2002 Mmoire de Stage de troisime anne Christophe FRANTZ sur Tarification Actuarielle contre Financire des Contrats en Units de Compte Stage effectu : SECURA Belgian Re Avenue des Nerviens, 9-31 Bote 6 B - 1040 BRUXELLES Sous la direction de : Jean-Franois WALHIN Responsable du Dpartement Recherche & Dveloppement tl: +00 32 (0)2 504 82 22 fax : +00 32 (0)2 504 82 00 mail : jfw@secura-re.com TARIFICATION ACTUARIELLE CONTREFINANCIEREDES CONTRATS EN UNITEDE COMPTERESUME 3 RESUME Mots cls Unitdecompte,Tarification,Black-Scholes,Margedesolvabilit,ConditionalTail Expectation Uncontratdassurancevieenunitsdecompte(UC)estuncontratquigarantitun montant index sur un actif financier (lUC). Nous disons dun tel contrat quil est muni dune garantie plancher lorsque celui-ci verse en cas de dcs le maximum entre un montant garanti (parexemplelemontantinitialinvesti)etlavaleurdelUC.Decefait,lengagementde lassureurladatetancasdedcsquivaut :max(K,St)(=St +max(K-St,0)),oK correspondaumontantdelagarantieplancheret StlavaleurdelUCaumomentt.Dansla majorit des cas, avec ce type de produit, lassureur cde 100% des sommes sous-risques aux rassureursetainsi,lengagementdurassureurencasdedcsestquivalent :max(K-St, 0).Nousconstatonsalorsquelengagementladatetdurassureurencasdedcssurce type de produit est quivalent au flux terminal dune option de vente europenne (put). Apartirdecettedernireremarquenattoutelaproblmatiquedusujetsavoir :comment dterminer la prime unique dun tel contrat ? Par lapplication de principes actuariels, tel que leprincipedquivalence,oufinanciers,enutilisantdesmthodesdetarificationbase doptions ? Ce sujet est dautant plus intressant que les prix obtenus suivant chaque approche - hypothses gales - peuvent tre jusqu dix fois diffrents. Pourtreenmesurederpondrecettequestion,nousdvelopponslesdeuxmthodesde tarification de manire thorique. Lapprocheactuarielleadopteladmarchedunactuairequisouhaitetariferunproduit dassurancevie,ellefournituneprimefondesurleprincipedquivalencequiestgale lesprance de la somme actualise des cots futurs du contrat. La formule analytique de cette primeressemblefortlaformuledetarificationdeBlack-Scholesdunputeuropen,la diffrencequici(letauxderendementesprdelUC)remplacer(letauxsansrisque). Pourtant, dans le cas prsent, nous ne considrons pas la tarification dun instrument financier mais appliquons simplement le principe dquivalence bien connu en assurance vie. Lapprochefinancirequantelle,adopteladmarchedunfinancierquiconsidrequele contrat est un actif contingent. Sa dmarche va tre simple : le dcs de lassur en t gnre le paiement dun montant quivalent au flux terminal dune option de vente europenne de prix dexerciceK etmaturit t. Le prix du contrat est donc gal unesuccession de prix de puts europensdematuritsdiffrentes.Or,ilestaisdvaluerleprixdunputparlaclbre formuledeBlack-Scholesetdoncrelativementsimpledecalculerlaprimedenotrecontrat par lapproche financire. Les deux approchesnous donnent donc des prix assez proches dun point de vue analytique, laseulediffrenceestquelapprocheactuariellefournituneprimesouslamesurede probabilit physique P et lapproche financire sous la mesure de probabilit risque-neutre Q. Maisnous ne savons rien quant aux diffrences de prix dun point de vue pratique et surtout nous ne savons pas quel tarif appliquer. RESUMETARIFICATION ACTUARIELLE CONTREFINANCIEREDES CONTRATS EN UNITEDE COMPTE 4 Cestpourrpondrecettedernirequestionquenousdvelopponsunchapitreddila simulation stochastique. En effet, grce des simulations de type Monte-Carlo, nous pouvons nousdonneruneidedelaprimemoyennemaisnouspouvonsgalementobserverla distributiondescotsfutursactualissobtenussuivantchaquedmarche.Suiteces simulations, nous constatons que la Prime Pure Unique Actuarielle (PPUAct) est plus faible que la Prime Pure Unique Financire (PPUFi) (tant que est suprieur r) mais PPUAct est plus volatile que PPUFi. PourdonneruntarifcompletnousdevonsalorsdterminerlaPrimeTechnico-Financire (PTF), cest dire la prime qui prend en compte le cot dallocation dun capital dpendant de la volatilit des flux futurs, ce capital est encore appel marge de solvabilit . Le principe retenu pour le calcul de PTF est la Net Present Value (NPV), qui correspond la valeuractualisedesprofits/pertesfutursoletauxdactualisationcorrespondautauxde rendementesprdelactionnairequiinvestitdanslacompagnie,cetauxestaussiappel cotducapital(COC).Decefait,silesprofits/pertessontfonctiondescotsfuturs,des provisions technique futures et de la marge de solvabilit future, la seule question qui subsiste est alors : comment valuer la marge de solvabilit ? . En effet, nous connaissons les cots moyenspourunedatetvusde0grcenossimulationsetdemmepourlesprovisions techniques moyennes. Afin de dterminer la marge de solvabilit pour une date t future, nous utilisons la mesure de risque ConditionalTailExpectation (CTEouTail-VaR)etlappliquonsladistribution des cots futurs actualiss en t. Cette marge de solvabilit pour la date t de seuil reprsente alors la perte espre en t sachant que cette perte appartient au quantile suprieur (1-)% de la distribution de celle-ci. PTF prend alors en compte ltat moyen des provisions de chaque date t vu de 0 et le capital moyenadquatauseuil.Insistonssurlefaitquelesniveauxmoyensdeprovisionsetde capital sont vus de 0 et ne prennent pas en compte une ventuelle ruine entre deux dates, il ne sagitdoncpasdedterminerlemontantdesprovisionsetducapitalchaquedatemais plutt de se donner un niveau moyen de provisions permettant de se faire une ide du capital allouer en consquence. Nous obtenons ainsi une expression relativement simple pour PTF. TARIFICATION ACTUARIELLE CONTREFINANCIEREDES CONTRATS EN UNITEDE COMPTEABSTRACT 5 ABSTRACT Keywords Unit-linked, Pricing, Black-Scholes, Solvency Margin, Conditional Tail Expectation Withaunit-linkedlifeinsurancecontract,thesuminsureddependsonthe developmentofsomestock.Suchacontractiscalledunit-linkedwithafloorletguaranty when the sum insured is the maximum between a guarantied amount (like the initial invested amount)andthevalueofthestock.Hence,theinsurersliabilityattis:max(K,St)(=St + max(K-St, 0)), where K correspond to the floorlet amount and St to the value of the stock at t. Typically, with this kind of contracts, the insurer let 100% of the sum at risk to the reinsurer and then, the reinsurers liability at t is: : max(K-St, 0). We can see that reinsurers liability on this type of product is equivalent to the terminal cash-flow of a European put option. This last remark shows us the interest of the subject: how to determine the premium of such a contract? By using actuarial principles, such that equivalence principle, or financial principles by using option pricing? This questionis all themore interesting that the prices obtained according to each approach with the same hypothesis can be ten times different. Inordertoanswertothisquestion,wedevelopthetwopricingapproachesinatheoretical way. Theactuarialapproachadoptthethoughtprocessofanactuarywhowantstopricealife insurance contract, it gives a premium based on the equivalence principle equals to the present value