mecanique des structures 2

ELEMENTS D’ANALYSE ELEMENTS D’ANALYSE STRUCTURALE EN STRUCTURALE EN

PLASTICITEPLASTICITE

HIERARCHISATION DE HIERARCHISATION DE L’ENSEIGNEMENT DES METHODES L’ENSEIGNEMENT DES METHODES

D’ANALYSE GLOBALED’ANALYSE GLOBALE

Utilité du calcul post-élastiqueUtilité du calcul post-élastique

Le calcul courant des structures accepte l’hypothèse du comportement linéaire géométrique et physique

→ principe de la superposition des effets

Cette hypothèse décrit assez bien le comportement des structures courantes sous des charges d’exploitation normales

Utilité du calcul post-élastiqueUtilité du calcul post-élastiqueCalcul des structures soumises aux actions

sismiques de grande intensité• Les charges équivalentes sismiques sont calibrées de

telle manière que:• la structure calculée pour ces charges résiste élastiquement ou avec dégats mineurs aux séismes courants de faible intensité qui se produisent avec une fréquence de quelques années•on accepte des dégats importants qui coréspondent a un comportement post-élastique, pour des séismes de grande intensité

L’ énergie introduite par le séisme est absorbée par des phénomènes post-élastiques

Méthodes d’analyse Méthodes d’analyse globaleglobale

Analyse élastique 1er ordreAnalyse élastique 1er ordre Analyse plastique 1er ordreAnalyse plastique 1er ordre Analyse élastique 2nd ordreAnalyse élastique 2nd ordre Analyse plastique 2nd ordreAnalyse plastique 2nd ordre

Objet de ce cours

Principe d'un dimensionnement élastique

Charge P => M, N, V => max < f

Approche équivalente

Charge élastique (max = f) > Charge P

Problèmes du dimensionnement élastique

1. La charge élastique ne donne pas d'information sur la charge de rupture

2. Incohérence en flexion si ajout de matière.

1. Incohérence en flexion si ajout de matière.

I < I'v << v'I/v > I/v'

Loi Loi pour l’acier doux pour l’acier doux

e

e rp

fy

u

fu

E

Ep

Idéalisation indéfiniment élastique Idéalisation indéfiniment élastique

E

=E

Idéalisation élastique-plastique Idéalisation élastique-plastique

E

fy

y

Idéalisation rigide-plastique Idéalisation rigide-plastique

fy

TREILLIS CHARGE JUSQU’A LA RUINETREILLIS CHARGE JUSQU’A LA RUINE

45°45°L

EA EA EA

Système à trois barresSystème à trois barres

Y YX

Equilibre vertical

X+2Y cos 45° = PP

Par symétrie:

Même effort Y dans barres obliques


P

Equation de compatibilité

cos 45cos 45

Y LXL etEA EA

45°45°L

EA EA EA

Y Y

D’où : X = 2Y

X


22

222

PY

PXEquilibre : X+2Y cos 45° = PCompatibilité : X = 2Y

X>Y donc barre verticale se plastifie en premier lieu pour une charge appliquée P=Pe telle que X=Afy, d’où:

ELf

AfY:où'dAfP

ye

yye

22

22

Charge limite élastique

X/Afy

Y/Afy

P/Afy

0,5

P

Pe

ELfy

221

1

Efforts X et Y Déplacement vertical

Système à trois barresSystème à trois barresEtat de déformation plastique limitée• La barre verticale, plastifiée, peut s’étirer sous charge

constante: elle est en régime plastique

• Elle ne peut plus contribuer à la reprise de tout supplément de charge; seules les barres obliques - restées élastiques - peuvent assurer ce rôle

• Equilibre : X+2Y cos 45° Afy+ 2Y cos 45° = P

d’où :

• Le système est en état de déformation plastique limitée tant que les barres obliques ne plastifient pas à leur tour

2yAfP

Y


yy Af

AfPY

2

Charge limite plastique• Les barres obliques se plastifient à leur tour sous

• Il y correspond une charge limite plastique

• Le déplacement s’obtient selon

e

yl

PAfP

221

ely

l doncE

LfcosEA

Ycos

L

2

245

45

2122

1

1

X/Afy

Y/Afy

P/Afy

0,5

P

Pe

ELfy

Pl

ELfy2

Efforts X et Y Déplacement vertical

Système à trois barresSystème à trois barresCharge limite plastique• Lorsque les 3 barres sont plastifiées, il n’y a plus aucun

composant du système qui est élastique.• Le système peut se déformer sous charge constante,

sous réserve de négliger l’effet du changement de géométrie.

• Cette charge, égale à Pl , est la charge limite plastique; on dit que le système est en état de déformation plastique libre.

• Cette charge est considérée comme la charge de ruine du système.

Système à trois barresSystème à trois barresDécharge à partir de l’état limite plastique• Le déchargement de chacune des barres se fait selon une

droite parallèle à la droite de chargement

• Il en va de même pour la flèche

2122

1

1

X/Afy

Y/Afy

P/Afy

0,5

P

Pe

ELfy

Pl

ELfy2

21

221

A la décharge complète, il subsiste des efforts résiduels et une flèche résiduelle

21221

1

X/Afy

Y/Afy

P/Afy

0,5

P

Pe

ELfy

Pl

ELfy2

A la recharge, le comportement est élastique


La charge limite plastique est :La charge limite plastique est : Obtenue par équilibreObtenue par équilibre après avoir exprimé après avoir exprimé

que toutes les barres ont atteint leurs que toutes les barres ont atteint leurs charges plastiques respectivescharges plastiques respectives

Calculable directementCalculable directement sans étude de sans étude de phases élastoplastiques intermédiairesphases élastoplastiques intermédiaires

2 cos 45 1 2pl y y yP A f A f A f

Vérification expérimentaleVérification expérimentale Essais sur des systèmes du type précédent, Essais sur des systèmes du type précédent,

faits d’acier doux ou d’aluminium, montrent un faits d’acier doux ou d’aluminium, montrent un très bon accord entre théorie et expériencetrès bon accord entre théorie et expérience jusqu’à la charge limite plastique jusqu’à la charge limite plastique PPplpl

Au-delà de cette charge, l’expérience montre Au-delà de cette charge, l’expérience montre une une légère croissance de la charge au-delà de légère croissance de la charge au-delà de PPplpl alors que la théorie conduit à un palier. alors que la théorie conduit à un palier.

Cette différence résulte de l’Cette différence résulte de l’écrouissageécrouissage, négligé , négligé dans la théorie.dans la théorie.

