micro-ondes - cours, examens...3.4. longueur d’onde 117 3.5. lignes chargÉes 118 3.5.1....

R O U P EG

MICRO-ONDES

Daniel COURIVAUD – SIGTEL - Groupe ESIEE - 2002

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./ 01234 5627 84 9311:7;< =

SOMMAIRE

1. PARAMETRES S 13

1.1. MATRICE CARACTÉRISTIQUE D’UN QUADRIPÔLE LINÉAIRE 141.1.1. CONVENTIONS 141.1.2. MATRICE IMPÉDANCE 141.1.2.1. Définition et signification des paramètres impédance 151.1.2.2. Impédance d’entrée 151.1.2.3. Association de quadripôles 151.1.3. MATRICE ADMITTANCE 161.1.3.1. Définition et signification des paramètres admittance 161.1.3.2. Admittance d’entrée 171.1.3.3. Association de quadripôles 171.1.4. MATRICE HYBRIDE 171.1.4.1. Définition et signification des paramètres hybrides 181.1.4.2. Impédance d’entrée 181.1.5. MATRICE CHAÎNE 191.1.5.1. Définition et signification des paramètres 191.1.5.2. Impédance d’entrée 201.1.5.3. Association de quadripôles 201.1.6. GÉNÉRALISATION À DES MULTIPÔLES 201.1.7. PROBLÈME DES HAUTES FRÉQUENCES 201.2. PARAMÈTRES S 231.2.1. ONDES INCIDENTES ET RÉFLÉCHIES 231.2.2. PARAMÈTRES S GÉNÉRALISÉS 261.2.3. APPLICATION À UN QUADRIPÔLE 291.2.4. DÉFINITION 301.2.5. GRAPHE DE FLUENCE 321.2.6. COEFFICIENT DE RÉFLEXION 321.2.7. NOTION DE PUISSANCE 361.2.7.1. Le dipôle 361.2.7.2. Le générateur 371.2.7.3. Pertes d’insertion 411.3. PROPRIÉTÉS 431.3.1. LA RÉCIPROCITÉ 431.3.2. LA SYMÉTRIE 431.3.3. L’UNILATÉRALITÉ 441.3.4. L’IDÉALITÉ 441.3.5. LE QUADRIPÔLE RÉCIPROQUE PASSIF SANS PERTES 451.3.6. DÉCALAGE DES PLANS DE RÉFÉRENCE 461.4. STABILITÉ DES QUADRIPÔLES 501.5. TRANSFERT DE PUISSANCE DANS LES CIRCUITS MICROONDES 551.5.1. PERTES PAR DÉSADAPTATION 551.5.2. GAINS EN PUISSANCE DES QUADRIPÔLES 57

>? @ABCD EFBG HD ICAAJGKL M

1.5.2.1. Calcul du gain transducique avec les graphes 581.5.2.2. Calcul littéral du gain transducique 601.5.2.3. Relations entre les gains en puissance 611.5.2.4. Relation entre gain transducique et pertes pardésadaptation 611.5.2.5. Expression du gain transducique en fonction desparamètres chaîne 621.5.2.6. Gain transducique unilatéral 631.5.3. GAIN EN TENSION 651.5.3.1. Relation entre gain en tension et gain transducique 67

2. DISPOSITIFS MICROONDES 69

2.1. L’ATTÉNUATEUR 702.1.1. FONCTIONNEMENT 702.1.2. TECHNOLOGIE 702.1.2.1. Eléments localisés 712.1.2.2. Guide d’onde 722.1.2.3. Circuits intégrés 732.1.3. APPLICATIONS 732.1.3.1. Protection d’un appareil de mesure 732.1.3.2. Masquage d’une désadaptation 742.2. LE DÉPHASEUR 752.2.1. FONCTIONNEMENT 752.2.2. TECHNOLOGIE 752.2.2.1. Eléments localisés 752.2.2.2. Eléments distribués 782.2.2.3. Circuits intégrés 782.2.3. APPLICATIONS 792.3. L’ISOLATEUR 802.3.1. FONCTIONNEMENT 802.3.2. TECHNOLOGIE 802.3.2.1. Technologie hybride 802.3.2.2. Circuits intégrés 802.3.3. APPLICATIONS 812.4. LE CIRCULATEUR 822.4.1. FONCTIONNEMENT 822.4.2. TECHNOLOGIE 822.4.3. APPLICATIONS 842.4.3.1. Duplexage 842.4.3.2. Amplification à résistance négative 852.5. DIVISEURS. COMBINEURS DE PUISSANCE 862.5.1. FONCTIONNEMENT 862.5.2. TECHNOLOGIE 882.5.2.1. Diviseur résistif 882.5.2.2. Diviseur combineur Wilkinson 902.5.3. APPLICATIONS 91

NO PQRST UVRW XT YSQQZW[\ ]

2.5.3.1. Boucle à verrouillage de phase 912.5.3.2. Amplification de puissance 912.6. COUPLEUR BIDIRECTIONNEL 922.6.1. FONCTIONNEMENT 922.6.2. TECHNOLOGIE 942.6.2.1. Guides d’ondes 942.6.2.2. Coupleur microstrip 952.6.3. APPLICATIONS 952.6.3.1. Contrôle de niveau, asservissement 952.6.3.2. Mesure d’un coefficient de réflexion 962.7. JONCTIONS HYBRIDES 972.7.1. FONCTIONNEMENT 972.7.2. TECHNOLOGIE 992.7.2.1. Technologie microstrip 992.7.2.2. Autres technologies 1002.7.3. CALCUL DES MATRICES S DES DISPOSITIFS PRÉSENTANT UN AXEDE SYMÉTRIE 1002.7.4. CALCUL DE LA MATRICE S DE LA JONCTION BRANCHLINE 1032.7.5. APPLICATIONS 1072.7.5.1. Jonctions 90° 1072.7.5.2. Jonctions 180° 109

3. PROPAGATION SUR LES LIGNES DE TRANSMISSION 111

3.1. PARAMÈTRES DESCRIPTIFS 1123.2. LIGNES SANS PERTES 1153.3. VITESSES DE PROPAGATION 1163.4. LONGUEUR D’ONDE 1173.5. LIGNES CHARGÉES 1183.5.1. COEFFICIENTS DE RÉFLEXION 1193.5.2. TAUX D’ONDE STATIONNAIRE 1203.5.3. IMPÉDANCE D’ENTRÉE 1223.5.4. LIGNE EN CIRCUIT OUVERT 1233.5.5. LIGNE EN COURT CIRCUIT 1243.5.6. TRONÇON DE LIGNE QUART D’ONDE 125

4. LIGNES DE TRANSMISSION MICROONDES 127

4.1. LA LIGNE COAXIALE 1284.2. LA LIGNE MICROSTRIP 1304.2.1. IMPÉDANCE CARACTÉRISTIQUE 1304.2.2. LONGUEUR D’ONDE GUIDÉE 1314.2.3. PERTES 1334.2.3.1. Pertes diélectriques 1334.2.3.2. Pertes ohmiques 1334.2.4. DISPERSION 134

^_ `abcd efbg hd icaajgkl m

4.2.5. RAYONNEMENT 1354.2.6. RÉSONANCE TRANSVERSE 1354.2.7. LE CIRCUIT OUVERT 1364.2.8. LES COUDES 1364.2.9. LA JONCTION DE LIGNES MICROSTRIP 1374.2.10. AUTRES DISCONTINUITÉS 1394.3. AUTRES LIGNES 140

5. L’ABAQUE DE SMITH ET SES APPLICATIONS 141

5.1. L’ABAQUE DE SMITH 1425.1.1. LA CHARGE 50 OHMS 1465.1.2. LA CHARGE CAPACITIVE 1465.1.3. LA CHARGE INDUCTIVE 1475.1.4. LE CIRCUIT RÉSONANT PARALLÈLE 1485.1.5. LE CIRCUIT RÉSONANT SÉRIE 1485.1.6. LE COURT CIRCUIT 1495.1.7. LE CIRCUIT OUVERT 1495.2. LES APPLICATIONS DE L’ABAQUE DE SMITH 1505.2.1. CONVERSION IMPÉDANCE-COEFFICIENT DE RÉFLEXION 1505.2.2. CONVERSION IMPÉDANCE ADMITTANCE 1505.2.3. IMPÉDANCES À PARTIE RÉELLE NÉGATIVE 1525.3. L’ADAPTATION 1535.3.1. L’ADAPTATION À ÉLÉMENTS LOCALISÉS 1545.3.1.1. L’inductance série 1545.3.1.2. La capacité série 1555.3.1.3. L’inductance parallèle 1555.3.1.4. La capacité parallèle 1565.3.1.5. Exemple 1575.3.1.6. Notion de sélectivité 1605.3.1.7. Topologies des réseaux d'adaptation 1615.3.1.7.1. Topologies série parallèle 1645.3.1.7.2. Topologies parallèle série 1685.3.2. L’ADAPTATION À ÉLÉMENTS DISTRIBUÉS 1735.3.2.1. Le tronçon de ligne sans pertes 1735.3.2.2. Le stub court circuit 1765.3.2.3. Le stub circuit ouvert 1775.3.2.4. Le transformateur quart d’onde 1785.3.2.5. Le changement d’impédance de normalisation 1795.3.2.6. Adaptation simple stub 1815.3.2.7. Adaptation double stub 185

6. ANNEXES 189

6.1. LES RELATIONS DE PASSAGE ENTRE LES DIFFÉRENTESREPRÉSENTATIONS D’UN QUADRIPOLE 190

no pqrst uvrw xt ysqqzw|

6.1.1. ZIJ = F (YIJ) 1906.1.2. ZIJ = F (A, B, C, D) 1916.1.3. ZIJ = F (SIJ) 1916.1.4. YIJ = F (ZIJ) 1926.1.5. YIJ = F (A, B, C, D) 1926.1.6. YIJ = F (SIJ) 1936.1.7. A, B, C, D = F (ZIJ) 1936.1.8. A, B, C, D = F (YIJ) 1946.1.9. A, B, C, D = F (SIJ) 1946.1.10. SIJ = F (ZIJ) 1956.1.11. SIJ = F (YIJ) 1966.1.12. SIJ = F (A, B, C, D) 1966.2. QUELQUES MATRICES ÉLÉMENTAIRES 1976.2.1. L’IMPÉDANCE SÉRIE 1976.2.2. L’ADMITTANCE PARALLÈLE 1986.2.3. LE TRANSFORMATEUR IDÉAL 1996.2.4. LE TRONÇON DE LIGNE SANS PERTES 2006.3. LES GRAPHES DE FLUENCE 201

7. BIBLIOGRAPHIE 205

Table des figures

Figure 1-1 :Orientation des tensions et des courants

Figure 1-2 : Quadripôles en série¢¡

Figure 1-3 : Quadripôles en parallèle¤£

Figure 1-4 : Quadripôles en cascade ¥§¦Figure 1-5 : Générateur chargé ¥§¨Figure 1-6: Décomposition en signaux incidents et réfléchis ¥ ¡Figure 1-7 : Ondes incidentes et réfléchies ¨©¦Figure 1-8 : Réflexion sur un dipôle ¨©¨Figure 1-9 : Réflexion d’un quadripôle chargé ¨ Figure 1-10: Graphe de fluence d'un quadripôle chargé ¨ ¡Figure 1-11 : Puissance délivrée à un dipôle ¨ £Figure 1-12 : Générateur chargé ¨ £Figure 1-13: Graphe de fluence d'un générateur chargé ¨«ªFigure 1-14 : Pertes d’insertion d’un quadripôle

¬Figure 1-15: Plans de référence d'un quadripôle

§£Figure 1-16: Insertion de quadripôles connus aux accès du quadripôle àmesurer

§£Figure 1-17 : Conventions pour l’étude des quadripôles non réciproques

¡ ¦Figure 1-18 : Cercles de stabilité

¡ ¥Figure 1-19 : Zones de stabilité et d’instabilité

¡ ¥Figure 1-20 : Stabilité inconditionnelle

¡ ¨Figure 1-21 : Pertes par désadaptation

¡©¡Figure 1-22 : Puissances mises en jeu

¡£Figure 1-23: Graphe de fluence d'un quadripôle alimenté et chargé

¡ ªFigure 1-24: Conventions pour le calcul du gain en tension ® ¡Figure 2-1 : Topologies d’atténuateurs résistifs

£¯Figure 2-2 : Atténuateur en té ponté

£ ¥Figure 2-3 : Protection d’un appareil de mesure

£ ¨Figure 2-4 : Masquage d’une désadaptation

£°Figure 2-5 : Topologies de déphaseurs

£ ®Figure 2-6: Structure en pi

£ ®Figure 2-7 : Déphaseur 90° à 1 GHz

£«±Figure 2-8 : Modulateur QAM

£ ªFigure 2-9 : Protection d’une source avec un isolateur idéal

±²Figure 2-10 : Protection d’une source avec un isolateur réél

±²Figure 2-11 : Circulateur idéal

± ¥Figure 2-12 : Equivalence entre circulateur chargé et isolateur

± ¨Figure 2-13 : Dépendance de l’isolation en fonction de la charge

± ¨Figure 2-14 : Duplexeur

±¢Figure 2-15 : Amplification à résistance négative

±©¡Figure 2-16 : Diviseur de puissance

± ®

³´ µ¶·¸¹ º»·¼ ½¹ ¾¸¶¶¿¼ÀÁ ÂÃ

Figure 2-17 : Combineur de puissance ÄÅFigure 2-18 : Diviseur de puissance résistif Ä©ÄFigure 2-19 : Bilan de puissance ÄÆFigure 2-20 : Diviseur de Wilkinson ÆÇFigure 2-21 : Prélévement de puissance pour un asservissement Æ¯ÈFigure 2-22 : Combinaison de puissance Æ¯ÈFigure 2-23 : Coupleur bidirectionnel Æ¢ÉFigure 2-24 : Coupleur microstrip Æ«ÊFigure 2-25 : Contrôle de niveau et asservissement Æ©ËFigure 2-26 : Mesure d’un coefficient de réflexion Æ©ËFigure 2-27 : Jonction hybride Æ©ÅFigure 2-28 : Jonction branchline Æ©ÆFigure 2-29 : Coupleur de Lange Æ©ÆFigure 2-30 : Jonction «rat - race» ÈÇ©ÇFigure 2-31 : Jonction branchline de base ÈÇÌFigure 2-32 : Décomposition en 2 quadripôles de modes pair et impair ÈÇÌFigure 2-33 : Décomposition en 4 coefficients de réflexion élémentaires ÈÇ§ÊFigure 2-34 : Jonction 90° c hargée ÈÇ«ÅFigure 2-35 : Atténuateur équilibré ÈÇ§ÄFigure 2-36 : Amplificateur équilibré ÈÇ§ÄFigure 2-37 : Jonction 180° c hargée ÈÇ«ÆFigure 2-38 : Mélangeur équilibré ÈÇ«ÆFigure 3-1 : Modèle électrique d’un tronçon de ligne de transmission È©ÈÍÉFigure 3-2 : Ligne de transmission excitée et chargée È©È¢ÄFigure 3-3 : Régime d’ondes stationnaires ÈÍÉ©ÉFigure 3-4 : Impédance d’entrée d’une ligne en circuit ouvert ÈÍÉ«ÌFigure 3-5 : Impédance d’entrée d’une ligne en court circuit ÈÍÉ¯ÊFigure 3-6 : Ligne quart d’onde chargée ÈÍÉ¯ÊFigure 4-1 :Structure transversale d’une ligne coaxiale ÈÍÉ¯ÄFigure 4-2 : Ligne microstrip ÈÎ©ÇFigure 4-3 : Concept de permittivité diélectrique effective ÈÎ°ÉFigure 4-4 : Effet de peau ÈÎ©ÎFigure 4-5 : Le circuit ouvert ÈÎ«ËFigure 4-6 : Schéma équivalent d’un coude ÈÎ«ËFigure 4-7 : Réduction de la capacité parasite ÈÎ«ÅFigure 4-8 : Changement d’impédance caractéristique ÈÎ«ÅFigure 4-9 : Jonction de 3 lignes microstrip ÈÎ«ÅFigure 4-10 : Jonction de 4 lignes microstrip ÈÎ§ÄFigure 4-11 : Microcoupure dans une ligne microstrip ÈÎ«ÆFigure 4-12 : Encoche dans une ligne microstrip ÈÎ«ÆFigure 4-13 : Ligne triplaque È Ì«ÇFigure 4-14 : Ligne coplanaire È Ì«ÇFigure 4-15 : Ligne à fente È Ì«Ç

ÏÐ ÑÒÓÔÕ Ö×ÓØ ÙÕ ÚÔÒÒÛØÜÝ ÞßÞ

Figure 5-1 : Plan des impédances complexes à áâFigure 5-2: Charge 50 ohms à á§ãFigure 5-3: Lieu des charges capacitives à á§äFigure 5-4 : Lieu des charges inductives à á§äFigure 5-5 : Le circuit résonant parallèle à á²åFigure 5-6 : Le circuit résonant série à á²åFigure 5-7 : Le court circuit à á§æFigure 5-8 : Le circuit ouvert à á§æFigure 5-9 : Le coefficient de réflexion à¢ç°èFigure 5-10 : Conversion impédance - admittance à¢ç²àFigure 5-11 : Abaque en admittance à¢ç²àFigure 5-12 : Impédance à partie réelle négative à¢ç¤âFigure 5-13 : Adaptation d’une charge complexe à¢ç°éFigure 5-14 : Insertion d’un réseau d’adaptation à¢ç°éFigure 5-15 : Ajout d’une inductance série à¢ç¢áFigure 5-16 : Ajout d’une capacité série à¢ç©çFigure 5-17 : Ajout d’une inductance parallèle à¢çãFigure 5-18 : Ajout d’une capacité parallèle à¢çãFigure 5-19 : Adaptation d’une charge à¢çäFigure 5-20 : Parcours sur l’abaque de Smith à¢ç©åFigure 5-21 : Solutions normalisées par rapport à 50 ohms à¢çæFigure 5-22 : Solutions dénormalisées par rapport à 50 ohms et 1 GHz à¤ãèFigure 5-23 : Augmentation de la sélectivité d’un réseau d’adaptation à¤ã¯àFigure 5-24 – Topologie série parallèle à¤ã¢âFigure 5-25 – Topologie parallèle série à¤ã¢âFigure 5-26 – Lieu des points pouvant être adaptés avec une topologie sérieparallèle, et parallèle série à¤ãéFigure 5-27 – Décomposition de l’abaque de Smith en 3 zones à¤ãéFigure 5-28 – Topologie L série, L parallèle à¤ã°áFigure 5-29 – Topologie L série, C parallèle à¤ã«çFigure 5-30 – Topologie C série, L parallèle à¤ã©ãFigure 5-31 – Topologie C série, C parallèle à¤ã©äFigure 5-32 – Topologie L parallèle, L série à¤ã«åFigure 5-33 – Topologie L parallèle, C série à¤ã©æFigure 5-34 – Topologie C parallèle, L série à¤äèFigure 5-35 – Topologie C parallèle, C série à¤ä¯àFigure 5-36 – Synthèse des réseaux d’adaptation possibles en fonction de lacharge à adapter à¤ä¢âFigure 5-37 : Tronçon de ligne sans pertes chargé à¤äéFigure 5-38 : Déplacements sur l’abaque de Smith à¤äéFigure 5-39 : Déplacements vers le générateur à¤ä°áFigure 5-40 : Tronçon de ligne chargé à¤ä«çFigure 5-41 : Module du coefficient de réflexion à¤ä«ç

êë ìíîïð ñòîó ôð õïííöó÷ø ùú

Figure 5-42 : Stub λ/8 en court circuit û¤ü©üFigure 5-43 : Stub λ/8 en circuit ouvert û¤ü«ýFigure 5-44 : Exemple de transformateur quart d’onde û¤ü©þFigure 5-45 : Tronçons de ligne d’impédances caractéristiques différentes û¢ý°ÿFigure 5-46 : Adaptation simple stub û¢ý²ûFigure 5-47 : Exemple d’adaptation simple stub û¢ýFigure 5-48 : Première solution de l’adaptation simple stub û¢ýFigure 5-49 : Seconde solution de l’adaptation simple stub û¢ýFigure 5-50 : Adaptation double stub û¢ýFigure 5-51 : Exemple d’adaptation double stub û¢ýFigure 5-52 : Première solution de l’adaptation double stub û¢ý©ýFigure 5-53 : Seconde solution de l’adaptation double stub û¢ý©ýFigure 6-1 : L’impédance série û¤þ©üFigure 6-2 : L’admittance parallèle û¤þ«ýFigure 6-3 : Le transformateur idéal û¤þ©þFigure 6-4 : Le tronçon de ligne sans pertes §ÿ©ÿFigure 6-5 : Graphe de fluence d’un quadripôle §ÿFigure 6-6 : Graphe de fluence d’un générateur §ÿFigure 6-7 : Graphe de fluence d’une charge §ÿFigure 6-8 : Graphe de fluence d’un quadripôle alimenté et chargé §ÿ

!"#$&% ')(

1. PARAMETRES S

*+ ,-./0 12.3 40 5/ -!-6#37&8 9&:

1.1. Matrice caractéristique d’un qu adripôle linéaire

Un quadripôle linéaire (dont le comportement ne dépend pas de

l’amplitude du signal d’excitation) peut être caractérisé de plusieurs

façons différentes suivant le choix des paramètres dépendants et

indépendants. La majorité de ces paramètres concerne les tensions

et les courants.

