Mathématiques 10, 20Programme d'études pour lesecondaire

Septembre 1995

Mathématiques 10, 20Programme d'étudespour le secondaire

Ministèrede l'Éducation,de la Formationet de l'Emploide la Saskatchewan1995

Ce document est conforme à la politique de rédaction non sexiste adoptée par le ministère de l'Éducation, dela Formation et de l'Emploi de la Saskatchewan: le masculin et le féminin y sont utilisés en alternanced'une section à l'autre, à partir de la page 135.

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RemerciementsLe ministère de l'Éducation, de la Formation et de l'Emploi de la Saskatchewan tient à remercier de leurcontribution les membres du Comité consultatif sur les programmes de mathématiques.

Membres du comité consultatif (1988-1993):

James BeamerProfesseur de pédagogie des mathématiquesUniversité de la Saskatchewan

Harold FlettEnseignant (secondaire)C.S. No. 113, Northern Lights

Mike FultonDirecteur de l'ÉducationC.S. No. 19, Indian Head

Liliane GauthierEnseignante (élémentaire)C.S. No. 13, Saskatoon

Denis HansonProfesseur de mathématiquesUniversité de Regina

Bob KallioAssociation des commissaires de la SaskatchewanDinsmore

Ed KlopoushakProfesseur de pédagogie des mathématiquesUniversité de Regina

Thom KorolukDirecteur (élémentaire)C.S. No. 93, Yorkton

Sharon KvinlaugProfesseure (SIAST)Prince Albert

Laurence OwenEnseignant (secondaire)C.S. No. 13, Saskatoon

Verda PetryEnseignante (secondaire)C.S. No. 4, Regina

Derek PunshonDirecteur (M-12)C.S. No. 70, Wood River

Mary ReevesDirectrice (élémentaire)C.S.C. No. 81, Regina

Ruth TaylorAssociation des commissaires de la SaskatchewanSaskatoon

Garth ThomasProfesseur de mathématiquesUniversité de la Saskatchewan

Judy WallDirectrice adjointe (élémentaire)C.S. No. 4, Regina

Heather WrightDirectrice adjointe (élémentaire)C.S. No. 4, Regina

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Membres du comité de référence (1994-1995):

David BaleProfesseur de pédagogie de mathématiquesUniversité de Regina

James BeamerProfesseur de pédagogie des mathématiquesUniversité de la Saskatchewan

Eric HammEnseignantC.S. Northern Lights

Denis HansonProfesseur de mathématiquesUniversité de Regina

Ken NorrisEnseignantC.S. Carlton

Gale RussellEnseignanteC.S. Last Mountain

Garth ThomasSaskatoon

Darla WallEnseignanteC.S. Estevan

Le ministère de l'Éducation, de la Formation et de l'Emploi de la Saskatchewan remercie également:• les enseignants, enseignantes et leurs élèves, ainsi que les conseillers et conseillères pédagogiques qui

ont participé à la mise à l'essai;• les membres du comité interne de programmation pour les mathématiques;• les conseillers et conseillères du ministère de l'Éducation, de la Formation et de l'Emploi de la

Saskatchewan.

Ce document a été élaboré par la Direction des mathématiques et des sciences naturelles, Secteur desprogrammes et de l'enseignement, ministère de l'Éducation, de la Formation et de l'Emploi de laSaskatchewan et traduit par le BMLO du ministère de l'Éducation, de la Formation et de l'Emploi dela Saskatchewan.

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Avant-propos

Le renouvellement du programme scolaire dansles écoles de la Saskatchewan s'inspire en grandepartie du document intitulé Directions (Ministèrede l'Éducation, 1984). L'enthousiasme suscité parles recommandations visant le tronc communcontinuera à augmenter au fur et à mesure queseront élaborés et implantés des programmesd'études conçus en vue de préparer les élèves auXXIe siècle.

Dans la mesure où elles constituent une desmatières obligatoires, les mathématiquesintègrent les apprentissages essentiels communs,la dimension adaptation (ou pédagogiedifférenciée) et autres initiatives associées autronc commun. Ce dernier tient égalementcompte d'autres perspectives quant à l'orientationpolitique telles que l'équité des sexes, lesperspectives et le contenu indiens et métis etl'apprentissage à base de ressources.

En nous efforçant d'atteindre les buts desmathématiques dans les écoles de laSaskatchewan, il faudra compter sur beaucoup decollaboration et de coopération de la part desindividus autant que des groupes. À cet égard, lesenseignants et les enseignantes demathématiques auront un rôle clé à jouer.

