ACT2025 - Cours 11

MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

Onzième cours

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Rappel:

• Méthode de Newton-Raphson

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Rappel:

• Méthode de Newton-Raphson

• Détermination du taux d’intérêt étant donné la valeur

actuelle, le nombre de paiement et le montant des

paiements d’une annuité simple constante de fin de période

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Pour la méthode de Newton-Raphson, il nous faut un valeur initiale x0 et utiliser la règle récursive

pour construire une suite x1, x2, …, xs, … qui converge vers un zéro de f(x) (si les conditions sont bonnes)

Rappel:

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Géométriquement la suite est obtenue de la façon suivante:

Rappel:

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La méthode de Newton-Raphson pour déterminer le taux d’intérêt i numériquement dans l’équation

alors que nous connaissons L, R et n nous donne

Rappel:

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et comme valeur initiale

Rappel:

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Nous voulons résoudre maintenant l’équation

alors que nous connaissons F, R et n. Nous voulons déterminer i. Ceci est équivalent à résoudre l’équation:

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Nous cherchons à déterminer un zéro de la fonction

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La règle récursive de la méthode de Newton-Raphson est alors

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Pour compléter la méthode de Newton-Raphson, il nous faut une valeur initiale i0 près de la valeur recherchée i. Une bonne approximation est obtenue en considérant comme valeur initiale

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Nous allons maintenant justifier notre choix de valeur initiale i0 :

Nous allons ainsi faire deux hypothèses simplificatrices pour obtenir cette première approximation.

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Nous pouvons remplacer les n paiementsde R dollars par un seul paiement de nR dollars. Idéalement pour obtenir une situation équivalente à celle des n paiements, nous ferions ce paiement à l’échéance moyenne. Faute de connaître le taux d’intérêt i, nous allons utiliser l’échéance moyenne approchée.

Première hypothèse:

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Nous allons approximer l’intérêt en calculant plutôt le taux d’escompte d et en supposant qu’il s’agit d’escompte simple. Nous allons approximer le taux d’intérêt i recherché en prenant comme première valeur i0 : ce taux d’escompte d.

Deuxième hypothèse:

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L’échéance moyenne approchée est

car

Justification heuristique de l’approximation:

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Nous pouvons considérer notre transaction comme une sortie au montant de F dollars au temps t = n et une entrée de nR dollars au temps t = (n + 1)/2.

Justification heuristique: (suite)

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Nous notons par d: l’approximation lors que nous considérons le flux précédent et que nous supposons de l’escompte simple. Nous obtenons alors l’équation:

Justification heuristique: (suite)

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Nous obtenons ainsi facilement que

Ceci est notre choix de i0

Justification heuristique: (suite)

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Il est aussi possible d’obtenir une justification plus mathématique, justification qui fait appel à la série binomiale. Ceci est présenté dans le recueil de notes de cours.

Justification heuristique: (suite)

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Supposons que nous versons à tous les fins de mois 350$ pendant 6 ans dans un placement rémunéré au taux nominal d’intérêt i(12) par année capitalisé mensuellement. Immédiatement après le dernier versement, le montant accumulé est égal à 30000$. Déterminons i(12) approximativement au moyen de la méthode de Newton-Raphson.

Exemple 1:

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Nous avons ainsi que

Exemple 1: (suite)

F = 30 000, R = 350, n = 6 x 12 = 72

et notons le taux d’intérêt par mois par i.

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La valeur initiale que nous pouvons utiliser pour la méthode de Newton-Raphson est alors

Exemple 1: (suite)

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La règle récursive pour la méthode de Newton-Raphson est alors

Exemple 1: (suite)

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En utilisant cette règle et cette valeur initiale, nous pouvons approximer le taux d’intérêt par mois et en multipliant par 12 ces taux obtenir une approximation du taux nominal recherché. Nous avons présenté ces valeurs dans le tableau suivant.

Exemple 1: (suite)

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sxs

12xs (Taux nominal)

0 0.4507042% 5.4084504%

1 0.4786167569% 5.743401072%

2 0.4784322164% 5.741186592%

3 0.4784326006% 5.7411912%

4 0.4784325318% 5.741190372%

5 0.4784326969% 5.741192352%

6 0.4784324673% 5.741189604%

7 0.4784322716% 5.741187252%

Exemple 1: (suite)

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Le taux nominal recherché est approximativement 5.74118%

Exemple 1: (suite)

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Nous avons traité que du cas des annuités de fin de période. Bien entendu les mêmes techniques peuvent être utilisées

dans le cas des annuités de début de période. Cependant pour résoudre ces équations impliquant des annuités de début de

période, il est plus simple de les convertir en annuités de fin de période.

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Ainsi l’équation

est équivalente à l’équation

Nous savons traiter cette dernière équation.

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Alors que l’équation

est équivalente à l’équation

Nous savons traiter cette dernière équation.

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CHAPITRE IVAnnuités générales

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Jusqu’à maintenant nous avons traité que d’annuités simples constantes et pour lesquelles les périodes de paiement et de capitalisation sont les mêmes. Il nous faut considérer des

situations plus générales.