1.1.1. Conventions

Les courants et les tensions utilisés dans ce cours sont les suivants

:

Q

I

V

1

1

I 2

V2

Figure 1-1 :Orientation des tensions etdes courants

1.1.2. Matrice impédance

Les tensions sont exprimées en fonction des courants par

l’intermédiaire des paramètres impédances.

IZ+IZ = V

IZ+IZ = V

2211

2121111

222

Sous forme matricielle:

[Z][I] = [V]

;< =>?@A BC?D EA F@ >!>G#DH&I J)K

1.1.2.1. Définition et signification des

paramètres impédance

Les 4 paramètres Zij sont définis comme suit :

11

I =0

1

112

I =0

1

2

21

I =0

2

122

I =0

2

2

Z = V

I Z =

V

I

Z = V

I Z =

V

I

2 1

2 1

La mesure de ces paramètres nécessite des références de charge

en circuit ouvert.

1.1.2.2. Impédance d’entrée

L’impédance d’entrée du quadripôle chargé par ZL s’écrit:

in 1112 21

L 22Z = Z -

Z Z

Z + Z

1.1.2.3. Association de quadripôles

Z

Z

1

2

Figure 1-2 : Quadripôles en série

LM NOPQR STPU VR WQ O!OX#UY&Z [)\

1.1.3. Matrice admittance

Les courants sont exprimés en fonction des tensions par

l’intermédiaire des paramètres admittance

I = Y V + Y V

I = Y V + Y V

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

Sous forme matricielle

[ I ] = [Y] [V]


paramètres admittance

Les 4 paramètres Yij sont définis comme suit :

11

V =0

1

112

V =0

1

2

21

V =0

2

122

V =0

2

2

Y = I

V Y =

I

V

Y = I

V Y =

I

V

2 1

2 1


en court circuit.

Y11 représente l’admittance d’entrée lorsque la sortie est court

circuitée

Y22 représente l’admittance de sortie lorsque l’entrée est court

circuitée

]^ _`abc deaf gc hb `!`i#fj&k l)m

1.1.3.2. Admittance d’entrée

L’admittance d’entrée du quadripôle chargé par YL s’écrit :

in 1112 21

L 22Y = Y -

Y Y

Y + Y


Y

Y

1

2

Figure 1-3 : Quadripôles en parallèle

1.1.4. Matrice hybride

La tension d’entrée et le courant de sortie sont exprimés en fonction

de la tension de sortie et du courant d’entrée

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

V = H I + H V

I = H I + H V

Sous forme matricielle :

V

I [H] =

I

V

2

1

2

1

no pqrst uvrw xt ys q!qz#w&| ~


paramètres hybrides

Les 4 paramètres Hij sont définis comme suit :

11

V =0

1

112

I =0

1

2

21

V =0

2

122

I =0

2

2

H = V

I H =

V

V

H = I

I H =

I

V

2 1

2 1


en circuit ouvert et court circuit.

H11 représente l’impédance d’entrée lorsque la sortie est court

circuitée.

H12 représente le gain en tension lorsque l’entrée est en circuit

ouvert.

H21 représente le gain en courant lorsque la sortie est en court

circuit.

H22 représente l’admittance de sortie lorsque l’entrée est en

circuit ouvert.


L’impédance d’entrée du quadripôle chargé par ZL s’écrit :

in 1112 21 L

22 LZ = H -

H H Z

1+ H Z

!#& )

1.1.5. Matrice chaîne

Aucune des représentations évoquées jusqu’à présent ne permet la

décorrélation de l’entrée et de la sortie. La matrice chaîne comble

cette lacune en permettant d’exprimer la tension et le courant à

l’entrée en fonction de la tension et du courant à la sortie.

V = AV - B I

I = CV - D I

1 2 2

1 2 2

Sous forme matricielle

1

1

2

2

V

I = [C]

V

- I


paramètres

Les quatre paramètres chaîne sont définis comme suit :

A représente le gain en tension inverse lorsque la sortie est en

circuit ouvert

B et C représentent une impédance et une admittance de

transfert

D représente l'opposé du gain en courant inverse lorsque la

sortie est en court circuit.

!#& ¢¡


L’impédance d’entrée du quadripôle charge par ZL s’écrit

inL

LZ =

AZ + B

CZ + D


C C1 2

C3

Figure 1-4 : Quadripôles en cascade

1.1.6. Généralisation à des multipôles

Le formalisme utilisé par les matrices impédances et admittance

peut être étendu sans aucun problème à des multipôles. La relation

matricielle est identique.

1.1.7. Problème des hautes fréquences

Les fréquences de l’ordre de grandeur de quelques GHz ont ceci

de particulier qu’elles mettent en jeu des longueurs d’onde

comparables aux dimensions du circuit ce qui ne permet pas

d’utiliser les hypothèses simplificatrices du formalisme employé en

basse fréquence. Ceci implique que :

• La mesure directe des courants et des tensions n’est

pas possible à cause de la fréquence très élevée des

signaux. Les appareils de mesure doivent intégrer des

étages de conversion.

£¤ ¥¦§¨© ª«§¬ © ®¨ ¦!¦¯#¬°&± ²³

• A chaque mesure doit être associée une référence

géométrique, appelée plan de référence, rendue

nécessaire par le fait que ces grandeurs peuvent

varier rapidement sur quelques centimètres.

• Les références en circuit ouvert sont difficiles à

réaliser du fait des dimensions physiques proches de

la longueur d’onde. Le rayonnement est alors difficile

à éviter

• Les transistors peuvent ne pas supporter des court

circuits (courant maximum) et des circuits ouverts

(tension maximum) à leurs extrémités.

La caractérisation des circuits électriques fait souvent appel à des

grandeurs qui varient peu en fonction de la position de la sonde de

mesure, ce qui est le cas de la tension et du courant aux

fréquences basses. Aux fréquences plus élevées, la grandeur

invariante est la puissance transportée sur la ligne, sous réserve

que cette dernière soit correctement dimensionnée. Ce sera la

grandeur fondamentale mesurée en hyperfréquences. Elle présente

l’avantage de pouvoir être mesurée directement.

Par contre, celle ci s’exprime de façon complexe en fonction des

paramètres tension - courant :

( )P VI=1

2Re *

Il faut donc introduire de nouveaux paramètres caractéristiques

permettant de manipuler aisément les puissances mises en jeu et

rendant mieux compte des phénomènes physiques.

´µ ¶·¸¹º »¼¸½ ¾º ¿¹ ·!·À#½Á&Â Ã¢Ã

ÄÅ ÆÇÈÉÊ ËÌÈÍ ÎÊ ÏÉ Ç!ÇÐ#ÍÑ&Ò ÓÔ

1.2. Paramètres S

1.2.1. Ondes incidentes et réfléchies

Lorsque les dimensions du circuit ne sont plus très grandes devant

la longueur d’onde, un phénomène de propagation du signal

électrique apparaît, ce qui introduit la notion de signaux incidents et

réfléchis. Considérons le circuit ci dessous :

Z S

ZL

VS

VL

I

Figure 1-5 : Générateur chargé

Le courant circulant dans la maille s’écrit :

LS

S

ZZ

VI

+=

La tension aux bornes de la charge s’écrit :

LS

SLL ZZ

VZV

+=

La puissance délivrée à la charge s’en déduit :

( ) ( )22

2

*

2)(

2

1

SLSL

LSLL

XXRR

RVIVReP

+++=⋅=

ÕÖ ×ØÙÚÛ ÜÝÙÞ ßÛ àÚ Ø!Øá#Þâ&ã ä¢å

On recherche la valeur de XL qui maximise PL :

( )( ) ( )( ) SL

SLSL

SLSL

L

L XXXXRR

XXVR

X

P −=⇔=+++

+−=∂∂

02

2 222

2

Dans ce cas, la puissance délivrée à la charge se met sous la forme

suivante :

( )2

2

2SL

LS

XXLRR

RVP

SL +=

−=

On cherche alors la valeur de RL qui maximise à nouveau PL :

( ) ( )( ) SL

SL

SLLSLS

L

XXLRR

RR

RRRRRV

R

PSL =⇔=

++−+=

∂

∂−= 0

2

2 4

22

On en déduit que le générateur délivre sa puissance maximum s’il

est chargé par son impédance conjuguée. Dans ce cas, cette

puissance vaut :

S

SLLS R

VPZZ

8

2

* =⇔=

Acceptons maintenant le fait que tout signal électrique (tension ou

courant) présent sur un circuit dont les dimensions ne sont pas très

grande devant la longueur d’onde, subit un phénomène de

propagation.

Il peut donc se décomposer en signaux incident et réfléchi :

RI

RI

III

VVV

−=+=

æç èéêëì íîêï ðì ñë é!éò#ïó&ô õö

ZS

ZL

VS

VI

VR

II

IR

Figure 1-6: Décomposition en signauxincidents et réfléchis

Il est clair que la puissance délivrée à la charge par le générateur

sera maximum s’il n’y a pas de signal réfléchi, c’est à dire si la

charge est conjuguée de l’impédance interne du générateur. Dans

ce cas :

IRI

IRI

IIII

VVVV

=−==+=

Sur la charge :

*

*

*

1

SSSI

SS

SSIL

ZZVII

ZZ

ZVVV

+==

+==

On en déduit les termes réfléchis dans le cas général :

( )( )( )

( )( )LSSS

SLSIR

LSSS

SLSSIR

ZZZZ

ZZVIII

ZZZZ

ZZZVVVV

++−

=−=

++−

=−=

*

*

*

*

÷ø ùúûüý þÿû ý ü ú!ú

On vérifie aisément que les tension et courant réfléchis s’annulent

lorsque le générateur est chargé par son impédance interne

conjuguée.

Les signaux incidents et réfléchis sont reliés entre eux

par l’impédance interne du générateur:

RSR

ISI

IZV

IZV

⋅=⋅= *

Cette impédance est appelée impédance de normalisation et on la

note souvent Z0.

RR

II

IZV

IZV

⋅=⋅=

0

0

1.2.2. Paramètres S généralisés

Les paramètres S répondent à la nécessité d’un nouvel outil de

caractérisation des circuits linéaires aux fréquences microondes.

D’un point de vue purement mathématique, les paramètres qu’ils

relient sont issus d’une combinaison linéaire des tensions et des

courants aux N accès du circuit et représentent des ondes

incidentes aj et réfléchies bj.

Au jième accès, l’onde sortante s’écrit comme une combinaison

linéaire des ondes entrantes à chacun des autres accès :

∑=

N

kkjkj aS=b

1

!"#$ %&

Les paramètres a et b sont définis par :

jRjj

j

jIjj

j

IZZ

b

IZZ

a

⋅+

=

⋅+

=

2

2*00

*00

Z0j est l’impédance de normalisation du jième port, c’est à dire

l’impédance interne du générateur connecté au port j.

Les relations inverses conduisent à :

jjj

jR

jjj

jI

bZZ

I

aZZ

I

⋅+

=

⋅+

=

*00

*00

2

2

Le courant rentrant par l’accès j s’écrit :

( )jjjj

jRjIj baZZ

III −⋅+

=−=*00

2

La tension présente à l’accès j se met sous la forme :

( )jjjjjj

jRjjIjjRjIj ZbZaZZ

IZIZVVV 0*0*

000

*0

2 ⋅+⋅⋅+

=⋅+=+=⋅

'( )*+,- ./+0 1- 2, *!*3045 67

Les expressions de Ij et Vj ci dessus nous permettent de relier les

paramètres a et b à chacun des accès aux tensions et courants à

ces mêmes accès :

( )

( )*00

*0

*00

0

2

2

jj

jjjj

jj

jjjj

ZZ

IZVb

ZZ

IZVa

+

⋅−=

+

⋅+=

REMARQUE :

La dimension de ces paramètres a et b est une racine carrée de

puissance. On verra par la suite que cette formulation permet de

traiter de façon extrêmement simple les problèmes de transfert de

puissance dans les circuits micro-ondes.

L’origine de la définition de a et b fait appel aux courants incident et

réfléchi. On les appellera donc les ondes incidente et réfléchie.

Z0j, l’impédance de normalisation à l’accès j est complexe dans le

cas général. Si on appelle R0j et X0j les parties réelle et imaginaire

de Z0j, les paramètres a et b se mettent sous la forme suivante :

j

jjjj

j

jjjj

R

IZVb

R

IZVa

0

*0

0

0

2

2

⋅−=

⋅+=

89 :;<=> ?@<A B> C= ;!;DAEF GH

Si l’impédance de normalisation est purement réelle, Z0j = R0j :

j

jjjj

j

jjjj

R

IRVb

R

IRVa

0

0

0

0

2

2

⋅−=

⋅+=

Si l’impédance de normalisation est purement réelle et commune à

tous les accès, Z0j = R0 :

0

0

0

0

2

2

R

IRVb

R

IRVa

jjj

jjj

⋅−=

⋅+=

Sauf indication contraire, nous nous placerons dans ce cas dans la

suite de ce document.

1.2.3. Application à un quadripôle

Dans le cas général, les ondes incidentes et réfléchies prennent la

forme suivante :

)Z(R2

I Z-V = b )Z(R2

I Z-V = b

)Z(R2

I Z+V = a )Z(R2

I Z+V = a

2e

222

1e

1*11

1

2e

2222

1e

1111

*2

Z1 et Z2 sont les impédances de normalisation aux accès 1 et 2.

IJ KLMNO PQMR SO TN L!LURVW XZY

Q

I

V

1

1

I 2

V2

a1

b1

a2

b2

Figure 1-7 : Ondes incidentes et réfléchies

• a1 et b1 sont les ondes incidente et réfléchie à l’accès

1

• a2 et b2 sont les ondes incidente et réfléchie à l’accès

2

Pour un quadripôle possédant une impédance de normalisation

purement résistive et commune aux 2 accès, on écrira :

11 0 1

02

2 0 2

0

11 0 1

02

2 0 2

0

a = V + R I

2 R a =

V + R I

2 R

b = V - R I

2 R b =

V - R I

2 R

Aux fréquences microondes, R0 est très souvent prise égale à 50

ohms.

1.2.4. Définition

Comme on l’a vu précédemment, les paramètres S relient entre

elles les ondes incidentes et réfléchies. Pour un quadripôle :

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

b = S a + S a

b = S a + S a

[\ ]^_`a bc_d ea f` ^!^gdhi jk

111

12S =

b

a lorsque a = 0.

C’est le rapport de l’onde réfléchie sur l’onde incidente à l’entrée du

quadripôle lorsque l’onde incidente à l’accès 2 est nulle. D’un point

de vue terminologie le rapport d’une onde réfléchie à une onde

incidente s’appelle un coefficient de réflexion. C’est la fraction

d’énergie réfléchie par le quadripôle dont on comprend bien qu’elle

devra être minimisée pour favoriser le transfert du signal à la sortie

du quadripôle.

121

21S =

b

a lorsque a = 0

C’est le «gain» inverse du quadripôle lorsque l’onde incidente à

l’accès 1 est nulle.

212

12S =

b

a lorsque a = 0

C’est le «gain» direct du quadripôle lorsque l’onde incidente à

l’accès 2 est nulle.

222

21S =

b

a lorsque a = 0

C’est le coefficient de réflexion à la sortie du quadripôle lorsque

l’onde incidente à l’accès 1 est nulle.

lm nopqr stpu vr wq o!oxuyz Z|

La mesure des paramètres S nécessite donc d’annuler tour à tour,

non pas des tensions et des courants comme pour les paramètres

descriptifs classiques mais des ondes incidentes. La nullité des

ondes a1 ou a2 se traduit par :

IR- = V 0 = a

IR- = V 0 = a

2022

1011

⇔⇔

Dans le cas général, on aura :

IZ- = V 0 = a j0jjj ⇔

Ces conditions sont réalisées lorsque l’accès considéré est chargé

par son impédance de normalisation ce qui évite d’utiliser des

références en circuit ouvert ou en court circuit.

1.2.5. Graphe de fluence

Les graphes de fluence permettent d’analyser de façon graphique

les circuits micro-ondes. On se reportera à l’annexe 5.3 pour une

présentation de cette technique.

1.2.6. Coefficient de réflexion

Dans le domaine tension-courant un dipôle est caractérisé par son

impédance Z (rapport entre tension et courant). Son équivalent

dans le formalisme des paramètres S s’appelle le coefficient de

réflexion Γ (rapport entre onde réfléchie et onde incidente).

~ !

I

V

a

b

ZL

Figure 1-8 : Réflexion sur un dipôle

Le passage entre les deux domaines est immédiat :

R2

I Z- V = b

R2

IZ + V = a

0

0

0

*0

Z + Z

Z- Z = IZ+V

I Z- V =

a

b =

0L

L

0

*0

*0Γ

Le coefficient de réflexion quantifie en amplitude et en phase

l’énergie réfléchie par le dipôle. Il existe un autre formalisme, issu

de la théorie des lignes de transmission, permettant de mesurer

l’énergie réfléchie : le Taux d’Onde Stationnaire . Cependant, celui-

ci ne donne aucune indication sur la phase de signal réfléchi. Sa

définition est la suivante :

TOS = 1+| |

1-| |

ΓΓ

! Z

Exercice :

Que peut on dire du coefficient de réflexion et du TOS des dipôles

suivants : résistance 50 Ω, résistance 100 Ω, résistance 25 Ω, court

circuit, circuit ouvert, inductance sans perte, capacité sans perte ?

Pour un quadripôle caractérisé par ses paramètres S et chargé par

un coefficient de réflexion ΓL, le coefficient de réflexion à l’entrée

s’écrit :

in1

1L

2

2

= b

a avec =

a

bΓ Γ

On utilise la définition des paramètres S

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

b = S a + S a

b = S a + S a

Qa1

b1

a2

b2

ZL

L

i n

Figure 1-9 : Réflexion d’un quadripôle chargé

On obtient : ΓΓΓ

L22

L211211

1

1in

S-1SS + S =

a

b =

Une charge sera dite adaptée si elle ne réfléchit aucune puissance (

Γ = 0).

¡ ¢£¤¥¦ §¨¤© ª¦ «¥ £!£¬©® ¯°

Dans le cas où l’impédance de charge ΓL est égale à l’impédance

de normalisation, le coefficient de réflexion à l’entrée d’un

quadripôle chargé est égal à S11. Sinon, un terme correctif tient

compte des réflexions en sortie.

On peut également calculer l’expression du coefficient de réflexion

d’un quadripôle chargé avec la théorie des graphes .

a b1 2

S1 1

S2 2

S2 1

S1 2

a2b1

±L

±

Figure 1-10: Graphe de fluence d'unquadripôle chargé

Le coefficient de réflexion Γin se définit par :

a

b = 1

1inΓ

La variable dépendante est b1. La variable indépendante est a1.

Les chemins entre a1 et b1 sont :

C1=S11

C2=S21.ΓL.S12

²³ ´µ¶·¸ ¹º¶» ¼¸ ½· µ!µ¾»¿À ÁÂ

Il n’y a qu’une seule boucle du premier ordre :

ΣL1= S22.ΓL

Il n’y a pas de boucle du second ordre :

ΣL2= 0

Le seul autre terme non nul est ΣL11 :

ΣL11 = S22.ΓL

D’après la règle de Mason :

[ ] [ ]

[ ]L

L

L

LL

321

22

212

12

111

S-1

SSS

S-1

SSS-1S

...+L-L+L-1

...+...+L+L-1C+...-L+L-1C=T

ΓΓ+=

ΓΓ+Γ=

ΣΣΣΣΣΣΣ

22

211211

22

12212211

1.2.7. Notion de puissance

1.2.7.1. Le dipôle

Dans le domaine tension courant, lorsque la tension et le courant

sont exprimés en valeur crête, la puissance délivrée à un dipôle

s’écrit :

P = 1

2 R (V I )e

*

ÃÄ ÅÆÇÈÉ ÊËÇÌ ÍÉ ÎÈ Æ!ÆÏÌÐÑ ÒÓ

I

V

a

b

ZL

Figure 1-11 : Puissance délivrée à undipôle

Dans le formalisme d’onde la puissance délivrée se met sous la

forme :

( )P = 1

2 |a| -|b| 2 2

Cette relation s’interprète de la façon suivante : la puissance

dissipée par un dipôle est égale à la différence entre la puissance

incidente et la puissance réfléchie par ce dipôle.

1.2.7.2. Le générateur

Le générateur de puissance a pour vocation de délivrer une onde

entretenue d’amplitude constante et indépendante de la charge

connectée à ses bornes.