Table des matières

Page

Remerciements ................................................................................................................................................ i

Avant-propos ................................................................................................................................................. iii

Introduction .................................................................................................................................................... 1

• Philosophie, but et objectifs généraux du programme de mathématiques (M-12)....................................... 3• Raison d'être.................................................................................................................................................. 3

Comment utiliser le programme d'études ................................................................................................. 5

• Vue d'ensemble du cours de mathématiques................................................................................................ 5• Aperçu général des concepts......................................................................................................................... 6• Tableau des objectifs spécifiques - une liste de référence............................................................................. 6• Lignes directrices pour l'utilisation du matériel de ressource ..................................................................... 6

Composantes du tronc commun et initiatives complémentaires.......................................................... 7

• Les apprentissages essentiels communs....................................................................................................... 7• L'apprentissage à base de ressources ........................................................................................................... 9• La dimension adaptation (ou pédagogie différenciée) .................................................................................10• L'équité des sexes.........................................................................................................................................11• Les perspectives et le contenu indiens et métis...........................................................................................12• Les approches pédagogiques ........................................................................................................................15• L'enseignement en langue seconde..............................................................................................................16

L'évaluation................................................................................................................................................... 19

• Les buts de l'évaluation ...............................................................................................................................21• Principes de base..........................................................................................................................................21• Contextes de l'évaluation.............................................................................................................................22• La démarche d'évaluation............................................................................................................................22• Optiques de l'évaluation ..............................................................................................................................23• Évaluation de l'élève ....................................................................................................................................23• Instruments de mesure - liste de référence .................................................................................................24• Mesure de la performance de l'élève en mathématiques.............................................................................24• Évaluation du programme ...........................................................................................................................26• Évaluation du programme d'études.............................................................................................................26• Auto-évaluation des enseignants et enseignantes.......................................................................................27• Collecte de renseignements et tenue de dossiers.........................................................................................28• Conclusion....................................................................................................................................................28

Organisation du programme...................................................................................................................... 29

• L'enseignement conceptuel ..........................................................................................................................29• L'intégration.................................................................................................................................................29• La résolution de problèmes..........................................................................................................................29• L'estimation..................................................................................................................................................30• Le calcul mental...........................................................................................................................................31• Les calculatrices et ordinateurs...................................................................................................................31• Les objets de manipulation ..........................................................................................................................32

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Outils de planification................................................................................................................................. 33

• Le tableau des objectifs par cours................................................................................................................35• Mathématiques 10...................................................................................................................................37• Mathématiques 20...................................................................................................................................43• Mathématiques A30 ................................................................................................................................49• Mathématiques B30 ................................................................................................................................55• Mathématiques C30 ................................................................................................................................61

• Organigramme du programme de mathématiques au secondaire ..............................................................65• Le tableau des objectifs par volet.................................................................................................................67

• Gestion des données, et mathématiques pour les consommateurs et consommatrices .............................68• Nombres et opérations ............................................................................................................................71• Équations, résolution de problèmes........................................................................................................74• Algèbre ........................................................................................................................................................77• Fonctions .................................................................................................................................................82• Géométrie................................................................................................................................................87• Trigonométrie..........................................................................................................................................92

Grilles et formulaires de mesure et d'évaluation................................................................................... 95

Planification d'une unité .......................................................................................................................... 115

• Méthode de planification d'une unité ........................................................................................................117• Unité modèle: Mathématiques pour les consommateurs et consommatrices (revenu et budget).............118

Mathématiques 10 - Programme d'études.............................................................................................. 135

• Objectifs généraux .....................................................................................................................................137A. Équations et inéquations linéaires .......................................................................................................140B. Relations, fonctions et variation ...........................................................................................................144

• Fonctions linéaires• Équations linéaires• Pentes• Variation directe• ‘Variation partielle• Séquences arithmétiques

C. Mathématiques pour les consommateurs et consommatrices ..............................................................162• Revenu• Budget

D. Droites et segments de droites..............................................................................................................168• Droites parallèles• Droites perpendiculaires

E. Angles et polygones...............................................................................................................................170• Polygones à n côtés• Triangles• Quadrilatères• Parallélogrammes

F. Habiletés algébriques............................................................................................................................180• Nombres et opérations• Exposants• Polynômes

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Mathématiques 20 - Programme d'études.............................................................................................. 201

• Objectifs généraux .....................................................................................................................................203A. Nombres irrationnels ............................................................................................................................206

• Opérations avec la racine carréeB. Mathématiques pour les consommateurs et consommatrices...............................................................210

• Crédit et prêts• Impôt sur le revenu et taxes foncières

C. Polynômes et expressions rationnelles..................................................................................................218• Mise en facteurs• Exposants• Opérations

D. Fonctions du second degré ....................................................................................................................226• Représentation graphique• Propriétés• Problèmes

E. Équations du second degré ...................................................................................................................230• Mise en facteurs• Méthode de la racine carrée• Équations radicales• Problèmes

