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La transition primaire/secondaire : Étude des programmes de
mathématiques
Mémoire
Jérôme Bouchard
Maîtrise en didactique
Maître ès arts (M.A.)
Québec, Canada
© Jérôme Bouchard, 2016
La transition primaire/secondaire : Étude des programmes de
mathématiques
Mémoire
Jérôme Bouchard
Sous la direction de :
Helena Boublil, directrice de recherche Clermont Gauthier, codirecteur de recherche
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RÉSUMÉ
Le projet de recherche s’intéresse à la période de la transition entre l’école primaire et
l’école secondaire. Parmi plusieurs facteurs nommés dans les recherches menées dans ce
domaine et qui peuvent être à la source des difficultés des élèves, nous nous intéressons
plus particulièrement à la correspondance entre les structures curriculaires de deux
programmes pour l’enseignement de la géométrie.
Nous nous sommes référés aux différents cadres théoriques et méthodologiques (Van Hiele,
1959/1984; Vergnaud, 1991; Boublil-Ekimova, 2010) afin d’analyser leur pertinence
mathématique et didactique. Cette analyse nous a permis de constater que certains savoirs
sont absents des programmes alors que d’autres ne sont pas présentés dans un ordre logique
qui respecte la progression dans la construction des concepts mathématiques. À la suite de
ces constats, et en nous appuyant sur les éléments ressortis du cadre théorique, nous
proposons une description qui correspond à notre vision de la progression des
apprentissages des savoirs essentiels visés aux quatre cycles de l’enseignement (trois cycles
de l’enseignement primaire et le premier cycle de l’enseignement secondaire).
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TABLE DES MATIÈRES
Résumé .................................................................................................................................. iii
Table des matières……………………………………………………………………….....iv
Liste des tableaux……………………………………………………………………….....vii
Remerciements ...................................................................................................................... ix
Introduction ........................................................................................................................... 1
1. Problématique .................................................................................................................... 4
1.1. Transition primaire/secondaire ............................................................................................ 4 1.1.1. Point de vue de l’élève .................................................................................................................... 4 1.1.2. Point de vue de l’école .................................................................................................................... 7
1.1.2.1. L’importance consacrée à certaines matières et les compétences des enseignants.................. 7 1.1.2.2. L’absence de continuité entre les pratiques pédagogiques du primaire et du secondaire ........ 8 1.1.2.3. La présence de grandes différences entre les structures curriculaires ................................... 11
1.2. Effets de la transition sur la réussite scolaire .................................................................... 12 1.2.1. Difficultés en mathématiques au début du secondaire .................................................................. 12
1.2.1.1. Difficultés en algèbre ............................................................................................................ 13 1.2.1.2. Difficultés en apprentissage des nombres rationnels ............................................................. 14 1.2.1.3. Difficultés en probabilités et statistiques ............................................................................... 16 1.2.1.4. Difficultés géométriques ....................................................................................................... 16
1.3. Intérêt et objectifs de recherche ......................................................................................... 18
2. Cadre théorique ............................................................................................................... 20
2.1 Enseignement de la géométrie : objectifs visés ................................................................... 20 2.1.1. Géométrie au primaire .................................................................................................................. 20 2.1.2. Géométrie au début du secondaire ................................................................................................ 21
2.2. Théories développementales ............................................................................................... 22 2.2.1. Stades de développement (Piaget) ................................................................................................ 23 2.2.2. Niveaux de développement de la pensée géométrique (van Hiele 1959/1884) ............................. 26 2.2.3. Éléments ressortis de ces théories ................................................................................................. 28
2.3. Théorie des champs conceptuels (Gérard Vergnaud)....................................................... 29
2.4. Critères d’analyse des programmes d’études .................................................................... 31
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2.5. Projection sur l’emploi des théories étudiées .................................................................... 32
3. Démarche méthodologique .............................................................................................. 33
3.1. Rendre la description des savoirs visés au primaire compatible à celle du secondaire . 34 3.1.1. Solides ........................................................................................................................................... 35 3.1.2. Figures planes ............................................................................................................................... 36 3.1.3. Transformations géométriques ...................................................................................................... 39 3.1.4. Mesure .......................................................................................................................................... 40
3.2. Description des concepts selon le modèle de Vergnaud (1991) ........................................ 42
3.3. Description de la progression des savoirs selon les niveaux de la pensée géométrique
(van Hiele, 1959/1984) ................................................................................................................. 44 3.3.1. Solides ........................................................................................................................................... 44 3.3.2. Figures planes ............................................................................................................................... 45 3.3.3. Transformation géométriques ....................................................................................................... 48 3.3.4. Mesure .......................................................................................................................................... 50
3.4. Analyse de la description des savoirs essentiels visés au primaire .................................. 52 3.4.1. Solides ........................................................................................................................................... 53 3.4.2. Figures planes ............................................................................................................................... 56 3.4.3. Transformations géométriques ...................................................................................................... 61 3.4.4. Mesure .......................................................................................................................................... 64
3.5. Analyse de la description des savoirs essentiels visés au secondaire ............................... 67 3.5.1. Solides ........................................................................................................................................... 68 3.5.2. Figures planes ............................................................................................................................... 69 3.5.3. Transformations géométriques ...................................................................................................... 70 3.5.4. Mesure .......................................................................................................................................... 71
3.6. Comparaison des deux programmes (MELS, 2002 et MELS, 2003). .............................. 74 3.6.1. Solides ........................................................................................................................................... 75 3.6.2. Figures planes ............................................................................................................................... 76 3.6.3. Transformations géométriques ...................................................................................................... 78 3.6.4. Mesure .......................................................................................................................................... 79
3.7. Conception d’une nouvelle description .............................................................................. 81
4. Conclusion ....................................................................................................................... 93
4.1. Objectifs et résultats de la recherche ................................................................................. 93
vi
4.2. Limites de la recherche ........................................................................................................ 95
4.3. Apports et perspectives de la recherche ............................................................................. 96
Références ............................................................................................................................ 97
Annexe 1 ............................................................................................................................ 102
Annexe 2 ............................................................................................................................ 104
Annexe 3 ............................................................................................................................ 106
vii
LISTE DES TABLEAUX
Tableau 1. Savoirs essentiels : Solides (MELS, enseignement primaire, 2002). ................. 35
Tableau 2. Description réorganisée (Solides). ...................................................................... 36
Tableau 3. Savoirs essentiels : Figures planes (MELS, enseignement primaire, 2002). ...... 37
Tableau 4. Description réorganisée (Figures planes). .......................................................... 38
Tableau 5. Savoirs essentiels : Frises et dallages (MELS, enseignement primaire, 2002). . 39
Tableau 6. Description réorganisée (Frises et dallages) ....................................................... 40
Tableau 7. Savoirs essentiels : Mesure (MELS, enseignement primaire, 2002). ................. 41
Tableau 8. Description réorganisée (Mesure)....................................................................... 42
Tableau 9. Extrait de la description du concept des solides (section « polyèdres »). .......... 43
Tableau 10. Savoirs essentiels (MELS, enseignement secondaire, 2003)............................ 67
Tableau 11. Savoirs essentiels : Mesure (MELS, enseignement secondaire, 2003). ........... 71
Tableau 12. Comparaison de descriptions (Solides) ............................................................ 75
Tableau 13. Comparaison de descriptions (Figures planes) ................................................. 76
Tableau 14 Comparaison de descriptions (Transformations géométriques) ........................ 78
Tableau 15. Comparaison de descriptions (Mesure) ............................................................ 79
Tableau 16. Proposition de la section : Solides .................................................................... 82
Tableau 17. Proposition de la section : Figure planes .......................................................... 83
Tableau 18. Proposition de la section : Transformation géométriques ................................ 87
Tableau 19. Proposition de la section : Mesure .................................................................... 90
Tableau 20. Description du concept des solides ................................................................. 106
Tableau 21. Description du concept des figures planes ..................................................... 111
Tableau 22. Description du concept de translation ............................................................ 122
Tableau 23. Description du concept de réflexion ............................................................... 124
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Tableau 24. Description du concept de rotation ................................................................. 127
Tableau 25. Description du concept de l’homothétie ......................................................... 129
Tableau 26. Description du concept de mesure .................................................................. 131
ix
REMERCIEMENTS
J’utilise les quelques lignes suivantes pour remercier certaines personnes qui m’ont permis
de réaliser ce mémoire.
Dans un premier temps, je souhaite adresser mes plus sincères remerciements à ma
directrice de recherche, Mme Helena Boublil-Ekimova, professeure en didactique des
mathématiques à l’Université Laval. En plus d’avoir été une grande source de motivation,
elle a fait preuve d’une grande générosité en me consacrant énormément de temps et en me
guidant tout au long de ma recherche.
Je veux également remercier M. Clermont Gauthier pour ses commentaires constructifs tout
au long de mon parcours, ainsi qu’à la lecture du projet.
Merci à Elena Polotskaia, professeure de l’Université du Québec en Outaouais, d’avoir
accepté d’évaluer mon projet et d’avoir apporté ses commentaires.
J’exprime également ma gratitude aux professeurs de l’Université Laval qui m’ont initié au
monde de la recherche et qui m’ont donné tous les outils nécessaires pour rédiger ce
document.
Enfin, je souhaite remercier spécialement mes proches qui m’ont soutenu tout au long de ce
parcours. Tout d’abord mes parents : Martin et Johanne. Merci pour le support financier,
mais aussi de m’avoir encouragé et de vous être intéressés à mon projet. J’ai toujours pu
compter sur vous dans les moments les plus difficiles. Ensuite, ma sœur, Valérie. Merci
pour le temps que tu m’as accordé. Je sais que tu as parfois mis ton propre travail de
recherche de côté pour m’aider avec le mien. Tu as été un modèle à suivre tout au long de
cette aventure. Finalement, ma copine, Marie-Josée. Merci de m’avoir épaulé dans cette
épopée. Tu as été l’oreille attentive qui a su m’écouter quand j’en avais le plus besoin.
1
INTRODUCTION
Le passage du primaire au secondaire présente de nombreux défis pour les élèves. Durant
cette transition, l’élève fait face à plusieurs changements d’ordre environnemental,
physique, psychologique et social. La façon dont ces difficultés sont vécues, et surtout les
faibles performances qu’elles engendrent chez certains élèves ont incité plusieurs
chercheurs à s’intéresser à la transition primaire/secondaire pour essayer de mieux
comprendre ce phénomène (De Kessel, Dufays et Meurant, 2012; Larose et al., 2006;
Carter et al., 2005; Stevens, Wineburg, Herrenkohl et Bell, 2005; Otis et al., 2005; Toping,
2003; Zeedyk et al., 2003; Mizelle et Irvin, 2000 ; etc.).
Les recherches effectuées sur ce sujet ont montré que plusieurs variables peuvent jouer un
rôle dans le succès de la transition ou être à la source des difficultés que vivent les jeunes
lors de cette période : la relation avec les pairs, l’intimidation, la relation avec les futurs
enseignants, le soutien parental, l’importance consacrée à certaines matières, l’absence de
continuité entre les pratiques pédagogiques des deux niveaux et la présence de différences
entre les structures curriculaires des deux programmes.
Malgré les moyens mis en place par les écoles, les enseignants, les parents, le ministère de
l’Éducation, du Loisir et du Sport (MELS) et tous autres intervenants afin de diminuer
l’effet négatif de ces variables sur le vécu et les résultats scolaires des élèves et pour
faciliter la transition entre les deux ordres d’enseignements, l’analyse de recherches montre
que les élèves éprouvent des difficultés importantes dans leurs apprentissages (Barber et
Olsen, 2004; Roderick et Camburn, 1999).
L’analyse de recherches effectuées sur la transition primaire/secondaire nous a permis de
constater qu’il y a très peu de travaux portant sur les effets de la transition sur le rendement
scolaire dans le domaine mathématique. Il y en a encore moins qui soulèvent la question
des liens entre les programmes d’études correspondant à ces deux niveaux d’enseignement
et il n’y en a aucune qui étudie cette correspondance. Notre travail est donc une
contribution à ce domaine de recherche. Elle s’intéresse aux différences curriculaires
présentées par certains auteurs comme un aspect susceptible d’être à la source du problème
de la transition entre l’école primaire et l’école secondaire.
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Compte tenu de l’ampleur du travail d’analyse et de manière à proposer une réflexion plus
approfondie, notre démarche se restreindra à l’analyse d’un des domaines mathématiques,
la géométrie. Il s’agit du domaine le moins étudié dans les recherches didactiques, mais qui
occupe à peu près le tiers de l’enseignement des mathématiques.
Ce travail de recherche est composé de quatre chapitres. Le premier correspond à la
problématique. Dans ce chapitre, en référant aux recherches menées dans le domaine de la
transition scolaire, nous décrivons les différents facteurs qui entrent en jeu lors du passage
entre l’école primaire et l’école secondaire. Ensuite, parmi les facteurs exposés, nous
étudions ceux qui peuvent être à la source des difficultés que vivent les jeunes pendant cette
période. Enfin, nous étudions les difficultés éprouvées par les élèves dans le domaine
mathématique. Cette démarche nous permet de décrire les problèmes qui ont été soulevés
dans les recherches menées dans ce domaine et de préciser les orientations principales de
notre recherche.
Le chapitre 2 présente le cadre théorique. Dans ce chapitre, à l’aide de deux programmes de
mathématique (primaire et secondaire), nous étudions les objectifs d’apprentissage visés
pour chacun des deux ordres d’enseignement. Nous exposons aussi la recherche de Boublil-
Ekimova (2010b), qui nous fournit des critères pour analyser la description des savoirs
essentiels des deux programmes d’enseignement. Finalement, nous présentons les théories
développementales (Piaget, 1955; Piaget et Inhelder, 1963; van Hiele, 1959/1984) et la
théorie des champs conceptuels (Vergnaud, 1991) qui nous guideront pour décrire
l’évolution de la pensée dans la construction de concepts géométriques selon l’âge (ou les
niveaux) et selon les activités qui permettent cette évolution.
Le troisième chapitre, Méthodologie, est consacré à la description de la démarche de la
recherche, qui se compose de sept étapes. En nous appuyant sur notre cadre théorique, nous
élaborons une description progressive des activités d’apprentissage mettant en jeu les
attributs des différents concepts, leurs différentes représentations et les processus
nécessaires à leur construction et à leur développement. Ensuite, en nous référant à cette
description, nous ferons une analyse didactique et mathématique de deux programmes de
mathématique (primaire et premier cycle du secondaire). Nous comparons les données
d’analyse afin d’identifier les liens ou les ruptures entre les descriptions des savoirs visées
3
par ces deux ordres d’enseignement. À la dernière étape, nous proposons une description
des savoirs essentiels telle que nous la concevons. Nous échelonnons la progression des
savoirs du premier cycle du primaire jusqu’au premier cycle du secondaire.
Finalement, dans une conclusion générale, nous montrons dans un premier temps les
apports d’une telle recherche ainsi que les limites qui s’y rattachent. Dans un deuxième
temps, nous proposons différentes avenues permettant de poursuivre notre réflexion.
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1. PROBLÉMATIQUE
Dans ce chapitre, nous nous intéressons aux principales raisons des difficultés des élèves
dues à la transition entre deux ordres d’enseignement (primaire et secondaire). D’abord,
nous décrirons les facteurs qui entrent en jeu dans la transition entre l’école primaire et
l’école secondaire. Ensuite, parmi les facteurs exposés, nous porterons une attention
particulière aux éléments qui peuvent provoquer des difficultés chez les élèves. Enfin, nous
regarderons les difficultés éprouvées par les élèves dans les différents domaines
mathématiques. Cette démarche nous permet de décrire les problèmes qui ont été relevés
dans les recherches menées dans ce domaine et de préciser les orientations principales de
notre travail.
1.1. Transition primaire/secondaire
Les recherches menées dans ce domaine montrent que plusieurs aspects de la vie
socioaffective de l’enfant et de l’environnement de l’école peuvent être déterminants quant
au succès de la transition que vivent les élèves entre l’école primaire et l’école secondaire.
Nous traçons d’abord le portrait de cette transition scolaire en l’examinant sous deux angles
différents : du point de vue de l’élève et du point de vue de l’école. Ensuite, nous décrivons
les difficultés rencontrées par les élèves dans l’apprentissage des mathématiques qui
ressortent des recherches portant sur cette période de transition.
1.1.1. Point de vue de l’élève
Même si plusieurs enfants sont optimistes et ont hâte d’entrer à l’école secondaire
puisqu’ils attendent avec impatience la possibilité de pouvoir faire plus de choix et de se
faire de nouveaux amis (Lucey et Reay, 2000; Mizelle, 1999), on remarque qu’ils peuvent
aussi être anxieux (Zeedyk et al., 2003). En effet, il ressort de plusieurs recherches (Otis et
al, 2005; Seidman et al, 1994; Wigfield et al., 1991) que pour de nombreux enfants la
transition est une période d'inquiétude lors de laquelle on observe chez eux un déclin
substantiel dans l'estime de soi, dans la motivation scolaire et, par conséquent, dans la
réussite scolaire.
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Il est reconnu depuis longtemps, disent Hertzog et al. (1996), que les relations avec les
pairs jouent un rôle important dans la transition scolaire. Carter et al. (2005) affirment aussi
que le maintien des relations entre les amis de l’école primaire jusqu’au secondaire
contribue à favoriser une meilleure transition. Par contre, on remarque que le passage à
l’école secondaire vient souvent modifier, perturber ou rompre les liens d’amitié tissés à
l’école primaire (Mizelle et Irvin, 2000). Selon Elias et al. (1985), avant de rentrer au
secondaire, les élèves sont inquiets à l’idée de s’ennuyer de leurs amis du primaire, d’avoir
de la difficulté à se faire de nouveaux amis et de ne pas faire partie d’un groupe. Étant
donné que les relations entre les pairs sont si importantes, les recherches de Lindsay (1998),
Thurston et al. (2010) et Parsons et al. (2008) proposent des interventions afin de favoriser
les relations entre les pairs.
Lindsay (1998) a montré qu’en début d’année, en ouvrant les portes de l’école seulement
aux nouveaux élèves, on facilitait la création de relations positives entre eux et on réduisait
ainsi leur niveau d’anxiété.
Selon Thurston et al. (2010), dans les écoles secondaires où l’on pratique l’apprentissage
coopératif, il y a d’évidents gains sociaux chez les élèves, ce qui entraîne des relations plus
positives avec leurs pairs.
Le mentorat par les pairs est un autre moyen qui peut être mis en place pour faciliter les
liens sociaux entre les élèves. En nous référant à l’étude de Parsons et al. (2008), nous
pouvons voir que la majorité des élèves ont apprécié avoir un mentor. Selon ces élèves, le
mentorat leur avait été utile pour améliorer leur confiance en eux et leur attitude envers
l’école. De même, 87 % des mentors affirment que d’avoir participé au programme de
mentorat leur a permis d’avoir une meilleure confiance en eux et de parler aux autres élèves
plus facilement.
En lien à la relation avec les pairs, il est important de mentionner les travaux d’Ashton
(2008), de Zeedyk et al. (2003) et d’Evangelou et al. (2008), qui soulignent que si les
élèves ont peur de se retrouver seuls à l’école, ils craignent également d’être victimes
d’intimidation. On apprend dans l’étude d’Evangelou et al. (2008) qu’environ 3 élèves sur
10 sont victimes d’intimidation. La recherche de Zeedyk et al. (2003) démontre aussi que
l’intimidation peut être très préoccupante tant pour les élèves du primaire et du secondaire
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que pour leurs parents et leurs enseignants. Cependant, cet aspect de la transition n’était pas
si significatif dans l’étude qu’Ashton (2008) a menée sur un échantillon de 1673 élèves qui
terminaient leurs études primaires. Seulement 17 % d’entre eux ont mentionné avoir peur
d’être intimidés ou étaient simplement curieux de savoir s’il y avait de l’intimidation. Dans
le but de prévenir et de combattre l’intimidation et la violence à l’école au Québec, la loi 56
est mise en vigueur depuis le 12 juin 2012 (MELS, 2014).
Ashton (2008) évoque une autre crainte éprouvée par les élèves lors de la transition
primaire/secondaire. Celle-ci réside dans le fait que les élèves sont curieux de voir leurs
futurs enseignants. Ils espèrent aussi qu’ils feront une bonne impression et qu’ils seront
appréciés de leurs enseignants. Les résultats de cette recherche révèlent un impact positif
sur les élèves qui ont eu la chance de rencontrer leurs enseignants du secondaire avant la
rentrée des classes et suggèrent que les journées portes ouvertes peuvent être propices à ce
genre de rencontres.
Le soutien des parents représente aussi un élément primordial quant à la réussite de la
transition. En effet, McGee et al. (2004) affirment qu’une forme de soutien extérieure à
celui de l’école favorise une meilleure transition. Dans le même sens, Osborn et al. (2006)
mentionnent que le soutien des parents contribue à la réussite de la transition vers l’école
secondaire.
On retrouve aussi dans les documents du MELS (2012) les facteurs de protection liés à
l’environnement familial qui permet de favoriser la transition scolaire :
- Soutenir leur enfant
- Être engagés dans la réussite scolaire de leur enfant
- Créer un climat familial positif
- Adopter un style parental démocratique et encourager l’autonomie
- Permettre à leur enfant d’avoir des relations de qualité avec un adulte significatif
- Rapprocher la famille et l’école
- Valoriser l’éducation auprès de leur enfant
Ces recommandations destinées aux parents visent à offrir un meilleur soutien aux enfants
lors de la transition primaire/secondaire.
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1.1.2. Point de vue de l’école
Pour mieux comprendre les différentes variables de la transition primaire/secondaire liées à
l’environnement scolaire, nous nous sommes référés au rapport de recherche produit en
2006 par Larose et al. Les recherches menées dans ce domaine leur a permis d’identifier les
facteurs de risques du milieu scolaire associés à la transition entre deux niveaux
d’enseignement.
En référant à la recherche de Stevens, Wineburg, Herrenkohl et Bell (2005), Larose et al.
(2006) stipulent que les variables les plus fréquemment associées aux facteurs de risques
scolaires sont : l’importance consacrée à certaines matières (on peut y inclure les
compétences des enseignants), l’absence de continuité entre les pratiques pédagogiques du
primaire et du secondaire ainsi que la présence de grandes différences entre les structures
curriculaires des deux niveaux. Dans les trois sous-sections suivantes, nous précisons
chacun de ces éléments.
1.1.2.1. L’importance consacrée à certaines matières et les compétences des enseignants
La recension des recherches menées dans le domaine de l’enseignement des mathématiques
et portant sur les compétences professionnelles des enseignants nous a permis de faire
ressortir quelques raisons expliquant pourquoi l’importance consacrée à certaines matières
(ou domaines disciplinaires) et à certains contenus du même domaine peut varier. Ce choix
peut être influencé par les connaissances que les enseignants possèdent à propos de cette
matière, l’intérêt qu’ils portent envers ce champ disciplinaire, le temps mis à leur
disposition, etc.
Certaines études montrent que les enseignants du primaire ne possèdent pas les
compétences disciplinaires nécessaires pour l’enseignement des mathématiques. Cette
lacune a entre autres été rapportée par l’étude de Brown, Cooney et Jones (1990). De plus,
selon Fennema et Franke (1992), les lacunes disciplinaires des enseignants peuvent être
associées aux erreurs que font les élèves.
Dans sa recherche de 2005, Boublil-Ekimova signale aussi que les connaissances
mathématiques des enseignants influent considérablement sur l’enseignement de cette
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discipline, ce qui peut être observé dans le choix du contenu de l’enseignement, dans les
évaluations des apprentissages et, surtout, dans la manière d’enseigner.
Quelles sont les raisons permettant d’expliquer ces constats ? Par exemple, pour
l’enseignement de la géométrie, selon Porter (1989), les futurs maîtres mentionnent que la
couverture de cette matière a été faite de façon plutôt brève lorsqu’ils étaient eux-mêmes au
primaire et au secondaire. De plus, selon cet auteur, les enseignants n’enseignent pas
toujours tous les éléments prescrits par le programme.
Pour ajouter aux raisons qui expliquent pourquoi les enseignants au primaire ne sont pas
bien formés pour enseigner les mathématiques, Ekimova (2005) mentionne que certains
futurs enseignants n’ont pas suivi de cours de mathématiques en cinquième secondaire et
que d’autres n’ont pas eu de formation mathématique au collégial.
Pourtant, pour s’assurer de la compétence des futurs enseignants, notamment en
mathématiques, l’Université Laval intègre au programme de formation des futurs maîtres
destinés à l’éducation préscolaire et à l’enseignement primaire un cours d’arithmétique et
un cours de géométrie. Ces cours visent à ce que les étudiants acquièrent les compétences
disciplinaires nécessaires à l’enseignement des mathématiques au primaire. De plus, selon
l’article 22 du régime pédagogique de l'éducation préscolaire, de l'enseignement primaire et
de l'enseignement secondaire, on informe les enseignants, à titre indicatif, du nombre
d’heures qu’ils devraient consacrer à chacune des matières obligatoires.
