méthode des noeuds et crémona

Chapitre 6

LES POUTRES CONTINUES

Application de la méthode des forces

A- POUTRES CONTINUES A ÂME PLEINE

6.1 INTRODUCTION

Les poutres continues sont des structures qu'on rencontre très fréquemment

dans les constructions courantes.

On appelle poutre continue une poutre reposant sur plusieurs appuis. Il s’agit

généralement d’appuis simples, à l’exception d’un seul qui est un appui double et

dont le rôle consiste à assurer la stabilité géométrique de la poutre, comme

empêcher la translation horizontale dans le cas de la figure 6.1. L’appui double

peut être placé à une extrémité ou, plus généralement, être un appui

intermédiaire.

k n lk ln

1 l1

0

Figure 6.1 : Poutre continue avec le mode de numérotation des travées

Les extrémités d’une poutre continue peuvent très bien comporter des porte-

à-faux ou être encastrées. Le traitement de ces cas particuliers est abordé plus

loin.

Les poutres continues sont des systèmes hyperstatiques puisqu’elles

présentent des liaisons surabondantes (toutes les liaisons en plus de ce que doit

comporter une poutre isostatique). Dans le cas d’une poutre sans encastrements,

le nombre de liaisons surabondantes, donc le degré d’hyperstaticité, est égal au

nombre d’appuis intermédiaires.

96 CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

Comparativement à une série de poutres bi-articulées dont le nombre est égal

à celui des travées d’une poutre continue, cette dernière est plus économique car

les moments fléchissants qui la sollicitent sont plus faibles. La comparaison est

encore plus nettement à l’avantage de la poutre continue par rapport à une poutre

isostatique unique de même longueur. Dans une poutre continue, les appuis

intermédiaires contribuent à réduire et à mieux répartir sur toute la poutre le

moment fléchissant (qui est la sollicitation prépondérante). Cette observation

reste valable pour les déplacements qui sont nettement moins importants dans le

cas des poutres continues. Ces dernières présentent par ailleurs une plus grande

rigidité et résistent de ce fait mieux à l’action dynamique.

Les charges considérées ici sont supposées être appliquées statiquement.

Elles sont constituées de charges transversales (voire inclinées), concentrées ou

réparties, et de couples.

Contrairement aux poutres isostatiques, les poutres continues, comme tous

les systèmes hyperstatiques, sont très sensibles aux déplacements des appuis. Ce

phénomène a déjà été mis en exergue dans un exemple d’application des

formules de Bresse traitant une poutre continue soumise au seul effet de

l’affaissement d’un de ses appuis.

Lorsque des tassements d’appuis sont à craindre, les poutres isostatiques sont

mieux indiquées. Si pour quelque raison que ce soit des appuis intermédiaires

sont nécessaires, on ajoute à la poutre continue des articulations judicieusement

placées de manière à la rendre isostatique et annuler ainsi sa sensibilité aux

affaissements des appuis susceptibles de se produire.

Ce type de poutre - poutre reposant sur plusieurs appuis et rendue isostatique

par l’ajout de rotules - est désigné par poutre Gerber. Elles sont obtenues en

ajoutant autant d’articulations qu’il y a d’appuis intermédiaires. Pour s’assurer

que la structure obtenue est bien isostatique et qu’il n’y a ni tronçon déformable

(tronçon libre constituant un mécanisme) ni tronçon hyperstatique, il suffit de

respecter la règle suivante : pas plus de deux articulations entre deux appuis, ni

plus de deux appuis entre deux articulations. A titre d’exemple, la figure 6.2

montre les deux façons possibles d’obtenir une poutre type Gerber dans le cas de

deux appuis intermédiaires.

(a)

(b)

Figure 6.2 : Exemples de poutres Gerber

L’influence du moment fléchissant sur les déformations étant prépondérante

dans les poutres continues, c’est la seule sollicitation dont il sera tenu compte

lors du calcul des déplacements que nous serons amenés à effectuer.

A- Pou t res con t inues à âme p le ine 97

6.2 APPLICATION DIRECTE DE LA METHODE DES FORCES

Considérons une poutre

continue horizontale sans

encastrements (Figure 6.3a).

L'application directe et

intuitive de la méthode des

forces conduit à considérer

comme inconnues

hyperstatiques les réactions

(verticales) des appuis

intermédiaires.

Le système de base

obtenu par suppression des

liaisons verticales des appuis

intermédiaires est une poutre

simplement appuyée (Figure

6.3b). Dans ce cas, le calcul des moments unitaires msk

(Figure 6.3c et 6.3d) et du

moment provoqué par les charges extérieures MsF,

nécessaires au calcul des

coefficients , ne présente aucune difficulté. ij u et

X2=1

X1=1

X2 X1

0 1 l1

2 3 l2 l3

(a)

(b)

(c)

(d)

Figure 6.3

jF

Cependant, ce choix n’est pas intéressant car il implique des calculs

fastidieux à cause notamment du fait que les moments msk et MsF sont

généralement différents de zéro sur toute la longueur de la poutre. De la sorte, les

éléments de la matrice de souplesse [ u] et du vecteur déplacement [ F] sont tous

non nuls.

Ceci n’est pas la seule raison ; il en existe une autre plus déterminante.

