mécanique , td n mécanique en référentiel non galiléen ·...

lments de corrig Mcanique , TD n4 2010 2011
Mcanique en rfrentiel non galilen
Exercice 11. (a)
Dans RV , le cheval a un mouvement de translation vertical .
Dans RH le cheval a un mouvement circulaire superpos un mouvement doscillations verticales .
1. (b) Reprsentons la situation par rapport RH et par rapport RV .
y
x
H2 dV
dV V
~u
~ur
y
xH
2 dV
dV
V
~u
~ur
Nous voyons alors immdiatement que H a une
trajectoire circulaire .
2. (a) Dans RH , V parcourt un cercle de rayon dV soit la distance
2 dV .
2. (b) Dans RV , H parcourt un cercle de rayon 2 dV soit la distance
4 dV .
K Remarque : si la voiture semble parcourir une ditance 2 dV pour lobservateur, ce dernier semble enparcourir deux fois plus pour la voiture !
Exercice 2Analyse physique : commenons par faire un schma de la situation dans le rfrentiel li la demi-sphre ce rfrentiel est non galilen et nous pouvons voir que la trajectoire y est circulaire, libre mais non
conservative ( cause de la force dinertie) grandeurs pertinentes : m (inertie), R (gomtrie), g (action distance), a0 (effet inertiel
O
M
~ur
~u
~a0
Analyse technique : puisquil sagit dun mouvement circulaire dans ce rfrentiel, les coordonnes cylindro-polaires
simposent. ici comme nous cherchons une condition de contact, le PFD simpose pour trouver RN .Commenons par faire lhypothse que le palet reste sur la demi-sphre.La masse est soumise 3 forces :
Matthieu Rigaut Mcanique en rfrentiel non galilen 1 / 12
force distance : le poids ~P = m~g = mg ( cos ~ur + sin ~u) force de contact : la raction du support ~RN = RN ~usortant = RN ~ur force dinertie dentranement : ~fie = m~a0 = ma0 ( sin ~ur cos ~u)Le PFD appliqu au palet scrit, dans le rfrentiel non galilen li la demi-sphre et projet
sur ~ur et ~u :
m~a(t) = m~g + ~RN + ~fie
mR 2 = RN mg cos +ma0 sin ()mR = mg sin +ma0 cos ()
La projection sur ~ur nous fournit une expression de RN mais en fonction de 2 ce qui nest pas la
panac. Il faut donc trouver une expression de 2 en fonction de , ce qui revient soit trouver une vitesseau carr en fonction dune position (ce qui fait penser un TEM), soit trouver la primitive de lquation
() (ce que nous pourrions faire en multipliant au pralable par et en faisant attention aux conditionsinitiales)
Le thorme de la puissance mcanique scrit :dEmdt
= Pie, soit, comme ~fie = m~a0 et avec~v = R ~u :
d
dt
(m
2R2 2 +mgR cos
)= ma0R cos ( )
Intgrons ( ) :(m
2R2 2 +mgR cos
)mgR = ma0R sin R 2 = 2 g (1 cos ) + 2 a0 sin
Cette dernire expression permet de dterminer RN en la remplaant dans () :RN = mg (3 cos 2
3 a0g
sin )
y
x
1
3
23
1sin r
pentea0g
Langle de rupture est donc langle pour lequel RN = 0 soit langle r solution de lquation
0 = 3 cos 2 3a0g
sin (")(") scrit : cos 2
3=
a0g
sin soit1 sin2 2
3=
a0g
sin ($).Ainsi en traant les deux courbes y1(x) =
1 x2 2
3et y2(x) =
a0gx et en posant x = sin
labscisse de leur point dintersection est solution de lquation ($). Nous pouvons vrifier le rsultatintuitif : plus a0 est grand, plus langle de rupture est petit.

