C e t t e h y p o t h s e p e r m e t a i n s i u n e g r a n d e l i b e r t d e c o m -

m u t a t i o n o p t i q u e , s a n s t o u t e f o i s a u t o r i s e r l a c o n v e r s i o n d e s l o n g u e u r s d ' o n d e , q u i

e s t e n r e v a n c h e p o s s i b l e a v e c l e s b r a s s e u r s c o n v e r t i s s e u r s ( n u d s W T - O X C , v o i r

g u r e 1 . 1 3 , p a g e 3 2 ) .

L ' e n s e m b l e d e n o s t r a v a u x e s t b a s s u r c e t y p e d ' a r c h i t e c t u r e . l ' p o q u e

d e l e u r r d a c t i o n , l e s p o s s i b i l i t s d e c o n v e r s i o n t o u t - o p t i q u e t a i e n t a l o r s e n c o r e

c o n s i d r e s c o m m e r e l a t i v e m e n t i m m a t u r e s e t t r s c o t e u s e s B D O

+

9 8 ] . I l f a u t

c e p e n d a n t n o t e r q u e l a r e c h e r c h e t e c h n o l o g i q u e a c t u e l l e s e f o c a l i s e s u r c e n o u v e l

e n j e u a n d e r e n d r e l e s c o m p o s a n t s d e c o n v e r s i o n u t i l i s a b l e s g r a n d e c h e l l e e t

d a n s u n f u t u r p r o c h e . C e t t e n o u v e l l e p e r s p e c t i v e a m n e d e n o u v e a u x p r o b l m e s

a l g o r i t h m i q u e s n o t a m m e n t s i l e s p o s s i b i l i t s d e c o n v e r s i o n s o n t l i m i t e s q u e

n o u s n ' a v o n s p a s a b o r d s d a n s n o t r e t u d e , s i c e n ' e s t l e c a s d e l a c o n v e r s i o n t o -

t a l e . N o u s i n v i t o n s l e l e c t e u r i n t r e s s p a r l e s p r o b l m e s r s u l t a n t d e l a c o n v e r s i o n

l i m i t e s e r e p o r t e r s u r l e s t r a v a u x G a r 9 8 , A C K P 9 8 a , A C K P 9 8 b , R S 9 8 , K K 9 9 ] .

D a n s c e q u i s u i t , n o u s a l l o n s p r s e n t e r l a m o d l i s a t i o n t h o r i q u e q u i a s e r v i

d e s u p p o r t n o t r e r e c h e r c h e . D a n s u n e c e r t a i n e m e s u r e , e l l e v i s e s i m p l i e r l a

s t r u c t u r e r e l l e d e s r s e a u x o p t i q u e s q u i p e u v e n t s e r v l e r h t r o g n e s , t o u t e n

c o n s e r v a n t c e p e n d a n t l e s c a r a c t r i s t i q u e s e s s e n t i e l l e s d e s p r o b l m e s d i v e r s r e n -

c o n t r s e n p r a t i q u e .

A i n s i , n o u s m o d l i s e r o n s u n r s e a u t o u t - o p t i q u e p a r u n g r a p h e o u m u l t i -

g r a p h e o r i e n t , s y m t r i q u e l a p l u p a r t d u t e m p s , d o n t l e s s o m m e t s r e p r s e n t e r o n t

i n d i r e m m e n t l e s p o i n t s d ' a c c s e t l e s n u d s d e r o u t a g e . D a n s c e c a d r e , c h a q u e

a r c c o r r e s p o n d u n e b r e o p t i q u e u n i d i r e c t i o n n e l l e q u i s u p p o r t e u n n o m b r e x

d e l o n g u e u r s d ' o n d e , q u e n o u s s u p p o s e r o n s u n i f o r m e d a n s t o u t l e r s e a u .

L e t y p e d e c o m m u t a t e u r s r e t e n u d a n s n o s t u d e s ( b r a s s e u r s W R - O X C ) p o s -

s d e l a p r o p r i t d ' t r e s l e c t i f e n l o n g u e u r d ' o n d e . C e l a s i g n i e q u e l e s d i r e n t s

s i g n a u x o p t i q u e s a r r i v a n t s u r u n e m m e b r e d ' e n t r e p e u v e n t t r e d i s t i n g u s

s e l o n l e u r s l o n g u e u r s d ' o n d e e t c o m m u t s c h a c u n s u r u n e b r e d e s o r t i e p a r t i c -

u l i r e . S a n s c o n v e r s i o n o p t i q u e o u o p t o - l e c t r o n i q u e , u n s i g n a l d o i t c o n s e r v e r l a

m m e l o n g u e u r d ' o n d e t o u t l e l o n g d ' u n c h e m i n r e l i a n t l a s o u r c e e t l a d e s t i n a -

t i o n . D e p l u s , c a u s e d e l ' i n t e r f r e n c e l e c t r o - m a g n t i q u e , d e u x s i g n a u x a y a n t l a

m m e l o n g u e u r d ' o n d e n e p e u v e n t p a s t r e t r a n s m i s s u r l a m m e b r e o p t i q u e .

U n e l o n g u e u r d ' o n d e u n i q u e d o i t d o n c t r e r s e r v e s u r t o u s l e s l i e n s d ' u n c h e m i n

3 6



p o u r s a t i s f a i r e u n e r e q u t e d e c o n n e x i o n . C e t t e d e r n i r e c o n t r a i n t e d i s p a r a t e n

c a s d e c o n v e r s i o n p o s s i b l e e n d e s n u d s i n t e r m d i a i r e s .

D a n s l e s r s e a u x o p t i q u e s W D M , l e n o m b r e d e l o n g u e u r s d ' o n d e d i s p o n i b l e s

e s t f o r t e m e n t l i m i t , g n r a l e m e n t d e l ' o r d r e d e l a t r e n t a i n e , e t l e s p e r s p e c t i v e s

f u t u r e s n e l a i s s e n t p a s e n v i s a g e r d e d p a s s e r l ' o r d r e d e l a c e n t a i n e . D e p l u s , l e

c o t e t l a c o m p l e x i t d e s c o m m u t a t e u r s e t d e s m u l t i p l e x e u r s a u g m e n t e n t s i g n i -

c a t i v e m e n t a v e c l e n o m b r e d e l o n g u e u r s d ' o n d e t r a i t e r . C ' e s t p o u r q u o i i l e s t

c r u c i a l d e c h e r c h e r m i n i m i s e r l ' u t i l i s a t i o n d e c e s r e s s o u r c e s o p t i q u e s .

E n g n r a l , l e p r o b l m e s e p o s a n t d a n s u n r s e a u W D M t o u t - o p t i q u e c o n s i s t e

s a t i s f a i r e s i m u l t a n m e n t u n e n s e m b l e d e r e q u t e s d e c o n n e x i o n , a p p e l i n s t a n c e

d e c o m m u n i c a t i o n , q u i e s t f o r m d e c o u p l e s s o u r c e - d e s t i n a t i o n . P o u r c h a c u n e

d e s r e q u t e s , i l s ' a g i t d ' a t t r i b u e r u n c h e m i n d a n s l e r s e a u a i n s i q u ' u n e l o n g u e u r

d ' o n d e , d e m a n i r e r e s p e c t e r l e s c o n t r a i n t e s d u r o u t a g e o p t i q u e f o r m u l e s c i -

d e s s u s .

L ' o b j e c t i f d e c e t t e a l l o c a t i o n d e r e s s o u r c e s e s t d e m i n i m i s e r l e n o m b r e d e

l o n g u e u r s d ' o n d e u t i l i s e s . C e t t e o p t i m i s a t i o n e s t i m p o r t a n t e d e d e u x p o i n t s

d e v u e : d ' u n e p a r t , d a n s l e c a d r e d e l a c o n c e p t i o n e t d u d i m e n s i o n n e m e n t

d ' u n r s e a u o p t i q u e , e n v u e d e s a t i s f a i r e u n e c e r t a i n e d e m a n d e d e t r a c p r v u e

l ' a v a n c e e t a n d e m i n i m i s e r l e c o t g l o b a l d e s q u i p e m e n t s n c e s s a i r e s

( b r e s , b r a s s e u r s , m u l t i p l e x e u r s ) d ' a u t r e p a r t , d a n s u n r s e a u e x i s t a n t , p o u r

g r e r l ' u t i l i s a t i o n d e s r e s s o u r c e s o p t i q u e s e n a s s u r a n t l a p o s s i b i l i t d ' t a b l i r d e

n o u v e l l e s c o n n e x i o n s u l t r i e u r e m e n t .

2 . 2 G r a p h e s e t r s e a u x

U n r s e a u o p t i q u e d e t l c o m m u n i c a t i o n s p e u t s e m o d l i s e r l ' a i d e d ' u n g r a p h e

o u d ' u n m u l t i g r a p h e o r i e n t , t e l s q u e n o u s a l l o n s l e s d n i r f o r m e l l e m e n t . L e s

s o m m e t s r e p r s e n t e n t l e s n u d s d u r s e a u , q u i p e u v e n t t r e d e s p o i n t s d ' a c c s o u

d e s c o m m u t a t e u r s . L e s a r c s r e p r s e n t e n t l e s l i e n s p h y s i q u e s u n i d i r e c t i o n n e l s e n

b r e o p t i q u e . U n c e r t a i n n o m b r e d e p a r a m t r e s u s u e l s e n t h o r i e d e s g r a p h e s s o n t

a s s o c i s d e s p r o p r i t s p h y s i q u e s o u d e s p e r f o r m a n c e s d e s r s e a u x m o d l i s s .

E n r g l e g n r a l e , l e g r a p h e p h y s i q u e d u r s e a u o p t i q u e n e c o m p o r t e p a s d e

s t r u c t u r e p a r t i c u l i r e , h o r m i s u n e c e r t a i n e c o n n e x i t n c e s s a i r e l ' a c h e m i n e m e n t

d u t r a c e t l a s c u r i s a t i o n d u r s e a u . N o t o n s c e p e n d a n t q u e l ' t u d e d e t o p o l o -

g i e s r g u l i r e s p e u t s ' a v r e r i n t r e s s a n t e p a r t i r d u m o m e n t o o n l e s r e t r o u v e

c o m m e s o u s - s t r u c t u r e s d u r s e a u g l o b a l . D e m m e , l ' t u d e d e s c h m a s d e c o m -

m u n i c a t i o n r g u l i e r s , p l u s a i s m e n t f o r m a l i s a b l e s e t s o l u b l e s e n g n r a l , p r s e n t e

u n i n t r t d a n s l a m e s u r e o i l s s e r a p p r o c h e n t d e s i t u a t i o n s r e l l e s .

3 7



2 . 2 . 1 N o t i o n s l m e n t a i r e s d e t h o r i e d e s g r a p h e s

N o u s d o n n o n s s e u l e m e n t l e s d n i t i o n s n c e s s a i r e s p a r l a s u i t e . L e l e c t e u r p o u r r a

t r o u v e r l e s n o t i o n s n o n r a p p e l e s i c i d a n s l e l i v r e d e l ' a c t i o n R U M E U R d R 9 4 ] ,

d a n s l e s l i v r e s d e t h o r i e d e s g r a p h e s d e B e r g e B e r 8 3 ] , d e B o n d y e t M u r t y B M 7 6 ]

o u d a n s l ' o u v r a g e d e L e i g h t o n c o n s a c r a u p a r a l l l i s m e L e i 9 2 ] .

D n i t i o n s

- U n g r a p h e o r i e n t ( d i g r a p h e n a n g l a i s ) G = ( V ( G ) A ( G ) ) e s t c o n s t i t u

d ' u n e n s e m b l e n i V ( G ) = f x

1

x

2

: : : x

N

g d ' l m e n t s , a p p e l s s o m m e t s ,

e t d ' u n e f a m i l l e n i e A ( G ) = f a

1

a

2

: : : a

m

g d e r e p r s e n t a n t s d e c o u p l e s

d e s o m m e t s , a p p e l s a r c s .

- N o t o n s q u ' u n c o u p l e d e s o m m e t s ( x y ) 2 V ( G ) V ( G ) p e u t t r e r e p r s e n t

p l u s i e u r s f o i s d a n s l a f a m i l l e A ( G ) o n p a r l e a l o r s d ' a r c m u l t i p l e ( x y ) e t

d e m u l t i g r a p h e G .

- U n g r a p h e n o n o r i e n t G = ( V ( G ) E ( G ) ) e s t c o n s t i t u d ' u n e n s e m b l e

n i V ( G ) d e s o m m e t s e t d ' u n e f a m i l l e n i e E ( G ) = f e

1

e

2

: : : e

m

g d e

r e p r s e n t a n t s d e p a i r e s d e s o m m e t s , a p p e l e s a r t e s .

- L e n o m b r e d e s o m m e t s d ' u n ( m u l t i ) g r a p h e ( o r i e n t o u n o n ) e s t a p p e l

l ' o r d r e d u g r a p h e , e t e s t n o t N .

- S i a = ( x y ) e s t u n a r c , a l o r s x e s t s o n e x t r m i t i n i t i a l e e t y s o n

e x t r m i t f i n a l e .

- S i a = ( x y ) e s t u n a r c , l e s o m m e t y e s t u n s u c c e s s e u r d u s o m m e t x

e t x e s t u n p r d c e s s e u r d e y . O n s ' a u t o r i s e d i r e g a l e m e n t q u e y e s t

a d j a c e n t x .

- S i e = f x y g e s t u n e a r t e , l e s s o m m e t s x e t y s o n t d i t s a d j a c e n t s l ' u n

l ' a u t r e e t l ' a r t e e e s t d i t e i n c i d e n t e x e t y .

- N o u s a p p e l l e r o n s p a r l a s u i t e l i e n s l e s a r c s o u l e s a r t e s d ' u n g r a p h e , q u ' i l

s o i t o r i e n t o u n o n .

- U n g r a p h e o r i e n t e s t d i t s y m t r i q u e s i l ' e x i s t e n c e d ' u n a r c a = ( x y )

i m p l i q u e l ' e x i s t e n c e d e l ' a r c a

0

= ( y x ) .

- O n n o t e G

l e g r a p h e o r i e n t s y m t r i q u e o b t e n u p a r t i r d ' u n g r a p h e n o n

o r i e n t G e n p r e n a n t d a n s A ( G

) l e s a r c s a = ( x y ) e t a

0

= ( y x ) p o u r

c h a q u e a r t e e = f x y g d e E ( G ) .

- U n a r c d e l a f o r m e ( x x ) o u u n e a r t e d e l a f o r m e

f x x

g e s t a p p e l ( e )

b o u c l e .

3 8



- U n ( m u l t i ) g r a p h e n e c o m p o r t a n t n i b o u c l e , n i a r c o u a r t e m u l t i p l e , e s t

a p p e l g r a p h e s i m p l e .

- N o u s a p p e l l e r o n s p a r l a s u i t e g r a p h e s ( s a n s a u t r e a d j e c t i f ) l e s g r a p h e s

s i m p l e s n o n o r i e n t s .

- O n a p p e l l e d e g r s o r t a n t ( r e s p . e n t r a n t ) d ' u n s o m m e t x d a n s u n g r a p h e

o r i e n t , n o t d

+

( x ) ( r e s p . d

;

( x ) ) l e n o m b r e d ' a r c s d ' e x t r m i t i n i t i a l e ( r e s p .

n a l e ) x .

- O n a p p e l l e d e g r d ' u n s o m m e t x d a n s u n g r a p h e , n o t d ( x ) , l e n o m b r e

d ' a r t e s i n c i d e n t e s x .

- O n a p p e l l e d e g r m a x i m u m ( r e s p . m i n i m u m ) d ' u n g r a p h e , n o t ( r e s p . ) ,

l e m a x i m u m ( r e s p . m i n i m u m ) d e s d e g r s d e s s o m m e t s .

- O n a p p e l l e c h e m i n ( d i p a t h e n a n g l a i s ) d a n s u n g r a p h e o r i e n t u n e s u i t e

P = ( a

1

a

2

: : : a

q

) d ' a r c s , t e l l e q u e l ' e x t r m i t n a l e d e a

i

e s t l ' e x t r m i t

i n i t i a l e d e a

i + 1

, p o u r 1 i < q . L a l o n g u e u r d u c h e m i n P e s t a l o r s l e

n o m b r e d ' a r c s q u i l e c o m p o s e n t .

- O n p e u t g a l e m e n t d n i r u n c h e m i n P = ( a

1

a

2

: : : a

q

) d a n s u n g r a p h e

o r i e n t s i m p l e p a r l a s u i t e d e s s o m m e t s ( x

0

x

1

: : : x

q

) , t e l l e q u e a

i

=

( x

i ; 1

x

i

) . O n d i t a l o r s q u e P e s t u n c h e m i n d e x

0

v e r s x

q

.

- O n a p p e l l e c h a n e ( p a t h e n a n g l a i s ) d a n s u n g r a p h e u n e s u i t e P = ( e

1

e

2

: : : e

q

) d ' a r t e s , t e l l e q u e d e u x a r t e s c o n s c u t i v e s s o n t i n c i d e n t e s u n

m m e s o m m e t . L a l o n g u e u r d e l a c h a n e P e s t a l o r s l e n o m b r e d ' a r t e s

q u i l a c o m p o s e n t .

- O n s ' a u t o r i s e p a r l a s u i t e a p p e l e r u n e c h a n e u n c h e m i n , l a d i s t i n c t i o n

d p e n d a n t d e l a n a t u r e d u g r a p h e c o n s i d r .

- U n c h e m i n q u i n e c o m p o r t e p a s d e u x f o i s l e m m e l i e n e s t d i t s i m p l e . U n

c h e m i n q u i n e c o m p o r t e p a s d e u x f o i s l e m m e s o m m e t e s t d i t l m e n t a i r e .

- O n a p p e l l e d i s t a n c e e n t r e d e u x s o m m e t s x e t y d a n s u n g r a p h e ( o r i e n t

o u n o n ) , n o t e d ( x y ) , l a l o n g u e u r m i n i m a l e d ' u n c h e m i n d e x v e r s y .

- O n a p p e l l e d i a m t r e d ' u n g r a p h e ( o r i e n t o u n o n ) , n o t D , l e m a x i m u m

d e s d i s t a n c e s e n t r e l e s s o m m e t s .

- O n a p p e l l e c i r c u i t d a n s u n g r a p h e o r i e n t u n c h e m i n d ' u n s o m m e t v e r s

l u i - m m e .

- O n a p p e l l e c y c l e d a n s u n g r a p h e u n e c h a n e d ' u n s o m m e t v e r s l u i - m m e .

3 9



- U n g r a p h e o r i e n t e s t d i t f o r t e m e n t c o n n e x e s ' i l e x i s t e u n c h e m i n d e t o u t

s o m m e t v e r s t o u t a u t r e s o m m e t .

- U n g r a p h e e s t d i t c o n n e x e s ' i l e x i s t e u n e c h a n e e n t r e t o u t e p a i r e d e s o m -

m e t s .

C o n s t r u c t i o n s c l a s s i q u e s

- L a s o m m e c a r t s i e n n e ( c a r t e s i a n p r o d u c t e n a n g l a i s ) d e d e u x g r a p h e s s i m -

p l e s o r i e n t s G = ( V A ) e t G

0

= ( V

0

A

0

) , n o t e G 2 G

0

, e s t l e g r a p h e a y a n t

p o u r e n s e m b l e d e s o m m e t s l e p r o d u i t c a r t s i e n V V

0

e t p o u r e n s e m b l e

d ' a r c s l e s c o u p l e s ( ( x x

0

) ( y y

0

) ) t e l s q u e x = y e t ( x

0

y

0

) 2 A

0

o u t e l s q u e

x

0

= y

0

e t ( x y ) 2 A . L a s o m m e c a r t s i e n n e d e d e u x g r a p h e s n o n - o r i e n t s

s e d n i t d e m a n i r e a n a l o g u e .

- S o i e n t ; u n g r o u p e d o n t l a l o i d e c o m p o s i t i o n e s t n o t e m u l t i p l i c a t i v e -

m e n t e t S u n e n s e m b l e ( o u s y s t m e ) d e g n r a t e u r s d e ; n e c o n t e n a n t p a s

l ' l m e n t n e u t r e e d e ; . A l o r s l e g r a p h e d e C a y l e y o r i e n t s u r ; m u n i

d u s y s t m e d e g n r a t e u r s S , n o t G ( ; S ) , e s t d n i p a r :

- l ' e n s e m b l e d e s s o m m e t s e s t ; ,

- l ' e n s e m b l e d e s a r c s e s t c o n s t i t u d e s c o u p l e s ( x s x ) , p o u r x

2 ; e t

s 2 S .

2 . 2 . 2 R s e a u x u s u e l s

N o u s d n i s s o n s i c i c e r t a i n s g r a p h e s c l a s s i q u e s q u i s o n t l e p l u s s o u v e n t t u d i s .

D a n s l e c a d r e d e s r s e a u x o p t i q u e s , i l s ' a g i r a d e c o n s i d r e r l e s g r a p h e s o r i e n t s

s y m t r i q u e s a s s o c i s .

- O n n o t e C

N

l e c y c l e ( o u a n n e a u ) ( l m e n t a i r e ) d ' o r d r e N , d e l o n g u e u r N

( v o i r g u r e 2 . 1 ) .

- O n n o t e P

N

l a c h a n e ( l m e n t a i r e ) d ' o r d r e N , d e l o n g u e u r N ; 1 .

- O n n o t e K

N

l e g r a p h e c o m p l e t d ' o r d r e N , a y a n t N s o m m e t s d e u x d e u x

a d j a c e n t s ( v o i r g u r e 2 . 1 ) .

- O n n o t e H

n

l ' h y p e r c u b e d e d i m e n s i o n n , d ' o r d r e N = 2

n

, q u i e s t l a s o m m e

c a r t s i e n n e d e n c o p i e s d u g r a p h e K

2

. I l s e d n i t r c u r s i v e m e n t p a r t i r

d e K

2

:

H

n

= K

2

2 H

n ; 1

= K

2

2 K

2

2 2 K

2

| { z }

n f o i s

I l p e u t g a l e m e n t s e d n i r c o m m e l e g r a p h e d o n t l e s s o m m e t s s o n t l e s m o t s

d e l o n g u e u r n s u r l ' a l p h a b e t

f 0 1

g , t e l q u e d e u x s o m m e t s s o n t a d j a c e n t s s i

e t s e u l e m e n t s i l e u r s m o t s d i r e n t e n u n e s e u l e l e t t r e ( v o i r g u r e 2 . 2 ) .

4 0



F i g u r e 2 . 1 : C y c l e C

6

e t g r a p h e c o m p l e t K

6

.

0000

1000

0101

0010

0111

1111

11101101

110010101001

1011

0110

01000001

0011

F i g u r e 2 . 2 : H y p e r c u b e H

4

.

- O n n o t e M ( p

1

p

2

: : : p

n

) l a g r i l l e ( m e s h e n a n g l a i s ) d e d i m e n s i o n n ,

d ' o r d r e N =

Q

n

i = 1

p

i

, q u i e s t l a s o m m e c a r t s i e n n e d e s n c h a n e s P

p

i

( i =

1 2 : : : n ) , s o i t P

p

1

2 P

p

2

2 2 P

p

n

( v o i r g u r e 2 . 3 ) .

- O n n o t e T M ( l

1

l

2

: : : l

n

) l a g r i l l e t o r i q u e ( t o r o i d a l m e s h e n a n g l a i s )

o u t o r e d e d i m e n s i o n n , d ' o r d r e N =

Q

n

i = 1

l

i

, q u i e s t l a s o m m e c a r t s i e n n e

d e s n c y c l e s C

l

i

( i = 1 2 : : : n ) , s o i t C

l

1

2 C

l

2

2 2 C

l

n

( v o i r g u r e 2 . 3 ) .

- U n a r b r e d e c y c l e s e s t u n g r a p h e f o r m p a r u n e u n i o n d e c y c l e s q u i

s ' i n t e r s e c t e n t d e u x - - d e u x e n a u p l u s u n s o m m e t , e t t e l q u e d e u x s o m m e t s

q u e l c o n q u e s p e u v e n t t r e r e l i s p a r e x a c t e m e n t d e u x c h e m i n s a r t e - d i s j o i n t s

( v o i r g u r e 2 . 4 ) .

4 1



F i g u r e 2 . 3 : G r i l l e M ( 5 4 ) e t t o r e T M ( 5 4 ) .

F i g u r e 2 . 4 : A r b r e d e c y c l e s .

2 . 3 O p t i m i s a t i o n e t a p p r o x i m a t i o n

U n p r o b l m e d ' o p t i m i s a t i o n P e s t d o n n p a r p a r u n e n s e m b l e I d ' i n s t a n c e s ( e n -

t r e s ) , u n e n s e m b l e S d e s o l u t i o n s ( s o r t i e s ) , u n e f o n c t i o n s : I ! P ( S ) d e s

i n s t a n c e s v e r s l e s p a r t i e s d e s s o l u t i o n s a c c e p t a b l e s , u n e f o n c t i o n v a l : I S ! N

m e s u r a n t l a q u a l i t v a l ( I S ) d e l a s o l u t i o n S 2 s ( I ) p o u r l ' i n s t a n c e I , e t u n

o b j e c t i f m i n o u m a x . S i l ' o b j e c t i f e s t m i n ( r e s p . m a x ) , o n s o u h a i t e t r o u v e r

u n e s o l u t i o n S 2 s ( I ) q u i m i n i m i s e ( r e s p . m a x i m i s e ) v a l ( I S ) . N o u s n e c o n -

s i d r o n s q u e d e s p r o b l m e s d ' o p t i m i s a t i o n p o u r l e s q u e l s i l e s t f a c i l e d e v r i e r

l ' a p p a r t e n a n c e I , l ' a p p a r t e n a n c e u n e p a r t i e d e s o l u t i o n s a c c e p t a b l e s , e t d e

c a l c u l e r l a f o n c t i o n v a l . D a v a n t a g e d e d t a i l s s u r l e s d n i t i o n s f o r m e l l e s d e

c e s p r o b l m e s p e u v e n t t r e t r o u v s d a n s M P S 9 8 ] . L o r s q u e n o u s a b o r d e r o n s p a r

l a s u i t e d e s p r o b l m e s p a r t i c u l i e r s d ' o p t i m i s a t i o n , n o u s l e s p r s e n t e r o n s p a r f o i s

4 2



d ' u n e m a n i r e p l u s i n f o r m e l l e , e n g a r d a n t t o u t e f o i s l ' e s p r i t c e s d n i t i o n s .

N o u s r a p p e l o n s q u ' u n p r o b l m e d e d c i s i o n P e s t N P - c o m p l e t s ' i l e s t d a n s l a

c l a s s e d e c o m p l e x i t N P e t s ' i l e x i s t e u n e r d u c t i o n p o l y n m i a l e d e t o u t a u t r e

p r o b l m e d e N P v e r s P . L a v e r s i o n d c i s i o n n e l l e d ' u n p r o b l m e d ' o p t i m i s a t i o n P

e s t l e p r o b l m e d e d c i s i o n o b t e n u e n a j o u t a n t u n e n t i e r K l ' i n s t a n c e I e t e n s e

d e m a n d a n t E x i s t e - t - i l u n e s o l u t i o n S 2 s ( I ) t e l l e q u e v a l ( I S ) K ? d a n s l e

c a s d ' u n p r o b l m e d e m a x i m i s a t i o n , o u b i e n E x i s t e - t - i l u n e s o l u t i o n S 2 s ( I ) t e l l e

q u e v a l ( I S ) K ? d a n s l e c a s d ' u n p r o b l m e d e m i n i m i s a t i o n . U n p r o b l m e

d ' o p t i m i s a t i o n e s t d i t N P - d u r o u N P - d i c i l e s i s a v e r s i o n d c i s i o n n e l l e e s t N P -

c o m p l t e . N o u s i n v i t o n s l e l e c t e u r i n t r e s s s e r f r e r a u l i v r e d e G a r e y e t

J o h n s o n G J 7 9 ] p o u r u n e i n t r o d u c t i o n l a t h o r i e d e l a N P - c o m p l t u d e .

P o u r u n p r o b l m e d ' o p t i m i s a t i o n d o n n , u n a l g o r i t h m e q u i s ' e x c u t e e n t e m p s

p o l y n m i a l e t q u i p r o d u i t t o u j o u r s u n e s o l u t i o n o p t i m a l e e s t d i t e x a c t , o u s i m -

p l e m e n t o p t i m a l . L ' e x i s t e n c e d ' u n a l g o r i t h m e e x a c t p o u r u n p r o b l m e N P - d u r

i m p l i q u e r a i t l ' g a l i t P = N P . P a r c o n s q u e n t , l e s a l g o r i t h m e s p o l y n m i a u x

d ' a p p r o x i m a t i o n s o n t i n t r e s s a n t s p o u r l e s p r o b l m e s d ' o p t i m i s a t i o n N P - d u r s .

U n a l g o r i t h m e d ' a p p r o x i m a t i o n A p o u r u n p r o b l m e d ' o p t i m i s a t i o n P e s t u n

a l g o r i t h m e d t e r m i n i s t e d o n t l e t e m p s d ' e x c u t i o n e s t p o l y n m i a l e n l a t a i l l e d e

l ' e n t r e e t q u i r e n d t o u j o u r s u n e s o l u t i o n a c c e p t a b l e . N o t o n s O P T ( I ) l a v a l e u r

d ' u n e s o l u t i o n o p t i m a l e , i . e . , O P T ( I ) = m a x

S 2 s ( I )

v a l ( I S ) p o u r l e s p r o b l m e s

d e m a x i m i s a t i o n e t O P T ( I ) = m i n

S 2 s ( I )

v a l ( I S ) p o u r l e s p r o b l m e s d e m i n i -

m i s a t i o n . D a n s l e p r e m i e r c a s , o n d i t q u e l ' a l g o r i t h m e A p o s s d e u n f a c t e u r

d ' a p p r o x i m a t i o n ( a b s o l u ) s i O P T ( I ) = v a l ( I A ( I ) ) p o u r t o u t e i n s t a n c e I ,

A ( I ) r e p r s e n t a n t l a s o r t i e d e A s u r l ' e n t r e I . D a n s l e s e c o n d c a s , l a c o n d i t i o n

e s t v a l ( I A ( I ) ) = O P T ( I ) .

P a r f o i s i l p e u t t r e i n t r e s s a n t d e c o n s i d r e r l e c o m p o r t e m e n t a s y m p t o t i q u e

d ' u n a l g o r i t h m e d ' a p p r o x i m a t i o n . P o u r u n p r o b l m e d e m a x i m i s a t i o n , u n a l g o -

r i t h m e A p o s s d e u n f a c t e u r d ' a p p r o x i m a t i o n a s y m p t o t i q u e s i l i m s u p

O P T ( I ) ! 1

A ( I ) = O P T ( I ) . P o u r u n p r o b l m e d e m i n i m i s a t i o n , l a c o n d i t i o n r e q u i s e

e s t l i m s u p

O P T ( I ) ! 1

O P T ( I ) = A ( I ) . U n e p r s e n t a t i o n g n r a l e d e s a l g o -

r i t h m e s d ' a p p r o x i m a t i o n p o u r l e s p r o b l m e s N P - d u r s p e u t t r e t r o u v e d a n s

l e l i v r e H o c 9 7 ] p u b l i p a r H o c h b a u m .

L e s a l g o r i t h m e s d ' a p p r o x i m a t i o n r e q u i r e n t h a b i t u e l l e m e n t q u e l ' e n t r e s o i t

d o n n e e n t i r e m e n t l ' a v a n c e , e t d a n s c e c a s i l s s o n t a p p e l s s t a t i q u e s ( o - l i n e , e n

a n g l a i s ) . P o u r l e s p r o b l m e s d ' o p t i m i s a t i o n c o n s i d r s d a n s c e t t e t h s e , l ' e n t r e

c o n s i s t e g n r a l e m e n t e n u n e n s e m b l e o u u n e c o l l e c t i o n d e r e q u t e s d e c o m m u -

n i c a t i o n . E n r e v a n c h e , p o u r c e r t a i n e s a p p l i c a t i o n s i l e s t r a l i s t e d e s u p p o s e r q u e

l e s r e q u t e s s e p r s e n t e n t a u f u r e t m e s u r e e t l ' a l g o r i t h m e d o i t l e s t r a i t e r s a n s

4 3



c o n n a t r e l e s r e q u t e s v e n i r . D e t e l s a l g o r i t h m e s s o n t a p p e l s d y n a m i q u e s ( o n -

l i n e , e n a n g l a i s ) . P o u r d ' a u t r e s a p p l i c a t i o n s e n c o r e , l ' e n s e m b l e d e s r e q u t e s e s t

c o n n u l ' a v a n c e , m a i s l a d u r e d ' u n e c o m m u n i c a t i o n e s t i n c o n n u e j u s q u ' s a n .

U n e i n t r o d u c t i o n a u x a l g o r i t h m e s d y n a m i q u e s e t u n t a t - d e - l ' a r t p e u v e n t t r e

t r o u v s d a n s l e l i v r e d e B o r o d i n e t E l - Y a n i v B E Y 9 8 ] e t d a n s c e l u i p u b l i p a r

F i a t e t W o e g i n g e r F W 9 8 ] .

2 . 4 F o r m u l a t i o n d e s p r o b l m e s t u d i s

N o u s s o m m e s p r s e n t e n m e s u r e d e d n i r l e s p r o b l m e s d ' o p t i m i s a t i o n t u d i s

d a n s l e c h a p i t r e s u i v a n t e t l e s a n n e x e s . C e s p r o b l m e s s o n t r e l i s l ' a l l o c a t i o n

d e s r e s s o u r c e s p o u r d e s r e q u t e s d e c o n n e x i o n d a n s u n r s e a u d e c o m m u n i c a t i o n

o p t i q u e . U n r s e a u d o n n e s t m o d l i s p a r u n g r a p h e o u m u l t i g r a p h e o r i e n t

G = ( V A ) . L e s s o m m e t s c o r r e s p o n d e n t a u x n u d s d u r s e a u e t l e s a r c s a u x

l i e n s p h y s i q u e s e n b r e o p t i q u e . L a p l u p a r t d u t e m p s , l e s g r a p h e s t u d i s s e r o n t

o r i e n t s s y m t r i q u e s . L e u r g r a p h e n o n - o r i e n t a s s o c i p o u r r a a l o r s t r e c o n s i d r

g a l e m e n t , p a r s o u c i d e s i m p l i c i t .

D a n s l e u r g n r a l i t , l e s p r o b l m e s s e p o s a n t d a n s l e s r s e a u x W D M t o u t -

o p t i q u e s c o n s i s t e n t s a t i s f a i r e s i m u l t a n m e n t u n e n s e m b l e d e r e q u t e s d e c o n -

n e x i o n , a p p e l i n s t a n c e , f o r m d e c o u p l e s d e n u d s . P o u r c h a q u e r e q u t e , i l s ' a g i t

d ' a t t r i b u e r u n c h e m i n d a n s l e r s e a u e t d ' a l l o u e r u n e l o n g u e u r d ' o n d e , s o i t t o u t l e

l o n g d u c h e m i n , s o i t s u r c h a q u e l i e n f o r m a n t l e c h e m i n e n c a s d e c o n v e r s i o n p o s s i -

b l e , d e m a n i r e c e q u e d e u x r e q u t e s d i s t i n c t e s n ' u t i l i s e n t p a s l a m m e l o n g u e u r

d ' o n d e s u r l e m m e l i e n . L ' o b j e c t i f d a n s c e c a d r e e s t d e m i n i m i s e r l ' u t i l i s a t i o n d e s

r e s s o u r c e s o p t i q u e s , c ' e s t - - d i r e l e n o m b r e t o t a l d e l o n g u e u r s d ' o n d e p e r m e t t a n t

d e s a t i s f a i r e l ' i n s t a n c e d o n n e .

L e s p r e m i r e s t u d e s d a n s l a l i t t r a t u r e o n t r e p r s e n t l e s r s e a u x o p t i q u e s

p a r d e s g r a p h e s n o n - o r i e n t s . C e t t e m o d l i s a t i o n n e c o r r e s p o n d p a s p r c i s m e n t

l a r a l i t p h y s i q u e , p u i s q u e l e s c o m m u n i c a t i o n s o p t i q u e s s o n t u n i d i r e c t i o n -

n e l l e s , m a i s e l l e p e u t t r e p r i s e e n c o n s i d r a t i o n s o u s l e s h y p o t h s e s r e s t r i c t i v e s

s u i v a n t e s :

R e m a r q u e . L e m o d l e n o n - o r i e n t d e s r s e a u x d e c o m m u n i c a t i o n t o u t -

o p t i q u e s c o r r e s p o n d a u c a s o l e s r e q u t e s d e c o n n e x i o n s o n t s y m t r i q u e s e t

s o u s l a c o n t r a i n t e d ' t r e r o u t e s d e u x - - d e u x p a r d e s c h e m i n s s y m t r i q u e s e t s u r

l a m m e l o n g u e u r d ' o n d e .

L e s p r o b l m e s d ' o p t i m i s a t i o n d n i s d a n s t o u t e c e t t e s e c t i o n p e u v e n t t r e

t u d i s p o u r l e s d i r e n t e s v a r i a n t e s d e g r a p h e s ( o r i e n t s , o r i e n t s s y m t r i q u e s ,

4 4



o r i e n t s n o n - s y m t r i q u e s , n o n - o r i e n t s ) .

2 . 4 . 1 P r o b l m e d u r o u t a g e t o u t - o p t i q u e

D a n s u n r s e a u t o u t - o p t i q u e , u n e r e q u t e d e c o n n e x i o n e n t r e u n n u d u e t u n

n u d v e s t r e p r s e n t e p a r l e c o u p l e ( u v ) . E l l e e s t t a b l i e e n r s e r v a n t u n e

l o n g u e u r d ' o n d e s u r t o u s l e s l i e n s d ' u n c h e m i n d e u v e r s v . L e s c h e m i n s c o r r e s -

p o n d a n t a u x d i r e n t e s c o n n e x i o n s n e d o i v e n t p a s u t i l i s e r l a m m e l o n g u e u r

d ' o n d e s u r l e m m e l i e n . S i l e s c o m m u t a t e u r s n e p e r m e t t e n t p a s d e c o n v e r s i o n

( d o n c d e t y p e W R - O X C ) , u n e c o n n e x i o n d o i t u t i l i s e r l a m m e l o n g u e u r d ' o n d e

t o u t l e l o n g d u c h e m i n d e l a s o u r c e v e r s l a d e s t i n a t i o n .

N o u s a p p e l o n s p r o b l m e d u r o u t a g e ( t o u t - ) o p t i q u e l e p r o b l m e d e l ' a l l o c a t i o n

d e s c h e m i n s e t d e s l o n g u e u r s d ' o n d e ( o u c o u l e u r s ) p o u r u n e c o l l e c t i o n d e r e q u t e s

( i n s t a n c e ) d a n s l e s r s e a u x t o u t - o p t i q u e s s a n s c o n v e r s i o n .

P R O B L M E d u R o u t a g e O p t i q u e

E n t r e : u n ( m u l t i ) g r a p h e G e t u n e i n s t a n c e I d e r e q u t e s d a n s G

S o r t i e : u n e a l l o c a t i o n d e c h e m i n s e t d e c o u l e u r s a u x r e q u t e s , t e l l e q u e

d e u x c h e m i n s u t i l i s a n t l e m m e l i e n o n t d e u x c o u l e u r s d i r e n t e s

O b j e c t i f : m i n i m i s e r l e n o m b r e d e c o u l e u r s u t i l i s e s

O n n o t e ~ w ( G I ) l e n o m b r e d e c o u l e u r s d ' u n e s o l u t i o n o p t i m a l e s i l e g r a p h e G

e s t o r i e n t , e t w ( G I ) s i l e g r a p h e G e s t n o n - o r i e n t .

L ' a l l o c a t i o n d e c h e m i n s a u x r e q u t e s d e l ' i n s t a n c e d o n n e e s t a p p e l e r o u t a g e .

P a r a b u s d e l a n g a g e , l e t e r m e r o u t a g e d s i g n e g a l e m e n t l ' e n s e m b l e d e s c h e m i n s

a i n s i f o r m s . N o t o n s q u e l e r o u t a g e d o i t t r e c a l c u l e t f o u r n i e n s o r t i e . S i

l e r o u t a g e e s t d o n n c o m m e u n e p a r t i e d e l ' e n t r e ( a u l i e u d e p e r m e t t r e

l ' a l g o r i t h m e d e l e c h o i s i r ) , o n o b t i e n t u n p r o b l m e d e c o l o r a t i o n d e c h e m i n s .

C e c i r e v i e n t r s o u d r e l e p r o b l m e d e l a c o l o r a t i o n d e s s o m m e t s d u g r a p h e d e

c o n i t a s s o c i , d e t e l l e m a n i r e q u e d e u x s o m m e t s a d j a c e n t s s o n t c o l o r s d i r e m -

m e n t . L e n o m b r e m i n i m u m d e c o u l e u r s n c e s s a i r e s p o u r c o l o r e r l e s s o m m e t s d ' u n

g r a p h e e s t a p p e l n o m b r e c h r o m a t i q u e .

D f i n i t i o n . L e g r a p h e d e c o n f l i t a s s o c i u n r o u t a g e R d a n s u n g r a p h e G

( o r i e n t o u n o n ) e s t l e g r a p h e n o n - o r i e n t d o n t l e s s o m m e t s r e p r s e n t e n t l e s

c h e m i n s d e R e t t e l q u e d e u x s o m m e t s s o n t a d j a c e n t s s i e t s e u l e m e n t s i l e s

c h e m i n s c o r r e s p o n d a n t s p a r t a g e n t u n l i e n d e G .

O n n o t e ~ w ( G I R ) ( r e s p . w ( G I R ) ) l e n o m b r e c h r o m a t i q u e d u g r a p h e d e

c o n i t d ' u n r o u t a g e R r a l i s a n t u n e i n s t a n c e I d a n s u n g r a p h e o r i e n t G ( r e s p .

4 5



n o n - o r i e n t ) . A i n s i ~ w ( G I ) = m i n

R

~ w ( G I R ) , e t d e m m e p o u r w ( G I ) .

P o u r l e s g r a p h e s q u i s o n t d e s a r b r e s , l e r o u t a g e o p t i q u e e t l a c o l o r a t i o n d e

c h e m i n s s o n t d e u x p r o b l m e s q u i v a l e n t s , p u i s q u e u n c h e m i n l m e n t a i r e a s s o c i

u n e r e q u t e q u e l c o n q u e e s t u n i q u e . L a g u r e 2 . 5 m o n t r e u n e x e m p l e s i m p l e

d ' i n s t a n c e d e r e q u t e s d a n s u n a r b r e o r i e n t s y m t r i q u e s i x s o m m e t s , c h a q u e

l i e n r e p r s e n t a n t u n e p a i r e d ' a r c s s y m t r i q u e s . C i n q c h e m i n s s o n t d e s s i n s c o r r e -

s p o n d a n t a u x r e q u t e s ( 0 2 ) , ( 1 3 ) , ( 4 3 ) , ( 4 5 ) e t ( 0 5 ) . U n e c o l o r a t i o n c o r r e c t e

p o s s i b l e a t t r i b u e c e s c h e m i n s l e s c o u l e u r s v e r t , r o u g e , v e r t , r o u g e e t b l e u , r e -

s p e c t i v e m e n t . E n o u t r e , t r o i s c o u l e u r s s o n t e e c t i v e m e n t n c e s s a i r e s p u i s q u e l e

g r a p h e d e c o n i t e s t u n c y c l e d e l o n g u e u r i m p a i r e .

0 3

1 2

45

(1,3)

(4,5) (4,3)

(0,2)

(0,5)

F i g u r e 2 . 5 : U n r o u t a g e d a n s u n a r b r e e t s o n g r a p h e d e c o n i t a s s o c i .

L e p r o b l m e d u r o u t a g e o p t i q u e v a u t l a p e i n e d ' t r e t u d i d a n s l e c a d r e

d e l a c o n c e p t i o n e t d u d i m e n s i o n n e m e n t d ' u n r s e a u o p t i q u e , e n v u e d e s a t i s -

f a i r e u n e c e r t a i n e d e m a n d e d e t r a c p r v u e l ' a v a n c e . D e m m e , i l e s t d i g n e

d ' i n t r t d a n s u n r s e a u p o s s d a n t u n e b a n d e p a s s a n t e o p t i q u e s u s a n t e p o u r

s a t i s f a i r e u n e n s e m b l e d e r e q u t e s d e c o n n e x i o n , e n v u e d e m i n i m i s e r l ' u t i l i s a t i o n

d e s r e s s o u r c e s o p t i q u e s , q u i s e r v l e n t l i m i t e s p a r l a t e c h n o l o g i e , e t d ' a s s u r e r

a i n s i l a p o s s i b i l i t d ' t a b l i r d e n o u v e l l e s c o n n e x i o n s u l t r i e u r e m e n t .

C e p e n d a n t , l a s i t u a t i o n e s t d i r e n t e d a n s u n r s e a u o p t i q u e q u i n ' a p a s l a c a -

p a c i t s u s a n t e p o u r s a t i s f a i r e t o u t u n e n s e m b l e d e r e q u t e s s i m u l t a n m e n t . P l u s

e x a c t e m e n t , c e c i s e p r o d u i t l o r s q u e l e n o m b r e d e l o n g u e u r s d ' o n d e d i s p o n i b l e s e s t

p l u s p e t i t q u e l e n o m b r e n c e s s a i r e . I l p e u t a l o r s t r e s o u h a i t a b l e d e s a t i s f a i r e

u n s o u s - e n s e m b l e d e l ' i n s t a n c e i n i t i a l e , l e b u t t a n t d e m a x i m i s e r s o n c a r d i n a l .

P R O B L M E d u R o u t a g e O p t i q u e M a x i m u m

4 6



E n t r e : u n ( m u l t i ) g r a p h e G , u n e i n s t a n c e I d e r e q u t e s d a n s G e t u n

e n t i e r W > 0

S o r t i e : u n e p a r t i e I

0

I e t u n e a l l o c a t i o n a u x r e q u t e s d e I

0

d e c h e m i n s

e t d e c o u l e u r s p a r m i W p o s s i b l e s , t e l l e q u e d e u x c h e m i n s u t i l i s a n t

l e m m e l i e n o n t d e u x c o u l e u r s d i r e n t e s

O b j e c t i f : m a x i m i s e r l e c a r d i n a l d e I

0

R e m a r q u e . U n e a u t r e p o s s i b i l i t d e r o u t a g e , s i l e n o m b r e d e l o n g u e u r s d ' o n d e

e s t i n s u s a n t , c o n s i s t e r a l i s e r l ' i n s t a n c e d e c o m m u n i c a t i o n e n p l u s i e u r s t a p e s

s u c c e s s i v e s . S i l ' o n c o n s e r v e u n r o u t a g e t o u t - o p t i q u e e n t r e l e s s o u r c e s e t l e s

d e s t i n a t i o n s , a l o r s l e n o m b r e d ' t a p e s n c e s s a i r e s d e v i e n t d ~ w = W e s i W l o n g u e u r s

d ' o n d e s o n t d i s p o n i b l e s . S i l ' o n s ' a u t o r i s e d e s r e c o n v e r s i o n s o p t o - l e c t r o n i q u e s

e n d e s n u d s i n t e r m d i a i r e s , o n s e p l a c e a l o r s d a n s l e c a d r e d e s r s e a u x d i t s

m u l t i - h o p q u i e s t a b o r d d a n s l e s a n n e x e s D e t E .

2 . 4 . 2 P r o b l m e d e l a c h a r g e

D a n s l e s r s e a u x o p t i q u e s p e r m e t t a n t t o u t e c o n v e r s i o n d ' u n e l o n g u e u r d ' o n d e e n

u n e a u t r e , d a n s u n n u d i n t e r m d i a i r e d ' u n c h e m i n o p t i q u e , l a c o n t r a i n t e d e l a

c o l o r a t i o n d e s c h e m i n s a l l o u s a u x r e q u t e s d i s p a r a t . I l e n r s u l t e e n f a i t u n e

m u l t i c o l o r a t i o n d e c h a q u e c h e m i n , q u i c o n s i s t e a t t r i b u e r u n e c o u l e u r s p c i q u e

s u r c h a q u e l i e n u t i l i s , d e t e l l e s o r t e q u e d e u x c h e m i n s q u i p a r t a g e n t u n l i e n n ' o n t

p a s l a m m e c o u l e u r s u r c e l i e n . C e c i n e p o s e a u c u n p r o b l m e a l g o r i t h m i q u e ,

p u i s q u e t o u t e s t r a t g i e d ' a l l o c a t i o n g l o u t o n n e f o n c t i o n n e . L e n o m b r e t o t a l d e

l o n g u e u r s d ' o n d e n c e s s a i r e s p o u r t a b l i r l e s r e q u t e s d e c o n n e x i o n e s t a l o r s g a l

a u n o m b r e m a x i m u m d e c h e m i n s u t i l i s a n t l e m m e l i e n .

D f i n i t i o n s . L a c h a r g e d ' u n l i e n p o u r u n r o u t a g e R r a l i s a n t u n e

i n s t a n c e I d a n s u n g r a p h e G ( o r i e n t o u n o n ) d s i g n e l e n o m b r e d e c h e m i n s

d e R q u i u t i l i s e n t l e l i e n . C e n o m b r e e s t n o t ~ ( G I R ) s i G e s t o r i e n t e t

( G I R ) s i G e s t n o n - o r i e n t .

L a c h a r g e d u r o u t a g e R e s t a l o r s d n i e c o m m e l a c h a r g e m a x i m a l e d e s

l i e n s p o u r R . C ' e s t l e n o m b r e m a x i m u m d e c h e m i n s d e R q u i u t i l i s e n t l e m m e

l i e n d e G . I l e s t n o t ~ ( G I R ) e n o r i e n t e t ( G I R ) e n n o n - o r i e n t .

N o u s a p p e l o n s p r o b l m e d e l a c h a r g e l e p r o b l m e d ' o p t i m i s a t i o n r s u l t a n t d u

p r o b l m e d u r o u t a g e o p t i q u e a v e c l ' h y p o t h s e d e c o n v e r s i o n t o t a l e d e s l o n g u e u r s

d ' o n d e . I l s ' a g i t d e t r o u v e r u n r o u t a g e R r a l i s a n t l ' i n s t a n c e I d o n n e e t m i n -

i m i s a n t l a c h a r g e ~ ( G I R ) ( o u ( G I R ) ) .

4 7



P R O B L M E d e l a C h a r g e


S o r t i e : u n e a l l o c a t i o n d e c h e m i n s a u x r e q u t e s ( u n r o u t a g e )

O b j e c t i f : m i n i m i s e r l a c h a r g e d u r o u t a g e

O n n o t e ~ ( G I ) l a c h a r g e d ' u n e s o l u t i o n o p t i m a l e s i l e g r a p h e G e s t o r i e n t , e t

( G I ) s i l e g r a p h e G e s t n o n - o r i e n t . A i n s i ~ ( G I ) = m i n

R

m a x

~ ( G I R ) ,

e t d e m m e p o u r ( G I ) .

P o u r l ' e x e m p l e d e l a g u r e 2 . 5 , n o u s a v o n s ~ ( G I ) = 2 .

D e m a n i r e v i d e n t e , l a c h a r g e o p t i m a l e d ' u n r o u t a g e r a l i s a n t u n e i n s t a n c e

d o n n e m i n o r e l e n o m b r e o p t i m a l d e l o n g u e u r s d ' o n d e p o u r l e p r o b l m e d u

r o u t a g e o p t i q u e a p p l i q u l a m m e i n s t a n c e . C e c i r s u l t e i m m d i a t e m e n t d u

f a i t q u e l e p r o b l m e d e l a c h a r g e e s t u n p r o b l m e d ' a l l o c a t i o n d e c h e m i n s e t d e

l o n g u e u r s d ' o n d e , a v e c l a l i b e r t s u p p l m e n t a i r e d e l a c o n v e r s i o n .

P r o p r i t . P o u r t o u t p r o b l m e ( G I ) , ~ w ( G I ) ~ ( G I ) .

L a p r o p r i t a n a l o g u e e s t a u s s i v a l a b l e e n n o n - o r i e n t . U n e a u t r e d m o n s -

t r a t i o n c o n s i s t e d i r e q u e l e n o m b r e d e l o n g u e u r s d ' o n d e n c e s s a i r e s p o u r l e

p r o b l m e d u r o u t a g e o p t i q u e e s t a u m o i n s g a l a u n o m b r e m a x i m u m d e c h e m i n s

d e v a n t n c e s s a i r e m e n t u t i l i s e r l e m m e l i e n , c e q u i c o r r e s p o n d l a d n i t i o n d e

l a c h a r g e m i n i m a l e d ' u n r o u t a g e .

R e m a r q u e . N o t o n s q u e r p o n d r e l a q u e s t i o n ~ ( G I )

p ? , t a n t d o n n

u n e n t i e r p , r e v i e n t d t e r m i n e r s i l e m u l t i o t e n t i e r c o r r e s p o n d a n t a u x r e q u t e s

d e I e s t r a l i s a b l e d a n s l e r s e a u d e o t F

p

o b t e n u e n a e c t a n t c h a q u e a r c d e G

u n e c a p a c i t g a l e p . I l s ' a g i t d o n c d ' u n p r o b l m e t r s c l a s s i q u e e n o p t i m i s a t i o n

( c f . l e l i v r e A M O 9 3 ] o u l e c h a p i t r e G T T 9 0 ] ) .

C o m m e l e p r o b l m e d u r o u t a g e o p t i q u e , l e p r o b l m e d e l a c h a r g e p o s s d e s o n

p r o b l m e d e m a x i m i s a t i o n a s s o c i :

P R O B L M E d u R o u t a g e M a x i m u m

E n t r e : u n ( m u l t i ) g r a p h e G e t u n e i n s t a n c e I d e r e q u t e s d a n s G e t u n

e n t i e r W > 0


0

I e t u n e a l l o c a t i o n d e c h e m i n s a u x r e q u t e s d e I

0

,

d e c h a r g e a u p l u s W


0

4 8



D a n s l e c a s e x t r m e o l e n o m b r e W d e l o n g u e u r s d ' o n d e d i s p o n i b l e s e s t r d u i t

1 , l e s d e u x p r o b l m e s d e m a x i m i s a t i o n p r c d a n t s d e v i e n n e n t q u i v a l e n t s e t

p e u v e n t t r e n o n c s p a r u n e f o r m u l a t i o n q u i a t t r s t u d i e d a n s l a l i t t r a t u r e

( c f . p a r e x e m p l e l e c h a p i t r e d e F r a n k F r a 9 5 b ] d a n s G G L 9 5 ] ) :

P R O B L M E d u R o u t a g e D i s j o i n t M a x i m u m



0

I e t u n e a l l o c a t i o n d e c h e m i n s a u x r e q u t e s d e I

0

,

t e l l e q u e d e u x c h e m i n s n ' u t i l i s e n t p a s l e m m e l i e n


0

L a v e r s i o n d c i s i o n n e l l e d u p r o b l m e d e v i e n t :

P R O B L M E d u R o u t a g e D i s j o i n t

D o n n e s : u n ( m u l t i ) g r a p h e G e t u n e i n s t a n c e I d e r e q u t e s d a n s G

Q u e s t i o n : e x i s t e - t - i l u n e a l l o c a t i o n d e c h e m i n s a u x r e q u t e s d e I

0

, t e l l e q u e

d e u x c h e m i n s n ' u t i l i s e n t p a s l e m m e l i e n ?

2 . 4 . 3 R e l a t i o n s e n t r e l e s p r o b l m e s

N o u s c o m m e n o n s p a r m o n t r e r b r i v e m e n t e n q u o i l e p r o b l m e d u r o u t a g e o p -

t i q u e p e u t t r e v u c o m m e u n p r o b l m e d e m u l t i o t e n t i e r d a n s u n g r a p h e a s s o c i ,

e t d o n c g a l e m e n t c o m m e u n p r o b l m e d e r o u t a g e d i s j o i n t .

P a r s o u c i d e s i m p l i c i t , n o u s a v o n s r e p r s e n t s u r l a g u r e 2 . 6 l a r d u c t i o n

d a n s l e c a s d ' u n e i n s t a n c e d e m u l t i c a s t , p o u r l a q u e l l e t o u t e s l e s r e q u t e s p o s s d e n t

l e m m e n u d s o u r c e . U n e c o n s t r u c t i o n s e m b l a b l e e s t u t i l i s e e n a n n e x e A . I l

s ' a g i t e n l ' o c c u r e n c e d e r s o u d r e d a n s u n g r a p h e o r i e n t s y m t r i q u e G l e p r o b l m e

d u r o u t a g e o p t i q u e p o u r l ' i n s t a n c e I = f x g f v w y z g .

N o u s a v o n s d j r e m a r q u q u e l e p r o b l m e d e l a c h a r g e p o u r ( G I ) r e v i e n t

d t e r m i n e r l e p l u s p e t i t e n t i e r p r e n d a n t r a l i s a b l e u n c e r t a i n p r o b l m e a s s o c i F

p

d e m u l t i o t e n t i e r . N o u s d i r o n s q u ' u n s o m m e t x 2 V ( G ) e s t u n e s o u r c e ( r e s p .

u n e d e s t i n a t i o n ) s ' i l e x i s t e y 2 V ( G ) t e l q u e ( x y ) 2 I ( r e s p . ( y x ) 2 I ) . L e

r s e a u d e m u l t i o t F

0

p

a s s o c i a u p r o b l m e d u r o u t a g e o p t i q u e ( G I ) e s t c o n s t r u i t

p a r t i r d e G d e l a m a n i r e s u i v a n t e .

- o n c o m m e n c e p a r p r e n d r e p c o p i e s i n d p e n d a n t e s d u g r a p h e G d o n t l e s a r c s

s o n t m u n i s d ' u n e c a p a c i t u n i t a i r e . L e s p c o p i e s d ' u n s o m m e t u 2 V ( G )

s o n t n o t e s u

1

u

2

: : : u

p

.

- p o u r c h a q u e s o u r c e x

2 V ( G ) , o n a j o u t e u n s o m m e t x

o u t

q u i e s t r e l i x

i

,

p o u r 1 i p , p a r u n a r c ( x

o u t

x

i

) d e c a p a c i t i n n i e .

4 9



(p)

(p)(p)

(p)

(p)

(p) (p)

w

x

2

v

1

x

1

( a )

y

x

v

( 1 )

y

2

y

1

y

v

w

x

( b )

( c )

( 1 )

w

2

z

2

w

1

z

1

y

i n

z

i n

v

i n

z

z

w

i n

x

o u t

v

2

F i g u r e 2 . 6 : ( a ) U n g r a p h e o r i e n t G a v e c u n e s o u r c e x e t d e s d e s t i n a -

t i o n s f v w y z g . ( b ) L e r s e a u d e o t F

p

. ( c ) L e r s e a u d e o t F

0

2

. T o u t e s l e s

c a p a c i t s n o n m a r q u e s v a l e n t 1 e t t o u t e s l e s o r i e n t a t i o n s d e s a r c s s o n t o m i s e s .

- p o u r c h a q u e d e s t i n a t i o n y 2 V ( G ) , o n a j o u t e u n s o m m e t y

i n

, e t l e s o m m e t

y

i

, p o u r 1 i p , e s t r e l i y

i n

p a r u n a r c ( y

i

y

i n

) d e c a p a c i t u n i t a i r e .

- l ' i n s t a n c e d e r e q u t e s I d a n s G , n o u s a s s o c i o n s l ' i n s t a n c e I

0

=

f ( x

o u t

y

i n

)

j

( x y ) 2 I g d a n s F

0

p

.

I l e s t a l o r s f a c i l e d e v o i r q u e ~ w ( G I ) = m i n f p j l e m u l t i o t F

0

p

e s t r a l i s a b l e g .

N o u s a v o n s d o n c t a b l i q u e p r o b l m e d u r o u t a g e o p t i q u e ( r e s p . m a x i m u m )

s e r d u i t a u p r o b l m e d u r o u t a g e d i s j o i n t ( r e s p . m a x i m u m ) .

R e m a r q u e . D a n s l e c a s p a r t i c u l i e r d ' u n e i n s t a n c e m u l t i c a s t , l e p r o b l m e

d e r o u t a g e o p t i q u e s e r d u i t u n p r o b l m e d e s i m p l e o t . N o u s r e n v o y o n s

l ' a n n e x e A p o u r u n e p r s e n t a t i o n p l u s d t a i l l e .

P r o p r i t . S ' i l e x i s t e , p o u r u n e c l a s s e d e g r a p h e s , u n a l g o r i t h m e p o u r l e

p r o b l m e d u r o u t a g e d i s j o i n t m a x i m u m a y a n t u n f a c t e u r d ' a p p r o x i m a t i o n ( n o n

n c e s s a i r e m e n t c o n s t a n t ) , a l o r s i l e x i s t e , p o u r c e t t e m m e c l a s s e d e g r a p h e s , u n

a l g o r i t h m e p o u r l e p r o b l m e d u r o u t a g e o p t i q u e a y a n t u n f a c t e u r d ' a p p r o x i m a t i o n

e n O ( l o g j I j : ) .

R e m a r q u e . L a t e c h n i q u e u t i l i s e e s t s e m b l a b l e c e l l e c o l o r a n t l e s s o m m e t s

d ' u n g r a p h e l ' a i d e d ' u n a l g o r i t h m e s a c h a n t a p p r o x i m e r l e p r o b l m e d e t r o u v e r

5 0



u n e n s e m b l e d e s o m m e t s i n d p e n d a n t s d e c a r d i n a l i t m a x i m a l e ( m a x i m u m i n d e -

p e n d e n t s e t , M I S ) . E l l e a t u t i l i s e p a r A u m a n n e t R a b a n i d a n s A R 9 5 ] a n d e

t r a i t e r l e p r o b l m e d u r o u t a g e o p t i q u e d a n s l e s g r i l l e s b i d i m e n s i o n n e l l e s .

I d e d e p r e u v e . S o i t I u n e i n s t a n c e d a n s u n g r a p h e G e t p o s o n s ~ w = ~ w ( G I ) .

P o u r t o u t p a r t i e I

0

I , ~ w ( G I

0

) ~ w . D o n c d a n s t o u t e s o l u t i o n o p t i m a l e d u

p r o b l m e d u r o u t a g e o p t i q u e ( G I ) , i l e x i s t e a u m o i n s j I

0

j = ~ w r e q u t e s u t i l i s a n t l a

m m e c o u l e u r , e t d o n c r o u t e s p a r d e s c h e m i n s a r c - d i s j o i n t s . P a r c o n s q u e n t , u n e

s o l u t i o n o p t i m a l e d u p r o b l m e d u r o u t a g e d i s j o i n t m a x i m u m ( G I

0

) e s t d e t a i l l e

a u m o i n s j I

0

j = ~ w . C o m m e n o u s s u p p o s o n s l ' e x i s t e n c e d ' u n a l g o r i t h m e p o l y n m i a l

d ' a p p r o x i m a t i o n p o u r c e p r o b l m e , n o u s e n d d u i s o n s q u e p o u r t o u t e p a r t i e I

0

,

o n p e u t t r o u v e r e n t e m p s p o l y n m i a l u n e p a r t i e I

0 0

I

0

d e t a i l l e ( j I

0

j = ( ~ w ) ) q u i

p e u t t r e r o u t e p a r d e s c h e m i n s a r c - d i s j o i n t s .

O n p e u t a l o r s d n i r u n a l g o r i t h m e d ' a p p r o x i m a t i o n g l o u t o n p o u r l e r o u t a g e

o p t i q u e d e l a m a n i r e s u i v a n t e . I n i t i a l e m e n t , I

0

= I e t o n s a i t r o u t e r a v e c l a

m m e c o u l e u r u n e p a r t i e I

0

d e t a i l l e ( j I j = ~ w ) . E n p o s a n t e n s u i t e I

0

= I n I

0

,

o n s a i t r o u t e r a v e c u n e a u t r e c o u l e u r u n e p a r t i e I

1

I

0

d e t a i l l e ( j I

0

j = ( ~ w ) ) ,

e n s a c h a n t q u e j I

0

j = O ( j I j ( 1 ;

1

~ w

) ) . L ' e n s e m b l e c o u r a n t I

0

d c r o t d o n c d ' u n

f a c t e u r ( ~ w = ( ~ w ; 1 ) ) c h a q u e t a p e . L e c a l c u l m o n t r e q u e l e n o m b r e d ' t a p e s

d e l ' a l g o r i t h m e , j u s q u ' p u i s e m e n t d e t o u t e s l e s r e q u t e s d e I , e s t O ( ~ w l o g j I j ) ,

c e q u i c o r r e s p o n d a u n o m b r e d e c o u l e u r s u t i l i s e s . 2

2 . 5 C o m m u n i c a t i o n s s t r u c t u r e s

L o r s q u ' u n e n s e m b l e d e c o n n e x i o n s d o i t s ' t a b l i r d a n s u n r s e a u d e t l c o m m u n i -

c a t i o n s , i l p e u t t r e p l u s o u m o i n s a l a t o i r e o u p o s s d e r u n e s t r u c t u r e p r d t e r -

m i n e . D a n s l e c a s d e c o m m u n i c a t i o n s p r v i s i b l e s l ' a v a n c e , i l e s t s o u h a i t a b l e

d e c o n n a t r e q u e l r o u t a g e u t i l i s e r a v a n t m m e q u e l e p r o b l m e n e s e p o s e , e t

d ' o p t i m i s e r l a s o l u t i o n f o u r n i e a n d ' e x p l o i t e r a u m i e u x l e s r e s s o u r c e s d e t r a n s -

m i s s i o n d u r s e a u .

C ' e s t p o u r q u o i l e s p r o b l m e s d e r o u t a g e d a n s l e s r s e a u x , t r s t u d i s d a n s l e

c a d r e d e s r s e a u x d ' i n t e r c o n n e x i o n e n t r e p r o c e s s e u r s F L 9 4 , H H L 8 6 , H K M P 9 5 ] ,

p e u v e n t t r e r e g r o u p s e n d e u x g r a n d e s c l a s s e s F r a 9 5 a , L e i 9 2 ] : l e s r o u t a g e s p r -

c a l c u l s o u s t a t i q u e s ( e n a n g l a i s , o - l i n e ) e t l e s r o u t a g e s t e m p s - r e l o u d y n a m i q u e s

( e n a n g l a i s , o n - l i n e ) .

L e t e r m e t e m p s - r e l e s t u t i l i s l o r s q u e l e s r e q u t e s d e c o m m u n i c a t i o n n e s o n t

p a s c o n n u e s l ' a v a n c e e t q u ' i l f a u t r s o u d r e l e p r o b l m e d e r o u t a g e a u m o m e n t o

e l l e s s e p r s e n t e n t . D a n s c e c a s d e g u r e , l e s c o m m u n i c a t i o n s p e u v e n t i n t e r v e n i r

t o u t m o m e n t , a p r i o r i s a n s a u c u n e s y n c h r o n i s a t i o n n i c o h r e n c e e n t r e e l l e s ,

5 1



e t o n p o u r r a p a r l e r d e c o m m u n i c a t i o n s a n a r c h i q u e s . L ' t u d e d e c e t t e c l a s s e d e

p r o b l m e s , q u i n ' e s t p a s n o t r e o b j e t , p a s s e p a r l ' t u d e ( d i c i l e ) d e f o n c t i o n s d e

r o u t a g e q u i e s s a y e n t d e g a r a n t i r a u m i e u x l ' t a b l i s s e m e n t d e s c o m m u n i c a t i o n s e n

v i t a n t l e s b l o c a g e s .

l ' o p p o s , l a c l a s s e d e s r o u t a g e s p r c a l c u l s c o n c e r n e d e s p r o b l m e s r g u l i e r s

q u i a p p a r a i s s e n t s o u v e n t , n o t a m m e n t d a n s l e s r s e a u x d e t r a n s p o r t , e t d o n t i l

e s t b n q u e d e d t e r m i n e r e t d ' o p t i m i s e r l a s o l u t i o n a u p r a l a b l e . C e s i n s t a n c e s

d e c o m m u n i c a t i o n p a r t i c u l i r e s s o n t a p p e l e s c o m m u n i c a t i o n s s t r u c t u r e s . O n

p a r l e g a l e m e n t d e c o m m u n i c a t i o n s g l o b a l e s o u c o l l e c t i v e s , l o r s q u e c e l l e s - c i f o n t

i n t e r v e n i r l a t o t a l i t d e s n u d s d u r s e a u .

N o u s d n i s s o n s p r s e n t l e s c o m m u n i c a t i o n s s t r u c t u r e s l e s p l u s f r q u e m -

m e n t m i s e s e n u v r e :

- D i u s i o n ( O n e - t o - A l l o u b r o a d c a s t i n g ) : o p r a t i o n q u i c o n s i s t e e n v o y e r

d ' u n n u d d u r s e a u u n e m m e i n f o r m a t i o n v e r s t o u s l e s a u t r e s n u d s .

- D i s t r i b u t i o n ( d i u s i o n p e r s o n n a l i s e , p e r s o n a l i z e d O n e - t o - A l l , d i s t r i b u t i n g

o u s c a t t e r i n g ) : o p r a t i o n q u i c o n s i s t e e n v o y e r d ' u n n u d d u r s e a u u n e

i n f o r m a t i o n d i r e n t e v e r s c h a c u n d e s a u t r e s n u d s .

- R a s s e m b l e m e n t ( g a t h e r i n g ) : o p r a t i o n q u i c o n s i s t e e n v o y e r d e c h a q u e

n u d d u r s e a u u n e i n f o r m a t i o n v e r s u n n u d p a r t i c u l i e r . C ' e s t l ' o p r a t i o n

i n v e r s e d e l a d i s t r i b u t i o n .

- c h a n g e t o t a l ( A l l - t o - A l l , t o t a l e x c h a n g e o u g o s s i p i n g ) : o p r a t i o n q u i

c o n s i s t e e n v o y e r d e c h a q u e n u d d u r s e a u u n e m m e i n f o r m a t i o n v e r s

t o u s l e s a u t r e s n u d s . C e l a r e v i e n t e e c t u e r u n e d i u s i o n p a r t i r d e

t o u s l e s n u d s d u r s e a u s i m u l t a n m e n t .

- M u l t i d i s t r i b u t i o n ( c h a n g e t o t a l p e r s o n n a l i s , p e r s o n a l i z e d A l l - t o - A l l , c o m -

p l e t e e x c h a n g e o u m u l t i s c a t t e r i n g ) : o p r a t i o n q u i c o n s i s t e e n v o y e r d e

c h a q u e n u d d u r s e a u u n e i n f o r m a t i o n d i r e n t e v e r s c h a c u n d e s a u t r e s

n u d s . C e l a r e v i e n t e e c t u e r u n e d i s t r i b u t i o n p a r t i r d e t o u s l e s n u d s

d u r s e a u s i m u l t a n m e n t .

- M u l t i c a s t ( d i u s i o n p a r t i e l l e , O n e - t o - M a n y o u m u l t i c a s t i n g ) : o p r a t i o n

q u i c o n s i s t e e n v o y e r d ' u n n u d d u r s e a u u n e m m e i n f o r m a t i o n v e r s

d ' a u t r e s n u d s .

- P e r m u t a t i o n : o p r a t i o n p o u r l a q u e l l e c h a q u e n u d d u r s e a u e n v o i e e t

r e o i t u n e i n f o r m a t i o n e x a c t e m e n t .

