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Domaine Scientifique de Gerland 50 Avenue Tony Garnier – 69366 LYON CEDEX 07 Tél. (33) 04.37.28.74.40 – Fax (33) 04.37.28.76.32 E-mail : [email protected]

Mémoire présenté devant l’Institut de Science Financière et d’Assurances

le 30 Septembre 2008

pour l’obtention

du Master Recherche Sciences Actuarielle et Financière

Par : Khouloud MANDHOUJ

Titre : Analyse du Risque de Provisionnement en Assurance IARD et Enjeux dans le Cadre

de Futur Référentiel « Solvabilité 2 »

Confidentialité : Confidentiel (5 ans)

Composition du jury des mémoires : Entreprise : AXA France

Membres du jury des mémoires

M. AUGROS Jean-Claude

M. LAURENT Jean-Paul Directeurs de mémoire :

M. LEBOISNE Nicolas M. DALBARADE Emmanuel M. LOISEL Stéphane M. KUNTZ Sébastien M. PLANCHET Frédéric

M. QUITTARD-PINON François

M. RULLIERE Didier

M. TCHAPDA Idriss

Invité : Secrétariat :

Mme BARTHELEMY Diane

Mme BRUNET Marie Mme GARCIA Marie-José Mme GHAZOUANI Soundous Mme MOUCHON Marie-Claude

Bibliothèque : Mme SONNIER Michèle

MEMOIRE DU MASTER - ISFA – K. MANDHOUJ

RESUME

Mots Clés : Solvabilité 2, Capital, Solvabilité, SCR, Modèle interne, Value at Risk, Best Estimate, Risque de provisionnement à un an, Volatilité à un an, Provisionnement stochastique, Chain Ladder, Modèles Linéaires Généralisés, Modèle Bayésien, Incréments négatifs.

Dans le cadre du projet « Solvabilité 2 », la valorisation des provisions techniques doit se faire en valeur de marché. Cette valeur doit intégrer une marge de prudence liée à la volatilité des provisions qui définit le risque de provisionnement. Ce risque est dû à l’incertitude, sur le montant estimé des provisions (Best Estimate), résultante de caractère stochastique des règlements futurs des sinistres sur un horizon d’un an.

Cela systématise l’utilisation des techniques actuarielles stochastiques permettant de modéliser le risque de provisionnement et de mesurer le niveau de capital nécessaire pour le couvrir (SCR).

Afin d’atteindre ces deux objectifs, notre mémoire propose une approche basée sur des modèles stochastiques de provisionnement.

A ce titre, nous avons présenté deux modèles : le modèle de Chain Ladder Stochastique et le Modèle Linéaire Généralisé Bayésien qui tient compte des paiements incrémentaux négatifs. Ces modèles présentent l’avantage de disposer d’une information sur le caractère stochastique des règlements inconnus à effectuer dans un an (moyenne, variance, distribution empirique,…). Ainsi, en faisant appel aux techniques de simulation, nous pouvons déterminer la distribution prédictive des provisions sur laquelle seront évalués la volatilité à un an des réserves et le SCR du risque de provisionnement à un an (correspondant à une VaR 99,5%).

Nous avons appliqué notre approche sur une partie du portefeuille IARD d’un assureur de marché français. En comparant les résultats obtenus avec ceux du modèle actuel de mesure de risque de provisionnement à un an utilisé par cet assureur, nous avons conclu notre mémoire par les recommandations nécessaires afin d’améliorer ce modèle et le rendre plus adapté aux exigences du futur référentiel « Solvabilité 2 ».


ABSTRACT

Key Words: Solvency 2, Capital, Solvency, SCR, Internal model, Value at Risk, Best Estimate, One year reserve risk, One year volatility, Stochastic reserving, Chain Ladder, Generalized Linear Models, Bayesian model, Negative increments.

In the context of “Solvency 2”rules definition, the reserves must be evaluated at Market value. This evaluation must include a prudential margin linked to the reserves’ volatility defining the reserve risk.

The reserve risk is due to the uncertainty on the estimated amount of reserves (Best Estimate) resulted from the stochastic character of the future one year claims payments.

“Solvency 2” introduces the necessary use of stochastic and actuarial techniques enabling not only to model the reserve risk but also to measure the capital required to cover it (SCR).

To achieve these two objectives, our thesis detailed an approach based on stochastic reserving models.

We select two models: the Chain Ladder Stochastic Model and the Generalized Linear Model based on bayesian approach which addresses the problem of negative incremental claims. These models include information about the stochastic character of the one year unknown claims (mean, standard deviation, empirical distribution …). Thus, on the base of the stimulation techniques, one can have a predictive distribution of the Best Estimate, on which will be evaluated the reserves’ one year volatility and the SCR of the one year reserve risk (corresponding to the VaR 99,5%).

We applied our approach on the P&C resulting portfolio belongs to a french insurer. By comparing the different results with those of the insurer’s current model of the one year reserve risk, we concluded our thesis by the necessary recommendations to improve the current model and make it more adapted to “Solvency 2” requirements.


REMERCIEMENTS

Mes remerciements sont largement adressés à tous les membres de l’équipe Risk

Management d’AXA France pour l’accueil chaleureux qu’ils m’ont réservé.

Particulièrement, M. Emmanuel DALBARADE pour ses conseils précieux

et prolifiques.

Spécialement, M. Sébastien KUNTZ pour sa disponibilité et son aide, le soutien

et la confiance qu’il m’a témoignés tout au long de la préparation de ce mémoire.

J’adresse mes respectueux sentiments de gratitude à tout le personnel enseignant de

l’ISFA, notamment Monsieur le directeur Jean-Claude AUGROS.

Je tiens également à remercier vivement les membres de jury d’avoir accepté

d’évaluer ce travail.


SOMMAIRE

RESUME .............................................................................................................................................. 2

ABSTRACT ........................................................................................................................................ 3

REMERCIEMENTS ......................................................................................................................... 4

SOMMAIRE .......................................................................................................................................5

INTRODUCTION GENERALE ................................................................................................... 8

PARTIE 1 . FONDEMENTS DU RISQUE DE PROVISIONNEMENT EN

ASSURANCE IARD : DE SOLVABILITÉ 1 À SOLVABILITÉ 2 .................................... 12

INTRODUCTION ....................................................................................................................... 13 CHAPITRE 1 . LEGISLATION ACTUELLE DU CONTROLE DE SOLVABILITÉ AU

SEIN DE L’UNION EUROPÉENNE ....................................................................................... 14 1.1 Solvabilité 1 : Régime de solvabilité en vigueur dans l’Union Européenne ............... 14 1.2 Capital de Solvabilité : Définition et aspects réglementaires ...................................... 15 1.3 Les Provisions Techniques : Définition et aspects réglementaires (Exemple : French GAAP) .......................................................................................................................................... 17

1.3.1 Provisions pour les sinistres non encore survenus .................................................... 17 1.3.2 Provisions pour les sinistres survenus ........................................................................ 18

1.4 Critiques à l’encontre de Solvabilité 1 ............................................................................. 20 CHAPITRE 2 . SOLVABILITÉ 2 .............................................................................................. 22

2.1 Pilier 1 : Une approche économique pour le Passif fondée sur les risques .................. 24 2.1.1 Les Fonds Propres ......................................................................................................... 24 2.1.2 Les Provisions Techniques .......................................................................................... 25

2.1.2.1 Best Estimate ............................................................................................................ 25

2.1.2.2 Marge de Risque ...................................................................................................... 28 2.2 Le Risque de Provisionnement en Assurance IARD : Une nouvelle problématique introduite par Solvabilité 2 ...................................................................................................... 29

2.2.1 Définition du Risque de Provisionnement ................................................................... 30 2.2.2 Evaluation du Risque de Provisionnement .................................................................. 31

CONCLUSION ............................................................................................................................. 33

PARTIE 2 . MODÈLE INTERNE D’EVALUATION DU RISQUE DE PROVISIONNEMENT : FONDEMENTS THÉORIQUES ............................................... 35

INTODUCTION .......................................................................................................................... 36 CHAPITRE 1 . FONDEMENTS THÉORIQUES D’ÉVALUATION DU BEST

ESTIMATE DES PROVISIONS POUR SINISTRES À PAYER (PSAP) ......................... 37 1.1 Notations .............................................................................................................................. 37 1.2 Les Méthodes Chain Ladder ............................................................................................... 40

1.2.1 Méthode de Chain Ladder classique ............................................................................... 40 1.2.2 Méthode de Chain Ladder Stochastique : Le Modèle de Mack (1993) ...................... 42


1.2.4 Limites des méthodes Chain Ladder ............................................................................... 44 1.3 Les Modèles Linéaires Généralisés : Présentation Générale ......................................... 45 1.4 Modélisation des PSAP et la problématique de présence des incréments négatifs ... 48

1.4.1 Présentation du modèle GLM alternatif (Kunkler. [2006]) ......................................... 49 1.4.2 Approche Bayésienne pour l’estimation des réserves ................................................. 50

1.4.2.1 Rappel sur le modèle Bayésien ............................................................................... 51

1.4.2.2 Procédure d’estimation des réserves ....................................................................... 52

CHAPITRE 2 . TECHNIQUES DE SIMULATION .............................................................. 59 2.1 Simulation par inversion de la fonction de répartition ................................................. 59 2.2 Simulation de Monte Carlo par Chaîne de Markov ....................................................... 61

2.2.1 Méthode d’échantillonnage de GIBBS ........................................................................ 61 2.2.2 Application de la méthode d’échantillonnage de GIBBS à l’approche Bayésienne 63

CHAPITRE 3. VALUE AT RISK ................................................................................................ 65 3.1 Mesure de Risque ................................................................................................................. 65 3.2 Value at Risk ........................................................................................................................ 67

3.2.1 Définition ....................................................................................................................... 67 3.2.2 Les différentes approches de calcul de la VaR ........................................................... 68

3.3 Evaluation du risque de provisionnement par la VaR ................................................... 70 CONCLUSION ............................................................................................................................. 71

PARTIE 3 . ETUDE EMPIRIQUE ............................................................................................... 72 INTRODUCTION ....................................................................................................................... 73 CHAPITRE 1 . PORTEFEUILLE IARD ETUDIÉ .................................................................. 75

1.1 Portefeuille étudié ............................................................................................................... 75 1.2 Présentation des données ................................................................................................... 76 1.3 Outils .................................................................................................................................... 77

CHAPITRE 2 . MODÈLE ACTUEL DU RISQUE DE PROVISIONNEMENT D’AXA

FRANCE ......................................................................................................................................... 78 2.1 Notion de Coefficient de Variation ................................................................................... 78 2.2 Modèle Actuel du Risque de Provisionnement d’AXA France ...................................... 79

2.2.1 Risque de provisionnement sur l’horizon ultime du développement des paiements ................................................................................................................................................... 80 2.2.2 Risque de provisionnement sur un horizon d’un an ................................................. 81

2.3 Limites de la méthode actuelle d’évaluation et d’analyse du risque de provisionnement à un an ........................................................................................................... 84

CHAPITRE 3 . RISQUE DE PROVISIONNEMENT SUR L’HORIZON ULTIME DU

DEVELOPPEMENT DES PAIEMENTS ................................................................................ 86 3.1 Méthode Chain Ladder Stochastique ............................................................................... 86 3.2 Modèle GLM LogNormale basé sur l’approche Bayésienne ......................................... 87 3.3 Analyse des Résultats ......................................................................................................... 95

CHAPITRE 4. RISQUE DE PROVISIONNEMENT SUR UN HORIZON D’UN AN 101 4.1 Méthode Chain Ladder Stochastique : Approche Paramétrique ................................ 102 4.2 Modèle GLM LogNormale basé sur l’approche Bayésienne ....................................... 108 4.3 Analyse des Résultats ....................................................................................................... 111


4.4 SCR du risque de provisionnement à un an : Modèle Standard vs Modèle interne . 116 CONCLUSION ...…………………..……………………………………………………………121

CONCLUSION GENERALE .................................................................................................... 122

ANNEXES ....................................................................................................................................... 128 ANNEXE 1 . QUANTITATIVE IMPACT STUDIES (QIS) .............................................................. 129

ANNEXE 2 . CONSULTATION PAPERS (CP) ............................................................................... 131 ANNEXE 3 . RISQUES A PRENDRE EN COMPTE DANS LE CALCUL DU SCR…………….132 ANNEXE 4 . REGLEMENTS CUMULÉS DE SINISTRES ................................................................. 137 ANNEXE 5 . REGLEMENTS INCREMENTAUX DE SINISTRES ...................................................... 138 ANNEXE 6 . RESULTATS PAR BRANCHE DES ESTIMATIONS DES PARAMÈTRES DE LA

TENDANCE DES DONNÉES TRANSFORMÉES *z DU TRIANGLE MIXTE (MODELISÉES PAR UN GLM DE BERNOULLI) ..................................................................................................................... 139 ANNEXE 7 . RESULTATS PAR BRANCHE DES ESTIMATIONS A PRIORI DE LA MODELISATION GLM PAR L’APPROCHE BAYESIENNE ........................................................................................... 140 ANNEXE 8 . RESULTATS PAR BRANCHE DES ESTIMATIONS A POSTERIORI DE LA MODELISATION GLM PAR L’APPROCHE BAYESIENNE ................................................................ 147 ANNEXE 9 . QQPLOT DE LA LOI EXPONENTIELLE VS LES DONNÉES DU TRIANGLE COMPOSE Q .......................................................................................................................................................... 153 ANNEXE 10 . PROGRAMMES MATLAB .................................................................................... 155

BIBLIOGRAPHIE ......................................................................................................................... 165


INTRODUCTION GENERALE


En 2001, la Commission Européenne a lancé pour le secteur de l’assurance une

réforme de la réglementation européenne, sur les nouvelles normes de solvabilité,

dites les directives « Solvabilité 2 » qui introduisent des profonds changements en ce

qui concerne le passif d’une société d’assurance.

En effet, dans ce futur système de solvabilité trois principales valeurs de références

doivent être mesurées. La première définit le capital minimum à détenir pour exercer

une activité d’assurance, la seconde concerne le niveau des provisions techniques et

la troisième concerne le niveau des fonds propres (ou capital de solvabilité) à

constituer au passif en complément des provisions techniques et qui doit être fondé

sur une approche intégrée des risques, auxquels les assureurs sont confrontés,

permettant de l’évaluer à travers une mesure de risque facile à mettre en œuvre par

l’assureur.

En particulier, Solvabilité 2 a introduit un changement fondamental dans

l’évaluation des provisions pour sinistres à payer (PSAP) qui constituent l’élément

essentiel des passifs en Assurance IARD (pour Incendie Accidents et Risques

Divers), par le passage d’un environnement actuel déterministe, où aucune démarche

ou méthode n’est requise pour pouvoir déterminer le montant des provisions, à un

environnement méthodologique stochastique qui vise à anticiper les engagements

pris de l’assureur mais non encore réalisés. Ainsi, toute prédiction du montant des

provisions inclut une certaine incertitude qui sera capturée par « le risque de

provisionnement », ce qui conduira à mobiliser des ressources complémentaires

correspondant à un chargement en capital de solvabilité qu’il faut constituer afin de

le couvrir.

Les réflexions actuelles de la Commission Européenne sont orientées vers un choix

offert aux compagnies d’assurance afin d’évaluer ce chargement du capital :

l’utilisation de la formule standard ou la mise en œuvre d’un modèle interne.

La première option a été définie pour être commune à toutes les sociétés d’assurance

européennes, alors que la deuxième doit être fondée sur la réalisation d’une


modélisation personnalisée et globale du portefeuille d’assurance en adéquation avec

la réalité économique de l’ensemble des risques assurés.

Dans ce nouveau contexte, les sociétés d’assurance seront fortement incitées à

construire et à améliorer leurs modèles internes dans le but d’avoir une meilleure

gestion de leurs risques.

Leader sur le marché d’assurance français, la société d’assurance « AXA France » a

déjà construit son modèle interne de mesure et de gestion du risque de

provisionnement mais elle souhaite l’améliorer en recherchant des méthodes et des

approches plus robustes permettant de mieux appréhender ce risque.

Ainsi, la finalité de notre mémoire est double : il s’agit, d’une part, de proposer une

modélisation du risque de provisionnement d’une partie du portefeuille IARD

d’AXA France, et d’autre part, d’évaluer le chargement en capital nécessaire pour le

couvrir. Cette finalité sera basée sur des méthodes actuarielles et stochastiques de

provisionnement et tient compte notamment des exigences réglementaires du projet

Solvabilité 2 (horizon d’un an, modèle interne, …).

Pour atteindre ces objectifs, nous exposerons, dans une première partie, l’évolution

du contexte réglementaire de mesure des passifs en assurance IARD tout en nous

concentrant sur les provisions techniques. Pour ce faire, nous allons présenter dans

un premier chapitre la réglementation du passif dans le cadre actuel du projet

« Solvabilité 1 ». Le deuxième chapitre sera consacré à la présentation des nouveaux

aspects quantitatifs réglementaires introduits par le projet « Solvabilité 2 » pour

l’évaluation du niveau des fonds propres et les provisions techniques avant

d’aborder le risque de provisionnement en assurance IARD.

Le modèle interne sera la méthode privilégiée pour mesurer le chargement en

capital lié au risque de provisionnement dans le contexte de Solvabilité 2. Ainsi, et

avant toute étude technique, il nous a paru important de rappeler, dans la deuxième

partie, les fondements théoriques du modèle interne en soulignant trois principes

formant respectivement ses trois chapitres, à savoir : la modélisation des PSAP (à ce

titre, nous allons présenter deux méthodes : les méthodes de type Chain Ladder et les


Modèles Linéaires Généralisés), ensuite, les techniques de simulation de Monte Carlo

et enfin la mesure de risque Value at Risk.

La troisième partie sera consacrée à l’étude empirique qui illustre une mise en

œuvre pratique de mesure et d’analyse du risque de provisionnement d’une partie

du portefeuille IARD de la société d’assurance AXA France. Ainsi, après avoir

présenté dans un premier chapitre le portefeuille IARD étudié et dans un deuxième

chapitre le modèle actuel d’AXA France, nous allons procéder à l’évaluation du

risque de provisionnement sur l’horizon ultime du développement des paiements,

dans un troisième chapitre. Dans le quatrième chapitre, nous allons proposer deux

approches de mesure de chargement en capital lié au risque de provisionnement à un

an dans le cadre du modèle interne du projet Solvabilité 2, tout en comparant ce

montant du capital avec celui obtenu par la formule standard.

Enfin, et compte tenu des résultats obtenus et des analyses effectuées, nous allons

conclure notre étude par les recommandations qui permettent d’améliorer le modèle

actuel de mesure de risque de provisionnement à un an d’AXA France pour le

portefeuille IARD étudié.


PARTIE 1

FONDEMENTS DU RISQUE DE PROVISIONNEMENT EN ASSURANCE IARD :

DE SOLVABILITÉ 1 À SOLVABILITÉ 2


INTRODUCTION

Une société d’assurance se doit d’être solvable, c'est-à-dire de disposer un niveau

de passif (fonds propres et provisions techniques) permettant d’assumer ses

engagements vis-à-vis des assurés et des bénéficiaires de contrats.

L’importance des sommes en jeu a conduit l’Etat à établir des normes permettant le

contrôle de la solvabilité des compagnies d’assurance. Ces enjeux ont été repris au

niveau européen dans le but d’harmoniser les systèmes des différents Etats membres.

Dans cette optique d’harmonisation européenne, la Commission Européenne s’est

attachée à établir un système de solvabilité commun.

Dans un premier temps, elle a harmonisé les systèmes de marge de solvabilité

(Solvabilité 1). Puis elle a commencé à élaborer un référentiel unique dit « Solvabilité

2 » visant à mieux évaluer et intégrer le risque dans les contraintes imposées aux

assureurs en vue d’assurer un niveau suffisant des fonds propres pour couvrir tous

les risques liés à l’activité de la compagnie (risque de souscription, risque

opérationnel, risque de marché, …).

Dans ce nouveau contexte, Solvabilité 2 a introduit le risque de provisionnement

dans le risque de souscription qui constitue le principal risque de passif en assurance

IARD. Ainsi, ce risque doit être garanti par des fonds propres.

L’objectif de la première partie est de présenter l’évolution du contexte

réglementaire de l’évaluation du passif en assurance IARD qui constitue le

fondement du risque de provisionnement.

Pour atteindre cet objectif, nous allons présenter dans un premier chapitre la

réglementation actuelle du passif en assurance IARD dans le cadre de Solvabilité 1.

Dans un deuxième chapitre, nous allons présenter les nouveaux aspects quantitatifs

réglementaires introduits par le projet « Solvabilité 2 » pour l’évaluation du niveau

des fonds propres et les provisions techniques avant d’border le risque de

provisionnement en assurance IARD.


CHAPITRE 1

LEGISLATION ACTUELLE DU CONTROLE DE SOLVABILITÉ AU SEIN DE L’UNION EUROPÉENNE

En Europe, les premières réglementations1 sur la solvabilité ont été énoncées en

1973 pour le secteur non vie et 1979 pour le secteur vie, elles imposaient aux

assureurs de constituer un «matelas» de fonds propres pour faire face aux aléas de

leur activité. L'objectif du contrôle de la solvabilité était de permettre aux autorités de

contrôle d'identifier en amont les cas problématiques parmi les assureurs et donc de

mieux protéger les preneurs d'assurance.

1.1 Solvabilité 1 : Régime de solvabilité en vigueur dans l’Union Européenne

La réglementation sur la solvabilité n'a subi que peu de modifications depuis

l'adoption des directives dites « Solvabilité 1 » en février 2002, devenues plus

contraignantes depuis 2004. En effet, la législation n'a pas modifié le calcul de

solvabilité, se contentant d'ajouter certaines composantes pour mieux refléter la

situation réelle (relèvement du fonds minimum de garantie ainsi que du seuil dans le

calcul de l’exigence de marge de solvabilité pour le secteur non vie, composition des

fonds propres disponibles, …). Ainsi, « Solvabilité 1 » a conféré des droits

d’intervention étendus aux autorités du contrôle des sociétés d’assurance et elle a pu

renforcer les contrôles en imposant le respect permanent des exigences de solvabilité

(et pas seulement au moment de l’établissement des états financiers) que ce soit pour

l’assurance vie ou l’assurance IARD.

1 Les exigences de solvabilité ont été définies dans la première directive 73/239/CEE du Conseil pour les assureurs non vie et dans la première directive 79/267/CEE du conseil pour les assureurs vie.


Dans le cadre de Solvabilité 1, le système d’assurance IARD repose sur des règles

(Commission Européenne, [1973] et [2002]) relatives aux actifs (en particulier

l’investissement des montants en représentation des provisions) et aux passifs (calcul

de capital de solvabilité et des provisions techniques). Dans ce qui suit, nous nous

intéresserons aux règles relatives aux passifs.

Fig.1.1 : Cadre du projet Solvabilité 1 : Actifs et Passifs du Bilan d’une société d’assurance

1.2 Capital de Solvabilité : Définition et aspects réglementaires Le contrôle de la solvabilité adopté en Europe repose principalement sur des

règles régissant la dotation en fonds propres. Ainsi, « Solvabilité 1 » impose aux

assureurs de détenir des fonds propres équivalents à l'exigence de marge de

solvabilité ou au fonds minimum de garantie si celui-ci est plus élevé. Par

conséquent, l’assureur européen doit se conformer aux critères de solvabilité

suivants :


La Marge de Solvabilité Réglementaire

Elle vise à définir le montant des fonds propres indispensable à l'activité courante

de l'entreprise et elle représente une garantie supplémentaire qui vient s'ajouter aux

actifs détenus en contre partie des provisions techniques et permettant ainsi, de

garantir la solvabilité effective de l’entreprise.

En assurance IARD, la marge de solvabilité est calculée en pourcentage des primes

émises ou des sinistres. Pour cela, la réglementation exige une dotation à hauteur

soit de l'indice de primes, soit de l'indice de sinistres, le plus élevé étant retenu

(Commission Européenne. [2002]).

Ces indices sont calculés à l'aide des formules suivantes:

• Indice des primes= [(18%× première tranche de 50 millions EUR de primes

brutes) + (16%× primes brutes restantes)] × taux de rétention2 (50% au minimum)

• Indice des sinistres = [(26% ×première tranche de 35 millions EUR de sinistres

brutes) + (23% × sinistres brutes restants)] × taux de rétention

Notons que dans l’assurance Responsabilité Civile (RC), à l’exception de l’assurance

RC Automobile, et dans l’assurance transport et aviation, on applique un coefficient

de 1,5 à ces indices.

Fonds Minimum de Garantie

Il permet de garantir la solvabilité exigée qui désigne le niveau des fonds propres

auquel l’assureur est tenu de se conformer.

En assurance IARD, le fonds minimum de garantie est constitué du tiers de la marge

de solvabilité, avec un minimum de 0,2 à 1,4 millions euros selon la branche

d’activité.

2 Taux de rétention = Sinistres nets (après déduction de réassurances)/moyenne des sinistres brutes sur 3 mois.


1.3 Les Provisions Techniques : Définition et aspects réglementaires (Exemple : French GAAP3)

Le dispositif « Solvabilité 1 » précise que la législation des Etats membres est

applicable. Ainsi, chacun de ces Etats applique ses règles comptables pour définir et

estimer les montants des provisions techniques. Cette estimation « prudente »

correspond à leur valeur comptable définie par la somme non actualisée des

paiements futurs (y compris les frais de gestion des sinistres).

A titre d’exemple, nous allons présenter la réglementation comptable française (en

anglais, French GAAP).

Selon l’article R.331-1 du code des assurances, les assureurs doivent constituer des

«… provisions techniques suffisantes pour le règlement intégral de leurs

engagements vis-à-vis des assurés ou bénéficiaires des contrats ». Ainsi, les

provisions techniques sont des fonds constitués et inscrits au passif du bilan d’un

assureur pour les sinistres non encore réglés. Les actifs correspondant à ces

provisions sont financés par les primes payées par les preneurs d’assurance. Au cas

où ces primes ne seraient pas suffisantes, la différence doit être couverte par les

capitaux propres. En outre, les ajouts aux provisions doivent être enregistrés comme

des dépenses, alors que la libération des provisions est enregistrée comme revenu.

En assurance IARD, les provisions couvrent deux catégories de sinistres4 : les

sinistres non encore survenus et les sinistres survenus.

1.3.1 Provisions pour les sinistres non encore survenus

Elles regroupent la provision pour primes non acquises et la provision pour

risques en cours.

Generally Accepted Accounting Principles : Normes comptables françaises.

4 Ce sont les deux principales catégories, il y a aussi les autres provisions techniques comme la provision pour égalisation, la provision pour risque d’exigibilité des engagements techniques, …


Provision pour primes non acquises

C’est une provision destinée à constater, pour l’ensemble des contrats en cours, la

part des primes émises et des primes restant à émettre se rapportant à la période

comprise entre la date de l’inventaire et la date de la prochaine échéance de prime

(ou du terme du contrat). Le calcul de cette provision se fait au prorata temporis pour

chaque contrat et chaque catégorie comptable (art. R331-6, 2).

Provision pour risques en cours

Elle a pour objet de pallier une éventuelle insuffisance des tarifs. Ainsi, cette

provision est destinée à couvrir, pour l’ensemble des contrats en cours, la charge des

sinistres et des frais afférents aux contrats par la période s’écoulant entre la date

d’inventaire et la date de la première échéance de prime pouvant donner lieu à une

révision de la prime par l’assureur, ou, à défaut, entre la date d’inventaire et le terme

du contrat pour la part de ce coût qui n’est pas couverte par la provision pour primes

non acquises (art. R331-6, 2°bis).

1.3.2 Provisions pour les sinistres survenus

Ce sont les provisions pour les sinistres à payer « PSAP » (en anglais,

outstanding claims reserve) définies par « la valeur estimative des dépenses en

principal et en frais, tant internes qu’externes, nécessaires au règlement de tous les

sinistres survenus et non payés » (art. R331-6, 4°)5. Elles regroupent la provision pour

les sinistres déclarés et la provision pour les sinistres pas encore déclarés.

La provision pour les sinistres déclarés (provision dossier/dossier (D/D))

Cette provision concerne les sinistres ayant été notifiés à l’entreprise d’assurance et

dont l’année de déclaration correspond à l’année de survenance (voir Fig.1.2).

Réglementairement (art. R.331-15), la méthode d’évaluation de cette provision est la

méthode dossier-dossier (en anglais, case estimate). Dans ce cas, les gestionnaires des

sinistres évaluent chaque sinistre et estiment son coût final, non actualisé, dans les

5 La partie de la PSAP correspondant aux dépenses en frais est la provision pour frais futurs de gestion. Dans notre cas, elle est calculée forfaitairement en pourcentage de PSAP. Ainsi, nous ne distinguerons pas la PSAP et la provision pour frais futurs de gestion.


registres de l’entreprise et constituent, ainsi, une provision pour assurer le paiement

ultérieur des sinistres. De ce fait, ils contrôlent, le règlement de ces derniers et

s’assurent que le montant des provisions est adéquat.

Fig.1.2 : Provision pour les sinistres survenus et déclarés

La provision pour les sinistres pas encore déclarés (ou tardifs)

C’est la provision relative aux sinistres survenus et tardifs (en anglais IBNR6,

Incurred But Not Reported) dont l’année de déclaration est postérieure à l’année de

survenance (voir Fig.1.3).

Fig.1.3 : Provision pour les sinistres survenus et pas encore déclarés

(Cas où la déclaration sera faite après une année)

Bien que la règle générale en matière de provisionnement pour les sinistres survenus

soit l’évaluation « dossier-dossier », le code des assurances (depuis 1991) accepte

l’utilisation des méthodes statistiques7 (avec l’accord de la commission de contrôle

des assurances) pour l’évaluation de la provision pour « IBNR ».

6 Les sinistres IBNR regroupent les sinistres IBNER (Incurred But Not Enough Reported) qui sont les sinistres déclarés mais non suffisamment provisionnés, et les sinistres IBNYR (Incurred But Not Yet Reported) aussi appelés les « true IBNR » qui sont les sinistres survenus mais non encore déclarés. Ainsi, les incertitudes sur le montant des provisions pour les IBNER et IBNYR contribuent implicitement aux incertitudes existantes sur les IBNR. 7 Ces méthodes statistiques reposent principalement sur les données historiques de la sinistralité et elles sont d’autant plus performantes que les données sont stables, nombreuses et fiables.

1/1 /N 31/12 /N 31/12 /N+1 Sinistre

Provision

Déclaration

1er règlement Provision

…………………….......

Règlement définitif

31/12 /N+..

1/1 /N 31/12 /N 31/12 /N+1 Sinistre

Provision

Déclaration

1er règlement Provision

…………………….......

Règlement définitif

31/12 /N+..


1.4 Critiques à l’encontre de Solvabilité 1 Malgré la simplicité et la robustesse du dispositif Solvabilité 1, ses avantages

masquent certaines critiques quantitatives et qualitatives.

Critiques Quantitatives

• Il prend le passé comme la seule et l’unique référence et fait donc l’hypothèse

que le passé est un bon guide pour estimer le futur sans ajustement, ainsi, la

vision de « Solvabilité 1 » est uniquement rétrospective.

• Il ne fait aucune distinction entre les risques, quelle que soit leur volatilité à

l’intérieur d’une même branche (seul le montant souscrit impacte le calcul), or

les différentes lignes d’activité présentent des profils de risque très différents.