Chaque colonne de la matrice [ u] représente les déplacements (flèches s’il s’agit

d’une poutre horizontale) des points d’application des inconnues hyperstatiques

provoqués par une sollicitation unitaire. Pour une poutre comportant plusieurs

appuis intermédiaires, deux colonnes successives de [ u] auront des valeurs très

proches et seront comparables. De ce fait, la matrice [ u] devient pratiquement

singulière et conduit à des solutions très imprécises lors de la résolution du

système d’équations canoniques. Aussi, on opte pour un autre choix des

inconnues hyperstatiques de manière à contourner cette difficulté et à réduire les

calculs.


6.3 FORMULE DES TROIS MOMENTS

6.3.1 Etablissement de la formule

Considérons une poutre continue sans encastrements à n travées (Figure 6.4).

Son degré d'hyperstaticité est égal à n-1.

ln

n 1 k-1 k k+1

l1 lk lk+1

0

Figure 6.4

Prenons pour inconnues hyperstatiques les moments fléchissants agissant au

droit de chaque appui intermédiaire. Pour ce faire, on procède à des coupures de

manière à supprimer la liaison de moment au niveau de chaque appui. S’agissant

d’inconnues hyperstatiques internes, chaque coupure libère deux inconnues (des

moments) égales est opposées.

En pratique, cela revient à introduire une articulation au-dessus de chaque

appui intermédiaire (Figure 6.5a). Pour remplacer les liaisons supprimer, on

applique aux lèvres de chacune des coupures deux couples égaux et opposés

(M1, M2, …, Mn-1) (Figure 6.5b).

(a)

Xn-1=Mn-1Xk+1=Mk+1Xk=Mk Xk-1=Mk-1X1=Ml

n n-1 k+1k-1 k 1 0

(b)

Figure 6.5 : Système statique de base

Le système statique de base ainsi obtenu présente une propriété remarquable.

En effet, on remarque que si on charge une travée, les autres ne subissent aucune

influence. Ce résultat signifie que le système principal se comporte comme une

succession de poutres simplement appuyées obtenues par séparation des n

travées (Figure 6.6).

Mn-1

Mn-1

Mk+1

Mk+1

Mk

Mk

Mk-1

Mk-1

M1

M1

Figure 6.6


Pour calculer les moments inconnus aux appuis, on applique le théorème de

Menabrea pour chacun d’eux :

! ! ! !W

Mc

W

Mc

W

Mc

W

Mc

kk

nn!

"!

"!

"!

"#

#1

12

21

1, ... ... , ,

où les représentent les manques de concordance des appuis. Ils sont nuls dans

le cas des systèmes concordants. Les équations du système ci-dessus peuvent se

mettre sous la forme connue de Müller-Breslau. L’équation courante relative à

l’inconnue M

ci

k s’écrit :

!

W

Mc M

kk ki

ui kF!

" $ % "&

i=1

n-1

ck

'

kd

En développant l’expression précédente, le système des "n-1" équations de

continuité prend la forme :

11 1 12 2 1 1 1 1 1

1 1 2 2 1 1

u un

un F

ku

ku

knu

n kF k

M M M c

M M M c

% % % % "

% % % % "

# #

# #

...............................................................

.................................................................

... nu

nu

n n n n F nM M M c# # # # # # #% % % % "11 1 12 2 1 1 1 1 1

Chacune des équations exprime la condition de continuité de la poutre

déformée au-dessus d'un appui. L’équation k par exemple, exprime que la

rotation relative entre les lèvres de la coupure

au-dessus de l'appui k est égale au manque de

concordance correspondant. Dans le cas d’un

système concordant cette rotation relative est

nulle ; ou encore que la rotation à gauche ( )

est égale à la rotation à droite ( ) ; ce qui

signifie aussi qu'en chaque point (appui par

exemple) il n'y a qu'une tangente car la ligne

élastique (la déformée) est continue (Figure 6.7).

kg

'

( )' kd

( )' kg

Tangente

k

Figure 6.7

Signification des coefficients iju et iF

Les coefficients et iju iF

iju

représentent les rotations relatives des lèvres de

la section coupée i du système de base. Les premières sont des rotations par unité

de couple.

• est la rotation relative des lèvres de la section i du système de base,

sous l’effet d’un couple unitaire appliqué aux lèvres de la coupure j (les sections

i et j se trouvant dans le cas présent au dessus des appuis intermédiaires i et j).

• est la rotation relative des lèvres de la section i du système de base,

sous l’effet des charges extérieures (notées F).

iF


Considérons par exemple l'équation de continuité k (relative à la coupure k).

Elle s’écrit :

ku

ku

kku

k kku

k kku

k knu

n kF kM M M M M M c1 1 2 2 1 1 1 1 1 1% % % % % % % % "# # % % # #... ... (6.1)

kjuOn voit apparaître dans l’équation les coefficients avec j = 1, 2, … , n-1

et kF. Si nous ne tenons compte que du moment fléchissant, qui est la

sollicitation prépondérante, ces coefficients s’obtiennent par les intégrales

suivantes :

et kF. Si nous ne tenons compte que du moment fléchissant, qui est la

sollicitation prépondérante, ces coefficients s’obtiennent par les intégrales

suivantes :

kju sk sj

kFsF sk

LL m m

EIdx (a)

M m

EIdx (b)" " ((

00 (6.2)

L = longueur totale =

i=1

n

li&

où msk (mk) et msj (mj) sont les moments fléchissants produits dans la section

courante s du système fondamental par les couples unitaires Mk=1 et Mj=1

agissant en k et en j, respectivement (Figure 6.8). MsF étant le moment

fléchissant dans la section courante du système de base sous l’action des charges

extérieures (F).

