mathÉmatiques · utilisez des copies doubles grand format (pour y insérer par la suite...

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Cours Pi – Etablissement privé hors contrat d’enseignement à distance SARL au capital de 17 531,86 euros - RCS PARIS B 391 712 122 - APE 8559B

siège social et centre d’expédition : 11-13 rue de l’Épée de Bois, 75 005 Paris – tél. : 01 42 22 39 46 bureaux et accueil du public : 6 rue Saint Denis, 34 000 Montpellier – tél. : 04 67 34 03 00

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MATHÉMATIQUES

2nde

1er trimestre

v.2.5 programme 2008

édition 2015

__________

© Cours Pi

Ce Cours est divisé en 6 Unités dont le sommaire est donné en début de fascicule. Chaque Unité comprend :

le Cours, des exercices d’application et d’entraînement, les corrigés-types de ces exercices, des devoirs soumis à correction (et se trouvant hors fascicule). Votre professeur vous

renverra le corrigé-type de chaque devoir après correction de ce dernier.

Pour une manipulation plus facile, les corrigés-types des exercices d’application et d’entraînement sont regroupés en fin de fascicule et imprimés sur papier de couleur.

Vous disposez d’un support de Cours complet : prenez le temps de bien le lire, de le comprendre mais surtout de l’assimiler. Vous disposez pour cela d’exemples donnés dans le cours et d’« exercices types » corrigés. Vous pouvez rester un peu plus longtemps sur une unité mais travaillez régulièrement.

Conventions de lecture du cours

o Les encadrés droits correspondent à des définitions ou à des résultats importants qu’il faut connaître. Par exemple :

Une fonction numérique f permet d’associer à tout élément x d’un ensemble Df

L’auteur

Présentation

Sylvie Lamy Agrégée de Mathématiques

Diplômée de l’École Polytechnique

Conseils à l’élève

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© Cours Pi

o Les encadrés arrondis correspondent à des conseils méthodologiques. Par exemple :

Certains paragraphes sont précédés du signe . Ces paragraphes abordent des notions mathématiques transversales (comme les ensembles, la logique, l’algorithmique) utiles pour l’ensemble de la scolarité au Lycée.

Bon courage !

Vous devez posséder :

• une calculatrice graphique pour l’enseignement scientifique au Lycée (de type CASIO GRAPH 25+ ou CASIO GRAPH 35+). Il faudra apprendre à vous en servir (mais à bon escient, comme il sera rappelé plus bas).

• un tableur comme Excel de Microsoft (payant) ou Calc d’Open Office (gratuit et à télécharger sur http://fr.openoffice.org/). En effet, certains exercices seront faits de préférence en utilisant un de ces logiciels, mais vous pourrez également utiliser la calculatrice).

Les devoirs constituent le moyen d’évaluer l’acquisition de vos savoirs (Ai-je assimilé les notions correspondantes ?) et de vos savoir-faire (Est-ce que je sais expliquer, justifier, conclure ?). Pour cette raison :

N’appelez pas votre professeur si vous ne savez pas faire un exercice !

Cela peut arriver, comme tout élève en classe ! Mais si, après avoir reçu la correction, un exercice continue à vous poser problème, n’hésitez pas à le faire !

Même si vous avez obtenu une bonne note, lisez attentivement les remarques du professeur et le corrigé (la correction peut éventuellement proposer une autre méthode que celle que vous avez utilisée).

Il est vivement recommandé d’attendre le retour des devoirs antérieurs avant de faire le suivant : cela vous permettra d’éviter de faire les mêmes erreurs et de profiter pleinement des remarques qui vous auront été faites.

Méthode On commence par chercher s’il existe un facteur commun (celui-ci doit apparaître…

Les fournitures

Les devoirs

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© Cours Pi

Voici maintenant quelques conseils pour composer vos devoirs… Utilisez des copies doubles grand format (pour y insérer par la suite l’énoncé et le

corrigé). Présentez la copie correctement (nom, prénom, classe, matière, numéro de devoir

doivent figurer sur chaque copie pour éviter toute erreur ou perte). Laissez de l’espace pour le correcteur.

Faites les exercices dans l’ordre. Si une question n’est pas faite, il faut l’indiquer sur la copie. Si la question est faite directement sur l’énoncé, il faut également l’indiquer.

Faites attention à l’orthographe ! Justifiez vos réponses même si l’énoncé ne le précise pas. Soignez vos figures et faites-les les plus quelconques possibles (si on vous demande de

faire un rectangle, ne dessinez pas un carré !). Les figures sont en général là pour vous aider : sauf indication contraire, les mesures prises directement sur l’énoncé ou sur votre copie ne peuvent pas être utilisées comme justification !