F. Probabilité .............................................................................................................................................234• Expérimentale• Théorique

G. Angles et polygones...............................................................................................................................236• Triangles congrus• Polygones semblables• Problèmes• Aires et volumes

H. Cercles ...................................................................................................................................................248• Relations des cordes, des arcs et des tangentes• Problèmes

Annexe .......................................................................................................................................................... 253

• Annexe A: Stratégies et méthodes d'enseignement...................................................................................255• Annexe B: Le crédit....................................................................................................................................257• Annexe C: Raisons justifiant une preuve ..................................................................................................259

Bibliographie .............................................................................................................................................. 261

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Introduction

"L'apprentissage ne connaît pas de limite pour les apprenants et les apprenantes qui savent résoudre des problèmes."

- Shirley M. Frye, Présidente sortante National Council of Teachers of Mathematics

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Introduction

Philosophie, buts et objectifsgénéraux du programme demathématiques (M-12)

La philosophie et l'esprit sous-jacents aurenouveau de l'enseignement des mathématiquesen Saskatchewan se reflètent dans la finalité, lesbuts et les objectifs du programme.

La finalité

Le programme de mathématiques va développerchez tous les élèves une compréhension de lavaleur et du rôle des mathématiques dans lasociété. À la fin du programme, les élèves aurontla confiance et la compétence nécessaires pourutiliser les mathématiques dans leur viequotidienne. Cette compétence comprendl'interprétation de données, l'estimation, le calculmental et la connaissance intuitive de la mesureet des relations spatiales. De plus, le programmeveut stimuler l'esprit d'enquête parl'apprentissage d'habiletés de résolution deproblèmes et assurer l'emploi efficace de latechnologie.

Les buts

Le programme de mathématiques, de lamaternelle à la 12e année, doit développer cheztous les élèves les connaissances et lescompétences de base en mathématiques pour:

• vivre comme consommateurs etconsommatrices avertis, et travailleurs ettravailleuses compétents;

• vivre comme citoyens et citoyennesresponsables et informés (l'habileté à analyseret interpréter des données);

• être bien éduqués (des habiletés de penséelogique, des habitudes de travail efficaces etune appréciation des mathématiques);

• être capables de résoudre des problèmes (ledésir de résoudre des problèmes, la confianceet l'habileté pour le faire);

• communiquer en langage mathématique;• poursuivre des études plus poussées dans le

domaine des mathématiques et les domainesétroitement liés aux mathématiques.

Le programme de mathématiques met en reliefnon seulement comment calculer, mesurer,estimer et interpréter des données, mais aussiquand appliquer ces habiletés et techniques, etpourquoi on peut les appliquer, ceci dans le but deformer des apprenants et apprenantes capables,autonomes et motivés, tout au long de leur vie.

Objectifs généraux

Les objectifs généraux décrivent lesconnaissances et habiletés les plus importantes,celles que les élèves devront acquérir au cours del'unité à l'étude ou de l'année scolaire. Ilsguideront l'enseignant ou l'enseignante dans laplanification de l'unité ou de l'année et devraientêtre à la portée de la majorité des élèves.

Les objectifs généraux constituent la base del'évaluation du programme scolaire.

Les objectifs généraux sont énumérés au débutdes sections intitulées «Mathématiques 10 -Programme d'études» et «Mathématiques 20 -Programme d'études».

Raison d'être

L'étude des mathématiques peut être vue commeétant l'étude d'un langage, un langage précis quipermet à l'élève de communiquer certaines idées,quantitatives ou autres, au sujet de diversessituations tirées de la vie quotidienne.

Quotidiennement, on utilise les mathématiquespour décrire des quantités, des mesures, desformes, des motifs, des relations et ce, dans unevariété de situations, telles que la construction demaisons, l'achat de biens, les arts visuels, entreautres.

Dans un monde constamment en évolution, lesélèves d'aujourd'hui doivent se préparer pour desemplois futurs qui demanderont plus deconnaissances mathématiques que les emploisd'aujourd'hui.

Les mathématiques, en plus d'être un langage,sont aussi utilisées comme outil pour développerla pensée logique et le raisonnement critique, etparvenir à la résolution de problèmes. Lesactivités de classement, de sériation,d'établissement de relations et de repérage derégularités sont des activités qui développent lapensée mathématique. Cette habileté à résoudre

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des problèmes est d'une importance primordialedans l'accomplissement des tâches quotidienneset doit dominer l'enseignement desmathématiques.

C'est à cette fin qu'en plus d'incorporer larésolution de problèmes dans tous les aspects desmathématiques, l'enseignement desmathématiques met l'accent sur leur application àla vie réelle, l'engagement actif des élèves à leurapprentissage, y compris l'utilisation des objets àmanipuler, l'application de stratégies de calculmental et d'estimation, l'utilisation descalculatrices et des ordinateurs comme outilspour apprendre et faire des mathématiques, uneapproche intégrée de l'apprentissage desmathématiques et l'utilisation de ressourcesmultiples.