1

j+1

Mj=1

j j-1

lj+1

4

lj

lk+1 1

lk

k+1

Mk=1

k k-1 (a)

(b)

Figure 6.8 : Diagrammes msk et msj

On constate que chaque couple unitaire produit un moment fléchissant

uniquement sur les deux travées situées de part et d'autre de l'appui où il est

appliqué. Pour que les moments dans la section courante s produits par Mk=1 et

Mj=1 soient simultanément différents de zéro, il faut que les indices k et j ne

diffèrent pas de plus d'une unité. On en déduit que les coefficients sont nuls

dès que k diffère de j de plus d'une unité. Ainsi, dans l'équation (6.1) seuls les

coefficients sont différents de zéro.

kju

%1 ku

kku

k ku

#1 k et ,

Compte tenu de ce résultat, l'équation générale de continuité (6.1) se

simplifie et devient :


k ku

k k k k kku

k kF kM M-1u M# % %% % c% "1 1 1 (6.3)

ou encore :

k ku

k k k k kku

k k kFM M c-1u M# % %% % #"1 1 1 (6.4)

On remarque que trois moments fléchissants interviennent dans cette

équation, d'où son nom de "formule des trois moments".

6.3.2 Calcul des coefficients de la formule des trois moments

Il reste à calculer les coefficients intervenant dans l'équation (6.4).

Considérons une poutre continue sans encastrement comportant n travées. Les

diagrammes unitaires permettant le calcul des coefficients

sont représentés à la figure 6.9. kku

kku

#1 , et kku

%1

kku

#1

Figure 6.9 : Diagrammes unitaires msk-1, msk et msk+1

k-2

Mk-1=1

k-1

k k+2

Mk+1=1

k+1

lk+2 1

lk+1

Mk=1

k

lk+1 1

lk

k-1 k+1

k

lk 1

lk-1

(a)

(b)

(c)

• Calcul de :

kku sk sk sk sk

io

lLsk sk

k

lm m

EIdx

m m

EIdx

m m

EI

i k

## # #" (&( (1

1 1

0

1

0= =

i=1

n

( ) ( ) (6.5)

avec :


mx

l

x

lsk

ksk

k# " # "1 1 et m

d'où :

) * kk

u

k k k

l

k

k

k

lx

l

x

l

dx

EI l

x l x

EIdx

k k

# " #+

,-

.

/0 "

#( (1 2

11

0 0( ) ( ) (6.5)’

Si (EI)k est constante sur lk, on obtient :

kku

# "16(

k

k

l

EI )

Ce dernier résultat - cas avec (EI)k constante sur la travée lk - s'obtient plus

rapidement avec la méthode graphique ; il vient :

kku

kk

k

kEIl

l

EI# " +

,-./0+,-

./0"1

1 1

21

1

3 6( ). .

( )

Si la rigidité flexionnelle varie sur chaque travée, on calcule les coefficients

analytiquement comme on l'a fait pour . kku

#1

Pour le reste des calculs nous supposons que EI est constante sur chaque

travée.

• Calcul de (méthode graphique) kku

kku

kk

kk

k

k

k

kEIl

EIl

l

EI

l

EI" +

,-./0+,-

./0% +

,-./0+,-

./0" %

%%

%

%

1 1

21

2

3

1 1

21

2

3 3 311

1

1( ). .

( ). .

( ) ( ) (6.6)

• Calcul de (méthode graphique) kku

%1

k kk

kk

kEIl

l

EI%

%%

%

%

" +,-

./0+,-

./0"1

11

1

1

1 1

21

1

3 6

u

( ). .

( ) (6.7)

• Calcul de kF

Par définition, voir relation 6.2 (a) :

kFsk sF

i

l

i

nsk sF

k

lsk sF

k

lm M

EIdx

m M

EIdx

m M

EIdx

i k k

" %(& ( (" %

%

( ) ( ) ( )01

0 10

1

= (6.8)

Seules les deux intégrales sur lk et lk+1 subsistent puisque msk est nul en

dehors de ces travées. Soit :

kF kg F

kR" %( ) d FR ( )

Rkg F( )

(6.9)

- = rotation de la section k (au-dessus de l'appui k) du système statique

de base sous l'effet des charges extérieures agissant sur la travée lk.


- = rotation de la section k du système statique de base sous l'effet des

charges appliquées sur la travée lk+1.

Rkd F( )

• Calcul pratique de kF

Rkg F( )

Rkd F( )

1ère méthode

Considérons les travées lk et lk+1 (du système isostatique de base) adjacentes

à l'appui considéré k. Les deux travées constituent deux poutres simplement

appuyées comme on l’a vu.

Le diagramme des moments fléchissants de chaque poutre sous les charges

extérieures peut être aisément obtenu. Selon la méthode de la poutre conjuguée,

utilisée pour le calcul des déplacements des systèmes isostatiques (voir chapitre

2), si on charge (fictivement) les poutres par leurs diagrammes des moments

respectifs divisés par la rigidité flexionnelle (qf=MsF/EI), alors et

constituent la réaction en k de la poutre de gauche et la réaction en k de la

poutre de droite, respectivement (Figure 6.10).