• Il ne porte que sur le montant espéré et non actualisé des provisions techniques

et l’évaluation de ces dernières ne repose pas sur une approche cohérente avec

la valorisation du marché.

• Il pénalise les entreprises qui sur-provisionnent leurs risques. Ainsi, les

assureurs plus prudents se trouvent désavantagés par rapport à leurs

concurrents, car ils immobilisent plus de capital dans leurs provisions

techniques et sont donc soumis à des exigences plus strictes en matière de

solvabilité.

Critiques Qualitatives

L’aspect qualitatif est complètement négligé. Cela peut être expliqué par plusieurs

raisons. D’abord, aucune surveillance n’est exercée sur le contrôle interne (pistes

d’audit, méthodes de gestion,…), ensuite, solvabilité 1 ne satisfait pas aux exigences

internationales notamment les normes IAS-IFRS8, et enfin, il est moins complet que

8 IAS (International Accounting Standards) : c’est l’ancien nom des normes comptables internationales. Les normes comptables internationales développées à partir du 1 Avril 2001 s’appellent IFRS (International Financial Reporting Standards). Certaines IAS ont été remplacées par des IFRS, d’autres sont toujours en vigueur. L’ensemble IAS/IFRS a été imposé comme cadre comptable par l’UE afin d’harmoniser la présentation et la clarté des états financiers des entreprises cotées.


d’autres systèmes internationaux de contrôle de solvabilité (comme ICAS9au

Royaume –Uni, la norme RBC10aux Etats-Unis,…).

A cause des critiques formulées à l’encontre de la réglementation en vigueur, la

commission européenne a été amenée à proposer une révision du système régissant

actuellement le contrôle de solvabilité dans l’UE (Commission Européenne. [2003]).

9 ICAS (Individual Capital Adequacy Standards) nouvelles normes prudentielles au Royaume-Uni qui incluent une définition de la marge de solvabilité en fonction du risque. 10 RBC (Risk Based Capital) : norme en vigueur du contrôle de solvabilité aux Etats-Unis depuis 1993 et qui exige aux sociétés d’assurance de détenir des fonds propres en fonction de leurs risques.


CHAPITRE 2

SOLVABILITÉ 2 En 2001, la Commission Européenne a lancé le projet « Solvabilité 2 » afin de revoir

le dispositif européen actuel de surveillance prudentielle des compagnies

d’assurance. Après le lancement d’une large consultation organisée par le CEIOPS 11

en fin de 2005 (par les Consultation Papers 12) et à travers des études d’impact sur le

marché (par le biais des QIS 13), ce projet de directive européenne a été présenté à la

commission en juillet 2007 et devrait être adopté d’ici à la fin de l’année 2008 pour

une mise en œuvre prévue à partir de 2010 ou 2012.

Les objectifs de Solvabilité 2 sont de protéger les assurés et d’établir un calcul de

solvabilité reflétant mieux les risques encourus par les assureurs, que le permettent

les critères actuels de Solvabilité 1. Par conséquent, ce nouveau système doit fournir

aux autorités du contrôle les outils et la capacité d’évaluer la solvabilité globale des

sociétés d’assurance.

En outre, Solvabilité 2 sera fondé sur une structure à trois piliers (voir Fig.1.4). Le

premier plus quantitatif, prévoit essentiellement les règles concernant l’évaluation du

passif (à savoir le niveau des provisions techniques et le niveau des fonds propres) et

de l’actif (qui sera évalués avec leur valeur de marché), ce pilier s’attache donc à

établir des outils de mesure de la suffisance des « provisions techniques » et à

formuler une harmonisation de ses principes de calcul entre les différentes

compagnies d’assurance. Le deuxième pilier est plus qualitatif prévoit les règles de

suivi des risques en interne aux sociétés et aux autorités du contrôle. Enfin, le

troisième pilier concerne la transparence et la communication d’informations

relatives aux deux piliers précédents.

11 CEIOPS (Committee of European Insurance and Occupational Pensions Supervisors): c’est le Comité Européen des Contrôleurs d’Assureurs et de Pensions Privées créé par la Commission Européenne en 2003. Son rôle principal consiste à fournir à la Commission une expertise technique concernant les règles, les recommandations et les directives pour le projet Solvabilité 2 12 Voir ANNEXE 2. 13 QIS (Quantitave Impact Studies) : Etudes Quantitatives d’Impact (voir ANNEXE 1).


Fig.1.4 : Les trois Piliers du Projet Solvabilité 2

Notre mémoire est centré uniquement sur les exigences quantitatives, et concerne

donc exclusivement le Pilier 1 pour le risque de passif IARD, que nous allons

développer dans ce qui suit.

Fig.1.5 : Cadre du projet Solvabilité 2 : Actifs et Passifs du Bilan d’une société d’assurance

Pilier 1 Exigences Quantitatives

• Définition des risques • Evaluation des actifs • Evaluation des

provisions techniques • Exigence du Capital

de solvabilité (SCR) • Exigence du Capital

minimum (MCR) • Modèles internes • Dépendance des risques

Pilier 2 Exigences Qualitatives

• Contrôle interne

• Gestion des Risques

• Corporate Governance

• Harmonisation du contrôle au niveau européen

Pilier 3 Discipline de marché

• Communication financière aux : autorités de marché, assurés et épargnants, régulateurs,…

• Transparence et harmonisation des règles comptables et prudentielle


2.1 Pilier 1 : Une approche économique pour le Passif fondée sur les risques

2.1.1 Les Fonds Propres

Le calcul des Fonds Propres comporte deux niveaux : le Capital Minimum

Requis (en anglais, Minimum Capital Requirement « MCR ») et le Capital de Solvabilité

Requis (en anglais, Solvency Capital Requirement « SCR »).

Minimum Capital Requirement (MCR)

C’est le niveau du capital au dessous duquel des mesures diverses devront être

exercées par les autorités du contrôle (plan de redressement, retrait d’agrément,…). Il

doit constituer un indicateur simple, robuste, objectif et facile à calculer afin de

permettre des évaluations fréquentes et idéalement additives sur les filiales d’un

groupe14.

Solvency Capital Requirement (SCR)

Egalement appelé Capital Ajusté au Risque (en anglais, Risk Adjusted Capital), ce

dernier désigne " le niveau de capital permettant à une société d’assurance d’absorber les

sinistres imprévus significatifs et de donner aux preneurs d’assurance l’assurance raisonnable

que les versements seront effectués à leur échéance" (Commission Européenne, [2003]). Il

s’agit donc du capital nécessaire à la société pour qu'elle soit quasi-certaine de

demeurer solvable et de pouvoir poursuivre son activité dans les années futures.

Le SCR sera calculé en utilisant soit une formule standard développée au niveau

européen, soit un modèle interne à la compagnie (préalablement validé par les

autorités du contrôle) qui devra mieux s’adapter au profil de risque de l’assureur.

14 Les modalités du calcul de MCR sont actuellement en cours de définition. Néanmoins, deux approches seront envisagées pour son calcul (selon QIS 3) : Une approche compacte : Selon laquelle, le MCR correspond au maximum entre un montant forfaitaire prédéfinie (plancher absolu) et un pourcentage du SCR de l’année précédente. Une approche modulaire : Le MCR est évalué par une mesure de risque, prédéfinie, au seuil de confiance 90% sur le risque de marché et les risques assurantiels (risques de souscription).


Par conséquent, tous les risques importants et quantifiables auxquels un assureur est

exposé doivent être pris en compte dans ce calcul15.

Toutefois, quelque soit l’approche adaptée pour évaluer le SCR, ce dernier doit

correspondre aux fonds propres requis pour remplir toutes les obligations à un

horizon temporel donné, fixé à un an, et en fonction d’un niveau de confiance défini

(équivalent à une probabilité de ruine de 0,5%) en utilisant un modèle probabiliste et

des données internes à la société.

2.1.2 Les Provisions Techniques En accord avec les développements attendus de l’IASB16, les provisions

techniques devront être calculées en « Best Estimate » qui correspond à la meilleure

vision économique des provisions techniques et d’une Marge pour Risque (en

anglais, Market Value Margin), telle que :

Valeur de Marché des Provisions Techniques = Best Estimate + MVM

2.1.2.1 Best Estimate

En règle générale, le « Best Estimate » des provisions techniques

correspond à la valeur actuelle de leurs montants attendus ou espérés, basée non

seulement sur des informations actuelles, disponibles, crédibles et conformes aux

caractéristiques du portefeuille d’assurance sous- jacent mais aussi, sur des méthodes

statistiques compatibles avec les meilleures pratiques actuarielles en vigueur et tenir

compte de tous les facteurs susceptibles d’avoir un impact sensible sur la sinistralité

future attendue.

15 Voir ANNEXE 3 pour une présentation complète des risques à prendre en compte dans le calcul de SCR. 16 IASB (International Accounting Standards Board) : c’est l’organisme international chargé de l’élaboration des normes comptables internationales IAS/IFR.


En assurance IARD (directe), les résultats de calcul du « Best Estimate » doivent être

présentés sur la base d’une segmentation selon douze branches17 (voir Fig.1.6).

Fig.1.6 : Segmentation des Branches pour l’évaluation du Best Estimate

en Assurance IARD (directe)

En outre, le « Best Estimate » de chaque branche regroupe le « Best Estimate des

provisions pour primes » et le « Best Estimate des provisions pour sinistres à payer »

qui doivent être calculés séparément et brutes des contrats de réassurance et des

véhicules de titrisation18.

Best Estimate des provisions pour primes

Les provisions pour primes (en anglais, stand-ready obligation) remplacent les

actuelles provisions pour primes non acquises et pour risques en cours (risques liés

aux sinistres non survenus). Elles concernent la période de couverture durant

laquelle l’assureur doit fournir un service consistant à accepter et à gérer les risques

de survenance des événements assurés avec gravité variable, de ses souscripteurs.

17 Article 63 de la Directive du Conseil concernant les comptes annuels et les comptes consolidés des entreprises d’assurance (91/674/CEE). 18 La titrisation est un type de couverture qui permet de transférer un risque d’un assureur ou d’un réassureur, non pas auprès d’un autre assureur ou d’un autre réassureur, mais au marché financier.

1. Accident et maladie – indemnités journalières

2. Accident et maladie – assurance maladie

3. Accident et maladie – autres risques non compris dans 1. ou 2.

4. Automobile, Responsabilité Civile

5. Automobile, autres branches

6. Marine, aviation et transport

7. Incendie et autres dommages aux biens

8. Responsabilité civile

9. Crédit et caution

10. Protection juridique

11. Assistance

12. Divers assurance non-vie


Le « Best Estimate des provisions pour primes » couvre tous les règlements de

sinistres futurs postérieurs à la date d’évaluation qui seront couverts par les polices

en cours qui n’ont pas encore expiré, les frais administratifs et toutes les futures

primes attendues.

Une approche simplifiée du «Best Estimate de la provision pour primes » a été

suggérée par les QIS 3 et QIS 4. Elle consiste à utiliser « une approximation basée sur

les paiements des sinistres moyens attendus » et un « ratio combiné »19estimé à partir

des données spécifiques à la société.

Best Estimate des provisions pour sinistres à payer (PSAP)

Les PSAP concernent la période de règlement comprise entre la survenance des

sinistres (y compris les IBNR) et leur règlement définitif. Durant cette période de

règlement, l’assureur est exposé à un risque dû aux incertitudes concernant, par

exemple, le nombre et le montant des sinistres IBNR, la nature stochastique du

montant des sinistres et la date du règlement (qui est fonction des procédures de

gestion des sinistres et de la réouverture potentielle de sinistres) ainsi qu’à des

incertitudes liées, par exemple, à une évolution de l’environnement juridique.

Le CEIOPS, par l’intermédiaire des QIS, précise que le « Best Estimate des provisions

pour les sinistres à payer », en particulier pour les branches à développement long et

moyen, doit être calculé par au moins deux méthodes actuarielles

différentes20considérées comme fiables et pertinentes et donnant un faisceau

convergent d’estimations. La méthode la plus appropriée et qui rend compte au

mieux de la nature de passif sera ensuite choisie (Commission Européenne, [2008]).

Comme un passif n’arriverait pas à trouver preneur au prix du Best Estimate sur un

marché organisé, une quantité supplémentaire doit être ajoutée à ce dernier pour

pouvoir qualifier l’ensemble de « valeur de marché » des provisions. Cette quantité

est appelée « Marge pour Risque ».

19 Le ratio combiné est égale à (Sinistres+frais généraux)/Primes. 20 Deux méthodes sont différentes lorsqu’elles font appel à des techniques actuarielles différentes et à des séries d’hypothèses différentes qui contrôlent l’une l’autre l’absence d’erreur de paramètre ou de modèle.


2.1.2.2 Marge de Risque

En assurance IARD, l’approche validée par le CEIOPS pour l’évaluation

de La Marge de Risque (en anglais, Market Value Margin) est la méthode « Coût de

Capital » (en anglais, Cost of Capital). Cette méthode inspirée par le Test Swiss de

Solvabilité, consiste à calculer le coût d’immobilisation d’un montant des fonds

propres éligibles (égale au SCR) nécessaire pour assumer les engagements

d’assurance et de réassurance jusqu’à extinction totale de ces derniers. Elle se résume

dans ces trois étapes :

Etape 1

A la date du calcul de Best Estimate (correspond, par définition, au début de l’année

0), on calcul le SCR pour chaque segment d’assurance (voir Fig.), correspondant non

seulement à cette date, mais aussi à chaque année future de la durée de vie des

engagements en prenant en compte les risques suivants : opérationnel, de

souscription relatif au portefeuille en cours (en Run –Off) et le risque de contrepartie

(relatif aux cessions de réassurance).

Etape 2

Le coût de détention du SCR est obtenu en multipliant chacun des futurs SCR par le

coût de capital (fixé à 6%).

Etape 3

Actualiser chacun des montants obtenus précédemment au moyen de la courbe des

taux sans risque de l’année 0. La somme de ces valeurs actualisées correspond à la

marge du risque à associer au Best Estimate des engagements concernés au début de

l’année 0.


2.2 Le Risque de Provisionnement en Assurance IARD : Une nouvelle problématique introduite par Solvabilité 2

Nous avons vu que l’évaluation de la « Marge de Risque » requiert le calcul du

SCR de chaque segment d’assurance. L’évaluation du SCR nécessite une

quantification des risques qui lui sont associés (voir ANNEXE 3).

En assurance IARD, le risque de souscription non vie constitue la composante

principale dans l’évaluation du SCR. Ce risque correspond, en effet, à un risque

d’assurance spécifique qui résulte des contrats d’assurance et il doit couvrir les

incertitudes relatives aux résultats des souscriptions de l’assureur. Ces incertitudes

concernent :

• Le montant et le moment des règlements de sinistres liés aux passifs existants ;

• Le volume d’affaires qui sera souscrit et les taux de prime (ou les tarifs) auxquels il

sera souscrit ;

• Les taux de prime qui seraient nécessaires pour couvrir les passifs engendrés par

les affaires souscrites.

Par conséquent, l’évaluation du risque de souscription IARD nécessite la distinction

entre trois sources de ce risque à savoir les risques de tarification et de

provisionnement et les risques catastrophes.

Les risques qui comprennent des incertitudes quant à la date des paiements

qu’aux coûts à savoir :

• Le risque de tarification (risque des primes) relatif à l’insuffisance du tarif et à la

volatilité du ratio combiné du fait que les dépenses et le volume des pertes liées

aux futurs sinistres survenant jusqu’à l’horizon de l’évaluation de solvabilité

(horizon d’un an) soient supérieures aux primes perçues.

• Le risque de provisionnement (ou le risque des réserves) lié aux provisions pour

primes et les provisions pour sinistres à payer.


Les risques de Catastrophe : résultent des événements extrêmes ou irréguliers

insuffisamment couverts par les chargements au titre des risques de tarification et de

provisionnement.

Dans ce qui suit, de ce paragraphe, nous nous intéresserons, en particulier, au risque

de provisionnement lié aux provisions pour sinistres à payer.

2.2.1 Définition du Risque de Provisionnement

Solvabilité 2 a introduit un changement radical dans la détermination des

provisions pour sinistres à payer, par le passage d’un environnement déterministe,

où aucune méthode ou démarche n’est requise pour pouvoir évaluer les montants

des provisions (cadre du projet Solvabilité 1), à un environnement méthodologique,

très encadré et ayant une dimension stochastique.

Cette dimension stochastique permet de définir le risque de provisionnement qui

correspond à une mauvaise évaluation du Best Estimate (ou du niveau moyen) des

provisions pour sinistres à payer et à la volatilité de ce Best Estimate.

Mauvaise évaluation du Best Estimate des provisions pour sinistres à payer

Elle correspond à une mésestimation des provisions pour sinistres vu que les

erreurs de provisionnement sont inévitables quelle que soit la méthode d’évaluation

choisie. Ces erreurs peuvent être provoquées soit par des facteurs contrôlables par

l’assureur (comme la manque de connaissance de l’activité ou les tendances qui

caractérisent les sinistres) ou des facteurs incontrôlables (comme les évolutions

juridiques inattendues, l’exemple le plus parlant est celui des Etats-Unis, où les

changements juridiques ont entraîné des sinistres se montant à des milliards de

dollars dans le domaine de l’environnement et ces sinistres n’étaient pas prévus

lorsque les polices ont été souscrites).

Volatilité du Best Estimate des provisions pour sinistres à payer

Elle est dûe à la nature stochastique des futurs règlements des sinistres. En effet, les

estimations initiales de ces derniers ne prédiront jamais parfaitement les sinistres


définitifs payés (sinistres réels) fluctueront autour de leur valeur moyenne

statistique.

2.2.2 Evaluation du Risque de Provisionnement

Le principe d’évaluation du risque de provisionnement, dans le contexte du

projet Solvabilité 2, se base essentiellement sur l’effet de l’ajout d’une information

supplémentaire relative aux règlements futures des sinistres et à l’évolution des

provisions dossier/dossier (sur un horizon d’un an), sur l’estimation et la volatilité

du Best Estimate de provisionnement.

Ainsi, considérons que l’assureur a estimé le montant des provisions (leur Best

Estimate) de fin d’année N, sachant les informations disponibles jusqu’à cette date.

Ces provisions correspondent à tous les règlements futurs des sinistres jusqu’à la fin

de la période de leur liquidation.

Le fait de disposer d’une information supplémentaire sur les règlements futurs de

l’année N+1(comme leur tendance, leurs caractéristiques statistiques,…) peut

entrainer un changement dans l’estimation du Best Estimate des provisions de fin de

l’année N, déjà faite par l’assureur. Ainsi, et avec cette information supplémentaire,

l’assureur peut réduire l’erreur dans l’estimation du Best Estimate des provisions.

Ajoutant à cela que l’assureur peut prévoir plusieurs scénarios pour l’information

concernant les sinistres de l’année N+1, vu le caractère stochastique de ces derniers.

Il peut avoir, par conséquent, des estimations différentes pour le Best Estimate des

provisions, ce qui génère la volatilité de ce dernier.

Afin d’évaluer le risque de provisionnement, les autorités du contrôle prévoient

deux options pour les sociétés d’assurance, la formule standard ou le modèle interne.


Formule Standard

Le chargement en capital nécessaire pour couvrir le risque de provisionnement

(SCR) est calculé en prenant en compte les hypothèses suivantes :

• une volatilité du provisionnement fixée par branche ;

• une corrélation fixée entre les branches et entre les risques ;

• une distribution LogNormale du risque sous jacent.

Modèle interne

Les autorités du contrôle autorisent les sociétés d’assurance à utiliser leur propre

modèle interne pour l’évaluation du risque de provisionnement. Au contraire de la

formule standard, la volatilité du provisionnement ainsi que les corrélations entre les

branches et entre les risques sont celles intrinsèques à la société et dépendantes de sa

propre expérience.

L’unique exigence, imposée par les autorités du contrôle, pour le modèle interne est

que ce dernier doit être conforme aux exigences de base de Solvabilité 2 à savoir un

horizon d’un an et une mesure de risque définie par une probabilité de ruine de

0,5%.


CONCLUSION

Au niveau de cette première partie, nous avons vu que dans un contexte

réglementaire évolutif de passif en assurance IARD, les assureurs sont désormais

fortement incités à établir un calcul de solvabilité reflétant mieux le risque de

souscription en intégrant le risque du provisionnement dans le calcul du capital de

solvabilité (SCR).

Nous avons commencé, par la présentation du contexte actuel (Solvabilité 1) de

l’évaluation du passif qui repose principalement sur des règles régissant la dotation

en fonds propres et cela par l’exigence d’une marge de solvabilité qui vise à définir la

solvabilité effective de la compagnie d’assurance.

Toutefois et malgré la robustesse de Solvabilité 1, celui-ci présente certaines

faiblesses dont les principales sont : l’absence d’une approche qui soit cohérente avec

le marché dans le calcul des provisions techniques et la non prise en compte de tous

les risques encourus par l’assureur dans le calcul du capital de solvabilité.

Ainsi, la nécessité d’une part, de déterminer « une valeur de marché » des

provisions techniques alors qu’il n’existe pas de marché des passifs et d’autre part

d’intégrer tous les risques dans le calcul du capital de solvabilité, a introduit, avec le

référentiel Solvabilité 2, des changements importants dans l’évaluation du passif.

En premier lieu, nous avons défini les nouvelles règles des exigences quantitatives

pour le passif IARD. Ainsi, la valeur de marché des provisions techniques doit être

calculée en Best Estimate en rajoutant une marge pour risque, et le capital cible ou

SCR sera évalué via une formule standard ou un modèle interne en prenant compte

essentiellement le risque de souscription qui constitue le principal risque de passif

IARD.

En second lieu, nous avons présenté le risque de provisionnement qui est une des

composantes du risque de souscription IARD. Ce risque est dû essentiellement à une

mauvaise évaluation de Best Estimate des provisions et à la volatilité de ce dernier.


Vu la nécessité de prendre en compte les provisions techniques dans le calcul du

SCR par leur risque, deux approches seront envisageables pour l’évaluation du

risque de provisionnement soit la formule standard ou le modèle interne.

Dans la partie suivante du notre mémoire, nous allons présenter les fondements

théoriques de l’évaluation du risque de provisionnement par le modèle interne dans

le cadre du projet « Solvabilité 2 ».


PARTIE 2

MODELE INTERNE D’EVALUATION

DU RISQUE DE PROVISIONNEMENT :

FONDEMENTS THEORIQUES


INTODUCTION

L’évaluation du risque de provisionnement se fait par le calcul d’un chargement en

capital (SCR) relatif à ce risque. Ce SCR doit être calculé sur la base d’une mesure de

risque appelée Value at Risk.

Dans le cadre du modèle interne, cette mesure de risque requiert d’avoir une

distribution du risque sous jacent qui correspond aux fluctuations du Best Estimate

suite aux différents scénarios construits des règlements futurs des sinistres (sur un

horizon d’un an) en essayant d’intégrer au mieux le fonctionnement réel de la

compagnie.

Ainsi, le but de cette partie est de présenter les fondements théoriques de l’évaluation

du risque de provisionnement par le modèle interne dans le cadre du référentiel

« Solvabilité 2 », en mettant en œuvre trois valeurs de référence qui feront l’objet des

chapitres de cette partie :

Méthodes d’évaluation du Best Estimate des PSAP : deux méthodes

actuarielles différentes et cohérentes avec les données intrinsèques à la société

(QIS 3 et QIS 4).

Techniques de simulation : pour construire les scénarios des règlements

futurs des sinistres.

La Value at Risk : qui est la mesure de risque privilégiée pour évaluer le SCR.


CHAPITRE 1

FONDEMENTS THEORIQUES D’EVALUATION DU BEST ESTIMATE DES PROVISIONS POUR SINISTRES À PAYER (PSAP)

Afin de mesurer le niveau des PSAP sans marge de risque qu’une compagnie

d’assurance doit détenir, l’approche retenue par la commission européenne était le

Best Estimate ou l’approche de « valeur attendue », qui sera une estimation basée sur

la valeur actuelle de l’espérance des provisions.

Dans le QIS 4, le CEIOPS a encouragé l’utilisation des paramètres spécifiques aux

activités des assureurs pour l’évaluation du « Best Estimate » en Assurance IARD.

Ainsi, cette évaluation doit être fondée sur une approche économique s’appuyant sur

des hypothèses réalistes et des méthodes actuarielles adaptées au propre profil du

risque de la société.

Il existe différentes méthodes de calcul du Best Estimate des PSAP. La littérature

étant abondante sur le sujet, nous nous limiterons à la description des méthodes

classiques, que nous mettrons en œuvre dans ce mémoire, à savoir : les méthodes de

type Chain Ladder et les Modèles Linéaires Généralisés.

1.1 Notations Nous présentons, dans ce paragraphe, l’ensemble des notations que nous

utiliserons par la suite.

Se plaçant au 31/12/N, nous supposons, qu’après n années suivant leur survenance,

tous les sinistres soient entièrement réglés.


Fig.2.1 : Schéma de déroulement d’un sinistre en se plaçant au 31/12/N

Considérons une (sous-) branche dont les sinistres se déroulent sur n années. On note :

- i 21: année de survenance (date à laquelle le sinistre a lieu), ni ≤≤1 .

- j 21 : année de développement (la jième année de développement est la jième

année suivant la survenance du sinistre), nj ≤≤1 .

- ijy : une mesure de sinistralité (ou exposition au risque) correspondant à

l’année de survenance i et au délai j.

Dans la suite, nous supposerons, pour fixer les idées, que nous traitions des

paiements de sinistre en monnaie constante comme une mesure de sinistralité

(c'est-à-dire que l’on neutralise l’inflation). Ainsi : ijy correspond au paiement

des sinistres (survenus à la date i) effectué à la jième année de développement.

Par ailleurs, soit :

- ijC : représente la somme cumulée des paiements (en monnaie constante)

relatifs aux sinistres survenus à la date i et effectués jusqu’à la jième année de

développement ( nj ≤≤1 ). On a donc la relation : −

=

+=1

1

j

kikijij yyC .

Afin de décrire comment les paiements des sinistres (cumulés ou décumulés) de

chaque année de survenance i s’évoluent dans le temps, par année de développement

j, on met classiquement ces paiements sous la forme des triangles de liquidation qui

se présentent ainsi :

21 i et j peuvent être des périodes trimestrielles, semestrielles, …

Survenance Déclaration

Règlements

Clôture

n années de développement


Année de développement

Année de 1 2 … j … n-i … n-1 n

survenance 1 2

…

i ijy

… n-j

… à

estimer n-1 n

Fig.2.2 : Triangles de liquidation

- Les paiements du triangle supérieur sont connus et déjà observés

(pour 1+−≤ inj ).

- Les paiements du triangle inférieur sont des inconnus qu’on cherche à estimer

(pour 1+−≥ inj ).

- Les diagonales des triangles correspondent à des paiements calendaires. Par

exemple, l’année calendaire k ( nk 21 ≤≤ ) a donné lieu au paiement total

=

−

k

iikiy

1, (ou ikiC −, ), toutes années d’origine confondues.

Remarque : la majeure partie des méthodes de provisionnement s’applique à

d’autres figures de liquidation (ou données) que des triangles, comme les trapèzes :

Fig.2.3 : Formes des trapèzes de liquidation


1.2 Les Méthodes Chain Ladder Les Méthodes Chain Ladder s’appliquent à des triangles de paiements cumulés

( ijC où nji ≤+ ). Elles sont basées sur l’utilisation de facteurs de développements (ou

ce qui est équivalent, de cadence de règlements), implicitement supposés constants

pour toutes les années de survenance. Ces facteurs seront utilisés pour prévoir la

partie inconnue du tableau triangulaire.

1.2.1 Méthode de Chain Ladder classique

La méthode Chain Ladder est une des méthodes les plus couramment

utilisées dans les compagnies d’assurance du fait de la simplicité de sa mise en

application et de sa clarté. Le but de cette méthode est d’estimer, à partir des

observations faites sur le passé, la valeur finale des montants des paiements cumulés

relatifs à une certaine année de survenance.

Hypothèses

H1 : Les années de survenance sont indépendantes entre elles, c'est-à-dire que les

ensembles ini CC ,...,1 et mnm CC ,...,1 sont indépendantespour mi ≠

H2 : Les années de développement sont les variables explicatives du

comportement des sinistres futurs. Ainsi, les facteurs de développement sont

indépendants des années de survenance des sinistres.

H3 : Absence de facteurs exogènes (changements de l’inflation ou dans la

réglementation).

H4 : Les règlements des sinistres sont stables dans le temps.

Présentation du modèle

Le facteur du développement jf correspond à un coefficient moyen de passage de

la jième à la (j+1)ième année de développement. Son estimateur est définie par :

−

=

−

=+

=hn

ihi

hn

ihi

j

C

Cf

1,

11,

ˆ , avec : 11 −≤≤ nh


Les estimateurs ainsi obtenus sont sans biais et non corrélés.

Les valeurs des paiements cumulés, inconnus après m années de développement

pour chacune des années de survenance i sont estimées par :

∏−

+−=+−=

1

11,,

ˆˆm

imllimimi fCC

Ainsi que les paiements cumulés à l’ultime : ∏−

+−=+−=

1

11,,

ˆˆn

inllinini fCC

, avec :

1,1,ˆ

+−+− = iniini CC

La réserve estimée pour l’année de survenance i correspond au montant estimé

des paiements cumulés à l’ultime moins les sinistres déjà réglés jusqu’à 31/12/N,

ainsi : 1,,ˆˆ

+−−= ininii CCR

Et la réserve totale (ou agrégée) pour le risque considéré est estimée par : =

=n

iiRR

1

ˆˆ

Application pour la branche Risques Industriels et Pertes d’Exploitation

Nous supposerons qu’au bout de 14 ans, tous les sinistres relatifs à une certaine

année de survenance sont survenus et déclarés et qu’ils ne donnent plus lieu à aucun

règlement.

Années de développement Réserves

Année de 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ( iR

survenance

1994& ant

528 529 553 550 549 550 551 550 551 0,00 1995

96 99 104 104 101 101 101 100 100 101 0,23

1996

103 102 105 106 106 106 106 106 106 106 106 0,03 1997

129 135 141 141 142 143 143 142 142 142 142 142 0,22

1998

116 124 130 130 131 133 133 133 134 134 134 133 134 0,18 1999 60 218 264 273 276 280 280 280 282 281 281 282 281 282 0,12 2000 56 138 156 161 161 160 161 157 156 156 156 156 156 156 -0,60 2001 64 140 165 176 178 175 175 178 177 177 177 177 177 177 1,95 2002 54 111 125 127 129 129 130 132 131 131 131 131 131 131 2,43 2003 79 191 202 203 205 206 207 210 210 209 209 210 209 210 4,91 2004 63 129 147 148 150 151 152 154 154 153 153 154 153 154 5,20 2005 59 126 134 138 140 141 142 144 143 143 143 143 143 143 9,21 2006 72 129 145 150 151 152 153 156 155 155 155 155 155 155 26,28 2007 48 111 125 129 130 131 132 134 133 133 133 133 133 133 85,64

jf 2,323 1,127 1,033 1,011 1,005 1,008 1,015 0,996 0,999 1,000 1,001 0,998 1,002 1,000

Total ( R 135,81

Fig.2.4 : Application de la méthode Chain Ladder déterministe à la branche Risques Industriels et Pertes d’Exploitation


1.2.2 Méthode de Chain Ladder Stochastique : Le Modèle de Mack (1993) Introduit par T. Mack. [1993], le modèle de Chain Ladder Stochastique est

une présentation probabiliste de la méthode Chain Ladder classique. En outre, c’est

un modèle non paramétrique, au sens où aucune hypothèse n’est faite sur les

composantes du triangle, et conditionnel, au sens où les espérances sont prises

connaissant les réalisations du triangle supérieur.

