CORRIGÉ En plein dans le mille! MAT-4161-2 (TS)

Par François Guay-Fleurent Juin 2016

Mise en situation

L’étude des t i rs de projecti le ne date pas d’hier. Que ce soi t pour les arcs à

f lèche, les catapultes ou le golf , l ’Homme a toujours voulu savoir où

atterri ront ses project i les.

C’étai t d’ai l leurs l ’un des objecti fs du Centre d'essais et d'expérimentation

des munit ions de Nicole t . Pendant 50 ans, ce centre a procédé à des essais

de t i rs d’obus directement dans le lac St-Pierre (f leuve St-Laurent) .

Pour en savoir plus :

Mais comment prévoi r la trajectoire des projecti les et ainsi pouvoir prédi re

où i ls f rapperont la cible?

Production finale attendue

Dans cette si tuation-problème, vous irez au laboratoire expérimenter un t i r

de projecti le soumis à une force gravitationnel le af in de réussir le déf i que

vous propose votre enseignant : viser une cible du premier coup grâce aux

mathématiques! Vous découvri rez en même temps de nouvel les fonctions

mathématiques très uti les à l ’étude de la bal ist ique.

2

Voici , pour la plupart des questions, des exemples de réponses possibles.

Chaque adulte aura des données di f férentes et probablemen t des

conclusions di f férentes. N’hésitez pas à consulter votre enseignant.

Étape 1 : la représentation du problème

Pour commencer, prenez le temps de rel i re la mise en

si tuation en portant une attention particul ière à la question

posée et au déf i qui vous est lancé. Surl ignez les

informations uti les et rayez cel les qui le sont moins.

1.1 Reformulez votre déf i dans vos propres mots.

Le déf i consiste à uti l iser les mathématiques pour deviner un point d’ impact

entre un projecti le et une cible.

1.2 Af in d’avoir une idée de l ’al lure naturel le de la trajectoire d’un projecti le,

complétez les dessins en poursuivant la trajectoire des objets suivants. La

f lèche représente la direction dans laquel le l ’objet est lancé.

a) Dessinez la trajectoire d’un botté de dégagement au soccer :

3

b) Dessinez la trajectoire d’une f lèche lancée horizontalement d’une

falaise :

1.3 Selon vos deux dessins précédents, est-ce le même type de trajectoire

qui s’appl ique au t i r d ’obus? Pourquoi?

Le premier dessin pourrai t bien représenter un t i r d’obus sur un

terrain plat, puisque tous les projecti les qui montent f inissent par

redescendre. Si le t i r d’obus est à l ’horizontal e du haut d’une falaise,

on aura aussi le même type de courbe.

1.4 Selon vous, est-ce possible de prédire la t rajectoire d’un projecti le?

Comment?

Oui, c’est exactement ce que fai t l ’armée. Cependant, i ls le

font avec des équipements très spécial isés que nous n’avons

pas ici à l ’école. Mais oui, je crois que c’est possible et c’est

clairement à l ’aide des mathématiques.

Consultez votre enseignant , au besoin, pour revenir sur cette section.

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Étape 2 : la planification de la résolution

Dans certaines si tuations-problèmes de votre cours de

modél isation algébrique e t graphique, dès le départ,

vous aurez parfois le modèle algébrique (la règle) .

D’autres fois, vous aurez seulement la représentation

graphique dans un plan cartésien pour commencer votre

résolution. Dans la présente si tuation -problème, vous n’avez ni l ’un, ni

l ’autre. C’est à vous de créer votre propre modèle algébrique et votre propre

représentation graphique à l ’aide des données que vous récolterez en

laboratoire.

Lorsque vous irez au laboratoire ou à l ’endroit désigné pour la col lecte de

données, votre enseignant vous remettra le matériel nécessai re pour relever

votre déf i . En voici une l iste :

Rampe de lancement

Cible

Project i le

Marqueur

Ruban à mesurer

Ordinateur ou tablette

Coroplaste

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Afin de simpl i f ier la si tuation, on vous recommande de t i rer votre projecti le

sans angle, c’est -à-di re en suivant une trajectoire horizontale (0 ⁰). De plus,

l ’ut i l isation d’un plan incl iné permet au projecti le d’avoir toujours la même

vi tesse ini t iale au point de départ du projecti le . Voici un schéma d’un

montage possible.

2.1 Ajoutez vos modif ications personnel les sur le croquis ci -dessus en

tenant compte des spécif ici tés de votre laboratoire et des ajustements que

vous voulez faire. Vous pouvez aussi refaire un nouveau schéma mieux

adapté à votre si tuation dans l ’espace ci -dessous.