Dans le cas général, un générateur est représenté par :

a

b

ÔL

ÔS

bS

bS

Figure 1-12 : Générateur chargé

ÕÖ ×ØÙÚÛ ÜÝÙÞ ßÛ àÚ Ø!ØáÞâã äå

L’onde incidente a est la somme de l’onde directe bS délivrée par le

générateur et de l’onde b réfléchie sur l’impédance interne du

générateur

a + bb + b = a LSSSS ΓΓ=Γ

Si l’une des charges ΓL ou ΓS est adaptée, l’onde réfléchie b ΓS

n’existe pas et la seule énergie délivrée à la charge est celle fournie

par le générateur.

La puissance disponible d’un générateur est la puissance maximale

qu’il peut délivrer si la charge est choisie de façon optimale (elle doit

être conjuguée de l’impédance interne du générateur).

Cette condition de transfert maximum de puissance s’écrit :

S L* = Γ Γ

Dans le domaine tension courant, on a vu que cette condition

s’écrivait :

Z = Z *LS

L’onde b réfléchie par la charge se met sous la forme :

b = aLΓ

On en déduit l’expression de l’onde directe a :

ΓΓ SL

S

-1b = a

æç èéêëì íîêï ðì ñë é!éòïóô õö

Remarque :

L’onde directe a peut également être vue comme la superposition

de plusieurs termes issus de réflexions successives sur la charge et

le générateur :

( ) ( )nSLSSLSSLSS bbbba ΓΓ++ΓΓ+ΓΓ+= ÷

2

Cette suite géométrique de raison ΓLΓS converge vers :

ΓΓ SL

S

-1b = a

Avec la théorie des graphes :

a

b

bs1

øs

ø øL

ø

Figure 1-13: Graphe de fluence d'ungénérateur chargé

La variable indépendante est bs, la variable dépendante est a.

Le seul chemin entre bs et a est :

C1=1

Il n’y a qu’une seule boucle du premier ordre :

ΣL1= ΓS.ΓL

ùú ûüýþÿ ý ÿ þ ü!ü

Il n’y a pas de boucle du second ordre :

ΣL2= 0

Tous les autres termes sont nuls.

D’après la règle de Mason :

[ ] [ ]LS321

22

212

12

111

-1...+L-L+L-1

...+...+L+L-1C+...-L+L-1C=TΓΓ

=ΣΣΣ

ΣΣΣΣ 1

Si la condition de transfert maximum de puissance est satisfaite,

l’onde directe devient :

||1-b = a

2S

S

Γ

La puissance délivrée par le générateur à la charge s’écrit alors :

||1-

|b|

2

1=)||(1- |a|

2

1 = )|b|-|a(|

2

1 = P 2

S

2S2

L222

avΓ

Γ

Rappel :

Dans le domaine tension courant, cette condition s’écrit :

S

2S

avR

|V| = P8

!"#$%& ' ()

1.2.7.3. Pertes d’insertion

Les pertes d’insertion d’un quadripôle se définissent comme le

rapport de la puissance délivrée à la charge PL sur la puissance

disponible du générateur Pav.

Qa1

b1

a2

b2

PL

Figure 1-14 : Pertes d’insertion d’unquadripôle

La puissance délivrée à la charge s’écrit :

( )L 22

22

P = 1

2 |b | - |a |

Dans le cas particulier où la charge est l’impédance de référence

(ΓL = 0)

L 22

P = 1

2 |b |

Egalement dans le cas particulier où l’impédance interne du

générateur est égale à l’impédance de référence (ΓS = 0), la

puissance disponible du générateur s’écrit :

av 12

P = 1

2 |a |

*+ ,-./0 12.3 4 0 5"/#-$-637 8 9:

Les pertes d’insertion d’un quadripôle inséré entre deux

impédances égales à l’impédance de normalisation s’écrivent :

IL = b

a = |S |

22

121

2

;< =>?@A BC?D E A F"@#>$>GDH I JK

1.3. Propriétés

1.3.1. La réciprocité

Les quadripôles présentant un transfert énergétique interne

identique dans les deux sens sont dit réciproques. Les conditions

suivantes traduisent la réciprocité d’un quadripôle :

12 21 c

12 21 12 21

Z = Z = 1

Y = Y S = S

∆

Pratiquement, tous les quadripôles passifs ne contenant pas de

matériaux ferrimagnétiques sont réciproques. En particulier les

quadripôles réalisés à partir de résistances, inductances, capacités,

tronçons de ligne de transmission, etc... sont réciproques.

1.3.2. La symétrie

Les quadripôles présentant des propriétés électriques identiques

lorsque l’on inverse l’entrée et la sortie sont dits symétriques. La

symétrie implique donc la réciprocité alors que l’inverse n’est pas

vrai.

Ceci se traduit par les conditions suivantes, une fois que les

conditions sur la réciprocité sont satisfaites :

11 22

11 22 11 22

Z = Z A = D

Y = Y S = S

La symétrie électrique s’accompagne d’une symétrie topologique

souvent plus rapide à mettre en évidence.

LM NOPQR STPU V R W"Q#O$OXUY Z [[

1.3.3. L’unilatéralité

L’unilatéralité d’un quadripôle est un cas particulier de non

réciprocité. Non seulement le transfert interne d’énergie n’est pas

identique dans les deux sens, mais en plus il est nul pour l’une des

deux directions de propagation du signal. Les conditions électriques

à satisfaire sont les suivantes :

12 c

12 12

Z = 0 = 0

Y = 0 S = 0

∆

Le transistor est un exemple typique de quadripôle unilatéral (pour

peu que l’on soit loin de sa fréquence de coupure) puisqu’il

n’amplifie le signal que dans un sens.

1.3.4. L’idéalité

Un quadripôle est dit idéal lorsqu’il ne dissipe aucune puissance de

façon interne. La non transmission d’énergie, dans toute ou partie

d’une bande de fréquence, pour un quadripôle de ce type ne peut

provenir que de la réflexion de cette puissance. Cette propriété se

traduit par :

unitaire) dite alors est Smatrice (la[1] = ][S[S]

)j( = Y

)j( = Z

*t

ij

ij

\\

]^ _`abc deaf g c h"b#`$`ifj k lm

Pour un quadripôle, deux relations importantes, mettant en

évidence le bilan de puissance dans les sens direct et inverse, sont

issues de cette dernière expression :

1

12

22

2

12

2

21

2

11

=+

=+

SS

SS

La troisième indique que les phases de chacun des paramètres ne

sont pas indépendantes :

022*2112

*11 =+ SSSS

En ce qui concerne la matrice chaîne, sa diagonale principale est

purement réelle, l’autre étant purement imaginaire.

Les quadripôles formés d’éléments inductifs et capacitifs, lorsqu’ils

sont utilisés très loin de leur fréquence de résonance, peuvent être

considérés idéaux. L’observation de leur coefficient de qualité à la

fréquence de travail fournit alors des renseignements précieux.

De la même manière les quadripôles formés de tronçons de ligne

de transmission sont souvent considérés sans pertes s’ils sont

correctement choisis dans leur type, leurs dimensions et leur

fréquence de travail.

1.3.5. Le quadripôle réciproque passif sans pertes

L’étude du cas particulier que représente cette famille de

quadripôles est justifiée par son emploi intensif lors de la conception

des réseaux d’adaptation micro-ondes.

no pqrst uvrw x t y"s#q$qzw | ~

Le développement de la relation d’unitarité de la matrice [S] conduit

à :

0 = S S + S S

1 = |S| + |S|

1 = |S| + |S|

*2212

*1211

222

212

212

211

On en déduit que les modules des paramètres S11 et S22 d’un

quadripôle réciproque passif sans pertes sont égaux.

La troisième relation permet d’établir une relation entre les phases

des paramètres S11 , S12 et S22. Cette relation se simplifie si le

quadripôle est symétrique.

1211 22

= +

2 +

2Φ

Φ Φ π

La caractérisation des circuits linéaires en haute fréquence doit

donc utiliser un formalisme différent tenant compte du phénomène

de propagation proche des phénomènes optiques.

1.3.6. Décalage des plans de référence

Aux fréquences microondes, la longueur d’onde est du même ordre

de grandeur que la taille du circuit. Il en résulte une variation rapide

des tensions et des courants incidents et réfléchis aux accès des

circuits. La mesure des paramètres S qui en découle nécessite la

détermination des plans de mesure également appelés plans de

référence. De façon pratique, ceux ci sont fixés par le système de

mesure : pour l’analyseur de réseau vectoriel il s’agira des

connecteurs utilisés pour la calibration.

"#$

S

P2P1

Figure 1-15: Plans de référence d'unquadripôle

Si on souhaite connaître les paramètres S définis par rapport à

d’autres plans de référence, tout se passe comme si la mesure était

effectuée dans les conditions indiquées sur la figure ci dessous.

P2

P1

P'1

P'2

[ S']

[ S]

Figure 1-16: Insertion de quadripôles connus aux accès du quadripôle à mesurer

Intuitivement on comprend bien que la connaissance des

quadripôles insérés à chacun des accès, associée à la

connaissance des paramètres S du quadripôle initial permet de

caractériser complètement le quadripôle global.

"#$

Ce problème est particulièrement simple à résoudre lorsque les

quadripôles insérés aux accès sont des lignes de transmission

d’impédance caractéristique l’impédance de référence du système

de mesure (50 ohms dans la quasi totalité des cas). Il suffit en effet

de définir la matrice caractéristique de déplacement des plans de

référence :

[ ]

= −

−

2

1

exp0

0expl

l

Dγ

γ

¡£¢ ¤¦¥¨§ ©«ª¦¬®¯¤°¥±©²³¥´¢¶µ·¢¹¸·º´¬®¸»© ¼·©¥½ ¬®¾ª¦¬®¿À¸·§ ¢¯Á¯¢Â¤»Ã·ºÄ§ ©Å§Æ½ ¼²»¢ÈÇÈ§1 et l2 les

longueurs des tronçons de ligne aux accès 1 et 2.

La matrice S du quadripôle global s’écrit alors :

[ ] [ ][ ][ ]DSDS ='

Cette relation s’étend sans aucun problème aux systèmes à n

accès. La matrice de déplacement s’écrit alors :

[ ]

=

−

−

nl

l

D

γ

γ

exp00

00

00

00exp 1

ÉÊË

ËÊÉ

ÌÍ ÎÏÐÑÒ ÓÔÐÕ Ö Ò ×"Ñ#Ï$ÏØÕÙ Ú ÛÜ

Les paramètres S dans les nouveaux plans de référence

s’expriment de la façon suivante :

( )

=

=+−

−

ji

i

ll

ijij

liiii

SS

SSγ

γ

exp

exp'

2'

En pratique, c’est très souvent la relation réciproque que l’on utilise.

Elle permet en effet de connaître les paramètres S d’un dispositif

dans des plans qui ne sont pas accessibles à la mesure. C’est

notamment le cas pour les circuits intégrés MMIC. Cette opération

s’appelle le « deembedding ».

ÝÞ ßàáâã äåáæ ç ã è"â#à$àéæê ë ì±í

1.4. Stabili té des quadripôles

L’étude des quadripôles non réciproques est fondamentale pour

l’étude de la plupart des circuits micro-ondes, et plus précisément

pour les circuits actifs (amplificateurs, oscillateurs, etc ...).

Considérons donc un quadripôle quelconque (caractérisé par ses

paramètres S) chargé par deux impédances quelconques.

S î L

î 2î 1

î S

Figure 1-17 : Conventions pour l’étudedes quadripôles non réciproques

Puisque le quadripôle est caractérisé par sa matrice [S], on peut

écrire :

1 1112 21 L

22 L

11 S L

22 L

= S +S S

1- S =

S -

1- SΓ

ΓΓ

∆ ΓΓ

2 2212 21 S

11 S

22 S S

11 S

= S +S S

1- S =

S -

1- SΓ

ΓΓ

∆ ΓΓ

Si les charges sont passives (c’est-à-dire à partie réelle positive) la

condition de stabilité d’un quadripôle se traduit par |Γ1| < 1 et |Γ2| <

1. Autrement dit, un quadripôle stable ne peut pas réfléchir plus

d’énergie qu’il n’en reçoit.

ïð ñòóôõ ö÷óø ù õ ú"ô#ò$òûøü ý þÿ

La première condition (respectivement la deuxième condition) peut

s’écrire

|S - |<|1- S | (respectivement |S - |<|1S | ).11 s L 22 L 22 s s 11 s∆ Γ Γ ∆ Γ Γ

On peut déterminer la frontière d’instabilité en résolvant les

équations |Γ1| = 1 et |Γ2| = 1 dans les plans de ΓL et ΓS. Les

solutions sont des cercles (appelés cercles de stabilité) dont les

équations caractéristiques sont :

L22 S 11

* *

222

S2

12 21

222

S2 -

( S - S )

|S | -| | =

S S

|S | -| |Γ

∆∆ ∆

S11 S 22

* *

112

S2

12 21

112

S2 -

( S - S )

|S | -| | =

S S

|S | -| |Γ

∆∆ ∆

Les valeurs de ΓL (respectivement ΓS ) conduisant à |Γ1| = 1

(respectivement |Γ2| = 1 ) forment un cercle de centre

122 S 11

* *

222

S2C =

( S - S )

|S | -| |

∆∆

(Respectivement 211 S 22

* *

112

S2C =

( S - S )

|S | -| |

∆∆

)

et de rayon 112 21

222

S2R =

S S

|S | -| |∆(Respectivement 2

12 21

112

S2R =

S S

|S | -| |∆)

appelé cercle de stabilité en sortie (respectivement cercle de stabilité en entrée).

A un point de fréquence, on peut mesurer les paramètres S d’un

quadripôle, et connaissant les charges, calculer les équations des

cercles de stabilité pour les représenter sur l’abaque de Smith.

Figure 1-18 : Cercles de stabilité

L’intersection des cercles de stabilité en sortie (respectivement en

entrée) avec l’abaque de Smith forme une zone qui est la partie

instable de l’abaque si |S11| < 1 (respectivement |S22| < 1 ) et la

partie stable si |S11| > 1 (respectivement |S22| > 1 ).

Les deux cas de figure sont représentés sur la figure ci dessous.

zo n e in stab les i |S | < 1

1 1

zo n e stab les i |S | > 1

1 1

Figure 1-19 : Zones de stabilité etd’instabilité

Si la charge de sortie (respectivement d’entrée) est une charge 50

ohms, le coefficient de réflexion en entrée (respectivement en

sortie) est égal à S11 (respectivement S22). La stabilité de la zone

! "#$%& '($) *& +%##,)-. /10

incluant le centre de l’abaque est donc dictée par les coefficients de

réflexion propres du quadripôle. Cette zone sera donc stable si |S11|

< 1 (respectivement |S22| < 1 ) et instable si |S11| > 1

(respectivement |S22| > 1 ).

La stabilité inconditionnelle d’un quadripôle est acquise lorsque

aucune charge passive (en sortie ou en entrée) ne conduit à un

coefficient de réflexion (en entrée ou en sortie) de module supérieur

à un. Dans les cas les plus courants, les quadripôles utilisés aux

hyperfréquences ont des coefficients de réflexion propres de

module inférieur à l’unité, et on obtient la stabilité inconditionnelle

lorsque les cercles de stabilité sont complètement à l’extérieur de

l’abaque, ou l’entourent complètement. La Figure 1.14 est une

illustration de cette propriété de la stabilité inconditionnelle des

quadripôles.

zo n e s tab le

Figure 1-20 : Stabilité inconditionnelle

23 45678 9:6; <8 =755>;?@ AB

Ces conditions s’écrivent :

1|<S| si 1 > |R-|C||

.

1|<S| si 1 > |R-|C||

2222

1111

REMARQUE :

Si les coefficients de réflexion propres du quadripôle ont un module

supérieur à l’unité, il ne peut pas y avoir de stabilité inconditionnelle

puisque le centre de l’abaque est instable par définition.

On peut également traduire les conditions de stabilité

inconditionnelle en introduisant K, le facteur de stabilité de Rollett:

2112

22

22

2

11

2

1

SS

SSK s∆+−−

=

Les conditions nécessaires et suffisantes s’écrivent alors sous l’une

ou l’autre des trois formes suivantes:

<∆>

>∆−−+=

>

>−

>−

>

1

1

01

1

1

1

1

22

22

2

11

2112

2

22

2112

2

11

S

s

K

SSB

K

SSS

SSS

K

CD EFGHI JKGL MI NHFFOLPQ R1R

1.5. Transfert de puissance dans les c ircuits

microond es

Lors de la conception de circuit micro-ondes, on utilise plusieurs

grandeurs caractéristiques du transfert de puissance que l’on va

détailler maintenant.

1.5.1. Pertes par désadaptation

Le calcul des pertes par désadaptation utilise les conventions de la

figure 1.21.

PLP

A VS

Figure 1-21 : Pertes par désadaptation

Les pertes par désadaptation ML (Mismatch Loss) se définissent

comme le rapport de la puissance effectivement délivrée à la

charge sur la puissance disponible de la source:

AVS

L

P

PML =

ST UVWXY Z[W\ ]Y ^XVV_\`a b1c

On a vu précédemment que la puissance disponible d’un

générateur de coefficient de réflexion interne ΓS s’écrit :

2

2

12

1

S

SAVS

bP

Γ−=

La puissance délivrée à la charge vaut :

( ) ( )22

1

2

1

2

1 12

1

2

1LL abaP Γ−=−=

On voit que les pertes par désadaptation font apparaître le rapport

a1/bS:

( )( )222

1 11 LSSb

aML Γ−Γ−=

Ce rapport vaut :

LSSb

a

ΓΓ−=

1

11

Finalement les pertes par désadaptation s’écrivent :

( )( )2

22

1

11

LS

LSMLΓΓ−

Γ−Γ−=

Exemple :

Les pertes par désadaptation entre une charge 40 Ω et une charge

60 Ω valent : dB 18.004.1 ==ML

de fghij klhm nj oiggpmqr s1t

1.5.2. Gains en puissance des quadripôles

On définit le gain transducique GT comme le rapport de la

puissance délivrée à la charge sur la puissance disponible du

générateur. Le gain en puissance GP représente le rapport de la

puissance délivrée à la charge sur la puissance entrant

effectivement dans le quadripôle. Enfin, le gain disponible se définit

comme le rapport de la puissance disponible du quadripôle sur la

puissance disponible du générateur.

S

Pi n

PA VN

PLP

A VS

Figure 1-22 : Puissances mises en jeu

uv wxyz |y~ zxx~

Ces différents gains s’expriment en fonction des paramètres S du

quadripôle et des coefficients de réflexion de source et de charge

(les différentes expressions provenant de la façon de calculer les

gains) :

( ) ( )( )( )

||1-|S|

S

||1-

P

PG

S-1

||1-|S|

P

PG

-1

||1-|S|

S

||1-

S-1

||1-|S|

||1-

SSS-1S-1

||1-|S|||1-

P

P= G

2

221

S

2S

AVS

AVNA

L22

2L2

21

IN

LP

L2

2L2

21

S

2S

L22

2L2

21

S

2S

LSL22S11

2L

221

2S

AVS

LT

ΓΓ−Γ==

ΓΓ

Γ−==

ΓΓΓ

Γ−Γ=

ΓΓ

ΓΓ−Γ=

ΓΓ−ΓΓΓΓ=

22

11

22

1

22

11

22

1

2

2112

1

1

1

1

11

Le gain transducique est toujours inférieur ou égal au gain

disponible GA (respectivement au gain en puissance GP), l’égalité

n’étant assurée que pour un transfert de puissance optimum en

sortie (respectivement en entrée).

1.5.2.1. Calcul du gain transducique avec les

graphes

On peut établir la formule du gain transducique en utilisant la

théorie des graphes.

1

a b1 2

S1 1

S2 2

S2 1

S1 2 a2b1

bs1

s

L

Figure 1-23: Graphe de fluence d'unquadripôle alimenté et chargé

Le gain transducique est le rapport entre la puissance délivrée à la

charge PL et la puissance disponible du générateur PAVS.