Par ailleurs, le but recherché par ce modèle est de pouvoir quantifier la variabilité des

réserves estimées et d’associer, ainsi, des intervalles de confiance aux estimations

faites.

Hypothèses

H1 : Indépendance des années de survenance. Ainsi, les ensembles des variables

aléatoires ini CC ,...,1 et mnm CC ,...,1 sont indépendantespour mi ≠

Cette hypothèse d’indépendance ne serait pas vérifiée en cas de changement

important dans la gestion de sinistres ou du taux d’inflation qui les impacte, ces

changements affectant, par effet calendaire, plusieurs exercices de survenance.

H2 : soit 1, +≤+= nkiCD ikN l’ensemble des informations apporté par le

triangle supérieur (les paiements cumulés observés jusqu’à 31/12/N).

Pour 1,...,1 −= nj , il existe un paramètre jf tel que conditionnellement, on a :

ijjN

ji CfDCE =+ )( 1,

Sous (H1) et (H2), les facteurs de développement

−

=

−

=+

=hn

ihi

hn

ihi

j

C

Cf

1,

11,

ˆ de la méthode Chain

Ladder Classique sont des estimateurs sans biais de jfet non corrélés.

H3 : pour ni ≤≤1 et nj ≤≤1 ; on a : 2

1, )var( jijN

ji CDC σ=+ avec : jσ est la

volatilité par période de développement incluse implicitement dans la méthode


Chain Ladder et :

2

1

1,2 ˆˆ

ˆˆ

11ˆ

−

=

+

−

−−=

jn

ij

ij

jiijj f

C

CC

jnσ est un estimateur sans biais de

2jσ pour

21 −≤≤ nj

(Avec :

= −

−

−−

222

3

422

1 ˆ,ˆˆ

minˆ nn

nn σ

σσσ ) .

Sous ces trois hypothèses, le modèle stochastique de Mack devra fournir exactement

les mêmes résultats en espérance que ceux dans le cadre de la méthode Chain Ladder

Classique.

Présentation du modèle

∏−

+−=+−=

1

11,,

ˆˆm

imllimimi fCC

est un estimateur sans biais du montant espéré des paiements

cumulés inconnus après m années de développement pour chacune des années de

survenance i , définie par : ∏−

+−=+−=

1

11,, )(

m

imllimi

Nmi fCDCE

Ainsi que pour les paiements cumulés à l’ultime espérés ∏−

+−=+−=

1

11,, )(

n

inllini

Nni fCDCE

, où ∏−

+−=+−=

1

11,,

ˆˆn

inllinini fCC

est leur estimateur sans biais.

Le montant des réserves espérées correspondant à l’année de survenance i

)( 1,,N

ininii DCCRE +−−= est estimé par : 1,,ˆˆ

+−−= ininii CCR

Ainsi que pour les réserves totales espérées )(1

Nn

ii DRRE

=

= qui sont estimées

par : =

=n

iiRR

1

ˆˆ

En outre, Mack (1993) indique, que sous les hypothèses (H1), (H2) et (H3)

l’incertitude présente dans l’estimation de iR par iR

correspond à l’erreur


quadratique moyenne (en anglais, mean squared error : m.s.e) de ce dernier et elle est

estimée par :

+=

−

=

−

−+=kn

jjk

ik

n

ink k

kini

CCfCResm

1

1

12

22 1

ˆ1ˆˆ)ˆ(.ˆ.

σ

Avec : 1,1,ˆ

+−+− = iniini CC et ikC sont les valeurs estimées du triangle inférieur. De même,

sous les mêmes hypothèses, l’incertitude présente dans l’estimation des réserves

agrégées R par R

est estimée par :

=

−

+−=−

=

+=

+=

1

2

1

1

1

2

2

1

ˆˆ2

ˆˆ)ˆ(.ˆ.)ˆ(.ˆ.n

i

n

inkkn

nnk

k

kn

ijijini

C

fCCResmResm

σ

A partir de la relation suivante : )ˆ(.ˆ.)ˆ(.ˆ. ini CesmResm = , Mack a donné une estimation

de l’incertitude présentée dans l’estimation du montant des paiements cumulés du

triangle inférieur ijC

par ijC avec

)1( +>+ nji à l’aide d’une formule récursive

(Mack. [1999]) :

+=

−

=

+ jn

kkj

ijj

jijji

CCfCCesm

1

222

22

1,

ˆ

1ˆ1

ˆˆˆ)ˆ(.ˆ.

σ

En prenant comme valeur initiale 0)ˆ(.ˆ. 1, =−+ iniCesm (où iniC −+1, est la somme cumulée

de tous les règlements déjà effectués jusqu’au 31/12/N).

1.2.4 Limites des méthodes Chain Ladder

La méthode de Chain Ladder est très simple à appliquer et souvent retenue

comme la méthode « centrale » et « de référence » pour le provisionnement dans les

compagnies d’assurance. Cependant, elle possède plusieurs inconvénients :

• Les périodes de développement élevées comportent peu d’observations. Le

dernier coefficient est par exemple calculé à partir de deux valeurs seulement et il

est appliqué à toute la colonne.


• L’estimation des paiements cumulés à l’ultime se fait à l’aide de coefficients

multiplicatifs. Le risque d’accumulation d’erreur est donc important et d’autant

plus important que l’exercice de survenance du sinistre est récent ( comme le

paiement cumulé de la dernière année de survenance qui doit être surveillé

puisqu’elle est la seule valeur connue de cette année, ainsi, une valeur très élevée

ou très faible de ce paiement aura un impact très important).

• L’approche de Chain Ladder repose sur l’hypothèse d’une cadence des paiements

constatée par le passé qui va se reproduire dans le futur. Ainsi, elle ne prend pas

en compte les différents changements susceptibles de se produire dans le rythme

des paiements, ainsi que dans les tendances du marché (fluctuations de l’inflation,

évolution de jurisprudence,…).

Bien que le Modèle de Chain Ladder Stochastique possède les mêmes limites que le

modèle de Chain Ladder Classique, il présente, cependant l’avantage indéniable de

fournir une estimation de volatilité des réserves et d’associer ainsi un niveau de

risque aux estimations, ainsi que la possibilité de comparer les résultats obtenus avec

d’autres modèles comme les Modèles Linéaires Généralisés que nous allons les traiter

dans ce qui suit.

1.3 Les Modèles Linéaires Généralisés : Présentation Générale

Les Modèles linéaires généralisés (GLM pour Generalized Linear Models, en

anglais) ont été introduits par Nelder et Wedderburn en 1972. Extensions du modèle

linéaire Normal, ils sont très courants dans de nombreux domaines d’application de

la statistique.

Utilisés pour la première fois pour la tarification des risques de masse dans les

années 1980, ils y sont devenus incontournables. Leur introduction, dans les années


1990, pour la détermination des provisions pour sinistres s’est avérée extrêmement

fructueuse22.

Au contraire des méthodes Chain Ladder, les modèles GLM sont basés sur les

triangles des montants des paiements de sinistres ou incréments (en anglais,

increments). Par la suite, nous allons faire une présentation générale des modèles

GLM.

Les GLM sont des modèles statistiques, paramétriques du type « variable à

expliquer/variables explicatives ». Par application à la modélisation stochastique des

réserves, les GLM sont formés de trois composantes (Dobson. [2002]) :

Les incréments connus ijy du triangle supérieur sont supposés être des variables

aléatoires indépendantes et ont la même distribution qui doit appartenir à la

famille des exponentielles23 :

De densité :

+−

= );;()(

)(exp);;( ijijij

ijijijijij yc

a

byyf ωϕω

φθθ

ϕθ

où

ijθ : Paramètre réel, appelé paramètre naturel.

ϕ : est un paramètre réel appelé paramètre d’échelle (en anglais, scale parameter)

indépendant de l’année de survenance i et de l’année de développement j.

a: est une fonction continue et strictement positive.

b et c sont deux fonctions régulières telles que : b est définie sur ℜ et de classe

C2 (en particulier b est convexe) et c est définie sur 2ℜ .

ijω : Poids, connus a priori, associé aux incréments observés ijy

22 De très nombreux ouvrages exposent de manière approfondie la théorie statistique sous-jacente des modèles GLM ; l’un des plus classiques est celui de Mc Cullagh et Nelder (1989). 23 La famille des exponentielles regroupe les lois LogNormale, Gamma, Poisson, Bernoulli et Binomiale. Elle possède deux propriétés désirables :

- La distribution est caractérisée uniquement par sa moyenne et sa variance.

- La variance est une fonction de la moyenne.


De moyenne : )()( 1ijijij byE θµ −==

De variance : ij

ijV

ωµϕ )(

, avec : V(.) est la fonction variance de la distribution.

Des paramètres ),,( ji γαιβ = associés à des variables aléatoires explicatives

qualitatives X tels que :

iα : associé à la variable aléatoire année de survenance.

jγ : associé à la variable aléatoire année du développement.

ji+ι : associé à la variable aléatoire année calendaire. En raison de l’hypothèse

que le triangle de liquidation soit déflaté, l’inflation annuelle est supposée

constante, ainsi tous les incréments auront le même paramétrage par année

calendaire, on a donc : ιι =+ ji

On définit, ainsi, le Prédicteur Linéaire : βη ijij y=

Dans la suite, nous allons nous limiter à la modélisation selon des variables

qualitatives à paramétrage nii ,...,1)( =α , njj ,...,1)( =γ et un paramètre constant ι .

Connaissant la densité (ou la vraisemblance) des ijy , ces paramètres seront estimés

par la méthode de maximum de vraisemblance.

Par opposition au modèle conditionnel de Mack (1993), dont les hypothèses

portent sur les deux premiers moments (conditionnels) des paiements, les modèles

GLM nécessitent la donnée a priori d’une fonction « lien » entre les lois des

incréments ijy et les paramètres iα , jγ et ι . Ce lien s’exprime sous la forme d’une

fonction appelée « la fonction lien » l qui est définie par : βηµ ijijij yl ==)( .

Nous allons présenter dans le Tab.2.1 les fonctions liens utilisées, en pratique, pour

les modèles GLM LogNormale, Poisson et Gamma.


Tab.2.1: Fonctions liens des modèles GLM

Modèle Distribution Fonction lien )( ijl µ Fonction lien Inverse

ijijl µη =− )(1

LogNormale ),()log( ijijij Ny σµ≈ Identité : ijµ ijη

Poisson )( ijij Poissony µ≈ Logarithmique : )log( ijµ )exp( ijη

Gamma ),( νµ ijij Gammay ≈ Logarithmique : )log( ijµ )exp( ijη

Dans le cas où la fonction lien utilisée serait la fonction identité, on parle de

modèle GLM additif, alors que si la fonction lien est la fonction logarithme, on parle

du modèle GLM multiplicatif.

1.4 Modélisation des PSAP et la problématique de présence des incréments négatifs

Il arrive fréquemment que les triangles de liquidation contiennent, comme

données observées, des incréments négatifs. Ceci est dû aux recours (ou

subrogations). En effet, après avoir réglé les indemnités à l’assuré à la suite d’un

sinistre, l’assureur se substitue à lui pour récupérer la somme versée auprès du

responsable du dommage, ainsi, l’assureur est « subrogé » dans les droits de l’assuré.

Considérons par exemple le cas d’un incendie qui a été déclaré chez un locataire.

L’assureur du propriétaire indemnise ce dernier, puis réclame au locataire et son

assureur le remboursement de la somme versée. Il y a donc en premier lieu le

paiement du sinistre (sortie de fonds) puis récupération de fonds auprès d’un tiers

(entrée de fonds qui est équivalente à un sinistre négatif) à des dates différentes.

Afin de tenir compte de la présence des incréments des sinistres négatifs dans les

triangles de liquidation, plusieurs « techniques informelles » ont été abordées dans la

littérature.

Mack. [1994] a proposé de considérer les incréments négatifs comme des données

manquantes et de les extraire, ainsi, de l’analyse.

Par ailleurs, plusieurs modèles stochastiques ont adopté une méthode qui consiste à

ajouter une constante à tous les incréments connus (avant l’analyse), afin de les


rendre positifs, et une fois que les incréments de sinistres futurs sont estimés, cette

même constante sera soustraite de ces derniers (Verrall et al. [1993]). Citons, ainsi

quelques exemples de modèles.

Le modèle LogNormale, appliqué pour la première fois à la modélisation

stochastique des PSAP par Kremer. [1982], Zehnwirth. [1989,1994] et Verrall. [1991],

requiert que les incréments de sinistres soient positifs à cause de la transformation

logarithmique de ces derniers ( NyLNy ijij ≈≈ )log( ). Ainsi, et afin de résoudre ce

problème, Verrall et al. [1993] ont proposé l’ajout d’une constante comme solution

par l’introduction du modèle LogNormale à trois paramètres24. Toutefois, Verrall et

al. [1993] ont montré que ce modèle fournit une estimation inadéquate des réserves

en cas de présence d’un très grand nombre des incréments négatifs. En plus, ce

modèle est instable à cause de la constante, puisque les résultats finals dépendent

fortement de la valeur estimée de cette dernière (De Alba. [2002]).

Le modèle de Poisson a été introduit par Mack. [1991] pour la modélisation

stochastique des réserves et formalisé comme un modèle GLM par Verrall et al.

[1998]. Ce modèle est moins restrictif sur la présence des incréments négatifs par

rapport à celui LogNormale. Néanmoins, il nécessite que la somme des incréments

par année d’accident et par année de développement soit positive25 (England et al.

[1999]), encore l’ajout d’une constante a été suggéré comme solution (Verrall. [1996]).

En résumé, toutes les solutions proposées ont présenté des restrictions sur le nombre

des incréments négatifs observés du triangle de liquidation.

Kunkler. [2006] a proposé un modèle alternatif qui forme une extension des modèles

GLM en traitant les incréments négatifs sans poser aucune restriction.

Dans ce mémoire, nous allons restreindre l’étude de ce modèle alternatif dans le cas

d’une modélisation GLM LogNormale vu que la loi LogNormale soit la loi la plus

utilisée dans l’assurance IARD.

24 Les trois paramètres : sont la moyenne, la variance (ou spread, en anglais) et le seuil (estimé par la constante). 25 Ceci est du aux équations de Vraisemblance pour l’estimation des paramètres et la forme de la fonction lien.


1.4.1 Présentation du modèle GLM alternatif (Kunkler. [2006])

• Soit 1,...,1;,...,1; +−=== injniyy ij le triangle original qui contient les

incréments de sinistres observés positifs et négatifs.

• On définit le triangle des données mixtes 1,...,1;,...,1; +−=== injnizz ij où :

>

<−=

01

01

ij

ij

ij ysi

ysiz

• On peut, ainsi, construire un triangle des données composées

1,...,1;,...,1; +−=== injniqq ij qui contient les incréments positifs et reflète

les incréments négatifs, avec : ijijij zyq = . Par conséquent, on a :

−=<>

=>>

)1(00

)1(00

ijijij

ijijij

zysiq

zysiq

Ainsi, nous pouvons appliquer le modèle GLM « classique » sur les données

du triangle composé q.

• Une fois qu’on a estimé les futures données du triangle mixte (soit :

ninjnizz ij ,...,2;,...,2;~~ +−=== ) et les incréments futurs du triangle

composé (soit : ninjniqq ij ,...,2;,...,2;~~ +−=== ). On peut déduire les

incréments futurs estimés du notre triangle original, à partir de la relation :

ij

ijij z

qy ~

~~ = et estimer ensuite les réserves.

1.4.2 Approche Bayésienne pour l’estimation des réserves

Kunkler. [2006] a proposé une approche bayésienne pour l’estimation des

réserves.

Après avoir rappelé les principales caractéristiques du modèle bayésien, nous allons

présenter son application pour l’estimation des réserves dans le cadre d’une

modélisation GLM LogNormale.


1.4.2.1 Rappel sur le modèle Bayésien

Un modèle Bayésien est donné par la distribution a priori )(xp d’une

variable aléatoire, réelle et inconnue x et par la vraisemblance )( xyp des données

observées y.

Théorème : Dans le cadre bayésien, toute l’information sur x à partir des observations

y repose sur la densité a posteriori )( yxp qui est obtenue par la règle de Bayes :

)(

)()()(

yp

xpxypyxp = , où : la constante de normalisation )( yp s’obtient par

intégration : = dxxpxypyp )()()(

La connaissance de la densité a posteriori )( yxp permet alors de calculer l’estimateur

de la moyenne a posteriori obtenu par intégration : = dxyxxpyxE )()(

Corollaire : L’inférence bayésienne assume que les observations y et z avec leurs

paramètres inconnus respectives θ et λ sont des variables aléatoires. La distribution

de probabilité jointe de y, z, θ et λ est donnée par : ),,(),(),,,( λθλθλθ zyppzyp =

où : ),( λθp est la distribution jointe à priori de θ et λ et ),,( λθzyp est la

vraisemblance jointe. En conditionnant ),,,( λθzyp sur les données observées y et z

en utilisant la règle de Bayes, on obtient la distribution jointe a postériori de θ et λ qui

est définie par : ),(

),,(),(),,(

zyp

zyppzyp

λθλθλθ =

avec : = λθλθλθ ddzyppzyp ),,(),(),( est la distribution marginale jointe de y et

z (qui ne dépend pas de θ et λ ) et peut être donc considérée comme une constante

de normalisation. Ainsi, un résultat important de l’inférence bayésien consiste à

définir la distribution jointe a posteriori non normalisée deθ et λ , par :

),,(),(),,( λθλθλθ zyppzyp ∝ .


Parmi les différentes méthodes d’estimation, l’analyse Bayésienne a gagné en

popularité au cours des dernières années. En effet, le fait que cette méthode consiste

à baser l’estimation des paramètres sur une distribution a posteriori (qui mélange

l’information portée par les données observées, via la vraisemblance, et une

information a priori sur la distribution des paramètres à estimer), cela lui permet

d’avoir plusieurs avantages par rapport à une analyse classique. Tout d’abord,

l’introduction de connaissances a priori est susceptible d’améliorer l’estimation des

paramètres Ensuite, le formalisme Bayésien permet une analyse complète des

incertitudes non seulement d’échantillonnage (c’est le cas également des analyses

classiques), mais aussi de modélisation (quelle loi de probabilité choisir ? modéliser

une tendance linéaire, exponentielle, quadratique ?). Enfin, en basant l’inférence sur

une loi de probabilité, le calcul des intervalles de confiance est très naturel, et ne

repose sur aucune hypothèse asymptotique.

Toutefois, la seule difficulté dans l’analyse bayésienne est que la loi a posteriori

s’exprime, en général, comme une distribution multivariée qui est délicate à

manipuler dès que le nombre de paramètres est supérieur à deux ou trois et qui

nécessite, ainsi, un outil informatique assez puissant26.

1.4.2.2 Procédure d’estimation des réserves

• D’après le corollaire, on définit la distribution jointe de ijz et ijq sachant leurs

paramètres inconnus respectifs θ et λ : ),()(),,( θλλθ ijijijijij zqpzpzqp = , ainsi, on

peut définir la distribution marginale conditionnelle de ijq :

),1()1Pr(),1()1Pr(),( 10 θλθλλθ ==+−=−== ijijijijijijij zqpzzqpzqp

),1(),1()1( 10 θλθλ =+−=−= ijijijijijij zqpzqp

26 Une méthode qui fournit une solution algorithmique à ce problème est la méthode de simulation MCMC qui sera traitée dans le chapitre suivant « Techniques de simulation ».


Ainsi, et sachant queij

ijij z

qy = , on définit la distribution marginale conditionnelle de

ijy par : ),1(),1()1(),( 10 θλθλλθ =+−=−−−= ijijijijijijij zypzypyp

Cette distribution est la somme pondérée de deux distributions marginales : une

distribution régulière de la famille exponentielle ),1( 1θ=ijij zyp et une distribution

qui « reflète » la famille exponentielle ( )),1( 0θ−=−− ijij zyp .

• D’après le corollaire, on définit la distribution jointe a postériori des valeurs futures à

estimer ijz~ et ijq~ étant donné les valeurs connues du triangle mixte ijz et du triangle

composé ijq : ),~~()~(),~,~( qzqpzzpzqzqp ijijijijij =

Cette distribution permet de définir la distribution conditionnelle a posteriori des

valeurs futures des incréments, soient ijy~ par la relation : ijijij zqy ~~~ = .

Ainsi, pour estimer la distribution des ijy~ , nous devrons estimer :

La distribution a posteriori des valeurs futures ijz~ sachant z : )~( zzp ij

La distribution a posteriori des valeurs futures ijq~ sachant ijz~ et q : ),~~( qzqp ijij

Estimation de la distribution future a posteriori : )~( zzp ij

• On effectue la transformation suivante sur les données du triangle mixte, soit :

2/)1(* += ijij zz , ainsi on dispose 1,...,1;,...,1;** +−=== injnizz ij comme l’ensemble

des données transformées du triangle mixte. Par l’estimation de la distribution future

a posteriori )~( ** zzp ij , on déduit facilement celle )~( zzp ij

• Le modèle paramétrique des données transformées du triangle mixte

1,...,1;,...,1;** +−=== injnizz ij conditionnellement à des paramètres inconnus

1,...,1;,...,1; +−=== injniijλλ est défini par la loi Bernoulli de paramètre ijλ .


La densité de ijz sachant λ est donnée par : ijij zij

zijijzp

** 1)1()( −−= λλλ , où :

)1Pr( λλ == ijij z (resp. )1Pr(1 λλ −==− ijij z ) : est la probabilité associée à un

incrément positif (resp. négatif) dans l’année d’accident i et l’année de

développement j.

Afin de ne disposer aucune information a priori sur la distribution de λ , on suppose :

1)( =λp .(Kunkler.[2004])

• On définit la densité a postériori des valeurs futures transformées du triangle mixte

ninjnizz ij ,...,2;,...,2;~~ ** +−=== sachant les valeurs déjà connues

1,...,1;,...,1;** +−=== injnizz ij , par : )~(** zzp ij , cette densité est définie par la loi

Bernoulli de paramètre ijλ~ ).

Ainsi, on peut définir la moyenne a posteriori : ijij zzE λ~)~( ** = (avec :

ninjni ,...,2;,...,2 +−== ).

• Afin d’estimer ijλ~ , on modélise les données du triangle mixte par un modèle GLM

de Bernoulli. On définit ainsi :

Le prédicteur linéaire : ρτη )()(*

mjzij Imj >−+= où :

I : est une fonction indicatrice27.

m = 1,…, n est le rang de l’année de développement en dessous duquel la

moyenne a posteriori ijλ~ est approximativement stable par année de

développement. En outre, on suppose que les données transformées du triangle

mixte *z ont la même tendance par année de survenance et qu’elles n’ont pas

de tendance par année calendaire.

27 Une fonction indicatrice )( AI est définie par : 1)( =AI (si la condition A est satisfaite) et 0)( =AI (si la

condition A est non satisfaite).


La fonction lien est donnée par : *

)( zijijl ηλ = . Les fonctions liens associées à un

modèle GLM de Bernoulli, les plus utilisées en pratique, sont de trois types

(Tab.2.2).

Tab.2.2 : Les fonctions liens et leurs inverses associées à un modèle GLM de Bernoulli

Une fois qu’on a estimé le paramètre τ du prédicteur linéaire

*zijη , on a :

*~ zijη et on

déduit : )~(~ *1 z

ijij l ηλ −= .

Estimation de la distribution future a posteriori : ),~~( qzqp ijij

• Nous commençons par définir la distribution paramétrique conditionnelle des

données du triangle composé ijq (qui sont positifs) par un modèle GLM.

• Ainsi, on définit le prédicteur linéaire, appliqué sur le triangle composé q, par un

modèle à tendance probabiliste28 (voir Zehnwirth. [1994]) :

−−++

−=

−

=

−+

=

−−−=

−

=

−+

=

+++

+++

++===

ββ

β ιγαιγαβµη

ij

ij

ij

ij

X

z

j

d

ji

ttdi

X

z

j

d

ji

ttdiij

qij

qij X )1(

1

1

2

1)1(

1

1

2

1

11

Par hypothèse, on considère que les incréments positifs et négatifs ont la même

tendance par année calendaire, ainsi : ιιι == −+ , ce qui implique au final :

−+

=−=

−

=

−−=

−

=

++ +

++

+===

2

1)1(

1

1)1(

1

1

11ji

ttz

j

ddiz

j

ddiij

qij

qij ijij

X ιγαγαβµη β

Ainsi : ),,( ιγαβ +++ = et ),,( ιγαβ −−− =

28 Au contraire du modèle GLM des données du triangle mixte z, où le prédicteur linéaire est du type déterministe Chain Ladder (cette première forme du prédicteur linéaire est définie par Kremer.[1982]).

Fonction lien )( ijl λ Fonction lien inverse : ijijl λη =− )(1

Logistic ))1/(log( ijij λλ − ))exp(1/()exp( ijij ηη +

Probit )(1ijλφ − )( ijηφ

Complémentaire log-log ))log(log( ijλ− ))exp(exp( ijλ−


)( −+ αα : Paramètre de tendance des incréments positifs (négatifs) par année de

survenance.

)( −+ γγ : Paramètre de tendance des incréments positifs (négatifs) par année de

développement.

On considère ainsi, que la distribution du triangle composé q est conditionnellement

LogNormale pour 1,...,1;,...,1 +−== injni

=

−=

≈

+

−

−

+

−

+

1,

1,

,/)(2

2

ijij

ijij

ijij

zsiX

N

zsiX

N

zqLog

ωσβ

ωσβ

θβ

β

Où : [ ]βσθ ²,= et ],[ −+= βββ et 2σ .

−ω ( +ω ) : poids des incréments négatifs (positifs) dans le triangle de liquidation.

L’estimation de la distribution future a posteriori ),~~( qzqp ijij nécessite de déterminer

l’estimateur du paramètre inconnu [ ]βσθ ²,= (soit ]~

²,~[~ βσθ = ) qui se définie à partir

des distributions a posteriori des paramètres 2σ β

Dans le cas d’une modélisation GLM LogNormale, ces distributions a posteriori sont

conditionnellement définies par (Kunkler. [2004]) :

))(,ˆ(, 21'2 σβσβ ββ−≈ XXNq et ),( 222 sknInvq q βχσ −−≈ 29

Avec : β et ²s sont les estimateurs de β et 2σ et donnés par :

)log()(ˆ '1' qXXX ββββ −= et ( ) ( )ββ βββ

ˆ)log(ˆ)log(1

²'

XqXqkn

sq

−−−

= , où :

29 En imposant une distribution marginale de chi deux inverse scaled à 2σ par l’approche bayésienne, on incorpore une incertitude sur ce paramètre de variance. Si on n’adopte pas l’approche bayésienne, cette distribution sera simplement : 1)( 2 =qp σ et toute l’incertitude sera modélisée par β


qn : est le nombre initial des données dans le triangle composé q (ou le triangle de

liquidation).

βk : nombre des paramètres de β .

En outre, on suppose qu’on ne dispose d’aucune information a priori sur les

distributions de β et 2σ , en imposant que la distribution jointe de ces derniers est

définie par : 122 )(),( −∝ σσβp .

Une fois que le paramètre [ ]βσθ ²,= estimé, on peut définir la distribution future a

posteriori ),~~( qzqp ijij par une loi LogNormale conditionnelle définie par :

=

−=

≈

+

−

−

+

−

+

1~~,

~~

1~~,

~~

~,~/)~(

2~

2~

ijij

ijij

ijij

zsiX

N

zsiX

N

zqLog

ωσβ

ωσβ

θβ

β

Pour : ninjni ,...,2;,...,2 +−==

Estimation des Réserves

A partir de l’estimation des distributions futures a posteriori des valeurs futures du

triangle mixte ninjnizz ij ,...,2;,...,2;~~ +−=== et du triangle composé

ninjniqq ij ,...,2;,...,2;~~ +−=== , on peut déterminer la distribution a posteriori des

incréments futurs du triangle de liquidation ninjniyy ij ,...,2;,...,2;~~ +−=== à

l’aide de la relation : ijijij zqy ~~~ = .

Ainsi, on définit :

+−=

=n

injiji yR

2

~ : les réserves par année de survenance.

=

=n

iiRR

1

: les réserves totales (ou agrégées).


L’analyse bayésienne utilise des techniques de simulation (comme la méthode

d’échantillonnage de GIBBS30) qui permettent au final de créer une distribution

empirique (ou un échantillon) de chaque incrément futur ce qui permet d’avoir une

distribution empirique des réserves par année d’accident et une distribution

empirique des réserves agrégées.

Lors de la création des échantillons de L (par exemple 10000) pour les réserves, on

dispose :

- Pour les réserves de l’année de survenance i, on a : iLii RRR ,.......,, 21

- Pour les réserves totales, on a : LRRR ,.......,, 21

Ce qui nous permet de calculer leurs caractéristiques statistiques empiriques

(moyenne empirique, quantiles, variance empirique, médiane, …). En particulier, le

Best Estimate des réserves est estimé par la moyenne empirique et l’erreur

quadratique moyenne (m.s.e) est estimée par la variance empirique (De Alba. [2006]).

Tab.2.3 : Estimation de Best Estimate et m.s.e des réserves

Réserves par année d’accident i Réserves agrégées

Best Estimate m.s.e Best Estimate m.s.e

=

=L

lili R

LR

1

1

2

1

2 )(1

i

L

lilR RR

Ls

i =

−=

= ==

==L

l

n

iil

L

ll R

LR

LR

1 11

11 2

1

2 )(1

RRL

sL

llR

=

−=

30 Cette méthode est parmi les méthodes de Monte Carlo par Chaîne de Markov(MCMC). Le cas général de cette méthode ainsi que son application au modèle bayésien seront abordés dans le chapitre suivant « Techniques de simulation ».


CHAPITRE 2

TECHNIQUES DE SIMULATION

Les Techniques de simulations sont indispensables que ce soit pour l’estimation des

réserves (par l’approche bayésienne) ou pour la génération d’un grand nombre de

scénarii des paiements futurs sur un horizon d’un an.

Il existe différentes méthodes de simulation. Nous allons limiter notre champ d’étude

aux méthodes de Monte Carlo dont le but est de rapprocher le résultat théorique

recherché en effectuant des tirages selon la loi du phénomène observé.

Nous allons présenter dans ce chapitre deux techniques de simulation par la

méthode de Monte Carlo à savoir la méthode d’inversion de la fonction de

répartition et la méthode de Monte Carlo par Chaîne de Markov.

2.1 Simulation par inversion de la fonction de répartition Classiquement, c’est l’une des méthodes les plus utilisées en simulation, au

moins lorsque la puissance de l’outil informatique permet les calculs, et que

l’inversion de la fonction de répartition est faisable, ce qui nécessite le plus souvent

une expression analytique simple de cette fonction de répartition.

Cette technique repose sur la définition suivante :

Définition Soit X une variable aléatoire réelle (v.a.r) de fonction de répartition F.

