act2025 - cours 10 mathÉmatiques financiÈres i dixième cours
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ACT2025 - Cours 10
MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I
Dixième cours
ACT2025 - Cours 10
Rappel:
• Rente perpétuelle de début de période
ACT2025 - Cours 10
Rappel:
• Rente perpétuelle de début de période• Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné
la valeur actuelle, le taux d’intérêt et les paiements
ACT2025 - Cours 10
Rappel:
• Rente perpétuelle de début de période• Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné
la valeur actuelle, le taux d’intérêt et les paiements• Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné
la valeur accumulée, le taux d’intérêt et les paiements
ACT2025 - Cours 10
Rappel:
• Rente perpétuelle de début de période• Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné
la valeur actuelle, le taux d’intérêt et les paiements• Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné
la valeur accumulée, le taux d’intérêt et les paiements• Dernier paiement gonflé
ACT2025 - Cours 10
Rappel:
• Rente perpétuelle de début de période• Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné
la valeur actuelle, le taux d’intérêt et les paiements• Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné
la valeur accumulée, le taux d’intérêt et les paiements• Dernier paiement gonflé• Dernier paiement réduit
ACT2025 - Cours 10
Rappel:
Valeur actuelle d’une rente perpétuelle de début de période
ACT2025 - Cours 10
Rappel:
Valeur actuelle d’une rente perpétuelle de début de période
ACT2025 - Cours 10
Rappel:
Valeur actuelle d’une rente perpétuelle de début de période
Nous avons aussi la formule
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est égale à la valeur actuelle d’une annuité de n paiements de 1$ en fin de période auquel nous ajoutons la valeur actuelle d’un paiement fait à t = n + k de
Rappel:
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est égale à la valeur accumulée à t = n + k d’une annuité de n paiements de 1$ en fin de période auquel nous ajoutons un paiement fait à t = n + k de
Rappel:
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dans laquelle P, R et i sont donnés, peut être résolue. Nous obtenons
Rappel:
L’équation
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Pour la situation du dernier paiement gonflé, nous devons trouver X comme dans le diagramme d’entrées et sorties suivant:
Rappel:
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Pour la situation du dernier paiement réduit, nous devons trouver Y comme dans le diagramme d’entrées et sorties suivant:
Rappel:
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dans laquelle P, R et i sont donnés, peut être résolue. Nous obtenons
Rappel:
L’équation
ACT2025 - Cours 10
Pour la situation du dernier paiement gonflé, nous devons trouver X comme dans le diagramme d’entrées et sorties suivant:
Rappel:
ACT2025 - Cours 10
Pour la situation du dernier paiement réduit, nous devons trouver Y comme dans le diagramme d’entrées et sorties suivant:
Rappel:
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Nous allons maintenant considérer la question de déterminer le taux d’intérêt si nous connaissons les paiements, le nombre de paiements et soit la valeur actuelle, soit la valeur accumulée.Nous avons déjà vu pour ce type de problème la méthode de bissection. Nous allons maintenant considérer
la méthode de Newton-Raphson.
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Comme nous avons vu au cinquième cours (méthode de bissection), cette question de déterminer le taux d’intérêt revient à déterminer les zéros d’une fonction f connue,
c’est-à-dire les
x tels que f(x) = 0.
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Dans cette méthode, nous débutons avec une première valeur x0 et nous construisons récursivement une suite:
x1, x2, …, xs, … . Si tout va bien cette suite convergera vers un zéro de f.
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Géométriquement la suite est obtenue de la façon suivante:
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La règle récursive de la méthode de Newton-Raphson est la suivante.
Pour s = 0, 1, 2, …, nous avons
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Déterminons un zéro de la fonction f(x) = x3 - 8. Nous connaissons déjà la réponse. Ce sera 2. Tentons de voir si la méthode nous permet de converger vers cette valeur.
Exemple 1 :
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Déterminons un zéro de la fonction f(x) = x3 - 8. Nous connaissons déjà la réponse. Ce sera 2. Tentons de voir si la méthode nous permet de converger vers cette valeur.
Exemple 1 :
La dérivée de f(x) est
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Dans cet exemple, la règle récursive est la suivante
Exemple 1: (suite)
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Dans cet exemple, la règle récursive est la suivante
Exemple 1: (suite)
Nous pouvons simplifier ceci et nous obtenons
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Si nous débutons avec la valeur x0 = 3, nous obtenons
Exemple 1: (suite)
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Si nous débutons avec la valeur x0 = 3, nous obtenons
Exemple 1: (suite)
ACT2025 - Cours 10
Si nous débutons avec la valeur x0 = 3, nous obtenons
Exemple 1: (suite)
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s xs
0 3
1 2.296296296
2 2.036587402
3 2.000653358
4 2.000000213
5 2.000000000
Exemple 1: (suite)
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La méthode de Newton-Raphson ne fonctionne pas toujours. Par exemple, considérons la fonction f(x) = x3 - 5x.
Remarque 1:
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La méthode de Newton-Raphson ne fonctionne pas toujours. Par exemple, considérons la fonction f(x) = x3 - 5x.La règle récursive est
Remarque 1: (suite)
ACT2025 - Cours 10
Si nous commençons avec la valeur x0 = 1,
alors nous obtenons x1 = -1, x2 = 1, x3 = -1, …
et ainsi de suite.
