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Ensa de Tanger Projet guide d’onde rectangulaire
Master en Systèmes de Communication & Informatique Page | 1
Université Abdelmalek Essaadi
Ensa de Tanger
Département de Télécoms
Projet Electromagnétique
Master en Systèmes de Communication & Informatique
Guide d’onde rectangulaire
Janvier 2013
Année Universitaire: 2012 - 2013
Ensa de Tanger Projet guide d’onde rectangulaire
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Sommaire :
■ Introduction : …………………………………………………………………………….……………..…03
■ 1 Contexte et conventions : …………………………………………………………………………..04
1.1 Contexte : ………………………………………………………………………….…04
1.2 Guides électromagnétiques étudiés.……………………………….……04
1.3 Classification des modes guidés ………………………………………..06
1.4 Solutions harmoniques ……………………………………………………… 07
■ 2 Guide d’onde rectangulaire :………………………………………………….08
2.1 Modes 𝐓𝐌……………………………………………………………………………….….10
Résolution de l’équation de propagation……………………10
Application des conditions aux limites………………………11
Expression des champs………………………………………………12
Existences des modes 𝑻𝑴……………………………………………..13
2.2 Modes 𝐓𝐄…………………………………………………………………………………....13
Valeurs propres………………………………………………………….14
Expression des champs…………………………………………….14
Existences des modes 𝐓𝐄…………………………………………….14
2.3 Etudes des modes de propagation : ……………………………………..…15
2.4 Etudes du mode dominant 𝑻𝑬𝟎𝟏 : ……………………………………………16
2.5 Puissance active transportée par le mode 𝑻𝑬𝟎𝟏: …………………18
2.6 caractéristiques des guides d’ondes rectangulaires: …………19
2.7 Lignes de Champs………………………………………………………………………….20
■ 3 Annexe …………………………………………………….……...22
3.1 Contexte……………………………………………………………………………….………….22
3.2 Modes 𝐓𝐌………………………………………………………………………………………22
Équation de propagation…………………………………………22
Fréquence de coupure…………………………………………….…22
Séparation des variables…………………………………………..23
Conditions aux limites………………………………………………23
Remarque importante………………………………………………..23
Expression des champs transverses……………………...23
3.3 Modes 𝐓𝐄…………………………………………………………………………...24
Équation de propagation…………………………………………...24
Fréquence de coupure…………………………………………..…24
Séparation des variables…………………………………….…..25
Conditions aux limites……………………………………………..25
Remarque………………………………………………………………….25
Expression des champs transverses……………………..25
3.4 Dégénérescence………………………………….……26
3.5 Guides rectangulaires normalisés ………………………………..26
3.6 Exemples de guide rectangulaires…..…………………………..26
■ Bibliographies …………………………………………………………………………29
■ Figures…………………………………………………………………………………….29
■ Tables…………………………………………………………………...29
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Introduction :
Une onde véritablement plane ne peut exister que dans un milieu
homogène infini. En pratique, la propagation se fait dans des milieux
inhomogènes et finis. D’autre part, les ondes électromagnétiques
émises à proximité de milieux conducteurs ou diélectriques étendus
ont tendance à se propager parallèlement aux surfaces de ces
milieux. Ceux-ci agissent comme des guides servant à transporter
l’énergie électromagnétique d’un point à un autre. Cette propriété est
appliquée dans une foule de dispositifs de grande importance :
Guide d’onde rectangulaire,
Guide d’onde circulaire,
Lignes de transport d’énergie électrique,
Fibres optiques, etc.
Les cordons d’alimentation des appareils électriques sont des guides
ou lignes électriques, de même que les interconnexions de circuits
électriques en général. C’est pourquoi leur étude est de première
importance, afin de les utiliser correctement, particulièrement aux
fréquences élevées ou les temps de propagation deviennent
relativement appréciables compares à la période.
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Contexte et conventions :
1.1 Contexte
Un guide d’onde permet la propagation d’une onde électromagnétique
selon une direction privilégiée, et ce idéalement sans atténuation ou
distorsion du signal (tel que la dispersion).
Dans ce cours, nous considérons la propagation selon le vecteur unitaire ��
tel que représenté
Figure 1.1
1.2 Guides électromagnétiques étudiés
De manière générale, plusieurs types de guides électromagnétiques
existent selon les fréquences que nous souhaitons transporter, tel que
décrit Figure. 1.1.
Nous allons ici étudier les guides d’ondes tels que les guides rectangulaire
et circulaire, et étudierons ces guides sous une approche modale pour des
fréquences couvrant les domaines
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Figure 1.2
des micro-ondes et des hyperfréquences. Les autres types de guides
d’ondes seront étudiés dans les autres parties du module, à savoir :
la théorie des lignes (cf. partie du cours dispensée par
L. Varani) concernant les lignes électriques pour les
hyperfréquences,
les guides optiques (cf. partie du cours dispensée par
R. Kribich), à savoir les guides planaires optiques ou les fibres
optiques.