Ajouts possibles selon le contexte.

d

h

Table Point de départ du

projectile

Point d’arrivée du

projectile

N.B. La cible sera placée sur

le support de cible qui lui,

est déplaçable.

De plus, le plan incliné sert

uniquement à lancer le

projectile toujours à la

même vitesse. L’expérience

débute réellement au Point

de départ du projectile.

Support

de cible

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2.2 Concevez votre plan d’action, c’est -à-di re fai tes une l iste des

principales étapes de votre prise de mesure au laboratoire . Les premières

étapes sont l istées à t i t re d’exemple.

Étapes Remarques

1. Prendre connaissance du matériel disponible S’assurer qu’ i l ne

manque rien

2. Mettre en place le montage. Bien f ixer le plan

incl iné.

3. Faire quelques essais, sans prise de mesure.

4. Trouver une façon de bien mesurer le point

d’ impact.

5. Commencer la col lecte de données avec la

cible près du point de départ. 3 essais par endroits

6. Noter les résultats dans un tableau. Dans Excel

7. Poursuivre en éloignant le support à cible.

8. Ranger le matér iel.

Autres plans possibles.

2.3 Quel le sera votre variable indépendante et votre variable dépendante?

Variable indépendante : la distance entre le point de chute et le support à

cible.

Variable dépendante : la hauteur du point d’ impact du projecti le.

2.4 Concevez le tableau des résultats qui vous sera uti le lors de votre prise

de mesures . Notez bien qu’un minimum de trois essais par distance est

fortement recommandé af in de diminuer le r isque d’erreurs possibles sur la

mesure. (Consei l à la page suivante.)

7

Concevez ce tableau directement dans un tableur (ex. :

Excel). I l pourra vous servi r de table de valeurs. Si, pour

l ’ instant, vous n’avez pas encore accès à un ordinateur,

préparez votre tableau des résultats sur une feui l le

mobi le. Vous pourrez copier les données dans un tableur plus tard.

2.5 Quel les méthodes ou stratégies al lez-vous uti l iser pour être préc is dans

votre prise de mesure?

Idéalement, je trouverais un moyen pour que le projecti le

laisse une marque sur la cible. I l sera alors plus faci le, après

l ’ impact, de mesurer la hauteur. Sinon, je peux avoir un

pointeur dans les mains et le tenir tout prè s du point d’ impact.

Suite à l ’ impact, je pointerai l ’endroi t de l ’ impact, fer ai une marque et je

mesurerai la hauteur.

2.6 Pensez-vous pouvoir procéder à la prise de mesure en étant seul?

Sinon, que pourriez-vous faire?

Oui, mais à deux, ça irai t mieux.

Je pourrais demander à un col lègue de classe de venir m’aider.

La précision dans la prise de mesure :

La précision des mesures est importante lors d’une collecte de données.

Cependant, il faut aussi apprendre à vivre avec l’incertitude.

De plus, il faut minimiser les risques d’erreurs évitables, comme le

déplacement du plan incliné. Par contre, selon le montage utilisé, la prise

de mesures pourrait être difficile ou même être réalisée « à l’œil », causant

ainsi de légères incertitudes. L’important, c’est de faire de son mieux pour

être le plus précis possible avec le montage que l’on a, mais également de

tenir compte de cette incertitude dans les prédictions ou les conclusions.

Dans le cadre de cette situation d’apprentissage, on ne vous demandera

pas d’inclure une incertitude chiffrée, mais vous pouvez en discuter avec

votre enseignant si vous voulez en savoir davantage.

8

2.7 Votre déf i est de prédire l ’endroi t où le

projecti le touchera la cible en fonction de la

distance de cette cible . Une fois vos données

en main, quel les seront les prochaines étapes

af in de vous préparer à votre déf i? Ces étapes

sont le plan d’action global de résolution de la

situation-problème.

Étapes Remarques

1. Entrer les données dans un tableur, si ce n’est pas

déjà fait .

2. Créer un graphique en nuage de points.

3. Ajouter une courbe de tendance.

4. Ajouter l ’équat ion et le R² sur le graphique.

5. À l ’aide de cette équation, faire face au déf i proposé.

6. Contrevérif ier à l ’aide de la méthode graphique.

7. Réal iser le déf i.

8. Tirer des conclusions.

Autres plans possibles.

Consultez votre enseignant pour discuter de votre tableau des résultats et

de votre plan d’action. I l en prof i tera également pour amorcer l ’étape 3 avec

vous.

Un but sans plan est simplement

un souhait.

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Étape 3 : l’activation du plan d’action

C’est maintenant le temps d’al ler au laboratoire pour la

col lecte de données! Assurez-vous d’avoir tout le

matériel nécessaire en main af in que cette étape se

déroule promptement.