1.1.2.2. L’absence de continuité entre les pratiques pédagogiques du primaire et du secondaire
Un rapport de recherche publié en 2002 sur le site de la Fédération Wallonie-Bruxelles
souligne que plusieurs enseignants du secondaire déplorent le fait qu’une grande partie
d'élèves arrivent au secondaire sans maîtriser certaines notions du primaire pourtant
préalables au cours de mathématiques en secondaire 1 : « Les mathématiques, cela se suit.
Si on n’a pas les prérequis, on n’avance pas. Par exemple, celui qui a des problèmes en
tables de multiplication aura encore plus de problèmes en division, en fraction. Souvent, il
manque des prérequis importants du primaire pour pouvoir faire les opérations du
secondaire. » (p. 4)
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Bien que les enseignants du secondaire remarquent un manque de prérequis chez certains
élèves, les auteurs du rapport mentionnent que l’enseignement des mathématiques aux deux
niveaux (primaire et secondaire) relève de deux réalités différentes : le premier niveau est
basé sur la manipulation et le second est plus abstrait et conceptuel. Dans le même sens,
Midgley et al. (1989) soulignent que les pratiques enseignantes du primaire et du
secondaire ne sont pas les mêmes. Les élèves passent d’un enseignement centré sur l’enfant
à un enseignement visant le développement des contenus.
Les études publiées montrent aussi que dans plusieurs cas les enseignants ne connaissent ni
les méthodes et les outils d’enseignement, ni le programme de l’autre niveau
d’enseignement (De Kessel, Dufays et Meurant, 2012). Par conséquent, les enseignants du
primaire ne font pas de liens entre ce qu’ils enseignent et les contenus visés pour le
secondaire. Les enseignants du secondaire ne connaissent pas exactement ce qui se passe au
primaire quant aux savoirs et aux démarches d’apprentissage. Par exemple, les auteurs
membres de la Fédération Wallonie-Bruxelles mentionnent qu’aucun enseignant du
secondaire qui a participé à leur recherche et qui a soulevé le manque de communication
entre les deux niveaux n’a proposé de méthodes didactiques pour remédier à cette situation.
D’ailleurs, en analysant les propos des enseignants sur ce sujet, on remarque que certains
déplorent plutôt le manque de contacts entre les enseignants du primaire et ceux du
secondaire pour assurer une continuité entre les deux ordres d’enseignement : « Il faudrait
que l’on ait des contacts avec les enseignants du primaire pour essayer de continuer ce
qu’ils font ou pour se mettre d’accord sur les acquis à atteindre… Il n’y a pas de lien alors
chacun fait ce qu’il peut de son côté… » (p. 13) D’après Evangelou et al. (2008), les
enseignants du secondaire ne font pas confiance aux enseignants du primaire dans
l’évaluation qu’ils font des élèves et ils préfèrent juger eux-mêmes de leurs compétences.
Plusieurs chercheurs (Larose et al., 2006 ; Hargreaves et Galton, 2002 ; Bru, Stornes,
Munthe et Thuen, 2010) se sont intéressés à certaines interventions susceptibles de
favoriser la transition primaire/secondaire avec une meilleure collaboration entre les deux
niveaux d’enseignement pour que les élèves se sentent mieux soutenus.
La recherche effectuée par des professeurs de Sherbrooke (Larose et al., 2006) a montré
que la collaboration entre les enseignants du 3e cycle du primaire et ceux du 1er cycle du
10
secondaire peut favoriser une meilleure transition entre les deux ordres d’enseignement.
Les résultats de cette recherche permettent de voir qu’une collaboration de ce genre
participe à la mise à niveau des savoirs et à une exploration plus active des contenus
disciplinaires. Elle permet de réduire la perception des écarts entre les compétences des
élèves du 3e cycle du primaire et du 1er cycle du secondaire et de renforcer le sentiment de
compétence des élèves en difficulté. Par conséquent, on peut offrir un meilleur soutien aux
élèves dans le développement des compétences transversales et leur permettre de voir les
différences pédagogiques de l’enseignement primaire et de l’enseignement secondaire.
Dans le même but, plusieurs écoles en Angleterre ont mis l’accent sur l’échange
d’informations entre les enseignants de 6e année et de secondaire 1 (Hargreaves et Galton,
2002).
D’un autre côté, bien que le soutien, notamment de la part des enseignants, soit un élément
crucial de l’environnement d’apprentissage des élèves et que les écoles mettent en place des
mesures pour mieux soutenir les élèves lors de la transition primaire/secondaire, la
recherche de Bru, Stornes, Munthe et Thuen (2010) montre que ceux-ci se sentent de moins
en moins soutenus. Ils remarquent une baisse linéaire de la perception de soutien lorsque
les élèves vieillissent sans remarquer de changement brusque lors du passage au secondaire.
Selon De Kessel, Dufays et Meurant (2012), le soutien des élèves est important et
représente l’une des raisons pour lesquelles la transition entre l’école primaire et l’école
secondaire est défaillante. Cependant, il ne s’agit pas, pour ces auteurs, de la solution
miracle pour favoriser une meilleure transition. En effet, ils affirment que le fait de réunir
l’école préscolaire et l’école primaire dans le même édifice afin de favoriser une meilleure
continuité et un meilleur suivi entre les deux niveaux n’a pas eu les résultats escomptés. En
effet, bien que la structure des deux niveaux se ressemble énormément, cela n’a pas éliminé
toutes les difficultés de transitions vécues par les élèves.
11
1.1.2.3. La présence de grandes différences entre les structures curriculaires
Bien que l’idée de soutien aux élèves élaborée dans la section précédente soit importante, il
serait utopique de penser qu’elle pourrait régler à elle seule le problème de la transition de
l’école primaire à l’école secondaire.
Selon De Kessel, Dufays et Meurant (2012), l’une des raisons de la défaillance de la
transition primaire/secondaire réside dans les programmes scolaires. Selon eux, les
programmes de formation des deux niveaux ne sont pas assez précis en termes de savoirs à
apprendre. Toutefois, aucune explication supplémentaire sur les disciplines particulières
analysées n’est fournie par ces auteurs.
Dans le même ordre d’idées, une équipe dirigée par Nadine Bednarz en collaboration avec
Josée Lafontaine, Mélanie Auclair, Carole Morelli et Chantal Leroux (2009) a mené un
projet afin de favoriser la transition des élèves entre deux ordres d’enseignement, primaire
et secondaire, dans le domaine des mathématiques. Grâce à une analyse des contenus
mathématiques portant sur l’emploi des opérations arithmétiques dans la résolution de
problèmes de deux programmes, elles ont remarqué qu’aux deux niveaux, on poursuivait
les mêmes objectifs, mais que ce type d’activité mathématique n’était pas abordé de la
même façon. Elles ont donc décidé de travailler sur les habiletés de calcul des élèves en
élaborant un référentiel commun dans ce domaine mathématique afin d’assurer un meilleur
soutien aux élèves du primaire et de faciliter leur entrée au secondaire. Elles ont cherché à
produire un outil d’analyse de problèmes et à développer des interventions qui aideraient à
développer les habiletés de résolution de problèmes chez les élèves. Après l’analyse des
résultats obtenus, les chercheuses remarquent que la différence entre les élèves de la fin du
primaire et ceux du début du secondaire n’est pas très grande et même que certains élèves
du primaire réussissaient mieux que ceux du secondaire. Les résultats de cette recherche
montrent, selon elles, que le travail de chercheurs didacticiens est nécessaire afin d’arrimer
les programmes de mathématique des deux niveaux.
D’autres auteurs semblent partager l’idée que l’absence de liens entre les deux programmes
peut être à la source des difficultés des élèves. Toutefois, aucune explication plus étoffée et
aucune référence à d’autres auteurs ne sont proposées. C’est notamment le cas des
chercheurs de l’université de Sherbrooke (Larose et al., 2006) et de Toping (2003) dans
12
leur revue de littérature couvrant la question de la transition primaire/secondaire.
1.2. Effets de la transition sur la réussite scolaire
Malgré tous les moyens mis en place par les écoles, les enseignants, les parents, le MELS et
les autres intervenants pour faciliter la transition entre les deux ordres d’enseignements, la
recension des recherches effectuées sur la transition primaire/secondaire montre que les
élèves qui arrivent au secondaire ont des difficultés. Dans la recherche menée sur un
échantillon de 933 élèves, Barber et Olsen (2004) ont observé une baisse dans les résultats
scolaires et dans la motivation des élèves lors de la transition. Boyd (2005) arrive aux
mêmes conclusions. Quant à Roderick et Camburn (1999), ils affirment, en s’appuyant sur
un échantillon de 25 795 élèves, que le quart des élèves qui avaient de bons résultats
scolaires au primaire échouent dans au moins une matière lors de la première étape à
l’école secondaire. Deux de ces élèves sur cinq ne réussiront pas à remonter la pente lors de
l’année suivant l’entrée à l’école secondaire.
Dans la section suivante, nous nous intéressons aux difficultés en mathématique
rencontrées par les élèves de secondaire 1.
1.2.1. Difficultés en mathématiques au début du secondaire
Les recherches portant sur les difficultés mathématiques observées au début du secondaire
(Vlassis et Demonty, 1997; Green, 1983 et 1991; Lecoutre et Durand, 1988; Konold, 1989;
Boublil-Ekimova, 2010a) montrent que ces dernières peuvent présenter un caractère
général, peu importe le contenu mathématique étudié, ou spécifique propres aux domaines
mathématiques particuliers.
L’analyse du rapport des Facultés Universitaires Notre Dame de la Paix (2002) permet de
décrire les difficultés générales liées à l’apprentissage des mathématiques. On peut noter
que les élèves ont du mal à :
- maîtriser le vocabulaire mathématique ;
- traduire un énoncé par un dessin ;
- passer du langage mathématique au langage naturel et inversement ;
- maîtriser la priorité des opérations ;
13
- se représenter dans l’espace ;
- concevoir le signe d’égalité comme un signe d’équilibre ;
- maîtriser les produits remarquables ;
- maîtriser la règle des signes ;
- être précis et rigoureux ;
- intégrer plusieurs apprentissages mathématiques dans une tâche.
De même, on peut observer chez les élèves des difficultés spécifiques propres aux
domaines mathématiques particuliers. Au secondaire, le programme du MELS segmente les
mathématiques selon ces différents domaines particuliers : l’arithmétique et l’algèbre, les
probabilités et les statistiques, et la géométrie. Dans les trois sections suivantes, nous
regroupons les difficultés mathématiques observées au début du secondaire selon le
domaine d’étude.
1.2.1.1. Difficultés en algèbre
Dans le but de mieux connaître les problèmes liés à la transition entre l’arithmétique de
l’école primaire et l’algèbre du début du secondaire, les chercheuses Vlassis et Demonty
(1997) ont décidé de décrire les difficultés algébriques en analysant les productions des
élèves.
Premièrement, constatent ces chercheuses, la difficulté peut trouver sa source dans
l’interprétation du sens des lettres. Par exemple, au primaire on peut utiliser les lettres pour
les données abstraites dans le calcul de l’aire du rectangle A = L x l (où A renvoie à Aire, L
à longueur et l à largeur). Les lettres donc sont associées à un mot et non à une valeur
numérique. Ainsi, certains élèves au début du secondaire, lorsqu’ils voient le nombre 3p,
peuvent penser que cela signifie 3 pommes au lieu de trois fois le nombre p.
Deuxièmement, les difficultés peuvent être associées à la réduction des termes non
semblables. Par exemple, lorsqu’on demande aux élèves de résoudre l’équation 2a + 5a +
3b, ils répondent souvent 10ab. Pourtant, la réponse attendue serait plutôt 7a + 3b. La
réponse fournie par la plupart des élèves s’explique par le fait qu’ils ne sont pas habitués à
fournir une réponse dans laquelle un signe opératoire est visible. Durant leur parcours à
l’école primaire, la réponse d’une opération a toujours été constituée d’un seul nombre. De
14
plus, le symbole « + » laisse penser deux choses : d’une part, ce symbole évoque pour les
élèves une procédure plutôt qu’une réponse, d’autre part, ce symbole réfère à une réunion
physique des éléments. De là l’idée de réunir les a et les b pour obtenir 10ab. Les auteures
de la recherche citée mentionnent également que les élèves ne voient pas l’algèbre comme
une continuité de l’arithmétique. Ils perçoivent ces deux domaines comme deux mondes à
part. Pour remédier à ces difficultés, elles proposent, dans leur recherche, une démarche
didactique pour rendre accessible l’algèbre aux élèves de secondaire.
1.2.1.2. Difficultés en apprentissage des nombres rationnels
Plusieurs recherches effectuées depuis les dernières décennies montrent que les élèves
rencontrent beaucoup de difficultés en apprentissage des nombres rationnels (Blouin, 2002;
Stegen, Géron et Daro, 2007; Carrette, Content, Rey, Coché et Gabriel, 2009; Lessard,
2010). Il s’agit de difficultés reliées à la lecture et à l’écriture des nombres fractionnaires et
des nombres à virgule, et aux opérations avec ces nouveaux nombres. L’élève doit utiliser
des symboles, des techniques et des règles déjà employés pour désigner, comparer et
calculer les nombres entiers mais dans un nouveau cadre où certaines de ces règles restent
valables alors que d’autres ne le sont plus.
Les erreurs des élèves peuvent, dans un premier temps, découler de la complexité de la
notation des nombres rationnels (écriture fractionnaire et décimale). Certains distinguent
mal la signification de la barre « / » dans l’écriture fractionnaire du nombre rationnel. Il
n’est donc pas rare de remarquer que certaines jeunes se représentent 3/5 comme étant
équivalent à 3,5 (Lessard, 2010).
Le fait que la valeur de la fraction puisse être supérieure à l’unité peut donc être
difficilement accepté par les apprenants (Carette, Content, Rey, Coché et Gabriel, 2009).
Près de 50 % des élèves de première secondaire ne sont pas capables de représenter
correctement 5/4 en nombre à virgule. Cette erreur pourrait provenir du fait que les jeunes
n’ont pas pris en considération que la barre « / » signifie d’emblée une opération de
division. Cela s’explique par le fait que, lors de leurs apprentissages, les élèves ont été plus
souvent confrontés à des fractions dont le numérateur est inférieur au dénominateur.
15
D’autres erreurs peuvent provenir d’une confusion dans l’utilisation de la virgule dans la
notation décimale. Par exemple, lorsqu’on leur demande de présenter le nombre
« 24 centièmes », près de 20 % des élèves de première secondaire échouent encore et
écrivent le nombre « 0,024 », car avec les nombres entiers, trois chiffres sont nécessaires
pour écrire les centaines (Stegen, Géron et Daro, 2007).
On retrouve aussi chez les élèves une confusion dans l’emploi de termes tels que
« dixième » vs. « dizaine » ou «centième » vs. « centaine ». Certains élèves disent que dans
12,534 il y a 5 centaines car « on dit douze virgule cinq cent trente-quatre ». Cette erreur
peut être associée à la ressemblance phonétique des mots, mais aussi à la lecture orale «
négligée » (12 virgule 5-3-4) utilisée largement dans la classe.
Cette lecture des nombres décimaux et la prégnance des règles établies sur les nombres
entiers pourront engendrer des erreurs lors des opérations sur les nombres (comparaison,
addition, soustraction, etc.) où les élèves ignorent des valeurs positionnelles de la partie
décimale. Par exemple, lorsque les parties décimales sont de longueurs distinctes, certains
élèves, pour comparer deux nombres décimaux, se fient au nombre de chiffres qui
constituent la partie décimale sans prendre en considération leur valeur et affirment que
0,23 < 0,224 étant donné que 23 < 224 (Sacré, Stegen et Daro, 2007; Lessard, 2010).
On constate aussi des difficultés des élèves dans la réalisation des tâches qui demandent de
trouver un nombre qui succède ou précède le nombre rationnel donné. À la question « Quel
est le successeur de 2,74 ? », une grande partie des élèves répond « 2,75 » ou « 2,741 ».
Cependant, cette idée de succession est dépourvue de sens dans l’ensemble des rationnels
en raison de sa densité (Sacré, Stegen et Daro, 2007).
La conception erronée du décimal comme deux entiers séparés par une virgule provoque
des erreurs dans le calcul posé dans quatre opérations arithmétiques (addition, soustraction,
multiplication, division), surtout lorsque les parties décimales sont de longueurs distinctes.
Les erreurs observées portent sur l’alignement des nombres (selon le dernier chiffre du
premier nombre) et sur le placement de la virgule au résultat. Ces erreurs présentent
diverses variantes : pas de virgule ou bien virgule placée comme dans le nombre d’en haut
ou comme dans le nombre d’en bas (Blouin, 2002; Carrette, Content, Rey, Coché et Gabriel
2009; Lessard, 2010).
16
1.2.1.3. Difficultés en probabilités et statistiques
Pour ce qui est des probabilités et des statistiques, Green (1983), après avoir distribué
auprès des milliers d’élèves du secondaire un questionnaire portant sur les phénomènes
aléatoires, relève qu’un nombre important d’élèves ne sont pas capables de voir si une
distribution est aléatoire ou non. Plus tard, ce chercheur découvre que certains, dans une
séquence aléatoire, ont tendance à prendre en compte les derniers résultats obtenus pour
prédire les résultats suivants (Green, 1991). Pourtant, dans une séquence aléatoire, chaque
résultat est indépendant des autres.
À la suite d’une série de recherches portant sur les phénomènes aléatoires, Lecoutre et
Durand (1988) ont réussi à démontrer que certains élèves pensent que des évènements
peuvent être équiprobants alors qu’ils ne le sont pas.
De son côté, Konold (1989), avec sa recherche sur les conceptions probabilistes informelles
des élèves, remarque que certains d’entre eux ont tendance à prédire les résultats d’un
phénomène aléatoire au lieu de prédire les probabilités d’obtenir un certain résultat.
1.2.1.4. Difficultés géométriques
Dans son ouvrage portant sur les difficultés que les élèves rencontrent dans l’apprentissage
de la géométrie, Ekimova (2005) les a distinguées en quatre catégories en décrivant les
difficultés spécifiques à chacune.
La première catégorie correspond aux difficultés visuelles, qui sont liées soit à la
construction de l’image de la figure (tous les éléments qui permettent de réfléchir aux
informations visuelles et de décrire les propriétés de la figure) ou à son emploi (processus
de reconnaissance, d’identification, d’évocation des figures et des relations entre les
éléments des figures à partir de l’observation des figures ou de la description de leurs
propriétés). Par exemple, des élèves ont de la difficulté à effectuer les opérations mentales
de mouvements dans le plan et dans l’espace afin de reconnaître une figure ou résoudre un
problème, d’évoquer les propriétés que la figure possède et qui ne sont pas représentées sur
le dessin, d’ajouter des éléments sur le dessin nécessaires pour résoudre un problème, etc.
17
La deuxième catégorie de difficultés qu’on peut observer est associée aux difficultés
langagières. Il s’agit de la non-connaissance de certains termes géométriques. Certains
élèves ne sont pas non plus en mesure de décrire les figures observées en faisant appel à la
recherche du maximum de ses caractéristiques, alors que d’autres utilisent des termes
imprécis lorsqu’ils identifient, décrivent ou définissent des figures ou décrivent la démarche
de résolution.
Dans la troisième catégorie se trouvent les difficultés liées à l’emploi du raisonnement. Ces
difficultés sont en lien avec les « processus mentaux qui favorisent la formation des idées et
des jugements destinés à construire la connaissance, à mettre de l'ordre dans la
connaissance, à choisir et à appliquer les concepts et les processus appropriés à la tâche, à
justifier, à convaincre, à prouver ou à réfuter et à développer des relations de dépendance
entre des propositions pour aboutir à une conclusion. » (Boublil-Ekimova, 2010a, p. 104)
Par exemple, certains élèves ont de la difficulté à identifier une figure à partir de la
description de ses caractéristiques et surtout, s’il s’agit des propriétés « non-visuelles
marquantes », de justifier l’énoncé, le résultat ou la démarche, etc.
Finalement, la quatrième catégorie est celle des difficultés de résolution de problèmes. Les
élèves ont de la difficulté à reconnaître et identifier les éléments de la consigne qui sont
nécessaires à la résolution du problème, à visualiser les éléments que la figure possède,
mais qui ne sont pas tracés sur le dessin (ex : visualiser la hauteur d’un triangle isocèle), à
ajouter des éléments sur le dessin nécessaires pour résoudre un problème, à déterminer des
conséquences logiques de certaines données (ex : pour inscrire un carré dans un cercle,
l’élève doit savoir que les diagonales du carré vont correspondre à deux diamètres
perpendiculaires du cercle). Il s’agit de difficultés ou d’un ensemble de difficultés qui
peuvent être associées aux trois catégories précédentes : visualisation, langage et
raisonnement et à la difficulté de la coordination entre ces éléments.
La recherche de Boublil-Ekimova (2010a) montre que les difficultés que les étudiants,
futurs maîtres, rencontrent lors de tests et d’examens peuvent être associées à celles
éprouvées par des élèves et que nous avons décrites ci-dessus.
18
1.3. Intérêt et objectifs de recherche
La recension des écrits effectuée dans ce chapitre montre que plusieurs aspects de la vie
socioaffective de l’enfant et de l’environnement de l’école peuvent avoir des influences sur
la transition des élèves entre l’école primaire et l’école secondaire.
La peur quant à la nouveauté de la situation : changement du lieu, rupture avec les ami(e)s
et inquiétude quant à la possibilité d’en avoir de nouveaux, nouveaux enseignants, etc.
représente le principal facteur socioaffectif qui entre en jeu lors de la transition.
Parmi les variables les plus fréquemment associées aux facteurs de risques scolaires, on
retrouve l’absence de continuité entre les pratiques pédagogiques du primaire et celles du
secondaire ainsi que la présence de grandes différences entre les structures curriculaires des
deux niveaux. Cependant, nous n’avons trouvé aucune recherche qui présente des résultats
concrets afin de confirmer ces dernières affirmations. Même si la recherche menée par
Nadine Bednarz et al. (2009) étudie cette période de transition et décrit certaines difficultés
que les élèves rencontrent en mathématiques au début du secondaire et les interventions
proposées afin de les surmonter, les données concrètes quant à la différence de pratiques et
à l’absence de liens entre les descriptions des contenus de deux niveaux d’enseignement
sont absentes.
Ces résultats nous amènent à constater que l’influence des différences curriculaires ne
semble pas vraiment étudiée et approfondie dans les recherches portant sur la transition.
Pour ces raisons, nous nous intéresserons, dans le cadre de ce projet en didactique des
mathématiques, à l’analyse de la correspondance entre les exigences mathématiques qui
sont visées à la fin du 3e cycle du primaire et celles visées au début du secondaire dans les
programmes respectifs de ces niveaux.
Nos objectifs sont les suivants :
- faire l’analyse didactique et mathématique de deux programmes de la géométrie
(primaire et 1er cycle du secondaire),
- comparer les deux programmes afin d’identifier les liens ou les ruptures entre les
descriptions des savoirs visées par ces deux ordres d’enseignement.
19
Compte tenu de l’ampleur du travail d’analyse et de manière à proposer une réflexion plus
approfondie, notre démarche se restreindra à l’analyse d’un des domaines mathématiques,
la géométrie. Différentes raisons peuvent d’ailleurs justifier ce choix. Entre autres, il s’agit
du domaine le moins étudié dans les recherches, mais qui occupe pourtant à peu près le
tiers de l’enseignement des mathématiques. Selon Boublil (2013, p.61), la géométrie
représente un domaine privilégié pour développer chez l’enfant des capacités de
visualisation, de langage et de raisonnement qui occupent de multiples fonctions dans le
travail de la pensée. En faisant appel à plusieurs systèmes d’expression et de représentation,
la géométrie permet de travailler sur des représentations d’objets réels en agissant, en
observant, en anticipant et en expliquant ce qui se passe dans cet espace sensible. C’est
d’ailleurs à travers la construction d’un système mental de référents à partir de différentes
expériences vécues dans l’espace physique qu’il devient possible d’enrichir et de structurer
l’expérience spatiale des élèves. Cette décision a influencé le choix des théories qui nous
permettront d’analyser les liens entre les programmes d’études.
20
2. CADRE THÉORIQUE
Ce chapitre présente le cadre théorique qui guidera la démarche méthodologique de notre
recherche. La section 2.1 sera consacrée à l’étude des objectifs visés pour les
apprentissages mathématiques de deux programmes, celui du primaire et celui du
secondaire, en ce qui a trait à l’apprentissage de la géométrie au primaire et au secondaire.
Ensuite, dans les sections 2.2 et 2.3, nous décrivons les théories développementales (Piaget,
1955; Piaget et Inhelder, 1963; van Hiele, 1959/1984) et la théorie des champs conceptuels
(Vergnaud, 1991), sur lesquelles nous allons nous appuyer afin de décrire l’évolution de la
pensée dans la construction de concepts géométriques selon l’âge (ou les niveaux) et selon
les activités nécessaires permettant cette évolution. Enfin, nous présentons, dans la section
2.4, la recherche de Boublil-Ekimova (2010b) et les critères qu’elle a élaborés afin
d’analyser les descriptions des savoirs essentiels de programmes mathématiques.