Nous nous intéressons donc à des guides creux ou remplis de diélectrique
linéaire, homogène et isotrope (LHI). Nous supposerons le milieu
diélectrique isotrope dans ce projet, l’anisotropie étant introduite via la
perméabilité magnétique m sinon.
Les guides creux sont particulièrement adaptés à la propagation d’ondes
hyperfréquences (typiquement pour les fréquences comprise entre le GHz
et le THz). La dénomination usuelles des bandes micro-ondes est donnée
table 1.2. Pour de plus faibles fréquences, nous utilisons les lignes
coaxiales ou bifilaires, pour de plus hautes fréquences, i.e. l’infrarouge
puis le visible, nous utilisons plutôt fibres optiques ou guides optiques
planaires. Enfin, notons que l’utilisation de guides creux dans la gamme
GHz est préférée aux câbles coaxiaux lorsque de fortes puissances
doivent être transmises.
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Table 1
1.3 Classification des modes guidés
De manière générale, il existe plusieurs types de propagation dans le
guide. Si nous considérons la propagation selon z, nous distinguerons les
cas suivants :
l’onde transverse électromagnétique 𝑻𝑬𝑴 : telle que champs électrique et
magnétique sont orthogonaux à l’axe de propagation, i.e. �� ⊥ 𝑧 & �� ⊥ 𝑧
l’onde transverse électrique 𝑻𝑬 : telle que le champ électrique seulement est
orthogonal à l’axe de propagation, i.e. �� ⊥ 𝑧
l’onde transverse magnétique 𝑻𝑴 : telle que le champ magnétique
seulement est orthogonal à l’axe de propagation, i.e. �� ⊥ 𝑧
l’onde hybride telle que ni le champ électrique ni le champ magnétique
ne sont orthogonaux à l’axe de propagation.
La connaissance des composantes transverses sera importante dans ce
cours. Nous utiliserons la notation V pour traduire de manière générale le
champ électrique E ou l’excitation magnétique (ou champ magnétique) H .
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Nous exprimerons ainsi de manière générale un champ électromagnétique
sous la forme :
�� = 𝑉𝑇 + 𝑉𝑧 1.1
Où VT ⊥ z est la composante transverse du champ et Vt = VzZ la
composante longitudinale du champ.
1.4 Solutions harmoniques
Nous nous intéressons ici aux solutions harmoniques pour la propagation
selon z, et noterons sous forme exponentielle les solutions harmoniques à
la pulsation radiale ω:
�� = 𝑉0 (𝑥, 𝑦)𝑒−𝛾𝑧𝑒𝑖𝜔𝑡 1.2
Où V0 (x, y) est la valeur de E ou ~H en toute position z, et g la constante
de propagation se décomposant sous la forme :
𝛾 = 𝛼 + 𝑖𝛽𝑔 1.3
Ainsi, a correspond à l’atténuation (Np / m) et βg au déphasage (rad/m)
accumulés longitudinalement. Notons que pour la propagation sans
atténuation (α = 0), nous avons simplement γ = α + iβg et retrouvons
simplement le terme habituel en ei(ωt−βgZ) pour une onde progressive.
Ces notations sont importantes car elles seront utilisées tout au long du
cours. Nous voyons Eq. 1.2 que nous considérons la propagation selon z
d’un profil V0(x, y) du champ électrique ou magnétique (selon que nous
sommes dans un cas TE ou TM, respectivement) ne dépendant que des
coordonnées transverses. La constante de propagation βg correspond
donc à la propagation selon z la composante transverse du champ.
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Guide d’onde rectangulaire :
Nous supposons un guide rectangulaire de dimensions a selon l’axe x et b
selon l’axe y tel que représenté Fig. 2.1.
Figure 2.1
Un guide d'onde rectangulaire possède une section rectangulaire de
largeur a sur l'axe x, et de hauteur b sur l'axe y. Un diélectrique- souvent
de l'air - remplit l'intérieur du conducteur creux.
Les champs se déplacent dans le diélectrique mais sont confinés dans
l'espace par les 4 parois conductrices.
L'axe z définit toujours la direction de propagation et on suppose a > b.
Le diélectrique et le conducteur sont parfaits car les pertes pourront être
considérées ultérieurement en ajoutant simplement la constante
d'atténuation sans modifier le reste, un peu comme dans les lignes de
transmission à très faibles pertes.
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Il faut voir que les modes supérieurs sont produits avec la combinaison de
plusieurs ondes planes se réfléchissant selon divers patrons sur les
parois.
Les réflexions sur les plaques latérales seules donne des modes TEm0
tandis que les modes TE0n sont issus des réflexions sur les plaques
inférieure et supérieure seules.
