mouvement rectiligne uniformément accéléré -...

OS, 01 novembre 2005 29

Mouvement rectiligne uniformément accéléré

• Mouvement d’un point matériel se déplaçant en lignedroite avec une accélération constante

– On cherche x(t)

– Solution:v(t) = a0 t + v0 , où v0 = v(0) = vitesse initialex(t) = a0 t2/2 + v0t + x0 , où x0 = x(0) = position initiale

– On vérifie la solution (quels que soient v0 et x0) en calculant ladérivée seconde de x(t).

– Cas particulier: a0 = 0 mouvement rectiligne uniforme

a(t) dv(t)dt = a0 = constante

O

xv(t)


Equation différentielle: première sensibilisation

• Nous allons « intégrer » l’équation du mouvement rectiligneuniformément accéléré:

Cherchons v(t) et x(t) avec les conditions v(0)=0 et x(0)=0

• On écrit (avec un abus de notation):v = dx/dt dx = v dta = dv/dt dv = a dt

• On divise l’intervalle de temps de 0 à t en N parties égalesdti = t/N= dt délimitant les temps ti = i dt:

˙ ̇ x d2xdt = a0

équation différentielle pourla fonction inconnue x(t)

Au tableau

« dt » = intervalle de temps très petit,« dx » = variation de x pendant dt« dv » = variation de v pendant dt

t0=0 t2 t3 t4 t5 tN=tt1 tN 1……...

dt1 dt2 dt3 dt4 dt5 dtN

Complément


Equ. diff.: première sensibilisation (suite)

• Variation de v dans l’intervalle dti: dvi = a0 dti

• Variation de x dans l’intervalle dti: dxi = v(ti) dti = a0 ti dti

Complément

v(t) = dvi i=1

N

= a0 dti i=1

N

= a0 dti i=1

N

= a0 t

v(t) = dv'0

t

= a0 dt'0

t

= a0 dt'0

t

= a0 t

limiteN

x(t) = dxi

i=1

N

= a0 ti dti i=1

N

= a0 i (dti )2 i=1

N

= a0 (dt)2 i i=1

N

= a0 tN( )

2 N(N+1)2 = a0 t 2

2 N+1N

x(t) = dx'0

t

= a0 t' dt'0

t

= a0 t' dt'0

t

= a0 t 2

2

limiteN


Galilée et la chute des corps

• Le mouvement « naturel » des corps estrectiligne uniforme (principe d’inertie);toute déviation est due à une force.

• La chute des corps (dans le vide, v0=0) estun mouvement rectiligne uniformémentaccéléré sous l’effet de la force depesanteur.– Prouvé expérimentalement par Galilée

• Galilée constate que la période d’unpendule est indépendante de sa masse m

force de pesanteur proportionnelle à m

Galileo Galilei (1564 1642)


Parenthèse sur Galilée

Téléscopede Galilée

Dessins de la Lunepar Galilée

Les quatre satellites de Jupiterdécouverts en 1610 par Galilée

Io (1996 Galileo)

Europa (1996 Galileo)

Ganymède(1996 Galileo)

Callisto(1972 Voyager)

Jupiter(1996 Galileo)

Sonde « Galileo»: 18 oct 1989 21 sep 2003


Lois de Newton

• Lex prima (loi d’inertie):– « Tout corps persévère dans l’état de repos ou de

mouvement uniforme en ligne droite à moinsqu’une force n’agisse sur lui et ne le contraigne àchanger d’état »

• Lex secunda:– « Les changements dans le mouvement d’un

corps sont proportionnels à la force et se fontdans la direction de la force »

• Lex tertia (action-réaction):– « A chaque action, il y a toujours une réaction

égale et opposée; si un corps exerce une force surun autre, cet autre corps exerce une force égale etopposée sur le premier »

Sir Isaac Newton (1642 1727)

« Philosophiae Naturalis Principia Mathematica » (1687)

r F = m

r a

mouvement rectiligne uniforme r F = 0

r F 1 2 =

r F 2 1


Force de pesanteur et chute des corps

• Modèle phénoménologique:– l’attraction terrestre donne lieu à

force verticale (appelée le poids)proportionnelle à la masse m:

F = mg– facteur de proportionnalité:

g constante = 9.8 m/s2

• Application de la 2ème loi de Newton:– Si le poids est la seule force appliquée

à un point matériel:F = ma a = g = constante

dans le vide les corps ont unmouvement uniformément accéléréd’accélération g

démo « tube de Newton »

démo « mesure de g »

F = mg

F = ma x

v0=0

v1

v2

0.0 m = x0 au temps t0 = 0 x = g t2 / 2

0.5 m = x1 au temps t1

g = 2x1 / t12

1.0 m = x2 au temps t2

g = 2x2 / t22


Projectile sous l’effet de la force de pesanteur

• On peut toujours choisir un repèreOxyz (avec z vertical) tel quel lesconditions initiales s’écrivent:

• Application de la loi de Newton, , dans chacune des directions x, y, z:

• En éliminant t, on obtient l’équation d’une parabole dans le plan y=0:

Au tableau

r x 0 =

x0

y0

z0

=

0

0

0

r v 0 =

v0x

v0y

v0z

=

v0x

0

v0z

m˙ ̇ x = 0 x(t) = v0xt + x0 = v0xtm˙ ̇ y = 0 y(t) = v0yt + y0 = 0

m˙ ̇ z = mg z(t) = 12 gt 2 + v0zt + z0 = 1

2 gt 2 + v0zt

z = 12 g xv0x

2

+ v0z xv0x

yx

z

v0mg

O

r g =

00g

r F = m

r a


Décomposition du mouvement balistique

• Le mouvement d’un corps enchute libre peut être vu commela superposition de deuxmouvements:– un mouvement rectiligne

horizontal uniforme

– un mouvement rectiligne verticaluniformément accéléré

démo : deux boules, dont les conditionsinitiales ne diffèrent que par lavitesse horizontale, touchent lesol en même temps

x(t) = v0xtz(t) = 1

2gt2

x

z

x(t) = v0xt

z(t) = 12gt2


Plan incliné sans frottement (table à air)

z

y

xmg

N

F = mg + N = ma

Projection sur axe x: Fx = 0Projection sur axe y: Fy = mg cos N = 0Projection sur axe z: Fz = mg sin = maz

r a =

0

0

g sin

N = force de « liaison » quicontraint le point matériela rester sur le plan incliné(perpendiculaire au plan)

démos avec petit « g »: 1) a indép. de m, 2) intersection balistique


Expérience de Stévin (1548 1620)• Une masse est suspendue à deux fils obliques dont on mesure

les tensions avec des dynamomètres démo

• La diagonale verticale du parallélogramme construit sur lesdeux vecteurs forces est indépendante de la direction des fils

• Conclusion: il est possible de représenter l’effet global desdeux forces au moyen d’une seule force égale à F1+F2– cette résultante est en l’occurrence opposée au poids de la masse

puisque cette dernière est à l’équilibre (immobile)

F1F2

F2

F1

F2

F1


Balistique avec frottement dans l’air

• Notre modèle balistique avecF=mg est-il bon ?

– vz(t) ne croît pas à l’infini !

• Modèle plus réaliste:– On tient compte de la résistance

de l’air

– Force de frottement opposéeà la vitesse: , b = constante

• Attention:– Les forces s’additionnent comme des vecteurs

– La 2ème loi de Newton s’applique enutilisant la somme vectorielle des forces(comme dans l’exemple précédent de la table à air)

yx

z

v0

mg

O

bv

mg

bv

F=ma

r F frot = b

r v

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