On peut mettre PL et PAVS sous la forme suivante :

( ) ( )22

2

2

2

2

2 12

1

2

1LL babP Γ−=−=

2

2

12

1

S

SAVS

bP

Γ−=

Le calcul du gain transducique se réduit donc au calcul de la

fonction de transfert entre bs et b2 :

( )( )222

2 11 LSSAVS

LT b

b

P

PG Γ−Γ−==

Le seul chemin entre bs et b2 est :

C1 = S21

Les boucles du premier ordre sont : ΓSS11, ΓLS22 et S12S21ΓSΓL

Il existe ici une boucle du second ordre : ΓSS11ΓLS22

¡ ¢ £¤¡¥¦ §¨

On en déduit la fonction de transfert entre bs et b2 :

( ) 221121122211

212

1 SSSSSS

S

b

b

LSLSLSS ΓΓ+ΓΓ+Γ+Γ−=

Le gain transducique s’en déduit par factorisation du dénominateur :

( )( ) ( ) ( )( )( ) 2

21122211

22

21

222

2

2

11

1111

LSLS

LSLS

SAVS

LT

SSSS

S

b

b

P

PG

ΓΓ−Γ−Γ−

Γ−Γ−=Γ−Γ−==

1.5.2.2. Calcul littéral du gain transducique

Cette façon de procéder diffère uniquement par la manière de

calculer la fonction de transfert entre bS et b2. Il s’agit ici de la

décomposer comme suit :

SS b

a

a

b

b

b 1

1

22 ⋅=

Les équations qui régissent le comportement d’un quadripôle

alimenté et chargé sont rappelées ci dessous :

Γ=Γ=

+=+=

22

11

2221212

2121111

ba

ba

aSaSb

aSaSb

L

S

On en déduit :

LS

S

a

b

Γ−=

22

21

1

2

1

On a également vu (paragraphe 1.2.7.2) que l’onde directe émise

par un générateur (bS, ΓS) vers une charge ΓL se mettait sous la

forme :

©ª «¬®¯ °±² ³¯ ´®¬¬µ²¶· ¸¹

1ΓΓ SL

S

-1b = a

Ici la charge est égale à Γ1, le coefficient de réflexion d’entrée du

quadripôle chargé par ΓL:

ΓΓ=

ΓΓ SSS

S

-1b

a

-1b = a

1

1

11

1où d'

On aboutit à une autre forme du gain transducique :

( )( ) ( ) ( )( )( ) 2

221

22

21

222

2

1

2

1

2

11

1111

LS

LSLS

SAVS

LT

S

S

b

a

a

b

P

PG

Γ−ΓΓ−

Γ−Γ−=Γ−Γ−==

1.5.2.3. Relations entre les gains en puissance

Les trois gains sont bien entendu reliés entre eux, et la seule

connaissance du gain transducique (le plus général des trois) suffit

pour retrouver les deux autres puisqu’il tient compte du quadripôle

lui-même, mais aussi des deux impédances de charge. En effet, le

gain en puissance (respectivement le gain disponible) s’obtient en

supposant l’adaptation d’entrée (respectivement de sortie) idéale

dans la formule du gain transducique. Les adaptations idéales en

entrée et en sortie se traduisent par Γ1 = Γ*S et Γ2 = Γ*

L .

1.5.2.4. Relation entre gain transducique et

pertes par désadaptation

Le calcul des pertes par désadaptation peut être effectué à l’aide du

gain transducique d’un quadripôle particulier dont les paramètres S

sont donnés ci dessous :

S11 = 0, S12 = 1, S21 = 1 et S22 = 0

º» ¼½¾¿À ÁÂ¾Ã ÄÀ Å¿½½ÆÃÇÈ ÉÊ

On obtient alors :

( )( )2

22

1

111

LS

LST ML

GΓΓ−

Γ−Γ−==

1.5.2.5. Expression du gain transducique en

fonction des paramètres chaîne

En fonction des paramètres chaîne, la tension et le courant à

l’entrée du quadripôle s’expriment en fonction de la tension et du

courant à la sortie :

221

221

DICVI

BIAVV

−=−=

Si la sortie est chargée par ZL, on a :

22 IZV L−=

ce qui permet d’écrire :

( )( ) 21

21

IDCZI

IBAZV

L

L

+−=+−=

La puissance disponible du générateur vaut :

2

2

22

11

2

888I

R

DZZCZBAZ

R

IZV

R

EP

S

SLSL

S

S

S

SAVS

+++=

+==

La puissance dissipée dans la charge s’écrit :

ËÌ ÍÎÏÐÑ ÒÓÏÔ ÕÑ ÖÐÎÎ×ÔØÙ Ú1Û

2

22

1IRP LL =

Le gain transducique s’en déduit :

2

4

SLSL

LS

AVS

LT

DZZCZBAZ

RR

P

PG

+++==

1.5.2.6. Gain transducique unilatéral

Une simplification importante intervient pour les quadripôles

unilatéraux (S12 = 0). Le gain transducique associé (appelé gain

transducique unilatéral) se simplifie de la façon suivante :

TUS

2

11 S2 21

2 L2

22 L2G =

1-| |

|1- S | |S |

1-| |

|1- S |

ΓΓ

ΓΓ

Puisqu’il n’y a plus de réaction de la sortie sur l’entrée, on peut

donner une signification physique aux trois termes qui composent

ce gain. Le premier caractérise le transfert d’énergie entre le source

et le quadripôle, le second représente le gain propre du quadripôle,

alors que le troisième mesure la désadaptation en sortie.

ÜÝ Þßàáâ ãäàå æâ çáßßèåéê ëì

Si les adaptations en entrée et en sortie sont parfaites (ΓS = S*11 et

ΓL = S*22) le gain unilatéral sera maximum et vaudra :

TUmax11

2 212

222G =

1

1-|S | |S |

1

1-|S |

Lorsque l’on calcule des circuits amplificateurs aux fréquences

micro-ondes (quelques GHz), on utilise souvent cette formule pour

approximer le gain maximum que l’on peut espérer tirer de

l’amplificateur si le transistor peut être considéré unilatéral (|S12| < -

20 dB).

Exemple :

Considérons un transistor MESFET AsGa possédant les

paramètres S suivants à 1 GHz (transistor Avantek ATF-25735) :

S11=0.94 exp –j 45° S12=0.04 exp –j 64°

S21=4.61 exp j 142° S22=0.52 exp –j 20°

Le gain du transistor entre deux charges 50 ohms vaut :

dB 3.1325.212

2150 ===Ω SG

íî ïðñòó ôõñö ÷ó øòððùöúû ü1ý

Si on place le transistor entre ses deux charges complexes

conjuguées, le gain vaut alors :

dB 244.13.133.9

25037.125.2159.8

1

1

1

12

22

2

212

11

max

=++==××=

−−=

SS

SGtu

Favoriser le transfert de puissance aux accès augmente le gain et

ceci d’autant plus que le coefficient de réflexion propre du transistor

est éloigné de 50 ohms.

1.5.3. Gain en tension

On peut exprimer les tensions à l’entrée et à la sortie d’un

quadripôle en fonction des ondes incidentes et réfléchies aux

accès.

V2

V1

VS

þi n

þS

Zi n

ZS þ

LZ

L

Figure 1-24: Conventions pour le calculdu gain en tension

ÿ

Si R0 est la résistance de normalisation :

( )( )

+=

+=

2202

1101

baRV

baRV

On peut définir une forme de gain en tension du quadripôle de la

façon suivante :

11

22

1

2

ba

ba

V

VGV +

+==

On peut calculer ce gain en tension avec la théorie des graphes en

introduisant la variable indépendante bS :

SS

SSV

b

b

b

ab

b

b

a

ba

ba

V

VG

11

22

11

22

1

2

+

+=

++

==

Il ne reste plus qu’à calculer les 4 fonctions de transfert

élémentaires.

Les boucles du premier ordre sont : ΓSS11, ΓLS22 et S12 S21ΓSΓL

Il n’y a qu’une boucle du second ordre : ΓSS11ΓLS22

Avec la règle de Mason on obtient :

( ) 221121122211

212

1 SSSSSS

S

b

a

LSLSLS

L

S ΓΓ+ΓΓ+Γ+Γ−Γ

=

( ) 221121122211

212

1 SSSSSS

S

b

b

LSLSLSS ΓΓ+ΓΓ+Γ+Γ−=

!"#$ % &"' ($ )#!!*'+, -.

( ) 221121122211

221

1

1

SSSSSS

S

b

a

LSLSLS

L

S ΓΓ+ΓΓ+Γ+Γ−Γ−

=

( )( ) 221121122211

211222111

1

1

SSSSSS

SSSS

b

b

LSLSLS

LL

S ΓΓ+ΓΓ+Γ+Γ−Γ+Γ−

=

On en déduit le gain en tension :

( )( ) LLL

LV SSSSS

SG

Γ+Γ−+Γ−Γ+

=2112221122

21

11

1

On peut en tirer l’expression du gain en tension G’V défini comme le

rapport entre la tension de sortie V2 et la tension aux bornes du

générateur non chargé VS :

( ) ( )( )

( )( ) LLL

L

inS

Sin

Sin

inV

SS

VSSSSS

S

ZZ

ZG

V

V

V

V

V

VG

Γ+Γ−+Γ−Γ+

ΓΓ−Γ−Γ+

=+

===2112221122

211

1

22'

11

1

12

11

1.5.3.1. Relation entre gain en tension et gain

transducique

On rappelle que le gain transducique est défini comme le rapport de

la puissance délivrée à la charge sur la puissance disponible du

générateur.

Avec les conventions utilisées, et en posant :

)(

)(

LL

SS

ZReR

ZReR

==

/0 12345 6 738 95 :422;8<= >?

On obtient :

2'2

2

2

2

2

2

44

8

2

1

VL

S

SL

S

S

S

L

AVS

LT G

R

R

V

V

R

R

R

V

R

V

P

PG ====

@A BCDEF G HDI JF KECCLIMN OP

2. DISPOSITIFS MICROONDES

QR STUVW X YUZ [W \VTT]Z^_ `ba

2.1. L’atténuateur

2.1.1. Fonctionnement

L’atténuateur idéal est un quadripôle réciproque, dissipatif

parfaitement adapté. En conséquence, sa matrice S s’écrit :

S = 0 S

S 0 avec |S |< 1

12

12

12

Lorsqu’un tel quadripôle est inséré entre deux charges égales à la

résistance de normalisation, l’atténuation introduite vaut : A = 20 log

|S21| dB

En pratique, on tient compte d’une éventuelle désadaptation, d’un

déphasage parasite voire d’une dépendance en fonction de la

fréquence.

2.1.2. Technologie

Les atténuateurs microondes peuvent être fixes ou variables voire

commandables par un signal logique suivant la technologie et la

topologie employées pour les concevoir.

cd efghi j kgl mi nhffolpq r s

2.1.2.1. Eléments localisés

Les structures les plus courantes sont les structures en pi et en té.

Z1Z2

Z3

Z1 Z2

Z3

Figure 2-1 : Topologies d’atténuateursrésistifs

Les valeurs des résistances sont fonction de l’atténuation souhaitée

et des impédances de fermeture.

• Pour la structure en pi:

ZZ

A

1-A

2 = Z

Z-1-A

1+A

Z

1 = Z

Z-1-A

1+A

Z

1 = Z

outin3

3out

2

3in

1

tu vwxyz |x ~z yww b

• Pour la structure en té :

1-A

AZZ2 = Z

Z-1-A

1+AZ = Z

Z-1-A

1+AZ = Z

outin3

3out2

3in1

Si on souhaite une plus grande latitude dans le choix des

composants, ou une puissance dissipée plus importante, la

structure en té ponté peut être utilisée :

Rc

Rs R s

R p

Figure 2-2 : Atténuateur en té ponté

2.1.2.2. Guide d’onde

Un guide d’onde sous la coupure met en jeu des ondes

évanescentes dont l’atténuation dépend de la fréquence de travail

et de la distance parcourue. En faisant varier cette distance par des

dispositifs micrométriques on règle avec précision l’atténuation

introduite dans le signal.

2.1.2.3. Circuits intégrés

Les transistors MESFET utilisés dans les circuits intégrés MMIC

peuvent être utilisés comme résistance commandable pour former

des atténuateurs en pi ou en té.

2.1.3. Applications

Voici une liste non exhaustive des applications d’un atténuateur.

2.1.3.1. Protection d’un appareil de mesure

Un atténuateur peut être utilisé pour protéger un dispositif contre les

trop fortes puissances. Il est courant d’introduire une telle protection

dans une chaîne de mesure où les récepteurs sont toujours limités

en puissance d’entrée (analyseur de spectre, analyseur de réseau

vectoriel).

> 10 d B

40 d B m 30 dB mm ax !

Figure 2-3 : Protection d’un appareil demesure

¡¢£¤ ¥b¦

2.1.3.2. Masquage d’une désadaptation

En introduisant un atténuateur en amont d’un dispositif désadapté

(de manière permanente ou accidentelle), on affaiblit le signal

réfléchi ce qui a pour effet d’améliorer la protection de la source.

10 d B10 d B m

| § | = 1

- 1 0 dB m 0 dB m

0 dB m

Figure 2-4 : Masquage d’unedésadaptation

L’inconvénient réside dans l’affaiblissement simultané du signal

réfléchi mais également du signal incident.

¨© ª«¬® ¯ °¬± ²® ³««´±µ¶ ·¸

2.2. Le déphaseur


Le déphaseur idéal est un quadripôle réciproque non dissipatif,

parfaitement adapté. Sa matrice S est donc de la forme :

S = 0

0

j

j

Φ

Φ

exp

exp

Lorsqu’un tel déphaseur est inséré entre deux charges égales à la

résistance de normalisation, le déphasage introduit vaut : Arg (S21)

= φ.

En pratique on tient compte d’une éventuelle désadaptation, d’une

atténuation parasite, voire d’une dépendance en fonction de la

fréquence.

2.2.2. Technologie

Les déphaseurs microondes peuvent être fixes ou variables voire

commandables par un signal logique suivant la technologie et la

topologie employées pour les concevoir.

2.2.2.1. Eléments localisés

Les structures en pi, passe haut ou passe bas permettent

d’apporter un déphasage positif ou négatif.

¹º »¼½¾¿ À Á½Â Ã¿ Ä¾¼¼ÅÂÆÇ ÈÉ

Figure 2-5 : Topologies de déphaseurs

Exemple :

On souhaite réaliser un déphaseur 90° sy métrique, sans pertes,

adapté fonctionnant à la fréquence de 1 GHz à partir d’une

topologie en pi. On prendra les conventions de la figure suivante :

3.2 p F

8 n H8 n H

Figure 2-6: Structure en pi

La matrice S du déphaseur se met sous la forme suivante :

=

°

°

0j

j0

0

0 = S

j

j

D

exp

exp

90

90

La matrice chaîne permet de cascader facilement des éléments

série et parallèle en utilisant les matrices élémentaires fournies en

annexes.

ÊË ÌÍÎÏÐ Ñ ÒÎÓ ÔÐ ÕÏÍÍÖÓ×Ø ÙÙ

La matrice chaîne du circuit en pi s’écrit :

++

+

yzyzy

zyz = CC

1)2(

1

En utilisant les formules de passage des paramètres S vers les

paramètres chaîne également données en annexe, on obtient :

−

−

0j

j0 = CD

En égalant les matrices CC et CD, on obtient les impédances

normalisées:

jy

jz

−=−=

L’élément série est donc une capacité alors que les éléments

parallèles sont des inductances :

ω

ω

jLjy

jCjz

50

50

1

=−=

=−=

En dénormalisant par rapport à 50 ohms et 1 GHz, on obtient la

structure finale.

ÚÛ ÜÝÞßà á âÞã äà åßÝÝæãçè éê

3.2 p F

8 n H8 n H

Figure 2-7 : Déphaseur 90° à 1 GHz

2.2.2.2. Eléments distribués

Aux fréquences microondes, les dimensions du circuit ne sont ni

très petites devant la longueur d’onde (comme c’est le cas aux

basses fréquences), ni très grandes (comme c’est le cas en

optique). Un déphasage significatif est donc apporté dès que le

signal se propage sur quelques centimètres. On comprend bien

qu’un tronçon de ligne de transmission permet de réaliser cette

fonction.

Un cable coaxial dont le diélectrique central possède une

permittivité diélectrique relative de 2.1 apporte un déphasage de

90ë

à 1 Ghz s’il mesure 5.2 cm.


Les topologies utilisées en éléments localisés sont directement

transposable, dans leur principe, aux circuits intégrés MMIC.

ìí îïðñò ó ôðõ öò ÷ñïïøõùú ûü

2.2.3. Applications

Un déphaseur 90° peut être utilisé dans un modulateur

hyperfréquences pour générer deux signaux en quadrature.

90°

+

V o ie I

V o ie Q

Figure 2-8 : Modulateur QAM

Ce type de modulateur se retrouve par exemple dans les émetteurs

de radiocommunications spatiales ou terrestres. On le retrouve

également dans la partie démodulation des récepteurs

correspondants.

ýþ ÿ

2.3. L’isolateur


L’isolateur idéal est un quadripôle dissipatif parfaitement adapté.

Si on prend la convention d’un transfert d’énergie de l’accès 1 vers

l’accès 2, sa matrice S s’écrit :

0

0 = S

1

0

Par définition, un tel dispositif est non réciproque puisqu’il transmet

parfaitement le signal dans un sens, alors qu’il l’atténue infiniment

dans l’autre sens.

En pratique, on tient compte d’une éventuelle désadaptation, d’une

atténuation dans le sens direct, d’une atténuation non infinie dans le

sens inverse et d’une dépendance en fonction de la fréquence.

2.3.2. Technologie

2.3.2.1. Technologie hybride

Les isolateurs passifs sont réalisés à partir de morceaux de ferrites

montés sur support et connectorisés. Les ferrites sont des

matériaux dont le comportement dépend de l’orientation du champ

électrique qui lui est appliqué.


On peut utiliser les S12 des transistors MESFET pour réaliser des

isolateurs MMIC qui ont l’avantage d’avoir une taille réduite mais

présentent l’inconvénient d’accepter une puissance relativement

faible sous peine de destruction.

!"# $%! & '# (" )&*+ ,-

2.3.3. Applications

La principale application d’un isolateur consiste à protéger une

source d’un circuit de charge éventuellement désadapté.

10 d B m

| . | = 1

0 m W 1 0 dB m

1 0 dB m

Figure 2-9 : Protection d’une sourceavec un isolateur idéal

Un isolateur idéal apporte une protection parfaite de la source sans

affaiblir le signal incident.

En pratique on tient compte des imperfections de cet isolateur. On

suppose que sa matrice S s’écrit sous la forme suivante :

−

−

0

0 = S

dB 1

dB 20

On obtient alors le diagramme de transfert de puissance suivant :

10 d B m

| . | = 1

-11 dB m 9 dB m

9 dB m- 1 d B

- 20 dB

Figure 2-10 : Protection d’une sourceavec un isolateur réél

/0 12345 673 8 95 :422;8<= >?

2.4. Le circulateur


Un circulateur idéal est un hexapôle non dissipatif parfaitement

adapté. Sa matrice S s’écrit :

=

010

001

100

S

La distribution des signaux est conforme à la figure suivante :

1 2

3

Figure 2-11 : Circulateur idéal

En pratique, on tient compte d’une éventuelle désadaptation, d’une

atténuation dans le sens direct, d’une isolation non infinie dans le

sens inverse et d’une dépendance en fonction de la fréquence.

2.4.2. Technologie

D’un point de vue technologique, le circulateur met en oeuvre des

techniques identiques à celles utilisées pour les isolateurs. Très

souvent, les isolateurs hybrides sont constitués de circulateurs dont

l’un des accès est chargé par 50 ohms.

@A BCDEF GHD I JF KECCLIMN OQP

1 2

3

Figure 2-12 : Equivalence entrecirculateur chargé et isolateur

Suivant les imperfections de la charge, l’isolation équivalente varie

de la façon suivante :

T O S

Iso lat io n

1 2 3 4

0 d B

20 d B

Figure 2-13 : Dépendance de l’isolationen fonction de la charge

RS TUVWX YZV [ \X ]WUU^[_` ab

2.4.3. Applications

Voici une liste non exhaustive des applications mettant en jeu des

circulateurs.

2.4.3.1. Duplexage

Deux circulateurs peuvent être utilisés pour partager une antenne

entre un émetteur et un récepteur.

A n ten n e

Emet teu r

Récep teu r

50 o h ms

Figure 2-14 : Duplexeur

L’isolation entre émetteur et récepteur peut être relativement

importante (30 à 40 dB).

cd efghi jkg l mi nhffolpq rQs

2.4.3.2. Amplification à résistance négative

Aux fréquences élevées, les composants actifs ne sont pas toujours

disponibles et les amplificateurs peuvent être réalisés à partir de

dispositifs à résistance négative à base de diodes Gunn par

exemple.

I n p u tR < 0

O u t p u t

Figure 2-15 : Amplification à résistancenégative

tu vwxyz |x ~z yww Q

2.5. Diviseurs. Combineurs de puissance


Les diviseurs et combineurs de puissance sont des dispositifs

possédant au minimum trois accès. Lorsqu’ils sont utilisés en

diviseurs, il y a un accès d’entrée et deux ou plusieurs accès de

sortie. Les accès de sortie peuvent être isolés ou non. Lorsqu’ils

sont utilisés en combineurs, il y a deux ou plusieurs accès d’entrée

et un accès de sortie.

Pour le cas particulier d’un dispositif à 3 accès, la matrice S d’un

diviseur de puissance idéal dont les accès sont isolés est la

suivante (s’ils ne le sont pas, les paramètres S32 et S23 sont non

nuls):

S =

0 S S

S 0 0

S 0 0

21 31

21

31

La convention prise pour les accès est la suivante :

Diviseur1

2

3

Figure 2-16 : Diviseur de puissance

Q

Pour un combineur de puissance à 3 accès, la matrice S s’écrit :

0

00

00

32

32

SS

S

S

= S

31

31

La convention prise pour les accès est précisée dans la figure ci-

dessous.

