micro complements

Exercices complémentaires

Calculez l'utilité marginale du bien x (Umx), l'utilité marginale du bien y (Umy) et le taux marginal de

substitution du bien y au bien x (TmS = Umx / Umy) pour chacune des fonctions d'utilité suivantes :

U (x,y) Umx Umy TmS

2 x + 3 y

4 x + 6 y

a x + b y

2 √x + y

ln x + y

x . y

x1/2 . y1/2

xa . yb

( x + 2 ) ( y + 1 )

( x + a ) ( y + b )

xa + ya

x-a + y-b

(x-a + y-a)2

(x-a + y-a)-1/a

Introduction

Exercices de Micro-économie (horaire décalé)2

U (x,y) Umx Umy TmS

2 x + 3 y 2 3 - 2/3

4 x + 6 y 4 6 - 2/3

a x + b y a b - a/b

2 √x + y 1 / √x 1 - 1 / √x

ln x + y 1 / x 1 - 1 / x

x . y y x - y / x

x1/2 . y1/2 y1/2 / ( 2 x1/2) x1/2 / ( 2 y1/2) - y / x

xa . yb a xa-1 yb b xa yb-1 - a y / b x

( x + 2 ) ( y + 1 ) y + 1 x + 2 - ( y + 1 ) / ( x + 2 )

( x + a ) ( y + b ) y + b x + a - ( y + b ) / ( x + a )

xa + ya a xa-1 a ya-1 - ( x / y)a-1

x-a + y-b - a x-a-1 - b y-b-1 - ( a yb+1 ) / ( b xa+1 )

(x-a + y-a)2 2 (x-a + y-a) (- a x-a-1) 2 (x-a + y-a) (- a y-a-1) - ( y / x )a+1

(x-a + y-a)-1/a (-1/a) (x-a + y-a)-1/a-1

(- a x-a-1)

(-1/a) (x-a + y-a)-1/a-1

(- a y-a-1)

- ( y / x )a+1

Théorie du consommateur

EXERCICES DE MICRO-ECONOMIE (HORAIRE DECALE)3

THEORIE DU CONSOMMATEUR

1. Qu'entend-on par fonction d'utilité et courbe d'indifférence ?

Représentez la relation de préférence d'un consommateur pour les biens suivants :

- des allumettes bleues et des allumettes rouges de qualité égale (biens parfaitementsubstituables) ;

- des chaussures droites et des chaussures gauches (biens parfaitementcomplémentaires);

- le consommateur est alcoolique et son niveau de satisfaction est indépendant de saconsommation de légumes;

- le consommateur est au régime et ne peut plus consommer de vin.

2. Soit 4 individus dont on connaît la fonction d'utilité.

- U1 (x,y) = x2 y2; - U3 (x,y) = min {x , y};

- U2 (x,y) = x + y; - U4 (x,y) = 2lnx + 2lny.

2.1. Quel est pour chaque individu le type de préférences représenté.

2.2. Ajoutons 2 individus,

- U5 (x,y) = x2 + y2; - U6 (x,y) = 13x - 23y.

Parmi les 6 individus, lesquels ont les mêmes préférences à l'égard des paniers de biens(x, y) sachant que x > 0 et y > 0.

3. Les préférences d'un consommateur pour les biens x1 et x2 sont représentées par lafonction d'utilité U (x1, x2) = x11/2 x21/2.

3.1. Quel est le panier de biens qui maximise l'utilité du consommateur s'il dispose d'unrevenu nominal de 20 FB et si les prix des biens sont respectivement p1 = 1 FB et p2 = 2FB ?

3.2. Donnez l'équation du chemin d'expansion du revenu de ce consommateur.

3.3. Pour la demande du bien x1, calculez : - son élasticité-prix;- son élasticité-revenu;- son élasticité au prix du bien x2.

3.4. Supposons le doublement du prix du bien 2. Quel est le nouvel équilibre duconsommateur ?

4. Complétez le tableau suivant par :

Théorie du consommateur


A : accroissement des dépenses pour le bien i;B : dépenses constantes pour le bien i;C : réduction des dépenses pour le bien i.

Bien i Demande inélastique Élasticité unitaire Demande élastique

Hausse du prix

Baisse du prix

Note: dépense pour un bien = budget qui lui est accordé = P x Q !

14. Soit la fonction de demande pour le bien A: Qa = -6Pa + 2Pb + 0.4Roù Qa = quantité demandée de bien a; R = revenu du consommateur; Pa est le prix dubien a et Pb prix du bien b.