of the future costs of the contract. The analytical formula of this premium looks like the Black-Scholes pricing formula applied to European put option with the difference that (the expected rate of return of the stock) replace r (the risk-free rate). But, in this case, we do not considerthepricingofafinancialinstrument,weonlyapply,thewell-knownlifeinsurance equivalence principle. Thefinancialpricingadoptstheapproachofatraderwhoconsidersthatthecontractis equivalenttoacontingentclaim.Isthoughtprocesswillbestraightforward:theinsured deaths at t generate a payment equivalent to the terminal cash-flow of a European put option withstrikepriceKandmaturityt.Thepriceofthecontractisthenequaltoasuccessionof Europeanputpriceswithdifferentmaturities.Asitissimpletoevaluatethepriceofaput optionby using thefamous Black-Scholesformula,itis quite easy to calculate the premium of our contract with the financial approach. Thetwoapproachesprovideuswithquiteclosepricesontheanalyticalpointofview,the onlydifferenceisthattheactuarialapproachgivesusapremiumunderthephysicalP probabilitymeasure and thefinancialapproach under the risk-neutral Q probabilitymeasure. Butwedonotknowanythingaboutpricedifferencesonthepracticalpointofviewand especially anything about which pricing we have to apply. ABSTRACTTARIFICATION ACTUARIELLE CONTREFINANCIEREDES CONTRATS EN UNITEDE COMPTE 6 Inordertoanswertothislastquestion,wedevelopachapterdedicatedtostochastic simulation.Indeed,withtheMonte-Carlosimulations,wecanhaveanideaoftheaverage premium but also have a look to the distribution of the present value of future costs according toeachapproach.Followingthesesimulations,wenotethattheActuarialUniquePure Premium (UPPAct)isless than theFinancial Unique Pure Premium (UPPFi) (whereas is greater than r) but UPPAct is more volatile than UPPFi. Toprovideafullpricing,wemustdeterminetheTechnical-FinancialPremium(TFP):the premium that takes into account the cost of allowance of capital depending on the volatility of the future cash-flow, this capital is also called solvency margin. TheprinciplechosetocalculateTFPistheNetPresentValue(NPV)thatcorrespondto the present value of the futures gains/losses where the actualisation rate is equal to expected rate ofreturnoftheshareholderwhoinvestsinthecompany,thisrateisalsocalledcostof capital (COC). Hence, if the futures gains/losses are function of the futures costs, the futures technicalreservesandthefuturesolvencymargin,thequestionishowtodeterminethe solvency margin?. Indeed, we know the pattern of the future costs for t view from 0, and the same for the pattern of the futures technical reserves. Todeterminethesolvencymarginforafuturedatet,weusetheriskmeasureConditional TailExpectation(CTEorTailVaR)andapplyit to thedistributionofthevalueatt ofthe futurecosts.Thissolvencymarginfortoflevelrepresentstheexpectedvalueoftheloss given that the loss falls in the upper (1-) tail of the distribution. Hence,TFPtakesintoaccount themeanstate ofthereservesforeachdatetviewedfrom0 and the accurate capital to allocate at level . We insist on the fact that the mean level of the reservesandthecapitalareviewedfrom0etdonottakeintoaccountaruinprobability between two dates, we do not want to determine the reserves amount and the exact solvency marginbut we want to give usameanlevel of the reserves according to make us anidea of the capital to allocate consequently. We therefore obtain a quite simple expression for TFP. TARIFICATION ACTUARIELLE CONTREFINANCIEREDES CONTRATS EN UNITEDE COMPTESOMMAIRE 7 SOMMAIRE RESUME......................................................................................................................................................... 3 ABSTRACT.................................................................................................................................................... 5 INTRODUCTION........................................................................................................................................ 11 1.CONTEXTE ET OBJET DU MEMOIRE............................................................................................ 12 1.1.SECURA BELGIAN-RE....................................................................................................................... 12 1.2.LES CONTRATS EN UNITES DE COMPTE AVEC GARANTIE PLANCHER..................................................... 13 1.3.INTERET DU SUJET ............................................................................................................................ 16 2.METHODES UTILISEES .................................................................................................................... 17 3.RESULTATS OBTENUS...................................................................................................................... 17 CHAPITRE I : FORMULES ET DEFINITIONS........................................................................................ 19 1.MORTALITE........................................................................................................................................ 20 1.1.MODELE STOCHASTIQUE................................................................................................................... 20 1.2.FORCE DE MORTALITE ...................................................................................................................... 20 1.3.DISTRIBUTION DE LA DUREE DE VIE RESTANTE .................................................................................. 21 1.4.QUELQUES LOIS DE MORTALITE STANDARD ....................................................................................... 22 1.4.1.Loi exponentielle...................................................................................................................... 22 1.4.2.Loi de Weibull.......................................................................................................................... 24 1.4.3.Loi de Gompertz-Makeham...................................................................................................... 24 1.5.AGES ET DUREES DE VIE NON-ENTIERS .............................................................................................. 25 1.5.1.Hypothse de rpartition uniforme............................................................................................ 25 1.5.2.Hypothese de Balducci ............................................................................................................. 26 1.5.3.Hypothse de force de mortalit constante................................................................................ 26 1.6.TABLES DE MORTALITE..................................................................................................................... 27 1.6.1.Union Professionnelle des Entreprises d'Assurances (UPEA).................................................... 27 1.6.2.Tables UPEA........................................................................................................................... 27 2.FINANCE.............................................................................................................................................. 