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Comment utiliser leprogramme d'étudesVue d'ensemble du cours demathématiques

Le contenu de ce cours est très étendu etpratique. Le programme est structuré en septvolets mathématiques:

• la gestion des données et les mathématiquespour les consommateurs et lesconsommatrices;

• les nombres et opérations;• les équations;• l'algèbre;• les fonctions;• la géométrie;• la trigonométrie.

La résolution de problèmes fait partie intégrantede tous les volets et doit être intégrée tout au longdu programme. Le programme met l'accentsur la notion de fonction puisque lacompréhension de plusieurs des volets ducours de mathématiques en dépend.Plusieurs objectifs et habiletés spécifiquesappuient les concepts mathématiques; toussoulignent et renforcent les objectifs généraux etles apprentissages essentiels communs. Lesprogrammes d'études «Mathématiques 10» et«Mathématiques 20» visent à répondre auxbesoins de tous les élèves. Suffisamment souples,ils acceptent et encouragent la mise sur piedd'activités au choix afin qu'il soit possible derépondre tant aux besoins des élèves ayant besoind'un plus grand défi qu'à ceux des élèves ayantdes difficultés.

On ne pourra trouver dans une seuleressource tous les concepts et toutes leshabiletés proposés dans ce programmed'études. Il faudra plutôt faire appel à tout unéventail de ressources ou de documents parmilesquels il faudra choisir les activités et lecontenu qui correspondent aux stylesd'apprentissage des élèves, aux styles particuliersd'enseignement des enseignants et enseignanteset à la philosophie du programme d'études.

Le développement et l'enchaînement des conceptsdevraient se faire selon une progression logique ets'appuyer sur certains principes nécessaires pourdémontrer les rapports entre les concepts. Les

enseignants et enseignantes ne doivent pas selimiter à une seule stratégie pédagogiquelorsqu'ils enseignent un concept. Ils ou ellespeuvent, par exemple, tenir compte des capacitésintellectuelles de leurs élèves, de ce que cesderniers connaissent déjà du concept, de la naturedu concept, de son importance dans la structuredes autres concepts mathématiques et du degréde compétence attendu lorsqu'ils et elleschoisissent parmi les stratégies d'enseignement àleur disposition.

Il existe plusieurs façons d'intégrer ladimension adaptation (pédagogiedifférenciée) aux programmes d'études. Onpeut:

• modifier la méthode d'enseignement pourrépondre aux besoins particuliers;

• modifier le milieu d'apprentissage de manièreà ce que l'élève profite davantage del'enseignement;

• modifier le rythme de la leçon pour s'assurerque les élèves comprennent les concepts;

• modifier la méthode suivant laquelle les élèvessont appelés à réagir à l'enseignant ouenseignante ou à l'approche pédagogique.

Il ne faut pas oublier que moins le milieu etl'approche sont rigides, plus il est facile des'adapter. On peut faire appel à n'importe quelleméthode ou combinaison de méthodes. Lacolonne des «Suggestions pédagogiques» etla colonne des «Pistes supplémentaires» fontdes suggestions relativement à diversobjectifs et à diverses habiletés proposésdans ces programmes d'études. On trouverad'autres idées dans Approches pédagogiques:Infrastructure pour la pratique de l'enseignement(ministère de l'Éducation de la Saskatchewan,1993), ainsi que dans La dimension adaptation(ou pédagogie différenciée) (ministère del'Éducation, de la Formation et de l'Emploi de laSaskatchewan, 1993).

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Aperçu général des concepts

L'aperçu général des concepts étudiés danschacun des programmes d'études Mathématique10, 20, A30, B30 et C30 figure au chapitre «Outilsde planification».

La séquence d'enseignement de ces conceptsest laissée à la discrétion de l'enseignant oude l'enseignante. Cependant, il y a lieu deconsidérer un ordre logique démontrant lesrapports entre les divers concepts. Par exemple,on peut se servir de plusieurs exemples tirés desmathématiques de la consommation pourconsolider la notion de fonction linéaire. Pourfavoriser la compréhension, on encourage lesenseignants et les enseignantes à faire preuve decréativité dans l'enchaînement des concepts. Ils etelles pourront modifier l'ordre dans lequel ils etelles présentent les concepts ou encore intégrerplusieurs concepts.

Il convient de remarquer que tous lesobjectifs spécifiques pour la 9e année nesont pas inclus dans le tableau des objectifspour le secondaire, par volet. Seuls lesconcepts qui reviennent les annéessuivantes sont indiqués.