Ce cadre théorique servira à l’analyse didactique et mathématique de deux programmes de
la géométrie (primaire et 1er cycle du secondaire) et à leur comparaison afin d’identifier
quels sont les liens ou les ruptures dans cette évolution de l’enseignement.
2.1 Enseignement de la géométrie : objectifs visés
L’enseignement de la géométrie évolue au fur et à mesure de l’avancement dans la scolarité
et des connaissances des élèves. Cependant, la pratique de la géométrie à l’école primaire
est bien différente de celle qui prévaut au secondaire.
Dans les deux sections suivantes, nous décrirons les objectifs visés à ces deux niveaux
d’enseignement en précisant la continuité entre les deux programmes, leurs éléments
communs et les différences.
2.1.1. Géométrie au primaire
Une sensibilisation à la géométrie par les objets de l’espace intervient dès les premières
années de la scolarité, à l’école maternelle à travers l’étude des formes et des grandeurs. En
effet, le programme de formation de l’école québécoise prescrit, au préscolaire, certaines
connaissances liées au développement cognitif en mathématique. En lien avec la géométrie,
21
on peut voir que le programme recommande les jeux d’association (par exemple : associer
un objet à une forme géométrique) (PFEQ p. 68).
Au premier cycle du primaire, les élèves se familiarisent avec les objets spatiaux de la
géométrie afin de reconnaître leurs formes. Les élèves peuvent ainsi se construire les
premiers liens de dépendance entre les formes. Cette initiation à la géométrie s’appuie sur
l’observation lors de jeux de découverte, des situations de communication et de
manipulations. Les activités ont pour but une évolution de la réflexion des élèves sur la
mise en évidence de caractéristiques des objets spatiaux (PFEQ p. 136-137).
L’introduction de la géométrie, en tant que discipline des mathématiques explicites,
commence au primaire au cours des cycles 2 et 3. L’enseignement de la géométrie à ces
cycles a pour but la mise en évidence des caractéristiques des objets spatiaux de la
géométrie, leur identification, leur description et l’établissement des relations entre les
caractéristiques. Il s’agit donc d’une pratique de la géométrie à travers le travail sur les
caractéristiques (PFEQ p. 136-137).
2.1.2. Géométrie au début du secondaire
L’enseignement de la géométrie au début du secondaire s’appuie sur les pratiques de
l’école primaire pour évoluer vers un apprentissage de la démonstration. En effet, selon le
programme de l’école québécoise, l’élève, en géométrie, passe, entre le primaire et le
secondaire, de l’observation au raisonnement (PFEQ p. 240).
La géométrie introduite à l’école primaire doit être reprise au secondaire et être utilisée
comme point de départ pour les élèves. Le raisonnement géométrique à ce niveau s’appuie
largement sur la perception, et ensuite sur les données de l’énoncé, les propriétés connues et
une appréhension opératoire du dessin. Cependant, la géométrie pratiquée au début du
secondaire poursuit aussi de nouveaux objectifs. On vise l’initiation des élèves à la
déduction, c’est-à-dire à une géométrie qui se centre sur une validation théorique. On
comprend par la déduction le raisonnement déductif, outil de démonstration articulant les
données et la conclusion à l’aide de propriétés de figures. (PFEQ p.243) Ce type de
raisonnement est largement utilisé en géométrie au 2e cycle du secondaire, où toute la
problématique liée à la validation des énoncés, à la nécessité et à la suffisance de propriétés
22
pour définir ou déterminer la figure (ou une nouvelle propriété) est soulevée. La
démonstration permet la validation de certaines propriétés par l’utilisation d’autres
propriétés.
Cet objectif d’introduire les élèves à la déduction a beaucoup d’influence sur la pratique de
la géométrie et sur le comportement de l’enseignant dans la classe. Il n’est plus question
d’instruments ou de manipulations physiques avec les figures pour prouver ou pour valider.
Il s'agit plutôt de l’emploi de propriétés des figures. Il faut toutefois tenir compte d’un
élément délicat dans l’apprentissage à ce niveau : d’un côté, les élèves continuent à
s’approprier les propriétés des figures afin de les utiliser pour démontrer théoriquement,
d’un autre côté, la démonstration doit leur permettre d’identifier les nouvelles propriétés. Il
est assez difficile pour l’enseignant de ce niveau de gérer cette complexité et d’utiliser les
méthodes d’enseignement appropriées.
Dans notre recherche, nous essaierons d’analyser la manière dont les élèves peuvent
entreprendre l’étude de la géométrie au secondaire progressivement afin d’éviter les
difficultés liées à la transition entre deux ordres d’enseignement. Nous procéderons à cette
étude comparative en analysant les descriptions de deux programmes d’études (3e cycle du
primaire et 1er cycle du secondaire) et en cherchant à établir l’évolution de cet
enseignement et des liens entre les concepts enseignés aux différents niveaux.
2.2. Théories développementales
Nous étudions dans cette section les trois théories (Piaget, 1955 et 1941-1979; Piaget et
Inhelder, 1963 ; van Hiele, 1959/1984; Vergnaud, 1991) afin de faire ressortir les éléments
importants sur lesquels doit se baser l’évolution de concepts géométriques. Les deux
premières théories, celle de Piaget/Inhelder et de van Hiele, sont propres au développement
de l’enfant et de sa pensée. La troisième, la théorie des champs conceptuels de Vergnaud
(1991), attire notre attention parce qu’elle décrit un modèle des éléments constitutifs du
concept et accorde un rôle important à l’organisation d’un ensemble de situations qui
permettent son développement.
Ce cadre théorique servira à la description progressive des activités nécessaires à mettre en
œuvre pour développer les concepts géométriques.
23
2.2.1. Stades de développement (Piaget)
Dans ses travaux (1941-1979), Jean Piaget s’est beaucoup intéressé au développement de
l’intelligence chez les enfants. Pour lui, le but du développement cognitif est d’atteindre la
pensée formelle et ainsi d’avoir la capacité de voir le monde de façon abstraite et
systématique. Pour atteindre ce but, l’intelligence de l’enfant sera amenée à se modifier tout
au long de son développement à travers plusieurs stades. Selon Piaget, avant d’atteindre la
pensée formelle, l’enfant passe d’une intelligence sensori-motrice associée à la période
entre 0 et 18 mois, à une intelligence préopératoire (développement de la pensée
symbolique puis prélogique) entre 2 et 6 ans, puis à une intelligence concrète alors que
l’enfant fréquente l’école primaire, entre 6 et 11 ans, et atteint l’intelligence formelle (ou
hypothético-déductive) durant l’adolescence, entre 11 et 15 ans. Les âges de référence sont
pris comme des indications très générales, qui peuvent varier selon différents facteurs, dont
les contextes sociaux et culturels qui entourent les enfants et les adolescents, ou encore la
vitesse individuelle de maturation biologique.
Dans la théorie piagétienne, la notion de schème est centrale. Un schème se conserve
lorsqu’il est répété, il se consolide lorsqu’il est pratiqué et se généralise lorsqu’il est mis en
contact avec le milieu. Cela permet l’apparition de nouveaux schèmes qui sont élaborés à
partir de schèmes initiaux et des interactions avec l’environnement. (Legendre-Bergeron et
Laveault, 1980, p. 191)
Selon Piaget, dès la naissance, les enfants ont recours à des schèmes réflexes. Ces schèmes
sont en réalité des conduites innées. On peut citer en exemple la succion, la vision et la
motilité. (Legendre-Bergeron et Laveault, 1980, p. 191)
Lors de son passage au stade sensori-moteur (0 - 2 ans), l’enfant développe des schèmes qui
lui permettront de faire des assimilations reproductrices, recognitives et généralisatrices
(p. 194). Vers la fin de ce stade, l’enfant développe des schèmes verbaux. C’est à ce
moment qu’il utilise ses premiers mots (plus sous forme d’onomatopées) pour désigner des
objets. Par contre, la désignation des objets est fondée sur la signification analogue de ces
objets par rapport à l’activité du sujet plutôt que sur les ressemblances objectives des
objets. Par exemple, un enfant dira « vouvou » pour un chien, pour un chat, pour une vache
et pour tout ce qui remue. Avec la venue des schèmes verbaux, l’enfant pourra passer de
24
l’intelligence sensori-motrice à l’intelligence représentative. (Legendre-Bergeron et
Laveault, 1980, p. 199-200).
Ensuite, en passant par le stade préopératoire, vers l’âge de 2 ans jusqu’à l’âge de 6 ans,
l’enfant développe sa pensée pour en arriver à la pensée opératoire concrète de 6 à 11 ans.
À cette étape du développement de l’enfant, les opérations constitutives de sériation et les
opérations constitutives de classification font leur apparition. On entend par « classification
opératoire » la capacité de faire l’inclusion hiérarchique des parties dans un tout et
l’aptitude à faire une bonne quantification des relations parties/tout. Le critère de la
sériation, quant à lui, réfère à la transitivité. La constitution progressive de la sériation se
fait en trois étapes, qui renvoient aux stades de classification (niveau des collections
figurales, niveau des collections non-figurales et classification opératoire). La première
étape coïncide avec la pensée symbolique. À cette première étape de la sériation, l’enfant
n’est pas en mesure d’effectuer une sériation. Il effectue seulement des comparaisons de
proche en proche. La deuxième étape correspond à la pensée intuitive. Ce stade est défini
par une sériation tâtonnante qui démontre un défaut dans la méthode opératoire. Elle repose
seulement sur des régulations de proche en proche. La troisième étape est associée à la
pensée opératoire concrète. À cette dernière étape, l’enfant est en mesure d’anticiper des
mises en relation. Il est aussi capable d’effectuer une sériation correcte grâce à une méthode
systématique. En effet, il prend d’abord le plus petit nombre de tous, ensuite le plus petit de
ceux qui reste, jusqu’à ce qu’il n’en reste plus à sérier (Legendre-Bergeron et Laveault,
1980, p. 201-202).
Les enfants sont dans la pensée opératoire concrète de 7-8 ans à 11-12 ans. À l’aide des
principaux schèmes opératoires (classification et sériation), ils apprennent d’autres notions,
notamment celles de conservation du nombre, de la substance, du poids, etc. Par contre, les
enfants sont limités à l’organisation concrète des données d’un problème ou d’une
situation. Ils ne sont pas en mesure de raisonner adéquatement sur des hypothèses ou des
propositions. En d’autres mots, ces schèmes qui appartiennent à la pensée opératoire
concrète ne permettent pas aux enfants de raisonner logiquement sur la réalité, mais
seulement sur une partie de la réalité dans laquelle aucune donnée hypothétique n’entre en
jeu (Legendre-Bergeron et Laveault, 1980, p. 195-196). Or, les schèmes présents au stade
des opérations concrètes sont des instruments de connaissance logico-mathématique qui
25
sont limités dans l’espace et dans le temps par le support d’objets ou de situations concrètes
pour qu’ils puissent s’exercer correctement (Legendre-Bergeron et Laveault, 1980, p. 196).
À la suite du développement des schèmes du stade des opérations concrètes, les enfants
sont en mesure de développer ceux du stade des opérations formelles aux alentours de 11
ou 12 ans. Les schèmes de ce stade sont des connaissances logico-mathématiques
auxquelles les enfants ont recours pour structurer la réalité ou les données d’un problème.
Les principaux schèmes rattachés à ce stade par Piaget sont le schème des opérations
combinatoires et le schème de proportionnalité (Legendre-Bergeron et Laveault, 1980,
p. 197). D’abord, avec le schème des opérations combinatoires l’enfant est en mesure de
constituer des hypothèses, grâce aux données du problème, et de choisir parmi celles-ci
celles qui peuvent être réalisées. Ce schème permet aussi aux enfants de faire la
dissociation de facteurs (Legendre-Bergeron et Laveault, 1980, p. 197).
Ensuite, le schème de proportionnalité consiste en un double rapport. Pour pouvoir
l’utiliser, les enfants ont recours à deux formes de réversibilité : l’inversion ou la négation
et la réciprocité ou la compensation. C’est avec ce schème que les enfants sont en mesure
de faire un raisonnement proportionnel pour bien comprendre par exemple que l’opération
+ de poids - de poids peut être inversée et qu’on peut aussi compenser en faisant + de
poids - grande distance par rapport au fléau de la balance (Legendre-Bergeron et
Laveault, 1980, p. 197).
Ces schèmes, qui appartiennent au stade des opérations formelles, peuvent être attribués
aux objets ou aux données d’un problème. De cette manière, les enfants développent
certaines notions logico-mathématiques, comme la probabilité et la corrélation (Legendre-
Bergeron et Laveault, 1980, p. 198).
En attribuant ces schèmes à la réalité, l’enfant développe des notions dites physiques ou
causales. Ces notions, plus expérimentales, nécessitent pourtant les opérations formelles
pour que le sujet puisse faire les déductions nécessaires à leur construction (Legendre-
Bergeron et Laveault, 1980, p. 198).
Dans notre recherche, nous nous intéressons au stade des opérations formelles, qui
correspond à celui de la fin du primaire et du début du secondaire (entre 11 et 15 ans
environ). La forme de pensée acquise pendant ces années d’adolescence et à laquelle nous
26
nous intéressons en particulier constitue, en synergie avec la forme de pensée concrète, le
point de départ de la construction des savoirs scientifiques.
2.2.2. Niveaux de développement de la pensée géométrique (van Hiele 1959/1884)
Selon la théorie développée par Dina et Pierre van Hiele, dans l’apprentissage de la
géométrie, les élèves progressent selon les différents niveaux de pensée, d'un niveau
perceptif vers un niveau plus sophistiqué (appelé souvent « rigueur ») à travers la
description, l’analyse, l’abstraction et la preuve.
Le niveau 0, aussi appelé niveau visuel.
À ce tout premier niveau, l’enfant est en mesure de distinguer certaines formes
géométriques simplement par la reconnaissance visuelle de celles-ci et non par leurs
propriétés géométriques. Par exemple, il reconnait le cylindre parce que l’enseignant a
appelé ce solide par ce nom.
Le niveau 1, aussi appelé niveau descriptif.
À l’atteinte de ce deuxième niveau, les élèves sont en mesure de reconnaître et de décrire
les figures géométriques à l’aide de leurs propriétés. En effet, ils ne perçoivent plus une
figure comme un tout, mais bien comme une collection de propriétés géométriques. Par
exemple, le cylindre peut être décrit selon la forme de ses faces (courbe et planes), selon
leur nombre (3 : 2 planes et 1 courbe), selon la forme de faces planes (deux disques), etc.
Bien qu’ils soient en mesure d’identifier les figures géométriques selon leurs propriétés, les
élèves ne sont pas aptes à voir les liens entre celles-ci. Par exemple, un enfant pourrait dire
qu’un solide n’est pas un prisme puisque c’est un cube.
Le niveau 2, aussi appelé niveau des abstractions
Arrivés à ce niveau, les élèves découvrent les propriétés des classes de figures par la
déduction informelle. Ils sont aussi capables de formuler des définitions abstraites des
figures. À l’aide de ces descriptions, les élèves seront en mesure de voir, par exemple, la
propriété commune des prismes et d’expliquer pourquoi un cube est un prisme. Par contre,
les élèves ne savent pas encore que la déduction logique est la méthode utilisée pour
l'établissement de vérités géométriques.
Le niveau 3 aussi appelé niveau des déductions formelles
27
Au niveau 3, les élèves différencient les termes : « description » et « définition ». Ils sont en
mesure d’identifier une figure selon ses propriétés ou de concevoir les définitions
constructives des figures. Ils font la différence entre les conditions nécessaires et suffisantes
pour déterminer un concept. Ils comprennent le sens accordé aux termes non définis, aux
définitions, aux axiomes et aux théorèmes. Ils peuvent aussi produire une liste ordonnée de
déclarations qui justifient logiquement une conclusion comme une conséquence des faits.
Selon la théorie de van Hiele, la progression dans les niveaux dépend plus du processus
d'enseignement que de l'âge ou de la maturité de l’élève. L'enseignant joue donc un rôle
important dans le développement de la pensée de l’élève notamment dans l’organisation de
ses apprentissages. L’enseignement de la géométrie devrait se baser sur le développement des
niveaux de pensée et sur ce qui favorise le passage d’un niveau à un autre. Cet enseignement
devrait alors présenter un système bien organisé qui favoriserait la construction des
connaissances de façon progressive en assurant l’établissement des liens entre les
connaissances. Pour organiser le processus d’apprentissage, l’enseignant doit connaître les
phases menant d’un niveau à un autre :
- La première phase réfère à l’investigation alors que la manipulation de matériel mène
à l’établissement d’une certaine structure;
- La deuxième phase renvoie aussi à la manipulation, mais selon un matériel particulier
et une orientation précise de sorte que les caractéristiques émergent d’elles-mêmes;
- La troisième phase laisse place à l’explication. Dans cette phase, le réseau de
relations tend à prendre forme au moyen de discussions dans lesquelles l’apprenant
doit exprimer son opinion par rapport aux structures, et ce, selon les symboles
linguistiques exacts;
- La quatrième phase représente l’orientation libre. Les tâches proposées peuvent se
résoudre de différentes manières;
- Finalement, la cinquième phase sera l’intégration au sens où l’élève est amené à
structurer une vue d’ensemble des méthodes qui sont déjà à sa disposition.
L’enseignement de la géométrie ne devrait en aucun cas se limiter à l’apprentissage de la
terminologie qui lui est propre. De plus, l’étude d’un concept selon la démonstration d’un fait
28
déjà établi menant à une simple mémorisation ne permettra pas l’accès à un niveau supérieur,
puisque le développement de la compréhension n’est pas priorisé. Van Hiele souligne que la
mémorisation des énoncés doit être précédée par la découverte des propriétés. L’attention de
l’enseignant devrait plutôt se porter vers la mise en place de conditions qui favorisent
l’exploration et la compréhension des rapports entre les figures et le développement de la
pensée géométrique, ce qui exige que l’enseignant fasse un choix approprié lorsqu’il
sélectionne les problèmes.
Selon la théorie développée dans ce chapitre, l’apprenant peut se situer à des niveaux
différents selon les concepts puisqu’il doit obligatoirement passer par chacun des niveaux
pour chaque concept.
Van Hiele et la plupart de chercheurs reconnaissent que ce sont les niveaux 1 et 2 que les
élèves doivent atteindre et qui sont visés à la fin de l’école primaire. Pourtant, souligne van
Hiele, l’enseignement de chaque niveau doit s'intéresser à l'approfondissement du Niveau 0.
Un enseignant qui sait reconnaître le niveau de pensée auquel se situe son élève sera
davantage en mesure de choisir les meilleurs processus d’apprentissage qui aideront l’élève à
passer au niveau supérieur. C’est d’ailleurs sur cet élément que la théorie de van Hiele
s’appuie pour présenter les implications de l’enseignement de la géométrie au primaire.
L’analyse de la théorie de van Hiele montre des implications fortes sur l'enseignement de la
géométrie, sur la progression des apprentissages et sur le rôle des activités dans
l’apprentissage de la géométrie.
2.2.3. Éléments ressortis de ces théories
La période qui nous intéresse correspond au stade des opérations formelles, entre 11 ans et
15 ans, où l’enfant développe une pensée concrète qui est nécessaire à la construction des
savoirs scientifiques.
Cette période, selon la description des comportements attendus, se situe approximativement
entre le niveau 2 de développement de la pensée géométrique (relationnel/abstraction ou
déduction informelle) du modèle de van Hiele et le niveau 3 (déductif).
29
En ce qui concerne la description des savoirs essentiels selon les cycles d’apprentissage,
nous pouvons les associer (approximativement) aux niveaux de la pensée géométrique (van
Hiele, 1959/1984) : visuel ( 1er cycle du primaire), descriptif ( 2e cycle du primaire),
relationnel ( 3 cycle du primaire / 1 cycle du secondaire).
En tenant compte de la hiérarchisation des niveaux de la pensée géométrique et du fait que
pour atteindre le niveau supérieur l’élève doit développer les compétences nécessaires des
niveaux précédents, il sera important pour nous d’analyser la description des savoirs
essentiels visés dans le domaine géométrique au primaire correspondant à tous les cycles du
primaire, et non seulement au 3e cycle.
Si la théorie de Piaget nous donne des indications sur la période qui nous intéresse et celle
de van Hiele nous renseigne sur la progression dans le développement de la pensée
géométrique, la théorie de Vergnaud décrit la place du contenu et met en relation la
conceptualisation et les situations d’apprentissage donnant du sens au concept.
2.3. Théorie des champs conceptuels (Gérard Vergnaud)
Cette théorie cognitive vise à fournir un cadre cohérent et quelques principes de base pour
l’étude de l’apprentissage et du développement de concepts (Vergnaud, 1991). Elle
s’intéresse aux prérequis nécessaires aux nouveaux apprentissages, à la façon dont les
connaissances doivent se succéder en harmonie avec la maturité cognitive de l’apprenant et
aux conceptions des élèves et des spécialistes en situation d’activité mathématique.
Plusieurs concepts importants font partie de cette théorie : le schème, la représentation, les
invariants opératoires (« concept-en-acte » et « théorème-en-acte »), la conceptualisation,
etc. Nous décrivons dans cette section seulement ceux sur lesquels nous allons nous
appuyer dans notre recherche.
Pour Vergnaud, le champ conceptuel est vu comme un ensemble de situations qui sont liées
entre elles pour développer un concept particulier et dans lesquelles on retrouve aussi
plusieurs autres concepts auxquels ce concept particulier réfère. Pour qu’un individu
s’approprie un concept, il doit être placé dans de nombreuses situations qui font appel à ce
concept. Toutefois, ce n’est pas parce qu’on dispose d’un ensemble de définitions, de
30
propriétés, de théorèmes sur un certain concept que l’on est certain d’en maîtriser le sens.
Les situations doivent donner du sens au concept. De plus, comme les concepts
scientifiques ne sont jamais seuls et ne peuvent être totalement isolés, il faut prendre en
compte les relations entre les différents concepts connexes qui sont en jeu dans toutes
situations, d’où l’idée de champs conceptuels.
Vergnaud souligne que c’est avec la situation problème qu’un sens pourra être donné à un
concept. En effet, dans la situation problème, l’acquisition du concept se fait à partir de la
confrontation de l’individu à des situations problématiques qui mettent en jeu ce concept.
Ces situations permettent aux individus d’évoquer les schèmes nécessaires à leur résolution.
Le sens du concept est une relation entre le sujet, les situations et les signifiants.
Cependant, ce sens n’est contenu entièrement ni dans les situations elles-mêmes, ni dans les
seuls mots et symboles (signifiants) associés. Le langage et les autres signifiants
(représentations graphiques ou symboliques, tableaux, équations, caractéristiques, etc.)
participent à la construction du sens du concept, et ils ont une double fonction de
communication et de représentation.
Vergnaud modélise un concept par un « triplet de trois ensembles C = {S, I, ζ} où S est
l’ensemble des situations qui donnent du sens au concept, I est l’ensemble des invariants
sur lesquels repose l’opérationnalité des schèmes (le signifié), ζ est l’ensemble des formes
langagières et non langagières qui permettent de représenter symboliquement le concept,
ses propriétés, les situations et les procédures de traitement (le signifiant) (p.145).
Nous avons précisé ci-haut les éléments sur lesquels nous allons appuyer nos analyses.
Premièrement, il s’agit du modèle (S, I, ζ) qui nous permettra de décrire chacun des
concepts selon ses attributs, ses différentes représentations et les diverses activités mettant
en jeu leur construction et le développement du concept. Selon ce cadre théorique, on parle
de la description des « signifiés », des « signifiants » et d’un ensemble des situations
d’apprentissage participant au développement du concept.
En second lieu, afin de développer un concept, nous devons penser à l’ensemble de
situations en tenant compte des relations entre elles et des différents concepts connexes
(champs conceptuels).
31
2.4. Critères d’analyse des programmes d’études
Dans le but d’analyser la description de savoirs essentiels des programmes ministériels
(MELS 2002), Boublil-Ekimova (2010b) a élaboré une liste de critères suivants :
l’homogénéité de la description, la liste de savoirs nécessaires pour développer le concept,
et la continuité et logique des apprentissages. L’emploi de ces critères lui a permis de
constater une certaine ambiguïté dans la description des savoirs essentiels géométriques.
En ce qui concerne le premier critère, l’auteure indique que la forme des descriptions des
savoirs essentiels dans le programme de formation de l’école québécoise (enseignement
primaire et secondaire) n’est pas homogène. Par exemple, certaines descriptions sont faites
en termes de « processus et concepts » (Comparaison et construction : prisme, pyramide,
boule, cylindre, cône), alors que d’autres sont décrites seulement en termes des attributs
(Attributs (nombre de faces, base): prisme, pyramide) ou simplement de façon générale
« étude du cercle ».
En lien avec le critère de la liste des savoirs nécessaires pour développer le concept, elle
remarque que certains savoirs sont absents. Par exemple, le savoir « identification des
figures planes » est présent dans la description des savoirs essentiels du programme du
primaire, mais pas le savoir « identification des solides », etc.