28 2.1.PROCESSUS STOCHASTIQUES : GENERALITES ..................................................................................... 28 2.2.PROCESSUS STOCHASTIQUES ET MOUVEMENT BROWNIEN ................................................................. 29 Dfinition 2.2.1 : Processus stochastique temps continu........................................................................ 29 Dfinition 2.2.2 : Filtration ..................................................................................................................... 29 Dfinition 2.2.3 : Processus accroissements indpendants..................................................................... 29 Dfinition 2.2.4 : Processus accroissements stationnaires ..................................................................... 29 Dfinition 2.2.5 : Mouvement brownien standard..................................................................................... 30 Dfinition 2.2.6 : Mouvement brownien gomtrique ............................................................................... 30 Proprit 2.2.7 : Esprance et variance dun mouvement brownien gomtrique...................................... 30 2.3.MARTINGALES EN TEMPS CONTINU ................................................................................................... 31 Dfinition 2.3.1 : Martingale................................................................................................................... 31 Proprit 2.3.2 : Mouvements browniens et martingales .......................................................................... 31 2.4.CALCUL DITO ................................................................................................................................. 32 Dfinition 2.4.1 : Processus dIt ............................................................................................................ 32 Dfinition 2.4.2 : Formule dIt............................................................................................................... 32 Proposition 2.4.3 : Formule dintgration par parties.............................................................................. 33 Dfinition 2.4.4 : Transformation de Girsanov......................................................................................... 33 SOMMAIRETARIFICATION ACTUARIELLE CONTREFINANCIEREDES CONTRATS EN UNITE S DE COMPTE 8 CHAPITRE II : APPROCHE ACTUARIELLE.......................................................................................... 35 1.MODELISATION DE LACTIF FINANCIER.................................................................................... 36 1.1.EQUATION DIFFERENTIELLE STOCHASTIQUE ...................................................................................... 36 1.1.1.Recherche de la solution .......................................................................................................... 36 1.1.2.Rsultat.................................................................................................................................... 36 1.2.LOI DU RENDEMENT DE LACTIF FINANCIER ....................................................................................... 37 2.DETERMINATION DE LA PRIME PURE UNIQUE (PPU).............................................................. 38 2.1.EVALUATION DE LESPERANCE DE LA PERTE EN T POUR UN DECES EN DATE T...................................... 38 2.2.DEFINITION DE LA FILTRATION T..................................................................................................... 39 2.3.CALCUL DE LA PRIME PURE UNIQUE .................................................................................................. 39 3.CONCLUSION...................................................................................................................................... 39 CHAPITRE III : APPROCHE FINANCIERE............................................................................................ 41 1.MODELE.............................................................................................................................................. 42 1.1.HYPOTHESES RELATIVES AU MODELE DE BLACK-SCHOLES ................................................................ 42 1.1.1.March parfait ......................................................................................................................... 42 1.1.2.March complet et Stratgie..................................................................................................... 43 1.1.2.1.Dfinition dune stratgie.................................................................................................. 43 1.1.2.2.Processus de valeur associs une stratgie ...................................................................... 43 1.1.2.3.Stratgie autofinance....................................................................................................... 44 1.1.3.Absence dopportunit darbitrage ........................................................................................... 44 1.2.CHANGEMENT DE MESURE DE PROBABILITE....................................................................................... 45 1.3.MESURES MARTINGALES EQUIVALENTES........................................................................................... 46 2.EVALUATION DE LESPERANCE DE LA PERTE.......................................................................... 47 2.1.PRINCIPE.......................................................................................................................................... 47 2.2.CALCUL DE LESPERANCE DE LA PERTE EN CAS DE DECES EN DATE T................................................... 47 2.3.COMPARAISON DES DEUX APPROCHES ............................................................................................... 48 2.4.DETERMINATION DES COEFFICIENTS DE LA STRATEGIE DE COUVERTURE............................................. 49 2.5.CALCUL DE LA PPU.......................................................................................................................... 50 2.6.STRATEGIE OPTIMALE DE COUVERTURE............................................................................................. 50 3.CONCLUSION...................................................................................................................................... 51 CHAPITRE IV : SIMULATION STOCHASTIQUE.................................................................................. 53 1.POURQUOI LA SIMULATION STOCHASTIQUE ? ........................................................................ 54 2.METHODE DE SIMULATION........................................................................................................... 54 2.1.SIMULATION DE LACTIF FINANCIER.................................................................................................. 55 2.2.SIMULATION DES DECES ................................................................................................................... 