Tableau des objectifsspécifiques - une liste deréférence

On trouvera deux versions du tableau desobjectifs spécifiques dans ce programme. Lapremière dresse la liste des objectifs généraux etdes objectifs spécifiques pour chaque cours, tandisque la seconde développe la matière comprisedans chaque volet tout au long du programmeentier.

Ces listes sont élaborées et numérotées, demanière à permettre le codage des questions lorsdes activités d'évaluation liées au programme etdes examens du ministère pour la série de coursde Mathématiques 30.

Lignes directrices pourl'utilisation du matériel deressource

Tel qu'indiqué précédemment, il n'existe pas une

ressource unique qui corresponde auxprogrammes d'études. Pour faciliter l'adoptiond'une approche centrée sur les ressources, nousrecommandons fortement l'utilisation deplusieurs ressources plutôt que d'un seulmanuel.

Les enseignants et enseignantes voudront peut-être que chaque élève ait un manuel de base quicouvre la majorité des concepts. Dans ce cas, ilfaudra également recourir à d'autres manuels deréférence. Certains enseignants et enseignantesvoudront peut-être que leurs élèves travaillent engroupes de deux ou trois et se servent deplusieurs manuels recommandés. Quel que soit lecas, l'approche devra correspondre aux stylesd'apprentissage des élèves et au styled'enseignement de chaque enseignant ouenseignante. Il est également recommandé defaire appel à du matériel non imprimé tel que deslogiciels et des vidéocassettes afin d'améliorerl'enseignement de la matière.

Une méthode d'apprentissage à base deressources exige une planification et unecoordination à long terme au sein d'uneécole, d'une commission scolaire ou conseilscolaire fransaskois. L'administration del'école, l'enseignant ou enseignante-bibliothécaireet d'autres intervenants doivent jouer un rôleactif pour aider à cette planification.

Les approches pédagogiques qui mettent l'accentsur le travail d'équipe et qui développent lescapacités d'apprentissage autonome permettentde mettre à profit des ressources limitées demanière productive.

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Composantes du tronccommun et initiativescomplémentaires

Les apprentissages essentielscommuns

L'enseignement des mathématiques présentebeaucoup d'occasions d'intégrer lesapprentissages essentiels communs (AEC). Grâceà cette intégration, l'élève comprendra mieux lamatière et aura une meilleure préparation pourses études ultérieures jusqu'en 12e année et au-delà.

La décision de se concentrer sur un ou plusieursAEC dans une leçon relève des besoins et descapacités de chaque élève et des exigences de lamatière. Dans une unité, chaque apprentissageessentiel commun doit être développé de façonoptimale. Il est important d'intégrer les AEC defaçon authentique. Certaines matières peuventfournir l'occasion d'acquérir les connaissances,valeurs, habiletés et démarches de tous lesapprentissages essentiels communs. Dansd'autres cas, la nature de la matière pourraitlimiter l'exploitation d'un AEC particulier.

Les apprentissages essentiels communs devraientêtre exploités et évalués dans le contexte desmatières.

Puisque les apprentissages essentiels communsne sont pas distincts et indépendants les uns desautres, les efforts fournis pour atteindre lesobjectifs généraux de l'un pourraient contribuer àl'acquisition des objectifs généraux d'un ou deplusieurs autres. Bon nombre de démarches,habiletés, connaissances et capacités nécessairespour la communication, l'analyse numérique et lacréativité et le raisonnement critique sontindispensables également pour l'initiation à latechnologie, par exemple.

Par exemple, favoriser chez les élèves le travailcoopératif pour résoudre des problèmes concretsles aide à acquérir des valeurs et des habiletéspersonnelles et sociales. De même, les problèmesconcrets offrent un moyen d'encourager ledéveloppement d'aspects importants de lacommunication interpersonnelle: écouter, parler,

lire et écrire. On peut aussi développer la penséecritique dans le cadre du programme demathématiques en offrant aux élèves l'occasiond'analyser les allégations fondées sur desstatistiques que l'on retrouve dans la publicité eten posant la question «Qu'arrive-t-il si...?» engéométrie. La compétence en calcul estnaturellement perfectionnée tout au long del'année, particulièrement dans l'interprétationdes données quantitatives et dans l'applicationdes concepts de probabilité, de rapport et deproportion. Toutes ces habiletés aident les élèvesà faire face aux situations de la vie courante avecconfiance et compétence. Le fait de se serviractivement de la calculatrice comme outil derésolution de problèmes et des tableursinformatisés pour organiser les données etl'information à caractère technologique sensibiliseles élèves à la technologie dans un monde enconstante évolution. On favorisera l'apprentissageautonome en encourageant les élèves à faire desrecherches sur les applications, l'histoire etl'étude plus poussée des mathématiques. Ayanteu ces possibilités et ces expériences, les élèvesdeviendront des individus autonomes, capables dese motiver, confiants dans leurs habiletés etdisposés à apprendre tout au long de leur vie.