Rk

g F( ) Rk

d F( )

MsF/EI

k+1k k-1

lk+1 lk

b) Poutres conjuguées a) Diagramme MsF

Figure 6.10

2ème méthode

Sachant que le moment msk vaut “ x/lk ” sur la travée lk et “ 1-x/lk+1 ” sur la

travée lk+1, l’équation (6.8) devient :

kFsF

k k

lsF

k k

l

k

sF

k

l

k

k sF

k

l

M x

l EIdx

M

EI

x

ldx

l

xM

EIdx

l

l x M

EIdx

k k

k k

" % #

" %#

( (

( (

% %

%

%

%

%

%

( ) ( )( )

( )

( )

( )

0 1 10

0 1

1

10

1

1 1

1

1

La première intégrale représente le moment statique du diagramme “ MsF/(EI)k ” sur la travée lk par rapport à l’appui “ k-1 ” alors que la deuxième

donne le moment statique du diagramme “ MsF/(EI)k+1 ” sur la travée lk+1 par

rapport à l’appui k+1. L’équation précédente peut s’écrire :

kFk

k

S

l" % k

k

S

l

%

%

1

1

(6.10)

où et Sk sont les moments statiques définis plus haut. S k%1


Dans le cas où la rigidité flexionnelle est constante sur chaque travée,

l’expression précédente prend la forme :

kFk k

k kk k

k kl EIz

l EIz" %

% %% %

1 1

1 11 1( ) ( )

1 1 (6.11) (6.11)

- 1k est l’aire du diagramme MsF sur la travée lk. - 1k est l’aire du diagramme MsF sur la travée lk.

- 1k+1 est l’aire du diagramme MsF sur la travée lk+1. - 1k+1 est l’aire du diagramme MsF sur la travée lk+1.

- zk distance de l’appui “ k-1 ” au centre de gravité de 1k. - zk distance de l’appui “ k-1 ” au centre de gravité de 1k.

- - distance de l’appui “ k+1 ” au centre de gravité de 1k+1. zk%1

• Calcul de ck

Le manque de concordance d’un appui est représenté par le déplacement

linéaire ou angulaire qu’il subit depuis sa position concordante jusqu’à sa

position réelle. Dans le cas présent, les manques de concordance à introduire

sont des déplacements angulaires et la position concordante correspond à la

position horizontale.

Les manques de concordance proviennent des dénivellations 2 que peuvent

subir les appuis (Figure 6.11). Comme nous travaillons dans le cadre des petits

déplacements, les dénivellations sont suffisamment petites et de ce fait les angles

de discontinuité (Figure 6.11c) peuvent être confondus avec leurs tangentes.

(a) Position concordante.

(b) Position réelle.

(c)

3 4 2k+1

2k 2k-1

k-1 k+1k

lk+1 lk

(a)

(b)

Figure 6.11

Le manque de concordance est donné par :

ck = 35+ 4 = tg3 + tg4 = (2k-52k-1)/lk + (2k-52k+1)/lk+1

= (2k-52k-1)/lk - (2k+1-52k)/lk+1 (6.12)

Les dénivellations sont comptées positivement vers le bas.

En introduisant dans l'équation des trois moments (6.4) les valeurs trouvées

des différents coefficients on obtient :


Mm m

EIdx M

m

EIdx

m

EIdx

Mm m

EIdx

l l

m M

EIdx

m M

EIdx

ksk sk

k

l

ksk

k

lsk

k

l

ksk sk

k

l

k k

k

k k

k

sk sF

k

lsk sF

k

l

k k k

k

k k

##

%

%%

%

# %

% %

( ( (

(

( (

% %6

788

9

:;;%

% "

"#

##

# #

%

%

%

11

0

2

0

2

10

11

10

1 1

1 0 10

1

1

1

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2 2 2 2

(6.13)

ou encore :

M

l

x l x

EIdx M

l

x

EIdx

l

l x

EIdx

M

l

x l x

EIdx

l l

l

xM

EIdx

l

l x M

EIdx

k

k

k

k

l

k

k k

l

k

k

k

l

k

k

k

k

lk k

k

k k

k

k

sF

k

l

k

k sF

k

l

k k k

k

k k

#

%

%

%

%

%

%

%

# %

%

%

%

%

#% %

#6

788

9

:;;%

%#

"#

##

# ##

( ( (

(

( (

%

%

%

12

02

2

01

21

2

10

1

12

1

10

1 1

1

0 1

1

10

1 1

1 1

1

1

1

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 2 2 2 (6.13)’

Ces expressions sont valables dans le cas général.

Cas particuliers

1) Chaque travée a sa rigidité flexionnelle constante.

Ml

EIM

l

EI

l

EIM

l

EI

l l l EIM xdx

l EIM l x dx

kk

kk

k

k

k

kk

k

k

k k

k

k k

k k ksF

l

k ksF k

l

k

k

#%

%%

%

%

# %

%

% %%

% %6

78

9

:; % "

##

#6

78

9

:; #

# #

(

(%

11

11

1

1

1 1

1 0

1 11

0

2

66

6 1

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )( )

=

2 2 2 2 (6.14)

2) Rigidité flexionnelle constante sur toute la poutre.