14.1. Quelle est la demande de bien a si Pa = 1, Pb = 2 et R = 1300 ?

14.2. Calculez l'élasticité de la demande au prix donné au point 14.1. ? Élasticité-croisée ?

14.3. Calculez l'élasticité-revenu. De quel type de biens s'agit-il ?

Le duopole


THEORIE DU PRODUCTEUR

1. Soit un producteur dont la fonction de production est donnée par :

y(z1, z2) = (z1-a + z2-a)-1/a

Les prix des facteurs sont respectivement p1 = p2 = 10 FB; a = 1/3.

1.1. a) Écrivez l'équation d'un isoquant et calculez la pente de celui-ci.

b) Écrivez l'équation général d'une droite d'isocoûts et calculez la pente de celle-ci.

1.2. A quel type de rendements d'échelle cette entreprise est-elle soumise ?

1.3. a) Déterminez le chemin d'expansion à long terme de ce producteur. Quelleinformation pouvez-vous en tirer quant à la technique de production utilisée pourchaque niveau de production ?

b) Déterminez les quantités optimales de facteurs à utiliser pour tout niveau deproduction possible (demande conditionnelle de facteur de production).

c) Déterminez les fonctions de coût total, moyen et marginal à long terme (pour toutniveau de production possible).

d) Faîtes le lien entre les rendements d'échelles et la forme des différentes courbes decoûts.

1.4. Calculez la productivité totale, moyenne et marginale de z1 dans les cas où 2 = 8 et 2 =64 ?

1.5. a) Montrez que la fonction de production à court terme est croissante.

b) Montrez que la fonction de production à court terme est concave. Qu'en concluez-vous ?

1.6. Déterminez la fonction de coût total à court terme dans les cas où 2 = 8 et 2 = 64.

1.7. a) Quelle est la capacité économique de la firme dans les cas où 2 = 8 et 2 = 64 ?

b) Quelle est la taille optimale d'une firme qui désire produire q = 4.

1.8. Déterminez les seuils de rentabilité et de fermeture à court terme dans les cas où 2 = 8 et2 = 64.

Le duopole


2. Un producteur produit un bien au moyen d'une technologie représentée par la fonctionde production suivante :

y (z1, z2) = (z1.z2)1/2

Les prix des facteurs sont respectivement p1 = 1 FB et p2 = 2 FB.

2.1. a) Écrivez l'équation d'un isoquant et calculez la pente de celui-ci.

b) Écrivez l'équation général d'une droite d'isocoûts et calculez la pente de celle-ci.

2.2. A quel type de rendements d'échelle cette entreprise est-elle soumise ?

2.3. a) Déterminez le chemin d'expansion à long terme de ce producteur. Quelleinformation pouvez-vous en tirer quant à la technique de production utilisée pourchaque niveau de production ?

b) Déterminez les quantités optimales de facteurs à utiliser pour tout niveau deproduction possible (demande conditionnelle de facteur de production).

c) Déterminez les fonctions de coût total, moyen et marginal à long terme (pour toutniveau de production possible).

d) Faîtes le lien entre les rendements d'échelles et la forme des différentes courbes decoûts.

2.4. Quelle est la productivité totale, moyenne et marginale de z1 dans les cas où 2 = 1 et 2 =4 ?

2.5. a) Montrez que la fonction de production à court terme est croissante.

b) Montrez que la fonction de production à court terme est concave. Qu'en concluez-vous ?

2.6. Déterminez la fonction de coût total à court terme dans les cas où 2 = 1 et 2 = 4.

2.7. a) Quelle est la capacité économique de la firme dans les cas où 2 = 8 et 2 = 64 ?

b) Quelle est la taille optimale d'une firme qui désire produire q = 4.

2.8. Déterminez les seuils de rentabilité et de fermeture à court terme dans les cas où 2 = 1 et2 = 4.

Révision


REVISION

1. Soit la fonction d'utilité U(x1,x2) = x11/2 x21/4 d'un consommateur.1.1. Déterminez la fonction de demande pour chaque bien et leurs différentes élasticités.

1.2. Cet individu dispose d'un revenu de 24. Si le prix du bien 2 passe de 2 à 1, alors quecelui du bien 1 ne change pas et reste à 1, quel est le revenu minimum qui lui permetted'acheter un panier lui procurant la même satisfaction que le panier initial ?

1.3. D'autres fonctions peuvent-elles représenter les mêmes préférences ? Si c'est le cas,donnez un exemple.

3. Soit un marché en concurrence parfaite. La production est assurée par 10 producteursdont la fonction de production est la suivante : y = z11/4 z21/2. Les prix des facteurs sontrespectivement p1= 6 FB et p2 = 12 FB.

3.1. Sur base de ces éléments, dégagez les fonctions de coût total, moyen et marginal à longterme pour un producteur.

3.2. Déterminez le seuil de rentabilité de chacun de ces producteurs.

3.3. Quelle est la fonction d'offre globale sur ce marché ?

3.4. Étant donné que la fonction de demande sur ce marché est :y (p) = 373,518 - p3,

déterminez la quantité et le prix d'équilibre sur ce marché.