Mettez en valeur vos résultats (ce n’est pas au correcteur de chercher où sont les réponses !) et répondez dès que possible aux questions en faisant des phrases complètes. Un lecteur n’ayant pas lu l’énoncé doit pouvoir comprendre votre copie !

Vérifiez la cohérence de vos résultats. Détaillez les calculs (remarque : on ne met pas d’unités dans une ligne d’opération, mais

seulement dans la conclusion !). Un résultat « juste » en Physique-Chimie n’est pas forcément juste en mathématiques !

Évitez par conséquent d’utiliser la calculatrice en mathématiques, lorsque l’opération peut se faire sans son aide. Les résultats doivent être exacts, sauf indication contraire.

Pensez qu’une calculatrice vous donnera toujours une valeur approchée de 13

!

Utilisez correctement les notations mathématiques : une mauvaise notation rend un raisonnement faux !

Cela fait beaucoup de conseils mais cela devrait vite devenir naturel.

Rappelez-vous que la présentation e t la rédaction comptent dans les notes d’examen. Alors, prenez de bonnes habitudes!

Il est important que votre enfant puisse tenir compte des remarques, appréciations et conseils du professeur correcteur. Pour cela, il est très important d’envoyer les devoirs au fur et à mesure et non groupés. C’est ainsi qu’il progressera…

Les Cours Pi Dès qu’un devoir est rédigé, envoyez-le aux Cours Pi :

6 rue Saint-Denis 34000 MONTPELLIER

Vous prendrez soin de joindre : Le texte du devoir. Une grande enveloppe libellée à vos nom et adresse, et affranchie au tarif en vigueur.

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© Cours Pi

Unité 1 : calcul numérique et algébrique 1. Les nombres

A) Les ensembles de nombres B) Conventions d’écriture C) Approximations Vocabulaire et notations des ensembles (I)

2. Droite des réels et intervalles

A) La droite des réels B) Les intervalles C) Intersections et réunions d’intervalles Vocabulaire et notations des ensembles (II)

3. Calcul algébrique

A) Expressions algébriques B) Développement et factorisation

4. Résolution algébrique d’inéquations

C) Notion d’inéquation D) Règles sur les inéquations E) Equations du premier degré F) Equations produits G) Equations quotients Eléments de logique (I)

Devoir n°1 5. Résolution algébrique d’inéquations

A) Notions d’inéquation B) Règles sur les inéquations C) Inéquations du premier degré D) Inéquations produits E) Inéquations quotients

Devoirs n°2 & n°3

Unité 2 : fonctions (I) 1. Généralités sur les fonctions

A) Notion de fonction B) Parité d’une fonction Eléments de logique (II)

2. Etude qualitative d’une fonction

A) Sens de variations B) Extrema d’une fonction C) Tableau de variations

Devoir n°1

3. Résolution graphique d’équations et

d’inéquations A) Résolution graphique et résolution

algébrique B) Résolution graphique d’équations C) Résolution graphique d’inéquations

Devoirs n°2 & n°3

Mathématiques 2ème

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© Cours Pi

Unité 3 : fonctions (II)

1. Fonctions linéaires et affines A) Définitions B) Variations d’une fonction affine C) Représentation graphique

2. Fonction carré, fonctions du second degré A) Fonction carré B) Fonctions polynomiales du second degré

Devoir n°1

3. Fonction inverse, fonctions homographiques A) Fonction inverse B) Fonctions homographiques

4. Fonctions trigonométriques A) Cercle trigonométrique, enroulement de la

droite B) Fonctions cosinus et sinus Algorithmique (I)

Devoirs n°2 & n°3

Unité 4 : repérage dans le plan, équations de droites

1. Géométrie plane A) Droites remarquables du triangle Triangles particuliers Quadrilatères particuliers

2. Repérage dans le plan A) Repères et coordonnées dans le

plan B) Coordonnées du milieu d’un

segment C) Calcul de distance

Devoir n°1

3. Droites et systèmes linéaires A) Equations de droites B) Droites parallèles et sécantes,

systèmes linéaires C) Systèmes linéaires

Devoirs n°2 & n°3

Unité 5 : vecteurs, géométrie dans l’espace

1. Vecteurs A) Notion de vecteur B) Coordonnées d’un vecteur C) Somme de vecteurs, relation de

Chasles D) Produit d’un vecteur par un réel,

colinéarité

Devoir n°1

2. Représentations planes de solides A) Rappels sur les solides usuels B) Patrons C) Perspectives cavalières

3. Droites et plans dans l’espace A) Les axiomes de la géométrie dans

l’espace B) Positions relatives de droites et de

plans C) Propriétés du parallélisme dans

l’espace Géométrie et théorie des ensembles

Devoirs n°2 & n°3

Unité 6 : statistiques et probabilités

1. Analyse d’une série statistique A) Vocabulaire B) Représentation graphique d’une série

statistique C) Indicateurs d’une série statistique Algorithmique (II)