M l M l l M l

EIl l l

M xdx

lM l x dx

k k k k k k k

k k

k

k k

k ksF

l

ksF k

l

k

k

# % % %

# %

%

%%

% % % "

##

#6

78

9

:; #

# #

(

(%

1 1 1 1

1 1

1 0

11

0

2

66

6 1

( )

( )

=

2 2 2 2 (6.15)

3) Le système est concordant et EI est constante sur toute la poutre.

M l M l l M l

lM xdx

lM l x dx

k k k k k k k

ksF

l

ksF k

lk k

# % % %

%%

% % % "

# # #( (%

1 1 1 1

0 11

0

2

6 6 1

( )

( ) = (6.16)


Rkd F( )

On peut remplacer le second membre par la réaction fictive agissant en k :

. Cette réaction est positive si elle est dirigée de bas en haut. R RkF

kg F" %( )

On écrit l'équation des trois moments pour chaque appui intermédiaire.

6.3.3 Points particuliers ticuliers

1) Présence d'un encastrement : on remplace l'encastrement par une poutre

adjacente dont on fera tendre la longueur vers zéro en appliquant la formule des

trois moments.

1) Présence d'un encastrement : on remplace l'encastrement par une poutre

adjacente dont on fera tendre la longueur vers zéro en appliquant la formule des

trois moments.

2) Présence d'un porte-à-faux (console) : la console sera remplacée par ses

effets, pour l'application de la formule des trois moments.

2) Présence d'un porte-à-faux (console) : la console sera remplacée par ses

effets, pour l'application de la formule des trois moments.

3) Couple concentré en un appui intermédiaire : on peut soit le diviser entre

les deux travées adjacentes, soit le reporter sur l'une des deux.

3) Couple concentré en un appui intermédiaire : on peut soit le diviser entre

les deux travées adjacentes, soit le reporter sur l'une des deux.

6.3.4 Calcul des éléments de réduction 6.3.4 Calcul des éléments de réduction

1) Réaction de l’appui k1) Réaction de l’appui k

- Action des moments aux appuis seuls (Figure 6.12).

RM M

lk Mg

k( ) "

##1k k ; Mk Mk+1 Mk-1

Rk M

d

( )R

k M

g

( )

k+1 k-1

k

lk+1 lk

RM M

lk Md

k( ) "

#%

%

1

1

k k

Rk F( )

- Action des forces extérieures :

R Rk F k Fg d

( ) ( )" % Figure 6.12

d'où :

R RM M

l

M M

lk k F

k k

k

k k

k

" %#

%## %

%( )

1 1

1

(6.17)

2) Moment fléchissant

Le diagramme final est obtenu par superposition des diagrammes (des travées

isostatiques) des charges extérieures et des moments appliqués aux appuis.

Cherchons l’expression du moment fléchissant dans la section courante de la

travée lk (d’abscisse x par rapport à l’appui k-1).

Chaque travée lk du système de base se comporte comme une poutre bi-

articulée sollicitée, en plus des charges extérieures, par deux couples Mk-1 et Mk

appliqués à ses appuis. Si on désigne par le moment produit dans la

section courante de lk par les charges extérieures qui lui sont appliquées, alors

l’expression générale du moment fléchissant s’écrit :

Ms F( )

) *M M M M Mx

ls s F k k k

k

" % % ## #( ) 1 1 (6.18)


3) Effort tranchant

L’expression de l'effort tranchant dans la section courante d’abscisse x

s’obtient en dérivant par rapport à x l'expression du moment. Désignons par

l’effort tranchant dû aux charges extérieures ; il vient : Ts F( )

T TM M

ls s F

k k

k

" %#

( )#1 (6.19)

6.3.5 Exemple d'application q

l3=ll2=ll1=l3 2 1 0

Considérons une poutre à

trois travées égales et à inertie

constante soumise à une charge

uniforme q (Figure 6.13a).

(a)

M2 M1 La poutre est deux fois

hyperstatique mais compte tenu

de la symétrie, il n’y a qu’une

seule inconnue. On écrit une

fois l’équation des trois

moments, pour k=1.

(b)

M1=1

M0 = M3 = 0

et M1 = M2 = M

Equation des trois moments

(appui 1) :

) *

) *

M l M l l M l

EI R R

Ml EI R

R

Ml EI R

g F d F

g F

g F d F

g F

0 0 1 1 2 2 2

1 1

1

1 1

1

2

6

5 6 2

5 12

% % %

# %

" #

"

" #

=

;

R

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

REI

qll

ql

EI

g F1

2 31

2

2

3 8 24

( ) "+

,-

.

/0 "

< " # Mql2

10, M est dirigé

dans le sens opposé du sens

choisi arbitrairement.

(c) ms1

M2=11

1

(d) ms2

) *"

ql2/8

(e) Ms(F)

ql2/10

(f) Ms(M)

2ql2/25ql2/40

ql2/10

(g) Ms

0.6ql

0.5ql0.4ql

(h) Ts

Les figures 6.13g et 6.13h

montrent les diagrammes de M

et de T. Figure 6.13


B- POUTRES EN TREILLIS ARTICULES

6.5 SYSTEMES ISOSTATIQUES PLANS EN TREILLIS ARTICULES

6.5.1 Définitions

a) Système en treillis articulé

On appelle système en treillis articulé (système réticulé ou plus brièvement

treillis) un ensemble de pièces droites ou courbes, appelées barres, liées les unes

aux autres (en leurs extrémités) par des articulations. Les points d'assemblage

des barres sont appelés nœuds.