56 2.2.1.Modle binomial du nombre de dcs....................................................................................... 56 2.2.2.Procdure de simulation........................................................................................................... 56 3.ADAPTATION DE CHAQUE APPROCHE A LA SIMULATION STOCHASTIQUE..................... 57 3.1.APPROCHE ACTUARIELLE.................................................................................................................. 57 3.1.1.Formulation mathmatique ...................................................................................................... 57 3.1.2.Comparaison avec la formule thorique ................................................................................... 58 3.2.APPROCHE FINANCIERE .................................................................................................................... 59 3.2.1.Dtermination du cot de la stratgie de couverture ................................................................. 59 3.2.2.Flux de paiement effectuer en cas de dcs ............................................................................ 60 3.2.3.Comparaison avec la formule thorique ................................................................................... 60 TARIFICATION ACTUARIELLE CONTREFINANCIEREDES CONTRATS EN UNITES DE COMPTESOMMAIRE 9 4.RESULTATS......................................................................................................................................... 62 4.1.APPROCHE ACTUARIELLE.................................................................................................................. 62 4.1.1.Statistiques............................................................................................................................... 62 4.1.2.Distribution ............................................................................................................................. 62 4.1.3.Commentaires.......................................................................................................................... 62 4.2.APPROCHE FINANCIERE .................................................................................................................... 63 4.2.1.Statistiques............................................................................................................................... 63 4.2.2.Distribution ............................................................................................................................. 63 4.2.3.Commentaires.......................................................................................................................... 63 5.ANALYSE DE SENSIBILITE.............................................................................................................. 64 5.1.PRINCIPE.......................................................................................................................................... 64 5.2.SENSIBILITE PAR RAPPORT A .......................................................................................................... 64 5.2.1.Distribution des CFAAct............................................................................................................ 64 5.2.1.1.Statistiques....................................................................................................................... 64 5.2.1.2.Distributions..................................................................................................................... 65 5.2.1.3.Commentaires .................................................................................................................. 65 5.2.2.Distribution des CFAFi............................................................................................................. 66 5.2.2.1.Statistiques....................................................................................................................... 66 5.2.2.2.Distributions..................................................................................................................... 66 5.2.2.3.Commentaires .................................................................................................................. 67 5.3.SENSIBILITE PAR RAPPORT A .......................................................................................................... 67 5.3.1.Distribution des CFAAct............................................................................................................ 67 5.3.1.1.Statistiques....................................................................................................................... 67 5.3.1.2.Distributions..................................................................................................................... 68 5.3.1.3.Commentaires .................................................................................................................. 68 5.3.2.Distribution des CFAFi............................................................................................................. 68 5.3.2.1.Statistiques....................................................................................................................... 68 5.3.2.2.Distributions..................................................................................................................... 69 5.3.2.3.Commentaires .................................................................................................................. 69 6.CONCLUSION...................................................................................................................................... 70 CHAPITRE V : MODELE DE CASH-FLOW............................................................................................. 71 1.VOLATILITE DES CFA...................................................................................................................... 72 2.MODLE DE CASH-FLOW................................................................................................................ 73 2.1.LES PERTES MOYENNES .................................................................................................................... 73 2.2.LES VARIATIONS MOYENNES DE PROVISIONS MATHEMATIQUES .......................................................... 73 2.3.LES VARIATIONS MOYENNES DE CAPITAL .......................................................................................... 74 2.3.1.Marge de solvabilit................................................................................................................. 74 2.3.1.1.Dfinition......................................................................................................................... 74 2.3.1.2.Pourquoi lexistence dune marge de solvabilit ? ............................................................. 74 2.3.1.3.De quoi est constitue la marge de solvabilit ?................................................................. 74 2.4.DETERMINATION DE LA MARGE DE SOLVABILITE ............................................................................... 