L'intégration des apprentissages essentielscommuns à l'enseignement aura desrépercussions sur l'évaluation pédagogique. Sil'élève est encouragé à faire preuve deraisonnement critique et à exercer sa créativitépendant l'étude d'une unité, l'enseignant oul'enseignante doit créer des instruments demesure qui exigent de l'élève l'exercice de cesmêmes capacités. Examens ou devoirs devraientlui permettre de montrer sa compréhension desconcepts importants dans l'unité, ainsi que lafaçon dont ils sont reliés entre eux ou reliés à unapprentissage antérieur. Les questions peuventêtre posées de façon qu'une preuve ou des raisonsdoivent accompagner les explications de l'élève.L'évaluation pédagogique de la matière doits'adapter à l'intégration et à l'incorporation desapprentissages essentiels communs.

Nous espérons que les enseignants et lesenseignantes s'appuieront sur les suggestionsfaites dans ces programmes d'études et sur leurréflexion personnelle pour mieux intégrer lesapprentissages essentiels communs auxmathématiques.

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Dans le présent programme, on se sert dessymboles suivants lorsque l'on fait référence auxapprentissages essentiels communs:

AUT apprentissage autonomeCOM communicationCRC créativité et raisonnement critiqueNUM initiation à l'analyse numériqueTEC initiation à la technologieVAL capacités et valeurs personnelles et

sociales

La communication

Pour faciliter l'intégration de cet apprentissageessentiel commun, on peut:

• encourager les élèves à discuter, expliquer etclarifier dans leurs propres mots leurssolutions et le cheminement qui les a aidé àobtenir ces solutions;

• présenter de nombreuses occasions dans unevariété de contextes d'utiliser le vocabulairemathématique;

• encourager les élèves à réfléchir sur leursconnaissances mathématiques à l'aide d'unjournal de bord;

• amener les élèves à exprimer leurs solutions (àl'écrit ou oralement) d'une façon claire etprécise;

• aider les élèves à organiser des informations(établir des catégories, trier, sélectionner,créer des graphiques, étiqueter, etc.);

• organiser des remue-méninges;• permettre aux élèves d'élaborer des problèmes

ou des questions;• favoriser le travail coopératif pour donner

l'occasion aux élèves de s'exprimer entre eux;• donner aux élèves l'occasion d'employer les

différents savoirs (écouter, parler, lire etécrire) de la langue française pour différentesraisons et différents auditoires, dans unevariété de médias, pour accroître leurcompréhension des mathématiques.

L'initiation à l'analyse numérique

Le programme d'études de mathématiquesencourage l'initiation à l'analyse numérique entant qu'AEC. Les démarches et activités duprogramme établissent le lien entre lesconnaissances mathématiques et les expériencesquotidiennes. On encourage aussi l'enseignant etl'enseignante à développer les connaissances ethabiletés en mathématiques à travers les diversdomaines d'étude obligatoires.

La créativité et le raisonnementcritique

Le programme de mathématiques a comme pointcentral la résolution de problèmes. Tout au longdu document on encourage les élèves à produireet à évaluer des idées, des démarches, desexpériences et des objets.

Pour développer la créativité et le raisonnementcritique, on doit:

• fournir aux élèves un large éventaild'expériences mettant en jeu tous les sens ettoutes les manières de connaître;

• donner aux élèves l'occasion de toucher,manier, manipuler du matériel;

• s'assurer que les élèves ont unecompréhension du problème à résoudre;

• encourager les élèves à élaborer un plan pourrésoudre un problème;

• fournir différents types de problèmes àrésoudre afin d'encourager les élèves à utiliserune variété de stratégies pour les résoudre;

• encourager les élèves à expliquer comment leproblème a été résolu;

• encourager les élèves à utiliser la discussion,le journal personnel pour qu'ils et elles serendent compte de la démarche qu'a suivi leurréflexion;

• guider les élèves à juger du bien-fondé de leursrésultats;

• encourager les élèves à faire des hypothèses,des prédictions, des estimations et à devineren se basant sur leurs connaissancespréalables;

• encourager les élèves à utiliser de nouvellesstratégies pour résoudre un problème;

• aider les élèves à reconnaître les similitudesavec d'autres problèmes;

• permettre aux élèves de créer de nouveauxproblèmes;

• fournir aux élèves des activités declassification;

• faire réfléchir les élèves aux buts desconnaissances, des décisions ou des actions enquestion.