Pour le critère continuité et logique des apprentissages, Boublil-Ekimova (2010b) souligne
que certains savoirs ne sont pas présentés par le programme dans un ordre logique. Pour
illustrer ce fait, regardons le premier élément de la section « Solides ». On peut voir que le
programme ministériel recommande de comparer et de construire les solides (prisme,
pyramide, boule, cylindre, cône) en même temps. Boublil souligne que « … lier ces deux
activités d’apprentissages ne permet pas de voir qu’elles proposent des enjeux différents et
que chacune possède sa propre séquence de développement. » (2010b, p. 42)
Bien que cette chercheuse se soit penchée principalement sur le programme du primaire,
elle remarque que des observations du même type pourraient être faites sur les descriptions
des savoirs essentiels que propose le programme du secondaire. En effet, en analysant la
liste des savoirs essentiels en géométrie pour le premier cycle du secondaire, elle remarque
selon le critère : liste des savoirs que l’apparition de « Mesure » comme sous-section de «
32
Figures planes » n’est pas appropriée. La mesure devrait être un concept plutôt qu’une
sous-section d’un concept. De même, le concept de « Transformations géométriques » fait
partie seulement des processus. Cependant, chacune de transformations contient une liste
des attributs que l’élève doit connaître.
Dans son article, Boublil-Ekimova expose quelques exemples pour montrer qu'il y a un
problème dans la description des programmes de formation. Nous proposons donc de faire
suite à ses travaux en analysant et en comparant les descriptions de savoirs essentiels pour
ensuite chercher les correspondances ou les discordances entre les deux programmes.
2.5. Projection sur l’emploi des théories étudiées
Les différents éléments ressortis de notre étude serviront :
- à la description de concepts, de leurs attributs et de leurs différentes représentations
(imagées et langagières),
- à la description progressive des activités mettant en jeu les attributs des concepts,
ses différentes représentations et les processus nécessaires à leurs constructions et
au développement des concepts,
- à l’analyse didactique et mathématique de deux programmes de la géométrie
(primaire et 1er cycle du secondaire),
- à leur comparaison afin d’identifier les liens ou les ruptures entre les descriptions
des savoirs visées par ces deux ordres d’enseignement.
Les résultats de l’étude sur les programmes d’enseignement et les concepts choisis seront
employés pour l’amélioration de la description de savoirs essentiels de deux programmes
(primaire et 1er cycle du secondaire), ainsi que pour le choix des tâches à proposer aux
enseignants travaillant à ces deux niveaux de l’enseignement.
33
3. DÉMARCHE MÉTHODOLOGIQUE
Parmi les différentes variables les plus fréquemment associées aux facteurs de risques
scolaires, nous avons décidé d’analyser les descriptions de savoirs essentiels
mathématiques de deux programmes (3e cycle du primaire et 1er cycle du secondaire) et de
les comparer. À partir de cette analyse, nous pourrons voir (ou non) la présence de
différences entre les structures curriculaires des deux niveaux.
La méthodologie mise en œuvre dans notre recherche comporte sept étapes avec l’objectif
d’obtenir des résultats en cohérence avec la totalité du travail.
La première étape de cette étude (sections 3.1) vise la réorganisation de la description des
savoirs essentiels du primaire (solides, figures planes, transformations géométriques et
mesure) afin de la rendre compatible avec celle du secondaire. Nous référons à cette étape
au premier des critères élaborés par Boublil-Ekimova (2010b) afin de rendre la description
homogène (concepts et attributs/processus) et compatible avec la description des savoirs
essentiels visés au 1er cycle du secondaire.
À la deuxième étape (sections 3.2), nous décrivons chacun des concepts visés dans le
domaine de la géométrie et de la mesure selon le modèle de Vergnaud (1991) en identifiant
ses différents attributs et représentations (graphiques et discursives).
En nous appuyant sur la théorie du développement de la pensée (van Hiele, 1959/1984),
nous décrivons à la troisième étape (sections 3.3) l’évolution de la pensée dans la
construction de concepts géométriques et la progression selon les niveaux (en les associant
approximativement aux cycles d’apprentissage) qui doit être assurée afin de construire ces
concepts lors de l’enseignement primaire et jusqu’au 2e cycle du secondaire. Ce travail de
description de concepts est original et inédit actuellement en didactique des mathématiques.
Les étapes quatre et cinq (sections 3.4 et 3.5) visent respectivement l’analyse de
descriptions des savoirs essentiels de deux programmes (primaire et 1er cycle du
secondaire) selon les critères élaborés par Boublil-Ekimova (2010b) : liste de savoirs
nécessaires pour développer le concept (qui fait référence aux résultats obtenus à l’étape 2),
et continuité et logique des apprentissages (qui fait référence aux résultats obtenus à l’étape
3).
34
À la sixième étape (section 3.6), nous comparons les descriptions initiales de deux
programmes (MELS, 2002 et MELS, 2003) afin d’établir des liens ou d’identifier les
éléments problématiques. La justification est appuyée par les cadres théoriques étudiés et
par les résultats d’étude présentés dans les sections précédentes (3.2 – 3.5). Elle réfère aussi
aux difficultés des élèves et des enseignants décrites dans la section 1.2 et dans la recherche
de Boublil-Ekimova (2010a).
À l’étape sept, nous mettons en correspondance les différents résultats de nos analyses et
nous montrons, dans la section 3.7, les liens entre les savoirs essentiels et la progression
(primaire/secondaire) dans la construction de concepts géométriques. Le but de cette étape
est de rendre la description des savoirs claire et pertinente du point de vue mathématique
(présence des attributs nécessaires afin de développer chacun des concepts géométriques) et
didactique (présence de différents processus mentaux et physiques permettant de découvrir
progressivement les attributs de chacun des concepts géométriques et de les appliquer afin
de construire le concept). Il s’agit de notre proposition.
3.1. Rendre la description des savoirs visés au primaire compatible à celle du secondaire
L’enseignement de la géométrie au primaire est déterminé dans le programme par la section
« Figures géométriques et sens spatial », qui est divisé en quatre parties : « Espace »,
« Solides », « Figures planes », « Frises et Dallages ». Quant à l’enseignement secondaire,
les trois derniers concepts font partie de la description des savoirs essentiels visés au
premier cycle. Afin d’analyser les mêmes concepts, nous allons ajouter à notre liste le
concept de « Mesure » qui forme une partie intégrante de la description des savoirs
essentiels visés au secondaire.
Parmi les critères élaborés par Boublil-Ekimova (2010b), nous allons utiliser à cette étape
seulement le premier, l’homogénéité de la description, afin de réorganiser la description en
termes de « concepts » (et leurs attributs) et de « processus ».
En parcourant la description des savoirs essentiels de deux programmes ministériels, celui
de l’enseignement primaire et celui de l’enseignement secondaire (voir l’annexe 1 et 2), on
se rend compte qu’ils ne sont pas rédigés dans une forme comparable. Dans les quatre
35
sections suivantes qui correspondent aux quatre concepts (Solides, Figures planes,
Transformations géométriques et Mesure), nous modifierons la forme des descriptions des
savoirs de l’enseignement primaire pour la rendre compatible à celle de l’enseignement
secondaire, sans toutefois en modifier les contenus.
3.1.1. Solides
À cette étape, nous allons analyser et réorganiser la description des savoirs essentiels visés
au primaire portant sur le premier concept à l’étude, les solides (voir le tableau 1 ci-
dessous).
Tableau 1. Savoirs essentiels : Solides (MELS, enseignement primaire, 2002).
L’application du critère « homogénéité » à l’analyse de la description des savoirs permet de
constater que la forme des descriptions des savoirs essentiels n’est pas toujours la même.
On y retrouve des descriptions en termes de processus (par exemple, « comparaison et
construction »), ou en termes d’attributs (par exemple, « Attributs : nombre de faces,
base »), ou encore la description générale, comme « Expérimentation de la relation d’Euler
(relation entre les faces, les sommets et les arêtes d’un polyèdre convexe) », qui nous
présente la relation à l’étude, mais ne décrit pas les processus permettant de l’établir.
SAVOIRS ESSENTIELS (MELS 2002)
GÉOMÉTRIE : FIGURES GÉOMÉTRIQUES ET SENS SPATIAL
SOLIDES CYCLES
- Comparaison et construction : prisme, pyramide, boule, cylindre, cône - Comparaison des objets de l’environnement aux solides - Attributs (nombre de faces, la base) : prisme, pyramide - Description de prismes et de pyramides à l’aide de faces, de sommets, d’arêtes - Développement de prismes et de pyramides - Classification de prismes et de pyramides - Reconnaissance du développement de polyèdres convexes - Expérimentation de la relation d’Euler (relation entre les faces, les sommets et les arêtes d’un
polyèdre convexe) Vocabulaire à acquérir :
➊ solide, base d’un solide, cube, prisme, pyramide, cône, cylindre, boule, face ➋ arête, sommet, corps rond, développement d’un solide, surface, surface courbe, surface plane ➌ polyèdre, polyèdre convexe, relation d’Euler
➊
➊
➊
➋
➋
➋
➌
➌
36
Pour atteindre l’objectif visé par cette étape, nous avons construit un tableau à deux
colonnes (tableau 2) dont la première colonne correspond à la description des concepts et
attributs et la deuxième – à celle des processus. Nous avons également reporté les
informations présentes dans la description des savoirs essentiels et du vocabulaire à
acquérir (MELS, 2002).
Tableau 2. Description réorganisée (Solides).
Concepts (attributs) : Solides Processus
Solides (cube, prisme, pyramide, boule, cylindre, cône) - Surface plane, surface courbe (2e cycle) - Nombre de faces, base (1er cycle), de sommets,
d’arêtes (prisme, pyramide) (2e cycle) - Corps rond (2e cycle) - Polyèdre (3e cycle) - Polyèdre convexe (3e cycle)
- Comparaison et construction (1er cycle) - Comparaison des objets de l’environnement aux
solides (1er cycle) - Description de prismes et de pyramides (2e cycle) - Classification de prismes et de pyramides (2e cycle) - Développement de prismes et de pyramides (2e
cycle) - Reconnaissance du développement de polyèdres
convexes (3e cycle) - Expérimentation de la relation d’Euler (relation
entre les faces, les sommets et les arêtes d’un polyèdre convexe) (3e cycle)
Il nous faut préciser que nous avons gardé la description de savoirs essentiels « neutre » et
avons utilisé seulement les termes présents dans les programmes, sans apporter aucune
modification. C’est cette description qui sera mise en parallèle avec la description de
savoirs essentiels visés au premier cycle du secondaire afin d’établir des liens.
3.1.2. Figures planes
À cette étape, nous avons repris la même démarche que nous avons employée dans
l’analyse et la réorganisation de la description des savoirs essentiels portant sur les solides.
37
Tableau 3. Savoirs essentiels : Figures planes (MELS, enseignement primaire, 2002).
SAVOIRS ESSENTIELS (M.E.L.S. 2002)
FIGURES PLANES CYCLES
- Comparaison et construction de figures composées de lignes courbes ou lignes brisées fermées - Identification du carré, du rectangle, du triangle, du cercle et du losange - Description du carré, du rectangle, du triangle, du cercle et du losange - Description des polygones convexes et non convexes - Description des quadrilatères, dont le trapèze et le parallélogramme : segments parallèles,
segments perpendiculaires, angle droit, angle aigu, angle obtus - Classification des quadrilatères - Construction de lignes parallèles et de lignes perpendiculaires - Description des triangles : triangle rectangle, triangle isocèle, triangle scalène, triangle
équilatéral - Classification des triangles - Mesure d’angles en degrés à l’aide d’un rapporteur d’angles - Étude du cercle : rayon, diamètre, circonférence, angle au centre
Vocabulaire à acquérir :
➊ figure plane, ligne brisée, ligne courbe, carré, cercle, losange, rectangle, triangle, côté ➋ parallélogramme, polygone, polygone non convexe, polygone convexe, quadrilatère, trapèze, segment ➌ angle au centre, triangle équilatéral, triangle isocèle, triangle rectangle, triangle scalène, disque, diamètre, rayon, circonférence
➊ ➊
➊
➋
➋
➋
➋
➌
➌
➌ ➌
L’analyse de la forme des descriptions des savoirs essentiels nous permet de constater
qu’elle n’est pas toujours homogène. On y retrouve des descriptions en termes de processus
et de concepts (par exemple, « Identification du carré, du rectangle, etc.»), en termes de
processus et d’attributs de concepts (« Comparaison et construction de figures composées
de lignes courbes ou lignes brisées fermées ») ou encore sous forme de description générale
comme « Étude du cercle : rayon, diamètre, circonférence, angle au centre », qui présente le
concept et les attributs, mais n’indique en rien les processus à employer pour développer les
attributs du cercle.
En appliquant le critère d’homogénéité aux trois descriptions suivantes :
- Description du carré, du rectangle, du triangle, du cercle et du losange ;
- Description des quadrilatères, dont le trapèze et le parallélogramme : segments parallèles, segments perpendiculaires, angle droit, angle aigu, angle obtus ;
- Description des triangles : triangle rectangle, triangle isocèle, triangle scalène, triangle équilatéral,
on peut constater à l’instar de Boublil (2010b) que parmi ces trois descriptions, seule la
deuxième est décrite dans la forme conventionnelle : selon les processus et les concepts
38
(description des quadrilatères, dont le trapèze et le parallélogramme) et aussi selon les
attributs (segments parallèles, segments perpendiculaires, angle droit, angle aigu, angle
obtus), même si elle reste incomplète et que certains attributs doivent y être ajoutés.
Afin de réorganiser la description pour la rendre compatible avec la description des savoirs
essentiels visés au premier cycle du secondaire, nous avons utilisé un tableau à deux
colonnes (comme dans la section précédente, voir la section 3.1.1) et avons reporté les
informations présentes dans la description des savoirs essentiels et du vocabulaire à
acquérir (MELS, 2002) (voir le tableau 4 ci-dessous).
Tableau 4. Description réorganisée (Figures planes).
Rappelons qu’à cette étape, nous avons gardé la description de savoirs essentiels « neutre »
et avons utilisé seulement les termes présents dans les programmes, sans apporter aucune
modification. C’est cette description qui sera mise en parallèle avec la description de
savoirs essentiels visés au premier cycle du secondaire afin d’établir des liens.
Concepts (attributs) : Figures planes Processus
Polygones - Ligne brisée fermée (1er cycle) - Concave/convexe (2e cycle) - Côté (1er cycle), segment (2e cycle) - Angle droit, aigu, obtus (2e cycle)
Quadrilatères - Carré (1er cycle) - Rectangle (1er cycle) - Losange (1er cycle) - Parallélogramme (2e cycle) - Trapèze (2e cycle)) - Segments (parallèles, perpendiculaires) (2e cycle)
Triangles - Rectangle (3e cycle) - Isocèle (3e cycle) - Scalène (3e cycle) - Équilatéral (3e cycle)
Cercle - Ligne courbe fermée (1er cycle) - Rayon, diamètre, disque, angle au centre (3e
cycle)
- Comparaison et construction de lignes courbes ou lignes brisées fermées (1er cycle) - Identification et description (carré, rectangle, triangle, cercle, losange) (1er cycle) - Description des polygones convexes et non convexes (2e cycle) - Description des quadrilatères dont le trapèze et le parallélogramme (2e cycle) - Construction des lignes // et (2e cycle) - Description des triangles (3e cycle) - Classification - quadrilatères (2e cycle) - triangles (3e cycle) - Mesure d’angle en degrés à l’aide d’un rapporteur d’angle (3e cycle)
39
3.1.3. Transformations géométriques
Pour l’étude de ce concept de la géométrie, nous avons repris la même démarche que nous
avons employée dans l’analyse de la description des savoirs essentiels portant sur les
solides et les figures planes.
Tableau 5. Savoirs essentiels : Frises et dallages (MELS, enseignement primaire, 2002).
SAVOIRS ESSENTIELS (M.E.L.S. 2002)
FRISES ET DALLAGES1 CYCLES
- Observation et production de régularités à l’aide de figures géométriques - Figures isométriques (mêmes mesures) - Observation et production (grilles, papier calque) de frises par réflexion : réflexion, axe de
réflexion - Observation et production de dallages à l’aide de la réflexion - Observation et production (grilles, papier calque) de frises par translation : translation, flèche
de translation (longueur, direction, sens) - Observation et production de dallages à l’aide de la translation
Vocabulaire à acquérir :
➋ axe de réflexion, réflexion, dallage, figure symétrique, frise ➌ flèche de translation, translation
➊
➋
➋
➋
➌
➌
L’application du critère « homogénéité de la description » nous permet de constater que la
forme de la majorité de descriptions des savoirs essentiels est assez homogène. On y
retrouve des descriptions en termes de processus et de concepts (par exemple,
« Observation et production de dallages à l’aide de la réflexion ») ou en termes de
processus, d’outils, de concepts et d’attributs (par exemple, « Observation et production
(grilles, papier calque) de frises par translation : translation, flèche de translation (longueur,
direction, sens) »). Seule la description « Figures isométriques (mêmes mesures) » est
présentée en termes de concepts et d’attributs. Cette description correspond seulement à un
attribut commun pour chacune des transformations géométriques et ne fait intervenir aucun
1 À l’école primaire, les notions de translation et de symétrie axiale sont employées dans la production des frises. Depuis 1835, on utilise en langue française le mot FRISE pour désigner aussi une bordure ornementale en forme de bandeau continu (d'un mur, d'une cheminée, d'un meuble, etc.), par exemple : une frise de papier peint. Une frise est une bande continue et ordonnée sur laquelle les motifs se répètent de façon régulière. Pour faire une frise, on a besoin de rosaces (modèles de base). Une rosace peut avoir plusieurs axes de symétrie. Un Dallage est un recouvrement d’un plan à l’aide de figures planes placées de manière à ne laisser aucun espace libre ni aucune superposition entre les figures et disposées selon une règle d’arrangement.
40
processus permettant de découvrir cet attribut.
Afin de réorganiser la description ministérielle pour la rendre compatible avec la
description des savoirs essentiels visés au premier cycle du secondaire, nous avons utilisé
un tableau à deux colonnes (comme dans les sections précédentes) (voir le tableau 6 ci-
dessous) et avons reporté les informations présentes dans la description des savoirs
essentiels et du vocabulaire à acquérir (MELS, 2002).
Tableau 6. Description réorganisée (Frises et dallages)
Concepts (attributs) : Frises et dallages Processus
Figures isométriques - Mêmes mesures (1er cycle)
Translation - Flèche de translation (longueur, direction,
sens) (3e cycle)
Réflexion - Axe de réflexion (2e cycle)
- Observation et production de régularités à l’aide de figures géométriques (2e cycle)
- Observation et production (grilles, papier calque) de frises par réflexion (2e cycle)
- Observation et production de dallages à l’aide de la réflexion (2e cycle)
- Observation et production (grilles, papier calque) de frises par translation (3e cycle)
- Observation et production de dallages à l’aide de la translation (3e cycle)
Même si au primaire le concept de transformations géométriques correspond à la section
intitulée « Frises et Dallages », nous pouvons observer que les attributs tels que la flèche de
translation et l’axe de symétrie font partie du programme.
Rappelons que c’est cette description qui sera mise en parallèle avec la description de
savoirs essentiels visés au premier cycle du secondaire afin d’établir des liens.
3.1.4. Mesure
À cette étape, en utilisant la même méthode que dans les sections précédentes, nous avons
analysé et réorganisé la description des savoirs essentiels portant sur la mesure qui sont
visés au primaire (voir le tableau 7 ci-dessous).
41
Tableau 7. Savoirs essentiels : Mesure (MELS, enseignement primaire, 2002).
SAVOIRS ESSENTIELS (M.E.L.S. 2002)
MESURE CYCLES
Longueurs : estimation et mesurage - Dimensions d’un objet - Unités non conventionnelles : comparaison, construction de règles - Unités conventionnelles (m, dm, cm) - Unités conventionnelles (m, dm, cm, mm) - Unités conventionnelles (km, m, dm, cm, mm) - Relations entre les unités de mesure - Périmètre, calcul du périmètre Angles : estimation et mesurage - Comparaison d’angles (droit, aigu, obtus) - Degré Surfaces : estimation et mesurage - Unités non conventionnelles - Unités conventionnelles (m2, dm2, cm2), relations entre les unités de mesure
Vocabulaire à acquérir :
➊ m, dm, cm ➋ mm , degré, périmètre, aire, angle droit, aigu, obtus ➌ m², dm², cm²
➊
➊ ➊
➋
➋
➋
➋ ➋
➌
➌
➌
L’application du critère « homogénéité de la description » à l’analyse de la description des
savoirs permet de constater que la forme des descriptions des savoirs essentiels est plus au
moins homogène. La majorité des descriptions est présentée en termes de concepts et de
processus (par exemple, « Longueurs : estimation et mesurage » ou « Unités non
conventionnelles : comparaison, construction de règles »). Cependant, on retrouve aussi des
descriptions seulement en termes d’attributs (par exemple, « Dimensions d’un objet »), ou
encore en termes de relations (« Relations entre les unités de mesure »).
Dans le tableau de la page suivante (voir le tableau 8), nous présentons la description des
savoirs en termes de « concepts » (et leurs attributs) et de « processus ».
42
Tableau 8. Description réorganisée (Mesure)
Concepts (attributs) : Mesure Processus
Angle - Angle aigu, droit, obtus (2e cycle) - Degré (3 cycle)
Longueur - Dimensions d’un objet (1er cycle) - Unités non conventionnelles (1er cycle) - Périmètre (2e cycle) - Unités conventionnelles : m, dm, cm (1 er cycle), mm (2e cycle), km (3e cycle)
Surface - Aire - Unités non conventionnelles (2e cycle) - Unités conventionnelles : m², dm², cm² (3e cycle)
- Comparaison d’angles (2e cycle) - Comparaison, construction de règles (1er cycle - Calcul du périmètre (2e cycle) - Relations entre les unités de mesure (2e et 3e cycles) - Estimation et mesurage (tous les cycles)
Afin d’analyser les descriptions du point de vue mathématique (présence des éléments
nécessaires (attributs) pour développer le concept), nous nous référons au cadre théorique
étudié dans cette recherche.
3.2. Description des concepts selon le modèle de Vergnaud (1991)
Dans cette section, en référant au cadre théorique de Vergnaud (1991), nous décrivons des
concepts selon le modèle proposé par ce chercheur. Selon ce cadre théorique, on parle de la
description des « signifiés » (concept et attributs) et des « signifiants » (représentations).
Pour chacun de concepts (Solides, Figures planes, Transformations géométriques et
Mesure), nous avons construit un tableau à 3 colonnes. Dans la première colonne, nous
présentons les sous-concepts (ou représentants du concept) et les différents attributs
associés à chacun de concepts étudiés. Dans la seconde et la troisième colonne, nous avons
mis les représentations graphiques et langagières qui décrivent le concept et ses propriétés,
les situations et les procédures de traitement (construction, transformations et mesure). Afin
de faciliter la lecture, nous avons reporté tous les tableaux à l’annexe 3. Dans cette section,
nous donnons à titre d’exemple un extrait portant sur les polyèdres.
43
Tableau 9. Extrait de la description du concept des solides (section « polyèdres »).
Concept et attributs Représentations
Physiques et graphiques Langagières
Polyèdres prismes
- Le prisme est un solide ayant 2 bases (polygones congrus et parallèles) et dont la surface latérale est composée :
- de rectangles (prisme droit) ou - de parallélogrammes (prisme oblique).
pyramides
- La pyramide est un polyèdre dont la base est un polygone quelconque et dont les faces latérales sont des triangles ayant un sommet commun. Une pyramide peut être triangulaire, quadrangulaire, pentagonale, etc., selon sa base. La pyramide triangulaire est un tétraèdre (tétra signifie quatre). C’est le polyèdre le plus simple, qui a le plus petit nombre possible de faces. Chaque face de tétraèdre peut être prise pour une base.
réguliers
- Toutes les faces d’un polyèdre régulier sont congrues. Il existe 5 solides réguliers : tétraèdre (4 faces : triangles équilatéraux), hexaèdre (6 faces : carrés), octaèdre (8 faces: triangles équilatéraux), dodécaèdre (12 faces : pentagones réguliers), icosaèdre (20 faces : triangles équilatéraux).
La majorité des dessins ont été réalisés par nous, certains ont été retenus de différentes
ressources électroniques d’accès libre. En ce qui concerne les représentations langagières
(descriptions et définitions), nous avons fait leur recherche dans les différentes ressources
pédagogiques et informatiques (voir la liste dans la section Références bibliographiques).
Chacune des descriptions a été analysée du point de vue de sa pertinence mathématique.
Nous donnons à titre d’exemple la façon dont nous avons procédée.
Exemple 1. Guay, Sylvio et coll. (2002). Clicmaths. Manuel de l’élève 3, Volume A, 2e
cycle du primaire, Laval, Éditions HRW, p. 24
Un polygone est une ligne brisée fermée tracée sur une surface plane.
L’analyse de la pertinence de cette définition soulève une question : Un polygone est une
ligne ou une région intérieure ? Est-ce que la figure (polygone) coloriée est un polygone ?
44
`la suite de ces réflexions, nous proposons la définition suivante : Un polygone est une
figure plane formée d’une ligne brisée fermée.