75 2.4.1.Mesures de risque .................................................................................................................... 75 2.4.1.1. Value at Risk .............................................................................................................. 75 2.4.1.2. Conditional Tail Expectation ....................................................................................... 76 2.5.FORMULATION DU CAPITAL MOYEN................................................................................................... 76 2.6.TAXES ET INTERETS.......................................................................................................................... 77 2.7.COUT DU CAPITAL (COST OF CAPITAL OU COC) ............................................................................... 77 3.PRINCIPE DE DETERMINATION DE LA PRIME TECHNICO-FINANCIERE............................ 78 3.1.NET PRESENT VALUE (NPV) ............................................................................................................ 78 3.2.DETERMINATION DES PROFITS FUTURS .............................................................................................. 78 3.3.CALCUL DE LA PRIME TECHNICO-FINANCIERE : .................................................................................. 79 4.CONCLUSION...................................................................................................................................... 79 SOMMAIRETARIFICATION ACTUARIELLE CONTREFINANCIEREDES CONTRATS EN UNITE S DE COMPTE 10 CONCLUSION............................................................................................................................................. 81 1.RESULTATS......................................................................................................................................... 82 2.QUESTIONS OUVERTES................................................................................................................... 83 3.EXTENSIONS POSSIBLES DU MODELE......................................................................................... 83 BIBLIOGRAPHIE........................................................................................................................................ 85 GLOSSAIRE................................................................................................................................................. 89 NOTATIONS MATHEMATIQUES............................................................................................................ 91 TABLES DES ILLUSTRATIONS ............................................................................................................... 93 ANNEXES..................................................................................................................................................... 95 REMERCIEMENTS .................................................................................................................................. 103 INTRODUCTION Avant de commencer notre tude proprement parler, nous exposons le cadre de celle-ci cest dire lenvironnement dans lequel nous nous plaons et les raisons qui nous ont pouss dvelopper ce sujet. Nous terminons cette introduction en exposant les diffrents rsultats que nous obtenons. INTRODUCTIONTARIFICATION ACTUARIELLE CONTREFINANCIEREDES CONTRATS EN UNITES DE COMPTE 12 1. CONTEXTE ET OBJET DU MEMOIRE 1.1. SECURA BELGIAN-RE SecuraBelgianReatfondeen1946,elleestlafilialerassurancedubancasseur KBCAssurance, 3me assureurbelgeet actionnaire principalavec 95,04% ducapital, contre 4,96% pour les AP Assurance (groupe DEXIA). Secura est aujourdhui la seule compagnie de rassurance belge, elle exerce lessentiel de son activit en Europe, et est galement active au Japon,maisnestpratiquementpasprsentesurlemarchamricain.Nonsanshumour,le comit excutif de Secura accueille linternaute par cette phrase : Nous ne sommes peut-tre pas le plus grand rassureur, mais nous essayons de fournir la meilleure qualit de service . Notons quun dixime du personnel de Secura est actuaire et actif de manire permanente au sein du dpartement Recherche & Dveloppement. Lan pass en 2001, la compagnie a collect un volume de primes nettes de 196,9 millions deuros,enhaussede24%.Lannecomptablesecltureavecunbnficede563.115,72 euros. Suite laugmentation du capitalde 75millions deuros parKBCAssurance en 2001, les moyens propres atteignent prsent 183,1 millions deuros pour 94,4 millions deuros au 31 dcembre 2000. Toutes ces informations sont disponibles sur [S-2]. Tableau 1 : Evolution de la prime (en millions deuros) : 20012000 Prime brute totale256,7 215,5 Prime des affaires cdes par le groupe22,8 21,2 Prime brute ajuste233,9 194,4 Prime acquise nette196,9 158,8 Tableau 2 : Rpartition de la prime brute ajuste par branche et par type (en millions deuros) : 20012000 Vie21,4 9,1 % 13,36,8% Short-Tail proportionnel82,8 35,4% 7237,0% Short-Tail non-proportionnel18,5 7,9% 16.38,4% Long-Tail proportionnel58,8 25,1% 46.624,0% Long-Tail non-proportionnel25,0 10,7% 24,112,4% Divers27,4 11,7% 22,111,4% Tableau 3 : Rpartition gographique de la prime brute ajuste (en millions deuros) : 20012000 Benelux78.7 33.60% 65.1 33.50% Europe du nord52.9 22.60% 41.3 21.20% Europe Centrale27.7 11.80% 33.1 17.00% Europe du sud61.1 26.10% 41.3 21.30% Reste du monde13.5 5.80% 13.6 7.00% TARIFICATION ACTUARIELLE CONTREFINANCIEREDES CONTRATS EN UNITES DE COMPTEINTRODUCTION 13 1.2. LES CONTRATS EN UNITES DE COMPTE AVEC GARANTIE PLANCHER Le cadre lgal en Belgique pour les types de produits li des fonds dinvestissement est rgi par larrt royal du 17 dcembre 1992 (articles 64 73). Cet arrt royal dfinit le cadre lgal permettantdecrer,lintrieurdubilandescompagnies,desfondsdactifsetdelierle rendementdecontratsdassurancecesfonds.Nousdisonscommunmentquecetypede produit appartient la branche 23. Toutes ces descriptions font rfrence [L-1]. Lesproduitsdassurancerelevantdelabranche23dveloppsparlescompagnies dassurancepermettentaupreneurdassurancedinvestirviadesfondsdansdesvaleurs mobilires cotes en bourse (essentiellement des actions et des obligations). Cecisefaitparlebiaisdunitsdecompte(UC).Lorsquuneprimeestverse,elleest convertie (aprs prlvement des frais) en un nombre dUC qui est repris dans le contrat. De mmelorsdunrachat,unnombredunitsestdduitducontratetleclientenperoitla contre-valeur en devise. Lefrancnominalestdoncremplacparlavaleurdunitcequiexpliquelaterminologie anglo-saxonne pour ce type de produits : unit-linked . Lavaleurdelunitpubliedanslesjournauxfinanciersnestpasuncoursvarianten fonctiondeloffreetdelademande,maisunevaleurdinventaire.Cettevaleurdunitou dinventaire,linstantt,estdonneparlerapportentrelavaleurdufondsetlenombre dunits quil contient. La valeur du fonds est dtermine en fonction des cours boursiers des valeurs qui le composent. Lavaleurdinventaireestditenette(VNI)lorsquelesfraisdegestiondufonds(taxes boursires, commissions dintermdiaire, rmunration des gestionnaires, ) sont dduits. Il est important de noter que le