L'initiation à la technologie

Afin d'encourager les élèves à apprécier latechnologie et de porter des jugements critiques àson sujet, on peut:

• présenter des activités qui aident les élèves àdéterminer quand la calculatrice oul'ordinateur est l'outil approprié pour résoudre

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un problème;• offrir aux élèves des possibilités de participer à

des discussions d'intérêt local au sujet del'utilisation de la calculatrice et de l'ordinateurdans les écoles;

• permettre aux élèves de faire des listesd'avantages et d'inconvénients de lacalculatrice et de l'ordinateur dans la société;

• offrir des activités permettant aux élèvesd'apprécier l'évolution des mathématiques(invention de bouliers compteurs, différentssystèmes de numération, biographies demathématiciens et mathématiciennes, lespremiers ordinateurs, de la recherche, etc.);

• présenter des activités de résolution deproblèmes et de gestion et d'analyse dedonnées tirées du vécu des élèves qui leurpermettront d'utiliser ces outils technologiquesde façon appropriée.

Les capacités et valeurs personnelleset sociales

Le développement des capacités et valeurspersonnelles et sociales s'intègre aussi deplusieurs manières au programme demathématiques. On peut:

• favoriser le travail coopératif, en paires ou enpetits groupes;

• employer une variété de contenus culturelsdans l'étude de motifs, de régularités, detessellations pour encourager les élèves àrespecter toutes les cultures;

• encourager les élèves à trouver diversessolutions pour montrer la diversité de façonsde raisonner;

• fournir aux élèves des occasions de s'entraideret s'encourager;

• fournir aux élèves des occasions de répondreaux idées des autres et de s'en inspirer;

• éviter les stéréotypes sexistes par rapport auxhabiletés mathématiques;

• être sensible aux préjugés liés au sexe ou à laculture dans les ressources sélectionnées pourla salle de classe.

L'apprentissage autonome

Le programme de mathématiques permet auxélèves de devenir des apprenants capables,autonomes et motivés, et ce tout au long de leurvie. L'enseignant ou l'enseignante peut:

• fournir aux élèves un large éventail d'activitéset de sujets, et faire un choix parmi unegamme aussi vaste que possible de manières

d'apprendre;• aider les élèves à comprendre la manière dont

ils ou elles pensent et apprennent;• développer chez les élèves les habiletés à avoir

accès à la connaissance;• offrir des activités intéressantes près du vécu

de l'élève (recueillir des données auprès desélèves de l'école);

• permettre aux élèves de prendre laresponsabilité de leur propre apprentissage;

• préparer des activités comme travail à lamaison qui font suite au travail à l'école;

• préparer des activités pour des centresd'apprentissage;

• préparer des activités qui demandent à l'élèvede sortir de la salle de classe pour trouver dessolutions (sondage, enquête, rechercheautonome).

Il est prévu que l'enseignante ou l'enseignanttirera parti des propositions qui figurent dans leprésent programme et de leur réflexionpersonnelle pour mieux incorporer lesapprentissages essentiels communs àl'enseignement des mathématiques.

L'apprentissage à base deressources

L'enseignement et l'apprentissage à base deressources permet aux enseignantes etenseignants de faire une contributionconsidérable à la formation des attitudes et descapacités nécessaires à l'apprentissage autonomela vie durant. L'apprentissage à base deressources implique l'enseignante ou l'enseignantet le ou la bibliothécaire, si possible, dans laplanification d'unités qui intègrent les ressourcesaux activités de la classe et qui enseignent auxélèves les démarches nécessaires pour découvrir,analyser et présenter des informations.

L'apprentissage à base de ressources fait utiliseraux élèves des ressources de toutes sortes: livres,revues, journaux, livres de référence contenantdes statistiques et d'autres données numériques(bottins téléphoniques ou livret des codespostaux), films, vidéos, logiciels et bases dedonnées, objets à manipuler, jeux vendus dans lecommerce, cartes, globes terrestres, prospectus,musées, excursions, photos, objets naturels etfabriqués, instruments de mesure, équipement deproduction, galeries d'art, spectacles,enregistrements et personnes de la communauté.

L'apprentissage à base de ressources est axé sur

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l'élève. Il lui permet de choisir, d'explorer et dedécouvrir. Les élèves sont encouragés à faire deschoix dans un environnement riche en ressources,où leurs pensées et leurs sentiments sontrespectés.