On appelle inverse généralisée de F, la fonction 1−F définie pour tout ] ]1;0∈y par

yxFxyF ≥ℜ∈=− )(inf)(1 .


L’existence de la fonction de répartition inverse étant acquise, voici un résultat

expliquant l’utilisation de ce type de méthodes :

Propriété soit U une v.a.r suivant la loi uniforme sur l’intervalle [0 ; 1], alors )(1 UF −

A la même loi que X. De plus, si F est continue surℜ , alors )(1 UF − suit la loi

uniforme U [0 ; 1].

Ainsi, pour simuler un n-échantillon i.i.d de loi ayant pour fonction de répartition F,

il suffit de simuler n réalisations indépendantes d’une v.a.r de loi uniforme U [0 ; 1],

puis d’appliquer l’inverse de la fonction de répartition à chacune de ces valeurs. On

comprend alors ici tout l’enjeu d’une simulation « optimale » des réalisations d’une

loi uniforme, puisque les seules approximations résident dans celle-ci quand

l’inversion de la fonction de répartition se fait de manière analytique. Il existe

plusieurs procédés informatiques de génération des v.a.r uniformément distribuées.

Parmi ceux-ci, les générateurs pseudo aléatoires31 implémentés par défaut dans les

langages usuels (type C++, VBA, MATLAB,…) produisent des valeurs déterministes

et parfaitement prévisibles, mais dont les propriétés statistiques sont satisfaisantes

(en particulier les tests d’indépendance sur les échantillons obtenus par ces

générateurs sont statistiquement validés).

Dans le cas où nous ne disposerions pas de formule explicite pour 1−F , nous

utiliserons des algorithmes d’approximation de cette fonction ou des algorithmes

spécifiques à la loi que l’on souhaite traiter. C’est le cas, en particulier, pour la loi

Normale N ( ²,σµ ) dont la fonction de répartition est ∞−

−−

=x r

drexF

2

21

2

1)( σ

µ

πσ. Il

n’y a pas d’expression analytique de l’inverse de cette fonction et on utilise donc

des algorithmes d’approximation comme la méthode de rejet polaire, méthode du

Box Muller, l’algorithme d’inversion de Moro …32

31 Un générateur aléatoire est un algorithme fournissant une suite de nombres compris entre 0 et 1. 32 Voir Planchet et al. [2005] pour une présentation simple illustrée par des exemples de ces algorithmes d’approximation.


2.2 Simulation de Monte Carlo par Chaîne de Markov Les méthodes de Monte Carlo par Chaîne de Markov (MCMC pour Markov

Chain Monte Carlo, en anglais) reposent sur le principe suivant : « Générer une chaîne

de Markov homogène, de loi stationnaire la loi à simuler ».

Il existe dans la littérature de nombreuses méthodes MCMC (voir Droesbeke et al.

[2002]). Notons que si ces méthodes sont de nombreuses applications dans une

approche bayésienne pour l’estimation des paramètres, elles sont aussi utilisables

dans le cadre de la génération de réalisations de v.a.r.

Nous nous limiterons ici à une méthode qui utilise des densités conditionnelles,

appelée « échantillonnage de GIBBS». Après avoir présenté le cas général de cette

méthode, nous allons montrer comment l’appliquer au modèle Bayésien (voir

Planchet et al. [2005]).

2.2.1 Méthode d’échantillonnage de GIBBS

Soit un vecteur aléatoire ),...,( 1 nXX à simuler. Notons :

- ),...,( 1 nxxp la densité (ou encore la distribution) jointe.

- )( jxp la densité marginale de la jéme variable

- ),( jixxp ij ≠ la densité conditionnelle complète de la jéme variable.

L’algorithme à utiliser pour simuler des réalisations du vecteur ),...,( 1 nXX est :

- Choisir des valeurs initiales ),...,,( )0()0(2

)0(1

)0(nxxxx = .

- Initialiser la variable de comptage i à i=0.

- Simuler : )1(1

+ix suivant ),...,( )()(21

in

i xxxp ,

)1(2

+ix suivant ),...,,( )()(3

)1(12

in

ii xxxxp + ,


)1(3

+ix suivant ),...,,,( )()(4

)1(2

)1(13

in

iii xxxxxp ++ ,

…

)1( +inx suivant ),...,,( )(

1)1(

2)1(

1i

nii

n xxxxp −++

Et on déduit, enfin : ( ))1()1(2

)1(1

)1( ,...,, ++++ = in

iii xxxx

- Incrémenter i de 1 unité, puis repasser à la troisième étape.

Nous ne présentons pas ici les bonnes propriétés de cet algorithme, mais nous

admettrons qu’il génère des Chaînes de Markov de distribution invariante )(xp , ce

qui nous permettra d’utiliser le résultat suivant (voir Rolski et al. [1998]):

Théorème d’Ergodicité

=

→n

ip

i XhEXhn 1

)( )]([)(1

quand +∞→n p.s

Nous allons présenter par la suite un exemple extrait de Droesbeke et al. [2002].

Soient les v.a.r suivantes :

),( baBetaY ≈ de densité )1()()()(

)( 111

−− −ΓΓ+Γ= ba yy

baba

yf , avec : 10 ≤≤ y

)(λPoissonZ ≈ de densité [ ]!

1)exp()( 12 z

zfzλλ −−= , avec : z=1,2, …

),( yzBinomialeX ≈ conditionnellement à Z et Y , de densité xzxxz yyCzyxf −−= )1(),(3

, avec : x=0, 1, 2, …,z .

Pour situer cet exemple dans un contexte actuariel, Scollinik. [1996] imagine par

exemple que X représente le nombre de polices générant des sinistres dans un

portefeuille de polices Z i.i.d ayant chacune une probabilité de sinistre égale à Y .

Ainsi, la loi marginale de X donne le nombre de polices générant un sinistre dans un

portefeuille arbitraire, mais cette loi ne peut pas être obtenue analytiquement.


Appliquons donc l’échantillonnage de GIBBS, nous avons :

),(),( yzBinomialezyxf ≈ ; ),(),( bxnaxBetazxyf +−+≈ et

[ ][ ] [ ]( ))!(

1)1exp(),(

xzy

yyxzfxz

−−−−=

−λλ , avec : ,...1, += xxz ; où :

[ ])1(),( yPoissonyxxzf −≈− λ

La densité de X est approximée par : +

+=

=EK

Ek

kk NYxfK

xf1

)()( ),(1

)( en notant K le

nombre de simulations effectuées, et E le nombre des premières simulations dont

nous ne tenons pas compte, afin d’annuler l’effet du choix des valeurs initiales de

l’algorithme. Les variables sont initialisées, puis nous calculons )1(Y à partir de )0(X et

)0(Z , puis )1(Z à partir de )1(Y et )0(X puis )1(X à partir de )1(Y et )1(Z et ainsi de suite.

Cette méthode est souvent préconisée pour simuler des modèles multivariés

complexes. La seule chose à savoir faire est de simuler les distributions

conditionnelles complètes des différentes variables du modèle, au pas à pas. Et c’est

là où intervient l’appellation Monte Carlo de cette méthode MCMC, car pour pouvoir

simuler ces distributions conditionnelles, il faut utiliser des algorithmes de type

Monte Carlo correspondants à celles-ci.

2.2.2 Application de la méthode d’échantillonnage de GIBBS à l’approche Bayésienne

Plaçons-nous dans cette partie sous le modèle Bayésien classique. Pour

générer le vecteur ),...,( 1 mλλ , l’idée est ainsi de disposer, pour j=1,2,…,m, des lois

conditionnelles : );,,...,( 1 jlxxg lnjj ≠λλ et d’utiliser alors la méthode vue au

paragraphe précédent, en remarquant bien que nxx ,...,1 sont des observations

disponibles au moment de la simulation, et n’ont donc pas besoin d’être simulées.

Une autre approche, plus générale, est de pouvoir décomposer ),...,( 1 nxxg λ , en :


θθθλλ dxxgxxgxxg nnn ),...,(),,...,(),...,( 12111 = , avec : ),...,(),,...,( 1211 nn xxgxxg θθλ

vérifiant à son tour l’hypothèse de décomposition.

Ainsi, la méthode d’échantillonnage de GIBBS permet de résoudre les problèmes

d’intégration numérique, rencontrés dans l’approche Bayésienne. En effet, ces

problèmes n’admettent pas en général de solution analytique, et sont inabordables au

moyen des techniques d’approximations analytiques ou numériques classiques.

En conclusion, bien que coûteuses en temps de calcul, les méthodes MCMC, et en

particulier la méthode d’échantillonnage de GIBBS, sont très robustes, peu sensibles

à l’initialisation, et permettent d’obtenir des estimateurs « optimaux » dans des cas

très complexes. Ces méthodes constituent, ainsi, des méthodes stochastiques

puissantes de simulation qui seront amenées à se développer dans le futur.


CHAPITRE 3

VALUE at RISK

Dans un contexte de projet « Solvabilité 2 », le principal outil théorique pour

l’évaluation de chargement en capital (ou SCR) de risque de provisionnement, sur un

horizon temporel de gestion fixé à un an et en fonction d’une règle de tolérance au

risque, est défini sous le vocable « mesure de risque ».

La mesure de risque privilégiée par le projet « Solvabilité 2 » pour l’évaluation de

SCR lié au risque de provisionnement, que ce soit par l’approche standard ou le

modèle interne, est la Value at Risk (VaR).

Dans ce qui suit, on donnera, d’abord, la définition d’une mesure de risque. Ensuite,

nous allons présenter d’une façon intuitive la notion de la VaR avant de la situer

dans le cadre d’évaluation du risque de provisionnement.

3.1 Mesure de Risque

Soit Ω l’ensemble fini des états de nature possibles, on appelle variable

aléatoire réelle une fonction Χ qui à un état de la nature ω associe le réel ( )ωΧ .

En assurance, plusieurs indicateurs de risque (comme la charge agrégée de sinistres

d’une ou plusieurs garanties, les variations défavorables des provisions techniques,

…) peuvent être formalisés de cette manière.

Χ pourra être caractérisée par sa fonction de répartition XF , donnée par :

( ) ( ) xxxF ≤ΧΡ=≤ΧΡ=Χ ωω


On appelle mesure de risque une fonction ρ associant à un risque Χ un réel positif

( )Χρ sur la base d’un indicateur de ce risque.

Par ailleurs, une mesure de risque doit pouvoir vérifier un certain nombre de

propriétés élémentaires.

A ce jour, il n’existe pas de consensus dans la littérature actuarielle sur les propriétés

que doit nécessairement respecter une mesure de risque. Nous rappelons ci-après le

corps des propriétés pouvant s’appliquer aux mesures de risque utilisées pour

estimer le chargement en capital en nous inspirant des travaux d’Odjo et De La

Foata, [2001].

En effet, pour deux risques quelconques Χ et Υ , les propriétés suivantes peuvent

être formulées :

• P1: Invariance par translation ( ) ( ) cc −Χ=+Χ ρρ

Pour toute constante c, Si on ajoute (resp. on retranche) un montant certain c à

un indicateur du risque d'un centre de profit (qui peut être soit la compagnie

dans son ensemble, soit limité à une branche d’activité donné). Le besoin en

capital décroît (resp. augmente) du même montant.

• P2 : Sous additivité ( ) ( ) ( )Υ+Χ≤Υ+Χ ρρρ

La fusion de deux centres de profit ne crée pas de risque supplémentaire. Au

contraire, la diversification tend à réduire le risque global. Cette propriété

permet ainsi une gestion décentralisée du besoin en capital dans les différents

centres de profit sans courir le risque d’un besoin global supérieur à la somme

des besoins individuels de chacun des centres. Si cette propriété n’était pas

respectée, une société ne respectant pas un certain niveau requis de capital

pourrait être incitée à se scinder artificiellement en deux entités afin de réduire

son besoin en capital.


• P3 : Homogénéité positive ( ) ( )Χ=Χ λρλρ

De même qu’une fusion ne crée pas de risque supplémentaire ( )( ) ( )Χ≤Χ λρλρ ,

une fusion sans diversification ne réduit pas le besoin global en capital.

• P4 : Monotonie ( ) ( )Υ≥ΧΥ≥Χ ρρ

Si les pertes encourues avec le risque Χ sont toujours supérieures à celles

obtenues avec Υ , le besoin en capital pour X doit être supérieur à celui

pour Υ .

Par ailleurs, selon Artzner et al. [1999], une mesure de risque vérifiant ces quatre

propriétés est dite« cohérente».

3.2 Value at Risk

3.2.1 Définition

Développée par Jorion. [1997], La Value at Risk (en français, Valeur en

Risque) correspond au montant de perte probable liée à des variations défavorables

de risque sous-jacent, pour un horizon de gestion donné(H). En terme statistique, si

l’on note α le seuil de confiance choisi, la VaR correspond à la notion de quantile :

( ) αα −=≥ 1)(Pr VaRHperteob

Afin de calculer la VaR, il est essentiel de spécifier la période sur laquelle le risque est

mesuré et le seuil de confiance α .

Par ailleurs, la VaR présente une limite méthodologique assez fondamentale. D’une

part, elle n’est pas une mesure cohérente du risque puisqu’elle ne vérifie pas toujours

la propriété de sous additivité et d’autre part, elle ne s'intéresse pas aux valeurs

extrêmes au delà du seuil α .


L’introduction de la TailVaR (TVaR) a permis de combler ces limites. Cette mesure

de risque est définie comme la moyenne des VaR de seuil supérieur à α . Ainsi, elle

prend en compte les extrêmes au-delà du seuil α et en plus, elle est une mesure

cohérente du risque. Cependant, le calcul de la TVaR s’avère plus difficile et nécessite

un nombre de simulations important. De plus, on réalise la moyenne des pertes rares

donc moins bien connues (sinistres très élevés dont l’estimation et la modélisation

sont moins fiables), ce qui peut donner des calculs inadéquats.

Fig.2.5 : Représentation de la VaR et TailVaR à un seuil α

3.2.2 Les différentes approches de calcul de la VaR

Il existe en pratique trois méthodes de calcul de la VaR à savoir les méthodes

paramétrique, historique et Monte Carlo.

La VaR paramétrique

Cette méthode est fondée, en général, sur l’hypothèse de connaissance de la loi

réelle suivie par les pertes.

Ainsi, connaissant la vraie fonction de répartition F (.) associée à la distribution de

pertes ( Χ ), on a: ( )αα1−

Χ= FVaR


Dans le cas particulier des distributions gaussiennes, on a la formulation explicite

suivante: ( ) ( )Χ+Χ= σαα ZEVaR

Avec : E (.)=moyenne, σ (.)=écart type et αZ le quantile normal d’ordre α .

Et c’est le seul cas pour lequel il est équivalent de raisonner en VaR ou en variance

pour déterminer le chargement en capital (SCR) relatif au risque Χ .

Notons que cette méthode analytique ne prend en compte que des relations

linéaires entre les indicateurs du risque et le SCR.

La VaR historique

Contrairement à la VaR paramétrique, la VaR empirique est entièrement basée sur

les variations historiques des indicateurs du risque.

Il correspond au montant de pertes qui se situe à la ( ) ièmeT*α−1 position de la

série des pertes historiques (de longueur T) classées en ordre croissant.

Bien que la VaR historique n’impose pas d’hypothèses sur la loi des indicateurs de

risque (à la différence de la VaR analytique), il est tout de même nécessaire d’avoir

un modèle sous-jacent pour estimer les indicateurs de risque pour l’historique des

pertes. Par ailleurs, cette méthode est très utilisée en pratique vu sa simplicité et

son implémentation facile. Toutefois, elle représente quelques difficultés. En effet,

l’estimation d’un quantile demande beaucoup d’observations, condition rarement

réalisée en pratique en assurance (en particulier l’insuffisance des observations

dans le triangle de liquidation pour le provisionnement IARD).

La VaR aléatoire (ou VaR Monte Carlo)

La VaR Monte Carlo est basée sur la simulation des indicateurs de risque par une

loi admissible, par génération d’un grand nombre de scénarii, on obtient ainsi, une

distribution simulée des pertes qui converge vers la vraie distribution (inconnue) ;

il suffit ensuite de calculer le quantile correspondant comme pour la méthode de

VaR historique.


Il faut noter que cette méthode demande beaucoup de temps de calcul. De plus,

elle demande un effort important de modélisation puisqu’elle détermine

entièrement les trajectoires des indicateurs du risque utilisés pour le calcul de la

VaR.

3.3 Evaluation du risque de provisionnement par la VaR

Dans le cadre de notre étude qui consiste à évaluer le risque de

provisionnement par le modèle interne du projet Solvabilité 2, le SCR lié à ce risque

est évalué au final à l’aide de la VaR à un seuil de confiance 99,5% (soit donc un

niveau de ruine de 0,5%) sur une période d’un an, calculée sur la base d’une

distribution de l’indicateur du risque sous-jacent qui correspond aux fluctuations (ou

variations) de Best Estimate des provisions techniques de fin de l’année N suite aux

simulations des différents scénarii de l’information supplémentaire relative aux

paiements de l’année N+1.

Ainsi, le principal intérêt de la VaR est que sa mise en œuvre permet d’évaluer la

perte maximum probable liée aux variations défavorables du Best Estimate.

Notons que, d’une part, puisqu’au final la distribution empirique des différentes

valeurs du Best Estimate est inconnue, la VaR calculée dans le cadre du modèle

interne correspond à la VaR Monte Carlo.

D’autre part, l’approche standard impose une loi LogNormale pour la distribution de

Best Estimate des provisions, ainsi, la VaR 99,5% peut être calculée directement par la

méthode paramétrique à partir de la fonction de répartition LogNormale ou encore

par la méthode de Monte Carlo suite à une simulation de la distribution

paramétrique de Best Estimate.


CONCLUSION Au niveau de cette partie, nous avons présenté le cadre théorique de l’évaluation

du risque de provisionnement tout en respectant la réglementation et le principe du

modèle interne du projet « Solvabilité 2 ».

Nous avons commencé, dans le premier chapitre par la présentation des deux

méthodes actuarielles différentes d’évaluation du Best Estimate à savoir les méthodes

de Chain Ladder et les modèles GLM.

Après avoir rappelé les principes de la méthode de Chain Ladder déterministe et le

modèle conditionnel de Mack (qui constitue une extension stochastique de cette

dernière), nous avons fait une présentation générale des modèles GLM avant

d’aborder la problématique de présence d’incréments négatifs, qui se présentent

souvent dans les triangles de liquidation. De ce fait, nous avons présenté un modèle

GLM basé sur une approche bayésienne qui s’adapte à cette problématique tout en

limitant notre champ d’étude au modèle GLM LogNormale.

Dans le deuxième chapitre, nous avons présenté deux techniques de simulation de

Monte Carlo à savoir la méthode classique d’inversion de la fonction de répartition et

la méthode MCMC (en particulier, la méthode d’échantillonnage de GIBBS appliquée

au modèle bayésien), qui seront utiles pour la construction des scénarios des

paiements adaptés aux modèles de provisionnement de Chain Ladder et les modèles

GLM.

Le troisième chapitre était consacré à la présentation de la VaR. Nous avons

rappelé, d’abord, les caractéristiques d’une mesure de risque et défini, ensuite, la

notion de la VaR ainsi que ses méthodes d’évaluation avant d’expliquer comment on

peut mettre en œuvre cette mesure dans l’évaluation du SCR lié au risque de

provisionnement.

Nous illustrons dans la troisième partie formant la partie empirique, une mise en

œuvre pratique de ces différents aspects théoriques appliquée à un portefeuille IARD

d’une société d’assurance du marché français.


PARTIE 3

ETUDE EMPIRIQUE


INTRODUCTION

Le principe fondamental de la réforme « Solvabilité 2 » est simple : chaque assureur

ou réassureur doit être à même de comprendre les risques inhérents à son activité

afin d’allouer suffisamment de capital pour les couvrir. Le processus

d’implémentation de ce processus est cependant beaucoup plus complexe et

nécessite la participation de tous les acteurs du marché d’assurance européen que ce

soient les autorités du contrôle ou les sociétés d’assurance et de réassurance.

Dans ce contexte, le marché français semble actuellement au milieu de gué avec

certains acteurs qui sont déjà bien engagés dans l’implémentation de ce processus.

Leader sur le marché d’assurance français, « AXA France » utilise déjà des modèles

d’évaluation de ses risques techniques et financiers dont l’objectif est de pouvoir les

utiliser pour évaluer ses besoins en capital pour la couverture de ces risques tout en

respectant les normes du futur référentiel « Solvabilité 2 ».

Néanmoins, AXA France souhaite améliorer la modélisation de certains risques dont

le risque de provisionnement. Cette mission est confiée au département « Risk

Management » qui a pour objectif d’identifier, mesurer, gérer et suivre l’ensemble

des risques d’AXA France.

Au cours de mon stage de fin d’études au sein du département « Risk Management

IARD », j’ai eu l’occasion de participer à plusieurs missions : proposer une approche

méthodologique pour la modélisation des réserves de chaque branche compatible

avec les exigences de Solvabilité 2, participer à l’implémentation de la méthode

retenue dans le modèle interne AXA France et à l’analyse de la solution « Risk

Management » pour couvrir le risque de provisionnement.

L’objectif principal de ces missions était de chercher des améliorations pour le

modèle actuel de mesure du risque de provisionnement d’ « AXA France IARD ».

Pour atteindre cet objectif et après avoir présenté dans les parties précédentes les

fondements théoriques et réglementaires du risque de provisionnement, nous allons

présenter dans cette partie une mise en œuvre pratique d’analyse du risque de


provisionnement des réserves de fin 2007 dans le cadre du projet Solvabilité 2

appliquée à un portefeuille IARD d’AXA France.

Après avoir présenté le portefeuille IARD à étudier dans un premier chapitre, nous

allons exposer et analyser, dans un deuxième chapitre, le modèle actuel d’AXA

France afin de trouver les sources d’amélioration possible pour ce dernier. Dans les

deux chapitres qui suivent, nous allons analyser, en premier lieu, les différents

résultats obtenus sur le risque de provisionnement des réserves de fin 2007 sur

l’horizon ultime de développement des paiements, et en second lieu, sur un horizon

d’un an conformément aux exigences du projet « Solvabilité 2 ». Enfin, nous allons

comparer les résultats du modèle interne de risque de provisionnement à un an à

ceux de la formule standard.


CHAPITRE 1

PORTEFEUILLE IARD ETUDIÉ

Dans ce chapitre, nous présentons, d’abord, les branches retenues du portefeuille

d’assurance IARD étudié ainsi que leur base de données correspondante, et ensuite

les outils informatiques que nous avons utilisés.

1.1 Portefeuille étudié

Le portefeuille IARD retenu pour l’analyse et l’évaluation du risque de

provisionnement est constitué de trois branches :

Risques Industriels et Pertes d’exploitation

Cette branche appartient au segment « Incendie et autres dommages aux biens »

(voir Fig.1.6). Elle correspond à un risque court c'est-à-dire qu’une fois le sinistre est

ouvert (ou déclaré), celui-ci sera réglé rapidement.

Responsabilité Civile Automobile Corporelle (RC AUTO Corporelle)

Cette branche appartient au segment « Automobile, Responsabilité Civile ». Elle

constitue un risque à liquidation lente, l’assureur peut ainsi être informé rapidement

de l’existence d’un sinistre corporel (suite à l’accident automobile) mais son

règlement total ne pourra pas intervenir, en tout état de cause, avant que toutes les

conséquences en terme de santé ne soient connues, c'est-à-dire que l’état de santé de

l’assuré ne soit stabilisé. Notons que le coût final du sinistre reste également

incertain.

Responsabilité Civile Entreprises Générale (RC Entreprises Générale)

Cette branche appartient au segment « Responsabilité Civile », elle a une

liquidation longue.


1.2 Présentation des données

Base de données pour les méthodes Chain Ladder (voir ANNEXE 4)

Nous disposons pour chacune des trois branches d’un jeu de 90 données des

paiements cumulés correspondant à quatorze années de survenance de sinistres (de

1994 jusqu’à 2007) avec un développement de paiements sur un maximum de

quatorze ans, c'est-à-dire qu’on suppose qu’au bout de quatorze ans, tous les sinistres

aient été déclarés et qu’ils ne donnent plus lieu à aucun règlement.

Base de données pour la modélisation GLM (voir ANNEXE 5)

Pour mener à bien notre étude sur le modèle GLM (en particulier pour la

modélisation de la tendance), nous disposons de 496 paiements incrémentaux de

sinistres pour chacune des trois branches correspondant à dix-neuf années de

survenance des sinistres (de 1989 jusqu’à 200733) et 76 (soit 19×4) périodes

trimestrielles de développement. Notons que ces incréments sont bruts de recours, ce

qui justifie la présence des montants négatifs.

Remarques

Dans un souci de confidentialité, nous avons reconstitué l’historique des

paiements des sinistres pour chacune des branches de notre portefeuille

« IARD ». Cette reconstitution respecte la structure interne des données réelles de

façon qu’elle n’affecte pas, au final, les analyses faites.

Toutes les données observées relatives à nos branches sont déflatées et brutes

de réassurance et elles sont présentées sous forme des trapèzes de liquidation.

Nous avons présenté le détail de tous les montants des règlements, en cumulés

ainsi que les incréments (notons que pour ces derniers, nous avons essayé de

montrer uniquement la présence des valeurs négatives sans présenter la totalité

des données).

33 Dans ce qui suit de cette partie, l’année de survenance 1994 & ant dans le cadre d’une modélisation GLM présente les années de survenance de 1989 jusqu’à 1994.


1.3 Outils

Les principaux outils informatiques à notre disposition sont :

- RA Tool : Outil de simulation d’AXA France programmé sur Excel et en VBA.

- Un progiciel de programmation : MATLAB.

Notre choix pour MATLAB est justifié par la puissance de ce dernier, il nous

permet de faire des estimations sur un volume de données très important, des

simulations des échantillons assez grands de variables aléatoires et d’effectuer, en

plus, tous types de calculs statistiques.


CHAPITRE 2

MODÈLE ACTUEL DU RISQUE DE PROVISIONNEMENT

D’AXA FRANCE

Ce chapitre est consacré à la présentation du modèle actuel d’AXA France pour

l’analyse et l’évaluation du risque de provisionnement sur l’horizon ultime du

développement des règlements (qui correspond au nombre maximum des années du

développement) et sur un horizon d’un an.

Avant de présenter cette méthode, il nous semble intéressant de présenter la notion

du coefficient de variation. Ce dernier sera, en effet, un outil d’analyse tout au long

de notre étude.

2.1 Notion de Coefficient de Variation

On définit le coefficient de variation par le rapport entre la racine carrée de

l’erreur quadratique moyenne (s.e pour squared error, en anglais), qui est une mesure

de variabilité (ou de l’incertitude) de l’estimation de Best Estimate R (valeur espérée

des provisions), et la valeur espérée de ce Best Estimate. Ainsi, on a analytiquement :

)ˆ()ˆ(.

)(varRE

RescviationdetCoefficien =

Ce coefficient est un indicateur de la qualité d’estimation du Best Estimate. En effet,

plus ce coefficient est faible, plus l’amplitude de l’intervalle de confiance des Best

Estimate est étroite et par conséquent plus la valeur estimée du Best Estimate est

précise.


Remarque

A partir d’un échantillon assez grand (de moyenne E et d’écart typeσ ) des

réalisations d’une variable aléatoire Χ , nous pouvons construire un intervalle de

confiance pour cette v.a Χ en utilisant l’approximation normale. En effet, à un seuil

de confiance α , on a : [ ]σαqE ±∈Χ , avec αq est le quantile d’ordre α de la loi

Normale (0,1).

Ainsi, l’intervalle de confiance à 95% construit pour un échantillon assez grand des

réalisations de Best Estimate R , s’écrit sous la forme: )]ˆ(.96,1)ˆ([ ResRE ± , soit donc:

)]ˆ(..96,1)ˆ([ REcvRE ±

2.2 Modèle Actuel du Risque de Provisionnement d’AXA France

A l’aide de l’outil informatique de simulation nommé « RA Tool », la méthode

actuelle de l’analyse et d’évaluation du risque de provisionnement est dérivée du

modèle conditionnel de Mack (1993 et 1999) et donc à la méthode de Chain Ladder

Stochastique.

Cette méthode consiste à estimer, dans un premier temps, la volatilité et le coefficient

de variation des réserves à l’ultime à l’aide de la méthode Chain Ladder et de

procéder, dans un second temps, à quelques ajustements « manuels » sur ces

estimations cohérents avec la vision interne de la société pour le risque engendré par

chaque branche.

Dans notre cadre d’étude et en nous plaçant toujours au 31/12/2007, nous allons

décrire, par la suite, le principe de cette méthode pour le risque de provisionnement

(pour les réserves à l’ultime de fin 2007) sur l’horizon ultime du développement des

paiements (soit les quatorze années calendaires futures de 2008 à 2020) et sur un

horizon d’un an (prochaine année calendaire qui est l’année 2008), voir Fig.3.1.


Fig.3.1 : Horizon ultime et Horizon à un an du risque de provisionnement des réserves de fin 2007

2.2.1 Risque de provisionnement sur l’horizon ultime du développement des

paiements

Le principe de la méthode est le suivant :

1- La valeur estimée du Best Estimate des réserves à l’ultime est déterministe et

son calcul inclut plusieurs facteurs internes à la société (charges sinistres, avis

d’experts,…)

Remarque : Dans tout ce qui suit, le Best Estimate du modèle actuel d’AXA France

désignera notre « Best Estimate de Référence ».

2- Après l’estimation du montant espéré et de la volatilité des réserves à l’ultime à

l’aide du modèle conditionnel de Mack(1993), un coefficient de variation à l’ultime

théorique est calculé sur la base de ces estimations.

3- Dans le cas de notre portefeuille IARD, la volatilité et le coefficient de variation

à l’ultime seront sélectionnés de telle sorte :

Horizon ultime du développement des paiements

Année de survenance

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020

1994 & ant

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

horizon à un an


Pour la branche Risques Industriels & Pertes d’exploitation, on conserve la

volatilité théorique des réserves à l’ultime (Mack. [1993]). Ainsi, le nouveau

coefficient de variation sera le rapport entre le Best Estimate de Référence et

cette dernière.

Pour les branches RC, on conserve le coefficient de variation théorique et on

recalcule une nouvelle volatilité des réserves à partir de ce dernier et du Best

Estimate de Référence.

4- Le montant du Best estimate de référence et la volatilité retenue des réserves à

l’ultime seront considérés respectivement comme la moyenne empirique et la

variance empirique des réserves à l’ultime.

Ainsi, en imposant la loi LogNormale à la distribution des réserves à l’ultime, dont la

calibration des paramètres se fait à l’aide de la méthode des moments, on calcul, par

conséquent, la VaR au seuil de confiance 99,5% sur la base du quelle sera évaluée le

SCR lié au risque de provisionnement sur l’horizon ultime du développement des

paiements.

2.2.2 Risque de provisionnement sur un horizon d’un an

Avant de décrire les étapes de la méthode pratiquée dans ce cas, nous

précisons que l’estimation prudente du Best Estimate espéré reste la même que celui

pour l’analyse de risque de provisionnement sur l’horizon ultime de 14 ans (qui est

notre Best Estimate de référence).

Par conséquent, et afin d’analyser et évaluer le risque de provisionnement des

réserves à l’ultime de fin 2007 sur un horizon d’un an, le but de cette méthode est de

réestimer la volatilité (m.s.e) du montant espéré du Best Estimate des réserves à

l’ultime en tenant compte de la déviation (ou la variation) à un an relative à la

volatilité à l’ultime de ces réserves.