Figure 2.2
Figure 2.3
Pour obtenir l'ensemble des informations sur les champs, il faut
solutionner l'équation d'onde issue de la résolution des équations de
Maxwell en accord avec les conditions aux limites imposées par les parois
du guide d'ondes.
Deux modes supérieurs peuvent donc s'y propager:
le mode TE où le champ électrique est transverse avec:
Ez = 0, et Hz ≠ 0,
le mode TM où le champ magnétique est transverse avec:
Ez ≠ 0, et Hz = 0,
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2.1 Modes 𝐓𝐌
Nous allons dans un premier temps nous intéresser aux modes de
propagation TM.
Résolution de l’équation de propagation
Nous avons vu que la résolution des modes TM passe par la
détermination de l’équation de propagation concernant le champ
excitateur Ez. Nous supposons les variables séparées pour ce champ
excitateur et écrivons :
𝐸𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝑋(𝑥)𝑌(𝑦). L’équation de propagation ∆Ez + s
2Ez s’écrit donc :
��𝑌 + ��𝑋 + 𝑠2𝑌𝑋 = 0. soit en divisant cette dernière équation par YX :
��
𝑋+𝑌
𝑌
+ 𝑠2 = 0.
Rappelons que s est une constante, ainsi nous avons la somme d’une
fonction X/ X ne dépendant que de x, d’une fonction Y/ Y ne dépendant que
de y, et d’une constante. Ceci n’est possible que dans le cas où les
fonctions X00/X et Y00/Y sont constantes. Nous noterons ces constantes
respectivement −k2x et −k2y avec ainsi :
𝑘2𝑥 + 𝑘2𝑦 = 𝑠
2. 2.1 La résolution de X/ X = −k2x donne donc une solution de la forme X =
A cos(kxx) + B sin(kxx), et la résolution de Y/ Y = −k2y donne donc une
solution de la forme X = C cos(kyy) + D sin(kyy), nous déduisons donc la
forme du champ excitateur :
𝐸𝑧(𝑥, 𝑦) = [𝐴 cos(𝑘𝑥𝑥) + 𝐵 sin(𝑘𝑥𝑥)][cos(𝑘𝑦𝑦) + 𝐷 sin(𝑘𝑦𝑦)] 2.2
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Application des conditions aux limites
Afin de déterminer les constantes, nous appliquons les conditions aux
limites, à savoir ici la condition de Dirichlet précédemment démontrée.
Ainsi, le champ excitateur doit être nul sur le contour du guide, donc :
{
𝐸𝑧(𝑦 = 0) = 0 ∀𝑥
𝐸𝑧(𝑦 = 𝑏) = 0 ∀𝑥
𝐸𝑧(𝑦 = 0) = 0 ∀𝑦
𝐸𝑧(𝑦 = 𝑎) = 0 ∀𝑦
Nous déduisons de la première condition :
[A cos(kxx) + B sin(kxx)] C = 0 quelque soit x, d’où nécessairement C = 0.
De la deuxième condition nous déduisons par conséquence :
[A cos(kxx) + B sin(kxx)] D sin(kyb) = 0 quelque soit x, d’où la condition :
𝑘𝑦 = 𝑛𝜋/𝑏. 2.3 où n est un entier positif, et D ≠ 0 (pour assurer l’existence des champs).
De la troisième condition nous déduisons ensuite : AD sin(kyb) = 0
quelque soit y, d’où nécessairement A = 0 car D est non nul. Finalement,
nous déduisons de la dernière condition : B sin(kxa)D sin(kyy) = 0 d’où la
condition :
𝑘𝑥 = 𝑚𝜋/𝑎. 3.4 où m est un entier positif. Ainsi, nous avons l’expression du champ excitateur Ez :