- k - R e l a t i o n : o p r a t i o n p o u r l a q u e l l e c h a q u e n u d d u r s e a u e n v o i e e t

r e o i t a u p l u s k i n f o r m a t i o n s .

5 2



R e m a r q u e . D a n s l e c a d r e d e n o t r e t u d e s u r l e r o u t a g e t o u t - o p t i q u e , n o u s

a t t i r o n s l ' a t t e n t i o n s u r l e f a i t q u e l e s s c h m a s d e c o m m u n i c a t i o n s t r u c t u r e q u e

s o n t , d ' u n e p a r t l a d i u s i o n e t l ' c h a n g e - t o t a l , d ' a u t r e p a r t l a d i s t r i b u t i o n e t l a

m u l t i d i s t r i b u t i o n , c o r r e s p o n d e n t r e s p e c t i v e m e n t a u x m m e s i n s t a n c e s d e c o m -

m u n i c a t i o n , p u i s q u e l a d o n n e d e s r e q u t e s n e t i e n t p a s c o m p t e d e l a n a t u r e d e

l ' i n f o r m a t i o n v h i c u l e . A i n s i , u n e n s e m b l e d e c h e m i n s o p t i q u e s r a l i s a n t u n e

d i u s i o n ( u n c h a n g e t o t a l ) p e u t t o u t a u s s i b i e n r a l i s e r u n e d i s t r i b u t i o n ( u n e

m u l t i d i s t r i b u t i o n ) . C e p e n d a n t , n o u s c o n t i n u e r o n s d ' u t i l i s e r l e s t e r m e s l e s p l u s

r e s t r i c t i f s p a r ( m a u v a i s e ) h a b i t u d e . N o t o n s t o u t e f o i s q u e l a d i s t i n c t i o n d e v i e n t

i m p o r t a n t e d a n s l e c a d r e d e s r s e a u x o p t i q u e s m u l t i - h o p , q u i s o n t t u d i s p o u r

l a d i u s i o n e n a n n e x e E .

D f i n i t i o n s . t a n t d o n n l ' e n s e m b l e V d e s s o m m e t s d ' u n g r a p h e G ,

- U n e i n s t a n c e d e d i u s i o n o u d e d i s t r i b u t i o n e s t n o t e I

O

e t c o r r e s p o n d u n

e n s e m b l e f ( x

0

y ) j y 2 V g p o u r u n s o m m e t x

0

x .

- L ' i n s t a n c e d e l ' c h a n g e t o t a l o u d e l a m u l t i d i s t r i b u t i o n e s t n o t e I

A

e t c o r -

r e s p o n d l ' e n s e m b l e f ( x y ) j x 2 V y 2 V g .

- U n e i n s t a n c e d e m u l t i c a s t o u d e m u l t i c a s t p e r s o n n a l i s e s t n o t e I

M

e t c o r -

r e s p o n d u n e n s e m b l e f ( x

0

y ) j y 2 V

0

g p o u r u n s o m m e t x

0

x e t u n e

p a r t i e V

0

V .

- U n e i n s t a n c e d e p e r m u t a t i o n e s t n o t e I

1

e t c o r r e s p o n d u n e n s e m b l e

f ( x ( x ) ) j x 2 V g p o u r u n e b i j e c t i o n d e V .

- U n e 1 - r e l a t i o n e s t u n e i n s t a n c e n o t e g a l e m e n t I

1

e t q u i c o r r e s p o n d u n e

p a r t i e d ' u n e i n s t a n c e d e p e r m u t a t i o n .

- U n e k - r e l a t i o n e s t u n e i n s t a n c e n o t e I

k

e t q u i c o r r e s p o n d u n e u n i o n d e

k i n s t a n c e s q u i s o n t d e s 1 - r e l a t i o n s .

5 3



5 4




A C K P 9 8 a ] V . A u l e t t a , I . C a r a g i a n n i s , C . K a k l a m a n i s , a n d G . P e r s i a n o . E -

c i e n t w a v e l e n g t h r o u t i n g w i t h l o w - d e g r e e c o n v e r t e r s . I n P r o c . t h e

D I M A C S W o r k s h o p : " M u l t i c h a n n e l O p t i c a l N e t w o r k s : T h e o r y a n d

P r a c t i c e " , v o l u m e 4 6 o f D I M A C S S e r i e s o n D i s c r e t e M a t h e m a t i c s

a n d T h e o r e t i c a l C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s 1 1 4 , R u t g e r s U n i v e r s i t y ,

N J , M a r c h 1 9 9 8 . A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y .

A C K P 9 8 b ] V . A u l e t t a , I . C a r a g i a n n i s , C . K a k l a m a n i s , a n d P . P e r s i a n o . O n t h e

c o m p l e x i t y o f w a v e l e n g t h c o n v e r t e r s . I n P r o c . o f t h e 2 3 r d S y m p o s i u m

o n M a t h e m a t i c a l F o u n d a t i o n s o f C o m p u t e r S c i e n c e ( M F C S ' 9 8 ) , v o l -

u m e 1 4 5 0 o f L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s 7 7 1 7 7 9 .

S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 9 8 .

A M O 9 3 ] R . K . A h u j a , T . L . M a g n a n t i , a n d J . B . O r l i n . N e t w o r k F l o w s :

T h e o r y , A l g o r i t h m s , a n d A p p l i c a t i o n s . P r e n t i c e - H a l l , 1 9 9 3 .

A R 9 5 ] Y . A u m a n n a n d Y . R a b a n i . I m p r o v e d b o u n d s f o r a l l o p t i c a l r o u t -

i n g . I n P r o c . o f t h e 6 t h A n n u a l A C M - S I A M S y m p o s i u m o n D i s c r e t e

A l g o r i t h m s ( S O D A ' 9 5 ) , p a g e s 5 6 7 5 7 6 . A C M P r e s s , J a n u a r y 1 9 9 5 .

B D O

+

9 8 ] G - L . B o n a , W . E . D e n z e l , B . J . O r e i n , R . G e r m a n n , H . W . M .

S a l e m i n k , a n d F . H o r s t . W a v e l e n g t h d i v i s i o n m u l t i p l e x e d a d d / d r o p

r i n g t e c h n o l o g y i n c o r p o r a t e b a c k b o n e n e t w o r k s . T e c h n i c a l R e p o r t

R Z 3 0 4 6 , I B M R e s e a r c h D i v i s i o n , A u g u s t 1 9 9 8 .

B e r 8 3 ] C . B e r g e . G r a p h e s . G a u t h i e r s - V i l l a r s , 1 9 8 3 .

B E Y 9 8 ] A . B o r o d i n a n d R . E l - Y a n i v . O n l i n e C o m p u t a t i o n a n d C o m p e t i t i v e

A n a l y s i s . C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 9 8 .

B M 7 6 ] J . A . B o n d y a n d U . S . R . M u r t y . G r a p h T h e o r y w i t h A p p l i c a t i o n s .

M a c M i l l a n P r e s s , 1 9 7 6 .

C N W 9 0 ] N . K . C h e u n g , K . N o s u , a n d G . W i n z e r . S p e c i a l i s s u e o n d e n s e

W D M n e t w o r k s . I E E E J o u r n a l o n S e l e c t e d A r e a s i n C o m m u n i c a -

t i o n s ( J S A C ) , 8 , 1 9 9 0 .

5 5



d R 9 4 ] J e a n d e R u m e u r . C o m m u n i c a t i o n s d a n s l e s R s e a u x d e P r o c e s s e u r s .

M a s s o n , P a r i s , C o l l e c t i o n E t u d e s e t R e c h e r c h e e n I n f o r m a t i q u e e d i -

t i o n , 1 9 9 4 .

F L 9 4 ] P . F r a i g n i a u d a n d E . L a z a r d . M e t h o d s a n d p r o b l e m s o f c o m m u n i -

c a t i o n i n u s u a l n e t w o r k s . D i s c r e t e A p p l i e d M a t h e m a t i c s , 5 3 : 7 9 1 3 3 ,

1 9 9 4 .

F r a 9 5 a ] P . F r a i g n i a u d . V e r s u n p r i n c i p e d e l o c a l i t p o u r l e s c o m m u n i c a t i o n s

d a n s l e s r s e a u x d ' i n t e r c o n n e x i o n . T h s e d ' h a b i l i t a t i o n , U n i v e r s i t

d e L y o n , c o l e N o r m a l e S u p r i e u r e d e L y o n , 1 9 9 5 .

F r a 9 5 b ] A . F r a n k . H a n d b o o k o f C o m b i n a t o r i c s , v o l u m e 1 , c h a p t e r C o n n e c -

t i v i t y a n d N e t w o r k F l o w s , p a g e s 1 1 1 1 7 7 . N o r t h - H o l l a n d , 1 9 9 5 .

F W 9 8 ] A . F i a t a n d G . J . W o e g i n g e r , e d i t o r s . O n l i n e A l g o r i t h m s : T h e

S t a t e o f t h e A r t , v o l u m e 1 4 4 2 o f L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r S c i -

e n c e . S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 9 8 .

G a r 9 8 ] L . G a r g a n o . L i m i t e d w a v e l e n g t h c o n v e r s i o n i n a l l - o p t i c a l t r e e n e t -

w o r k s . I n P r o c . o f 2 5 t h I n t e r n a t i o n a l C o l l o q u i u m o n A u t o m a t a , L a n -

g u a g e s a n d P r o g r a m m i n g ( I C A L P ' 9 8 ) , v o l u m e 1 4 4 3 o f L e c t u r e N o t e s

i n C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s 5 4 4 5 5 5 . S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 9 8 .

G G L 9 5 ] R . L . G r a h a m , M G r t s c h e l , a n d L L o v s z , e d i t o r s . H a n d b o o k o f

C o m b i n a t o r i c s , v o l u m e 1 . N o r t h - H o l l a n d , 1 9 9 5 .

G J 7 9 ] M . R . G a r e y a n d D . S . J o h n s o n . C o m p u t e r s a n d I n t r a c t a b i l i t y -

A G u i d e t o t h e T h e o r y o f N P C o m p l e t e n e s s . W . H . F r e e m a n a n d

C o m p a n y , 1 9 7 9 .

G T T 9 0 ] A . V . G o l d b e r g , R . E . T a r j a n , a n d . T a r d o s . N e t w o r k o w a l g o -

r i t h m s . I n B . K o r t e , L . L o v s z , H . J . P r m e l , a n d A . S c h r i j v e r ,

e d i t o r s , P a t h s , F l o w s a n d V L S I - L a y o u t , p a g e s 1 0 1 1 6 4 . S p r i n g e r -

V e r l a g , 1 9 9 0 .

H H L 8 6 ] S . M . H e d e t n i e m i , S . T . H e d e t n i e m i , a n d A . L . L i e s t m a n . A s u r v e y o f

g o s s i p i n g a n d b r o a d c a s t i n g i n c o m m u n i c a t i o n n e t w o r k s . N e t w o r k s ,

1 8 : 3 1 9 3 4 9 , 1 9 8 6 .

H K M P 9 5 ] J . H r o m k o v i c , R . K l a s i n g , B . M o n i e n , a n d R . P e i n e . C o m b i n a t o r -

i a l N e t w o r k T h e o r y , c h a p t e r D i s s e m i n a t i o n o f i n f o r m a t i o n i n i n t e r -

c o n n e c t i o n n e t w o r k s ( b r o a d c a s t i n g a n d g o s s i p i n g ) , p a g e s 1 2 5 2 1 2 .

K l u w e r A c a d e m i c , 1 9 9 5 .

H o c 9 7 ] D . S . H o c h b a u m , e d i t o r . A p p r o x i m a t i o n A l g o r i t h m s f o r N P - H a r d

P r o b l e m s . P W S P u b l i s h i n g C o m p a n y , 1 9 9 7 .

5 6



K K 9 9 ] J . K l e i n b e r g a n d A . K u m a r . W a v e l e n g t h c o n v e r s i o n i n o p t i c a l n e t -

w o r k s . I n P r o c o f t h e 1 0 t h A n n u a l A C M - S I A M S y m p o s i u m o n D i s -

c r e t e A l g o r i t h m s ( S O D A ' 9 9 ) , 1 9 9 9 .

L e i 9 2 ] F . T . L e i g h t o n . I n t r o d u c t i o n t o P a r a l l e l A r c h i t e c t u r e s : A r r a y s ,

T r e e s , H y p e r c u b e s . M o r g a n K a u f m a n n P u b l i s h e r s , 1 9 9 2 .

M P S 9 8 ] E . W . M a y r , H . J . P r m e l , a n d A . S t e g e r , e d i t o r s . L e c t u r e s o n P r o o f

V e r i c a t i o n a n d A p p r o x i m a t i o n A l g o r i t h m s , v o l u m e 1 3 6 7 o f L e c t u r e

N o t e s i n C o m p u t e r S c i e n c e . S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 9 8 .

P a n 9 2 ] R . K . P a n k a j . A r c h i t e c t u r e s f o r L i n e a r L i g h t w a v e N e t w o r k s . P h D

t h e s i s , D e p t . o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g a n d C o m p u t e r S c i e n c e , M I T ,

C a m b r i d g e , M A , 1 9 9 2 .

R S 9 5 ] R . R a m a s w a m i a n d K . N . S i v a r a j a n . R o u t i n g a n d w a v e l e n g t h a s -

s i g n m e n t i n a l l - o p t i c a l n e t w o r k s . I E E E / A C M T r a n s a c t i o n s o n N e t -

w o r k i n g , 3 ( 5 ) : 4 8 9 5 0 0 , 1 9 9 5 .

R S 9 8 ] R . R a m a s w a m i a n d G . S a s a k i . M u l t i w a v e l e n g t h o p t i c a l n e t w o r k s

w i t h l i m i t e d w a v e l e n g t h c o n v e r s i o n . I E E E / A C M T r a n s a c t i o n s o n

N e t w o r k i n g , 6 ( 6 ) : 7 4 4 7 5 4 , D e c e m b e r 1 9 9 8 .

V D 9 3 ] R . J . V e t t e r a n d D . H . C . D u . D i s t r i b u t e d c o m p u t i n g w i t h h i g h - s p e e d

o p t i c a l n e t w o r k s . I E E E C o m p u t e r , 2 6 ( 2 ) : 8 1 8 , F e b r u a r y 1 9 9 3 .

5 7



5 8



C H A P I T R E 3

R o u t a g e W D M t o u t - o p t i q u e

3 . 1 R s e a u x g n r a u x

3 . 1 . 1 I n s t a n c e s q u e l c o n q u e s

T r o u v e r u n r o u t a g e o p t i q u e u t i l i s a n t u n m i n i m u m d e l o n g u e u r s d ' o n d e ( o u c o u -

l e u r s ) n ' e s t p a s u n p r o b l m e f a c i l e . D a n s l e c a s g n r a l , c ' e s t - - d i r e p o u r u n

g r a p h e o r i e n t G e t u n e i n s t a n c e I q u e l c o n q u e s , l e p r o b l m e d u r o u t a g e o p t i q u e

e t d e l a d t e r m i n a t i o n d e ~ w ( G I ) a t m o n t r N P - c o m p l e t p a r E r l e b a c h e t

J a n s e n d a n s E J 9 6 ] . E n f a i t , i l s o n t m o n t r c e t t e p r o p r i t p o u r l e s a r b r e s e t l e s

c y c l e s o r i e n t s s y m t r i q u e s . I l s l ' o n t t e n d u e a u x g r i l l e s d a n s E J 9 7 ] e t a u c a s d e s

a r b r e s b i n a i r e s a v e c u n n o m b r e d e c o u l e u r s l i m i t 3 , p a r r d u c t i o n d u p r o b l m e

d e l a c o l o r a t i o n d e s a r t e s d ' u n m u l t i g r a p h e ,

N P - c o m p l e t d ' a p r s H o l y e r H o l 8 1 ] .

T h o r m e 3 . 1 . 1 ( E r l e b a c h e t J a n s e n E J 9 7 ] ) L e p r o b l m e s u i v a n t e s t N P -

c o m p l e t :

D o n n e s : U n a r b r e b i n a i r e o r i e n t s y m t r i q u e T e t u n e i n s t a n c e I .

Q u e s t i o n : E x i s t e - t - i l u n r o u t a g e o p t i q u e p o u r ( T I ) u t i l i s a n t a u p l u s 3 c o u l e u r s ?

C o r o l l a i r e 3 . 1 . 2 L e p r o b l m e s u i v a n t e s t N P - c o m p l e t :

D o n n e s : U n g r a p h e o r i e n t G , u n e i n s t a n c e I e t u n e n t i e r k .

Q u e s t i o n : E x i s t e - t - i l u n r o u t a g e o p t i q u e p o u r ( G I ) u t i l i s a n t a u p l u s k c o u l e u r s ?

D ' u n c e r t a i n p o i n t d e v u e , l a d i c u l t d u p r o b l m e d e r o u t a g e o p t i q u e p r o v i e n t

d e l a d i c u l t i n t r i n s q u e d e d e u x p r o b l m e s s o u s - j a c e n t s : l e p r o b l m e d u

r o u t a g e e t l e p r o b l m e d e l a c o l o r a t i o n d e s c h e m i n s .

t a n t d o n n s u n g r a p h e o r i e n t G e t u n e i n s t a n c e I , l a r e c h e r c h e d ' u n r o u t a g e

R , r a l i s a n t I e t m i n i m i s a n t l a c h a r g e m a x i m a l e ~ ( G I R ) d e s a r c s d e G , e s t

i n t r e s s a n t e p o u r l e p r o b l m e d e r o u t a g e o p t i q u e p u i s q u e l a c h a r g e d ' u n r o u t a g e

m i n o r e l e n o m b r e d e c o u l e u r s n c e s s a i r e s p o u r l e c o l o r e r : ~ ( G I R ) ~ w ( G I R ) .

5 9



L a d t e r m i n a t i o n d e ~ e s t t r o i t e m e n t r e l i e a u p r o b l m e d u m u l t i o t c a p a c i t s

e n t i r e s . t a n t d o n n s u n g r a p h e G m u n i d e c a p a c i t s e n t i r e s s u r s e s l i e n s e t

u n e n s e m b l e d e r e q u t e s m u n i e s d e d e m a n d e s e n t i r e s , i l s ' a g i t d e t r o u v e r u n o t

d e v a l e u r c o r r e s p o n d a n t e d e c h a q u e s o u r c e v e r s s a d e s t i n a t i o n , d e m a n i r e n e

p a s d p a s s e r l e s c a p a c i t s d e s l i e n s . D ' a p r s E v e n , I t a i e t S h a m i r E I S 7 6 ] , m m e

l e b i - o t c a p a c i t s u n i t a i r e s e s t u n p r o b l m e N P - c o m p l e t , d a n s l e s g r a p h e s

o r i e n t s o u n o n . E n t r a n s f o r m a n t c h a q u e r e q u t e m u n i e d e s a d e m a n d e d e n d

c o p i e s d e l a m m e r e q u t e u n i t a i r e , l e p r o b l m e d u m u l t i o t c o n s i s t e a l o r s r o u t e r

u n e i n s t a n c e I d a n s l e g r a p h e G s a n s d p a s s e r l e s c h a r g e s d e s l i e n s a u t o r i s e s .

I l s ' e n s u i t i m m d i a t e m e n t l a N P - c o m p l t u d e d u p r o b l m e d e r o u t a g e e t d e l a

d t e r m i n a t i o n d e ~ ( G I ) o u d e ( G I ) , p u i s q u ' i l s ' a g i t d e f a i r e p a s s e r u n m u l t i o t

u n i t a i r e d a n s u n g r a p h e c a p a c i t s c o n s t a n t e s .

T h o r m e 3 . 1 . 3 ( d ' a p r s E v e n , I t a i e t S h a m i r E I S 7 6 ] ) L e p r o b l m e s u i v a n t

e s t N P - c o m p l e t :

D o n n e s : U n g r a p h e G ( o r i e n t o u n o n ) , u n e i n s t a n c e I e t u n e n t i e r k .

Q u e s t i o n : E x i s t e - t - i l u n r o u t a g e p o u r ( G I ) d e c h a r g e m a x i m a l e k s u r l e s l i e n s

d e G ?

N o t o n s q u e d a n s l e c a s o r i e n t , c e d e r n i e r r s u l t a t p e u t a u s s i s ' o b t e n i r p a r t i r

d ' u n t h o r m e p l u s p u i s s a n t d e F o r t u n e , H o p c r o f t e t W i l l i e F H W 8 0 ] , t a b l i s s a n t

l a N P - d i c u l t d e t r o u v e r d e u x c h e m i n s a r c - d i s j o i n t s p o u r d e u x r e q u t e s d a n s

u n g r a p h e o r i e n t . E n e e t , r o u t e r u n e i n s t a n c e d a n s u n g r a p h e s a n s d p a s s e r

u n e c e r t a i n e c h a r g e c e s t q u i v a l e n t r o u t e r l e s r e q u t e s p a r d e s c h e m i n s d i s j o i n t s

d a n s l e m u l t i - g r a p h e a s s o c i d e m u l t i p l i c i t u n i f o r m e c .

l ' a i d e d e c e t t e p r o p r i t , n o u s p o u v o n s d o n n e r u n r s u l t a t e n c o r e p l u s

f o r t d m o n t r a n t l a n o n - a p p r o x i m a b i l i t d u p r o b l m e d u r o u t a g e o p t i q u e d a n s

l e m o d l e o r i e n t , c o m m e c e l a a t r e m a r q u p a r J a r r y d a n s J a r 9 9 ] .

T h o r m e 3 . 1 . 4 L e p r o b l m e s u i v a n t e s t N P - c o m p l e t :

D o n n e s : U n g r a p h e o r i e n t G e t u n e i n s t a n c e I .

Q u e s t i o n : S e t r o u v e - t - o n d a n s l ' u n e d e s d e u x s i t u a t i o n s s u i v a n t e s ?

I l e x i s t e d e u x c h e m i n s a r c - d i s j o i n t s d a n s G p o u r d e u x r e q u t e s d e I .

I l n ' e x i s t e p a s d e r o u t a g e p o u r ( G I ) p a r d e s c h e m i n s a r c - d i s j o i n t s .

L ' i d e d e l a p r e u v e d e c e t h o r m e c o n s i s t e c o n s t r u i r e u n e s e m i - g r i l l e G

o r i e n t e ( n o n - s y m t r i q u e ) e n p l a a n t a u x i n t e r s e c t i o n s d e s l i g n e s e t d e s c o l o n n e s

d e s c o p i e s d ' u n s o u s - g r a p h e G p o u r l e q u e l i l e s t N P - d i c i l e d ' a p r s F H W 8 0 ]

d e d c i d e r s i d e u x r e q u t e s p e u v e n t l e t r a v e r s e r p a r d e u x c h e m i n s a r c - d i s j o i n t s .

U n e r e p r s e n t a t i o n s c h m a t i q u e s e t r o u v e s u r l a g u r e 3 . 1 . O n d n i t a l o r s u n

e n s e m b l e I d e r e q u t e s

f ( x

i

y

i

)

j 1

i

l

g t e l l e s q u e l e u r r a l i s a t i o n p a r d e s

c h e m i n s a r c - d i s j o i n t s e s t p o s s i b l e s i e t s e u l e m e n t s i d e u x c h e m i n s a r c - d i s j o i n t s

6 0



e x i s t e n t p o u r t r a v e r s e r l e s o u s - g r a p h e

G . D a n s l e c a s c o n t r a i r e , i l n ' e x i s t e p a s

d e u x c h e m i n s a r c - d i s j o i n t s d a n s G p o u r r o u t e r d e u x r e q u t e s d e I .

1xx2x3x4x

y

5

y2

y3

y4

y5

1y

x

F i g u r e 3 . 1 : S e m i - g r i l l e e t r o u t a g e d i s j o i n t n o n - a p p r o x i m a b l e .

A i n s i , i l e s t N P - d i c i l e d e d c i d e r s i u n e s e u l e o u t o u t e s l e s r e q u t e s p e u v e n t

t r e r o u t e s a v e c u n e c h a r g e m a x i m a l e u n i t a i r e s u r l e s a r c s d u g r a p h e , d o n c d e

d c i d e r s i ~ w ( G I ) = 1 o u s i ~ w ( G I ) = j I j , e t n o u s e n d d u i s o n s l e c o r o l l a i r e

s u i v a n t :

C o r o l l a i r e 3 . 1 . 5 I l n ' e x i s t e p a s d ' a l g o r i t h m e d ' a p p r o x i m a t i o n p o u r l e p r o -

b l m e d u r o u t a g e o p t i q u e d a n s u n g r a p h e o r i e n t , m o i n s q u e P = N P .

L a q u e s t i o n a n a l o g u e d a n s l e c a s o r i e n t s y m t r i q u e r e s t e o u v e r t e .

C e p e n d a n t , l o r s q u e l e n o m b r e d e r e q u t e s e s t b o r n , l e p r o b l m e d e r o u t a g e

d e v i e n t p o l y n m i a l , d a n s l e c a s n o n - o r i e n t d ' a p r s u n r s u l t a t d e R o b e r t s o n e t

S e y m o u r R S 9 5 ] , e t d a n s l e c a s o r i e n t s y m t r i q u e d ' a p r s d e s t r a v a u x r c e n t s

d e J a r r y J a r 9 9 ] , a v e c t o u t e f o i s d e s c o n s t a n t e s c a c h e s n o r m e s q u i r e n d e n t l e s

a l g o r i t h m e s i m p r a t i c a b l e s .

N o u s i n v i t o n s l e l e c t e u r i n t r e s s p a r l a c o m p l e x i t d e s p r o b l m e s d e r o u t a g e

( e t l a s o l v a b i l i t e n t e m p s p o l y n m i a l d e c e r t a i n s c a s p a r t i c u l i e r s ) s e r f r e r

a u l i v r e d i t p a r K o r t e , L o v s z , P r m e l e t S c h r i j v e r K L P S 9 0 ] , e t e n p a r t i c u l i e r

6 1



a u c h a p i t r e c r i t p a r F r a n k F r a 9 0 ] . U n e t e c h n i q u e g n r a l e p o u r o b t e n i r d e s

a l g o r i t h m e s d ' a p p r o x i m a t i o n ( r a n d o m i s s ) p o u r l e p r o b l m e d e r o u t a g e ( s o u s

c e r t a i n e s c o n d i t i o n s ) e s t l a t e c h n i q u e r a n d o m i s e d ' a r r o n d i d u e R a g h a v a n e t

T h o m p s o n . L e s d t a i l s d e l e u r m t h o d e e t l e s a p p l i c a t i o n s a u r o u t a g e V L S I e t

a u x r s e a u x d e m u l t i o t p e u v e n t t r e t r o u v s d a n s R T 8 7 ] .

U n e f o i s u n r o u t a g e c o n n u p o u r r a l i s e r u n e i n s t a n c e d e c o m m u n i c a t i o n ,

s a v o i r c o l o r e r e c a c e m e n t s e s c h e m i n s e s t n c e s s a i r e d a n s l e c a d r e d u p r o b l m e

d e r o u t a g e o p t i q u e . M a l h e u r e u s e m e n t , c e p r o b l m e d e c o l o r a t i o n r e s t r e i n t

d e s c h e m i n s e s t a u s s i d i c i l e q u e l e p r o b l m e b i e n c o n n u d e l a c o l o r a t i o n d e s

s o m m e t s d ' u n g r a p h e , c o m m e i l a t r e m a r q u p a r C h l a m t a c , G a n z e t K a r m i

d a n s C G K 9 2 ] . t a n t d o n n u n g r a p h e n o n - o r i e n t H q u e l c o n q u e , i l s u t d e

d n i r u n e n s e m b l e R d e c h e m i n s a d - h o c d a n s u n g r a p h e G g a l e m e n t c o n s t r u i t

d e s s e i n , d e t e l l e s o r t e q u e H s o i t l e g r a p h e d e c o n i t d e R . P a r a i l l e u r s , l e

r s u l t a t d c o u l e i m m d i a t e m e n t d u p r e m i e r t h o r m e d e c e c h a p i t r e , p u i s q u e l e

r o u t a g e e s t x d a n s u n a r b r e .

P r o p o s i t i o n 3 . 1 . 6 L e p r o b l m e s u i v a n t e s t N P - c o m p l e t :

D o n n e s : U n g r a p h e G ( o r i e n t o u n o n ) e t u n r o u t a g e R .

Q u e s t i o n : E x i s t e - t - i l u n e c o l o r a t i o n d e s c h e m i n s d e R u t i l i s a n t 3 c o u l e u r s ?

D a n s l e m o d l e n o n - o r i e n t , l a N P - c o m p l t u d e d u p r o b l m e d e r o u t a g e o p -

t i q u e p r o v i e n t d e r s u l t a t s b i e n a n t r i e u r s l ' a v n e m e n t d e l a t e c h n o l o g i e W D M .

C o n c e r n a n t l e p r o b l m e d e l a c o l o r a t i o n d e c h e m i n s d a n s u n a r b r e , G o l u m b i c

e t J a m i s o n G J 8 5 b ] o n t t a b l i q u e l a d t e r m i n a t i o n d e w ( G I ) e s t u n p r o b l m e

N P - c o m p l e t m m e p o u r l e s t o i l e s ( a r b r e s d o n t t o u s l e s s o m m e t s s a u f u n o n t

d e g r 1 ) , e n r d u i s a n t c e p r o b l m e c e l u i d e l a c o l o r a t i o n d e s a r t e s d ' u n m u l t i -

g r a p h e q u i e s t N P - c o m p l e t d ' a p r s H o l y e r H o l 8 1 ] ( v o i r s e c t i o n 3 . 2 . 1 , p a g e 7 8 ) .

C e r s u l t a t a t t e n d u d a n s E J 9 6 ] a u c a s d e s c y c l e s n o n - o r i e n t s , a l o r s q u e l e

p r o b l m e d e v i e n t p o l y n m i a l p o u r l e s a r b r e s d e d e g r b o r n d ' a p r s E J 9 7 ] .

A u v u d e c e d e r n i e r r s u l t a t e t d e l a N P - d i c u l t d t e r m i n e r ~ w ( G I ) p o u r

l e s a r b r e s b i n a i r e s o r i e n t s , o n p o u r r a i t c r o i r e q u e l e p r o b l m e d e r o u t a g e o p t i q u e

e s t p l u s d i c i l e d a n s l e m o d l e o r i e n t . C e n ' e s t p a s v r a i e n g n r a l . P a r e x e m p l e ,

p o u r l e s t o i l e s , l e p r o b l m e n o n - o r i e n t e s t N P - c o m p l e t G J 8 5 b ] a l o r s q u e l e

p r o b l m e o r i e n t e s t p o l y n m i a l , p a r r d u c t i o n a u p r o b l m e d e c o u p l a g e d a n s

l e s g r a p h e s b i p a r t i s ( v o i r s e c t i o n 3 . 2 . 1 , p a g e 7 6 ) , s o l u b l e d ' a p r s l e t h o r m e d e

K n i g - H a l l .

P r e n o n s u n g r a p h e o r i e n t G e t u n r o u t a g e R r a l i s a n t u n e i n s t a n c e I . S o i e n t

L l a l o n g u e u r m a x i m a l e d e s c h e m i n s d a n s R e t l e d e g r m a x i m u m d u g r a p h e d e

c o n i t a s s o c i R . P u i s q u e t o u t c h e m i n e s t e n c o n i t a v e c a u p l u s ~ ( G I R )

; 1

a u t r e s c h e m i n s s u r c h a c u n d e s e s a r c s , i l e s t c l a i r q u e L ( ~ ( G I R ) ; 1 ) . U n e

6 2



c o l o r a t i o n g l o u t o n n e d u g r a p h e d e c o n i t p e r m e t d ' u t i l i s e r a u p l u s + 1 c o u l e u r s .

N o u s e n d d u i s o n s u n e b o r n e a s y m p t o t i q u e p o u r l e p r o b l m e d e r o u t a g e o p t i q u e

( G I ) : ~ w = O ( L ~ ) , o L r e p r s e n t e i c i l a p l u s p e t i t e l o n g u e u r m a x i m a l e d e s

c h e m i n s d ' u n r o u t a g e R t e l q u e ~ ( G I R ) = ~ ( G I ) . L e m m e r a i s o n n e m e n t

d a n s l e m o d l e n o n - o r i e n t c o n d u i t g a l e m e n t w = O ( L ) .

U n e s t r a t g i e g l o u t o n n e p l u s l a b o r e p o u r c o l o r e r l e s c h e m i n s d ' u n r o u t a g e

e s t p r o p o s e d a n s A B N C

+

9 4 , A B N C

+

9 6 ] . E l l e s ' a v r e p l u s e c a c e q u e l a p r c -

d e n t e s i l e p a r a m t r e L e s t s u s a m m e n t g r a n d . R e p r e n o n s l e s m m e s n o t a t i o n s

e t n o t o n s m l e n o m b r e d ' a r c s d u g r a p h e G . L a s o m m e d e s c h a r g e s d e s a r c s d e G

v a u t a u p l u s m ~ ( G I R ) , o r e l l e e s t g a l e d ' a u t r e p a r t l a s o m m e d e s l o n g u e u r s

d e s c h e m i n s d e R . P a r c o n s q u e n t , l e n o m b r e d e c h e m i n s d e l o n g u e u r a u m o i n s

p

m n e p e u t e x c d e r ~ ( G I R )

p

m . U n e c o u l e u r s p c i q u e e s t a t t r i b u e c h a c u n

d e c e s c h e m i n s . E n c o n s i d r a n t l e g r a p h e d e c o n i t d e s c h e m i n s r e s t a n t s e t e n

a p p l i q u a n t l a m m e c o l o r a t i o n g l o u t o n n e q u e p r c d e m m e n t , o n p e u t c o m p l t e r

l a c o l o r a t i o n e n u t i l i s a n t a u p l u s ~ ( G I R )

p

m c o u l e u r s s u p p l m e n t a i r e s . I l e n

d c o u l e l e r s u l t a t s u i v a n t , f o r m u l i n i t i a l e m e n t d a n s l e m o d l e n o n - o r i e n t :

T h o r m e 3 . 1 . 7 ( A g g a r w a l e t a l . A B N C

+

9 4 ] ) P o u r t o u t p r o b l m e ( G I ) ,

o G a m a r c s ,

~ w ( G I )

2 ~ ( G I )

p

m :

D a n s l e m m e t e m p s , i l e s t m o n t r d a n s A B N C

+

9 4 , A B N C

+

9 6 ] q u e l e s d e u x

b o r n e s s u p r i e u r e s i s s u e s d e s c o l o r a t i o n s g l o u t o n n e s m e n t i o n n e s c i - d e s s u s s o n t

o p t i m a l e s u n f a c t e u r c o n s t a n t p r s . P l u s p r c i s m e n t , i l e s t f o u r n i u n e f a m i l l e

d e p r o b l m e s n o n - o r i e n t s , d o n t u n e r e p r s e n t a t i o n e s t d o n n e p a r l a g u r e 3 . 2 ,

t e l l e q u e w = ( m i n f L

p

m g ) , o L r e p r s e n t e l a d i s t a n c e m a x i m a l e e n t r e

d e u x s o m m e t s f o r m a n t u n e r e q u t e e t m l e n o m b r e d ' a r t e s d u g r a p h e .

C e t t e f a m i l l e d e c a s p a t h o l o g i q u e s r e p o s e s u r u n e t o p o l o g i e e n " p s e u d o - g r i l l e " ,

t e l l e q u ' e l l e e s t r e p r s e n t e s u r l a g u r e 3 . 2 . P o u r u n e n t i e r n 2 d o n n , l a

p s e u d o - g r i l l e G

n

e s t c o n s t i t u e d e n n u d s s o u r c e s f s

1

s

2

: : : s

n

g , d e 2 n ; 2

c o l o n n e s d e 2 n ; 1 n u d s c h a c u n e e t d e n n u d s d e s t i n a t i o n s f t

1

t

2

: : : t

n

g ,

r e l i s e n t r e e u x c o m m e i l e s t m o n t r s u r l a g u r e 3 . 2 p o u r n = 4 . L e n o m b r e

d ' a r t e s d e G

n

e s t a i n s i m = O ( n

2

) . N o t o n s I

n

l ' i n s t a n c e f ( s

i

t

i

) g

1 i n

e t I

k

n

l ' i n s t a n c e f o r m e p a r k c o p i e s d e l ' i n s t a n c e I

n

. D a n s t o u s l e s c a s , l a d i s t a n c e

m a x i m a l e p o u r u n e r e q u t e v a u t L = 4 n ; 3 = O ( n ) . R e m a r q u o n s d ' a b o r d q u e

d e u x r e q u t e s q u e l c o n q u e s d a n s I

n

e n t r e n t n c e s s a i r e m e n t e n c o n i t , p u i s q u ' i l

n ' e x i s t e p a s d e u x c h e m i n s a r t e - d i s j o i n t s r e l i a n t d e u x p a i r e s s o u r c e - d e s t i n a t i o n .

O n e n d d u i t q u e w ( G

n

I

n

) = n = ( m i n f L

p

m g ) . P a r a i l l e u r s , n o t o n s q u e

l ' i n s t a n c e I

n

p e u t t r e r o u t e a v e c u n e c h a r g e m a x i m a l e d e ( G

n

I

n

) = 2 = O ( 1 )

( v o i r g u r e 3 . 2 ) . E n c o n s i d r a n t p r s e n t l ' i n s t a n c e I

k

n

, o n o b t i e n t p o u r l a

6 3



m m e r a i s o n q u e w ( G

n

I

k

n

) = k n , o r ( G

n

I

k

n

) = O ( k ) . N o u s a v o n s d o n c b i e n

w ( G

n

I

k

n

) = k n = (

m i n

f L

p

m

g ) .

s1

s2

s3

s4

t4

t3

t2

t1

F i g u r e 3 . 2 : I n s t a n c e p a t h o l o g i q u e d a n s u n e p s e u d o - g r i l l e n o n - o r i e n t e .

L a q u e s t i o n s e p o s e a l o r s d e s a v o i r s i c e d e r n i e r r s u l t a t e s t t r a n s p o s a b l e d a n s

l e m o d l e o r i e n t . N o u s p o u v o n s r p o n d r e p a r l ' a r m a t i v e , m a i s l e p r o b l m e

r e s t e o u v e r t d a n s l e c a s o r i e n t s y m t r i q u e .

P r o p o s i t i o n 3 . 1 . 8 P o u r t o u t e t t o u t L , i l e x i s t e u n g r a p h e o r i e n t G e t

u n e i n s t a n c e I t e l s q u e

~ ( G I ) m a x

( x y ) 2 I

d ( x y ) L e t ~ w ( G I ) = ( L ) :

L a p r e u v e d e c e t t e p r o p o s i t i o n e s t e n t o u s p o i n t s s e m b l a b l e l a p r c d e n t e

d m o n s t r a t i o n . E l l e r e p o s e s u r l a c o n s t r u c t i o n d e l a g u r e 3 . 3 , i d e n t i q u e c e l l e

d e l a g u r e 3 . 2 s i c e n ' e s t l ' o r i e n t a t i o n d e s a r c s . C e t t e o r i e n t a t i o n p e r m e t d e

c o n s e r v e r l a p r o p r i t q u e d e u x r e q u t e s e n t r e n t n c e s s a i r e m e n t e n c o n i t , d u

f a i t q u ' i l n ' e x i s t e p a s d e u x c h e m i n s a r c - d i s j o i n t s r e l i a n t d e u x c o u p l e s s o u r c e -

d e s t i n a t i o n . N o t o n s q u e l a m m e t o p o l o g i e o r i e n t e s y m t r i q u e m e n t n e p o s s d e

p l u s c e t t e p r o p r i t , p u i s q u ' a l o r s d e u x c h e m i n s o n t l a p o s s i b i l i t d e s e c r o i s e r

v e r t i c a l e m e n t e n s e n s i n v e r s e s a n s g n r e r d e c o n i t .

N o u s a v o n s v u p r c d e m m e n t q u e l a r s o l u t i o n d u p r o b l m e d e r o u t a g e

o p t i q u e p e u t t r e d c o m p o s e e n d e u x t a p e s ( t r o u v e r u n r o u t a g e d e c h a r g e

m i n i m a l e e t c o l o r e r s e s c h e m i n s ) , c h a c u n e d ' e l l e s d e m e u r a n t c e p e n d a n t i n t r i n -

s q u e m e n t d i c i l e o p t i m i s e r . I l e s t n o t e r q u e c e t t e a p p r o c h e s o u v e n t u t i -

l i s e n e c o n d u i t p a s n c e s s a i r e m e n t u n e s o l u t i o n o p t i m a l e , m m e s i c h a c u n

d e s d e u x s o u s - p r o b l m e s e s t r s o l u d e f a o n o p t i m a l e . E n e e t , n o u s p o u v o n s

6 4



s1

s2

s3

s4 t1

t2

t3

t4

F i g u r e 3 . 3 : I n s t a n c e p a t h o l o g i q u e d a n s u n e p s e u d o - g r i l l e o r i e n t e n o n - s y m t r i q u e .

c o n s t r u i r e u n p r o b l m e ( G I ) t e l q u e t o u t r o u t a g e R r a l i s a n t I , d e c h a r g e m i n -

i m a l e ~ ( G I R ) = ~ ( G I ) , n ' e s t p a s c o l o r a b l e a v e c ~ w ( G I ) c o u l e u r s . A u t r e m e n t

d i t , u n r o u t a g e o p t i q u e o p t i m a l p o u r c e p r o b l m e p a r t i c u l i e r n ' e s t p a s u n r o u t a g e

o p t i m a l e n t e r m e s d e c h a r g e ( c e q u i r p o n d u n e q u e s t i o n p o s e d a n s B B G

+

9 7 ] ) .

P r o p o s i t i o n 3 . 1 . 9 I l n ' e x i s t e p a s t o u j o u r s d e r o u t a g e R r a l i s a n t u n e

i n s t a n c e I d a n s u n g r a p h e o r i e n t G , t e l q u e ~ ( G I R ) = ~ ( G I ) e t ~ w ( G I R ) =

~ w ( G I ) .

P r e u v e . N o u s d o n n o n s u n e c o n s t r u c t i o n d a n s u n g r a p h e o r i e n t n o n -

s y m t r i q u e , q u i r e p r e n d l a s t r u c t u r e e n p s e u d o - g r i l l e v e n a n t d ' t r e p r s e n t e .

P o u r t o u t e n t i e r n 2 , l e g r a p h e H

n

e s t c o n s t r u i t p a r t i r d u g r a p h e G

n

r e p r s e n t s u r l a g u r e 3 . 3 , a u q u e l o n a j o u t e d e u x s o m m e t s s e t t a i n s i q u e

l ' a r c ( s t ) e t t o u s l e s a r c s ( s

i

s ) , ( t t

i

) , p o u r 1 i n , c o m m e l e m o n t r e l a

g u r e 3 . 4 p o u r n = 4 .

N o u s r e p r e n o n s l a n o t a t i o n I

n

p o u r l ' i n s t a n c e f ( s

i

t

i

) g

1 i n

. C o m m e p r c -

d e m m e n t , n o u s a v o n s ~ ( H

n

I

n

) = 2 . P a r c o n s q u e n t , d a n s t o u t r o u t a g e R

n

r a l i s a n t I

n

, d e c h a r g e m a x i m a l e ~ ( H

n

I

n

R

n

) = ~ ( H

n

I

n

) , a u m o i n s n ; 2

c h e m i n s n ' u t i l i s e n t p a s l ' a r c ( s t ) , d ' o ~ w ( H

n

I

n

R

n

) n ; 2 . O r i l n ' e s t p a s

d i c i l e d e v o i r q u e ~ w ( H

n

I

n

) = d n = 2 e , p u i s q u ' e n r o u t a n t x r e q u t e s p a r l ' a r c

( s t ) e t n ; x r e q u t e s p a r l e s o u s - g r a p h e G

n

, o n o b t i e n t u n r o u t a g e c o l o r a b l e

a v e c m a x

f x n

; x

g c o u l e u r s .

N o t o n s e n n q u ' e n d n i s s a n t l e m u l t i g r a p h e H

0

n

p a r t i r d u g r a p h e H

n

e n

m u l t i p l i a n t l ' a r c ( s t ) p a r u n f a c t e u r c = n = 4 ; 1 ( o u e n r e l i a n t s t p a r c

c h e m i n s a r c - d i s j o i n t s , a n q u e H

0

n

s o i t u n g r a p h e s i m p l e ) , o n o b t i e n t a l o r s q u e

~ ( H

0

n

I

n

) = 2 e t ~ w ( H

0

n

I

n

) = 4 , a l o r s q u e t o u t r o u t a g e R

n

d e c h a r g e 2 n c e s s i t e

6 5



s3

s2

s1

s4 t1

t2

t3

t4

ts

F i g u r e 3 . 4 : P s e u d o - g r i l l e H

4

a v e c r a c c o u r c i .

n = 2 ; 2 c o u l e u r s . L e r a p p o r t ~ w ( H

0

n

I

n

R

n

) = ~ w ( H

0

n

I

n

) e s t a i n s i d e l ' o r d r e d e n = 8 .

2

Q u e s t i o n 3 . 1 . 1 0 Q u ' e n e s t - i l d e s p r o p o s i t i o n s 3 . 1 . 8 e t 3 . 1 . 9 d a n s l e c a s o r i -

e n t s y m t r i q u e ?

L a p r e m i r e p a r t i e d e c e t t e q u e s t i o n r e v i e n t s e t r o u v e r d e s c o n s t r u c t i o n s

o r i e n t e s s y m t r i q u e s t e l l e s q u e l e s p a r a m t r e s ~ w e t ~ d i r e n t s i g n i c a t i v e -

m e n t . D e t e l l e s c o n s t r u c t i o n s p o u r r a i e n t a l o r s v e n t u e l l e m e n t t r e e x p l o i t e s

p o u r r p o n d r e l a s e c o n d e p a r t i e d e l a q u e s t i o n , c o m m e i l a t f a i t p r c d e m -

m e n t p o u r l a p r o p o s i t i o n 3 . 1 . 9 .

D a n s c e t t e p e r s p e c t i v e , n o u s p o u v o n s f o u r n i r u n l m e n t d e r p o n s e e n c o n -

s i d r a n t l e c y c l e C

N

. N o u s a l l o n s d n i r u n e i n s t a n c e I

N

t e l l e q u e ~ w ( C

N

I

N

) =

N = 2 = 2 ~ ( C

N

I

N

) ; 1 . A i n s i , d a n s l e c a s o r i e n t s y m t r i q u e , ~ w e t ~ p e u v e n t

d i r e r d ' u n f a c t e u r 2 .

P o s o n s N = 2 ( 2 k + 1 ) e t r e p r s e n t o n s l e s s o m m e t s d e C

N

p a r l e s e n t i e r s

m o d u l o N . S o i e n t J

N

= f ( 2 i m o d N 2 i + N = 2 m o d N ) g

1 i N = 2

e t I

N

l ' i n s t a n c e

f o r m e p a r d e u x c o p i e s d e J

N

. N o u s a v o n s d o n c d a n s I

N

u n t o t a l d e N r e q u t e s

e t c l a i r e m e n t t o u t e s l e s r e q u t e s q u i s o n t r o u t e s d a n s l e m m e s e n s e n t r e n t

e n c o n i t . N o u s e n d d u i s o n s q u e ~ w ( C

N

I

N

) = N = 2 . P a r a i l l e u r s , n o u s p o u v o n s

m o n t r e r q u ' u n r o u t a g e o p t i m a l p o u r l a c h a r g e c o n s i s t e r o u t e r d a n s l e s d e u x s e n s

o p p o s s c h a q u e p a i r e d e r e q u t e s i d e n t i q u e s , c o m m e i l e s t m o n t r s u r l a g u r e 3 . 5

p o u r N = 6 , c e q u i d o n n e u n e c h a r g e m a x i m a l e d e k + 1 =

d N = 4

e . C o m m e t o u t

r o u t a g e p o u r I

N

c o m p o r t e N c h e m i n s d e l o n g u e u r N = 2 e t l e c y c l e C

N

c o n t i e n t 2 N

6 6



a r c s , N

2

= 4 N = N = 4 e s t l a c h a r g e m o y e n n e d e s a r c s e t d o n c ~ ( C

N

I

N

) =

d N = 4

e .

F i g u r e 3 . 5 : R o u t a g e o p t i q u e p o u r ( C

6

I

6

) .

N o u s a l l o n s p r s e n t n o u s i n t r e s s e r a u x l i e n s e n t r e l e p r o b l m e d e r o u t a g e

o p t i q u e e t l ' a r c - c o n n e x i t .

D f i n i t i o n s . S o i t G = ( V A ) u n g r a p h e o r i e n t f o r t e m e n t c o n n e x e .

- P o u r t o u t S V ( G ) , o n n o t e m ( S ) l e n o m b r e d ' a r c s d e A ( G ) a y a n t s e u l e -

m e n t l e u r e x t r m i t i n i t i a l e d a n s S .

- L ' a r c - c o n n e x i t ( G ) d e G e s t l e n o m b r e m i n i m u m d ' a r c s d o n t l a s u p -

p r e s s i o n r e n d l e g r a p h e n o n f o r t e m e n t c o n n e x e : ( G ) = m i n

S V ( G )

m ( S ) .

- O n d i t q u e G e s t k - a r c - c o n n e x e s i ( G ) k .

- L ' a r c - c o n n e x i t c

G

( r ) d ' u n s o m m e t r 2 V ( G ) e s t l e n o m b r e m i n i m u m

d ' a r c s d o n t l a s u p p r e s s i o n r e n d u n s o m m e t d e V ( G ) n o n a c c e s s i b l e p a r t i r

d e r : c

G

( r ) = m i n

r 2 S V ( G )

m ( S ) .

L e s v e r s i o n s o r i e n t e s d e s t h o r m e s d e M e n g e r , q u e l ' o n p e u t t r o u v e r p a r

e x e m p l e d a n s l e l i v r e d e B e r g e B e r 8 3 ] , p e r m e t t e n t d e r e l i e r l e s n o t i o n s g l o b a l e e t

l o c a l e d e l ' a r c - c o n n e x i t a v e c l e p r o b l m e d u r o u t a g e a r c - d i s j o i n t . N o u s d o n n o n s

i c i l a v e r s i o n l o c a l e .

T h o r m e 3 . 1 . 1 1 ( M e n g e r ) P o u r t o u t c o u p l e ( r t ) d e s o m m e t s d a n s u n

g r a p h e o r i e n t G , l e n o m b r e m a x i m u m d e c h e m i n s a r c - d i s j o i n t s d e r v e r s t e s t

c

G

( r ) .

D a n s u n g r a p h e o r i e n t , u n a r b r e d e r e c o u v r e m e n t e n r a c i n e s t u n a r b r e

q u i p e r m e t d ' a t t e i n d r e t o u t s o m m e t p a r t i r d e l a r a c i n e . L e t h o r m e s u i v a n t

m o n t r e q u e l ' a r c - c o n n e x i t d o n n e u n e p r o p r i t e n c o r e p l u s f o r t e q u e c e l l e d c r i t e

p a r l e t h o r m e d e M e n g e r .

6 7



T h o r m e 3 . 1 . 1 2 ( E d m o n d s E d m 7 2 ] ) P o u r t o u t s o m m e t r d a n s u n g r a p h e

o r i e n t G , l e n o m b r e m a x i m u m d ' a r b r e s d e r e c o u v r e m e n t a r c - d i s j o i n t s e n r a c i n s

e n r e s t c

G

( r ) .

U n e c o n s q u e n c e t r s i n t r e s s a n t e d e c e t h o r m e f o n d a m e n t a l a t t a b l i e

d a n s S h i 7 9 ] .

C o r o l l a i r e 3 . 1 . 1 3 ( S h i l o a c h ( e t T a r j a n ) S h i 7 9 ] ) P o u r k c o u p l e s q u e l c o n q u e s

d e s o m m e t s ( s

1

t

1

) : : : ( s

k

t

k

) d a n s u n g r a p h e o r i e n t k - a r c - c o n n e x e , i l e x i s t e

k c h e m i n s a r c - d i s j o i n t s P

1

: : : P

k

t e l s q u e P

i

e s t u n c h e m i n d e s

i

v e r s t

i

, p o u r

1 i k .

P r e u v e . A j o u t o n s a u g r a p h e G u n s o m m e t r a i n s i q u e l e s a r c s ( r s

i

) ,

p o u r 1 i k , p o u r f o r m e r l e g r a p h e G

0

. L e g r a p h e G t a n t k - a r c - c o n n e x e ,

c

G

0

( r ) = k . E n a p p l i q u a n t l e t h o r m e 3 . 1 . 1 2 , o n o b t i e n t k a r b r e s d e r e c o u v r e m e n t

a r c - d i s j o i n t s e n r a c i n s e n r e t u n c h e m i n d a n s c h a c u n r e s p e c t i v e m e n t d e r v e r s

c h a q u e t

i

e n p a s s a n t p a r s

i

, c e q u i i n d u i t l e r s u l t a t . 2

T o u s l e s r s u l t a t m e n t i o n n s s u r l ' a r c - c o n n e x i t s o n t a c c o m p a g n s d a n s l a

l i t t r a t u r e d ' a l g o r i t h m e s p o l y n m i a u x p e r m e t t a n t d ' e x h i b e r d e s s o l u t i o n s e e c -

t i v e s . L e d e r n i e r r s u l t a t n o u s p e r m e t d ' e n d d u i r e u n e m t h o d e e c a c e p o u r

r s o u d r e u n p r o b l m e d e r o u t a g e o p t i q u e ( G I ) d a n s u n g r a p h e d ' a r c - c o n n e x i t .

E n p a r t i t i o n n a n t l ' e n s e m b l e d e s r e q u t e s e n d j I j = e s o u s - e n s e m b l e s d e t a i l l e a u

p l u s , o n p e u t a l o r s r o u t e r c h a c u n p a r d e s c h e m i n s a r c s - d i s j o i n t s e t l u i a t t r i b u e r

a i n s i u n e l o n g u e u r d ' o n d e s p c i q u e .

C o r o l l a i r e 3 . 1 . 1 4 P o u r t o u t g r a p h e o r i e n t G d ' a r c - c o n n e x i t e t p o u r t o u t e

i n s t a n c e I , l e p r o b l m e d e r o u t a g e o p t i q u e ( G I ) p e u t t r e r s o l u e n t e m p s p o l y -

n m i a l e n u t i l i s a n t d j I j = e l o n g u e u r s d ' o n d e .

3 . 1 . 2 P e r m u t a t i o n s e t k - r e l a t i o n s

D a n s s a t h s e P a n 9 2 ] e t d a n s P G 9 5 ] , P a n k a j a d t e r m i n u n e b o r n e i n f r i e u r e s u r

l a c h a r g e n c e s s a i r e d a n s l e p i r e d e s c a s p o u r r o u t e r u n e i n s t a n c e d e p e r m u t a t i o n

d a n s u n g r a p h e q u e l c o n q u e d e d e g r m a x i m u m d o n n . L a t e c h n i q u e u t i l i s e

r e p o s e s u r l a c o n s t r u c t i o n d ' u n e i n s t a n c e d e p e r m u t a t i o n d o n t l e s r e q u t e s s o n t

d i s t a n t e s , d e m a n i r e m a x i m i s e r l a s o m m e d e s d i s t a n c e s d e l ' i n s t a n c e . E n

d i v i s a n t c e t t e s o m m e p a r l e n o m b r e d e l i e n s d a n s l e g r a p h e , o n o b t i e n t u n e

m i n o r a t i o n d e l a c h a r g e m o y e n n e d ' u n r o u t a g e , e t d o n c d e l a c h a r g e m a x i m a l e .

P l u s p r c i s m e n t , i l e s t m o n t r q u e d a n s t o u t g r a p h e o r i e n t G d e d e g r

e n t r a n t o u s o r t a n t m a x i m u m 2 , i l e x i s t e u n e i n s t a n c e d e p e r m u t a t i o n I

1

6 8



t e l l e q u e ~ ( G I

1

)

b l o g

N = 2 c

2

. L a p r e u v e d o n n e d a n s P G 9 5 ] p e u t t r e m o d i e

a n d ' a m l i o r e r l e r s u l t a t . A u s s i n o u s d o n n o n s d i r e c t e m e n t l e t h o r m e o p t i m i s

e t s a p r e u v e :

P r o p o s i t i o n 3 . 1 . 1 5 P o u r t o u t g r a p h e o r i e n t G d e d e g r s m a x i m u m s o r t a n t

e t e n t r a n t

+

;

2 , a v e c = m a x f

+

;

g e t = m i n f

+

;

g , i l e x i s t e

u n e i n s t a n c e d e p e r m u t a t i o n I

1

t e l l e q u e

~ w ( G I

1

) ~ ( G I

1

)

b l o g

( N ; 1 ) c

:

P r e u v e . S u p p o s o n s q u e =

+

( e t =

;

) . L e c a s i n v e r s e e s t i d e n t i q u e

p a r s y m t r i e . P o u r t o u t s o m m e t x d a n s G , i l y a a u p l u s s o m m e t s d i s t a n c e 1

d e x , e t p l u s g n r a l e m e n t a u p l u s

d

d i s t a n c e d . D o n c l e n o m b r e d e s o m m e t s

d i s t a n c e < d d e x e s t a u p l u s

d ; 1

X

i = 0

i

=

d

; 1

; 1

d

A i n s i , e n p o s a n t d

0

= b l o g

( N ; 1 ) c , o n o b t i e n t q u e l e n o m b r e d e s o m m e t s

d i s t a n c e < d

0

d e x e s t a u p l u s N ; 1 . P a r c o n s q u e n t , i l e x i s t e u n s o m m e t

d i s t a n c e a u m o i n s d

0

d e t o u t s o m m e t x .

C o n s t r u i s o n s p r s e n t u n g r a p h e b i p a r t i H = ( V

1

V

2

E ) o V

1

e t V

2

s o n t

d e u x c o p i e s d e V ( G ) e t t e l q u e l ' a r t e f x

1

y

2

g e s t d a n s E s i e t s e u l e m e n t s i

d

G

( x y ) d

0

, o x e t y s o n t l e s d e u x s o m m e t s c o r r e s p o n d a n t s d a n s G . D ' a p r s

c e q u i p r c d e , t o u s l e s s o m m e t s d e V

1

o n t u n d e g r a u m o i n s 1 , e t l e s s o m -

m e t s d e V

2

a u s s i p a r l e r a i s o n n e m e n t s y m t r i q u e , p u i s q u e d

0

b l o g

;

( N ; 1 ) c .

L e t h o r m e d e K n i g - H a l l ( d o n t u n c o r o l l a i r e a r m e q u ' i l e x i s t e d a n s t o u t

( m u l t i ) g r a p h e b i p a r t i u n c o u p l a g e s a t u r a n t t o u s l e s s o m m e t s d e d e g r m a x i m u m ,

v o i r p a r e x e m p l e B e r 8 3 ] ) i m p l i q u e a l o r s l ' e x i s t e n c e d ' u n c o u p l a g e p a r f a i t d a n s H ,

q u i i n d u i t d e f a o n n a t u r e l l e u n e p e r m u t a t i o n I

1

s u r l e s s o m m e t s d e G ( t o u t e a r t e

f x

1

y

2

g d u c o u p l a g e i n d u i t l a r e q u t e ( x y ) ) .

N o u s a v o n s d o n c m o n t r l ' e x i s t e n c e d ' u n e i n s t a n c e d e p e r m u t a t i o n d a n s l e

g r a p h e G q u i n c e s s i t e N c h e m i n s , c h a c u n d e l o n g u e u r a u m o i n s d

0

. L a c h a r g e

d ' u n r o u t a g e p o u r c e t t e i n s t a n c e e s t m i n o r e p a r l e r a p p o r t e n t r e l a s o m m e d e s

l o n g u e u r s d e s e s c h e m i n s e t l e n o m b r e d ' a r c s v a l a n t a u p l u s N , c e q u i d o n n e

~ w ( G I

1

) ~ ( G I

1

)

d

0

N

N

=

b l o g

( N ; 1 ) c

. 2

L a m m e t e c h n i q u e d e d m o n s t r a t i o n p e r m e t d ' o b t e n i r u n r s u l t a t e n c o r e p l u s

s a t i s f a i s a n t d a n s l e c a s d e s g r a p h e s o r i e n t s s y m t r i q u e s e t s o m m e t - t r a n s i t i f s .

D f i n i t i o n . U n g r a p h e o r i e n t G = ( V A ) e s t s o m m e t - t r a n s i t i f s i p o u r

t o u t c o u p l e d e s o m m e t s ( a b ) , i l e x i s t e u n e b i j e c t i o n s u r l ' e n s e m b l e V ( G ) , t e l l e

q u e ( a ) = b e t ( x y ) 2 A ( G ) s i e t s e u l e m e n t s i ( ( x ) ( y ) ) 2 A ( G ) .

6 9



P r o p o s i t i o n 3 . 1 . 1 6 ( P a n k a j P a n 9 2 ] ) P o u r t o u t g r a p h e o r i e n t s y m t r i q u e e t

s o m m e t - t r a n s i t i f G d e d i a m t r e D e t d e d e g r m a x i m u m , i l e x i s t e u n e i n s t a n c e

d e p e r m u t a t i o n I

1

t e l l e q u e

~ w ( G I

1

)

~ ( G I

1

)

D

:

R e m a r q u e . N o t o n s q u e c e t t e d e r n i r e b o r n e n e p e u t t r e a m l i o r e , p u i s q u ' e l l e

s ' a p p l i q u e e x a c t e m e n t a u c a s d e l ' h y p e r c u b e , o D = = 1 . E n e e t , c o m m e n o u s

l e v e r r o n s u l t r i e u r e m e n t , l ' i n s t a n c e f o r m e d e s c o u p l e s d e s o m m e t s a n t i p o d a u x

( d e c h a r g e u n i f o r m e 1 ) p e u t t r e r o u t e a v e c u n e s e u l e l o n g u e u r d ' o n d e .

I n t r e s s o n s - n o u s p r s e n t a u x k - r e l a t i o n s . P o u r r a p p e l , u n e k - r e l a t i o n e s t

u n e i n s t a n c e d e c o m m u n i c a t i o n o c h a q u e s o m m e t e s t o r i g i n e e t d e s t i n a t i o n d ' a u

p l u s k r e q u t e s . P a r l e t h o r m e d e K n i g - H a l l , o n p e u t p a r t i t i o n n e r u n e k -

r e l a t i o n e n k i n s t a n c e s d e p e r m u t a t i o n . R c i p r o q u e m e n t , l ' u n i o n d e k i n s t a n c e s d e

p e r m u t a t i o n d o n n e u n e k - r e l a t i o n ( q u i p e u t t r e u n e m u l t i - i n s t a n c e , o c e r t a i n e s

r e q u t e s p e u v e n t a p p a r a t r e p l u s i e u r s f o i s ) . A i n s i , l e s d e u x t h o r m e s p r c d e n t s

p e u v e n t t r e f a c i l e m e n t a d a p t s a u c a s d e s k - r e l a t i o n s , e n m u l t i p l i a n t l e s b o r n e s

i n f r i e u r e s p a r k .

E n s ' i n s p i r a n t d e l a c o n s t r u c t i o n d e l a g u r e 3 . 2 d o n n e p a r A g g a r w a l e t

a l . A B N C

+

9 4 , A B N C

+

9 6 ] , R a g h a v a n e t U p f a l o n t o b t e n u d a n s R U 9 4 ] u n e b o r n e

i n f r i e u r e p o u r l e r o u t a g e o p t i q u e n o n - o r i e n t d e s k - r e l a t i o n s , q u i t i e n t c o m p t e d e

l ' a r t e - e x p a n s i o n d u g r a p h e . E n a d a p t a n t l e u r p r e u v e l ' a i d e d e l a c o n s t r u c t i o n

d e l a g u r e 3 . 3 , o n o b t i e n t u n r s u l t a t q u i v a l e n t d a n s l e m o d l e o r i e n t , q u i t i e n t

c o m p t e d e l ' a r c - e x p a n s i o n d u g r a p h e .

D f i n i t i o n . S o i t G = ( V A ) u n g r a p h e o r i e n t . P o u r t o u t S V ( G ) , s o i t

m ( S ) l e n o m b r e d ' a r c s a y a n t s e u l e m e n t l e u r e x t r m i t i n i t i a l e d a n s S .

L ' a r c - e x p a n s i o n d e G e s t a l o r s d n i e p a r

( G ) = m i n

1 j S j N = 2

m ( S )

j S j

:

C e p a r a m t r e a t t u d i d a n s l e c a s d e s g r a p h e s n o n - o r i e n t s p a r M o -

h a r M o h 8 9 ] s o u s l e n o m d e n o m b r e i s o p r i m t r i q u e . U n e d n i t i o n l g r e m e n t

d i r e n t e a t c o n s i d r e p a r S o l d a n s S o l 9 5 ] . S o n i n v e r s e p e u t s e v o i r c o m m e

u n m i n o r a n t d e l a c h a r g e n c e s s a i r e p o u r r o u t e r u n e p e r m u t a t i o n d a n s l e p i r e c a s .

O n p e u t d e m m e m o n t r e r f a c i l e m e n t q u e p o u r t o u t g r a p h e G o r i e n t d ' o r d r e N ,

( G ) : ~ ( G I

A

)

N = 2 , o I

A

e s t l ' i n s t a n c e d e l ' c h a n g e t o t a l . C e p a r a m t r e v a u t

p a r e x e m p l e = N = 2 p o u r l e g r a p h e c o m p l e t d ' o r d r e N e t = 2 = N p o u r l e

7 0



c h e m i n d e l o n g u e u r N , e t p o u r c e s d e u x g r a p h e s o n a l ' g a l i t d a n s l a r e l a t i o n

p r c d e n t e s i N e s t p a i r . D a n s l e c a s d u c h e m i n , i l e s t f a c i l e d e c o n s t r u i r e u n e

k - r e l a t i o n c o m p r e n a n t k N = 2 r e q u t e s d e v a n t t o u t e s u t i l i s e r l e m m e a r c c e n t r a l .

L e n o m b r e d e c o u l e u r s p o u r c e t t e i n s t a n c e s e r a a l o r s g a l ~ w = k N = 2 = k = . L e

r s u l t a t s u i v a n t m o n t r e q u ' o n p e u t s e t r o u v e r d a n s u n e s i t u a t i o n e n c o r e p i r e , e n

t e r m e s d ' a r c - e x p a n s i o n .

P r o p o s i t i o n 3 . 1 . 1 7 ( ( d ' a p r s R a g h a v a n e t U p f a l R U 9 4 ] ) ) P o u r t o u t 1

e t t o u t 1 k N , i l e x i s t e u n g r a p h e o r i e n t G p l a n a i r e , d e d e g r b o r n e t

d ' a r c - e x p a n s i o n , e t u n e k - r e l a t i o n I

k

, t e l s q u e

~ w ( G I

k

) = ( k =

2

) :

P r e u v e . C o n s i d r o n s l a p s e u d o - g r i l l e o r i e n t e G

n

, r e p r s e n t e p o u r n = 4 s u r

l a g u r e 3 . 3 , s u r l a q u e l l e o n g r e e u n c h e m i n o r i e n t ( s y m t r i q u e ) d e l o n g u e u r n

s u r c h a q u e s

i

e t t

i

, p o u r 1 i n . L e g r a p h e o r i e n t H

n

a i n s i o b t e n u p o s s d e

u n e a r c - e x p a n s i o n a p p r o x i m a t i v e m e n t g a l e 1 = n , p o u r n g r a n d . C o n s t i t u o n s

p r s e n t l ' i n s t a n c e I

k

l ' a i d e d e k r e q u t e s ( s

j

i

t

j

i

) p o u r 1 i j n , o s

j

i

e t t

j

i

s o n t l e s j - m e s s o m m e t s d e s c h e m i n s r e l i s r e s p e c t i v e m e n t s

i

e t t

i

. I l s ' e n s u i t

q u e I

k

e s t u n e k - r e l a t i o n e t q u e t o u t e s s e s r e q u t e s e n t r e n t e n c o n i t , p o u r l e s

m m e s r a i s o n s q u e p r c d e m m e n t . N o u s a v o n s d o n c ~ w ( H

n

I

k

) = k n

2

= ( k =

2

) .

2

L a d e r n i r e p r o p o s i t i o n r e p o s e s u r l ' a d a p t a t i o n a u c a s o r i e n t q u i a p e r m i s

d ' o b t e n i r l a p r o p o s i t i o n 3 . 1 . 8 e t q u i n e c o n n a t p a s d ' q u i v a l e n t d a n s l e c a s

o r i e n t s y m t r i q u e . L a q u e s t i o n s u i v a n t e s e p o s e d o n c s u r l e m m e p l a n q u e

l a q u e s t i o n 3 . 1 . 1 0 .

Q u e s t i o n 3 . 1 . 1 8 L a p r o p o s i t i o n 3 . 1 . 1 7 e s t - e l l e v r i e p o u r l e s g r a p h e s

o r i e n t s s y m t r i q u e s ?

t a n t d o n n u n p r o b l m e d e r o u t a g e o p t i q u e ( G I ) , n o u s a v o n s t a b l i a u

d b u t d e c e c h a p i t r e q u e ~ w ( G I ) L ( R ) ~ ( G I R ) p o u r t o u t r o u t a g e R r a l i s a n t

l ' i n s t a n c e I , o L ( R ) e s t l a l o n g u e u r m a x i m a l e d e s c h e m i n s d e R . A i n s i , i l e s t

i n t r e s s a n t d e s a v o i r r o u t e r u n e i n s t a n c e e n m i n i m i s a n t l a f o i s l a c h a r g e e t l a

l o n g u e u r d e s c h e m i n s . C e p r o b l m e a t t r a i t p a r L e i g h t o n e t R a o L R 8 8 ] d a n s

l e m o d l e n o n - o r i e n t e t d a n s l e c a d r e d e s r s e a u x d e m u l t i o t . L e r s u l t a t q u i

n o u s i n t r e s s e c o n c e r n e l e s i n s t a n c e s d e p e r m u t a t i o n e t p e u t t r e t r a n s p o s a u

c a s o r i e n t s y m t r i q u e , c ' e s t p o u r q u o i n o u s l e f o r m u l o n s s o u s c e t t e f o r m e .

T h o r m e 3 . 1 . 1 9 ( L e i g h t o n e t R a o L R 8 8 ] ) P o u r t o u t g r a p h e o r i e n t s y m -

t r i q u e G d e d e g r b o r n e t d ' a r c - e x p a n s i o n , e t p o u r t o u t e i n s t a n c e d e p e r m u -

t a t i o n I

1

, o n p e u t o b t e n i r e n t e m p s p o l y n m i a l u n r o u t a g e R r a l i s a n t I

1

t e l q u e

~ ( G I

1

R ) = O ( l o g N = ) e t L ( R ) = O ( l o g N = ) , o L ( R ) e s t l a l o n g u e u r m a x i -

m a l e d e s c h e m i n s d e R .