SECTION FLECHIE SECTION FLECHIE CHARGEE JUSQU’À LA RUINECHARGEE JUSQU’À LA RUINE

Flexion plastique d’une section Flexion plastique d’une section doublement symétriquedoublement symétrique

h

<y =y y

<fy =fy =fy =fy

d

d=y /d

e=2y /h


M = ∫y dA e= 2y /h

=y /d

e / = 2d/h

Etat élastoplastique

=fy

d

d=y /dh

Moment résistant élastique

Me = fy W

e = Me /EI= 2y /h


h

=fy

Mp = ∫y dA = fy ∫ydA

= fy Z

=

Moment résistant plastique

Z=2S

= e h/2d

Flexion pure plastique d’une Flexion pure plastique d’une section doublement symétriquesection doublement symétrique

Mp est une idéalisation parce que:

• La courbure ne peut atteindre le pliage « à bloc »• La déformation dans les fibres extrêmes finit par être telle qu’on entre dans le domaine de l’écrouissage jusqu’à atteindre la déformation de rupture

Loi moment-courbureLoi moment-courbure

h dd = + -

fy

fy

fyfy

M Me,d Mp Mp,d= + -

= fy Wd + fyZ - fyZd


ZWZ

MM

ZZ

ZW

WfZf

MM

dd

e

p

dd

y

y

e

1

1

dyydy ZfZfWfM

WfM ye

Fonction de la hauteur relative 2d/h, donc de e/

e

e

p

e

fMM

MM 1

Si M tend vers Mp, tend vers l’infini et f(e/) tend vers 0 donc M/Me est asymptotique à Mp/Me

Facteur de forme =Mp/Me=Z /W


2

1,5

1

1 2 4 6 8 10 12 14/e

M/Me

1,27

1,50

1,70

2,0

Premier bénéfice de la plasticité Adaptation dans la section


2

1,5

1

1 2 4 6 8 10 12 14/e

M/Me

1,10-1,22

Profilé en double téFléchi autour de l’axe fort yy

Z=Mp/Me

Ceci revient à admettre que la section reste élastique jusqu’à Mp. C’est la base du concept de rotule plastique

Loi réelle

Loi idéalisée


1,5

1

1 2 4 6 8 10 12 14/e

M/Me

≈1,5

Loi réelle

Loi idéalisée

Profilé en double téFléchi autour de l’axe faible zz

Effet d’une décharge Effet d’une décharge

+

-

+

-

-

+

+

-

Mise en charge élasto-plastique

Décharge élastique Distribution de contraintes résiduellesaprès décharge

Section à un seul plan de symétrie Section à un seul plan de symétrie (plan de flexion)(plan de flexion)

Domaine élastique : l’ANE passe par le centre Domaine élastique : l’ANE passe par le centre de gravité jusqu’à atteinte dede gravité jusqu’à atteinte de

MMee=f=fyy W W Etat limite ultime : l’ANP est tel qu’il y a équilibre Etat limite ultime : l’ANP est tel qu’il y a équilibre

de translation horizontalde translation horizontal ∫∫dAdA==ffyy((AA11--AA22)=0)=0

Il y a donc un déplacement de AN dans tout le Il y a donc un déplacement de AN dans tout le domaine élastoplastique depuis l’ANE jusqu’à domaine élastoplastique depuis l’ANE jusqu’à l’ANPl’ANP

Section à un seul plan de symétrie Section à un seul plan de symétrie (plan de flexion)(plan de flexion)

ANE ANP

A1

A2

A1=A2= A/2 y1

y2

fy

fy

fy

fy

fy

<fy

Z = A1y1+A2y2

= (A/2) (y1+y2)

NOTION DE ROTULE PLASTIQUENOTION DE ROTULE PLASTIQUE

Notion de rotule plastiqueNotion de rotule plastique Théorie de flexion pure généralisée au cas de Théorie de flexion pure généralisée au cas de

flexion simple (flexion simple (M+VM+V) et de flexion composée () et de flexion composée (M+NM+N) ) car N et V influencent peu le moment plastique.car N et V influencent peu le moment plastique.

Application de la théorie plastique aux ossatures en Application de la théorie plastique aux ossatures en acier doux.acier doux.

Une section de Classe 1 ou 2 est caractérisée par Une section de Classe 1 ou 2 est caractérisée par un moment plastiqueun moment plastique MMpp = f = fy y ZZ

Ce moment engendre une courbure en principe infinie.

Notion de rotule plastiqueNotion de rotule plastique La longueur de la zone élasto-plastique reste

toujours assez limitée La courbure de la partie élastique reste faible

mais celle de la partie élasto-plastique croît rapidement dans la zone partiellement plastifiée et ce d’autant qu’on se rapproche de la section totalement plastifiée

Tout se passe donc comme si des tronçons rigides étaient articulés les uns aux autres au droit des sections pleinement plastifiées

Moment

Notion de Notion de rotulerotule plastique plastique

Me

Courbure

Mp

2 tronçons fléchis élastiquement et zone élasto-plastique

2 tronçons rigides avec rotule plastique

Concept de rotule plastiqueConcept de rotule plastique Rotule plastique = articulation «à frottement»Rotule plastique = articulation «à frottement»

concentrée en une section, celle où concentrée en une section, celle où MMpp est est atteint.atteint.

Articulation «à frottement», à savoir :Articulation «à frottement», à savoir :• Reste rigide tant que Reste rigide tant que MM< < MMpp

• Ne peut tourner que si Ne peut tourner que si MMpp est atteint est atteint En-dehors de la rotule, les éléments sont En-dehors de la rotule, les éléments sont

élastiques et leur courbure est négligée devant élastiques et leur courbure est négligée devant la courbure naissant dans la rotule plastique.la courbure naissant dans la rotule plastique.