𝐸𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝐸0 sin (𝑚𝜋𝑥
𝑎) sin (
𝑛𝜋𝑦
𝑏) . 2.5
avec l’expression des valeurs propres pour chaque mode transverse TM
d’ordres (m, n)
𝑠𝑚𝑛2 = (
𝑚𝜋
𝑎)2+ (
𝑛𝜋
𝑏)2
2.6
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Sachant que smn = 2π/λc nous pouvons aussi exprimer les longueurs
d’onde et coupures des modes transverses en fonction simplement des
dimensions du guide d’onde rectangulaire :
𝜆𝐶𝑚𝑛 = 1/√(𝑚
2𝑎)2+ (
𝑛
2𝑏)2 2.7
𝑣𝐶𝑚𝑛 = 𝑣/√(𝑚
2𝑎)2+ (
𝑛
2𝑏)2 2.8
Expression des champs
Nous avons relié précédemment (chapitre I) les champs transverses aux
champs longitudinaux. Nous déduisons le champ électrique transverse
pour le mode TM (pour lequel Hz = 0) :
�� 𝑇 =1
𝑠2(−𝛾𝑔𝑟𝑎𝑑𝐸𝑧),
d’où les expressions des composantes Ex et Ey:
{𝐸𝑥 =
−𝛾
𝑠2𝐸0
𝑚𝜋
𝑎𝑐𝑜𝑠 (
𝑚𝜋𝑥
𝑎) 𝑠𝑖𝑛 (
𝑛𝜋𝑦
𝑏)
𝐸𝑦 =−𝛾
𝑠2𝐸0
𝑛𝜋
𝑏𝑠𝑖𝑛 (
𝑚𝜋𝑥
𝑎) 𝑐𝑜𝑠 (
𝑛𝜋𝑦
𝑏)
. 2.9
Nous déduisons maintenant le champ magnétique transverse pour le
mode TM (pour lequel Hz = 0) :
{𝐻𝑥 = 𝐸0
𝑖𝜔
𝑠2𝑛𝜋
𝑏𝑠𝑖𝑛 (
𝑚𝜋𝑥
𝑎) 𝑐𝑜𝑠 (
𝑛𝜋𝑦
𝑏)
𝐻𝑦 = −𝐸0𝑖𝜔
𝑠2𝑚𝜋
𝑎𝑐𝑜𝑠 (
𝑚𝜋𝑥
𝑎) 𝑠𝑖𝑛 (
𝑛𝜋𝑦
𝑏) . 2.10
À ce stade, nous avons donc calculé l’expression des champs électrique et
magnétique pour les modes TMmn dans un guide rectangulaire :
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Champ électrique :
�� 𝑚𝑛 =
{
𝐸𝑥 =
−𝛾
𝑠2𝐸0
𝑚𝜋
𝑎𝑐𝑜𝑠 (
𝑚𝜋𝑥
𝑎) 𝑠𝑖𝑛 (
𝑛𝜋𝑦
𝑏)
𝐸𝑦 =−𝛾
𝑠2𝐸0
𝑛𝜋
𝑏𝑠𝑖𝑛 (
𝑚𝜋𝑥
𝑎) 𝑐𝑜𝑠 (
𝑛𝜋𝑦
𝑏)
𝐸𝑧 = 𝐸0 𝑠𝑖𝑛 (𝑚𝜋𝑥
𝑎) 𝑠𝑖𝑛 (
𝑛𝜋𝑦
𝑏)
. 2.11
Champ magnétique :
�� 𝑚𝑛 =
{
𝐻𝑥 = 𝐸0
𝑖𝜔
𝑠2𝑛𝜋
𝑏𝑠𝑖𝑛 (
𝑚𝜋𝑥
𝑎) 𝑐𝑜𝑠 (
𝑛𝜋𝑦
𝑏)
𝐻𝑦 = −𝐸0𝑖𝜔
𝑠2𝑚𝜋
𝑎𝑐𝑜𝑠 (
𝑚𝜋𝑥
𝑎) 𝑠𝑖𝑛 (
𝑛𝜋𝑦
𝑏)
𝐻𝑧 = 0
2.12
Existences des modes 𝐓𝐌
Il est important de remarquer que si m = 0 ou n = 0, alors le champ
excitateur Ez est nul. Nous sommes donc en présence d’un mode TEM, or
nous avions vu précédemment que celui-ci ne pouvait exister dans un
guide creux. Par conséquence :
Les modes 𝑻𝑴𝟎𝒊 et 𝑻𝑴𝒊𝟎 n’existent pas dans un guide rectangulaire.
2.2 Modes 𝐓𝐄
Nous pouvons effectuer une démarche similaire pour les modes TE, à
savoir la résolution de l’équation de propagation afin de déterminer la
forme du champ excitateur Hz, puis l’application des conditions aux limites
afin de déterminer les valeurs propres ainsi que l’expression exacte de ce
champ excitateur. Nous pouvons finalement utiliser les relations liant
champs transverses et longitudinaux afin de déterminer l’expression des
champs transverses.
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Valeurs propres
Les valeurs propres pour chaque mode transverse TE d’ordre (m, n) sont :
𝑠𝑚𝑛2 = (
𝑚𝜋
𝑎)2+ (
𝑛𝜋
𝑏)2. 2.13
Ainsi, les valeurs propres pour les modes TEmn sont identiques à celles
des modes TMmn ( Eq. 6.6). Par conséquence, ces modes auront les
mêmes fréquences de coupures. Nous parlons dans ce cas de mode
dégénérés.
Les modes 𝑻𝑬𝑚𝑛 et 𝑻𝑴𝑚𝑛 sont donc dégénérés car ils sont associés à la même valeur propre.