7 1



M a l h e u r e u s e m e n t , a u c u n r s u l t a t q u i v a l e n t p o u r l e s g r a p h e s o r i e n t s n o n -

s y m t r i q u e s n ' e s t c o n n u , l e s p r o b l m e s d e m u l t i o t t a n t e n g n r a l p l u s d i f -

c i l e s r s o u d r e d a n s c e c a s . E n u t i l i s a n t l e t h o r m e p r c d e n t , A u m a n n e t

R a b a n i A R 9 5 ] o n t o b t e n u u n e b o r n e s u p r i e u r e q u i d c o u l e d e l a r e m a r q u e c i -

d e s s u s e t d u f a i t q u ' u n e k - r e l a t i o n p e u t t r e d c o m p o s e e n k p e r m u t a t i o n s . A u

v u d e l a p r o p o s i t i o n 3 . 1 . 1 7 , l e r s u l t a t s u i v a n t c o n s t i t u e u n e b o n n e a p p r o x i m a t i o n

a s y m p t o t i q u e d u p r o b l m e d e r o u t a g e o p t i q u e p o u r l e s k - r e l a t i o n s d a n s l e s c a s

l e s p i r e s .

C o r o l l a i r e 3 . 1 . 2 0 ( A u m a n n e t R a b a n i A R 9 5 ] ) P o u r t o u t g r a p h e o r i e n t

s y m t r i q u e G d e d e g r b o r n e t d ' a r c - e x p a n s i o n , e t p o u r t o u t e k - r e l a t i o n I

k

,

l e p r o b l m e d e r o u t a g e o p t i q u e ( G I

k

) p e u t t r e r s o l u e n t e m p s p o l y n m i a l e n

u t i l i s a n t O ( k l o g

2

N =

2

) l o n g u e u r s d ' o n d e .

3 . 1 . 3 D i u s i o n e t m u l t i c a s t

U n e i n s t a n c e d e d i u s i o n d a n s u n g r a p h e G = ( V A ) e s t c o n s t i t u e d e t o u s

l e s c o u p l e s ( u

0

v ) p o u r u n s o m m e t u

0

x : I

O

( u

0

) = f ( u

0

v ) j v 2 V ( G ) v 6=

u

0

g . I l s ' a g i t d o n c d e r o u t e r e t c o l o r e r N ; 1 r e q u t e s d e c o m m u n i c a t i o n . S i l e

d e g r s o r t a n t d e u

0

e s t n o t d

+

( u

0

) , a u m o i n s j I

O

( u

0

) j = d

+

( u

0

) c h e m i n s d o i v e n t

n c e s s a i r e m e n t p a r t a g e r u n a r c i s s u d e u

0

, d ' o ~ w ( G I

O

( u

0

) ) ~ ( G I

O

( u

0

) )

d

N ; 1

d

+

( u

0

)

e . P a r a i l l e u r s , s i G e s t k - a r c - c o n n e x e , e n u t i l i s a n t l e c o r o l l a i r e 3 . 1 . 1 4

o n a ~ w ( G I

O

( u

0

) ) d

N ; 1

k

e . D o n c , c o m m e i l a t m o n t r d a n s B G P

+

9 6 ] , c e l a

n o u s d o n n e l a v a l e u r e x a c t e d e ~ w ( G I

O

( u

0

) ) p o u r l a d i u s i o n d a n s u n g r a p h e

k - a r c - c o n n e x e p a r t i r d ' u n s o m m e t d e d e g r s o r t a n t k .

P r o p o s i t i o n 3 . 1 . 2 1 ( B e r m o n d e t a l . B G P

+

9 6 ] ) P o u r t o u t g r a p h e o r i e n t G

k - a r c - c o n n e x e e t p o u r u n e i n s t a n c e d e d i u s i o n I

O

( u

0

) p a r t i r d ' u n s o m m e t u

0

d e d e g r s o r t a n t k ,

~ w ( G I

O

( u

0

) ) = ~ ( G I

O

( u

0

) ) =

N ; 1

k

:

C e d e r n i e r r s u l t a t e s t i n t r e s s a n t c a r i l s ' a p p l i q u e p o u r d i u s e r p a r t i r d ' u n

s o m m e t d e d e g r s o r t a n t m i n i m u m d a n s l e s g r a p h e s d i t s d ' a r c - c o n n e x i t m a x i -

m a l e , p o u r l e s q u e l s l ' a r c - c o n n e x i t e s t j u s t e m e n t g a l e a u d e g r m i n i m u m s o r t a n t .

D ' a p r s u n t h o r m e d e M a d e r M a d 7 1 ] , l e s g r a p h e s s o m m e t - t r a n s i t i f s f o n t p a r t i e

d e c e t t e f a m i l l e , e t d o n c g a l e m e n t t o u s l e s g r a p h e s d e C a y l e y .

U n e g n r a l i s a t i o n d e l a p r o p o s i t i o n p r c d e n t e a t t a b l i e d a n s B H P 9 8 ]

e t f a i t l ' o b j e t d e l ' a r t i c l e e n a n n e x e A . U n e i n s t a n c e d e m u l t i c a s t e s t u n m u l t i -

e n s e m b l e d e r e q u t e s t e l q u e l a p r o j e c t i o n s u r l a p r e m i r e c o o r d o n n e e s t r d u i t e

7 2



u n s o m m e t u n i q u e . A i n s i u n e i n s t a n c e d e d i u s i o n e s t u n c a s p a r t i c u l i e r d e

m u l t i c a s t .

T h o r m e 3 . 1 . 2 2 ( B e a u q u i e r , H e l l e t P r e n n e s B H P 9 8 ] ) P o u r t o u t g r a p h e

o r i e n t G e t t o u t e i n s t a n c e d e m u l t i c a s t I

M

, l e p r o b l m e d e r o u t a g e o p t i q u e ( G I

M

)

p e u t t r e r s o l u d e f a o n o p t i m a l e e n t e m p s p o l y n m i a l , e t d e p l u s ,

~ w ( G I

M

) = ~ ( G I

M

) :

3 . 1 . 4 c h a n g e t o t a l

N o u s r a p p e l o n s q u e l ' i n s t a n c e d e l ' c h a n g e t o t a l d a n s u n g r a p h e G e s t d n i e

p a r I

A

= V ( G ) V ( G ) . T o u s l e s r s u l t a t s d e c e t t e s e c t i o n s o n t a c c o m p a g n s

d ' a l g o r i t h m e s o p t i m a u x r s o l v a n t l e s p r o b l m e s e n t e m p s p o l y n m i a l . N o t o n s

q u e l a c o m p l e x i t d e l a d t e r m i n a t i o n d e s p a r a m t r e s ~ ( G I

A

) e t ~ w ( G I

A

) e n

g n r a l d e m e u r e u n p r o b l m e o u v e r t .

B e r m o n d e t a l . d a n s B G P

+

9 6 ] e t i n d p e n d a m m e n t W i l f o n g d a n s W i l 9 6 ] o n t

t r a i t l e c a s d e s c y c l e s .

T h o r m e 3 . 1 . 2 3 D a n s t o u t c y c l e o r i e n t s y m t r i q u e C

N

,

~ w ( C

N

I

A

) = ~ ( C

N

I

A

) = d b N

2

= 4 c = 2 e :

L e c a s d e l ' h y p e r c u b e a t r s o l u p a r P a n k a j d a n s P a n 9 2 ] e t i n d p e n d a m m e n t

p a r B e r m o n d e t a l . d a n s B G P

+

9 6 ] .

T h o r m e 3 . 1 . 2 4 D a n s t o u t h y p e r c u b e o r i e n t s y m t r i q u e H

d

d e d i m e n -

s i o n d e t d ' o r d r e N = 2

d

,

~ w ( H

d

I

A

) = ~ ( H

d

I

A

) = 2

d ; 1

:

L e s t r o i s r s u l t a t s s u i v a n t s f o n t l ' o b j e t d e l ' a r t i c l e e n a n n e x e B . L e p r e m i e r

g n r a l i s e l e t h o r m e p r c d a n t e t a t m o n t r g a l e m e n t e n p a r t i e d a n s T o g 9 8 b ,

T o g 9 8 a ] .

T h o r m e 3 . 1 . 2 5 ( B e a u q u i e r B e a 9 9 ] ) S o i e n t n

1

n

2

: : : n

d

d e s e n t i e r s t e l s

q u e 2 n

1

n

2

: : : n

d

. E n n o t a n t p a r K ( n

1

n

2

: : : n

d

) l a s o m m e c a r t -

s i e n n e d e s d g r a p h e s c o m p l e t s K

n

i

( 1 i d ) o r i e n t s s y m t r i q u e s ,

~ w ( K ( n

1

n

2

: : : n

d

) I

A

) = ~ ( K ( n

1

n

2

: : : n

d

) I

A

) =

d

Y

i = 1

n

i

:

7 3



T h o r m e 3 . 1 . 2 6 ( B e a u q u i e r B e a 9 9 ] ) D a n s t o u t e g r i l l e t o r i q u e c a r r e C

d

n

d e d i m e n s i o n d , d e c t n e t d ' o r d r e N = n

d

,

~ w ( C

d

n

I

A

) = ~ ( C

d

n

I

A

) = n

d + 1

= 8 , s i n e s t p a i r , e t s i n o n ,

~ ( C

d

n

I

A

) = ( n

2

; 1 ) n

d ; 1

= 8 ~ w ( C

d

n

I

A

) ( n + 1 )

d + 1

= 8 = ~ w ( C

d

n + 1

I

A

)

T h o r m e 3 . 1 . 2 7 ( B e a u q u i e r B e a 9 9 ] ) D a n s t o u t e g r i l l e c a r r e P

d

n

d e d i m e n -

s i o n d , d e c t n e t d ' o r d r e N = n

d

,

~ w ( P

d

n

I

A

) = ~ ( P

d

n

I

A

) = n

d + 1

= 4 , s i n e s t p a i r , e t s i n o n ,

~ ( P

d

n

I

A

) = ( n

2

; 1 ) n

d ; 1

= 4 ~ w ( P

d

n

I

A

) ( n + 1 )

d + 1

= 4 = ~ w ( P

d

n + 1

I

A

)

E n n , l e c a s d e s a r b r e s d e c y c l e s a t c o n s i d r d a n s B P T 9 9 ] e t f a i t l ' o b j e t

d e l ' a n n e x e C . N o t o n s q u e c e t t e t u d e t r a i t e d e g r a p h e s m u n i s d ' u n e p o n d r a t i o n

s u r l e s s o m m e t s e t d ' u n c h a n g e t o t a l p o n d r e n c o n s q u e n c e .

D f i n i t i o n . U n a r b r e d e c y c l e s e s t u n g r a p h e f o r m p a r u n e u n i o n d e c y c l e s

q u i s ' i n t e r s e c t e n t d e u x - - d e u x e n a u p l u s u n s o m m e t , e t t e l q u e d e u x s o m m e t s

q u e l c o n q u e s p e u v e n t t r e r e l i s p a r e x a c t e m e n t d e u x c h e m i n s a r t e - d i s j o i n t s .

T h o r m e 3 . 1 . 2 8 ( B e a u q u i e r , P r e n n e s e t T t h B P T 9 9 ] ) D a n s t o u t a r b r e

d e c y c l e s p o n d r T , ~ w ( T I

A

) = ~ ( T I

A

) .

A u v u d e c e s r s u l t a t s v a r i s , u n e p e r s p e c t i v e d e r e c h e r c h e i n t r e s s a n t e s e r a i t

d e m o n t r e r l ' g a l i t e n t r e l e s p a r a m t r e s ~ w e t ~ p o u r l ' c h a n g e t o t a l d a n s t o u t

g r a p h e o r i e n t , m o i n s d e t r o u v e r u n c o n t r e - e x e m p l e . L a q u e s t i o n r e s t e o u v e r t e .

Q u e s t i o n 3 . 1 . 2 9 L ' g a l i t ~ w ( G I

A

) = ~ ( G I

A

) e s t - e l l e v r i e p o u r l ' i n s t a n c e

d ' c h a n g e t o t a l I

A

d a n s t o u t g r a p h e o r i e n t G ?

N o u s p e n s o n s q u e c ' e s t a u m o i n s l e c a s p o u r l e s g r a p h e s o r i e n t s s y m t r i q u e s .

C o n j e c t u r e 3 . 1 . 3 0 L ' g a l i t ~ w ( G I

A

) = ~ ( G I

A

) e s t v r i e p o u r l ' i n s t a n c e

d e l ' c h a n g e t o t a l I

A

d a n s t o u t g r a p h e o r i e n t s y m t r i q u e G .

L ' t u d e d u p a r a m t r e ( G I

A

) e n n o n - o r i e n t , q u i a t i n t r o d u i t i n i t i a l e m e n t

( p o u r l a c h a r g e d e s s o m m e t s ) p a r C h u n g e t a l . d a n s C C R S 8 7 ] s o u s l e n o m

d ' i n d i c e d e t r a n s m i s s i o n ( f o r w a r d i n g i n d e x ) e t q u i e s t s o u v e n t r e l i a u c a s o r i -

e n t , a d o n n l i e u d e s r s u l t a t s g n r a u x p a r H e y d e m a n n , M e y e r e t S o t t e a u

d a n s H M S 8 9 ] e t p a r H e y d e m a n n e t a l . d a n s H M O S 9 4 ] .

7 4



3 . 2 R s e a u x p a r t i c u l i e r s

L o r s q u e l a t o p o l o g i e d u r s e a u e s t p r d t e r m i n e , i l e s t s o u v e n t p l u s f a c i l e d ' e x -

p l o i t e r s e s p r o p r i t s s t r u c t u r e l l e s c o n n u e s l ' a v a n c e a n d e r s o u d r e e c a c e m e n t

l e p r o b l m e d u r o u t a g e o p t i q u e . Q u a n d c e p r o b l m e d e m e u r e N P - c o m p l e t m a l -

g r l a r e s t r i c t i o n u n e c e r t a i n e c l a s s e d e r s e a u x e t / o u u n e c e r t a i n e f a m i l l e

d ' i n s t a n c e s d e c o m m u n i c a t i o n , o n p a r v i e n t c e p e n d a n t o b t e n i r d e m e i l l e u r e s

a p p r o x i m a t i o n s q u e d a n s l e c a s g n r a l . N o u s c o n s i d r o n s e n p r e m i e r l i e u l e

c a s d e s a r b r e s , t r s f r q u e m m e n t u t i l i s s d a n s l e s r s e a u x d e t l c o m m u n i c a t i o n s

l o n g u e d i s t a n c e , p u i s n o u s t r a i t e r o n s c e r t a i n e s f a m i l l e s d e g r a p h e s p l u s a d a p t s

a u x r s e a u x l o c a u x , d e p a r l e u r f o r t e c o n n e x i t .

3 . 2 . 1 A r b r e s

D a n s n o t r e c o n t e x t e , u n a r b r e e s t u n g r a p h e o r i e n t s y m t r i q u e f o r t e m e n t c o n -

n e x e e t s a n s c i r c u i t . C e l a r e v i e n t d i r e q u ' i l e x i s t e u n s e u l c h e m i n l m e n t a i r e

r e l i a n t u n c o u p l e d e s o m m e t s d o n n s . P a r c o n s q u e n t , l e p r o b l m e d u r o u t a g e n e

s e p o s e p a s d a n s l e s a r b r e s : t o u t e s l e s r e q u t e s s o n t r o u t e s p a r l e s p l u s c o u r t s

c h e m i n s .

L ' e x e m p l e l e p l u s s i m p l e d ' a r b r e e s t l e c h e m i n . D a n s c e c a s , l a c o l o r a t i o n d e s

r e q u t e s p e u t s e f a i r e i n d p e n d a m m e n t p o u r c e l l e s q u i v o n t d a n s u n s e n s e t d a n s

l ' a u t r e , e t c h a c u n d e c e s d e u x s o u s - p r o b l m e s d e v i e n t u n p r o b l m e p o l y n m i a l

b i e n c o n n u : l a c o l o r a t i o n d e s s o m m e t s d u g r a p h e d ' i n t e r v a l l e s c o r r e s p o n -

d a n t . C ' e s t l e g r a p h e d e c o n i t c o n s t i t u d ' u n s o m m e t p a r r e q u t e e t d ' u n e

a r t e e n t r e r e q u t e s q u i s e c h e v a u c h e n t . U n e c o l o r a t i o n g l o u t o n n e d a n s l ' o r d r e

d e s s o u r c e s d e s r e q u t e s d o n n e u n e s o l u t i o n o p t i m a l e . A i n s i ~ w ( P

N

I ) = ~ ( P

N

I )

p o u r t o u t e i n s t a n c e I d a n s t o u t c h e m i n o r i e n t s y m t r i q u e P

N

d e l o n g u e u r N ; 1 .

U n e a u t r e f a m i l l e d ' a r b r e s r e l a t i v e m e n t s i m p l e e s t c e l l e d e s t o i l e s . U n e

t o i l e e s t u n a r b r e a y a n t u n s e u l s o m m e t d e d e g r s u p r i e u r 1 . L ' t o i l e

o r i e n t e s y m t r i q u e d ' o r d r e N 3 e s t n o t e S

N

.

L ' e x e m p l e d e l a g u r e 2 . 5 ( p a g e 4 6 ) m o n t r e q u e l ' g a l i t ~ w ( T I ) = ~ ( T I )

n ' e s t p a s v r i e p o u r t o u t a r b r e T e t t o u t e i n s t a n c e I . N o u s p o u v o n s c e p e n d a n t

c a r a c t r i s e r l e s a r b r e s p o u r l e s q u e l s c e t t e g a l i t e s t s a t i s f a i t e p o u r t o u t e i n s t a n c e .

D f i n i t i o n . U n e s u b d i v i s i o n d ' t o i l e ( s p i d e r e n a n g l a i s ) e s t u n a r b r e

a y a n t a u p l u s u n s o m m e t d e d e g r s u p r i e u r 2 .

T h o r m e 3 . 2 . 1 S o i t

T u n a r b r e o r i e n t s y m t r i q u e . L e s d e u x a s s e r t i o n s

s u i v a n t e s s o n t q u i v a l e n t e s :

7 5



( a )

T e s t u n e s u b d i v i s i o n d ' t o i l e .

( b ) P o u r t o u t e i n s t a n c e I , ~ w ( T I ) = ~ ( T I ) .

P r e u v e . O n p e u t d d u i r e d e s a d n i t i o n q u ' u n e s u b d i v i s i o n d ' t o i l e e s t

f o r m e p a r l ' u n i o n d e c h e m i n s q u i s ' i n t e r s e c t e n t t o u s e n u n m m e s o m m e t . L e s

c h e m i n s d e l o n g u e u r s 2 e t l e s t o i l e s s o n t d e s s u b d i v i s i o n s d ' t o i l e s p a r t i c u l i r e s .

O n a v u q u e l a c o n d i t i o n ( b ) e s t s a t i s f a i t e p o u r l e s c h e m i n s . M o n t r o n s q u ' e l l e e s t

a u s s i v r i e p o u r l e s t o i l e s .

N o t o n s V ( S

N

) = f u

1

u

2

: : : u

N

g l ' e n s e m b l e d e s s o m m e t s d e l ' t o i l e S

N

, d e

t e l l e m a n i r e q u e t o u s l e s s o m m e t s s a u f u

1

s o i e n t d e d e g r 1 . S o i t I u n e i n s t a n c e

d e c o m m u n i c a t i o n d a n s S

N

. O n p e u t s u p p o s e r s a n s p e r t e d e g n r a l i t q u e l e

s o m m e t u

1

n e f a i t p a r t i e d ' a u c u n e r e q u t e d e I . D a n s l e c a s c o n t r a i r e , l e s r e q u t e s

c o n c e r n a n t u

1

s e c o l o r e n t e n d e r n i e r f a c i l e m e n t e t e n c o n s e r v a n t l a p r o p r i t

d s i r e . S o i t G ( I ) = ( V

1

V

2

E ) l e ( m u l t i ) g r a p h e b i p a r t i t e l q u e V

1

= f a

i

g

1 < i N

,

V

2

= f b

j

g

1 < j N

, e t l ' a r t e a

i

b

j

] 2 E ( G ) p o u r t o u t e r e q u t e ( u

i

u

j

) 2 I . D e c e t t e

d n i t i o n o n e n d d u i t q u e d e u x a r t e s d e G ( I ) s o n t a d j a c e n t e s s i e t s e u l e m e n t

s i l e s d e u x r e q u t e s c o r r e s p o n d a n t e s d a n s I s o n t e n c o n i t ( v o i r g u r e 3 . 6 , a v e c

u n e n o t a t i o n d i r e n t e ) . P a r c o n s q u e n t , t r o u v e r u n e c o l o r a t i o n d e s r e q u t e s

d e I r e v i e n t t r o u v e r u n e c o l o r a t i o n d e s a r t e s d e G ( I ) , t e l l e q u e d e u x a r t e s

a d j a c e n t e s s o n t c o l o r e s d i r e m m e n t .

a’

b’

c’

d’

e’

a

b

c

d

e

A

C D

EB

F i g u r e 3 . 6 : C o u p l a g e b i p a r t i e t r o u t a g e o p t i q u e d a n s u n e t o i l e o r i e n t e .

P o u r c e p r o b l m e , c o n n u g a l e m e n t s o u s l e n o m d e p r o b l m e d e c o u p l a g e d a n s

u n g r a p h e b i p a r t i , i l e x i s t e l e t h o r m e d e K n i g - H a l l ( v o i r B e r 8 3 ] p a r e x e m p l e )

q u i n o u s d i t q u e d a n s t o u t ( m u l t i ) g r a p h e b i p a r t i d e d e g r m a x i m u m , o n p e u t

7 6



t r o u v e r u n e c o l o r a t i o n d e s a r t e s q u i u t i l i s e c o u l e u r s . E n r e m a r q u a n t q u e l e

d e g r m a x i m u m d e G ( I ) c o r r e s p o n d e x a c t e m e n t l a c h a r g e m a x i m a l e d e s a r c s

d e l ' t o i l e S

N

p o u r l ' i n s t a n c e I , o n o b t i e n t q u e ~ w ( S

N

I ) = ~ ( S

N

I ) .

P o u r g n r a l i s e r c e t t e p r o p r i t a u x s u b d i v i s i o n s d ' t o i l e s , l a t e c h n i q u e e m -

p l o y e r e p o s e s u r u n e c o m b i n a i s o n d e s d e u x m t h o d e s a p p l i q u e s a u x t o i l e s e t

a u x c h e m i n s r e s p e c t i v e m e n t . t a n t d o n n e u n e i n s t a n c e d a n s u n e s u b d i v i s i o n

d ' t o i l e , o n p e u t c o l o r e r l e s r e q u t e s e n t r e l e s d i r e n t e s b r a n c h e s p a r l a t e c h -

n i q u e u t i l i s e p o u r l e s t o i l e s , e t l e s r e q u t e s r e s t a n t e s l ' i n t r i e u r d e s b r a n c h e s

p a r l a t e c h n i q u e u t i l i s e p o u r l e s c h e m i n s , d e m a n i r e c o n s e r v e r l ' g a l i t e n t r e

l e n o m b r e d e c o u l e u r s u t i l i s e s e t l a c h a r g e m a x i m a l e d e s a r c s . L ' i m p l i c a t i o n

( a ) ) ( b ) p e u t t r e a i n s i d m o n t r e .

P o u r m o n t r e r l a c o n t r a p o s e , i l s u t d e m o n t r e r q u e s i l a c o n d i t i o n ( a ) n ' e s t

p a s s a t i s f a i t e , a l o r s l a c o n d i t i o n ( b ) n o n p l u s . S o i t T u n a r b r e p o s s d a n t a u m o i n s

d e u x s o m m e t s d e d e g r s 3 , n o t s u e t v . S o i e n t u

1

e t u

2

( r e s p . v

1

e t v

2

) d e u x

s o m m e t s v o i s i n s d e u ( r e s p . d e v ) n o n s i t u s s u r l e p l u s c o u r t c h e m i n r e l i a n t u

e t v . A l o r s l ' i n s t a n c e I = f ( u

1

v ) ( u v

1

) ( v

2

v

1

) ( v

2

u

2

) ( u

1

u

2

) g e s t t e l l e q u e

~ ( T I ) = 2 e t ~ w ( T I ) = 3 , d e l a m m e f a o n q u e s u r l a g u r e 2 . 5 , p a g e 4 6 . D ' o

( b )

) ( a ) . 2

D a n s s a g n r a l i t , l e p r o b l m e d e r o u t a g e o p t i q u e d a n s l e s a r b r e s o r i e n t s

s y m t r i q u e s a t m o n t r N P - d u r p a r E r l e b a c h e t J a n s e n E J 9 6 ] e t p a r K u m a r

e t a l . K P R S 9 7 ] , m m e s i l a c h a r g e d e l ' i n s t a n c e v a u t 3 . I l l e d e m e u r e p o u r l e s

a r b r e s b i n a i r e s E J 9 7 , K P R S 9 7 ] e t p o u r l e s a r b r e s d e p r o f o n d e u r 2 K P R S 9 7 ] ,

s a n s r e s t r i c t i o n s u r l a c h a r g e . I l d e v i e n t c e p e n d a n t p o l y n m i a l p o u r l e s a r b r e s d e

t a i l l e b o r n e K P R S 9 7 ] .

D i r e n t s t r a v a u x o n t t e n t d ' a p p r o x i m e r c e p r o b l m e d i c i l e . N o u s c o m -

m e n o n s p a r p r s e n t e r l e s r s u l t a t s o b t e n u s d a n s l e m o d l e n o n - o r i e n t .

D a n s c e c a s , l a c o l o r a t i o n d e s c h e m i n s c o r r e s p o n d l a c o l o r a t i o n d e s g r a p h e s

E P T ( p o u r E d g e i n t e r s e c t i o n g r a p h s o f P a t h s i n a T r e e , e n a n g l a i s ) t u d i s p a r

G o l u m b i c e t J a m i s o n d a n s G J 8 5 a , G J 8 5 b ] , q u i o n t m o n t r n o t a m m e n t q u e l e u r

r e c o n n a i s s a n c e e t l e u r c o l o r a t i o n s o n t N P - d i c i l e s . E n f a i t , i l s o n t m o n t r q u e

l e p r o b l m e d e c o l o r a t i o n e s t d j N P - d u r d a n s l e s t o i l e s , p a r r d u c t i o n d u

p r o b l m e d e l a c o l o r a t i o n d e s a r t e s d ' u n m u l t i g r a p h e , d e l a m a n i r e s u i v a n t e .

N o t o n s V ( S

N

) = f u

1

u

2

: : : u

N

g l ' e n s e m b l e d e s s o m m e t s d e l ' t o i l e S

N

c e n -

t r e e n u

1

. S o i t I u n e i n s t a n c e d a n s S

N

e t s o i t G ( I ) = ( V ( S

N

) E ( I ) ) l e m u l t i -

g r a p h e t e l q u e l ' a r t e u

i

u

j

] 2 E ( I ) p o u r t o u t e r e q u t e ( u

i

u

j

) 2 I . D e c e t t e

d n i t i o n o n e n d d u i t q u e d e u x a r t e s d e G ( I ) s o n t a d j a c e n t e s s i e t s e u l e m e n t

s i l e s d e u x r e q u t e s c o r r e s p o n d a n t e s d a n s I s o n t e n c o n i t ( v o i r g u r e 3 . 7 , a v e c

u n e n o t a t i o n d i r e n t e ) . P a r c o n s q u e n t , t r o u v e r u n e c o l o r a t i o n d e s r e q u t e s

7 7



d e I r e v i e n t t r o u v e r u n e c o l o r a t i o n d e s a r t e s d e G ( I ) , t e l l e q u e d e u x a r t e s

a d j a c e n t e s s o n t c o l o r e s d i r e m m e n t .

E

DC

B

AA

B

C D

E

F i g u r e 3 . 7 : A r t e - c o l o r a t i o n d ' u n m u l t i g r a p h e e t r o u t a g e o p t i q u e d a n s u n e t o i l e

n o n - o r i e n t e .

C o m m e T a r j a n p r c d e m m e n t d a n s T a r 8 5 ] , R a g h a v a n e t U p f a l R U 9 4 ] o n t

m o n t r q u e w ( T I ) 3 ( T I ) = 2 p o u r t o u t e i n s t a n c e d a n s t o u t a r b r e . C e r -

s u l t a t s ' a p p u i e s u r l e t h o r m e d e S h a n n o n S h a 4 9 ] q u i p e r m e t d e c o l o r e r l e s

a r t e s d ' u n m u l t i g r a p h e d e d e g r m a x i m u m l ' a i d e d e 3 = 2 c o u l e u r s ( v o i r

p a r e x e m p l e F W 7 7 ] p o u r u n e p r s e n t a t i o n d e l ' a l g o r i t h m e ) .

I l a t o b s e r v d a n s M K R 9 5 ] q u e c e f a c t e u r d ' a p p r o x i m a t i o n 3 = 2 p e u t t r e

a m l i o r a s y m p t o t i q u e m e n t e n 9 = 8 g r c e l ' a l g o r i t h m e d e c o l o r a t i o n d e s a r t e s d e

G o l d b e r g G o l 8 4 a , G o l 8 4 b ] . D e m m e , e n u t i l i s a n t u n t h o r m e d ' a p p r o x i m a t i o n

d e N i s h i z e k i e t K a s h i w a g i N K 9 0 ] , E r l e b a c h e t J a n s e n o n t d o n n d a n s E J 9 6 ]

u n a l g o r i t h m e a y a n t p o u r f a c t e u r d ' a p p r o x i m a t i o n 1 : 1 a s y m p t o t i q u e m e n t e t 4 = 3

d a n s l ' a b s o l u . D ' a p r s H o l 8 1 ] , i l e s t N P - d u r d e d c i d e r s i l e s a r t e s d ' u n g r a p h e

d e d e g r 3 s o n t c o l o r a b l e s a v e c 3 o u 4 c o u l e u r s . L e f a c t e u r 4 = 3 d ' a p p r o x i m a t i o n

a b s o l u e e s t d o n c l e m e i l l e u r p o s s i b l e .

T h o r m e 3 . 2 . 2 ( E r l e b a c h e t J a n s e n E J 9 6 ] ) P o u r t o u t a r b r e n o n - o r i e n t T

e t p o u r t o u t e i n s t a n c e I , l e p r o b l m e d e r o u t a g e o p t i q u e ( T I ) p e u t t r e r -

s o l u e n t e m p s p o l y n m i a l e n u t i l i s a n t w ( T I ) c o u l e u r s s i w ( T I ) 2 e t a u p l u s

b 1 : 1 w ( T I ) + 0 : 8 c c o u l e u r s s i n o n .

R e m a r q u e . D a n s l e m o d l e n o n - o r i e n t , i l e s t d i c i l e d e c o l o r e r u n e n s e m b l e

d e c h e m i n s q u i p a r t a g e n t u n s o m m e t , p u i s q u e c e l a r e v i e n t c o l o r e r l e s a r t e s d ' u n

7 8



m u l t i g r a p h e . E n r e v a n c h e , i l e s t a i s d e c o m b i n e r d e t e l l e s c o l o r a t i o n s l o c a l e s p o u r

o b t e n i r u n e c o l o r a t i o n g l o b a l e d e t o u s l e s c h e m i n s c o n s i d r s , s a n s a u g m e n t e r l e

n o m b r e d e c o u l e u r s u t i l i s e s . I n v e r s e m e n t , d a n s l e m o d l e o r i e n t , i l e s t f a c i l e d e

c o l o r e r d e s c h e m i n s q u i p a r t a g e n t u n s o m m e t , p u i s q u e c e l a r e v i e n t c o l o r e r l e s

a r t e s d ' u n g r a p h e b i p a r t i , m a i s i l e s t d i c i l e d e c o m b i n e r p l u s i e u r s c o l o r a t i o n s

l o c a l e s o p t i m a l e s p o u r f o r m e r u n e c o l o r a t i o n g l o b a l e o p t i m a l e .

M i h a i l , K a k l a m a n i s e t R a o M K R 9 5 ] o n t t l e s p r e m i e r s c o n s i d r e r l e c a s

o r i e n t p o u r l e s r s e a u x o p t i q u e s . C o n t r a i r e m e n t a u x g r a p h e s E P T , l e s g r a p h e s

d e c o n i t d e c h e m i n s d a n s l e s a r b r e s o r i e n t s s y m t r i q u e s n ' a v a i e n t p a s r e t e n u

l ' a t t e n t i o n a u p a r a v a n t . L e u r r s u l t a t s u r l e s a r b r e s e s t u n e b o r n e d e 1 5 ~ ( T I ) = 8

p o u r ~ w ( T I ) , o b t e n u e e n r d u i s a n t l e p r o b l m e d ' a l l o c a t i o n d e s l o n g u e u r s d ' o n d e

u n c a s p a r t i c u l i e r d e c o l o r a t i o n d e s a r t e s d ' u n g r a p h e b i p a r t i , c o m m e i l a t

m o n t r p r c d e m m e n t p o u r l e s t o i l e s . E n u t i l i s a n t l a m m e t e c h n i q u e g n r a l e ,

l e f a c t e u r 1 5 = 8 a p u t r e a m l i o r e n 7 = 4 p a r K a k l a m a n i s e t P e r s i a n o d a n s K P 9 6 ]

( e t i n d p e n d a m m e n t p a r K u m a r e t S c h w a b e d a n s K S 9 7 ] ) , p u i s e n 5 = 3 p a r E r -

l e b a c h e t a l . d a n s E J K P 9 7 , E J K

+

9 9 ] .

T h o r m e 3 . 2 . 3 ( E r l e b a c h e t a l . E J K P 9 7 , E J K

+

9 9 ] ) P o u r t o u t a r b r e o r i e n t

s y m t r i q u e T e t p o u r t o u t e i n s t a n c e I , l e p r o b l m e d e r o u t a g e o p t i q u e ( T I ) p e u t

t r e r s o l u e n t e m p s p o l y n m i a l e n u t i l i s a n t d 5 ~ ( T I ) = 3 e l o n g u e u r s d ' o n d e .

L ' a l g o r i t h m e p e r m e t t a n t d ' a t t e i n d r e c e r s u l t a t p r s e n t e e n o u t r e l ' a v a n t a g e

d ' t r e g l o u t o n . I l p r o c d e p a r p h a s e s e n p a r c o u r a n t l e s s o m m e t s d e l ' a r b r e e n

p r o f o n d e u r e t e n c o l o r a n t p o u r c h a c u n d ' e u x t o u s l e s c h e m i n s q u i l e c o n t i e n n e n t

e t q u i n ' o n t p a s t p r a l a b l e m e n t c o l o r s . C e t t e p r o c d u r e e s t r d u i t e u n

p r o b l m e c o n t r a i n t d e c o l o r a t i o n d e s a r t e s d ' u n g r a p h e b i p a r t i , d ' o e s t i s s u l e

r s u l t a t . U n t e l a l g o r i t h m e n e n c e s s i t e p a s d e c o n t r l e g l o b a l , d a n s l e s e n s o

c h a q u e s o m m e t d c i d e l o c a l e m e n t , s o n t o u r , q u e l l e s c o u l e u r s i l a t t r i b u e a u x

r e q u t e s q u i l e c o n c e r n e n t e t q u i n e s o n t p a s d j c o l o r e s .

N o t o n s q u e d e s a l g o r i t h m e s p l u s s i m p l e s o n t t f o u r n i s p o u r l e s a r b r e s b i -

n a i r e s d a n s C K P 9 7 ] e t J a n 9 7 ] , p e r m e t t a n t d e c o l o r e r t o u t e i n s t a n c e I l ' a i d e

d ' a u p l u s b 5 ~ ( T I ) = 3 c c o u l e u r s , c e q u i p r s e n t e u n e t r s l g r e a m l i o r a t i o n p a r

r a p p o r t a u c a s g n r a l . I l e s t d o n n d e p l u s d a n s J a n 9 7 ] u n e c o n s t r u c t i o n n o n

t r i v i a l e d a n s u n a r b r e b i n a i r e , p o u r l a q u e l l e ~ = 3 e t ~ w = 5 .

L ' i m p o r t a n c e d u t h o r m e 3 . 2 . 3 e s t s o u l i g n e p a r l a p r o p r i t e , m o n t r e g a l e -

m e n t d a n s C K P 9 7 , J a n 9 7 , E J K P 9 7 , E J K

+

9 9 ] , q u ' a u c u n a l g o r i t h m e g l o u t o n d e

c e t y p e n e p e u t p r o c u r e r d e m e i l l e u r e a p p r o x i m a t i o n p a r r a p p o r t l a c h a r g e :

P r o p o s i t i o n 3 . 2 . 4 ( E r l e b a c h e t a l . E J K P 9 7 , E J K

+

9 9 ] ) P o u r t o u t > 1 ,

t o u t > 0 e t t o u t a l g o r i t h m e g l o u t o n A , i l e x i s t e u n a r b r e o r i e n t s y m t r i q u e T

( b i n a i r e ) e t u n e i n s t a n c e I , t e l s q u e ~ (

T I ) = e t

A r s o u d l e p r o b l m e (

T I )

e n u t i l i s a n t a u m o i n s ( 5 = 3 ; ) l o n g u e u r s d ' o n d e .

7 9



P a r a i l l e u r s , c o m m e d a n s l e m o d l e n o n - o r i e n t , e n s e b a s a n t s u r l a

N P -

d i c u l t d e l a c o l o r a t i o n d e s a r t e s d ' u n m u l t i g r a p h e d e d e g r 3 H o l 8 1 ] e t p a r

u n e r d u c t i o n d e c e p r o b l m e , E r l e b a c h a m o n t r d a n s s a t h s e E r l 9 8 ] q u ' o n n e

p e u t e s p r e r o b t e n i r u n a l g o r i t h m e p o l y n m i a l d ' a p p r o x i m a t i o n i n f r i e u r e 4 = 3 :

T h o r m e 3 . 2 . 5 ( E r l e b a c h E r l 9 8 ] ) D c i d e r s i ~ w ( T I ) = 3 p o u r u n e i n -

s t a n c e I d a n s u n a r b r e T o r i e n t s y m t r i q u e e s t N P - c o m p l e t . P a r c o n s q u e n t ,

i l n ' e x i s t e p a s d ' a l g o r i t h m e p o l y n m i a l p o u r l e p r o b l m e d e r o u t a g e o p t i q u e a y a n t

u n f a c t e u r d ' a p p r o x i m a t i o n i n f r i e u r 4 = 3 , m o i n s q u e P = N P .

T o u j o u r s p o u r a p p r c i e r l e f a c t e u r d ' a p p r o x i m a t i o n 5 = 3 d u t h o r m e 3 . 2 . 3 ,

o n p e u t e x h i b e r d e s p r o b l m e s d e r o u t a g e o p t i q u e d a n s d e s a r b r e s a y a n t u n e

c h a r g e a r b i t r a i r e m e n t g r a n d e e t t e l s q u e l e r a p p o r t ~ w = ~ v a u t 5 = 4 . L a c o n s t r u c t i o n

d e t e l s e x e m p l e s e s t b a s e s u r l ' e x e m p l e ( T I ) d e l a g u r e 2 . 5 , p a g e 4 6 . E n

n o t a n t I

n

l ' i n s t a n c e f o r m e p a r n c o p i e s d e I , p o u r t o u t n 2 , l e p r o b l m e ( T I

n

)

r e v i e n t m u l t i - c o l o r e r l e s s o m m e t s d ' u n p e n t a g o n e . D ' a p r s u n r s u l t a t m o n t r

d a n s H R 8 2 ] , n o u s e n d d u i s o n s l a p r o p o s i t i o n s u i v a n t e , d o n n e d a n s B B G

+

9 7 ]

e t g a l e m e n t p a r K u m a r e t S c h w a b e d a n s K S 9 7 ] :

P r o p o s i t i o n 3 . 2 . 6 P o u r t o u t e n t i e r i l e x i s t e u n p r o b l m e (

T I ) d a n s u n

a r b r e o r i e n t s y m t r i q u e

T , t e l q u e

~ ( T I ) e t ~ w ( T I ) 5 ~ ( T I ) = 4 :

C o n j e c t u r e 3 . 2 . 7 L a c o n s t a n t e 5 = 4 d e l a p r o p o s i t i o n 3 . 2 . 6 e s t n e .

L e p r o b l m e d e l ' c h a n g e t o t a l d a n s l e s a r b r e s o r i e n t s s y m t r i q u e s a t

r s o l u p a r G a r g a n o , H e l l e t P r e n n e s G H P 9 7 ] , p a r u n a l g o r i t h m e p o l y n m i a l

p e r m e t t a n t d e c o l o r e r t o u t e s l e s r e q u t e s d e l ' i n s t a n c e I

A

l ' a i d e d e ~ (

T I

A

)

c o u l e u r s . E n f a i t , l e r s u l t a t a t d m o n t r p o u r l e s a r b r e s p o n d r s , p o u r

l e s q u e l s l e s s o m m e t s o n t d e s p o i d s e n t i e r s e t l ' i n s t a n c e I

A

c o m p o r t e p o u r c h a q u e

c o u p l e d e s o m m e t s a u t a n t d e c o p i e s d e l a r e q u t e c o r r e s p o n d a n t e q u e l e p r o d u i t

d e l e u r s p o i d s r e s p e c t i f s .

L a d m o n s t r a t i o n e s t i n d u c t i v e e t r e p o s e s u r l e f a i t q u e t o u t a r b r e p e u t t r e

o b t e n u p a r t i r d ' u n e t o i l e p o n d r e , d e m m e p o i d s t o t a l e t d e m m e c h a r g e

m a x i m a l e p o u r l ' c h a n g e t o t a l , l ' a i d e d e d e u x o p r a t i o n s s u r l e s f e u i l l e s q u i s o n t :

1 ) l ' a j o u t d ' u n e n o u v e l l e f e u i l l e s u r u n e a n c i e n n e , e t 2 ) l a d i v i s i o n d ' u n e f e u i l l e e n

d e u x f e u i l l e s . C e s d e u x o p r a t i o n s s u r l e s f e u i l l e s d ' u n a r b r e p o n d r m a i n t i e n n e n t

c o n s t a n t l e p o i d s t o t a l d e s s o m m e t s e n j e u a i n s i q u e l a c h a r g e m a x i m a l e d e s

a r c s p o u r l ' c h a n g e t o t a l . P o u r c h a c u n e d ' e l l e s , u n e m o d i c a t i o n a d q u a t e d e l a

c o l o r a t i o n d e s r e q u t e s e s t f o u r n i e , n o t a m m e n t l ' a i d e d u t h o r m e d e K n i g - H a l l

p o u r l ' o p r a t i o n d e d i v i s i o n .

8 0



T h o r m e 3 . 2 . 8 ( G a r g a n o , H e l l e t P r e n n e s G H P 9 7 ] ) P o u r t o u t a r b r e o r i -

e n t s y m t r i q u e

T e t p o u r l ' i n s t a n c e d ' c h a n g e t o t a l I

A

, l e p r o b l m e d e r o u t a g e

o p t i q u e ( T I

A

) p e u t t r e r s o l u d e f a o n o p t i m a l e e n t e m p s p o l y n m i a l e t

~ w (

T I

A

) = ~ (

T I

A

) :

D a n s l e m o d l e n o n - o r i e n t , c e d e r n i e r r s u l t a t n ' e s t p a s v r i e n c e q u i

c o n c e r n e l ' g a l i t e n t r e ~ w e t ~ . E n e e t , p o u r l a s u b d i v i s i o n d ' t o i l e S a y a n t t r o i s

b r a n c h e s d e l o n g u e u r 2 c h a c u n e , e t d o n c 7 s o m m e t s a u t o t a l , n o u s a v o n s u n e

c h a r g e ( S I

A

) = 2 : ( 2 : 5 ) = 2 0 , a t t e i n t e s u r l e s a r t e s i n t r i e u r e s , o r a u m o i n s

2 4 c o u l e u r s s o n t n c e s s a i r e s p o u r c o l o r e r l e s 3 g r o u p e s d e 8 r e q u t e s e n t r e l e s

b r a n c h e s d i s t i n c t e s , q u i e n t r e n t e n c o n i t d e u x d e u x .

C e p e n d a n t , i l n ' a p a s t d m o n t r n o t r e c o n n a i s s a n c e q u e c e p r o b l m e n e

p o u v a i t p a s t r e r s o l u e c a c e m e n t , a u s s i n o u s f o r m u l o n s l a q u e s t i o n .

Q u e s t i o n 3 . 2 . 9 P o u r t o u t a r b r e n o n - o r i e n t T e t p o u r l ' i n s t a n c e d ' c h a n g e

t o t a l I

A

, l e p r o b l m e d e r o u t a g e o p t i q u e (

T I

A

) p e u t - i l t r e r s o l u d e f a o n o p t i -

m a l e e n t e m p s p o l y n m i a l ?

3 . 2 . 2 C y c l e s

D a n s n o t r e c o n t e x t e , s a u f p r c i s e x p l i c i t e m e n t , u n c y c l e e s t u n g r a p h e o r i e n t

s y m t r i q u e , q u i p e u t s e d n i r c o m m e t a n t f o r t e m e n t c o n n e x e e t 2 - r g u l i e r .

C o n t r a i r e m e n t a u c a s d e s a r b r e s o l e p r o b l m e d e r o u t a g e n e s e p o s e p a s , i l

i n t e r v i e n t d a n s l e s c y c l e s s o u s l a f o r m e d e c h o i x b i n a i r e s : p o u r r o u t e r c h a q u e

r e q u t e p a r u n c h e m i n , i l f a u t d c i d e r q u e l l e o r i e n t a t i o n d u c y c l e u t i l i s e r .

t a n t d o n n u n r o u t a g e p o u r r a l i s e r u n e i n s t a n c e d e c o m m u n i c a t i o n , l e p r o -

b l m e d e l a c o l o r a t i o n d e s e s c h e m i n s e s t a l o r s q u i v a l e n t a u p r o b l m e b i e n c o n n u

d e l a c o l o r a t i o n d e s s o m m e t s d e s g r a p h e s a r c - c i r c u l a i r e s , m o n t r N P - c o m p l e t

d a n s G J M P 8 0 ] . A u v u d e l a l i b e r t s u p p l m e n t a i r e a c c o r d e p a r l e c h o i x d u

r o u t a g e , i l n ' e s t p a s i m m d i a t q u e l e p r o b l m e d e r o u t a g e o p t i q u e d a n s l e s c y -

c l e s s o i t g a l e m e n t N P - d i c i l e . E r l e b a c h e t J a n s e n l ' o n t c e p e n d a n t d m o n t r

d a n s E J 9 6 ] , a u s s i b i e n d a n s l e m o d l e o r i e n t q u e d a n s l e m o d l e n o n - o r i e n t ,

p a r u n e r d u c t i o n d u p r o b l m e d e l a c o l o r a t i o n d e s g r a p h e s a r c - c i r c u l a i r e s . U n e

p r e u v e p l u s s i m p l e d e N P - c o m p l e x i t p o u r l e c a s o r i e n t s y m t r i q u e p o u r r a

t o u t e f o i s t r e t r o u v e d a n s l a v e r s i o n j o u r n a l d e W W 9 8 ] .

U n a l g o r i t h m e d ' a p p r o x i m a t i o n d e f a c t e u r 2 p o u r l e r o u t a g e o p t i q u e p e u t

t r e o b t e n u f a c i l e m e n t d a n s l e s c y c l e s , c o m m e i l a t r e m a r q u p r c d e m m e n t

d a n s R U 9 4 ] p o u r l e c a s n o n - o r i e n t e t d a n s M K R 9 5 ] p o u r l e c a s o r i e n t . I l

s u t d e r o u t e r t o u t e s l e s r e q u t e s p a r d e s c h e m i n s q u i n ' u t i l i s e n t p a s u n l i e n

8 1



p a r t i c u l i e r d u c y c l e ( u n e p a i r e d ' a r c s s y m t r i q u e s o u u n e a r t e ) . D e c e t t e f a o n ,

l a c h a r g e o b t e n u e s u r l e s l i e n s d u c y c l e e s t a u p l u s d o u b l e d e l a c h a r g e o p t i m a l e

p o u r l ' i n s t a n c e c o n s i d r e . L e g r a p h e d e c o n i t d e s c h e m i n s r s u l t a n t s e s t a l o r s

u n g r a p h e d ' i n t e r v a l l e s , q u i s e c o l o r e e n t e m p s p o l y n m i a l a v e c a u t a n t d e c o u l e u r s

q u e l a c h a r g e d u r o u t a g e . L a c h a r g e o p t i m a l e m i n o r a n t l e n o m b r e d e c o u l e u r s

o p t i m a l , l e f a c t e u r d ' a p p r o x i m a t i o n e s t b i e n d e 2 .

c e j o u r , i l n ' e s t m a l h e u r e u s e m e n t p a s c o n n u d ' a l g o r i t h m e d t e r m i n i s t e q u i

p o s s d e u n m e i l l e u r f a c t e u r d ' a p p r o x i m a t i o n , c e q u i p e u t p a r a t r e s u r p r e n a n t .

C e p e n d a n t , K u m a r a r c e m m e n t p r s e n t d a n s K u m 9 8 ] u n a l g o r i t h m e r a n -

d o m i s d ' a p p r o x i m a t i o n a s y m p t o t i q u e 1 + 1 = e ' 1 : 3 7 , a v e c f o r t e p r o b a b i l i t ,

s o u s l ' h y p o t h s e l o g j I j = o ( ~ ( G I ) ) . U n r s u l t a t c o m p l m e n t a i r e e s t f o u r n i

d a n s C h e 9 9 ] .

E n c e q u i c o n c e r n e l e p r o b l m e d e r o u t a g e , W i l f o n g e t W i n k l e r d a n s W W 9 8 ]

o n t r c e m m e n t d o n n u n a l g o r i t h m e p o l y n m i a l p o u r r o u t e r t o u t e i n s t a n c e I d a n s

u n c y c l e o r i e n t s y m t r i q u e C a v e c u n e c h a r g e m a x i m a l e ~ ( C I ) . L e u r m t h o d e

c o n s i s t e u t i l i s e r u n e r e l a x a t i o n d u p r o g r a m m e l i n a i r e e n t i e r c o r r e s p o n d a n t e t

u n e t e c h n i q u e d ' a r r o n d i q u i p r s e r v e l ' o p t i m a l i t e n t i r e d e l a s o l u t i o n .

T h o r m e 3 . 2 . 1 0 ( W i l f o n g e t W i n k l e r W W 9 8 ] ) P o u r t o u t c y c l e C o r i e n t

s y m t r i q u e e t t o u t e i n s t a n c e I , o n p e u t t r o u v e r e n t e m p s p o l y n m i a l u n r o u t a g e R

r a l i s a n t I t e l q u e ~ ( C I R ) = ~ ( C I ) .

L e r s u l t a t q u i v a l e n t d a n s l e m o d l e n o n - o r i e n t a v a i t d j t d m o n t r

p a r F r a n k e t a l . d a n s F r a 8 5 , F N S

+

9 2 ] , p a r t i r d ' u n r s u l t a t d e O k a m u r a e t

S e y m o u r O S 8 1 ] .

T h o r m e 3 . 2 . 1 1 ( F r a n k e t a l . F N S

+

9 2 ] ) P o u r t o u t c y c l e n o n - o r i e n t C e t

p o u r t o u t e i n s t a n c e I , o n p e u t t r o u v e r e n t e m p s l i n a i r e u n r o u t a g e R p o u r I t e l

q u e ( C I R ) = ( C I ) .

L e f a c t e u r d ' a p p r o x i m a t i o n d t e r m i n i s t e d e 2 m e n t i o n n c i - d e s s u s r s u l t e

d ' u n e c o l o r a t i o n l ' a i d e d ' u n n o m b r e d e c o u l e u r s a u p l u s d o u b l e d e l a c h a r g e

( o n p e u t m m e c o n o m i s e r u n e c o u l e u r f a c i l e m e n t , v o i r T u c 7 5 ] ) . I l s ' a v r e q u ' o n

n e p e u t m i e u x f a i r e p a r r a p p o r t l a c h a r g e , c o m m e l e m o n t r e l ' e x e m p l e d o n n l a

p a g e 6 6 , p o u r l e q u e l ~ w ( C I ) = 2 ~ ( C I ) ; 1 . A u s s i l e s d e u x t h o r m e s p r c d e n t s

n e p e r m e t t e n t p a s d ' e n v i s a g e r u n e m e i l l e u r e a p p r o x i m a t i o n d a n s l e c a s g n r a l .

E n r e v a n c h e , t a n t d o n n u n r o u t a g e d a n s u n c y c l e , o n p e u t a p p r o x i m e r l a

c o l o r a t i o n d e s e s c h e m i n s p a r u n f a c t e u r 3 = 2 . E n e e t , u n r s u l t a t t r s p e u

c o n n u d e K a r a p e t y a n K a r 8 0 ] p e r m e t d e c o l o r e r l e s s o m m e t s d ' u n g r a p h e a r c -

c i r c u l a i r e a v e c b 3 ' = 2 c c o u l e u r s , o ' r e p r s e n t e l a t a i l l e m a x i m a l e d ' u n e c l i q u e .

8 2



L e m e i l l e u r a l g o r i t h m e p r c d e m m e n t c o n n u ( b i e n q u ' a n t r i e u r ! ) t a i t c e l u i d e

S h i h e t H s u S H 9 0 ] o r a n t u n f a c t e u r d ' a p p r o x i m a t i o n g a l 5 = 3 .

T h o r m e 3 . 2 . 1 2 ( K a r a p e t y a n K a r 8 0 ] ) O n p e u t c o l o r e r e n t e m p s p o l y n m i a l

t o u t e f a m i l l e F d ' a r c s s u r u n c e r c l e e n u t i l i s a n t b

3

2

' ( F ) c c o u l e u r s .

I l s e r a i t d o n c s o u h a i t a b l e d ' o b t e n i r u n a l g o r i t h m e d e r o u t a g e q u i m i n i m i s e l a

t a i l l e d e l a c l i q u e m a x i m a l e e n g e n d r e d a n s l e g r a p h e d e c o n i t d e s c h e m i n s , a n

d e t i r e r p r o t d e c e r s u l t a t .

E n n , n o t o n s q u e d a n s l e c a s o u n r o u t a g e d o n n e s t p r o p r e , c ' e s t - - d i r e s i

a u c u n c h e m i n n ' e s t c o n t e n u d a n s u n a u t r e , O r l i n , B o n u c c e l l i e t B o v e t o n t d o n n

u n a l g o r i t h m e o p t i m a l p o u r s a c o l o r a t i o n O B B 8 1 ] .

3 . 2 . 3 G r i l l e s

K r a m e r e t v a n L e e u w e n o n t d o n n d a n s K v L 8 4 ] u n e p r e u v e d e N P - c o m p l t u d e

p o u r u n p r o b l m e d e r o u t a g e i n t e r v e n a n t d a n s l e c o n t e x t e d e l a t h o r i e V L S I .

E l l e p e r m e t d ' e n d d u i r e l ' a i d e d e l g r e s m o d i c a t i o n s q u e l e m m e r s u l t a t

p o u r l e p r o b l m e d u r o u t a g e d i s j o i n t m a x i m u m d a n s l e s g r i l l e s b i d i m e n s i o n n e l l e s

o r i e n t e s s y m t r i q u e s o u n o n - o r i e n t e s . P a r c o n s q u e n t , s o n t g a l e m e n t N P -

d i c i l e s l e s p r o b l m e s d u r o u t a g e o p t i q u e e t d u r o u t a g e d a n s c e s t o p o l o g i e s , e t

i l n ' e x i s t e a u c u n a l g o r i t h m e d ' a p p r o x i m a t i o n a y a n t u n f a c t e u r i n f r i e u r 2 ,

m o i n s q u e P = N P .

L e m o d l e n o n - o r i e n t a t t u d i e s s e n t i e l l e m e n t . P o u r t o u t e g r i l l e G d e

d i m e n s i o n b o r n e e t d ' o r d r e N , e t p o u r t o u t e i n s t a n c e I , A u m a n n e t R a b a n i o n t

d o n n d a n s A R 9 5 ] u n a l g o r i t h m e d ' a p p r o x i m a t i o n p o u r r s o u d r e l e p r o b l m e

d u r o u t a g e o p t i q u e ( G I ) l ' a i d e d e O ( l o g N l o g j I j w ( G I ) ) c o u l e u r s . L a t e c h -

n i q u e u t i l i s e r e p o s e s u r l ' u t i l i s a t i o n d ' u n e r o u t i n e p o u r l e p r o b l m e d u r o u t a g e

d i s j o i n t m a x i m u m , a y a n t u n f a c t e u r d ' a p p r o x i m a t i o n e n O ( l o g N ) . K l e i n b e r g e t

T a r d o s o n t a m l i o r c e t t e r o u t i n e d a n s K T 9 5 ] p o u r u n e c l a s s e d e g r a p h e s i n -

c l u a n t l e s g r i l l e s b i d i m e n s i o n n e l l e s , e n o b t e n a n t u n e a p p r o x i m a t i o n c o n s t a n t e , c e

q u i m n e u n e a p p r o x i m a t i o n e n O ( l o g N ) p o u r l e r o u t a g e o p t i q u e . L a d e r n i r e

a m l i o r a t i o n , t o u j o u r s p o u r u n e d i m e n s i o n d e 2 , a t a p p o r t e p a r R a b a n i :

T h o r m e 3 . 2 . 1 3 ( R a b a n i R a b 9 6 ] ) P o u r t o u t e g r i l l e c a r r e n o n - o r i e n t e P

d

n

d ' o r d r e N = n

d

e t p o u r t o u t i n s t a n c e I , l e p r o b l m e d e r o u t a g e o p t i q u e ( P

d

n

I ) p e u t

t r e r s o l u e n t e m p s p o l y n m i a l e t e n u t i l i s a n t p o l y ( l o g l o g N ) : w ( P

d

n

I ) l o n g u e u r s

d ' o n d e , o p o l y d s i g n e u n p o l y n m e . D e p l u s , w ( P

d

n

I ) p e u t t r e c a l c u l u n

f a c t e u r c o n s t a n t p r s .

8 3



8 4




A B N C

+

9 4 ] A . A g g a r w a l , A . B a r - N o y , D . C o p p e r s m i t h , R . R a m a s w a m i ,

B . S c h i e b e r , a n d M . S u d a n . E c i e n t r o u t i n g a n d s c h e d u l i n g a l -

g o r i t h m s f o r o p t i c a l n e t w o r k s . I n P r o c . o f t h e 5 t h A n n u a l A C M -

S I A M S y m p o s i u m o n D i s c r e t e A l g o r i t h m s ( S O D A ' 9 4 ) , p a g e s 4 1 2

4 2 3 . A C M P r e s s , J a n u a r y 1 9 9 4 .

A B N C

+

9 6 ] A . A g g a r w a l , A . B a r - N o y , D . C o p p e r s m i t h , R . R a m a s w a m i ,

B . S c h i e b e r , a n d M . S u d a n . E c i e n t r o u t i n g i n o p t i c a l n e t w o r k s .

J o u r n a l o f t h e A C M , 4 6 ( 6 ) : 9 7 3 1 0 0 1 , N o v e m b e r 1 9 9 6 .

A R 9 5 ] Y . A u m a n n a n d Y . R a b a n i . I m p r o v e d b o u n d s f o r a l l o p t i c a l r o u t -

i n g . I n P r o c . o f t h e 6 t h A n n u a l A C M - S I A M S y m p o s i u m o n D i s c r e t e


B B G

+

9 7 ] B . B e a u q u i e r , J - C . B e r m o n d , L . G a r g a n o , P . H e l l , S . P r e n n e s , a n d

U . V a c c a r o . G r a p h p r o b l e m s a r i s i n g f r o m w a v e l e n g t h - r o u t i n g i n a l l -

o p t i c a l n e t w o r k s . I n P r o c . o f I P P S ' 9 7 , 2 n d W o r k s h o p o n O p t i c s a n d

C o m p u t e r S c i e n c e ( W O C S ' 9 7 ) , G e n v e , A p r i l 1 9 9 7 . I E E E P r e s s .

B e a 9 9 ] B . B e a u q u i e r . A l l - t o - a l l c o m m u n i c a t i o n i n s o m e w a v e l e n g t h - r o u t e d

a l l - o p t i c a l n e t w o r k s . N e t w o r k s , 3 3 ( 3 ) : 1 7 9 1 8 7 , M a y 1 9 9 9 .

B e r 8 3 ] C . B e r g e . G r a p h e s . G a u t h i e r - V i l l a r s , P a r i s , 1 9 8 3 .

B G P

+

9 6 ] J - C . B e r m o n d , L . G a r g a n o , S . P r e n n e s , A . A . R e s c i g n o , a n d U . V a c -

c a r o . E c i e n t c o l l e c t i v e c o m m u n i c a t i o n i n o p t i c a l n e t w o r k s . I n P r o c .

o f 2 3 r d I n t e r n a t i o n a l C o l l o q u i u m o n A u t o m a t a , L a n g u a g e s a n d P r o -

g r a m m i n g ( I C A L P ' 9 6 ) , v o l u m e 1 0 9 9 o f L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r

S c i e n c e , p a g e s 5 7 4 5 8 5 . S p r i n g e r - V e r l a g , J u l y 1 9 9 6 .

B H P 9 8 ] B . B e a u q u i e r , P . H e l l , a n d S . P r e n n e s . O p t i m a l w a v e l e n t g h - r o u t e d

m u l t i c a s t i n g . D i s c r e t e A p p l i e d M a t h e m a t i c s , 8 4 : 1 5 2 0 , 1 9 9 8 .

B P T 9 9 ] B . B e a u q u i e r , S . P r e n n e s , a n d D . T t h . A l l - t o - a l l r o u t i n g a n d

c o l o r i n g i n w e i g h t e d t r e e s o f r i n g s . I n P r o c . o f 1 1 t h A C M S y m p o s i u m

o n P a r a l l e l A l g o r i t h m s a n d A r c h i t e c t u r e s ( S P A A ' 9 9 ) , p a g e s 1 8 5 1 9 0 ,

S a i n t - M a l o , F r a n c e , J u n e 1 9 9 9 . A C M P r e s s .

8 5



C C R S 8 7 ] F . R . K . C h u n g , E . G . C o m a n , M . I . R e i m a n , a n d B . E . S i m o n . T h e

f o r w a r d i n g i n d e x o f c o m m u n i c a t i o n n e t w o r k s . I E E E T r a n s a c t i o n s o n

I n f o r m a t i o n T h e o r y , 3 3 : 2 2 4 2 3 2 , 1 9 8 7 .

C G K 9 2 ] I . C h l a m t a c , A . G a n z , a n d G . K a r m i . L i g h t p a t h c o m m u n i c a t i o n s :

A n a p p r o a c h t o h i g h b a n d w i d t h o p t i c a l W A N ' s . I E E E T r a n s a c t i o n s

o n C o m m u n i c a t i o n s , 4 0 ( 7 ) : 1 1 7 1 1 1 8 2 , J u l y 1 9 9 2 .

C h e 9 9 ] C . T . C h e n g . A n e w a p p r o x i m a t i o n a l g o r i t h m f o r t h e d e m a n d r o u t -

i n g a n d s l o t t i n g p r o b l e m w i t h u n i t d e m a n d s o n r i n g s . I n P r o c . o f t h e

I n t e r n a t i o n a l W o r k s h o p o n A p p r o x i m a t i o n A l g o r i t h m s f o r C o m b i n a -

t o r i a l O p t i m i z a t i o n ( A P P R O X ' 9 9 ) , v o l u m e 1 6 7 1 o f L e c t u r e N o t e s i n

C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s 2 0 9 2 2 0 . S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 9 9 .

C K P 9 7 ] I . C a r a g i a n n i s , C . K a k l a m a n i s , a n d P . P e r s i a n o . B o u n d s o n o p -

t i c a l b a n d w i d t h a l l o c a t i o n o n d i r e c t e d b e r t r e e t o p o l o g i e s . I n

P r o c . o f I P P S ' 9 7 , 2 n d W o r k s h o p o n O p t i c s a n d C o m p u t e r S c i e n c e

( W O C S ' 9 7 ) , G e n e v a , S w i t z e r l a n d , A p r i l 1 9 9 7 . I E E E P r e s s .

E d m 7 2 ] J . E d m o n d s . E d g e - d i s j o i n t b r a n c h i n g s . I n R . R u s k i n , e d i t o r , C o m -

b i n a t o r i a l A l g o r i t h m s , p a g e s 9 1 9 6 . A l g o r i t h m i c P r e s s , N Y , 1 9 7 2 .

E I S 7 6 ] S . E v e n , A . I t a i , a n d A . S h a m i r . O n t h e c o m p l e x i t y o f t i m e t a b l e

a n d m u l t i c o m m o d i t y o w p r o b l e m s . S I A M J o u r n a l o f C o m p u t i n g ,

5 ( 4 ) : 6 9 1 7 0 3 , D e c e m b e r 1 9 7 6 .

E J 9 6 ] T . E r l e b a c h a n d K J a n s e n . S c h e d u l i n g o f v i r t u a l c o n n e c t i o n s i n

f a s t n e t w o r k s . I n P r o c . o f 4 t h W o r k s h o p o n P a r a l l e l S y s t e m s a n d

A l g o r i t h m s ( P A S A ' 9 6 ) , p a g e s 1 3 3 2 . W o r l d S c i e n t i c , 1 9 9 6 .

E J 9 7 ] T . E r l e b a c h a n d K J a n s e n . C a l l s c h e d u l i n g i n t r e e s , r i n g s a n d

m e s h e s . I n P r o c . o f 3 0 t h H a w a i i I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n S y s -

t e m S c i e n c e s ( H I C S S ' 9 7 ) , v o l u m e 1 , p a g e s 2 2 1 2 2 2 . I E E E C o m p u t e r

S o c i e t y P r e s s , 1 9 9 7 .

E J K

+

9 9 ] T . E r l e b a c h , K . J a n s e n , C . K a k l a m a n i s , M . M i h a i l , a n d P . P e r -

s i a n o . O p t i m a l w a v e l e n g t h r o u t i n g o n d i r e c t e d b e r t r e e s . T h e o r e t -

i c a l C o m p u t e r S c i e n c e , 2 2 1 ( 1 2 ) : 1 1 9 1 3 7 , 1 9 9 9 .

E J K P 9 7 ] T . E r l e b a c h , K . J a n s e n , C . K a k l a m a n i s , a n d P . P e r s i a n o . C o n -

s t r a i n e d b i p a r t i t e e d g e c o l o r i n g w i t h a p p l i c a t i o n s t o w a v e l e n g t h

r o u t i n g . I n P r o c . o f 2 4 t h I n t e r n a t . C o l l o q . o n A u t o m a t a , L a n g u a g e s

a n d P r o g r a m m i n g ( I C A L P ' 9 7 ) , v o l u m e 1 2 5 6 o f L e c t u r e N o t e s i n

C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s 4 9 3 5 0 4 . S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 9 7 .

8 6



E r l 9 8 ] T h o m a s E r l e b a c h . S c h e d u l i n g C o n n e c t i o n s i n F a s t N e t w o r k s . P h D

t h e s i s , T e c h n i s c h e n U n i v e r s i t t M n c h e n , G e r m a n y , O c t o b e r 1 9 9 8 .

F H W 8 0 ] S . F o r t u n e , J . H o p c r o f t , a n d J . W y l l i e . T h e d i r e c t e d s u b g r a p h h o m e -

o m o r p h i s m p r o b l e m . T h e o r e t . C o m p u t e r S c i e n c e , 1 0 : 1 1 1 1 2 1 , 1 9 8 0 .

F N S

+

9 2 ] A . F r a n k , T . N i s h i z e k i , N . S a i t o , H . S u z u k i , a n d E . T a r d o s . A l g o -

r i t h m s f o r r o u t i n g a r o u n d a r e c t a n g l e . D i s c r e t e A p p l i e d M a t h e m a t i c s ,

4 0 : 3 6 3 3 7 8 , 1 9 9 2 .

F r a 8 5 ] A . F r a n k . E d g e - d i s j o i n t p a t h s i n p l a n a r g r a p h s . J o u r n a l o f C o m b i -

n a t o r i a l T h e o r y , S e r i e s B , 3 8 : 1 6 4 1 7 8 , 1 9 8 5 .

F r a 9 0 ] A . F r a n k . P a c k i n g p a t h s , c i r c u i t s a n d c u t s A s u r v e y . I n B . K o r t e ,

L . L o v s z , H . J . P r m e l , a n d A . S c h r i j v e r , e d i t o r s , P a t h s , F l o w s a n d

V L S I - L a y o u t , p a g e s 4 7 1 0 0 . S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 9 0 .

F W 7 7 ] S . F i o r i n i a n d R . J . W i l s o n . E d g e - C o l o r i n g o f G r a p h s , v o l u m e 1 6 o f

R e s e a r c h N o t e s i n M a t h e m a t i c s . P i t m a n , L o n d o n , 1 9 7 7 .

G H P 9 7 ] L . G a r g a n o , P . H e l l , a n d S . P r e n n e s . C o l o u r i n g p a t h s i n d i -

r e c t e d s y m m e t r i c t r e e s w i t h a p p l i c a t i o n s t o W D M r o u t i n g . I n

P r o c . o f 2 4 t h I n t . C o l l o q . o n A u t o m a t a , L a n g u a g e s a n d P r o g r a m -

m i n g ( I C A L P ' 9 7 ) , v o l u m e 1 2 5 6 o f L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r S c i -

e n c e , p a g e s 5 0 5 5 1 5 . S p r i n g e r - V e r l a g , J u l y 1 9 9 7 .

G J 8 5 a ] M . C . G o l u m b i c a n d R . E . J a m i s o n . E d g e a n d v e r t e x i n t e r s e c t i o n o f

p a t h s i n a t r e e . D i s c r e t e M a t h e m a t i c s , 5 5 : 1 5 1 1 5 9 , 1 9 8 5 .

G J 8 5 b ] M . C . G o l u m b i c a n d R . E . J a m i s o n . T h e e d g e i n t e r s e c t i o n g r a p h s o f

p a t h s i n a t r e e . J o u r n a l o f C o m b . T h e o r y , S e r i e s B , 3 8 : 8 2 2 , 1 9 8 5 .

G J M P 8 0 ] M . R . G a r e y , D . S . J o h n s o n , G . L . M i l l e r , a n d C . H . P a p a d i m i t r i o u .

T h e c o m p l e x i t y o f c o l o r i n g c i r c u l a r a r c s a n d c h o r d s . S I A M J o u r n a l

o n A l g e b r a i c a n d D i s c r e t e M e t h o d s , 1 ( 2 ) : 2 1 6 2 2 7 , J u n e 1 9 8 0 .

G o l 8 4 a ] M . G o l d b e r g . A n a p p r o x i m a t e a l g o r i t h m f o r t h e e d g e - c o l o r i n g p r o b -

l e m . C o n g r e s s u s N u m e r a n t i u m , 4 3 : 3 1 7 3 1 9 , 1 9 8 4 .

G o l 8 4 b ] M . G o l d b e r g . E d g e - c o l o r i n g o f m u l t i g r a p h s : R e c o l o r i n g t e c h n i q u e .

J o u r n a l o f G r a p h T h e o r y , 8 : 1 2 3 1 3 7 , 1 9 8 4 .

H M O S 9 4 ] M - C . H e y d e m a n n , J - C . M e y e r , J . O p a t r n y , a n d D . S o t t e a u . F o r -

w a r d i n g i n d i c e s o f c o n s i s t e n t r o u t i n g s a n d t h e i r c o m p l e x i t y . N e t -

w o r k s , 2 4 : 7 5 8 2 , 1 9 9 4 .

8 7



H M S 8 9 ] M - C . H e y d e m a n n , J - C . M e y e r , a n d D . S o t t e a u . O n f o r w a r d i n g i n -

d i c e s o f n e t w o r k s . D i s c r e t e A p p l i e d M a t h e m a t i c s , 2 3 : 1 0 3 1 2 3 , 1 9 8 9 .