Exemple 2. Lexique mathématique (Vincent, 1994, p. 172-173)
L’analyse de la pertinence de la définition nous permet de conclure qu’elle est fausse, car le
triangle acutangle peut avoir les angles de mesure égale. C’est le cas des triangles
acutangles isocèle et équilatéral.
Cette analyse nous a permis d’y apporter les modifications nécessaires.
3.3. Description de la progression des savoirs selon les niveaux de la pensée géométrique (van Hiele, 1959/1984)
En nous appuyant sur la théorie du développement de la pensée (van Hiele, 1959/1984),
nous décrivons à cette étape l’évolution de la pensée dans la construction des concepts
(solides, figures planes, transformations géométriques et mesure) et la progression des
activités selon les niveaux. Nous référons aussi dans nos descriptions aux Notes de cours
« Didactique de la géométrie au primaire » (Boublil, 2013, ch.4 et ch.7).
3.3.1. Solides
Au niveau visuel, les élèves doivent avoir un temps pour observer les solides, les toucher et
les faire bouger. Ensuite, ils peuvent les décrire en faisant référence aux objets de la vie
courante, selon la forme de leurs faces et les mouvements qu’ils auront observés. Grâce à
ces activités de manipulation, l’élève pourra classer les solides en justifiant son choix selon
la forme de leurs faces (plane ou courbe), selon le mouvement que les solides subissent
(roulent ou glissent), ou selon leur apparence. L’enseignant reprend les mots utilisés par
l’élève pour justifier les critères de classification et introduit le nouveau vocabulaire.
Par la suite, en observant les projections des faces des solides et en nommant les figures
obtenues de cette façon, l’élève pourra décrire les solides en fonction de ce type d’activité.
45
En observant les faces planes des solides ou en traçant leurs contours, les élèves pourront
décrire les solides selon la forme de leurs faces planes. Ils pourront ensuite classer les
solides en fonction de la forme et le nombre de leurs faces (triangulaires, carrées,
circulaires etc.). Ils pourront aussi trouver tous les objets ayant une forme donnée
(triangulaire, carrée, circulaire etc.) parmi une collection d’objets.
Ces activités visent le développement de la visualisation de l’élève et permettent à
l’enseignant d’introduire le nouveau vocabulaire : le nom des solides et des figures planes.
Au niveau descriptif, les activités comme observer, identifier et représenter graphiquement
les différents développements et les différentes vues des solides : vue de face, vue de droite,
vue du haut etc., vue des coupes (horizontales, verticales, passant par le sommet, etc.)
permettent d’évoquer les solides en fonction des vues ou des développements donnés. Les
activités de représentation des solides à l’aide de pailles permettent d’introduire les
nouveaux termes « arête » et « sommet », et ensuite de les utiliser pour décrire les solides.
Au niveau relationnel, les élèves apprennent à construire les différents développements des
polyèdres. Cette activité de construction permet de vérifier les techniques de construction :
segments congrus, parallèles, perpendiculaires; le report d’angle; etc. C’est aussi au niveau
relationnel que les élèves peuvent établir une relation entre les faces, les sommets et les
arêtes d’un polyèdre convexe en comparant les données de différents polyèdres (Relation
d’Euler).
Grâces à ces expériences, l’élève pourra aussi classer les solides selon leur apparence
(concave/convexe, droit/oblique, tronqué, etc.), selon la formes de leurs faces
(polyèdres/corps ronds), selon le nombre de faces, de bases ou selon la forme de la surface
latérale. La justification des critères de classement fera appel aux attributs des solides et à
leurs caractéristiques.
3.3.2. Figures planes
Au niveau visuel, les élèves doivent être en mesure de reconnaître les figures selon leur
apparence. Pour permettre aux élèves d’associer une figure à un nom et un nom à une
figure, des activités telles que : tracer le contour, observer les projections, observer les vues
des différents solides sont à privilégier.
46
Dans les activités de classification, les élèves classent les objets selon leur forme. Bien
qu’ils ne soient pas en mesure de nommer une propriété qui unit ou qui distingue les objets,
ce type d’activité amène les élèves à raisonner.
Pour les activités de construction, les élèves représentent les figures à l’aide d’un dessin à
main levée ou à la règle. Ces dessins emploient la forme ou les propriétés visuelles
marquantes de la figure, comme la congruence des côtés ou les angles droits.
Avec les activités d’observation des différentes vues (de face, de droite, de haut, etc.) et
coupes (verticale, horizontale, oblique, passant par le sommet, etc.) des solides, on favorise
le développement de la visualisation et l’identification des figures planes.
Au niveau descriptif, la figure commence à être associée à des éléments qui la composent.
Dans un premier temps, les activités d’apprentissages visent à ce que les élèves soient en
mesure d’identifier les différentes figures dans différentes positions en fonction de leurs
caractéristiques visuelles marquantes comme la congruence des côtés ou des angles, le
parallélisme et la perpendicularité des côtés. Ensuite, on propose des activités qui visent
aussi à ce que les élèves puissent décrire chaque figure en fonction des caractéristiques
découvertes. Enfin, on demande aux élèves d’évoquer les figures à partir de la description
de leurs propriétés.
Pour introduire les termes « polygones », « polygone concave/convexe », « triangle
isocèle », « triangle équilatéral », « triangle scalène », « angle aigu », « angle obtus », pour
distinguer les polygones selon leur nombre de côtés et pour que les élèves emploient ces
termes dans l’identification et la description des figures, on propose des activités où l’élève
est appelé à observer et comparer des collections de figures en recherchant une
caractéristiques commune aux figures ou une caractéristique qui les distingue. En observant
les relations entre deux droites, l’enseignant peut introduire les termes « parallèles »,
« concourantes », « perpendiculaires ». Par la suite, l’identification de ces termes peut être
faite au sein d’une collection de figures.
En partageant les figures planes en parties congrues ou en figure connues, l’enseignant peut
introduire les termes « diagonale », « bissectrice », « hauteur », « figure symétrique » pour
que les élèves les utilisent dans la description des figures.
Les activités de représentation des figures avec des outils physiques tels que le « géoplan »,
47
les pailles, les bandes transparentes, etc. permettent la mise en jeu des propriétés telles que
le nombre de côtés, la congruence et le parallélisme des côtés et, par conséquent, les noms
de polygones particuliers.
L’observation du mouvement de rotation (par exemple de la porte ou du pendule), la
reproduction de trajectoires, la recherche du placement de l’axe de réflexion ou du point
fixe de rotation favorisera la découverte et la description des attributs du cercle.
Après avoir découvert les nouvelles propriétés, il est maintenant possible de les utiliser
dans des activités de construction. À travers ces activités, les élèves développeront leur
habileté à tracer à la règle et au compas, à reporter les mesures de côtés et des angles, à
tracer les droites parallèles et perpendiculaires, les segments congrus, et à diviser un
segment en deux parties congrues. Toujours grâce aux nouvelles propriétés, l’emploi du
raisonnement approprié à ce niveau est mis en jeu. En effet, le raisonnement peut alors
intervenir dans la recherche du nombre minimal d’informations qui permettent la
reproduction d’un dessin affiché au tableau ou dans la recherche des différentes
représentations du triangle à l’aide de deux (ou de trois) pailles de même grandeur ou de
grandeurs différentes.
Au niveau relationnel, qui correspond à la fin de l’enseignement primaire et au début de
l’enseignement secondaire, les activités de manipulation et d’observation servent à établir
des rapports entre les propriétés d’une figure, et entre les propriétés des figures qui
appartiennent à une classe. Pour les quadrilatères, ces activités permettent en outre
d’enrichir le répertoire de représentations (visuelle et verbale), de favoriser le raisonnement
dans la conception de nouvelles définitions, de visualiser un quadrilatère selon la
description inhabituelle de ses propriétés et de rechercher des contre-exemples.
La découverte de relations métriques ainsi que de formules sont permises par les activités
de mesure de longueur, de dallage, de partage et de composition des figures et par les
projets de construction.
À ce niveau, les connaissances se réorganisent à travers la construction de relations entre
les propriétés ou entre les figures. Les activités de classification, de construction et de
résolution de problèmes sont à privilégier pour que cette réorganisation soit possible.
D’abord, les activités de classification aident à retenir seulement ce qui est essentiel. Les
48
diagrammes de Carroll, les diagrammes à branches et les diagrammes de Venn ont
plusieurs fonctions. Ils peuvent être utiles pour conceptualiser et structurer des concepts. Ils
peuvent aussi être un moyen pour vérifier les connaissances acquises. Le choix d’un
diagramme plutôt qu’un autre dépend de l’objectif visé et du niveau de préparation des
élèves.
En utilisant les diagrammes de Carroll, on cherche principalement à vérifier l’appartenance
d’une propriété aux différentes classes de figures ou l’appartenance d’une classe à d’autres
classes.
Différents objectifs de classification sont associés aux diagrammes à branches :
premièrement, l’analyse de l’appartenance d’une propriété à une classe d’objets et
deuxièmement, l’établissement des relations entre les classes.
Enfin, les diagrammes de Venn, sont utilisés pour représenter de façon visuelle l’inclusion
de classes de figures géométriques et le classement d’objets ayant des caractéristiques
communes.
Les activités de constructions quant à elles, participent, lorsque proposées sous forme de
résolutions de problèmes, à l’établissement de relations entre les figures, à la découverte de
relations métriques et à l’application de connaissances et de démarches acquises. Les
situations problèmes permettent de coordonner la représentation et la description. De plus,
elles favorisent l’emploi du raisonnement.
3.3.3. Transformation géométriques
Au niveau visuel, les processus d’observation et d’identification sont mis en jeu :
- Translation: Identification du déplacement d’objet (et de soi) dans l’espace et dans
un plan (différentes directions et orientations : à droite, à gauche, vers le haut, vers
le bas, direction oblique);
- Réflexion : Recherche des axes de symétrie d'une figure (pliage, découpage, emploi
du miroir);
49
- Rotation : Identification du déplacement d’objet (et de soi) dans l’espace et dans un
plan (tourner à droite, à gauche, en fraction de tour : ¼, ½, ¾, tour complet).
Au niveau descriptif, l’élève doit être en mesure de décrire les transformations à partir de
leurs propriétés:
- Trouver, dans l'environnement, des exemples d'applications de transformations
(translation, réflexion, rotation);
- Observer les régularités dans des dallages et des frises et les construire à l'aide de
figures géométriques (translation, réflexion, rotation);
- Compléter, à partir d'un axe de symétrie, la partie manquante d'un dessin simple;
- Déterminer si un objet peut être coupé en deux de façon à former des parties
symétriques;
- Reconnaître et décrire la translation (glissement), la flèche (longueur, direction,
sens) dans le déplacement d’une figure ou dans la représentation de deux figures
(initiale et image);
- Reconnaître et décrire la réflexion, l’axe (droite qui divise la figure en deux parties
congrues qui coïncident par pliage) et sa position dans la représentation d’une figure
symétrique ou de deux figures (initiale et image);
- Reconnaître et décrire la rotation (pivotement), le centre (point fixe de rotation), le
sens (horaire ou anti horaire), l’angle (¼, ½, ¾, tour complet) dans le déplacement
d’une figure ou dans la représentation de deux figures (initiale et image).
Au niveau relationnel, l’élève doit être capable d’employer les propriétés de
transformations et de la figure, et de les mettre en œuvre pour effectuer la transformation de
la figure à l’aide des outils et de procédés de construction:
- Tracer l’image d’une figure obtenue par translation;
- Tracer l’axe de symétrie dans une figure (de deux figures : initiale et image) et
décrire la position de l’axe (droite passant par le milieu du segment reliant les points
correspondants dans la représentation d’une figure symétrique (triangle isocèle,
triangle équilatéral, carré, rectangle, losange, trapèze isocèle, polygone régulier,
cercle) ou de deux figures (initiale et image);
- Tracer l'image d'une figure obtenue par réflexion;
50
- Tracer l’image d’une figure obtenue par rotation;
- Décrire la position d'une image obtenue par translation, réflexion et rotation d'une
figure dans le plan cartésien (coordonnées des points : x, y).
Selon la théorie de la pensée géométrique de van Hiele, le niveau 2 correspond
approximativement à la période qui peut être associée à la fin de l’école primaire / début du
secondaire. Certains attributs des figures planes correspondant à ce niveau se découvrent
dans des activités portant sur la réflexion (pliage, traçage des axes des figures particulières).
Il s’agit des attributs tels que les diagonales (carré, losange, polygone régulier) ou les
droites remarquables dans un triangle (hauteur, bissectrice, médiane et médiatrice).
Cependant, les attributs tels que la bissectrice et la médiane sont plutôt visés au premier
cycle du secondaire.
3.3.4. Mesure
Au niveau visuel, alors que l’enfant commence l’apprentissage de la mesure en géométrie,
il est amené à comparer les objets. À l’aide d’activité de classification, il classe tout
simplement les objets en fonction de leur taille, leur grosseur, leur capacité, etc. Lorsque la
classification devient moins évidente à l’œil nu, l’élève peut utiliser les techniques de
comparaison pour ordonner les objets. La superposition des objets qu’on veut comparer ou
l’utilisation d’objets intermédiaires pour les mesurer (comme la corde, les réglettes, etc.)
peuvent aider l’enfant dans cette situation. Une fois que l’élève a appris que pour comparer
les objets il faut les mesurer en utilisant les mêmes unités de mesure et être capable de
reporter avec précision l’unité de mesure, le besoin d’introduction des unités
conventionnelles est créé et l’enseignant peut introduire progressivement les unités de
mesure conventionnelles.
Quant au processus d’estimation, il s’effectue sans instrument de mesure. L’intérêt d’un tel
processus réside dans le fait d’avoir une idée de grandeur avant de mesurer. Ainsi, l’élève
peut choisir quelle unité de mesure utiliser pour minimiser les efforts de mesurage.
L’estimation permet également, lorsque comparée au résultat de mesurage, de vérifier si le
résultat obtenu est vraisemblable ou s’il peut y avoir une erreur de mesurage.
51
Au niveau descriptif, l’élève mesure le contour des polygones (périmètre) en additionnant
les mesures de côtés.
C’est aussi au niveau descriptif que l’élève commence à mesurer les surfaces quelconques.
Au début, à l’aide de papier quadrillé, l’élève comptera le nombre de carrés-unités présents
à l’intérieur de différents rectangles et carrés. La découverte de la formule de l’aire pour ces
figures réside dans une simple situation arithmétique: la mesure de cette surface se
compose de x rangées ayant y carrés chacune, alors, l’aire du rectangle = x•y. Multiplier la
base par la hauteur (b•h) d’un rectangle ou d’un carré correspond à la formule pour trouver
l’aire de ces figures.
Parallèlement, l’élève participe aux activités de partage des figures en parties congrues
(pliage), de dallage, de composition des figures à partir des figures planes données (par
exemple, le jeu de Tangram). Ce type d’activité développe la visualisation et participe à la
reconnaissance des figures simples (carré, rectangle, triangle rectangle et triangle
quelconque) à l’intérieur d’une figure donnée. Par exemple, l’élève peut voir que le
rectangle se compose de deux triangles rectangles congrus ou que de deux triangles
rectangles on peut composer deux différents triangles rectangles plus grands et aussi deux
différents parallélogrammes. Les expériences vécues favoriseront plus tard la découverte de
formules d’aire des figures planes particulières.
C’est aussi à ce niveau que l’élève va faire un passage des unités non conventionnelles aux
unités conventionnelles.
Au niveau relationnel, l’élève établit des relations métriques économiques pour calculer le
périmètre de polygones particuliers en faisant référence à leurs propriétés (Ex : périmètre
du carré et du losange = 4 x a où a est la longueur d’un côté; périmètre du rectangle et du
parallélogramme = 2 x (a + b) où a et b sont la somme de deux segments consécutifs).
L’élève poursuit la mesure de contours, mais en s’attardant plus particulièrement à la
circonférence du cercle. Il commence à mesurer le contour du cercle à l’aide d’une ficelle.
Il mesure ensuite, à l’aide de la règle, la longueur de cette ficelle, du diamètre et du rayon.
À partir de quelques expérimentations avec les cercles différents et de l’analyse de données
obtenues, il recherche des régularités et découvre que le diamètre mesure 2 fois le rayon et
que la mesure de la longueur du cercle est à peu près trois fois plus grande que la mesure du
52
diamètre. Ainsi, l’enseignant introduit le nombre correspondant à la constante du rapport
entre la mesure du contour et du diamètre pour tout cercle et le symbole . Ce nombre qui
correspond à une valeur approximative de 3,14 lui permettra de calculer le périmètre du
cercle et l’aire du disque.
À ce niveau et à partir des expériences vécues au niveau précédent, l’élève établit des
relations pour calculer l’aire des différents polygones. La connaissance de l’aire du
rectangle est importante, car elle permet de déduire l’aire de nombreuses autres surfaces :
triangle rectangle, triangle, parallélogramme, losange, trapèze, notamment par
transformation de la surface d’une figure en un rectangle (demi-rectangle) de même aire.
Dans la section suivante, nous allons référer à cette description afin d’analyser la
progression de la pensée géométrique dans la description de Savoirs essentiels du MELS
(2002).
3.4. Analyse de la description des savoirs essentiels visés au primaire
À cette étape, nous nous intéressons à la description des savoirs essentiels du programme
de mathématique du primaire (MELS, 2002) afin d’analyser la pertinence des savoirs
présents et d’envisager les savoirs absents de la liste, mais qui sont nécessaires pour
développer les concepts géométriques. Nous allons utiliser les critères suivants élaborés par
Boublil-Ekimova (2010b) : liste de savoirs nécessaires pour développer le concept, et
continuité et logique des apprentissages.
L’emploi du critère « liste de savoirs nécessaires pour développer le concept » réfère à la
description du concept selon le modèle du Vergnaud (voir la section 3.2) et nous permet de
voir les éléments constitutifs du concept et l’importance de l’organisation d’un ensemble de
situations permettant son développement.
Afin d’analyser la description des savoirs essentiels de programmes selon le critère
continuité et logique des apprentissages », nous nous référons à la description de la
progression des niveaux de pensée selon le modèle de van Hiele (voir la section 3.3).
53
3.4.1. Solides
Reprenons le tableau 1 de la section 3.1.1 afin de mieux comprendre nos commentaires.
Tableau 1. Savoirs essentiels (solides) – MELS 2002
SAVOIRS ESSENTIELS (MELS 2002)
GÉOMÉTRIE : FIGURES GÉOMÉTRIQUES ET SENS SPATIAL
SOLIDES CYCLES
- Comparaison et construction : prisme, pyramide, boule, cylindre, cône - Comparaison des objets de l’environnement aux solides - Attributs (nombre de faces, la base) : prisme, pyramide - Description de prismes et de pyramides à l’aide de faces, de sommets, d’arêtes - Développement de prismes et de pyramides - Classification de prismes et de pyramides - Reconnaissance du développement de polyèdres convexes - Expérimentation de la relation d’Euler (relation entre les faces, les sommets et les arêtes d’un
polyèdre convexe)
Vocabulaire à acquérir :
➊ solide, base d’un solide, cube, prisme, pyramide, cône, cylindre, boule, face ➋ arête, sommet, corps rond, développement d’un solide, surface, surface courbe, surface plane ➌ polyèdre, polyèdre convexe, relation d’Euler
➊
➊
➊
➋
➋
➋
➌
➌
Liste des savoirs
L’application de ce critère permet de constater que certains savoirs sont absents des
descriptions. Nous allons reprendre les descriptions « problématiques » afin de présenter
nos commentaires.
- L’élément « Identification des solides » est absent2.
- « Développement de prismes et de pyramides », « Reconnaissance du
développement de polyèdres convexes », « Développement d’un solide ».
Ces descriptions sont décrites en termes de processus et de concepts et ne précisent pas
les attributs.
- « Attributs (nombre de faces, base) : prisme, pyramide ».
Cette description ne donne aucune indication quant aux processus qui permettent
l’acquisition de ces attributs.
2 Il nous faut mentionner que cet élément apparaît dans le document « Progression des apprentissages ».
54
- « Classification de prismes et de pyramides ».
La description n’indique pas selon quels attributs nous devons classer les prismes et les
pyramides.
- Les « corps ronds » sont absents de la description « Reconnaissance du
développement de polyèdres convexes ». Pourtant, on retrouve, dans les manuels, les
représentations de leurs développements.
- Le processus de représentations des solides à l’aide des pailles et de la pâte à
modeler est absent. Cependant, c’est à partir de ce type d’activité qu’on introduit les
attributs « nombre d’arêtes et de sommets ».
- Les termes « solide tronqué » et « polyèdre concave » sont absents des descriptions.
Nous pensons que pour introduire le terme « polyèdre convexe », il faut le comparer à celui
qui ne l’est pas. Quant aux solides tronqués, l’étude de différentes collections de manuels
(Défi mathématique, Clicmaths, Caméléon) montre que ces solides sont présents dans les
différentes activités géométriques.
Continuité et logique des apprentissages
En considérant les descriptions présentes dans le programme de formation de l’école
québécoise, on peut voir que la continuité et la logique des apprentissages n’est pas bien
respectée.
- « Comparaison et construction : prisme, pyramide, boule, cylindre, cône ».
Lier ces deux activités (comparaison et construction) ne permet pas de voir qu’elles ont des
enjeux différents et que chacune possède sa propre séquence de développement. Au début
des apprentissages, on observe, on compare, on décrit les différents solides selon leur
apparence, la forme de leurs faces latérales et de leurs bases, on introduit le nom des solides
: cube, prisme à base carrée, pyramide à base carrée, cône, cylindre, sphère, etc. Ensuite, on
les regroupe selon leurs caractéristiques communes et celles qui les distinguent (forme des
faces, nombre de faces (ou de bases), forme des faces planes ; puis on nomme les classes
(par exemple : polyèdres et corps ronds, ou prismes et pyramides, etc.). Quant à la
construction des solides, cette activité, dans ses différentes formes, met en jeu différentes
connaissances géométriques. Par exemple, la représentation des solides à l’aide de pâte à
55
modeler travaille la forme de solides, celle avec les pailles et la pâte à modeler amène à
l’introduction de nouveaux termes (arêtes, sommets) et peut mettre en jeu la demande du
matériel nécessaire pour la représentation (nombre de pailles, grandeur). La construction de
développements de solides met en jeu les propriétés des figures planes qui constituent les
faces planes et courbes de solides (congruence, parallélisme, perpendicularité) et les
procédés de construction (tracer le contour, les segments, la perpendiculaire, segment
parallèle, segment congru, trouver le milieu, reporter les mesures, etc.).
- « Classification des solides ».
Cette activité apparaît seulement au deuxième cycle. Toutefois, l’activité de classification
doit se faire au niveau visuel jusqu’au niveau relationnel. La différence porte sur les critères
de classification que l’élève utilise et qui se découvrent progressivement (voir la première
description de la section b) ci-dessus).
- « Corps ronds et polyèdres ».
Comment peut-on introduire le terme « corps rond » au cycle 2 sans le comparer
au « polyèdre », terme visé au cycle 3?
56
3.4.2. Figures planes
Nous utiliserons le tableau 3 de la section 3.1.2 pour mieux comprendre nos commentaires.
Tableau 3. Savoirs essentiels : Figures planes (MELS, enseignement primaire, 2002)
SAVOIRS ESSENTIELS (M.E.L.S. 2002)
FIGURES PLANES CYCLES
- Comparaison et construction de figures composées de lignes courbes ou lignes brisées fermées - Identification du carré, du rectangle, du triangle, du cercle et du losange - Description du carré, du rectangle, du triangle, du cercle et du losange - Description des polygones convexes et non convexes - Description des quadrilatères, dont le trapèze et le parallélogramme : segments parallèles,
segments perpendiculaires, angle droit, angle aigu, angle obtus - Classification des quadrilatères - Construction de lignes parallèles et de lignes perpendiculaires - Description des triangles : triangle rectangle, triangle isocèle, triangle scalène, triangle
équilatéral - Classification des triangles - Mesure d’angles en degrés à l’aide d’un rapporteur d’angles - Étude du cercle : rayon, diamètre, circonférence, angle au centre
Vocabulaire à acquérir :
➊ figure plane, ligne brisée, ligne courbe, carré, cercle, losange, rectangle, triangle, côté ➋ parallélogramme, polygone, polygone non convexe, polygone convexe, quadrilatère, trapèze, segment ➌ angle au centre, triangle équilatéral, triangle isocèle, triangle rectangle, triangle scalène, disque, diamètre, rayon, circonférence
➊ ➊
➊
➋
➋
➋
➋
➌
➌
➌ ➌
Liste des savoirs
L’application de ce critère permet d’analyser la pertinence des savoirs présents et
d’envisager les savoirs absents sur la liste, mais qui sont nécessaires pour développer les
concepts géométriques.
- « Comparaison et construction de figures composées de lignes courbes ou lignes
brisées fermées ».
Cette description mentionne des lignes (courbes et brisées) fermées. Cependant, on
découvre le terme « fermé » en comparant deux types de lignes : fermée et ouverte.
L’attribut « ligne ouverte » est absent.