preneur dassurance ne peut pas connatre la valeur de lunit avantdeffectuerunversementouunrachat(souscriptionlaveugle).Pourcetteraison,la conversion en units est effectue, au plus tt, le jour suivant le versement ou la demande de rachat sur base de la valeur dunit cette date. Contrairementlabranche21olevoletpargneprvoitunrendementgarantimajor gnralement dune participation bnficiaire, la branche 23 ne prsente, en principe, aucune garantie de rsultat et aucune participation bnficiaire ne peut tre octroye. Le rendement obtenu sera fonction du comportement des marchs financiers et de la capacit desgestionnairesduoudesfondsenprofiter.Celasignifiequelepreneurdassurance supporte la totalit du risque financier inhrent lopration. Il a cependant loccasion de choisir la compagnie gestionnaire ainsi que la composition du ou des fonds et leur niveau de risque. Les possibilits ne manquent pas : fonds dactions plus ou moinsrisques,dobligations,doptions,oudecombinaisonsdecesproduitsfinanciers, fondsbasssurlacroissanceoulamoyennedunoudeplusieursindices,fondscliquets, fonds sectoriels, fonds gographiques, INTRODUCTIONTARIFICATION ACTUARIELLE CONTREFINANCIEREDES CONTRATS EN UNITES DE COMPTE 14 Enoutre,cesproduitspeuventavoiruntermefixouunedureindtermine,prvoirune priodedesouscriptionlimiteouillimite,imposerdespnalitsdesortieouencoretre libells en devise trangre. Levoletpargne(prestationencasdevie)peutgalementtreaccompagndunvoletde prvoyanceconsistantgnralementenunecouverturedcsspcifique.Danscecas,la compagniedassuranceconservelerisquedassurance(outechnique)quirsultedela couverture de prvoyance. Les fonds de placement peuvent tre grs : -soit par la compagnie dassurance elle-mme sous la forme dun compte distinct dans son bilan dactivit ; il sagit dun fonds interne. -soitparunesocitjuridiquementdistinctedelacompagniedassurance ;ilsagit alors dun fonds externe. Lacompagniedassurancedoitfixerlapolitiquedinvestissementdufondsainsiqueles rglespermettanttoutinstantdedterminerlavaleurdunit.Elleesttenuedinformerle preneurdassurancelorsdelasouscription.Elledoitgalementluicommuniqueraumoins une fois par an la valeur de lunit (tat annuel). Bien que le risque financier ne soit pas support par la compagnie dassurance, il sagit dun produit dassurance vie qui ncessite un preneur, un assur, un bnficiaire en cas de vie et en cas de dcs. En cas de dcs de lassur, le contrat prend fin et la contre-valeur des units du contrat est paye au bnficiaire (plus le capital dcs garanti ventuel). Nousnousintressonsauxcontratsdelabranche23munisdunegarantieplancher,cest dire quen cas de dcs, le montant initial investi est rembours. Figure 1 : Illustration du capital sous risque dun contrat en UC avec garantie plancher Capital sous risque dans une garantie plancher0,811,20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10AnnesValeur de l'UC TARIFICATION ACTUARIELLE CONTREFINANCIEREDES CONTRATS EN UNITES DE COMPTEINTRODUCTION 15 LapartiecoloredelaFigure1reprsentelecapitalsous-risqueduncontratenUCavec garantie plancher, cest dire que si le dcs de lassur survient un instant o la valeur de lUC est infrieure 1 (dans notre exemple), lassureur est tenu de payer le maximum entre 1 et la valeur de lUC. Dun point de vue mathmatique, lengagement de lassureur linstant t est : ) 0 , max( ) , max(t t tAtS K S S K E + = = , o St est la valeur de lUC la date t et K est le montant de la garantie plancher (1 dans notre exemple). Maisnoublions pas quenousnousintressons la partie rassurance dece type de contrat. Noussupposonsquelassureurcde100%ducapitalsousrisqueetainsi,lengagementdu rassureur linstant t correspond : ) 0 , max(tRtS K E = , (1) cest dire uniquement la partie sous risque. Auregarddecettedernireformule,nousretrouvonslecaractreoptionnelducontrat,en effet, laformule(1) dcrit exactementle paiement terminal dun option devente europenne (put). Rappelons quun put europen est un contrat confrantle droit de vendre une quantit spcifie dun actif un prix dtermin lavance une chance fixe. Cestpartirdecettedernireremarquequenatlaproblmatiquedusujet :comment dterminerlaprimeuniqueduntelcontrat?Parlapplicationdeprincipesactuariels classiquestelsqueleprincipedquivalencebienconnuenassurancevieouleprincipede tarification financire, cest dire lutilisation de couvertures sur les marchs financiers ? INTRODUCTIONTARIFICATION ACTUARIELLE CONTREFINANCIEREDES CONTRATS EN UNITES DE COMPTE 16 1.3. INTERET DU SUJET Securaatamensepositionnersurlemarchdesproduitsdassurancevieenunitsde compte avec garantie plancher. Suite a une tude mene en 2000 par un tudiant de troisime anne dActuariat de Strasbourg, la mthode de tarification de ces produits utilise par Secura estuneapplicationdumodledeBlack-ScholessouslamesuredeprobabilitphysiqueP. Toute la mthodologie est dcrite dans le trs instructif mmoire de Frdric Daeffler [M-2] et ce principe de tarification est trs pratique danslamesure oilne demandeaucun temps de calcul(aucunesimulation),trsflexiblecarilprendencompteungrandnombrede paramtres(rendementetvolatilitdelactifsous-jacent,gedelassur,)etenfinsimple dutilisation : un programme SAS IML a t ralis. Il devient alors trs ais de tarifer le type de contrat qui nous concerne. Toutefois, suite [M-2] plusieurs questions subsistent. Dansunpremiertempsnouspouvonsnousinterrogersurlapertinencedelamthodologie adopte. En effet, utiliser la formule de Black-Scholes sous la mesure de probabilit physique Prelveduneapprochetarifairequenousqualifieronsdactuarielle,cestdirequenous valuons la prime de notre contrat comme nous valuerions celle dun contrat dassurance vie classiquelaseulediffrencequelemontantversencasdedcsdpenddunactifsous-jacent. Cependant un autre type dapproche est envisageable, nous dirons quil sagit dune approche financire.Eneffet,commelesmontantsverssencasdedcsdpendentdunactif financier,plaonsnousdanslapeaudunfinancier,commentferaitunfinancierpour tarifer un tel contrat ? Intuitivement, il dirait que le contrat est un actif contingent et quil suffit de se couvrir surlesmarchsfinanciersafindedupliquerlesfluxgnrsparcetactif contingent,ainsi,lastratgiedecouverturecorrespondlachatdunesuccessiondoptions deventeeuropennes(puts).Laprimedenotrecontratestdonclasommedesprixdeces puts.CetteapprocherevientappliquerlaformuledeBlack-Scholessouslamesurede probabilit risque-neutre Q. Unepremireinterrogationestdonclasuivante :quelleapprocheutiliserpourtariferces produits, danslamesure o, en prenant lesmmes hypothses de dpart, les prixfournis par lesdeuxmthodespeuventtrejusqudixfoisdiffrents ?Cettequestionestpartiellement aborde dans le pertinent mmoire de Donatien Hainaut [M-3]. Dans un second temps, nous pouvons nous interroger sur la pertinence, cette fois, du rsultat obtenuparlapplicationdelaclbreformuledeBlack-Scholes(quecesoitsousPousous Q). Nous obtenons en fait une prime moyenne mais nous ne savons rien quant la variance de cescotsfutursactualissouplusgnralementdeleurdistribution,cequiestplutt dangereux.Noustrouvonsdailleursunerponsepartiellenotrepremireinterrogation,en effetilsemblepluttintuitifquhypothsesgales,laprimedterminepartarification