Figure 6.14 : Poutre isostatique

Membrure supérieure

Membrure inférieure

DiagonaleMontant

b) Système plan en treillis articulé

Lorsque les axes des barres et les charges appliquées sont situés dans un

même plan, on parle alors de système plan.

c) Système chargé indirectement

On dit qu'un système en treillis est chargé indirectement, si toutes les forces

extérieures sont appliquées exclusivement aux nœuds.

Si les charges sont appliquées en des points quelconques et notamment en des

endroits des barres autres que les nœuds, on parle alors de système chargé

directement.

d) Système isostatique

Si les équations de la statique suffisent à elles seules à la détermination

complète du système, c'est-à-dire qu'elles permettent de calculer les réactions et

les efforts en tout point du système, le système considéré est dit isostatique. Dans

le cas contraire, le système et dit hyperstatique.

6.5.2 Treillis chargés indirectement

Seuls les treillis isostatiques plans, chargés indirectement, seront envisagés

dans ce chapitre.

a) Théorème :

Lorsqu'un système plan en treillis articulé, constitué de barres droites, est chargé indirectement, chaque barre du système n'est soumise qu'à un effort

normal constant.


Considérons une barre du treillis. Le système étant en équilibre, chaque barre

le constituant l'est aussi. La barre étant articulée, ses extrémités ne sont le siège

d'aucun moment. Les seules sollicitations qu'elle supporte sont les systèmes de

forces concentrées aux extrémités.

Chaque système de forces admet

une résultante. Les résultantes (R1 et

R2) doivent obligatoirement être

égales et opposées pour que

l'équilibre puisse se réaliser. En

définitive, la barre n'est soumise qu'à

un effort normal constant pouvant

être une traction ou une compression.

b) Condition d'isostaticité

Les barres n'étant soumises qu'à

des efforts normaux, en chaque nœud

du treillis il y a un système de forces

en équilibre. L'équilibre d'un système

agissant sur une particule, un nœud

par exemple, est vérifié si la

résultante est nulle ou si les

projections suivant 2 directions

perpendiculaires (x et y par exemple),

sont nulles (=Fx = 0, =Fy = 0).

Si n désigne le nombre de nœuds

(les appuis sont aussi des nœuds, n =

10 pour le système de la figure 6.14),

le nombre d'équations d’équilibre de

la statique qu'on peut écrire est égal à 2n.

Soient b le nombre de barres et l le nombre de liaisons dans les appuis. La

condition d'isostaticité s'écrit :

2n = b+l (6.20)

Il faut cependant préciser que la condition (6.20) peut s'avérer insuffisante à

prouver l'isostaticité d'un treillis ; le système doit en outre être géométriquement

invariable.

Une règle simple dite règle

de la maille triangulaire

permet de vérifier si le système

est isostatique et stable. Cette

règle s'énonce comme suit : si,

partant d'une maille

triangulaire, on arrive à

reconstituer le système en

ajoutant 2 barres à la fois, alors le système est isostatique stable.

R1

R2

Figure 6.15 : Barre d'un treillis chargé indirectement

F1

F1

Fi

Fn

y

x

Figure 6.16 : Nœud d'un treillis chargé indirectement

Figure 6.17 : Système vérifiant la condition 6.20 mais instable


6.5.3 Méthodes de calcul

On peut diviser les méthodes de calcul des systèmes en treillis articulés

isostatiques en deux catégories : les méthodes analytiques et les méthodes

graphiques. La méthode graphique la plus répandue est celle de Cremona (tracé

de Cremona). Elle consiste à construire le polygone des forces en chaque nœud.

Les méthodes analytiques les plus usuelles sont la méthode des nœuds et la

méthode des sections. Les trois méthodes citées seront présentées.

Il faut souligner que, indépendamment de la méthode utilisée, on doit

toujours commencer par le calcul des réactions.

a) Méthode des nœuds

Principe : La méthode consiste à isoler le nœud considéré par des coupures

libérant les efforts dans les barres et à projeter toutes les forces, efforts normaux et forces extérieures, agissant sur le nœud suivant deux axes perpendiculaires.

On doit obligatoirement entamer les calculs par un nœud auquel n'aboutissent

que deux barres (2 inconnues, 2 équations). Puis on passe à un nœud qui ne

présente pas plus de deux inconnues.

Exemple d'application

>5 Nœud A

Le choix du sens des efforts dans les barres est

arbitraire. Le sens choisi correspond à la traction ; le

calcul montrera pour chaque barre la nature exacte de

l'effort qu'elle porte.

Fx = 0 ! N2 = 0

Fy = 0 !N1 = -P (le signe "-" indique que la

barre 1 est soumise à une compression).