Combineur

1

2

3

Figure 2-17 : Combineur de puissance

Si l’isolation entre les accès 2 et 3 (dans le cas de l’utilisation en

diviseur de puissance) n’est pas infinie., le paramètre S23 est non

nul. Les paramètres S23 et S32 ne sont nuls que si les accès 2 et 3

sont isolés.

Ces circuits sont généralement réversibles mais l’analyse de leur

comportement lorsqu’ils sont utilisée en combineurs de puissance

n’est simple, en général, que si les signaux à recombiner ont même

amplitude et même phase. Dans le cas contraire, il faut faire le

calcul littéral à partir de l’expression des ondes incidentes et

réfléchies.

¡¢£¤ ¥¦¥

2.5.2. Technologie

2.5.2.1. Diviseur résistif

En éléments localisés, on peut utiliser la structure symétrique

suivante :

R

R

R

Figure 2-18 : Diviseur de puissancerésistif

Lorsque ce dispositif est utilisé entre des charges 50 Ω, on peut

montrer (en calculant l’impédance d’entrée du circuit à un des accès

lorsque les deux autres sont chargés par 50 ohms) que le

coefficient de réflexion à l’un des trois accès s’écrit :

11 22 33S = S = S = R- 50 / 3

R+ 50

La transmission entre deux des trois accès se calcule en fermant

l’un des accès sur 50 ohms et en calculant le transfert de puissance

entre les deux autres (avec la matrice chaîne par exemple) :

50)+3(R

100 = S = S = S 323121

§¨ ©ª«¬ ®¯« ° ± ²¬ªª³°´µ ¶Q·

Si on choisit des résistances égales à 16.7 Ω, la matrice S devient :

S =

0 1 / 2 1 / 2

1 / 2 0 1 / 2

1 / 2 1 / 2 0

Quel que soit l’accès utilisé, la puissance appliquée à cet accès est

parfaitement divisée entre les deux autres accès, sans aucune

réflexion parasite. Ceci s’effectue au détriment de la moitié de la

puissance incidente qui est dissipée dans les résistances internes

au circuit. Les accès de sortie ne sont pas isolés.

16.7 ¸ 16.7 ¸

16.7 ¸1 0 m W 2 .5 m W

2 .5 mW

5 m W

Figure 2-19 : Bilan de puissance

¹º »¼½¾¿ ÀÁ½ Â Ã¿ Ä¾¼¼ÅÂÆÇ ÈQÉ

2.5.2.2. Diviseur combineur Wilkinson

En éléments distribués, on utilise la jonction de Wilkinson :

100 Ê 50 Ê

70.7 Ë

70.7 Ì

Í / 4

Í / 4

1

2

3

Figure 2-20 : Diviseur de Wilkinson

La matrice S s’écrit :

0021/-

0021/-

21/-21/-0

= S

Lorsqu’il est utilisé en diviseur de puissance, ce circuit est sans

pertes malgré la résistance de 100 ohms entre les accès 2 et 3.

Ceci provient du fait que les deux signaux arrivant aux accès 2 et 3

ont même amplitude et même phase ce qui conduit à une chute de

potentiel nulle à travers la résistance. Les accès de sortie de ce

diviseur sont isolés.

ÎÏ ÐÑÒÓÔ ÕÖÒ × ØÔ ÙÓÑÑÚ×ÛÜ ÝÞ

2.5.3. Applications

2.5.3.1. Boucle à verrouillage de phase

On cherche à prélever une partie du signal d’un oscillateur pour

l’asservir.

PL L

Figure 2-21 : Prélévement de puissancepour un asservissement

Le calcul des résistances doit tenir compte de la puissance

maximum admissible par la PLL qui se situe souvent autour de 0

dBm.

2.5.3.2. Amplification de puissance

On peut combiner deux signaux issus d’amplificateurs pour obtenir

une puissance de sortie plus importante, tout en utilisant les

amplificateurs dans leur zone linéaire.

1 0 m W1 0 dB m

5 m W7 dB m

5 m W7 dB m

5 0 m W1 7 dB m

5 0 m W1 7 dB m

1 0 0 m W2 0 dB m

Figure 2-22 : Combinaison de puissance

ßà áâãäå æçã è éå êäââëèìí îQï

2.6. Coup leur bidirectionn el


Les coupleurs bidirectionnels sont des dispositifs à 4 accès

permettant de prélever une fraction calibrée de la puissance

incidente et réfléchie. La matrice S idéale d’un tel coupleur que l’on

suppose réciproque et adapté s’écrit de façon générale:

0SSS

S0SS

SS0S

SSS0

= S

34

34

2414

2313

242312

141312


1

2

3

4

1 3

42

Figure 2-23 : Coupleur bidirectionnel

Si on fait l’hypothèse que le circuit est sans pertes, la condition

d’unitarité de la matrice S s’applique :

[ ]1. * =SSt

En développant, on obtient :

ðñ òóôõö ÷øô ù úö ûõóóüùýþ ÿ

=++

=++

=++

=++

1

1

1

1

2

34

2

24

2

14

2

34

2

23

2

13

2

24

2

23

2

12

2

14

2

13

2

12

SSS

SSS

SSS

SSS

En soustrayant 2 à 2 les deux premières équations puis les deux

dernières, il vient :

+=+

+=+2

24

2

14

2

23

2

13

2

24

2

23

2

14

2

13

SSSS

SSSS

On en déduit :

2314 SS =

En introduisant cette relation dans le système d’équations issu de la

relation d’unitarité, on aboutit à :

=++

=++

=++

=++

1

1

1

1

2

34

2

24

2

14

2

34

2

14

2

13

2

24

2

14

2

12

2

14

2

13

2

12

SSS

SSS

SSS

SSS

Les deux premières équations conduisent à :

2413 SS =

Cette nouvelle égalité permet de faire évoluer le système

d’équations vers :

!

=++

=++

1

12

34

2

14

2

13

2

14

2

13

2

12

SSS

SSS

ce qui permet d’écrire :

3412 SS =

En résumé, un coupleur bidirectionnel présente donc les

caractéristiques suivantes :

=

=

=

3412

2413

2314

SS

SS

SS

La première propriété est la symétrie de couplage. La troisième est

la symétrie d’isolation.

D’un point de vue terminologie on introduit les notions suivantes :

Pertes d’insertion S31, S13

Couplage S41 , S32

Isolation S21 , S43

Directivité S41 / S21

2.6.2. Technologie

2.6.2.1. Guides d’ondes

Deux tronçons de guide d’onde rectangulaire sont superposés pour

réaliser le dispositif à 4 accès. Le couplage énergétique entre les

"# $%&' ( )*&+ ,( -'%%.+/0 12

deux guides est réalisé à l’aide de trous dont la forme, l’espacement

et la position déterminent les caractéristiques électriques.

2.6.2.2. Coupleur microstrip

Deux tronçons de lignes microstrip sont gravés sur un substrat.

s

w

3 / 4

Figure 2-24 : Coupleur microstrip

Le couplage électromagnétique entre les deux lignes est fonction de

la longueur l du coupleur, de la largeur w des lignes microstrip qui le

composent et de l’espacement entre ces lignes. Comme tout calcul

analytique exact est impossible, les dimensions sont calculées soit

à l’aide de formules empiriques soit par des techniques d’analyse

numérique.

2.6.3. Applications

Les applications des coupleurs bidirectionnels utilisent le fait que la

fraction de puissance prélevée est très faible (-10 dB, -20 dB), ce

qui ne perturbe quasiment pas la voie directe.

2.6.3.1. Contrôle de niveau, asservissement

Un coupleur directionnel permet de prélever une partie de la

puissance émise par une source soit pour l’afficher après

45 6789 : ;<8= >: ?977@=AB CD

compensation des coefficients de couplage, soit pour générer un

signal d’asservissement.

50 ohm s

50 ohm s

Figure 2-25 : Contrôle de niveau etasservissement

2.6.3.2. Mesure d’un coefficient de réflexion

Le coupleur bidirectionnel est symétrique, ce qui assure l’égalité des

coefficients de couplage S41 et S32. Le montage suivant permet

donc de mesurer le coefficient de réflexion d’une charge en

évaluant le rapport des signaux α et β.

E F G H I

G I

Figure 2-26 : Mesure d’un coefficient deréflexion

JK LMNO P QRNS TP UOMMVSWX YZ

2.7. Jonctions hybrides


Les jonctions hybrides sont un cas particulier des coupleurs

bidirectionnels étudiés précédemment. Ils en possèdent donc toutes

les propriétés mais ils ont pour particularité de diviser en deux

parties égales un signal incident, ces deux fractions de signal se

retrouvant en opposition de phase ou en quadrature suivant le cas.

D’autre part ces 4 accès sont regroupés par paires et les deux

accès de chaque paire sont isolés l’un de l’autre. La matrice S d’une

jonction hybride s’écrit donc :

00SS

00SS

SS00

SS00

= S

2414

2313

2423

1413

avec 2

124231413 ==== SSSS

Puisque la puissance est équirépartie entre les accès 3 et 4, l’accès

2 est complètement isolé.


1

2

3

4

Figure 2-27 : Jonction hybride

On peut montrer qu’il n’existe que deux matrices satisfaisant

l’équirépartition en puissance.

[\ ]^_` a bc_d ea f`^^gdhi jk

001j

00j1

1j00

j100

2

1 = S90

001-1

0011

1-100

1100

2

1 = S180

La jonction hybride 90° est entièrement symétrique. Le signal

d’entrée peut être appliqué indifféremment à l’accès 1 et à l’accès

2, les accès 3 et 4 seront toujours en quadrature. Par contre, la

jonction hybride 180° possède une voie «somme» et une voie

«différence». Un signal appliqué à l’accès 1 sera divisé en deux

signaux identiques en amplitude et en phase que l’on retrouvera sur

les accès 3 et 4 : l’accès 1 est dit voie somme ou voie Σ. Un signal

appliqué à l’accès 2 sera divisé en deux signaux identiques en

amplitude mais en opposition de phase sur les accès 3 et 4.

L’accès 2 est dit voie différence ou voie ∆.

lm nopq r stpu vr wqooxuyz

2.7.2. Technologie

2.7.2.1. Technologie microstrip

La jonction «branchline» est une jonction 90° formée de quatre

tronçons de ligne quart d’onde.

50 |

50 | 50 |

50 |

50 | 50 |

35.36 |

35.36 |

/ 4

/ 4

Figure 2-28 : Jonction branchline

Le coupleur de Lange est également une jonction 90° :

1

2

3

4

w

s

~ / 4

Figure 2-29 : Coupleur de Lange

La jonction «rat race» est une jonction 180° :

50 Ω

35.36 λ / 4

λ / 4

50 Ω

50 Ω50 Ωλ / 4

λ / 4

1

2

3

4

Figure 2-30 : Jonction «rat - race»

2.7.2.2. Autres technologies

Aux fréquences RF on réalise des jonctions à partir de

transformateurs permettant ainsi de réduire la taille de ces

dispositifs. En technologie MMIC, de telles jonctions sont réalisées

en éléments localisés.

2.7.3. Calcul des matrices S des dispositifs

présentant un axe de symétrie

La matrice S de ce type de structure se calcule à l’aide de la théorie

des modes pairs et impairs. Celle ci s’applique à tout dispositif à 2n

accès possédant un plan de symétrie.

¡¢¡

Ce dispositif est décrit par sa matrice S :

[ ]

=

nn a

a

S

b

b

2

1

2

1 ££

On considère alors le demi dispositif dont on va exciter les n accès

symétriques 2 à 2 par des signaux en phase (respectivement en

opposition de phase). On sera dans un mode de fonctionnement dit

mode pair (respectivement mode impair). Dans le plan de symétrie

les signaux auront parcouru physiquement le même trajet et seront

en phase (respectivement en opposition de phase). On obtiendra

alors un maximum de tension et un nul de courant (respectivement

un nul de tension et un maximum de courant) ce qui est équivalent

à placer une charge en circuit ouvert (respectivement en court

circuit) dans le plan de symétrie. Chaque demi multipôle de mode

pair et impair est donc décrit par sa matrice de mode pair ou impair.

Cette matrice est une matrice carrée de n lignes et n colonnes.

pour le premier demi multipôle :

[ ]

=

np

p

p

np

p

a

a

S

b

b ££ 11

et [ ]

=

ni

i

i

ni

i

a

a

S

b

b ££ 11

pour le second demi multipôle

[ ]

=

++

np

np

p

np

np

a

a

S

b

b

2

1

2

1 ££ et [ ]

=

++

ni

ni

i

ni

ni

a

a

S

b

b

2

1

2

1 ££

¤¥ ¦§¨© ª «¬¨ ®ª ¯©§§°±² ³´µ

Le théorème de superposition des circuits linéaires nous permet

d’obtenir le fonctionnement global du multipôle en superposant les

deux modes. On écrit :

+

=

ni

i

np

p

n a

a

a

a

a

a

2

1

2

1

2

1 ¶¶¶ et

+

=

ni

i

np

p

n b

b

b

b

b

b

2

1

2

1

2

1 ¶¶¶

D’après la définition des modes pair et impair, on peut écrire :

=

+

np

np

np

p

a

a

a

a

2

11 ¶¶ et

−=

+

ni

ni

ni

i

a

a

a

a

2

11 ¶¶

ce qui conduit à

[ ]

=

np

p

p

np

p

a

a

S

b

b ¶¶ 11

et [ ]

=

ni

i

i

ni

i

a

a

S

b

b ¶¶ 11

[ ]

=

+

np

p

p

np

np

a

a

S

b

b ¶¶ 1

2

1

et [ ]

−=

+

ni

i

i

ni

ni

a

a

S

b

b ¶¶ 1

2

1

On en déduit :

+

=

+

n

n

nnp

p

a

a

a

a

a

a

2

111

2

1¶¶¶

et

−

=

+

n

n

nni

i

a

a

a

a

a

a

2

111

2

1¶¶¶

·¸ ¹º»¼ ½ ¾¿»À Á½ Â¼ººÃÀÄÅ ÆÇÈ

On peut alors écrire :

[ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )

−+

+=

+

n

n

ip

n

ip

n a

a

SS

a

a

SS

b

b

2

111

2

1

2

1 ÉÉÉ

[ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )

++

−=

++

n

n

ip

n

ip

n

n

a

a

SS

a

a

SS

b

b

2

11

2

1

2

1

2

1 ÉÉÉ

La matrice S du multipôle s’écrit donc comme une combinaison des

matrices S de modes pair et impair des demi multipôles :

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

+−−+

=ipip

ipip

SSSS

SSSSS

2

1

2.7.4. Calcul de la matrice S de la jonction

branchline

Avec la décomposition en modes pair et impair, il devient simple de

calculer la matrice S de la jonction branchline, et ce d’autant plus

qu’elle présente deux axes de symétrie, ce qui conduira au calcul

de 4 coefficients de réflexion élémentaires.

ÊË ÌÍÎÏ Ð ÑÒÎÓ ÔÐ ÕÏÍÍÖÓ×Ø ÙÚÛ

La jonction de base est présentée ci dessous :

50 Ü

35.36 Ü

Ý / 4

50 ÜÝ / 4

Ý / 4

35.36 ÜÝ / 4

Figure 2-31 : Jonction branchline debase

Un premier axe de symétrie nous conduit à 2 quadripôles de modes

pair et impair Qp et Qi :

50 ÜÝ / 8

35.36 ÜÝ / 4

50 ÜÝ / 8

35.36 ÜÝ / 4

Q P Q I

Figure 2-32 : Décomposition en 2quadripôles de modes pair et impair

Þß àáâã ä åæâç èä éãááêçëì íîï

Chacun de ces deux quadripôles va conduire à 2 coefficients de

réflexion :

50 ðñ / 8

35.36 ðñ / 8

50 ðñ / 8

35.36 ðñ / 8

50 ðñ / 8

35.36 ðñ / 8

50 ðñ / 8

35.36 ðñ / 8

òP P

ò ò

ò

P I I I

I P

Figure 2-33 : Décomposition en 4coefficients de réflexion élémentaires

La matrice S globale s’écrira donc sous la forme suivante :

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

+−−+

=IPIP

IPIP

SSSS

SSSSS

2

1

avec

[ ] [ ]

Γ+ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ+Γ

=

Γ+ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ+Γ

=iiipiiip

iiipiiipI

pipppipp

pipppippP SS

2

1 et

2

1

De façon plus synthétique :

iiippipp

iiippipp

iiippipp

iiippipp

SSSS

SSSS

SSSS

SSSS

Γ+Γ−Γ−Γ====

Γ−Γ−Γ+Γ====

Γ−Γ+Γ−Γ====

Γ+Γ+Γ+Γ====

23324114

42243113

43342112

44332211

óô õö÷ø ù úû÷ü ýù þøööÿü

Le calcul des coefficients de réflexion élémentaires Γpp, Γpi, Γip et Γii,

se fait à partir de l’équation de l’impédance d’entrée d’une ligne

chargée détaillée dans le chapitre sur les lignes de transmission.

L’admittance d’entrée normalisée d’une ligne λ/8 en court circuit

vaut C

ecc

Z

Zjy 0=

L’admittance d’entrée normalisée d’une ligne λ/8 en circuit ouvert

vaut C

eco

Z

Zjy 0−=

L’impédance caractéristique des lignes série (respectivement des

lignes parallèles) vaut 50 ohms (respectivement 35.35 ohms).

On peut globaliser le résultat des calculs dans le tableau suivant :

Dipôle pp Dipôle pi Dipôle ip Dipôle ii

Admittance

d’entrée

normalisée

( )21+j ( )21−j ( )21+−j ( )21−−j

Coeff icient

de

réflexion

associé

( )( )211

211

+++−

j

j ( )( )211

211

−+−−

j

j ( )( )211

211

−−−+

j

j ( )( )211

211

+−++

j

j

! "#$

La matrice S s’en déduit :

[ ]

−−−−

−−−−

=

001

010

010

100

2

1

j

j

j

j

S

On remet la matrice sous sa forme canonique en permutant deux à

deux les lignes et les colonnes et en ajoutant un déphasage de π/2

sur chacun des accès, ce qui revient à augmenter la longueur des

lignes d’accès.

2.7.5. Applications

2.7.5.1. Jonctions 90°

On peut montrer qu’une jonction 90° idéale, lorsqu’elle est chargée

sur ses accès 3 et 4, présente la matrice S (du dipôle équivalent)

suivante :

S = 1

2

- j( + )

j( + ) -

3 4 3 4

3 4 4 3

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ ρ ρ

90°

1

2

%3

4%

Figure 2-34 : Jonction 90° chargée

Si les deux charges sont égales strictement, le dipôle équivalent est

parfaitement adapté, quelle que soit la charge ρ = ρ3 = ρ4.

&' ( )*+, -.*/ 0, 1+))2/34 567

S = 0 j

j 0

ρ

ρ

Le coefficient de réflexion ρ est alors transformé en coefficient de

transmission. On se sert de cette propriété pour réaliser des circuits

équilibrés.

90°

1

2

AdB

AdB

Figure 2-35 : Atténuateur équilibré

Deux jonctions 90° permettent de réaliser un amplificateur équilibré.

50 8

50 8

En t rée

So rt ie

Figure 2-36 : Amplificateur équilibré

La matrice S de ce montage est la suivante :

0Sj

Sj0 = S

21

12

9: ; <=>? @A=B C? D><<EBFG HIJ

Les paramètres S12 et S21 sont ceux de chacun des amplificateurs.

Quels que soient les paramètres S11 et S22, le montage est toujours

parfaitement adapté.

2.7.5.2. Jonctions 180°

On peut montrer qu’une jonction 180° idéale, lorsqu’elle est chargée

sur ses accès 3 et 4, présente la matrice S (du dipôle équivalent)

suivante :

S = 1

2

+ -

- +

3 4 3 4

3 4 3 4

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ ρ ρ

180°

1

2

K3

4K

Figure 2-37 : Jonction 180° chargée

Cette configuration ne présente pas un réel intérêt. On utilise plutôt

la jonction 180° pour réaliser un mélangeur équilibré.

180°

RF

O L

L

M

IF

R F + O L

R F - O L

Figure 2-38 : Mélangeur équilibré

NO P QRST UVRW XT YSQQZW[\ ]^]_

à b cdef ghdi jf kecclimn oôô

3. PROPAGATION SUR LES LIGNES

DE TRANSMISSION

pq r stuv wxty zv uss|y~ ^

On va considérer des lignes de transmission pour lesquelles la

propagation s’effectue de manière homogène (les lignes de champ

sont contenues dans un diélectrique homogène).

3.1. Paramètres descriptifs

Un modèle simple est décrit ci-dessous :

L

C G

R

Figure 3-1 : Modèle électrique d’untronçon de ligne de transmission

Les paramètres du modèle (L , R , C et G) sont les paramètres

primaires de la ligne et permettent d’exprimer la variation de tension

et de courant apportée par le tronçon élémentaire.