Vérification expérimentaleVérification expérimentale

Flèche

Charge

Réponse expérimentale

Charge limite théoriquePlim Effet de l’écrouissage

Charge limite expérimentale

Charge limite - Poutre bi-encastrée (1)Charge limite - Poutre bi-encastrée (1)max

Première fibre plastifiéelorsque

12donc pour²

e

ee

M M

Mp

L

1

Après 1ère plastification,conformément au conceptde rotule plastique,comportement admisélastique jusqu'à ce que

12donc pour

²

A B p

p

M M M

Mp

L

LA C B

p

- pL²/12 pL²/8

+- -

pL²/24

4

1

2

1

Flèche varieproportionnellement à p

384et atteint sous

32p

pLEI

p

M LEI

-Mp p1L²/8

+- -

Charge limite - Poutre bi-encastrée(2)Charge limite - Poutre bi-encastrée(2)

4

En domaine élastoplastiqueles rotules plastiques en A et Btournent sous momentconstant.La fléche vaut

²5384 8

et n'est plus proportionnelle à

pM LpLEI EI

p

LA C B

p

pl L²/8Mp

pL²/8-Mp

+- -

Rotules plastiques en A et B

-Mp

+

- -Rotule plastique

en C

Le moment à mi-portée croîtjusqu'à atteindre

D'où:²

8et:

16²

p

lp p

pl

M

p L M M

Mp

L

Charge limite - Poutre bi-encastrée(3)Charge limite - Poutre bi-encastrée(3)pl

LA C B

pl

A C B

12Me /L²12Mp /L²

16Mp /L²

MpL²/32EI MpL²/12EI

P

MpL²/24EI

Après décharge, moment résiduel en A et B

Mrés = - Mp+plL²/12

=-Mp+4Mp/3 = Mp/3

Charge limite - Poutre bi-encastrée(4)Charge limite - Poutre bi-encastrée(4)pl

LA C B

Pour déterminer la charge limite, il n’est pas nécessaire de suivre l’historique du chargement.

On peut directement la déduire de

plL²/8= 2Mp

d’où pl = 16Mp/L²

pl L²/8

Mp

-Mp

+

- -

Deuxième bénéfice de la plasticité Adaptation entre sectionsdonné par le rapport entre pl/p1, soit ici 4/3

Charge limite - Poutre bi-encastrée(5)Charge limite - Poutre bi-encastrée(5) Au total, les bénéfices de la plasticité sont:Au total, les bénéfices de la plasticité sont:

• Adaptation dans la section, représentée par le Adaptation dans la section, représentée par le facteur de forme facteur de forme MMpp/M/Mee,, toujours possible pour toujours possible pour sections de Classe 1 ou de Classe 2 qui sections de Classe 1 ou de Classe 2 qui possèdent une possèdent une certaine réserve de résistance certaine réserve de résistance plastique en sectionplastique en section

• Adaptation entre sections, représentée par le Adaptation entre sections, représentée par le rapport rapport ppll/p1/p1, , possible dans la mesure où toutes possible dans la mesure où toutes les les rotules plastiques requises pour former le rotules plastiques requises pour former le mécanisme de ruine plastique ne se forment mécanisme de ruine plastique ne se forment pas simultanément (et que les classes sont pas simultanément (et que les classes sont adéquates)adéquates)

Pour le cas examiné (IPE) le bénéfice est (≈1,14) x Pour le cas examiné (IPE) le bénéfice est (≈1,14) x (4/3) = 1,52 soit 52% de plus que ce permet un (4/3) = 1,52 soit 52% de plus que ce permet un dimensionnement strictement élastiquedimensionnement strictement élastique

Charge limite - Poutre bi-encastrée(6)Charge limite - Poutre bi-encastrée(6)

LA C B

-PL/8

PL/8PL/4+

__

Dans le cas présent, les moments aux extrémités et à mi-portée sont égaux (valeur absolue).

Les trois rotules vont se former simultanément.

Seul bénéfice de la plasticité: adaptation dans la section (facteur de forme)

Charge limite – Ossature (1)Charge limite – Ossature (1) Hypothèse de Hypothèse de chargement proportionnelchargement proportionnel Mise en charge jusqu’à formation de Mise en charge jusqu’à formation de rotules rotules

plastiquesplastiques successives successives Rotules plastiques se forment en des Rotules plastiques se forment en des sections sections

où où MM atteint un maximum local atteint un maximum local• Point d’application de force concentréePoint d’application de force concentrée• Extrémités des barresExtrémités des barres• En pleine barre, «quelque part» sous charge répartieEn pleine barre, «quelque part» sous charge répartie

Apparition d’une rotuleApparition d’une rotule dans une section revient dans une section revient à à réduire d’une unité le degré d’hyperstaticitéréduire d’une unité le degré d’hyperstaticité

Charge limite – Ossature (2)Charge limite – Ossature (2) Formation de la Formation de la hhémeéme rotule rotule rend l‘ossature rend l‘ossature isostatiqueisostatique Formation de la Formation de la ((hh+1)+1)émeéme rotule rotule rend l’ossature rend l’ossature

hypostatiquehypostatique (mécanisme) (mécanisme) Charge limiteCharge limite correspond à un correspond à un mécanisme de ruine mécanisme de ruine

comportant (comportant (hh+1) rotules plastiques+1) rotules plastiques Multiplicateur de ruine Multiplicateur de ruine est le rapport entre la charge est le rapport entre la charge

limite plastique calculée et la charge de service limite plastique calculée et la charge de service prescrite, prise comme référence; c’est donc une prescrite, prise comme référence; c’est donc une mesure de lamesure de la sécurité de l’ossature sécurité de l’ossature

La ruine La ruine peut êtrepeut être partielle ou plus que complète partielle ou plus que complète selon selon que la ruine est atteinte pour un nombre de rotules que la ruine est atteinte pour un nombre de rotules inférieur ou supérieur au degré d’hyperstaticitéinférieur ou supérieur au degré d’hyperstaticité

Ruine partielle du portique (h=6) par mécanisme dans la seule partie gauche (h=3) avec 4 rotules plastiques

Ruine plus que complète de la poutre continue (h=1) par mécanisme avec 3 rotules plastiques

Charge limite – Ossature (3)Charge limite – Ossature (3) Bénéfice de la plasticitéBénéfice de la plasticité généralement généralement

appréciableappréciable, bien que , bien que très variabletrès variable Bénéfice pour ainsi dire Bénéfice pour ainsi dire inexistantinexistant si barres à si barres à

inertie variable conçues pour être sensiblement inertie variable conçues pour être sensiblement d’d’égale résistanceégale résistance

Principe de superposition pas applicable Principe de superposition pas applicable globalementglobalement puisque le système statique se puisque le système statique se modifie au fur et à mesure des rotules plastiques modifie au fur et à mesure des rotules plastiques Il convient dès lors de considérer séparément Il convient dès lors de considérer séparément chaque situation de risque (combinaison chaque situation de risque (combinaison d’actions)d’actions)

Charge limite – Ossature (2)Charge limite – Ossature (2) Conditions d’application de l’analyse plastiqueConditions d’application de l’analyse plastique

• Toute barre est caractérisée par le moment plastique de sa Toute barre est caractérisée par le moment plastique de sa section transversale section transversale MMpp=f=fyyZ Z

• Acier a une Acier a une ductilité suffisanteductilité suffisante pour permettre i) formation d’une pour permettre i) formation d’une rotule plastique, ii) rotation de cette rotule jusqu’à obtention du rotule plastique, ii) rotation de cette rotule jusqu’à obtention du mécanisme de ruine plastique + classes adéquates des sectionsmécanisme de ruine plastique + classes adéquates des sections