Dans ce qui suit de ce paragraphe, nous allons décrire les principales procédures de

cette méthode avec une illustration sur la branche « Risques Industriels & Pertes

d’exploitation ».


1- La formule donnée par Mack ([1993] et [1999]) pour l’estimation de la volatilité des

réserves à l’ultime de fin 2007 par chaque année de survenance, soit (pour i= 2, …,

14):

+=

−

=

−

−+=k

jjk

ikik k

kii

CCfCResm

14

1

114

1142

2214,

1ˆ1ˆˆ)ˆ(.ˆ.

σ permet d’estimer la part de cette volatilité

à l’ultime qui correspond à l’année calendaire 2008, soit donc :

( )

+=

−

=

k

jjk

ikk

kii

CCfCResm 14

1

2

2214,

2008 1ˆ1ˆˆ)ˆ(..

σpour : k=14+1-i et i= 2, …, 14.

Ainsi, On définit :

Le rapport : ( ) ( )

)ˆ(..

)ˆ(.ˆ.1

)ˆ(..

)ˆ(..)ˆ(.ˆ.20082008

i

i

i

ii

Resm

Resm

Resm

ResmResm−=

− (exprimé en pourcentage)

correspond à la déviation (ou la variation) à un an de la volatilité à l’ultime des

réserves de fin 2007. Plus le rapport est faible, moins sera la déviation de la volatilité

des réserves à l’ultime de fin 2007 à un an et cela veut dire implicitement un impact

faible des paiements futurs inconnus de l’année 2008 sur le montant estimé des

réserves à l’ultime de fin 2007 et vice versa.

)ˆ(.ˆ. iResm ( )2008)ˆ(.. iResm ( )

)ˆ(.ˆ.)ˆ(.ˆ.

2008

i

iResm

Resm

( )( ))ˆ(.ˆ.)ˆ(.ˆ.

2008

1i

iResm

Resm−

1995 0,061 0,061 100% 0%

1996 0,162 0,096 60% 40%

1997 0,425 0,198 46% 54%

1998 0,536 0,140 26% 74%

1999 1,701 0,375 22% 78%

2000 5,123 4,292 84% 16% 2001 35,609 29,700 83% 17%

2002 30,470 4,947 16% 84%

2003 60,574 9,396 16% 84%

2004 47,047 4,196 9% 91%

2005 54,252 10,677 20% 80%

2006 148,350 89,180 60% 40%

2007 1595,605 1469,802 92% 8%


A titre d’exemple, pour l’année de survenance 2000, ce rapport est de 16%, cela

signifie que les paiements futurs inconnus et qui ne sont pas encore réglés de 2008

relatifs aux sinistres survenus en 2000 peuvent engendrer une variation de 16% de la

volatilité à l’ultime des réserves de fin 2007 relatives à l’année de survenance 2000

(cette volatilité est estimée au 31/12/2007), c'est-à-dire un risque d’erreur dans

l’estimation de la volatilité à l’ultime de ± 16%. Or cette volatilité mesure l’incertitude

dans l’estimation du montant espéré des réserves, par conséquent, ce rapport est un

indicateur de l’effet du caractère stochastique des paiements inconnus de 2008 sur

une mésestimation des réserves de fin 2007 (ou autrement dit, sur le risque de

provisionnement des réserves de fin 2007). On peut dire, ainsi, que cet indicateur est

qualifié comme une information supplémentaire, qu’on dispose au 31/12/2007, sur

le caractère aléatoire des paiements futurs inconnus de 2008.

Par contre, le rapport : ( )

)ˆ(..

)ˆ(.ˆ.2008

i

i

Resm

Resm(exprimé en pourcentage) mesure la stabilité à

un an de la volatilité à l’ultime des réserves de 2007. Plus ce rapport est élevé, plus la

volatilité à l’ultime des réserves de fin 2007 sera stable (et donc moins sera l’impact

des paiements de 2008 sur cette dernière).

Par exemple, pour l’année de survenance 1995, ce rapport est de 100% c'est-à-dire

que la volatilité des réserves de fin 2007 relatives aux sinistres survenus en 1995 est

totalement stable et les paiements futurs de l’année 2008 n’ont aucun impact sur cette

volatilité.

2- En multipliant le rapport ( )

)ˆ(.ˆ.

)ˆ(..2008

i

i

Resm

Resm par la volatilité (m.s.e) estimée du Best

Estimate des réserves à l’ultime de fin 2007 (cette dernière est déterminée par une

sélection, voir l’étape 3 du paragraphe précédent), on déduit une nouvelle estimation

de la volatilité (m.s.e) du montant espéré du Best Estimate des réserves à l’ultime en

tenant compte de la déviation (ou la variation) à un an de la volatilité à l’ultime de

ces réserves ou aussi l’information supplémentaire sur les paiements futurs de 2008.

Le nouveau coefficient de variation calculé est appelé « coefficient de variation à un

an des réserves à l’ultime»(en anglais, covariance of reserves « First year of deviation »), il


sert ainsi comme un indicateur de la qualité des estimations du Best Estimate des

réserves à l’ultime de fin 2007 sachant l’information supplémentaire sur les

paiements futurs de 2008.

3- La VaR 99,5% est calculée sur la base de la distribution de Best Estimate simulée à

partir de la loi LogNormale dont le calibrage des paramètres se fait par la méthode

des moments, en supposant que la moyenne empirique du Best Estimate soit la

valeur comptable des réserves nette de réassurance et la variance empirique est la

m.s.e du Best Estimate à un an (calculée en 2).

Ainsi, nous pouvons évaluer la VaR 99,5% et donc le SCR du risque de

provisionnement à un an.

2.3 Limites de la méthode actuelle d’évaluation et d’analyse du risque

de provisionnement à un an

A partir de notre analyse de la méthode actuelle d’AXA France pour

l’évaluation du risque de provisionnement, nous avons pu dégager les limites

suivantes :

- L’estimation du Best Estimate des réserves est déterministe en respectant les

normes de « Solvabilité1 », alors que selon la réglementation du futur référentiel

« Solvabilité 2 », ce Best Estimate doit être estimé par la valeur actualisée des réserves

espérées en utilisant des méthodes actuarielles de provisionnement.

- La VaR au seuil de confiance 99,5% est calculée à partir d’une distribution

LogNormale du risque sous jacent, ainsi, ce calcul est inspiré du modèle standard de

l’évaluation du risque de provisionnement.

- L’idée de base de tout le raisonnement sous jacent de la méthode d’analyse et

d’évaluation du risque de provisionnement à un an est basée sur la volatilité à

l’ultime des réserves. En effet :

L’information supplémentaire sur le caractère stochastique des paiements de

2008 (qui correspond à la source du risque de provisionnement à un an) est estimée


sur la base des volatilités des réserves à l’ultime. En effet, le rapport

( ) ( ))ˆ(..

)ˆ(.ˆ.1

)ˆ(..

)ˆ(..)ˆ(.ˆ.20082008

i

i

i

ii

Resm

Resm

Resm

ResmResm−=

−, qui constitue l’indicateur sur l’incertitude

liée aux paiements futurs de 2008, ne fait intervenir, comme nous pouvons le voir

dans son expression, que la volatilité à l’ultime des réserves (soit )ˆ(.ˆ. iResm ).

L’estimation de la volatilité à un an du montant espéré du Best Estimate des

réserves de fin 2007 est basée sur le rapport ( )

)ˆ(..

)ˆ(.ˆ.2008

i

i

Resm

Resmqui ne met en jeu que la

volatilité à l’ultime des réserves, ainsi, l’évaluation du SCR lié au risque de

provisionnement à un an est faite à partir du découpage de la volatilité à l’ultime.

Par conséquent, cette méthode ne prend pas en considération la « propre volatilité »

des paiements de 2008 qui peut constituer un indicateur plus robuste sur leur

caractère stochastique.

Comme toute méthode est passible d’amélioration, les limites décrites ci-dessus n’ont

pas pour but de critiquer la méthode pratiquée actuellement et de mentionner ses

insuffisances.

Nous allons essayer à partir de ces limites d’apporter des améliorations à cette

méthode adaptées au modèle interne du risque de provisionnement dans le cadre de

futur référentiel « Solvabilité 2 ».


CHAPITRE 3

RISQUE DE PROVISIONNEMENT SUR L’HORIZON

ULTIME DU DEVELOPPEMENT DES PAIEMENTS

Le risque de provisionnement sur l’horizon ultime du développement des

paiements requiert l’évaluation du Best Estimate et de la volatilité des réserves à

l’ultime puisque l’évaluation du SCR sera faite sur la base de la distribution de ces

dernières.

Dans ce chapitre, nous allons procéder, d’abord, à l’évaluation du Best Estimate et

de la volatilité des réserves à l’ultime de fin 2007 par la méthode de Chain Ladder

stochastique et le modèle GLM. Nous allons analyser, ensuite, les résultats obtenus

en les comparant avec la méthode actuelle d’AXA France.

3.1 Méthode Chain Ladder Stochastique

Les valeurs estimées du montant espéré (Best Estimate) et de la volatilité des

réserves à l’ultime de fin 2007, sont celles données par le modèle conditionnel de

Mack (1993).

Le SCR du risque de provisionnement à l’ultime est évalué à l’aide de la VaR au

seuil de confiance 99,5% calculée sur la base d’une distribution LogNormale des

réserves à l’ultime et dont les paramètres sont calibrés par la méthode des

moments (où la moyenne empirique est le Best Estimate des réserves à l’ultime et

la variance empirique est la m.s.e des réserves à l’ultime).

Notre intérêt à la modélisation LogNormale pour les réserves à l’ultime, se justifie

par le fait de pouvoir comparer les résultats à ceux de la méthode actuelle d’AXA

France, ainsi, d’autres lois peuvent être envisageables.


3.2 Modèle GLM LogNormale basé sur l’approche Bayésienne Vu la présence importante d’incréments négatifs dans les trapèzes de

liquidation (voir ANNEXE 5) et pour mener à bien notre étude par le choix d’une

modélisation GLM qui soit la mieux adaptée à notre base de données, nous avons

choisi d’appliquer le Modèle GLM LogNormale (basé sur l’approche bayésienne)

proposé par Kunkler. [2006].

Nous avons expliqué la théorie sous jacente du modèle dans la deuxième partie

(Chapitre 1) de notre mémoire. Ainsi, nous allons présenter dans ce paragraphe

l’application de ce modèle sur les trois branches de notre Portefeuille afin de mieux

appréhender son aspect empirique.

Notons que, dans le cadre de ce modèle, toutes les estimations des paramètres et

toutes les simulations des distributions a posteriori ont été faites à l’aide de la

méthode d’échantillonnage de GIBBS. Le programme MATLAB de cette méthode,

appliqué à nos données, est présenté en ANNEXE 10.

Estimation de la distribution a posteriori des données futures z~ du triangle

mixte

- La fonction lien appliquée au modèle GLM de Bernoulli des données transformées

*z est la fonction Probit (voir Tab.2.2).

Les résultats d’estimation des paramètres de la tendance des *z (par année de

survenance et par année du développement), à l’aide de méthode d’échantillonnage

de GIBBS, sont présentés en ANNEXE 6.

Estimation de la distribution a posteriori des données futures q~ du triangle

composé

Avant toute précision sur la modélisation de la tendance, il nous paraît utile de

distinguer entre les résidus des données composées q correspondants aux incréments

positifs et les résidus des données composées q correspondants aux incréments


négatifs. Ceci est dû au fait que les incréments positifs et négatifs n’ont pas la même

tendance.

Par ailleurs, avec la modélisation bayésienne, on définit les résidus a priori par la

différence entre les valeurs observées q du triangle composé et leurs estimations a

priori par le modèle GLM LogNormale dont le prédicteur linéaire a priori (qui est le

même pour toutes les branches) est donné par :

( ) ( ) ιγαγαη )2()1()1( )1(1)1( −++−++−+= −=−

=++ jiIjIj

ijij zzqij .

La tendance des données composées q qui sera retenue au final pour l’estimation des

paramètres du prédicteur linéaire a posteriori vise à bien capturer la tendance des

valeurs moyennes des résidus a priori34 par année de survenance et par période de

développement. Ainsi, on définit les résidus a posteriori par la différence entre les

valeurs observées q du triangle composé et leurs estimations a posteriori par le

modèle GLM LogNormale (dont le prédicteur linéaire est celui retenu a posteriori).

Les résultats des estimations a priori et a posteriori des paramètres de la tendance du

prédicteur linéaire et les tendances des résidus a priori et a posteriori figurent

respectivement en ANNEXE 7 et ANNEXE 8.

La vérification des hypothèses sur les résidus est une méthode qui nous permet de

valider ou non la cohérence du choix de la modélisation GLM LogNormale pour les

données composées. En effet, pour la distribution LogNormale choisie, l’hypothèse

de normalité des résidus doit être vérifiée exactement et non asymptotiquement.

Pour cela, nous avons procédé à un test d’ajustement de la distribution des résidus a

posteriori, avec le Quantile-Quantile plot (QQplot) de la loi Normale.

34 Ces moyennes correspondent à la moyenne empirique des résidus a priori par année d’accident et par période du développement.


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

Standard Normal Quantiles

Qua

ntile

s of In

put S

ample

QQ Plot of Sample Data versus Standard Normal

Fig.3.2 : Branche Risques Industriels et Pertes d’exploitation

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-3

-2

-1

0

1

2

3

4


Qua

ntile

s of

Inpu

t Sam

ple


Fig.3.3 : Branche RC AUTO Corporelle


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-3

-2

-1

0

1

2

3

4


Qua

ntile

s of In

put S

ample


Fig.3.4 : Branche RC Entreprise Générale

Nous pouvons remarquer l’existence de valeurs aberrantes pour les résidus aux

extrémités (c'est-à-dire pour les premières et les dernières années de survenance) qui

ne sont pas ajustées avec la loi Normale, ce qui constitue un indicateur sur la

présence des valeurs extrêmes. La justification de cela est liée à la nature de la

branche (courte ou longue), en effet :

La branche courte « Risques Industriels & Pertes d’exploitation » présente des

incréments très faibles ainsi qu’un nombre assez élevé des incréments négatifs

pour les premières années de survenance puisque les sinistres survenus ont été

quasi totalement réglés pendant les premières périodes du développement. Au

contraire, pour les dernières années de développement la quasi totalité des

sinistres a été réglée ce qui justifie la présence des montants trop élevés des

incréments.

Les branches RC à liquidation longue présentent des incréments très élevés pour

les périodes du développement des sinistres survenus à l’année 1989 puisque

l’horizon de liquidation de ces derniers est très long par rapport aux sinistres

survenus pendant les autres années et par conséquent, ils ont été réglés en totalité.


En revanche, les sinistres RC survenus aux dernières années ne sont pas encore

liquidés ce qui justifie la présence des incréments très faibles et négatifs.

Ainsi, la modélisation GLM LogNormale de ces incréments extrêmes n’est pas tout à

fait adéquate. Toutefois, la problématique de présence des incréments extrêmes ne

sera pas traitée dans le cadre de notre étude et nous pouvons, par conséquent, retenir

la distribution LogNormale Conditionnelle qui paraît adéquate pour modéliser les

données composées q de chacune des trois branches de notre portefeuille.

Remarque

Afin de vérifier la présence des valeurs extrêmes, on a adopté aussi l’approche

graphique de QQplot, mais en appliquant cette fois, le QQplot de la loi exponentielle

sur la distribution des observations du triangle composé q (voir ANNEXE 9). La

présence des distributions concaves (pour la branche Risques Industriels & Pertes

d’Exploitation) et convexes (pour les branches RC) par rapport à la droite linéaire

dans le QQplot nous indique une queue de distribution respectivement plus épaisse

et plus fine par rapport à celle de la loi Normale et par conséquent, la présence des

valeurs extrêmes.

Réserves à l’ultime de fin 2007

La technique de simulation par la méthode d’échantillonnage de GIBBS nous

permet de créer au final une distribution empirique de chaque incrément futur, ce

qui permet d’avoir une distribution empirique pour les réserves à l’ultime de chaque

année de survenance et une distribution empirique des réserves totales à l’ultime.

A titre d’exemple, nous présentons les distributions empiriques des réserves totales à

l’ultime de chaque branche.


Fig.3.5 : Distribution d’un échantillon de 10000 réalisations des réserves totales à l’ultime

de la branche Risques Industriels et Pertes d’Exploitation

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 105

0

50

100

150

200

250

300

350

400

Fig.3.6 : Distribution d’un échantillon de 10000 réalisations des réserves totales à l’ultime

de la branche RC AUTO Corporelle


1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4

x 105

0

50

100

150

200

250

300

350

400

Fig.3.7 : Distribution d’un échantillon de 10000 réalisations des réserves totales à l’ultime de la branche RC Entreprises Générale

Comme nous pouvons le constater, d’une part, la branche « Risques Industriels et

pertes d’exploitation » présente la possibilité d’avoir des réserves totales (ou

agrégées) de fin 2007 négatives, ce résultat est attendu pour cette branche courte

puisqu’une fois les sinistres survenus sont déclarés, ils seront réglés rapidement en

totalité ce qui peut engendrer le cas où le montant total des recours (entrée de fonds)

excède le montant total des règlements (sortie de fonds) pour toutes les années de

survenance, ajoutant à cela que le trapèze de liquidation de cette branche présente un

nombre assez important des paiements incrémentaux négatifs déjà observés (voir

ANNEXE 5).

D’autre part, les deux autres branches RC à liquidation plus ou moins longue ne

présentent pas la possibilité d’avoir des réserves totales de fin 2007 négatives, ce qui

est attendu aussi pour ces branches dont le règlement des sinistres survenus est très

long et se fait avec des montants très importants et d’ailleurs, elles présentent un

nombre limité des incréments négatifs observés (par rapport à la branche courte).

Ainsi, nous pouvons conclure que la distribution des réserves totales à l’ultime de fin

200735 issues de la modélisation GLM LogNormale, reflètent bien la tendance des

incréments observés en tenant compte de la particularité de chaque branche (comme

35 Cette remarque est valable aussi pour les réserves à l’ultime par année de survenance.


la présence d’un nombre assez important des incréments négatifs pour notre branche

courte Risques Industriels & Pertes d’exploitation). Ce qui donne une indication, a

priori sur la robustesse de la qualité des estimations pour le Best Estimate et la

volatilité des réserves à l’ultime ainsi que pour le SCR du risque de provisionnement

sur l’horizon ultime du développement des sinistres. En effet, à partir des

distributions empiriques des réserves, on peut évaluer :

Le Best estimate qui sera estimé par la moyenne empirique.

La volatilité des réserves à l’ultime (m.s.e) qui sera estimée par la variance

empirique.

La VaR au seuil de confiance 99,5% qui correspond au quantile d’ordre 99,5%.

Remarque

Nous allons distinguer dans ce qui suit, deux types de réserves :

Les réserves totales : en considérant que les réserves par année de survenance

sont totalement indépendantes. Ainsi, la volatilité des réserves totales est

simplement la somme des volatilités par année de survenance.

Les réserves agrégées : en considérant implicitement les interactions et la

diversification entre les réserves par année de survenance. Ces interactions seront

incluses dans la volatilité des réserves agrégées (qui diffère de celle des réserves

totales).


3.3 Analyse des Résultats36

Après avoir présenté les résultats numériques des différentes méthodes

d’évaluation du risque de provisionnement sur l’horizon ultime du développement

des sinistres, nous allons procéder à une analyse de ces résultats pour les différentes

branches formant notre portefeuille IARD.

Tab.3.1 Best Estimate, volatilité, coefficients de variation et VaR 99,5% pour la branche

Risques Industriels & Pertes d’Exploitation

Modèle AXA France Chain Ladder Stochastique GLM LogNormale

BE s.e s.e/BE (%)

VaR 99,5% BE s.e

s.e/BE (%)

VaR 99,5% BE s.e

s.e/BE (%)

VaR 99,5%

1994&ant 5,85 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,06 0,06 98,67 0,57

1995 3,22 0,25 7,70 4,71 0,23 0,25 105,74 1,50

0,06 0,08 133,33 0,46

1996 1,59 0,40 25,21 3,27 0,03 0,40 1453,26 0,74

0,11 0,13 125,44 0,77

1997 3,29 0,65 19,81 6,10 0,22 0,65 291,20 3,46

0,19 0,20 105,04 1,12

1998 3,31 0,73 22,12 6,41 0,18 0,73 409,61 3,35

0,32 0,29 91,75 1,73

1999 2,27 1,30 57,41 7,96 0,12 1,30 1049,57 3,16

0,52 0,53 101,03 3,04

2000 1,98 2,26 45,41 14,50 -0,60 2,26 -379,09 10,76

0,91 1,53 167,20 4,70

2001 2,63 5,97 226,67 35,56 1,95 5,97 305,75 31,12

1,52 1,19 78,00 7,68

2002 2,50 5,52 220,95 33,00 2,43 5,52 226,78 31,58

2,52 1,86 73,68 11,94

2003 5,34 7,78 145,71 47,26 4,91 7,78 158,60 47,00

4,15 3,48 83,66 17,68

2004 5,56 6,86 90,77 40,86 5,20 6,86 131,97 41,71

7,18 5,12 71,27 31,32

2005 10,25 7,37 48,30 46,48 9,21 7,37 80,00 44,01

13,37 9,25 69,17 54,52

2006 25,89 12,18 47,05 77,34 26,28 12,18 46,34 74,27

26,01 17,59 67,63 108,13

2007 88,95 39,95 44,90 256,72 85,64 39,95 46,64 243,36

52,55 32,89 62,59 201,65

Réserves Totales

142,64 44,50 31,20 580,16 135,81 44,50 32,76 536,02 109,48 39,02 35,64 445,30

IC(BE)37 55,42 259,86 48,61 223,01 33,00 185,96 Ecart/RA38

-5%

5% -8%

-23% -12% 14% -23%

Ecart/CL 5%

-5% 8%

-19% -12% 9% -17%

Ecart/GLM 30% 14% -12% 30% 24% 14% -8% 20%

Réserves agrégées

142,64 46,91 32,38 357,50 135,81 46,91 34,54 293,77 109,48 39,87 36,42 262,01

IC(BE) 50,69 234,86 44,19 229,43 31,32 187,63 Ecart/RA -5% 7% -18% -23% -15% 12% -27% Ecart/CL 5% -6% 22% -19% -15% 5% -11%

Ecart/GLM 30% 18% -11% 36% 24% 18% -5% 12%

36 Tous les résultats sont exprimés en 1000 €. 37 IC(BE) : c’est l’intervalle de confiance du Best Estimate donné par l’approximation Normale. 38 RA : est une référence à RA Tool et donc au modèle d’AXA France.


Tab.3.2

Best Estimate, volatilité, coefficients de variation et VaR 99,5% pour la branche RC AUTO Corporelle


BE s.e s.e/BE

(%) VaR

99,5% BE s.e

s.e/BE (%)

VaR 99,5% BE s.e

s.e/BE

(%) VaR

99,5% 1994& ant 6,12 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

8,61 1,90 22,06 25,89

1995 2,86 1,60 56,34 9,63 0,24 0,14 56,34 0,81

3,40 1,06 31,21 7,26

1996 4,51 2,54 56,46 15,21 0,65 0,36 56,46 2,18

0,34 1,12 324,38 8,01

1997 3,71 2,59 69,74 15,42 1,48 1,04 69,74 6,16

4,28 1,14 26,61 8,33

1998 4,82 2,10 43,63 12,96 2,81 1,22 43,63 7,54

4,92 1,25 25,5 9,45

1999 5,12 2,24 43,84 13,8 4,32 1,89 43,84 11,65

5,87 1,43 24,35 10,88

2000 8,87 6,79 76,56 40,52 5,41 4,14 76,56 24,70

7,35 1,83 24,96 14,39

2001 8,7 10,27 87,76 61,6 7,53 6,61 87,76 39,64

9,50 2,47 26,01 18,52

2002 10,1 13,22 87,56 79,31 7,85 6,87 87,56 41,23

12,58 3,37 26,82 25,19

2003 19,84 10,98 55,31 65,71 13,19 7,30 55,31 43,69

16,83 4,55 27,01 35,19

2004 29,16 8,97 36,31 67,96 21,10 7,68 36,31 49,18

22,73 5,99 26,33 46,00

2005 36,73 8,97 24,42 66,33 34,50 8,42 24,42 62,29

30,80 8,16 26,48 63,78

2006 48,82 9,36 19,17 78,21 47,89 9,18 19,17 76,73

41,80 11,61 27,69 86,05

2007 73,06 12,93 15,57 122,26 70,44 10,97 15,57 103,69

55,62 15,40 27,69 113,77

Réserves Totales

232,45 24,55 10,56 548,93 217,42 22,41 10,56 469,49 224,65 22,95 10,22 472,71

IC(BE) 184,33 280,57 172,42 262,42 179,65 269,65 Ecart/RA

-6% -8%

-28%

-3% -6% -3% -27%

Ecart/CL 7% 9%

38%

3% 2% -3% 0,7%

Ecart/GLM 3% 7% 3% 37% -3% -2% 3% -0,7%


232,45 26,84 11,55 379,7 217,42 25,12 11,55 281,83 224,65 26,05 11,6 313,30

IC(BE) 184,33 280,68 168,2 266,64 173,57 275,73 Ecart/RA

-6% -6%

-26%

-3% -3% 0,4% -17%

Ecart/CL 7% 7%

35%

3% 4% 0,4% 11%

Ecart/GLM 3% 3% -0,4% 21% -3% -4% -0,4% -10%


Tab.3.3 Best Estimate, volatilité, coefficients de variation et VaR 99,5% pour la branche

RC Entreprise Générale


BE s.e s.e/BE

(%) VaR

99,5% BE s.e

s.e/BE (%)

VaR 99,5% BE s.e

s.e/BE

(%) VaR

99,5% 1994&ant 2,39 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

15,94 3,34 20,95 46,04

1995 3,99 1,83 45,77 0,11 0,98 0,45 45,77 2,75

5,17 1,69 32,62 11,35

1996 6,87 3,44 50,09 20,80 1,99 1,00 50,09 6,03

5,62 1,68 29,85 11,79

1997 5,96 2,35 39,42 14,80 2,72 1,07 39,42 6,74

6,25 1,74 27,86 12,52

1998 9,76 4,21 43,07 26,00 4,07 1,75 43,07 10,81

7,03 1,82 25,92 13,35

1999 11,32 6,40 56,53 38,20 4,67 2,64 56,53 15,79

8,07 1,97 24,41 15,11

2000 12,19 6,53 53,61 39,20 6,55 3,51 53,61 21,06

9,42 2,24 23,77 17,86

2001 11,35 7,53 66,34 44,80 8,04 5,33 66,34 31,74

11,13 2,63 23,68 20,70

2002 11,78 6,04 51,32 36,40 12,75 6,54 51,32 39,42

13,23 3,07 23,21 23,95

2003 16,12 6,23 38,65 39,40 17,66 6,82 38,65 43,06

15,84 3,65 23,05 29,36

2004 25,85 9,07 35,09 58,60 18,30 6,42 35,09 41,55

19,27 4,48 23,26 36,22

2005 27,55 7,45 27,05 52,80 25,58 6,92 27,05 48,96

23,69 5,75 24,26 46,63

2006 32,81 7,08 21,59 55,60 42,37 9,15 21,59 71,77

29,36 7,08 24,13 55,14

2007 38,37 7,51 19,58 62,00 53,26 10,43 19,58 86,14

36,76 9,07 24,67 92,99

Réserves Totales

216,30 22,38 10,35 437,80 198,95 20,59 10,35 425,81 206,78 15,73 7,60 433,00

IC(BE) 172,43 260,16 158,59 202,98 175,98 237,58 Ecart/RA

-8% -8%

-3%

-4% -30% -27% -1%

Ecart/CL 9% 8%

3%

4% -25% -27% 2%

Ecart/GLM 5% 42% 36% 1% -4% 31% 36% -2%


216,30 26,09 12,06 309,60 198,95 23,99 12,06 258,18 206,78 21,89 10,59 272,71

IC(BE) 165,16 267,44 151,92 245,98 163,86 249,7 Ecart/RA

-8% -8%

-17%

-4% -16% -12% -12%

Ecart/CL 9% 24%

20%

4% -9% -12% 6%

Ecart/GLM 5% 36% 14% 13% -4% 10% 14% -5%

Quelque soit la branche étudiée, la méthode actuelle d’AXA France, Ajustée par le

modèle conditionnel de Mack paraît plus pessimiste que la méthode de Chain

Ladder Stochastique et le modèle GLM. En effet, les estimations du Best Estimate et

la VaR sont plus élevées. Ceci est dû au fait que le modèle interne d’AXA France

consiste à donner une estimation déterministe (en tenant compte d’autres

informations de marché) et donc assez prudente au Best Estimate des réserves à

l’ultime ainsi que la VaR.


Par ailleurs, nous pouvons bien remarquer la convergence des résultats pour les Best

Estimate et les VaR de la méthode Chain Ladder et du modèle GLM malgré la

différence entre leurs hypothèses et leurs techniques.

D’autres constations communes pour toutes les branches peuvent être encore faites.

D’une part, la volatilité ainsi que le coefficient de variation des réserves en agrégées

sont supérieurs à ceux des réserves totales ce qui peut être expliqué par le fait que les

réserves agrégées prennent en compte les éventuelles interactions entre les réserves

des années de survenance alors que les réserves en totale considèrent que ces

dernières sont indépendantes. D’autre part, la VaR des réserves agrégées est toujours

inférieure à la somme des VaR des réserves par année de survenance, cela veut dire

qu’il faut beaucoup plus de chargement de capital pour couvrir indépendamment le

risque de provisionnement de chaque année de survenance que pour couvrir le

risque de provisionnement en agrégé. Ainsi, la diversification entre les différentes

années de survenance joue un rôle très important dans le calcul de la VaR et donc le

SCR final. Par conséquent, nous allons nous intéresser dans ce qui suit à l’analyse du

risque de provisionnement sur les réserves agrégées.

Analysons maintenant le risque de provisionnement pour chaque branche.

D’après les résultats de la branche « Risques Industriels & Pertes d’Exploitation »

(voir Tab.3.1) et plus précisément les écarts des Best Estimate et des VaR évalués par

les différentes méthodes, nous pouvons bien constater, que les résultats du modèle

AXA France et de la méthode de Chain Ladder Stochastique sont les plus proches, en

raison que ces deux modèles reposent sur une distribution LogNormale calibrée par

la même volatilité à l’ultime (s.e).

Par ailleurs, la comparaison de la volatilité des provisions à l’ultime du modèle GLM

LogNormale et la méthode de Chain Ladder Stochastique (ou encore modèle d’AXA

France) est assez difficile, vu la différence des hypothèses sous-jacentes et des

techniques utilisées, mais les résultats de volatilité des réserves à l’ultime permettent

de donner une indication sur la robustesse de la modélisation GLM qui n’impose

aucune distribution paramétrique à ces dernières. Dans cette optique, il faut noter


que, dans le cadre du modèle GLM, la volatilité des réserves à l’ultime que ce soit en

agrégée ou pour les premières années de survenance (où la présence des incréments

négatifs est très excessive) est plus basse par rapport aux autres modèles. Ainsi, cette

baisse de l’incertitude (ou encore de l’erreur d’estimation) sur le Best Estimate des

réserves de fin 2007 entraîne une diminution de la VaR et donc du chargement du

capital (SCR) du risque de provisionnement.