H o l 8 1 ] I . H o l y e r . T h e N P c o m p l e t e n e s s o f e d g e c o l o r i n g . S I A M J o u r n a l o f

C o m p u t i n g , 1 0 ( 4 ) : 7 1 8 7 2 0 , 1 9 8 1 .

H R 8 2 ] P . H e l l a n d F . S . R o b e r t s . A n a l o g u e s o f S h a n n o n c a p a c i t y . A n n a l s

o f D i s c r e t e M a t h e m a t i c s , p a g e s 1 5 5 1 6 8 , 1 9 8 2 .

J a n 9 7 ] K . J a n s e n . A p p r o x i m a t i o n r e s u l t s f o r w a v e l e n g t h r o u t i n g i n d i r e c t e d

t r e e s . I n P r o c . o f I P P S ' 9 7 , 2 n d W o r k s h o p o n O p t i c s a n d C o m p u t e r

S c i e n c e ( W O C S ' 9 7 ) , G e n e v a , S w i t z e r l a n d , A p r i l 1 9 9 7 . I E E E P r e s s .

J a r 9 9 ] A . J a r r y . T h o r i e d e s g r a p h e s : c h e m i n s d i s j o i n t s . R a p p o r t d e s t a g e

d e 1 r e a n n e , c o l e N o r m a l e S u p r i e u r e d e L y o n , J u l y 1 9 9 9 .

K a r 8 0 ] I . A . K a r a p e t y a n . O n c o l o r i n g o f a r c g r a p h s . D o k l a d y A k a d . N a u k

A r m i a n s k o i C C P , 7 0 ( 5 ) : 3 0 6 3 1 1 , 1 9 8 0 . I n R u s s i a n .

K L P S 9 0 ] B . K o r t e , L . L o v s z , H . J . P r m e l , a n d A . S c h r i j v e r , e d i t o r s . P a t h s ,

F l o w s a n d V L S I - L a y o u t . S p r i n g e r - V e r l a g , B e r l i n , 1 9 9 0 .

K P 9 6 ] C . K a k l a m a n i s a n d P . P e r s i a n o . E c i e n t w a v e l e n g t h r o u t i n g o n

d i r e c t e d b e r t r e e s . I n P r o c . o f E u r o p e a n S y m p o s i u m o n A l g o r i t h m s

( E S A ' 9 6 ) , v o l u m e 1 1 3 6 o f L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s

4 6 0 4 7 0 , 1 9 9 6 .

K P R S 9 7 ] S . R . K u m a r , R . P a n i g r a h y , A . R u s s e l , a n d R . S u n d a r a m . A n o t e

o n o p t i c a l r o u t i n g o n t r e e s . I n f o r m a t i o n P r o c . L e t t e r s , 6 2 : 2 9 5 3 0 0 ,

1 9 9 7 .

K S 9 7 ] V . K u m a r a n d E . J . S c h w a b e . I m p r o v e d a c c e s s t o o p t i c a l b a n d w i d t h

i n t r e e s . I n P r o c . o f t h e 8 t h A n n u a l A C M - S I A M S y m p o s i u m o n

D i s c r e t e A l g o r i t h m s ( S O D A ' 9 7 ) , p a g e s 4 3 7 4 4 4 . A C M P r e s s , J a n u -

a r y 5 7 1 9 9 7 .

K T 9 5 ] J o n K l e i n b e r g a n d v a T a r d o s . D i s j o i n t p a t h s i n d e n s e l y e m b e d -

d e d g r a p h s . I n P r o c . o f 3 6 t h A n n u a l S y m p o s i u m o n F o u n d a t i o n s o f

C o m p u t e r S c i e n c e ( F O C S ' 9 5 ) , p a g e s 5 2 6 1 . I E E E , O c t o b e r 1 9 9 5 .

K u m 9 8 ] V . K u m a r . A p p r o x i m a t i n g c i r c u l a r a r c c o l o r i n g a n d b a n d w i d t h a l l o -

c a t i o n i n a l l - o p t i c a l r i n g n e t w o r k s . I n P r o c . o f t h e I n t e r n a t i o n a l

W o r k s h o p o n A p p r o x i m a t i o n A l g o r i t h m s f o r C o m b i n a t o r i a l O p t i -

m i z a t i o n ( A P P R O X ' 9 8 ) , v o l u m e 1 4 4 4 o f L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r

S c i e n c e , p a g e s 1 4 7 1 5 8 . S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 9 8 .

8 8



K v L 8 4 ] M . E . K r a m e r a n d J . v a n L e e u w e n . T h e c o m p l e x i t y o f w i r e r o u t i n g

a n d n d i n g t h e m i n i m u m a r e a l a y o u t s f o r a r b i t r a r y V L S I c i r c u i t s .

I n F . P . P r e p a r a t a , e d i t o r , A d v a n c e s i n C o m p u t i n g R e s e a r c h V L S I

T h e o r y , v o l u m e 2 , p a g e s 1 2 9 1 4 6 . J A I P r e s s I n c . , 1 9 8 4 .

L R 8 8 ] F . T . L e i g h t o n a n d S . R a o . A n a p p r o x i m a t e m a x - o w m i n - c u t t h e o -

r e m f o r u n i f o r m m u l t i c o m m o d i t y o w p r o b l e m s w i t h a p p l i c a t i o n s t o

a p p r o x i m a t i o n a l g o r i t h m s ' . I n P r o c . o f 2 9 t h A n n u a l S y m p o s i u m o n

F o u n d a t i o n s o f C o m p u t e r S c i e n c e ( F O C S ' 8 8 ) , p a g e s 4 2 2 4 3 1 . I E E E ,

O c t o b e r 1 9 8 8 .

M a d 7 1 ] W . M a d e r . M i n i m a l e n - f a c h k a n t e n z u s a m m e n h a n g e n d e g r a p h e n .

M a t h . A n n . , 1 9 1 : 2 1 2 8 , 1 9 7 1 .

M K R 9 5 ] M . M i h a i l , C . K a k l a m a n i s , a n d S . R a o . E c i e n t a c c e s s t o o p t i c a l

b a n d w i d t h w a v e l e n g t h r o u t i n g o n d i r e c t e d b e r t r e e s , r i n g s , a n d

t r e e s o f r i n g s . I n P r o c . o f 3 6 t h I E E E A n n u a l S y m p o s i u m o n F o u n d a -

t i o n s o f C o m p u t e r S c i e n c e ( F O C S ' 9 5 ) , p a g e s 5 4 8 5 5 7 . I E E E P r e s s ,

O c t o b e r 1 9 9 5 .

M o h 8 9 ] B . M o h a r . I s o p e r i m e t r i c n u m b e r o f g r a p h s . J o u r n a l o f C o m b i n a t o r i a l

T h e o r y , S e r i e s B , 4 7 : 2 7 4 2 9 1 , 1 9 8 9 .

N K 9 0 ] T . N i s h i z e k i a n d K . K a s h i w a g i . O n t h e 1 . 1 e d g e - c o l o r i n g o f m u l t i -

g r a p h s . S I A M J o u r n a l o n D i s c r e t e M a t h e m a t i c s , 3 ( 3 ) : 3 9 1 4 1 0 , A u -

g u s t 1 9 9 0 .

O B B 8 1 ] J . B . O r l i n , M . A . B o n u c c e l l i , a n d D . P . B o v e t . A n O ( n

2

) a l g o r i t h m

f o r c o l o r i n g p r o p e r c i r c u l a r a r c g r a p h s . S I A M J o u r n a l o f A l g o r i t h m i c

D i s c r e t e M e t h o d s , 2 ( 2 ) : 8 8 9 3 , J u n e 1 9 8 1 .

O S 8 1 ] H . O k a m u r a a n d P . D . S e y m o u r . M u l t i c o m m o d i t y o w s i n p l a n a r

g r a p h s . J o u r n a l o f C o m b i n a t o r i a l T h e o r y , S e r i e s B , 3 1 : 7 5 8 1 , 1 9 8 1 .

P a n 9 2 ] R . K . P a n k a j . A r c h i t e c t u r e s f o r L i n e a r L i g h t w a v e N e t w o r k s . P h D

t h e s i s , D e p t . o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g a n d C o m p u t e r S c i e n c e , M I T ,

C a m b r i d g e , M A , 1 9 9 2 .

P G 9 5 ] R . K . P a n k a j a n d R . G . G a l l a g e r . W a v e l e n g t h r e q u i r e m e n t s o f a l l -

o p t i c a l n e t w o r k s . I E E E / A C M T r a n s a c t i o n s o n N e t w o r k i n g , 3 : 2 6 9

2 8 0 , 1 9 9 5 .

R a b 9 6 ] Y . R a b a n i . P a t h c o l o r i n g o n t h e m e s h . I n P r o c . o f 3 7 t h I E E E A n -

n u a l S y m p o s i u m o n F o u n d a t i o n s o f C o m p u t e r S c i e n c e ( F O C S ' 9 6 ) ,

O c t o b e r 1 9 9 6 .

8 9



R S 9 5 ] N . R o b e r t s o n a n d P . D . S e y m o u r . G r a p h m i n o r s X I I I . T h e d i s j o i n t

p a t h s p r o b l e m . J o u r n a l o f C o m b i n a t o r i a l T h e o r y , S e r i e s B , 6 3 , 1 9 9 5 .

R T 8 7 ] P . R a g h a v a n a n d C . D . T h o m p s o n . R a n d o m i z e d r o u t i n g : A t e c h -

n i q u e f o r p r o v a b l y g o o d a l g o r i t h m s a n d a l g o r i t h m i c p r o o f s . C o m b i -

n a t o r i c a , 7 ( 4 ) : 3 6 5 3 7 4 , 1 9 8 7 .

R U 9 4 ] P . R a g h a v a n a n d E . U p f a l . E c i e n t r o u t i n g i n a l l - o p t i c a l n e t w o r k s .

I n P r o c . o f t h e 2 6 t h A n n u a l A C M S y m p o s i u m o n T h e o r y o f C o m -

p u t i n g ( S T O C ' 9 4 ) , p a g e s 1 3 4 1 4 3 . A C M P r e s s , M a y 1 9 9 4 .

S H 9 0 ] W . K . S h i h a n d W . L . H s u . A n a p p r o x i m a t i o n a l g o r i t h m f o r c o l o r -

i n g c i r c u l a r - a r c g r a p h s . I n P r o c . o f S I A M C o n f e r e n c e o n D i s c r e t e

M a t h e m a t i c s , S a n F r a n c i s c o , C A , 1 9 9 0 .

S h a 4 9 ] C . E . S h a n n o n . A t h e o r e m o n c o l o r i n g t h e l i n e s o f a n e t w o r k . J .

M a t h . P h y s . , 2 8 : 1 4 8 1 5 1 , 1 9 4 9 .

S h i 7 9 ] Y . S h i l o a c h . E d g e - d i s j o i n t b r a n c h i n g i n d i r e c t e d m u l t i g r a p h s . I n -

f o r m a t i o n P r o c e s s i n g L e t t e r s , 8 ( 1 ) : 2 4 2 7 , 1 9 7 9 .

S o l 9 5 ] P . S o l . E x p a n d i n g a n d f o r w a r d i n g . D i s c r e t e A p p l i e d M a t h e m a t i c s ,

5 8 : 6 7 7 8 , 1 9 9 5 .

T a r 8 5 ] R . E . T a r j a n . D e c o m p o s i t i o n b y c l i q u e s e p a r a t o r s . D i s c r e t e M a t h e -

m a t i c s , 5 5 ( 2 ) : 2 2 1 2 3 2 , 1 9 8 5 .

T o g 9 8 a ] O . T o g n i . F o r c e d e s g r a p h e s I n d i c e o p t i q u e d e s r s e a u x . P h D t h e s i s ,

U n i v e r s i t d e B o r d e a u x 1 , 1 9 9 8 .

T o g 9 8 b ] O . T o g n i . O p t i c a l a l l - t o - a l l c o m m u n i c a t i o n i n i n a t e d n e t w o r k s . I n

P r o c . o f t h e 5 t h A n n u a l I n t e r n a t i o n a l W o r k s h o p o n G r a p h - T h e o r e t i c

C o n c e p t s i n C o m p u t e r S c i e n c e ( W G ' 9 8 ) , v o l u m e 1 5 1 7 o f L e c t u r e

N o t e s i n C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s 7 8 8 7 . S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 9 8 .

T u c 7 5 ] A . T u c k e r . C o l o r i n g a f a m i l y o f c i r c u l a r a r c s . S I A M J o u r n a l o f

A p p l i e d M a t h e m a t i c s , 2 9 ( 3 ) : 4 9 3 5 0 2 , 1 9 7 5 .

W i l 9 6 ] G . W i l f o n g . M i n i m i z i n g w a v e l e n g t h s i n a n a l l - o p t i c a l r i n g n e t w o r k .

I n P r o c . o f t h e 7 t h I n t e r n a t i o n a l S y m p o s i u m o n A l g o r i t h m s a n d

C o m p u t a t i o n ( I S A A C ' 9 6 ) , v o l u m e 1 1 7 8 o f L e c t u r e N o t e s i n C o m -

p u t e r S c i e n c e , p a g e s 3 4 6 3 5 5 . S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 9 6 .

W W 9 8 ] G . W i l f o n g a n d P . W i n k l e r . R i n g r o u t i n g a n d w a v e l e n g t h t r a n s l a -

t i o n . I n P r o c . o f t h e 9 t h A n n . A C M - S I A M S y m p o s i u m o n D i s c r e t e


9 0



C o n c l u s i o n e t p e r s p e c t i v e s

N o u s a v o n s t u d i d a n s c e t t e t h s e d e s p r o b l m e s d ' o p t i m i s a t i o n m o d l i s a n t

l ' a l l o c a t i o n d e s r e s s o u r c e s p o u r l a s a t i s f a c t i o n d e r e q u t e s d e c o n n e x i o n d a n s

l e s r s e a u x d e c o m m u n i c a t i o n o p t i q u e s . D a n s l e p r e m i e r c h a p i t r e , n o u s a v o n s

p r s e n t l a t e c h n o l o g i e o p t i q u e p o u r l e s t l c o m m u n i c a t i o n s , a n d e p r c i s e r l e

c a d r e t e c h n i q u e d e n o t r e r e c h e r c h e e t d ' a i d e r l e l e c t e u r i n f o r m a t i c i e n l a c o m -

p r h e n s i o n d e s c o n t r a i n t e s p h y s i q u e s s o u s - j a c e n t e s l a m o d l i s a t i o n t h o r i q u e .

D a n s l e d e u x i m e c h a p i t r e , n o u s a v o n s p o s l a p r o b l m a t i q u e t u d i e a u c o u r s d e

l a t h s e e t d c r i t f o r m e l l e m e n t l e m o d l e e t l e s p r o b l m e s q u i o n t s e r v i d e b a s e

n o s r e c h e r c h e s . N o u s a v o n s e n s u i t e f o u r n i d a n s l e t r o i s i m e c h a p i t r e u n e s y n -

t h s e d e s r s u l t a t s o b t e n u s d a n s l a l i t t r a t u r e c o n c e r n a n t l e p r o b l m e d u r o u t a g e

o p t i q u e e t s e s r e l a t i o n s a v e c l e p r o b l m e d e l a c h a r g e . L e s r s u l t a t s q u e n o u s

a v o n s o b t e n u s s o n t d t a i l l s d a n s l e s a n n e x e s q u i s u i v e n t , s o u s l a f o r m e d ' a r t i c l e s

e n a n g l a i s e t d a n s l e f o r m a t d e s r a p p o r t s d e r e c h e r c h e .

U n g r a n d n o m b r e d e p e r s p e c t i v e s d e r e c h e r c h e s s e m b l e n t p r o m e t t e u s e s . N o u s

a v o n s m o n t r a u d b u t d u t r o i s i m e c h a p i t r e p o u r q u o i l e p r o b l m e d e r o u t a g e

o p t i q u e n ' e s t p a s a p p r o x i m a b l e d a n s s a g n r a l i t d a n s l e c a s d e s g r a p h e s o r i e n t s .

C e p e n d a n t , a u c u n r s u l t a t d e c e t y p e n ' e s t c o n n u d a n s l e c a s o r i e n t s y m t r i q u e .

D e p l u s , l a q u e s t i o n r e s t e o u v e r t e d e s a v o i r d a n s q u e l l e m e s u r e l e r a p p o r t ~ w = ~

( e n t r e l e n o m b r e d e l o n g u e u r s d ' o n d e e t l a c h a r g e n c e s s a i r e s ) p e u t t r e l e v , n e

s e r a i t - c e q u e s u p r i e u r 2 .

D e m a n i r e g n r a l e , i l s e r a i t i n t r e s s a n t d e c h e r c h e r a m l i o r e r l e s f a c t e u r s

d ' a p p r o x i m a t i o n d e s a l g o r i t h m e s f o u r n i s d a n s l a l i t t r a t u r e . E n p a r t i c u l i e r , l e f a c -

t e u r d e 5 = 3 , v a l a b l e p o u r t o u t e i n s t a n c e d u p r o b l m e d e r o u t a g e o p t i q u e d a n s l e s

a r b r e s o r i e n t s s y m t r i q u e s , e s t i s s u d ' u n a l g o r i t h m e l o c a l e t g l o u t o n . L a q u e s t i o n

d e s a v o i r s i u n a l g o r i t h m e c e n t r a l i s p e u t a t t e i n d r e u n e m e i l l e u r e a p p r o x i m a t i o n

m r i t e d ' t r e a b o r d e .

P l u s i e u r s d e n o s r s u l t a t s p r s e n t s d a n s l e s a n n e x e s c o n f o r t e n t n o t r e s e n -

t i m e n t q u e l ' g a l i t ~ w ( G I

A

) = ~ ( G I

A

) e s t v r i e d a n s t o u t g r a p h e o r i e n t

s y m t r i q u e G p o u r l ' i n s t a n c e I

A

d e l ' c h a n g e t o t a l . m o i n s d e t r o u v e r u n c o n t r e -

e x e m p l e q u i c o n t r e d i r a i t n o t r e c o n j e c t u r e , i l s e r a i t s o u h a i t a b l e d e p a r v e n i r

m o n t r e r c e t t e p r o p r i t d a n s l e c a s g n r a l .

9 1



N o t r e m o d l i s a t i o n t h o r i q u e t e n d s i m p l i e r l a s t r u c t u r e r e l l e d e s r s e a u x

d e c o m m u n i c a t i o n o p t i q u e s e t l e s o b j e c t i f s d ' o p t i m i s a t i o n , t o u t e n c o n s e r v a n t l e s

c a r a c t r i s t i q u e s e s s e n t i e l l e s d e s p r o b l m e s r e n c o n t r s e n p r a t i q u e . D e s g n r a l i -

s a t i o n s v e r s d e s m o d l e s p l u s l a r g e s s e r a i e n t s o u h a i t a b l e s . E n p a r t i c u l i e r , n o u s

p o u r r i o n s c o n s i d r e r d e s r s e a u x t o u t - o p t i q u e s p o s s d a n t d e s c a p a c i t s l i m i t e s

d e c o n v e r s i o n e t d e s e n s e m b l e s d e l o n g u e u r s d ' o n d e d i s p o n i b l e s d i r e n t s s e l o n

l e s l i e n s . D e p l u s , n o u s p o u r r i o n s c h e r c h e r o p t i m i s e r d e s f o n c t i o n s d e c o t

s u r l e s r o u t a g e s o p t i q u e s q u i p r e n n e n t e n c o m p t e l a c o m p l e x i t d e s n u d s d e

c o m m u t a t i o n n c e s s a i r e s p o u r l e s r a l i s e r .

A i n s i , d a n s l e c a d r e d u p r o j e t P o r t o d u R N R T , n o u v e l l e m e n t c o n t r a c t a v e c

A l c a t e l ( C o r p o r a t e R e s e a r c h C e n t e r ) e t F r a n c e T e l e c o m ( C N E T ) , l e d o m a i n e d e

l a c o n c e p t i o n e t d u d i m e n s i o n n e m e n t d e s r s e a u x o p t i q u e s d e t l c o m m u n i c a -

t i o n s , q u i v i s e m i n i m i s e r l e c o t g l o b a l d e s q u i p e m e n t s m i s e n p l a c e p o u r

a s s u r e r u n e c e r t a i n e m a t r i c e d e t r a c , n o u s a p p a r a t c o m m e l e p l u s p r o p i c e

v a l i d e r p r a t i q u e m e n t l e s c o m p t e n c e s q u e n o u s a v o n s a c q u i s e s p a r l ' t u d e d e s

c o m m u n i c a t i o n s t o u t - o p t i q u e s m u l t i p l e x e s e n l o n g u e u r d ' o n d e . D e p l u s , c e t t e

t u d e c o m p o r t e d e n o u v e a u x a s p e c t s p r a t i q u e s i n t r e s s a n t s f o r m a l i s e r , c o m m e

c e u x i s s u s d e s d i r e n t e s p o l i t i q u e s d e s c u r i s a t i o n ( p r o t e c t i o n s , r e s t a u r a t i o n s )

d e s r s e a u x d e t r a n s p o r t , d e s t i n e s g a r a n t i r l ' a c h e m i n e m e n t d u t r a c m a l g r

d ' v e n t u e l l e s p a n n e s d e n u d s o u d e l i e n s .

N o u s a v o n s c o n s i d r d a n s c e t t e t h s e d e s p r o b l m e s r e l a t i v e m e n t r g u l i e r s ,

s o u s u n e a p p r o c h e s t a t i q u e e t c e n t r a l i s e . I l s e r a i t i n t r e s s a n t d e p r o l o n g e r c e s

t r a v a u x d a n s u n e p e r s p e c t i v e d y n a m i q u e e t / o u d i s t r i b u e . N o u s s o u h a i t e r i o n s

d e m m e f a i r e v o l u e r n o s r e c h e r c h e s v e r s l ' a n a l y s e d e t o p o l o g i e s e t d ' i n s t a n c e s

d e c o m m u n i c a t i o n i r r g u l i r e s . C e c i i m p l i q u e d e s e f a m i l i a r i s e r a v e c d e n o u v e l l e s

m t h o d e s d e r s o l u t i o n , t e l l e s q u e l a p r o g r a m m a t i o n l i n a i r e e n n o m b r e s e n t i e r s

o u l ' a l g o r i t h m i q u e r a n d o m i s e , a n d e l e s a s s o c i e r a v e c l e s t e c h n i q u e s p l u s c l a s -

s i q u e s q u e n o u s a v o n s u t i l i s e s j u s q u ' i c i .

9 2



A n n e x e s

9 3



A N N E X E A

O p t i m a l w a v e l e n g t h r o u t e d

m u l t i c a s t i n g

9 5



9 6



Optimal Wavelength–Routed Multicasting

Bruno Beauquier* , Pavol Hell** , Stéphane Pérennes*

Thème 1 — Réseaux et systèmes

Projet SLOOP

Octobre 1997

Abstract: Motivated by wavelength division multiplexing in all-optical networks, we consider the

problem of finding a set of paths from a fixed source to a multiset of destinations, which can be

coloured by the fewest number of colours so that paths of the same colour do not share an arc. We

prove that this minimum number of colours is equal to the maximum number of paths that share one

arc, minimized over all sets of paths from the source to the destinations. We do this by modeling the

problems as network flows in two differentnetworksandrelatingthe structureof their minimum cuts.

The problem can be efficiently solved (paths found and coloured) using network flow techniques.

Key-words: All–optical networks, WDM routing, multicast, graphs, flows.

(Résumé : tsvp)

Submitted to Discrete Applied Mathematics.

* SLOOP is a joint project with the CNRS and the University of Nice-Sophia Antipolis (I3S laboratory). This work

has been partially supported by the French GDR/PRC Project PRS, by the Galileo Project. Emails : {beauquier,speren}@sophia.inria.fr** Simon Fraser University, School of Computing Science, Burnaby, B.C., V5A 1S6, Canada.

Email : [email protected]

Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis

2004 route des Lucioles, BP 93, 06902 SOPHIA ANTIPOLIS Cedex (France)

Téléphone : 04 93 65 77 77 – Télécopie : 04 93 65 77 65



Algorithme optimal de multicast tout-optique

Résumé : Ce rapport est motivé par l’étude du routage par multiplexage en longueur d’onde (en

anglais Wavelength Division Multiplexing : WDM ) dans les réseaux tout–optiques. Nous considérons

le problèmedu multicast dans lequel un processeur fixé désire communiquer simultanément avec un

certain nombre d’autres processeurs. Il s’agit de trouver dans le graphe associé des chemins reliant

la source du multicast aux destinations et de colorer ces chemins, de manière à ce qu’aucun lien

du réseau ne soit traversé par deux chemins de la même couleur. Nous résolvons ce problème en

utilisant des techniques de flots. Il en découle un algorithme polynomial pour calculer une solution

optimale.

Mots-clé : Réseaux tout–optiques, multicast, graphes, routage, flots.



Optimal Wavelength–Routed Multicasting 1

1 Motivation and Definitions

Optics is emerging as a key technology in communication networks, promising very high speed

local or wide area networks of the future. A single optical wavelength supports rates of gigabits persecond, which in turnsupport multiplechannels of voice, data and video [4, 5]. Multiple laser beams

that arepropagated over thesame fiber on distinct optical wavelengths can increase this capacity even

further. This is achieved through Wavelength Division Multiplexing (or WDM ) [2], by partitioning

the optical bandwidth into several channels and allowing the transmission of multiple data streams

concurrently along the same optical fiber.

All–optical (or single–hop [6]) communication networks provide all source-destination pairs

with end-to-end transparent channels that are identified through a wavelength and a physical path.

Wavelengths being a limited resource, solutions to the problem of efficient routing and wavelengths

allocation are of importance for the future development of optical technology.

Theproblem we consider here is motivatedby switched networkswith reconfigurablewavelength

selective optical switches, without wavelength converters, where different signals may travel on

the same communication link (but on different wavelengths) into a node, and then exit from it ondifferent links, keeping their original wavelengths. See the recent survey [1] for an account of the

theoretical problems and results obtained for this all–optical model.

We use the standard terminology of digraphs and flow networks [3]. A dipath (’directed path’)

in digraph G = ( V A ) is a sequence of nodes P = ( v

1

v

2

: : : v

k

) , k 1 , such that ( v

i

v

i + 1

) 2 A

for 1 i k ; 1 . For any sets S and S

0 in a digraph, we denote by m ( S S

0

) the number of arcs

beginning inS

and ending inS

0 . In a flow network [3], we denote byc ( u v )

the capacity of the arc

( u v ) , and by c ( S

S ) the capacity of the cut ( S

S ) .

We are now ready to formulate our problems. LetG

be a digraph. A request inG

is an ordered

pair of nodes ( x y ) (corresponding to a message to be sent from x to y ). An instance I in G is a

collection (multiset) of requests (a request ( x y ) may appear more than once). A routing R of an

instanceI

is a collection of dipathsR = f P ( x y ) j ( x y ) 2 I g

, whereP ( x y )

is a dipath fromx

to y .

LetG

be a digraph andI

an instance inG

. For each routingR

of I

, we denote by~ w ( G I R )

the minimum number of wavelengths (’colours’) that can be assigned to the dipaths in R , so that no

two dipaths of the same wavelength share an arc. The WDM problem ( G I )

asks for a routingR

of

I which minimizes ~ w ( G I R ) . We denote by ~ w ( G I ) this minimum of ~ w ( G I R ) over all routings

R

forI

.

Let againG

be a digraph andI

an instance. For each routingR

of I

, the load of an arc 2 A

in the routing R , denoted by ~ ( G I R ) , is the number of dipaths of R containing . The load

of a routingR

, denoted by~ ( G I R )

, is the maximum of ~ ( G I R )

over all arcs 2 A

. The

congestion problem ( G I ) asks for a routing R of I which minimizes its load. We denote by ~ ( G I )

this minimum of ~ ( G I R )

over all routingsR

forI

.

99



2 B. Beauquier, P. Hell, S. Pérennes

The relevance of the parameter ~ to our problem is shown by the following lemma:

Lemma 1 ~ w ( G I ) ~ ( G I ) for any instance I in any digraph G .

Proof. Indeed, to solve a given WDM problem ( G I ) one has to use a number of wavelengths

at least equal to the maximum number of dipaths having to share an arc.2

In this paper, we are interested in a special case of instances where the collection of requests has

the formf ( x y ) j y 2 Y g

for a fixed nodex 2 V

, called the originator , and a multisetY

of nodes

in V . Such an instance is called a multicast (or a one–to–many) instance. The particular instance

whereY

is the setV

, is called a broadcast .

2 Multicasting and Network Flows

In the case of multicasting, we can model both of the above problems (the WDM problem as well as

the congestion problem) by network flows. Consider a digraph G = ( V A ) with a multicast instance

I = f ( x y ) j y 2 Y g

, with originatorx

. In what follows we assume thatY

is a set, i.e., that each

nodey

appears at most once inY

. Indeed, if Y

is a general multiset, we can transform the problemby adding to each destination

y

which appears inY ( y )

times, a set of ( y ) ; 1

vertices of degree

one, adjacent to y , each (as well as y ) having multiplicity one.

We begin by modeling the congestion problem( G I )

(cf. Figure 1 (b)). Lets t

be two new

vertices that will play the roles of source and sink. For every positive integer p , we define the

network F

p

to have the vertex setV f s t g

, the arc setf ( s x ) g A (

S

y 2 Y

f ( y t ) g )

, and the

capacities c ( s x ) = 1 , c ( u v ) = p for all ( u v ) 2 A , and c ( y t ) = 1 for all y 2 Y .

Proposition 2 ~ ( G I ) p if and only if F

p

has a flow of value j Y j .

Proof. From the definitions. 2

For future reference we also consider the capacities of cuts in the network F

p

. Suppose S is a

subset of V

and

S = V n S

. This gives rise to the cut( S f s g

S f t g )

inF

p

. The capacity of this

cut is infinite when x 2

S ; otherwise it is j S \ Y j + p m ( S

S ) .According to the above proposition,

~ ( G I )

is the smallest integer p

such thatF

p

admits a flow

of value j Y j . Combining this with the max-flow min-cut theorem of [3] we obtain

j S \ Y j + ~ ( G I ) : m ( S

S ) j Y j , for any S V : (1)

Next we discuss the network flow model for the WDM problem ( G I ) (cf. Figure 1 (c)). Let

be a positive integer. For1 i

, letG

i

= ( V

i

A

i

)

be a copy of G = ( V A )

, and letY

0

be a

copy of Y . For each v 2 V , let v

i

be the copy of v in V

i

, and for each y 2 Y , let y

0

the copy of

y

inY

0

. Lets t

be two new vertices which will be the source and sink. We define the network F

0

to have the vertex setV = f s t g (

S

i = 1

V

i

) Y

0

, the arc setA =

S

i = 1

f ( s x

i

) g (

S

i = 1

A

i

)

(

S

y 2 Y

S

i = 1

f ( y

i

y

0

) g ) (

S

y 2 Y

f ( y

0

t ) g ) , and except for the arcs ( s x

i

) ( 1 i ) of infinite

capacity, all other arcs having capacity one.

100



Optimal Wavelength–Routed Multicasting 3

Proposition 3 ~ w ( G I ) if and only if F

0

has a flow of value j Y j .

Proof. Suppose first thatG

admits dipaths fromx

to eachy 2 Y

, which can be coloured by

integers from f 1 : : : g in such a way that no two dipaths sharing the same arc have the same

color. Define the valuesf

0

( u

i

v

i

) = 1

, for each arc( u v ) 2 A

which belongs to a dipath of colori

(1 i ). These values can be extended in a natural way to a flow f

0 of value j Y j in F

0

.

Conversely, assume that there exists a flow f

0 of value j Y j in F

0

. By construction of F

0

, this

implies that there is for each node y 2 Y

0

an incoming arc with flow one. Hence for each y 2 Y

0

there is exactly one i such that the node y

i

has an incoming arc with flow one in G

i

. In that G

i

there must be a dipath fromx

i

toy

i

consisting of arcs all having flow one, and we can assign the

corresponding dipath in G the color i . Thereby are defined dipaths in G from x to each y 2 Y ,

which are coloured by

colours as required.2

Theorem 4 Let G be a digraph and I a multicast instance in G . Then ~ w ( G I ) = ~ ( G I ) , and an

optimal solution to the WDM problem ( G I ) can be found in polynomial time.

Proof. In view of lemma 1 and the aboveproposition, it will suffice to show that the network F

0

,

with = ~ ( G I ) , has a flow of value j Y j . We shall do this by showing that every cut has capacity

at least j Y j , cf. [3].Consider a cut ( S f s g

S f t g ) in F

0

, and let S

i

= S \ V

i

and

S

i

=

S \ V

i

, for 1 i , and

letS

0

= S \ Y

0

and

S

0

=

S \ Y

0

. Clearly, we may assume that eachx

i

2 S

i

1 i

, otherwise

the capacity of the cut will be infinite. Then the capacity is

c ( S f s g

S f t g ) =

X

i 1

m ( S

i

S

i

) +

X

i 1

m ( S

i

S

0

) + j S

0

j

For each y 2 Y , let S

y

= f y

i

j i 1 y

i

2 S g . If Y

i

denotes the copy of Y in V

i

, thenP

i 1

j S

i

\ Y

i

j =

P

y 2 Y

0

j S

y

j . Note also thatP

i 1

m ( S

i

S

0

) =

P

y 2 Y

0

m ( S

y

S

0

) , and that

m ( S

y

S

0

) is 0 if y 2 S

0

, and is j S

y

j if y 2

S

0

. For every y 2 Y , we have j S

y

j , and henceP

y 2 S

0

j S

y

j j S

0

j , i.e., j S

0

j

1

P

y 2 S

0

j S

y

j . Summarizing, we obtain:

c ( S f s g

S f t g )

X

i 1

m ( S

i

S

i

) +

X

y 2

S

0

j S

y

j +

1

X

y 2 S

0

j S

y

j

X

i 1

m ( S

i

S

i

) +

1

X

y 2 Y

0

j S

y

j

X

i 1

m ( S

i

S

i

) +

1

j S

i

\ Y

i

j

Recall that we set = ~ ( G I )

. By the inequality (1), we havej S

i

\ Y

i

j + : m ( S

i

S

i

) j Y j

for each i 1 , and thus c ( S f s g

S f t g ) j Y j .

Our proof implies, in an obvious way, a flow-based algorithm to compute~ w ( G I )

(and solve

the WDM problem ( G I ) ) in polynomial time, for any multicast instance I in any digraph G . (Of

course, the same applies to~ ( G I )

and the congestion problem.)2

101



4 B. Beauquier, P. Hell, S. Pérennes

(p)

(p)(p)

(p)

(p)

(p) (p)

w

x

2

v

1

x

1

z

2

(a)

(c)

y

z

x

v

w

2

v

2

w

1

s

( 1 )

( 1 )

w

0

v

0

y

0

y

2

z

1

y

1

t

y

v

(b)

z

w

t

s

x

( 1 )

z

0

Figure 1: (a) A digraphG

with originatorx

and whereY = f v w y z g

. (b) The network F

p

.(c) The network

F

0

2

. All capacities not marked are equal to one. All arc orientations are omitted.

References

[1] B. Beauquier, J-C. Bermond, L. Gargano, P. Hell, S. Pérennes, and U. Vaccaro. Graph problems

arising from wavelength–routing in all–optical networks. In Proc. of 2

nd Workshop on Optics

and Computer Science, Geneva, April 1997.

[2] N. K. Cheung, K. Nosu, and G. Winzer. Special issue on dense WDM networks. Journal on

Selected Areas in Communications, 8, 1990.

[3] L. R. Ford and D. R. Fulkerson. Flows in Networks. Princeton University Press, 1962.

[4] P. E. Green. Fiber–Optic Communication Networks. Prentice–Hall, 1993.

[5] D. Minoli. Telecommunications Technology Handbook . Artech House, 1991.

[6] B. Mukherjee. WDM-based local lightwave networks, Part 1: Single-hop systems. IEEE Net-

work Magazine, 6(3):12–27, May 1992.

102



A N N E X E B

A l l - t o - a l l c o m m u n i c a t i o n

i n s o m e w a v e l e n g t h r o u t e d

a l l o p t i c a l n e t w o r k s

1 0 3



1 0 4



A l l t o A l l C o m m u n i c a t i o n f o r s o m e

W a v e l e n g t h R o u t e d A l l O p t i c a l N e t w o r k s

B r u n o B e a u q u i e r

*

T h m e 1 R s e a u x e t s y s t m e s

P r o j e t S l o o p

J u i l l e t 1 9 9 8

A b s t r a c t : T h i s p a p e r s t u d i e s t h e p r o b l e m o f A l l t o A l l C o m m u n i c a t i o n f o r o p t i c a l

n e t w o r k s . I n s u c h n e t w o r k s t h e v a s t b a n d w i d t h a v a i l a b l e i s u t i l i z e d t h r o u g h w a v e l e n g t h

d i v i s i o n m u l t i p l e x i n g ( W D M ) : a s i n g l e p h y s i c a l o p t i c a l l i n k c a n c a r r y s e v e r a l l o g i c a l

s i g n a l s , p r o v i d e d t h a t t h e y a r e t r a n s m i t t e d o n d i e r e n t w a v e l e n g t h s . I n t h i s p a p e r w e

c o n s i d e r a l l o p t i c a l ( o r s i n g l e h o p ) n e t w o r k s , w h e r e t h e i n f o r m a t i o n , o n c e t r a n s m i t t e d a s

l i g h t , r e a c h e s i t s d e s t i n a t i o n w i t h o u t b e i n g c o n v e r t e d t o e l e c t r o n i c f o r m i n b e t w e e n , t h u s

r e a c h i n g h i g h d a t a t r a n s m i s s i o n r a t e s . I n t h i s m o d e l , w e g i v e o p t i m a l a l l t o a l l p r o t o c o l s ,

u s i n g m i n i m u m n u m b e r s o f w a v e l e n g t h s , f o r p a r t i c u l a r n e t w o r k s o f p r a c t i c a l i n t e r e s t , n a m e l y

t h e d - d i m e n s i o n a l s q u a r e t o r i w i t h e v e n s i d e , t h e c o r r e s p o n d i n g m e s h e s a n d t h e C a r t e s i a n

s u m s o f c o m p l e t e g r a p h s .

K e y - w o r d s : O p t i c a l n e t w o r k s , W D M , r o u t i n g , a l l - t o - a l l .

( R s u m : t s v p )

T o a p p e a r i n N E T W O R K S : A n I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l ( W i l e y - I n t e r s c i e n c e ) .

*

S L O O P , j o i n t p r o j e c t I 3 S - C N R S / U N S A / I N R I A . W o r k p a r t i a l l y s u p p o r t e d b y t h e F r e n c h G D R / P R C

P r o j e c t P R S a n d b y G a l i l e o P r o j e c t . E m a i l : b e a u q u i e r @ s o p h i a . i n r i a . f r






R o u t a g e t o u t - o p t i q u e p o u r l ' c h a n g e c o m p l e t

d a n s d e s r s e a u x W D M

R s u m : C e r a p p o r t t u d i e l e p r o b l m e r a l i s e r s i m u l t a n m e n t t o u t e s l e s c o m m u n i c a -

t i o n s p o s s i b l e s d a n s c e r t a i n e s c l a s s e s d e r s e a u x o p t i q u e s . D a n s c e s r s e a u x , l a f o r t e b a n d e

p a s s a n t e d i s p o n i b l e e s t u t i l i s e p a r l a t e c h n i q u e d u m u l t i p l e x a g e e n l o n g u e u r d ' o n d e ( e n

a n g l a i s , W a v e l e n g t h D i v i s i o n M u l t i p l e x i n g : W D M ) : u n s e u l l i e n p h y s i q u e e n b r e o p t i q u e

p e u t t r a n s p o r t e r p l u s i e u r s s i g n a u x l o g i q u e s , d u m o m e n t q u ' i l s s o n t t r a n s m i s d e s l o n g u e u r s

d ' o n d e d i r e n t e s . S o n t c o n s i d r s i c i d e s r s e a u x t o u t - o p t i q u e s , o l ' i n f o r m a t i o n , u n e f o i s

c o n v e r t i e e n l u m i r e , a t t e i n t s a d e s t i n a t i o n s a n s r e c o n v e r s i o n l e c t r o n i q u e i n t e r m d i a i r e .

C e l a p e r m e t d e s t a u x d e t r a n s m i s s i o n d e d o n n e s p l u s l e v s . P o u r c e m o d l e d e r s e a u x

o p t i q u e s , n o u s d o n n o n s d e s p r o t o c o l e s d e c o m m u n i c a t i o n p o u r r a l i s e r t o u t e s l e s c o n n e x i o n s

p o s s i b l e s e n m m e t e m p s . L e s t o p o l o g i e s t u d i e s s o n t c e l l e s d e s t o r e s e t d e s g r i l l e s m u l t i -

d i m e n s i o n n e l l e s c a r r e s , e t d e s p r o d u i t s c a r t s i e n s d e g r a p h e s c o m p l e t s . L a p l u p a r t d e s

r s u l t a t s f o u r n i s s o n t o p t i m a u x q u a n t a u n o m b r e d e l o n g u e u r s d ' o n d e u t i l i s e s .

M o t s - c l : R s e a u x o p t i q u e s , m u l t i p l e x a g e e n l o n g u e u r d ' o n d e , W D M , r o u t a g e .



A l l t o A l l C o m m u n i c a t i o n f o r s o m e W a v e l e n g t h R o u t e d A l l O p t i c a l N e t w o r k s 1

1 I n t r o d u c t i o n

M o t i v a t i o n . O p t i c s i s e m e r g i n g a s a k e y t e c h n o l o g y i n c o m m u n i c a t i o n n e t w o r k s , p r o m i s i n g

v e r y h i g h s p e e d l o c a l o r w i d e a r e a n e t w o r k s i n t h e f u t u r e . A s i n g l e o p t i c a l w a v e l e n g t h

s u p p o r t s r a t e s o f g i g a b i t s - p e r - s e c o n d ( w h i c h i n t u r n s u p p o r t m u l t i p l e c h a n n e l s o f v o i c e , d a t a

a n d v i d e o 1 1 , 1 4 ] ) . M u l t i p l e l a s e r b e a m s t h a t a r e p r o p a g a t e d o v e r t h e s a m e b e r o n d i s t i n c t

o p t i c a l w a v e l e n g t h s c a n i n c r e a s e t h i s c a p a c i t y m u c h f u r t h e r . T h i s i s a c h i e v e d t h r o u g h W D M

( W a v e l e n g t h D i v i s i o n M u l t i p l e x i n g ) 6 ] , b y p a r t i t i o n i n g t h e o p t i c a l b a n d w i d t h i n t o a l a r g e

n u m b e r s o f c h a n n e l s w h o s e r a t e s m a t c h t h o s e o f t h e e l e c t r o n i c t r a n s m i s s i o n . T h i s a l l o w s

m u l t i p l e d a t a s t r e a m s t o b e t r a n s f e r r e d c o n c u r r e n t l y a l o n g t h e s a m e o p t i c a l b e r .

A l l o p t i c a l ( o r s i n g l e h o p 1 5 ] ) c o m m u n i c a t i o n n e t w o r k s p r o v i d e a l l s o u r c e - d e s t i n a t i o n

p a i r s w i t h e n d - t o - e n d t r a n s p a r e n t c h a n n e l s t h a t a r e i d e n t i e d t h r o u g h a w a v e l e n g t h a n d a

p h y s i c a l p a t h . M a i n t a i n i n g t h e s i g n a l i n o p t i c a l f o r m a l l o w s t h e e l i m i n a t i o n o f t h e e l e c t r o n i c

b o t t l e n e c k o f n e t w o r k s w i t h e l e c t r o n i c s w i t c h i n g .

I t i s w o r t h p o i n t i n g o u t t h e s e v e r e l i m i t a t i o n s t h a t c u r r e n t o p t i c a l t e c h n o l o g i e s i m p o s e

o n t h e a m o u n t o f a v a i l a b l e w a v e l e n g t h s p e r b e r . T h e r e f o r e , s o l u t i o n s t o t h e p r o b l e m o f

e c i e n t r o u t i n g a n d w a v e l e n g t h s a l l o c a t i o n h a v e i m p o r t a n c e f o r t h e f u t u r e d e v e l o p m e n t o f

t h e o p t i c a l t e c h n o l o g y .

T h e O p t i c a l M o d e l . I n g e n e r a l , a W D M o p t i c a l n e t w o r k c o n s i s t s o f r o u t i n g n o d e s i n -

t e r c o n n e c t e d b y p o i n t t o p o i n t b e r - o p t i c l i n k s , w h i c h c a n s u p p o r t a c e r t a i n n u m b e r o f

w a v e l e n g t h s . T w o o p t i c a l s i g n a l s o n t h e s a m e w a v e l e n g t h i n c o m i n g o n t w o i n p u t p o r t s m u s t

b e r o u t e d t o d i e r e n t o u t p u t p o r t s , o t h e r w i s e i t i s n o t p o s s i b l e t o d i s t i n g u i s h t h e m l a t e r .

I n t h i s p a p e r w e c o n s i d e r s w i t c h e d n e t w o r k s w i t h r e c o n g u r a b l e w a v e l e n g t h s e l e c t i v e o p t i c a l

s w i t c h e s , w i t h o u t w a v e l e n g t h c o n v e r t e r s , w h i c h c a n b e b a s e d o n a c o u s t o o p t i c l t e r s , a s

d o n e i n 1 , 2 , 1 8 ] . I n t h i s k i n d o f n e t w o r k s , s i g n a l s f o r d i e r e n t r e q u e s t s m a y t r a v e l o n t h e

s a m e c o m m u n i c a t i o n l i n k i n t o a n o d e ( o n d i e r e n t w a v e l e n g t h s ) a n d t h e n e x i t a l o n g d i e r e n t

l i n k s , k e e p i n g t h e i r o r i g i n a l w a v e l e n g t h . T h e o n l y c o n s t r a i n t o n t h e s o l u t i o n i s t h a t n o t w o

p a t h s i n t h e n e t w o r k s h a r i n g t h e s a m e o p t i c a l l i n k h a v e t h e s a m e w a v e l e n g t h a s s i g n m e n t .

S e e t h e r e c e n t s u r v e y 3 ] f o r a n a c c o u n t o f t h e t h e o r e t i c a l r e s u l t s o b t a i n e d f o r t h i s a l l o p t i c a l

m o d e l .

S o m e a u t h o r s c o n s i d e r e d t o p o l o g i e s w i t h s i n g l e u n d i r e c t e d b e r l i n k s c a r r y i n g u n d i r e c t e d

p a t h s 1 , 2 , 1 6 , 1 8 ] . H o w e v e r , i t h a s s i n c e b e c o m e a p p a r e n t t h a t o p t i c a l a m p l i e r s p l a c e d

o n t h e b e r w i l l b e d i r e c t e d d e v i c e s . I n t h i s p a p e r , e a c h l i n k i s b i d i r e c t i o n a l a n d a c t u a l l y

c o n s i s t s o f a p a i r o f u n i d i r e c t i o n a l l i n k s . H e n c e w e m o d e l t h e u n d e r l y i n g b e r n e t w o r k a s

a s y m m e t r i c d i r e c t e d g r a p h G = ( V ( G ) A ( G ) ) , w h e r e e a c h a r c r e p r e s e n t s a p o i n t t o p o i n t

u n i d i r e c t i o n a l b e r - o p t i c l i n k .

A s o l u t i o n c o n s i s t s o f s e t t i n g s f o r t h e s w i t c h e s i n t h e n e t w o r k , a n d a n a s s i g n m e n t o f

w a v e l e n g t h s t o t h e r e q u e s t s , s o t h a t t h e r e i s a d i r e c t e d p a t h ( d i p a t h ) b e t w e e n t h e n o d e s o f

e a c h r e q u e s t , a n d t h a t n o a r c w i l l c a r r y t w o d i e r e n t s i g n a l s o n t h e s a m e w a v e l e n g t h . I f i t

i s n o t p o s s i b l e t o e s t a b l i s h a l l r e q u e s t e d c o n n e c t i o n s a t t h e s a m e t i m e b e c a u s e o f r e s o u r c e

l i m i t a t i o n s , s o m e c o n n e c t i o n s a r e t o b e d e f e r r e d a n d e s t a b l i s h e d l a t e r . I t i s t h u s i m p o r t a n t

t o m i n i m i z e t h e n u m b e r o f w a v e l e n g t h s u s e d t o s e r v i c e a r e q u e s t e d c o m m u n i c a t i o n p a t t e r n .

107



2 B r u n o B e a u q u i e r

C o n t r i b u t i o n s o f t h i s w o r k . I n t h i s p a p e r w e s t u d y t h e p r o b l e m o f d e s i g n i n g e c i e n t

r o u t i n g a n d w a v e l e n g t h a l l o c a t i o n f o r a l l t o a l l c o m m u n i c a t i o n i n s o m e a l l o p t i c a l n e t w o r k s .

I n p a r t i c u l a r w e c o n s i d e r t h e m u l t i - d i m e n s i o n a l s q u a r e t o r i a n d m e s h e s , a n d t h e C a r t e s i a n

s u m s o f c o m p l e t e g r a p h s . T h i s w o r k h a s t o b e c o n s i d e r e d a s a s t e p i n u n d e r s t a n d i n g t h e

c o m p l e x i t y o f t h e a l l t o a l l p r o b l e m i n o p t i c a l t o p o l o g i e s r e l e v a n t t o l o c a l , m e t r o p o l i t a n a n d

w i d e a r e a n e t w o r k s .

W e c o n s i d e r t h e d e s i g n o f e c i e n t a l g o r i t h m s f o r t w o w i d e l y u s e d g l o b a l ( o r s t r u c t u r e d )

c o m m u n i c a t i o n o p e r a t i o n s : t h e t o t a l e x c h a n g e ( a l s o c a l l e d a l l t o a l l o r g o s s i p i n g ) a n d t h e

c o m p l e t e e x c h a n g e ( a l s o c a l l e d p e r s o n a l i z e d a l l t o a l l o r m u l t i - s c a t t e r i n g ) . F o r m a l l y t h e s e

p r o c e s s e s c a n b e d e s c r i b e d a s f o l l o w s :

T o t a l e x c h a n g e : E a c h n o d e i n t h e n e t w o r k h a s a m e s s a g e a n d e v e r y n o d e h a s t o g e t a l l

t h e m e s s a g e s .

C o m p l e t e e x c h a n g e : E a c h n o d e u i n t h e n e t w o r k h a s s o m e m e s s a g e s B ( u v ) , t o b e s e n t

r e s p e c t i v e l y t o a l l t h e o t h e r n o d e s v .

I n f a c t , t h e s e t w o c o m m u n i c a t i o n s c h e m e s a r e e q u i v a l e n t i n t h e a l l o p t i c a l m o d e l , i f e v e r y

n o d e i s a b l e t o s e n d s i m u l t a n e o u s l y d i e r e n t m e s s a g e s o n d i e r e n t l i n k s a n d w a v e l e n g t h s .

W e b r i e y c a l l A l l t o A l l p r o t o c o l a n y s o l u t i o n s u i t a b l e t o b o t h p r o b l e m s .

I n t h i s p a p e r , w e o b t a i n o p t i m a l A l l t o A l l p r o t o c o l s f o r t h e d ; d i m e n s i o n a l h y p e r - s q u a r e

t o r i w i t h e v e n s i d e , f o r t h e c o r r e s p o n d i n g m e s h e s , a n d f o r t h e C a r t e s i a n s u m s o f c o m p l e t e

g r a p h s . N o t e t h a t t h e s a m e p r o b l e m w a s s o l v e d f o r t h e b i n a r y h y p e r c u b e s i n 5 , 1 6 ] . W e

r e f e r t o t h e r e c e n t s u r v e y 3 ] f o r o t h e r t o p o l o g i e s a n d o t h e r c o m m u n i c a t i o n p a t t e r n s .

2 P r e l i m i n a r i e s

W e m o d e l a n a l l o p t i c a l n e t w o r k b y a s y m m e t r i c d i g r a p h , t h a t i s a d i r e c t e d g r a p h , w i t h

v e r t e x s e t V ( G ) a n d a r c s e t A ( G ) , s u c h t h a t i f = ( u v ) 2 A ( G ) t h e n

0

= ( v u ) 2 A ( G ) .

T h e n u m b e r o f v e r t i c e s i n G i s a l w a y s d e n o t e d b y N = j V ( G ) j . T h e f o l l o w i n g n o t a t i o n i s

a l s o u s e d ( f o r m o r e d e t a i l s , s e e 7 ] o r a n y t e x t b o o k i n g r a p h t h e o r y l i k e 4 ] ) :

P ( x y ) d e n o t e s a d i p a t h i n G f r o m n o d e x t o n o d e y , t h a t i s , a d i r e c t e d p a t h w h i c h

c o n s i s t s o f a s e q u e n c e o f c o n s e c u t i v e a r c s b e g i n n i n g i n x a n d e n d i n g i n y .

( x y ) d e n o t e s t h e d i s t a n c e f r o m x t o y i n G , t h a t i s , t h e m i n i m u m l e n g t h o f a d i p a t h

P ( x y ) .

T h e C a r t e s i a n s u m ( a l s o c a l l e d C a r t e s i a n p r o d u c t ) o f t w o d i g r a p h s G a n d G

0

i s t h e

d i g r a p h w h o s e v e r t i c e s a r e t h e o r d e r e d p a i r s ( x x

0

) w h e r e x i s a v e r t e x o f G a n d x

0

i s

a v e r t e x o f G

0

. T h u s i t s v e r t e x s e t i s t h e u s u a l C a r t e s i a n s u m o f t h e v e r t e x s e t s V ( G )

a n d V ( G

0

) . F u r t h e r m o r e t h e r e i s a n a r c f r o m ( x x

0

) t o ( y y

0

) i f a n d o n l y i f x = y a n d

( x

0

y

0

) i s a n a r c o f G

0

, o r x

0

= y

0

a n d ( x y ) i s a n a r c o f G .

Z

n

= f 0 1 : : : n ; 1 g d e n o t e s t h e s e t o f i n t e g e r s m o d u l o n .

Z

d

n

d e n o t e s t h e C a r t e s i a n s u m o f d c o p i e s o f Z

n

.

108




C

N

a n d M

N

d e n o t e r e s p e c t i v e l y t h e c y c l e a n d t h e c h a i n w i t h N v e r t i c e s .

G

d

d e n o t e s t h e C a r t e s i a n s u m o f d c o p i e s o f a d i g r a p h G . H e n c e C

d

n

i s t h e d d i m e n -

s i o n a l h y p e r - s q u a r e t o r u s w i t h s i d e n , a n d M

d

n

i s t h e d d i m e n s i o n a l h y p e r - s q u a r e m e s h

w i t h s i d e n .

K

N

d e n o t e s t h e c o m p l e t e g r a p h w i t h N v e r t i c e s .

W a v e l e n g t h - r o u t i n g p r o b l e m

A r e q u e s t i s a n o r d e r e d p a i r o f n o d e s ( x y ) i n G ( c o r r e s p o n d i n g t o a m e s s a g e t o b e

s e n t b y n o d e x t o n o d e y ) .

A n i n s t a n c e I i s a c o l l e c t i o n o f r e q u e s t s .

A r o u t i n g R f o r a n i n s t a n c e I i n G i s a s e t o f d i p a t h s R = f P ( x y ) j ( x y ) 2 I g ,

r e a l i z i n g t h e r e q u e s t s o f I .

T h e c o n i c t g r a p h a s s o c i a t e d t o a r o u t i n g R i s t h e u n d i r e c t e d g r a p h ( R E ) w i t h v e r t e x

s e t R a n d s u c h t h a t t w o d i p a t h s o f R a r e a d j a c e n t i f a n d o n l y i f t h e y s h a r e a n a r c o f

G .

L e t G b e a d i g r a p h a n d I a n i n s t a n c e . T h e p r o b l e m ( G I ) c o n s i s t s o f n d i n g a r o u t i n g

R f o r t h e i n s t a n c e I a n d a s s i g n i n g e a c h r e q u e s t ( x y ) 2 I a w a v e l e n g t h , s o t h a t n o

t w o d i p a t h s o f R s h a r i n g a n a r c h a v e t h e s a m e w a v e l e n g t h . I f w e t h i n k o f w a v e l e n g t h s

a s c o l o u r s , t h e p r o b l e m ( G I ) s e e k s a r o u t i n g R a n d a v e r t e x c o l o u r i n g o f t h e c o n i c t

g r a p h ( R E ) , s u c h t h a t t w o a d j a c e n t v e r t i c e s a r e c o l o u r e d d i e r e n t l y . W e d e n o t e b y

~ w ( G I R ) t h e c h r o m a t i c n u m b e r o f ( R E ) , a n d b y ~ w ( G I ) t h e s m a l l e s t ~ w ( G I R ) o v e r

a l l r o u t i n g s R . T h u s ~ w ( G I R ) i s t h e m i n i m u m n u m b e r o f w a v e l e n g t h s f o r a r o u t i n g

R a n d ~ w ( G I ) t h e m i n i m u m n u m b e r o f w a v e l e n g t h s o v e r a l l r o u t i n g s f o r ( G I ) .

F o r a g e n e r a l n e t w o r k G a n d a n a r b i t r a r y i n s t a n c e I , t h e p r o b l e m o f d e t e r m i n i n g ~ w ( G I )

h a s b e e n p r o v e d t o b e N P h a r d i n 8 ] . I n p a r t i c u l a r , i t h a s b e e n p r o v e d t h a t d e t e r m i n i n g

~ w ( G I ) i s N P h a r d f o r t r e e s a n d c y c l e s . I n 9 ] t h e s e r e s u l t s h a v e b e e n e x t e n d e d t o b i n a r y

t r e e s a n d m e s h e s .

A r e l a t e d p a r a m e t e r

G i v e n a d i g r a p h G a n d a r o u t i n g R f o r a n i n s t a n c e I , t h e l o a d o f a n a r c 2 A ( G ) f o r

t h e r o u t i n g R , d e n o t e d b y ~ ( G I R ) , i s t h e n u m b e r o f d i p a t h s o f R c o n t a i n i n g .

T h e l o a d o f G f o r t h e r o u t i n g R ( a l s o c a l l e d c o n g e s t i o n ) , d e n o t e d b y ~ ( G I R ) , i s t h e

m a x i m u m l o a d o f a n a r c o f G f o r t h e r o u t i n g R , t h a t i s ,

~ ( G I R ) = m a x

2 A ( G )

~ ( G I R ) .

T h e l o a d o f G f o r a n i n s t a n c e I , d e n o t e d b y ~ ( G I ) , i s t h e m i n i m u m l o a d o f G f o r a

r o u t i n g R f o r I , t h a t i s , ~ ( G I ) = m i n

R

~ ( G I R ) .

109




T h e r e l e v a n c e o f t h i s p a r a m e t e r t o o u r p r o b l e m i s s h o w n b y t h e f o l l o w i n g l e m m a :

L e m m a 1 ~ w ( G I ) ~ ( G I ) f o r a n y i n s t a n c e I i n a n y d i g r a p h G .

P r o o f . T o s o l v e t h e p r o b l e m ( G I ) , r s t a r o u t i n g R f o r t h e i n s t a n c e I i s n e e d e d . T h e n

t h e n u m b e r ~ w ( G I R ) o f w a v e l e n g t h s n e c e s s a r y t o b e p r o p e r l y a s s i g n e d t o t h e d i p a t h s o f

R i s a t l e a s t t h e m a x i m u m n u m b e r o f d i p a t h s s h a r i n g a n a r c o f G , t h a t i s ~ ( G I R ) . A s

~ w ( G I ) i s s o m e ~ w ( G I R ) f o r s o m e r o u t i n g R a n d b y d e n i t i o n o f ~ ( G I ) , t h e l e m m a h o l d s .

2

T h e i n e q u a l i t y i n L e m m a 1 c a n b e s t r i c t , a s s h o w n b y F i g u r e 1 .

5

3

1

4

(4,5)

2

0

(1,3)

(0,2)

(4,3)

(0,5)

F i g u r e 1 : A r o u t i n g f o r v e r e q u e s t s i n a t r e e G a n d i t s a s s o c i a t e d c o n i c t g r a p h .

I n d e e d , f o r t h i s i n s t a n c e I i n t h i s t r e e G , t h e l o a d i s ~ ( G I ) = 2 b u t ~ w ( G I ) = 3 , s i n c e

t h e c o n i c t g r a p h i s a c y c l e o f l e n g t h 5 w h i c h h a s c h r o m a t i c n u m b e r 3 .

I n g e n e r a l , m i n i m i z i n g t h e n u m b e r o f w a v e l e n g t h s i s n o t t h e s a m e p r o b l e m a s t h a t

o f r e a l i z i n g a r o u t i n g t h a t m i n i m i z e s t h e n u m b e r o f d i p a t h s s h a r i n g a n a r c . I n d e e d , o u r

p r o b l e m i s m a d e m u c h h a r d e r d u e t o t h e f u r t h e r r e q u i r e m e n t o f w a v e l e n g t h s a s s i g n m e n t o n

t h e d i p a t h s . T h i s i s t h e c a s e f o r t r e e s . I n o r d e r t o g e t e q u a l i t y i n L e m m a 1 , a r o u t i n g R

s u c h t h a t ~ ( G I R ) = ~ ( G I ) s h o u l d b e f o u n d , f o r w h i c h t h e a s s o c i a t e d c o n i c t g r a p h i s

~ ( G I ) v e r t e x c o l o u r a b l e .

I n t h i s p a p e r , w e c o n s i d e r a s p e c i c i n s t a n c e I

A

i n G , c a l l e d t h e A l l t o A l l i n s t a n c e ,

w h i c h c o n s i s t s o f a l l t h e d i e r e n t o r d e r e d p a i r s o f v e r t i c e s i n V ( G ) . H e n c e I

A

= f ( x y ) j x 2

V ( G ) y 2 V ( G ) x 6= y g . I n t h i s c a s e , ~ ( G I

A

) i s c a l l e d t h e a r c f o r w a r d i n g i n d e x 1 3 ] o f G .

T h e s a m e p a r a m e t e r d e n e d s i m i l a r l y f o r u n d i r e c t e d g r a p h s i s c a l l e d t h e e d g e f o r w a r d i n g

i n d e x a n d h a s b e e n s t u d i e d i n 1 2 , 2 0 ] .

110




3 H y p e r s q u a r e t o r u s C

d

n

I n t h i s s e c t i o n w e c o n s i d e r t h e p r o b l e m ( C

d

n

I

A

) f o r t h e A l l t o A l l i n s t a n c e I

A

i n t h e

d ; d i m e n s i o n a l h y p e r s q u a r e t o r u s w i t h s i d e n . W e r s t s o l v e o p t i m a l l y t h e c a s e w h e r e

n i s e v e n . T h e n w e w i l l g i v e a n e a r l y o p t i m a l s o l u t i o n f o r t h e c a s e w h e r e n i s o d d . N o t e

t h a t f o r n o d d a n d d = 2 t h e p r o b l e m h a s b e e n o p t i m a l l y s o l v e d i n 1 9 ] .

T h e o r e m 2 I n t h e d ; d i m e n s i o n a l h y p e r s q u a r e t o r u s C

d

n

, i f n i s e v e n t h e n w e h a v e :

~ w ( C

d

n

I

A

) = ~ ( C

d

n

I

A

) = n

d + 1

= 8 , a n d i f n i s o d d t h e n :

~ ( C

d

n

I

A

) = n

d ; 1

b n

2

= 4 c = 2 = ( n

2

; 1 ) n

d ; 1

= 8 ~ w ( C

d

n

I

A

) ( n + 1 )

d + 1

= 8 = ~ w ( C

d

n + 1

I

A

) .

B e f o r e p r e s e n t i n g t h e p r o o f , w e i n t r o d u c e t w o m o r e l e m m a s . T h e r s t o n e i s a d a p t e d

f r o m a n a n a l o g o u s p r o p e r t y g i v e n i n 1 2 ] i n t h e u n d i r e c t e d c a s e .

L e m m a 3 L e t G b e a d i g r a p h a n d R a r o u t i n g i n G f o r t h e A l l t o A l l i n s t a n c e I

A

. T h e n

~ ( G I

A

R ) = (

P

x 6= y

( x y ) ) = j A ( G ) j i f a n d o n l y i f R i s a r o u t i n g o f s h o r t e s t d i p a t h s l o a d i n g

e q u a l l y e a c h a r c o f G .

P r o o f . T h e s u m o f t h e l o a d s o f a l l t h e a r c s f o r R = f P ( x y ) j x 6= y g i s e q u a l t o t h e s u m

o f t h e l e n g t h s o f a l l t h e d i p a t h s i n R . I f R i s a r o u t i n g o f s h o r t e s t d i p a t h s l o a d i n g e q u a l l y

e a c h a r c , t h e n t h e l o a d i s ~ ( G R ) = (

P

x 6= y

( x y ) ) = j A ( G ) j .

C o n v e r s e l y , i f t h e m a x i m u m l o a d o f a n a r c f o r R i s ~ ( G R ) = (

P

x 6= y

( x y ) ) = j A ( G ) j t h e n

b y s u m m i n g t h e l o a d s o v e r a l l t h e a r c s w e g e t

P

x 6= y

j P ( x y ) j

P

x 6= y

( x y ) . T h e r e f o r e t h e

e q u a l i t y h o l d s a n d e a c h a r c i s m a x i m a l l y l o a d e d . T h u s R i s a r o u t i n g o f s h o r t e s t d i p a t h s

l o a d i n g e q u a l l y e a c h a r c . 2

A s e t S o f d i p a t h s i n a d i g r a p h G i s s a i d t o b e c o v e r i n g i f e a c h a r c i n A ( G ) i s c o n t a i n e d

i n a d i p a t h o f S .

L e m m a 4 L e t G b e a d i g r a p h s u c h t h a t ~ ( G I

A

) = (

P

x 6= y

( x y ) ) = j A ( G ) j .

W e h a v e ~ w ( G I

A

) = ~ ( G I

A

) i f a n d o n l y i f t h e r e e x i s t a r o u t i n g R o f s h o r t e s t d i p a t h s f o r I

A

a n d a p a r t i t i o n o f R i n s o m e c o v e r i n g s e t s o f a r c - d i s j o i n t d i p a t h s .

P r o o f . A p a r t i t i o n o f a r o u t i n g o f s h o r t e s t d i p a t h s R = f P ( x y ) j x 6= y g i n s o m e

c o v e r i n g s e t s o f a r c - d i s j o i n t d i p a t h s p r o v i d e s a s o l u t i o n t o t h e p r o b l e m ( G I

A

) b y a s s i g n i n g

a d i e r e n t c o l o u r t o e a c h s e t o f t h e p a r t i t i o n . T h e r e b y t h e n u m b e r o f c o l o u r s u s e d i s t h e

l o a d o f a n y a r c f o r R , e q u a l t o ~ ( G I

A

) a c c o r d i n g t o L e m m a 3 . F r o m L e m m a 1 i t f o l l o w s

t h a t ~ w ( G I

A

) = ~ ( G I

A

) .

C o n v e r s e l y i f ~ w ( G I

A

) = ~ ( G I

A

) , t h e n t h e r e e x i s t a r o u t i n g R f o r I

A

a n d a c o l o u r i n g

o f i t s d i p a t h s w i t h ~ ( G I

A

) c o l o u r s , s o t h a t n o t w o d i p a t h s w i t h t h e s a m e c o l o u r s h a r e a n

a r c . T h i s c o l o u r i n g g i v e s a p a r t i t i o n o f R i n ~ ( G I

A

) s e t s o f a r c - d i s j o i n t d i p a t h s . E a c h

o f t h e m i s a c o v e r i n g s e t b e c a u s e t h e s u m o f t h e l e n g t h s o f t h e c o l o u r e d d i p a t h s i s a t l e a s t

P

x 6= y

( x y ) = ~ ( G I

A

) : j A ( G ) j . A s t h e l o a d o f G f o r R i s ~ ( G I

A

) , R i s a r o u t i n g o f s h o r t e s t

d i p a t h s , a c c o r d i n g t o L e m m a 3 . 2

111




A s t r a i g h t w a y t o p r o v e t h e r s t p a r t o f T h e o r e m 2 w o u l d b e t o a s s i g n p r o p e r l y a c o l o u r e d

d i p a t h t o e a c h r e q u e s t i n t h e i n s t a n c e I

A

, u s i n g a t o t a l n u m b e r o f c o l o u r s ( o r w a v e l e n g t h s )

e q u a l t o ~ ( C

d

n

I

A

) . I n v i e w o f L e m m a 4 , w e h a v e f o u n d m o r e c o n v e n i e n t t o p r o v i d e a n

o p t i m a l s o l u t i o n b y a s s i g n i n g t o e a c h c o l o u r a c o v e r i n g s e t o f a r c - d i s j o i n t s h o r t e s t d i p a t h s ,

s o t h a t e a c h r e q u e s t i n I

A

g e t s e x a c t l y o n e c o l o u r e d d i p a t h . T h e r e b y t h e c o n d i t i o n o n a

s u i t a b l e p a r t i t i o n s t a t e d i n L e m m a 4 i s s a t i s e d a n d w e e n s u r e o p t i m a l i t y w i t h o u t c o u n t i n g

t h e t o t a l n u m b e r o f c o l o u r s u s e d . B e f o r e g o i n g f u r t h e r , s o m e m o r e d e n i t i o n s a n d n o t a t i o n

a r e n e c e s s a r y .

D e n i t i o n s 5 T h e v e r t e x s e t V ( C

d

n

) i s r e p r e s e n t e d b y Z

d

n

. T h e e l e m e n t s i n Z

d

n

m a y b e

e x p r e s s e d i n t h e c a n o n i c a l b a s e f e

i

g

1 i d

, t h a t i s , w e m a y d e n o t e x = ( x

1

x

2

: : : x

d

) 2 Z

d

n

b y (

P

d

i = 1

x

i

: e

i

) . L e t J =

P

d

i = 1

e

i

. G i v e n t w o s u b s e t s X a n d Y o f Z

d

n

, w e d e n e X + Y a s

t h e s u b s e t f x + y j x 2 X y 2 Y g .

R e m a r k 6 C

d

n

c a n b e d e n e d a s a C a y l e y d i g r a p h o n t h e A b e l i a n g r o u p Z

d

n

. I t i s a n a r c -

t r a n s i t i v e d i g r a p h w h e r e e a c h v e r t e x x = ( x

1

: : : x

d

) i s j o i n e d b y 2 d a r c s t o t h e v e r t i c e s

x e

i

= ( x

1

: : : x

i

1 x

d

) f o r 1 i d .

W e d i s t i n g u i s h t w o k i n d s o f d i p a t h s t o b e a s s i g n e d t o t h e r e q u e s t s i n t h e i n s t a n c e I

A

:

D e n i t i o n s 7 G i v e n a n a r c f r o m x t o y , w e s a y t h a t i s i n t h e d i m e n s i o n i a n d i n t h e

p r o g r e s s i v e ( r e g r e s s i v e ) d i r e c t i o n i f y = x + e

i

( i f y = x ; e

i

) . T h e s e d e n i t i o n s a r e e x t e n d e d

t o t h e d i p a t h s c o n t a i n i n g o n l y a r c s o f t h e s a m e k i n d .

G i v e n a r e q u e s t ( x y ) s u c h t h a t y = x +

P

d

i = 1

a

i

: e

i

, w e d e n e t h e a s c e n d i n g d i p a t h P

a

( x y )

a s t h e c o n c a t e n a t i o n ( P

1

P

2

P

d

) o f d d i p a t h s , s u c h t h a t :

- P

1

i s t h e s h o r t e s t d i p a t h f r o m x t o ( x + a

1

: e

1

) , i n t h e p r o g r e s s i v e d i r e c t i o n i f a

1

= n = 2 .