- « Identification du carré, du rectangle, du triangle, du cercle et du losange ».
L’identification du « parallélogramme », du « trapèze », du « pentagone », de
57
l’« hexagone » et des « polygones réguliers » est absente. Pour distinguer les polygones
(par exemple les triangles et les quadrilatères), il faut ajouter un attribut « nombre de côtés
(angles).
- « Description des quadrilatères, dont le trapèze et le parallélogramme : segments
parallèles, segments perpendiculaires, angle droit, angle aigu, angle obtus ».
Afin d’avoir la description complète des angles étudiés à l’école primaire, d’employer le
type d’angle pour décrire les différents polygones et pour aborder la mesure d’angles, il est
préférable d’avoir l’« identification et la description des angles » en tant que savoir
essentiel et d’ajouter les termes « angle plat » (demi-tour) et « angle plein » (tour complet)
à la description actuelle « angles droit, aigu, obtus ».
Les attributs tel que « côtés congrus », « angles congrus », « diagonales », « hauteur » et
« base », qui sont nécessaires pour décrire les différents polygones (carré, rectangle,
triangle, losange, trapèze, parallélogramme), ainsi que les polygones réguliers sont absents.
- « Construction de lignes parallèles, perpendiculaires ».
Cette description est incomplète. Pour permettre la construction de polygones étudiés
(carré, losange, triangle isocèle, triangle équilatéral, etc.), il faut aussi tracer « des droites »,
« des segments », « trouver le milieu », « reporter les mesures de côtés et d’angles ».
L’élève doit savoir comment et à l’aide de quels instruments (règle, équerre, compas)
construire ces polygones.
- « Classification des quadrilatères ».
Quant à la classification des quadrilatères, quels savoirs les élèves doivent construire au
juste, à partir de quelle démarche et avec quels outils ?
En référant à ce qu’on voit dans les manuels, il s’agit plutôt soit de vérification de
propriétés chez les figures (diagramme de Carroll) ou d’observation des diagrammes de
classification. Pourtant, la classification des quadrilatères réfère à la recherche de propriétés
communes telles que la congruence des angles et des côtés, le parallélisme de côtés etc.
Selon Boublil-Ekimova (2010a, p. 105-106), même les étudiants futurs maîtres éprouvent
des difficultés dans la démarche de classification. Dans les exemples qu’elle donne, on voit
que la reconnaissance de la forme du quadrilatère ne fait pas appel à la définition et à la
58
recherche des propriétés communes de classes. Lorsqu’on leur demande d’effectuer la
classification des quadrilatères représentés en considérant leurs propriétés et définitions
habituelles, les étudiants, futurs maîtres, effectuent la classification des quadrilatères selon
leur forme. Boublil-Ekimova souligne aussi que les étudiants ne font pas la distinction entre
une définition et une description. Une définition revient souvent pour ces étudiants
universitaires à décrire les propriétés d'une figure plane, alors que le mot « définition »
exige l’emploi de propriétés suffisantes pour déterminer la figure.
De cette manière, on peut mentionner ici qu’en référant à la description des difficultés des
élèves en géométrie et dans la démarche de classification (voir la section 1.1.3.3), et
puisque, selon Boublil-Ekimova (2010a), les futurs enseignants n’ont pas une idée claire
sur les activités de classification, la description de ce savoir doit être précisée.
- « Classification des triangles ».
La classification des triangles réfère elle aussi à la recherche d’une propriété commune telle
que la congruence des côtés et des angles et de leur nombre, ainsi qu’à l’identification de
différences (le type d’angle : acutangle, obtusangle, rectangle). Cette démarche permet de
voir certaines relations entre les figures, par exemple : un triangle isocèle (ou scalène) peut
être obtusangle, rectangle ou acutangle ; un triangle équilatéral est un triangle isocèle. En
référant à la description des difficultés des élèves en géométrie (voir la section 1.1.3.3),
nous avons mentionné que les critères de classification des triangles (côtés ou angles) ne
sont pas connus et que les élèves ont beaucoup de difficultés dans la classification de
figures.
- « Étude du cercle : « rayon », « diamètre », « circonférence », « angle au centre » ».
Les termes « arc », « centre », « secteur » et « corde », qui sont des attributs nécessaires
pour l’étude du cercle sont absents.
Le terme « circonférence », qui apparaît dans la section « Figures planes », devrait se
retrouver dans la section « Mesure » avec la notion de mesure de longueurs et du
« périmètre », car la circonférence est un périmètre du cercle.
- « Mesure d’angles en degrés à l’aide d’un rapporteur d’angles ».
Cette description devrait aussi se retrouver dans la section « Mesure » et non dans la section
59
des « Figures planes ».
Continuité et logique des apprentissages
En appliquant ce critère à l’analyse des descriptions présentes dans le programme de
formation de l’école québécoise, on peut voir que la continuité et la logique des
apprentissages n’est pas bien respectée.
- « Comparaison et construction de figures composées de lignes courbes ou lignes
brisées fermées ».
Lier ces deux activités (comparaison et construction) ne permet pas de voir qu’elles ont des
enjeux différents et que chacune possède sa propre séquence de développement.
Regardons ce qu’il en est pour la « comparaison ». En présentant différentes collections de
figures (polygones et non-polygones) et en demandant aux élèves de les comparer, on peut
découvrir les nouveaux termes « segments de droite/ ligne courbe », « fermé/ouvert ».
Quant à la « construction », à quel processus de construction réfère la
description « Comparaison et construction de figures composées de lignes courbes ou
lignes brisées fermées » au premier cycle du primaire ? S’agit-il de la construction des
figures en utilisant les pailles, le « géoplan » ou d’autres outils physiques ? Envisageons-
nous le dessin à main levée, la représentation (ou tracé) des figures sur du papier quadrillé ?
Si oui, il s’agit de la représentation des figures planes et non pas de leur construction. Les
activités de construction, selon le cycle d’enseignement, ont des enjeux différents :
connaissance de la forme, des propriétés des figures et des relations entre les éléments de la
figure; développement des techniques de tracé associées à un vocabulaire géométrique, etc.;
Elles mettent en jeu les propriétés (congruence, parallélisme, perpendicularité) des figures
planes, les procédés de construction (tracer les segments, la perpendiculaire, le segment
parallèle, le segment congru; trouver le milieu, reporter les mesures de côtés et d’angles,
etc.) et l’emploi des outils (règle non-graduée et graduée, équerre, compas).
60
- « Identification du carré, du rectangle, du triangle, du cercle et du losange ».
À partir de quelle démarche introduit-on les noms de figures planes ? Dans quel(s) type
d’activité(s) demande-t-on de les identifier ?
- « Description du carré, du rectangle, du triangle, du cercle et du losange (1er
cycle) ».
- « Description des quadrilatères, dont le trapèze et le parallélogramme (2e cycle) ».
Un problème majeur survient dans la continuité et la progression des apprentissages en
regardant cette description. En effet, les démarches d’observation et de comparaison, de
représentation et d’observation doivent être proposées afin de découvrir les propriétés
permettant de décrire ces figures.
- « Description du carré, du rectangle, du triangle, du cercle et du losange ».
Quant au concept du « cercle », on demande aux élèves de décrire le cercle au premier
cycle du primaire. Cependant, les attributs du cercle, ceux-là même qui permettent de
décrire le cercle sont seulement enseignés au troisième cycle du primaire.
61
3.4.3. Transformations géométriques
Nous reprenons le tableau 5 de la section 3.1.3 pour permettre au lecteur de mieux
visualiser nos commentaires.
Tableau 5. Savoirs essentiels : Transformations géométriques (MELS, enseignement primaire, 2002)
Liste des savoirs
L’application de ce critère permet d’analyser la pertinence des savoirs présents et
d’envisager les savoirs absents sur la liste, mais qui sont nécessaires pour développer les
concepts géométriques. Avec un tout premier regard sur la description des savoirs qui est
présentée dans ce programme, on remarque que le terme « Transformations géométriques »
est remplacé par les termes « Frises et dallages ».
- La « rotation » est absente dans le programme.
Toutefois, elle n’est pas complètement disparue des manuels. Cependant, ses propriétés
telles que « le centre », l’« angle au centre », l’égalité de distances entre le centre et les
3 À l’école primaire, les notions de translation et de symétrie axiale sont employées dans la production des frises. Depuis 1835, on utilise en langue française le mot FRISE pour désigner aussi une bordure ornementale en forme de bandeau continu (d'un mur, d'une cheminée, d'un meuble, etc.), par exemple : une frise de papier peint. Une frise est une bande continue et ordonnée sur laquelle les motifs se répètent de façon régulière. Pour faire une frise, on a besoin de rosaces (modèles de base). Une rosace peut avoir plusieurs axes de symétrie. Un Dallage est un recouvrement d’un plan à l’aide de figures planes placées de manière à ne laisser aucun espace libre ni aucune superposition entre les figures et disposées selon une règle d’arrangement.
SAVOIRS ESSENTIELS (M.E.L.S. 2002)
FRISES ET DALLAGES3 CYCLES
- Observation et production de régularités à l’aide de figures géométriques - Figures isométriques (mêmes mesures) - Observation et production (grilles, papier calque) de frises par réflexion : réflexion, axe de
réflexion - Observation et production de dallages à l’aide de la réflexion - Observation et production (grilles, papier calque) de frises par translation : translation, flèche
de translation (longueur, direction, sens) - Observation et production de dallages à l’aide de la translation
Vocabulaire à acquérir :
➋ axe de réflexion, réflexion, dallage, figure symétrique, frise ➌ flèche de translation, translation
➊
➋
➋
➋
➌
➌
62
points correspondants (rayons du cercle) sont visées à l’étude du cercle. Nous croyons
qu’elle devrait être présente dans le programme, car le niveau conceptuel exigé pour son
étude ne se distingue pas des autres transformations et que certaines découvertes de
propriétés de la rotation pourraient être faites au moment de l’étude du cercle.
En lien avec la production de frises et de dallages, on peut observer une réduction du sens
des propriétés de transformations.
- Les processus permettant la découverte et la mise en application des attributs de la
flèche de translation ainsi que des propriétés de l’axe de réflexion sont absents. La
production des frises et dallages ne permet pas la découverte et la mise en
application de ces attributs, ils sont déterminés par le motif de la frise (ou du
dallage), par la forme (bande ou surface) ou par les dimensions de la figure.
Les propriétés de l’axe suivantes sont absentes dans la description :
- droite qui divise la figure en deux parties superposables par pliage;
- droite qui est perpendiculaire au segment reliant les points correspondants
et qui passe par son milieu;
- nombre d’axes;
- position de l’axe (horizontale, verticale, oblique);
- l’axe est une hauteur (triangle isocèle et équilatéral);
- l’axe est une diagonale (carré, losange).
Puisque les éléments décrits sont constitutifs du concept de transformations et que, d’après
notre connaissance des manuels scolaires, les propriétés de l’axe font partie des activités,
nous pensons que leur description dans le programme donnera plus de précisions aux
enseignants sur les apprentissages à envisager.
La description des difficultés des élèves (et des futurs enseignants) en apprentissage des
transformations (voir la section 1.2) suggère que la description des savoirs portant sur les
transformations soit précisée.
63
Continuité et logique des apprentissages
En considérant les descriptions présentes dans le programme de formation de l’école
québécoise, on peut voir que la continuité et la logique des apprentissages n’est pas bien
respectée.
- « Figures isométriques (mêmes mesures) ».
Dans quel contexte au 1er cycle du primaire cet attribut peut-il être travaillé ? Sinon, à partir
de l’« Observation de régularités », ce savoir est visé seulement au 2e cycle.
- Selon quels appuis théoriques le programme vise-t-il l’étude de la réflexion au 2e
cycle du primaire. Alors que l’étude de la transformation se fait au 3e cycle?
Selon la progression de la pensée géométrique, l’élève doit d’abord observer et identifier
les régularités, ensuite les reproduire avec les outils appropriés correspondant au niveau de
son développement afin de découvrir les propriétés des transformations. Ces découvertes
serviront à leur description. Les activités de construction de figures obtenues par les
différentes transformations et l’emploi des outils et de procédés correspondants permettront
d’établir les relations entre les propriétés de chacune des transformations et entre les
transformations.
64
3.4.4. Mesure
Reprenons le tableau 7 de la section 3.1.4 afin de mieux visualiser notre analyse. Tableau 7. Savoirs essentiels : Mesure (MELS, enseignement primaire, 2002)
SAVOIRS ESSENTIELS (M.E.L.S. 2002)
MESURE CYCLES
• Longueurs : estimation et mesurage - Dimensions d’un objet - Unités non conventionnelles : comparaison, construction de règles - Unités conventionnelles (m, dm, cm) - Unités conventionnelles (m, dm, cm, mm) - Unités conventionnelles (km, m, dm, cm, mm) - Relations entre les unités de mesure - Périmètre, calcul du périmètre • Angles : estimation et mesurage - Comparaison d’angles (droit, aigu, obtus) - Degré • Surfaces : estimation et mesurage - Unités non conventionnelles - Unités conventionnelles (m2, dm2, cm2), relations entre les unités de mesure
Vocabulaire à acquérir :
➊ m, dm, cm ➋ mm , degré, périmètre, aire, angle droit, aigu, obtus ➌ m², dm², cm²
➊
➊ ➊
➋
➋
➋
➋ ➋
➌
➌
➌
Liste des savoirs
L’application de ce critère permet d’analyser la pertinence des savoirs présents et
d’envisager les savoirs absents sur la liste, mais qui sont nécessaires pour développer les
concepts géométriques.
- « Comparaison et construction de règles ».
Dans le cas de la « construction de règles », il faut soit préciser la démarche, soit supprimer
cette partie. Nous avons déjà précisé la démarche de mesurage des longueurs à l’aide du
report des unités non conventionnelles (bandes, réglettes, bâtonnets, etc.).
- « Circonférence ».
La circonférence est absente de la section mesure, mais elle est présente dans la section
« Figures planes ». Toutefois, les processus permettant l’élaboration de la démarche sont
absents.
65
- « Périmètre. Calcul du périmètre ».
Ni la démarche de recherche du périmètre, ni les formules du périmètre des figures
particulières ne sont précisées.
- « Angle (aigu, droit, obtus) ».
Selon nous, ces éléments devraient faire partie de la section « Figures planes », car il s’agit
de la comparaison et de la description des angles. Dans la section « Mesure », on peut
décrire la procédure pour mesurer un angle avec le rapporteur d’angle et les mesures
d’angles suivants : droit, plat, plein (voir le tableau 7).
- « Aire ».
Les figures à l’étude, la démarche de recherche d’aire et les formules de l’aire de figures
particulières ne sont pas décrites (voir la section 3.3 sur van Hiele).
Continuité et logique des apprentissages.
En considérant les descriptions présentes dans le programme de formation de l’école
québécoise, on peut voir que la continuité et la logique des apprentissages n’est pas bien
respectée. En effet, le programme prescrit l’étude du périmètre au 2e cycle, alors que la
circonférence s’étudie au 3e cycle (voir la description des savoirs essentiels, section «
Figures planes »).
Quant à la mesure de surfaces, on peut observer que seul l’emploi des unités non
conventionnelles est visé au 2e cycle et que celui des unités conventionnelles est plutôt visé
au 3e cycle. Selon les niveaux de développement de la pensée géométrique de van Hiele,
au niveau visuel l’élève peut explorer la démarche de mesure (comparaison directe et
indirecte à l’aide des unités de mesure non conventionnelles). Au niveau descriptif, les
apprentissages vont lui permettre de passer à l’emploi des unités conventionnelles dans la
mesure des grandeurs. Quant au niveau relationnel, il s’agit de l’établissement des
formules (périmètre des polygones particuliers, circonférence, aire des figures
particulières), et cette démarche va faire référence aux propriétés des figures planes et à
l’analyse des relations.
- « Estimation et mesurage ».
66
L’analyse des activités présentes dans les manuels portant sur la mesure montre que
l’estimation et le mesurage ne suivent pas toujours la progression logique. Nous croyons
que les deux concepts doivent être précisés. L’estimation s’effectue sans instrument de
mesure. L’unité de mesure peut être montrée, mais l’intérêt de l’estimation réside dans le
fait d’avoir une idée de la grandeur avant même de la mesurer. La mesure désigne un
résultat de l’action de mesurage (la quantité trouvée). Il s’agit de report des unités de
mesure.
67
3.5. Analyse de la description des savoirs essentiels visés au secondaire
Cette section est consacrée à l’analyse de la description des savoirs essentiels visés au 1er
cycle du secondaire afin vérifier la pertinence des savoirs présents et d’envisager les savoirs
absents sur la liste mais qui sont nécessaires pour développer les concepts géométriques
(voir le tableau 10 ci-dessous).
Tableau 10. Savoirs essentiels (MELS, enseignement secondaire, 2003).
Dans les quatre sections suivantes (3.5.1-3.5.4), nous présentons notre analyse des concepts
géométriques selon les critères élaborés par Boublil-Ekimova (2010b) (voir la section
3.4.1). Cependant, afin d’analyser la pertinence de la description des savoirs essentiels,
nous allons appliquer seulement deux des trois critères retenus : liste de savoirs nécessaires
pour développer le concept et homogénéité de la description. Nous n’appliquons pas le
critère « Continuité et logique des apprentissages », car nous analysons les descriptions
68
correspondant à un seul cycle de courte durée, soit 2 ans.
3.5.1. Solides
Liste des savoirs
Une toute première analyse des données des deux colonnes soulève des questions. Par
exemple, dans la première colonne, nous voyons une liste des solides étudiés au 1er cycle du
secondaire :
- « Prismes droits, pyramides droites et cylindres droits ».
Dans cette présentation, on ne trouve cependant pas la description des attributs. Sont-ils
les mêmes que ceux étudiés au primaire ?
- « Développements possibles d’un solide ».
Cette description nous paraît un peu ambigüe en raison de l’emploi du terme « possible ».
Le développement d’un solide, souvent appelé un patron, représente un ensemble de figures
planes qui, après pliage, permet de fabriquer ce solide sans superposition de deux faces.
Pour la majorité de solides (sauf pour le cube et le prisme à base carrée ou rectangulaire) la
fabrication d’un solide est assurée peu importe la disposition de figures planes. L’emploi du
terme « possible », selon nous, est plus approprié pour la reconnaissance de « patrons » de
cubes (ou de prismes à base rectangulaire) parmi plusieurs représentations constituées de
6 carrés (ou 6 rectangles). Cette démarche fait plutôt référence aux « processus » qui
mettent en jeu le développement de la visualisation de l’élève afin de reconnaître ces
solides dans les différentes représentations graphiques des « patrons » qui, après avoir été
pliés, formeront le solide en question.
De plus, on ne sait pas si l’élève doit seulement reconnaître les développements ou les
construire. Les enjeux de ces deux types d’activité sont différents : le premier fait appel à la
visualisation des figures planes constituant les faces planes et courbes des solides (surtout
pour le cône et le cylindre), le second, à l’emploi de propriétés des figures planes, des outils
et des procédés de construction.
- « Solides décomposables ».
Cette description, selon nous, doit aussi être précisée. Nous pensons qu’il s’agit de
69
différents « modèles » assemblés de solides géométriques. Doivent-ils vraiment faire partie
de « concepts » ou ces activités demandent-elles plutôt à l’élève de reconnaître les solides
particuliers dans le modèle complexe ?
Quant aux descriptions de la colonne « processus », nous avons une seule référence à la
démarche envisagée : « recherche de mesures manquantes », ce qui ne nous donne aucune
information sur les processus mis en œuvre afin de trouver l’aire latérale ou totale de
solides.
Selon la description actuelle, nous pouvons conclure que le sujet « solides » est traité au
1er cycle du secondaire seulement au niveau de la reconnaissance des figures planes
constituant les faces des solides et de l’application de formules d’aire de figures planes.
Homogénéité des descriptions
La forme des descriptions est homogène.
3.5.2. Figures planes
Liste des savoirs
L’application de ce critère permet de soulever certains éléments problématiques :
- L’apparition de « Mesure » comme sous-section de « Figures planes » n’est pas
appropriée.
- Les attributs « diagonale » et « apothème » sont absents de la description.
Cependant, ils se retrouvent dans la progression des apprentissages sous la section
des « Figures planes » (PDA-8) avec les autres droites et segments remarquables.
Nous croyons que ces attributs doivent être présents dans la description des savoirs
essentiels des programmes, car ils entrent en jeu dans les différentes activités
géométriques (recherche d’aire du losange, construction des polygones particuliers,
résolution de problèmes, etc.).
- La description « Base, hauteur » est présentée séparément. Nous nous interrogeons
sur la raison de cette séparation.
- Pourquoi les attributs « disque » et « secteur » sont-ils présentés au même niveau
que le « cercle » et ne font-ils pas partie du reste des attributs (rayon, diamètre,
70
corde, arc)?
- Les processus « Constructions géométriques » ne nous donnent aucune information
sur les processus envisagés.
- Les processus « construire », « transformer » et « rechercher des mesures
manquantes », sont-ils les seuls permettant de développer les concepts décrits ? En
quoi le contenu de la colonne de droite peut-il être utile à l’enseignant ?
Homogénéité des descriptions
La forme des descriptions est homogène.
3.5.3. Transformations géométriques
Liste des savoirs
L’application de ce critère permet d’analyser la pertinence des savoirs présents et
d’envisager les savoirs absents sur la liste mais qui sont nécessaires pour développer les
concepts géométriques.
Le concept de « Figures isométriques » prévoit que les figures ont la même forme et que
leurs côtés et leurs angles ont les mêmes mesures. Ces attributs sont absents de la
description.
- Le concept de « Figures semblables » renvoie à l’attribut « même forme » (même
mesure d’angles, rapport de proportionnalité de mesure des côtés correspondants)
qui sont absents.
- Le concept d’« Homothétie », qui apparaît dans la colonne de processus, doit aussi
trouver sa place dans la colonne de concepts et être décrit selon les attributs visés
par le programme (centre, rapport). De même, on doit retrouver les processus
permettant l’agrandissement de la forme de la figure.
- Les « Transformations géométriques » en tant que « concepts » doivent faire partie
de la liste de concepts. Chacune des transformations doit être aussi décrite selon ses
attributs :
- La rotation (centre, angle de rotation, sens de rotation, et relation d’égalité de
distances entre le centre et les points correspondants);
71
- La translation (flèche de translation : direction, sens, longueur);
- La réflexion (axe, nombre d’axes, position) et ses différentes applications dans
l’étude des figures planes (axe-hauteur, diagonale, bissectrice, médiane, médiatrice)
peuvent aussi faire partie de la description des données de la première colonne.
- Les processus « Transformations géométriques » peuvent être décrits à partir de la
démarche de construction de figures obtenues par chacune des transformations (voir
la section 3.2.3).
Homogénéité des descriptions
Même si les descriptions de concepts et de processus sont insuffisantes, elles sont
homogènes.
3.5.4. Mesure
Regardons le tableau suivant pour mieux comprendre nos analyses :
Tableau 11. Savoirs essentiels : Mesure (MELS, enseignement secondaire, 2003).
CONCEPTS PROCESSUS
• Mesure - Angle et arc en degrés - Longueur - Périmètre, circonférence - Aire, aire latérale, aire totale - Choix de l’unité de mesure pour les longueurs ou les aires - Relations entre les unités de longueur du SI - Relations entre les unités d’aire du SI
Recherche de données manquantes • Angles - Mesures manquantes dans différents contextes • Longueurs - Périmètre d’une figure plane - Circonférence d’un cercle et longueur d’un arc - Périmètre d’une figure provenant d’une similitude - Segments provenant d’une isométrie ou d’une similitude - Mesure manquante d’un segment d’une figure plane • Aires - Aire de polygones décomposables en triangles et en quadrilatères - Aire de disques et de secteurs - Aire de figures décomposables en disques, en triangles ou en quadrilatères - Aire latérale ou totale de prismes droits, de cylindres droits ou de pyramides droites - Aire latérale ou totale de solides décomposables en prismes droits, en cylindres droits ou en pyramides droites
72
Homogénéité des descriptions
Même si les descriptions des savoirs sont présentées sous forme de concepts et de
processus, leur analyse montre qu’elles ne sont pas homogènes. On retrouve dans la
colonne « Concepts » les concepts (angle, arc, etc.), mais aussi des processus : « choix de
l’unité » (qui fait partie de la démarche d’estimation) et l’établissement des « relations entre
les unités de mesure ».
Quant à la colonne de processus, on en retrouve un seul : « Recherche de données
manquantes », avec une liste des concepts qui ont été déjà décrits dans la première colonne.
Cette description ne nous donne aucune information sur les processus mis en œuvre afin de
trouver ces mesures. La liste de concepts (périmètre, circonférence, aire) doit être
supprimée de la colonne de processus.
La démarche de recherche de mesure des contours et de surfaces doit être précisée dans la
colonne « processus ».
Liste de savoirs
« Mesure »
Le concept « Mesure » ne fait pas partie du concept « Figures planes » et doit être présenté
séparément.