• Valeur de Valeur de MMpp non affectée par non affectée par NN et/ou et/ou VV• Aucune instabilitéAucune instabilité prématurée (membrure, ossature) prématurée (membrure, ossature)• Charges croissant toutes proportionnellementCharges croissant toutes proportionnellement• Déplacements suffisamment faiblesDéplacements suffisamment faibles pour ne pas modifier le pour ne pas modifier le

mode d’action des forces sollicitantesmode d’action des forces sollicitantes• Assemblages capables de Assemblages capables de transmettre transmettre MMpp de la barre de la barre

Charge limite – Ossature (3)Charge limite – Ossature (3) Etats initiaux de contraintesEtats initiaux de contraintes susceptibles susceptibles

d’d’affecter substantiellement la charge limite affecter substantiellement la charge limite élastiqueélastique et de et de modifier l’ordre d’apparition des modifier l’ordre d’apparition des rotules plastiquesrotules plastiques

La confrontation expérimentale montre que:La confrontation expérimentale montre que:• Charge limite expérimentale supérieure à la Charge limite expérimentale supérieure à la

valeur donnée par la théorie, d’où approche valeur donnée par la théorie, d’où approche sécuritairesécuritaire

• Sécurité homogèneSécurité homogène comparativement à ce comparativement à ce que donne un calcul strictement élastiqueque donne un calcul strictement élastique

THEOREMES GENERAUXTHEOREMES GENERAUX

Théorème des travaux virtuels (1)Théorème des travaux virtuels (1)

Dans une ossature déformable en équilibre, à laquelle on Dans une ossature déformable en équilibre, à laquelle on donne un état virtuel de déformation, le travail virtueldonne un état virtuel de déformation, le travail virtuel TTee développé par les forces extérieures pendant cette développé par les forces extérieures pendant cette déformation est égal au travaildéformation est égal au travail TTi i absorbé par les efforts absorbé par les efforts intérieursintérieurs

TTe e = ∫= ∫PPiiii + ∫ + ∫ppdxdx TTi i = ∫(= ∫(NNdsds + + VV dydy + + MM dd)) L'état virtuel de déformation pris est celui qui est associé L'état virtuel de déformation pris est celui qui est associé

au mécanisme de ruine plastique de la structureau mécanisme de ruine plastique de la structure Quantités Quantités reliées par les conditions d’équilibrereliées par les conditions d’équilibre QuantitésQuantités reliées par les conditions cinématiques du reliées par les conditions cinématiques du

mécanismemécanisme

Théorème des travaux virtuels (2)Théorème des travaux virtuels (2)

Hypothèse: les morceaux restant élastiques sont Hypothèse: les morceaux restant élastiques sont rigides donc indéformablesrigides donc indéformables

Dans les ossatures, il est de règle de négliger les Dans les ossatures, il est de règle de négliger les déformabilités dues à déformabilités dues à NN et et VV devant celles dues à devant celles dues à MM

Le seul travail de déformation intérieur est celui Le seul travail de déformation intérieur est celui qui est développé dans les rotules plastiquesqui est développé dans les rotules plastiques

∫∫PPiiii + ∫ + ∫ppdx = dx = MMjjjj

Théorème des travaux virtuels (3)Théorème des travaux virtuels (3) Application à l’exemple traité précédemmentApplication à l’exemple traité précédemment

∫∫PPiiii + ∫ + ∫ppdx = dx = MMjjjj

p

LA C B

2 x (½ x L/2 x L/2 x x p

L/2

MA + MB+2 MC

Pour p = pl

MA = MB = Mp

MC=Mp

pl=16 Mp/L²

Etat limite de ruine réelEtat limite de ruine réel Multiplicateur de ruine Multiplicateur de ruine ll des charges de référence des charges de référence Diagramme des Diagramme des MM statiquement admissible statiquement admissible (en équilibre avec (en équilibre avec

les forces extérieures appliquées) et les forces extérieures appliquées) et plastiquement admissibleplastiquement admissible (en aucune section de l’ossature le moment de flexion n’y (en aucune section de l’ossature le moment de flexion n’y dépasse le moment plastique de cette section)dépasse le moment plastique de cette section)

Mécanisme de ruineMécanisme de ruine, décrit par les , décrit par les rotations rotations jj dans les rotules dans les rotules plastiques, plastiques, cinématiquement admissiblecinématiquement admissible (respectant les (respectant les liaisons avec le monde extérieur), tel que le liaisons avec le monde extérieur), tel que le travail travail TTee des des forces extérieurs est positifforces extérieurs est positif

Association des Association des MMjj aux rotations aux rotations jj par les par les lois d’écoulementlois d’écoulement jj = 0 = 0 si si -M -Mpjpj<M<Mjj<M<Mpjpj

jj > 0 > 0 si si M Mjj=M=Mpjpj

j j < 0< 0 si si M Mjj=-M=-Mpjpj

Concept de diagramme liciteConcept de diagramme licite

Propriétés d’un Propriétés d’un diagramme de moments diagramme de moments MM- - licitelicite

• Etre Etre statiquement admissiblestatiquement admissible• Etre Etre plastiquement admissibleplastiquement admissible

Grand nombreGrand nombre de diagrammes de moments licites de diagrammes de moments licites (différant entre eux par les emplacements où on annule (différant entre eux par les emplacements où on annule les efforts intérieurs excédentaires)les efforts intérieurs excédentaires)

A A chaque diagramme licitechaque diagramme licite, on peut associer un , on peut associer un multiplicateur statique multiplicateur statique -- des charges prises comme des charges prises comme référenceréférence

Concept de mécanisme liciteConcept de mécanisme licite Propriété d’un Propriété d’un mécanisme de ruine mécanisme de ruine j+ j+ licitelicite

• Etre Etre cinématiquement admissiblecinématiquement admissible, c’est-à-dire , c’est-à-dire respecter les liaisons avec le monde extérieurrespecter les liaisons avec le monde extérieur

Grand nombreGrand nombre de mécanismes licites (différant entre eux de mécanismes licites (différant entre eux par les emplacements supposés des rotules plastiques par les emplacements supposés des rotules plastiques requises pour obtenir un mécanisme)requises pour obtenir un mécanisme)

A chaqueA chaque mécanisme licite mécanisme licite, on peut associer un , on peut associer un multiplicateur cinématique multiplicateur cinématique ++ des charges prises comme des charges prises comme référenceréférence