Devoir n°1

2. Probabilités sur un ensemble fini A) Modélisation d’une expérience

aléatoire B) Opérations sur les événements

3. Echantillonnage A) Echantillons et fluctuations

d’échantillonnage B) Intervalles de confiance

Devoirs n°2 & n°3

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Unité 1

© Cours Pi MA – 2 – U1 1

CALCUL NUMÉRIQUE ET ALGÉBRIQUE

1. Les nombres A) LES ENSEMBLES DE NOMBRES

1) L’ensemble des entiers naturels

Les entiers naturels permettent de dénombrer les collections d’objets, c’est-à-dire de compter le nombre d’objets qu’elles contiennent. Ils ne comportent ni signe, ni virgule.

Exemples d’entiers naturels : 0 ; 2 ; 2050…

L’ensemble des entiers naturels se note . Le plus petit entier naturel est 0. Il n’y a pas de plus grand entier naturel : l’ensemble est infini.

2) L’ensemble des entiers relatifs

Les entiers relatifs sont constitués : des entiers naturels (nombres relatifs positifs). On peut les faire précéder du signe +. et de leurs opposés (nombres relatifs négatifs). Ils sont alors précédés du signe −.

Exemples de nombres relatifs : −5 ; −3 ; 0 ;+2 (ou 2) ; +2050 (ou 2050).

L’ensemble des entiers relatifs se note .

0 est le seul nombre à la fois positif et négatif. Le signe + est facultatif. Il n’y a ni plus grand entier relatif, ni plus petit entier relatif.

Tous les entiers naturels sont des entiers relatifs : l’ensemble des entiers naturels est inclus dans l’ensemble des entiers relatifs. On écrit :

⊂ Le symbole ⊂ se lit « inclus dans ». Pour tout entier relatif a, − a est l’opposé de a.

Exemples : −5 est l’opposé de 5 et 5 est l’opposé de −5. 0 est l’opposé de lui-même.

Remarque : ( )a a− − = .


3) L’ensemble des nombres décimaux

Un nombre décimal s’écrit avec une partie entière, et éventuellement une virgule suivie d’une partie décimale finie. Il peut être précédé ou non d’un signe (l’absence de signe équivaut au signe +).

Exemples de nombres décimaux : −5,31 ; −3 ; 0 ; +2,05 (ou 2,05).

L’ensemble des nombres décimaux se note .��

Tous les nombres relatifs sont des nombres décimaux : on a donc :

⊂ ⊂

De manière analogue aux entiers relatifs, tout nombre décimal a possède un opposé, − a.

4) L’ensemble des nombres rationnels

Les nombres rationnels sont les nombres qui peuvent s’écrire sous forme d’un quotient : ab

, où a est un entier relatif et b un entier naturel non nul.

Exemples :

8 6 9 4 502; ; 4 ; 5,025 4 10 1 100−

= − = −mais aussi

Un nombre décimal peut toujours s’écrire sous la forme d’un quotient dont le numérateur est un entier relatif et le dénominateur est une puissance de 10. Tous les nombres décimaux sont des nombres rationnels : on a donc :

⊂ ⊂ ⊂ Un rationnel non décimal a une écriture décimale périodique infinie.

Exemple : 15 1,36363636...11

=

De manière analogue aux entiers relatifs, tout nombre rationnel a possède un opposé, − a.

On définit pour tout rationnel a non nul son inverse par le quotient 1a

également noté 1a− .

Exemples : l’opposé de 1115

est 1115

− . L’inverse de 1115

vaut 1511

.

L’inverse d’un nombre a le même signe que lui !

5) L’ensemble des nombres réels

Tous les nombres sont des nombres réels.

L’ensemble des nombres réels se note .

Les nombres réels non rationnels sont appelés irrationnels.

Exemples : π , 2 ; cos 25° sont irrationnels.


Comme tous les nombres sont des réels, l’ensemble des nombres rationnels est donc inclus dans celui des réels. On a donc :

⊂ ⊂ ⊂ ⊂ Le diagramme ci-dessous représente les différentes inclusions ainsi que des exemples de nombres apparaissant à chaque nouvel ensemble.