financireaunevarianceplusfaiblequecelledterminepartarificationactuarielle.Pour pouvoir comparer ces variances, nous avons recours la simulation stochastique. Cesujetestdoncparticulirementintressantdanslesensonousdevonscomparerdeux mthodes de tarification et par la mme occasion dterminer la mthode de tarification la plus adapte notre contrat. Abordons maintenant les mthodes utilises tout au long de ltude. TARIFICATION ACTUARIELLE CONTREFINANCIEREDES CONTRATS EN UNITES DE COMPTEINTRODUCTION 17 2. METHODES UTILISEES Lesmthodes utilisesfontmajoritairement appel auxmathmatiques relatives lassurance vie, la finance et, dun point de vue plus pratique la programmation informatique. Enassurancevie,nousavonsrecoursauxnotionsdebasedcritesdansleparagraphe1 partirdelapage20,cestdirelamodlisationduprocessusstochastiquereprsentantles dcs et lutilisation de lois de mortalit. Concernantlesoutilsfinanciersnousrecourronsauxprocessusstochastiquesentemps continu(particulirementaumouvementbrownien),auxmesuresmartingalesetlaclbre formule de tarification des options de Black-Scholes. Enfin, nous implmentons un programme de simulation stochastique et faisons appel tout le background probabiliste et statistique relatif cette mthode. Une description dtaille des notions ncessaires notre tude figure dans le Chapitre I, de la page 20 la page 39. Intressons nous maintenant aux rsultats obtenus en conclusion de cette tude. 3. RESULTATS OBTENUS Les rsultats obtenus la clture de cette tude sont multiples. Dunpointdevuetarification,nousobtenonslesformulesdesprimespuresdcoulant respectivementdelapprocheactuarielleetdelapprochefinancire(chapitreIIetIII)et constatons que les deux formules de tarification ont la mme structure et ne diffrent que dun paramtre (confirm dans[L-2]). Nousconfirmonsgalementnotreintuitiondedpartsavoirquelaprimedterminepar lapproche actuarielle est plusvolatile que celle dtermine parlapprochefinancire et ceci dlacouverturesurlesmarchsfinanciersinduiteparladmarchefinancire.Nous analysonsgalementlinfluencedesdiffrentsparamtresinduitsparnoshypothsessurla prime pure obtenue par chaquemthode, cette partie deltude est dtaille dansle chapitre IV, paragraphe 5 partir de la page 64. Enfin,nousdterminonsunemthodedvaluationdelaprimetechnico-financire,cest direlaprimequitientcomptedesfluxpositifsetngatifsfuturs.Cemodledecash-flow permet de dterminerlemontant de capital allouer pour lamarge de solvabilit du contrat. Cette dernire tape de construction de la prime du contrat est dcrite dans le chapitre V. CHAPITRE I : FORMULES ET DEFINITIONS Toutaulongdummoirenousfaisonsrfrencediversgrandsconcepts thoriquescommeparexemplelesformulesstandardsdassurancevie,le mouvement brownien ou les martingales en temps continu. Dans un souci de lisibilit et de comprhension nous dfinissons dans ce premier chapitreunebonnepartiedecesconceptsauxquelsnousfaisonsdirectement rfrence durant toute la suite. Chapitre I : FORMULES ET DEFINITIONSTARIFICATION ACTUARIELLE CONTREFINANCIEREDES CONTRATS EN UNITES DE COMPTE 20 1. MORTALITE Considronsdansunpremiertempslemodlestochastiquedcrivantlamortalit.Nous regroupons dans la section qui suit les principales formules actuarielles standards relatives au domaine de lassurance vie. Nous faisons ici rfrence [L-4], [C-3] et [C-5]. 1.1. MODELE STOCHASTIQUE DnotonsparTlavariablealatoirenonngativecorrespondantladuredevierestante dun nouveau-n choisi au hasard dans une population. T a pour fonction de rpartition : [ ]{ o tNotationq t T t F = = ) ( , et pour fonction de survie : [ ]{ o tNotationp t T t F t F = > = = ) ( 1 ) ( . NoussupposonsqueFestabsolumentcontinueetdfinissonsladensitdeprobabilitdeT par : ) ( ) ( ) ( t Fdtdt Fdtdt f = = . 1.2. FORCE DE MORTALITE Quand nous travaillons avec des variables alatoires non-ngatives reprsentant des dures de vie, il est commode de considrer la force de mortalit : ) () ( ) ( lnt Ft fdtt F dt= = (2) Pour de petits intervalles de temps dt, nous avons : [ ][ ][ ] t T dt t T tt T Pdt t T t Pt Fdt t fdtt> + < =>+ x. Tx a pour fonction de distribution : [ ]{ x tNotationqx Fx F t x Fx T t x T x t F = += > + =) ( 1) ( ) () ( , et comme fonction de survie : [ ]{ x tNotationpx Ft x Fx T t x T x t F =+= > + > =) () () ( , (3) qui sont toutes deux bien dfinies pour tout x tel que F(x) < 1. La fonction de densit de cette distribution conditionnelle est : ) () () (x Ft x fx t f+= . (4) Notonspar t|xlaforcedemortalitassocieladistributionF(t|x)quiestobtenueen insrantf(t|x)delquation(4)et) ( x t F de(3)auplacesrespectivesdefetF dansla dfinition (2). Nous trouvons : t x x tt x Ft x f+=++= ) () (. (5) Chapitre I : FORMULES ET DEFINITIONSTARIFICATION ACTUARIELLE CONTREFINANCIEREDES CONTRATS EN UNITES DE COMPTE 22 Notons que : ) ( . x t f pt x x t= +. Ainsi, en insrant (2) dans (3) nous obtenons : ||.|

\| =||.|

\| = ++ ty xt xxu x tdy du p0exp exp . La relation (5) explique pourquoi il est particulirement pratique de travailler avec la force de mortalit :ellenedpendquedelgeatteintx+ttandisqueladensitconditionnellede(4) dpendengnraldexetdetdemanirepluscomplexe.Ainsi,lespropritsdetoutesles fonctionsdedistributionconditionnellessontrsumesparunesimplefonctiondpendant uniquement de lge. 1.4. QUELQUES LOIS DE MORTALITE STANDARD Il existe quelques fonctions qui sont commodes et souvent utilises en pratique. Il sagit plus particulirement des lois exponentielles, Weibull et Gompertz-Makeham. 1.4.1.LOI EXPONENTIELLE Avecladistributionexponentiellenoussupposonsquelaforcedemortalitestt= indpendante delge. Cela signifie quela duredevie dunindividune dpend pas de son ge. La fonction de survie est ainsi : ) exp( ) ( t t F = , et la densit devient : ) exp( . ) ( t t f = . Decefait,ladistributiondelavariablealatoireTestunedistributionexponentiellede paramtre . La fonction de survie conditionnelle devient : ) ( ) exp( t F t px t= = . La distribution exponentielle est un modle adapt pour des dispositifs techniques tels que des ampoules ou composants lectroniques mais malheureusement pas pour la description de vies humaines. TARIFICATION ACTUARIELLE CONTREFINANCIEREDES CONTRATS EN UNITES DE COMPTEChapitre I : FORMULES ET DEFINITIONS 23 Figure 2 : Illustration de la loi Exponentielle Loi Exponentielle ( = 0.05)00.10.20.30.40.50.60.70.80.910 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100t Figure 3 : Illustration de la loi de Weibull Loi de Weibull (= 100,= 10 )00.10.20.30.40.50.60.70.80.910 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100t Figure 4 : Illustration de la loi de Gompertz-Makeham Loi de Gompertz-Makeham (= 0.005,= 0.00007,= 0.08 )00.10.20.30.40.50.60.70.80.910 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100t : tp45 : tq45 : 45+t : f(45+t) Chapitre I : FORMULES ET DEFINITIONSTARIFICATION ACTUARIELLE CONTREFINANCIEREDES CONTRATS EN UNITES DE COMPTE 24 1.4.2.LOI DE WEIBULL Lintensit de la loi de Weibull est de la forme : 1 = tt, avec , > 0. Si > 1 alors t est croissante en t, sinon elle est dcroissante. Si = 1, la loi de Weibull se rduit en une loi exponentielle de paramtre 1/. La fonction de survie correspondante est : ( ) = ) / ( exp ) ( t t F . 1.4.3.LOI DE GOMPERTZ-MAKEHAM Cettedistributionestfrquemmentutilisecommemodledesurviedeviehumaineet particulirement dans le cadre de lassurance vie. Nous utiliserons dailleurs cette loi dans les dveloppements futurs La force de mortalit de cette loi est de la forme : tet + = , avec , 0. La fonction de survie correspondante est : |.|