Exercice 31. Cette premire relation est uniquement technique, elle na pour utilit que de pouvoir faire la suite.Il faut donc travailler au corps les lois imposes : la relation y = f (x) et v = Cte.
y(O1) = y = f (x) vy =dy
dt=
df
dt=
dx
dt
df
dx= vx f
(x)
En utilisant la mme mthode : ay = ax f (x)+ vx2 f (x).En utilisant le fait que le mouvement est uniforme nous avons :
vx2 + vy
2 = v2 = Cte v = vy
1 + 1/f 2
Nous avons aussi :
d
dt(vx
2 + vy2) = 0 = 2 vx ax + 2 vy ay vx ax + vy ay = 0
Remplaons vy et ax dans lquation prcdente et aprs simplification, nous obtenons bien lersultat propos.2. Les seules forces agissant suivant la verticale sont le poids, la raction du sige ~R, la forcedinertie dentranement. Le PFD dans R1 scrit donc, en projection du (O1y1) et en noubliantaps que A est immobile :
m y(t) = mg +Ry mv2 f
(1 + f 2)2= 0
Ry = mg +m
v2f
(1 + f 2)2
3. Lorsque le vhicule est immobile, nous avons v = 0 et aussitt
Ry = P .
Dans le cas dune bosse, f < 0 et donc en norme le poids apparent est infrieur au poids rel.Dans le cas dun creux f > 0, |Ry| > mg soit un poids apparent suprieur au poids rel.
4. En cherchant lquation de la parabole sous la forme y = a x2 + b x + c et avec les trois points(0,h) ; (,0) et (,0), nous trouvons y = h (1 x2/2).
Il y aura impesanteur en S si Ty = 0 soit g +v2 f
(1 + f 2)2= 0.
En calculant f (0) = 0 et f (0) = 2 h2
nous trouvons quil y aura impesanteur pour
v =
g
2 h.
Exercice 4Il sagit essentiellement dun exercice technique puisque les mthodes et les calculs quil y a faire
sont dcrits dans lnonc.1. Dans le rfrentiel li au point dattache de la tige, le mouvement de M est circulaire, comme toutbon pendule qui se respecte. Nous utiliserons donc le paramtrage cylindro-polaire.
Le mouvement de la masse M est tudi dans le rfrentiel non galilen en translation par rapport R de centre A.
Les forces qui agissent sur M sont donc le poids ~P , la tension ~T de la tige, et la force dinertiedentranement m~ae.
En projetant le PFD sur ~u, nous obtenons :
m (t) = mg sin (t) +mh2 cos ( t) sin (t)
(t)+ 02 (1 + cos ( t)) sin (t) = 0
2. (a) Lquation scrit : (t)+ 02(t) = 02 cos ( t).
En multipliant par (t) et en remarquant que (t) (t) =1
2
d2(t)
dtet (t) (t) =
1
2
d2(t)
dt, nous
obtenons bien le rsultat propos.2. (b) Nous avons (t) = A(t) cos (0 t + ) et donc en drivant (t) = A(t)0 sin (0 t + ) carnous pouvons ngliger le terme A(t) cos (0 t+ ) tant donn que lnonc prcise bien que A(t) varielentement.
Dans ces conditions, 2 + 02 2 = 02A2 et ainsi :
02 cos( t) = +03 A2 cos (0 t+ ) sin (0 t+ ) cos (t) =1
20
3A2 sin (20 t+ 2) cos ( t)
Ce qui est bien le rsultat aprs avoir divis par 02A2.2. (c) Nous avons :
1
A2dA2
dt
=
0
2
sin[(20 + ) t+ 2] + sin[(20 ) t+ 2]
=0
2
sin[(20 + ) t+ 2]
+
0
2
sin[(20 ) t+ 2]
Le premier des deux termes est nulle car la pulsation est non nulle. En revanche, le deuximeterme a une valeur moyenne non nulle, pourvu que = 20. Dans ces conditions :
1
A2dA2
dt
=
0
2sin 2
Nous constatons donc quavec bien choisi,dA2
dt> 0 soit |A| augmente, et donc lamplitude
augmente.K Remarque : laugmentation des amplitudes dpend fortement de , ie. il faut que les conditions
initiales soit bien choisies. En pratique, cest plutt lexcitation qui est adapte la main pourobserver une rsonance.
Exercice 51. Ici nous avons le choix entre deux rfrentiels en mouvement par rapport la route. Les deux sontnaturellement centrs sur C mais lun est en simple translation alors que lautre tourne en plus par rapport la route. Dans le second, le mouvement de M est extrmement simple puiquil est immobile ! En revanchele rfrentiel nest ni en translation pure ni en rotation pure, ce qui risque de compliquer lexpression deslois de composition. Cest pourquoi nous prfrerons le premier rfrentiel et ce dautant plus que lemouvement de M y est quand mme simple : cest une rotation de rayon b.
Notons R le rfrentiel li la route et R celui centr sur la roue et en translation par rapport la route. Dans ces conditions R est en translation rectiligne par rapport R la vitesse ~v|R(C)
not
= ~vC .Comme cette vitesse ~vC nest, a priori, pas constante, la translation nest pas uniforme et donc Rnest pas galilen.
K Remarque : le fait que R soit non galilen nest absolument pas important pour les lois de composition.a le serait pour dventuelles lois physiques mais ici nous ne nous intressons pas au mouvement,aux forces, . . .
Nous avons alors, puisque M a un mouvement circulaire :

~v|R(M)not
= ~v = b ~u et veca|R(M)not
= ~a = b ~ur + b ~u
Le fait que la roue ne glisse pas sur la route implique une relation dite condition de nonglissement et qui sexprime sous la forme : vC = R .
Comme ~ve = ~vC , la loi de composition des vitesses scrit :
~vR(M) = ~ve + ~v
~v|R = vC ~ux + b
vCR
~u
La loi de composition des vitesses scrit ~aR= ~ae + ~ac + ~a
Avec ~ae = ~a|R(C) =d~v|R(C)
dtnot
= ~aC et ~ac = ~0 car R est en translation par rapport R, nous
arrivons
~a|R(M) =
dvCdt
~ux b(vCR
)2~ur +
b
R
dvCdt
~u .
2. Comme la norme dun vecteur est indpendante de la base grce laquelle nous la calculons,nous pouvons choisir la base demandant le moins de calculs.
Il est important ici de ne pas confondre base de projection et rfrentiel. Nous pouvons crire aussibien ~v
R(M) et ~vR(M) qui sont des vecteurs fondamentalement diffrent dans avec les vecteurs (~ux,~uy),
(~ur,~u) ou, sils taient diffrents

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