Figure 6.18 : Poutre isostatique

P/2 P/2 P

F E C

A D G

B

y

x "

l l l l

4 8

3

2 1h

N1

N2 A

RA=P

65 7 9


#$ Nœud C

Fx = 0 ! N3 cos"$+ N4 = 0

Fy = 0 ! P - N3 sin"$= 0

d'où :

NP

3 %sin"

(traction)

et NP

tg4 % &

"(compression)

#$ Nœud D

N4

N3

N1=P

"

N6

N5

D

N2=0 "

N3=P/sin"

F N N

P

tg

F N N

P (compres

x

y

% ! % %

%

% ! % & %

% &

0

0

6 3

5 3

cos

sin

"

"

"

(traction)

sion)

#$ Nœud E

FP

tgN N

F NP

NP

tg

x

y

% ' ( ( %

% ! %

! % &

0 0

02

3

2

8 7

7

8

""

"

"

cos

sin (traction)

(compression)

#$ Nœud F

N8

N7

E

N5=P

P/2

"

N4=P/tg"

N9

P

N8=(3/2)P/tg" N8'

F

F NP

tg

F N P (compres

x

y

% ! % &

% ! % &

03

2

0

8

9

'"

(compression)

sion)


La figure 6.19 ci-après montre la nature de l'effort dans les barres étudiées.

Convention :

- Flèches vers les nœuds = compression

- Flèches vers le centre = traction

- 0 = effort nul

b) Méthode des sections (ou de Ritter)

Principe : La méthode consiste à pratiquer dans le système une coupe ne rencontrant pas plus de 3 barres (sauf dans des cas précis) non concourantes, de

façon à séparer le treillis en deux parties. Pour trouver l'effort dans une des

barres, on écrit l'équation d'équilibre de rotation de l'une des deux parties par rapport au point d'intersection des autres barres (Figure 6.20).

M/A = 0 ! N5 = …

M/B = 0 ! N4 = …

M/C = 0 ! N6 = …

(partie de droite)

NB : Le point

d'intersection des barres

par rapport auquel on calcule les moments n'est pas nécessairement un nœud du

système (d'où l'intérêt à travailler graphiquement).

Cas particuliers

1) Deux barres coupées sont parallèles (point d'intersection rejeté à l'infini)

(Figure 6.21)

Figure 6.21 : Poutre en N

K H

A

B

C

6

4

5

Figure 6.20

P

P

Figure 6.19 : Représentation de la nature des efforts

P

P/2 P/2

J L

A

L'effort NKH est obtenu à partir de l'équation M/J = 0 et l'effort NLJ dans la

barre LJ s'obtient à partir de : M/K = 0. Pour calculer NKJ, on utilise une

équation d'équilibre de translation, Fy = 0 par exemple ; ou bien une équation

d'équilibre de rotation par rapport à un appui, M/A = 0 par exemple.


2) Plus de trois barres coupées : la méthode de Ritter peur être appliquée à

condition que les barres coupées soient toutes convergentes sauf une.

I

I

(a)

(a) 9

7

8

4

6

1

2

3

5

Figure 6.22 : Poutre en K

La coupe a-a (Figure 6.22) présente trois barres concourantes 4-5, 5-6 et 6-9

en 6 et l'équation M/6=0 donne l'effort N47. L'effort N47 connu, on fait la coupe

I-I et il n'y a plus que trois efforts inconnus.

Intérêt de la méthode des sections : elle permet de calculer directement

l'effort de n'importe quelle barre et constitue de ce fait un excellent moyen de

vérification des résultats obtenus par les autres méthodes.


2t

RB RA

Figure 6.23

3t 3t

Z'

Z 2

3

1 4

5

6

7

" A B

2m 2m 2m 2m

1m

1m

i

c j

"

Réactions : R R tA B% % %8

24 t

M/i = 0 ' 2RA – N4 = 0 ! N4 = 8 t (traction)

M/A = 0 ' 2x3t + ZN5 = 0,

avec : %

N5

i

RA=4t

2m

N4

3t

Z m4

5

! 5

3

2% & N t5

M/j = 0 ' Z'N6 – 2x3t + 4RB = 0

! Z'N6 = -10 tm


sin" %1

5

'%

4

Z , d'où : Z' % 4 5 m

et : N6 % &5.59 t

Pour calculer les efforts dans les barres 1, 2 et 3 on écrit les équations

d'équilibre de translation en A et C. On peut également appliquer la méthode de

Ritter.

ons

d'équilibre de translation en A et C. On peut également appliquer la méthode de

Ritter.

Nature des efforts

Remarque : Dans la pratique, les bras de leviers peuvent être mesurés

graphiquement ce qui présente l'avantage de faciliter le travail.

Remarque : Dans la pratique, les bras de leviers peuvent être mesurés

graphiquement ce qui présente l'avantage de faciliter le travail.

c) Méthode de Cremona (tracé de Cremona)c) Méthode de Cremona (tracé de Cremona)

Principe : La méthode consiste à tracer le polygone d'équilibre des forces appliquées à chaque nœud. Tous les nœuds étant en équilibre, les polygones sont

nécessairement fermés.

Pour pouvoir appliquer la méthode, il est nécessaire que le système possède au

moins un nœud auquel n'aboutissent que deux barres.

Les étapes de la méthode :

1) On représente le système dans une échelle des longueurs.

2) On calcule les réactions puis on numérote :

a) Les intervalles entre les forces extérieures en tournant dans un sens, le

sens horlogique par exemple.

b) Les intervalles du réseau (domaines intérieurs délimités par les barres).

Ainsi, chaque barre se trouve caractérisée par deux chiffres désignant les

intervalles (domaines) adjacents.

3) On construit le polygone des forces extérieures, dans une échelle des

forces choisie ; ce polygone est fermé puisque les forces extérieures sont

équilibrées par les réactions (équilibre global). On précise le sens des forces par

des flèches.

