Méthodes d’analyse des circuits

Méthodes de noeuds et des mailles

Adapté de notes de cours sur Internet de l`Université du Tennessee

Méthodes de nœuds

Principe :1. Choisir un nœud de référence parmi les N nœuds d`un

circuit et attribuer une tension vi (par rapport au nœud de référence) à chacun de N-1 nœuds restants

2. Appliquer la loi de Kirchhoff sur les courants à chacun des N-1 nœuds et exprimer les courants en termes des tensions des nœuds

3. Résoudre le système de N-1 équations obtenu pour trouver les tensions vi

On peut alors déterminer tout courant dans le circuit à partir des tensions vi

r e fe r e n c e n o d e

v 1v 2 v 3

R 2

R 1 R 3

R 4

I

On a pour v1: IR

VV

R

V

R

V

R

VV

4

31

3

1

1

1

2

21

Illustration sur circuit partiel

IVR

VR

VRRRR

3

42

21

4321

111111ou

• Des équations similaires existent pour les autres nœuds Note : on suppose que les courants quittent les nœuds, sauf indication contraire

R 2 R 3

R 1 R 4

R 5

R 6I1

v 1 v 2

+

_v 6

Exemple d’application 1

065

2

4

2

3

12

13

21

21

1

RR

V

R

V

R

VV

IR

VV

RR

V

01111

111

26543

13

123

1321

VRRRR

VR

IVR

VRRR

On a :

ou

R 2 R 3

R 1 R 4

R 5

R 6I1

v 1 v 2

+

_v 6

Exemple d’application 1

On peut écrire les équations précedentes sous forme matricielle et les résoudre :

01111

1111

2

1

65433

3321I

VV

RRRRR

RRRR

v1v2

1 0

5

2 0 4 A

2 A

v1: 2521

101

VVV

v2: 6202

512

VVV

Exemple numérique

V1 + 2V1 – 2V2 = 20Donc : 3V1 – 2V2 = 20

4V2 – 4V1 + V2 = -120 ou -4V1 + 5V2 = -120

Solution: V1 = -20 V, V2 = -40 V

ou

» % A MATLAB Solution» R = [3 -2;--4 5];» V = [20;-120];» I = inv(R)*V

R 1

R 3

I

v2v 1

+_ R 2 R 4E

IR

VV

R

V

3

12

4

2

Circuits avec sources de tension

v1 :

v2 :

12

3

11

3

1

2

1

1

1REIV

RV

RRR

IVRR

VR

2

431

2

111

• Réduisent le nombre des tensions inconnues

• Si une borne est la tension de référence, on a un nœud en moins à déterminer

Soit :

IR

VV

R

V

R

EV

3

21

2

1

1

1

Exemple numérique

v2v1

6

4

1 0 5 A

+ _1 0 V

D’où :

5410

10211

VVV

0410

6122

VVV

v1 :

v2 :

4V1 + 10V1 + 100 – 10V2 = -200ou

14V1 – 10V2 = -300

-6V1 + 10V2 = 60

V1 = -30 V, V2 = -12 V, I1 = -2 A

4V2 + 6V2 – 60 – 6V1 = 0

• Dans le cas d’une source prise entre deux nœuds, on peut aussi former un super nœud

• Un super nœud englobe deux nœuds adjacents (excluant le nœud de référence) reliés par une source de tension

• Le couplage entre les tensions des deux nœuds permet de dériver facilement l’une de l’autre

Super nœud

+_

6 A

5

4

2

1 0

v 1v 2 v 3

1 0 V

x

x

xx

super noeud

Au superNoeud :

Contrainte sur le super noeud :

Exemple

V1 – V2 = -2

-2V1 – V2 = 20

Et la solution est :Ce qui donne :

V1 = -7.33 V V2 = -5.33 V

042

72 21 vv

221 vv

+_

6 A

5

4

2

1 0

v 1v2 v 3

1 0 V

À v1 : 625

3121

VVVV

Au superNoeud : 0

21045133212

VVVVVV

Contrainte sur le super noeud : V2 – V3 = -10

Exemple

7V1 – 2V2 – 5V3 = 60

-14V1 + 9V2 + 12V3 = 0

V2 – V3 = -10

Et la solution est :Ce qui donne :