\| = / ) 1 ( exp ) (te t t F . Si > 0 et > 0 alors t est une fonction croissante de t. Laconstanterefltecertainescausesdedcsindpendantesdelgecommecertains accidents et/ou maladies. Le terme et prend en compte tous les effets dus lge. Nous avons : ) ( t xet x+ + = +, et donc |.|

\| = / ) 1 ( exptexe t px t, qui est aussi une fonction de survie de Gompertz-Makeham avec paramtres , ex et . Le cas spcial = 0 est connu sous le nom de loi (pure) de Gompertz. TARIFICATION ACTUARIELLE CONTREFINANCIEREDES CONTRATS EN UNITES DE COMPTEChapitre I : FORMULES ET DEFINITIONS 25 1.5. AGES ET DUREES DE VIE NON-ENTIERS Dans le cadre de travaux actuariels, nous avons trs souvent recours des tables de mortalit or, en gnral,les donnes de ces tables sontfournies pour des ges entiers. Pour obtenirles mmes donnes entre deux ges entiers successifs, il faut avoir recours certaines hypothses que nous allons prsenter, il en existe principalement trois. Nous nutilisons pas directement les ges et dures de vie non-entiers dans la suite mais cette partie est utile pour ce qui concerne limplmentation dun programme de tarification. Notons que tout au long de ce paragraphe nous supposerons que 0 t < 1. 1.5.1.HYPOTHESE DE REPARTITION UNIFORME Enutilisantcettehypothse,noussupposonsquilyarpartitionuniformedesdcsdans chaqueannedge,cestdirequelaloidelavariablealatoirecontinueindiquantla fraction danne vcue dans lanne de dcs est une loi uniforme continue sur [0,1]. Ceci revient postuler que : x x tq t q . = . Nous en drivons ainsi les formules suivantes : x x tq t p . 1 = , pour la probabilit de survie, xxt xq tq. 1= +, pour la force de mortalit et enfin la probabilit de dcs avec ge et dure de vie non entiers : xxt x yq tq yq. 1.=+, pour 0 t+y < 1. Chapitre I : FORMULES ET DEFINITIONSTARIFICATION ACTUARIELLE CONTREFINANCIEREDES CONTRATS EN UNITES DE COMPTE 26 1.5.2.HYPOTHESE DE BALDUCCI Ici nous faisons lhypothse que la quantit 1-t qx+t est linaire en t. Ce qui implique que : x t x tq t q ). 1 (1 =+ Les consquences sur les autres formules classiques sont les suivantes : xxx tq tq tq). 1 ( 1. = , xxt xq tq). 1 ( 1 = +, et xxt x yq t yq yq). 1 ( 1. =+, pour 0 t+y < 1. 1.5.3.HYPOTHESE DE FORCE DE MORTALITE CONSTANTE Dans ce dernier cas, nous supposons que la force de mortalit est constante dans chaque anne dge donc x+t = x. Ainsi, tx x tp p ) ( = , yx t x yp q ) ( 1 =+ pour 0 t+y < 1. TARIFICATION ACTUARIELLE CONTREFINANCIEREDES CONTRATS EN UNITES DE COMPTEChapitre I : FORMULES ET DEFINITIONS 27 1.6. TABLES DE MORTALITE 1.6.1.UNION PROFESSIONNELLE DES ENTREPRISES D'ASSURANCES (UPEA) L'UnionProfessionnelledesEntreprisesd'Assurances(UPEA)atfondeen1920.Elle groupelaquasi-totalitdescompagniesd'assurancesbelgesettrangresquioprentsurle march belge et sa reprsentativit atteint 95% de l'encaissement en non-vie, un peu moins en vie.Cetorganismefournit,entreautre,destablesdexprience(fondessurlamortalit observe). 1.6.2.TABLES UPEA Nousutilisons,pourreflterlamortalitlestablesdexpriencedelUPEA.Cestablessont construites en utilisant deux lois de Gompertz-Makeham et fournissent les coefficients , et de chacune des deux lois. La premire loi est utilise pour les ges entre 0 et 64 ans et la seconde pour les ges de 66 99ans.Pourobtenirlaforcedemortalitlgede65ans,lUPEAprocdelamoyenne entre celle 64 ans et celle 66 ans (ce qui ne donne pas une force de mortalit trs lisse). Figure 5 : Probabilits de dcs issues dune table UPEA Probabilits de dcs dans l'anne - Table UPEA00.020.040.060.080.10.120 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100xqx Les deux courbes en pointills reprsentent les deux lois de Gompertz-Makeham utilises et la courbe relie reprsente lajustement pour la loi de mortalit entre les ges de 0 99 ans. Chapitre I : FORMULES ET DEFINITIONSTARIFICATION ACTUARIELLE CONTREFINANCIEREDES CONTRATS EN UNITES DE COMPTE 28 Aprsavoir prsent lesnotationsstandard pour dcrirelemodle demortalit,introduisons le modle financier.Nous faisons ici rfrence [L-5] page 209, [L-6], [L-7], [C-2] et [C-4]. 2. FINANCE Cettepartieestconsacredesgnralitssurlesprocessusstochastiquesetproprits affrentes.Ilnestpasquestionicidefairedelathorieexhaustive,nousexposons uniquementlespropritsessentiellesetlesoutilsncessairespourlesdveloppementsqui suivent. 2.1. PROCESSUS STOCHASTIQUES : GENERALITES Toutevariabledontlesvaleurschangentenfonctiondutempsdefaonalatoireestdite suivreunprocessusstochastique.Unprocessusstochastiquepeuttreclassdansdeux catgories :processusstochastiqueentempsdiscretetprocessusstochastiqueentemps continu. Unprocessusstochastiqueentempsdiscretimpliquequeleschangementsdevaleursdela variablealatoirepeuventuniquementseproduiredespointsfixesdutempstandisquun processus stochastique continu permet des changements continus dans le temps. Nouspouvonsgalementprocderladistinctionentreprocessusstochastiquevaleurs discrtes(leprocessusnepeutprendrequedesvaleursdiscrtes)etvaleurscontinues(le processus peut prendre nimporte quelle valeur dans un certain intervalle). Dansnotretudenousnousintressonsauxprocessusstochastiquesentempscontinuet valeurs continues pour modliser lvolution du prix dun actif financier. Deux raisons motivent ce choix. La premire vient du phnomne que lon veut modliser : les variations des cotations sur les marchsorganisssontenpratiquetellementfrquentesquunmodlediscretpeut difficilement en rendre compte. Lasecondeprovientdufaitquelesmodlescontinusconduisentdesmthodesdecalcul plus explicites quelesmodles discrets,mme silfaut parfois avoir recours desmthodes numriques. TARIFICATION ACTUARIELLE CONTREFINANCIEREDES CONTRATS EN UNITES DE COMPTEChapitre I : FORMULES ET DEFINITIONS 29 2.2. PROCESSUS STOCHASTIQUES ET MOUVEMENT BROWNIEN Dfinissons tout dabord de manire formelle ce quest un processus stochastique. Dfinition 2.2.1 : Processus stochastique temps continu NousappelonsprocessusstochastiquetempscontinuetvaleursdansunespaceE muni dune tribu , une famille (Xt)t0 de variables alatoires sur un espace probabilis (,,P) valeurs dans (E,). Lemploi du terme filtration tant trs frquent en mathmatique financire, rappelons que lafiltrationretracetoutelinformationdontnousdisposonschaquepasdetemps,envoici unedfinitiondanslenvironnementmathmatiqueainsiquunedfinitiondunprocessus adapt. Dfinition 2.2.2 : Filtration Soit (,,P) un espace probabilis, unefiltration(t)t0 est unefamillecroissante de sous tribus de . La tribu (t)t0 reprsente linformation dont nous disposons linstant t. Un processus (Xt)t0 est adapt (t)t0 si pour chaque t, Xt est t-mesurable. Enonons encore deux proprits caractrisant certains processus stochastiques afin dtre en mesure de dfinir le mouvement brownien. Dfinition 2.2.3 : Processus accroissements indpendants Le processus (Xt)t0 est accroissements indpendants si pour toute suite0