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Nous allons donc considérer des annuités pour lesquelles

• soit le taux d’intérêt varie avec les périodes de paiement

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Nous allons donc considérer des annuités pour lesquelles

• soit le taux d’intérêt varie avec les périodes de paiement

• soit les périodes de paiement et de capitalisation sont différentes

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Nous allons donc considérer des annuités pour lesquelles

• soit le taux d’intérêt varie avec les périodes de paiement

• soit les périodes de paiement et de capitalisation sont différentes

• soit que les paiements ne sont pas constants

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• soit le taux d’intérêt pour la ke période est ik et s’applique à tous les paiements pendant cette période

Nous allons maintenant considérer ce qui se passe lorsque le taux d’intérêt varie avec les périodes de paiement

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• soit le taux d’intérêt pour la ke période est ik et s’applique à tous les paiements pendant cette période

• soit le taux d’intérêt est applicable au ke paiement et pour ce paiement, il est le même pour chaque période

Nous allons maintenant considérer ce qui se passe lorsque le taux d’intérêt varie avec les périodes de paiement

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Considérons la situation d’une annuité pour laquelle le taux d’intérêt pour la ke période est ik et s’applique à tous les paiements de l’annuité pendant cette période.

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Si nous considérons une annuité consistant en n paiements de 1$ à la fin de chaque période, alors nous obtenons que sa valeur actuelle est

Par analogie, nous noterons ceci par

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Pour la même annuité, nous obtenons que la valeur accumulée immédiatement après le dernier paiement est

Par analogie, nous noterons ceci par

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Supposons que, pour un prêt, le taux d’intérêt est 4% pour la première année, 4.5% pour la deuxième année, 5% pour la troisième année, 5% pour la quatrième année et 4.5% pour la cinquième année. 10000$ est emprunté et ce prêt est remboursé par des paiements de R dollars à la fin de chaque année pendant 5 ans.

Déterminons R.

Exemple 2:

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Nous avons ainsi l’équation

R (1.04)-1 + R(1.04)-1(1.045)-1 + R(1.04)-1(1.045)-1(1.05)-1 + R (1.04)-1(1.045)-1(1.05)-2 + R (1.04)-1(1.045)-2(1.05)-1

| |

10000.

Nous obtenons alors que R = 2277.27$

Exemple 2: (suite)

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Supposons que nous plaçons 1000$ au début de chaque année. Si le taux d’intérêt est 4% pour la première année, 4.5% pour la deuxième année, 5% pour la troisième année, 5% pour la quatrième année et 4.5% pour la cinquième année. Déterminons le montant accumulé à la fin de la cinquième année.

Exemple 3:

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Ce montant accumulé est

1000(1.04)(1.045)2(1.05)2 + 1000(1.045)2(1.05)2 + 1000(1.045)(1.05)2 + 1000(1.045)(1.05) + 1000(1.045)

c’est-à-dire

5750.44$.

Exemple 3: (suite)

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Considérons la deuxième situation, celle d’une annuité pour laquelle le taux d’intérêt ik est applicable au ke paiement et est le même pour ce paiement pour chaque période. L’annuité consiste en des paiements de 1$ à la fin de chaque période.

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Dans cette situation, la valeur actuelle de l’annuité sera

Par analogie, nous noterons ceci par

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La valeur accumulée immédiatement après le dernier paiement sera

Par analogie, nous noterons ceci par

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Supposons que le premier paiement est rémunéré au taux de 6% par année, le second au taux de 5%, la troisième au taux de 5.5% et le quatrième au taux de 6% et que tous les montants sont de R dollars. Que doit être R si nous voulons accumuler 20000$?

Exemple 4:

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Nous avons l’équation de valeur à t = 4 ans

Nous obtenons ainsi que R = 4599.27$

Exemple 4: (suite)

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Nous allons maintenant considérer des annuités pour lesquelles les périodes de paiement et de capitalisation de l’intérêt sont différentes, soit la période de paiement est plus courte que celle de capitalisation de l’intérêt, soit la période de paiement est plus longue que celle de capitalisation de l’intérêt.

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Si la période de paiement est plus courte que celle de capitalisation de l’intérêt, nous allons supposer qu’il y a un nombre entier de périodes de paiement dans une période de capitalisation de l’intérêt.

Hypothèse:

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Si la période de paiement est plus longue que celle de capitalisation de l’intérêt, nous allons supposer qu’il y a un nombre entier de périodes de capitalisation de l’intérêt dans une période de paiement.

Hypothèse:

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Dans une telle situation, nous allons développer deux approches. Dans la première, il suffira de convertir le taux

d’intérêt à un taux équivalent. Dans la seconde, nous

développerons une approche théorique

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Il suffit de convertir le taux d’intérêt de façon à obtenir le taux d’intérêt équivalent et pour lequel la période de capitalisation est la même que la période de paiement.

Nous allons illustrer ceci dans des exemples.

Première approche :

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Nous voulons accumuler 50 000$ en faisant 84 versements mensuels au montant de R dollars pendant 7 ans dans un fonds de placement. Le taux d’intérêt du fonds de placement est le taux nominal d’intérêt i(2) = 6% par année capitalisé semestriellement.

Déterminons R.

Exemple 5:

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Si i(2) = 6% alors le taux effectif d’intérêt équivalent est 6.09% par année. De ceci nous obtenons que le taux nominal i(12) = 5.926346437% par année capitalisé mensuellement est équivalent à i(2) = 6%. Conséquemment le taux d’intérêt par mois équivalent au taux i(2) = 6% est

Exemple 5: (suite)

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Nous sommes maintenant dans la même situation que celle du chapitre 3. Conséquemment il nous faut donc déterminer R tel que

Nous obtenons ainsi que R = 481.73$

Exemple 5: (suite)