V1 = 30 V, V2 = 14.29 V, V3 = 24.29 V

• Il faut exprimer les tensions des sources en termes de vi1 0

2

4

5

2 A

+_1 0 V

5 V x

v1 v2

V x +_

12 VVVx

Circuits avec sources dépendantes

À v2 :

22510

10 2111

VVVV

245

2212

xVVVV

La solution est :Ce qui donne :

8873058

21

21

VVVV

V.V,V.V 03596 21

À v1 :

Méthode des mailles

Méthodes de mailles

Principe :1. Ignorer la maille qui a le plus de branches communes

avec les autres et attribuer un courant à chacune des N-1 mailles restantes

2. Appliquer la loi de Kirchhoff sur les tensions à chacune des mailles et exprimer les tensions en fonction des courants dans les mailles

3. Résoudre le système de N-1 équations obtenu pour trouver les tensions Ii

On peut alors déterminer toute tension dans le circuit à partir des tensions Ii

IllustrationR 1

R x

R 2

+_ I1 I2

+_V A V B

+ ++

_

_

_V 1

V L 1

V 2

On a pour la maille 1 : V1+VL1=VA, avec V1=R1I1 et VL1=Rx(I1-I2)On en déduit : (R1+Rx)I1-RxI2=VA

Pour la maille 2, on aurait obtenu : –RxI1+(R2+Rx)I2 = -VBNote : on suppose que les courants vont dans le sens horaire, sauf indication contraire

• On peut écrire les équation précédente sous forme matricielle et les résoudre :

• ou

IllustrationR 1

R x

R 2

+_ I1 I2

+_V A V B

+ ++

_

_

_V 1

V L 1

V 2

B

A

XX

XX

B

A

XX

XX

VV

RR(RR)RR(

II

VV

II

RR(RR)RR(

1

2

1

2

1

2

1

2

1

Exemple

+_

1 0 V

4 2

6 7

2 V 2 0 V

I1 I2+

+_

_

Maille 1 : 4I1 + 6(I1 – I2) = 10 - 2

Maille 2 : 6(I2 – I1) + 2I2 + 7I2 = 2 + 20

Par conséquent :10I1 – 6I2 = 8-6I1 + 15I2 = 22

» % A MATLAB Solution» R = [10 -6;-6 15];» V = [8;22];» I = inv(R)*V I = 2.2105 2.3509

Exemple

+

_

6

1 0

9

1 1

3

4

2 0 V 1 0 V

8 V

1 2 V

I1 I2

I3

+

+

___

_

++_ Maille 1:

Maille 2:

Maille 3:

6I1 + 10(I1 – I3) + 4(I1 – I2) = 20 + 10

4(I2 – I1) + 11(I2 – I3) + 3I2 = - 10 - 8

9I3 + 11(I3 – I2) + 10(I3 – I1) = 12 + 8

20I1 – 4I2 – 10I3 = 30

-4I1 + 18I2 – 11I3 = -18

-10I1 – 11I2 + 30I3 = 20

Forme matricielle

2018

30

321

3011101118410420

III

Forme standard

Noter la régularité du processus de détermination des coefficients!

Exemple

2 0 V

1 0 V

1 5 V

3 0 V

2 0

1 0

3 0

1 0

1 2

8

+_

I1 I2 I3+

+

+

_

__

On a par inspection :

152510

321

3010010501001030

III

• Dans l’exemple, on a I2 = -4 A et seuls I1 et I3 sont à déterminer

Circuits avec sources de courant

1 0 V

2 0 V

4 A

1 0

5

2 0

2 +

_

1 5

+

_

I1 I2

I3

• Réduisent le nombre des courants inconnus

• La source est directement reliée à un ou plusieurs courants de maille

Maille 1 :

Maille 2 :10I1 + (I1-I2)5 = 102I3 + (I3-I2)20 = 20

I1 = -0.667 A

I2 = - 4 A

I3 = - 2.73 A