B) CONVENTIONS D’ECRITURE

1) Conventions pour les ensembles o L’ensemble de tous les nombres positifs (y compris 0) d’un ensemble se note à l’aide d’un + en haut à droite du symbole de l’ensemble. o L’ensemble de tous les nombres négatifs (y compris 0) d’un ensemble se note à l’aide d’un − en haut à droite du symbole de l’ensemble. o Un ensemble dont on enlève le nombre 0 se note à l’aide d’une * en haut à droite du symbole de l’ensemble.

Exemples : *+ est l’ensemble des réels strictement positifs (0 est exclus).

− est l’ensemble des entiers relatifs négatifs (0 est inclus). * est l’ensemble des entiers naturels non nuls

2) Écriture des nombres

Usages d’écriture des nombres

• Un nombre rationnel doit s’écrire sous sa forme irréductible, c’est-à-dire avec le plus petit dénominateur.

• Les nombres sous les racines carrées doivent être les plus petits possibles. • Quand un nombre réel se présente sous forme de quotient, on évite de garder des

nombres décimaux au numérateur et au dénominateur, et de garder des racines au dénominateur.

0 1021

15

−14

−1

−0,02

2,52 π

5−

23

−

9

11


Ecriture initiale Ecriture correcte Commentaire

1215

45

Fraction non irréductible

12 12 :3 415 15 :3 5

= =

32

4 2

32 16 2 4 2= × =

1,218

115

Fraction avec un décimal au numérateur

1,2 12 12 :12 118 180 180 :12 15

= = =

23

2 33

Fraction avec une racine carrée au dénominateur.

2 2 3 2 333 3 3

×= =

×

21 3−

1 3− −

Fraction avec une racine carrée au dénominateur.

2 2

2 2(1 3) 2(1 3) 2(1 3) 1 321 3 (1 3)(1 3) 1 ( 3)

+ + += = = = − −

−− − + −

C) APPROXIMATIONS

1) Valeurs approchées Une valeur approchée d’un nombre est une valeur qui se rapproche de la valeur exacte avec une certaine précision. Il ne faut pas confondre exact et précis.

Exemple: 𝜋𝜋 ≈3,14 𝜋𝜋 ≈3,14159266 sont 2 approximations de 𝜋𝜋. La seconde approximation est plus précise que la première mais ne représente pas une valeur exacte de 𝜋𝜋. Seule l’écriture avec le symbole 𝜋𝜋 correspond à une valeur exacte !

Une valeur approchée n’a un sens que si on connait sa précision. En mathématiques, le signe « = » n’est employé que lorsque les quantités sont strictement égales. Pour une approximation, on utilise « ≈ ».

En Physique-Chimie on confond généralement valeurs exactes et approximations (on utilise le signe « = » même s’il s’agit de valeurs approchées).

Soit a un nombre. • x est une valeur approchée de a avec la précision a si :

a x aa a− ≤ ≤ +

• x est une valeur approchée de a par défaut avec la précision a si : a x aa− ≤ ≤

• x est une valeur approchée de a par excès avec la précision a si :

a x a a≤ ≤ +


2) Troncature et arrondi

Principe de la troncature : Pour obtenir une troncature à 10 n− près, on tronque l'écriture décimale du nombre après la n-ième décimale, ce qui revient à remplacer par 0 les décimales après cette n-ième décimale.

La troncature est forcément une valeur par défaut. Principe de l’arrondi : Un arrondi à 10 n− près, correspond au nombre qui, écrit avec n décimales, est le plus proche de a. On regarde la n+unième décimale : si cette décimale vaut 0, 1, 2, 3, 4, on prend la valeur par défaut (cela revint à tronquer). Si la décimale vaut 5, 6, 7, 8, 9, on prend la valeur par excès.

Exemples : troncatures et arrondis de π≈3,141592654….

précision troncature arrondi 110− 3,1 3,1 210− 3,14 3,14 310− 3,141 3,142 410− 3,1415 3,1416

VOCABULAIRE ET NOTATIONS DES ENSEMBLES (I)

Un ensemble est une collection d’éléments distincts : un ensemble ne peut pas contenir deux fois le même élément.

Lorsqu’il contient un nombre fini d’éléments, ces éléments se mettent entre des accolades « { } ».

Un ensemble vide ne contient aucun élément. Il se note ∅.

Pour noter qu’un élément fait partie d’un ensemble, on utilise le symbole ∈ qui se lit « appartient à». ∉ est le symbole contraire « n’appartient pas à ».