Les Tableaux Tab.3.2 et Tab.3.3 des branches RC, nous indiquent que la modélisation

GLM accorde un SCR plus prudent, pour couvrir le risque des réserves agrégées des

branches à développement long tout en présentant des résultats très satisfaisants, par

rapport à la méthode Chain Ladder Stochastique, concernant la variabilité des

estimations faites sur les réserves. D’une part, le coefficient de variation du Best

Estimate des réserves en Total ou en agrégée, pour la branche « RC AUTO

Corporelle » est sensiblement très proche ou inférieur à celui évalué par la méthode

Chain Ladder Stochastique (ou encore le modèle d’AXA France). D’autre part, le

coefficient de variation ainsi que la volatilité des réserves à l’ultime, pour la branche

«RC Entreprise Générale» sont largement plus bas.

Ajoutons à ce qui précède qu’avec le modèle GLM, les coefficients de variations des

réserves à l’ultime des dernières années de survenance sont relativement stables

entre eux et plus élevés par rapport à ceux de la méthode Chain Ladder, ce qui peut

être un indicateur sur la stabilité «prudente» du modèle pour les réserves de ces

années qui sont les plus incertaines et les plus risquées pour une branche à

développement long.

Ainsi et étant donné que la volatilité des réserves agrégées à l’ultime pour les

branches RC, dans le cadre du modèle d’AXA France, soit calibrée à l’aide du

coefficient de variation de la méthode Chain Ladder, une surestimation de

l’indicateur de variabilité des réserves estimées augmente l’incertitude sur les

montants de Best Estimate des réserves ce qui peut entrainer une surestimation du

SCR destiné à couvrir le risque lié à cette incertitude.


Nous pouvons conclure, d’après notre analyse du risque de provisionnement sur

l’horizon ultime des paiements de sinistre, que malgré la différence des techniques et

hypothèses utilisées dans les modèles GLM et Chain Ladder Stochastique, ils

présentent des résultats convergents pour les réserves agrégées que ce soit pour le

montant de leur Best Estimate ou pour leur VaR 99,5%, avec des incertitudes plus

faibles sur les estimations faites par la modélisation GLM.


CHAPITRE 4

RISQUE DE PROVISIONNEMENT SUR

UN HORIZON D’UN AN

Le risque de provisionnement sur un horizon d’un an est modélisé par les

fluctuations du Best Estimate des réserves de fin 2007 résultant du caractère

stochastique des paiements de l’année calendaire future 2008 (voir Fig.3.1). Ainsi, en

se plaçant au 31/12/2007, ce caractère stochastique requiert qu’on dispose une

information supplémentaire qui sera un indicateur sur l’incertitude liée à ces

paiements.

Ce chapitre vise à présenter deux approches d’évaluation du risque de

provisionnement d’un an basées sur la méthode Chain Ladder Stochastique et la

modélisation GLM. Après avoir exposé ces deux approches nous allons analyser,

dans un premier temps, leurs résultats en les comparant au modèle actuel d’AXA

France. Dans un second temps, nous allons comparer le SCR du modèle interne

correspondant à ces différentes approches à celui du modèle standard

Fig.3.8 : Schéma synthétique de modélisation du risque de provisionnement à un an


4.1 Méthode Chain Ladder Stochastique : Approche Paramétrique

L’information supplémentaire sur les règlements des sinistres de l’année

calendaire 2008 (notés par : iniC −+2, où n=14 et i=1,…,14, voir Fig.3.9) peut être liée aux

caractéristiques statistiques de ces règlements et en particulier à leurs moments. En

effet, à l’aide des méthodes de Chain Ladder déterministe et stochastique, on dispose

des estimateurs du montant espéré et de la volatilité du montant espéré de ces

règlements.

Fig.3.9 : Les paiements cumulés correspondant à l’année calendaire 2008

Dans ce paragraphe, nous allons proposer une méthode paramétrique qui nous

permet de modéliser le Best Estimate des réserves de fin 2007 à partir d’une

modélisation des paiements cumulés futurs inconnus de l’année calendaire 2008 par

une loi appartenant à une famille connue de loi (dont il suffira de déterminer les

paramètres), tout en restant cohérent avec les méthodes de Chain Ladder

déterministe et stochastique.

Choix et calibrage de la Loi paramétrique utilisée

Le Test Swiss de Solvabilité ainsi que le CEIOPS (par le biais de QIS 4) proposent

de modéliser les risques à partir des lois Normales et LogNormale. En particulier, la

loi Normale est préconisée pour la branche santé, du fait de sa queue de distribution

Année de développement

Année de survenance 1 2 … j … ….. n=14

1994&ant

1995 nC ,2

…

i iniC −+2,

…

…

2007

2,nC


courte, tandis que la loi LogNormale, de queue de distribution nettement importante,

est préconisée pour les branches IARD (comme les branches RC).

Nous allons présenter un bref rappel pour la description des lois Normale et

LogNormale.

• Loi Normale

Soit une variable aléatoire X qui suit la loi Normale N ( ²,σµ ).

- µ=)(XE et ²)var( σ=X

- Sa fonction de densité est donnée par :

2

21

2

1)(

−−

= σµ

πσ

x

exf

• Loi LogNormale

Une variable aléatoire Y suit la loi LogNormale LN ( ²,σµ ), si )(YLogX = obéit

à une loi Normale ( ²,σµ ) :

- 2²

)(σµ +

= eYE et )1()var( ²²2 −= + σσµ eeY

- Sa fonction de densité est donnée par :

2)ln(21

2

1)(

−−= σ

µ

πσ

y

ey

yf

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

x 105

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

Fig.3.10: Simulation d’un échantillon qui suit la loi LN ( µ =10 ;

σ =0.6)

vs la loi Normale


Afin de déterminer les paramètres des lois, à partir des données disponibles du

tringle de liquidation, on procède comme suit :

- On suppose que les deux premiers moments empiriques des paiements cumulés de

l’année calendaire 2008, 2, +−iniC soient connus. En effet :

• La moyenne empirique est celle donnée par la méthode de Chain Ladder

Classique, c'est-à-dire 2,ˆ

+−iniC (qui est l’estimateur du montant espéré des

paiements cumulés de l’année 2008).

• La variance empirique est celle donnée par la formule récursive du T. Mack

(1999) c'est-à-dire )ˆ(.ˆ. 2, +−iniCesm (qui est l’estimateur de la variance du montant

espéré des paiements cumulés de l’année 2008).

- A l’aide de la méthode des moments, on estime les paramètres de la loi en égalisant

les deux premiers moments empiriques par ceux paramétriques.

Ainsi, en supposant que les paiements de 2008 2, +−iniC suivent la loi LogNormale LN

( ²,σµ ) et par application de la méthode des moments, on aura :

+=

−=

−=

=

+−

+−

+−

++−

+

+−

22,

2,2

2

2,

22,

22,

ˆ)ˆ(..

1lnˆ

2ˆ

)ˆln(ˆ

)1()ˆ(..

ˆ2²

2

ini

ini

ini

ini

ini

C

Cesm

C

eeCesm

eC

σ

σµ

σσµ

σµ

Modélisation du Best Estimate des réserves de fin 2007

Afin d’illustrer l’impact de cette information dont en dispose sur le montant du

Best Estimate des réserves de fin de l’année 2007, nous allons effectuer cette

démarche :

- Simuler les paiements cumulés de l’année N+1 par la loi LogNormale calibrée.


Soit 22008 +≤+= nkiCD ik l’ensemble des informations disponibles sur les

règlements au 31/12/2007, mais en rajoutant cette fois les paiements cumulées

relatives à l’année calendaire 2008, autrement dit : 220072008 +=+∪= nkiCDD ik

- Réappliquer la méthode de Chain Ladder Classique afin d’estimer le montant

espéré des paiements cumulés à l’ultime sachant l’information supplémentaire (soit

)( 2008, DCE ni ) par niC ,

ˆ

- Réestimer le montant du Best Estimate des réserves de fin de l’année 2007 sachant

l’information supplémentaire sur les paiements de l’année 2008 par iR et R (soit

)( 2008DRE i et )( 2008DRE en rajoutant les paiements de l’année 2008.

Exemple : pour la branche Risques Industriels et Pertes d’Exploitation

En présentant les résultats obtenus pour 5 simulations et en les comparant à ceux de

la méthode de Chain Ladder Stochastique Classique, nous avons :

Tab.3.4 : Approche paramétrique avec la loi LogNormale et écarts par rapport aux résultats de Chain Ladder déterministe

39 Best Estimate calculé initialement par la méthode Chain Ladder sans aucune information sur les paiements de 2008 (voir Fig.2.4).

BE039 Simulation 1 Simulation 2 Simulation 3 Simulation 4 Simulation 5

BE1 écart BE2 écart BE3 écart BE4 écart BE5 écart

1994&ant 0,00 0,00 0,00% 0,00 0,00% 0,00 0,00% 0,00 0,00% 0,00 0,00%

1995 0,23 -0,46 -296,91% 0,18 -22,84% 0,01 -97,27% 0,29 23,27% 0,56 136,81%

1996 0,03 0,65 2265,86% 0,08 194,66% -0,49 -1858,90% 0,11 305,28% 0,09 229,12%

1997 0,22 0,48 113,43% 0,68 201,87% 0,08 -62,77% 0,26 15,93% 0,35 55,61%

1998 0,18 0,16 -13,28% -0,02 -111,28% 0,12 -31,12% 0,06 -67,42% -0,06 -136,24%

1999 0,12 0,45 258,43% 0,36 193,02% -0,39 -415,06% 0,65 419,04% 0,07 -47,00%

2000 -0,60 2,12 -454,89% 1,74 -391,59% -3,28 448,81% -2,62 338,32% -0,42 -28,96%

2001 1,95 1,45 -25,60% 7,00 258,86% -0,67 -134,36% -2,74 -240,14% 1,29 -33,77%

2002 2,43 1,36 -44,22% 0,00 -100,06% 3,49 43,50% 2,39 -1,88% 7,04 189,40%

2003 4,91 6,36 29,69% 5,59 13,98% -1,33 -127,06% 4,76 -2,98% 5,28 7,66%

2004 5,20 5,48 5,39% 5,41 4,07% 3,73 -28,19% 4,99 -4,00% 5,60 7,65%

2005 9,21 9,03 -1,94% 7,01 -23,82% 7,15 -22,32% 6,84 -25,75% 8,73 -5,21%

2006 26,28 22,56 -14,16% 27,38 4,19% 14,61 -44,39% 28,53 8,57% 29,36 11,73%

2007 85,64 54,01 -36,93% 63,54 -25,80% 67,27 -21,45% 121,93 42,37% 81,68 -4,62%

TOTAL 135,81 103,64 -23,69% 118,97 -12,40% 90,32 -33,50% 165,45 21,82% 139,56 2,76%


Nous pouvons ainsi remarquer que l’incertitude sur les paiements cumulés de

l’année 2008 (due à leur caractère stochastique) génère une incertitude sur le montant

espéré des réserves, qui fluctue autour de celui obtenu avec la méthode de Chain

Ladder déterministe.

- En renouvelant cette démarche N fois, on obtient N montants du Best Estimate qui

permettent d’en déduire la loi de la distribution de Best Estimate des réserves de fin

2007 à un an (par année de survenance et en agrégées).

Nous précisons que dans notre cadre d’étude, tous les résultats présentés sont issus

de 10 000 simulations des paiements de 2008.

A titre d’exemple, nous présentons ci-dessous les distributions de Best Estimate des

réserves agrégées de fin 2007 à un an de chacune des trois branches.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

Fig.3. 11: Distribution des 10000 réalisations du Best Estimate à un an des réserves

totales à l’ultime pour la branche Risques Industriels & pertes d’exploitation


160 180 200 220 240 260 2800

50

100

150

200

250

300

350

Fig.3.12 : Distribution des 10000 réalisations du Best Estimate à un an des réserves

totales à l’ultime pour la branche RC AUTO Corporelle

140 160 180 200 220 240 2600

50

100

150

200

250

300

350

Fig.3.13: Distribution des 10000 réalisations du Best Estimate à un an des réserves

totales à l’ultime pour la branche RC Entreprises Générale

Les distributions, ainsi obtenues, nous permettent de déduire :

La volatilité à un an (m.s.e) du Best Estimate des réserves de fin 2007 qui

correspond à la variance empirique.

Le coefficient de variation à un an du Best Estimate des réserves de fin 2007.

Le quantile d’ordre 99,5% qui correspond à la VaR au seuil de confiance

99,5%.


4.2 Modèle GLM LogNormale basé sur l’approche Bayésienne Avec la modélisation GLM des réserves par l’approche bayésienne, nous

disposons d’une information supplémentaire sur les incréments de l’année

calendaire suivante 2008 ( 276;19,...,1;~ +−== ijiyij , voir Fig.3.14) à savoir leur

distribution a posteriori.

Fig.3.14 : Les incréments de sinistres correspondant à l’année calendaire 2008

Afin d’illustrer l’effet de cette information supplémentaire sur le Best Estimate des

réserves de fin 2007, on procède comme suit :

En disposant les distributions a posteriori des données du triangle composé et

du triangle mixte correspondant à l’année calendaire 2008 (soient

24;19,...,1;~ +−== injiqij et 24;,...,1;~ +−== injnizij ) dont la modélisation était

faite respectivement par un modèle GLM LogNormale et un modèle GLM de

Bernoulli, on a ainsi une distribution des valeurs simulées des incréments de l’année

calendaire 2008 24,~

+− iniy déduites par la relation : 24,24,24,~~~

+−+−+− = iniiniini zqy .

Soit 12007 +≤+= nkiyD ik l’ensemble des informations disponibles au 31/12/2007.

En rajoutant les incréments de sinistres relatifs à l’année calendaire 2008, on a ainsi

l’ensemble des informations connues jusqu’à 31/12/2007 mais en leur rajoutant

l’information supplémentaire sur ces derniers, soit donc :

2~20072008 +=+∪= nkiyDD ik

Trimestre de développement

Année de survenance 1 2 … j … ….. n=76

1989

1990 ny ,2

~

…

i iniy 42,

~−+

…

2007 2,19

~y


Pour chaque diagonale simulée des incréments de 2008, on réapplique la

modélisation GLM par l’approche bayésienne afin d’estimer le montant espéré (Best

Estimate) des réserves de fin de l’année 2007 en rajoutant les incréments de sinistres

de 2008.

Dans un but de simplification et vu la puissance informatique exigée par notre outil

de simulation (la méthode d’échantillonnage de GIBBS), nous allons supposer que la

tendance des données du triangle composé et la tendance du triangle mixte restent

les mêmes, suite à l’ajout du diagonale supplémentaire des incréments de 2008 (voir

les ANNEXES 6 et 8)40.

Exemple d’Application pour la branche Risques Industriels & Pertes

d’Exploitation

Par application du modèle GLM par l’approche bayésienne, nous allons présenter

les montants du « Best Estimate des réserves de fin 2007 », relatifs à 5 simulations

pour les incréments de sinistres de l’année calendaire 2008, en les comparants avec

ceux obtenus sans l’information supplémentaire.

40 Notons que cette hypothèse peut être forte si le tirage des incréments de 2008 est extrême.


Tab.3.5 : Variations du Best Estimate des réserves de fin 2007

Nous remarquons, ainsi, que le caractère stochastique des incréments de l’année 2008

engendre une incertitude sur le montant espéré (Best Estimate) des réserves de fin

2007.

Ainsi, et pour 10 000 diagonales simulées des incréments de 2008, on a au final

la distribution des Best Estimate par année de survenance et en agrégée, ce qui nous

permet de calculer :

La volatilité à un an (m.s.e) du Best Estimate des réserves de fin 2007 qui

correspond à la variance empirique.

Le coefficient de variation à un an du Best Estimate des réserves de fin 2007.

Le quantile d’ordre 99,5% qui correspond à la VaR au seuil de confiance 99,5%.

41 Best Estimate calculé initialement par le modèle GLM sans aucune information sur les paiements de 2008.

BE041 Simulation 1 Simulation 2 Simulation 3 Simulation 4 Simulation 5

BE1 écart BE2 écart BE3 écart BE4 écart BE5 écart

1994&ant 0,06 0,00 -93,95% -0,93 -1638,20% 0,02 -70,41% 1,13 1774,18% -0,12 -297,04%

1995 0,06 0,13 122,28% 0,99 1568,50% -1,38 -2432,57% -0,78 -1412,40% -0,16 -368,80%

1996 0,11 0,29 173,27% 0,01 -88,07% -0,29 -371,58% 0,25 138,17% -0,18 -267,91%

1997 0,19 0,18 -8,10% 0,09 -55,24% -1,17 -711,47% 2,56 1235,75% -0,03 -116,35%

1998 0,32 0,37 15,59% 0,59 85,86% -0,49 -253,78% 0,61 93,93% -0,21 -166,50%

1999 0,52 0,72 38,21% 1,13 116,09% 0,97 85,90% -3,37 -742,40% 0,15 -71,49%

2000 0,91 1,03 12,52% 2,94 222,18% 2,34 155,82% 2,39 161,77% 0,30 -66,78%

2001 1,52 1,59 4,54% 2,05 34,95% 1,24 -18,39% -0,81 -153,13% 1,49 -1,94%

2002 2,52 2,63 4,27% 4,12 63,56% 3,44 36,36% 3,90 54,95% 2,06 -18,36%

2003 4,15 4,17 0,42% 3,62 -12,99% 4,73 13,81% 3,82 -8,10% 4,90 17,84%

2004 7,18 7,23 0,75% 6,15 -14,39% 7,46 3,97% 7,45 3,74% 6,48 -9,77%

2005 13,37 13,36 -0,07% 14,92 11,57% 12,99 -2,86% 13,70 2,49% 13,03 -2,54%

2006 26,01 25,96 -0,16% 27,95 7,47% 25,58 -1,65% 26,45 1,72% 26,11 0,39%

2007 52,55 52,58 0,04% 52,00 -1,06% 53,49 1,78% 52,11 -0,85% 52,19 -0,69%

TOTAL 109,48 110,25 0,70% 115,62 5,61% 108,93 -0,50% 109,44 -0,04% 106,01 -3,17%


4.3 Analyse des Résultats Dans ce qui suit et après avoir présenté les résultats numériques d’évaluation

du risque de provisionnement à un an des différentes méthodes, nous allons

comparer, dans un premier temps, ces résultats à ceux du risque de provisionnement

sur l’horizon ultime de développement des règlements des sinistres. Dans un second

temps, nous allons les analyser pour chaque branche de notre portefeuille IARD.

Tab.3.6 Best Estimate, volatilité, coefficients de variation et VaR 99,5% à un an pour la

branche Risques Industriels & Pertes d’Exploitation


BE s.e s.e/BE (%)

VaR 99,5% BE s.e

s.e/BE

(%) VaR

99,5% BE s.e

s.e/BE (%)

VaR 99,5%

1994&ant 5,85 0,00 0,00 0,05 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00

1995 3,22 0,25 7,70 5,00 0,24 0,24 102,99 0,86

0,03 0,26 881,92 0,24

1996 1,59 0,31 19,46 3,00 0,03 0,31 1113,25 0,83

0,09 0,45 496,90 0,47

1997 3,29 0,44 13,51 5,00 0,23 0,45 197,66 1,36

0,25 0,37 149,67 0,64

1998 3,31 0,37 11,31 5,00 0,18 0,38 210,06 1,18

0,14 0,73 520,01 0,84

1999 2,27 0,61 26,94 5,00 0,13 0,66 514,96 1,79

0,57 0,48 84,14 1,56

2000 1,98 2,07 41,57 14,00 -0,58 2,08 -357,16 4,79

0,58 0,69 118,20 2,66

2001 2,63 5,45 207,01 33,00 2,00 5,46 273,09 16,34

2,09 0,93 44,37 13,82

2002 2,50 2,22 89,02 13,00 2,44 2,26 92,80 8,42

3,45 1,74 50,54 5,63

2003 5,34 3,07 57,39 19,00 4,96 3,17 64,02 13,11

4,53 3,09 68,18 12,75

2004 5,56 2,05 27,11 16,00 5,21 2,17 41,72 10,71

7,23 3,51 48,61 17,87

2005 10,25 3,27 21,42 29,00 9,20 3,36 36,54 17,90

12,12 5,95 49,09 26,65

2006 25,89 9,44 36,47 65,00 26,24 9,66 36,83 52,47

26,34 9,46 35,93 58,21

2007 88,95 38,34 43,10 249,00 85,50 39,16 45,81 226,32

52,06 37,27 73,56 245,02

Réserves Totales

142,64 40,29 28,25 461,05 135,76 41,15 30,31 356,09 109,48 38,24 34,88 416,36

IC(BE) 63,67

221,61 55,1

216,41

28,13

190,83

Ecart/RA

-4% 2% 7% -23%

-23% -6% 23% -10%

Ecart/CL 5% -2% -7% 29%

-19% -7% 15% 17%

Ecart/GLM 30% 5% -19% 11% 24% 8% -13% -14%

Réserves Agrégées

142,64 40,29 28,25 347,80 135,76 42,18 31,07 261,00 109,48 38,86 35,5 240,55

IC(BE) 63,67

221,61 53,08

218,43

35,23

183,72

Ecart/RA

-4% 5% 10% -25%

-23% -3% 26% -30%

Ecart/CL 5% -4% -9% 33%

-19% -8% 14% -14%

Ecart/GLM 30% 4% -20% 44% 24% 8% -12% 8%



branche RC AUTO Corporelle


BE s.e s.e/BE (%)

VaR 99,5% BE s.e

s.e/BE

(%) VaR

99,5% BE s.e

s.e/BE (%)

VaR 99,5%

1994&ant 6,12 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

9,32 1,10 11,75 3,54

1995 2,86 1,61 56,34 9,63 0,24 0,13 55,97 0,57

3,02 0,73 24,11 4,88

1996 4,51 2,37 52,60 14,24 0,65 0,34 53,14 1,54

0,87 1,32 52,05 7,43

1997 3,71 2,39 64,33 14,22 1,48 0,96 64,96 4,01

4,11 0,81 19,77 6,01

1998 4,82 0,86 17,93 7,51 2,81 0,51 18,07 4,10

4,80 0,87 18,04 5,09

1999 5,12 1,70 33,13 11,16 4,32 1,44 33,24 8,22

5,01 1,01 20,16 8,32

2000 8,87 6,17 69,53 36,72 5,41 3,76 69,57 15,49

7,44 1,79 24,08 13,01

2001 8,7 8,14 69,59 48,47 7,43 5,23 70,34 22,22

10,61 2,24 21,14 18,20

2002 10,1 7,05 46,70 42,96 7,83 3,64 46,48 17,90

12,55 2,66 21,20 20,55

2003 19,84 3,45 17,40 30,50 13,23 2,31 17,44 19,42

16,89 3,16 18,73 26,44

2004 29,16 1,39 4,76 32,93 21,10 1,08 5,10 23,94

22,63 3,41 15,08 36,00

2005 36,73 1,22 3,32 39,99 34,49 1,25 3,62 37,75

30,11 4,29 14,26 43,11

2006 48,82 3,90 7,98 59,76 48,01 3,83 7,98 58,11

41,51 5,48 13,21 64,08

2007 73,06 6,99 8,42 102,78 70,51 5,96 8,45 87,25

224,65 6,66 11,93 108,03

Réserves Totales

232,45 12,59 5,42 450,87 217,51 10,79 4,96 300,53 224,65 11,65 5,18 364,69

IC(BE) 207,38

257,51 196,36

238,65

201,84

247,46

Ecart/RA

-6% -14% -8% -33%

-3% -7% -4% -19%

Ecart/CL 7% 17% 9% 50%

3% 8% 4% 21%

Ecart/GLM 3% 8% 5% 24% -3% -7% -4% -18%


232,45 12,59 5,42 305,73 217,51 12,77 5,87 251,00 224,65 12,03 5,36 260,15

IC(BE) 207,38

257,51 192,48

242,53

201,05

248,25

Ecart/RA

-6% 1% 8% -17%

-3% -4% -1% -15%

Ecart/CL 7% -1% -8% 22%

3% -6% -9% 4%

Ecart/GLM 3% 5% 1% 17% -3% 6% 9% -3%



branche RC Entreprises Générale


BE s.e s.e/BE (%)

VaR 99,5% BE s.e

s.e/BE

(%) VaR

99,5% BE s.e

s.e/BE (%)

VaR 99,5%

1994&ant 2,39 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

16,32 0,35 2,12 6,32

1995 3,99 1,83 45,77 11,20 0,99 0,45 45,52 2,19

4,20 0,61 14,48 9,43

1996 6,87 3,10 45,09 19,00 2,00 0,89 44,40 4,30

5,23 0,22 4,28 10,65

1997 5,96 0,95 15,90 8,80 2,72 0,44 16,14 3,85

5,42 0,57 10,60 10,76

1998 9,76 3,16 32,36 21,00 4,08 1,32 32,45 7,68

6,87 1,27 18,53 11,34

1999 11,32 5,01 44,32 30,80 4,69 2,09 44,58 10,16

7,64 2,06 26,92 12,98

2000 12,19 4,14 33,97 27,00 6,54 2,26 34,48 12,68

8,76 2,42 27,61 13,43

2001 11,35 5,83 51,37 35,20 8,00 4,15 51,81 19,62

10,74 2,71 25,19 15,63

2002 11,78 2,66 22,62 20,40 12,75 2,94 23,04 20,81

12,23 2,87 23,46 18,32

2003 16,12 2,16 13,40 22,60 17,68 2,41 13,61 24,11

15,41 3,32 21,57 25,75

2004 25,85 3,19 12,35 35,20 18,26 2,29 12,52 24,53

18,12 4,11 22,69 27,32

2005 27,55 1,49 5,40 31,60 25,57 1,48 5,79 29,56

23,21 4,61 19,84 31,02

2006 32,81 3,73 11,36 43,60 42,33 4,83 11,40 55,99

28,12 5,06 17,99 62,21

2007 38,37 4,10 10,69 50,20 53,21 5,68 10,67 69,18

44,51 6,28 14,12 86,01

Réserves Totales

216,30 13,08 6,05 356,6 198,83 10,34 5,20 284,67 206,78 11,93 5,77 341,17

IC(BE) 190,66

241,94 178,56

219,09

183,39

230,16

Ecart/RA

-8% -21% 5% -20%

-4% -8% -5% -5%

Ecart/CL 9% 26% 16% 25%

4% 15% 11% 20%

Ecart/GLM 5% 9% 5% 4% -4% -13% -10% -16%


216,30 13,08 6,05 250,20 198,83 12,65 6,36 234,00 206,78 12,38 5,99 236,34

IC(BE) 190,66

241,94 174,04

223,61

182,5

231,06

Ecart/RA

-8% -3% 5% -6%

-4% -5% -1% -5%

Ecart/CL 9% 3% -5% 7%

4% -2% -6% 1%

Ecart/GLM 5% 6% 1% 6% -4% 2% 6% -1%

La comparaison des résultats dans les tableaux ci-dessus à ceux du risque de

provisionnement sur l’horizon ultime de développement des paiements, nous amène

à remarquer que l’ajout d’une information supplémentaire liée à l’incertitude des

paiements de 2008 entraine un risque de provisionnement à un an plus faible que

celui à l’ultime et ceci quelque soit la branche et quelque soit la méthode.

En effet, nous constatons d’une part, une baisse des coefficients de variation et des

volatilités du Best Estimate des réserves à l’ultime de fin 2007 en agrégée et en total.

Notons que cette baisse est assez importante (prés de 50%) pour les branches RC à

développement long, alors qu’elle est assez faible pour la branche « Risques

Industriels & Pertes d’Exploitation » à développement court.


D’autre part, nous pouvons remarquer la baisse du VaR 99,5% (et par conséquent le

SCR du risque de provisionnement), ce qui est un résultat attendu. En effet, le fait

d’avoir au 31/12/2007 un indicateur sur le caractère aléatoire des paiements futurs

de 2008, diminue le risque d’incertitude liée à l’estimation des réserves de fin 2007 et

donc le chargement en capital destiné à couvrir ce risque. En outre, on constate que le

modèle actuel d’AXA France accorde toujours plus de prudence pour l’estimation du

VaR 99,5% à un an par rapport aux deux autres méthodes.

Par la suite, nous allons analyser pour chaque branche les résultats obtenus par les

différentes méthodes utilisées vu que ces dernières reposent sur des techniques

actuarielles assez différentes.

Le tableau Tab.3.6 nous indique une convergence des volatilités à un an du Best

Estimate des réserves à l’ultime par année de survenance entre les différentes

techniques utilisées, ce qui rend leur comparaison assez difficile. Toutefois, les

volatilités à un an du Best Estimate des réserves à l’ultime en agrégée ou en total

nous donnent une indication sur la robustesse de l’approche utilisée dans la

modélisation GLM. En effet, bien que l’approche paramétrique par la méthode Chain

Ladder prenne en compte la propre volatilité « non paramétrique » des paiements de

2008 ( Mack,[1999]), l’imposition d’une loi LogNormale calibrée sur la base de cette

volatilité comme un indicateur de leur caractère aléatoire entraine une augmentation

de l’erreur d’estimation à un an du Best Estimate des réserves en total et en agrégée

par rapport à celle du notre modèle de référence d’AXA France qui utilise une

approche non paramétrique pour refléter ce caractère aléatoire. En revanche, avec la

modélisation GLM, on impose une loi LogNormale pour les paiements de 2008 mais

dont la calibration des paramètres se fait, cette fois ci, en prenant en compte plusieurs

facteurs qui « enrichirent » l’information détenue sur le caractère aléatoire de ces

paiements comme la tendance des autres paiements antérieurs en leur imposant

aussi une loi LogNormale et surtout l’intégration des incréments négatifs dans le

modèle, on peut avoir ainsi des paiements négatifs en 2008 avec cette approche alors

que ce n’est pas le cas avec l’approche par la méthode Chain Ladder. Tous ces

facteurs ont abouti, par conséquent, à une diminution de l’erreur d’estimation à un


an du Best Estimate des réserves en total et en agrégée par rapport à celle évaluée par

la méthode actuelle d’AXA France.

Par ailleurs, l’analyse des résultats des écarts entre les coefficients de variations à un

an des réserves en total ou agrégée des branches RC (voir Tab.3.7 et Tab.3.8), nous

amène à constater une convergence entre les trois approches évoquées. En outre,

nous pouvons constater une convergence assez remarquable entre les coefficients de

variation à un an des Best Estimate des réserves par année de survenance évalués par

le modèle actuel d’AXA France et l’approche paramétrique de la méthode Chain

Ladder bien que ces deux méthodes reposent sur des hypothèses assez différentes

concernant la nature de l’information connue sur le caractère aléatoire des paiements

de l’année 2008. Dans ce contexte, l’information basée sur le découpage de la

volatilité à l’ultime des réserves est considérée comme équivalente à l’information

basée sur la propre volatilité des paiements de 2008 donnée par Mack. [1999] et à

laquelle on a ajouté une distribution LogNormale à ces paiements. Or cela ignore le

fait que les branches à développement long sont, par leur nature, plus risquées et

présentent une grande incertitude sur le montant des paiements futurs de 2008

surtout pour toutes les années de survenance (à l’exception des premières années

pour les quelles la plupart des règlements ont été réglés). Ainsi, l’hypothèse selon

laquelle on peut prédire l’incertitude sur les paiements de 2008 à partir de la

volatilité à l’ultime des réserves de fin 2007 nous semble assez restrictive et ne reflète

pas, d’une façon raisonnable, le risque de provisionnement à un an.