Expression des champs
Nous obtenons aussi après un calcul similaire à celui présenté pour les
modes TM, l’expression des champs suivants :
Champ électrique :
�� 𝑚𝑛 =
{
𝐸𝑥 = 𝐻0
𝑖𝜔𝜇
𝑠2𝑛𝜋
𝑏𝑐𝑜𝑠 (
𝑚𝜋𝑥
𝑎) 𝑠𝑖𝑛 (
𝑛𝜋𝑦
𝑏)
𝐸𝑦 = −𝐻0𝑖𝜔𝜇
𝑠2𝑚𝜋
𝑎𝑠𝑖𝑛 (
𝑚𝜋𝑥
𝑎) 𝑐𝑜𝑠 (
𝑛𝜋𝑦
𝑏)
𝐸𝑧 = 0
2.14
Champ magnétique
�� 𝑚𝑛 =
{
𝐻𝑥 = 𝐻0
𝛾
𝑠2𝑚𝜋
𝑎𝑠𝑖𝑛 (
𝑚𝜋𝑥
𝑎) 𝑐𝑜𝑠 (
𝑛𝜋𝑦
𝑏)
𝐻𝑦 = 𝐻0𝛾
𝑠2𝑛𝜋
𝑏𝑐𝑜𝑠 (
𝑚𝜋𝑥
𝑎) 𝑠𝑖𝑛 (
𝑛𝜋𝑦
𝑏)
𝐻𝑧 = 𝐻0 𝑐𝑜𝑠 (𝑚𝜋𝑥
𝑎) 𝑐𝑜𝑠 (
𝑛𝜋𝑦
𝑏)
2.15
Existences des modes 𝐓𝐄
Contrairement aux modes 𝑻𝑴, tous les modes 𝑻𝑬 peuvent exister (même si 𝑚 ou 𝑛 est nul).
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2.3 Etudes des modes de propagation :
Les modes de propagations sont définis par les valeurs des entiers 𝑚 et 𝑛
qui définissent la longueur d'onde de coupure (2.7)
on définit ainsi les modes TEmn et TMmn. Etudions les différentes
solutions en fonction des valeurs de m et de n.
𝒎 = 𝟎 et 𝒏 = 𝟎
Les expressions des composantes des champs 𝑇𝐸 et 𝑇𝑀 montrent
qu'elles sont nulles. Il n'y a donc pas de propagation possible des modes
𝑇𝐸00 et 𝑇𝑀00.
𝒎 = 𝟎 et 𝒏 = 𝟏
Dans ce cas la longueur d'onde coupure est égale à :
𝜆𝐶01 = 2𝑏 2.16
Les expressions 2.11 à 2.12 montrent que toutes les composantes de
l'onde 𝑇𝑀01 sont nulles. Seules une onde 𝑇𝐸01 est possible.
𝒎 = 𝟏 et 𝒏 = 𝟎
Dans ce cas, la longueur d'onde coupure tirée de 2.7 est égale à :
𝜆𝐶01 = 2𝑎 2.17
Les expressions 2.11 à 2.12 montrent que toutes les composantes de
l'onde 𝑇𝑀10 sont nulles. Seules une onde 𝑇𝐸10 est possible.
𝒎 = 𝟏 et 𝒏 = 𝟏
Dans ce cas, la longueur d'onde coupure tirée de (2.7) est égale à :
𝜆𝐶11 = 1/√1
(2𝑎)2+
1
(2𝑏)2 2.18
Les deux modes 𝑇𝐸11 et 𝑇𝑀11 sont possibles.
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𝒎 et 𝒏
Dans ce cas, la longueur d'onde coupure tirée de 2.7 est égale à :
𝜆𝐶𝑚𝑛 = 1/√𝑚
(2𝑎)2+
𝑛
(2𝑏)2 2.19
Les deux modes 𝑇𝐸11 et 𝑇𝑀11 sont possibles.
On peut donc représenter sur un graphique les différents modes de
propagation en fonction de la longueur d'onde de l'émetteur.
Figure 2.4
On voit donc que pour une longueur d'onde :
𝜆𝐶10 < 𝜆 < 𝜆𝐶01 soit 2𝑎 < 𝜆0 < 2𝑏 2.20
Seul le mode 𝑇𝐸01 peut se propager, c'est une propagation monomode.
On appelle ce mode le mode dominant. C'est dans cette gamme de
longueur d'onde que l'on utilisera le guide rectangulaire.
Pour :
𝜆0 < 𝜆𝐶10 soit 𝜆0 < 2𝑏 2.21
Plusieurs modes sont susceptibles de se propager, c'est une propagation multimode.
2.4 Etude du mode dominant 𝑻𝑬𝟎𝟏 :
Il est caractérisé par 𝑚 = 0 et 𝑛 = 1 et une longueur d'onde de coupure
égale à :
𝜆𝐶01 = 2𝑏 2.22
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Dans ces conditions les expressions 2.14 à 2.15 permettent de déterminer
les valeurs des composantes du champ 𝐸𝑀.