Exemple : l’ensemble E contient 3 éléments : { }E , ,= a b c E E E∈ ∈ ∈a b c mais E∉d

Un ensemble A est inclus dans un ensemble B si tout élément qui appartient à A appartient également à B. On dit aussi que A est un sous-ensemble de B.

Le symbole d’inclusion est ⊂ qui se lit « inclus dans ». Il relie donc 2 ensembles.

⊄ est le symbole contraire « n’est pas inclus dans ».


Il ne faut pas confondre le symbole ⊂ avec le symbole ∈ . On peut aussi écrire {1}⊃ mais cette notation est peu utilisée.

Exemple : { }A , ,= a b c et { }B , , , ,= a b c d e A B⊂ A est un sous-ensemble de B. Exemple :

1 ∈ (le nombre 1 appartient à l’ensemble )

{1} ⊂ (l’ensemble {1} est inclus dans )

Exercices Exercice 1 Simplifiez l’écriture des nombres suivants :

21 120 93125; ; ; 35 1 45 32 10

a b c d π+

= = = = +−

Exercice 2

1) Réécrire les nombres suivants si nécessaire, puis déterminer à quels ensembles de nombres ils appartiennent :

325 5 21 5 2; 2 10 ; ; ; ;75 0,3 1 4 23 5

a b c d e f πππ

+= = − × = = = =

+−

2) Cocher les expressions correctes et corriger les expressions incorrectes :

{ } { } { }{ } { }

, , , , , ,

a b e a ebe f a b a d

⊂ ⊂ ⊂

⊂ ∈ ⊂

Exercice 3 Une calculatrice donne comme résultat pour 5 : 2,236067977 . Donnez la troncature et l’arrondi de 5 à

2 3 4 510 ,10 ,10 ,10− − − − près. Si la calculatrice donnait une décimale de plus, quels nombres pourrait-elle afficher ?


2. Droite des réels et intervalles A) LA DROITE DES REELS Quelque soit le nombre réel, aussi grand soit-il, il est toujours possible de trouver un nombre plus grand (il suffit de lui ajouter 1). Quelque soit le nombre réel, aussi petit soit-il, il est toujours possible de trouver un nombre plus petit (il suffit de lui retrancher 1). L’ensemble des nombres est donc infini.

L’infini se note avec le symbole ∞.

+∞ représente l’infiniment grand. −∞ représente l’infiniment petit.

ATTENTION : ∞ , +∞ ,−∞ ne sont pas des nombres ! On peut représenter l’ensemble des réels par une droite graduée appelée droite des réels en faisant correspondre à chaque réel x, à un point d’abscisse x.

Droite des réels

− ∞ + ∞ x 0 1

Par convention : on note les infinis comme des directions de la droite graduée. Les nombres positifs sont à droite de 0, les nombres négatifs sont à gauche de 0. B) LES INTERVALLES

1) Définition

Un intervalle de correspond aux abscisses de tous les points d’une portion

continue de la droite des réels :

• Un intervalle borné correspond à un segment,

• Un intervalle non borné correspond à une demi-droite (l’une des bornes est infinie) ou à la droite des réels (les deux bornes sont infinies).

2) Représentation des intervalles Un intervalle peut se représenter de 3 façons :

Par une représentation ensembliste à l’aide des crochets« [ » et « ] » Par inégalités Par une représentation graphique sur la droite des réels.

La notation ensembliste des intervalles s’apparente à celle des segments. On utilise les crochets « [ » et « ] ». Un intervalle I se présente sous l’une des formes suivantes (les valeurs x et y sont toujours ordonnées) :

[ ; ] [ ; [ ] ; ] ] ; [I x y I x y I x y I x y= = = = Une borne est fermée, quand elle est dirigée vers l’intérieur de l’intervalle : la valeur de la borne est comprise dans l’intervalle.


Une borne est ouverte, quand elle est dirigée vers l’extérieur de l’intervalle : la valeur de la borne n’est pas comprise dans l’intervalle. Chaque borne de l’intervalle peut-être fermée ou ouverte. Quand les 2 bornes sont fermées (respectivement ouvertes), l’intervalle est dit fermé (respectivement. ouvert). CAS PARTICULIERS

o Intervalles non bornés : on fait intervenir les symboles d’infini (+∞ ,−∞) comme des nombres : le crochet est toujours ouvert de leur côté (+∞ ou −∞ ne peuvent pas appartenir à l’intervalle, puisqu’on ne les atteint jamais).

