Méthode du Simplex (Dantzig)

• La forme standard– A différencier de :• La forme canonique

– Inégalités ( ≤ ; ≥ )– Recherche de Maximum pour ≤ et Minimum pour ≥

• La forme mixte– Egalités en plus (=)– Recherche de Maximum et de Minimum

– Transformation des formes canoniques et mixte : • Tout doit être sous forme d’égalités• Il y a des règles de transformation

Méthode du Simplex (Dantzig)

• Règles de transformation– Inégalités ≤• Exemple : x1 + x2 ≤ 6• Apparition d’une variable d’écart (VE) supposée ≥0• Mesure pour chaque variable de base (qte de produits)

de l’écart entre les disponibilités et les consommations prévues (x1 et x2) dans notre plan (Ouf!)

• Application à l’exemple : x1 + x2 + e3 = 6

Méthode du Simplex (Dantzig)

• Règles de transformation– Inégalités ≥

• Exemple : x1 + x2 ≥ 6• Apparition d’une variable d’écart (VE) supposée ≥0• Et d’une variable artificielle (VA) de même signe que le second

membre (ici + 6)• Son rôle : rattraper la condition impossible «e3 = - 6» puisque e3

est supposée ≥0 !• Application à l’exemple : x1 + x2 - e3 + e4= 6• La solution initiale recherchée comprendra :

– 3 variables Hors Base : x1=0 ; x2=0 ; e3=0– 1 variable dans la Base : e4=6

Méthode du Simplex (Dantzig)

• Règles de transformation– Egalités =• Exemple : x1 + x2 = - 6• Une unique variable artificielle (VA) de même signe que

le second membre (ici - 6)• Application à l’exemple : x1 + x2 - e3 = - 6• La solution initiale recherchée comprendra :

– 2 variables HB : x1=0 ; x2=0

– 1 variable B : e3= - 6

Méthode du Simplex (Dantzig)

• Obtention de la fonction économique Γ– Chaque VE => 0.VE (Recherche de Max ou Min)– Chaque VA => ± M . VA• +M.VA si recherche d’un minimum• - M.VA si recherche d’un maximum• M : très grand positif (Hors Base)

– > Donne une VA nulle à la solution finale (non prise en compte)

• Remarque :– Les VE issues de contraintes = ou ≥ sont HB

Critères de Dantzig

• Premier critère : la Ve– Recherche de minimum

• Variable entrante = HB au plus petit coeff strictement négatif dans Γ

• Complément : sans coeff <0 mais un nul : elle est Ve– Recherche de maximum

• Variable entrante = HB au plus grand coeff strictement positif dans Γ

• Complément : sans coeff >0 mais un nul : elle est Ve– Remarque : à la main, exprimer Γ en fonction des

variables HB (coeffs comprenant des M)

Critères de Dantzig

• Deuxième critère : la Vs– Recherche de minimum ou de maximum– R’ = R/Ve• Ve = Var entrante trouvée précédemment• R = Valeur du second membre de chaque variable B

– Vs = plus petite valeur positive dans R’• Correspond au coefficient le plus mineur parmi les

variables B après intégration de la Ve

Critères de Dantzig• Complément sur les règles– Si un coeff nul apparait dans R (disparition d’une var B)

• = ε petit >0• Donc R’ = ε/aij aij : coeff appartenant à la Ve• SSI aij > 0

– Si aucun terme de R’ n’est > 0 mais qu’il en existe un nul• Il est pris en compte• Appelé dégénérescence du problème (plusieurs bases

admissibles peuvent avoir un même point extrême)– Si tous les coefficients de R’ sont strictement négatifs

• L’algorithme est fini : la zone admissible des solutions (ZAS) n’est pas bornée !