Par ailleurs, les résultats de la modélisation GLM pour les branches RC semblent très

intéressants. En effet, les coefficients de variations à un an du Best Estimate des

réserves de fin 2007 sont les plus faibles pour les premières années de survenance, et

les plus élevés pour les années récentes tout en maintenant un coefficient de

variation à un an plus faible pour le Best Estimate des réserves agrégées de fin 2007.

Ainsi, le modèle GLM apporte des estimations plus précises pour le risque de

provisionnement à un an par rapport aux autres approches (reflétées par la VaR

99,5% et donc un SCR à un an, relatif que ce soit aux dernières années de survenance

ou aux réserves agrégées, plus élevé par rapport à celui obtenu avec la méthode de

Chain Ladder paramétrique).


En conclusion de l’analyse faite, nous pouvons déduire que malgré la convergence

des trois approches, les résultats de la modélisation GLM nous paraissent les plus

robustes que celle fondée sur la méthode de Chain Ladder Stochastique ou le modèle

actuel d’AXA France, et en plus les plus adaptés à la nature de la branche étudiée

(développement long ou court).

Nous allons procéder, dans le paragraphe suivant, à l’évaluation du SCR lié au

risque de provisionnement à un an par le modèle standard et le modèle interne.

4.4 SCR du risque de provisionnement à un an : Modèle Standard vs

Modèle interne

Dans les parties précédentes de notre mémoire, nous avons vu que l’évaluation

du SCR du risque de provisionnement à un an, dans le cadre du projet « Solvabilité

2 », peut se faire soit par une formule standard soit par un modèle interne. Toutefois,

quelque soit la méthode choisie, le calcul de SCR doit être basé au final sur une VaR à

un seuil de confiance de 99,5%.

Après avoir rappelé les deux méthodes d’évaluation de SCR conformément au QIS 4

(voir Commission Européenne. [2008]), nous allons les appliquer à notre portefeuille

IARD à l’aide des trois approches déjà décrites (Modèle actuel d’AXA France, Chain

Ladder Stochastique Paramétrique et GLM LogNormale).

Modèle Standard

Le Chargement en capital au titre de risque de provisionnement est calculé

comme suit :

VSCR )(σρ=

V : est une mesure de volume, elle correspond au Best Estimate.

σ : volatilité relative (ou coefficient de variation) des réserves agrégées sous

l’hypothèse de LogNormalité du risque sous jacent.


ρ : est une fonction de la volatilité relative.

)(σρ : est fixée de manière à produire un chargement en capital conforme au

standard de la VaR 99,5 % dans l’hypothèse d’une distribution LogNormale du

risque sous-jacent. Approximativement, σσρ 3)( ≈ .

Toutefois, l’évaluation du SCR dans le cas de notre portefeuille IARD se fait en deux

étapes :

On calcule d’abord, le SCR par la formule standard relatif à chaque branche en

considérant indépendamment les σ et les volumes de chacune d’elle.

Notons que σ est fixée par branche selon une segmentation identique à celle de

l’évaluation du Best Estimate (voir Fig.1.6), ainsi :

En comparant les volatilités fixées par la formule standard à celles calculées

précédemment (voir Tab 3.6, Tab 3.7 et Tab 3.8), nous pouvons bien remarquer que

la formule standard sous évalue la volatilité de la branche « Risques Industriels et

Pertes d’Exploitation » et sur évalue celles de nos branches RC.

On fait l’agrégation des σ et des volumes, en calculant un globalσ du notre

portefeuille, tel que : =

⋅⋅⋅⋅⋅=3

1,,2

1

jijijiji

global

global VVCorrV

σσσ , où :

globalV : est le Best Estimate global qui correspond à la somme des Best Estimate des

différentes branches.

iV (resp. jV ): est le Best Estimate par branche i (resp. j ).

jiCorr , : est le coefficient de corrélation entre les branches i et j . Ce coefficient est

fixé selon une matrice de corrélation entre les différents segments des branches.

Branche σ

Risques Industriels & Pertes d’Exploitation 10 %

RC AUTO Corporelle 12 %

RC Entreprises Générales 15 %


Ainsi :

Le SCR du risque de provisionnement du portefeuille global en tenant compte de

l’agrégation et de la diversification entre les différentes branches, est défini par :

globalglobalagrégé VSCR )(σρ=

Tab.3.9 : Modèle Standard : SCR du risque de provisionnement par branche, en Total et en agrégé

Modèle Interne

Le chargement en capital pour couvrir le risque de provisionnement correspond,

dans ce cas, à l’excédent de la VaR 99,5% calculée sur la « propre distribution » du

risque sous jacent par rapport au Best Estimate, Ainsi :

SCR= VaR 99,5% - Best Estimate

Notons que le Best Estimate et la VaR 99,5% sont ceux des réserves agrégées.

Branche i Branche j jiCorr ,

Risques Industriels

& Pertes d’Exploitation RC AUTO Corporelle 0,25

RC AUTO Corporelle RC Entreprises Générales 0,5

RC Entreprises Générales Risques Industriels

& Pertes d’Exploitation 0,25

Risques Industriels & Pertes

d’Exploitation

RC AUTO Corporelle

RC Entreprises Générales

SCR TOTAL

SCR Agrégé

Modèle AXA France 51,79 105,28 110,84 267,91 131,40 Chaine Ladder Stochastique 40,73 78,30 89,47 208,51 102,09

GLM LogNormale 32,84 80,87 93,05 206,77 101,89


Comme nous avons procédé dans le cas de la méthode standard, l’évaluation du SCR

se fait en deux étapes :

On calcule d’abord, un SCR relatif à chaque branche prise indépendamment.

On agrège par la suite les volatilités et les volumes en calculant le produit

matriciel suivant : VXX ' , où :

),,( 321 SCRSCRSCRX = et

=2323321331

3223221221

3113211221

σσσσσσσσσσσσσσσ

CorrCorr

CorrCorr

CorrCorr

V

Avec :

)3,2,1( =iiσ : est la volatilité relative (ou le coefficient de variation) évaluée par le

modèle interne.

)3,2,1,(, =jiCorr ji : est la corrélation entre les branches fixée par le modèle standard.

Tab.3.10 : Modèle interne : SCR du risque de provisionnement par branche, en Total et en agrégé

Quelque soit la méthode de provisionnement utilisée, la comparaison des résultats

de Tab.3.9 et Tab.3.10, nous permet de constater que le SCR du modèle interne, pour

chacune des branches RC, est plus faible que celui évalué par la formule standard,

alors que ce n’est pas le cas pour la branche « Risques Industriels & Pertes

d’Exploitation ».

En effet, la branche « Risques Industriels & Pertes d’Exploitation » est caractérisée

par un risque de graves c'est-à-dire qu’elle présente quelques sinistres qui évoluent

très défavorablement sur des horizons différents et qui nécessitent donc d’être

réassurés alors que les branches RC sont caractérisées par un risque de fréquence

c'est-à-dire qu’elles présentent beaucoup de sinistres qui évoluent défavorablement

Risques Industriels

& Pertes d’Exploitation RC AUTO Corporelle


SCR TOTAL

SCR Agrégé

Modèle AXA France 135,16 43,28 33,9 212,34 88,12 Chain Ladder Stochastique 125,24 33,49 35,17 193,90 80,20

GLM LogNormale 131,07 35,5 29,56 196,13 78,49


en même temps, ainsi, ces derniers sont quasiment assurés par la société et leurs

valeurs brutes de réassurance sont sensiblement proches de celles nettes de

réassurance. Or la volatilité relative des réserves de chaque branche σ est calibrée

sur la base des triangles de liquidation nets de réassurance, c’est pour cela que l’effet

de réassurance est plus fort pour les Risques Industriels & Pertes d’Exploitation à

travers les montants faibles du SCR relatifs à cette branche dans le modèle standard.

Par ailleurs, concernant le SCR du risque de provisionnement du portefeuille global,

nous remarquons, d’abord, que le SCR en agrégé est plus faible que celui en Total

que ce soit pour le modèle interne ou le modèle standard, puisqu’on tient compte de

la diversification entre les différentes branches ce qui permet de compenser le risque

de provisionnement et de diminuer ainsi le chargement en capital nécessaire pour

couvrir ce dernier.

Ensuite, nous pouvons bien constater la convergence assez remarquable entre le SCR

total ou agrégé de la méthode Chain Ladder et le modèle GLM alors que ceux du

modèle actuel d’AXA France sont plus élevés en raison de la prudence qui caractérise

ce modèle.

Enfin, quelque soit la méthode de provisionnement choisie, le SCR total ou agrégé

dans le modèle interne est plus faible par rapport à celui du modèle standard, cela

nous indique l’importance du modèle interne qui est d’ailleurs le modèle

recommandé par le CEIOPS vu qu’il est basé sur des informations internes et plus

précises concernant le profil de risque de la société, ce qui permet d’éviter une

surévaluation du capital de solvabilité et donc une immobilisation inutile du capital.


CONCLUSION

Au niveau de cette partie, nous avons effectué une mise en œuvre pratique

d’analyse et d’évaluation du risque de provisionnement sur une partie du

portefeuille IARD de la Société d’assurance AXA France.

Après avoir défini le portefeuille étudié, nous avons exposé le modèle actuel

d’analyse de risque de provisionnement d’AXA France. Dans un souci

d’amélioration de ce dernier, nous avons utilisé deux méthodes actuarielles

différentes à savoir la méthode de Chain Ladder Stochastique et le Modèle GLM

LogNormale.

L’analyse faite sur le risque de provisionnement sur l’horizon ultime du

développement des règlements des sinistres nous a montré la convergence des

résultats obtenus par ces deux méthodes que ce soit pour le Best Estimate des

réserves ultimes ou la VaR à 99,5%, avec une incertitude plus faible concernant les

estimations faites par la modélisation GLM.

Vu que le caractère stochastique des paiements de 2008 génère une fluctuation de

ce Best Estimate des réserves à l’ultime autour de sa moyenne (qui est le Best

Estimate évalué sans aucune information sur l’incertitude liée à ces paiements

futurs), nous avons proposé deux approches d’analyse du risque de provisionnement

à un an qui dérivent de la méthode de Chain Ladder Stochastique et le Modèle GLM

LogNormale. Nous avons constaté d’après les résultats obtenus, une convergence

assez remarquable entre ces deux approches, qui reposent sur des hypothèses et des

techniques actuarielles assez différentes. Toutefois, la modélisation GLM nous parait

la plus intéressante puisqu’elle permet non seulement de réduire l’incertitude liée

aux fluctuations du Best Estimate mais aussi d’avoir des résultats adaptés à la nature

de la branche (à développement court, à développement long).

Enfin, nous avons procédé à l’évaluation du SCR lié au risque de provisionnement

à un an de notre portefeuille IARD par la formule standard et le modèle interne. Les

résultats obtenus nous ont montré d’une part, que de nouveau il y a une convergence

entre la méthode Chain Ladder Stochastique et la modélisation GLM et d’autre part,

que le modèle interne permet d’économiser le SCR lié au risque de provisionnement

du portefeuille global.


CONCLUSION GENERALE


La solvabilité est au centre de la problématique d’exercice d’activité d’assurance et

avec l’adoption des futures directives du projet « Solvabilité 2 », chaque assureur doit

comprendre tous les risques liés à son activité afin d’être en mesure de fournir une

évaluation adéquate d’un niveau suffisant du capital pour les couvrir.

C’est dans le cadre de la recherche d’un outil permettant de modéliser le risque de

provisionnement à un an et d’évaluer le capital de solvabilité (SCR) nécessaire pour

le couvrir, dans un contexte de futur référentiel « Solvabilité 2 », que se situent les

objectifs de notre mémoire.

Nous avons commencé par la présentation du contexte réglementaire du risque de

provisionnement à un an. De ce fait, « Solvabilité 2 » a introduit des contraintes plus

strictes sur la détermination des PSAP. Ces dernières doivent être évaluées en valeur

de marché en intégrant une marge de prudence liée à la volatilité (ou variations) des

provisions estimées autours de la valeur de leur Best Estimate retenu. Cette volatilité

est dûe à la nature stochastique des règlements de sinistres sur un horizon d’un an.

Ainsi, le SCR doit être lié à une VaR au seuil de confiance 99,5% calculée sur la base

de la distribution des Best Estimate des réserves à l’ultime, suite aux différents

scénarios des règlements à effectuer dans un an, ce qui nécessite de disposer d’une

information supplémentaire sur l’incertitude liée à ces derniers.

A cette fin, nous avons présenté deux approches différentes basées sur une

modélisation actuarielle et stochastique du Best Estimate des réserves à l’ultime.

En premier lieu, nous avons exposé, la méthode de Chain Ladder dans sa version

déterministe et stochastique. Cette méthode permet de fournir les deux premiers

moments analytiques pour chaque paiement futur. Par conséquent, et afin d’avoir

une estimation de la distribution prédictive du Best Estimate des réserves à l’ultime

de fin de l’année et d’incorporer la volatilité de processus, nous avons procédé à une

simulation des paiements futurs, à effectuer dans un an, en leur imposant une loi

LogNormale.

Le sujet de la modélisation stochastique des incréments négatifs appliquée au

provisionnement a donné lieu, ces dernières années, à certain nombre de


controverses, mais il est devenu incontournable pour répondre aux problématiques

du contexte réglementaire relatif au projet Solvabilité 2. Nous avons essayé d’y

contribuer en présentant dans ce mémoire les particularités d’une modélisation GLM

LogNormale alternative, basée sur l’approche bayésienne, qui tient compte des

paiements incrémentaux négatifs. Cette modélisation présente l’avantage d’avoir une

distribution empirique de chacun des paiements futurs et par conséquent une

estimation empirique de la volatilité de Best Estimate des réserves à l’ultime sans

avoir à mener des calculs analytiques pour simuler les paiements futurs à un an.

La société d’assurance AXA France, utilise actuellement « un modèle interne

partiel » que ce soit pour la modélisation du risque de provisionnement à un an ou

pour l’évaluation du SCR nécessaire pour le couvrir, en combinant à la fois la

formule standard (par l’imposition d’une distribution LogNormale au risque sous

jacent) et les principes du modèle interne (la volatilité à un an des provisions est

déterminée sur la base de la méthode de Chain Ladder Stochastique ajustée à la

vision interne de la société pour le risque engendré par chaque branche).

Nous avons appliqué nos deux approches, décrites précédemment et qui se situent

dans le cadre du modèle interne du projet Solvabilité 2, sur une partie du

portefeuille d’assurance IARD d’AXA France afin d’analyser et d’évaluer le risque de

provisionnement à un an lié aux réserves de fin 2007.

De notre étude sur les trois branches de sinistres à déroulement court et long, nous

avons remarqué, une convergence assez remarquable entre la modélisation GLM et

la méthode de Chain Ladder stochastique que ce soit pour le montant du Best

Estimate, la VaR au seuil de confiance 99,5% ou encore la volatilité des réserves de

fin 2007 par année de survenance, en total ou en agrégée et cela malgré la grande

différence dans leurs techniques et hypothèses sous jacentes.

Toutefois, en prenant comme référence le modèle actuel d’AXA France, les résultats

fournis par la modélisation GLM LogNormale semblent les plus robustes et les plus

satisfaisants grâce à une volatilité et un coefficient de variation de Best Estimate des

réserves à l’ultime plus faibles et plus adaptés à la nature et à la particularité de

chaque branche (courte/longue, présence des incréments négatifs dans les premières


années de survenance ou dans celles les plus récentes). Ainsi, la modélisation GLM

nous a permis d’avoir plus de précision sur le risque de provisionnement à un an.

L’évaluation du SCR nécessaire pour couvrir le risque de provisionnement à un an

du notre portefeuille IARD, nous a montré d’une part, que le SCR global est toujours

supérieur à celui agrégé quels que soient le modèle retenu pour son évaluation

(standard ou interne) et le modèle actuariel de provisionnement. Ceci est dû à l’effet

de la diversification qui existe entre les différentes branches : une perte majeure dans

une branche peut être en tout ou en partie compensée par des résultats meilleurs que

ceux attendus dans d’autres branches.

Par ailleurs, les SCR global et agrégé évalués à l’aide du modèle interne sont

nettement plus faibles par rapport à ceux évalués par la formule standard.

En outre, et dans le cadre du modèle interne, le SCR basé sur le modèle actuel

d’AXA France est plus élevé par rapport aux SCR des deux autres approches entre

lesquelles nous avons constaté une convergence assez remarquable. Ces résultats

semblent cohérents puisque le modèle actuel d’AXA France est un modèle interne

partiel alors que les approches par la méthode Chain Ladder Paramétrique et le

modèle GLM LogNormale se situent dans le cadre d’une modélisation « purement

interne » du risque de provisionnement.

Ainsi, certes le « modèle interne partiel » conduirait la société à baisser le coût issu

d’application de la directive, mais devrait induire des coûts en terme de besoins en

capital biens supérieurs que ceux obtenus avec un « modèle interne ». La bonne

stratégie sera donc de mettre en relation les deux modèles et de déterminer celui qui

sera le plus bénéfique. Néanmoins, l’idée d’option bénéfique ne se limite pas à un

bénéfice économique, mais intègre le bénéfice d’une gestion plus efficace du risque

de provisionnement.

En conclusion, cette étude menée sur notre portefeuille IARD, nous offre un outil

adéquat de modélisation du risque de provisionnement à un an et d’évaluation du

SCR lié à ce risque en respectant le modèle interne du projet « Solvabilité 2 ».


Ainsi, nous pouvons fournir les recommandations nécessaires pour l’assureur afin

d’atteindre ces objectifs. En effet, deux recommandations peuvent être retenues :

La première est d’adapter le modèle interne partiel actuel en conservant

l’évaluation prudente et déterministe du Best Estimate des réserves à l’ultime qui

incluse plusieurs facteurs internes à la société (charges sinistres, avis d’experts,…) et

la distribution LogNormale du risque sous jacent mais en adaptant cette fois la

volatilité à un an ou le coefficient de variation à un an résultant de la modélisation

GLM LogNormale. Ces deux derniers seront retenus sur la base de la même sélection

actuelle de la volatilité qui dépend de chaque branche. Ainsi, dans le cadre de notre

portefeuille IARD, la volatilité à un an sera retenue pour la branche à développement

court alors que le coefficient de variation à un an sera retenu pour les branches à

développement long.

La deuxième est d’adapter un modèle interne que ce soit pour l’évaluation du Best

Estimate des réserves à l’ultime, de la volatilité à un an ou encore pour la distribution

du risque sous jacent. Dans ce cas, notre approche basée sur la modélisation GLM

LogNormale sera retenue.

Bien que le modèle GLM LogNormale qui tient compte de la présence des

paiements négatifs semble le plus robuste pour répondre à notre problématique,

l’approche fondée sur ce modèle est très coûteuse en temps de calcul et nécessite un

outil informatique très puissant. En plus, elle présente le risque d’avoir soit un sur-

paramétrage soit un sous-paramétrage dans le modèle et d’avoir ainsi des résultats

biaisés.

Par ailleurs, nous avons limité notre étude à deux approches fondées sur une

modélisation LogNormale des paiements à effectuer dans un an. Il sera donc possible

de les modéliser, par des autres lois paramétriques (Poisson, Poisson sur-dispersée,

Gamma, …) qui peuvent refléter, d’une façon plus adéquate, leur caractère

stochastique.

En outre, vu que notre mémoire était concentré sur l’évaluation du SCR du risque de

provisionnement à un an en adoptant une volatilité de provisionnement à un an


intrinsèque à chaque risque assuré , nous n’avons pas abordé les problématiques de

la détermination des corrélations intrinsèques entre les branches et les risques qui

doivent être aussi intégrées dans le calcul du SCR lié au risque de provisionnement.

Il sera donc intéressant de poursuivre cette étude en intégrant des techniques

permettant de combiner les résultats entre les différentes branches afin de fournir

une couverture plus robuste du risque de provisionnement à un an. Notons, enfin,

que la complexité de ces techniques s’échelonne jusqu’à des modèles complexes

faisant intervenir « la dépendance de queue » qui permet de refléter des situations

où les différentes branches d’activités sont quasiment indépendantes dans la plupart

des situations, mais présentent une forte dépendance lorsque des pertes graves

surviennent.


ANNEXES


ANNEXE 1. Quantitative Impact Studies (QIS) Le CEIOPS doit déterminer les impacts possibles de la future norme de solvabilité par une série d’études quantitatives d’impact (en anglais, Quantitative Impact Studies « QIS »). L’objectif de ces études est double : d’une part évaluer la faisabilité des calculs et l’impact de Solvabilité 2, et d’autre part préparer la proposition de Directive Cadre (en Juillet 2007).

QIS1 (CEIOPS, [2005] 42) Débuté en octobre 2005, les résultats du premier QIS ont été publiés en mars 2006. Cette étude a été concentrée sur l’évaluation de niveau de prudence des provisions techniques courantes. L’enjeu est de mieux calibrer le montant des provisions techniques qui devraient être estimées selon le calcul de « Best Estimate » majoré d’une marge de risque (correspondant à la VaR au seuil de confiance 75%).

QIS 2(CEIOPS, [2006] 43) Le QIS 2 a débuté en mai 2006. Les premiers résultats ont été publiés en décembre 2006. Cette étude portait sur les impacts de la reformulation de l’évaluation des actifs et des passifs et plus spécifiquement le calcul du SCR et du MCR. Il avait trois objectifs principaux :

• obtenir des informations sur la praticabilité des calculs ; • quantifier les impacts possibles sur le bilan et sur le montant du capital d’une

approche testée dans le QIS 2 si une d’entre elle venait à être adoptée comme standard de solvabilité ;

• rassembler les informations qualitatives et quantitatives sur la pertinence des différentes approches testées pour le calcul du SCR.

Néanmoins, le but restait plutôt général, concernant essentiellement la définition des méthodes et non les calibrations (qui concerneront le QIS 3). Les spécifications techniques tels les paramètres étaient volontairement peu claires et approximatifs (CEIOPS, [2006]44).

QIS 3 (CEIOPS, [2007]45) Cette étude a été débutée en avril 2007 et suite à une demande de la Commission Européenne (en juillet 2007), précisant les éléments qui devront être abordés par le CEIOPS, ce dernier a produit en décembre 2007 les résultats des analyses effectuées précisant les pours et les contres concernant les trois grandes familles de méthodes

42 “Quantitative Impact Study 1: Summary Report” .Frankfurt, 2005. 43 “Consultation Paper 20 ” .Frankfurt, 10 November 2006. 44 “Quantitative Impact Study 2 : Summary Report” .Frankfurt, 6 December 2006. 45 “Quantitative Impact Study 3: Summary Report” .Frankfurt, December 2007.


de détermination de la MCR, soit (1) l'approche modulaire, (2) un pourcentage du SCR ou (3) un pourcentage des provisions techniques. Toutefois, l’objectif du QIS 3, était non seulement d’affiner le calibrage des formules standards pour le calcul de MCR, mais aussi d’introduire la problématique au niveau des groupes.

QIS 4(Commission Européenne, [2008]) Le 31 mars 2008, un document précisant les « Spécifications Techniques de QIS 4 » a été proposé par la CEIOPS. De nombreux correctifs ont été communiqués aux sociétés jusqu'au dernier jour de soumission. Les sociétés individuelles avaient jusqu'au 7 juillet 2008 pour soumettre leur réponse. Les groupes ont un délai complémentaire jusqu'au 31 juillet 2008. La Commission Européenne avait fixé pour objectif à ce QIS4, au-delà de fournir des formules standards (MCR et SCR) cohérentes et calibrées, d'adresser les points suivants:

• fournir une simplification pour les assureurs de taille plus réduite (règle de proportionnalité) ;

• tester une simplification au niveau de l'évaluation des provisions techniques ; • Tester l'utilisation de paramètres spécifiques à l'entité pour la détermination

du risque de souscription ; • Mesure l'impact de l'effet de diversification pour les groupes ; • Identifier l'état de préparation des modèles internes et comparer les SCR

résultant de la formule standard avec ceux résultant des modèles internes existants sur le marché.

La restitution des résultats par l'ACAM (Autorité de Contrôle des Assurances et des Mutuelles) devrait avoir lieu le 6 octobre 2008 alors que les résultats au niveau européen par le CEIOPS devraient avoir lieu le 19 novembre 2008.

QIS 5 … Comme cela avait été évoqué par le CEIOPS et l'ACAM, il est fortement envisageable qu'un QIS5 sera lancé fin 2008/début 2009 afin de compléter le calibrage des formules standards. Il est même envisageable que d'autres QIS puissent suivre jusqu'à l'adoption de spécifications définitives prévue pour la deuxième moitié de 2010.


ANNEXE 2 . Consultation Papers (CP)

En parallèle aux QIS, le CEIOPS continue de publier des "Consultation Papers" (CP) suivant la même procédure qu'effectuée en mai 2004 pour les trois "Waves of Calls for Advice". Déjà, six "Consultation Papers" avaient été publiés en novembre 2006 et avaient fait l'objet de très nombreuses réponses de la part du marché à la mi-janvier 2007. Le CEIOPS en a proposé une synthèse en mars 2007 qui a constitué autant d'avis à la Commission Européenne. Ces avis ont aidé la Commission Européenne à rédiger la proposition de directive européenne publiée le 10 juillet 2007 en traitant les trois piliers:

• le CP25 a permis au CEIOPS d'établir en mai 2008 une recommandation sur les mesures de supervision des groupes : Ce CP traite du "support" fourni par un groupe à ses filiales et de la coordination, coopération et échange d'information entre autorités de contrôle concernant les groupes.

• Le CP24 a permis au CEIOPS d'établir en mai 2008 une recommandation à la Commission Européenne concernant les principes de Proportionnalité : Quelles mesures de simplification apporter aux entités dont la taille, la nature des risques souscrits et la complexité de ces risques (souvent liée à la nature), ou plus exactement une combinaison des trois critères, font que ces entités ont droit de procéder à des simplifications suivant le principe de proportionnalité. Ces simplifications peuvent intervenir au niveau des différents piliers (pilier I : provisionnement et SCR, pilier II : gouvernance & pilier III : Reporting) ainsi que sur l’aspect "modèle interne". Le délai de réponse à ce CP a été très réduit puisque fixé entre le 25 février au 7 mars 2008.

• Le CP 23 a permis de préciser les modalités de détermination des provisions techniques (Best Estimate et Risk Margin) en cas d'absence de données et/ou d'expertise dans la société. Après publication le 21 décembre 2007, les sociétés avaient jusqu'au 15 février 2008 pour soumettre leurs réponses qui ont fait l'objet d'une restitution au marché en juillet 2008. Ces techniques ont été testées lors du QIS4.

• Le CP 20 reprenait l'ensemble des éléments quantitatifs du Pilier I (provisions techniques, MVM, MCR, SCR...), et le CP 19 précisait les règles en matière d'actifs en regard des provisions et de la SCR, traitant plus particulièrement des risques de concentration et de liquidité,

• Le CP 18 traitait de l'harmonisation du contrôle au niveau européen et plus spécifiquement des pouvoirs et, en particulier, de sanction; le CP 17 donnait un cadre méthodologique au "capital add-on"; et enfin le CP 16 traitait de la réassurance et plus particulièrement des règles d’admissibilité.

• Le CP 15 traitait de la communication / publication des informations.


Risques de marché

Il s’agit des risques liés au niveau où de la volatilité des instruments financiers mis en représentation de l’actif et dont les cours sont susceptibles de varier. L’exposition au risque de marché est mesurée par l’impact des mouvements des variables financières telles que les cours des actions, les taux d’intérêt, les prix de l’immobilier, les spreads et les taux de change

Risque de taux d’intérêt : Un risque de taux d’intérêt existe pour tous les actifs et passifs dont la valeur d’actif nette est sensible aux variations de la structure par terme des taux d’intérêt ou à la volatilité des taux. Les actifs et passifs sensibles aux variations des taux d’intérêt sont les investissements en instruments à taux fixe, les passifs d’assurance ainsi que les instruments financiers (capitaux empruntés) et les dérivés de taux d’intérêt. Les flux de passifs futurs seront sensibles à une modification du taux d’actualisation de ces flux.

Risque sur actions : Le risque sur actions résulte du niveau ou de la volatilité de la valeur de marché des actions. L’exposition au risque sur actions concerne tous les actifs et passifs dont la valeur est sensible aux variations des cours de bourse.

Une distinction peut être effectuée entre le risque idiosyncratique, qui résulte d’une diversification insuffisante, et le risque systématique, qui a trait à la sensibilité de la performance des actions à celle des portefeuilles de marché et ne peut être réduit par la diversification. C’est pourquoi il est également dit non diversifiable.

Risque d’immobilier : Le risque sur actifs immobiliers résulte du niveau ou de la volatilité des prix de marché de l’immobilier. Ce risque est lié, par exemple, à une crise immobilière qui conduit à constater des moins values latentes et donc à une dépréciation des actifs.

Risque monétaire : Résulte du niveau ou de la volatilité des taux de change.

Risque de Spread : c’est la partie du risque inhérent aux instruments financiers qui résulte de la volatilité des spreads de crédit par rapport à la structure par terme des taux sans risque. Il représente la variation de valeur due à un mouvement de la courbe des rendements relativement à la structure par terme des taux sans risque.


Concentrations des risques de marché : Les concentrations de risques de marché présentent un risque supplémentaire pour un assureur en raison :

• de la volatilité supplémentaire inhérente aux portefeuilles d’actifs concentrés ;

• du risque supplémentaire de perte de valeur permanente partielle ou totale résultant de la défaillance d’un émetteur.

Par souci de simplicité et de cohérence, la définition des concentrations de risques de marché est limitée au risque relatif à l’accumulation d’expositions avec une même contrepartie. Elle ne comprend pas les autres types de concentration (géographie, secteur d’activité, etc.).

Risque de contrepartie

Le risque de contrepartie est le risque de pertes résultant d’une défaillance imprévue ou d’une dégradation de la note de crédit des contreparties ou des débiteurs de contrats de réduction des risques, tels que des dispositifs de réassurance, des titrisations et des dérivés, ainsi que des créances auprès d’intermédiaires, et de tout autre exposition de crédit non couverte dans le sous-module Risque de spread.

Le module Risque de contrepartie envisage l’exposition globale de l’entreprise d’assurance ou de réassurance au risque de chaque contrepartie, indépendamment de la forme juridique de ses obligations contractuelles à l’égard de cette entreprise.

Risque de souscription vie

Ce module concerne le risque résultant de la souscription de contrats d’assurance vie, qui est associé aux risques couverts et aux procédures suivies dans la gestion de l’activité.

Le risque de souscription vie est composé des risques biométriques (risque de mortalité, risque de longévité et risque d’invalidité/de morbidité), du risque de rachat, du risque de dépenses, du risque de révision et du risque de catastrophe.

Risque de mortalité : Le risque de mortalité représente l’incertitude relative aux tendances et paramètres, dans la mesure où ceux-ci ne sont pas déjà pris en compte dans l’évaluation des provisions techniques.