- P

i

( 2 i d ) i s t h e s h o r t e s t d i p a t h f r o m ( x +

P

i ; 1

j = 1

a

j

: e

j

) t o ( x +

P

i

j = 1

a

j

: e

j

) , i n t h e

p r o g r e s s i v e d i r e c t i o n i f a

i

= n = 2 .

G i v e n a r e q u e s t ( x y ) , w e d e n e t h e d e s c e n d i n g d i p a t h P

d

( x y ) a s t h e r e v e r s e d i p a t h o f t h e

a s c e n d i n g d i p a t h P

a

( y x ) , t h a t i s t h e d i p a t h m a d e o f a l l t h e s y m m e t r i c a r c s o f t h o s e o f

P

a

( y x ) .

F o r e x a m p l e i n C

2

4

, t h e a s c e n d i n g d i p a t h f r o m n o d e ( 0 0 ) t o ( 2 1 ) g o e s t h r o u g h n o d e s

( 1 0 ) a n d ( 2 0 ) , w h i l e t h e d e s c e n d i n g d i p a t h c o n n e c t i n g t h e s a m e n o d e s g o e s t h r o u g h ( 0 1 )

a n d ( 3 1 ) .

I n o r d e r t o d e n e t h e d i e r e n t s u b s e t s o f r e q u e s t s t o b e a s s i g n e d c o v e r i n g s e t s o f a r c -

d i s j o i n t d i p a t h s , w e n e e d t h e f o l l o w i n g d e n i t i o n s , w h e n n i s e v e n :

D e n i t i o n s 8 L e t n = 2 k . F o r e v e r y n o d e x = ( x

1

x

2

: : : x

d

) 2 Z

d

n

, t h e l e v e l o f x i s

d e n e d a s L ( x ) =

P

d

i = 1

x

i

2 Z

n

. F o r e v e r y r e q u e s t ( x y ) , t h e m o v e o f ( x y ) i s d e n e d a s

m ( x y ) = y ; x 2 Z

d

n

. G i v e n m 2 Z

d

n

, l e t m = ( k : : : k ) ; m . A n e q u i v a l e n c e r e l a t i o n E i s

d e n e d i n Z

d

n

a s f o l l o w s :

m m

0

i f a n d o n l y i f ( m

0

= m o r m

0

= ; m o r m

0

= m o r m

0

= ; m )

L e t u s d e n o t e b y E ( m ) t h e E ; c l a s s o f m . I n e a c h E ; c l a s s a s p e c i a l m o v e m

0

i s c h o s e n .

112




N o w w e d i s t i n g u i s h t h r e e d i e r e n t k i n d s o f m o v e s . F i r s t l e t M = f m 2 Z

d

n

j

m 6= ; m a n d m 6= m g . I f m 2 M t h e n E ( m ) h a s 4 e l e m e n t s a l l i n M . F o r e x a m p l e i n Z

2

8

,

m = ( 2 1 ) 2 M a n d E ( m ) = f ( 2 1 ) ( ; 2 ; 1 ) ( 2 3 ) ( ; 2 ; 3 ) g . N o w l e t K = f m 2 Z

d

n

j m =

; m g . I f m 2 K t h e n E ( m ) h a s 2 e l e m e n t s a l l i n K . F o r e x a m p l e i n Z

2

8

, m = ( 4 0 ) 2 K

a n d E ( m ) = f ( 4 0 ) ( 0 4 ) g . A t l a s t l e t H = f m 2 Z

d

n

j m = m g ( H i s e m p t y i f k i s o d d ) .

I f m 2 H t h e n E ( m ) h a s 2 e l e m e n t s a l l i n H . F o r e x a m p l e i n Z

2

8

, m = ( 2 ; 2 ) 2 H a n d

E ( m ) = f ( 2 ; 2 ) ( ; 2 2 ) g . N o t e t h a t e v e r y m o v e b e l o n g s t o e x a c t l y o n e o f t h e s e s e t s M , K

o r H .

R e q u e s t s w i t h m o v e i n M

F o r l 2 Z

n

, H P

l

d e n o t e s t h e h y p e r p l a n e o r t h o g o n a l t o J c o n t a i n i n g a l l t h e n o d e s o f l e v e l l ,

t h a t i s H P

l

= f x 2 Z

d

n

j L ( x ) = l g .

A n o d e y i s s a i d t o b e t r a n s l a t e d f r o m a n o d e x b y a v e c t o r v i f y = x + v . I n w h a t

f o l l o w s , w e u s e a g e n e r a l i z a t i o n o f t h i s d e n i t i o n f o r d i p a t h s : t h e d i p a t h t r a n s l a t e d b y a

v e c t o r v f r o m a d i p a t h P i s i n d u c e d b y a l l t h e n o d e s t r a n s l a t e d f r o m t h o s e o f P .

G i v e n a n o d e x

0

a n d a s p e c i a l m o v e m

0

2 M , w e r s t c o n s i d e r t h e t w o s y m m e t r i c

d i p a t h s P

1

= P

a

( x

0

x

0

+ m

0

) a n d P

0

1

= P

d

( x

0

+ m

0

x

0

) a n d t h e t w o s y m m e t r i c d i p a t h s

P

2

= P

d

( x

0

+ m

0

x

0

+ k : J ) a n d P

0

2

= P

a

( x

0

+ k : J x

0

+ m

0

) . I n w h a t f o l l o w s w e s h o w t h a t a l l

t h e d i p a t h s t r a n s l a t e d f r o m P

1

, P

0

1

, P

2

, P

0

2

b y a l l t h e v e c t o r s i n ( H P

0

H P

k

) f o r m a c o v e r i n g

s e t o f a r c - d i s j o i n t d i p a t h s . W e g i v e a n e x a m p l e b y d r a w i n g , a s s h o w n i n F i g u r e 2 - b , f o r d = 2 ,

n = 8 a n d m

0

= ( 2 1 ) . S o ; m

0

= ( ; 2 ; 1 ) , m

0

= ( 2 3 ) a n d ; m

0

= ( ; 2 ; 3 ) . F i g u r e 2 - a

s h o w s o n l y t h e d i p a t h s t r a n s l a t e d b y t h e v e c t o r s i n H P

0

. W r a p - a r o u n d c o n n e c t i o n s o f t h e

t o r u s a r e o m i t t e d f o r c l a r i t y a n d t h e d i p a t h s P

1

, P

0

1

, P

2

a n d P

0

2

a r e d r a w n i n b o l d .

( b ) ( a )

F i g u r e 2 : C o n s t r u c t i o n o f a c o v e r i n g s e t o f a r c - d i s j o i n t s d i p a t h s i n C

2

8

.

113




S u c h a s e t o f d i p a t h s i s a s s i g n e d t h e s a m e c o l o u r a n d c o n t a i n s o n e d i p a t h f o r e a c h r e q u e s t

( x y ) s u c h t h a t :

- L ( x ) = L ( x

0

) m o d k a n d m ( x y ) = m

0

, o r

- L ( x ) = L ( x

0

+ m

0

) m o d k a n d m ( x y ) = ; m

0

, o r

- L ( x ) = L ( x

0

+ m

0

) m o d k a n d m ( x y ) = m

0

, o r

- L ( x ) = L ( x

0

) m o d k a n d m ( x y ) = ; m

0

.

S u c h a s e t d e p e n d s t h u s o n l y o n t h e v a l u e o f ( L ( x

0

) m o d k ) a n d o n m

0

. T h e c o r r e s p o n d i n g

c o l o u r i s r e p r e s e n t e d b y a n e l e m e n t o f C

M

= ( Z

k

E ( M ) ) , w h e r e E ( M ) i s t h e s e t o f t h e

c l a s s e s o f M . N o t i c e t h a t i n t h i s w a y e v e r y r e q u e s t w i t h m o v e i n M i s a s s i g n e d e x a c t l y o n e

c o l o u r e d d i p a t h . G i v e n a c o l o u r c 2 C

M

, e v e r y d i p a t h c o l o u r e d b y c i s c a l l e d a c - d i p a t h .

C l a i m 9 F o r e v e r y c o l o u r c i n C

M

, t h e s e t o f c - d i p a t h s i s a c o v e r i n g s e t o f a r c - d i s j o i n t

d i p a t h s .

P r o o f . F o r 1 i d , A

+

i

d e n o t e s t h e s e t o f t h e a r c s i n t h e d i m e n s i o n i a n d i n t h e

p r o g r e s s i v e d i r e c t i o n . L e t u s s h o w t h a t e a c h a r c i n A

+

i

i s c o n t a i n e d i n e x a c t l y o n e c - d i p a t h .

A s t h e c - d i p a t h s a r e d e n e d a s s y m m e t r i c p a i r s , t h e p r o p e r t y w i l l a l s o h o l d f o r t h e a r c s i n

t h e o p p o s i t e d i r e c t i o n .

T h e r e a r e a s m a n y a r c s i n A

+

i

a s n o d e s i n C

d

n

, t h a t i s , n

d

= N . O n o n e h a n d , w e s h o w

t h a t t h e s u m o v e r a l l t h e c - d i p a t h s o f t h e n u m b e r o f a r c s i n A

+

i

i s e q u a l t o N . O n t h e o t h e r

h a n d , w e s h o w t h a t e a c h a r c i n A

+

i

i s c o n t a i n e d i n a c - d i p a t h .

L e t c = ( E ( m ) ) 2 C

M

, w i t h 2 Z

k

, a n d m

0

=

P

d

j = 1

a

j

: e

j

2 E ( m ) t h e s p e c i a l m o v e

c h o s e n i n E ( m ) . W e a s s u m e t h a t a

i

2 f 0 1 : : : k g , o t h e r w i s e t h e p r o o f i s s i m i l a r . T h e n t h e

o n l y c - d i p a t h s u s i n g a r c s i n A

+

i

h a v e t h e i r m o v e e q u a l t o m

0

o r m

0

.

T h e r e a r e e x a c t l y ( 2 n

d ; 1

) c - d i p a t h s h a v i n g m o v e m

0

, s i n c e t h e r e a r e 2 n

d ; 1

v e c t o r s

i n ( H P

0

H P

k

) . A s m a n y c - d i p a t h s h a v e m o v e m

0

. E a c h o f t h o s e h a v i n g m o v e m

0

( r e s p e c t i v e l y m

0

) u s e s ~ a

i

( r e s p . k ; ~ a

i

) a r c s i n A

+

i

, w h e r e ~ a

i

i s t h e i n t e g e r r e p r e s e n t a t i v e o f

a

i

i n f 0 : : : k g Z . T h e r e f o r e t h e c - d i p a t h s u s e 2 k n

d ; 1

= N t i m e s a n a r c i n A

+

i

.

A s x + ( H P

0

H P

k

) = H P

L ( x )

H P

L ( x ) + k

, i f X i s a s e t o f k n o d e s w h o s e l e v e l s f o r m

t h e e n t i r e s e t Z

k

, t h e n X + ( H P

0

H P

k

) =

S

n ; 1

l = 0

H P

l

= Z

d

n

. T h u s , i f t h e r e e x i s t k a r c s

i n A

+

i

c o n t a i n e d i n c - d i p a t h s a n d w h o s e o r i g i n s h a v e a l l t h e d i e r e n t l e v e l s m o d u l o k , t h e n

e a c h a r c i n A

+

i

i s c o n t a i n e d i n a c - d i p a t h .

L e t x 2 Z

d

n

s u c h t h a t L ( x ) = m o d k , y = x + m

0

a n d z = y + m

0

. L e t m

1

=

P

i ; 1

j = 1

a

j

: e

j

( m

1

= 0 i f i = 1 ) a n d m

2

=

P

d

j = i + 1

a

j

: e

j

( m

2

= 0 i f i = d ) , s o t h a t m

0

= m

1

+ a

i

: e

i

+ m

2

.

F i r s t , P

1

= P

a

( x y ) i s a n a s c e n d i n g c - d i p a t h c o n t a i n i n g t h e ~ a

i

c o n s e c u t i v e a r c s i n A

+

i

b e t w e e n x + m

1

a n d x + m

1

+ a

i

: e

i

. S e c o n d l y , P

2

= P

d

( y z ) i s a d e s c e n d i n g c - d i p a t h

c o n t a i n i n g t h e ( k ; ~ a

i

) c o n s e c u t i v e a r c s i n A

+

i

b e t w e e n y + m

2

a n d y + m

2

+ ( k ; a

i

) : e

i

.

O n t h e w h o l e , t h e s e k a r c s h a v e o r i g i n s w i t h a l l t h e d i e r e n t l e v e l s m o d u l o k , b e c a u s e

L ( x + m

1

+ a

i

: e

i

) = L ( y ; m

2

) = L ( y + m

2

) m o d k . 2

114




P1

P2

x y

z

c = ( 0 , E( (1,0) ) ) c = ( 1 , E( (1,0) ) ) c = ( 1 , E( (0,1) ) ) c = ( 0 , E( (0,1) ) )

F i g u r e 3 : S e t s o f c - d i p a t h s i n C

2

4

f o r r e q u e s t s w i t h m o v e i n M .

R e q u e s t s w i t h m o v e i n K

L e t u s n o w c o n s i d e r t h e c a s e o f r e q u e s t s w i t h m o v e m =

P

d

j = 1

a

j

: e

j

2 Z

d

n

s u c h t h a t

2 m = 0 . I n t h i s c a s e w e h a v e a

j

2 f 0 k g f o r e a c h j 2 f 1 : : : d g a n d t h e c a r d i n a l i t y o f

K = f m 2 Z

d

n

j 2 m = 0 g i s 2

d

. A s n o t i c e d b e f o r e E ( m ) h a s 2 e l e m e n t s f o r e v e r y m 2 K a n d

t h e s e t o f c l a s s e s E ( K ) h a s 2

d ; 1

e l e m e n t s . T h e c o n s t r u c t i o n o f s e t s o f a r c - d i s j o i n t d i p a t h s

c o v e r i n g a l l t h e a r c s i s s i m i l a r t o t h e p r e v i o u s o n e , e x c e p t t h a t r e q u e s t s w i t h m o v e s i n t w o

E ; c l a s s e s a r e i n v o l v e d i n t h e s a m e s e t .

G i v e n 2 Z

k

, m a n d m

0

t w o m o v e s t a k e n i n t w o d i e r e n t E ; c l a s s e s , w e c o n s i d e r

a l l t h e d i p a t h s P

a

( x y ) f o r L ( x ) = m o d k a n d m ( x y ) 2 E ( m ) , a n d a l l t h e d i p a t h s

P

d

( x z ) f o r L ( x ) = m o d k a n d m ( x z ) 2 E ( m

0

) . R e c a l l t h a t t h e s e a s c e n d i n g ( d e s c e n d i n g )

d i p a t h s c o n t a i n o n l y a r c s i n t h e p r o g r e s s i v e ( r e g r e s s i v e ) d i r e c t i o n , i n a c c o r d a n c e w i t h t h e

d e n i t i o n s 7 . O b v i o u s l y , i n a n y d i m e n s i o n a n d i n a n y d i r e c t i o n t h e r e e x i s t k c o n s e c u t i v e

a r c s u s e d b y o n e o f t h e s e d i p a t h s . F r o m t h e s a m e a r g u m e n t s a s i n t h e p r e v i o u s p r o o f , i t

f o l l o w s t h a t t h e s e d i p a t h s f o r m a c o v e r i n g s e t o f a r c - d i s j o i n t d i p a t h s .

N o t e t h a t t h i s d i p a t h s a s s i g n m e n t d o e s n o t l e a d t o a s y m m e t r i c r o u t i n g ( w h e r e t h e

d i p a t h s f o r a n y t w o r e q u e s t s ( x y ) a n d ( y x ) a r e s y m m e t r i c ) .

R e q u e s t s w i t h m o v e i n H

A t l a s t w e c o n s i d e r t h e c a s e o f r e q u e s t s w i t h m o v e m =

P

d

j = 1

a

j

: e

j

2 Z

d

n

s u c h t h a t

m = m = k : J ; m . A s n o t i c e d b e f o r e , s u c h r e q u e s t s e x i s t o n l y i f k i s e v e n , s a y k = 2 h , a n d

w e h a v e a

j

2 f h ; h g f o r 1 j d .

G i v e n 2 Z

h

a n d a s p e c i a l m o v e m

0

2 H , w e d e n e t h e s e t o f a l l t h e s y m m e t r i c d i p a t h s

P

a

( x x + m

0

) a n d P

d

( x + m

0

x ) s u c h t h a t L ( x ) = m o d h . B y t h e s a m e a r g u m e n t s a g a i n ,

i t c a n b e s h o w n t h a t t h e s e d i p a t h s f o r m a c o v e r i n g s e t o f a r c - d i s j o i n t d i p a t h s .

115



1 0 B r u n o B e a u q u i e r

(b)(a) (c) (d)

F i g u r e 4 : S e t s o f c - d i p a t h s i n C

2

4

f o r r e q u e s t s w i t h m o v e i n K ( a ) ( b ) a n d i n H ( c ) ( d ) .

P r o o f o f T h e o r e m 2 . F o l l o w i n g a r e s u l t g i v e n i n 1 2 ] f o r t h e u n d i r e c t e d t o r u s , w e h a v e

~ ( C

d

n

I

A

) = n

d ; 1

b n

2

= 4 c = 2 = (

P

x 6= y

( x y ) ) = j A ( G ) j . T h e a s s u m p t i o n o f L e m m a 4 i s t h u s

s a t i s e d . I n t h e c a s e w h e r e n i s e v e n , w e h a v e s h o w n h o w t o o b t a i n s o m e s e t s o f a r c - d i s j o i n t

s h o r t e s t d i p a t h s , e a c h s e t c o v e r i n g a l l t h e a r c s o f t h e t o r u s C

d

n

, s o t h a t e v e r y r e q u e s t i n t h e

A l l t o A l l i n s t a n c e I

A

i s a s s i g n e d e x a c t l y o n e d i p a t h . A s a c o n s e q u e n c e o f L e m m a 4 , w e

h a v e ~ w ( C

d

n

I

A

) = ~ ( C

d

n

I

A

) . 2

N o w w e c o n s i d e r t h e c a s e w h e r e n i s o d d a n d p r o v e t h e s e c o n d p a r t o f T h e o r e m 2 .

P r o p o s i t i o n 1 0 I n t h e d ; d i m e n s i o n a l h y p e r s q u a r e t o r u s C

d

n

, i f n i s o d d w e h a v e :

~ ( C

d

n

I

A

) = n

d ; 1

b n

2

= 4 c = 2 = ( n

2

; 1 ) n

d ; 1

= 8 ~ w ( C

d

n

I

A

) ( n + 1 )

d + 1

= 8 = ~ w ( C

d

n + 1

I

A

) .

P r o o f . F r o m L e m m a 1 , w e h a v e ~ ( C

d

n

I

A

) ~ w ( C

d

n

I

A

) . T o p r o v e t h e u p p e r b o u n d w e

m a k e u s e o f t h e r o u t i n g a n d t h e c o l o u r i n g g i v e n b y t h e s o l u t i o n f o r n + 1 . W e c o n s i d e r C

d

n

a s o b t a i n e d f r o m C

d

n + 1

b y r e m o v i n g a s y m m e t r i c c y c l e i n e a c h d i m e n s i o n a n d j o i n i n g u p

e a c h p a i r o f d i s c o n n e c t e d l i n k s . F o r m a l l y , w e r e m o v e f r o m V ( C

d

n + 1

) a l l t h e n o d e s h a v i n g a

c o m p o n e n t e q u a l t o 0 , w h i c h f o r m t h e s e t d e n o t e d b y V

0

( C

d

n + 1

) . I n t h e i n d u c e d s u b g r a p h

w e c o n n e c t t o g e t h e r w i t h t w o s y m m e t r i c n e w a r c s a l l t h e p a i r s o f r e m a i n i n g n o d e s o f t y p e

f (

P

j 6= i

x

j

: e

j

) ; e

i

(

P

j 6= i

x

j

: e

j

) + e

i

g . N o t e t h a t i f a d i p a t h i n C

d

n + 1

u s e s t w o c o n s e c u t i v e a r c s

i n d i e r e n t d i m e n s i o n s a r o u n d a n o d e i n V

0

( C

d

n + 1

) , t h e n e i t h e r i t s s o u r c e o r i t s d e s t i n a t i o n i s

i n V

0

( C

d

n + 1

) , a c c o r d i n g t o t h e d e n i t i o n s 7 . T h u s , a l l t h e d i p a t h s w i t h s o u r c e a n d d e s t i n a t i o n

o u t o f V

0

( C

d

n + 1

) c a n b e m o d i e d f r o m C

d

n + 1

t o C

d

n

b y f o l l o w i n g t h e a r c t r a n s f o r m a t i o n .

T h e r e f o r e t h e r e i s f o r e v e r y o d d v a l u e o f n a s o l u t i o n i n C

d

n

u s i n g ~ w ( C

d

n + 1

I

A

) c o l o u r s .

2

4 H y p e r s q u a r e m e s h M

d

n

I n t h i s s e c t i o n w e c o n s i d e r t h e p r o b l e m ( M

d

n

I

A

) f o r t h e A l l t o A l l i n s t a n c e I

A

i n t h e

d ; d i m e n s i o n a l h y p e r s q u a r e m e s h w i t h s i d e n . T h e c o n s t r u c t i o n o f c o l o u r e d d i p a t h s i s

b a s e d o n t h e s o l u t i o n f o r t h e t o r u s g i v e n i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n . N o t e t h a t t h e p r o o f g i v e n

i n 1 9 ] f o r t h e m e s h i s n o t s o u n d .

116



A l l t o A l l C o m m u n i c a t i o n f o r s o m e W a v e l e n g t h R o u t e d A l l O p t i c a l N e t w o r k s 1 1

T h e o r e m 1 1 I n t h e d ; d i m e n s i o n a l h y p e r s q u a r e m e s h M

d

n

, i f n i s e v e n t h e n w e h a v e :

~ w ( M

d

n

I

A

) = ~ ( M

d

n

I

A

) = n

d + 1

= 4 , a n d i f n i s o d d t h e n :

~ ( M

d

n

I

A

) = n

d ; 1

b n

2

= 4 c = ( n

2

; 1 ) n

d ; 1

= 4 ~ w ( M

d

n

I

A

) ( n + 1 )

d + 1

= 4 = ~ w ( M

d

n + 1

I

A

) .

P r o o f . C o n s i d e r t h e m e s h M

d

n

a s o b t a i n e d f r o m t h e t o r u s C

d

n

b y r e m o v i n g a l l t h e p a i r s

o f w r a p - a r o u n d s y m m e t r i c a r c s . F o r e v e r y w r a p - a r o u n d a r c c o n t a i n e d i n a d i p a t h P i n C

d

n

,

l e t p b e t h e l o n g e s t s u b - d i p a t h o f P u s i n g t h i s a r c a n d u s i n g a r c s i n t h e s a m e d i m e n s i o n o n l y .

L e t p

0

b e t h e d i p a t h c o n n e c t i n g t h e s a m e n o d e s a s p b u t u s i n g a r c s i n t h e o t h e r d i r e c t i o n .

B y r e p l a c i n g p b y p

0

f o r e v e r y w r a p - a r o u n d a r c c o n t a i n e d i n P , w e o b t a i n a n e w d i p a t h P

0

n o t u s i n g a n y w r a p - a r o u n d a r c . A n y s u c h d i p a t h i n t h e t o r u s C

d

n

i n d u c e s a d i p a t h i n t h e

m e s h M

d

n

. T h i s g i v e s a r o u t i n g R

0

f o r t h e i n s t a n c e I

A

i n M

d

n

f r o m t h e r o u t i n g R i n C

d

n

g i v e n

i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n .

L e t u s n o w d e n e t h e n e w c o l o u r a s s i g n m e n t . T h e f o l l o w i n g p r o p e r t y h o l d s i n t h e

s o l u t i o n g i v e n p r e v i o u s l y t o t h e p r o b l e m ( C

d

n

I

A

) : e v e r y s e t o f c - d i p a t h s c a n b e p a r t i t i o n e d

i n t o t w o s u b s e t s , s o t h a t n o t w o a r c s w i t h o p p o s i t e d i r e c t i o n s i n t h e s a m e d i m e n s i o n a r e

u s e d r e s p e c t i v e l y b y t w o c - d i p a t h s i n t h e s a m e s u b s e t . T h u s , b y c o n s t r u c t i o n t h e d i p a t h s

i n e a c h o f t h e t w o c o r r e s p o n d i n g s u b s e t s o b t a i n e d i n t h e m e s h M

d

n

a r e p a i r w i s e a r c - d i s j o i n t

a n d c a n b e a s s i g n e d t w o n e w c o l o u r s c

1

a n d c

2

, r e s p e c t i v e l y . S o t w i c e a s m a n y c o l o u r s a s i n

t h e t o r u s C

d

n

a r e u s e d i n t h e m e s h M

d

n

. A s f r o m 1 2 ] ~ ( M

d

n

I

A

) = 2 ~ ( C

d

n

I

A

) , t h e t h e o r e m

h o l d s , a c c o r d i n g t o T h e o r e m 2 . 2

5 C a r t e s i a n s u m o f c o m p l e t e g r a p h s

T h e f o l l o w i n g t h e o r e m g e n e r a l i z e s t h e r e s u l t o b t a i n e d i n 1 6 , 5 ] f o r h y p e r c u b e s .

T h e o r e m 1 2 L e t n

1

n

2

: : : n

d

b e i n t e g e r s s u c h t h a t 2 n

1

n

2

n

d

. L e t u s

d e n o t e b y K ( n

1

n

2

: : : n

d

) t h e C a r t e s i a n s u m o f t h e d c o m p l e t e g r a p h s K

n

i

( 1 i d ) .

W e h a v e : ~ w ( K ( n

1

n

2

: : : n

d

) I

A

) = ~ ( K ( n

1

n

2

: : : n

d

) I

A

) =

Q

d

i = 2

n

i

.

P r o o f . I n t h e s e q u e l K ( n

1

n

2

: : : n

d

) i s d e n o t e d s i m p l y b y G . T h e v e r t e x s e t i s

r e p r e s e n t e d b y ( Z

n

1

Z

n

2

Z

n

d

) . T h e r e i s a p a i r o f s y m m e t r i c a r c s b e t w e e n t w o

n o d e s i f t h e y d i e r i n e x a c t l y o n e c o m p o n e n t . T h e e l e m e n t s i n V ( G ) m a y b e e x p r e s s e d i n

t h e c a n o n i c a l b a s e f e

i

g

1 i d

.

T h e g r a p h G c a n b e s e e n a s n

1

c o p i e s o f K ( n

2

n

3

: : : n

d

) c o n n e c t e d t o g e t h e r w i t h

n

1

( n

1

; 1 )

Q

d

i = 2

n

i

a r c s . B e c a u s e t h e r e a r e n

1

( n

1

; 1 ) (

Q

d

i = 2

n

i

)

2

r e q u e s t s b e t w e e n t h e p a i r -

w i s e d i s t i n c t c o p i e s , i t f o l l o w s t h a t o n e o f t h e s e a r c s m u s t b e c o n t a i n e d i n a t l e a s t (

Q

d

i = 2

n

i

)

d i p a t h s . T h e r e f o r e w e h a v e ~ ( G )

Q

d

i = 2

n

i

. A c c o r d i n g t o L e m m a 1 , i t r e m a i n s t o s h o w

t h a t ~ w ( G I

A

)

Q

d

i = 2

n

i

.

A d i p a t h ( u

0

u

1

: : : u

k

) f r o m u

0

t o u

k

i s c a l l e d a s c e n d i n g i f f o r 1 i k t h e n o d e u

i

i s

o b t a i n e d f r o m u

i ; 1

b y c h a n g i n g t h e c o m p o n e n t i n p o s i t i o n p

i

, s o t h a t p

1

< p

2

< : : : < p

k

.

W e a s s i g n t o e a c h r e q u e s t ( x y ) t h e a s c e n d i n g d i p a t h P ( x y ) .

117




G i v e n a

1

i n Z

n

1

, l e t

1

b e t h e i n t e g e r r e p r e s e n t a t i v e o f a

1

i n f 0 1 : : : n

1

; 1 g Z . F o r

2 i d , ( a

1

)

n

i

d e n o t e s t h e e l e m e n t o f Z

n

i

h a v i n g

1

a s i n t e g e r r e p r e s e n t a t i v e .

T h e s e t o f c o l o u r s i s r e p r e s e n t e d b y ( Z

n

2

Z

n

3

Z

n

d

) . T o e a c h d i p a t h P ( x y ) ,

w i t h x = ( x

1

x

2

: : : x

d

) a n d y = ( y

1

y

2

: : : y

d

) , w e a s s i g n t h e c o l o u r c ( x y ) = ( ( y

j

; x

j

) +

( x

1

)

n

j

)

2 j d

.

W e p r o v e n o w t h a t e a c h a r c = ( z z +

i

: e

i

) , w i t h

i

2 Z

n

i

, i s n o t c o n t a i n e d i n

t w o d i p a t h s w i t h t h e s a m e c o l o u r . A s a s c e n d i n g d i p a t h s a r e c o n s i d e r e d , t h e a r c i s

c o n t a i n e d o n l y i n d i p a t h s P ( x y ) w i t h x = ( x

1

: : : x

i ; 1

z

i

: : : z

d

) a n d y = ( z

1

: : : z

i ; 1

( z

i

+

i

) y

i + 1

: : : y

d

) . S o w e h a v e :

c ( x y ) = ( ( z

2

; x

2

) + ( x

1

)

n

2

: : : ( z

i ; 1

; x

i ; 1

) + ( x

1

)

n

i ; 1

i

+ ( x

1

)

n

i

( y

i + 1

; z

i + 1

) + ( x

1

)

n

i + 1

: : : ( y

d

; z

d

) + ( x

1

)

n

d

) :

C o n s i d e r n o w a n y o t h e r d i p a t h P ( x

0

y

0

) c o n t a i n i n g t h e a r c . A g a i n , w e h a v e :

c ( x

0

y

0

) = ( ( z

2

; x

0

2

) + ( x

0

1

)

n

2

: : : ( z

i ; 1

; x

0

i ; 1

) + ( x

0

1

)

n

i ; 1

i

+ ( x

0

1

)

n

i

( y

0

i + 1

; z

i + 1

) + ( x

0

1

)

n

i + 1

: : : ( y

0

d

; z

d

) + ( x

0

1

)

n

d

) :

A s s u m e t h a t c ( x y ) = c ( x

0

y

0

) . T h u s ,

i

+ ( x

1

)

n

i

=

i

+ ( x

0

1

)

n

i

m o d n

i

a n d s o

x

1

= x

0

1

m o d n

1

b e c a u s e n

1

n

i

. F r o m t h e i d e n t i t i e s o f t h e o t h e r c o m p o n e n t s , i t f o l l o w s

t h a t x = x

0

a n d y = y

0

. 2

6 F i n a l r e m a r k s

I n t h i s p a p e r w e h a v e o b t a i n e d o p t i m a l a n d n e a r l y o p t i m a l A l l - t o - A l l p r o t o c o l s i n s o m e

s w i t c h e d a l l - o p t i c a l n e t w o r k s . I t r e m a i n s t o p r o v e t h a t t h e e q u a l i t y ~ w = ~ a l s o h o l d s f o r

s q u a r e t o r i a n d m e s h e s w i t h o d d s i d e ( s o m e b i d i m e n s i o n a l c a s e s o f t o r i h a v e b e e n s o l v e d

i n 1 9 ] ) , a n d m o r e g e n e r a l l y f o r a n y t o r u s a n d a n y m e s h .

W e c o n s i d e r e d t o p o l o g i e s t h a t a r e a l l C a r t e s i a n s u m s o f s i m p l e g r a p h s , n a m e l y c y c l e s ,

c h a i n s a n d c o m p l e t e g r a p h s . A n i n t e r e s t i n g i s s u e d e s e r v e s t o b e i n v e s w o u l d b e i n t e r e s t i n g t i -

g a t e d : t o o b t a i n r e s u l t s f o r g e n e r a l C a r t e s i a n s u m s a n d t o n d a w a y t o d e s i g n a n e c i e n t

s o l u t i o n f o r t h e C a r t e s i a n s u m o f t w o g r a p h s , f o r w h i c h e c i e n t s o l u t i o n s a r e k n o w n .

A r e c e n t w o r k i s w o r t h t o b e p o i n t e d o u t . I n 1 0 ] i t i s p r o v e d t h a t t h e e q u a l i t y

~ w ( T I

A

) = ~ ( T I

A

) h o l d s f o r a n y t r e e T . I n v i e w o f a l l t h e r e s u l t s o b t a i n e d b y n o w , i t i s

l i k e l y t h a t t h e e q u a l i t y c a n b e a c h i e v e d f o r a n y s y m m e t r i c d i g r a p h , i n d e e d f o r a n y d i g r a p h .

F i n a l l y w e g i v e t w o o t h e r f u t u r e l i n e s o f r e s e a r c h . T h e c o m p u t a t i o n c o m p l e x i t y o f t h e

q u a n t i t y ~ w ( G I

A

) r e m a i n s t o b e d e t e r m i n e d . I t i s l i k e l y t h a t t h i s p r o b l e m i s N P h a r d .

T h e r e f o r e , i t w i l l b e o f i n t e r e s t t o d e s i g n a p p r o x i m a t i o n a l g o r i t h m s . F a u l t t o l e r a n t i s s u e s

h a v e t o b e c o n s i d e r e d t o o . S e e t h e s u r v e y 1 7 ] f o r a n a c c o u n t o f t h e v a s t l i t e r a t u r e o n

f a u l t t o l e r a n c e i n t r a d i t i o n a l n e t w o r k s .

118



A l l t o A l l C o m m u n i c a t i o n f o r s o m e W a v e l e n g t h R o u t e d A l l O p t i c a l N e t w o r k s 1 3

R e f e r e n c e s

1 ] A . A g g a r w a l , A . B a r - N o y , D . C o p p e r s m i t h , R . R a m a s w a m i , B . S c h i e b e r , a n d M . S u d a n .

E c i e n t r o u t i n g a n d s c h e d u l i n g a l g o r i t h m s f o r o p t i c a l n e t w o r k s . I n P r o c . o f t h e 5 t h

A n n u a l A C M - S I A M S y m p o s i u m o n D i s c r e t e A l g o r i t h m s ( S O D A ) , p a g e s 4 1 2 4 2 3 . A C M

P r e s s , J a n u a r y 1 9 9 4 .

2 ] Y . A u m a n n a n d Y . R a b a n i . I m p r o v e d b o u n d s f o r a l l o p t i c a l r o u t i n g . I n P r o c . o f t h e

6 t h A n n u a l A C M - S I A M S y m p o s i u m o n D i s c r e t e A l g o r i t h m s ( S O D A ) , p a g e s 5 6 7 5 7 6 .

A C M P r e s s , J a n u a r y 1 9 9 5 .

3 ] B . B e a u q u i e r , J - C . B e r m o n d , L . G a r g a n o , P . H e l l , S . P r e n n e s , a n d U . V a c c a r o . G r a p h

p r o b l e m s a r i s i n g f r o m w a v e l e n g t h r o u t i n g i n a l l o p t i c a l n e t w o r k s . I n P r o c . o f 2 n d

W o r k s h o p o n O p t i c s a n d C o m p u t e r S c i e n c e ( W O C S ) , p a r t o f I P P S , G e n v e , A p r i l

1 9 9 7 .

4 ] C . B e r g e . G r a p h s a n d H y p e r g r a p h s . N o r t h H o l l a n d , A m s t e r d a m , 1 9 7 3 .

5 ] J - C . B e r m o n d , L . G a r g a n o , S . P r e n n e s , A . A . R e s c i g n o , a n d U . V a c c a r o . E c i e n t c o l -

l e c t i v e c o m m u n i c a t i o n i n o p t i c a l n e t w o r k s . I n A u t o m a t a , L a n g u a g e s a n d P r o g r a m m i n g ,

2 3 r d I n t e r n a t i o n a l C o l l o q u i u m ( I C A L P ) , v o l u m e 1 0 9 9 o f L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r

S c i e n c e , p a g e s 5 7 4 5 8 5 , P a d e r b o r n , G e r m a n y , J u l y 1 9 9 6 . S p r i n g e r - V e r l a g .

6 ] N . K . C h e u n g , K . N o s u , a n d G . W i n z e r . S p e c i a l i s s u e o n d e n s e W D M n e t w o r k s . I E E E

J o u r n a l o n S e l e c t e d A r e a s i n C o m m u n i c a t i o n s ( J S A C ) , 8 , 1 9 9 0 .

7 ] J e a n d e R u m e u r . C o m m u n i c a t i o n s d a n s l e s r s e a u x d e p r o c e s s e u r s . C o l l e c t i o n t u d e s

e t R e c h e r c h e s e n I n f o r m a t i q u e . M a s s o n , P a r i s , 1 9 9 4 . E n g l i s h v e r s i o n t o a p p e a r .

8 ] T . E r l e b a c h a n d K . J a n s e n . S c h e d u l i n g o f v i r t u a l c o n n e c t i o n s i n f a s t n e t w o r k s . I n P r o c .

o f P a r a l l e l S y s t e m s a n d A l g o r i t h m s ( P A S A ) , p a g e s 1 3 3 2 , 1 9 9 6 .

9 ] T . E r l e b a c h a n d K . J a n s e n . C a l l s c h e d u l i n g i n t r e e s , r i n g s a n d m e s h e s . I n H I C S S :

H a w a i i I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n S y s t e m S c i e n c e s . I E E E C o m p u t e r S o c i e t y P r e s s ,

1 9 9 7 .

1 0 ] L . G a r g a n o , P . H e l l , a n d S . P r e n n e s . C o l o u r i n g p a t h s i n d i r e c t e d s y m m e t r i c t r e e s

w i t h a p p l i c a t i o n s t o W D M r o u t i n g . I n A u t o m a t a , L a n g u a g e s a n d P r o g r a m m i n g , 2 4 t h

I n t e r n a t i o n a l C o l l o q u i u m ( I C A L P ) , v o l u m e 1 2 5 6 o f L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r S c i e n c e ,

p a g e s 5 0 5 5 1 5 , B o l o g n a , I t a l y , J u l y 1 9 9 7 . S p r i n g e r - V e r l a g .

1 1 ] P . E . G r e e n . F i b e r O p t i c N e t w o r k s . P r e n t i c e H a l l , 1 9 9 3 .

1 2 ] M - C . H e y d e m a n n , J - C . M e y e r , a n d D . S o t t e a u . O n f o r w a r d i n g i n d i c e s o f n e t w o r k s .

D i s c r e t e A p p l i e d M a t h e m a t i c s , 2 3 : 1 0 3 1 2 3 , 1 9 8 9 .

119




1 3 ] Y . M a n o u s s a k i s a n d Z . T u z a . T h e f o r w a r d i n g i n d e x o f d i r e c t e d n e t w o r k s . D i s c r e t e

A p p l i e d M a t h e m a t i c s , 6 8 : 2 7 9 2 9 1 , 1 9 9 6 .

1 4 ] D . M i n o l i . T e l e c o m m u n i c a t i o n s T e c h n o l o g y H a n d b o o k . A r t e c h H o u s e , 1 9 9 1 .

1 5 ] B . M u k h e r j e e . W D M - b a s e d l o c a l l i g h t w a v e n e t w o r k s , P a r t I : S i n g l e - h o p s y s t e m s . I E E E

N e t w o r k M a g a z i n e , 6 ( 3 ) : 1 2 2 7 , M a y 1 9 9 2 .

1 6 ] R . K . P a n k a j . A r c h i t e c t u r e s f o r L i n e a r L i g h t w a v e N e t w o r k s . P h D t h e s i s , D e p t . o f

E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g a n d C o m p u t e r S c i e n c e , M I T , C a m b r i d g e , M A , 1 9 9 2 .

1 7 ] A . P e l c . F a u l t - t o l e r a n t b r o a d c a s t i n g a n d g o s s i p i n g i n c o m m u n i c a t i o n n e t w o r k s . N e t -

w o r k s , 2 8 , 1 9 9 6 .

1 8 ] P . R a g h a v a n a n d E . U p f a l . E c i e n t r o u t i n g i n a l l - o p t i c a l n e t w o r k s . I n P r o c . o f t h e 2 6 t h

A n n u a l A C M S y m p o s i u m o n T h e o r y o f C o m p u t i n g ( S T O C ) , p a g e s 1 3 4 1 4 3 , M a y 1 9 9 4 .

1 9 ] H . S c h r d e r , O . S k o r a , a n d I . V r t ' o . O p t i c a l a l l - t o - a l l c o m m u n i c a t i o n f o r s o m e p r o -

d u c t g r a p h s . I n P r o c . o f 2 4 t h S e m i n a r o n C u r r e n t T r e n d s i n T h e o r y a n d P r a c t i c e o f

I n f o r m a t i c s ( S O F S E M ) , 1 9 9 7 .

2 0 ] P . S o l . E x p a n d i n g a n d f o r w a r d i n g . D i s c r e t e A p p l i e d M a t h e m a t i c s , 5 8 : 6 7 7 8 , 1 9 9 5 .

120



A N N E X E C

A l l - t o - a l l r o u t i n g a n d c o l o r i n g

i n w e i g h t e d t r e e s o f r i n g s

1 2 1



1 2 2



A l l - t o - A l l R o u t i n g a n d C o l o r i n g

i n W e i g h t e d T r e e s o f R i n g s


*

, S t p h a n e P r e n n e s

*

, D a v i d T t h

* *



J u i n 1 9 9 9

A b s t r a c t : A t r e e o f r i n g s i s a n u n d i r e c t e d g r a p h o b t a i n e d f r o m t h e u n i o n o f r i n g s , w h i c h

i n t e r s e c t t w o b y t w o i n a t m o s t o n e n o d e , s u c h t h a t a n y t w o n o d e s a r e c o n n e c t e d b y e x a c t l y

t w o e d g e - d i s j o i n t p a t h s . I n t h i s p a p e r , w e c o n s i d e r s y m m e t r i c d i r e c t e d t r e e s o f r i n g s w i t h

w e i g h t e d n o d e s . A r o u t i n g f o r a w e i g h t e d d i g r a p h i s a c o l l e c t i o n o f d i r e c t e d p a t h s ( d i p a t h s ) ,

s u c h t h a t f o r e a c h o r d e r e d p a i r o f n o d e s ( x

1

x

2

) w i t h r e s p e c t i v e w e i g h t s w

1

a n d w

2

, t h e r e a r e

w

1

w

2

d i p a t h s ( p o s s i b l y n o t d i s t i n c t ) f r o m x

1

t o x

2

. M o t i v a t e d b y t h e W a v e l e n g t h D i v i s i o n

M u l t i p l e x i n g ( W D M ) t e c h n o l o g y i n a l l - o p t i c a l n e t w o r k s , w e s t u d y t h e p r o b l e m o f n d i n g a

r o u t i n g w h i c h c a n b e c o l o r e d b y t h e f e w e s t n u m b e r o f c o l o r s s o t h a t d i p a t h s o f t h e s a m e

c o l o r a r e a r c - d i s j o i n t . W e p r o v e t h a t t h i s m i n i m u m n u m b e r o f c o l o r s ( w a v e l e n g t h s ) i s e q u a l

t o t h e m a x i m u m n u m b e r o f d i p a t h s t h a t s h a r e o n e a r c ( l o a d ) , m i n i m i z e d o v e r a l l r o u t i n g s .

T h e p r o b l e m c a n b e e c i e n t l y s o l v e d ( d i p a t h s f o u n d a n d c o l o r e d ) u s i n g c u t p r o p e r t i e s .

K e y - w o r d s : o p t i c a l n e t w o r k s , W D M , r o u t i n g , c o l o r i n g , c u t .

( R s u m : t s v p )

A c c e p t e d i n t h e 1 1 t h A C M S y m p o s i u m o n P a r a l l e l A l g o r i t h m s a n d A r c h i t e c t u r e s ( S P A A ' 9 9 ) .

T h i s w o r k h a s b e e n p a r t i a l l y s u p p o r t e d b y t h e A F I R S T i n t h e f r a m e w o r k o f t h e F r e n c h - I s r a e l i p r o j e c t

C o m m u n i c a t i o n A l g o r i t h m s i n O p t i c a l N e t w o r k s a n d b y t h e F r e n c h R N R T p r o j e c t P O R T O

*

S L O O P i s a j o i n t p r o j e c t w i t h t h e C N R S a n d t h e U n i v e r s i t y o f N i c e - S o p h i a A n t i p o l i s ( I 3 S l a b o r a t o r y ) .

E - m a i l : { B r u n o . B e a u q u i e r , S t e p h a n e . P e r e n n e s } @ i n r i a . f r

* *

T e c h n i c a l U n i v e r s i t y o f B u d a p e s t , r e s e a r c h d o n e w h i l e v i s i t i n g I N R I A a t S o p h i a A n t i p o l i s . E - m a i l :

t o c s a @ m a t h . b m e . h u






R o u t a g e O p t i q u e W D M

d a n s l e s a r b r e s d ' a n n e a u x p o n d r s

R s u m : U n a r b r e d ' a n n e a u x e s t u n g r a p h e n o n - o r i e n t o b t e n u p a r l ' u n i o n d ' a n n e a u x ,

q u i s ' i n t e r s e c t e n t d e u x - - d e u x e n a u p l u s u n s o m m e t , d e t e l l e s o r t e q u e d e u x s o m m e t s s o n t

r e l i s p a r e x a c t e m e n t d e u x c h e m i n s a r t e - d i s j o i n t s . D a n s c e r a p p o r t , n o u s c o n s i d r o n s d e s

a r b r e s d ' a n n e a u x o r i e n t s s y m t r i q u e s a v e c d e s s o m m e t s p o n d r s . U n r o u t a g e p o u r u n

g r a p h e o r i e n t p o n d r e s t u n e c o l l e c t i o n d e c h e m i n s o r i e n t s , t e l l e q u e p o u r t o u t c o u p l e d e

s o m m e t s ( x

1

x

2

) d e p o i d s r e s p e c t i f s w

1

e t w

2

, e l l e c o n t i e n t w

1

w

2

c h e m i n s ( v e n t u e l l e m e n t

d i s t i n c t s ) a l l a n t d e x

1

v e r s x

2

. M o t i v s p a r l a t e c h n o l o g i e d e m u l t i p l e x a g e e n l o n g u e u r s

d ' o n d e W D M ( W a v e l e n g t h - D i v i s i o n M u l t i p l e x i n g ) d a n s l e s r s e a u x t o u t - o p t i q u e s , n o u s t u -

d i o n s l e p r o b l m e d e t r o u v e r u n r o u t a g e e t u n e c o l o r a t i o n m i n i m a l e d e s c h e m i n s , a v e c l a

c o n t r a i n t e q u e d e u x c h e m i n s d e l a m m e c o u l e u r s o n t a r c - d i s j o i n t s . N o u s m o n t r o n s q u e

l e n o m b r e m i n i m u m d e c o u l e u r s ( l o n g u e u r s d ' o n d e ) p o u r u n e s o l u t i o n e s t g a l a u n o m b r e

m a x i m u m d e c h e m i n s q u i p a r t a g e n t u n a r c ( c h a r g e ) , p a r m i t o u s l e s r o u t a g e s p o s s i b l e s . L e

p r o b l m e e s t r s o l u p a r u n e m t h o d e c o n s t r u c t i v e e t e c a c e , e n u t i l i s a n t d e s c r i t r e s d e

c o u p e .

M o t s - c l : r s e a u x o p t i q u e s , W D M , r o u t a g e , c o l o r a t i o n , c o u p e .



A l l - t o - A l l R o u t i n g a n d C o l o r i n g i n W e i g h t e d T r e e s o f R i n g s 1

1 I n t r o d u c t i o n a n d M o t i v a t i o n

O p t i c s i s e m e r g i n g a s a k e y t e c h n o l o g y i n c o m m u n i c a t i o n n e t w o r k s , p r o m i s i n g v e r y h i g h

s p e e d l o c a l o r w i d e a r e a n e t w o r k s o f t h e f u t u r e . A s i n g l e o p t i c a l w a v e l e n g t h s u p p o r t s

r a t e s o f g i g a b i t s p e r s e c o n d , w h i c h i n t u r n s u p p o r t m u l t i p l e c h a n n e l s o f v o i c e , d a t a a n d v i -

d e o 1 0 , 1 3 ] . M u l t i p l e l a s e r b e a m s t h a t a r e p r o p a g a t e d o v e r t h e s a m e b e r o n d i s t i n c t o p t i c a l

w a v e l e n g t h s c a n i n c r e a s e t h i s c a p a c i t y e v e n f u r t h e r . T h i s i s a c h i e v e d t h r o u g h W a v e l e n g t h

D i v i s i o n M u l t i p l e x i n g ( o r W D M ) 6 ] , b y p a r t i t i o n i n g t h e o p t i c a l b a n d w i d t h i n t o a n u m b e r

o f c h a n n e l s a n d a l l o w i n g t h e t r a n s m i s s i o n o f m u l t i p l e d a t a s t r e a m s c o n c u r r e n t l y a l o n g t h e

s a m e o p t i c a l b e r o n d i e r e n t c h a n n e l s , i . e . , d i e r e n t w a v e l e n g t h s . ( T w o s t r e a m s o f t h e

s a m e w a v e l e n g t h c a n n o t b e r o u t e d o n t h e s a m e b e r d u e t o e l e c t r o m a g n e t i c i n t e r f e r e n c e . )

A l l o p t i c a l ( o r s i n g l e h o p 1 4 ] ) c o m m u n i c a t i o n n e t w o r k s p r o v i d e a l l s o u r c e - d e s t i n a t i o n

p a i r s w i t h e n d - t o - e n d t r a n s p a r e n t c h a n n e l s t h a t a r e i d e n t i e d t h r o u g h a w a v e l e n g t h a n d a

p h y s i c a l p a t h . T h e y e x p l o i t p h o t o n i c t e c h n o l o g y f o r t h e i m p l e m e n t a t i o n o f b o t h t h e s w i t -

c h i n g a n d t h e t r a n s m i s s i o n f u n c t i o n s 9 ] , a n d m a i n t a i n t h e s i g n a l i n o p t i c a l f o r m t h r o u g h

t h e t r a n s m i s s i o n , t h u s a l l o w i n g m u c h h i g h e r d a t a t r a n s m i s s i o n r a t e s ( s i n c e t h e r e i s n o p r o -

h i b i t i v e o v e r h e a d d u e t o c o n v e r s i o n s t o a n d f r o m t h e e l e c t r o n i c f o r m ) . W a v e l e n g t h s b e i n g

a l i m i t e d r e s o u r c e , s o l u t i o n s t o t h e p r o b l e m o f e c i e n t r o u t i n g a n d w a v e l e n g t h s a l l o c a t i o n

a r e o f i m p o r t a n c e f o r t h e f u t u r e d e v e l o p m e n t o f o p t i c a l t e c h n o l o g y .

T h e p r o b l e m w e c o n s i d e r h e r e i s m o t i v a t e d b y s w i t c h e d n e t w o r k s w i t h r e c o n g u r a b l e

w a v e l e n g t h s e l e c t i v e o p t i c a l s w i t c h e s , w i t h o u t w a v e l e n g t h c o n v e r t e r s , w h e r e d i e r e n t s i g n a l s

m a y t r a v e l o n t h e s a m e c o m m u n i c a t i o n l i n k ( b u t o n d i e r e n t w a v e l e n g t h s ) i n t o a n o d e , a n d

t h e n e x i t f r o m i t o n d i e r e n t l i n k s , k e e p i n g t h e i r o r i g i n a l w a v e l e n g t h s . S i n c e o p t i c a l l i n k s

a r e i n h e r e n t l y b i d i r e c t i o n a l , t h e p r o b l e m h a s i n i t i a l l y b e e n m o d e l e d b y u n d i r e c t e d g r a p h s ,

a s i n 1 , 2 , 1 5 ] . H o w e v e r , i t h a s s i n c e b e c o m e c l e a r t h a t t h e u s e o f a m p l i e r s w i l l a c t u a l l y

m a k e e a c h b i d i r e c t i o n a l o p t i c a l l i n k i n t o a p a i r o f u n i d i r e c t i o n a l l i n k s 1 6 ] , a n d h e n c e t h e n e w

m o d e l s o f t h e s i t u a t i o n t e n d t o r e p r e s e n t o p t i c a l n e t w o r k s b y s y m m e t r i c d i r e c t e d g r a p h s , a s

i n 5 , 1 2 , 1 1 ] .

I n a n a l l - o p t i c a l n e t w o r k o n e n e e d s t o s e t u p a n u m b e r o f c o m m u n i c a t i o n s ( d i p a t h s )

b e t w e e n g i v e n p a i r s o f n o d e s , w i t h e a c h c o m m u n i c a t i o n b e i n g t r a n s m i t t e d o n o n e p a r t i -

c u l a r w a v e l e n g t h , a n d s o t h a t a l l c o m m u n i c a t i o n s t h a t s h a r e a l i n k h a v e d i e r e n t w a v e -

l e n g t h s . S p e c i c a l l y , t h e g e n e r a l p r o b l e m i s t h e f o l l o w i n g : G i v e n a c o l l e c t i o n o f r e q u e s t s

( x

1

y

1

) ( x

2

y

2

) : : : ( x

k

y

k

) , c o n n e c t e a c h x

i

t o t h e c o r r e s p o n d i n g y

i

b y a d i p a t h P

i

, a n d

a s s i g n a w a v e l e n g t h t o e a c h P

i

, s o t h a t d i p a t h s w i t h t h e s a m e w a v e l e n g t h d o n o t s h a r e a

l i n k . T h e o b j e c t i v e i s t o u s e t h e m i n i m u m p o s s i b l e n u m b e r o f w a v e l e n g t h s . T h i s p a r a m e t e r

i s c o n s i d e r e d o f i m p o r t a n c e i n e v a l u a t i n g t h e c o m p e t i t i v e n e s s o f t h e w a v e l e n g t h d i v i s i o n

m u l t i p l e x i n g t e c h n o l o g y 1 2 ] . A s u r v e y o f g r a p h t h e o r e t i c p r o b l e m s a s s o c i a t e d w i t h r o u t i n g

i n o p t i c a l n e t w o r k s c a n b e f o u n d i n 4 ] .

T h e p r o b l e m o f m i n i m i z i n g t h e n u m b e r o f w a v e l e n g t h s h a s b e e n p r o v e d t o b e N P -

c o m p l e t e f o r a g e n e r a l c o l l e c t i o n o f r e q u e s t s , e v e n i n r i n g s 7 ] . H e r e w e c o n s i d e r t h e A l l - T o - A l l

c o m m u n i c a t i o n p r o c e s s i n t h e w e i g h t e d c a s e : f o r e a c h o r d e r e d p a i r o f n o d e s ( x y ) w i t h r e s -

p e c t i v e w e i g h t s w ( x ) a n d w ( y ) , w ( x ) w ( y ) d i p a t h s ( p o s s i b l y n o t d i s t i n c t ) f r o m x t o y h a v e

t o b e f o u n d a n d a s s i g n e d w a v e l e n g t h s . O p t i m a l r e s u l t s f o r t h i s p r o b l e m h a v e b e e n p r o v e d i n

125



2 B e a u q u i e r , P r e n n e s & T t h

t h e u n w e i g h t e d c a s e f o r r i n g s 5 , 1 8 ] , f o r s o m e c a r t e s i a n p r o d u c t s 3 ] i n c l u d i n g h y p e r c u b e s

a n d s o m e t o r o i d a l m e s h e s , f o r s o m e c o m p o u n d g r a p h s 1 7 ] a n d f o r t r e e s 8 ] .

I n t h i s p a p e r w e s o l v e t h e c a s e o f t h e w e i g h t e d s y m m e t r i c d i r e c t e d t r e e s o f r i n g s . T h e s e

n e t w o r k s a r e i n t e r e s t i n g s i n c e t r e e - l i k e s t r u c t u r e s a r e o f t e n u s e d i n t h e t e l e c o m m u n i c a t i o n s

i n d u s t r y 1 2 ] a n d e m e r g i n g S D H ( S y n c h r o n o u s D i g i t a l H i e r a r c h y ) l o c a l a r e a n e t w o r k s g e n e -

r a l l y c o n s i s t o f S O N E T ( S y n c h r o n o u s O p t i c a l N E T w o r k ) r i n g s c o n n e c t e d t o g e t h e r .

2 P r e l i m i n a r i e s

I n t h i s p a p e r , w e m o d e l a n a l l o p t i c a l n e t w o r k a s a w e i g h t e d s y m m e t r i c d i g r a p h ( G w ) , t h a t

i s a d i r e c t e d g r a p h G , w i t h n o d e s e t V ( G ) a n d a r c s e t A ( G ) ( s u c h t h a t i f ( u v ) 2 A ( G )

t h e n ( v u ) 2 A ( G ) ) , t o g e t h e r w i t h a n o n n e g a t i v e i n t e g r a l w e i g h t f u n c t i o n w o n t h e s e t o f

n o d e s . W e a l w a y s d e n o t e b y N t h e t o t a l w e i g h t

P

v 2 V ( G )

w ( v ) o f ( G w ) , a n d f o r a n y s u b s e t

o f n o d e s S V ( G ) w e d e n e t h e w e i g h t o f S a s w ( S ) =

P

s 2 S

w ( s ) .

D e n i t i o n 1 A t r e e o f r i n g s i s a n u n d i r e c t e d g r a p h o b t a i n e d f r o m t h e u n i o n o f r i n g s , w h i c h

i n t e r s e c t t w o b y t w o i n a t m o s t o n e n o d e , s u c h t h a t a n y t w o n o d e s a r e c o n n e c t e d b y e x a c t l y

t w o e d g e - d i s j o i n t p a t h s .

F i g u r e 1 : A t r e e o f r i n g s .

A s y m m e t r i c d i g r a p h i s n a t u r a l l y i n d u c e d b y a n u n d i r e c t e d g r a p h b y r e p l a c i n g e a c h e d g e

b y t w o o p p o s i t e a r c s . I n t h i s p a p e r , w e c o n s i d e r w e i g h t e d s y m m e t r i c d i r e c t e d t r e e s o f r i n g s .

126




D e n i t i o n 2 A r o u t i n g f o r a w e i g h t e d d i g r a p h ( G w ) i s a c o l l e c t i o n o f d i r e c t e d p a t h s ( d i -

p a t h s ) i n G , s u c h t h a t f o r e a c h o r d e r e d p a i r o f n o d e s ( x y ) t h e r e a r e w ( x ) w ( y ) d i p a t h s

( p o s s i b l y n o t d i s t i n c t ) f r o m x t o y .

T h e w a v e l e n g t h - r o u t i n g p r o b l e m f o r a w e i g h t e d d i g r a p h ( G w ) c o n s i s t s o f n d i n g a r o u -

t i n g a n d a s s i g n i n g e a c h d i p a t h a w a v e l e n g t h ( o r c o l o r ) , s o t h a t n o t w o d i p a t h s s h a r i n g a n

a r c h a v e t h e s a m e w a v e l e n g t h . W e d e n o t e b y ~ w ( G w ) t h e m i n i m u m n u m b e r o f w a v e l e n g t h s

u s e d t o s o l v e t h e w a v e l e n g t h - r o u t i n g p r o b l e m i n ( G w ) .

G i v e n a w e i g h t e d d i g r a p h ( G w ) a n d a r o u t i n g R , t h e l o a d o f a n a r c 2 A ( G ) i s

t h e n u m b e r o f d i p a t h s i n R c o n t a i n i n g . T h e l o a d o f ( G w ) , d e n o t e d b y ~ ( G w ) , i s t h e

m i n i m u m o v e r a l l r o u t i n g s R o f t h e m a x i m u m l o a d o f t h e a r c s o f G . C l e a r l y , ~ ( G w ) i s a

l o w e r b o u n d o n ~ w ( G w ) .

P r o p e r t y 3 ~ w ( G w ) ~ ( G w ) f o r a n y w e i g h t e d d i g r a p h ( G w ) .

G i v e n a w e i g h t e d d i g r a p h ( G w ) a n d a n y p a r t i t i o n ( S

S ) o f t h e s e t o f n o d e s V ( G ) , c a l l e d

a c u t , w e d e n o t e b y c ( S

S ) t h e n u m b e r o f a r c s b e g i n n i n g i n S a n d e n d i n g i n

S .

A t l e a s t w ( S ) w (

S ) d i p a t h s i n a n y r o u t i n g f o r ( G w ) m u s t u s e t h e s e a r c s . S o w e h a v e

~ ( G w )

w ( S ) w (

S )

c ( S

S )

f o r a n y c u t ( S

S ) .

A s f a r a s a w e i g h t e d t r e e o f r i n g s ( T w ) i s c o n c e r n e d , w e c o n s i d e r o n l y c u t s ( S

S ) s u c h

t h a t c ( S

S ) = 2 . T h e r e f o r e S a n d

S a r e t w o c o n n e c t e d c o m p o n e n t s o f T . S e t t i n g M = w ( S )

a n d m = w (

S ) , w e h a v e M + m = N a n d w e a s s u m e t h a t M m i n t h e s e q u e l . T h e p r o d u c t

M m i s c a l l e d t h e l o a d o f t h e c u t a n d t h e d i e r e n c e = M ; m i s c a l l e d t h e g a p o f t h e c u t .

A t i g h t c u t i s a c u t w i t h m a x i m u m l o a d ( o r e q u i v a l e n t l y w i t h m i n i m u m g a p ) .

G i v e n t w o n o d e s a a n d b o f ( T w ) w i t h p o s i t i v e w e i g h t s , w e d e n o t e b y w

a b

t h e w e i g h t

f u n c t i o n o b t a i n e d f r o m w b y d e c r e a s i n g t h e w e i g h t s o f n o d e s a a n d b b y o n e u n i t ( h e n c e

( T w

a b

) h a s t o t a l w e i g h t N ; 2 ) . T h e m i n i m u m g a p o f ( T w

a b

) i s d e n o t e d b y

a b

. T h e

f o l l o w i n g p r o p e r t y w i l l b e u s e f u l l :

P r o p e r t y 4 L e t ( T w ) b e a w e i g h t e d t r e e o f r i n g s w i t h m i n i m u m g a p 2 . L e t a a n d b

b e t w o n o d e s i n V ( T ) w i t h p o s i t i v e w e i g h t s . I f t h e r e e x i s t s a t i g h t c u t ( S

S ) o f ( T w ) s u c h

t h a t a b 2 S t h e n

a b

= ; 2 , o t h e r w i s e

a b

.

P r o o f . C o n s i d e r a n y c u t ( S

S ) o f T . I f ( S

S ) i s a t i g h t c u t o f ( T w ) , t h e n ( S

S ) h a s

g a p ; 2 0 i n ( T w

a b

) i f a b 2 S , a n d g a p a t l e a s t i n ( T w

a b

) i f n o t . I f ( S

S ) i s n o t a

t i g h t c u t o f ( T w ) , t h e n i t h a s g a p a t l e a s t + 2 i n ( T w ) a n d g a p a t l e a s t i n ( T w

a b

) .

2

H a l f t h e l o a d o f a t i g h t c u t i s c l e a r l y a l o w e r b o u n d o n b o t h ~ ( T w ) a n d ~ w ( T w ) . I n

t h i s p a p e r , w e s h o w t h a t t h i s b o u n d i s i n d e e d e x a c t :

M a i n T h e o r e m F o r a n y w e i g h t e d t r e e o f r i n g s ( T w ) w e h a v e ~ w ( T w ) = ~ ( T w ) = d

M m

2

e ,

w h e r e M m i s t h e l o a d o f a t i g h t c u t .

T h e p r o o f i s d o n e b y i n d u c t i o n o n t h e t o t a l w e i g h t . W e r s t p r o v e t h e r e s u l t i n t h e c a s e

o f w e i g h t e d r i n g s a n d t h e n p r o c e e d w i t h t h e g e n e r a l c a s e .

127




3 W e i g h t e d r i n g s

I n t h i s s e c t i o n w e p r o v e t h e t h e o r e m i n t h e c a s e o f w e i g h t e d r i n g s . T h e p r o o f f o r a r b i t r a r y

w e i g h t e d t r e e s o f r i n g s w i l l f o l l o w t h e s a m e l i n e s .

D u e t o t h e u p p e r i n t e g r a l p a r t a p p e a r i n g i n M a i n T h e o r e m , w e n e e d t o i n t r o d u c e t h e

n o t i o n o f h a l f - c o l o r s . A n y c o l o r a s s i g n e d t o a s e t o f a r c - d i s j o i n t d i p a t h s c a n b e s e e n a s t h e

u n i o n o f t w o o p p o s i t e h a l f - c o l o r s : a p o s i t i v e o n e f o r c l o c k w i s e d i p a t h s a n d a n e g a t i v e o n e f o r

a n t i - c l o c k w i s e d i p a t h s . C o n v e r s e l y , a n y t w o o p p o s i t e h a l f - c o l o r s c a n g i v e r i s e t o o n e c o l o r .

T h e r e f o r e , h a l f - c o l o r i n g a r o u t i n g w i t h h

+

p o s i t i v e h a l f - c o l o r s a n d h

;

n e g a t i v e h a l f - c o l o r s

l e a d s t o a c o l o r i n g w i t h m a x f h

+

h

;

g c o l o r s . H a l f - c o l o r s f o r a r o u t i n g a r e s a i d t o b e b a l a n c e d

i f j h

+

; h

;

j 1 . W e w i l l m a n a g e t o h a v e h

+

= d

M m

2

e a n d h

;

= b

M m

2

c , s o t h a t w e c a n g e t

a s o l u t i o n t o t h e w a v e l e n g t h - r o u t i n g p r o b l e m u s i n g a t o t a l o f m a x f h

+

h

;

g = d

M m

2

e c o l o r s .

T h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n i m p l i e s M a i n T h e o r e m f o r w e i g h t e d r i n g s .

P r o p o s i t i o n 5 L e t ( C w ) b e a w e i g h t e d r i n g a n d M m b e t h e l o a d o f a t i g h t c u t . T h e r e

e x i s t s a r o u t i n g t h a t c a n b e c o l o r e d w i t h h

+

= d

M m

2

e a n d h

;

= b

M m

2

c h a l f - c o l o r s .

O u r p r o o f i s b y i n d u c t i o n o n t h e t o t a l w e i g h t N : a c o l o r i n g f o r ( C w ) i s o b t a i n e d f r o m

a c o l o r i n g o f t h e w e i g h t e d r i n g ( C w

a b

) f o r s o m e t w o n o d e s a a n d b .

D e n i t i o n 6 L e t ( C w ) b e a w e i g h t e d r i n g w i t h t o t a l w e i g h t N . G i v e n t w o n o d e s a a n d b

w i t h p o s i t i v e w e i g h t s , l e t A a n d B b e t h e t w o c o n n e c t e d s e t s o f n o d e s o f C ; f a b g . T h e n

n o d e s a a n d b a r e s a i d t o b e a n t i p o d a l i f w ( A ) b N = 2 c a n d w ( B ) b N = 2 c .

I n t u i t i v e l y , a n t i p o d a l n o d e s c a n b e s e e n i n t h e f o l l o w i n g w a y . A s s u m e t h a t t h e n o d e s

o f t h e w e i g h t e d r i n g a r e l a b e l l e d w i t h d i s j o i n t i n t e r v a l s o f i n t e g e r s m o d u l o N , s o t h a t e a c h

n o d e a h a s a n i n t e r v a l I ( a ) o f l e n g t h e q u a l t o w ( a ) a n d a d j a c e n t n o d e s h a v e a d j a c e n t

i n t e r v a l s . T h e n , a n y t w o n o d e s a a n d b a r e a n t i p o d a l i f t h e r e a r e x 2 I ( a ) a n d y 2 I ( b ) ,

s u c h t h a t y = x + b

N

2

c m o d N o r y = x + d

N

2

e m o d N .

C a s e A

K e e p i n g t h e s a m e n o t a t i o n a s i n P r o p e r t y 4 , w e a s s u m e t h a t :

C o n d i t i o n A T h e r e e x i s t t w o a n t i p o d a l n o d e s a a n d b s u c h t h a t

a b

.

N o t e t h a t C o n d i t i o n A i s f u l l l e d i f 1 , o r i f t h e r e e x i s t t w o a n t i p o d a l n o d e s a a n d b ,

s u c h t h a t f o r a n y t i g h t c u t ( S

S ) , a 2 S i f a n d o n l y i f b 2

S .

L e m m a 7 I f P r o p o s i t i o n 5 h o l d s f o r a l l w e i g h t e d r i n g s w i t h w e i g h t l e s s t h a n N , t h e n i t

h o l d s f o r a n y w e i g h t e d r i n g w i t h w e i g h t N s a t i s f y i n g C o n d i t i o n A .

P r o o f . L e t ( C w ) b e a w e i g h t e d r i n g w i t h w e i g h t N s a t i s f y i n g C o n d i t i o n A . ( T h e r e s u l t

i s o b v i o u s l y t r u e i f N 1 . ) A c c o r d i n g t o C o n d i t i o n A , t h e r e a r e t w o n o d e s a a n d b s u c h

t h a t t h e l o a d o f a t i g h t c u t o f ( C w

a b

) i s a t m o s t ( M ; 1 ) ( m ; 1 ) = M m ; ( m + M ) + 1 .

U s i n g t h e i n d u c t i v e h y p o t h e s i s , w e c o l o r a r o u t i n g o f ( C w

a b

) w i t h M m ; ( N ; 1 ) b a l a n c e d

128




h a l f - c o l o r s . L e t A a n d B b e t h e t w o c o n n e c t e d s e t s o f n o d e s o f C ; f a b g . T o o b t a i n a

c o l o r e d r o u t i n g f o r ( C w ) s a t i s f y i n g t h e l e m m a , i t r e m a i n s t o a s s i g n i n a b a l a n c e d w a y N ; 1

h a l f - c o l o r s t o a s e t D

1

o f 4 ( w ( A ) + w ( B ) ) d i p a t h s c o n n e c t i n g a a n d b w i t h t h e n o d e s i n A

a n d B a n d t o a s e t D

2

o f 2 ( w ( a ) + w ( b ) ; 1 ) d i p a t h s c o n n e c t i n g a w i t h b .

G i v e n a

0

2 A f a b g a n d b

0

2 B f a b g , t w o h a l f - c o l o r s ( o n e i n e a c h d i r e c t i o n ) a r e

s u c i e n t t o c o l o r e i g h t d i p a t h s ( p o s s i b l y l e s s i f a

0

2 f a b g o r b

0

2 f a b g ) c o n n e c t i n g a a n d b

w i t h a

0

a n d b

0

( s e e F i g u r e 2 ) .

I f N i s e v e n , a s a a n d b a r e a n t i p o d a l , w e c a n c h o o s e

N ; 2

2

t i m e s a

0

2 A f a b g a n d

b

0

2 B f a b g a n d u s e N ; 2 h a l f - c o l o r s , s o t h a t s e t s D

1

a n d D

2

, b u t t w o d i p a t h s c o n n e c t i n g a

w i t h b , a r e f o u n d a n d c o l o r e d . A t l a s t , o n e h a l f - c o l o r ( w h o s e d i r e c t i o n c a n b e c h o s e n t o e n s u r e

t h e b a l a n c e c o n d i t i o n ) i s u s e d i n t h i s c a s e f o r t h e t w o l a s t d i p a t h s c o n n e c t i n g a w i t h b .