4. Un monopoleur opère sur deux marchés distincts et cloisonnés. Les fonctions dedemande prévalant sur chacun de ces marchés sont respectivement :

Q1 (P1) = 400 - P1 et Q2 (P2) = 200 - P2

La fonction de coût du monopoleur est :CT (Q) = 50 (Q1 + Q2).

4.1. Quels sont les prix et quantités d'équilibre sur chaque marché ? Quel est le profit ?Représentez graphiquement cette situation.

4.2. Même question si le monopoleur ne pouvait pas discriminer ? Représentezgraphiquement cette situation.

6. (Examen de juin 95) Dans le but d'augmenter ses recettes fiscales, l'État a le choix entreune taxe par unité vendue portant sur le bien 1 ou une taxe forfaitaire sur le revenudevant lui rapporter le même montant de recettes.

Que préférera un consommateur qui a des préférences strictement convexes ? Raisonnezanalytiquement et graphiquement (mettre sur un même graphique l'équilibre initial et lesmodifications de cet équilibre résultant de l'introduction de chaque type de taxe).

Les hypothèses sont les suivantes :

- le budget initial du consommateur est 1000 FB;- p1, le prix initial (sans taxe) du bien 1, est 100 FB;- p2, le prix du bien 2, est 100 FB;

Révision


- la consommation initiale de bien 1 est 5;- t, le taux de taxe par unité vendue de bien 1, est 50%;- l'élasticité de la demande au prix du bien 1 est -0.5;- l'élasticité de la demande du bien 1 au revenu est 0.5.

7. (Examen de janvier 95) A long terme, l'industrie du bien X compte 4 producteurs enconcurrence parfaite. Chacun d'entre eux a une fonction de production identique de laforme suivante :

X (z1, z2) = z11/2 + z21/2.

Les prix des inputs sont considérés comme donnés. Le prix de z1 est égal à 2 FB, leprix de z2 est égal à 1 FB.

7.1. A quel(s) type(s) de rendements d'échelle sont soumises ces firmes ?

7.2. Donnez la fonction d'offre de long terme du producteur individuel, compte tenu desprix donnés des inputs.

7.3. Donnez la quantité demandée de chacun des inputs (en fonction du prix du bien X),compte tenu des prix donnés des inputs.

7.4. Donnez la fonction d'offre de long terme de l'industrie du bien X.

9. Soit un duopole où la fonction de demande inverse est notée P(Y) = 4 - Y, Ydésignant la production totale et où les fonctions de coût total sont les suivantes :

CT1 (Y1) = Y1 et CT2 (Y2) = Y22 * (1/2),

Y1 et Y2 désignant la production des entreprises 1 et 2, avec Y = Y1 + Y2.9.1. Déterminez l'équilibre de Cournot de ce marché et calculez le profit réalisé par chaque

entreprise.

9.2. Supposons que l'entreprise 2 soit dominante, déterminez l'équilibre de Stackelberg dece marché et calculez le profit réalisé par chaque entreprise.

9.3. Calculez l'équilibre coopératif.

10. Une entreprise détient le monopole de la production pour un bien dont la demande estq (p) = 7 - ( 1/2 ) p. Pour chaque quantité produite, q, elle supporte les coûts totauxsuivants :

CT(q) = 2 q2 + 2 q + 2.

10.1. Déterminez l'équilibre de cette entreprise.Si l'Etat impose un prix tel que le résultat soit efficace au sens de Pareto, déterminezl'équilibre dans ce cas.

10.2. Représentez graphiquement les deux situations (i.e. quand l'entreprise tient compte dela relation et quand elle n'en tient pas compte).

10.3. Calculez le surplus des consommateurs dans les deux cas.

10.4. Que devient le profit du monopoleur si les pouvoirs publics lui imposent :a) une taxe de 2 FB par unité vendue;b) une taxe de 2 FB par unité produite;

Révision


c) une taxe forfaitaire;d) une taxe de 10% sur le profit.

11. (Examen de juin 95) La compagnie Air Autarcie est la seule compagnie belge qui offrecomme destination l'île de Jade, réputée pour ses grandes conférences et ses plages.

* Pendant des années, Air Autarcie a appliqué des tarifs différenciés par type de clients :les hommes d'affaires d'une part et les touristes de l'autre.

* Sachant que :

- la demande annuelle de billets d'avion - catégorie hommes d'affaires - est

Q1 (P1) = 100 - P1,

- la demande annuelle de billets d'avion - catégorie touristes- est

Q2 (P2) = 80 - P2- et les coûts annuels de cette compagnie s'élèvent à CT(Q) = 50 + 50 Q

a) Déterminez : - le prix du billet d'avion - catégorie hommes d'affaires;

- le prix du billet d'avion - catégorie touristes;

- le nombre de billets d'avion - catégorie hommes d'affaires- venduschaque année lorsque le marché est en équilibre;

- le nombre de billets d'avion - catégorie touristes - vendus chaque annéelorsque le marché est en équilibre.