∂∂+−=

∂∂

∂∂+−=

∂∂

t

VCGV

z

It

ILRI

z

V

^

Si on suppose une dépendance harmonique en fonction du temps

( )( )

( )( )

++=∂∂

++=∂∂

IjCGjLRz

I

VjCGjLRz

V

ωω

ωω

2

2

2

2

On introduit la constante de propagation γ qui est un des deux

paramètres secondaires

γ ω ω α β = (R+ jL )(G+ jC ) = + j

La constante de propagation γ fait intervenir une atténuation α

exprimée en neper/m et une constante de phase β exprimée en

rad/m, qui dépendent généralement de la fréquence et de la

structure de la ligne de transmission.

Les solutions au système d’équations différentielles s’expriment

alors de manière simple

( )( )

+=+=

−

−

tjzr

zi

tjzr

zi

IIzI

VVzVωγγ

ωγγ

expexpexp)(

expexpexp)(

Le terme Vi exp- représente l’onde incidente se propageant dans

le sens des z croissants. Le terme Vr exp représente l’onde

réfléchie se propageant dans le sens des z décroissants.

En ce qui concerne le courant, les termes incident et réfléchi

s’expriment en fonction des tensions incidente et réfléchie.

( )∂∂V

z = - (R+ jL ) I = - V + V i

- zr

z j tω γ γγ γ ωexp exp exp

¡¢£¤ ¥^¥¦

On en déduit

( )

( )

I = R+ jL

V -V

= G+ jC

R+ jL V -V

i- z

rz j t

i- z

rz j t

γω

ωω

γ γ ω

γ γ ω

exp exp exp

exp exp exp

Le rapport entre tension et courant incidents d’une part et tension et

courant réfléchis d’autre part est constant et représente l’impédance

caractéristique de la ligne qui est l’autre paramètre secondaire de la

ligne.

0i

i

r

rZ =

V

I = -

V

I =

R+ jL

G+ jC

ωω

§¨ © ª«¬ ®¯«° ± ²¬ªª³°´µ ¶^¶·

3.2. Lignes sans pertes

Si on peut faire l’approximation d’un conducteur parfait (R = 0) et

d’un diélectrique sans pertes (G = 0) les paramètres secondaires γ

et Zc se simplifient

=

==

C

LZ

LC

0

0

ωβα

Dans la pratique on peut souvent faire l’approximation d’une ligne

sans pertes pour peu que le support de transmission soit adapté à

la fréquence de travail. Toutefois, à la frontière du domaine de

validité de cette hypothèse, on dispose des approximations

suivantes :

≈

≈

+≈

C

LZ

LCC

G

L

RLC

0

22ωβ

ωωωα

¸¹ º »¼½¾ ¿À¼Á Â¾ Ã½»»ÄÁÅÆ Ç^ÇÈ

3.3. Vitesses de propagation

La phase de l’onde incidente reste constante entre deux points

espacés de dz si ωdt - βdz = 0.

La vitesse de phase se définit de la manière suivante :

pV = dz

dt = =

1

LC

ωβ

Dans l’air ou dans le vide la vitesse de phase est égale à la vitesse

de la lumière.

c = V p

Dans un diélectrique défini par sa permittivité relative εr la vitesse de

phase est modifiée de la manière suivante :

ε r

p

c = V

Lorsque la vitesse de phase n’est pas constante en fonction de la

fréquence, le support de transmission est dit dispersif.

Les signaux véhiculés sur les lignes de transmission sont très

rarement des porteuses pures et la vitesse de phase est inadaptée.

On introduit alors la vitesse de groupe qui est représentative de la

vitesse de propagation de l’énergie.

βω

d

d = V g

ÉÊ Ë ÌÍÎÏ ÐÑÍÒ ÓÏ ÔÎÌÌÕÒÖ× Ø^ØÙ

La dépendance de Vg en fonction de la fréquence introduit une

dispersion dite de temps de groupe.

3.4. Longu eur d’ond e

Les ondes directes et réfléchies se propagent avec une constante

de phase qui s’écrit :

j( t - z)ω βexp

La longueur d’onde λ est la distance séparant deux points dont la

phase est identique à 2π près.

ω β ω β λ πt - z = t - (z+ )+ 2

On en tire

λπβ

πω

= 2

= 2 v

= v

f

Dans l’air ou dans le vide la longueur d’onde s’écrit

0 = c

fλ

Si l’onde électromagnétique se propage de manière homogène

dans un diélectrique de permittivité relative εr , la longueur d’onde

s’écrit

gr

0

r

= v

f =

c

f = λ

ελε

ÚÛ Ü ÝÞßà áâÞã äà åßÝÝæãçè é^éëê

3.5. Lignes chargées

La tension et le courant présents sur la ligne sont composés de

termes incidents et réfléchis :

( )( ) tj

zr

zitjz

rz

i

tjzr

zi

Z

VVIIzI

VVzV

ωγγ

ωγγ

ωγγ

expexpexp

expexpexp)(

expexpexp)(

0

−=+=

+=−

−

−

Par la suite la dépendance harmonique en fonction du temps sera

implicite.

On considère une ligne de transmission d’impédance

caractéristique Zc, de longueur l excitée par un générateur

d’impédance interne ZS et chargée par une impédance ZL.

Z , l0 Z

LZ

S

Figure 3-2 : Ligne de transmissionexcitée et chargée

La référence est prise au niveau de la charge.

ìí î ïðñò óôðõ öò ÷ñïïøõùú û^ûü

3.5.1. Coefficients de réflexion

Sur la charge (z = 0) la tension et le courant s’écrivent :

−=+=

+=

0Z

VVIII

VVV

ririL

riL

L’impédance de charge ZL peut se mettre sous la forme :

LL

L0

i r

i r0

r

i

r

i

0L

LZ =

V

I = Z

V + V

V -V = Z

1+V

V

1-V

V

= Z1+

1-

ΓΓ

ΓL représente le coefficient de réflexion associé à la charge ZL et est

égal au rapport de l’onde réfléchie sur l’onde incidente.

La relation réciproque permet d’écrire

Z+Z

Z-Z = 0L

0LL

L =Γ θρ exp

On utilise souvent l’impédance normalisée zL

LL

0z =

Z

Z

Les relations précédentes s’écrivent :

LL

L

LL

L

z = 1+

1-

= z -1

z + 1

ΓΓ

Γ

ýþ ÿ

Une onde se propageant sur une ligne d’impédance caractéristique

Z0 chargée également par Z0 ne se réfléchit pas sur la charge

puisqu’elle ne subit aucune discontinuité. Le coefficient de réflexion

de la charge est donc nul, ce qui se traduit par un régime d’ondes

progressives sur cette ligne.

On peut exprimer simplement le coefficient de réflexion en chaque

point de la ligne par le rapport de l’ordre réfléchi sur l’onde incidente

(z)r

z

i- z

r

i

2 zL

2 z = V

V =

V

V = Γ Γ

γ

γγ γexp

expexp exp

A l’entrée de la ligne (z = - l)

in L-2 l = Γ Γ γexp

3.5.2. Taux d’onde stationnaire

Le taux d’onde stationnaire s’exprime comme le rapport de la

tension maximum présente sur la ligne sur la tension minimum

également présente sur la ligne

VSWR = V

V =

|V |+|V |

|V |-|V | =

1+| |

1-| |i r

i r

L

L

max

min

ΓΓ

Le TOS sur la ligne ne dépend que de la charge de la ligne.

Si cette charge est différente de l’impédance caractéristique de la

ligne, il va se produire une onde réfléchie au niveau de la charge

!"#$ %&" ' ($ )#!!*'+, -.-

qui va générer un régime d’ondes stationnaires avec des noeuds et

des ventres, dont le TOS permet de caractériser l'amplitude.

zjiL

zji

zjr

zji VVVVzV ββββ expexpexpexp)( Γ+=+= −−

On pose LjLL

θρ exp=Γ .

L'amplitude de la tension résultante s'écrit:

( ) ( )LLLizj

Li zVVzV θβρρβ +++=Γ+= 2cos21exp1 22

On peut mettre en évidence les points suivants:

• La tension résultante varie entre les deux extrema

Vmax et Vmin utilisés dans la définition du TOS

• L'écart entre deux maxima (ou entre deux minima est

égal à une demi longueur d'onde)

• La variation de tension autour des minima est

beaucoup plus marquée qu'autour des maxima

• L'écart entre un minimum et un maximum est égal à

un quart de longueur d'onde.

/0 12345 673 8 95 :422;8<= >??

V

V

m ax

m i n

@/ 2

@/ 4

@/ 4

Figure 3-3 : Régime d’ondesstationnaires

Suivant la nature de la charge, la forme de la tension résultante va

présenter des minima très marqués pour une réflexion totale, et

beaucoup moins marqués au fur et à mesure que la charge se

rapproche de 50 ohms.

Dans le cas particulier où ΓL est réel et positif zL l’est aussi et on

peut écrire :

VSWR = 1+| |

1-| | =

1+

1- = z

L

L

L

LL

ΓΓ

ΓΓ

3.5.3. Impédance d’entrée

A l’entrée d’une ligne d’impédance caractéristique Z0 de longueur l

chargée par un coefficient de réflexion ΓL :

in L-2 l = Γ Γ γexp

Dans le cas d’une ligne sans pertes :

in L-2j l = Γ Γ βexp

AB CDEFG HIE J KG LFDDMJNO PQR

Dans le domaine tension courant, l’impédance d’entrée s’écrit :

in 0in

in0

L-2j l

L-2j lZ = Z

1+

1- = Z

1+

1-

ΓΓ

ΓΓ

β

β

exp

exp

En développant cette expression, on trouve :

in 0L 0

0 LZ = Z

Z + j Z tg l

Z + j Z tg l

ββ

3.5.4. Ligne en circuit ouvert

L’impédance d’entrée d’une ligne de transmission en circuit ouvert

s’écrit:

in0

Z = Z

jtg lβ

L’impédance est capacitive si

2k 4

< l < (2k + 1)4

λ λ

Elle est inductive si

(2k + 1) 4

< l < (2k + 2) 4

λ λ

ST UVWXY Z[W \ ]Y ^XVV_\`a bcd

Im(Zi n

βlπ/ 2 π 3π/ 2 2 π

)

Figure 3-4 : Impédance d’entrée d’uneligne en circuit ouvert

La ligne en circuit ouvert passe d’un comportement capacitif à un

comportement inductif tous les quart de longueur d’onde.

3.5.5. Ligne en court circuit

L’impédance d’entrée d’une ligne en court circuit s’écrit

in 0Z = j Z tg lβ

L’impédance d’entrée est inductive si

2k4

< l < (2k + 1)4

λ λ

Elle est capacitive si

(2k + 1) 4

< l < (2k + 2)4

λ λ

ef ghijk lmi n ok pjhhqnrs tuv

Im(Zi n

βlπ/ 2

π

3π/ 2

2 π

)

Figure 3-5 : Impédance d’entrée d’uneligne en court circuit

Comme la ligne en circuit ouvert, l’impédance d’entrée est inductive

et capacitive tous les quart de longueur d’onde.

3.5.6. Tronçon de ligne quart d’onde

Une ligne de transmission de longueur quart d’onde à la fréquence

de fonctionnement possède un comportement d’inverseur

d’impédance.

wL

Z =i n

wL

w02

w x y z 0

Figure 3-6 : Ligne quart d’onde chargée

Son impédance d’entrée s’écrit :

in 0L 0

0 L

02

LZ = Z

Z + j Z tg l

Z + j Z tg l =

Z

Z

ββ

| ~

En particulier si l’impédance de charge est un circuit ouvert

(respectivement un court circuit) l’impédance à l’entrée de la ligne

est un court circuit (respectivement un circuit ouvert).

4. LIGNES DE TRANSMISSION

MICROONDES

¡ ¢£¤¥¦ §¨¤ © ª¦ «¥££¬©® ¯°±

4.1. La ligne coaxiale

La géométrie de la ligne coaxiale est décrite ci-dessous :

a

b

Figure 4-1 :Structure transversale d’uneligne coaxiale

La capacité linéique est donné par :

C = 2

lnb

a

= C F / mr 0

r 0

π ε εε

C0 représente la capacité linéique si le diélectrique est de l’air.

Si le diélectrique est de l’air, la vitesse de phase est égale à la

vitesse de la lumière

v = 1

LC = c

0

²³ ´µ¶·¸ ¹º¶ » ¼¸ ½·µµ¾»¿À ÁÂÃ

On en déduit l’inductance linéique, qui est indépendante du

diélectrique

L = 1

C c02

L’impédance caractéristique de la ligne s’en déduit :

00 r r

Z = L

C =

1

c.C

60

b

aε ε_ ln

ÄÅ ÆÇÈÉÊ ËÌÈ Í ÎÊ ÏÉÇÇÐÍÑÒ ÓÕÔ×Ö

4.2. La ligne microstrip

La géométrie de la ligne microstrip est la suivante :

w h

Figure 4-2 : Ligne microstrip

Contrairement à la ligne coaxiale, la propagation sur les lignes

microstrip se fait de façon inhomogène, les lignes de champ se

refermant à la fois à travers l’air et à travers le substrat. De façon

rigoureuse, la présence d’un champ longitudinal interdit de traiter la

ligne microstrip comme une structure de propagation TEM.

Toutefois tant que la fréquence n’est pas trop élevée on travaillera

avec l’approximation dite quasi TEM.

4.2.1. Impédance caractéristique

Le calcul de l’impédance caractéristique d’une ligne microstrip n’est

pas un calcul exact et de nombreuses formules empiriques sont

disponibles dans la littérature scientifique, dont celle de Wheeler :

0r

Z = 42.4

(1+ A)ε

ln

ØÙ ÚÛÜÝÞ ßàÜ á âÞ ãÝÛÛäáåæ çÕèç

Le paramètre A est la racine positive de l’équation du second degré

suivante :

2 r

r

2r

r

2

A -7 + 4

11

8h

w A-

+ 1

0.81

8h

w = 0

εε

εε

En pratique le calcul de l’impédance caractéristique d’une ligne

microstrip à partir de ses dimensions géométriques s’appelle

analyse et s’effectue avec un logiciel de CAO (LineCalc par

exemple). Le processus inverse qui consiste à générer une

structure géométrique de ligne étant donné son impédance

caractéristique s’appelle synthèse et s’effectue également à l’aide

de la CAO.

La formule empirique proposée ci-dessus montre que l’impédance

caractéristique d’une ligne microstrip diminue lorsque le rapport w/h

augmente et lorsque εr augmente.

4.2.2. Longueur d’onde guidée

Le caractère inhomogène de la propagation d’un signal

hyperfréquence sur une ligne microstrip rend impossible le calcul

analytique de la longueur d’onde comme cela était possible pour la

ligne coaxiale. On introduit alors le concept de permittivité effective

en égalant les propriétés électriques des deux structures suivantes,

la seconde étant homogène.

éê ëìíîï ðñí ò óï ôîììõòö÷ øÕù×ú

ûr

û ü ýr

ûef f

p ro p ag at io nin h o mo g èn e

p ro p ag at io nh o mo g èn e

Figure 4-3 : Concept de permittivitédiélectrique effective

εeff est une valeur de permittivité intermédiaire entre celle du

substrat et celle de l’air.

1 < < eff rε ε

Il n’existe pas de méthode exacte de calcul de εeff, la CAO étant ici

encore d’un grand secours. Toutefois, pour le dimensionnement

rapide des circuits microstrip on pourra prendre l’approximation

suivante :

2

+1 r

effεε ≈

La longueur d’onde guidée est alors reliée simplement à la longueur

d’onde dans le vide.

g0

eff

= λλε

þÿ

4.2.3. Pertes

Les pertes constatées lors de la propagation sur une ligne

microstrip peuvent avoir deux origines: les pertes dans le

diélectrique et les pertes dans le conducteur.

4.2.3.1. Pertes diélectriques

Le substrat sur lequel est déposé le diélectrique est caractérisé non

seulement par sa permittivité relative εr mais également par sa

tangente de perte tanδ

Les pertes diélectriques associées (en nepers par mètre) s’écrivent

δ

ε

ελεπ

α tan.1

-1

1-1

.

r

eff

0

effd ≈

4.2.3.2. Pertes ohmiques

La densité de courant dans un conducteur décroît

exponentiellement dès que l’on s’éloigne de la surface. Cette

propriété est connue sous le nom d’effet de peau.

J0

D en s ité d eco u ran t

D istan ce

e

J0

Figure 4-4 : Effet de peau

"! #$%&' ()%* +' ,&$$-*./ 0132

L’épaisseur de peau est la distance de la surface du conducteur à

la profondeur à laquelle la densité de courant est réduite d’un

rapport 1/e.

δωµσ

= 2

Tout se passe comme si la densité de courant était uniforme entre 0

et δ et nulle ailleurs. On considère que la propagation s’effectue

uniquement dans le conducteur si celui-ci a une épaisseur d’au

moins 5 δ.

4.2.4. Dispersion

La faible longueur d’onde des signaux hyperfréquence devant les

dimensions géométriques de la ligne microstrip rend obsolètes les

approximations quasi statiques utilisées en général pour résoudre

les équations de raccordement des champs à l’interface air

diélectrique.

On ne peut en particulier considérer la permittivité diélectrique

effective et l’impédance caractéristique constantes lorsque la

fréquence augmente. En pratique, on considère que l’effet dispersif

ne peut plus être négligé au delà de la fréquence précisée ci-

dessous (h est en mm)

GHz

0

r

f = 0.95 Z

h -1ε

Au delà de cette limite la permittivité effective évolue de la façon

suivante (h est en m) :

4"5 6789: ;<8= >: ?977@=AB CDE

eff rr effdc

2

T

T

r

effdc

0

0

= --

1+ff

avec f = Z

2 h

ε εε ε

εε µ

De façon analogue, l’impédance caractéristique augmente en

fonction de la fréquence, et ce d’autant plus vite que la permittivité

diélectrique du substrat est grande.

4.2.5. Rayonnement

Le rayonnement d’une ligne microstrip est un effet parasite dû à la

structure ouverte d’une telle ligne. La puissance rayonnée doit être

minimisée lors de la conception du circuit pour éviter des couplages

parasites.

Le pourcentage de puissance rayonnée par rapport à la puissance

incidente sera d’autant plus important que la fréquence sera élevée,

l’impédance caractéristique sera faible et le substrat épais.

4.2.6. Résonance transverse

Lorsque la largeur de la ligne microstrip approche λ/2 à la

fréquence de travail, la propagation s’effectue en mode quasi TEM

dans le sens transverse et plus du tout sur la longueur de la ligne.

La fréquence de résonance transverse est donnée par

h)+( 2

c f

r ωε≈

F"G HIJKL MNJO PL QKIIROST UVW

4.2.7. Le circuit ouvert

Laisser la ligne microstrip en circuit ouvert provoque un léger

rayonnement électromagnétique qui se traduit par un allongement

fictif de la longueur initiale

Xl

Figure 4-5 : Le circuit ouvert

Pratiquement, on retrouvera un court circuit à λ/4 + ∆l de l’extrémité

de la ligne. La correction ∆l est d’autant plus importante que la

largeur de la ligne augmente.

4.2.8. Les coudes

Aux fréquences microondes, la moindre capacité parasite peut avoir

un effet non négligeable sur le fonctionnement du circuit. Les règles

de dessin sont donc particulièrement contraignantes. Le schéma

équivalent d’un coude est donné ci-dessous :

C

LL

Figure 4-6 : Schéma équivalent d’uncoude

Y"Z [\]^_ `a]b c_ d^\\ebfg hij

Il est courant de réduire la capacité parasite en choisissant le layout

suivant :

LL

C' < C

Figure 4-7 : Réduction de la capacitéparasite

4.2.9. La jonction de lignes microstrip

La jonction de deux, trois ou quatre lignes microstrip de largeurs

éventuellement différentes provoque des discontinuités

géométriques se traduisant par un rayonnement électromagnétique

que l’on peut modéliser par un schéma équivalent approprié.

Figure 4-8 : Changement d’impédancecaractéristique

Figure 4-9 : Jonction de 3 lignesmicrostrip

k"l mnopq rsot uq vpnnwtxy z|

Figure 4-10 : Jonction de 4 lignesmicrostrip

"~

4.2.10. Autres discontinuités

Figure 4-11 : Microcoupure dans uneligne microstrip

Figure 4-12 : Encoche dans une lignemicrostrip

"

4.3. Autres lignes

Figure 4-13 : Ligne triplaque

Figure 4-14 : Ligne coplanaire

Figure 4-15 : Ligne à fente

¡"¢ £¤¥¦§ ¨©¥ª «§ ¬¦¤¤ª®¯ °±°

5. L’ABA QUE DE SMITH ET SES

APPLICATIONS

²"³ ´µ¶·¸ ¹º¶» ¼¸ ½·µµ¾»¿À ÁÂÃ

L’abaque de Smith est un outil graphique développé par un

ingénieur des Bell Labs dans les années 30 permettant, entre autre,

de réaliser rapidement le passage du domaine d’onde au domaine

tension-courant de façon rapide et efficace.

5.1. L’abaque de Smith

L’abaque de Smith représente le coefficient de réflexion tracé en

format polaire (module et phase). Les coefficients de réflexion des

circuits passifs seront donc inscrits dans un disque de rayon unitaire

correspondant à la réflexion totale ( |Γ| = 1).