𝐸𝑥01 =𝑗𝜔𝜇
𝛾𝑐2
𝜋
𝑏𝐻0 sin (
𝜋𝑦
𝑏) 𝑒𝑗𝜔𝑡−𝛾𝑔𝑧 2.23
𝐻𝑦01 =𝛾𝑔
𝛾𝑐2
𝜋
𝑏𝐻0 𝑠𝑖𝑛 (
𝜋𝑦
𝑏) 𝑒𝑗𝜔𝑡−𝛾𝑔𝑧 2.24
𝐻𝑧01 = 𝐻0 𝑐𝑜𝑠 (𝜋𝑦
𝑏) 𝑒𝑗𝜔𝑡−𝛾𝑔𝑧 2.25
𝐸𝑦01 = 𝐸𝑧01 = 𝐻𝑥01 = 0 2.26
Ce qui permet de représenter les champs EM.
Figure 2.5
On voit que le champ électrique est maximum au centre du guide.
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2.5 Puissance active transportée par le mode TE01
La puissance se calcule par le flux du vecteur de Pointing :
𝑃𝑧 = −1
2𝐸𝑦𝐻𝑥
∗ 2.27
Ou 𝐸𝑦 𝑒𝑡 𝐻𝑥 sont donnés par (2.23) et (2.24) soit :
𝑃𝑧 = −1
2𝑗𝜔𝜇
𝛾𝑔
𝛾𝑐2
𝜋2
𝑏2𝐻0 𝑠𝑖𝑛
2 (𝜋𝑦
𝑏) 2.28
tenant compte du fait que :
{
𝛾𝑔 = 𝑗𝛽𝑔
𝛽𝑔=
2𝜋
𝜆𝑔
𝛾𝑐 =2𝜋
𝜆𝑐
𝜆𝑐 = 2𝑏𝐸0𝐻0= √
𝜇0𝜀0
𝑐 =1
√𝜀0𝜇0
2.29
La densité de puissance s'écrit :
𝑃 =1
2𝐸0
2√𝜇0
𝜀0
𝜆
𝜆𝑔∫ ∫ 𝑠𝑖𝑛2 (
𝜋𝑦
𝑏) 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑏
0
𝑎
0 2.30
Soit :
𝑃 =1
4𝐸0
2√𝜇0
𝜀0
𝜆
𝜆𝑔𝑎𝑏 2.31
pour un guide rectangulaire travaillant en bande X à 10 Ghz, la puissance
est limitée par le champ électrique que peut supporter le guide en son
centre, dans le cas d'un guide rempli d'air sec, ce champ est de
10000V/cm., ce qui donne :
𝑃 =1
4(15000)2√4𝜋10−7 ∗ 36𝜋109
3
3.1∗ 22.8610−3 ∗ 10.1610−3 = 476 𝑘𝑤.
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Les guides d'ondes peuvent donc transporter des puissances 𝐸𝑀 très
importantes, cela d'autant plus que les dimensions du guide sont grandes
ce qui correspond à des fréquences d'utilisation plus basses.
2.6 Caractéristiques des guides d’ondes rectangulaires
Bandes de fréquence micro-ondes
Table 2
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Table 3
2.7 Lignes de Champs
Des équations des champs, il est possible ensuite de tracer les lignes de
champs, i.e. les lignes selon lesquelles le champ garde la même
amplitude. Cette représentation graphique est importante car elle offre un
recul sur la répartition des champs dans le guide, à la fois au niveau
longitudinal et transversal. Nous reprenons Fig. 6.2 les lignes de champs
tracées pour un guide rectangulaire tracées par F. Gardiol dans
Hyperfréquences (éditions Dunod).
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Figure 2.6
Plusieurs grandeurs apparaissent directement sur cette figure. Nous
observons par exemple que le mode TE10 est polarisé rectilignement car
les lignes de champ électrique sont toutes verticales. Nous observons
aussi la répartition sinusoïdale transverse du champ électrique, le champ
étant concentré au centre du guide et nul sur les bords. Sur toutes les
figures, nous observons une périodicité longitudinale, cette périodicité n’est
autre que la longueur d’onde guidée lg, grandeur qui sera essentielle pour
la réalisation de cavité à l’aide de ces guides d’ondes. Notons aussi que
les lignes de champ magnétique sont fermées, conséquence directe de
l’équation de Maxwell-Thomson. Remarquons enfin que les positions des
maxima des champs électrique et magnétique sont opposition de phase
dans la direction longitudinale, i.e. que l’un est maximal quand l’autre est
nul. Il est ainsi possible de perturber le champ électrique (magnétique)
sans directement perturber le champ magnétique (électrique) en usinant le
guide à certaines positions. Cette propriété sera utilisée dans les cavités
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hyperfréquences afin de réaliser diverses composantes passives
hyperfréquences.