I n t h e o t h e r c a s e , N i s o d d a n d w e c a n a s s u m e w . l . o . g . t h a t w ( A ) b N = 2 c a n d w ( B )

N ; 3

2

. B y c h o o s i n g

N ; 3

2

t i m e s a

0

2 A f a b g a n d b

0

2 B f a b g a n d u s i n g N ; 3 h a l f - c o l o r s ,

w e c a n d e n e a n d c o l o r s e t D

1

, b u t f o u r d i p a t h s c o n n e c t i n g a a n d b w i t h o n e n o d e i n A ,

a n d s e t D

2

, b u t t w o d i p a t h s c o n n e c t i n g a w i t h b . T h e s e l a s t s i x d i p a t h s c a n b e d e n e d a n d

c o l o r e d w i t h t w o m o r e h a l f - c o l o r s . F r o m t h e i n d u c t i v e h y p o t h e s i s , w e c a n a l s o e n s u r e t h a t

t h e s a m e n u m b e r o f h a l f - c o l o r s i s u s e d i n t h e t w o d i r e c t i o n s o f t h e r i n g ( N i s o d d a n d M m

e v e n ) .

I n b o t h c a s e s , w e g e t a c o l o r e d r o u t i n g o f ( C w ) w i t h h

+

+ h

;

= M m h a l f - c o l o r s , s o

t h a t h

+

= d

M m

2

e a n d h

;

= b

M m

2

c . 2

a’

a

b’

b

F i g u r e 2 : C o l o r i n g e i g h t d i p a t h s b e t w e e n f a b g a n d f a

0

b

0

g w i t h t w o h a l f - c o l o r s .

A s p r o v e d i n 5 , 1 8 ] , w e d e d u c e t h e f o l l o w i n g r e s u l t :

C o r o l l a r y 8 P r o p o s i t i o n 5 h o l d s f o r a n y w e i g h t e d r i n g ( C w

1

) w i t h u n i f o r m w e i g h t e q u a l

t o 1 .

P r o o f . T h e m i n i m u m g a p o f ( C w

1

) i s a t m o s t o n e , s o w e a r e i n C a s e A a n d t h e r e s u l t

f o l l o w s i n d u c t i v e l y f r o m t h e p r o o f o f L e m m a 7 . 2

129




C o r o l l a r y 9 P r o p o s i t i o n 5 h o l d s f o r a n y w e i g h t e d r i n g ( C w

k

) w i t h u n i f o r m w e i g h t e q u a l

t o k .

P r o o f . L e t p b e t h e n u m b e r o f n o d e s o f C . T h e l o a d o f a t i g h t c u t o f ( C w

k

) i s k

2

t i m e s t h e l o a d o f a t i g h t c u t o f ( C w

1

) e q u a l t o d p = 2 e b p = 2 c . I f p i s o d d o r i f p a n d p = 2

a r e e v e n , w e c a n g e t a s o l u t i o n f o r ( C w

k

) b y t a k i n g k

2

t i m e s t h e h a l f - c o l o r e d r o u t i n g f o r

( C w

1

) , w h e r e h

+

= h

;

. I f p i s e v e n a n d p = 2 o d d , w e h a v e h

+

= h

;

+ 1 i n t h e h a l f - c o l o r e d

r o u t i n g f o r ( C w

1

) . T o e n s u r e t h e b a l a n c e c o n d i t i o n f o r ( C w

k

) , w e t a k e d

k

2

2

e t i m e s t h e

h a l f - c o l o r e d r o u t i n g f o r ( C w

1

) a n d b

k

2

2

c t i m e s t h e r o u t i n g f o r ( C w

1

) w h e r e c l o c k w i s e a n d

a n t i - c l o c k w i s e h a l f - c o l o r s a r e s w a p p e d . 2

C a s e B

L e t ( C w ) b e a w e i g h t e d r i n g w i t h m i n i m u m g a p . W e a s s u m e t h a t w e a r e n o t i n C a s e A ,

s o > 1 a n d t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n i s s a t i s e d :

C o n d i t i o n B F o r a n y t w o a n t i p o d a l n o d e s a a n d b , t h e r e e x i s t s a t i g h t c u t ( S

S ) s u c h t h a t

a 2 S a n d b 2 S .

L e m m a 1 0 A n y w e i g h t e d r i n g s a t i s f y i n g C o n d i t i o n B h a s u n i f o r m w e i g h t a n d a n o d d n u m -

b e r o f n o d e s .

P r o o f . F i r s t n o t i c e t h a t f o r a n y c o n n e c t e d s e t X o f n o d e s , w ( X ) < M i m p l i e s

w ( X ) m a n d w ( X ) > m i m p l i e s w ( X ) M . N o t e a l s o t h a t a n y n o d e i s a n t i p o d a l

t o a l e a s t o n e n o d e .

L e t a , b a n d d b e t h r e e n o d e s , s u c h t h a t b a n d d a r e a d j a c e n t . L e t B a n d D b e t h e t w o

c o n n e c t e d s e t s o f n o d e s o f C ; f a b d g , b e t w e e n a a n d b , a n d b e t w e e n a a n d d , r e s p e c t i v e l y .

I f a a n d b a r e a n t i p o d a l a n d i f ( S

S ) i s a t i g h t c u t s u c h t h a t a 2 S a n d b 2 S , t h e n

S = f a g B f b g . I n d e e d , o t h e r w i s e w e h a v e w ( a ) + w ( B ) + w ( b ) < M , s o w ( a ) + w ( B ) +

w ( b ) m = N ; M a n d w ( a ) + w ( B ) + w ( b ) < N = 2 , b u t a s a a n d b a r e a n t i p o d a l , w e h a v e

a l s o w ( d ) + w ( D ) b N = 2 c ( c o n t r a d i c t i o n ) .

C o n d i t i o n B i m p l i e s t h a t e v e r y n o d e h a s w e i g h t a t l e a s t . I n d e e d , a s s u m i n g a a n d b

a n t i p o d a l , w e h a v e w ( a ) + w ( B ) + w ( b ) = M = m + a n d w ( B ) + w ( b ) < M , s o w ( B ) + w ( b )

m a n d w ( a ) . N o t e a l s o t h a t i f n o d e a i s a n t i p o d a l t o i t s e l f , t h e n w ( a ) > N = 2 , t h e r e i s

o n l y o n e t i g h t c u t a n d w e a r e c l e a r l y i n C a s e A .

A s s u m e t h a t b o t h n o d e s b a n d d a r e a n t i p o d a l w i t h n o d e a . T h e n w ( a ) + w ( B ) + w ( b ) = M

a n d w ( a ) + w ( D ) + w ( d ) = M . S o N + w ( a ) = 2 M = M + m + = N + , h e n c e w ( a ) = .

A s s u m e t h a t b i s t h e o n l y a n t i p o d a l n o d e w i t h a . T h e n w ( a ) + w ( B ) + w ( b ) = M a n d

w ( B ) + w ( b ) m N = 2 . A s a a n d d a r e n o t a n t i p o d a l a n d s i n c e w ( D ) < m N = 2 , w e

h a v e w ( B ) + w ( b ) > b N = 2 c ( c o n t r a d i c t i o n ) .

T h e r e f o r e , C o n d i t i o n B i m p l i e s t h a t e v e r y n o d e h a s a t l e a s t t w o a n t i p o d a l n o d e s a n d

w e i g h t . T h e n u m b e r o f n o d e s c a n n o t b e e v e n , o t h e r w i s e = 0 ( C a s e A ) . S o , i n C a s e B

t h e w e i g h t i s u n i f o r m a n d t h e n u m b e r o f n o d e s i s o d d . 2

130




P r o o f o f P r o p o s i t i o n 5

T h e p r o o f i s m a d e b y i n d u c t i o n . L e t ( C w ) b e a w e i g h t e d r i n g w i t h w e i g h t N . I f N 1

t h e n t h e r e s u l t i s t r i v i a l . A s s u m e t h a t P r o p o s i t i o n 5 h o l d s f o r a l l w e i g h t e d r i n g s w i t h w e i g h t

l e s s t h a n N . I f ( C w ) s a t i s e s C o n d i t i o n A , t h e n w e u s e L e m m a 7 , e l s e ( C w ) h a s u n i f o r m

w e i g h t a n d a n u m b e r o f n o d e s o d d , a c c o r d i n g t o L e m m a 1 0 , w e u s e t h e n C o r o l l a r y 9 t o

c o n c l u d e .

4 G e n e r a l c a s e

N o w w e e x t e n d P r o p o s i t i o n 5 ( a n d t h u s M a i n T h e o r e m ) t o t h e c a s e o f w e i g h t e d t r e e s o f

r i n g s .

P r o p o s i t i o n 1 1 L e t ( T w ) b e a w e i g h t e d t r e e o f r i n g s a n d M m b e t h e l o a d o f a t i g h t c u t .

T h e n t h e r e e x i s t s a r o u t i n g w h i c h c a n b e c o l o r e d w i t h h

+

+ h

;

= M m h a l f - c o l o r s , w i t h

h

+

= d

M m

2

e a n d h

;

= b

M m

2

c .

D e n i t i o n 1 2 L e t ( T w ) b e a w e i g h t e d t r e e o f r i n g s a n d P a c l o s e d E u l e r i a n d i p a t h i n T

v i s i t i n g e a c h n o d e . T h e i n t e r v a l l a b e l l i n g I f o r P ( s e e F i g u r e 2 ) i s t h e a s s i g n m e n t o f a n

i n t e r v a l I ( a ) o f i n t e g e r s i n f 1 : : : N g t o e a c h n o d e a o f T , s u c h t h a t :

d i s t i n c t n o d e s a r e a s s i g n e d d i s j o i n t i n t e r v a l s a n d e a c h n o d e a i s a s s i g n e d a n i n t e r v a l

o f l e n g t h w ( a )

f o r a n y t w o i n t e g e r s i a n d j i n f 1 : : : N g , i < j , i f i 2 I ( a ) a n d j 2 I ( b ) f o r s o m e

n o d e s a a n d b , t h e n a = b o r a i s v i s i t e d f o r t h e r s t t i m e b e f o r e b a l o n g P .

D e n i t i o n 1 3 L e t ( T w ) b e a w e i g h t e d t r e e o f r i n g s w i t h t o t a l w e i g h t N , l e t P b e a c l o s e d

E u l e r i a n d i p a t h i n T a n d l e t I b e t h e i n t e r v a l l a b e l l i n g f o r P . T w o n o d e s a a n d b a r e

s a i d t o b e a n t i p o d a l i f t h e r e e x i s t i 2 I ( a ) a n d j 2 I ( b ) s u c h t h a t j = i + b

N

2

c m o d N o r

j = i + d

N

2

e m o d N .

T h i s d e n i t i o n o f a n t i p o d a l n o d e s o f w e i g h t e d t r e e s o f r i n g s i s e q u i v a l e n t t o t h a t g i v e n

p r e v i o u s l y f o r w e i g h t e d r i n g s . A l s o , h a l f - c o l o r s c a n b e d e n e d f o r t r e e s o f r i n g s . N o t e t h a t

a c l o s e d E u l e r i a n ( a n d H a m i l t o n ) d i p a t h P f o r a w e i g h t e d t r e e o f r i n g s ( T w ) i n d u c e s a n

o r i e n t a t i o n o f e a c h r i n g o f T . I n d e e d , e v e r y a r c u s e d b y P c a n b e d e n e d c l o c k w i s e a n d e v e r y

o t h e r a r c c a n b e d e n e d a n t i - c l o c k w i s e . W e c a n t h e n c a l l h a l f - c o l o r a c o l o r u s e d f o r r o u t i n g

a s e t o f a r c - d i s j o i n t d i p a t h s u s i n g e x c l u s i v e l y c l o c k w i s e o r a n t i - c l o c k w i s e a r c s . N e v e r t h e l e s s ,

w e w i l l n e e d a s l i g h t l y d i e r e n t d e n i t i o n o f h a l f - c o l o r s i n C a s e B . I n d e e d , t o a c h i e v e M a i n

T h e o r e m i t i s o n l y r e q u i r e d t h a t h a l f - c o l o r s c a n b e c o m b i n e d t w o b y t w o t o o b t a i n c o l o r s .

T h i s w i l l b e t h e c a s e i n t h e p r o o f o f L e m m a s 1 7 a n d 1 8 w h e r e e a c h h a l f - c o l o r w i l l b e u s e d f o r

r o u t i n g a s e t o f a r c - d i s j o i n t d i p a t h s u s i n g i n e a c h r i n g e x c l u s i v e l y c l o c k w i s e o r a n t i - c l o c k w i s e

a r c s .

A s f o r w e i g h t e d r i n g s , w e r s t a s s u m e t h a t C o n d i t i o n A i s s a t i s e d ( C a s e A ) .

131




[30,31]

[37][4]

[7,11]

[12,14] [16,19] (1)

(4) (1)

(1)

(4)

(4)(2)[15]

[23]

(4)(3) (1)

(5)

(1)

[45,49] [44]

[50,52](3)

[5,6](2) (3)

[26,29]

[32]

(1)

(2)

(4)

[40,43](2)

[38,39]

[20,22](3)

[1,3]

[24,25]

[33,36]

F i g u r e 3 : I n t e r v a l l a b e l l i n g o f a w e i g h t e d t r e e o f r i n g s ( w e i g h t s a r e i n b r a c k e t s ) i n d u c e d b y

a c l o s e d E u l e r i a n d i p a t h .

L e m m a 1 4 I f P r o p o s i t i o n 1 1 h o l d s f o r a l l w e i g h t e d t r e e s o f r i n g s w i t h w e i g h t l e s s t h a n N ,

t h e n i t h o l d s f o r a n y w e i g h t e d t r e e o f r i n g s w i t h w e i g h t N s a t i s f y i n g C o n d i t i o n A .

P r o o f . T h e s a m e a r g u m e n t s a s i n t h e p r o o f o f L e m m a 7 a r e u s e d a n d w e g i v e h e r e a

s h o r t p r o o f . G i v e n a w e i g h t e d t r e e o f r i n g s ( T w ) , l e t P b e a c l o s e d E u l e r i a n d i p a t h i n T .

W e c o n s i d e r t w o a n t i p o d a l n o d e s a a n d b a n d w e c a n a s s u m e w . l . o . g . t h a t a i s v i s i t e d f o r

t h e r s t t i m e b e f o r e b a l o n g P . L e t A b e t h e s e t o f n o d e s v i s i t e d a f t e r a a n d b e f o r e b a n d

l e t B b e t h e s e t o f n o d e s v i s i t e d b e f o r e a o r a f t e r b . B y d e n i n g A a n d B i n t h i s m a n n e r

a n d b y r o u t i n g a l l r e q u e s t s c l o c k w i s e o r a n t i - c l o c k w i s e a l o n g P , t h e p r o o f o f L e m m a 7 c a n

b e a d a p t e d a n d l e a d s t o t h e s a m e r e s u l t . 2

L e t ( T w ) b e a w e i g h t e d t r e e o f r i n g s w i t h m i n i m u m g a p . I f C o n d i t i o n A i s n o t

s a t i s e d , t h e n > 1 a n d C o n d i t i o n B h o l d s ( C a s e B ) .

D e n i t i o n 1 5 A m a i n r i n g o f ( T w ) i s a n y r i n g w h e r e s o m e t i g h t c u t o c c u r s . A b l o c k o f

a m a i n r i n g C i s a n y s e t o f n o d e s r e m a i n i n g c o n n e c t e d a f t e r r e m o v i n g a l l t h e a r c s o f C .

W h e r e a s f o r w e i g h t e d r i n g s C o n d i t i o n B i m p l i e s a n o d d n u m b e r o f n o d e s o f t h e s a m e

w e i g h t , f o r w e i g h t e d t r e e s o f r i n g s w e n e e d t o a d d t h e c o n d i t i o n t h a t e v e r y b l o c k o f a m a i n

r i n g h a s w e i g h t a t m o s t N = 2 ( C a s e B 1 ) .

132




L e m m a 1 6 C o n s i d e r a w e i g h t e d t r e e o f r i n g s s a t i s f y i n g C o n d i t i o n B a n d h a v i n g a m a i n

r i n g w i t h b l o c k s a l l o f w e i g h t a t m o s t N = 2 . T h e n t h e r e i s a n o d d n u m b e r o f b l o c k s a l l o f t h e

s a m e w e i g h t .

S k e t c h o f p r o o f . S e e t h e p r o o f o f L e m m a 1 0 . ( B l o c k s o f a t r e e o f r i n g s c o r r e s p o n d t o

n o d e s o f a r i n g a n d a n t i p o d a l b l o c k s a r e d e n e d a s c o n t a i n i n g a n t i p o d a l n o d e s . ) 2

F i g u r e 4 : A w e i g h t e d t r e e o f r i n g s i n C a s e B 1 . A l l w e i g h t s a r e e q u a l t o 1 .

T h e r e m a i n i n g c a s e t o s t u d y i s t h a t o f a w e i g h t e d t r e e o f r i n g s s a t i s f y i n g C o n d i t i o n B

a n d h a v i n g a m a i n r i n g w i t h o n e b l o c k o f w e i g h t g r e a t e r t h a n N = 2 ( C a s e B 2 ) . S o t h e r e i s

e x a c t l y o n e t i g h t c u t i n t h e m a i n r i n g s e p a r a t i n g t h i s b l o c k f r o m t h e o t h e r b l o c k s . M o r e o v e r

C o n d i t i o n B i m p l i e s t h e e x i s t e n c e o f a n o t h e r t i g h t c u t o u t o f t h e m a i n r i n g , a s t w o a n t i p o d a l

n o d e s c a n b e c h o s e n r e s p e c t i v e l y i n a n d o u t o f t h e m a i n r i n g . S o w e c a n s e e t h e w e i g h t e d

t r e e o f r i n g s a s t h e u n i o n o f w e i g h t e d t r e e s o f r i n g s ( a t l e a s t t w o o f t h e m h a v i n g t h e s a m e

m a x i m u m w e i g h t ) w h i c h i n t e r s e c t t w o b y t w o i n t h e s a m e w e i g h t e d n o d e .

F i g u r e 5 : A w e i g h t e d t r e e o f r i n g s i n C a s e B 2 . A l l w e i g h t s a r e e q u a l t o 1 .

I n o r d e r t o c o m p l e t e t h e p r o o f o f M a i n T h e o r e m w e n e e d t o s o l v e C a s e B 1 a n d C a s e B 2 .

L e m m a 1 7 P r o p o s i t i o n 1 1 h o l d s f o r a n y w e i g h t e d t r e e o f r i n g s ( T w ) w i t h 2 p + 1 b l o c k s

( p > 0 ) o f w e i g h t k .

133



1 0 B e a u q u i e r , P r e n n e s & T t h

P r o o f . T h e l o a d o f a t i g h t c u t i s p ( p + 1 ) k

2

. T h e h a l f - c o l o r i n g o f ( T w ) f o l l o w s f r o m

t h e s o l u t i o n o b t a i n e d f o r t h e r i n g ( C

2 p + 1

w

1

) w i t h 2 p + 1 n o d e s a n d u n i f o r m u n i t w e i g h t ,

t h a t u s e s p ( p + 1 ) h a l f - c o l o r s .

W e n u m b e r b l o c k s o f T w i t h i n t e g e r s f r o m 1 t o 2 p + 1 l i k e t h e n o d e s o f C

2 p + 1

a n d f o r e a c h

i n t e g e r i w e t a k e a c l o s e d E u l e r i a n d i p a t h P

i

o f b l o c k n u m b e r i a n d i t s i n t e r v a l l a b e l l i n g I

i

.

M o r e o v e r , f o r 1 i 2 p + 1 a n d 1 x k , w e d e n o t e b y l

i

( x ) t h e n o d e o f b l o c k n u m b e r i

s u c h t h a t x 2 I

i

( l

i

( x ) ) . W e e s t a b l i s h a c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n e a c h h a l f - c o l o r u s e d i n a

s o l u t i o n f o r ( C

2 p + 1

w

1

) a n d a s e t o f k

2

h a l f - c o l o r s f o r ( T w ) . E v e r y d i p a t h i n T w i l l b e

r o u t e d i n e v e r y b l o c k a l o n g i t s E u l e r i a n d i p a t h .

A s s u m e t h a t c i s a h a l f - c o l o r u s e d i n ( C

2 p + 1

w

1

) f o r c l o c k w i s e d i p a t h s . F o r e a c h p a i r o f

i n t e g e r s x a n d y s u c h t h a t 1 x y k , w e u s e i n ( T w ) a h a l f - c o l o r t o c o l o r d i p a t h s 1 ) f r o m

n o d e l

i

( x ) t o n o d e l

i

( y ) f o r e a c h i , a n d 2 ) f r o m n o d e l

i

( y ) t o n o d e l

j

( x ) i f t h e r e i s i n

( C

2 p + 1

w

1

) a d i p a t h f r o m n o d e i t o n o d e j c o l o r e d b y c . N o t e t h a t t h e s e d i p a t h s a r e d e n e d

c l o c k w i s e i n t h e m a i n r i n g , c l o c k w i s e i n t h e b l o c k s i f x y a n d a n t i - c l o c k w i s e i n t h e b l o c k s

i f y < x .

S i m i l a r l y , i f c i s u s e d i n ( C

2 p + 1

w

1

) f o r a n t i - c l o c k w i s e d i p a t h s t h e n f o r 1 x y k

w e u s e i n ( T w ) a h a l f - c o l o r t o c o l o r d i p a t h s 1 ) f r o m n o d e l

i

( y ) t o n o d e l

i

( x ) f o r e a c h i ,

a n d 2 ) f r o m n o d e l

i

( x ) t o n o d e l

j

( y ) i f t h e r e i s i n ( C

2 p + 1

w

1

) a d i p a t h f r o m n o d e i t o

n o d e j c o l o r e d b y c . N o t e t h a t t h e s e d i p a t h s a r e d e n e d a n t i - c l o c k w i s e i n t h e m a i n r i n g ,

a n t i - c l o c k w i s e i n t h e b l o c k s i f x y a n d c l o c k w i s e i n t h e b l o c k s i f y < x .

T h i s s y m m e t r i c a s s i g n m e n t e n s u r e s t h a t h a l f - c o l o r s c a n b e c o m b i n e d t w o b y t w o t o o b t a i n

c o l o r s , s o P r o p o s i t i o n 1 1 h o l d s i n C a s e B 1 . 2

L e m m a 1 8 P r o p o s i t i o n 1 1 h o l d s f o r a n y w e i g h t e d t r e e o f r i n g s ( T w ) t h a t i s t h e u n i o n

o f w e i g h t e d t r e e s o f r i n g s ( a t l e a s t t w o o f t h e m h a v i n g t h e s a m e m a x i m u m w e i g h t ) w h i c h

i n t e r s e c t t w o b y t w o i n t h e s a m e w e i g h t e d n o d e .

S k e t c h o f p r o o f . L e t v b e t h e c o m m o n w e i g h t e d n o d e o f t h e w e i g h t e d s u b t r e e s o f

r i n g s w h o s e u n i o n f o r m s ( T w ) . N o t e t h a t v i s a t t h e b o r d e r o f e v e r y t i g h t c u t . I n e a c h

s u b t r e e o f r i n g s w e t a k e a c l o s e d E u l e r i a n d i p a t h a n d e v e r y d i p a t h i n T w i l l b e r o u t e d i n

e v e r y s u b t r e e o f r i n g s a l o n g i t s E u l e r i a n d i p a t h . A g o o d r o u t i n g s t r a t e g y i s t o c o m b i n e

t h e d i e r e n t r o u t i n g s f o r e a c h s u b t r e e o f r i n g s o b t a i n e d b y a d d i n g t o t h e w e i g h t o f n o d e v

t h e w e i g h t s o f t h e o t h e r s u b t r e e s o f r i n g s ( C o n d i t i o n A i s t h e n s a t i s e d i n e a c h s o m o d i e d

s u b t r e e o f r i n g s ) . T h e m a i n p r o b l e m c o n s i s t s i n c o l o r i n g t h e s e t o f a l l d i p a t h s g o i n g t o o r

f r o m o r t h r o u g h v . T h i s i s o b v i o u s l y e q u i v a l e n t t o c o l o r a s e t o f d i p a t h s i n a s u b d i v i d e d

s t a r , i . e . i n a g r a p h t h a t i s t h e u n i o n o f p a t h s ( t w i c e m o r e t h a n s u b t r e e s o f r i n g s ) w h i c h

i n t e r s e c t t w o b y t w o i n t h e s a m e n o d e . T h e o r e m 2 1 o f 4 ] s t a t e s t h e e x i s t e n c e o f a c o l o r i n g

i n t h i s c a s e w i t h t h e r i g h t n u m b e r o f c o l o r s . T h e r e m a i n i n g d i p a t h s g o n e i t h e r t o n e i t h e r

f r o m n o r t h r o u g h v a n d c a n b e c o l o r e d m o r e e a s i l y . 2

134



A l l - t o - A l l R o u t i n g a n d C o l o r i n g i n W e i g h t e d T r e e s o f R i n g s 1 1

R e f e r e n c e s

1 ] A . A g g a r w a l , A . B a r - N o y , D . C o p p e r s m i t h , R . R a m a s w a m i , B . S c h i e b e r , a n d M . S u d a n .

E c i e n t r o u t i n g a n d s c h e d u l i n g a l g o r i t h m s f o r o p t i c a l n e t w o r k s . I n P r o c . o f t h e 5 t h

A n n . A C M - S I A M S y m p . o n D i s c r e t e A l g o r i t h m s ( S O D A ' 9 4 ) , p a g e s 4 1 2 4 2 3 . A C M

P r e s s , J a n u a r y 1 9 9 4 .

2 ] Y . A u m a n n a n d Y . R a b a n i . I m p r o v e d b o u n d s f o r a l l o p t i c a l r o u t i n g . I n P r o c . o f t h e

6 t h A n n . A C M - S I A M S y m p . o n D i s c r e t e A l g o r i t h m s ( S O D A ' 9 5 ) , p a g e s 5 6 7 5 7 6 . A C M

P r e s s , J a n u a r y 1 9 9 5 .

3 ] B . B e a u q u i e r . A l l - t o - a l l c o m m u n i c a t i o n i n s o m e w a v e l e n g t h - r o u t e d a l l - o p t i c a l n e t w o r k s .

N e t w o r k s ( W i l e y - I n t e r s c i e n c e ) , 3 3 ( 3 ) : 1 7 9 1 8 7 , M a y 1 9 9 9 .



I E E E W o r k s h o p o n O p t i c s a n d C o m p u t e r S c i e n c e ( W O C S , p a r t o f I P P S ' 9 7 ) . I E E E

P r e s s , A p r i l 1 9 9 7 .

5 ] J . - C . B e r m o n d , L . G a r g a n o , S . P r e n n e s , A . A . R e s c i g n o , a n d U . V a c c a r o . E c i e n t

c o l l e c t i v e c o m m u n i c a t i o n i n o p t i c a l n e t w o r k s . I n P r o c . o f 2 3 r d I n t . C o l l o q . o n A u t o m a t a ,

L a n g u a g e s a n d P r o g r a m m i n g ( I C A L P ' 9 6 ) , v o l u m e 1 0 9 9 o f L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r

S c i e n c e , p a g e s 5 7 4 5 8 5 . S p r i n g e r - V e r l a g , J u l y 1 9 9 6 .

6 ] N . K . C h e u n g , N o s u K . , a n d G . W i n z e r . S p e c i a l i s s u e o n d e n s e W D M n e t w o r k s . J o u r n a l

o n S e l e c t e d A r e a s i n C o m m u n i c a t i o n s , 8 , 1 9 9 0 .

7 ] T . E r l e b a c h a n d K J a n s e n . S c h e d u l i n g o f v i r t u a l c o n n e c t i o n s i n f a s t n e t w o r k s . I n P r o c .

o f P a r a l l e l S y s t e m s a n d A l g o r i t h m s ( P A S A ) , p a g e s 1 3 3 2 , 1 9 9 6 .

8 ] L . G a r g a n o , P . H e l l , a n d S . P r e n n e s . C o l o u r i n g p a t h s i n d i r e c t e d s y m m e t r i c t r e e s w i t h

a p p l i c a t i o n s t o W D M r o u t i n g . I n P r o c . o f 2 4 t h I n t . C o l l o q . o n A u t o m a t a , L a n g u a g e s

a n d P r o g r a m m i n g ( I C A L P ' 9 7 ) , v o l u m e 1 2 5 6 o f L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r S c i e n c e ,

p a g e s 5 0 5 5 1 5 . S p r i n g e r - V e r l a g , J u l y 1 9 9 7 .

9 ] P . E . G r e e n . T h e f u t u r e o f b e r o p t i c c o m p u t e r n e t w o r k s . I E E E C o m p u t e r , 2 4 ( 9 ) : 7 8

8 7 , S e p t e m b e r 1 9 9 1 .

1 0 ] P . E . G r e e n . F i b e r O p t i c C o m m u n i c a t i o n N e t w o r k s . P r e n t i c e H a l l , 1 9 9 3 .

1 1 ] C . K a k l a m a n i s a n d P . P e r s i a n o . E c i e n t w a v e l e n g t h r o u t i n g o n d i r e c t e d b e r t r e e s .

I n P r o c . o f E u r o p e a n S y m p . o n A l g o r i t h m s ( E S A ' 9 6 ) , v o l u m e 1 1 3 6 o f L e c t u r e N o t e s i n

C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s 4 6 0 4 7 0 , 1 9 9 6 .

1 2 ] M . M i h a i l , C . K a k l a m a n i s , a n d S . R a o . E c i e n t a c c e s s t o o p t i c a l b a n d w i d t h

w a v e l e n g t h r o u t i n g o n d i r e c t e d b e r t r e e s , r i n g s , a n d t r e e s o f r i n g s . I n P r o c . o f 3 6 t h

A n n . S y m p . o n F o u n d a t i o n s o f C o m p u t e r S c i e n c e ( F O C S ' 9 5 ) , p a g e s 5 4 8 5 5 7 . I E E E ,

O c t o b e r 1 9 9 5 .

135



1 2 B e a u q u i e r , P r e n n e s & T t h

1 3 ] D . M i n o l i . T e l e c o m m u n i c a t i o n s T e c h n o l o g y H a n d b o o k . A r t e c h H o u s e , 1 9 9 1 .

1 4 ] B . M u k h e r j e e . W D M - b a s e d l o c a l l i g h t w a v e n e t w o r k s , P a r t 1 : S i n g l e - h o p s y s t e m s . I E E E

N e t w o r k M a g a z i n e , 6 ( 3 ) : 1 2 2 7 , M a y 1 9 9 2 .

1 5 ] P . R a g h a v a n a n d E . U p f a l . E c i e n t r o u t i n g i n a l l - o p t i c a l n e t w o r k s . I n P r o c . o f t h e 2 6 t h

A n n . A C M S y m p . o n T h e o r y o f C o m p u t i n g ( S T O C ' 9 4 ) , p a g e s 1 3 4 1 4 3 , M a y 1 9 9 4 .

1 6 ] R . R a m a s w a m i . M u l t i w a v e l e n g t h l i g h t w a v e n e t w o r k s f o r c o m p u t e r c o m m u n i c a t i o n .

I E E E C o m m u n i c a t i o n s M a g a z i n e , 3 1 ( 2 ) : 7 8 8 8 , F e b r u a r y 1 9 9 3 .

1 7 ] O . T o g n i . O p t i c a l a l l - t o - a l l c o m m u n i c a t i o n i n i n a t e d n e t w o r k s . I n P r o c . o f t h e 5 t h A n n .

I n t . W o r k s h o p o n G r a p h - T h e o r e t i c C o n c e p t s i n C o m p u t e r S c i e n c e ( W G ' 9 8 ) , v o l u m e

1 5 1 7 o f L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s 7 8 8 7 . S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 9 8 .

1 8 ] G . W i l f o n g . M i n i m i z i n g w a v e l e n g t h s i n a n a l l - o p t i c a l r i n g n e t w o r k . I n P r o c . o f t h e 7 t h

I n t . S y m p . o n A l g o r i t h m s a n d C o m p u t a t i o n ( I S A A C ' 9 6 ) , v o l u m e 1 1 7 8 o f L e c t u r e N o t e s

i n C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s 3 4 6 3 5 5 . S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 9 6 .

136



A N N E X E D

T i g h t b o u n d s f o r b r o a d c a s t i n g

i n t h e l i n e a r c o s t m o d e l

1 3 7



1 3 8



T i g h t B o u n d s f o r B r o a d c a s t i n g

i n t h e L i n e a r C o s t M o d e l

B r u n o B e a u q u i e r , O l i v i e r D e l m a s , S t p h a n e P r e n n e s



N o v e m b r e 1 9 9 9

A b s t r a c t : T h i s w o r k c o n s i d e r s b r o a d c a s t p r o t o c o l s m a d e o f s u c c e s s i v e c o m m u n i c a t i o n

r o u n d s i n t h e l i n e a r c o s t m o d e l : t h e t i m e n e e d e d t o s e n d a m e s s a g e o f l e n g t h L i s d e n e d

a s + L . I n t h i s m o d e l , t h e c o m m u n i c a t i o n t i m e o f a n y a l g o r i t h m A i s e x p r e s s e d a s t h e

s u m R

A

+ T

A

, w h e r e R

A

i s t h e n u m b e r o f r o u n d s a n d T

A

t h e t r a n s m i s s i o n c o s t o f t h e

a l g o r i t h m . I n o r d e r t o d e s i g n a n e c i e n t a l g o r i t h m r e a l i z i n g a g i v e n c o m m u n i c a t i o n p a t t e r n ,

i t a p p e a r s t h a t m i n i m i z i n g R

A

a n d T

A

a r e a n t i n o m i c g o a l s . W e s t u d y t h i s t r a d e - o i s s u e f o r

b r o a d c a s t p r o t o c o l s . S u r p r i s i n g l y , s u c h a g e n e r a l t h e o r e t i c a l s t u d y h a s a l m o s t n e v e r b e e n

d o n e . I n t h e l i t e r a t u r e , o n l y t h e t w o o p p o s i t e i s s u e s a r e a c t u a l l y c o n s i d e r e d : m i n i m i z i n g

t h e n u m b e r o f r o u n d s i n t h e c a s e o f s h o r t m e s s a g e s , o r m i n i m i z i n g t h e t r a n s m i s s i o n c o s t i n

t h e c a s e o f l a r g e m e s s a g e s . O u r r e s u l t s c o n c e r n t h e f u l l y - c o n n e c t e d N - n o d e s n e t w o r k K

N

,

w i t h N = ( k + 1 )

T

, i n t h e b i d i r e c t i o n a l k ; p o r t s m o d e . W e d e r i v e t i g h t b o u n d s o n t h e

c o m m u n i c a t i o n t i m e f o r b r o a d c a s t i n g i n T + r r o u n d s , o u r l o w e r b o u n d s h o l d i n g f o r a n y

n e t w o r k .

K e y - w o r d s : c o m m u n i c a t i o n n e t w o r k s , b r o a d c a s t i n g , l i n e a r c o s t .

( R s u m : t s v p )

A n e x t e n d e d a b s t r a c t o f t h i s p a p e r w r i t t e n b y t h e s e c o n d a u t h o r h a s b e e n a c c e p t e d i n t h e 5 t h I n t e r n a -

t i o n a l C o l l o q u i u m o n S t r u c t u r a l I n f o r m a t i o n a n d C o m m u n i c a t i o n C o m p l e x i t y ( S I R O C C O ' 9 8 )

T h i s w o r k h a s b e e n p a r t i a l l y s u p p o r t e d b y t h e A F I R S T i n t h e f r a m e w o r k o f t h e F r e n c h - I s r a e l i p r o j e c t

C o m m u n i c a t i o n A l g o r i t h m s i n O p t i c a l N e t w o r k s a n d b y t h e F r e n c h R N R T p r o j e c t P O R T O






B o r n e s F i n e s p o u r l a D i u s i o n

a v e c C o t L i n a i r e

R s u m : C e t r a v a i l c o n s i d r e d e s p r o t o c o l e s d e d i u s i o n s e d r o u l a n t e n t a p e s s u c c e s s i v e s

s o u s l e m o d l e l i n a i r e d u c o t d e c o m m u n i c a t i o n : l e t e m p s n c e s s a i r e p o u r e n v o y e r u n

m e s s a g e d e l o n g u e u r L e s t d n i p a r + L . D a n s c e m o d l e , l e t e m p s d e c o m m u n i c a t i o n

d ' u n a l g o r i t h m e s ' e x p r i m e p a r l a s o m m e R

A

+ T

A

, o R

A

e s t l e n o m b r e d ' t a p e s

e t T

A

l e c o t d e t r a n s m i s s i o n d e l ' a l g o r i t h m e . E n v u e d e c o n c e v o i r u n a l g o r i t h m e e c a c e

r a l i s a n t u n s c h m a d e c o m m u n i c a t i o n d o n n , i l a p p a r a t q u e m i n i m i s e r R

A

e t T

A

s o n t d e s

o b j e c t i f s a n t i n o m i q u e s . N o u s t u d i o n s l e c o m p r o m i s n c e s s a i r e e n t r e c e s d e u x c o t s d a n s

l e c a d r e d e l a d i u s i o n . I l s ' a v r e q u ' u n e t e l l e t u d e t h o r i q u e g n r a l e n ' a p r a t i q u e m e n t

j a m a i s t e n t r e p r i s e . D a n s l a l i t t r a t u r e , s e u l e m e n t l e s d e u x c a s e x t r m e s s o n t c o n s i d r s :

m i n i m i s a t i o n d u n o m b r e d ' t a p e s d a n s l e c a s d e m e s s a g e s c o u r t s , o u m i n i m i s a t i o n d u c o t

d e t r a n s m i s s i o n d a n s l e c a s d e m e s s a g e s l o n g s . N o s r s u l t a t s c o n c e r n e n t l e r s e a u c o m p l e t

K

N

, a v e c N = ( k + 1 )

T

, s o u s l e m o d e k - p o r t s b i d i r e c t i o n n e l . N o u s d r i v o n s d e s b o r n e s n e s

s u r l e t e m p s d e c o m m u n i c a t i o n p o u r l a d i u s i o n e n T + r t a p e s , l e s b o r n e s i n f r i e u r e s t a n t

v a l a b l e s d a n s t o u t r s e a u .

M o t s - c l : r s e a u x d e c o m m u n i c a t i o n , d i u s i o n , c o t l i n a i r e .



T i g h t B o u n d s f o r B r o a d c a s t i n g 1


W h e n s t u d y i n g i n f o r m a t i o n d i s s e m i n a t i o n i n c o m m u n i c a t i o n n e t w o r k s , o f t e n c o n s i d e r e d a r e

p r o t o c o l s m a d e o f s u c c e s s i v e c o m m u n i c a t i o n r o u n d s w i t h a l i n e a r m o d e l f o r t h e c o m m u n i -

c a t i o n c o s t : t h e t i m e n e e d e d t o s e n d a m e s s a g e o f s i z e L f r o m a n o d e t o a n o t h e r i s d e n e d

a s + L , w h e r e s t a n d s f o r a s t a r t - u p t i m e w h i l e L r e p r e s e n t s t h e c o s t o f s e n d i n g L b i t s

o f d a t a i n a c h a n n e l w i t h b a n d w i d t h 1 = . T h e c o s t o f a r o u n d i s d e n e d a s t h e m a x i m u m

o f t h e c o s t o f a l l t h e c o m m u n i c a t i o n s d o n e d u r i n g t h i s r o u n d . I n s u c h a m o d e l i z a t i o n , t h e

c o m m u n i c a t i o n t i m e o f a n y a l g o r i t h m A c a n b e e x p r e s s e d a s t h e s u m R

A

+ T

A

,

w h e r e R

A


A

t h e t r a n s m i s s i o n c o s t o f t h e a l g o r i t h m . T h i s

l i n e a r m o d e l o f t h e c o m m u n i c a t i o n c o s t i s o f t e n u s e d i n t h e l i t e r a t u r e a n d r e f e r e n c e s t o a l g o -

r i t h m i c w o r k c a n b e f o u n d i n 6 , 7 ] . W h e n t r y i n g t o d e s i g n a n o p t i m a l a l g o r i t h m p e r f o r m i n g

a g i v e n c o m m u n i c a t i o n p a t t e r n , i t a p p e a r s t h a t m i n i m i z i n g R

A

a n d T

A

a r e o f t e n a n t i n o m i c

g o a l s . I n f a c t , i n t h e l i t e r a t u r e m a n y a u t h o r s o p t i m i z e o n l y o n e o f t h e s e t w o p a r a m e t e r s b y

c o n s i d e r i n g o n e o f t h e t w o e x t r e m a l c a s e s :

S h o r t m e s s a g e s ( i . e . L ) ; I n t h i s c a s e , R

A

i s t h e l e a d i n g t e r m o f t h e

c o m m u n i c a t i o n t i m e . H e n c e , o n l y t h e n u m b e r o f r o u n d s i s t o b e m i n i m i z e d . M a n y

a u t h o r s h a v e p r o p o s e d b r o a d c a s t a l g o r i t h m s o p t i m a l w i t h t h a t r e s p e c t ( s e e t h e s u r v e y s

1 0 , 1 1 ] , t h e b o o k 1 4 ] , t h e c h a p t e r 1 3 ] o r t h e t h e s e s 6 , 7 ] ) .

L a r g e m e s s a g e s ( i . e . L ) ; I n t h i s c a s e , o n l y t h e t r a n s m i s s i o n c o s t i s t o b e m i n -

i m i z e d . T e c h n i q u e s , l i k e p i p e l i n e d a l g o r i t h m s u s i n g d i s j o i n t s p a n n i n g t r e e s , e n s u r e

a n e a r l y o p t i m a l c o s t f o r m e s s a g e t r a n s m i s s i o n ( s e e 8 , 1 2 , 1 5 ] f o r h y p e r c u b e n e t w o r k

o r 4 , 9 ] f o r g r i d s , a n d 1 0 , 1 4 ] f o r a g e n e r a l s u r v e y ) . N o t e t h a t t h i s k i n d o f o p t i m a l i t y

a l w a y s i m p l i e s a l a r g e n u m b e r o f c o m m u n i c a t i o n r o u n d s .

S o m e a u t h o r s c o n s i d e r e d a l s o f a m i l i e s o f a l g o r i t h m s A ( p ) d e p e n d i n g o n s o m e p a r a m e t e r p

( f o r e x a m p l e , f o r p i p e l i n e d a l g o r i t h m s p u s u a l l y r e p r e s e n t s t h e s i z e o f p a c k e t s , a s s u m i n g t h a t

a l l p a c k e t s h a v e t h e s a m e s i z e ; s e e t h e s u r v e y 1 0 ] a n d t h e a s s o c i a t e d r e f e r e n c e s ) . I n t h i s

c a s e , t h e f a m i l y A ( p ) u s e s R

A

( p ) r o u n d s w i t h a t r a n s m i s s i o n c o s t T

A

( p ) . W i t h i n a f a m i l y , a s

t h e f u n c t i o n s R

A

( p ) a n d T

A

( p ) h a v e u s u a l l y a n o p p o s i t e b e h a v i o r , t h e o p t i m a l p m i n i m i z i n g

t h e c o m m u n i c a t i o n t i m e c a n b e c h o s e n f o r g i v e n , L a n d .

H e r e , i n o r d e r t o d e s i g n o p t i m a l a l g o r i t h m s a n d t o s t u d y t h i s t r a d e - o , w e p r o c e e d i n

a d i e r e n t w a y . G i v e n t h e n u m b e r o f r o u n d s , w e t r y t o d e t e r m i n e ( a t l e a s t t o n d a t i g h t

e s t i m a t i o n o f ) t h e m i n i m u m t r a n s m i s s i o n c o s t o f a n y a l g o r i t h m r e a l i z i n g t h e c o m m u n i c a t i o n

p a t t e r n w i t h i n t h i s g i v e n n u m b e r o f r o u n d s . A g e n e r a l t h e o r e t i c a l s t u d y a b o u t s u c h a t r a d e -

o h a s a l m o s t n e v e r b e e n d o n e ( e x c e p t i n 5 ] ) a n d t h e r e f o r e n o o p t i m a l p r o t o c o l w a s k n o w n

b u t i n t h e c a s e o f s h o r t o r l a r g e m e s s a g e s , b y o p t i m i z i n g o n l y t h e l e a d i n g t e r m .

141



2 B e a u q u i e r , D e l m a s & P r e n n e s

T h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e m i n i m u m t r a n s m i s s i o n c o s t o f a n a l g o r i t h m u s i n g a g i v e n

n u m b e r o f r o u n d s a p p e a r s t o b e a d i c u l t p r o b l e m . S o , w e r e s t r i c t o u r s e l v e s t o t h e c o m m u -

n i c a t i o n s c h e m e c a l l e d b r o a d c a s t i n g , w h e r e a s i n g l e s o u r c e h a s t o s e n d t h e s a m e m e s s a g e o f

l e n g t h L t o a l l t h e o t h e r n o d e s i n t h e n e t w o r k . W e a l s o a s s u m e t h a t l i n k s a r e f u l l - d u p l e x ( i . e .

t h e r e i s a b i d i r e c t i o n a l l i n k b e t w e e n e a c h p a i r o f n o d e ) a n d t h a t a n o d e c a n s i m u l t a n e o u s l y

s e n d a n d r e c e i v e d a t a o n a t m o s t k ; p o r t s . W e c o n s i d e r t h e c a s e w h e r e t h e n e t w o r k i s t h e

c o m p l e t e g r a p h K

N

a n d w e a s s u m e t h a t N = ( k + 1 )

T

, a s t h i s i s t h e m a x i m u m n u m b e r o f

n o d e s w h i c h c a n b e i n f o r m e d i n T r o u n d s . W i t h t h e s e h y p o t h e s e s , a n y b r o a d c a s t a l g o r i t h m

n e e d s a t l e a s t T r o u n d s .

I n t h i s p a p e r , w e s t u d y t h e a n t i n o m y b e t w e e n t h e n u m b e r o f r o u n d s a n d t h e t r a n s m i s s i o n

c o s t . W h e n t h e n u m b e r o f r o u n d s i s s m a l l , m o r e e x a c t l y o f t h e f o r m T + r w i t h r

l o g

k + 1

( T ) + 1 , w e s h o w t h a t a n e s t i m a t i o n o f t h e t r a n s m i s s i o n c o s t i s g i v e n b y a n e x p o n e n t i a l

d e c r e a s e

T

( k + 1 )

r

+ (

1

k

) . C o n v e r s e l y , f o r a l a r g e n u m b e r o f e x t r a r o u n d s r T ; 1 , w e

o b s e r v e a l i n e a r d e c r e a s e

T + r

k r + 1

; O (

1

r

2

) , w h e r e a s f o r i n t e r m e d i a t e v a l u e s n o t r a d e - o o c c u r s ,

t h e t r a n s m i s s i o n c o s t r e m a i n i n g c l o s e t o 2 = k .

T h e a r t i c l e i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . I n s e c t i o n 2 w e g i v e t h e d e n i t i o n s a n d h y p o t h e s e s

a n d s h o w w h y o u r s t u d y i s v a l i d f o r b o t h t h e s t o r e - a n d - f o r w a r d a n d t h e c i r c u i t - s w i t c h e d

r o u t i n g m o d e s . W e a l s o i n t r o d u c e a f u n c t i o n a l l o w i n g t o s t u d y t h e t r a d e - o i s s u e f o r m a l l y .

I n s e c t i o n 3 w e g i v e a n u p p e r b o u n d f o r b r o a d c a s t i n g w i t h a f e w e x t r a r o u n d s , w h i l e w e

d e r i v e t i g h t l o w e r b o u n d s i n s e c t i o n 4 . O t h e r t i g h t b o u n d s f o r m a n y e x t r a r o u n d s a r e d e r i v e d

i n s e c t i o n 5 . I n c o n c l u s i o n w e s u m m a r i z e o u r r e s u l t s a n d d i s c u s s t h e i r a p p l i c a t i o n s .

2 F r a m e w o r k

R e c a l l t h a t w e c o n s i d e r s y n c h r o n o u s p r o t o c o l s m a d e o f s u c c e s s i v e c o m m u n i c a t i o n r o u n d s .

D e n i t i o n 1 T h e c o m m u n i c a t i o n t i m e o f a b r o a d c a s t a l g o r i t h m A i n a n e t w o r k G c a n

b e e x p r e s s e d a s b ( A ) = R

A

+ T

A

, w h e r e R

A


A

t h e

t r a n s m i s s i o n c o s t . T h e m i n i m u m b r o a d c a s t t i m e o v e r a l l a l g o r i t h m s i s d e n o t e d b y b ( G ) .

F o r a n y k - p o r t s n e t w o r k w i t h N n o d e s , t h e u s u a l l o w e r b o u n d o n t h e t i m e f o r b r o a d c a s t -

i n g a m e s s a g e o f l e n g t h L i s e x p r e s s e d a s t h e s u m o f t h e l o w e r b o u n d s v a l i d f o r t h e n u m b e r

o f r o u n d s a n d f o r t h e t r a n s m i s s i o n c o s t 6 ] :

b ( G ) d l o g

k + 1

N e +

L

k

( 1 )

A s a l r e a d y n o t i c e d , e x i s t i n g u p p e r b o u n d s h a v e q u i t e a d i e r e n t f o r m w h e r e a t r a d e - o

a p p e a r s .

142




T h e f u n c t i o n d e n e d b e l o w w i l l b e u s e f u l t o d e r i v e a r e l a t i o n b e t w e e n t h e n u m b e r o f

r o u n d s a n d t h e t r a n s m i s s i o n c o s t .

D e n i t i o n 2 L e t G b e a x e d n e t w o r k a n d T t h e m i n i m u m n u m b e r o f r o u n d s f o r b r o a d -

c a s t i n g i n G . T h e n , f ( G L r ) i s d e n e d a s t h e m i n i m u m t r a n s m i s s i o n c o s t o f a n y

a l g o r i t h m b r o a d c a s t i n g i n G a m e s s a g e o f l e n g t h L a n d c o m p l e t i n g i n r e x t r a r o u n d s , i . e .

u s i n g T + r r o u n d s .

W i t h t h e p r e v i o u s d e n i t i o n , w e h a v e b ( G ) ( T + r ) + f ( G L r ) , f o r a n y r 0 .

H y p o t h e s i s 3 P a c k e t s i z e s a r e a s s u m e d t o b e c o n t i n u o u s .

T h i s d o e s n o t h o l d f o r m a l l y i n p r a c t i c e , a s m e s s a g e s a r e m a d e o f i n t e g e r n u m b e r s o f b i t s .

H o w e v e r , a s t h e s e n u m b e r s a r e g e n e r a l l y l a r g e , t h e c o n t i n u i t y a s s u m p t i o n m a k e s s e n s e .

P r o p e r t y 4 A s s u m i n g c o n t i n u o u s p a c k e t s i z e s , t h e f u n c t i o n f i s l i n e a r i n L , i . e . f ( G L r ) =

f ( G 1 r ) L . M o r e o v e r , f ( G 1 r ) i s a n o n - i n c r e a s i n g f u n c t i o n o f r .

P r o o f . L e t M b e a m e s s a g e o f l e n g t h L a n d l e t A

L

0

b e a n a l g o r i t h m b r o a d c a s t i n g a

m e s s a g e M

0

o f l e n g t h L

0

w i t h t r a n s m i s s i o n c o s t f ( G L

0

r ) .

L e t u s d e n o t e b y h t h e f u n c t i o n x 7! x L = L

0

f r o m 0 L

0

] t o 0 L ] . N o t e t h a t h i n d u c e s

a f u n c t i o n H f r o m t h e s e t o f s u b m e s s a g e s o f M

0

t o t h e s e t o f s u b m e s s a g e s o f M . W i t h

f u n c t i o n H w e a r e a b l e t o d e n e s u b m e s s a g e s o f M f r o m s u b m e s s a g e s o f M

0

. B y f o l l o w i n g

t h e s a m e c o m m u n i c a t i o n p r o t o c o l a s A

L

0

w i t h t h e i m a g e s b y H , w e o b t a i n a n a l g o r i t h m

A

L

b r o a d c a s t i n g M w i t h c o s t f ( G L

0

r ) L = L

0

. H e n c e , f ( G L r ) f ( G L

0

r ) L = L

0

. B y

i n v e r t i n g r o l e s o f M

0

a n d M , w e g e t t h e r e v e r s e i n e q u a l i t y .

N o t e a t l a s t t h a t a n y a l g o r i t h m u s i n g r + 1 r o u n d s c a n e m u l a t e a n a l g o r i t h m u s i n g r

r o u n d s b y s e n d i n g e m p t y m e s s a g e s d u r i n g i t s l a s t r o u n d , s o f ( G 1 r + 1 ) f ( G 1 r ) . 2

R e m a r k 5 A s f ( G L r ) i s l i n e a r i n L , w e w i l l c o n s i d e r w . l . o . g . t h a t L = 1 .

H y p o t h e s i s 6 W e c o n s i d e r t h e c a s e o f t h e c o m p l e t e g r a p h K

N

w i t h N n o d e s .

N o t e t h a t t h e b e h a v i o u r o f f ( G 1 r ) s t r o n g l y d e p e n d s o n t h e t o p o l o g y o f n e t w o r k G .

A n y l i n k c o n i c t i s a v o i d e d i n t h e c o m p l e t e g r a p h . T h e r e f o r e w e w i l l d e r i v e l o w e r b o u n d s

v a l i d f o r e v e r y n e t w o r k w i t h N n o d e s . M o r e o v e r , a s e a c h p a i r o f v e r t i c e s c a n c o m m u n i c a t e

143




i n t h e c o m p l e t e g r a p h , t h e s t u d y i s a l s o v a l i d f o r b o t h t h e s t o r e - a n d - f o r w a r d a n d t h e c i r c u i t -

s w i t c h e d r o u t i n g m o d e s .

F i n a l l y , i n o r d e r t o s i m p l i f y c o m p u t a t i o n s w e w i l l a s s u m e t h a t :

H y p o t h e s i s 7 U n d e r t h e k - p o r t s c o m m u n i c a t i o n m o d e , N = ( k + 1 )

T

.

T h i s i s n o t a v e r y r e s t r i c t i v e h y p o t h e s i s , a s N i s t h e r e b y t h e m a x i m u m n u m b e r o f n o d e s

w h i c h c a n b e i n f o r m e d b y a b r o a d c a s t p r o t o c o l c o m p l e t i n g i n T c o m m u n i c a t i o n r o u n d s .

W i t h a l l t h e s e h y p o t h e s e s , w e g i v e i n t h e n e x t s e c t i o n s r e s u l t s o n f ( K

N

1 r ) , w i t h

N = ( k + 1 )

T

, t h a t w i l l b e d e n o t e d s i m p l y b y f

T

( r ) .

W i t h t h i s n o t a t i o n , w e h a v e i m m e d i a t e l y :

P r o p o s i t i o n 8 f

T

( 0 ) = T .

P r o o f . A s N = ( k + 1 )

T

, e v e r y n o d e o t h e r t h a n t h e s o u r c e c a n b e i n f o r m e d o n l y o n c e

d u r i n g t h e T r o u n d s a n d m u s t r e c e i v e t h e w h o l e m e s s a g e w h o s e l e n g t h i s 1 . H e n c e , t h e

s i z e o f a n y m e s s a g e s e n t d u r i n g a n y r o u n d m u s t b e e q u a l t o 1 , a n d s o f

T

( 0 ) 0 . A g r e e d y

a l g o r i t h m m a t c h i n g t h i s b o u n d c a n b e d e n e d a s f o l l o w s . D u r i n g T r o u n d s e v e r y i n f o r m e d

n o d e s e n d s t h e w h o l e m e s s a g e t o k n o t y e t i n f o r m e d n o d e s . T h e b r o a d c a s t i s t h u s c o m p l e t e d

a n d t h e r e s u l t i n g t r a n s m i s s i o n c o s t i s T . 2

3 U p p e r b o u n d f o r b r o a d c a s t i n g w i t h a f e w e x t r a r o u n d s

H e r e , w e c o n s t r u c t i n d u c t i v e l y a l g o r i t h m s f o r b r o a d c a s t i n g w i t h r e x t r a r o u n d s . W e i n i t i a t e

t h e i n d u c t i o n b y u s i n g t h e g r e e d y b r o a d c a s t a l g o r i t h m g i v e n i n P r o p o s i t i o n 8 .

L e m m a 9 F o r T > 0 a n d r > 0 , f

T

( r )

2

k + 1

+

f

T ; 1

( r ; 1 )

k + 1

.

P r o o f . F o r t 0 , l e t N

t

= ( k + 1 )

t

, h e n c e N = N

T

. T h e i d e a c o n s i s t s i n d e n i n g a n

a l g o r i t h m i n K

N

u s i n g T + r r o u n d s f r o m a n a l g o r i t h m i n K

N

T ; 1

u s i n g T ; 1 + r ; 1 r o u n d s .

T h e v e r t e x s e t V ( K

N

) o f t h e c o m p l e t e g r a p h K

N

c a n b e s e e n a s t h e c a r t e s i a n p r o d u c t

f 1 2 : : : k + 1 g f 1 2 : : : N

T ; 1

g a n d c a n b e r e p r e s e n t e d b y t h e f o l l o w i n g m a t r i x w i t h k + 1

144




r o w s a n d N

T ; 1

c o l u m n s :

V ( K

N

) =

0

B

B

B

@

( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 N

T ; 1

)

( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 N

T ; 1

)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

( k + 1 1 ) ( k + 1 2 ) ( k + 1 N

T ; 1

)

1

C

C

C

A

T h e s o u r c e ( 1 1 ) r s t p a r t i t i o n s e q u a l l y t h e m e s s a g e i n t o k + 1 p a c k e t s e a c h o f s i z e

1 = ( k + 1 ) , d e n o t e d b y m

i

f o r 1 i k + 1 .

D u r i n g t h e r s t r o u n d , t h e s o u r c e ( 1 1 ) s e n d s p a c k e t m

i

t o n o d e ( i 1 ) , f o r 2 i k + 1 .

T h e t r a n s m i s s i o n c o s t o f t h i s r o u n d i s 1 = ( k + 1 ) .

D u r i n g t h e n e x t ( T ; 1 + r ; 1 ) r o u n d s a n d f o r 1 i k + 1 , e a c h p a c k e t m

i

i s

b r o a d c a s t f r o m n o d e ( i 1 ) t o a l l t h e v e r t i c e s i n l i n e i . T h i s i s r e a l i z e d b y p e r f o r m i n g

k + 1 i n d e p e n d e n t a n d p a r a l l e l i d e n t i c a l p r o t o c o l s b r o a d c a s t i n g i n ( T ; 1 ) + ( r ; 1 )

r o u n d s a m e s s a g e o f l e n g t h 1 = ( k + 1 ) i n k + 1 d i s j o i n t c o m p l e t e g r a p h s o f c a r d i n a l i t y

N

T ; 1

. B y d e n i t i o n o f f

T ; 1

, t h e t r a n s m i s s i o n c o s t o f t h i s p h a s e i s f

T ; 1

( r ; 1 ) = ( k + 1 ) .

F i n a l l y , a s t h e o r i g i n a l m e s s a g e i s d i s t r i b u t e d o n e v e r y c o l u m n , e a c h n o d e ( i j ) s e n d s

i n t h e l a s t r o u n d p a c k e t m

i

t o t h e k o t h e r s n o d e s i n c o l u m n j ( p a r a l l e l t o t a l e x c h a n g e s

o f t h e p a c k e t s m

i

a r e r e a l i z e d i n t h e d i e r e n t c o l u m n s ) . T h e t r a n s m i s s i o n c o s t o f t h i s

l a s t r o u n d i s 1 = ( k + 1 ) .

S u m m a r i z i n g , w e o b t a i n t h e i n d u c t i v e i n e q u a l i t y f

T

( r )

2

k + 1

+

f

T ; 1

( r ; 1 )

k + 1

. 2

N o w t h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n c a n b e s t a t e d .

P r o p o s i t i o n 1 0 F o r r T , f

T

( r )

T ; r

( k + 1 )

r

+

2

k

1 ;

1

( k + 1 )

r

.

P r o o f . F o r r = 0 w e u s e P r o p o s i t i o n 8 . F o r 1 r T , a p p l y i n g i n d u c t i v e l y L e m m a 9

l e a d s t o f

T

( r )

P

r

i = 1

2

( k + 1 )

i

+

f

T ; r

( 0 )

( k + 1 )

r

. N o t e t h a t t h e c o n d i t i o n r T f o l l o w s f r o m t h e f a c t

t h a t L e m m a 9 c a n b e a p p l i e d o n l y f o r T > 0 . 2

145




4 L o w e r b o u n d s f o r b r o a d c a s t i n g w i t h a f e w e x t r a r o u n d s

4 . 1 N o t a t i o n

F o r e v e r y t 0 , l e t N

t

= ( k + 1 )

t

. T h e n N

t

i s a n u p p e r b o u n d o n t h e m a x i m u m n u m b e r o f

n o d e s h a v i n g r e c e i v e d s o m e i n f o r m a t i o n a f t e r t h e t r s t r o u n d s . F o r 1 t T + r , w e n e e d

t h e f o l l o w i n g d e n i t i o n s :

l

t

: m a x i m u m s i z e o f t h e m e s s a g e s s e n t d u r i n g r o u n d t ,

L

t

=

P

t

i = 1

l

t

: t r a n s m i s s i o n c o s t a f t e r t h e r s t t r o u n d s ,

i

t

: t o t a l i n f o r m a t i o n r e c e i v e d d u r i n g t h e r o u n d t ,

I

t

=

P

t

i = 1

i

t

: t o t a l i n f o r m a t i o n r e c e i v e d a f t e r t h e r s t t r o u n d s ,

a n d b y c o n v e n t i o n , L

0

= I

0

= 0 .

4 . 2 P r e l i m i n a r i e s

T o s t u d y t h e t r a n s m i s s i o n c o s t o n c e s o m e v e r t i c e s h a v e a l r e a d y b e e n i n f o r m e d , w e n e e d

a t o c o n s i d e r p a r t i c u l a r p r o t o c o l s w h e r e a g i v e n n u m b e r s o f s o u r c e s c a n s i m u l t a n e o u s l y

b r o a d c a s t i n f o r m a t i o n , a n d w h i c h w e c a l l b r o a d c a s t p r o t o c o l s w i t h s s o u r c e s .

L e m m a 1 1 F o r a n y b r o a d c a s t p r o t o c o l w i t h s s o u r c e s , f o r a n y t 1 a n d f o r a x e d L

t

, w e

h a v e I

t

s

L

t

t

( N

t

; 1 ) . M o r e o v e r , e q u a l i t y h o l d s o n l y i f a l l t h e c o s t s l

i

, w i t h 1 i t ,

a r e e q u a l .

P r o o f . T h e f o l l o w i n g h o l d s f o r e a c h r o u n d t + 1 s u c h t h a t t 0 .

A t m o s t s N

t

n o d e s c a n s e n d m e s s a g e s , h e n c e i

t + 1

k ( s N

t

) l

t + 1

.

L e t i ( x t ) b e t h e t o t a l i n f o r m a t i o n r e c e i v e d b y n o d e x a f t e r t r o u n d s . T h e i n f o r m a t i o n

s e n t b y t h e s o u r c e s i s a t m o s t s ( k l

t + 1

) a n d e a c h o f t h e o t h e r n o d e s c a n s e n d n o m o r e

t h a n w h a t i t h a s a l r e a d y r e c e i v e d , h e n c e i

t + 1

s ( k l

t + 1

) + k

P

x 2 G

i ( x t ) = s k l

t + 1

+ k I

t

.

S o f o r e v e r y t s u c h t h a t 0 t T , w e h a v e :

I

t + 1

I

t

+ k s N

t

l

t + 1

( 2 )

I

t + 1

( k + 1 ) I

t

+ k s l

t + 1

( 3 )

N o t e t h a t t h e l e m m a i s t r u e f o r t = 1 , a s w e h a v e N

0

= 1 , I

0

= 0 , l e a d i n g t o I

1

k s l

1

=

s l

1

( N

1

; 1 ) . W e a s s u m e t h a t i t h o l d s f o r a g i v e n t a n d w e p r o v e i t f o r t + 1 .

146




W e r e c a l l t h a t L

t + 1

i s x e d . F o r a p r o t o c o l w i t h s o m e t r a n s m i s s i o n c o s t l

t + 1

a t r o u n d

t + 1 , w e h a v e L

t

= L

t + 1

; l

t + 1

a n d b y i n d u c t i o n h y p o t h e s i s

I

t

s

L

t + 1

; l

t + 1

t

( N

t

; 1 )

F r o m ( 2 ) a n d ( 3 ) , w e g e t :

I

t + 1

I

t

+ k s N

t

l

t + 1

s

L

t + 1

; l

t + 1

t

( N

t

; 1 ) + k N

t

l

t + 1

= '

1

( l

t + 1

)

I

t + 1

( k + 1 ) I

t

+ k s l

t + 1

s

L

t + 1

; l

t + 1

t

( N

t

; 1 ) ( k + 1 ) + k l

t + 1

= '

2

( l

t + 1

)

F u n c t i o n s '

1

a n d '

2

a r e t w o a n e f u n c t i o n s i n l

t + 1

, '

1

b e i n g i n c r e a s i n g w h i l e '

2

i s n o n -

i n c r e a s i n g . T h e r e f o r e , m i n ( '

1

( l

t + 1

) '

2

( l

t + 1

) ) i s s m a l l e r t h a n t h e c o m m o n v a l u e o b t a i n e d

b y s o l v i n g '

1

( l

t + 1

) = '

2

( l

t + 1

) . T h e s o l u t i o n o f t h i s e q u a t i o n i s l

t + 1

=

L

t + 1

t + 1

a n d w e o b t a i n :

I

t + 1

'

1

( l

t + 1

) = '

2

( l

t + 1

) =

L

t + 1

t + 1

( N

t + 1

; 1 )

T o r e a c h t h i s b o u n d , w e m u s t h a v e b y i n d u c t i o n l

i + 1

=

L

i + 1

i + 1

f o r e a c h i t , w h i c h i n d e e d

i m p l i e s t h a t a l l t h e i n t e r m e d i a t e c o s t s a r e e q u a l . I n t h i s v i e w , t h e t r a n s m i s s i o n o p t i m i z a t i o n

m a y b e c a l l e d g r e e d y . 2

C o r o l l a r y 1 2 F o r 0 p < q T + 1 , t h e i n f o r m a t i o n t r a n s m i s s i o n I

q

a f t e r q r o u n d s o f

e v e r y p r o t o c o l h a v i n g x e d v a l u e s o f I

p

, L

p

a n d L

q

s a t i s e s :

I

q

I

p

+

L

q

; L

p

q ; p

( N

q

; N

p

) ( 4 )

P r o o f . F i r s t , n o t e t h a t a f t e r p r o u n d s a t m o s t N

p

n o d e s c a n b e i n f o r m e d . S o , a f t e r

r o u n d p , a n i n f o r m a t i o n t r a n s m i s s i o n o c c u r s f r o m N

p

s o u r c e s d u r i n g q ; p r o u n d s a n d w i t h

a x e d c o s t ( L

q

; L

p

) . A c c o r d i n g t o L e m m a 1 1 a p p l i e d w i t h t = q ; p , L

t

= L

q

; L

p

a n d

s = N

p

w e h a v e ( I

q

; I

p

) N

p

L

q

; L

p

q ; p

( N

q ; p

; 1 )

a n d t h e r e s u l t h o l d s . 2

R e m a r k 1 3 F o r v a l u e s o f t g r e a t e r t h a n T + 1 , L e m m a 1 1 d o e s n o t g i v e a n a c c u r a t e

e s t i m a t i o n o f I

t

. T h i s i s d u e t o t h e f a c t t h a t f o r t T + 1 , t h e m a x i m u m n u m b e r o f

147




i n f o r m e d n o d e s i s N

T

, w h i c h i s m u c h s m a l l e r t h a n N

t

. N e v e r t h e l e s s , l o w e r b o u n d s o n f

T

( r )

c a n s t i l l b e d e r i v e d f r o m i n e q u a l i t i e s ( 2 ) a n d ( 3 ) , b u t t h e y a r e n o t t i g h t e n o u g h a n d t h e

r e n e d a n a l y s e s g i v e n i n t h e n e x t s e c t i o n s a l l o w t o o b t a i n b e t t e r r e s u l t s .

C o n s i d e r a d i s s e m i n a t i o n p r o t o c o l w i t h o n e s o u r c e u s i n g T + r r o u n d s . A f t e r r o u n d T + r ,

e a c h n o d e m u s t h a v e r e c e i v e d a c o m p l e t e m e s s a g e o f l e n g t h 1 , h e n c e , i f i ( x t ) ( a s i n t h e

p r o o f o f L e m m a 1 1 ) d e n o t e s t h e t o t a l i n f o r m a t i o n r e c e i v e d b y n o d e x a f t e r t r o u n d s , w e

h a v e f o r a n y n o d e x , i ( x T + r ) 1 . B y s u m m i n g o v e r a l l t h e n o d e s ( e x c e p t t h e s o u r c e )

w e g e t t h e n e x t i n e q u a l i t y :

I

T + r

N

T

; 1 ( 5 )

R e m a r k 1 4 U s i n g t h e f a c t t h a t a n y b r o a d c a s t a l g o r i t h m u s i n g T r o u n d s s a t i s e s I

T

N ; 1 , w e n d a g a i n P r o p o s i t i o n 8 f r o m L e m m a 1 1 , i . e . t h e t r a n s m i s s i o n c o s t L

T

i s a t

l e a s t T .

4 . 3 O n e e x t r a r o u n d

P r o p o s i t i o n 1 5 f

T

( 1 ) =

T + 1

k + 1

P r o o f . W e p r o v e t h a t f

T

( 1 )

T + 1

k + 1

b y r e d u c t i o n t o t h e a b s u r d , a s s u m i n g t h e e x i s t e n c e

o f a n a l g o r i t h m u s i n g T + 1 r o u n d s w i t h a t r a n s m i s s i o n c o s t L

T + 1

<

T + 1

k + 1

.

F i r s t w e p r o v e t h a t l

T + 1

<

1

k

. W i t h i n e q u a l i t i e s ( 5 ) a n d ( 3 ) a n d f r o m L e m m a 1 1 , w e

h a v e :

N

T

; 1 I

T + 1

( k + 1 ) I

T

+ k l

T + 1

I

T

L

T

T

( N

T

; 1 )

b y h y p o t h e s i s , L

T

= L

T + 1

; l

T + 1

<

T + 1

k + 1

; l

T + 1

C o m b i n i n g t h e t h r e e r e l a t i o n s l e a d s t o

l

T + 1

<

1

k + 1 ;

k T

N ; 1

1

k

.

A s k l

T + 1

< 1 , a n o d e w i t h o u t i n f o r m a t i o n c a n n o t r e c e i v e e n o u g h i n f o r m a t i o n d u r i n g t h e

l a s t r o u n d . S o , d u r i n g t h e r s t T r o u n d s e a c h n o d e m u s t r e c e i v e s o m e i n f o r m a t i o n , e x a c t l y

o n e m e s s a g e a s N = ( k + 1 )

T

.

148




L e t l = m i n f l

t

j 1 t T + 1 g b e t h e m i n i m u m c o s t o f a l l r o u n d s . W e h a v e ( T + 1 ) l

L

T + 1

<

T + 1

k + 1

, s o l <

1

k + 1

. N o w , w e d i s t i n g u i s h t w o c a s e s .