4) On trace ensuite le polygone des forces agissant sur chaque nœud (forces

extérieures et efforts dans les barres) en commençant par un nœud auquel

aboutissent seulement deux barres puis on passe à un nœud n'ayant que deux

efforts inconnus.

N.B. : Les directions des efforts sont connues (orientations des barres) et leurs

sens et intensité sont obtenus en fermant chaque polygone.



Soit à calculer les efforts dans les barres de la poutre représentée à la figure

6.24 déjà calculée par la méthode de Ritter.

5

E

F

11 10

3

1

2

7 6

RB=4tRA=4t

G l

4

C 9 8

D

l l l l

A

3t 3t

2t

B

Figure 6.24

La résolution du problème se fait selon les étapes ci-après.

0- On représente la structure dans une échelle des longueurs (Figure 6.24).

1- Numérotation des domaines extérieurs (délimités par les forces

appliquées et les réactions) : 1, 2, 3, 4 et 5 (sens horlogique, Figure

6.24).

2- Numérotation des domaines intérieurs (mailles) : 6, 7, 8, 9, 10, 11 (de

gauche à droite). On pouvait choisir des lettres à la place des chiffres

(Figure 6.24).

On peut maintenant numéroter chaque effort (extérieur ou interne), avant de

passer à l'étape suivante. Chaque effort est caractérisé par les deux chiffres des

domaines qui sont adjacents à sa direction. Les efforts internes agissant sur les

nœuds sont numérotés en tournant dans le sens horlogique (Figure 6.25).

F45=4tF51=4t

F34=3t F12=3t

A

D

C

F N65

N16

N61 N87

N56 N75

N67

N76

N28 N98

N82 E N39

F23=2t

Figure 6.25


3- On trace le polygone des forces extérieures (forces appliquées et

réactions). Ce polygone est représenté par le segment vertical : 1-2-3-4-

5-1 (Figure 6.26).

4- Construction des polygones des forces agissant sur chaque nœud.

a) Nœud A : Les efforts intervenant sont : N16, N65 et F51. Cette dernière

force étant connue et représentée sur le polygone des forces extérieures.

Notons que seul le point 6 est indéterminé.

A partir du point 1 on trace une parallèle à la barre AC (N16) et à partir de 5

on mène une parallèle à AD (N65). L'intersection des deux parallèles détermine le

point 6 cherché. Pour connaître le sens des efforts N16 et N65, on ferme le

polygone en partant de l'effort connu, F51 (schémas ci-dessous).

(compresion)

N65

F51

(traction)

N16

A

6

1

5

Figure 6.26

5

1

2

4

3

8

7

6

(5) (4)

(2)

(4)

(6)

(3)

Les flèches obtenues en fermant le polygone (des efforts agissant sur le nœud

A) indiquent la nature de chaque effort.

b) On passe ensuite au nœud D où seuls les efforts dans les barres DF et

DC sont inconnus.

Efforts intervenant : N56 (connu puisque N65 est connu), N67 et N75. Dans ce

cas également, seul le point 7 est indéterminé.

A partir de 6 on mène une parallèle à DC (N67) et à partir de 5 on trace une

parallèle à DF (horizontale) (N75). L'intersection des deux parallèles se fait au

point 6, donc le point 7 est confondu avec 6. Le polygone des forces en D (N56,


N67 et N75) se limite au segment 5-7 ; donc l'effort N67 = 0 (voir schémas ci-

dessous).

N75 (traction)

N56 (traction)

N76

N56 5

7

6

D

c) Point C : Efforts intervenant : N61, F12, N28, N87 et N76 (N67 = N76 = 0).

Seul le point 8 reste à trouver.

A partir du point 2 on trace une parallèle à CE (N28) ; puis à partir de 7 on

mène une parallèle à CF (N87). L'intersection des deux parallèles détermine la

position du point 8. On ferme ensuite le polygone pour déterminer le sens des

efforts inconnus (N87 et N28) (N61)F12)N28)N87 et N76) (schémas ci-après).

N61

N76

N87

N28

F12

C

6

7

8

2

1

Remarques :

1) Utilisation combinée du tracé de Cremona et de la méthode de Ritter

Lors d'un tracé de Cremona, on ne peut pas franchir les nœuds auxquels

aboutissent plus de deux barres dont les efforts sont inconnus. La méthode de

Ritter permet de franchir ces nœuds. Il suffit d'effectuer une ou plusieurs coupes

donnant les valeurs des efforts dans les barres "surabondantes". Ce cas se

présente fréquemment dans les fermes dites "Polonceau" (Figure 6.27).


Figure 6.27 : Ferme type Polonceau

a

a

6

5

2

3 4

1 4'

7

8

Ayant amorcé le Cremona en 1, en arrivant en 4 on se trouve en présence de

3 efforts inconnus (N45, N46 et N44'). La coupe a-a' permet de calculer directement

l'effort N44' ( M/8=0) ; après quoi on poursuit normalement le tracé de Cremona.

2) Barres ne travaillant pas (N=0)

Dans l'exemple ci-contre, cinq

barres ne travaillent pas (N=0) ;

néanmoins, elles sont nécessaires

car elle contribuent à :

P

- assurer l'indéformabilité et

l'isostaticité du système ;

- réduire les longueurs de

flambement ; Figure 6.28 : Poutre avec plusieurs barres non sollicitées

- faciliter les dispositions

constructives.

méthode des noeuds et crémona

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