3.1 Procédez au montage de votre rampe de lancement et de votre cible.

Assurez-vous d’avoir un moyen eff icace pour noter l ’endroit où le projecti le

percute la cible. Lorsque tout sera en place, consul tez votre enseignant et

expl iquez-lui votre démarche si ce n’est pas déjà fai t . I l pourra vous donner

de précieux consei ls.

3.2 Prenez vos mesures et notez vos résultats dans votre tableau produi t

précédemment. Vous avez besoin de modif ier votre tableau? Pas de

problème, i l est normal d’ajuster sa démarche en cours de route.

3.3 Réal isez maintenant le reste de votre plan d’action global de résolution

de la si tuation-problème tout en gardant en tête votre déf i : viser une cible

du premier coup grâce aux mathématiques!

Avez-vous toutes les ressources pour y arr iver? C’est à

vous de vous les procurer. Comme on di t , la bal le est dans

votre camp.

Voir l ’enseignant pour les annexes .

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Étape 4 : la réflexion suite à la démarche

4.1 Votre modèle algébrique ou graphique créé à l ’étape précédente pourra-

t- i l vous aider à réussir votre déf i? Comment?

Oui, et i ls sont essentiels. En entrant une valeur de distance (d) dans mon

modèle algébrique, je trouverai une valeur de hauteur (h) correspondante. I l

y a une relation entre la distance du support à cible et la hauteur de

l ’ impact.

4.2 Votre modèle algébrique ou graphique peut-i l

être simpl i f ié? Consultez le document Astuce sur

l ’u t i l isation du tableur disponible auprès de votre

enseignant pour en savoir davantage.

Oui, selon le document, on peut le transformer en

y = ax² ou h = ad² .

4.3 Votre modèle algébrique ou graphique est - i l cohérent avec la si tuation?

Sinon, comment pourriez-vous le modif ier af in qu’ i l le soi t?

Oui, mais le sommet n’est pas exactement à la bonne place. Je dois

absolument le déplacer à (0,0).

Non, je dois contextual iser mes données. Je dois entrer la hauteur par

rapport à mon axe des x et non pas à parti r du sol. Ainsi , mon graphique

serai t plus représentati f de la réal i té.

4.4 Les unités de mesure employées sont -el les adéquates? Just i f iez votre

réponse.

Oui, el les offrent suff isamment de précisions .

Non, j ’aurais dû uti l iser les centimètres au l ieu des mètres.

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Maintenant, la réalisation du défi!

Retournez au laboratoire si vous n’y êtes pas déjà.

C’est le moment de véri té! En col laboration avec votre enseignant, placez le

support à cible à un endroit di f férent, c’est -à-dire un endroit où vous n’avez

pas de données qui vous aideraient à savoir où sera le point d’ impact.

C’est maintenant à votre tour de jouer : trouvez exactement où le projecti le

frappera!

Quel outi l mathématique al lez-vous uti l iser pour prédire où

le projecti le frappera? Y arriverez-vous du premier coup?

Existe-t- i l une seule façon de trouver où i ra le projecti le?

Ce sont de bonnes questions à vous poser avant de passer à l ’action!

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Retour réflexif

Afin de faire un retour sur cette si tuation -problème, répondez aux questions

suivantes. Ce retour sur la démarche peut aussi être fai t verbalement avec

votre enseignant.

6.1 Le résultat f inal vous a-t- i l satisfai t? Pourquoi?

Réponses variables. Oui, mais ce n’étai t pas assez précis à mon goût.

Non, je suis déçu du manque de précision dans mes prédictions.

6.2 Quel les ont été les causes possibles d’erreurs lors de cette expérience?

Exemples : le plan incl iné à bouger, je ne partais pas toujours la bi l le de la

même façon, j ’avais de la di f f icul té à cibler le point d’ impact, mes mesures

n’étaient peut-être pas toujours précises, etc.

6.3 Si on augmente la vi tesse de départ du projecti le, quel changement

aura-t-on graphiquement? Et algébriquement?

La courbe resterai t droi te plus longtemps avan t de

commencer à descendre doucement pour, à la f in,

avoir la même al lure que cette expérience -ci .

Sur le modèle avec un paramètre a et b, la valeur

de b serai t plus peti te.

6.3 Votre plan d’action global ini t ial étai t - i l adéquat dès le départ? Sinon,

qu’avez-vous modif ié et pourquoi?

Oui, j ’avais pensé à tout, car j ’ai déjà réal isé d’autres expériences

semblables.