Remarque 1: (suite)
ACT2025 - Cours 10
Si nous commençons avec la valeur x0 = 1,
alors nous obtenons x1 = -1, x2 = 1, x3 = -1, …
et ainsi de suite.
Remarque 1: (suite)
Cette suite ne converge pas!
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Graphiquement nous obtenons
Remarque 1: (suite)
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Nous allons maintenant illustrer la méthode de Newton-Raphson pour résoudre l’exemple 4 du cinquième cours, c’est-à-dire le premier exemple utilisé pour illustrer la méthode de bissection.
Exemple 2 :
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Déterminons le taux d’intérêt d’un prêt dont le flux financier est représenté par le diagramme d’entrées et sorties suivant:
Exemple 2 : (suite)
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L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 9 est
5000 (1 + i)9 + 5000(1 + i)7
| |4000 (1 + i)5 + 4000(1 + i)3 + 2000(1 + i)2 + 3000
Exemple 2 : (suite)
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L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 9 est
Donc nous cherchons à déterminer un zéro de la fonction
5000 (1 + i)9 + 5000(1 + i)7
| |4000 (1 + i)5 + 4000(1 + i)3 + 2000(1 + i)2 + 3000
Exemple 2 : (suite)
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La règle récursive de la méthode de Newton-Raphson est
Exemple 2 : (suite)
Si comme point de départ pour la méthode, nous prenions x0 = 6%, alors nous obtenons le tableau
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s xs
0 6%
1 5.232920189%
2 5.205343113%
3 5.205308625%
4 5.205308647%
5 5.205308669%
6 5.205308587%
Exemple 2 : (suite)
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Considérons maintenant la question de déterminer le taux d’intérêt d’une transaction alors que nous connaissons la valeur actuelle d’une annuité simple constante de fin de
période, le nombre de paiements et le montant des paiements de cette annuité.
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Nous voulons résoudre l’équation
alors que nous connaissons L, R et n. Nous voulons déterminer i.
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Nous voulons résoudre l’équation
alors que nous connaissons L, R et n. Nous voulons déterminer i. Ceci est équivalent à résoudre l’équation:
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Nous cherchons à déterminer un zéro de la fonction
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La règle récursive de la méthode de Newton-Raphson est alors
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Pour compléter la méthode de Newton-Raphson, il nous faut une valeur initiale i0 près de la valeur recherchée i. Une bonne approximation est obtenue en considérant comme valeur initiale
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Dans un prêt de 225 000$, l’emprunteur s’engage à verser 7500$ à tous les trimestres pendant 10 ans. Déterminer le taux nominal d’intérêt i(4) de ce prêt.
Exemple 3 :
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Dans un prêt de 225 000$, l’emprunteur s’engage à verser 7500$ à tous les trimestres pendant 10 ans. Déterminer le taux nominal d’intérêt i(4) de ce prêt.
Exemple 3 :
Nous avons ainsi que L = 225 000, R = 7500, n = 10 x 4 = 40 et notons par i, le taux d’intérêt par trimestre.
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La valeur initiale que nous pouvons utiliser pour la méthode de Newton-Raphson est alors
Exemple 3 : (suite)
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La règle récursive pour la méthode de Newton-Raphson est alors
Exemple 3 : (suite)
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En utilisant cette règle et cette valeur initiale, nous pouvons approximer le taux d’intérêt par trimestre et en multipliant par 4 ces taux obtenir une approximation du taux nominal recherché. Nous avons présenté ces valeurs dans le tableau suivant.
Exemple 3 : (suite)
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s xs 4xs (Taux nominal)
0 1.6260163% 6.5040652%
1 1.481978318% 5.927913272%
2 1.484619406% 5.9338477624%
3 1.484620352% 5.93681408%
4 1.484620497% 5.938481988%
5 1.484620377% 5.938481508%
6 1.484620430% 5.93848172%
7 1.484620287% 5.938481148%
Exemple 3 : (suite)
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Nous allons maintenant justifier notre choix de valeur initiale i0 .
Nous allons ainsi faire deux hypothèses simplificatrices pour obtenir cette première approximation.
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Nous pouvons remplacer les n paiements de R dollars par un seul paiement de nR dollars. Idéalement pour obtenir une situation équivalente à celle des n paiements, nous ferions ce paiement à l’échéance moyenne. Faute de connaître le taux d’intérêt i, nous allons utiliser l’échéance moyenne approchée.
Première hypothèse:
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Nous allons supposer que l’intérêt est simple plutôt que composé.
Deuxième hypothèse:
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L’échéance moyenne approchée est
car
Justification heuristique de l’approximation:
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Nous pouvons considérer notre transaction comme une entrée au montant de L dollars au temps t = 0 et une sortie de nR dollars au temps t = (n + 1)/2.
Justification: (suite)
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Nous notons par j: l’approximation lors que nous considérons le flux précédent et que nous supposons que l’intérêt est simple. Nous obtenons alors l’équation:
Justification: (suite)
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Nous obtenons ainsi facilement que
Ceci est notre choix de i0 .
Justification: (suite)
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Il est aussi possible d’obtenir une justification plus mathématique, justification qui fait appel à la série binomiale. Celle-ci est présentée dans le recueil de notes de cours.
Justification: (suite)