* Une réforme de la législation des voies aériennes interdit désormais toutediscrimination entre clients.

b) Déterminez, à l'équilibre :

- le prix payé par un client pour son billet;

- le nombre annuel de voyageurs;

- et parmi ces derniers, le nombre d'hommes d'affaires.

c) Représentez graphiquement, le marché des billets d'avion pour l'île de Jade avant etaprès la réforme.

Révision


QUESTIONS THEORIQUES

1. Répondez par VRAI ou FAUX aux questions suivantes et justifier votre réponse .

1.2. La fonction d'utilité U(x,y) = x + y, viole l'hypothèse de stricte convexité despréférences.

1.3. L'hypothèse de productivité marginale décroissante de chaque facteur de productionest incompatible avec celle de rendements d'échelle constants.

1.4. A court terme, la taille (nombre de firmes) d'une industrie qui se comporte de façonconcurrentielle, est toujours moins élevée qu'à long terme.

1.5. A long terme, une firme en situation de concurrence monopolistique, réalise un profitnul.

1.6. Deux producteurs qui adoptent un comportement à la Cournot se partagent de façonégale le marché.

1.7. Si les préférences d'un consommateur sont représentées par la fonction d'utilité U(x,y) =x, alors la fonction de demande du bien X est croissante avec le prix du bien y.

1.8. Si un producteur, en situation concurrentielle sur tous les marchés, produit avec unetechnologie représentée par la fonction de production :Q = K1/2 L1/3, alors sa fonction de coût moyen décroît avec la quantité produite.

1.9. Si à court terme, une firme qui maximise son profit, produit une quantité moindre quesa capacité optimale, son coût marginal de production est supérieur à celui de longterme. (hypothèse: la technologie de la firme présente des rendements d'échellecroissants, puis décroissants).

1.11. Si les préférences d'un consommateur, vis-à-vis de deux biens, sont telles qu'ilconserve la même utilité en substituant toujours dans le même rapport les deux biens,alors ses préférences peuvent être représentées par la fonction d'utilité : U(x,y) = x + y.

1.12. Une diminution du prix d'un bien que les consommateurs considèrent commeinférieur engendre une augmentation de la consommation de ce bien par pur effet derevenu.

1.13. A l'équilibre de long terme sur un marché concurrentiel, toutes les firmes présentesproduisent une quantité dont le coût marginal est égal au coût moyen.

1.14. Un monopoleur a toujours intérêt à pratiquer une discrimination en prix de saclientèle.

1.15. Si la fonction de demande pour un bien est parfaitement inélastique au prix, alors unehausse du prix de ce bien n'aura aucun impact sur la dépense consentie pour l'achat dece bien.

2. Deux sociétés belges couvrent le marché de la livraison à domicile. Dès leur constitution,elles ont décidé de coordonner leurs décisions en matière de production de ce service.Récemment, l'une d'entre elles a décidé de façon unilatérale de diminuer son tarif,déclenchant ainsi une guerre de prix avec l'autre société.

Expliquer les conséquences d'une telle décision, tant du point de vue des intérêts desdeux sociétés que de ceux de la clientèle.

Révision


5. En tant qu'économiste, le Ministre des Transports vous confie le dossier "Propositionspour une réduction du déficit de la SNCB". Les dépenses liées à l'activité de la SNCBétant incompressibles, il souhaite dégager des recettes supplémentaires au profit de laSNCB. Pour ce faire, il envisage deux mesures:

- augmenter la taxe sur l'essence et transférer à la SNCB les recettes supplémentairesainsi obtenues; ou

- augmenter les tarifs de chemin de fer.Votre mission consiste à déterminez la politique adéquate.

5.1. Expliquez la façon dont vous allez conduire cette étude.

5.2. Quelle mesure proposeriez-vous au Ministre et pourquoi ?

6. Soit un marché où deux producteurs rivaux A et B, possédant la même fonction deproduction, sont confrontés à une multitude d'acheteurs de leur bien.

6.1. Seule la firme A connaît les conditions de production de la firme B. Si elle conjecture quela firme B adopte un comportement à la Cournot a-t-elle intérêt à adopter le mêmecomportement ou plutôt celui d'un leader à la Stackelberg ? Justifier votre réponse.

6.2. Si A et B adoptaient un comportement coopératif plutôt que de se "faire la guerre", celaconduirait-il à un prix "plus avantageux" pour les consommateurs ? Justifiez (sanscalcul).

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