T h e m i n i m u m v a l u e l i s a t t a i n e d f o r l

T + 1

. A s a v e r t e x c a n r e c e i v e a t m o s t k l i n f o r -

m a t i o n i n r o u n d T + 1 , t h e n i t s h o u l d b e k n o w a t l e a s t 1 ; k l i n f o r m a t i o n a f t e r r o u n d

T a n d s o , a c c o r d i n g t o P r o p o s i t i o n 8 w e h a v e l

t

1 ; k l f o r 1 t T .

T h e m i n i m u m v a l u e l i s a t t a i n e d f o r s o m e t

0

w i t h 1 t

0

T . A s t h e a l g o r i t h m f o l l o w s

a s p a n n i n g t r e e p a t t e r n d u r i n g t h e r s t T r o u n d s , e x a c t l y ( N

t

0

; N

t

0

; 1

) n o d e s r e c e i v e

a t m o s t l i n f o r m a t i o n d u r i n g r o u n d t

0

. L e t S b e t h e s e t o f a l l t h e d e s c e n d a n t s o f t h e s e

n o d e s a f t e r r o u n d T a n d n o t e t h a t j S j = ( k + 1 )

T ; t

0

( N

t

0

; N

t

0

; 1

) = N

T

; N

T ; 1

. S o ,

a l l t h e n o d e s i n S h a v e a t m o s t l i n f o r m a t i o n a f t e r r o u n d T . A s l < 1 = ( k + 1 ) , n o n o d e

i n S c a n r e c e i v e , i n t h e l a s t r o u n d , k m e s s a g e s f r o m n o d e s i n S . A s k ( N ; j S j ) = j S j ,

w e d e d u c e t h a t d u r i n g r o u n d T + 1 e a c h n o d e i n S r e c e i v e s ( k ; 1 ) m e s s a g e s o f l e n g t h

a t m o s t l f r o m n o d e s i n S a n d o n e m e s s a g e o f l e n g t h a t l e a s t ( 1 ; k l ) f r o m a n o d e n o t

i n S . C o n s e q u e n t l y , a n y n o d e n o t i n S m u s t h a v e a t l e a s t ( 1 ; k l ) i n f o r m a t i o n a f t e r

r o u n d T . S o , l

T + 1

1 ; k l a n d l

t

1 ; k l f o r 1 t T , w i t h t 6= t

0

.

I n b o t h c a s e s w e h a v e L

T + 1

l + T ( 1 ; k l ) = ' ( l ) . F i n a l l y , j u s t n o t e t h a t ' ( l ) i s a

s t r i c t l y d e c r e a s i n g f u n c t i o n i n l . A s l <

1

k + 1

, w e h a v e L

T + 1

> ' (

1

k + 1

) =

T + 1

k + 1

, c o n t r a d i c t i n g

o u r m a i n h y p o t h e s i s . A s t h e c o n d i t i o n s u s e d i n t h i s p r o o f a r e n e c e s s a r y t o p e r f o r m a n y

b r o a d c a s t p r o t o c o l , t h e n , i t i s p r o v e d t h a t f

T

( 1 ) L

T + 1

T + 1

k + 1

a n d t h e r e s u l t f o l l o w s f r o m

P r o p o s i t i o n 1 0 . 2

4 . 4 T w o e x t r a r o u n d s

B e f o r e t o s t a t e a l o w e r b o u n d f o r t w o e x t r a r o u n d s , w e n e e d t o i n t r o d u c e a n e w n o t i o n a b o u t

t h e t r a n s m i s s i o n c o s t .

D e n i t i o n 1 6 G i v e n a n e t w o r k G w i t h o n e s o u r c e v e r t e x . A t r a n s m i s s i o n a l g o r i t h m

u s i n g t r o u n d s i s a c o m m u n i c a t i o n p r o t o c o l s u c h t h a t :

I n i t i a l l y t h e s o u r c e h a s a m e s s a g e o f i n n i t e s i z e , a n d a l l t h e o t h e r v e r t i c e s i n G h a v e

n o i n f o r m a t i o n .

D u r i n g t h e t r o u n d s o f t h e p r o t o c o l , e a c h v e r t e x w i t h s o m e i n f o r m a t i o n c a n s e n d k

d i e r e n t s u b m e s s a g e s s u c h t h a t e a c h s i z e i s n o t g r e a t e r t h a n t h e k n o w n i n f o r m a t i o n .

A t t h e e n d o f t h e p r o t o c o l , i . e . a f t e r t r o u n d s , a l l t h e v e r t i c e s i n G h a v e r e c e i v e d a n

a m o u n t o f i n f o r m a t i o n a t l e a s t e q u a l t o 1 .

149



1 0 B e a u q u i e r , D e l m a s & P r e n n e s

R e m a r k 1 7 C l e a r l y , t h e s e t r a n s m i s s i o n c o n s t r a i n t s a r e w e a k e r t h a n t h o s e f o r b r o a d c a s t i n g .

I n d e e d , a t t h e e n d o f a t r a n s m i s s i o n p r o t o c o l , w e m a k e n o a s s u m p t i o n a b o u t w h a t m e s s a g e

r e a c h e s e a c h v e r t e x . W e o n l y r e s t r i c t t h e n a l a m o u n t o f i n f o r m a t i o n i n e a c h v e r t e x .

D e n i t i o n 1 8 L e t g

T

( r ) b e t h e m i n i m a l t r a n s m i s s i o n c o s t o f a n y t r a n s m i s s i o n a l g o -

r i t h m f o r t h e c o m p l e t e g r a p h K

N

u s i n g T + r r o u n d s .

P r o p e r t y 1 9 A s a n y b r o a d c a s t a l g o r i t h m s a t i s e s t h e t r a n s m i s s i o n c o n s t r a i n t s , w e h a v e

f

T

( r ) g

T

( r ) .

O u r l o w e r b o u n d c a n n o w b e s t a t e d .

P r o p o s i t i o n 2 0 f

T

( 2 ) =

T

( k + 1 )

2

+

2

k + 1

;

;

1

k T

.

P r o o f . F r o m P r o p o s i t i o n 1 0 w e h a v e f

T

( 2 )

T

( k + 1 )

2

+

2

k + 1

. W e c o n s i d e r a n o p t i m a l

b r o a d c a s t a l g o r i t h m u s i n g T + 2 r o u n d s .

A f t e r t h e r s t r o u n d , a t l e a s t ( 1 ; k l

1

) i n f o r m a t i o n r e m a i n s t o b e b r o a d c a s t f r o m t h e

s o u r c e i n T + 1 r o u n d s , s o l

1

+ ( 1 ; k l

1

) f

T

( 1 ) L

T + 2

T

N

2

+

2

N

1

a n d f r o m P r o p o s i t i o n 1 5

w e d e d u c e :

l

1

k T ; 1 ; k

( k T ; 1 ) N

1

=

1

N

1

;

1

k T

( 6 )

B e f o r e t h e l a s t r o u n d , e v e r y n o d e m u s t h a v e a t l e a s t ( 1 ; k l

T + 2

) i n f o r m a t i o n . T h e r e f o r e ,

b y d e n i t i o n o f t h e f u n c t i o n g

T

, w e g e t t h a t L

T + 1

i s a t l e a s t ( 1 ; k l

T + 2

) g

T

( 1 ) . S o l

T + 2

s a t i s e s t h e s a m e i n e q u a l i t y a s l

1

:

l

T + 2

k T ; 1 ; k

( k T ; 1 ) N

1

=

1

N

1

;

1

k T

( 7 )

L e t b e s u c h t h a t L

T + 2

= l

1

+ T + l

T + 2

. B y a p p l y i n g C o r o l l a r y 1 2 w i t h p = 1 a n d

q = T + 1 , w e o b t a i n I

T + 1

k + ( N

T + 1

; N

1

) . T h e n f r o m N

T

; 1 I

T + 2

N

1

I

T + 1

+ k

w e d e d u c e :

1

N

2

;

1

N

( 8 )

A s T = N i s s m a l l c o m p a r e d t o 1 = ( k T ) , c o m b i n i n g ( 6 ) , ( 7 ) a n d ( 8 ) g i v e s :

f

T

( 2 ) = L

T + 2

= l

1

+ T + l

T + 2

T

N

2

+

2

N

1

;

1

k T

2

150



T i g h t B o u n d s f o r B r o a d c a s t i n g 1 1

4 . 5 S o m e e x t r a r o u n d s

W e h a v e g i v e n i n s e c t i o n 3 a l g o r i t h m s f o r b r o a d c a s t i n g w i t h r e x t r a r o u n d s , i n d u c i n g u p p e r

b o u n d s o n f

T

( r ) . F o r l a r g e e n o u g h v a l u e s o f T , t h e i r t r a n s m i s s i o n c o s t c a n b e a p p r o x i m a t e d

b y t h e s u m o f t h e t w o t e r m s

T

( k + 1 )

r

a n d

2

k

. T h e f o r m e r i s d o m i n a t i n g f o r s m a l l v a l u e s o f r

a n d d e c r e a s e s e x p o n e n t i a l l y w i t h r . W e p r o v e i n t h e f o l l o w i n g t h a t i n t h i s c a s e t h e u p p e r

b o u n d s o f P r o p o s i t i o n 1 0 a r e t i g h t . T h e r e f o r e w e s h o w t h e e c i e n c y o f o u r a l g o r i t h m s ,

w h i c h a l l o w t o d e c r e a s e s i g n i c a n t l y t h e t r a n s m i s s i o n c o s t w i t h a f e w a d d i t i v e r o u n d s .

T h e o r e m 2 1 F o r 0 r T , f

T

( r ) =

T

( k + 1 )

r

+

;

1

k

.

P r o o f . W e d e r i v e h e r e a l o w e r b o u n d o n f

T

( r ) m a t c h i n g t h e u p p e r b o u n d g i v e n b y

P r o p o s i t i o n 1 0 . L e t c o n s i d e r a b r o a d c a s t a l g o r i t h m u s i n g T + r r o u n d s . A f t e r r o u n d r ; 1

i t c a n b e s e e n a s a b r o a d c a s t p r o t o c o l w i t h ( a t m o s t ) N

r ; 1

s o u r c e s . S o f r o m i n e q u a l i t y ( 3 )

w i t h t = T + r ; 1 w e g e t :

I

T + r

( k + 1 ) I

T + r ; 1

+ k N

r ; 1

l

T + r

B y i t e r a t i o n f o r T t < T + r ; 1 a n d a s l

t + 1

1 , w e o b t a i n :

I

T + r

N

r

I

T

+

r ; 1

X

i = 0

( k N

i

l

T + r ; i

) N

r

I

T

+ ( N

r

; 1 )

T h e n , w e a p p l y L e m m a 1 1 w i t h t = T ,

N

T

I

T + r

+ 1 N

r

( I

T

+ 1 ) N

r

L

T

T

( N ; 1 ) + 1

a n d i t f o l l o w s t h a t L

T

T

N

T ; r

; 1

N ; 1

=

T

N

r

+

T

N ; 1

1 ; N

r

N

r

=

T

N

r

+

;

T

N

.

N o w , w e m u s t c o m p a r e t h i s r e l a t i o n w i t h t h e u p p e r b o u n d g i v e n b y P r o p o s i t i o n 9 , t h a t

i s w e c o m p a r e

T

N

w i t h

1

k

. A s

T

N

i s s m a l l c o m p a r e d t o

1

k

t h e p r o p o s i t i o n h o l d s . 2

T h e a b o v e p r o p o s i t i o n i s m e a n i n g l e s s w h e n r > l o g

k + 1

( T ) a s i t r e d u c e s t o f

T

( r ) = (

1

k

) .

I n t h e f o l l o w i n g w e i n v e s t i g a t e t h i s c a s e a n d w e g i v e a b e t t e r b o u n d .

P r o p o s i t i o n 2 2 F o r r < T ; 1 , f

T

( r )

2

k

.

P r o o f . W e c o n s i d e r a b r o a d c a s t a l g o r i t h m u s i n g T + r r o u n d s a n d h a v i n g a t r a n s m i s s i o n

c o s t s t r i c t l y l e s s t h a n 2 = k , a n d w e s h o w t h a t r T ; 1 . L e t t

0

b e t h e l a s t r o u n d a f t e r w h i c h

151




i t r e m a i n s s o m e i n f o r m a t i o n n o t y e t b r o a d c a s t f r o m t h e s o u r c e , h e n c e L

t

0

+ 1

1 = k . A f t e r

r o u n d t

0

, T r o u n d s a r e n e c e s s a r y t o b r o a d c a s t t h i s l a s t p i e c e o f i n f o r m a t i o n i n t h e e n t i r e

n e t w o r k , s o t

0

+ T T + r a n d t

0

r . G i v e n t h e a s s u m p t i o n o n t h e t o t a l t r a n s m i s s i o n

c o s t , e v e r y n o d e m u s t h a v e r e c e i v e d s o m e i n f o r m a t i o n a f t e r t h e r o u n d t

0

+ 1 , o t h e r w i s e

L

T + r

L

t

0

+ 1

+ 1 = k 2 = k . T h e r e f o r e , w e h a v e t

0

+ 1 T , l e a d i n g t o r T ; 1 . 2

C o r o l l a r y 2 3 F o r l o g

k + 1

( T ) + 1 < r < T ; 1 , f

T

( r ) =

2

k

+ O

;

1

k

2

.

P r o o f . B y P r o p o s i t i o n 1 0 w e h a v e f

T

( r )

2

k

+

k ( T ; r ) ; 2

k ( k + 1 )

r

. A s f o r r l o g

k + 1

( T ) + 2 , w e

h a v e ( k + 1 )

r

T ( k + 1 )

2

, t h e n , f

T

( r )

2

k

+ O

;

1

k

2

a n d t h e r e s u l t h o l d s w i t h P r o p o s i t i o n

2 2 . 2

R e m a r k 2 4 I t h a s b e e n p r o v e d t h a t t h e m i n i m u m t r a n s m i s s i o n c o s t f

T

( r ) d e c r e a s e s e x -

p o n e n t i a l l y w h e n a s m a l l n u m b e r o f e x t r a r o u n d s i s u s e d . H o w e v e r , t h i s b e h a v i o u r s t o p s

a s s o o n a s r i s g r e a t e r t h a n l o g

k + 1

( T ) . I n d e e d , t h e m a i n c o s t b e c o m e s 2 = k . T h i s c a n b e

e x p l a i n e d a s f o l l o w s : t o h a v e a n u n i t l e n g t h m e s s a g e b r o a d c a s t i n a w h o l e n e t w o r k u n d e r

t h e k - p o r t s m o d e , a t r a n s m i s s i o n c o s t o f 1 = k i s r e q u i r e d t o m a k e t h e m e s s a g e g o o u t f r o m

t h e s o u r c e a n d a l s o t o m a k e i t e n t e r i n t o a n y o t h e r n o d e . W e c o u l d t h i n k t h a t t h e p i p e l i n e

t e c h n i q u e s c o u l d d e c r e a s e t h i s c o s t a s t h e y s h o u l d a l l o w t o h a v e t h e s e t w o c o s t s c o v e r e d b y

e a c h o t h e r , i n o r d e r t o g o b e l o w a t o t a l c o s t o f 2 = k . U n f o r t u n a t e l y , P r o p o s i t i o n 2 2 p r o v e s

t h a t n o p i p e l i n e d a l g o r i t h m c a n b e u s e f u l l i f r < T ; 1 .

5 B r o a d c a s t i n g w i t h m a n y e x t r a r o u n d s

I n t h i s s e c t i o n , w e i n v e s t i g a t e t h e c a s e w h e r e m a n y e x t r a r o u n d s a r e u s e d , i . e . w i t h r T ; 1 .

I n t h i s r a n g e p i p e l i n e d p r o t o c o l s a r e p o s s i b l e a n d w e s t u d y h o w s u c h t e c h n i q u e s a l l o w t o

d e c r e a s e t h e t r a n s m i s s i o n c o s t .

5 . 1 U p p e r b o u n d s : p i p e l i n e d a l g o r i t h m s

P r o p o s i t i o n 2 5 F o r r T ; 1 , f

T

( r )

T + r

k r + 1

.

P r o o f . T h i s u p p e r b o u n d f o l l o w s f r o m a n a l g o r i t h m . I n t h e f o l l o w i n g Z

q

w i l l d e n o t e

t h e s e t o f i n t e g e r s m o d u l o q . T h e e l e m e n t s o f Z

q

w i l l b e t a k e n i n t h e s e t f 0 1 : : : q ; 1 g .

T h e v e r t e x s e t o f t h e c o m p l e t e g r a p h K

N

i s r e p r e s e n t e d b y Z

T

k + 1

. T h e e l e m e n t s i n Z

T

k + 1

m a y b e e x p r e s s e d i n t h e c a n o n i c a l b a s e f e

i

g

1 i T

, t h a t i s , w e m a y d e n o t e a v e r t e x x =

( x

1

x

2

: : : x

T

) 2 Z

T

k + 1

b y

P

T

i = 1

x

i

e

i

. T h e s o u r c e i s t h e e l e m e n t w i t h a l l c o m p o n e n t s

152




e q u a l t o 0 . I n t h e f o l l o w i n g , w e n e e d t o d e n e a l a b e l l i n g o f t h e a r c s t o b e u s e d i n o u r

a l g o r i t h m . F o r e a c h n o d e x , f o r 1 j k a n d 1 i T , t h e a r c ( x x + j e

i

) w i l l b e

l a b e l l e d b y i . I n o u r a l g o r i t h m , o n l y a r c s l a b e l l e d b y i a r e u s e d d u r i n g a r o u n d t = i m o d T .

N o w , l e t U b e t h e s e t o f v e r t i c e s s u c h t h a t U = f u 2 V ( K

N

) j u = j e

i

w i t h 1 j k

a n d 1 i T g . F o r e a c h n o d e u 2 U , l e t T

0

( u ) b e s i m p l y t h e v e r t e x u . N o w , f o r

1 h T , l e t T

h

( u ) b e t h e t r e e i n d u c e d f r o m T

h ; 1

( u ) b y a d d i n g a l l t h e p o s s i b l e a r c s

l a b e l l e d b y ( i + h m o d T ) . T h u s , T

T

( u ) i s a d i r e c t e d s p a n n i n g t r e e r o o t e d i n u .

I n t h i s w a y , w e h a v e d e n e d k T a r c ; d i s j o i n t s p a n n i n g t r e e s a n d t h e a l g o r i t h m m a i n l y

c o n s i s t s i n p i p e l i n i n g c o n c u r r e n t l y i n e a c h o f t h e m . M o r e o v e r , t o m a i n t a i n t h e f u l l u s e o f t h e

b a n d w i d t h u n t i l t h e e n d o f t h e p r o c e s s , t h e l a s t p i e c e o f i n f o r m a t i o n i s b r o a d c a s t d u r i n g t h e

l a s t T r o u n d s u s i n g a s p a n n i n g t r e e r o o t e d i n t h e s o u r c e . N o w , w e d e s c r i b e t h e a l g o r i t h m .

T h e s o u r c e r s t c u t s e q u a l l y i t s u n i t l e n g t h m e s s a g e i n t o k r + 1 d i s t i n c t s u b m e s s a g e s ,

d e n o t e d b y m

l

w i t h 1 l k r + 1 .

F o r 1 t r , a t r o u n d t t h e s o u r c e s e n d s s u b m e s s a g e m

( t ; 1 ) k + j

, f o r 1 j k , t o

n o d e u = j e

( t m o d T )

.

W h e n a s u b m e s s a g e m

l

, w i t h 1 l k r , h a s b e e n s e n t f r o m t h e s o u r c e t o a n o d e

u 2 U , i t i s b r o a d c a s t i n T

T

( u ) d u r i n g t h e n e x t T r o u n d s ( u s i n g t h e r e b y a l l t h e a r c s

l a b e l l e d b y i a t e a c h r o u n d t = i m o d T ) .

T h e l a s t s u b m e s s a g e m

k r + 1

i s b r o a d c a s t f r o m t h e s o u r c e i n t h e T l a s t r o u n d s , u s i n g

a l l t h e p o s s i b l e a r c s l a b e l l e d b y t m o d T a t r o u n d t .

T h e d i e r e n t r o u n d s u s e t h e s a m e t r a n s m i s s i o n c o s t e q u a l t o 1 = ( k r + 1 ) , t h a t i s t h e

l e n g t h o f e a c h s u b m e s s a g e . T h i s l e a d s t o t h e e x p e c t e d t o t a l c o s t ( T + r ) = ( k r + 1 ) . 2

5 . 2 L o w e r b o u n d s

L e m m a 2 6 F o r a n y r 0 , i f f

T

( r )

T + r

k r + 1

t h e n f

T

( r + T )

T + ( r + T )

k ( r + T ) + 1

.

P r o o f . C o n s i d e r a n o p t i m a l a l g o r i t h m b r o a d c a s t i n g a n u n i t l e n g t h m e s s a g e i n T + ( T + r )

r o u n d s . A f t e r r o u n d T , a t l e a s t ( 1 ; k L

T

) i n f o r m a t i o n r e m a i n s t o b e b r o a d c a s t f r o m t h e

s o u r c e i n T + r e x t r a r o u n d s , h e n c e :

f

T

( r + T ) L

T

+ f

T

( r ) ( 1 ; k L

T

) L

T

+

T + r

k r + 1

( 1 ; k L

T

) = '

1

( L

T

)

153




N o t e a l s o t h a t a f t e r t i m e T , a n a m o u n t o f ( N ; 1 ; I

T

) i n f o r m a t i o n h a s t o b e t r a n s m i t t e d

o n a t m o s t k ( N ; 1 ) l i n k s a t e a c h r o u n d ( a s t h o s e i n c o m i n g t h e s o u r c e a r e u s e l e s s ) . F r o m

L e m m a 1 1 , w e k n o w t h a t I

T

L

T

T

( N ; 1 ) , h e n c e :

f

T

( T + r ) L

T

+

1

k

1 ;

L

T

T

= '

2

( L

T

)

A s i n t h e p r o o f o f L e m m a 1 1 , '

1

i s a d e c r e a s i n g f u n c t i o n w h i l e '

2

i s a n i n c r e a s i n g f u n c t i o n .

S o m i n ( '

1

( L

T

) '

2

( L

T

) ) '

1

( ) , w h e r e s a t i s e s '

1

( ) = '

2

( ) . S o l v i n g t h e e q u a t i o n w e

g e t :

+

T + r

k r + 1

( 1 ; k ) = +

1

k

( 1 ;

T

)

=

T

k ( r + T ) + 1

'

1

( ) = '

2

( ) =

T + ( r + T )

k ( r + T ) + 1

S o w e h a v e f

T

( T + r )

T + ( r + T )

k ( r + T ) + 1

. 2

L e m m a 2 7 f

T

( T + 2 ) =

T + ( T + 2 )

k ( T + 2 ) + 1

P r o o f . F r o m P r o p o s i t i o n 2 5 w e h a v e f

T

( T + 2 )

T + ( T + 2 )

k ( T + 2 ) + 1

a n d b y u s i n g t h e s a m e

a r g u m e n t s w e g e t :

T + ( T + 2 )

k ( T + 2 ) + 1

f

T

( T + 2 ) L

T + 1

+ f

T

( 1 ) ( 1 ; k L

T + 1

)

T + ( T + 2 )

k ( T + 2 ) + 1

L

T + 1

+

T + 1

k + 1

( 1 ; k L

T + 1

)

L

T + 1

T + 1

k ( T + 2 ) + 1

L e t u s d e n o t e b y L

0

T + 1

t h e s u m o f t h e t r a n s m i s s i o n c o s t s o f t h e l a s t T + 1 r o u n d s , h e n c e

f

T

( T + 2 ) = L

T + 1

+ L

0

T + 1

.

T + ( T + 2 )

k ( T + 2 ) + 1

f

T

( T + 2 ) f

T

( 1 ) ( 1 ; k L

0

T + 1

) + L

0

T + 1

T + ( T + 2 )

k ( T + 2 ) + 1

T + 1

k + 1

( 1 ; k L

0

T + 1

) + L

0

T + 1

L

0

T + 1

T + 1

k ( T + 2 ) + 1

S o t h e l e m m a h o l d s . 2

154




T h e o r e m 2 8 F o r r T , a n d r = 0 1 2 m o d T , f

T

( r ) =

T + r

k r + 1

.

P r o o f . W e u s e L e m m a 2 6 i n d u c t i v e l y . T o i n i t i a t e t h e i n d u c t i o n f o r r = 0 m o d T , w e u s e

P r o p o s i t i o n 8 , t h a t i s f

T

( 0 ) = T v e r i f y i n g t h e c o n d i t i o n o f L e m m a 2 6 . F o r r = 1 m o d T , w e

u s e P r o p o s i t i o n 1 5 , t h a t i s f

T

( 1 ) =

T + 1

k + 1

. F i n a l l y , f o r r = 2 m o d T , w e u s e L e m m a 2 7 g i v i n g

t h e e x a c t v a l u e o f f

T

( T + 2 ) , t h a t v e r i e s t h e n e e d e d c o n d i t i o n t o o . F o r t h e s e t h r e e c a s e s ,

w e o b t a i n f

T

( r )

T + r

k r + 1

. T h e r e s u l t f o l l o w s f r o m P r o p o s i t i o n 2 5 . 2

C o r o l l a r y 2 9 F o r T 2 f 1 2 3 g a n d f o r a n y r T , f

T

( r ) =

T + r

k r + 1

.

C o r o l l a r y 3 0 F o r r T , f

T

( r ) =

T + r

k r + 1

; O

;

1

r

2

.

P r o o f . A s s u m e t h a t r

1

= a T , r = a T + b a n d r

2

= ( a + 1 ) T w i t h a 1 a n d 0 b < T .

W e k n o w b y T h e o r e m 2 8 t h a t f

T

( r

1

) =

( a + 1 ) T

k a T + 1

, a n d f

T

( r

2

) =

( a + 2 ) T

k ( a + 1 ) T + 1

. A s b y P r o p e r t y 4 ,

f

T

i s a n o n - i n c r e a s i n g f u n c t i o n , w e h a v e :

f

T

( r

1

) f

T

( r ) f

T

( r

2

)

( a + 1 ) T

k a T + 1

f

T

( r )

( a + 2 ) T

k ( a + 1 ) T + 1

S o w e o b t a i n f o r r T ,

f

T

( r ) =

1

k

+

1

k a

;

1

k

2

T a

; O

1

a

2

f

T

( r ) =

1

k

+

T

k r

;

1

k

2

r

; O

1

r

2

=

T + r

k r + 1

; O

1

r

2

2

T h e a b o v e p r o p o s i t i o n a n d c o r o l l a r y m a k e t h e f o l l o w i n g c o n j e c t u r e v e r y l i k e l y t o h o l d :

C o n j e c t u r e 3 1 F o r a n y T a n d a n y r T , f

T

( r ) =

T + r

k r + 1

.

6 C o n c l u s i o n

I n t h i s p a p e r , w e h a v e s h o w n t h e e x i s t e n c e o f a t r a d e - o b e t w e e n t h e n u m b e r o f r o u n d s

a n d t h e t r a n s m i s s i o n c o s t o f b r o a d c a s t p r o t o c o l s . W e h a v e d e r i v e d t i g h t b o u n d s o n t h e

m i n i m u m c o m m u n i c a t i o n t i m e ( T + r ) + f

T

( r ) L o f a n y a l g o r i t h m u s i n g T + r r o u n d s

f o r b r o a d c a s t i n g a m e s s a g e o f l e n g t h L i n t h e b i d i r e c t i o n a l k - p o r t s c o m p l e t e n e t w o r k K

N

,

w i t h N = ( k + 1 )

T

. T h e f o l l o w i n g t a b l e s u m m a r i z e s t h e d i e r e n t r e s u l t s o b t a i n e d :

155




N u m b e r o f e x t r a r o u n d s M i n i m u m t r a n s m i s s i o n c o s t C o m m e n t

r = 0 f

T

( 0 ) = T g r e e d y

r = 1 f

T

( 1 ) =

T + 1

k + 1

r = 2 f

T

( 2 ) =

T

( k + 1 )

2

+

2

k + 1

;

;

1

k T

e x p o n e n t i a l t r a d e - o

2 r l o g

k + 1

( T ) + 1 f

T

( r ) =

T

( k + 1 )

r

+

;

1

k

l o g

k + 1

( T ) + 1 < r < T ; 1 f

T

( r ) =

2

k

+ O

;

1

k

2

n o t r a d e - o

r T , r = 0 1 2 m o d T f

T

( r ) =

T + r

k r + 1

r T ; 1 f

T

( r ) =

T + r

k r + 1

; O

;

1

r

2

l i n e a r t r a d e - o

O u r l o w e r b o u n d s h a v e b e e n o b t a i n e d f o r c o m p l e t e n e t w o r k s , t h e r e f o r e t h e y a r e v a l i d

f o r a n y t o p o l o g y . C o n v e r s e l y , o u r m a t c h i n g u p p e r b o u n d s d e r i v e d f r o m o u r a l g o r i t h m s

r e q u i r e s t r o n g c o n n e c t i v i t y t o b e r e a c h e d . F o r e x a m p l e , w e c a n s h o w t h a t t h e e x p o n e n t i a l

d e c r e a s e o f t h e t r a n s m i s s i o n c o s t d o e s n o t o c c u r i n a r i n g n e t w o r k . H o w e v e r , a l l r o u t i n g

m e c h a n i s m s b a s e d o n t h e c i r c u i t - s w i t c h e d m o d e c a n t a k e a d v a n t a g e o f o u r a l g o r i t h m s , d u e

t o t h e a d d i t i o n a l c o n n e c t i v i t y p r o v i d e d . I n p a r t i c u l a r , t h e W a v e l e n g t h D i v i s i o n M u l t i p l e x e d

( W D M ) o p t i c a l r o u t i n g c a n o e r f u l l c o n n e c t i v i t y i n v a r i o u s n e t w o r k t o p o l o g i e s ( s e e 3 , 2 ] ) .

O u r s t u d y h a s t h u s b e e n f r u i t f u l l y t a k e n i n t o a c c o u n t i n 1 ] f o r m u l t i - h o p o p t i c a l r i n g a n d

m e s h n e t w o r k s . F u r t h e r w o r k s h o u l d c o n c e n t r a t e o n o t h e r l e s s c o n n e c t e d t o p o l o g i e s , f o r

w h i c h g r e a t e r l o w e r b o u n d s w i l l a r i s e .

A c k n o w l e d g e m e n t s

W e a r e g r a t e f u l t o J - C . B e r m o n d f o r h i s h e l p f u l r e m a r k s a n d c o m m e n t s .

156




R e f e r e n c e s

1 ] B . B e a u q u i e r . B r o a d c a s t i n g i n W D M o p t i c a l r i n g s a n d t o r i . I n P r o c . t h e D I M A C S

W o r k s h o p : " M u l t i c h a n n e l O p t i c a l N e t w o r k s : T h e o r y a n d P r a c t i c e " , v o l u m e 4 6 o f D I -

M A C S S e r i e s o n D i s c r e t e M a t h e m a t i c s a n d T h e o r e t i c a l C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s 6 3 7 3 ,

R u t g e r s U n i v e r s i t y , N J , M a r c h 1 9 9 8 . A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y .



I E E E W o r k s h o p o n O p t i c s a n d C o m p u t e r S c i e n c e ( W O C S , p a r t o f I P P S ' 9 7 ) , G e n e v a ,

S w i t z e r l a n d , A p r i l 1 9 9 7 . I E E E P r e s s .

3 ] J - C . B e r m o n d , L . G a r g a n o , S . P r e n n e s , A . A . R e s c i g n o , a n d U . V a c c a r o . E c i e n t

c o l l e c t i v e c o m m u n i c a t i o n i n o p t i c a l n e t w o r k s . I n P r o c . o f 2 3 r d I n t e r n a t i o n a l C o l l o q u i u m

o n A u t o m a t a , L a n g u a g e s a n d P r o g r a m m i n g ( I C A L P ' 9 6 ) , v o l u m e 1 0 9 9 o f L e c t u r e N o t e s

i n C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s 5 7 4 5 8 5 . S p r i n g e r - V e r l a g , J u l y 1 9 9 6 .

4 ] J - C . B e r m o n d , P . M i c h a l l o n , a n d D . T r y s t r a m . B r o a d c a s t i n g i n w r a p a r o u n d m e s h e s

w i t h p a r a l l e l m o n o d i r e c t i o n a l l i n k s . P a r a l l e l C o m p u t i n g , 1 8 : 6 3 9 6 4 8 , 1 9 9 2 .

5 ] J . B r u c k , C - T . H o , S . K i p n i s , a n d D . W e a t h e r s b y . E c i e n t a l g o r i t h m s f o r a l l - t o - a l l

c o m m u n i c a t i o n s i n m u l t i - p o r t m e s s a g e - p a s s i n g s y s t e m s . I n A n n u a l A C M S y m p o s i u m

o n P a r a l l e l A l g o r i t h m s a n d A r c h i t e c t u r e s ( S P A A ' 9 4 ) , p a g e s 2 9 8 3 0 9 , C a p e M a y , N e w

J e r s e y , J u n e 1 9 9 4 . A C M .

6 ] O . D e l m a s . C o m m u n i c a t i o n s p a r c o m m u t a t i o n d e c i r c u i t s d a n s l e s r s e a u x

d ' i n t e r c o n n e x i o n . T h s e d e d o c t o r a t , U n i v e r s i t d e N i c e - S o p h i a A n t i p o l i s , U . F . R .

d e S c i e n c e s , E c o l e D o c t o r a l e - S c i e n c e s p o u r l ' I n g n i e u r , F r a n c e , J a n u a r y 1 9 9 7 .

7 ] E . F l e u r y . C o m m u n i c a t i o n s , r o u t a g e e t a r c h i t e c t u r e s d e s m a c h i n e s m m o i r e d i s t r i b u e

- A u t o u r d u r o u t a g e w o r m h o l e . T h s e d e d o c t o r a t , U n i v e r s i t d e L y o n , E c o l e N o r m a l e

S u p r i e u r e d e L y o n , F r a n c e , 1 9 9 6 .

8 ] P . F r a i g n i a u d . P e r f o r m a n c e a n a l y s i s o f b r o a d c a s t i n g h y p e r c u b e s w i t h r e s t r i c t e d c o m -

m u n i c a t i o n c a p a b i l i t i e s . J o u r n a l o f P a r a l l e l a n d D i s t r i b u t e d C o m p u t i n g , 1 6 : 1 5 2 6 , 1 9 9 2 .

9 ] P . F r a i g n i a u d a n d C . L a f o r e s t . D i s j o i n t s p a n n i n g t r e e s o f s m a l l d e p t h . I n G . R . J o u b e r t ,

D . T r y s t r a m , F . J . P e t e r s , a n d D . J . E v a n s , e d i t o r s , P a r C o ' 9 3 , p a g e s 1 0 5 1 1 2 , 1 9 9 3 .

1 0 ] P . F r a i g n i a u d a n d E . L a z a r d . M e t h o d s a n d p r o b l e m s o f c o m m u n i c a t i o n i n u s u a l n e t -

w o r k s . D i s c r e t e A p p l i e d M a t h e m a t i c s , 5 3 : 7 9 1 3 3 , 1 9 9 4 . S p e c i a l v o l u m e p r o c e e d i n g s

i n t e r n a t i o n a l w o r k s h o p o n b r o a d c a s t i n g a n d g o s s i p i n g 1 9 9 0 .

1 1 ] S . M . H e d e t n i e m i , S . T . H e d e t n i e m i , a n d A . L . L i e s t m a n . A s u r v e y o f g o s s i p i n g a n d

b r o a d c a s t i n g i n c o m m u n i c a t i o n n e t w o r k s . N e t w o r k s , 1 8 : 3 1 9 3 4 9 , 1 9 8 6 .

157




1 2 ] C . T . H o a n d S . L . J o h n s s o n . O p t i m u m b r o a d c a s t i n g a n d p e r s o n a l i z e d c o m m u n i c a t i o n

i n h y p e r c u b e s . I E E E T r a n s a c t i o n s o n C o m p u t e r s , 3 8 ( 9 ) : 1 2 4 9 1 2 6 8 , 1 9 8 9 .

1 3 ] J . H r o m k o v i c , R . K l a s i n g , B . M o n i e n , a n d R . P e i n e . C o m b i n a t o r i a l N e t w o r k T h e o r y ,

c h a p t e r D i s s e m i n a t i o n o f i n f o r m a t i o n i n i n t e r c o n n e c t i o n n e t w o r k s ( b r o a d c a s t i n g a n d

g o s s i p i n g ) , p a g e s 1 2 5 2 1 2 . K l u w e r A c a d e m i c , 1 9 9 5 .

1 4 ] J e a n d e R u m e u r . C o m m u n i c a t i o n d a n s l e s r s e a u x d e p r o c e s s e u r s . C o l l e c t i o n E t u d e s

e t R e c h e r c h e s e n I n f o r m a t i q u e . M a s s o n , P a r i s , 1 9 9 4 .

1 5 ] Q . F . S t o u t a n d B . W a g a r . I n t e n s i v e h y p e r c u b e c o m m u n i c a t i o n , p r e a r r a n g e d c o m -

m u n i c a t i o n i n l i n k - b o u n d m a c h i n e s . J o u r n a l o f P a r a l l e l a n d D i s t r i b u t e d C o m p u t i n g ,

1 0 : 1 6 7 1 8 1 , 1 9 9 0 .

158



A N N E X E E

B r o a d c a s t i n g

i n W D M o p t i c a l r i n g s a n d t o r i

1 5 9



1 6 0



B r o a d c a s t i n g i n W D M O p t i c a l R i n g s a n d T o r i


*



A v r i l 1 9 9 8

A b s t r a c t : T h e w e l l - k n o w n s p a n n i n g b i n o m i a l t r e e b r o a d c a s t a l g o r i t h m i s g e n e r a l i z e d t o

o b t a i n t w o f a m i l i e s o f b r o a d c a s t a l g o r i t h m s f o r o p t i c a l r i n g s a n d t w o - d i m e n s i o n a l t o r o i d a l

m e s h e s ( t o r i ) u s i n g W a v e l e n g t h D i v i s i o n M u l t i p l e x i n g ( W D M ) . T h e s e g e n e r a l i z a t i o n s t a k e

a d v a n t a g e o f t h e c o n c u r r e n t t r a n s m i s s i o n t h r o u g h o p t i c a l l i n k s o e r e d b y W D M . T h e i r

p e r f o r m a n c e s a r e m e a s u r e d u n d e r t h e l i n e a r c o s t m o d e l : t h e c o s t o f s e n d i n g a m e s s a g e o f L

b i t s i s d e n e d a s + L , w h e r e i s t h e l a t e n c y a n d i s t h e p e r - b y t e t r a n s m i s s i o n c o s t . I t

i s a s s u m e d t h a t e a c h n o d e c a n c o n c u r r e n t l y t r a n s m i t o n e m e s s a g e a n d r e c e i v e o n e m e s s a g e .

O u r a l g o r i t h m s a r e b a s e d o n t h e f a m i l i a r s p a n n i n g b i n o m i a l t r e e a n d o n t h e d i m e n s i o n a l

e x c h a n g e s c o m m o n l y u s e d o n h y p e r c u b e s . W e r e s t r i c t t h e n u m b e r o f n o d e s i n a r i n g a n d

i n e a c h d i m e n s i o n o f a t o r u s t o b e a p o w e r o f t w o . T h e a l g o r i t h m s d e s c r i b e d i n t h i s p a p e r

o e r s i g n i c a n t p e r f o r m a n c e i m p r o v e m e n t s o v e r t h e b a s i c s p a n n i n g t r e e b r o a d c a s t .

K e y - w o r d s : O p t i c a l n e t w o r k s , W D M , b r o a d c a s t i n g .

( R s u m : t s v p )

T o a p p e a r i n t h e D I M A C S S e r i e s o n D i s c r e t e M a t h e m a t i c s a n d T h e o r e t i c a l C o m p u t e r S c i e n c e p u b l i s h e d

b y t h e A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y . P r e s e n t e d i n t h e w o r k s h o p o n M u l t i c h a n n e l O p t i c a l N e t w o r k s :

T h e o r y a n d P r a c t i c e , ( D I M A C S , M a r c h 1 6 - 1 9 , 1 9 9 8 ) .

*

S L O O P , j o i n t p r o j e c t I 3 S - C N R S / U N S A / I N R I A . W o r k p a r t i a l l y s u p p o r t e d b y t h e A F I R S T

i n t h e f r a m e w o r k o f t h e F r e n c h - I s r a e l i p r o j e c t C o m m u n i c a t i o n A l g o r i t h m s i n O p t i c a l N e t w o r k s

E m a i l : b e a u q u i e r @ s o p h i a . i n r i a . f r






D i u s i o n p a r m u l t i p l e x a g e e n l o n g u e u r d ' o n d e

d a n s l e s a n n e a u x e t l e s t o r e s o p t i q u e s

R s u m : L ' a l g o r i t h m e b i e n c o n n u d e d i u s i o n s u r u n a r b r e c o u v r a n t b i n m i a l e s t g n -

r a l i s p o u r o b t e n i r d e u x f a m i l l e s d ' a l g o r i t h m e s d e d i u s i o n d a n s d e s a n n e a u x e t d e s t o r e s

o p t i q u e s u t i l i s a n t l a t e c h n i q u e d u m u l t i p l e x a g e e n l o n g u e u r d ' o n d e ( e n a n g l a i s , W a v e l e n g t h

D i v i s i o n M u l t i p l e x i n g : W D M ) . C e s g n r a l i s a t i o n s e x p l o i t e n t l e s a v a n t a g e s d e l a t e c h n o l o -

g i e W D M q u i p e r m e t d e s t r a n s m i s s i o n s d e d o n n e s c o n c u r r e n t e s a u s e i n d ' u n e m m e b r e

o p t i q u e . L e s p e r f o r m a n c e s d e s a l g o r i t h m e s s o n t m e s u r e s p a r u n m o d l e d e c o t a n e :

l e t e m p s p o u r e n v o y e r u n m e s s a g e d e L b i t s e s t d n i p a r + L , o e s t l a l a t e n c e e t

l ' i n v e r s e d e l a b a n d e p a s s a n t e . I l e s t s u p p o s q u e c h a q u e n u d p e u t e n m m e t e m p s

e n v o y e r e t r e c e v o i r u n s e u l m e s s a g e . N o s a l g o r i t h m e s s o n t b a s s s u r d e s p l o n g e m e n t s d e s

a r b r e s c o u v r a n t s b i n m i a u x e t d e s c h a n g e s d i m e n s i o n n e l s , c l a s s i q u e m e n t u t i l i s s d a n s l e s

h y p e r c u b e s .

M o t s - c l : R s e a u x o p t i q u e s , m u l t i p l e x a g e e n l o n g u e u r d ' o n d e , d i u s i o n .



B r o a d c a s t i n g i n W D M O p t i c a l R i n g s a n d T o r i 1


O p t i c s i s e m e r g i n g a s a k e y t e c h n o l o g y i n c o m m u n i c a t i o n n e t w o r k s , p r o m i s i n g v e r y h i g h

s p e e d l o c a l o r w i d e a r e a n e t w o r k s o f t h e f u t u r e . A s i n g l e o p t i c a l w a v e l e n g t h s u p p o r t s

r a t e s o f g i g a b i t s p e r s e c o n d , w h i c h i n t u r n s u p p o r t m u l t i p l e c h a n n e l s o f v o i c e , d a t a a n d

v i d e o 4 , 6 ] . M u l t i p l e l a s e r b e a m s t h a t a r e p r o p a g a t e d o v e r t h e s a m e b e r o n d i s t i n c t o p t i c a l

w a v e l e n g t h s c a n i n c r e a s e t h i s c a p a c i t y e v e n f u r t h e r . T h i s i s a c h i e v e d t h r o u g h W a v e l e n g t h

D i v i s i o n M u l t i p l e x i n g ( o r W D M ) 3 ] , b y p a r t i t i o n i n g t h e o p t i c a l b a n d w i d t h i n t o s e v e r a l

c h a n n e l s a n d a l l o w i n g t h e t r a n s m i s s i o n o f m u l t i p l e d a t a s t r e a m s c o n c u r r e n t l y a l o n g t h e

s a m e o p t i c a l b e r .

T h e p r o b l e m w e c o n s i d e r h e r e i s m o t i v a t e d b y m u l t i - h o p c o m m u n i c a t i o n n e t w o r k s 7 ]

w i t h r e c o n g u r a b l e w a v e l e n g t h s e l e c t i v e o p t i c a l s w i t c h e s , w i t h o u t w a v e l e n g t h c o n v e r t e r s .

D i e r e n t s i g n a l s m a y t r a v e l o n t h e s a m e b e r - o p t i c l i n k ( b u t o n d i e r e n t w a v e l e n g t h s ) i n t o

a n o d e , a n d t h e n e x i t f r o m i t o n d i e r e n t l i n k s , k e e p i n g t h e i r o r i g i n a l w a v e l e n g t h s .

I n s u c h c o m m u n i c a t i o n n e t w o r k s , e a c h s o u r c e - d e s t i n a t i o n p a i r c a n b e c o n n e c t e d b y a n

e n d - t o - e n d t r a n s p a r e n t c h a n n e l t h a t i s i d e n t i e d t h r o u g h a w a v e l e n g t h a n d a p h y s i c a l p a t h .

T h i s n e c e s s i t a t e s t o t u n e t h e s e n d e r a n d t h e r e c e i v e r t o t h e s a m e w a v e l e n g t h a n d t o s e t

t h e i n t e r m e d i a t e o p t i c a l s w i t c h e s i n t h e r i g h t c o n g u r a t i o n . W a v e l e n g t h s b e i n g a l i m i t e d

r e s o u r c e , s o l u t i o n s t o t h e p r o b l e m o f e c i e n t r o u t i n g a n d w a v e l e n g t h s a l l o c a t i o n a r e o f

i m p o r t a n c e f o r t h e f u t u r e d e v e l o p m e n t o f o p t i c a l t e c h n o l o g y .

A b r o a d c a s t i s a n o p e r a t i o n w h e r e o n e n o d e o f a d i s t r i b u t e d m u l t i c o m p u t e r n e t w o r k h a s a

m e s s a g e t h a t m u s t b e c o p i e d t o e a c h o t h e r n o d e . T h e w o r k p r e s e n t e d h e r e o e r s s o l u t i o n s t o

t h e b r o a d c a s t p r o b l e m f o r o p t i c a l r i n g s a n d t o r o i d a l m e s h e s b a s e d o n t h e f a m i l i a r s p a n n i n g

b i n o m i a l t r e e a n d o n d i m e n s i o n a l e x c h a n g e s c o m m o n l y u s e d o n h y p e r c u b e s 5 ] .

T h e p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . T h e n e x t s e c t i o n d e s c r i b e s t h e c o m m u n i c a t i o n m o d e l

o n w h i c h t h e a n a l y s i s o f c o m m u n i c a t i o n a l g o r i t h m s w i l l b e b a s e d . T h e b r o a d c a s t a l g o r i t h m s

a n d t h e i r c o s t s a r e g i v e n i n S e c t i o n 3 . I n S e c t i o n 4 a l l t h e r e s u l t s a r e s u m m a r i z e d a n d

c o m m e n t s a r e m a d e .

2 C o m m u n i c a t i o n M o d e l

T h i s w o r k c o n s i d e r s s o l u t i o n s t o t h e b r o a d c a s t p r o b l e m o n r i n g s o f n = 2

d

p r o c e s s o r s a n d

o n t w o - d i m e n s i o n a l t o r o i d a l m e s h e s o f n = n

1

n

2

= 2

d

1

2

d

2

p r o c e s s o r s . T h e n o d e s

o f a r i n g a r e n u m b e r e d b y i n t e g e r s i m o d u l o n . T h e n o d e s o f a t o r o i d a l m e s h ( t o r u s ) a r e

n u m b e r e d b y c o u p l e s ( i j ) o f a n i n t e g e r i m o d u l o n

1

a n d a n i n t e g e r j m o d u l o n

2

. E a c h n o d e

i s c o n n e c t e d b y a p a i r o f u n i d i r e c t i o n a l b e r - o p t i c l i n k s ( o n e i n e a c h d i r e c t i o n ) t o e a c h o f i t s

i m m e d i a t e n e i g h b o u r s i n t h e h o r i z o n t a l a n d v e r t i c a l d i r e c t i o n s . E a c h n o d e c a n c o n c u r r e n t l y

t r a n s m i t o n e m e s s a g e a n d r e c e i v e o n e m e s s a g e . I n t h i s p a p e r , a m e s s a g e i n a t o r u s i s r o u t e d

o r o n l y h o r i z o n t a l l y e i t h e r o n l y v e r t i c a l l y t o t h e r e c e i v e r . M e s s a g e s c a n b e r o u t e d t h r o u g h

a n o d e w i t h o u t a e c t i n g i t s p e r f o r m a n c e a s a s e n d e r o r r e c e i v e r . I t i s a s s u m e d t h a t a l l

l i n k s h a v e t h e s a m e x e d b a n d w i d t h . W a v e l e n g t h c o n i c t o c c u r s w h e n t h e p a t h s t a k e n b y

t w o o r m o r e m e s s a g e s s e n t o n t h e s a m e w a v e l e n g t h h a v e o n e o r m o r e l i n k s i n c o m m o n .

163




F i n a l l y , i t i s a s s u m e d t h a t e a c h r e c e i v i n g n o d e a l l o c a t e s a b u e r f o r e a c h i n c o m i n g m e s s a g e

b e f o r e i t a r r i v e s . U n d e r t h i s a s s u m p t i o n t h e s e n d e r c a n t r a n s m i t a m e s s a g e w i t h o u t p r i o r

h a n d s h a k i n g w i t h t h e r e c e i v e r .

A s i m p l e c o m m u n i c a t i o n m o d e l d e s c r i b e s t h e c o s t o f s e n d i n g a m e s s a g e o f L b i t s a s

+ L , w h e r e i s t h e l a t e n c y ( i n c l u d i n g t h e s t a r t - u p , t h e s w i t c h i n g a n d t h e w a v e l e n g t h

t u n i n g d e l a y s ) a n d i s t h e p e r - b y t e t r a n s m i s s i o n c o s t ( 1 = c o r r e s p o n d s t o t h e b a n d w i d t h ) . A

c l o s e e x a m i n a t i o n o f r e a l m e s s a g e p a s s i n g n e t w o r k s r e v e a l s a m u c h l a r g e r c o l l e c t i o n o f f a c t o r s

t h a t c a n a e c t t h e c o s t o f c o m m u n i c a t i o n a l g o r i t h m s . S o m e o f t h e s e f a c t o r s a r e t h e l e n g t h o f

t h e c i r c u i t o v e r w h i c h t h e m e s s a g e t r a v e l s , t h e e e c t s o f m e s s a g e p a c k e t i z a t i o n p e r f o r m e d b y

t h e n o d e o p e r a t i n g s y s t e m , t h e p a c k e t p e r m u t a t i o n c o s t s w i t h i n a n o d e , t h e s y n c h r o n i z a t i o n

c o s t s . T h e p e r m u t a t i o n c o s t s g e n e r a l l y a e c t t h e c o s t o f g l o b a l c o m m u n i c a t i o n a n d r e m a r k s

w i l l b e g i v e n i n S e c t i o n 4 . T h e r e m a i n i n g f a c t o r s , w h i c h h a v e r e l a t i v e l y s m a l l e e c t s o n c o s t ,

w i l l n o t b e c o n s i d e r e d h e r e .

3 B r o a d c a s t A l g o r i t h m s

T w o f a m i l i e s o f b r o a d c a s t a l g o r i t h m s f o r o p t i c a l r i n g s a n d t o r o i d a l m e s h e s a r e c o n s i d e r e d .

E a c h a l g o r i t h m i s b a s e d o n c o m m u n i c a t i o n p a t t e r n s c o m m o n l y u s e d o n h y p e r c u b e s , s u c h

a s s p a n n i n g b i n o m i a l t r e e s a n d d i m e n s i o n a l e x c h a n g e s . I t i s a s s u m e d w . l . o . g . t h a t n o d e

0 o f t h e r i n g ( r e s p e c t i v e l y n o d e ( 0 0 ) o f t h e t o r u s ) c o n t a i n s a m e s s a g e o f l e n g t h L t o b e

b r o a d c a s t t o a l l t h e o t h e r n o d e s . T h e c o s t o f a b r o a d c a s t o p e r a t i o n i s m e a s u r e d f r o m t h e

t i m e t h e o r i g i n a t o r b e g i n s t h e b r o a d c a s t t o t h e t i m e t h e l a s t n o d e r e c e i v e s t h e m e s s a g e .

T h e f a m i l i a r s p a n n i n g t r e e b r o a d c a s t a l g o r i t h m i s c o n s i d e r e d r s t . I m p r o v e m e n t s o f t h a t

b a s i c a l g o r i t h m w i l l t a k e a d v a n t a g e o f 1 ) t h e c o n c u r r e n t t r a n s m i s s i o n t h r o u g h o p t i c a l l i n k s

o e r e d b y W D M , 2 ) t h e a d d i t i o n a l b a n d w i d t h o e r e d b y b i d i r e c t i o n a l l i n k s , a n d 3 ) t h e

i n c r e a s e d c o n n e c t i v i t y o f t o r o i d a l m e s h e s o v e r r i n g s .

3 . 1 B a s i c s u b r o u t i n e s

3 . 1 . 1 S p a n n i n g t r e e b r o a d c a s t

T h e r s t a l g o r i t h m i s b a s e d o n t h e f a m i l i a r s p a n n i n g b i n o m i a l t r e e t h a t i s u s e d i n t h e

r e c u r s i v e b r o a d c a s t a l g o r i t h m f o r h y p e r c u b e s 5 ] . T h i s a l g o r i t h m w i l l b e c a l l e d t h e s p a n n i n g

t r e e ( S T ) b r o a d c a s t a n d w a s d e s c r i b e d e a r l i e r i n 1 ] f o r l i n e a r a r r a y s a n d m e s h e s . A S T

b r o a d c a s t o n a r i n g o r a t o r u s o f 2

d

n o d e s t a k e s d r o u n d s . O n t h e i

t h

r o u n d ( 1 i d ) , e a c h

n o d e j t h a t a l r e a d y h a s a c o p y o f t h e m e s s a g e s e n d s i t t o n o d e j 2

d ; i

, w h e r e d e n o t e s b i t -

w i s e e x c l u s i v e O R . T h i s i s i l l u s t r a t e d f o r a r i n g i n F i g u r e 1 ( a ) . T h e c o r r e s p o n d i n g s p a n n i n g

t r e e i s s h o w n i n F i g u r e 1 ( b ) . E a c h a r c o f t h e t r e e i s l a b e l e d w i t h t h e r o u n d a t w h i c h i t

c a r r i e s t h e m e s s a g e .

164




(2)

100

000

010 001

011101110

111

(3)(1)

(3) (3)(2)

(3)

0 1 2 3 4 5 6 7

(1)

(2)

(3)

(a) (b)

F i g u r e 1 : S p a n n i n g t r e e b r o a d c a s t o n a r i n g o f 2

3

n o d e s .

T h e s p a n n i n g b i n o m i a l t r e e o n w h i c h t h e S T b r o a d c a s t a l g o r i t h m i s b a s e d i s a l s o u s e d i n

a l l o f t h e o t h e r b r o a d c a s t a l g o r i t h m s c o n s i d e r e d h e r e . T h e n o d e s o f s u c h t r e e s a r e n u m b e r e d

i n b i n a r y . ( F r o m a p u r e l y g r a p h - t h e o r e t i c p o i n t o f v i e w , t h e s e t r e e s a r e n o t s p a n n i n g t r e e s ,

b u t t h e y a r e u s e f u l f o r d e s c r i b i n g t h e s c h e d u l i n g a n d r o u t i n g o f m e s s a g e s a n d t h e y w i l l

c o n t i n u e t o b e r e f e r r e d t o a s s p a n n i n g t r e e s h e r e . ) F o r p u r p o s e s h e r e , a s p a n n i n g t r e e w i t h

r o o t 0 i s a d i r e c t e d g r a p h o f n = 2

d

n o d e s i n w h i c h e a c h n o d e j h a s c h i l d r e n w h o s e n o d e

n u m b e r s a r e o b t a i n e d b y c o m p l e m e n t i n g e x a c t l y o n e o f t h e t r a i l i n g z e r o s ( i f a n y ) o f j . T o

d e t e r m i n e t h e n o d e n u m b e r i n g o f a s p a n n i n g t r e e w i t h r o o t o t h e r t h a n 0 , e x c l u s i v e O R t h e

n o d e n u m b e r o f e a c h n o d e i n t h e t r e e w i t h t h e n o d e n u m b e r o f t h e r o o t . F o r m o r e d e t a i l s

a b o u t t h e p r o p e r t i e s o f t h e s e t r e e s s e e 5 ] .

I n t h e s p a n n i n g t r e e o f a r i n g o f 2

d

n o d e s , s o m e t r e e a r c s r e p r e s e n t d i r e c t e d p a t h s o f

s e v e r a l l i n k s i n t h e r i n g a n d s o m e l i n k s a r e u s e d i n s e v e r a l t r e e a r c s . S i n c e s o m e o f t h e

t r e e a r c s c a r r y m e s s a g e s s i m u l t a n e o u s l y d u r i n g t h i s b r o a d c a s t a l g o r i t h m , t h e r e m i g h t b e

w a v e l e n g t h c o n i c t . ( T h i s p o s s i b i l i t y d o e s n o t a r i s e i n h y p e r c u b e b e c a u s e t h e r e i s a o n e -

t o - o n e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n t r e e a r c s a n d h y p e r c u b e l i n k s . ) E v e n t h o u g h s o m e a r c s i n

t h e t r e e s h a r e t h e s a m e l i n k s , a t e a c h r o u n d o n l y d i s j o i n t s e t s o f l i n k s a r e u s e d , a n d s o o n e

w a v e l e n g t h i s s u c i e n t .

A S T b r o a d c a s t o n a t o r u s o f 2

d

1

2

d

2

= 2

d

n o d e s , b a s e d o n t h e a l g o r i t h m f o r r i n g s , i s

s h o w n i n F i g u r e 2 . I n t h i s a l g o r i t h m t h e m e s s a g e i s r s t b r o a d c a s t t o t h e n o d e s i n t h e r o w

c o n t a i n i n g t h e o r i g i n a t o r , t h e n e a c h n o d e i n t h a t r o w b r o a d c a s t s t h e m e s s a g e t o t h e n o d e s

i n i t s c o l u m n . A s i n t h e c a s e o f t h e r i n g , w a v e l e n g t h c o n i c t c a n b e a v o i d e d w i t h t h e u s e o f

o n e w a v e l e n g t h o n l y .

165




F i g u r e 2 : A s i m p l e s p a n n i n g t r e e b r o a d c a s t o n a t o r u s o f 2

2

2

2

n o d e s .

T h u s , f o r b o t h a r i n g o f 2

d

n o d e s a n d a t o r u s o f 2

d

1

2

d

2

= 2

d

n o d e s , t h e S T b r o a d c a s t

a l g o r i t h m u s e s o n e w a v e l e n g t h a n d h a s c o s t

d ( + L ) ( 1 )

T h e r e a r e t w o o t h e r c o m m u n i c a t i o n p r o b l e m s w h o s e s o l u t i o n s a r e u s e d f r e q u e n t l y i n t h e

b r o a d c a s t a l g o r i t h m s g i v e n h e r e . S o l u t i o n s t o t h e s e t w o p r o b l e m s , b a s e d o n s p a n n i n g t r e e s ,

a r e n o w d e s c r i b e d .

3 . 1 . 2 D i s t r i b u t e a l g o r i t h m

S o m e o f t h e a l g o r i t h m s t h a t f o l l o w m a k e u s e o f t h e d i s t r i b u t e o p e r a t i o n i n w h i c h o n e n o d e

s e n d s a d i s t i n c t m e s s a g e t o e a c h o t h e r n o d e i n t h e n e t w o r k . T h i s o p e r a t i o n i s a l s o c a l l e d

s c a t t e r o r o n e - t o - a l l p e r s o n a l i z e d c o m m u n i c a t i o n 5 ] . I n a l l o f t h e b r o a d c a s t a l g o r i t h m s o f

S e c t i o n 3 . 2 , t h e m e s s a g e s t o b e d i s t r i b u t e d , c a l l e d p a c k e t s , w i l l a r i s e b y p a r t i t i o n i n g t h e

o r i g i n a l m e s s a g e t h a t i s t o b e b r o a d c a s t . I n a r i n g o r a t o r u s o f n = 2

d

n o d e s , e a c h o f

t h e d i s t r i b u t e d p a c k e t s , h a s l e n g t h L = n , w h e r e L i s t h e t o t a l l e n g t h o f t h e m e s s a g e t o b e

b r o a d c a s t . T h e d i s t r i b u t e a l g o r i t h m u s e d h e r e i s b a s e d o n a s p a n n i n g t r e e : a m e s s a g e o f

l e n g t h L i s d i s t r i b u t e d t o a l l t h e n o d e s i n t h e t r e e b y h a l v i n g i t a t e a c h r o u n d u n t i l e a c h

n o d e h a s r e c e i v e d i t s p a c k e t . F o r b o t h a r i n g o f 2

d

n o d e s a n d a t o r u s o f 2

d

1

2

d

2

= 2

d

n o d e s , t h e c o s t o f t h i s d i s t r i b u t e a l g o r i t h m ( u s i n g o n e w a v e l e n g t h ) i s

d

X

i = 1

+

L

2

i

= d +

1 ;

1

2

d

L ( 2 )

3 . 1 . 3 A l l - t o - a l l b r o a d c a s t

T h e o t h e r p r o b l e m o f i n t e r e s t i s c a l l e d t h e a l l - t o - a l l b r o a d c a s t . I n t h i s p r o b l e m , e a c h n o d e h a s

a m e s s a g e ( t y p i c a l l y , a p a c k e t o f l e n g t h L = n ) t h a t m u s t b e b r o a d c a s t t o a l l o t h e r n o d e s . T h i s

p r o b l e m i s e a s i l y s o l v e d b y e x c h a n g i n g p a c k e t s b e t w e e n n o d e s w h o s e n o d e n u m b e r s ( w r i t t e n

i n b i n a r y ) d i e r b y o n e b i t . O n h y p e r c u b e s t h i s a l g o r i t h m i s k n o w n a s a d i m e n s i o n a l

e x c h a n g e a n d t h e s a m e t e r m w i l l b e u s e d h e r e . N o t e t h a t t h e m e s s a g e l e n g t h d o u b l e s a t

e a c h r o u n d o f t h i s a l g o r i t h m a n d s o i t s c o s t i s t h e s a m e a s t h e c o s t ( 2 ) o f t h e d i s t r i b u t e

a l g o r i t h m d e s c r i b e d a b o v e , p r o v i d e d t h a t t h e r e i s n o w a v e l e n g t h c o n i c t . H o w e v e r , o n t h e

166




t o p o l o g i e s c o n s i d e r e d i n t h i s p a p e r a d i m e n s i o n a l e x c h a n g e c a n g i v e r i s e t o l i n k c o n t e n t i o n ,

w h o s e i s s u e i s a d d r e s s e d n o w .

I n a r i n g o f 2

d

n o d e s , t h e a l l - t o - a l l b r o a d c a s t a l g o r i t h m c a n b e r e a l i z e d w i t h 2

d ; 2

w a v e -

l e n g t h s , t h a t w e n u m b e r f r o m 0 t o ( 2

d ; 2

; 1 ) , b y m a k i n g n o d e n u m b e r e d j c o m m u n i c a t e

w i t h w a v e l e n g t h n u m b e r e d j ] = j m o d 2

d ; 2

( s e e F i g u r e 3 ) . O n t h e r s t r o u n d , e a c h n o d e

h a s t o s e n d i t s p a c k e t t o t h e c o r r e s p o n d i n g o p p o s i t e n o d e i n t h e r i n g . N o w a v e l e n g t h c o n i c t

o c c u r s i f h a l f o f t h e n o d e s u s i n g t h e s a m e w a v e l e n g t h c o m m u n i c a t e i n t h e c l o c k w i s e d i r e c t i o n

o f t h e r i n g , w h i l e t h e o t h e r h a l f o f n o d e s u s e t h e o t h e r d i r e c t i o n .

0 1 2 3 4 5 6 7

0246 0246 02461357 1357 13570246 1357

04 15 26 37 04 15 26 37

01234567

01234567

01234567

01234567

01234567

01234567

01234567

01234567

F i g u r e 3 : A l l - t o - A l l b r o a d c a s t a l g o r i t h m u s i n g t w o w a v e l e n g t h s i n a r i n g o f 2

3

n o d e s .

I n a t o r u s o f 2

d

1

2

d

2

n o d e s ( a s s u m i n g t h a t d

1

d

2

) , t h e r s t ( d

1

; d

2

) r o u n d s o f t h e

a l l - t o - a l l b r o a d c a s t a l g o r i t h m c o n s i s t i n e x c h a n g e s o f p a c k e t s a l o n g t h e l o n g e s t a x i s . A s i n

t h e c a s e o f t h e r i n g , t h i s c a n b e d o n e w i t h 2

d

1

; 2

w a v e l e n g t h s . T h e n i t r e m a i n s t o r e a l i z e a

d i m e n s i o n a l e x c h a n g e i n 2

d

1

; d

2

c o n t i g u o u s s q u a r e b l o c k s o f 2

d

2

2

d

2

n o d e s . M a k i n g h a l f o f

t h e n o d e s c o m m u n i c a t e h o r i z o n t a l l y w h i l e t h e o t h e r h a l f o f n o d e s c o m m u n i c a t e v e r t i c a l l y ,

a n d v i c e v e r s a , a s s h o w n i n F i g u r e 4 , a l l o w s t o u s e o n l y 2

d

2

; 3

w a v e l e n g t h s i n t h e l a s t p h a s e

o f t h e a l g o r i t h m . A n a p p r o p r i a t e w a v e l e n g t h a s s i g n m e n t c a n b e e a s i l y o b t a i n e d i n a g r e e d y

f a s h i o n . S o , i n t h e s p e c i a l c a s e o f a s q u a r e t o r u s o f 2

d

1

2

d

1

n o d e s , o n l y 2

d

1

; 3

a r e t h u s

s u c i e n t f o r t h e d i m e n s i o n a l e x c h a n g e .

T h u s , t h e a l l - t o - a l l b r o a d c a s t a l g o r i t h m u s e s 2

d ; 2

w a v e l e n g t h s f o r a r i n g o f 2

d

n o d e s ,

2

m a x ( d

1

d

2

) ; 2

w a v e l e n g t h s f o r a t o r u s o f 2

d

1

2

d

2

= 2

d

n o d e s ( o n l y 2

d

1

; 3

i f d

1

= d

2

) , a n d

h a s c o s t

d

X

i = 1

+

L

2

d + 1 ; i

= d +

1 ;

1

2

d

L ( 3 )

167




F i g u r e 4 : A l l - t o - A l l b r o a d c a s t a l g o r i t h m u s i n g o n e w a v e l e n g t h i n a t o r u s o f 2

3

2

3

n o d e s .

W i t h t h e b a s i c t o o l s i n t r o d u c e d a b o v e , w e c a n n o w c o n t i n u e w i t h t h e c o n s t r u c t i o n a n d

a n a l y s i s o f b r o a d c a s t a l g o r i t h m s .

3 . 2 D i s t r i b u t e - a n d - E x c h a n g e ( D E ) b r o a d c a s t a l g o r i t h m s

T h e S T b r o a d c a s t a l g o r i t h m c a n b e g e n e r a l i z e d t o t a k e b e t t e r a d v a n t a g e o f t h e a v a i l a b l e

n e t w o r k o p t i c a l b a n d w i d t h . I n p a r t i c u l a r , b r o a d c a s t a l g o r i t h m s t h a t h a v e b i d i r e c t i o n a l

m e s s a g e o w a r e n o w d e s c r i b e d . T h e y e x p l o i t t h e n e t w o r k p r o p e r t y t h a t m e s s a g e s m o v i n g

i n o p p o s i t e d i r e c t i o n s d o n o t c o n t e n d w i t h e a c h o t h e r f o r o p t i c a l c o m m u n i c a t i o n l i n k s .

I n t h i s s e c t i o n w e d e s c r i b e a f a m i l y f A ( r ) g

1 r d

o f b r o a d c a s t a l g o r i t h m s , s o t h a t A ( r )

c o m p l e t e s i n d + r c o m m u n i c a t i o n r o u n d s i n a r i n g o r a t o r u s o f 2

d

n o d e s . F o r r i n g s , o u r

a l g o r i t h m s a r e v e r y s i m i l a r t o t h o s e g i v e n i n 8 ] f o r l i n e a r a r r a y s u n d e r a c i r c u i t - s w i t c h e d

c o m m u n i c a t i o n m o d e l t h a t l e a d s n e a r l y t o t h e s a m e c o n s t r a i n t s a s o u r W D M a s s u m p t i o n s .

3 . 2 . 1 D E b r o a d c a s t a l g o r i t h m s o n a r i n g

F o r 1 r d , t h e r i n g c a n b e v i e w e d a s 2

r

i n t e r l e a v e d s u b r i n g s e a c h w i t h 2

d ; r

n o d e s . T h e

i

t h

o f t h e s e s u b r i n g s , f o r 0 i < 2

r

, c o n s i s t s o f n o d e s n u m b e r e d j : 2

r

+ i , f o r 0 j < 2

d ; r

.

T o b r o a d c a s t t h e m e s s a g e o n t h e s e i n t e r l e a v e d r i n g s , t h e m e s s a g e i s r s t d i s t r i b u t e d

a m o n g n o d e s 0 , 1 , . . . , ( 2

r

; 1 ) w i t h o n e w a v e l e n g t h . F r o m ( 2 ) , t h e c o s t o f t h i s d i s t r i b u t i o n

168




i s

r +

1 ;

1

2

r

L ( 4 )

E a c h o f t h e i n f o r m e d n o d e s t h e n a c t s a s t h e s o u r c e o f a S T b r o a d c a s t o f a m e s s a g e o f

l e n g t h L = 2

r

o n a s u b r i n g o f 2

d ; r

n o d e s ( s e e F i g u r e 5 ) . B y m a k i n g t h e e v e n n u m b e r e d n o d e s

t r a n s m i t t i n g t o t h e r i g h t a n d t h e o d d n u m b e r e d n o d e s t o t h e l e f t , o n l y 2

r ; 1

w a v e l e n g t h s

a r e s u c i e n t . F r o m ( 1 ) , t h e c o s t o f t h i s p h a s e i s

( d ; r )

+

L

2

r

( 5 )

T h e n a l p h a s e o f t h e a l g o r i t h m c o n s i s t s o f c o l l e c t i n g t h e p a c k e t s t o r e c o n s t r u c t t h e

o r i g i n a l m e s s a g e i n e a c h n o d e . T h i s i s a c c o m p l i s h e d b y a d i m e n s i o n a l e x c h a n g e o n e a c h

c o n t i g u o u s s u b r i n g o f 2

r

n o d e s u s i n g 2

r ; 2

w a v e l e n g t h s . W e u s e h e r e t h e f a c t t h a t a t t h e e n d

o f t h e S T b r o a d c a s t s t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e p a c k e t s i s t h e s a m e i n e a c h c o n t i g u o u s s u b r i n g .