Annexe 3.1 Contexte
Nous cherchons à déterminer les modes se propageant dans un guide
creux de dimensions a selon x et b selon y. La propagation s’effectue selon
z. Nous ne donnons ici que le fil conducteur de la méthode, les calculs
étant effectués en cours. Nous considérons un guide de dimensions a
selon x et b selon y.
3.2 Modes 𝐓𝐌 La détermination des modes TM passe par la détermination du champ
excitateur Ez.
Équation de propagation
L’équation de propagation du champ excitateur Ez est :
Δ𝐸𝑧 = −𝑠2𝐸𝑧 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑠
2 = 𝛾2 +𝜔2𝜇𝜀.
Cette équation est une équation aux valeurs propres, à chaque valeur
propre s correspond un vecteur propre Ez. Une fois Ez déterminée, nous
pouvons déterminer H puisque nous avions exprimé en début de cours les
champs transverses en fonction des composantes longitudinales
Fréquence de coupure
Dans un milieu sans perte, γ = iβ. Afin d’avoir propagation selon z, i.e. une
constante de propagation longitudinale β réelle pure, nous déduisons de
l’expression de s2 la condition ω > s/√ϵμ et définissons ainsi une
fréquence de coupure vc = s/(2π√ϵμ). À chaque mode correspond une
valeur propre s donc une fréquence de coupure.
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Séparation des variables
Nous supposons possible la séparation des variables x et y et déduisons la
forme du champ :
𝐸𝑧(𝑥, 𝑦) = [𝐴 cos(𝑘𝑥𝑥) + 𝐵 sin(𝑘𝑥𝑥)][cos(𝑘𝑦𝑦) + 𝐷 sin(𝑘𝑦𝑦)]
Avec 𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦
2 = 𝑠2
Conditions aux limites
Les conditions aux limites pour le champ excitateur Ez imposent Ez = 0
sur les parois du guide, nous déduisons le champ Ez :
𝐸𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝐸0 sin (𝑚𝜋𝑥
𝑎) sin (
𝑛𝜋𝑦
𝑏) .
où m et n sont des indices tels que :
𝑠𝑚𝑛2 = (
𝑚𝜋
𝑎)2+ (
𝑛𝜋
𝑏)2
À chaque couple 𝑚 et 𝑛 correspond donc une valeur propre s.
Remarque importante
Il est important de noter que si 𝑚 et/ou 𝑛 est nul, 𝐸𝑧 est nul. Or, 𝐻𝑧 est nul
puisque nous cherchons le mode 𝑇𝑀, donc la solution correspond à un
mode 𝑇𝐸𝑀. Or, nous avions vu au début du cours en reliant les
composantes transverses aux composantes longitudinales qu’un mode
TEM ne peut exister dans un guide creux, ainsi :
les modes 𝑻𝑴0𝑛 et 𝑻𝑴𝑚0 n’existent pas dans un guide rectangulaire !
Expression des champs transverses
Nous avions exprimé en début de cours les champs transverses en
fonction des composantes longitudinales des champs, nous déduisons
donc l’expression des champs
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Champ électrique :
�� 𝑇𝑀𝑚𝑛 = 𝐸0
{
−𝛾
𝑠2𝑚𝜋
𝑎𝑐𝑜𝑠 (
𝑚𝜋𝑥
𝑎) 𝑠𝑖𝑛 (
𝑛𝜋𝑦
𝑏)
−𝛾
𝑠2𝑛𝜋
𝑏𝑠𝑖𝑛 (
𝑚𝜋𝑥
𝑎) 𝑐𝑜𝑠 (
𝑛𝜋𝑦
𝑏)
𝑠𝑖𝑛 (𝑚𝜋𝑥
𝑎) 𝑠𝑖𝑛 (
𝑛𝜋𝑦
𝑏)
.
Champ magnétique :
�� 𝑇𝑀𝑚𝑛 = 𝐸0
{
𝑖𝜔
𝑠2𝑛𝜋
𝑏𝑠𝑖𝑛 (
𝑚𝜋𝑥
𝑎) 𝑐𝑜𝑠 (
𝑛𝜋𝑦
𝑏)
−𝑖𝜔
𝑠2𝑚𝜋
𝑎𝑐𝑜𝑠 (
𝑚𝜋𝑥
𝑎) 𝑠𝑖𝑛 (
𝑛𝜋𝑦
𝑏)
0
3.3 Modes 𝐓𝐄
La détermination des modes TE passe par la détermination du champ
excitateur Hz.
Équation de propagation
L’équation de propagation du champ excitateur Hz est :
Δ𝐻𝑧 = −𝑠2𝐻𝑧 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑠
2 = 𝛾2 +𝜔2𝜇𝜀.