Théorème cinématiqueThéorème cinématique A priori le mécanisme de ruine n’est pas connuA priori le mécanisme de ruine n’est pas connu Dans une ossature hyperstatique de degré Dans une ossature hyperstatique de degré hh, il faut (, il faut (hh+1) +1)

rotules plastiques pour former 1 mécanismerotules plastiques pour former 1 mécanisme Multiples manières de situer les rotules potentielles de Multiples manières de situer les rotules potentielles de

manière à former un mécanisme licitemanière à former un mécanisme licite A un tel mécanisme, on peut associer un multiplicateur A un tel mécanisme, on peut associer un multiplicateur

cinématique cinématique ++ Parmi ces mécanismes licites, un seul est le mécanisme Parmi ces mécanismes licites, un seul est le mécanisme

réel de ruine, auquel correspond réel de ruine, auquel correspond ll

Tout multiplicateur cinématique est supérieur ou égal au Tout multiplicateur cinématique est supérieur ou égal au multiplicateur limitemultiplicateur limite : : ll ≤≤ ++

Théorème statiqueThéorème statique A priori le diagramme réel n’est pas connu A priori le diagramme réel n’est pas connu Dans une ossature hyperstatique de degré Dans une ossature hyperstatique de degré hh, il , il

est possible de construire un grand nombre de est possible de construire un grand nombre de diagrammes licites diagrammes licites

A un tel diagramme, on peut associer un A un tel diagramme, on peut associer un multiplicateur statique multiplicateur statique --

Parmi ces diagrammes licites, un seul est le Parmi ces diagrammes licites, un seul est le diagramme réel à la ruine, auquel correspond diagramme réel à la ruine, auquel correspond ll

Tout multiplicateur statique est inférieur ou égal Tout multiplicateur statique est inférieur ou égal au multiplicateur limiteau multiplicateur limite : : - - ≤ ≤ ll

Lemme de FeinbergLemme de Feinberg

Si on renforce un système à poutres fléchies en Si on renforce un système à poutres fléchies en augmentant le moment plastique Maugmentant le moment plastique Mpp dans une section au dans une section au moins tout en ne le réduisant nulle part ailleurs, alors le moins tout en ne le réduisant nulle part ailleurs, alors le multiplicateur limite du système renforcé ne peut être multiplicateur limite du système renforcé ne peut être inférieur à celui du sysème d’origine.inférieur à celui du sysème d’origine.

Théorème d’unicitéThéorème d’unicitéSi, pour une ossature donnée, soumise à un chargement Si, pour une ossature donnée, soumise à un chargement donné, on peut trouver une distribution licite des M telle que le donné, on peut trouver une distribution licite des M telle que le moment plastique soit atteint en un nombre suffisant de moment plastique soit atteint en un nombre suffisant de sections pour produire un mécanisme cinématiquement sections pour produire un mécanisme cinématiquement admissible avec des rotules plastiques en ces sections et si, admissible avec des rotules plastiques en ces sections et si, en outre, dans chacune de ces sections, le moment a un signe en outre, dans chacune de ces sections, le moment a un signe correspondant au sens de rotation de la rotule dans ce correspondant au sens de rotation de la rotule dans ce mécanisme, alors le multiplicateur considéré est le mécanisme mécanisme, alors le multiplicateur considéré est le mécanisme de ruinede ruine

Examiner soigneusement la correspondance entre diagramme Examiner soigneusement la correspondance entre diagramme des M et le mécanisme !des M et le mécanisme !

Va servir a contrôler si un mécanisme cinématiquement Va servir a contrôler si un mécanisme cinématiquement admissible est le mécanisme de ruineadmissible est le mécanisme de ruine

Contrôle d’un mécanisme liciteContrôle d’un mécanisme licite Mécanisme : (Mécanisme : (hh+1) rotules +1) rotules (ruine complète)(ruine complète) En chaque rotule, mettre la valeur du moment En chaque rotule, mettre la valeur du moment

plastique de la section correspondante, affectée plastique de la section correspondante, affectée du signe de la rotation de cette rotule dans le du signe de la rotation de cette rotule dans le mécanisme considérémécanisme considéré

Compléter le diagramme des Compléter le diagramme des MM Comparer Comparer MM à à MMpp en toute section Si en toute en toute section Si en toute

section section llMMll ≤ ≤ MMpp, alors le mécanisme examiné , alors le mécanisme examiné est le mécanisme de ruine réelest le mécanisme de ruine réel

En cas de ruine partielle, lever l’hyperstaticité En cas de ruine partielle, lever l’hyperstaticité restante pour compléter le diagramme des restante pour compléter le diagramme des MM

20 m10 m

10 kN

14 kN

100

- 50

50

50

20

+

--

Mécanisme de ruine partiel

Mp,traverse = 100 kNmMp,poteau = 50 kNm

20 m10 m

10 kN

14 kN

+-

-+

Mécanisme de ruine total

Mp,traverse = 100 kNmMp,poteau = 50 kNm

100

- 50- 36

- 50 50

OK

Analyse plastique Analyse plastique des ossatures à barresdes ossatures à barres

Deux méthodes de détermination du Deux méthodes de détermination du multiplicateur limite plastique :multiplicateur limite plastique :• Méthode cinématiqueMéthode cinématique: application du : application du

théorème cinématique, donc approche « par théorème cinématique, donc approche « par le haut »le haut »

• Méthode statiqueMéthode statique: application du théorème : application du théorème statique, donc approche « par le bas»statique, donc approche « par le bas»

METHODE CINEMATIQUEMETHODE CINEMATIQUE

Méthode cinématiqueMéthode cinématique Deux approches :Deux approches :

• Recherche deRecherche de tous les mécanismes possibles tous les mécanismes possibles et et détermination de détermination de celui d’entre eux qui est le celui d’entre eux qui est le mécanisme de ruine réelmécanisme de ruine réel

• Recherche de Recherche de tous les mécanismes simples tous les mécanismes simples linéairement indépendantslinéairement indépendants puis combinaison linéaire puis combinaison linéaire de ces mécanismes élémentaires pour tendre vers un de ces mécanismes élémentaires pour tendre vers un mécanisme combiné qui est le mécanisme de ruine mécanisme combiné qui est le mécanisme de ruine réelréel

Dans chaque approche, Dans chaque approche, tester le mécanisme tester le mécanisme identifiéidentifié pour voir s’il s’agit bien du mécanisme pour voir s’il s’agit bien du mécanisme de ruine réelde ruine réel