Ce risque est applicable aux contrats d’assurance subordonnés au risque de mortalité (c’est-à-dire les contrats pour lesquels le montant actuellement à verser au décès est supérieur aux provisions techniques détenues et où par conséquent,


une augmentation des taux de mortalité risque d’entraîner une augmentation des provisions techniques)

Risque de longévité : Le risque de longévité résulte de l’incertitude relative aux tendances et paramètres dans la mesure où ceux-ci ne sont pas déjà pris en compte dans l’évaluation des provisions techniques.

Ce risque est applicable aux contrats d’assurance subordonnés au risque de longévité (lorsqu’il n’y a pas de prestation en cas de décès ou lorsque le montant actuellement à payer en cas de décès est inférieur aux provisions techniques détenues et que par conséquent, une baisse des taux de mortalité risque d’entraîner une augmentation des provisions techniques)

Risque d’invalidité : Le traitement du risque d’invalidité représente le risque d’incertitude relative aux tendances et paramètres dans la mesure où ceux-ci ne sont pas déjà pris en compte dans l’évaluation des provisions techniques.

Il est applicable aux contrats d’assurance dans lesquelles le versement des prestations est subordonné à une invalidité définie.

Risque de rachat : Le risque de rachat concerne la perte ou la modification défavorable de la valeur des passifs d’assurance résultant d’une variation du niveau ou de la volatilité des taux de déchéance, de résiliation, de modification du statut libéré (cessation du paiement des primes) et de rachat des polices. La formule standard tient compte du risque de changement permanent des taux et du risque de rachat massif.

Risque de dépenses : Le risque de dépenses résulte de la variation des frais de gestion des contrats d’assurance ou de réassurance.

Risque de révision : Dans le contexte du module Risque de souscription vie, le risque de révision représente le risque de variation défavorable du montant d’une rente du fait d’une révision imprévue du processus des sinistres. Ce risque doit être exclusivement appliqué aux rentes et aux prestations résultant de sinistres en non-vie et assimilables à une rente vie (assurance accidents comprise, mais hors accidents du travail).

Risque de catastrophe : Les risques de catastrophe en vie on trait à des événements extrêmes ou irréguliers (une pandémie par exemple) qui ne sont pas suffisamment pris en compte par les chargements en capital des autres sous-modules du risque de souscription vie.

Risque de souscription santé : Ce module couvre le risque de souscription pour toutes les garanties santé et accidents du travail ; il se divise en trois sous-


modules : santé à long terme pratiquée sur une base technique similaire à celle de l’assurance vie (qui n’existe qu’en Allemagne et en Autriche), santé à court terme et accidents du travail.

Le risque opérationnel

C’est le risque de perte résultant de procédures internes inadaptées ou défaillantes, du personnel ou des systèmes, ou d’événements extérieurs. Il comprend également les risques juridiques, mais il exclut les risques de réputation et les risques résultant de décisions stratégiques. La modélisation de ce risque est très délicate. Les évènements qui lui correspondent ont des probabilités d’occurrence faible mais leur survenance a des conséquences financières lourdes pour la compagnie.

Le risque de souscription non vie

Il regroupe les risques de tarification et de provisionnement et le risque catastrophe. (voir CHAPITRE 2.PARTIE 1).


ANNEXE 4 : Règlements cumulés de sinistres

Risques Industriels et Pertes d’Exploitation 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

1994 & ant 527 616 528 808 553 297 549 633 549 373 549 914 551 146 549 748 551 033

1995 95 895 99 003 104 250 104 043 100 574 100 565 100 514 100 219 100 269

1996 102 760 102 155 104 902 106 312 106 445 106 428 106 309 105 890 105 948

1997 128 531 135 311 140 751 141 160 142 246 142 797 142 957 142 173 141 889

1998 115 711 123 700 129 620 130 293 130 800 132 610 133 176 133 297 133 542

1999 60 391 217 976 264 101 272 690 276 143 279 921 280 168 280 460 281 724

2000 55 866 138 094 156 337 160 802 160 897 159 979 160 890 156 872

2001 63 874 139 939 165 224 176 090 178 127 174 897 175 495

2002 54 039 111 046 124 544 127 495 128 967 128 569

2003 79 364 191 125 201 638 203 154 204 708

2004 63 426 128 790 146 816 148 386

2005 59 181 125 590 133 995

2006 72 425 128 722

2007 47 657

RC AUTO Corporelle 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

1994 & ant 1 106 973 1 127 184 1 148 276 1 159 828 1 172 873 1 185 009 1 193 498 1 200 017 1 203 809

1995 58 982 62 408 65 310 67 664 71 284 72 950 73 904 75 623 76 383

1996 48 520 54 999 62 354 64 486 66 593 68 379 70 300 71 514 72 449

1997 46 899 56 305 63 103 67 661 72 405 78 345 81 100 84 011 85 484

1998 33 208 47 182 56 778 63 623 70 997 76 052 89 032 95 189 97 342

1999 11 353 36 541 50 102 60 333 67 816 78 465 88 129 91 000 98 344

2000 12 928 33 947 46 871 57 379 66 337 72 403 78 216 81 398

2001 11 490 32 099 47 127 56 418 65 012 70 006 74 738

2002 10 219 26 801 38 407 45 166 51 642 56 492

2003 8 634 24 693 38 541 45 462 52 123

2004 10 244 30 367 40 772 49 716

2005 11 758 34 880 48 502

2006 11 377 33 668

2007 11 810


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

1994 & ant 500 504 521 116 532 948 544 949 552 376 559 286 567 351 578 024 587 904

1995 34 403 38 833 43 680 46 879 48 893 53 264 54 263 55 645 57 604

1996 35 111 37 867 40 099 43 684 45 468 49 882 50 631 51 896 52 842

1997 26 794 31 965 35 315 39 104 43 382 45 440 46 292 47 972 50 507

1998 20 974 27 854 32 848 36 938 40 499 46 054 50 686 54 882 56 906

1999 7 095 18 524 23 834 27 556 33 927 37 036 39 096 47 868 49 257

2000 6 659 17 854 26 211 31 763 38 194 45 126 48 208 50 286

2001 5 430 16 580 23 899 29 887 34 846 40 703 44 753

2002 6 178 19 534 31 194 37 437 43 350 50 573

2003 6 834 19 821 31 338 37 723 43 075

2004 5 851 17 223 25 563 29 566

2005 6 703 19 145 27 406

2006 6 782 23 445

2007 7 308


ANNEXE 5 : Règlements incrémentaux de sinistres

Risques Industriels et Pertes d’Exploitation

...51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76

1989 -286 748 -65 -379 -371 -9 -2 -25 2 -1083 4 249 780 -211 -195 1 -208 56 12 -1 95 1 -89 474 711 -15

1990 1 9 1 3 -25 17 -46 -47 -4 -110 33 1 1 2 1 1 1 48 1 1 1 -41 1991 -221 -87 1 2 54 -283 -21 -9 -33 1 -14 1 1 -6 1 1 1 -2 1992 28 12 1168 -5 20 172 -151 -1230 -219 4 -35 -150 354 27 1993 1 22 8 -2 1 36 1 4 6 34 1994 17 1 -1 1 1 2

1995 14 19

..…..

RC AUTO Corporelle

….52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75...

1989 1990 5954 1157 2460 350 943 802 769 1289 3122 1254 777 1901 1258 1128 629 445 2032 2448 144 465 1271 -271 180

1990 -57 -138 143 197 -125 413 -11 36 1 447 18 72 -35 228 105 -30 -39 -342 380 11 -22 1991 818 173 387 29 9 185 49 51 6 14 4 9 37 -9 1 71 32 1992 540 63 2001 27 37 64 80 19 200 591 -288 34 333 1993 556 52 137 94 21 39 77 77 91 1994 86 68 709 489 -21

1995 118 271 ……

...


…36 37 38 39.. ..42 43 44 45 46…. ...53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65…..

1989 1750 1149 681 602 323 1054 518 1150 397 143 528 129 648 294 1247

1990 -9 757 610 262 26 278 29 -92 51 21 -32 2039 -2098 -100 292 30 67 46

1991 478 887 151 233 60 119 -75 51 547 -389 128 94 38 692 158 1095 1181 313 45 658 -13

1992 337 834 354 322 106 89 495 303 711 89 46 4 610 55 17 4 53 6 59 44 23 1993 497 286 719 223 444 -254 872 136 466 -241 491 40 1798 550 75 354 189 1994 932 707 147 187 104 153 1231 -72 171 23 30 33 569 1995 244 734 1331 1912 123 105 692 292 418 1996 302 -105 753 -123 74 469 557 395 76 1997 133 650 704 84 841 1235 136 1998 2203 282 -474 1021

1999 -252

…….


ANNEXE 6 : Résultats par branche des estimations des paramètres de la tendance des données transformées *z du triangle mixte (modélisées par un GLM de Bernoulli)

1. Risques Industriels & Pertes d’Exploitation

Le prédicteur linéaire est donné par : ρτη )50()50(*

>−+= jzij Ij

Bayesian Model Gibbs Estimates Paramètre Coefficient Std Deviation P-value46

τ 0.782979 0.067469 0.000000 ρ -0.052928 0.011814 0.000000

2. RC AUTO Corporelle


>−+= jzij Ij

Bayesian Model Gibbs Estimates Paramètre Coefficient Std Deviation P-value

τ 1.933776 0.116224 0.000000 ρ -0.086212 0.019784 0.000000

3. RC Entreprises Générale


>−+= jzij Ij

Bayesian Model Gibbs Estimates Paramètre Coefficient Std Deviation P-value

τ 1.982845 0.132639 0.000000 ρ -0.025251 0.010637 0.010100

P-value : indique la significativité de paramètre estimé, si le P-value est très faible (<0,05), cela veut dire que

l’estimation du paramètre est assez significative.


ANNEXE 7 : Résultats par branche des estimations a priori de la modélisation GLM par l’approche Bayésienne


Estimation des paramètres de la tendance, où le prédicteur linéaire a priori qijη

est donné par : ( ) ιγαγαη )2()1()1( )1()1( −++

−++−+= −=−

−

=++ jiIjIj

ijij zzqij

Tendance des résidus moyens correspondants aux incréments positifs

Bayesian Model Gibbs Estimates +ω 0.3500 −ω 0.0802

Mean 2σ 0.8885 Variable prior mean prior std dev P-values

+α 8.338129 0.534153 0.000000 −α 6.584925 0.952634 0.000000 +γ -0.138630 0.027786 0.000000 −γ -0.092836 0.033336 0.002600

ι 0.029688 0.035511 0.202700


Tendance des résidus moyens correspondants aux incréments négatifs




est donné par : ( ) ( ) ιγαγαη )2()1()1( )1()1( −++−++−+= −=−−

=++ jiIjIj

ijij zzqij



+α 8.719131 0.324137 0.000000 −α 7.204902 0.977399 0.000000 +γ -0.037487 0.017035 0.014100 −γ -0.023386 0.025420 0.179400

ι -0.025709 0.021651 0.119700




est donné par : ( ) ( ) ιγαγαη )2()1()1( )1()1( −++−++−+= −=−−

=++ jiIjIj

ijij zzqij



+α 7.741834 0.316642 0.000000 −α 4.011321 1.452349 0.002000 +γ -0.045784 0.016682 0.003400 −γ 0.015621 0.033613 0.314800

ι 0.001253 0.021192 0.478000


ANNEXE 8 : Résultats par branche des estimations a posteriori de la modélisation GLM par l’approche bayésienne


Paramètres de la tendance pour les données du triangle composé q où le

prédicteur linéaire a posteriori qijη est donné par :

)1()7(2)7(1)1(2)19(1)19( )]1([])19()1([ −=−

>−

≤−

=+

>+

≤+ −+++−+−+=

ijij ziizjjqij IjIIIjIjI γααγγαη

ι)2( −++ ji



Mean 2σ 0.8919 Variable Post mean Post std dev P-values

+α 10.837495 0.231118 0.000000 −1α 2.098432 0.503243 0.000000 −2α 1.675974 0.368642 0.000000 +1γ -0.069363 0.014342 0.000000 +2γ -0.018860 0.011753 0.051000 −γ -0.016491 0.009408 0.040600

ι -0.132985 0.007542 0.000000





)1(4)46(3)46(3)4628(2)28(2)285(1)5( ])46(18)28(23)5([ =+

>+

>+

<<+

>+

≤<+

≤+ −++−++−++=

ijzjjjjjjqij IjIIjIIjII γγγγγγαη

ιγγα )2(])50()1([ )1(2)50(1)50()3( −++−+−++ −=

−>

−≤>

− jiIjIjIIijzjji



Mean 2σ 0.9637

Variable Post mean Post std dev P-values +α 9.858867 0.147901 0.000000 −α 0.548987 0.456094 0.011300 +1γ -0.308185 0.188820 0.054400 +2γ -0.021158 0.008013 0.004900 +3γ -0.030276 0.009396 0.000700 +4γ 0.066240 0.010720 0.000000 −1γ 0.042953 0.008567 0.000000 −2γ -0.039907 0.027567 0.073600

ι -0.077303 0.003701 0.000000





)1(3)52(2)52(2)5221(1)21( ])52(31)21()1([ =+

>+

>+

≤<+

≤+ −++−+−+=

ijzjjjjqij IjIIjIjI γγγγαη

ιγαα )2(])1([ )1()3(2)3(1 −++−+++ −=−

>−

≤− jiIjII

ijzii



Mean 2σ 0.9766

Variable Post mean Post std dev P-values +α 8.957822 0.152817 0.000000 −1α 1.249062 0.343930 0.000200 −2α 0.888809 0.359091 0.007300 +1γ -0.018715 0.008826 0.016900 +2γ -0.010062 0.005537 0.034300 +3γ 0.079138 0.014530 0.000000 −γ -0.018899 0.005416 0.000000

ι -0.059811 0.004030 0.000000


ANNEXE 9 : QQplot de la loi exponentielle vs les données du triangle composé q

Risques Industriels & Pertes d’exploitation

0 1 2 3 4 5

x 104

0

1

2

3

4

5

6

7

Exp

onen

tial Q

uant

iles

Ordered Data

RC AUTO Corporelle

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

0

1

2

3

4

5

6

7

Exp

onen

tial Q

uant

iles

Ordered Data


RC Entreprises Générale

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

0

1

2

3

4

5

6

7

Exp

onen

tial Q

uant

iles

Ordered Data


ANNEXE 10 : Programmes MATLAB

Nous allons présenter dans cette annexe les programmes MATLAB de la

modélisation GLM par l’approche Bayésienne. Ces programmes étaient implémentés

en utilisant Jim LeSage Toolbox (JLET)47. Ce dernier contient des programmes de

simulation par la méthode d’échantillonnage de GIBBS appliquée à la modélisation

Bayésienne.

1. %This function allows to construct the orders of accident years and the %orders of development periods which correspond to the original data %triangle function[acc,dev]=step_1() % accident years’ orders (for 496 data) dim1=12; dim2=7; acc1=[]; for i= 1:dim1 acc1=[acc1;repmat(i,32,1)]; end acc2=[]; a=4; for j=1:dim2 acc2=[acc2;repmat(j+12,32-a,1)]; a=a+4; end acc=[acc1;acc2]; % development years’ orders (for 496 data) dev1=[]; b=0; for i=1:dim1 dev1=[dev1;(45-b:76-b)']; b=b+4; end dev2=[]; c=4; for j=1:dim2 dev2=[dev2;(1:32-c)']; c=c+4; end dev=[dev1;dev2];

47 Les programmes sont disponibles sur www.spatial-econometrics.com


2. %This function allows to construct the orders of accident years and the %orders of development periods correspond to the future increments of the %triangle

function[accF,devF]=step_2() % accident years’ orders (for 684 data) dim1=19; accF=[]; a=0; for i=2:dim1 accF=[accF;repmat(i,a+4,1)]; a=a+4; end % development years’ orders (for 684 data) devF=[]; b=0; for i=2:dim1 devF=[devF;(73-b:76)']; b=b+4; end

3.

% function which allows to construct: % 1)The Mixture triangle data zij where: zij=-1 si yij<0 % zij=1 si yij>0 % 2) zstarij is a transformation of zij where: % zstarij=(zij+1)/2 = 0 si zij=-1 % = 1 si zij=1 % Then zstarij is a Bernoulli random variable

function[z,zStar]=step_3(Y) z=zeros(size(Y)); z(Y<0)=-1; z(Y>0)=1; zStar=(z+1)/2;

4.

% This function allows the estimation of the linear predictor nij % corresponding to the mixture triangle data zij % link function: function logit (for the demonstrations, see Kunkler,2004) % we have: nij=alpha+(j-h)1(j>h)*gamma where: h=1,....,75 % zX: the matrix associated to this equation % zXF: the matrix associated to the future "mixture data triangle" % h=40 for RC Entreprises Générale % h=50 for Risques Industriels & Pertes d’Exploitation % h=55 for RC AUTO Corporelle function[zX,zXF]=step_4(Y,dev,accF,zStar,devF,h) zX=ones(length(Y),2); zX(dev<=h,2)=0;


zX(dev>h,2)=dev(dev>h)-h; zXF=ones(length(accF),2); zXF(devF<=h,2)=0; zXF(devF>h,2)=devF(devF>h)-h;

% probit_g(): function in JLET which perform a "logistic Bayesian % regression"(see LeSage(1999)) % This code create a 10 000 sample values from the "mixture posterior % distribution" p(alpha,gamma|z) function[stLogit]=step_5(zX,zStar) nomit=1000; ndraw=11000; % setting r=7 or even r=3 and relying on a diffuse prior for beta should % produce estimates close to those from a traditional logit regression % choosing r very large, the prior reflects the special case where the % error parameters psi are iid (with mean zero and variance sigma²) prior.rval=100; stLogit=probit_g(zStar,zX,ndraw,nomit,prior); % The stLogit structure contains a variable named bdraw that stores % 10 000 samples from the posterior distribution p(alpha,gamma|z). % Normally,one would apply the logit inverse link function to this simple % to create a sample of 10 000 values for the mixture posterior % distribution p(lambda|z).However, due to the implementation of JLET one % uses the probit inverse link function function[lambdaF,zStarF,zF,zFMean]=step_6(stLogit,zXF) lambdaF=normcdf(zXF*stLogit.bdraw'); %lambdaF is a 10000*nF matrix that stores 10 000 samples in each future %accident and development periods. These sample values for p(lambda|z) are %used to create sample values for the mixture posterior predictive %distribution p(zStarF|z) by drawing zStarF=Bernoulli(lambdaF) zStarF=binornd(1,lambdaF); % we apply the inverse transformation from zStarF back to zF which % is given by: zF=2*zStarF-1; % The means for the simple values from the posterior predictive % distribution p(zF|z) in each future accident and development period are % given by:

zFMean=mean(zF,2); % The stLogit structure contains a variable named bdraw that stores % 10 000 samples from the posterior distribution p(alpha, gamma|z). % Normally, one would apply the logit inverse link function to this simple % to create a sample of 10 000 values for the mixture posterior % distribution % p(lambda|z).However, due to the implementation of JLET one uses the % probit inverse link function function[lambdaF,zStarF,zF,zFMean]=step_6(stLogit,zXF) lambdaF=normcdf(zXF*stLogit.bdraw');


%lambdaF is a 10000*nF matrix that stores 10000 samples in each future %accident and development period. These sample values for p(lambda|z) are %used to create sample values for the mixture posterior predictive %distribution p(zStarF|z) by drawing zStarF=Bernoulli(lambdaF) %zStarF=binornd(1,lambdaF); % we apply the inverse transformation from zStarF back to zF which % is given by: zF=2*zStarF-1; % The means for the simple values from the posterior predictive % distribution % p(zF|z) in each future accident and development period zFMean=mean(zF,2);

5.

function[qX,qLog,q]=step_7(Y,z,dev,acc)

% Creation of composite data triangle q which q=Y.*z; % we suppose that the sampling distribution for the composite triangle q is % conditionally lognormal: qLog=log(q); % The linear predictor beta=(alpha+,alpha-,gamma+,gamma-,l) with % an associated n*5 design matrix stored in qX Numparams=5; qX=zeros(length(q),Numparams); qX(Y>0,1)=1; %Alpha +ve qX(Y<0,2)=1; %Alpha –ve qX(Y>0,3)=dev(Y>0)-1; %Gamma +ve qX(Y<0,4)=dev(Y<0)-1; %Gamma –ve qX(:,5)=dev+acc-2; %Iota

6. % The ols_g() function in JLET is a Gibbs sampler for the Bayesian % regression model (see LeSage,1999). % The model is estimated using ols_g() with a non informative prior (or % diffuse) distribution for beta=(alpha+,alpha-,gamma+,gamma-,l) %-------------------------------------------------------------------------- % Remark: in this program the estimation of the parameters is based on the % original triangle yij so we kept on consideration the indictor functions % zij function[stOLS]=step_8(qLog,qX) Numparams=5; nomit=1000; ndraw=11000; %Diffuse prior b prior.beta=zeros(Numparams,1); % means prior.bcov=eye(Numparams)*1000; % variance % choosing r very large, the prior reflects the special case where the % error parameters psi are iid (with mean zero and variance sigma²) prior.rval=100; stOLS=ols_g(qLog,qX,ndraw,nomit,prior);


7.

% The stOLS structure contains a variable (bdraw) that stores 10 000 sample% values from the posterior composite distribution p(beta|q)where: % beta=(alpha+,alpha-,gamma+,gamma-,l) .

% The weight w+ (w-) is estimated by the inverse of the variance of the % residuals for the positive(negative) values of y, and is stored in % wgtpos(wgtneg). function[residuals,wgtpos,wgtneg]=step_9(stOLS,Y,qLog) residuals=qLog-stOLS.yhat; wgtpos=1/var(residuals(Y>0),1); wgtneg=1/var(residuals(Y<0),1);

8.

% Ones know the weights w+ and w-, the model is estimated again using % ols_g()function.function[w,qLogW,qXW,stWLS,residualsW]=step_10(Y,wgtpos,wgtneg,q,qLog,qX) Numparams=5; w=zeros(size(q)); w(Y>0)=sqrt(wgtpos); w(Y<0)=sqrt(wgtneg); qLogW=w.*qLog; qXW=repmat(w,1,Numparams).*qX; nomit=1000; ndraw=11000; %Diffuse prior b prior.beta=zeros(Numparams,1); % means prior.bcov=eye(Numparams)*1000; % variance % choosing r very large, the prior reflects the special case where the % error parameters psi are iid (with mean zero and variance sigma²) prior.rval=100; stWLS=ols_g(qLogW,qXW,ndraw,nomit,prior); % The weighted residuals are: residualsW=qLogW-stWLS.yhat;

9.

% The design matrix qX is next updated for the linear predictor's new % structure of % beta=(alpha1+,alpha2+,alpha3+,alpha1-,gamma1+,gamma2+,gamma3+,gamma1-, % gamma2-,Iota) % Remark: in this program the estimation of the parameters is based on the % composite triangle qij function[qX1,stOLS1]=step_11(Y,acc,dev,qLog) %-------------------------------------------------------------------------- % Branche RC Entreprises générale %-------------------------------------------------------------------------- Numparams=8; qX1=zeros(length(acc),Numparams);


a=acc(Y>0); %alpha+ qX1(:,1)=1; b=acc(Y<0); qX1(b<=3,2)=1; %alpha1- qX1(b>3,3)=1; alpha2- c=dev(Y>0); qX1(c<=21,4)=c(c<=21)-1; %gamma 1+ qX1(c>21,4)=20; qX1(c<=52,5)=c(c<=52)-21; qX1(c<21,5)=0; %gamma2+ qX1(c>52,5)=31; qX1(c>52,6)=c(c>52)-52; d=dev(Y<0); qX1(d,7)=d-1; %gamma - qX1(:,8)=dev+acc-2; %Iota %-------------------------------------------------------------------------- % Branche risques industriels et pertes d'exploitation %-------------------------------------------------------------------------- Numparams=7; qX1=zeros(length(acc),Numparams); a=acc(Y>0); % alpha + qX1(:,1)=1; b=acc(Y<0); qX1(b<=7,2)=1; % alpha 1- qX1(b>7,3)=1; % alpha 2- c=dev(Y>0); qX1(c<=19,4)=c(c<=19)-1; %gamma 1+ qX1(c>19,4)=18; qX1(c>19,5)=c(c>19)-19; %gamma 2+ d=dev(Y<0); qX1(d,6)=d-1; %gamma - qX1(:,7)=dev+acc-2;

%-------------------------------------------------------------------------- % Branche RC AUTO CORPORELLE %-------------------------------------------------------------------------- Numparams=9; qX1=zeros(length(acc),Numparams); a=acc(Y>0); % alpha + qX1(:,1)=1;


b=acc(Y<0); % alpha- qX1(b,2)=1; c=dev(Y>0); %gamma 1+ qX1(c<=5,3)=1; qX1(c<=28,4)=c(c<=28)-5; % gamma 2+ qX1(c<=5,4)=0; qX1(c>28,4)=23; qX1(c<=46,5)=c(c<=46)-28; % gamma 3+ qX1(c<28,5)=0; qX1(c>46,5)=18; qX1(c>46,6)=c(c>46)-46; % gamma 4+ d=dev(Y<0); qX1(d<=50,7)=d(d<=50)-1; % gamma 1- qX1(d>50,7)=49; qX1(d>50,8)=d(d>50)-50; % gamma 2- qX1(:,9)=dev+acc-2; %Iota %------------------------------------------------------------------------- nomit=1000; ndraw=11000; %Diffuse prior b prior.beta=zeros(Numparams,1); % means prior.bcov=eye(Numparams)*1000; % variance % choosing r very large, the prior reflects the special case where the % error parameters psi are iid (with mean zero and variance sigma²) prior.rval=100; stOLS1=ols_g(qLog,qX1,ndraw,nomit,prior);

10. % The same two step estimation procedure (8 and 9) is repeated % using the ols_g() function in JLET. function[residuals1,wgtpos1,wgtneg1]=step_12(stOLS1,Y,qLog) residuals1=qLog-stOLS1.yhat; wgtpos1=1/var(residuals1(Y>0),1); wgtneg1=1/var(residuals1(Y<0),1);

11. function[w1,qLogW1,qXW1,stWLS1,residualsW1]=step_13(Y,wgtpos1,wgtneg1,q,qLog,qX) %Numparams=8; si branche RC entreprises générale %Numparams=9; si branche RC AUTO CORPORELLE %Numparams=7; si branche Risques industriels et pertes d'exploitation Numparams=8; w1=zeros(size(q));


w1(Y>0)=sqrt(wgtpos1); w1(Y<0)=sqrt(wgtneg1); qLogW1=w1.*qLog; qXW1=repmat(w1,1,Numparams).*qX1; nomit=1000; ndraw=11000; %Diffuse prior b prior.beta=zeros(Numparams,1); % means prior.bcov=eye(Numparams)*1000; % variance % choosing r very large, the prior reflects the special case where the % error parametrs psi are iid (with mean zero and variance sigma²) prior.rval=100; stWLS1=ols_g(qLogW1,qXW1,ndraw,nomit,prior); % The weighted residuals are: residualsW1=qLogW1-stWLS1.yhat;

12. function[qXF,filterpos,filterneg]=step_14(accF,devF) % We are going to create the design matrix qXF for the future loss data % triangle % Finally, We create filters to separate the parameters estimated in 11.and % the design matrix into two parts: the positive(filterPos) predictions and % negative (filterNeg) predictions. %-------------------------------------------------------------------------- % Branche RC Entreprise générale %-------------------------------------------------------------------------- Numparams=8; qXF=zeros(length(accF),Numparams); qXF(:,1)=1; %alpha+ qXF(accF<=3,2)=1; %alpha1- qXF(accF>3,3)=1; alpha2- qXF(devF<=21,4)=devF(devF<=21)-1; %gamma 1+ qXF(devF>21,4)=20; qXF(devF<=52,5)=devF(devF<=52)-21; %gamma2+ qXF(devF<21,5)=0; qXF(devF>52,5)=31; qXF(devF>52,6)=devF(devF>52)-52; %gamma3+ qXF(:,7)=devF-1; %gamma - qXF(:,8)=devF+accF-2; %Iota filterpos=[1 4 5 6 8]; filterneg=[2 3 7 8]; %-------------------------------------------------------------------------- % Branche risques industriels et pertes d'exploitation %-------------------------------------------------------------------------- Numparams=7; qXF=zeros(length(accF),Numparams);


qXF(:,1)=1; % alpha + qXF(accF<=7,2)=1; % alpha 1- qXF(accF>7,3)=1; % alpha 2- qXF(devF<=19,4)=devF(devF<=19)-1; %gamma 1+ qXF(devF>19,4)=18; qXF(devF>19,5)=devF(devF>19)-19; %gamma 2+ qXF(:,7)=devF+accF-2; %Iota filterpos=[1 4 5 7]; filterneg=[2 3 6 7]; %-------------------------------------------------------------------------- % Branche RC AUTO CORPORELLE %-------------------------------------------------------------------------- Numparams=9; qXF=zeros(length(accF),Numparams); qXF(:,1)=1; % alpha + qXF(:,2)=1; % alpha - qXF(devF<=5,3)=1; % gamma 1+ qXF(devF<=28,4)=devF(devF<=28)-5; % gamma 2+ qXF(devF<=5,4)=0; qXF(devF>28,4)=23; qXF(devF<=46,5)=devF(devF<=46)-28; % gamma 3+ qXF(devF<28,5)=0; qXF(devF>46,5)=18; qXF(devF>46,6)=devF(devF>46)-46; % gamma 4+ qXF(devF<=50,7)=devF(devF<=50)-1; % gamma 1- qXF(devF>50,7)=49; qXF(devF>50,8)=devF(devF>50)-50; % gamma 2- qXF(:,9)=devF+accF-2; %Iota %filterpos=[1 3 4 5 6 9]; %filterneg=[2 7 8 9]; %-------------------------------------------------------------------------- % This separation allows one to produce 10 000 sample values for both the % negative values and the positive values in each future accident and % development period by the expression of the conditional lognormal % distribution of the future loss data triangle which is based on the % future mixture data triangle z, joint posterior distribution % p(beta,sigma²|q),and the weights w- and w+.


% see 13.for the estimation of the future loss data triangle

13. function[mupos,sigpos,muneg,signeg,qFpos,qFneg,qLogF,yF]=step_15(zF,wgtpos1,wgtneg1,stWLS1,qXF,filterpos,filterneg,accF) % Positive data estimated parameters mupos=(qXF(:,filterpos)*stWLS1.bdraw(:,filterpos)')/wgtpos1; sigpos=sqrt(stWLS1.sdraw/wgtpos1); sigpos=repmat(sigpos,1,length(accF))'; qFpos=normrnd(mupos,sigpos); % Negative data estimated parameters muneg=(qXF(:,filterneg)*stWLS1.bdraw(:,filterneg)')/wgtneg1; signeg=sqrt(stWLS1.sdraw/wgtneg1); signeg=repmat(signeg,1,length(accF))'; qFneg=normrnd(muneg,signeg); %combine based on future mixture triangle qLogF=zeros(length(accF),10000); qLogF(zF<0)=qFneg(zF<0); qLogF(zF>0)=qFpos(zF>0); % Sample values for each posterior predictive loss distribution p(yF|y) for % the future loss data triangle yF are calculated by: yF=(exp(qLogF)./zF);


BIBLIOGRAPHIE

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mémoire présenté devant l’institut de science financière et … · 2018. 11. 7. · du master...

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