Cette équation est une équation aux valeurs propres, à chaque valeur
propre s correspond un vecteur propre Hz. Une fois Hz déterminée, nous
pouvons déterminer E puisque nous avions exprimé en début de cours les
champs transverses en fonction des composantes longitudinales
Fréquence de coupure
Dans un milieu sans perte γ = iβ. Afin d’avoir propagation selon z, i.e. une
constante de propagation longitudinale β réelle pure, nous déduisons de
l’expression de s2 la condition ω > s/√ϵμ et définissons ainsi une
fréquence de coupure vc = s/(2π√ϵμ). À chaque mode correspond une
valeur propre s donc une fréquence de coupure.
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Séparation des variables
Nous supposons possible la séparation des variables x et y et déduisons la
forme du champ :
𝐻𝑧(𝑥, 𝑦) = [𝐴 cos(𝑘𝑥𝑥) + 𝐵 sin(𝑘𝑥𝑥)][cos(𝑘𝑦𝑦) + 𝐷 sin(𝑘𝑦𝑦)
Avec 𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦
2 = 𝑠2
Conditions aux limites
Les conditions aux limites pour le champ excitateur Hz imposent Hz = 0
sur les parois du guide, nous déduisons le champ Hz :
𝐻𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝐻0 sin (𝑚𝜋𝑥
𝑎) sin (
𝑛𝜋𝑦
𝑏) .
où m et n sont des indices tels que :
𝑠𝑚𝑛2 = (
𝑚𝜋
𝑎)2+ (
𝑛𝜋
𝑏)2
À chaque couple 𝑚 et 𝑛 correspond donc une valeur propre s.
Remarque
Notons cette fois-ci l’existence des modes 𝑇𝐸0𝑚 et 𝑇𝐸𝑛0, contrairement
aux modes 𝑇𝑀.
Expression des champs transverses
Nous avions exprimé en début de cours les champs transverses en
fonction des composantes longitudinales des champs, nous déduisons
donc l’expression des champs
Champ électrique :
�� 𝑇𝑀𝑚𝑛 = 𝐻0
{
𝑖𝜔
𝑠2𝑛𝜋
𝑏𝑐𝑜𝑠 (
𝑚𝜋𝑥
𝑎) 𝑠𝑖𝑛 (
𝑛𝜋𝑦
𝑏)
−𝑖𝜔
𝑠2𝑚𝜋
𝑎𝑠𝑖𝑛 (
𝑚𝜋𝑥
𝑎) 𝑠𝑖𝑛 (
𝑛𝜋𝑦
𝑏)
0
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Champ magnétique :
�� 𝑇𝑀𝑚𝑛 = 𝐻0
{
𝛾
𝑠2𝑚𝜋
𝑎𝑠𝑖𝑛 (
𝑚𝜋𝑥
𝑎) 𝑐𝑜𝑠 (
𝑛𝜋𝑦
𝑏)
𝛾
𝑠2𝑛𝜋
𝑏𝑐𝑜𝑠 (
𝑚𝜋𝑥
𝑎) 𝑠𝑖𝑛 (
𝑛𝜋𝑦
𝑏)
𝑐𝑜𝑠 (𝑚𝜋𝑥
𝑎) 𝑐𝑜𝑠 (
𝑛𝜋𝑦
𝑏)
.
3.4 Dégénérescence
Les modes TEmn et TMmn étant caractérisés par les mêmes valeurs propres, ils sont dits dégénérés, et présentent les mêmes fréquences de coupures.
3.5 Guides rectangulaires normalisés
Table 4
3.6 Exemples de guide rectangulaire
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Figure 3.1
Figure 3.2
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Figure 3.3
Figure 3.4
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Bibliographie
[1] P. Féron Propagation guidée de l’Enssat (Lannion).
[2] Hyperfréquences de F. Gardiol, aux éditions Dunod.
[3] Micro-ondes : Tome 1, Lignes, guides et cavités de P.-F. Combes, aux
éditions Dunod.
[4] Électromagnétisme et transmission des ondes : Université Laval.
[5] Électromagnétisme. Propagation – lignes électriques de Jean-Luc Dion aux
éditions Loze-Dion éditeur.
[6] http://hyper.dajax.fr/05propagguide/C05_2rect/C5_2rect.htm
Figures
Figure 1.1 : .......................................................................................... 04
Figure 1.2 : ......................................................................................... 05
Figure 2.1 : ......................................................................................... 08
Figure 2.2 : ......................................................................................... 09
Figure 2.3 : ......................................................................................... 09
Figure 2.4 : ......................................................................................... 15
Figure 2.5 : ......................................................................................... 17
Figure 2.6 : ......................................................................................... 21
Figure 3.1 : ........................................................................................ 27
Figure 3.2 : ...................................................................................... 27
Figure 3.3 : …………………………………………………………………………………… 28
Figure 3.4 : ................................................................................ 28
Tables
Table 1 : ............................................................................................. 06
Table 2 : ….......................................................................................... 19
Table 1 : ............................................................................................. 20
Table 2 : ….......................................................................................... 26