mathÉmatiques financiÈres i chapitre i intérêt et...

1

MATHÉMATIQUESFINANCIÈRES I

(ACT2025)

Robert Bédard

CHAPITRE IIntérêt et escompte

L’intérêt et sa mesure

• L'intérêt est ce qu'un emprunteur d'un capital versera à unprêteur pour l'utilisation de cette somme pendant un certaintemps.

• C'est aussi ce que le prêteur demande à l'emprunteur à titre decompensation pour ne pas pouvoir utiliser le montant prêtépendant la durée du prêt.

• Les deux parties doivent se mettre d'accord sur ce montant.

Quelques facteurs agissant sur lemontant d'intérêt demandé:

• Le marché, c'est-à-dire les taux d'intérêt en vigueur



• Le risque de défaut de paiement de la part de l'emprunteur




• L'inflation

2




• L'inflation

• Autres conditions afférentes: disposition permettant àl'emprunteur de régler son prêt plustôt, …

Exemple 1:Alexandre emprunte 20000$ à labanque pour l’achat d’une automobile.Il rembourse ce prêt en faisant 48paiements mensuels de 450$ à la finde chaque mois. L’intérêt payé parAlex à la banque sera

48 X 450$ - 20000$ = 1600$. (Montant remboursé) - (montant emprunté)

Exemple 2:Bobby emprunte 5000$ à Cléo. Ilrembourse ce prêt en faisant deuxpaiements: 2000$ après deux ans et5000$ après six ans. L’intérêt payépar Bobby à Cléo sera

(2000$ + 5000$) - 5000$ = 2000$. (Montant remboursé) - (montant emprunté)

Une transaction financière banale est l'investissementd'une somme d'argent à intérêt.

Il suffit de penser à un dépôt dans un compte d’épargneà la banque.

Dans une telle situation, le montant initial est appelé leprincipal ou le capital, le montant total reçu après une période detemps est appelé la valeur accumulée et la différence entre lesdeux, l'intérêt.

• Nous désignerons par : le temps écoulé depuis la date del'investissement avec comme convention que signifie qu'uneannée s'est écoulée depuis l'investissement initial. Cette unité detemps est appelée la période (de capitalisation) et comme nousl'avons indiqué, celle-ci sera pour l’instant d'une année à moinsd'avis contraire.

CONVENTION:• Nous désignerons par : le temps écoulé depuis la date del'investissement avec comme convention que signifie qu'une années'est écoulée depuis l'investissement initial. Cette unité de temps estappelée la période (de capitalisation) et comme nous l'avons indiqué, celle-ci sera pour l’instant d'une année à moins d'avis contraire.

• Nous utiliserons le dollar comme unité monétaire dans ce cours. Maisnous aurions tout aussi bien pu utiliser l'euro, le yen,... Ceci n'a aucuneincidence pour les concepts présentés.

CONVENTION:

3

Il existe plusieurs mesures de l’intérêt.

Par exemple,

• Taux effectif d’intérêt

Par exemple,


• Taux nominal d’intérêt

Par exemple,



• Taux effectif d’escompte

Par exemple,




• Taux nominal d’escompte

Par exemple,




• Taux nominal d’escompte

• Taux instantané d’intérêt ou force de l’intérêt

4

L’intérêt peut aussi croître de plusieursfaçons.

Exemples de formes de capitalisationcommunes de l’intérêt:

• Intérêt simple



• Intérêt composé




• Escompte simple




• Escompte simple

• Escompte composé

Pour définir tous ces concepts, il nousfaut premièrement parler de la

fonction de capitalisation.

5

Considérons l'investissement de 1$ deprincipal et désignons alors par : lemontant total accumulé au temps .

Alors est lafonction de capitalisation.

Exemple 3: (Intérêt simple)

Exemple 4: (Intérêt composé) Exemple 5:

Exemple 6: Propriétés anticipées de lafonction de capitalisation:

6

Propriétés anticipées de lafonction de capitalisation:

• est une fonction croissante

Propriétés anticipées de lafonction de capitalisation:

• est une fonction croissante

• est une fonction continue sil'intérêt croit continûment

Considérons l'investissement de $ deprincipal et désignons alors par : lemontant total accumulé au temps .

Alors est lafonction de accumulation.

CONVENTION:

Nous supposerons dans ce cours àmoins d’avis contraire que

Taux effectif d’intérêt pour la 1e période:

Ce taux est le rapport du montantd’intérêt gagné pendant la premièrepériode sur le montant investiinitialement. En formule, nous obtenons

Taux effectif d’intérêt pour la 1e période:

Ce taux est le rapport du montantd’intérêt gagné pendant la premièrepériode sur le montant investi au début.En formule, nous obtenons

où est l’intérêt gagné dans la 1e

période.

7

Taux effectif d’intérêt pour la e période:

Ce taux est le rapport du montantd’intérêt gagné pendant la e périodesur le montant investi au début de la e

période. En formule, nous obtenons

où est l’intérêt gagné dans la e

période.

Si nous connaissons les taux effectifsd’intérêt pour toutes les périodes, de la 1e

à la e , et le capital initial, alors nouspouvons calculer le montant accumulé àla fin de la e période, i.e.

En effet, En effet,

En effet,

et ainsi de suite

Exemple 3:

Dans un placement, le taux effectif d’intérêt est de 5.75% pour la 1e

année, 6% pour la 2e année, 5.5% pour la 3e année et 5% pour la4e année. Si le principal investi est 8000$, alors

• le montant accumulé après 4 ans est

8

Exemple 3:




Exemple 3:




• le montant d’intérêt gagné pendant la 3e année est

Exemple 3:




• le montant d’intérêt gagné pendant la 3e année est

c’est-à-dire .

Intérêt simple: (Description)

Considérons l'investissement de 1$ pourlequel le montant d'intérêt gagné àchacune des périodes est constant,disons égal à .

Noter que c’est le montant d'intérêt quiest constant et non le taux effectif

d'intérêt!

Calculons la fonction de capitalisation.

et ainsi de suite pour obtenir

Donc la fonction de capitalisation est

Si nous considérons plutôt la fonctiond’accumulation, nous aurons

9

Dans ce qui précède,

désigne le taux d’intérêt simple. Nous avons

Calculons le taux effectif d’intérêt pourchaque période:

Ainsi de suite, nous obtenons

Remarque

L’intérêt simple est surtout utilisédans le court terme (semaine, mois)justement parce que le taux effectifd’intérêt décroit avec les périodes etceci n’est pas intéressant commeinvestissement.

Intérêt composé: (Description)

Considérons l'investissement de 1$ pourlequel nous versons de l’intérêt sur leprincipal, mais aussi sur l’intérêtaccumulé. Nous parlons d’intérêt surl’intérêt.

Calculons la fonction de capitalisation.

et ainsi de suite pour obtenir

Donc la fonction de capitalisation est

Si nous considérons plutôt la fonctiond’accumulation, nous aurons

10

Calculons le taux effectif d’intérêt pourchaque période:

Ainsi de suite, nous obtenons

RemarqueL’intérêt composé est surtout utilisédans le long terme (années) justementparce que le taux effectif d’intérêt estconstant avec les différentes périodes.

À moins d’avis contraire, nous allonstoujours supposer que nous avons del’intérêt composé!

mathÉmatiques financiÈres i chapitre i intérêt et...

Documents