« Périmètre, Circonférence »
Le « Périmètre » et la « Circonférence » font partie de la mesure des longueurs. Puisqu’on
retrouve dans la colonne « Processus » la recherche de longueurs de segments et des arcs,
ces deux éléments doivent apparaître dans la colonne « Concepts » (Longueurs : segment
de droite, périmètre, circonférence, arc). Il nous faut remarquer que ces concepts font partie
de la description des savoirs essentiels du programme de l’enseignement primaire. Nous
nous sommes intéressé à connaître la différence entre ces deux niveaux de l’enseignement.
Quant aux processus permettant leur acquisition, nous pouvons suggérer pour le
« Périmètre » : « Emploi de propriétés de figures particulières afin d’économiser le calcul :
congruence de côtés et leur nombre » et pour la « Circonférence » : « Comparaison des
grandeurs : longueur du contour/diamètre/rayon ».
73
- « Choix de l’unité de mesure pour les longueurs ou les aires ».
- « Relations entre les unités de longueur du SI ».
- « Relations entre les unités d’aire du SI ».
La première description fait partie de l’estimation, les deux autres, du processus de
conversion des unités de mesure. Ces savoirs font aussi partie de la description des savoirs
visés pour l’enseignement primaire. Est-il pertinent de les garder aussi dans la description
de savoirs visés au 1er cycle du secondaire ?
- « Recherche de mesures manquantes :
- Angles (mesures manquantes dans différents contextes).
- Longueurs (mesure manquante d’un segment d’une figure plane) ».
Cette description représente une sorte de tautologie et peut être précisée pour tous les
concepts (Longueurs : segment, arc, périmètre, aire). Par exemple, « Recherche de mesures
manquantes à l’aide de concepts et processus mathématiques : figures planes, relations
métriques, opérations arithmétiques ».
- « Aire de polygones décomposables en triangles et en quadrilatères ».
- « Aire de disques et de secteurs ».
Puisqu’il s’agit de la description de processus, il est préférable de la reformuler, en écrivant
par exemple : « Découpage des polygones en triangles, rectangles et carrés. Établissement
des liens entre les données du polygone (côté, base, hauteur, diagonale) et les figures
obtenues par découpage, dont on connaît l’aire ».
Quant à la recherche de l’aire du disque, on peut suggérer la description suivante :
- « découpage, recollement afin d’obtenir la figure connue, association entre les
données : celles de la figure et du disque »;
- « par approximation (Comparaison de l’aire du disque à celles de deux carrés :
inscrit et circonscrit) »;
- « par passage à la limite d’un polygone régulier inscrit dans un cercle (ou
circonscrit à un cercle) ».
Pour l’aire du secteur, nous pouvons suggérer la description suivante : « Comparaison des
aires et des angles au centre (secteur vs disque) et établissement de rapports de
74
proportionnalité ».
- « Aire de figures décomposables en disques, en triangles ou en quadrilatères ».
Cette description nous parait un peu redondante compte tenu de la description précédente.
Si l’élève a appris comment trouver l’aire des figures en question, il doit être capable
d’employer les opérations arithmétiques (addition et soustraction) pour trouver l’aire de
figures plus complexes composées des figures simples.
- « Aire latérale ou totale de solides décomposables en prismes droits, en cylindres
droits ou en pyramides droites ».
Pour cette description nous avons le même commentaire que pour la précédente : si l’élève
a appris comment trouver l’aire latérale (ou totale) des solides en question, il doit être
capable d’employer les opérations arithmétiques (addition et soustraction) pour trouver
l’aire latérale (ou totale) d’une composition de solides.
3.6. Comparaison des deux programmes (MELS, 2002 et MELS, 2003).
À cette étape, nous comparons les descriptions initiales des deux programmes (MELS,
2002 et MELS, 2003) afin d’établir des liens ou d’identifier les éléments problématiques.
La justification sera appuyée par les cadres théoriques étudiés et par les résultats d’études
présentés dans les sections précédentes (3.2 et 3.3). Nous référerons aussi aux difficultés
des élèves et des enseignants décrites dans la section 1.2.
75
3.6.1. Solides
Pour chaque section, nous utilisons le tableau à double entrée composé de deux colonnes
pour représenter les contenus notionnels de deux programmes. Les flèches indiquent les
liens entre les contenus des deux programmes (voir le tableau 18 ci-dessous). Tableau 12. Comparaison de descriptions (Solides)
Primaire 1er cycle du secondaire
Concept et attributs : Solides Cube, prisme, pyramide, boule, cylindre, cône - surface plane, surface courbe - nombre de faces, de bases, de sommets, d’arêtes
(prisme, pyramide) - corps rond - polyèdre - polyèdre convexe
• Prismes droits, pyramides droites et cylindres droits • Développements possibles d’un solide • Solides décomposables
Processus - Comparaison et construction - Comparaison des objets de l’environnement aux solides - Description de prismes et de pyramides - Développement de prismes et de pyramides - Classification de prismes et de pyramides - Reconnaissance du développement de polyèdres
convexes - Expérimentation de la relation d’Euler (relation entre les faces, les sommets et les arêtes d’un polyèdre convexe)
Constructions géométriques Recherche de données manquantes - Aire latérale ou totale de prismes droits, de
cylindres droits ou de pyramides droites - Aire latérale ou totale de solides décomposables en prismes droits, en cylindres droits ou en pyramides droites
La comparaison de données de deux colonnes nous permet de constater que les mêmes
solides sont étudiés au primaire et au secondaire (prisme, pyramide et cylindre).
Les deux autres descriptions de processus de la première colonne qui sont visées au
primaire : « Développement de prismes et de pyramides » et « Reconnaissance du
développement de polyèdres convexes » pourraient être associées au « Développements
possibles d’un solide » qui est un concept visé au secondaire (deuxième colonne). Ces
descriptions pourraient également être associées à « la recherche d’aire latérale ou totale de
solides » qui est visée en tant que processus au premier cycle du secondaire (deuxième
colonne). Cependant, puisque les attributs « forme de faces planes » (figures planes) et
« forme du développement » (figures planes constituant les faces planes et courbes de
76
solides), ainsi que le processus « Identification » de ces attributs ne sont décrits dans aucun
des programmes, nous ne pouvons donc pas établir ce type de correspondance, car la
recherche d’aire latérale exige cette identification. En référant à la recherche de Boublil-
Ekimova (2010a), nous pouvons lire que même les futurs enseignants ont des difficultés
dans la reconnaissance des figures planes (rectangle, secteur circulaire) constituant le
développement de corps ronds (cylindre, cône).
3.6.2. Figures planes
Tableau 13. Comparaison de descriptions
(Figures planes) Primaire
1er cycle du secondaire
Concepts : Figures planes (attributs) Polygones - ligne brisée fermée - côté - segment - angle (droit, aigu, obtus) - concave/convexe Quadrilatères (carré, rectangle, losange, parallélogramme, trapèze) - segments (parallèles, perpendiculaires) Triangles (rectangle, isocèle, scalène, équilatéral) Cercle - ligne courbe fermée - rayon, diamètre, disque, angle au centre
• Triangles, quadrilatères et polygones réguliers convexes - Segments et droites remarquables : bissectrice, médiatrice, médiane, hauteur - Base, hauteur • Cercle, disque et secteur - Rayon, diamètre, corde, arc - Angle au centre
Processus
- Comparaison et construction de lignes courbes ou de lignes brisées fermées (1er cycle) - Identification et description (carré, rectangle, triangle, cercle, losange) (1er cycle) - Description des polygones convexes et non convexes (2e
cycle) - Description des quadrilatères dont le trapèze et le parallélogramme (2e cycle) - Construction des lignes // et (2e cycle) - Description des triangles (3e cycle) - Classification - quadrilatères (2e cycle) - triangles (3e cycle) - Mesure des angles en degrés à l’aide d’un rapporteur d’angle (3e cycle)
- Constructions géométriques - Recherche de mesures manquantes Angles - Mesures manquantes dans différents contextes - Mesure manquante d’un segment d’une figure plane
77
En comparant les deux colonnes de la section « Concepts et attributs » de ce tableau, on
peut constater que les mêmes classes de figures planes sont étudiées aux deux niveaux
d’enseignement (triangles, quadrilatères, cercle), auxquelles on ajoute les polygones
réguliers au début du secondaire.
Quant aux attributs de ces figures, on retrouve l’apparition de nouveaux éléments
seulement dans l’étude de triangles : « segments et droites remarquables : bissectrice,
médiatrice, médiane, hauteur ».
En nous référant aux résultats de nos analyses réalisées dans les sections 3.4.1 et 3.4.2, nous
pouvons dire que l’ajout à la description des savoirs essentiels visés pour l’enseignement
primaire des attributs tels que « hauteur », « diagonale », « corde », « nombre de côtés »,
« nombre d’axes de réflexion » et « congruence des côtés et des angles » permettra de la
préciser (car ces attributs font partie de l’étude de la géométrie au primaire) et de préparer
une base de connaissances nécessaires à l’enseignement de cette discipline au secondaire.
En regardant les colonnes de la section « Processus » au primaire, on peut supposer que les
processus tels que « Description du carré, du rectangle, du triangle, du cercle et du
losange », « Description des quadrilatères dont le trapèze et le parallélogramme »,
« Description des triangles » et « Classification des quadrilatères et des triangles » exigent
la mise en jeu des attributs de différentes figures planes étudiées au primaire. Cependant,
plusieurs de ces attributs sont absents dans la description. La connaissance de ces attributs
est nécessaire pour les démarches de « Constructions géométriques », de « Transformations
géométriques » et de la mesure de longueurs (périmètre et circonférence) et d’aire étudiées
au premier cycle de l’enseignement secondaire.
En regardant les résultats de nos analyses réalisées dans les sections 3.4.1 et 3.4.2, nous
pouvons dire que l’absence, dans le programme du primaire, de certains procédés de
construction des figures planes étudiées (« tracer des droites, des cercle, des segments,
trouver le milieu, reporter les mesures de côtés et d’angles »), ainsi que des outils de
construction (règle, équerre, compas) et l’absence de description de ces éléments aux
programmes du secondaire ne nous permet d’établir qu’un lien très superficiel entre les
descriptions de processus de deux niveaux de programmes.
78
3.6.3. Transformations géométriques
Tableau 14 Comparaison de descriptions (Transformations géométriques)
Primaire 1er cycle du secondaire
Concepts : Transformations géométriques
Frises et dallages Transformations géométriques
Figures isométriques - Mêmes mesures Translation - Flèche de translation (direction, sens, longueur) Réflexion - Axe de réflexion - Figures symétriques
Figures isométriques et semblables
Processus
- Observation et production de régularité à l’aide de figures géométriques (2e cycle) - Observation et production (grilles, papier calque) de frises par réflexion : réflexion, axe de réflexion (2e cycle) - Observation et production de dallages à l’aide de la réflexion (2e cycle) - Observation et production (grilles, papier calque) de frises par translation : translation, flèche de translation (longueur, direction, sens) (3e cycle) - Observation et production de dallages à l’aide de la translation (3e cycle)
Transformations géométriques Translation, rotation, réflexion Homothétie de rapport positif
Puisque la description des attributs du concept de transformations géométriques est absente
au secondaire et que la description de processus ne précise pas les processus nécessaires
permettant d’effectuer ces quatre transformations, nous ne trouvons pas de liens explicites
entre ces deux descriptions. Le seul lien qu’il est possible d’établir entre les données de
deux colonnes concerne le savoir « Figures isométriques ».
79
3.6.4. Mesure
Tableau 15. Comparaison de descriptions (Mesure)
Primaire 1er cycle du secondaire
Concepts : Mesure
Angle - Angle aigu, droit, obtus (2e cycle) - Degré (3e cycle) Longueur - Dimensions d’un objet (1er cycle) - Unités non conventionnelles (1er cycle) - Périmètre (2e cycle) - Unités conventionnelles : m, dm, cm (1er cycle), mm (2e cycle), km (3e cycle) - Relations entre les unités de mesure Surface - Aire
- - Unités non conventionnelles : (2e cycle) - - Unités conventionnelles : - m², dm², cm² (3e cycle)
- Relations entre les unités de mesure
- Angle et arc en degrés - Longueur - Périmètre, circonférence - Aire, aire latérale, aire totale - Choix de l’unité de mesure pour les longueurs ou les aires - Relations entre les unités de longueur du SI - Relations entre les unités d’aire du SI
Processus
Angles - Estimation et mesurage - Comparaison d’angles (2e cycle) Longueurs - Estimation et mesurage - Comparaison, construction de règles (1er cycle) - Calcul du périmètre (2e cycle) - Relations entre les unités de mesure (2e et 3e cycle) Aires - Estimation et mesurage - Relations entre les unités de mesure (3e cycle)
Recherche de données manquantes • Angles - Mesures manquantes dans différents contextes • Longueurs - Périmètre d’une figure plane - Circonférence d’un cercle et longueur d’un arc - Périmètre d’une figure provenant d’une similitude - Mesure manquante d’un segment d’une figure plane • Aires - Aire de polygones décomposables en triangles et en quadrilatères - Aire de disques et de secteurs - Aire de figures décomposables en disques, en triangles ou en quadrilatères
En comparant les deux descriptions, on peut voir que pour le concept d’angle, nous avons
les mêmes savoirs (mesure en degrés) en plus de l’apparition d’un nouveau concept au
secondaire : mesure d’arc en degrés, ce qui semble logique du point de vue de la
progression des apprentissages.
Pour le concept du périmètre, qui est aussi étudié aux deux niveaux, les descriptions de la
démarche sont absentes, ce qui nous ne permet d’analyser ni les démarches envisagées ni la
80
progression des apprentissages.
On remarque aussi que l’étude de la mesure des surfaces au primaire peut être associée à
l’aire au niveau secondaire. Toutefois, aucun processus permettant de développer ce
concept n’est présent dans le programme du primaire.
L’analyse des manuels du primaire montre que l’étude de la mesure des surfaces est centrée
sur le passage des unités non conventionnelles aux unités carrées et sur l’élaboration de la
formule d’aire du rectangle. Cette démarche est en lien avec le domaine de nombres. Pour
la figure telle que le triangle, la démarche permettant d’élaborer la formule emploie deux
contextes (papier quadrillé et uni) et est proposée de façon institutionnalisée sans faire objet
de la recherche et de comparaison des aires du triangle à celle du rectangle.
L’enseignement de la démarche de recherche d’aire des polygones particuliers et du cercle
au secondaire est en lien avec la géométrie, les propriétés géométriques des figures et la
décomposition des figures en polygones dont on connaît la formule d’aire (triangles et
rectangles).
Cette démarche doit s’appuyer sur l’exploration des outils tels que les Tangrams, qui
permettent de composer les polygones de figures simples : triangle, carré, rectangle,
parallélogramme et ensuite de « voir » ces figures (ou d’évoquer la décomposition) du
polygone quelconque. Sans cet appui, l’apprentissage de ces concepts passe aussi par la
voie de l’institutionnalisation. Cependant, on sait que la mémorisation des formules ne
garantit pas la réussite dans la démarche de résolution de problèmes qui font appel à la
visualisation, à la reconnaissance des figures dans la figure complexe ou à l’évocation des
figures qui peuvent constituer la figure initiale.
À partir de cette analyse nous ne pouvons donc pas identifier les liens entre les processus
travaillés aux deux niveaux analysés : le primaire et le début du secondaire.
La démarche pour trouver l’aire latérale des solides, quant à elle, fait référence au processus
de développement des solides. Si pour les prismes et les pyramides (ou polyèdre
quelconque) il y a une correspondance « parfaite » entre les faces du polyèdre et la figure
représentant son développement, la recherche d’aire latérale (ou totale) de deux corps ronds
(cône et cylindre) doit s’appuyer sur l’exploration de leurs surfaces afin de construire une
image physique, graphique et mentale de figures planes constituant leurs développements.
81
3.7. Conception d’une nouvelle description
En nous appuyant sur les théories étudiées, nous présentons les modifications nécessaires
permettant de préciser les descriptions actuelles des savoirs mathématiques des deux
programmes.
Le but de cette étape est de rendre la description des savoirs claire et pertinente du point de
vue mathématique (présence des attributs nécessaires afin de développer chacun des
concepts géométriques) et du point de vue didactique (présence de différents processus
mentaux et physiques permettant de découvrir progressivement les attributs de chacun des
concepts géométriques et de les appliquer afin de construire le concept).
82
Tableau 16. Proposition de la section : Solides
83
Tableau 17. Proposition de la section : Figure planes
84
85
86
87
Tableau 18. Proposition de la section : Transformation géométriques
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Tableau 19. Proposition de la section : Mesure
91
92
93
4. CONCLUSION
Dans cette conclusion, en reprenant les objectifs de la recherche, nous voulons souligner les
principales étapes de notre démarche et les résultats obtenus. Nous précisons les apports et
les limites de la recherche et terminons en ouvrant sur les suites qui pourraient lui être
données.
4.1. Objectifs et résultats de la recherche
La transition entre l’école primaire et l’école secondaire provoque un déséquilibre chez
certains élèves, qui s’adaptent difficilement aux nouvelles règles de fonctionnement
qu’impose l’école secondaire. Les difficultés vécues par des ces élèves et leurs faibles
performances suscitent l’intérêt constant des chercheurs à étudier la période de la transition
pour mieux comprendre ce phénomène (Larose et al., 2006; Carter et al., 2005; Stevens,
Wineburg, Herrenkohl et Bell, 2005; Otis et al, 2005; Toping, 2003; Zeedyk et al., 2003;
Mizelle et Irvin, 2000; etc.).
Plusieurs facteurs liés au contexte de l’école et de la famille peuvent influencer la réussite
ou l’échec de cette période de transition. Parmi ces facteurs, nous avons retenu celui lié à
l’absence de continuité entre les pratiques pédagogiques du primaire et du secondaire due à
la présence de différences entre les structures curriculaires des deux niveaux. En effet, les
structures curriculaires étaient avancées par certains auteurs (De Kessel, Dufays et
Meurant, 2012, Larose et al., 2006; Bednarz et al. 2009; Toping, 2003) comme étant
susceptible d’être à la source des difficultés de transition scolaire chez les élèves. Nous
avons donc choisi d’explorer davantage cette avenue.
Notre recherche est une contribution à ce domaine de recherche, car il n’existe aucune
étude qui analyse des liens entre les deux programmes d’études des mathématiques des
écoles primaire et secondaire. L’objectif d’étudier la correspondance entre les exigences
mathématiques de deux programmes a orienté et guidé notre projet de la recherche.
Plusieurs cadres théoriques nous ont servi pour effectuer cette étude : les stades de
développement de l’enfant (Piaget 1955, Piaget et Inhelder, 1973), la théorie des champs
conceptuels (Vergnaud, 1991), la théorie des niveaux de développement de la pensée
94
géométrique (van Hiele, 1959), l’analyse des difficultés des élèves en géométrie (Ekimova,
2005; Boublil-Ekimova, 2010a) et les critères d’analyse des programmes mathématiques
(Boublil-Ekimova, 2010b).
L’étude des travaux de Piaget nous a permis de faire ressortir qu’un seul stade du
développement correspond à la période de transition qui nous intéresse dans ce projet. Il
faut donc faire des liens entre les concepts et les processus visés à ces deux niveaux
scolaires.
L’étude de ces niveaux scolaires nous a permis d’analyser les descriptions actuelles des
savoirs essentiels des deux programmes mathématiques et de décrire la progression des
activités nécessaires à mettre en œuvre pour développer les concepts géométriques.
La démarche méthodologique que nous avons utilisée est complexe et se compose de sept
étapes. Il s’agit d’une démarche originale, jamais utilisée dans les recherches en didactique
des mathématiques.
À la première étape de cette démarche, nous avons réorganisé la forme de la description des
savoirs essentiels du programme de mathématique du primaire afin de la rendre compatible
et comparable avec celle du programme du secondaire.
À la seconde étape, en nous appuyant sur le modèle de Vergnaud (1991), nous avons décrit
chacun des concepts géométriques selon ses attributs et ses différentes représentations
(graphiques et discursives). Certaines de ces représentations nous indiquent les activités qui
mettent en jeu leur construction et, par conséquent, participent au développement du
concept.
À l’étape suivante, nous avons décrit ces mêmes concepts selon la théorie du
développement de la pensée de van Hiele (1959/1984). Ceci nous a permis de relier les
concepts aux différents processus et de voir l’évolution de la pensée dans la construction
des concepts selon les différents niveaux de pensée proposés par cette théorie.
Lors de la quatrième étape, nous avons analysé la section « géométrie » du programme
mathématique du primaire à l’aide des critères élaborés par Boublil-Ekimova (2010b).
L’utilisation de ces critères nous a permis d’analyser la pertinence des descriptions
actuelles d’un point de vue mathématique et didactique.
95
À la cinquième étape, nous avons appliqué la même démarche qu’à l’étape 4, mais cette
fois-ci pour la section « géométrie » du programme de mathématique du secondaire.
Nous avons comparé, à la sixième étape, les descriptions initiales de deux programmes
(MELS, 2002 et MELS, 2003) afin d’établir des liens ou d’identifier les éléments
problématiques entre les deux descriptions.
Cette démarche a permis de constater qu’il y a des incohérences importantes dans la
description des savoirs essentiels des deux programmes. On peut supposer que le manque
de continuité entre les deux programmes et le manque de clarté dans la description des
savoirs peut avoir des incidences sur les pratiques pédagogiques et, par conséquent, sur
l’apprentissage et la réussite des élèves.
Ces incohérences révèlent l’importance de la septième étape de cette recherche. Dans cette
dernière étape, nous proposons une nouvelle description des savoirs essentiels en termes de
concepts et de processus visés aux quatre cycles d’enseignement (trois cycles du primaire et
un cycle du secondaire). Les descriptions présentées sous forme de tableaux permettent
d’observer la progression selon le cycle d’enseignement dans le développement de chaque
concept géométrique et dans l’emploi de mêmes processus (mentaux et physiques) :
observation, représentation, comparaison, description, classification, construction et
mesure.
4.2. Limites de la recherche
L’examen de la validité et du potentiel de transfert des résultats obtenus dans cette
recherche peut susciter quelques interrogations. En effet, le programme de mathématique,
que ce soit au primaire ou au secondaire, ne se restreint pas seulement à une section de
géométrie. L’absence d’analyse et de proposition pour les autres sections des programmes
représente ainsi une limite de ce travail. Cette limite s’explique par l’ampleur du travail,
qui ne pouvait pas être réalisé dans le cadre d’un projet de maîtrise. Le choix du domaine
n’a pas été fait au hasard. Nous avons voulu profiter de l’expertise de notre directrice de
recherche et de ses travaux.
Par ailleurs, il est important de mentionner qu’il nous a été difficile de tracer une ligne de
partage entre ce qui devait être appris à la fin du troisième cycle du primaire et les
96
apprentissages visés au premier cycle du secondaire. L’âge qu’ont les enfants à ce moment
fait en sorte qu’ils se trouvent au même stade du développement de l’enfant (stade des
opérations concrètes, 11-12 ans, 6e année/secondaire 1), selon la théorie de Piaget (1941-
1979), et du développement de la pensée géométrique (niveau 2 : relationnel/abstraction),
selon la théorie de van Hiele (1959/1984). Nous nous sommes donc aussi référés au
découpage des contenus proposés par les programmes.
4.3. Apports et perspectives de la recherche
Malgré les limites de cette recherche, il est également possible de dégager des apports et de
proposer quelques avenues qui permettraient de poursuivre ce travail.
En nous intéressant aux difficultés vécues par certains élèves lors de la transition scolaire et
aux raisons qui permettraient de les expliquer, nous avons aussi voulu contribuer à la
qualité de l’enseignement de la géométrie et des apprentissages des élèves. Ainsi, ce travail
offre à la communauté scientifique une première recherche d’analyse et de comparaison des
programmes scolaires. Il fournit un meilleur support aux enseignants quant à la progression
des apprentissages visés en géométrie. Les propositions faites dans cette recherche assurent
aussi une continuité lors de la transition scolaire entre l’école primaire et secondaire.
La démarche entreprise par cette recherche permet de justifier la poursuite des travaux en
vue d’analyser les sections restantes des deux programmes (arithmétique, statistique et
probabilité) pour en arriver à une analyse complète, qui permettrait de faire des
propositions afin de préciser la description des savoirs des programmes actuels. Ce travail
fournit déjà certains cadres théoriques qui pourront être appliqués à tous les domaines
mathématiques (Vergnaud, 1991; Boublil-Ekimova, 2010b) et la démarche à suivre afin d’y
arriver.
97
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ENSEMBLES DIDACTIQUES
Enseignement au primaire
Lacasse, C. (2000). Allegro, mathématique 1er cycle, Éditions CEC, Anjou, Québec. Lacasse, C. (2002). Adagio, mathématique 2e cycle, Éditions CEC, Anjou, Québec.
Lacasse, C. (2004). Presto, mathématique 3e cycle, Éditions CEC, Anjou, Québec.
Charest, D. et autres (2001). Clicmaths, 1er cycle du primaire, Éditions Grand Duc – HRW
101
Charest, D. et autres (2002). Clicmaths, 2e cycle du primaire, Éditions Grand Duc – HRW.