Méthode cinématiqueMéthode cinématiqueRecherche de tous les mécanismes possiblesRecherche de tous les mécanismes possibles Déterminer le Déterminer le degré d’hyperstaticité degré d’hyperstaticité hh Déterminer leDéterminer le nombre de rotules plastiques requis nombre de rotules plastiques requis pour pour

former un mécanisme :former un mécanisme : h + 1 h + 1 Déterminer le Déterminer le nombre de sections potentiellement nombre de sections potentiellement

critiquescritiques s s Déterminer le Déterminer le nombre de mécanismes possiblesnombre de mécanismes possibles

Identifier les divers mécanismes possiblesIdentifier les divers mécanismes possibles Déterminer successivement les valeurs des Déterminer successivement les valeurs des

multiplicateurs cinématiquesmultiplicateurs cinématiques l,il,i Selectionner le Selectionner le mécanisme de ruine réelmécanisme de ruine réel comme étant comme étant

le mécanisme caractérisé parle mécanisme caractérisé par minmin((l,il,i))

!)h(s)!h(!sC h

s 111

Méthode cinématiqueMéthode cinématiqueRecherche de tous les mécanismes possiblesRecherche de tous les mécanismes possibles Le nombre total Le nombre total CCss

h+1h+1 de mécanismes possibles de mécanismes possibles comprend notamment les mécanismes de ruine comprend notamment les mécanismes de ruine partielle, qui sont simplement des mécanismes à (partielle, qui sont simplement des mécanismes à (hh+1) +1) rotules dont certaines ne tournent pasrotules dont certaines ne tournent pas

Lorsque le nombre Lorsque le nombre CCssh+1h+1 est faible, la méthode est est faible, la méthode est

envisageable et assure pratiquement de trouver le envisageable et assure pratiquement de trouver le mécanisme de ruine réelmécanisme de ruine réel

Si ce nombre Si ce nombre CCssh+1h+1 est élevé, le travail de est élevé, le travail de

caractérisation de tous les mécanismes possibles est caractérisation de tous les mécanismes possibles est fastidieux; on recourt alors de préférence à la fastidieux; on recourt alors de préférence à la deuxième approche (combinaison linéaire de deuxième approche (combinaison linéaire de mécanismes simples linéairement indépendants)mécanismes simples linéairement indépendants)

Exemple 1Poutre bi-encastrée chargée au tiers de la portée

L/3 2L/3L

Degré d’hyperstaticité:h = 2Nombre de rotules requis : h + 1 = 3

Nombre de sections potentiellement critiques : s = 3

Nombre de mécanismesCCss

h+1h+1 = = 11

-Mp-Mp

+Mp

+P L/3 Mp+Mp/PL

+l

?OK

Exemple 2Poutre continue à 2 travées égales et symétriquement chargée par forces concentrées

L L h = 1

Nbre de rotules: h + 1 = 2

Nbr sect. pot. crit. : s = 3

Nbre mécan. : CCssh+1h+1 = = 33

Rotule plastique nécessaire en Rotule plastique nécessaire en C parce que moment max C parce que moment max

Rotules plastiques en C et DRotules plastiques en C et D

++PPLL = = MMpp [( [(/(1-/(1-)+)+/(1-/(1-)])]

d’oùd’où

++ = ( = (MMpp / /PLPL)*(1+)*(1+)/[)/[(1-(1-)])]

1

1

L L

A BCD E

+MP

-MP

+MP

++ = = ll ? ? OK

Exemple 2Poutre continue à 2 travées égales et symétriquement chargée par forces concentrées

Rotules plastiques en C et ERotules plastiques en C et E

même solution par symétrie:même solution par symétrie:

++ = ( = (MMpp / /PLPL)*(1+)*(1+)/[)/[(1-(1-)])]

1

1

L L

L L

A BCD E

Rotules plastiques en D et ERotules plastiques en D et E

++PPLL((’) = ’) =

MMpp [( [(/(1-/(1-)+)+/(1-/(1-)] )] + + MMpp [( [(’/(1-’/(1-)+)+’/(1-’/(1-’)]’)]

d’où, à nouveau: d’où, à nouveau: ++ = ( = (MMpp / /PLPL)*(1+)*(1+)/[)/[(1-(1-)])]

+MP

-MP

+MP

’

Exemple 2Portique rectangulaire simple encastré aux pieds

PP3

1

2 4

5

L

H

3

1

2 4

5

Mp

Mp

h = 3

Nbre de rotules nécess. : h + 1 = 4

Nbre sect. potent. crit. : s = 5

Nbre de mécan. poss. : CCssh+1h+1= 5= 5

Rotules en 1-2-3-4

+1234 PL/2=4Mp

d’où :

+1234 =8Mp/PL

+2345 =8Mp/PL

Rotules en 2-3-4-5

Mécanisme de poutre


PP3

1

2 4

5

L

H

3

1

2 4

5

Mp

Mp

Rotules en 1-2-4-5

+1245 PH=4Mp

d’où:

+1245 =4Mp/PH

Mécanisme de panneau


PP3

1

2 4

5

L

H

3

1

2 4

5

Mp

Mp

Rotules en 1-3-4-5

+1345 (PHPL=6Mp

d’où:

+1345 =[12Mp/PL ] /(1 + 2H/L]

Mécanisme combiné


PP3

1

2 4

5

L

H

3

1

2 4

5

Mp

Mp

Rotules en 1-2-3-5

+1235, droite (PHPL=6Mpd’où:

+1235,droite =[12Mp/PL ] /(-1 + 2H/L]

+1235, gauche (-PHPL=6Mpd’où:

+1235,gauche =[12Mp/PL ] /(1 - 2H/L]

Mécanisme combiné

Vers droite


+1234 = +

2345 =8Mp/PL 8Mp/PL

+1245 =4Mp/PH

+1345 =[12Mp/PL ] /(1 + 2H/L]

+1235,droite =[12Mp/PL ] /(-1 + 2H/L]

+1235,gauche =[12Mp/PL ] /(1 - 2H/L]

Toujours plus grand

que+

1345

Donc jamais

déterminant


+1234 PL/Mp= +

2345 PL/Mp = 8

+1245 PL/Mp =4L/H

+1345 PL/Mp =12 /(1 + 2H/L]

+PL/Mp

4

8

12

1 2 3 4 5L/H

6

2

Tester le résultat


3

1

2 4

5

Rotules en 1-3-4-5

Pour L/H = 2, on teste :+

1345 =6Mp/PL

Mécanisme combiné

-Mp

+Mp

-Mp

+Mp

?