T h e r e f o r e , r e c e i v i n g t h e i n f o r m a t i o n o f a n o d e i n t h e s a m e s u b r i n g i s e q u i v a l e n t t o r e c e i v i n g

t h e i n f o r m a t i o n o f t h e c o r r e s p o n d i n g n o d e i n a n a d j a c e n t s u b r i n g . F r o m ( 3 ) , t h i s p h a s e h a s

c o s t

r +

1 ;

1

2

r

L ( 6 )

0123 1 23 3 0 1 2 3 0123 13 13 02 13 02 13023

0123 0123 23 0123 1 23 3

1

21 302 13 02 13 02 02

23 1 3 03

2

3 0 0 113

exchange (2 rounds)

ST broadcastsdistribute (2 rounds)

F i g u r e 5 : D E b r o a d c a s t a l g o r i t h m u s i n g t w o w a v e l e n g t h s i n a r i n g o f 2

3

n o d e s .

T h u s , t h e D E b r o a d c a s t a l g o r i t h m A ( r ) i n a r i n g o f 2

d

n o d e s u s e s 2

r ; 1

w a v e l e n g t h s a n d

i t s t o t a l c o s t i s

( d + r ) +

2 +

d ; r ; 2

2

r

L

3 . 2 . 2 D E b r o a d c a s t a l g o r i t h m s o n a t o r u s

W e d e s c r i b e h e r e a f a m i l y o f b r o a d c a s t a l g o r i t h m s s i m i l a r t o t h o s e o f t h e p r e v i o u s s e c t i o n .

T h e y c o m p l e t e w i t h t h e s a m e t o t a l c o s t b u t t h e y n e c e s s i t a t e a s m a l l e r n u m b e r o f w a v e -

l e n g t h s , b y t a k i n g a d v a n t a g e o f t h e c o n n e c t i v i t y o f t h e t o r u s . A s b e f o r e , f o r 1 r d t h e

a l g o r i t h m A ( r ) u s e s d + r r o u n d s i n a t o r u s o f 2

d

1

2

d

2

= 2

d

n o d e s a n d p r o c e e d s i n t h r e e

p h a s e s .

169




distribute (3 rounds)

exchange (3 rounds)

ST broadcasts (2 rounds)

F i g u r e 6 : D E b r o a d c a s t a l g o r i t h m u s i n g o n e w a v e l e n g t h i n a t o r u s o f 2

3

2

2

n o d e s .

C o n s i d e r t h e 2

d

1

2

d

2

t o r u s a s m a d e u p o f 2

r

i n t e r l e a v e d s u b t o r i , e a c h o f s i z e

2

d

1

; r

1

2

d

2

; r

2

, w i t h r

1

+ r

2

= r , s o t h a t e a c h 2

r

1

2

r

2

c o n t i g u o u s b l o c k o f n o d e s h a s

e x a c t l y o n e n o d e f r o m e a c h s u b t o r u s . T o h a v e e a c h s u b t o r u s a s s q u a r e a s p o s s i b l e , w e w i l l

c h o o s e t o s e t r

1

= m i n ( r d

r ; d

1

+ d

2

2

e ) a n d r

2

= m a x ( 0 b

r ; d

1

+ d

2

2

c ) ( h e n c e r

1

r

2

) , s o t h a t

t h e d i e r e n c e ( d

1

; r

1

) ; ( d

2

; r

2

) i s a s s m a l l a s p o s s i b l e .

I n t h e r s t p h a s e o f t h e a l g o r i t h m , t h e o r i g i n a t o r d i s t r i b u t e s t h e m e s s a g e a s 2

r

p a c k e t s

a m o n g t h e n o d e s i n t h e 2

r

1

2

r

2

b l o c k w h i c h i t b e l o n g s t o . S e e F i g u r e 6 f o r a n e x a m p l e .

T h i s n e c e s s i t a t e s o n l y o n e w a v e l e n g t h a n d t h e s a m e c o s t ( 4 ) a s i n a r i n g .

E a c h o f t h e n o d e s i n t h a t b l o c k t h e n a c t s a s t h e r o o t o f a S T b r o a d c a s t o f a m e s s a g e o f

l e n g t h L = 2

r

i n a s u b t o r u s o f s i z e 2

d

1

; r

1

2

d

2

; r

2

. I f ( d

1

; r

1

) > ( d

2

; r

2

) , t h i s p h a s e c a n

b e r e a l i z e d w i t h 2

r

1

; 1

w a v e l e n g t h s . I f ( d

1

; r

1

) = ( d

2

; r

2

) , a l t e r n a t i n g t h e o r i e n t a t i o n o f

t h e s p a n n i n g t r e e s o f t h e 2

r

s u b t o r i a s i n S e c t i o n 3 . 1 . 3 ( i . e . m a k i n g o n e q u a r t e r o f n o d e s

c o m m u n i c a t e t o t h e r i g h t , a n o t h e r d o w n w a r d s , a n o t h e r t o t h e l e f t a n d t h e l a s t u p w a r d s )

a l l o w s t o u s e o n l y 2

r

1

; 2

w a v e l e n g t h s ( S e e F i g u r e 6 ) . F r o m E q u a t i o n ( 1 ) , t h i s s e c o n d p h a s e

h a s t h e s a m e c o s t ( 5 ) a s i n a r i n g .

A f t e r t h e b r o a d c a s t p h a s e i s c o m p l e t e d , e a c h n o d e i n e a c h c o n t i g u o u s 2

r

1

2

r

2

b l o c k

c o n t a i n s o n e o f t h e 2

r

p a c k e t s . T h e s e p a c k e t s a r e t h e n r e c o m b i n e d u s i n g a d i m e n s i o n a l

e x c h a n g e . A s n o t i c e d b e f o r e , e a c h b l o c k c a n b e s e e n a s a t o r u s o f 2

r

1

2

r

2

= 2

r

n o d e s a n d

2

r

1

; 2

w a v e l e n g t h s ( o n l y 2

r

1

; 3

i f r

1

= r

2

) a r e s u c i e n t . T h e l a s t p h a s e h a s t h e s a m e c o s t ( 6 )

a s i n a r i n g .

170




T h u s , t h e D E b r o a d c a s t a l g o r i t h m A ( r ) i n a t o r u s o f 2

d

1

2

d

2

= 2

d

n o d e s u s e s 2

r

1

; 1

w a -

v e l e n g t h s ( o n l y 2

r

1

; 2

i f ( r ; j d

1

; d

2

j ) i s n o n n e g a t i v e a n d e v e n ) , w i t h r

1

= m i n ( r d

r ; d

1

+ d

2

2

e ) ,

a n d i t s t o t a l c o s t i s

( d + r ) +

2 +

d ; r ; 2

2

r

L

3 . 3 P i p e l i n e d b r o a d c a s t a l g o r i t h m s

W e p r e s e n t i n t h i s s e c t i o n a g e n e r a l i z a t i o n t o r i n g s a n d t o r i o f t h e p i p e l i n e d b r o a d c a s t

a l g o r i t h m s g i v e n i n 5 ] f o r h y p e r c u b e s . I n a d d i t i o n , w e p r o v i d e a s l i g h t i m p r o v e m e n t o n t h e

t o t a l c o s t w h i c h m a y b e a l s o a p p l i e d o n h y p e r c u b e s .

A s b e f o r e , w e d e n e a f a m i l y f A ( r ) g

r d

o f p i p e l i n e d b r o a d c a s t ( P B ) b r o a d c a s t a l g o -

r i t h m s , s o t h a t A ( r ) c o m p l e t e s i n d + r c o m m u n i c a t i o n r o u n d s i n a r i n g o r a t o r u s o f 2

d

n o d e s . T h e c o m m u n i c a t i o n p a t t e r n o f a l l o u r P B a l g o r i t h m s a r e b a s e d o n a n e m b e d d i n g i n

r i n g s o r t o r i o f t h e a r c - d i s j o i n t s p a n n i n g t r e e s d e s c r i b e d i n 5 ] f o r h y p e r c u b e s .

H o w e v e r , w e p r e f e r f o r s i m p l i c i t y t o d e s c r i b e o u r P B a l g o r i t h m s a s i n d u c e d b y t h e c o m -

m u n i c a t i o n p a t t e r n o f t h e d i m e n s i o n a l e x c h a n g e s o f S e c t i o n 3 . 1 . 3 . I n c o n s e q u e n c e , t h e s a m e

n u m b e r o f w a v e l e n g t h s w i l l b e s u c i e n t t o e n s u r e n o w a v e l e n g t h c o n i c t . I t w i l l b e m a d e

u s e o f t h e f o l l o w i n g p r o p e r t y : t h e a l l - t o - a l l b r o a d c a s t i s a c c o m p l i s h e d , h o w e v e r i s c h o s e n

t h e o r d e r o f t h e d i m e n s i o n a l e x c h a n g e s . T h i s f a c t i s e a s y t o u n d e r s t a n d f o r h y p e r c u b e s ,

w h e r e a l l d i m e n s i o n s a r e s o m e w h a t e q u i v a l e n t , a n d t h e s a m e h o l d s f o r r i n g s a n d t o r i .

F o r r d , t h e P B a l g o r i t h m A ( r ) p r o c e e d s a s f o l l o w s ( s e e F i g u r e 7 ) f o r a r i n g a n d F i g u r e 8

f o r a t o r u s ) . T h e o r i g i n a l m e s s a g e i s r s t p a r t i t i o n e d i n t o r + 1 p a c k e t s , a l l o f s i z e L = ( r + 1 ) .

D u r i n g t h e r s t d r o u n d s , t h e c o m m u n i c a t i o n p a t t e r n o f t h e S T b r o a d c a s t i s u s e d , b u t t h e

o r i g i n a t o r s e n d s a d i e r e n t p a c k e t ( t o a d i e r e n t n o d e ) a t e a c h r o u n d . E a c h s u c h p a c k e t i s

t h e n b r o a d c a s t f r o m i t s r s t d e s t i n a t i o n t o a l l t h e n e t w o r k u s i n g a s p a n n i n g t r e e i n d u c e d

b y t h e a l l - t o - a l l b r o a d c a s t a l g o r i t h m . D u r i n g a l l t h e r e m a i n i n g r o u n d s , t h e c o m m u n i c a t i o n

p a t t e r n o f t h e d i m e n s i o n a l e x c h a n g e s i s u s e d c y c l i c a l l y . T h e o r i g i n a t o r c o n t i n u e s s e n d i n g a

d i e r e n t p a c k e t a t e a c h r o u n d u n t i l r o u n d r a n d s e n d s t h e n t h e l a s t p a c k e t d u r i n g t h e l a s t

d r o u n d s .

0123

0 1 0

01

0

0130102 012 012 01230123 0124

01234 01234 01234

01234 01234

10 0 2

3 1 2 4

4 3 432

10

F i g u r e 7 : P i p e l i n e d b r o a d c a s t a l g o r i t h m i n a r i n g o f 2

2

n o d e s .

171




345012

345012

345012

345012

345012

345012

345012

0 1 0

0 0 01 0

2 1 0 0

1 0

02 01 02 01 012 012 012 012 012 012

012 0120123 34

012 012 012 012

012012 01234 3435

2 1 0 0

5 4 3

2

3

2

5 3

2

4

30 1

100 2

4 1 3

2121

5

53 3

3

4

45 4 5

5454

012 01234 35 34

01 03 01 012

345

353

014 013 013

F i g u r e 8 : P i p e l i n e d b r o a d c a s t a l g o r i t h m i n a t o r u s o f 2

2

2

1

n o d e s .

T h u s , a s p a c k e t s o f t h e s a m e s i z e L = ( r + 1 ) a r e s e n t a t a n y r o u n d , t h e P B a l g o r i t h m

A ( r ) h a s a t o t a l c o s t o f

( d + r )

+

L

r + 1

F o r c o m p a r i s o n , t h e a l g o r i t h m o f 5 ] c o m p l e t i n g i n ( d + r ) c o m m u n i c a t i o n r o u n d s h a s

c o s t ( d + r ) ( +

L

r

) . T h e s l i g h t i m p r o v e m e n t a r i s e s f r o m t h e f a c t t h a t i n o u r a l g o r i t h m t h e

o r i g i n a t o r s e n d s p a c k e t s u n t i l t h e l a s t r o u n d .

4 R e s u l t a n a l y s i s

T h e f o l l o w i n g t a b l e s u m m a r i z e s t h e c o s t s o f t h e b r o a d c a s t a l g o r i t h m s d e s c r i b e d i n t h i s p a p e r

a n d t h e m a x i m u m n u m b e r o f w a v e l e n g t h s t h a t t h e y u s e d u r i n g a r o u n d . T h e c o s t s o f t h e

a l g o r i t h m s d e s i g n e d f o r r i n g s a r e g i v e n f o r n = 2

d

n o d e s w h i l e t h e t o r u s a l g o r i t h m s a r e g i v e n

f o r n = 2

d

1

2

d

2

n o d e s . I t i s a s s u m e d t h a t t h e D E b r o a d c a s t a l g o r i t h m s a r e d e n e d f o r

1 r d a n d t h e P B a l g o r i t h m s f o r d r .

A l g o r i t h m C o s t N u m b e r o f w a v e l e n g t h s

r i n g / t o r u s S T d ( + L ) 1

r i n g D E 2

r ; 1

t o r u s D E 2

r

1

; 1

i f ( r ; j d

1

; d

2

j ) i s n e g a t i v e o r o d d

( d + r ) +

;

2 +

d ; r ; 2

2

r

L 2

r

1

; 2

e l s e , w i t h r

1

= m i n ( r d

r ; j d

1

; d

2

j

2

e )

s q u a r e t o r u s D E 2

b r = 2 c

i f r i s o d d

2

r = 2 ; 2

i f r i s e v e n

r i n g P B 2

d ; 2

t o r u s P B ( d + r )

+

L

r + 1

2

m a x ( d

1

d

2

) ; 2

s q u a r e t o r u s P B 2

d = 2 ; 2

172



B r o a d c a s t i n g i n W D M O p t i c a l R i n g s a n d T o r i 1 1

N o t e t h a t f o r r ( l o g

2

d + ( 1 ) ) t h e D E b r o a d c a s t a l g o r i t h m s a r e n o t w o r t h w h i l e .

I n d e e d , t h e i r t r a n s m i s s i o n c o s t h a s a c o n s t a n t c o e c i e n t c l o s e t o t w o w h e n e v e r 2

r

= ( d ) ,

a n d t h i s c a n n o t b e i m p r o v e d u n l e s s r d ; 1 .

F o r e x t r e m e l y s h o r t m e s s a g e s t h e S T b r o a d c a s t a l g o r i t h m s h a v e t h e l o w e s t c o s t o n b o t h

r i n g s a n d t o r i b e c a u s e o f t h e i r l o w l a t e n c y . I n f a c t , t h e S T b r o a d c a s t i s a D E b r o a d c a s t f o r

r = 0 . H o w e v e r , t h e t o t a l c o s t f u n c t i o n b e i n g c o n v e x , t h e b e s t D E b r o a d c a s t h a s l o w e r c o s t

t h a n t h e S T b r o a d c a s t i f i t i s a l r e a d y t h e c a s e f o r r = 1 , t h a t i s , w h e n e v e r

L >

2

( d ; 1 )

F o r e x a m p l e , e v e n i n a 1 0 0 M b / s e c n e t w o r k o f 2

2

= 4 n o d e s w i t h l a t e n c y = 5 0 s e c , t h e

S T b r o a d c a s t h a s g r e a t e r c o s t f o r b r o a d c a s t i n g m e s s a g e s o f l e n g t h L > 1 0 K b .

I n t h e c a s e w h e r e s u c i e n t l y l a r g e m e s s a g e s a r e c o n c e r n e d , t h e P B a l g o r i t h m s p r e s e n t e d

i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n a l l o w t o d e c r e a s e t h e c o e c i e n t o f t h e t r a n s m i s s i o n c o s t d o w n t o

o n e , w h i c h i s o p t i m a l . T h e s e a l g o r i t h m s a r e p a r t i c u l a r l y i n t e r e s t i n g f o r a p p l i c a t i o n s s u c h a s

b r o a d c a s t T V o r v i d e o c o n f e r e n c i n g .

I n v i e w o f t h e r e s u l t s o b t a i n e d i n 2 ] , a l l o f o u r b r o a d c a s t a l g o r i t h m s h a v e n e a r l y o p t i m a l

t r a n s m i s s i o n c o s t s , a n d t h u s t h e b e s t o f t h e m h a s t h e s a m e o p t i m a l i t y f o r t h e b r o a d c a s t

p r o b l e m . M o r e p r e c i s e l y , u n d e r t h e s a m e c o m m u n i c a t i o n m o d e l ( a c t u a l l y n o t n e c e s s a r i l y

o p t i c a l ) i t i s s h o w n i n 2 ] t h a t a n y b r o a d c a s t a l g o r i t h m c o m p l e t i n g i n d + r r o u n d s h a s a

t r a n s m i s s i o n c o s t a t l e a s t ( d = 2

r

+ ( 1 ) ) L i f 1 r d a n d a t l e a s t ( 1 + o ( 1 ) ) (

d + r

r

) L i f

r d .

I n t h i s p a p e r w e h a v e n o t d e a l t w i t h t h e i s s u e o f p e r m u t a t i o n c o s t s t h a t c a n a e c t o u r

a l g o r i t h m s . A s i t c a n b e n o t i c e d , i n t e r n a l d a t a m o v e m e n t s a r e r e q u i r e d i n t h e P B a l g o r i t h m s

d e s c r i b e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n . I n d e e d , s o m e o f t h e n o d e s i n t h e n e t w o r k r e c e i v e , s a y , t h e

p a c k e t n u m b e r e d i u p t o d r o u n d s a f t e r h a v i n g r e c e i v e d t h e p a c k e t n u m b e r e d ( i + d ; 1 ) .

A p a r a m e t e r r e p r e s e n t i n g t h e c o s t o f m o v i n g d a t a w i t h i n a n o d e s h o u l d b e s u b s e q u e n t l y

i n c l u d e d i n t h e c o s t a n a l y s i s o f t h e s e a l g o r i t h m s . F o r o u r D E b r o a d c a s t a l g o r i t h m s , t h i s

p r o b l e m c a n b e s o l v e d b y m o d i f y i n g s l i g h t l y t h e e x c h a n g e p h a s e . I f t h e d i m e n s i o n a l e x -

c h a n g e s a r e r e a l i z e d i n t h e r e v e r s e o r d e r o f t h e o n e d e s c r i b e d i n S e c t i o n 3 . 1 . 3 , t h e n a l l t h e

r e c e i v e d p a c k e t s c a n b e c o n c a t e n a t e d w i t h i n a n o d e w i t h o u t p e r m u t a t i o n .

N e v e r t h e l e s s , w e h a v e c h o s e n t o p r e s e n t a l l t h e d i m e n s i o n a l e x c h a n g e s o f o u r D E b r o a d -

c a s t a l g o r i t h m s w i t h t h a t p a r t i c u l a r o r d e r f o r t h e f o l l o w i n g r e a s o n . I f n o t e n o u g h w a v e l e n g t h s

a r e a v a i l a b l e i n t h e o p t i c a l n e t w o r k , t h e s e a l g o r i t h m s c a n s t i l l b e e x e c u t e d b y d i v i d i n g t h e

n o t p o s s i b l e c o m m u n i c a t i o n r o u n d s i n t o s e v e r a l r o u n d s . F o r e x a m p l e , i f o n e g i v e n r o u n d i n

t h e a l g o r i t h m r e q u i r e s t w i c e m o r e w a v e l e n g t h s t h a n i t i s a v a i l a b l e , t h e n t h e s a m e c o m m u n i -

c a t i o n p a t t e r n c a n b e r e a l i z e d i n t w o r o u n d s i n s t e a d o f o n e . T h u s , i t i s i m p o r t a n t t o h a v e t h e

c o m m u n i c a t i o n c o s t o f s u c h r o u n d s a s s m a l l a s p o s s i b l e , w h i c h i s p r o v i d e d b y o u r o r d e r i n g

o f e x c h a n g e s . N o t e t h a t i n o u r D E b r o a d c a s t a l g o r i t h m s , o n l y a f e w r o u n d s r e q u i r e m a n y

w a v e l e n g t h s , t h e r e f o r e t h e i r t o t a l c o s t w i l l n o t b e s i g n i c a n t l y a e c t e d i n c a s e o f w a v e l e n g t h

l i m i t a t i o n .

173




5 C o n c l u s i o n s

T h i s s t u d y o f t h e p r o b l e m o f b r o a d c a s t i n g i n W D M o p t i c a l r i n g s a n d t w o - d i m e n s i o n a l

t o r o i d a l m e s h e s h a s y i e l d e d t w o f a m i l i e s o f a l g o r i t h m s . T h e w e l l - k n o w n s p a n n i n g t r e e

( S T ) b r o a d c a s t a l g o r i t h m w a s g e n e r a l i z e d b y t a k i n g a d v a n t a g e o f t h e i n c r e a s e d b a n d w i d t h

o e r e d b y t h e b i d i r e c t i o n a l W D M c o n c u r r e n t t r a n s m i s s i o n . T h i s g a v e r i s e r s t t o a

f a m i l y o f D i s t r i b u t e - a n d - E x c h a n g e ( D E ) a l g o r i t h m s h a v i n g l o w e r c o s t t h a n t h e S T b r o a d -

c a s t a l g o r i t h m f o r a l l b u t t h e v e r y s h o r t m e s s a g e s . T h e n w a s d e s c r i b e d a f a m i l y o f p i p e l i n e d

b r o a d c a s t ( P B ) a l g o r i t h m s w h i c h p e r f o r m b e t t e r f o r l o n g m e s s a g e s .

T h e a d d i t i o n a l c o n n e c t i v i t y o f t o r i o v e r r i n g s h a s b e e n f u l l y u s e d . I n d e e d , p r o v i d e d t h a t

t h e t o r u s i s q u i t e s q u a r e , t h e n u m b e r o f w a v e l e n g t h s u s e d i s a p p r o x i m a t i v e l y t h e s q u a r e r o o t

o f t h a t u s e d i n t h e r i n g w i t h a s m a n y n o d e s .

O u r a l g o r i t h m s r e q u i r e k n o w l e d g e o f m a c h i n e - d e p e n d e n t c o n s t a n t s f o r n e t w o r k l a t e n c y

a n d b a n d w i d t h t o o b t a i n g o o d p e r f o r m a n c e . H o w e v e r , i m p l e m e n t a t i o n s a n d p e r f o r m a n c e

m e a s u r e m e n t s t o b e c o m p a r e d w i t h t h e a n a l y t i c p r e d i c t e d c o s t s a r e d e s i r a b l e t o d e s i g n a

m o r e p r e c i s e c o m m u n i c a t i o n m o d e l . F u r t h e r w o r k s h o u l d a l s o g e n e r a l i z e o u r a l g o r i t h m s t o

a l l o w t h e n u m b e r o f n o d e s i n a r i n g o r i n a d i m e n s i o n o f a t o r u s t o b e a n y n u m b e r , n o t j u s t

a p o w e r o f t w o .

R e f e r e n c e s

1 ] M . B a r n e t t , D . G . P a y n e , a n d R . v a n d e G e i j n . O p t i m a l b r o a d c a s t i n g i n m e s h - c o n n e c t e d

a r c h i t e c t u r e s . T e c h n i c a l R e p o r t T R - 9 1 - 3 8 , D e p t . o f C o m p u t e r S c i e n c e s , U n i v . o f T e x a s ,

D e c e m b e r 1 9 9 1 .

2 ] B . B e a u q u i e r , O . D e l m a s , a n d S . P r e n n e s . T i g h t b o u n d s f o r b r o a d c a s t i n g i n t h e l i n e a r

c o s t m o d e l . T e c h n i c a l r e p o r t , I n s t i t u t N a t i o n a l d e R e c h e r c h e e n I n f o r m a t i q u e e t e n

A u t o m a t i q u e , 1 9 9 7 . T o a p p e a r .

3 ] N . K . C h e u n g , N o s u K . , a n d G . W i n z e r . S p e c i a l i s s u e o n d e n s e W D M n e t w o r k s . I E E E

J o u r n a l o n S e l e c t e d A r e a s i n C o m m u n i c a t i o n s ( J S A C ) , 8 , 1 9 9 0 .

4 ] P a u l E . G r e e n . F i b e r O p t i c N e t w o r k s . P r e n t i c e H a l l , 1 9 9 3 .

5 ] C . T . H o a n d S . L . J o h n s s o n . O p t i m u m b r o a d c a s t i n g a n d p e r s o n a l i z e d c o m m u n i c a t i o n i n

h y p e r c u b e s . I E E E T r a n s a c t i o n s o n C o m p u t e r s , 3 8 ( 9 ) : 1 2 4 9 1 2 6 8 , S e p t e m b e r 1 9 8 9 .

6 ] D . M i n o l i . T e l e c o m m u n i c a t i o n s T e c h n o l o g y H a n d b o o k . A r t e c h H o u s e , 1 9 9 1 .

7 ] B . M u k h e r j e e . W D M - b a s e d l o c a l l i g h t w a v e n e t w o r k s , P a r t I I : M u l t i h o p s y s t e m s . I E E E

N e t w o r k M a g a z i n e , 6 ( 4 ) : 2 0 3 2 , J u l y 1 9 9 2 .

8 ] S . R . S e i d e l . B r o a d c a s t i n g o n l i n e a r a r r a y s a n d m e s h e s . T e c h n i c a l R e p o r t O R N L / T M -

1 2 3 5 6 , O a k R i d g e N a t i o n a l L a b o r a t o r y , M a r c h 1 9 9 3 .

174



A N N E X E F

O n a r b i t r a r y W a k s m a n n e t w o r k s

a n d t h e i r v u l n e r a b i l i t y

1 7 5



1 7 6



O n A r b i t r a r y W a k s m a n N e t w o r k s

a n d t h e i r V u l n e r a b i l i t y


*

, E r i c D a r r o t

*



O c t o b r e 1 9 9 9

A b s t r a c t : M o t i v a t e d b y p r o b l e m s i n t e l e c o m m u n i c a t i o n s a t e l l i t e s , w e i n v e s t i g a t e r e a r -

r a n g e a b l e p e r m u t a t i o n n e t w o r k s m a d e o f b i n a r y s w i t c h e s . A s i m p l e c o u n t i n g a r g u m e n t

s h o w s t h a t t h e n u m b e r o f s w i t c h e s n e c e s s a r y t o b u i l d a n n r e a r r a n g e a b l e n e t w o r k ( i . e .

c a p a b l e o f r e a l i z i n g a l l o n e - t o - o n e m a p p i n g s o f i t s n i n p u t s t o i t s n o u t p u t s ) i s a t l e a s t

d l o g

2

( n ! ) e = n l o g

2

n ; n l o g

2

e + o ( n ) a s n ! 1 . F o r n = 2

r

, t h e r - d i m e n s i o n a l B e n e

n e t w o r k g i v e s a s o l u t i o n u s i n g n l o g

2

n ;

n

2

s w i t c h e s . W a k s m a n , a n d i n d e p e n d e n t l y G o l d -

s t e i n a n d L e i b h o l z , i m p r o v e d t h e s e n e t w o r k s u s i n g n l o g

2

n ; n + 1 s w i t c h e s . W e p r o v i d e a n

e x t e n s i o n o f t h i s r e s u l t t o a r b i t r a r y v a l u e s o f n , u s i n g

P

n

i = 1

d l o g

2

( i ) e s w i t c h e s . T h e r o u t i n g

a l g o r i t h m u s e d i n B e n e n e t w o r k s i s a l s o g e n e r a l i z e d f o r a r b i t r a r y v a l u e s o f n . F i n a l l y t h e

f a u l t - t o l e r a n c e i s s u e o f t h e s e n e t w o r k s i s d i s c u s s e d .

K e y - w o r d s : s w i t c h i n g n e t w o r k s , m u l t i s t a g e n e t w o r k s , r e a r r a n g e a b l e n e t w o r k s , p e r m u t a -

t i o n n e t w o r k s , f a u l t t o l e r a n c e , v u l n e r a b i l i t y .

( R s u m : t s v p )

S u b m i t t e d t o P a r a l l e l P r o c e s s i n g L e t t e r s ( W o r l d S c i e n t i c ) .

A n e x t e n d e d a b s t r a c t o f t h i s p a p e r h a s b e e n a c c e p t e d i n A L G O T E L ' 9 9 , R o s c o , F r a n c e , 5 7 m a i 1 9 9 9 .

T h i s w o r k h a s b e e n s u p p o r t e d b y A l c a t e l S p a c e I n d u s t r i e s ( T o u l o u s e , F r a n c e ) .

*

S L O O P i s a j o i n t p r o j e c t w i t h t h e C N R S a n d t h e U n i v e r s i t y o f N i c e - S o p h i a A n t i p o l i s ( I 3 S l a b o r a t o r y ) .

E - m a i l : { B r u n o . B e a u q u i e r , E r i c . D a r r o t } @ i n r i a . f r






R s e a u x d e W a k s m a n G n r a l i s s

e t V u l n r a b i l i t

R s u m : M o t i v e p a r d e s p r o b l m e s d e c o n c e p t i o n d e r s e a u x e m b a r q u s d a n s d e s

s a t e l l i t e s d e t l c o m m u n i c a t i o n s , n o t r e t u d e p o r t e s u r l e s r s e a u x d e p e r m u t a t i o n r a r -

r a n g e a b l e s c o m p o s s d e c o m m u t a t e u r s b i n a i r e s . U n s i m p l e a r g u m e n t d e c o m p t a g e m o n t r e

q u e l e n o m b r e d e c o m m u t a t e u r s n c e s s a i r e s p o u r c o n s t r u i r e u n r s e a u r a r r a n g e a b l e n n

( c a p a b l e d e r a l i s e r t o u t e s l e s p e r m u t a t i o n s d e s e s n e n t r e s v e r s s e s n s o r t i e s ) e s t a u m o i n s

d l o g

2

( n ! ) e = n l o g

2

n ; n l o g

2

e + o ( n ) , q u a n d n ! 1 . P o u r n = 2

r

, l e r s e a u d e B e n e

r - d i m e n s i o n n e l f o u r n i t u n e s o l u t i o n u t i l i s a n t n l o g

2

n ;

n

2

c o m m u t a t e u r s . W a k s m a n , e t

i n d p e n d a m m e n t G o l d s t e i n e t L e i b h o l z , o n t a m l i o r c e t t e c o n s t r u c t i o n e n u t i l i s a n t n l o g

2

n ;

n + 1 c o m m u t a t e u r s . N o u s d o n n o n s u n e g n r a l i s a t i o n d e c e r s u l t a t p o u r t o u t e v a l e u r d e n ,

e n u t i l i s a n t

P

n

i = 1

d l o g

2

( i ) e c o m m u t a t e u r s . L ' a l g o r i t h m e d e r o u t a g e u t i l i s d a n s l e s r s e a u x

d e B e n e e s t g a l e m e n t g n r a l i s p o u r n o t r e c o n s t r u c t i o n . E n n , n o u s t r a i t o n s l a t o l r a n c e

a u x p a n n e s d e c e s r s e a u x .

M o t s - c l : c o m m u t a t i o n , r s e a u x m u l t i - t a g e s , r s e a u x d e p e r m u t a t i o n , r a r r a n g e a b i l i t ,

t o l r a n c e a u x p a n n e s .



O n A r b i t r a r y W a k s m a n N e t w o r k s a n d t h e i r V u l n e r a b i l i t y 1

1 M o t i v a t i o n

T h e f o l l o w i n g p r o b l e m a r i s e s i n n e t w o r k d e s i g n f o r t e l e c o m m u n i c a t i o n s a t e l l i t e s . I n c o m i n g

a u d i o o r v i d e o s i g n a l s a r e t o b e r e l a y e d t o o u t p u t a m p l i e r s t h r o u g h a n o n - b o a r d n e t w o r k

o f w a v e g u i d e s a n d s w i t c h i n g e l e m e n t s e a c h h a v i n g 4 p o r t s . E a c h e l e m e n t c a n b e s e e n a s

a 2 2 s w i t c h w h i c h c a n b e s e t i n a d i r e c t - c o n n e c t i o n s t a t e o r a c r o s s e d - c o n n e c t i o n s t a t e .

F u r t h e r m o r e , o n c e o n b o a r d , a m p l i e r s c a n f a i l a n d t h e s w i t c h e s c a n l o c k i n o n e s t a t e a n d

r e m a i n b l o c k e d i n i t .

I n 6 , 1 2 ] i t i s a s s u m e d t h a t a m p l i e r f a i l u r e s c a n o c c u r a n d t h a t a n y i n p u t s i g n a l c a n b e

r o u t e d p o s s i b l y t o a n y o u t p u t a m p l i e r . I n c o n t r a s t , w e c o n s i d e r i n t h i s p a p e r t h e c a s e w h e r e

a m p l i e r s d o n o t f a i l a n d w h e r e e a c h i n c o m i n g s i g n a l n e e d s a s p e c i c a m p l i e r , a c c o r d i n g

t o t h e g e o g r a p h i c a l a r e a s t a r g e t t e d , t h e t r a c v a r i a t i o n s a n d / o r t h e c o m p a t i b i l i t y b e t w e e n

s i g n a l s a n d a m p l i e r s .

F o r m a n y r e a s o n s ( l a y o u t p r o p e r t i e s , r e l i a b i l i t y , e n e r g y s a v i n g , e t c ) , b u t m a i n l y t o d e -

c r e a s e l a u n c h c o s t s , i t i s c r u c i a l t o m i n i m i z e t h e n e t w o r k p h y s i c a l w e i g h t , i . e . t o m i n i m i z e

t h e n u m b e r o f s w i t c h e s , t h e n u m b e r o f l i n k s ( w a v e g u i d e s ) a n d t h e i r l e n g t h . A s l a u n c h c o s t s

a r e d r a m a t i c a l l y h i g h , i t i s w o r t h s a v i n g e v e n o n e s w i t c h . I n t h e c a s e o f s w i t c h b l o c k i n g

t h e p r o b l e m b e c o m e s m i n i m i z i n g t h e n u m b e r o f a d d i t i o n a l s w i t c h e s n e e d e d t o g u a r a n t e e t h e

s a t e l l i t e ' s p u r p o s e , d e s p i t e a n u m b e r o f p o s s i b l e f a u l t y s w i t c h e s d e t e r m i n e d b y t h e e x p e c t e d

s a t e l l i t e l i f e t i m e . T h i s d i c u l t p r o b l e m i s t a c k l e d a t t h e e n d o f t h i s p a p e r , i n c a s e o f o n l y

o n e f a u l t y s w i t c h a n d w i l l b e t h e s u b j e c t o f a f o r t h c o m i n g p a p e r 1 ] , i n c a s e o f a n a r b i t r a r y

n u m b e r o f f a u l t s .

A p r a c t i c a l w a y t o r e a l i z e s u c h n e t w o r k s i s t o u s e t h e c l a s s i c a l m u l t i s t a g e p e r m u t a t i o n

n e t w o r k s w e l l s t u d i e d f o r b o t h t e l e c o m m u n i c a t i o n a n d p a r a l l e l a p p l i c a t i o n s . I n s e c t i o n 2 w e

r e c a l l s o m e d e n i t i o n s o n r e a r r a n g e a b l e p e r m u t a t i o n n e t w o r k s a n d t h e k n o w n r e s u l t s . I n

s e c t i o n 3 w e p r e s e n t a c o n s t r u c t i v e w a y o f b u i l d i n g a n a r b i t r a r y s i z e p e r m u t a t i o n n e t w o r k

a n d w e g i v e t h e a s s o c i a t e d r o u t i n g a l g o r i t h m . T h i s i m p r o v e s o n p r e v i o u s r e s u l t s i n t e r m s o f

t h e s w i t c h c o u n t , a s s h o w n b y T a b l e 1 , a n d b y c o m p u t a t i o n i n s e c t i o n 4 . F i n a l l y i n s e c t i o n 5

w e e x t e n d o u r r e s u l t s i n c a s e o f o n e f a u l t y s w i t c h .

2 R e a r r a n g e a b l e P e r m u t a t i o n N e t w o r k s

A s w i t c h i n g n e t w o r k i s a n a r r a n g e m e n t o f s w i t c h e s a n d t r a n s m i s s i o n l i n k s a l l o w i n g s o m e

i n p u t t e r m i n a l s ( o r s i g n a l s ) t o b e c o n n e c t e d t o s o m e o u t p u t t e r m i n a l s ( o r a m p l i e r s ) b y

e d g e - d i s j o i n t p a t h s . S u c h a n e t w o r k c a n p o t e n t i a l l y p e r f o r m a l l o r o n l y s o m e o f t h e p o s s i b l e

c o n n e c t i o n s o f i t s i n p u t s t o i t s o u t p u t s , b u t i s u s u a l l y r e s t r i c t e d t o o n e - t o - o n e c o n n e c t i o n s .

A s w i t c h i n g n e t w o r k w i t h n i n p u t s a n d n o u t p u t s i s s a i d t o b e a r e a r r a n g e a b l e p e r m u t a t i o n

n e t w o r k i f , f o r a n y o n e - t o - o n e m a p p i n g o f t h e i n p u t s o n t h e o u t p u t s , t h e r e i s a s e t o f

e d g e - d i s j o i n t p a t h s c o n n e c t i n g t h e i n p u t i t o t h e o u t p u t ( i ) , f o r e a c h 1 i n .

A s s p e c i e d i n t h e i n t r o d u c t i o n w e r e s t r i c t o u r s e l v e s i n t h i s p a p e r t o b i n a r y p e r m u t a -

t i o n n e t w o r k s c o n s t r u c t e d s o l e l y f r o m b i n a r y s w i t c h e s . H o w e v e r , o u r r e s u l t s c a n b e e a s i l y

179



2 B e a u q u i e r & D a r r o t

e x t e n d e d t o k - a r y p e r m u t a t i o n n e t w o r k s w h e r e e v e r y s w i t c h c a n r e a l i z e a n y m a p p i n g o f i t s

k i n p u t s t o i t s k o u t p u t s .

S i n c e o n e b i n a r y s w i t c h h a s t w o p o s s i b l e s e t t i n g s , s s w i t c h e s h a v e 2

s

s e t t i n g s . N o t e t h a t

t h i s d o e s n o t i m p l y t h a t s s w i t c h e s w i l l r e a l i z e 2

s

d i s t i n c t n e t w o r k m a p p i n g s , a s d i e r e n t

s e t t i n g s c a n s o m e t i m e s p r o d u c e t h e s a m e n e t w o r k m a p p i n g . B u t a t l e a s t d l o g

2

( n ! ) e , o r a t

l e a s t n l o g

2

n ; 1 : 4 4 3 n f r o m S t i r l i n g ' s f o r m u l a , b i n a r y s w i t c h e s a r e n e e d e d t o r e a l i z e a l l n !

p o s s i b l e m a p p i n g s o f a n e t w o r k w i t h n i n p u t s a n d n o u t p u t s .

T h e r s t r e a r r a n g e a b l e b i n a r y p e r m u t a t i o n n e t w o r k w a s d e s i g n e d b y B e n e 2 , 3 , 4 ] a n d

w a s b a s e d o n t h e C l o s 3 - s t a g e n e t w o r k 8 ] . T h e r - d i m e n s i o n a l B e n e n e t w o r k c a n r e a l i z e

a n y p e r m u t a t i o n o f i t s n = 2

r

i n p u t s t o i t s n = 2

r

o u t p u t s o n e d g e - d i s j o i n t p a t h s , t h r o u g h

2 r ; 1 l e v e l s o f 2

r ; 1

s w i t c h e s , f o r a t o t a l o f n l o g

2

n ;

n

2

s w i t c h e s . B e n e n e t w o r k s a r e t h u s

a s y m p t o t i c a l l y o p t i m a l i n t e r m s o f t h e s w i t c h c o u n t . T h e 3 - d i m e n s i o n a l 8 8 B e n e n e t w o r k

i s s h o w n i n F i g u r e 1 ( a ) .

F u r t h e r w o r k s b y d i e r e n t a u t h o r s 9 , 1 0 , 1 1 , 1 3 ] h a v e s h o w n t h a t o n e s w i t c h c o u l d b e

s p a r e d a t e a c h s t e p o f t h e r e c u r s i v e c o n s t r u c t i o n o f B e n e n e t w o r k s , w i t h o u t a e c t i n g i t s

r e a r r a n g e a b i l i t y . W e c a l l W a k s m a n n e t w o r k s t h e c o r r e s p o n d i n g o p t i m i z e d n e t w o r k s , h a v i n g

n l o g

2

n ; n + 1 s w i t c h e s , n b e i n g a p o w e r o f t w o . T h e c a s e n = 8 i s s h o w n i n F i g u r e 1 ( b ) .

(a) (b)

F i g u r e 1 : A 8 8 B e n e n e t w o r k ( a ) a n d a 8 8 W a k s m a n n e t w o r k ( b )

R e c e n t l y C h a n g a n d M e l h e m 7 ] g a v e a g e n e r a l i z a t i o n o f B e n e n e t w o r k s f o r a n y n u m -

b e r n o f i n p u t s / o u t p u t s . A l t h o u g h t h e y w i s h t o r e d u c e t h e n u m b e r o f s w i t c h e s u s e d , t h e i r

c o n s t r u c t i o n d o e s n o t t a k e i n t o a c c o u n t t h e p o s s i b i l i t y o f s p a r i n g o n e s w i t c h i n t h e e v e n c a s e

o f t h e r e c u r s i o n , t h a t w e p r e s e n t h e r e .

W e c a l l a r b i t r a r y s i z e W a k s m a n n e t w o r k s ( A S - W a k s m a n ) o u r p e r m u t a t i o n n e t w o r k s a n d

S ( n ) d e n o t i n g t h e n u m b e r o f s w i t c h e s u s e d f o r a n y n u m b e r n o f t e r m i n a l s , w e o b t a i n :

S ( n ) = S

l

n

2

m

+ S

j

n

2

k

+ n ; 1 ( 1 )

=

n

X

i = 1

d l o g

2

( i ) e ( 2 )

180




N o t e t h a t t h i s r e s u l t i s m e n t i o n n e d i n a f o o t n o t e i n 1 1 ] ( p a g e 4 4 7 ) a n d i s a t t r i b u t e d t o

M . W . G r e e n , n o p u b l i c a t i o n b e i n g k n o w n t h o u g h . T a b l e 1 p r e s e n t s t h e v a l u e s o b t a i n e d b y

t h e d i e r e n t c o n s t r u c t i o n s .

n L o w e r b o u n d B e n e 2 ] A S - B e n e 7 ] W a k s m a n 1 3 ] A S - W a k s m a n

2 1 1 1 1 1

3 3 3 3

4 5 6 6 5 5

5 7 8 8

6 1 0 1 2 1 1

7 1 3 1 5 1 4

8 1 6 2 0 2 0 1 7 1 7

9 1 9 2 2 2 1

1 0 2 2 2 6 2 5

1 1 2 6 3 0 2 9

1 2 2 9 3 6 3 3

1 3 3 3 3 9 3 7

1 4 3 7 4 4 4 1

1 5 4 1 4 9 4 5

1 6 4 5 5 6 5 6 4 9 4 9

3 2 1 1 8 1 4 4 1 4 4 1 2 9 1 2 9

T a b l e 1 : C o m p a r a t i v e s w i t c h c o u n t .

3 N e t w o r k C o n s t r u c t i o n

T h r e e b i n a r y s w i t c h e s c a n b e u s e d t o c o n s t r u c t a 3 3 p e r m u t a t i o n n e t w o r k a s s h o w n i n

F i g u r e 2 ( a ) . T h i s n e t w o r k c a n b e s e e n a s b e i n g b u i l t f r o m a 2 2 n e t w o r k ( a s w i t c h ) a n d

a 1 1 n e t w o r k ( a l i n k ) . F i g u r e 2 ( b ) s h o w s t h e 4 4 W a k s m a n n e t w o r k u s i n g v e b i n a r y

s w i t c h e s . I t c a n b e s e e n a s b e i n g b u i l t f r o m t w o 2 2 p e r m u t a t i o n n e t w o r k s .

T h e p r o c e d u r e s u s e d t o c o n s t r u c t t h e s e n e t w o r k s c a n b e g e n e r a l i z e d t o r e c u r s i v e l y c o n s t r u c t

a n e t w o r k o f a n y s i z e . S p e c i c a l l y , a n n A S - W a k s m a n i s c o n s t r u c t e d r e c u r s i v e l y f r o m a n

A S - W a k s m a n o f s i z e d

n

2

e a n d a n A S - W a k s m a n o f s i z e b

n

2

c . W h e n n i s e v e n , t h e c o n s t r u c t i o n

i s s i m i l a r t o t h a t o f W a k s m a n . T h e n i n p u t s a r e c o n n e c t e d t o

n

2

s w i t c h e s a n d e a c h s w i t c h

i s c o n n e c t e d t o t w o A S - W a k s m a n n e t w o r k s o f s i z e

n

2

. A n y n ; 2 o u t p u t s a r e c o n n e c t e d t o

181




(a) (b)

F i g u r e 2 : A 3 3 A S - W a k s m a n n e t w o r k ( a ) a n d a 4 4 W a k s m a n n e t w o r k ( b )

n

2

; 1 s w i t c h e s a n d e a c h o f t h e m i s c o n n e c t e d t o t h e t w o A S - W a k s m a n s u b n e t w o r k s . T h e

l a s t t w o o u t p u t s a r e c o n n e c t e d d i r e c t l y t o t h e t w o s u b n e t w o r k s a s s h o w n i n F i g u r e 3 ( a ) .

T o c o n s t r u c t a n A S - W a k s m a n w h e n n i s o d d , a n y n ; 1 i n p u t s a r e c o n n e c t e d t o b

n

2

c

s w i t c h e s a n d e a c h s w i t c h i s c o n n e c t e d t o t h e A S - W a k s m a n o f s i z e b

n

2

c a n d t h e A S - W a k s m a n

o f s i z e d

n

2

e . S i m i l a r l y , a n y n ; 1 o u t p u t s a r e c o n n e c t e d t o b

n

2

c s w i t c h e s a n d e a c h s w i t c h

i s c o n n e c t e d t o t h e t w o A S - W a k s m a n s u b n e t w o r k s . T h e l a s t i n p u t a n d t h e l a s t o u t p u t a r e

c o n n e c t e d d i r e c t l y t o t h e A S - W a k s m a n o f s i z e d

n

2

e a s s h o w n i n F i g u r e 3 ( b ) .

d

n

2

e d

n

2

e

4

( a ) n e v e n ( b ) n o d d

1

2

3

b

n

2

c b

n

2

c

1

2

1

2

3

4

3

4 4

3

n - 3 n - 3 n - 4 n - 4

n - 3 n - 3 n - 2 n - 2

n - 1

n n

n - 1

n - 1

n - 2

n n

n - 1

n - 2

n

2

n

2

n

2

n

2

1

2

F i g u r e 3 : G e n e r a l c o n s t r u c t i o n o f A S - W a k s m a n n e t w o r k s

T h i s r e c u r s i v e p r o c e s s i s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 4 w h e r e a 9 9 A S - W a k s m a n i s b u i l t f r o m

a 4 4 A S - W a k s m a n a n d a 5 5 A S - W a k s m a n . I n g e n e r a l , a n n A S - W a k s m a n n e t w o r k

m a y b e c o n s t r u c t e d i n t h i s w a y , f o r a n y n .

R e m a r k : N o t i c e t h a t o u r c o n n e c t i o n r u l e s a l l o w m a n y p o s s i b l e c o n s t r u c t i o n s , a c c o r d i n g

t o w h i c h a n d h o w i n p u t s / o u t p u t s a r e c o n n e c t e d , a n d t h u s t h e y d e n e a c t u a l l y a f a m i l y o f

A S - W a k s m a n n e t w o r k s . N e v e r t h e l e s s , i n t h e g u r e s a n d f o r t h e m a i n p r o o f , w e s u p p o s e f o r

c o n v e n i e n c e t h a t i n p u t s 2 k ; 1 a n d 2 k a r e c o n n e c t e d t o t h e s a m e s w i t c h f o r 1 k n = 2 ,

182




a s w e l l a s o u t p u t s 2 l ; 1 a n d 2 l f o r 1 l ( n ; 1 ) = 2 , w h i l e t h e r e m a i n i n g c o n n e c t i o n s a r e

d i r e c t a s s h o w n i n F i g u r e 3 .

F i g u r e 4 : A 9 9 A S - W a k s m a n n e t w o r k

T h e o r e m 1 G i v e n a n y o n e - t o - o n e m a p p i n g o f n i n p u t s t o n o u t p u t s i n a n n A S -

W a k s m a n n e t w o r k , t h e r e i s a s e t o f e d g e - d i s j o i n t p a t h s f r o m t h e i n p u t s t o t h e o u t p u t s c o n n e c -

t i n g i n p u t i t o o u t p u t ( i ) f o r 1 i n .

P r o o f . T h e p r o o f i s b y i n d u c t i o n o n n . I f n = 1 o r n = 2 , t h e A S - W a k s m a n n e t w o r k

c o n s i s t s o f a s i n g l e l i n k o r a s i n g l e b i n a r y s w i t c h r e s p e c t i v e l y a n d t h e r e s u l t i s o b v i o u s .

H e n c e , w e a s s u m e t h a t t h e r e s u l t i s t r u e f o r t h e A S - W a k s m a n n e t w o r k s o f s i z e s b

n

2

c a n d

d

n

2

e . T h e k e y o f t h e i n d u c t i o n i s t o o b s e r v e t h a t t h e m i d d l e p a r t o f a n A S - W a k s m a n n e t w o r k

c o m p r i s e s t w o A S - W a k s m a n s u b n e t w o r k s . H e n c e , i t w i l l b e s u c i e n t t o d e c i d e w h e t h e r e a c h

p a t h i s t o b e r o u t e d t h r o u g h t h e u p p e r o r t h e l o w e r s u b n e t w o r k .

T h e o n l y c o n s t r a i n t s t h a t w e h a v e o n w h e t h e r p a t h s u s e t h e u p p e r o r l o w e r s u b n e t w o r k s

a r e t h a t p a t h s f r o m i n p u t s 2 k ; 1 a n d 2 k m u s t u s e d i e r e n t s u b n e t w o r k s f o r 1 k n = 2 ,

a s w e l l a s p a t h s t o o u t p u t s 2 l ; 1 a n d 2 l f o r 1 l ( n ; 1 ) = 2 . T h i s i s b e c a u s e e a c h s w i t c h

o n t h e r s t a n d l a s t l e v e l s o f t h e A S - W a k s m a n n e t w o r k h a s p r e c i s e l y o n e c o n n e c t i o n t o e a c h

o f t h e u p p e r a n d l o w e r s u b n e t w o r k s . T h e r e i s n o c h o i c e w h e n e i t h e r t h e i n p u t o r t h e o u t p u t

i s c o n n e c t e d d i r e c t l y t o a s u b n e t w o r k .

T h e r o u t i n g p r o b l e m t o r e a l i z e a n y g i v e n p e r m u t a t i o n c a n b e r e d u c e d t o a b i p a r t i t e e d g e

c o l o r i n g p r o b l e m a s f o l l o w s . I f n i s e v e n t h e n l e t n = 2 p a n d i f n i s o d d t h e n l e t n = 2 p ; 1 .

C o n s i d e r t h e b i p a r t i t e m u l t i g r a p h G

= ( V E ) w i t h v e r t e x s e t V = f u

k

v

k

g

1 k p

a n d w i t h

e d g e u

k

v

l

] 2 E i f t h e r e a r e i 2 f 2 k ; 1 2 k g a n d j 2 f 2 l ; 1 2 l g s u c h t h a t ( i ) = j .

F r o m t h i s d e n i t i o n , i t f o l l o w s t h a t G

h a s m a x i m u m d e g r e e 2 . I t i s a c l a s s i c a l r e s u l t f r o m

183




g r a p h t h e o r y ( s e e e . g . 5 ] ) , k n o w n a s K n i g - H a l l ' s t h e o r e m , t h a t t h e e d g e s o f a b i p a r t i t e

m u l t i g r a p h o f m a x i m u m d e g r e e c a n b e c o l o r e d u s i n g e x a c t l y c o l o r s , s o t h a t a d j a c e n t

e d g e s a r e a s s i g n e d d i e r e n t c o l o r s .

N o w w e a s s u m e t h a t t h e e d g e c o l o r i n g p r o b l e m i s s o l v e d f o r G

u s i n g t w o c o l o r s a n d w e

s h o w h o w t h i s l e a d s t o a r o u t i n g o f t h e p e r m u t a t i o n i n t h e n n A S - W a k s m a n n e t w o r k .

L e t c o l o r 1 b e t h e c o l o r a s s i g n e d t o t h e e d g e u

d

; 1

( n ) = 2 e

v

p

] . N o t e t h a t t h e p a t h c o n n e c t i n g

i n p u t

; 1

( n ) t o o u t p u t n m u s t u s e t h e l o w e r s u b n e t w o r k . T h u s , f o r e a c h i w e d e c i d e

t o r o u t e t h e p a t h f r o m i n p u t i t o o u t p u t ( i ) t h r o u g h t h e l o w e r s u b n e t w o r k i f t h e e d g e

u

d i = 2 e

v

d ( i ) = 2 e

] h a s c o l o r 1 a n d t h r o u g h t h e u p p e r s u b n e t w o r k i f i t h a s c o l o r 2 . I n c a s e o f

n o d d , a n o t h e r c o n s t r a i n t i s t h a t t h e p a t h c o n n e c t i n g i n p u t n t o o u t p u t ( n ) m u s t u s e t h e

l o w e r s u b n e t w o r k . H o w e v e r , t h e e d g e u

p

v

d ( n ) = 2

e ] h a s n e c e s s a r i l y c o l o r 1 , d u e t o a p a r i t y

a r g u m e n t .

I n t h i s m a n n e r , a l l p a t h s a r e a s s i g n e d t h e u p p e r o r l o w e r s u b n e t w o r k s w i t h o u t c o n i c t ,

i . e . w e c a n s e t t h e s w i t c h e s a t t h e r s t a n d l a s t l e v e l s o f t h e A S - W a k s m a n n e t w o r k s o t h a t

b o t h e n d s o f e v e r y p a t h a r e c o n n e c t e d t o t h e s a m e s u b n e t w o r k . T h e r e m a i n d e r o f t h e p a t h

r o u t i n g a n d s w i t c h s e t t i n g i s h a n d l e d b y i n d u c t i o n i n t h e s u b n e t w o r k s . H e n c e , w e h a v e

e s t a b l i s h e d t h e i n d u c t i v e h y p o t h e s i s , t h e r e b y p r o v i n g t h e t h e o r e m . 2

A s a n e x a m p l e , w e i l l u s t r a t e t h e r o u t i n g a l g o r i t h m i n F i g u r e 5 f o r t h e m a p p i n g

=

1 2 3 4 5 6 7 8 9

8 7 6 9 1 4 3 2 5

!

i n a 9 9 A S - W a k s m a n n e t w o r k . T h e a s s o c i a t e d b i p a r t i t e m u l t i g r a p h G

i s d r a w n o n t h e

l e f t a n d t h e e d g e c o l o r i n g i n d u c e s t h e s u b n e t w o r k a s s i g n m e n t f o r e a c h c o n n e c t i o n b e t w e e n i

a n d ( i ) . T h e r o u t i n g i n s i d e e a c h s u b n e t w o r k c a n b e o b t a i n e d r e c u r s i v e l y b y t h e s a m e

p r o c e d u r e .

u1

u2

u3

u4

u5

v1

v2

v3

v4

v5

5

6

7

1

3

9

8

4

2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

F i g u r e 5 : R o u t i n g a p e r m u t a t i o n i n a 9 9 A S - W a k s m a n b y b i p a r t i t e e d g e c o l o r i n g .

184




4 S w i t c h C o u n t

I n t h i s s e c t i o n , w e c o m p u t e t h e n u m b e r o f b i n a r y s w i t c h e s u s e d f o r a n n A S - W a k s m a n

n e t w o r k , t h a t w e d e n o t e b y S ( n ) .

T h e o r e m 2 F o r a n y n 1 , t h e n u m b e r o f b i n a r y s w i t c h e s u s e d f o r t h e r e a r r a n g e a b l e n n

A S - W a k s m a n p e r m u t a t i o n n e t w o r k i s S ( n ) =

P

n

i = 1

d l o g

2

( i ) e .

P r o o f . T h e p r o o f i s b y i n d u c t i o n o n n . A s S ( 1 ) = 0 , t h e r e s u l t i s t r u e f o r n = 1 . F r o m

t h e r e c u r s i v e c o n s t r u c t i o n g i v e n i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , w e h a v e f o r a n y n 2 ,

S ( n ) = S

l

n

2

m

+ S

j

n

2

k

+ n ; 1

N o t e t h a t f o r a n y t w o p o s i t i v e i n t e g e r s i a n d r , i f 2

r ; 1

< i 2

r

t h e n 2

r

< 2 i ; 1 < 2 i 2

r + 1

,

h e n c e d l o g

2

( 2 i ; 1 ) e = d l o g

2

( 2 i ) e = d l o g

2

( i ) e + 1 . T h u s , r e c a l l i n g t h a t l o g

2

( 1 ) = 0 , w e

h a v e :

S ( n ) =

d n = 2 e

X

i = 1

d l o g

2

( i ) e +

b n = 2 c

X

i = 1

d l o g

2

( i ) e + n ; 1

=

d n = 2 e

X

i = 2

( d l o g

2

( i ) e + 1 ) +

b n = 2 c

X

i = 1

( d l o g

2

( i ) e + 1 )

=

d n = 2 e

X

i = 2

d l o g

2

( 2 i ; 1 ) e +

b n = 2 c

X

i = 1

d l o g

2

( 2 i ) e =

n

X

j = 1

d l o g

2

( j ) e

T h e i n d u c t i v e h y p o t h e s i s b e i n g s a t i s e d , t h e p r o p o s i t i o n h o l d s . 2

C o r o l l a r y 3 F o r a n y n 1 , S ( n ) n l o g

2

n ; 0 : 9 1 n + 1 .

I n d e e d , a d i e r e n t c o m p u t a t i o n a p p r o a c h c a n g i v e a m o r e e x p r e s s i v e v a l u e : S ( n ) =

n l o g

2

n ; n ( 2

; ) + 1 , w h e r e = d l o g

2

( n ) e ; l o g

2

n . T h i s a l l o w s t o e s t i m a t e t h e w o r s t

c a s e o b t a i n e d f o r = ; l o g

2

( l o g

2

e ) 0 : 5 3 . N o t e t h a t w h e n n i s a p o w e r o f t w o , i t c a n b e

c o m p u t e d b y i n d u c t i o n t h a t S ( n ) = n l o g

2

n ; n + 1 .

5 F a u l t - T o l e r a n c e I s s u e

N o w w e c o n s i d e r t h e p o s s i b i l i t y f o r s w i t c h e s t o l o c k a n d r e m a i n d e n i t i v e l y i n t h e s a m e s t a t e .

A s w i t c h i n g n e t w o r k w i t h n i n p u t s / o u t p u t s i s s a i d t o b e a k - t o l e r a n t p e r m u t a t i o n n e t w o r k

i f , f o r a n y o n e - t o - o n e m a p p i n g o f t h e i n p u t s o n t h e o u t p u t s a n d f o r a n y k s w i t c h e s b l o c k e d

e a c h i n a n y s t a t e , t h e r e i s a s e t o f e d g e - d i s j o i n t p a t h s c o n n e c t i n g t h e i n p u t i t o t h e o u t p u t

( i ) , f o r e a c h 1 i n . W e d e n o t e b y N ( n k ) t h e m i n i m u m n u m b e r o f s w i t c h e s f o r s u c h a

n e t w o r k . I n t h i s p a p e r w e r e s t r i c t o u r s e l v e s t o 1 - t o l e r a n t p e r m u t a t i o n n e t w o r k s .

185




T h e o r e m 4 F o r a n y n 1 , N ( 2 n 1 ) 2 N ( n 1 ) + 2 n .

P r o o f . T h e p r o o f i s b a s e d o n t h e c o n s t r u c t i o n i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 6 . B o t h t h e 2 n

i n p u t s a n d t h e 2 n o u t p u t s a r e c o n n e c t e d t w o b y t w o t o 2 n s w i t c h e s a n d e a c h s w i t c h i s

c o n n e c t e d t o t w o 1 - t o l e r a n t p e r m u t a t i o n n e t w o r k s o f s i z e n . W e c l a i m t h a t t h i s 2 n 2 n

n e t w o r k , m a d e o f t w o n n 1 - t o l e r a n t n e t w o r k s u s i n g e a c h N ( n 1 ) s w i t c h e s , i s a 1 - t o l e r a n t

p e r m u t a t i o n n e t w o r k .

A c t u a l l y w e h a v e a s t r o n g e r r e s u l t : a n y p e r m u t a t i o n c a n b e r e a l i z e d d e s p i t e o n e f a u l t y

s w i t c h i n e a c h s u b n e t w o r k , p l u s o n e f a u l t y s w i t c h a t t h e r s t o r l a s t l e v e l . I n d e e d , i n t h i s

c a s e e a c h s u b n e t w o r k c a n s t i l l h a n d l e b y a s s u m p t i o n a n y m a p p i n g o f i t s n i n p u t s t o i t s

n o u t p u t s . M o r e o v e r , o n e s w i t c h l o c k i n g a t t h e r s t o r l a s t l e v e l c o r r e s p o n d s t o h a v e t h e

t w o a s s o c i a t e d i n p u t s o r o u t p u t s d i r e c t l y c o n n e c t e d t o t h e t w o s u b n e t w o r k s , s i m i l a r l y t o

t h e c o n s t r u c t i o n o f e v e n A S - W a k s m a n n e t w o r k s . T h u s , t h e a r g u m e n t s u s e d i n t h e p r o o f o f

T h e o r e m 1 c a n b e e a s i l y a d a p t e d t o d e c i d e t h r o u g h w h i c h s u b n e t w o r k e a c h p a t h i s t o b e

r o u t e d , t h e r e b y p r o v i n g o u r c l a i m . 2

1-tolerant

n X n

1-tolerantn X n

2n

2n-1

2n-2

2n-3

3

4

2

1

2n-3

2n-2

2n-1

2n

4

2

1

3

F i g u r e 6 : C o n s t r u c t i o n o f e v e n 1 - t o l e r a n t p e r m u t a t i o n n e t w o r k s .

U n f o r t u n a t e l y , n o s i m i l a r g o o d c o n s t r u c t i o n i s k n o w n f o r t h e o d d c a s e . T h e l a s t r e s u l t

i s t h u s i n t e r e s t i n g o n l y t o b u i l d a t w i c e l a r g e r 1 - t o l e r a n t p e r m u t a t i o n n e t w o r k w h e n a g o o d

o n e i s a l r e a d y k n o w n . F o r t h i s p u r p o s e w e p r e s e n t n o w i n F i g u r e 7 s o m e 1 - t o l e r a n t n e t w o r k s

o b t a i n e d b y h a n d f o r n = 3 4 5 6 . F o r s p a c e r e a s o n s p r o o f s a r e o m i t t e d b u t c a n b e d o n e

b y r e s t r i c t e d c a s e a n a l y s i s . T h e s e c o n s t r u c t i o n s t o g e t h e r w i t h t h e p r o o f o f T h e o r e m 4 g i v e

r i s e t o t h e s u m m a r y o f r e s u l t s p r e s e n t e d i n T a b l e 2 .

S i z e 2 3 4 5 6 8 1 0 1 2 1 6

S w i t c h e s 2 5 7 1 1 1 4 2 2 3 2 4 0 5 0

T a b l e 2 : N u m b e r o f s w i t c h e s f o r 1 - t o l e r a n t p e r m u t a t i o n n e t w o r k s .

186




(a)

(b)

(c)

(d)

F i g u r e 7 : 1 - t o l e r a n t p e r m u t a t i o n n e t w o r k s f o r n = 3 ( a ) , n = 4 ( b ) , n = 5 ( c ) a n d n = 6 ( d ) .

6 C o n c l u s i o n

T h i s p a p e r h a s p r o v i d e d a s i m p l e w a y f o r b u i l d i n g r e a r r a n g e a b l e p e r m u t a t i o n n e t w o r k s o f

a r b i t r a r y s i z e n u s i n g

P

n

i = 1

d l o g

2

( i ) e b i n a r y s w i t c h e s . A n e c i e n t a l g o r i t h m f o r r o u t i n g

a n y p e r m u t a t i o n i n s u c h n e t w o r k s h a s b e e n g i v e n . T h e f a u l t - t o l e r a n c e i s s u e h a s a l s o b e e n

t a c k l e d i n t h e c a s e o f o n e l o c k e d s w i t c h . I t i s w o r t h p o i n t i n g o u t t h a t a l l t h e s e r e s u l t s c a n

e a s i l y b e a d a p t e d f o r r e a r r a n g e a b l e n e t w o r k s u s i n g p - a r y s w i t c h i n g e l e m e n t s .

I n a f o r t h c o m i n g p a p e r 1 ] , t h e f a u l t - t o l e r a n c e r e s u l t s w i l l b e e x t e n d e d b y p r e s e n t i n g

c o n s t r u c t i v e w a y s f o r b u i l d i n g k - t o l e r a n t p e r m u t a t i o n n e t w o r k s , f o r a n y n u m b e r k o f s w i t c h

f a u l t s .

R e f e r e n c e s

1 ] B . B e a u q u i e r a n d E . D a r r o t , R e a r r a n g e a b l e s w i t c h i n g n e t w o r k s t o l e r a n t t o s w i t c h l o c k s ,

M a n u s c r i p t ( t i t l e m a y c h a n g e ) .

2 ] V . B e n e , P e r m u t a t i o n g r o u p s , c o m p l e x e s , a n d r e a r r a n g e a b l e m u l t i s t a g e c o n n e c t i n g n e t -

w o r k s , B e l l S y s . T e c h . J o u r n a l 4 3 ( 1 9 6 4 ) 1 6 1 9 1 6 4 0 .

3 ] V . B e n e , M a t h e m a t i c a l T h e o r y o f C o n n e c t i n g N e t w o r k s a n d T e l e p h o n e T r a c , A c a d e m i c

P r e s s , N e w Y o r k ( 1 9 6 5 ) .

4 ] V . B e n e , A p p l i c a t i o n s o f g r o u p t h e o r y t o c o n n e c t i n g n e t w o r k s , B e l l S y s . T e c h . J o u r n a l

5 4 ( 1 9 7 5 ) 4 0 7 4 2 0 .

5 ] C . B e r g e , G r a p h s , N o r t h - H o l l a n d ( 1 9 8 5 ) .

6 ] J - C . B e r m o n d , E . D a r r o t a n d O . D e l m a s , D e s i g n o f f a u l t - t o l e r a n t o n - b o a r d n e t w o r k s i n

s a t e l l i t e s , M a n u s c r i p t .

187



1 0 B e a u q u i e r & D a r r o t

7 ] C . C h a n g a n d R . M e l h e m , A r b i t r a r y s i z e B e n e n e t w o r k s , P a r a l l e l P r o c e s s i n g L e t t e r s 7

( N o . 3 , S e p . 1 9 9 7 ) 2 7 9 2 8 4 .

8 ] C . C l o s , A s t u d y o f n o n - b l o c k i n g s w i t c h i n g n e t w o r k s , B e l l S y s . T e c h . J o u r n a l 3 2 ( 1 9 5 3 )

4 0 6 4 2 4 .

9 ] L . G o l d s t e i n a n d S . L e i b h o l z , O n t h e s y n t h e s i s o f s i g n a l s w i t c h i n g n e t w o r k s w i t h t r a n s i e n t

b l o c k i n g , I E E E T r a n s a c t i o n s o n E l e c t r o n i c C o m p u t e r s 1 6 ( 1 9 6 7 ) 6 3 7 6 4 1 .

1 0 ] A . J o e l , O n p e r m u t a t i o n s w i t c h i n g n e t w o r k s , B e l l S y s . T e c h . J o u r n a l 4 7 ( 1 9 6 8 ) 8 1 3 8 2 2 .

1 1 ] W . K a u t z , K . L e v i t t a n d A . W a k s m a n , C e l l u l a r i n t e r c o n n e c t i o n a r r a y s , I E E E T r a n s a c -

t i o n s o n C o m p u t e r s 1 7 ( N o . 5 , M a y 1 9 6 8 ) 4 4 3 4 5 1 .

1 2 ] S . P r e n n e s a n d D . T t h , D e s i g n o f f a u l t - t o l e r a n t o w n e t w o r k s , M a n u s c r i p t .

1 3 ] A . W a k s m a n , A p e r m u t a t i o n n e t w o r k , J o u r n a l o f t h e A C M 1 5 ( 1 9 6 9 ) 1 5 9 1 6 3 .

188



R s u m

L e s r s u l t a t s o b t e n u s d a n s c e t t e t h s e p o r t e n t p r i n c i p a l e m e n t s u r l ' t u d e d e s c o m m u -

n i c a t i o n s d a n s l e s r s e a u x o p t i q u e s p a r m u l t i p l e x a g e e n l o n g u e u r d ' o n d e .

I l s s ' i n s c r i v e n t d a n s u n e t h m a t i q u e d ' a l l o c a t i o n d e s r e s s o u r c e s e n v u e d e r a l i s e r d e s

c o m m u n i c a t i o n s d a n s u n r s e a u .

L a p r o b l m a t i q u e g n r a l e q u e n o u s a v o n s c o n s i d r e p e u t s e r s u m e r d e l a m a n i r e

s u i v a n t e . I l s ' a g i t d e s a t i s f a i r e d a n s u n r s e a u o p t i q u e u n e f a m i l l e d e r e q u t e s d e c o n -

n e x i o n , a p p e l e i n s t a n c e d e c o m m u n i c a t i o n e t f o r m e d e c o u p l e s d e n u d s ( s o u r c e ,

d e s t i n a t i o n ) . L a s a t i s f a c t i o n d ' u n e r e q u t e p a s s e p a r l ' a t t r i b u t i o n d ' u n c h e m i n d a n s l e

r s e a u e t d ' u n e l o n g u e u r d ' o n d e s u r l e s l i e n s u t i l i s s , a v e c l a c o n t r a i n t e q u e d e u x r e q u t e s

n e p e u v e n t p a s u t i l i s e r l e m m e l i e n a v e c l a m m e l o n g u e u r d ' o n d e . L ' o b j e c t i f d a n s c e

c a d r e e s t d e m i n i m i s e r l ' u t i l i s a t i o n d e s r e s s o u r c e s o p t i q u e s , c ' e s t - - d i r e l e n o m b r e t o t a l

d e l o n g u e u r s d ' o n d e p e r m e t t a n t d e s a t i s f a i r e l ' i n s t a n c e d o n n e .

D a n s l e c h a p i t r e 1 , n o u s p r s e n t o n s l a t e c h n o l o g i e o p t i q u e p o u r l e s t l c o m m u -

n i c a t i o n s , a n d e p r c i s e r l e c a d r e t e c h n i q u e d e n o t r e r e c h e r c h e e t d ' a i d e r l e l e c t e u r

i n f o r m a t i c i e n l a c o m p r h e n s i o n d e s c o n t r a i n t e s p h y s i q u e s s o u s - j a c e n t e s l a m o d l i -

s a t i o n t h o r i q u e . D a n s l e c h a p i t r e 2 , n o u s p o s o n s l a p r o b l m a t i q u e t u d i e a u c o u r s

multiplexage en longueur d'onde

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