Ä = |

Ä | exp

j Å

Å

| Ä |

v

u

Figure 5-1 : Plan des impédancescomplexes

Pour une conversion facile vers le domaine des impédances, les

contours à partie réelle constante et à partie imaginaire constante

sont superposés à cette représentation polaire.

Æ"Ç ÈÉÊËÌ ÍÎÊÏ ÐÌ ÑËÉÉÒÏÓÔ ÕÖ×

Dans le système de coordonnées cartésiennes, le coefficient de

réflexion s’écrit:

Γ = u+ jν

La relation entre le coefficient de réflexion Γ et son impédance

normalisée associée est connue

( ) ( )Γ = u jvz - 1

z+ 1 =

(r + jx) - 1

(r + jx)+ 1

r x

r xj

x

r x+ = =

+ −+ +

++ +

2 2

2 2 2 2

1

1

2

1

En utilisant r et x comme paramètres, on obtient les relations

suivantes :

2

22

22

2

u -r

r + 1+ v =

1

(r + 1)

(u -1 ) + v -1

x=

1

x

Ces équations représentent les cercles à partie réelle d’impédance

constante (dans le premier cas) et à partie imaginaire d’impédance

constante (dans le second cas).

Ainsi le lieu des points à partie réelle r constante est un cercle de

centre

0 ;

1+r

ret de rayon 1

r + 1.

De même le lieu des points à partie imaginaire x constante est un

cercle de centre 1 ; 1

x

et de rayon 1

x.

L’abaque de Smith est donc constituée de l’ensemble des cercles à

partie réelle d’impédance constante ( ∞<< r0 ) et de la partie des

Ø"Ù ÚÛÜÝÞ ßàÜá âÞ ãÝÛÛäáåæ çèè

cercles à partie imaginaire d’impédance constante intersectant le

disque unitaire.

é"ê ëìíîï ðñíò óï ôîììõòö÷ øùú

Abaque de Smith

û"ü ýþÿ ÿ þþ

5.1.1. La charge 50 ohms

50 o h ms

Figure 5-2: Charge 50 ohms

Le coefficient de réflexion associé à la charge 50 ohms est nul.

5.1.2. La charge capacitive

La partie imaginaire du coefficient de réflexion d’une charge

capacitive est toujours négative (v < 0) puisque la réactance x est

négative. Son point représentatif se situe donc dans la partie

inférieure de l’abaque de Smith . Si elle est sans perte, elle est

placée sur le cercle extérieur (|Γ|=1 si r = 0).

La partie réelle u du coefficient de réflexion peut se mettre sous la

forme suivante :

( ) 22

2

1

21

xr

ru

+++−=

On voit que u tend vers 1 si la réactance x devient de plus en

négative. Le déplacement vers les réactances décroissantes est

indiqué sur la figure suivante.

!" # $%&'"() *+,

Part ie cap acit iv e

réactan cesd écro issan t es

x=0

x=1

Figure 5-3: Lieu des charges capacitives

5.1.3. La charge inductive

Avec un raisonnement similaire à celui utilisé pour la capacité, on

peut dire que la charge inductive se situe dans la partie supérieure

de l’abaque (réactance positive). Si elle est sans perte, elle est

placée sur le cercle extérieur.

u tend vers 1 si la réactance x devient de plus en positive. Le

déplacement vers les réactances croissantes est indiqué sur la

figure correspondante.

Part ie in d u ct iv e

réac tan cesc ro issan tes

x= 0

x=1

Figure 5-4 : Lieu des charges inductives

-. /0123 45!16 73 82%0&096:; <=>

5.1.4. Le circuit résonant parallèle

LC 50

o h ms

Figure 5-5 : Le circuit résonant parallèle

Aux fréquences basses le circuit est plutôt inductif, devient

purement résistif à la résonance (les susceptances s’annulent et

l’admittance équivalente vaut 0.02 siemens) puis possède un

comportement de plus en plus capacitif lorsque la fréquence

augmente.

5.1.5. Le circuit résonant série

L

C

50o h ms

Figure 5-6 : Le circuit résonant série

Aux fréquences basses le circuit est plutôt capacitif, devient

purement résistif à la résonance (les réactances s’annulent et

l’impédance équivalente vaut 50 ohms) puis possède un

?@ ABCDE FG!CH IE JD%B&BKHLM NOP

comportement de plus en plus inductif lorsque la fréquence

augmente.

5.1.6. Le court circuit

Co u rt c ircu it

Figure 5-7 : Le court circuit

La résistance r et la réactance x s’annulent simultanément. Le

coefficient de réflexion vaut alors -1.

5.1.7. Le circuit ouvert

La résistance r et la réactance x tendent simultanément vers l’infini.

Le coefficient de réflexion vaut alors 1.

Circu it o u v ert

Figure 5-8 : Le circuit ouvert

QR STUVW XY!UZ [W \V%T&T]Z^_ `badc

5.2. Les applications de l’abaque de Smith

5.2.1. Conversion impédance-coefficient de réflexion

Lorsque l’impédance est positionnée sur l’abaque de Smith, on peut

en déduire la valeur du coefficient de réflexion correspondant de

façon très simple.

| e |

f

Figure 5-9 : Le coefficient de réflexion

Le module du coefficient de réflexion est égal au rayon du cercle de

centre 0 passant par le point représentatif de l’impédance.

5.2.2. Conversion impédance admittance

Une impédance normalisée z s’écrit en fonction de son coefficient

de réflexion :

z = 1+

1-

ρρ

L’admittance normalisée y correspondante se met sous la forme:

y = 1-

1+

ρρ

gh ijklm no!kp qm rl%j&jsptu vbwv

Passer d’impédance en admittance sur l’abaque de Smith consiste

donc à changer ρ en -ρ, c’est-à-dire à effectuer une symétrie par

rapport au centre de l’abaque (on ajoute 180° de phase).

z

y

Figure 5-10 : Conversion impédance -admittance

Il est équivalent d’effectuer la symétrie, non plus sur le point

représentatif mais sur l’abaque elle-même. On obtient alors une

abaque en admittance formée de cercles à conductance constante

et d’arcs de cercle à susceptance constante.

Figure 5-11 : Abaque en admittance

xy z|~ !| ~ %& bd

5.2.3. Impédances à partie réelle négative

Le coefficient de réflexion associé à une impédance à partie réelle

négative est supérieur à 1 (génération d’énergie, dans les

oscillateurs par exemple) ce qui le situe en dehors de l’abaque de

Smith conventionnelle.

Figure 5-12 : Impédance à partie réellenégative

! %& b

5.3. L’adaptation

Si on considère un générateur d’impédance complexe quelconque

ZS connecté à une charge d’impédance complexe également

quelconque ZL , on peut montrer que le transfert optimum de

puissance intervient lorsque ZS = Z*L.

Z S

Z L Z S*=

Figure 5-13 : Adaptation d’une chargecomplexe

Si les deux impédances ne sont pas conjuguées l’une de l’autre, on

peut insérer un réseau d’adaptation de façon à ce que l’impédance

qui charge effectivement le générateur soit bien le conjugué de son

impédance interne.

Z SZ L

Z S*

Figure 5-14 : Insertion d’un réseaud’adaptation

¡¢£ ¤¥!¡¦ §£ ¨¢% & ©¦ª« ¬bd®

Dans le cas général, les réseaux d’adaptation sont constitués

d’éléments passifs discrets ou distribués selon la technologie

utilisée et la fréquence de travail. On peut toutefois trouver des

circuits adaptations actifs à base de transistors. C’est une solution

couramment retenue dans les circuits intégrés micro-ondes large

bande.

Rigoureusement, l’adaptation conjuguée de deux impédances n’est

réalisable qu’en un seul point de fréquence. Dès que la bande

dépasse 10 à 20% de la fréquence centrale, il s’agit de réaliser un

compromis sur la bande de travail. On fait alors appel à la CAO des

circuits linéaires (ADS à l’ESIEE).

5.3.1. L’adaptation à éléments localisés

5.3.1.1. L’inductance série

Ajouter une partie inductive à une impédance revient à augmenter

la réactance de celle-ci sans changer sa résistance.

L50

o h ms

Figure 5-15 : Ajout d’une inductancesérie

Lorsque L augmente, on se déplace dans le sens de la flèche.

¯° ±²³´µ ¶·!³¸ ¹µ º´%²&²»¸¼½ ¾b¿¿

5.3.1.2. La capacité série

Ajouter une partie capacitive à une impédance revient à diminuer la

réactance de celle-ci sans changer sa résistance.

50o h ms

C

Figure 5-16 : Ajout d’une capacité série

Lorsque C diminue, on se déplace dans le sens de la flèche.

5.3.1.3. L’inductance parallèle

Ajouter une partie inductive à une admittance revient à diminuer la

susceptance de celle-ci sans changer sa conductance.

ÀÁ ÂÃÄÅÆ ÇÈ!ÄÉ ÊÆ ËÅ%Ã&ÃÌÉÍÎ ÏbÐÑ

L50o h ms

Figure 5-17 : Ajout d’une inductanceparallèle

Lorsque L diminue, on se déplace dans le sens de la flèche.

5.3.1.4. La capacité parallèle

Ajouter une partie capacitive à une admittance revient à augmenter

la susceptance de celle-ci sans changer sa conductance.

50o h ms

C

Figure 5-18 : Ajout d’une capacitéparallèle

Lorsque C augmente, on se déplace dans le sens de la flèche.

ÒÓ ÔÕÖ×Ø ÙÚ!ÖÛ ÜØ Ý×%Õ&ÕÞÛßà ábâã

5.3.1.5. Exemple

On souhaite réaliser l’adaptation d’un dispositif d’impédance 10 Ω +

j 30 Ω à un générateur d’impédance interne 50 Ω.

Z L =10 + j30 Ω50 Ω

y ly2

z2

y 'z'

y1

z1

y= 1z= 1

Figure 5-19 : Adaptation d’une charge

(1) On place le point représentatif de l’impédance normalisée sur

l’abaque de Smith.

(2) On ajoute une capacité parallèle de valeur telle que l’impédance

équivalente présente une partie réelle égale à 1 (50 Ωä!åæ

(3) On compense la partie réactive résiduelle avec une inductance

série ou une capacité série.

çè éêëìí îï!ëð ñí òì%ê&êóðôõ öb÷ø

1

2

3

1

2

3

Figure 5-20 : Parcours sur l’abaque deSmith

Si on ne dispose pas d’une double abaque de Smith, il faut

effectuer des transitions entre les domaines impédance et

admittance. Les étapes sont alors les suivantes :

• On normalise ZL = 10 Ω + j 30 Ω par rapport à 50 Ω

• On place l’impédance normalisée z sur l’abaque de

Smith (zL = 0.2 + j 0.6)

• On en déduit la valeur de l’admittance équivalente par

symétrie par rapport à l’origine (yL = 0.5 - j 1.5)

• z’ doit être de la forme z’ = 1 + j ( ). Il existe deux

valeurs de y1 satisfaisant cette condition

y1 = + j

y’1 = + 2 j

• Ces deux valeurs conduisent après passage en

impédance à

ùú ûüýþÿ !ý ÿ þ%ü&ü

z’ = 1 + j

z’ = 1 - j

• La partie imaginaire est compensée par l’impédance

z2 qui prend elle aussi deux valeurs

z2 = - j

z’2 = + j

En conséquence, les deux solutions suivantes sont possibles :

1

1 0.2+ j0.6

1

2 0.2+ j0.6

Figure 5-21 : Solutions normalisées parrapport à 50 ohms

!" #$%&' ( ) *+-,

Si on dénormalise ces deux circuits par rapport à 50 Ω et 1 GHz, on

obtient :

3.2 p F

3.2 p F 10+ j30 .

8 n H

6.4 p F 10+ j30 .

Figure 5-22 : Solutions dénormaliséespar rapport à 50 ohms et 1 GHz

5.3.1.6. Notion de sélectivité

Les réseaux d'adaptation sont conçus à l'aide de composants

réactifs (dont le comportement est dépendant de la fréquence) et

introduisent donc une notion de sélectivité. Sans l'apport de la CAO,

ces circuits sont généralement conçus à fréquence unique et sont

prévus pour fonctionner en bande étroite. Le coefficient de qualité

est directement relié à la sélectivité de la façon suivante:

dBf

fQ

3

0

∆=

En utilisant un réseau d'adaptation à deux éléments, le concepteur

subit le coefficient de qualité qui ne dépend que des parties réelles

des impédances de source et de charge. Dans l'hypothèse où RL

est supérieure à RS, on obtient 1−=S

L

R

RQ

/0 12345 6738 9"5 :$4%2&2;8< = >?>

L'utilisation de réseaux d'adaptations à deux éléments conduit

généralement à des circuits peu sélectifs, c'est à dire à faible

coefficient de qualité. Par contre l'utilisation d'un réseau

d'adaptation à trois éléments (en pi ou en té) permet une plus

grande souplesse en proposant au concepteur la liberté de choisir

le coefficient de qualité compatible avec son application. La limite

du coefficient de qualité n'est alors fixée que par les valeurs

pratiques des composants discrets. D'une façon pratique on peut

voir l'adaptation à trois éléments localisés de la façon suivante:

RL SRR

Figure 5-23 : Augmentation de lasélectivité d’un réseau d’adaptation

Il s'agit alors d'adapter RL à RS en passant par une résistance

virtuelle intermédiaire R de valeur plus faible que RL et RS. Le

coefficient de qualité global s'écrit alors 1),max(

−=R

RRQ SL

5.3.1.7. Topologies des réseaux d'adaptation

En fonction de la nature de la charge ZL à adapter, il existe deux (un

circuit et son dual) ou quatre topologies (deux circuits et ses duaux)

valides pour l'adaptation.

@A BCDEF GHDI J"F K$E%C&CLIM N OP-Q

Dans le cas général, deux topologies permettent de réaliserl’adaptation d’une charge complexe quelconque, avec deséléments sans perte.

z

y zL2

1

y =1

Figure 5-24 – Topologie série parallèle

z

y yL

2

1

z=1

Figure 5-25 – Topologie parallèle série

Pour chacune de ces deux topologies, il existe deux solutionsqui correspondent aux deux intersections suivantes :

- Topologie série parallèle : intersections entre le cercle àpartie réelle de zL constante et le cercle à partie réelled’admittance égale à 1.- Topologie parallèle série : deux intersections entre le cercle àpartie réelle de yL constante et le cercle à partie réelled’impédance égale à 1.Il existe cependant des cas où ces intersections n’existent pas.On peut alors montrer que la topologie série parallèle

(respectivement parallèle série) ne permet d’adapter que descharges appartenant à la zone grisée décrite en figure 5.26.

RS TUVWX YZV[ \"X ]$W%U&U^[_ ` abc

ad ap tat io n p o ssib le av ec la to p o lo g ie série

p aral lèle

ad ap tat io n p o ssib le av ec la t o p o lo g ie

p aral lèle série

Figure 5-26 – Lieu des points pouvantêtre adaptés avec une topologie sérieparallèle, et parallèle série

En regroupant les informations ci dessus, il est possible dedécouper l’abaque de Smith en 3 zones distinctes :

Z o n e 1

Z o n e 2

Z o n e 3

Figure 5-27 – Décomposition del’abaque de Smith en 3 zones

Zone 1 : Soit Z1 le disque délimité par le cercle à partie réelled’admittance égale à 1. C’est le lieu des points représentatifs descharges passives pouvant être adaptées avec une topologie sérieparallèle (2 solutions)

de fghij klhm n"j o$i%g&gpmq r st-u

Zone 2 : Soit Z2 le disque délimité par le cercle à partie réelled’impédance égale à 1. C’est le lieu des points représentatifs descharges passives pouvant être adaptées avec une topologieparallèle série (2 solutions)

Zone 3 : Soit 213 ZZZv

= . C’est le lieu des points représentatifs descharges passives pouvant être adaptées avec une topologie sérieparallèle et une topologie parallèle série (4 solutions)

Examinons maintenant les différentes possibilités offertes parchacune des deux topologies pour des éléments à constanteslocalisées sans perte (L et C).

5.3.1.7.1. Topologies série parallèle

z

l ieu d es ch arg es co n ju g u ées

lieu d es ch arg es p o u v an t êt re ad ap tées av ec cet te t o p o lo g ie

Ly =1

Figure 5-28 – Topologie L série, Lparallèle

wx yz| ~ " $|%z&z

z

lieu d es ch arg es co n ju g u ées

lieu d es ch arg es p o u v an t êt re ad ap tées av ec cet te t o p o lo gie

Ly =1

Figure 5-29 – Topologie L série, Cparallèle

" $%&

z



Ly =1

Figure 5-30 – Topologie C série, Lparallèle

¬ ®¯°±² ³´°µ ¶"² ·$±%¯&¯¸µ¹ º »¼½

5.3.1.7.2. Topologies parallèle série

y

l ieu d es ch arg es co n ju g u ées

lieu d es ch arg es p o u v an t êt re ad ap tées av ec cet te t o p o lo g ie

Lz=1

Figure 5-32 – Topologie L parallèle, Lsérie

¾¿ ÀÁÂÃÄ ÅÆÂÇ È"Ä É$Ã%Á&ÁÊÇË Ì ÍÎÏ

y



Lz=1

Figure 5-33 – Topologie L parallèle, Csérie

ÐÑ ÒÓÔÕÖ ×ØÔÙ Ú"Ö Û$Õ%Ó&ÓÜÙÝ Þ ßà-á

y



Lz=1

Figure 5-34 – Topologie C parallèle, Lsérie

âã äåæçè éêæë ì"è í$ç%å&åîëï ð ñòñ

y



Lz=1

Figure 5-35 – Topologie C parallèle, Csérie

óô õö÷øù úû÷ü ý"ù þ$ø%ö&öÿü

Figure 5-36 – Synthèse des réseauxd’adaptation possibles en fonction de lacharge à adapter

!"# $%'&

5.3.2. L’adaptation à éléments distribués

5.3.2.1. Le tronçon de ligne sans pertes

(L)L

0l

* = * expi n L

- 2 j + l

Figure 5-37 : Tronçon de ligne sanspertes chargé

Le module du coefficient de réflexion d’une ligne sans pertes de

longueur l et d’impédance caractéristique Zc est indépendant de la

longueur l. Sur l’abaque de Smith, on se déplace donc sur un cercle

à coefficient de réflexion constant (qui est un cercle de centre

l’origine des coordonnées si l’impédance de normalisation est

l’impédance caractéristique Zc de la ligne).

V ers le g én érateu r

V ers la ch arg e

Figure 5-38 : Déplacements surl’abaque de Smith

,- ./012 3405 62 71//8!59: ;<=

L’abaque de Smith est conçue de telle sorte qu’un déplacement de

λ/2 correspond à un tour (360° ). Ceci s’explique par le fait que

l’abaque de Smith permet de tracer des coefficients de réflexion et

non de transmission, ces derniers étant de préférence lus sur un

graphe de type polaire. Le déphasage est alors compté deux fois :

une fois vers la charge et une fois vers le générateur.

>/ 2

>/ 8

Figure 5-39 : Déplacements vers legénérateur

?@ ABCDE FGCH IE JDBBK!HLM NO'P

Exemple :

On considère un tronçon de ligne 50 Ω chargé par ZL = 10 Ω + j 30

Ω

10 + j30 Q50 Q , 90°

Figure 5-40 : Tronçon de ligne chargé

Le module du coefficient de réflexion de la charge se déduit du

rayon du cercle de centre 0 passant par le point représentatif de

cette charge.

0.74 expj 1 1 7 °

0.74 exp- j 6 3 °

Figure 5-41 : Module du coefficient deréflexion

RS TUVWX YZV[ \X ]WUU^![_` ab'c

L’angle associé à ce point représente deux fois la longueur

électrique de la ligne. A l’entrée du tronçon de ligne sans perte, on

retrouve donc

expexpdd

-j63-j180Lin 0.74 = = ρρ

5.3.2.2. Le stub court circuit

Un stub court circuit est un tronçon de ligne sans perte chargé par

un court circuit. Son impédance d’entrée s’écrit en fonction de

l’impédance caractéristique Zc , de la constante de propagation β et

de la longueur l.

in cZ = j Z tg lβ

L’impédance ramenée est purement imaginaire et sera utilisée pour

annuler la partie imaginaire de la charge à adapter elle même, ou le

plus souvent la partie imaginaire de la charge transformée par un

tronçon de ligne. Cette impédance peut être calculée à partir de


ef ghijk lmin ok pjhhq!nrs tu'u

Exemple

L’impédance ramenée par un tronçon de ligne sans perte λ/8 court

circuitée vaut Zin = + j

v/ 8 v ers le g én érateu r

Figure 5-42 : Stub λ/8 en court circuit

5.3.2.3. Le stub circuit ouvert

Un stub circuit ouvert est un tronçon de ligne sans pertes chargé

par un circuit ouvert. Son impédance d’entrée s’écrit en fonction de

l’impédance caractéristique Zc , de la constante de propagation β et

de la longueur l.

inc

Z = Z

jtg lβ

L’impédance ramenée est purement imaginaire et sera utilisée pour

annuler la partie imaginaire de la charge à adapter elle même, ou le

plus souvent la partie imaginaire de la charge transformée par un

tronçon de ligne. Cette impédance peut être calculée à partir de


wx yz| ~ |zz!

