Mouvement de rotation d’un solide

autour d’un axe fixe

Cadre de référence :

Abscisse angulaire –accélération angulaire.

Relation fondamentale de la dynamique dans le cas de la rotation autour d'un axe fixe

-rôle du moment d'inertie.

Mouvement d'un système mécanique (Translation et rotation autour d'un axe fixe).

1- Paramètres angulaires :

1-1- Abscisse angulaire :

Lorsqu’un corps est en rotation autour d’un axe fixe, tous ses points (sauf les

points constituant l’axe de rotation) sont animés de mouvements circulaires.

Les plans des trajectoires circulaires sont perpendiculaires à l’axe de

rotation.

Soit M un point d’un solide en rotation autour d’un axe fixe (Δ) passant par O.

L’axe (Ox) est choisi comme axe de référence.

Pour repérer la position de M sur sa trajectoire circulaire peut-être repérée

par l’abscisse ( , )OA OM appelée abscisse angulaire.

1-2- Vitesse angulaire :

La vitesse angulaire moyenne est le taux de variation de l’abscisse

angulaire par unité de temps t

.

On définit sa valeur instantanée à un instant t par :

0t

dlim

t dt

On la note

Donc : d

dt

Unité rad.s

-1

Elle est reliée à la vitesse linéaire ds

vdt

(s = r θ : abscisse curviligne) par :

( )ds d r dv r

dt dt dt

Donc : v r

1-3- Accélération angulaire :

L’accélération angulaire est le taux de variation de la vitesse angulaire par unité de temps.

On la définit à un instant t par :

0tlim

t

On la note

Donc :

2

2

d d

dt dt

Unité : rad.s-2

1-4- Composantes de l’accélération dans le repère de Frenet :

On a : t

dva

dt t

a r

On a aussi : 2

n

va

r

2

na r

1-5- Mouvement circulaire uniformément varié:

Un mouvement de rotation est uniformément varié si 0teC .

Conditions initiales :

00( t ) et 00 θ( t ) .

On a : θd

dt

Donc : 0t

Et on a aussi : d

dt

Donc : 0 0

1²

2t t

Remarque :

L’angle de rotation entre l’instant t = 0 et l’instant t est :

0

Il est relié au nombre n de tours effectué par :

Δθ = 2 π n

Application

L’expression de l’abscisse angulaire du point N d’un solide en rotation autour d’un axe fixe

est : θ(t) = 10 + 40t + 6 t est en (s) et θ en rad .

(a) Déterminer l’expression de la vitesse angulaire du point N en fonction du temps

(b) Déterminer l’expression de l’accélération angulaire du point N en fonction du temps

(c) Quelle est la nature du mouvement du point N

d) Quel est le nombre de tours effectué pendant Δt=2s

Correction

a) ̇ ( )

=20t +40

b) ̈ ̇

= 20 rad.s

-2

c) ̈ ̇

=Cte et la trajectoire est circulaire

donc le mouvement est circulaire uniformément varié

d) ϴ=126rad et à t=o

Δϴ=120rad et on sait que

=19,1 tour

2- Relation fondamentale de la dynamique :

Enoncé de la relation

Dans un repère galiléen la somme des moments des forces associées aux actions appliquées

au corps en rotation autour d’un axe fixe, est égale au produit du moment d’inertie par

rapport à l’axe (Δ) et l’accélération angulaire ̈

( ) =extF J M .

Méthode :

Pour résoudre un exercice d’un solide en mouvement de rotation il faut :

Application :

Choisir un référentiel

Faire l’inventaire des forces extérieures appliquées au système

Appliquer la deuxième loi de newton sur les corps en translation

Appliquer la relation fondamentale dans le cas du rotation d’un

solide autour

En déduire l’expression de l’accélération linéaire où l’accélération

angulaire

Exercice 1

On enroule sur la gorge d’une poulie de rayon r, un fil inextensible, de masse

négligeable et ne glisse pas sur sa gorge.

On fixe à l’autre extrémité libre du fil, un corps (S) de masse m.

On lâche (S) pour glisser sur un plan incliné d’un angle α par rapport au plan

horizontal.

Le moment d’inertie de la poulie par rapport à son axe de rotation est JΔ.

On néglige tous les frottements.

Trouver l’expression de l’accélération du mouvement du centre de gravité de (S) sur le plan

incliné.

Réponse :

Δ

2

m.g.sinαa

Jm

r