M2

M3 = + Mp

M4= - Mp

P

-M2 +M 3 2 –M4 = P (L/2)

-M2 +2Mp +Mp = 3Mp M2 = 0

Diagramme des M plastiquement amissible

donc OK

Utilisation du centre instané de Utilisation du centre instané de rotationrotation

Détermination des mouvements relatifs des Détermination des mouvements relatifs des diverses parties rigides pas toujours évidentes diverses parties rigides pas toujours évidentes (en particulier si barres non orthogonales)(en particulier si barres non orthogonales)

Systématisation à l’aide du concept de centre Systématisation à l’aide du concept de centre instantané de rotation (C.I.)instantané de rotation (C.I.)

Si deux points d’une pièce rigide subissent des Si deux points d’une pièce rigide subissent des déplacements très petits orientés selon deux déplacements très petits orientés selon deux directions directions ddAA et et ddBB, le C.I. de la pièce se trouve à , le C.I. de la pièce se trouve à l’intersection des normales en A et B aux l’intersection des normales en A et B aux directions directions ddAA et et ddBB

Détermination du centre instantané Détermination du centre instantané de rotationde rotation

A B

C.I.

1

23

4

56

7

3P3P

P

L L L L

4L

L

L/2

h = 1 donc 2 rotules

L/4

L

L 3L

4L

L

44

4

3434

C.I

Utilisation du centre instantané de rotation

Mécanismes simples indépendantsMécanismes simples indépendants

Mécanisme de Mécanisme de poutre poutre (déjà évoqué)(déjà évoqué) Mécanisme de Mécanisme de panneaupanneau (déjà évoqué) (déjà évoqué) Mécanisme de Mécanisme de noeudnoeud

Mécanisme de nœud (1)Mécanisme de nœud (1)

h = 3

Donc 4 rotules

dd CMp

Mp Mp

C

L

H

d/(L-d)

d/(H-d)

L/(L-d)H/(H-d)

+ = Mp [2+2d/(H-d)+2d/(L-d)]/C

+ minimum si d0 donc + = 2Mp/C

Mécanisme de nœud (2)Mécanisme de nœud (2)

+ = (Mp + M’p + M’’p)/C

C

Mp M’p

M’pM’’pMp

Méthode cinématique par combinaison Méthode cinématique par combinaison de mécanismes simples indépendantsde mécanismes simples indépendants

Méthode Méthode plus directeplus directe que celle consistant à que celle consistant à rechercher tous les mécanismes possiblesrechercher tous les mécanismes possibles

Méthode cinématique par combinaison Méthode cinématique par combinaison de mécanismes simples indépendantsde mécanismes simples indépendants Principes:Principes:

• Identifier tous les mécanismes simples et les Identifier tous les mécanismes simples et les caractériser par leur caractériser par leur ++

ii

• Combiner 2 ou plus de ces mécanismes afin Combiner 2 ou plus de ces mécanismes afin d’obtenir un mécanisme combiné caractérisé d’obtenir un mécanisme combiné caractérisé par un par un ++ inférieur à ceux caractérisant les inférieur à ceux caractérisant les mécanismes simples utilisésmécanismes simples utilisés

• Procéder ainsi successivement jusqu’à ne plus Procéder ainsi successivement jusqu’à ne plus pouvoir améliorer la solutionpouvoir améliorer la solution

• Tester le mécanisme obtenu pour s’assurer s’il Tester le mécanisme obtenu pour s’assurer s’il s’agit bien du mécanisme de ruines’agit bien du mécanisme de ruine

Méthode cinématique par combinaison Méthode cinématique par combinaison de mécanismes simples indépendantsde mécanismes simples indépendants Nombre de mécanismes simplesNombre de mécanismes simples

• Connaissance des Connaissance des MM dans les dans les ss sections sections potentiellement critques permet de déterminer potentiellement critques permet de déterminer complètement le diagramme des complètement le diagramme des MM

• Si Si hh est le degré d’hyperstaticité, ces est le degré d’hyperstaticité, ces ss moments moments sont reliés entre eux par des équations sont reliés entre eux par des équations d’équilibre linéairement indépendantes en d’équilibre linéairement indépendantes en nombre nombre e = s – he = s – h

• Toute autre équation d’équilibre entre Toute autre équation d’équilibre entre MM dans dans diverses sections ne sait être qu’une diverses sections ne sait être qu’une combinaison linéaire de ces (combinaison linéaire de ces (s-hs-h) équations ) équations

Méthode cinématique par combinaison Méthode cinématique par combinaison de mécanismes simples indépendantsde mécanismes simples indépendants Nombre de mécanismes simples (suite)Nombre de mécanismes simples (suite)

• Toute équation d’équilibre entre Toute équation d’équilibre entre MM dans diverses dans diverses sections peut s’obtenir par application du sections peut s’obtenir par application du théorème des travaux virtuels à un état virtuel de théorème des travaux virtuels à un état virtuel de déplacements, lui-même associé au mécanisme déplacements, lui-même associé au mécanisme que l’on obtiendrait en plaçant des rotules dans que l’on obtiendrait en plaçant des rotules dans les sections considéréesles sections considérées

• Correspondance univoque entre une équation Correspondance univoque entre une équation d’équilibre et un mécanisme de ruine possibled’équilibre et un mécanisme de ruine possible

• Donc Donc e = m = (s – h)e = m = (s – h) mécanismes indépendants mécanismes indépendants parmi les parmi les CCss

h+1 h+1 mécanismes possiblesmécanismes possibles

Méthode cinématique par combinaison Méthode cinématique par combinaison de mécanismes simples indépendantsde mécanismes simples indépendants Règles généralesRègles générales

− ++ = = MMpj pj j j / / ppi i ii

− Lors d’une combinaison, éliminer une rotule Lors d’une combinaison, éliminer une rotule commune aux mécanismes combinés dans commune aux mécanismes combinés dans l’espoir d’éventuellement réduire le l’espoir d’éventuellement réduire le ++

− A cette fin, on peut faire tourner un nœud à 3 A cette fin, on peut faire tourner un nœud à 3 barres pour réduire le travail intérieur à ce nœudbarres pour réduire le travail intérieur à ce nœud

− Si charge répartie, situer la rotule à mi-longueur Si charge répartie, situer la rotule à mi-longueur sous la charge, quitte à rechercher la position sous la charge, quitte à rechercher la position réelle ultérieurement et de manière plus précise réelle ultérieurement et de manière plus précise

Exemple 1Portique rectangulaire simple encastré aux pieds (1)

PP

L

L/2

3

1

2 4

5

Mp

Mp

h = 3

s = 5

m = s – h = 5 - 3 = 2

3

1

2 4

5


3

1

2 4

5


Exemple 1Portique rectangulaire simple encastré aux pieds (2)