Exemple

L’impédance ramenée par un tronçon de ligne sans perte λ/8 en

circuit ouvert vaut zin = - j.

/ 8 v ers le g én érateu r

Figure 5-43 : Stub λ/8 en circuit ouvert

5.3.2.4. Le transformateur quart d’onde

L’impédance d’entrée d’un tronçon de ligne sans perte de longueur

quart d’onde chargé par une impédance de charge ZL s’écrit :

inc2

LZ =

Z

Z

Si l’impédance de charge ZL est purement réelle, l’impédance

ramenée est également purement réelle (en supposant que

l’impédance caractéristique de la ligne est elle aussi purement

réelle ce qui sera toujours le cas pour les lignes sans pertes).

! '

100

Z = 25 i n

/ 4, 50

Figure 5-44 : Exemple de transformateurquart d’onde

5.3.2.5. Le changement d’impédance de

normalisation

L’impédance de normalisation choisie pour l’abaque de Smith est

celle de la ligne de transmission. Il peut arriver que l’on ait besoin

de travailler avec des lignes d’impédance caractéristique

différentes. Il faut effectuer une opération de dénormalisation

renormalisation à chaque interface.

¡¢£¤ ¥¦¢§ ¨¤ ©£¡¡ª!§«¬ ®¯

Exemple

On considère le circuit de la figure 5-45 :

100 °

± / 8, 25 ° ± / 8, 50 °

z1

z2

Figure 5-45 : Tronçons de ligned’impédances caractéristiques

différentes

Pour obtenir l’impédance d’entrée à partir de l’abaque de Smith on

suit la démarche ci-dessous:

• On normalise l’impédance de charge par rapport à 50

Ω

LL

z = Z

50 = 2

• On tourne de λ/8 vers le générateur sur le cercle de

centre l’origine de l’abaque passant par zL , à partir de

zL

z1 = 0.8 - j 0.6

• On dénormalise z1 par rapport à 50 Ω

²³ ´µ¶·¸ ¹º¶» ¼¸ ½·µµ¾!»¿À ÁÂÁ

Z1 = 40 - j 30 Ω

• On renormalise Z1 par rapport à 25 Ω

z’ = Z

25 = 1.6- j1.21

1

• On tourne de λ/8 vers le générateur sur le cercle de

centre l’origine de l’abaque passant par z’1 à partir de

z’1

z2 = 0.425 - j 0.4

• On dénormalise z2 par rapport à 25 Ω

Z2 = 10.625 - j 10 Ω

5.3.2.6. Adaptation simple stub

Une ligne de transmission et un stub court circuit ou circuit ouvert

permettent d’adapter une charge complexe à 50 Ω

l , 50 Ã

d , 50 Ã

y

y

ys

d

Figure 5-46 : Adaptation simple stub

ÄÅ ÆÇÈÉÊ ËÌÈÍ ÎÊ ÏÉÇÇÐ!ÍÑÒ ÓÔÕ

Pour qu’il y ait adaptation y doit être égal à 1.

ys est purement imaginaire

sy = j( )±

yd doit donc être de la forme suivante :

dy = 1+ j( )

Exemple

On cherche à adapter l’impédance ZL = 30 + j 70 Ω avec un

dispositif simple stub. Les lignes ont une impédance caractéristique

de 50 Ω.

l , 50 Ö

d , 50 Ö

y

y

ys

d

30 + j70 Ö

Figure 5-47 : Exemple d’adaptationsimple stub

On normalise ZL par rapport à 50 Ω

LL

z = Z

50 = 0.6+ j1.4

×Ø ÙÚÛÜÝ ÞßÛà áÝ âÜÚÚã!àäå æçè

Par symétrie on en déduit l’admittance normalisée

yL = 0.26 - j 0.6

On se déplace vers le générateur sur un cercle de centre 0 passant

par yL (à partir de yL) jusqu’à rencontrer une admittance à partie

réelle unitaire. La première admittance vérifiant cette condition est :

yd = 1 + j 1.85

La longeur de ligne parcourue entre yL et yd vaut 0.275é λ

Le stub court circuit doit donc présenter une admittance d’entrée

permettant d’annuler la partie imaginaire de yd

yS = - j 1.85

La longueur êìëîíðïòñóëîôíñóëîíõöïø÷úùûïüïùý÷ÿþõ ñòïòñþõ ë ù ñ ï í ù ù õöï ûùl’abaque de Smith

l = 0.078 λ

!"#$%&')( *,+.-

La solution est donc:

0.078 / , 50 0

0.275 / , 50 0

y = 1

30 + j70 0

Figure 5-48 : Première solution del’adaptation simple stub

La seconde solution est obtenue de façon similaire :

0.078 / , 50 0

0.275 / , 50 0

y = 1

30 + j70 0

Figure 5-49 : Seconde solution del’adaptation simple stub

12 34567 895: ; 7 <"6#4$4=&:>)? @,A,B

5.3.2.7. Adaptation double stub

Pour des raisons pratiques (réglages à posteriori, connaissance

imprécise de l’impédance à adapter, etc...) on est parfois amené à

modifier légèrement les longueurs des lignes d’adaptation. Dans la

structure simple stub ceci est quasiment impossible du fait de la

ligne série. L’adaptation double stub apporte une réponse à ce

problème en fixant la longueur d de la ligne série et en reportant les

réglages sur deux stubs l1 et l2.

l 1, 50 C

d 1 , 50 C

y

y

ys1

d1

ys2

d 2 , 50 C

l 2, 50 C

yd2

Figure 5-50 : Adaptation double stub

On résout le problème en faisant les remarques suivantes :

• y’L est l’admittance de charge transformée par d1

• yd1 aura même partie réelle que y’L

• yd2 aura une partie réelle unitaire

Les solutions seront donc issues de l’intersection des deux cercles

suivants :

DE FGHIJ KLHM N J O"I#G$GP&MQ)R S,T,U

C1 : cercle à partie réelle d’admittance y’L constante

C2 : cercle à partie réelle d’admittance unitaire pivoté de

C2 vers la charge

Exemple :

On cherche à adapter l’impédance ZL = 30 - j 50 Ω à 50 Ω avec un

dispositif double stub.

l 1, 50 V

0.02 W , 50 V

y

y

ys1

d1

ys2

W / 8 , 50 V

l 2, 50 V

yd2

30 - j50 V

Figure 5-51 : Exemple d’adaptationdouble stub

On normalise ZL par rapport à 50 Ω

LL

z = Z

50 = 0.6- j

On se déplace de 0.02 λ vers le générateur

z’L = 0.48 - j 0.8

XY Z[\]^ _`\a b ^ c"]#[$[d&ae)f g,h,i

Par symétrie, on déduit l’admittance équivalente

y’L = 0.54 + j 0.92

On trace le cercle unitaire pivoté de λ/8 vers la charge

L’intersection avec le cercle à partie réelle d’admittance égale à

0.55 donne 2 solutions:

yd1 = 0.54 + j 1.9

y’d1 = 0.55 + j 0.19

On pivote ces deux points vers le générateur en tournant de jlknmporqsune ligne 50 Ω

yd2 = 1 - j 2.6

y’d2 = 1 + j 0.6

La longueur du second stub doit compenser la partie imaginaire

yl2 = + j 2.6 ce qui conduit à l2 = 0.442 λ

y’l2 = - j 0.6 ce qui conduit à l2 = 0.164 λ

La longueur du premier stub est donnée par la différence entre y’L

et yd

yl1 = j 0.98 ce qui conduit à l1 = 0.375 λ

y’l1 = - j 0.82 ce qui conduit à l1 = 0.14 λ

tu vwxyz |x ~ z "y#w$w&) ,

0.375 , 50

0.02 , 50

y = 1

/ 8 , 50

0.442 , 50

30 - j50

Figure 5-52 : Première solution del’adaptation double stub

0.140 , 50

0.02 , 50

y = 1

/ 8 , 50

0.164 , 50

30 - j50

Figure 5-53 : Seconde solution del’adaptation double stub

"#$&) ,,

6. ANNEXES

¡¢£ ¤ ¥"#$¦&£§)¨ ©.ª,«

6.1. Les relations de passage entre les différentes

représentations d’un qu adripole

Tous les paramètres descriptifs d’un quadripôle sont bien entendu

reliés entre eux par diverses relations développées ci-dessous.

Quelques unes d’entre elles sont issues d’une forme matricielle.

Certaines de ces transformations font intervenir le déterminant de

l’une des matrices descriptives du quadripôle en question. Lorsque

celui-ci se situe au dénominateur, il faut bien entendu s’assurer qu’il

n’est pas nul. Dans le cas contraire, la matrice correspondante

n’existe pas.

6.1.1. Zij = f (Yij)

La matrice impédance est l’inverse de la matrice admittance, ce qui

s’écrit :

[Z] = [Y ] -1

Sous une forme plus développée :

11 22

12 12

21 21

22 11

Z = Y

Y

Z = -

Y

Y

Z = -

Y

Y

Z = Y

Y

∆

∆

∆

∆

¬ ®¯°±² ³´°µ ¶ ² ·"±#¯$¯¸&µ¹)º ».¼»

6.1.2. Zij = f (A, B, C, D)

11

12

21

22

Z =

A

C

Z =

C

C

Z =

1

C

Z = D

C

∆

6.1.3. Zij = f (Sij)

On peut montrer que la matrice impédance est reliée à la matrice

de répartition par la relation suivante :

[Z] = ([1] + [S] ) ([1] - [S] )-1

En développant, on trouve :

1111 22 12 21

11 22 12 21

1212

11 22 12 21

2121

11 22 12 21

2211 22 12 21

11 22 12 21

Z = (1+ S ) (1- S )+ S S

(1- S ) (1- S ) - S S

Z = 2S

(1- S ) (1- S ) - S S

Z = 2S

(1- S ) (1- S ) - S S

Z = (1- S ) (1+ S )+ S S

(1- S ) (1- S ) - S S

½¾ ¿ÀÁÂÃ ÄÅÁÆ Ç Ã È"Â#À$ÀÉ&ÆÊ)Ë Ì.Í,Î

6.1.4. Yij = f (Zij)

La matrice admittance est l’inverse de la matrice impédance, ce qui

s’écrit

][Z =[Y] -1

Sous une forme plus développée :

1122

1212

2121

2211

Y = Z

Z

Y = - Z

Z

Y = - Z

Z

Y = Z

Z

∆

∆

∆

∆

6.1.5. Yij = f (A, B, C, D)

11

12

21

22

Y = D

B

Y = -C

B

Y = -1

B

Y = A

B

∆

ÏÐ ÑÒÓÔÕ Ö×ÓØ Ù Õ Ú"Ô#Ò$ÒÛ&ØÜ)Ý Þ.ßà

6.1.6. Yij = f (Sij)

La relation matricielle entre [Y] et [S] se met sous la forme :

[Y] = ([1] - [S] ) ([1] + [S] ) 1-

Si on pousse le calcul, cette égalité matricielle se traduit par :

1111 22 12 21

11 22 12 21

1212

11 22 12 21

2121

11 22 12 21

2211 22 12 21

11 22 12 21

Y = (1- S ) (1+ S )+ S S

(1+ S ) (1+ S ) - S S

Y = - 2S

(1+ S ) (1+ S ) - S S

Y = - 2S

(1+ S ) (1+ S ) - S S

Y = (1+ S ) (1- S )+ S S

(1+ S ) (1+ S ) - S S

6.1.7. A, B, C, D = f (Zij)

A = Z

Z

B = Z

Z

C = 1

Z

D = Z

Z

11

21

21

21

22

21

∆

áâ ãäåæç èéåê ë ç ì"æ#ä$äí&êî)ï ð.ñ,ò

6.1.8. A, B, C, D = f (Yij)

A = -Y

Y

B = -1

Y

C = - Y

Y

D = -Y

Y

22

21

21

21

11

21

∆

6.1.9. A, B, C, D = f (Sij)

A = (1+ S )(1- S )+ S S

2S

B = (1+ S )(1+ S ) - S S

2S

C = (1- S )(1- S ) - S S

2S

D = (1- S )(1+ S )+ S S

2S

11 22 12 21

21

11 22 12 21

21

11 22 12 21

21

11 22 12 21

21

óô õö÷øù úû÷ü ý ù þ"ø#ö$öÿ&ü

Si le circuit est adapté S11 = S22 = 0

A = 1+ S S

2S

B = 1- S S

2S

C = 1- S S

2S

D = 1+ S S

2S

12 21

21

12 21

21

12 21

21

12 21

21

6.1.10. Sij = f (Zij)

Les paramètres de répartition sont reliés aux paramètres

impédance par :

[S] = ([Z] - [1] ) ([Z] + [1] )-1

La forme développée donne les expressions suivantes :

1111 22 12 21

11 22 12 21

1212

11 22 12 21

2121

11 22 12 21

2211 22 12 21

11 22 12 21

S = ( Z -1)( Z + 1) - Z Z

( Z + 1)( Z + 1) - Z Z

S = 2Z

( Z + 1)( Z + 1) - Z Z

S = 2Z

( Z + 1)( Z + 1) - Z Z

S = ( Z + 1)( Z -1) - Z Z

( Z + 1)( Z + 1) - Z Z

!"# $%&

6.1.11. Sij = f (Yij)

Les paramètres de répartition sont reliés aux paramètres

admittance par :

[S] = ([1] - [Y] ) ([1] + [Y] )-1

La forme développée donne les expressions suivantes :

1111 22 12 21

11 22 12 21

1212

11 22 12 21

2121

11 22 12 21

2211 22 12 21

11 22 12 21

S = (1-Y )(1+ Y )+ Y Y

(1+ Y )(1+ Y ) -Y Y

S = - 2Y

(1+ Y )(1+ Y ) -Y Y

S = - 2Y

(1+ Y )(1+ Y ) -Y Y

S = (1+ Y )(1-Y )+ Y Y

(1+ Y )(1+ Y ) -Y Y

6.1.12. Sij = f (A, B, C, D)

11

12c

21

22

S = A+ B - C - D

A+ B+ C+ D

S = 2

A+ B+ C+ D

S = 2

A+ B+ C+ D

S = - A+ B - C+ D

A+ B+ C+ D

∆

'( )*+,- ./+0 1- 2,**3!045 678

6.2. Quelques matrices é lémentaires

6.2.1. L’impédance série

I

V

1

1

I 2

V2

Figure 6-1 : L’impédance série

[Y] =

1

Z-

1

Z

-1

Z

1

Z

[C] = 1 Z

0 1

[S] =

Z

Z + 2

2

Z + 2

2

Z + 2

Z

Z + 2

9: ;<=>? @A=B C? D><<E!BFG HIJ

6.2.2. L’admittance

parallèle

I

V

1

1

I 2

V2

Figure 6-2 : L’admittance parallèle

[Z] =

1

Y

1

Y

1

Y

1

Y

[C] = 1 0

Y 1

[S] =

-Y

Y+ 2

2

Y+ 2

2

Y+ 2-

Y

Y+ 2

KL MNOPQ RSOT UQ VPNNW!TXY Z[[

6.2.3. Le transformateur

idéal

I

V

1

1

I 2

V2

n 1

Figure 6-3 : Le transformateur idéal

Nous allons étudier ici la caractérisation d’un transformateur parfait

de rapport de transformation n.

[S] =

n -1

n + 1

2n

n + 1

2n

n + 11- n

n + 1

2

2 2

2

2

2

[C] =

n 0

0 1

n

\] ^_`ab cd`e fb ga__h!eij kll

6.2.4. Le tronçon de ligne sans pertes

I

V

1

1

I 2

V2

Zc

l

Figure 6-4 : Le tronçon de ligne sanspertes

[Y] = j

Z

- l 1

l

1

l

- lc

cot

sin

sin

cot

ββ

ββ

[Z] = - j Z

l 1

l

1

l

lc

cot

sin

sin

cot

ββ

ββ

[C] =

l j Z l

jl

Z

l

c

c

cos sin

sin cos

β β

β β

[S] = 0

0

-j l

- j l

β

β

exp

exp

mn opqrs tuqv ws xrppy!vz |~

6.3. Les graphes de fluence

Un graphe de fluence est un moyen élégant de représenter et

d’analyser le phénomène de réflexion et de transmission dans un

circuit microonde. En effet, une fois la topologie du graphe établie,

les relations entre les variables peuvent être déterminées à partir

des règles de Mason.

Plusieurs définitions sont nécessaires à la construction d’un graphe

de fluence :

• Chaque variable (dépendante ou indépendante) est

associée à un nœud.

• Les paramètres S sont représentés par des

branches.

• Les branches sont orientées de la variable

indépendante vers la variable dépendante. Les

variables indépendantes (respectivement

dépendantes) sont les ondes incidentes

(respectivement réfléchies).

• Un noeud est égal à la somme des branches

convergeant vers lui.

!

Le graphe de fluence d’un quadripôle caractérisé par ses

paramètres S est représenté sur la figure suivante :

a b1 2

S1 1

S2 2

S2 1

S1 2

a2b1

Figure 6-5 : Graphe de fluence d’unquadripôle

On peut également représenter les dipôles à l’aide des graphes de

fluence, et notamment le générateur et la charge.

bg

g

ag

bs

1

Figure 6-6 : Graphe de fluence d’ungénérateur

bL

L

aL

Figure 6-7 : Graphe de fluence d’unecharge

! ¡¢

On peut bien entendu combiner les trois représentations pour

représenter un générateur débitant dans un quadripôle chargé (cas

typique de l’amplificateur microonde). Le graphe correspondant est

présenté ci dessous:

a b1 2

S1 1

S2 2

S2 1

S1 2 a2b1

bs1

£s£ £

L£

Figure 6-8 : Graphe de fluence d’unquadripôle alimenté et chargé

Pour déterminer la fonction de transfert d’une variable dépendante

à une variable indépendante, on applique la formule de Mason.

Pour illustrer cette théorie, nous allons calculer la fonction de

transfert entre bs et b1 (les conventions sont celles de la Figure 8).

[ ] [ ]T =

C 1- L + L -... + C 1- L + L +...+...

1- L + L - L +...1 1

121

2 12

22

1 2 3

Σ Σ Σ ΣΣ Σ Σ

Les termes Ci sont les différents chemins possibles entre la variable

indépendante et la variable dépendante. Un chemin est défini

comme un circuit fermé que l’on parcoure dans le sens des flèches

sans passer deux fois par le même noeud. Dans le cas qui nous

intéresse, on aura :

1 11

2 21 L 12

C = S

C = S SΓ

¤¥ ¦§¨©ª «¬¨ ®ª ¯©§§°!±² ³´µ

Le terme Σ L1 représente la somme des boucles du premier ordre.

Une boucle du premier ordre est définie comme le produit des

branches rencontrées lors du parcours fermé d’un nœud vers ce

même nœud. Ici ΓS S11 , ΓL S22 et S21 ΓL S12 ΓS sont les seules

boucles du premier ordre.

Le terme Σ L2 représente la somme des boucles du deuxième

ordre. Une boucle du deuxième ordre est le produit de deux boucles

du premier ordre non adjacentes. La seule boucle du deuxième

ordre de notre exemple vaut S11 ΓS S22 ΓL . De la même façon, une

boucle du troisième ordre est égale au produit de trois boucles du

premier ordre non adjacentes. Il n’y a pas de boucles du troisième

ordre dans l’exemple qui nous intéresse.

Le terme Σ Lji représente la somme des boucles d’ordre j ne

touchant pas le chemin C1. Pour le graphe de la Figure 8 , on

obtient :

Σ Γ Σ Σ11

L 22 12

2iL = S , L = 0 et L = 0

La fonction de transfert recherchée s’écrit donc :

1

S

11 22 L 21 L 12

11 S 22 L 21 L 12 S 11 S 22 L

b

b =

S (1- S )+ S S

1- ( S + S + S S )+ S S

Γ ΓΓ Γ Γ Γ Γ Γ

¶· ¸¹º»¼ ½¾º¿ À¼ Á»¹¹Â!¿ÃÄ ÅÆÇ

7. BIBLIOGRAPHIE

ÈÉ ÊËÌÍÎ ÏÐÌÑ ÒÎ ÓÍËËÔ!ÑÕÖ ×ØÙ

Circuits passifs Léo ThourelCepadues Editions 1988

Transmission en espace libre et sur les lignes Paul F. CombesChapitres VIII, IX, X, XI, XIIDunod Université 1983

Microstrip Lines ans Slotlines K. C. Gupta, R. Garg, I. Bahl, P. BhartiaArtech House 1996

High Frequency Amplifiers Ralph S. CarsonChapitre 3John Wiley & Sons 1982

High Frequency Circuit Design and Measurements Peter C. L. YipChapitres 1, 2, 3, 4Chapman and Hall 1990

micro-ondes - cours, examens...3.4. longueur d’onde 117 3.5. lignes chargÉes 118 3.5.1....

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