] [ [ [ ] ]; 0; ;0+ −= −∞ +∞ = +∞ = −∞

o Intervalle vide : il se note comme l’ensemble vide donc ∅.

o Intervalle ne contenant qu’un seul nombre : l’intervalle [ ; ]a a ne contient que a. On peut utiliser la notation ensembliste : { }[ ; ] =a a a

Exemples :

Intervalle Inégalités Représentation graphique

] [2;5x∈ − 2 5x− < <

− ∞ + ∞ 0

5 −2

[ ]2;5x∈ − 2 5x− ≤ ≤

− ∞ + ∞ 0

5 −2

[ [2;5x∈ − 2 5x− ≤ <

− ∞ + ∞ 0

5 −2

[ [2;x∈ − +∞ 2x ≥ −

− ∞ + ∞ 0

5 −2

C) INTERSECTIONS ET REUNIONS D’INTERVALLES

• L’intersection de deux intervalles représente l’ensemble des nombres qui appartiennent à chacun des deux intervalles.

L’intersection de deux intervalles A et B est un ensemble C qui se note : = ∩C A B

• La réunion de deux intervalles représente l’ensemble des nombres

qui appartiennent au moins à l’un des deux intervalles. La réunion de deux intervalles A et B est un ensemble C qui se note :

= ∪C A B


Exemples :

Intervalle Inégalités Représentation graphique

] ] ] ]

] ]] ]

4;3 0;6

0;3

4;6

A B

A B

A B

= − =

∩ =

∪ = −

0 3x∩

< ≤A B

4 6x∪

− < ≤A B

− ∞ + ∞ 0 6 −4

A B

A∪ B

3

A∩ B

] ] [ ]

{ }] ]

4;3 3;6

3

4;6

= − =

∩ =

∪ = −

A B

A B

A B

3x

∩

=A B

4 6x∪

− < ≤A B

− ∞ + ∞ 0 6 −4

A B

A∪ B

3

A∩ B

] ] [ ]

] ] [ ]

4;3 4;6

4;3 4;6

= − =

∩ =∅

∪ = − ∪

A B

A BA B

∩A BPas de valeur

4 3 4 6x x∪

− < ≤ ≤ ≤A B

ou

− ∞ + ∞ 0 6 −4

A B

3

A∪ B

A∩ B=∅ 4

L’intersection de deux intervalles est aussi un intervalle (qui peut être vide ou réduit à un point). La réunion de deux intervalles n’est pas forcément un intervalle.

VOCABULAIRE ET NOTATIONS DES ENSEMBLES (II)

L’intersection A B∩ de deux ensembles A et B est l’ensemble constitué des éléments appartenant à A et B.

A B∩ se lit « A inter B ».

Exemples : { }A , , , , ,= a b c e f g et { }B , , ,= a c d e

{ }A B , ,∩ = a c e

La réunion A B∪ de deux ensembles A et B est l’ensemble constitué des éléments appartenant à A ou B.

A B∪ se lit « A union B ».

Exemple : { }A , , , , ,= a b c e f g et { }B , , ,= a c d e

{ }A B , , , , , ,∪ = a b c d e f g

La différence B A− de deux ensembles A et B tels que A B⊂ est l’ensemble constitué des éléments appartenant à B mais qui n’appartiennent pas à A. C’est l’ensemble complémentaire de A dans B.

B A− se lit « B moins A».

Exemples : { }A , ,= a b c et { }B , , , ,= a b c d e

{ }B A= ,− d e

{ }* 0= − représente tous les réels sauf 0.


Exercices Exercice 4 Compléter le tableau suivant.

Intervalles Inégalités Représentation graphique

] [4;1−

3x <

− ∞ + ∞ 0 1

???

Exercice 5 Soient deux intervalles : [ [ ] [3;5 1;= − = − +∞A et B . Donner les représentations sous forme d’ensemble, d’inégalités et de représentation graphique de :

∩ ∪etA B A B.

Exercice 6 Complétez le tableau suivant :

Intervalles

Inégalités

[ [ [ ]2;6 0;8∩

[ [ [ ]4;6 0;9− ∪

[ [ [ ]2;6 7;8∩

] [ [ ];5 0;10−∞ ∩

] [ *;1 +−∞ ∩


3. Calcul algébrique

A) EXPRESSIONS ALGEBRIQUES Une expression algébrique est une expression qui fait intervenir des lettres qui remplace des nombres et non uniquement des nombres.

Exemples d’expressions algébriques (elles seront utilisées par la suite) : 2 2 3 35 2 2 5 3 (3 2 )(5 4) ( 4)( 1) 5

5xA x B x y x C D x x E x xx

= − = − + = = − + = + − −−

La valeur numérique d’une expression algébrique est le nombre obtenu en remplaçant les lettres par des nombres donnés.