3

1

2 4

5


3

1

2 4

5


1 2 3 4 5 Mécanisme Mp Mp Mp Mp Mp

Te/

PL D/Mp PL/Mp

Poutre -1 +2 -1 0,5 4 8 Panneau -1 +1 -1 1 0,5 4 8 Poutre + Panneau

-1 +2 -2 1 1 6 6

Exemple 2Portique rectangulaire double encastré aux pieds (1)

h = 6

s = 10

Nbre de mécanismes possibles : Csh+1= 120

Nbre de mécanismes simples : m = s – h = 10 - 6 = 4

2PP

2L

2L

3

1

2

4

5

MpMp

2L

8

10

7

9

6

2Mp

Mp

2Mp

Résultante 4P

2PP

2L

2L

3

1

2

4

5

MpMp

2L

8

10

7

9

6

2Mp

Mp

2Mp

Résultante 4P

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Te/+PL D/Mp +PL/Mp Mécanisme Mp Mp 2Mp 2Mp Mp 2Mp 2Mp Mp Mp Mp

1-Poutre G -1 +2 -1 2 7 3,5


Gauche

2PP

2L

2L

3

1

2

4

5

MpMp

2L

8

10

7

9

6

2Mp

Mp

2Mp

Résultante 4P


1-Poutre G -1 +2 -1 2 7 3,5 2-Poutre D -1 +2 -1 2 7 3,5


Droite

2PP

2L

2L

3

1

2

4

5

MpMp

2L

8

10

7

9

6

2Mp

Mp

2Mp

Résultante 4P


1-Poutre G -1 +2 -1 2 7 3,5 2-Poutre D -1 +2 -1 2 7 3,5 3-Panneau -1 1 +1 -1 +1 -1 2 6 3



1-Poutre G -1 +2 -1 2 7 3,5 2-Poutre D -1 +2 -1 2 7 3,5 3-Panneau -1 1 +1 -1 +1 -1 2 6 3 4-Noeud +1 +1 -1 0 5

Mécanisme de noeud2PP

2L

2L

3

1

2

4

5

MpMp

2L

8

10

7

9

6

2Mp

Mp

2Mp

Résultante 4P


1-Poutre G -1 +2 -1 2 7 3,5 2-Poutre D -1 +2 -1 2 7 3,5 3-Panneau -1 1 +1 -1 +1 -1 2 6 3 4-Noeud +1 +1 -1 0 5 5 = 1+3 -1 +2 -1 +1 -1 +1 -1 4 11 2,75



6 = 5+2-4 -1 +2 -2 +2 -2 +1 -1 6 17 2,83 Optimisation sur position de la rotule sous charge répartie

ne modifie pas significatvement le résultat

Mécanisme testé

2PP

2L

2L

3

1

2

4

5

MpMp

2L

8

10

7

9

6

2Mp

Mp

2Mp

Résultante 4P

M1 = - Mp M3 = + 2Mp M4 = - 2Mp M5 = + Mp

M8 = - Mp M9 = + Mp M10 = - Mp

Reste à déterminer :M2, M6, M7



6 = 5+2-4 -1 +2 -2 +2 -2 +1 -1 6 17 2,83

(1) -M2 + 2M3 - M4 = 2 PL

- M2 + 4Mp + 2Mp 5,5Mp

(4) M4 + M5 – M6 = =0

-2Mp +Mp - M6 =0

(2) - M6 + 2M7 – M8 = 2 PL

- M6 + 2M7 + Mp = 5,5Mp

Solution

M2 = 0,5 Mp

M6 = - Mp

M7 = 1,75 Mp

1

2

4

5

MpMp

8

10

7

9

6

2Mp

Mp

2Mp

Diagramme est plastiquement admissible

Mécanisme de ruine confirmé

METHODE STATIQUEMETHODE STATIQUE

Pour mémoire (non vue dans ce cours)

FACTEURS AFFECTANT FACTEURS AFFECTANT LA RESISTANCE ULTIME EN LA RESISTANCE ULTIME EN

SECTIONSECTION

Le problèmeLe problème

Concept de rotule plastique :Concept de rotule plastique : MMpp = = ZfZfyy

En réalité, barres d’ossature En réalité, barres d’ossature soumises à soumises à M, NM, N et et VV

Quid de l'influence de Quid de l'influence de NN et et VV sur la sur la résistance en flexion ?résistance en flexion ?

Effets de l’effort normal (1)Effets de l’effort normal (1)

Effort normal excentré = Effort axial Effort normal excentré = Effort axial + Flexion+ Flexion

Sous N excentré croissant, divers Sous N excentré croissant, divers stades de comportementstades de comportement


e

fy fyc

fy

fy

fy

fy

fy

Courbure infinie


= +

fy

fy

-

+

d

d

h/2

h/2

N MM = Mp – Mp,d = ( Z – Zd ) fy

Mp = Z fy

N = Ad fy

m = M/Mp = 1- (Zd /Z ) n = N/Np = Ad /A

Np = A fy

Effets de l’effort normal (4)Effets de l’effort normal (4)Section rectangulaireSection rectangulaire

m = 1- (Zd /Z ) = 1-(4d²/h²) n = Ad /A = 2d/h

h2d

b

Z = bh²/4

A = bh

Zd = bd²

Ad = 2bd

m = 1 – n²

n

m1

1

Effets de l’effort normal (5)Effets de l’effort normal (5)Section en double téSection en double té

h ha

bt

a

Distinguer flexion d’axe fort et flexion d’axe faible

Expression de la relation m=f(n) différente selon la position de l’axe neutre plastique (traversant la semelle or l’âme)

n

m1

1 Axe faible

Axe fortM + N

A.N.P.

Effets de l’effort normal (6)Effets de l’effort normal (6)Section en double té - PratiqueSection en double té - Pratique

Flexion d’axe fort Flexion d’axe faible

m

n

1

1

m

n

1

1

c2c

m = (1-n)/(1-c) m = 1- [(n-2c)/(1-2c)]²

m = 1 m = 1

c =Aa/2A

c 0,18 pour profilés en Ic 0,10 pour profilés en H

Effets de l’effort tranchantEffets de l’effort tranchant• En théorie, problème complexe et solution peu

convaincante

• En pratique, préférence donnée à une solution empirique, inspirée de résultats d’essais

– Profilés laminés fléchis autour de l’axe fort : moment résistant admis non affecté par l’effort tranchant tant que V Vpl (résistance de l’âme seule)

– Profilés symétriques obtenus par soudage : moment résistant admis non affecté par l’effort tranchant tant que V Vpl /3

Selon l’Eurocode 3, pas d’influence de l’effort de cisaillement tant que:

V 0,5Vpl

mecanique des structures 2

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