Charest, D. et autres (2003). Clicmaths, 3e cycle du primaire, Éditions Grand Duc – HRW.
Lyons, M., Lyons, R. (2004). Défi mathématique, 1er cycle, Les Éditions de la Chenelière inc.
Lyons, M., Lyons, R. (2003). Défi mathématique, 2e cycle, Les Éditions de la Chenelière inc.
Lyons, M., Lyons, R. (2005). Défi mathématique, 1e cycle, Les Éditions de la Chenelière inc.
Enseignement au secondaire
Beaulac, Constant, Gallini (1990). Mathématique (exercices et résolution de problèmes), 1 secondaire, Éditions de l’Équilibre, Notre-Dame-de-l’Il-Perrot, Québec.
Beaulac, Constant, Gallini (1990). Mathématique (exercices et résolution de problèmes) 2 secondaire, Éditions de l’Équilibre, Notre-Dame-de-l’Il-Perrot, Québec.
Buzaglo, C. et Buzaglo, G. (2004) Mathematiques 3000: secondaire, premier cycle: cahier d'exercices vol. 1, Éditeur : Guérin.
Cadieux, R., Gendron, I., & Ledoux, A. (2005). Panoram@th : Anjou : Les Éditions CEC.
Coupal, M., Moreault, F., & Rouleau, É. (2005). À vos maths! Montréal : Graficor Chenelière Éducation.
Guay, S., Hamel, J.-C., & Lemay, S. (2005). Perspective mathématique. Laval : Éditions Grand Duc - HRW. CRD.Secondaire.
Guides, dictionnaires, lexiques
Baruk, S. (1992). Dictionnaire des mathématiques élémentaires, Paris : Seuil.
Beauregard, M., (1990). Lexique mathématique pour l’élève, Éditions FM, Laval, Québec.
Champoux, G. et L. Gameau. (1992). Mathématique 6, LIDEC inc.
Côté, R., Gagnon, M., Perreault, N. et X. Roegiers. (2002). Leximath : lexique mathématique de base, Laval (Québec) : Beauchemin.
De Champlan, D., Mathieu, P., Patenaud, P., Tessier, H. (1996). Lexique mathématique: enseignement secondaire, Beauport : Les Éditions du Triangle d’Or.
Vincent, J.-F. (1994). Lexique mathématique à l’usage des étudiants et des étudiantes, Éditions : Guérin, Montréal/Toronto.
Ressources en ligne
Alloprof. Bibliothèque virtuelle, en ligne, http://alloprof.qc.ca/BV/Pages/accueil-bv.aspx
Hanson, D. Le lexique élémentaire, en ligne, http://mathcentral.uregina.ca/fRR/lexique/ elementaire/index.html
102
ANNEXE 1
103
104
ANNEXE 2
105
106
ANNEXE 3
Solides
Tableau 20. Description du concept des solides
Concept et attributs Représentations
Physiques et graphiques Langagières
Solide
- Le solide est une figure d’espace (un corps) délimitée par une ou plusieurs faces.
Forme convexe - Un polyèdre convexe est un solide dont tous les segments joignant deux points quelconques de ce solide passent à l’intérieur du solide.
concave - Un polyèdre concave est un polyèdre qui n’est pas convexe. C’est un solide dont au moins un segment joignant deux de ses points quelconques passe à l’extérieur de la figure.
tronqué - Solide dont la(les) partie(s) a(ont) été scindée(s) par une surface plane.
polyèdres
- Les solides ayant seulement des surfaces planes sont des polyèdres. Leurs faces sont des polygones. (Le préfixe « poly- » signifie « plusieurs » et suffixe «-èdre » veut dire «face»).
- Les prismes et les pyramides sont les polyèdres.
109
Concept et attributs Représentations
Physiques et graphiques Langagières
Base/Surface
latérale
- Un prisme possède 2 bases représentées par un couple de polygones congrus et parallèles.
- Un prisme peut être triangulaire, quadrangulaire, pentagonal, etc., selon sa base. Chaque couple de faces parallèles d’un prisme à base rectangulaire peut être considéré comme des bases.
- Une pyramide possède 1 base (polygone quelconque).
- Les bases du cône et du cylindre sont des disques.
- Le terme latéral désigne tout ce qui est « autre que la base ».
Développement
- Le développement d’un solide appelé souvent un patron représente un ensemble de figures planes qui, après pliage, permet de fabriquer ce solide sans superposition de deux faces.
- Le développement d’un solide permet de bien voir de quelles figures planes est constituée sa surface.
Relation d’Euler
- La relation d’Euler est une formule montrant un lien entre le nombre de faces, de sommets et d’arêtes dans un polyèdre convexe ou concave :
- S+F-2=A (nombre de Sommets + nombre de Faces - 2 = nombre d'Arêtes).
Hauteur
- La hauteur d’un solide droit est une distance soit entre deux bases d’un solide (prisme, cylindre) ou entre le sommet opposé à la base (pyramide, cône) et la base.
- Pour un prisme droit, il s’agit de la longueur de l’arête. Pour un cône droit, il s’agit de la longueur du segment de droite issu d’un sommet et perpendiculaire à sa base.
Apothème
- L’apothème d’une pyramide droit est la distance du sommet à une des arêtes de sa base. (Il s’agit de la médiatrice du triangle constituant la face d’une pyramide).
- Dans le cas du cône, il s’agit de la distance du sommet à un point du cercle qui constitue sa base.
110
Processus :
Classification
Représentations
Physiques et graphiques Langagières
Forme de faces (début d’apprentissage)
Outil : diagramme de Venn
- Les solides ayant seulement « des surfaces planes » sont des polyèdres. (Exemple : prismes, pyramides, etc.).
- Les solides ayant au moins une surface courbe sont des corps ronds (Exemple : cône, cylindre, boule, etc.)
- Le cône et le cylindre possèdent deux types de faces : plane et courbe (intersection de deux régions). La boule a seulement une surface courbe (région droite).
Forme de faces (début d’apprentissage)
Outil : diagramme de Carroll
- Les prismes et les pyramides sont composés seulement de faces planes.
- Le cône et le cylindre possèdent deux types de faces : plane et courbe.
- La sphère possède une face courbe.
Nombre de faces
1 face 2 faces 3faces
4 faces 5 faces
6 faces
- 1 face : boule - 2 faces : cône - 3 faces : cylindre - 4 faces : pyramide à base triangulaire - 5 faces : pyramide à base carré, prisme à
base triangulaire - 6 faces : cube, prisme à base rectangulaire,
prisme à base carré, pyramide à base pentagonale Etc.
Forme de faces
Outil : diagramme à branches
- Les solides sont divisés en 2 grandes catégories (corps ronds et polyèdres).
- Les corps ronds ont au moins une face courbe.
- Les polyèdres (prismes et pyramides) possèdent seulement des faces planes.
111
Processus :
Classification
Représentations
Physiques et graphiques Langagières
Forme de faces, faces congrues
Ou
til : diagramme de Venn
- Les solides sont divisés en 2 grandes catégories (corps ronds et polyèdres).
- Les corps ronds ont au moins une face courbe.
- Les polyèdres (prismes et pyramides) possèdent seulement des faces planes.
- Les polyèdres composées de faces congrues sont appelés polyèdres réguliers.
Forme de faces
Outil : diagramme à branches
- Les solides sont divisés en 2 grandes catégories (corps ronds et polyèdres).
- Les corps ronds ont au moins une face courbe.
- Les polyèdres (prismes et pyramides) possèdent seulement des faces planes.
Figures planes
Tableau 21. Description du concept des figures planes
5 Il n’est pas nécessaire pour ce concept d’entrer dans les définitions ni au niveau primaire, ni au 1 cycle du secondaire. On peut rester au niveau descriptif et explicatif. 6 Définition naïve (acceptée pour l’enseignement primaire).
Concept et attributs Représentations
Physiques et graphiques Langagières
Lig
nes
droite/courbe - Lorsqu’on parle d’une ligne droite5, on pense à la ligne d’horizon. On peut la tracer à la règle. La ligne droite est illimitée dans les deux sens. On ne peut pas la mesurer.
- Elle peut être représentée par un tracé horizontal, vertical ou oblique.
- Si la ligne n’est pas droite (ou composée de segment de droite), elle est courbe6.
112
Concept et attributs Représentations
Physiques et graphiques Langagières
Lig
nes (
suite
)
fermée/ouverte
- Pour une ligne fermée, aucune des extrémités n’est libre. (a et c sont fermées).
- Pour une ligne ouverte, au moins une extrémité est libre. (b, d et e sont ouvertes).
simple/non-simple
- Une ligne simple n’a pas de croisement. (a, c et d sont simples).
- Une ligne non simple possède au moins une intersection. (b et e sont non-simples).
segment
- Un segment est une portion de droite délimitée par deux points, appelés extrémités du segment.
segm
ent
milieu
- Le milieu d'un segment est un point qui est situé à égale distance des extrémités de ce segment.
médiatrice
- Droite perpendiculaire à un segment qui passe par le milieu de ce même segment.
Rel
atio
ns e
ntre
deu
x dr
oite
s
sécantes
- Deux droites sont sécantes si elles se coupent en un seul point. Les droites d1 et d2 sont sécantes en O.
- O est le point d'intersection des deux droites d1 et d2
- d1 d2=O O∈d1 et O∈d2.
perpendiculaires
- Deux droites sont
perpendiculaires si elles se coupent à angle droit (90 degrés).
- Les droites d1 et d2 sont perpendiculaires en O.
- d1 ⊥ d2.
117
Concept et attributs Représentations
Physiques et graphiques Langagières Q
uadr
ilatè
res :
ca
rré,
rect
angl
e, lo
sang
e,
para
llélo
gram
me,
trap
èze
(sui
te)
angles (congrus)
- 4 angles congrus : carré, rectangle. - 2 paires d’angles congrus : losange,
parallélogramme, trapèze isocèle.
diagonales
- Se coupent en leur milieu : carré, losange, rectangle, parallélogramme.
- Congrues : carré, rectangle. - Perpendiculaires : carré, losange.
Cer
cle
forme - Courbe fermée dont chaque point est situé à égale distance d’un point intérieur appelé centre.
- Ensemble des points situés à la même distance du centre.
rayon
- Distance entre le centre et tout point du cercle (tous les rayons sont congrus).
- Segment reliant le centre avec le point quelconque du cercle.
- Ouverture du compas.
corde
- Segment de droite qui joigne deux points du cercle.
diamètre
- Axe de symétrie (infinité). - Plus longue corde du cercle. (Tous les
diamètres sont congrus). - Corde passant par le centre (D = 2R).
centre
- Point d’intersection des axes de symétrie. - Point d’intersection des diamètres. - Milieu de la plus longue corde (milieu du diamètre). - Point équidistant du cercle (contour) ou
de tout point du cercle.
118
Concept et attributs Représentations
Physiques et graphiques Langagières C
ercl
e (s
uite
)
angle au centre
- Le sommet est au centre du cercle, les côtés sont des rayons du cercle.
- Dans un cercle l’angle au centre = 360º (un tour complet).
arc
- Partie du cercle.
disque
- Région (surface) intérieure du cercle.
secteur circulaire
- Partie du disque limitée par deux rayons.
Polygone inscrit dans un cercle (cercle circonscrit)
- Les sommets du polygone sont sur le cercle.
Cercle inscrit dans un polygone (polygone circonscrit)
- Les côtés du polygone sont des tangentes.
121
Processus Représentations
Classification physiques et graphiques langagières
Triangles Outil : diagramme de Carroll, à branches, de Venn
- Le triangle isocèle et le triangle scalène peuvent être acutangles, rectangles ou obtusangles.
- Le triangle équilatéral est isocèle (possède 2 côtés congrus) et toujours acutangle (3 angles aigus).
Quadrilatères Outil : diagramme de Carroll, à branches, de Venn
Définitions : Le carré est un quadrilatère ayant - 4 côtés congrus et 4 angles droits; - diagonales congrues, se coupent en
leur milieu et perpendiculaires. Le rectangle est un quadrilatère ayant - 4 angles droits; - diagonales congrues, se coupent en
leur milieu. Le losange est un quadrilatère ayant - 4 côtés congrus; - diagonales perpendiculaires et se
coupent en leur milieu. Le parallélogramme est un quadrilatère dont - les côtés opposés sont parallèles; - les côtés opposés sont congrus; - les diagonales se coupent en leur
milieu). Le carré est un rectangle (possède 4 angles droits), un losange (possède 4 côtés congrus), un parallélogramme (possède 2 paires de côtés parallèles) et un trapèze (possède 1 paire de côtés parallèles).
Le rectangle est un parallélogramme (possède 2 paires de côtés parallèles) et un trapèze (possède 1 paire de côtés parallèles).
Le losange est un parallélogramme (possède 2 paires de côtés parallèles) et un trapèze (possède 1 paire de côtés parallèles).
Le parallélogramme est un trapèze (possède 1 paire de côtés parallèles).
122
Transformations géométriques
Translation
Tableau 22. Description du concept de translation
Concept et attributs Représentations
Physiques et graphiques Langagières
Translation (mouvement)
- La translation est un déplacement (glissement) d’un objet géométrique dans une direction constante dans un plan.
Flèche de translation
- Une flèche de translation AA’ indique une direction (horizontale), un sens (vers la droite) et une longueur (3,81 cm) du déplacement.
- Une direction (celle de la droite qui la supporte). Elle peut être horizontale, verticale, oblique.
- Un sens (celui qui va de l’origine à l’extrémité, l’orientation d’une flèche). Le sens peut être vers le haut, vers le bas, vers la gauche ou vers la droite.
- En général, ces deux attributs de la flèche sont utilisés par des manuels de deux façons : rose des vents (sud, nord, ouest, est, S-E, S-O, N-E, N-O) et heure (verticale -12h, 18h; horizontale - 15h, 21h; oblique - 1h30, 16h30, 19h30, 10h30).
- Une longueur (mesure de déplacement). La longueur de la flèche de translation influence la distance du déplacement.
3,81 cmt
A
B
C
A'
B'
C'
125
Concept et attributs Représentations
Physiques et graphiques Langagières A
xe d
e ré
flexi
on
hauteur
Exemples : triangle isocèle, polygones réguliers dont le nb. de côtés est impair. (La hauteur est la droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet).
médiane
La médiane est une droite qui passe par : - le sommet d’un polygone et le milieu de
son côté opposé (triangle isocèle et polygones réguliers dont le nb. de côtés est impair)
- les milieux des côtés opposés (polygones réguliers dont le nb. de côtés est pair et autres).
diagonale
Exemple : carré, losange, diagonales reliant les sommets opposés de polygones réguliers dont le nb. de côtés est pair. (La diagonale d'un polygone est un segment reliant deux sommets non consécutifs).
Nombre d’axes
- 4 axes : carré - 3 axes : triangle équilatéral - 2 axes : losange, rectangle, - 1 axe : triangle isocèle trapèze isocèle, - Infinité d’axes : cercle * polygone régulier (nb d’axes = nb de côtés)
126
Processus Représentations
Construction Physiques et graphiques Langagières
Axe Deux figures symétriques sont données (initiale et image). Démarche : Relier les points correspondant, trouver le milieu et tracer la droite perpendiculaire passant par le milieu.
La moitié de la figure (début d’apprentissage, support : modèle physique (la moitié de la figure))
Démarche : Pour reconstituer la figure, il faut tracer le contour du modèle, retourner la figure selon la coupe, tracer le contour. (On obtient la figure symétrique par le retournement de sa moitié selon la coupe).
La moitié de la figure (début d’apprentissage, support : papier quadrillé)
Démarche : Pour reconstituer la figure il faut :
- prolonger les bases en reportant les mêmes longueurs (le même nombre d’unités);
- relier les extrémités de segments.
Figure image (début d’apprentissage, support : papier quadrillé)
La figure initiale et l’axe sont donnés. Démarche : mesurer (compter le nombre d’unités) les segments (du sommet à l’axe), reporter les mesures, tracer des segments correspondants.
La moitié de la figure (construction au niveau intermédiaire, papier blanc)
Démarche : Pour reconstituer la figure il faut tracer les , mesurer les segments (du sommet à l’axe), reporter les mesures sur les perpendiculaires tracées, relier par des segments les points correspondants.
Figure image (emploi du plan cartésien)
La figure initiale et le plan cartésien sont donnés. a) même démarche que précédente (avec les traces ou sans). b) identifier les coordonnées des sommets (couple de nombres correspondant à la position d’un point dans le plan cartésien (x, y). ou Démarche : L’élève trouve les coordonnées des sommets de la figure. Ensuite : - Si la symétrie se fait par rapport à
- l’axe des abscisses, alors les coordonnées (x,y) deviennent (x,−y).
- l’axe des ordonnées, alors les coordonnées (x,y) deviennent (−x,y).
127
Processus Représentations
Construction Physiques et graphiques Langagières
Figure image (emploi des attributs, des outils et de procédés de construction, support : papier blanc)
La figure initiale et l’axe sont donnés Démarche : Tracer les droites perpendiculaires à l’axe passant par les sommets de la figure, mesurer les distances, reporter les mêmes mesures sur les droites tracées de l’autre côté de l’axe.
Axe
Deux figures symétriques sont données (initiale et image). Démarche : Relier les points correspondant, trouver le milieu et tracer la droite perpendiculaire passant par le milieu.
Rotation
Tableau 24. Description du concept de rotation
Concept et attributs Représentations
Physiques et
graphiques
Langagières
Rotation (mouvement)
1. - La rotation est un pivotement de la figure.
Rotation (définition) - La rotation est un déplacement de la figure autour d’un point fixe appelé centre de rotation et selon un angle de rotation.
128
Concept et attributs Représentations
Physiques et
graphiques
Langagières
Centre de rotation
- Point qui se trouve à égale distance des points correspondants de deux figures (initiale et celle obtenue par rotation).
Centre de rotation
- Centre du cercle sur lequel se trouvent 2 points correspondants (initial et image).
Centre de rotation
- Point d’intersection des médiatrices des segments reliant les points correspondants.
Angle de rotation
- Angle entre deux segments reliant le centre de rotation et les points correspondants Ex. : angle droit = ¼ de tour (90°).
Sens - Le sens positif de rotation est le sens antihoraire.
Processus Représentations
Construction Physiques et graphiques Langagières
Figure image (au début d’apprentissage, support : modèle physique de la figure ou papier calque)
- Démarche : Pour obtenir la figure image, il faut tracer le contour de la figure sur du papier calque, fixer le papier dans un point de rotation, pivoter le papier autour de ce point.
129
Processus Représentations
Construction Physiques et graphiques Langagières
Figure image (au niveau intermédiaire, support : papier quadrillé, angle de rotation : ¼, ½, ¾ de tour)
ou plan cartésien
La figure initiale, le centre et l’angle de rotation (¼, ½, ¾ de tour) sont donnés. Démarche : Pour obtenir la figure image, il faut trouver les points correspondants (repérer les points initiaux, à partir du centre reporter un angle donné, reporter les distances (même distance entre le centre et les points correspondants). Relier les points pour obtenir la figure image.
Rotation (construction visée)
La figure initiale, le centre et l’angle de rotation sont donnés. Démarche :
1. 1. Relier A au centre O. 2. 2. À partir de OA, reporter l’angle de x° (ex.100°).
3. À partir de O, reporter la mesure de OA sur la demi-droite tracée; nommer le point A’. 4. Répéter la démarche avec les points B et C.
Homothétie
Tableau 25. Description du concept de l’homothétie
Concept et attributs Représentations
Physiques et graphiques Langagières
Homothétie (agrandissement ou réduction)
- L’homothétie est une transformation géométrique qui agrandit ou réduit une figure en conservant la même forme.
Homothétie (mouvement + agrandissement ou réduction)
- L’homothétie est une transformation géométrique qui, en fonction d’un centre et du coefficient k (un rapport, un facteur), agrandit ou réduit une figure en conservant la mesure des angles et en gardant constant le rapport des mesures des côtés.
B'
B'B
B'
A
A'C'
A'
A'
C'
C'C
O
figure initiale
k=-1k=2
k=0.5
132
Concept et attributs Représentations
Physiques et graphiques Langagières
Estimation (concept) - L’évaluation des mesures est un jugement d’estimation des grandeurs.
- C’est un contrôle conceptuel sur le mesurage qui permet de répondre à plusieurs questions généralement implicites:
- quelle unité-étalon vais-je employer pour minimiser les efforts de mesurage?
- de quelle grandeur sera le résultat de mesurage si j’utilise cette unité-étalon?
- ce résultat peut-il être de cette taille ? - de quelle précision ai-je besoin pour estimer
telle grandeur ?
Mes
ure
de lo
ngue
ur
dim
ensi
ons
- Les dimensions d'un objet : longueur, largeur, profondeur, hauteur.
unité
s non
-co
nven
tionn
elle
s
- Différents objets (bandes de papier, bâtonnets, corde, etc.) peuvent être utilisés en tant qu’unités afin d’introduire l’élève au concept de mesure de longueurs.
- L’objectif visé : créer le besoin d’utiliser les mêmes unités (pour comparer les grandeurs), les unités plus petites et plus précises et les reporter avec précision.
unité
s co
nven
tionn
elle
s
- Les unités de mesure conventionnelles sont des unités définies et reconnues par tous.
- Les unités conventionnelles les plus utilisés pour mesurer sont les millimètres (mm), les centimètres (cm), les décimètres (dm), les mètres (m) et les kilomètres (km).
135
Concept et attributs Représentations
Physiques et graphiques Langagières M
esur
e de
surf
aces
(air
e) (s
uite
)
rect
angl
e, c
arré
, tria
ngle
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logr
amm
e, lo
sang
e, tr
apèz
e,
poly
gone
régu
lier
- A rectangle = a x b (a et b –mesure de côtés consécutifs).
- A carré= a² (a-mesure du côté).
- A triangle = 𝑎𝑏
2.
- A parallélogramme=b x h (b-mesure de la base, h-hauteur).
- A losange = 𝐷 𝑥 𝑑
2 (d et D –mesure de diagonales).
- A trapèze = 𝐵+𝑏
2ℎ.
- A polygone régulier = 𝑃 𝑥 ℎ
2 (P-périmètre, h-
apothème).
sect
eur
- A secteur = 𝜋𝑟² 𝑥 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟
360º.
Angle au centre (polygone régulier)
- La mesure d’angle au centre = 360°
𝑛 (n- nombre de
côtés du polygone régulier).
Somme des angles intérieurs d’un polygone
- La somme des angles intérieurs d’un polygone =
(n-2) x 180 °.
Somme des angles intérieurs d’un triangle
- La somme des angles intérieurs d’un triangle =
180°.
Angle au sommet (polygone régulier)
- La mesure de l’angle intérieur d’un polygone régulier de n côtés = (n−2)x180°
n .
c a
h
b
a
Parallélogramme
h
B b
h
b B
Trapèze
D
dc
Losange
cc
a c
b
h
A
B
C
A'
B'
C'
d
Carré
Triangle
cc
Carré
ba
Rectangle
139
Concepts et Processus
Représentations
Physiques et graphiques Langagières
Mes
ure
d’ai
re (s
uite
)
losa
nge
- Démarche : Découpage et recollement. En
découpant le losange en triangles et en décomposant les figures dont on connait la formule d’aire (triangle, parallélogramme, rectangle), on déduit la formule en faisant des associations entre les données.
- A losange = 𝐷 𝑥 𝑑
2 (d et D –mesure de diagonales).
trapè
ze
- Démarche : Découpage et recollement. En décomposant différents trapèzes soit en triangles, rectangles, et en additionnant les aires de ces figures, on obtient la formule de l’aire du trapèze :
- A trapèze = 𝐵+𝑏
2ℎ
disq
ue
a)
b) c)
Par approximation a) découpage, recollement, association à un parallélogramme, association entre les données : longueur du parallélogramme ½ circonférence, h R. b) On circonscrit un cercle à un petit carré et on l’inscrit dans un grand carré. En notant A l’aire du disque, A1 - l’aire du carré circonscrit à un cercle, A2 – l’aire du carré inscrit dans un cercle, l’inégalité suivante peut être établie : A2 A A1. - En exprimant l’aire de chacun des carrés en fonction de r : A1= (2r)2 = 4 r2 , A2 = 2r2 , on a 2r2 A 4r2. L’aire du disque peut être exprimée de façon suivante : A 3r2, ou plus exactement A = r2.
Par passage à la limite d’un polygone régulier inscrit dans un cercle. - Lorsque le nombre de côtés n augmente
indéfiniment, le contour d’un polygone régulier inscrit dans un cercle se confond en contour du cercle, son périmètre tend donc vers 2r (circonférence), et son apothème (a) tend vers r.
- L’aire du polygone régulier à n côtés A = ½ P • a (voir la page précédente), où a est l’apothème. A polygone régulier = ½ P • a A cercle= ½ C • r = ½ 2r • r = r².
140
Concepts et Processus
Représentations
Physiques et graphiques Langagières
Mes
ure
d’ai
re
(sui
te)
sect
eur
- Démarche : comparaison des aires (secteur vs disque) et l’établissement de rapports de proportionnalité (angle au centre vs. aire).
- Angle au centre = aire du secteur circulaire 360o aire du disque