Exemple : valeur numérique de A pour 2x = 25 2 2 3A = − × = − . Quand pour un nombre donné, l’expression ne peut pas être calculée, ce nombre est appelée valeur interdite de l’expression.

Exemple : pour 5x = , la valeur numérique de C ne peut être calculée (division par 0). 5 est donc une valeur interdite pour C.

Une expression algébrique est une somme quand elle comporte des additions ou des soustractions à l’extérieur des parenthèses. Une somme est formée de termes.

Exemples : A, B et E sont des sommes. A et E comportent 2 termes ; B en comporte 3.

Une expression algébrique est un produit quand elle ne comporte pas d’additions ou de soustractions à l’extérieur des parenthèses. Un produit est formé de facteurs. Quand une expression est un produit, on dit qu’elle est factorisée.

Exemple : D est un produit de deux facteurs. Une expression algébrique est un quotient quand elle s’écrit sous forme d’un quotient de 2 expressions algébriques (le numérateur peut éventuellement être un nombre).

Exemple : C est un quotient.

B) DEVELOPPEMENT ET FACTORISATION

1) Vocabulaire

Développer une expression, c’est l’écrire sous la forme d’une somme. Les termes de la somme ne doivent plus comporter de parenthèses.

Factoriser une expression, c’est l’écrire sous la forme d’un produit de facteurs. La factorisation est l’opération inverse du développement.

Réduire une somme, c’est l’écrire avec le moins de termes possibles : on rassemble les termes de même nature et de même exposant. Ordonner une somme réduite, c’est la présenter en plaçant les termes dans le sens des exposants décroissants de la variable.


2) Règles de distributivité et identités remarquables Les développements et les factorisations s’appuient sur la règle de distributivité de la multiplication sur l’addition.

Développement Factorisation ( )k a b ka kb+ = + ( )ka kb k a b+ = +

( )( )a b c d ac ad bc bd+ + = + + + ( )( )ac ad bc bd a b c d+ + + = + +

Dans certains cas les expressions se simplifient : on obtient les identités remarquables.

Il faut absolument les connaître et apprendre à les reconnaître.

IDENTITES REMARQUABLES

Développement Factorisation 2 2 2( ) 2a b a ab b+ = + +

2 2 22 ( )a ab b a b+ + = + 2 2 2( ) 2a b a ab b− = − +

2 2 22 ( )a ab b a b− + = − 2 2( )( )a b a b a b+ − = −

2 2 ( )( )a b a b a b− = + − Remarque : 2 2a b+ ne se factorise pas !

3) Méthode pour développer

Exemple 1 : développer 2(4 3) ( 2 )(4 ) 2A b a b a= − − + − +

2

2(4 3) ( 2 )(4 ) 2(8 6) (4 8 2 ) 2

A b a b aA b a a b ab= − − + − +

= − − − + − +

On effectue les produits 2(4 3)b − et ( 2 )(4 )a b a+ − en mettant les résultats entre parenthèses.

28 6 4 8 2 2A b a a b ab= − − + − + + On enlève les parenthèses en faisant bien attention quand elle est précédée du signe −.

2

2

8 8 4 2 6 24 2 4

A b b a a abA a a ab= − − + + − +

= − + + − On réduit en rassemblant les termes de même nature

et de même puissance. 2 2 4 4A a ab a= + − − On ordonne : ici suivant les puissances de a

Exemple 2 : développer 2(3 5 ) (3 2 )B x x= − − −

2

2

(3 5 ) (3 2 )(3 5 ) (9 12 4 )

B x xB x x x= − − −

= − − − +

2(3 2 )− x se calcule à l’aide de la deuxième identité remarquable. On effectue ce produit en mettant le résultat entre parenthèses.

23 5 9 12 4B x x x= − − + − On enlève les parenthèses en faisant bien attention aux signes. 2

2

3 9 5 12 46 7 4

B x x xB x x= − − + −

= − + − On réduit en rassemblant les termes de même nature et de

même puissance. 24 7 6B x x= − + − On ordonne : ici suivant les puissances décroissantes de x.

Méthode

• On effectue les produits en mettant les résultats entre parenthèses. • On enlève les parenthèses. • On réduit et on ordonne même lorsque cela n’est pas précisé.