Non, j ’a i dû m’ajuster et l ’amél iorer en cours de route, pour le mieux. J’ai

entre autres décidé de faire 4 essais au l ieu de trois , car j ’avais une bonne

variation dans mes données. J’ai aussi augmenté la vi tesse du projecti le

pour avoir plus de données à prendre.

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6.4 Si vous aviez à résoudre à nouveau ce genre de si tuation -problème, que

feriez-vous di f féremment et pourquoi?

Réponses personnel les. Exemple : Je consulterais un col lègue de classe ou

mon enseignant pour bonif ier mon plan d’action af in de savoir davantage où

je vais et quoi faire exactement, car j ’ai perdu beaucoup de temps au

laboratoire à recommencer mes manipulations.

6.5 D’après vous, dans la vraie vie, comment les soldats de l ’ar t i l lerie

procèdent-i ls af in de viser précisément leur cible? Existe-t- i l d’autres

contraintes, outre la gravi té , à tenir compte?

Je suppose que les soldats sont maintenant équipés

d’outi ls informatiques leur permettant d’automatiser ce

processus complexe. Cependant, i ls doivent encore

certainement entrer les données dans ces programmes.

Le vent et la résistance de l ’air sont des exemples de contraintes à tenir

compte, comme au golf .

Pour en savoir plus sur le métier de soldat de l ’ar t i l lerie, consul tez le si te

web des Forces armées canadiennes à l ’adresse suivante :

http: //www.forces.ca/f r/ job/soldatdelart i l lerie -2

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Pour aller plus loin…

Afin d’al ler plus loin dans l ’apprentissage de concepts mathématiques, fai tes

les exercices suivants en vous servant de votre représentation graphique ou

algébrique simpl i f iée (forme y = ax²) de l ’expérience

précédente. Vous pouvez uti l iser votre cahier d’apprentissage

ou de la référence fournie pour vous aider, au besoin.

Référence : ht tp:/ /www.al loprof.qc.ca/BV/pages/m1125.aspx

7.1 Déterminez les propriétés suivantes de votre fonction.

Réponses variables selon votre fonction. Consultez votre enseignant. Dans

les exemples de réponses, la fonction y = -0,0334x² a été uti l isée.

a) Domaine

[0,∞[

b) Codomaine

]-∞,0[

c) Les coordonnées à l ’origine

(0,0)

d) Les extremums

Le maximum de la fonction est 0.

e) Le signe et sa signif ication dans le contexte

La fonction est posit ive à x = 0 et négative de ]0,∞[ . Ce résultat est dû à la

force gravi tationnel le qui « t i re » toujours la bi l le vers le bas, vers le sol.

f ) La variation (croissance et décroissance) et sa signif ication dans le

contexte

La fonction est décroissante de [0,∞[, puisque la force gravi tationnel le

« ti re » toujours la bi l le vers le bas, en chute l ibre.

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7.2 Déterminez l ’équation de votre fonction sous la forme canonique.

Réponse variable selon vos données.

En prenant la forme y = -0,0334x2 + 0,2256x, el le pourrai t ressembler à :

𝑦 = −0,0334 (𝑥 − 3,38)2 + 0,38

7.3 Trouvez les coordonnées de trois autres points appartenant à votre

fonction, autres que ceux dans votre table de valeurs.

Réponse variable selon vos données. En prenant la forme y = -0,0334x2 +

0,2256x, on a :

(10;-1,084), (12;-2,10) et (14;-3,39)

7.4 Décrivez qual i tativement (en mots) la trajectoir e de votre projecti le.

Dans votre description, fai tes ressorti r le l ien entre les deux variables.

Plus la distance entre le point de chute et le support à cible augmente, plus

la hauteur de chute de la bi l le est grande. De plus, l ’al lure de la chute sui t

la partie droi te d’une parabole centrée à l ’origine.

7.5 Déterminez l ’équation de la réciproque de votre fonction.

Réponse variable selon vos données.

En prenant la forme y = -0,0334x2, on a :

𝑦 = +√(𝑥/−0,0334)

Selon le contexte, on garde seulement la branche posi t ive de la racine

carrée. Une réponse graphique pourrai t aussi être acceptée.

Toutes les photos sont l ibres de droi ts et proviennent d u si te

http: //www.bigstockphoto.fr / ou de l ’auteur.

CORRIGÉ En plein dans le mille! MAT-4161-2 (TS)

Par François Guay-Fleurent Juin 2016

Exemple d’une représentation graphique et de la règle algébrique réal isées avec des données prises le 22 juin

2016 à Nicolet.

y = -0,0334x2 + 0,2256x R² = 0,9984

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Hau

teu

r d

u p

oin

t d

'imp

act

(cm

)

Distance (cm)

Hauteur du point d'impact en fonction de la distance de la cible