4) Méthode pour factoriser

Exemple 1 : factoriser 2(2 3) (4 3)(2 3)C x x x= − − + −

2(2 3) (4 3)(2 3)(2 3)[2 (4 3)]

C x x xC x x= − − + −= − − +

On remarque que (2 3)x − apparait dans tous les termes de la somme. On ouvre un crochet et on réécrit tous les facteurs restants, dans l’ordre du calcul, en laissant les signes et les parenthèses, puis, on ferme le crochet.

(2 3)[2 4 3](2 3)[ 4 1]

C x xC x x= − − −= − − −

On développe et on réduit l’expression entre les crochets. A ce stade la factorisation n’est forcément pas finie.

(2 3)(4 1)C x x= − − + On peut factoriser 1− dans le second facteur.

Exemple 2 : factoriser 2(2 3) (4 3)(6 4 )D x x x= − − + −

2(2 3) (4 3)(6 4 )2(2 3) 2(4 3)(3 2 )2(2 3) 2(4 3)(2 3)

D x x xD x x xD x x x

= − − + −= − − + −= − + + −

Il n’y a pas de facteur commun immédiatement disponible. Mais on remarque que :

(6 4 ) 2(3 2 ) 2(2 3)x x x− = − = − − , ce qui permet de faire apparaître un facteur commun.

(2 3)[2 2(4 3)](2 3)[2 8 6](2 3)(8 8)8(2 3)( 1)

D x xD x xD x xD x x

= − + += − + += − += − +

On suit ensuite les étapes de l’exemple 1.

Exemple 3 : factoriser 22(2 3) 4 9E x x= − + −

22(2 3) 4 92(2 3) (2 3)(2 3)

E x xE x x x= − + −= − + + −

Il n’y a pas de facteur commun immédiatement disponible. Mais on remarque une identité remarquable :

24 9 (2 3)(2 3)− = − +x x x ce qui permet de faire apparaître un facteur commun.

2(2 3) (2 3)(2 3)(2 3)[2 (2 3)](2 3)(2 5)

E x x xE x xE x x

= − + + −= − + += − +

On suit ensuite les étapes de l’exemple 1.

Exemple 4 : factoriser 2(2 3) 24F x x= − +

2

2

2

(2 3) 24(4 12 9) 244 12 9

F x xF x x xF x x

= − +

= − + −

= + +

Il n’y a pas de facteur commun immédiatement disponible, ou qui peut facilement apparaitre. On essaie de développer.

2(2 3)F x= + On reconnait l’identité remarquable 2 2 22 ( )a ab b a b+ + = + .

Méthode

• On commence par chercher s’il existe un facteur commun (celui-ci doit apparaître dans tous les termes de la somme.

• Les facteurs communs sont parfois masqués ! On effectue alors des transformations en espérant en faire apparaître.

• On met les facteurs communs devant et on applique la règle de factorisation. • Dans une factorisation, on réduit chaque facteur même lorsque cela n’est pas

précisé. • A ce stade la factorisation n’est pas forcément finie. Certains facteurs peuvent

parfois être à leur tour factorisés.


Exercices Exercice 7

Calculer quand c’est possible les valeurs des expressions pour 31; 0 ; 2;2

x x x x= − = = = −

22 3 2 3 2( ) 2 3 6 ( ) 3 5 2 ( )

2xA x x x B x x x x C x

x−

= − + = − − + =−

Exercice 8 Développer les expressions suivantes :

2

(2 4)( 4)

( 3 5)( 3 2 )( 1)( 2)( 3)(3 4)(2 2 ) (2 5)( 4)(2 5) ( 4)( 4)

A x x

B x xC x x xD x x x xE x x x

= − −

= + −= + + += − + − − +

= + + − +

Exercice 9 Factoriser les expressions suivantes :

2

2

2

2

( 3)(2 5) (5 3)( 3)(2 5)( 3) (1 )( 3)

(2 4) 44 20 25 (2 5)( 1)

A x x x xB x x xC x x xD x xE x x x x

= − + + − −

= − −

= − + + − +

= − + −

= − + − − +

Exercice 10 Déterminer les valeurs interdites et simplifier les quotients suivants :

2

2

2

4 42

(2 3)(5 )4 12 9

11

31

x xAx

x xBx x

xCx

xDx

− +=

−+ −

=+ +

−=

−−

=+

Exercice 11 Calculez : 2 2 2 2 2 21 1;2 2 ;2 2 ;3 3 ;3 3 ;4 4 .+ − + − + − Quelle conjecture pouvez-vous faire ? Une conjecture est une supposition. Démontrez-la.

Composez maintenant le devoir n°1

mathÉmatiques · utilisez des copies doubles grand format (pour y insérer par la suite...

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