Les suggestions suivantes aideront lesenseignants et enseignantes à tirer parti del'enseignement et l'apprentissage à base deressources:

• discuter avec les élèves des objectifs de l'unitéou de l'activité. Mettre en corrélation leshabiletés nécessaires pour la recherche et lesactivités de l'unité pour que les habiletéssoient enseignées et mises en pratique enmême temps. Collaborer avec l'enseignante oul'enseignant-bibliothécaire, le cas échéant;

• planifier bien à l'avance avec le personnel ducentre de ressources pour s'assurer de ladisponibilité de ressources adéquates et pourprendre des décisions au sujet de la répartitionde l'enseignement, le cas échéant;

• utiliser diverses ressources dans votreenseignement pour montrer aux élèves quevous aussi, vous faites de la recherche et quevous êtes constamment en quête de nouvellessources de connaissances. Discuter avec lesélèves de l'importance d'étendre leursrecherches à d'autres bibliothèques, à desministères, à des musées et à des organismesdivers de la communauté;

• demander à l'enseignante ou l'enseignant-bibliothécaire, le cas échéant, de préparer deslistes de ressources (une liste de personnes dela communauté qui seraient intéressées àparler de l'utilisation et l'application desmathématiques dans leur travail) et desbibliographies, en cas de besoin;

• encourager les élèves à demander de l'aide s'ilsou elles en ont besoin lorsqu'ils ou elles fontdes activités ou des devoirs;

• contribuer à la planification de programmes deperfectionnement pour apprendre à bienutiliser les ressources, et participer à de telsprogrammes;

• faire commander régulièrement des ressourcesqui appuieront les programmes d'études pourle centre de ressources (du matériel contenantdes activités interdisciplinaires, des jeux, deslivres de jeux de logique, des ressources ausujet de passe-temps qui renforcent des

notions mathématiques, des livres debricolage, des revues scientifiques, des livresde records tels que Guinness);

• tenir l'enseignant ou l'enseignante-bibliothécaire au courant des ressources quiappuient son enseignement et qui sontrecommandées dans la liste de ressourcesaccompagnant le programme d'études, ainsique dans la Liste des nouveautés que faitparaître chaque année le Bureau de laminorité de langue officielle du ministère del'Éducation, de la Formation et de l'Emploi dela Saskatchewan;

• souligner, au cours des entretiens avec lescollègues, les directrices et directeurs d'école,les directeurs et directrices de l'éducation, lecaractère indispensable du centre deressources et de son personnel professionnel.

La dimension adaptation (oupédagogie différenciée)

La dimension adaptation ou la pédagogiedifférenciée est un élément essentiel de tous lesprogrammes d'études. Tout comme lesapprentissages essentiels communs, la pédagogiedifférenciée est une composante du tronc communet elle imprègne tous les programmes et toutenseignement. Elle est définie de la façonsuivante:

«le concept de faire les ajustements nécessairesdans le cadre des programmes pédagogiquesapprouvés pour reconnaître la diversité desbesoins d'apprentissage des élèves. Cettenotion recouvre les pratiques utilisées parl'enseignant ou l'enseignante pour adapter àchaque élève les programmes d'études,l'enseignement et l'environnementpédagogique.»

L'essentiel de la pédagogie différenciée résidedans la phrase «chercher d'autres moyens».Quand on offre aux élèves d'autres moyensd'accès au savoir et d'autres moyens d'exprimerce qu'ils savent, on facilite leur participation àl'apprentissage. Tout comme des modificationstelles que des rampes ou de larges portes rendentles locaux de l'école d'accès plus facile, desmodifications à l'environnement pédagogique, àl'approche pédagogique ou aux ressourcespeuvent améliorer l'accès à l'apprentissage. Lapédagogie différenciée peut:

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• maximiser l'autonomie de l'élève;• faciliter l'intégration;• maximiser la généralisation et le transfert;• réduire les décalages entre la performance et

la capacité;• favoriser l'amour de l'apprentissage;• favoriser une image de soi positive et un

sentiment d'appartenance;• favoriser la confiance;• favoriser une volonté de s'engager dans

l'apprentissage.

Ces objectifs contribuent à la raison d'être del'école, c'est-à-dire aider l'élève à développer aumaximum sa capacité d'être autonome.

La pédagogie différenciée répond aux besoinsparticuliers des individus. Certains élèves aurontde la difficulté à apprendre, d'autres trouverontl'école peu stimulante. Mais à l'aide de diversesadaptations apportées aux méthodes, àl'organisation du programme d'études ou del'horaire et de technologies appropriées, ces élèvespeuvent devenir des participantes et participantsactifs du contenu obligatoire des programmesd'études.

Voici quelques exemples du genre d'adaptation àapporter aux programmes de mathématiquespour combler les besoins particuliers de certainsindividus:

• changer le rythme de la leçon pour que chaqueélève puisse comprendre le concept enquestion ou être stimulé par la présentation.On veut donner aux élèves assez de tempspour explorer, créer, remettre en question etfaire l'expérience directe de ce qu'ils ou ellesapprennent;

• surveiller le vocabulaire utilisé. Il est possibled'utiliser du vocabulaire simple et avancé dansla même leçon ce qui élargira le vocabulaire decertains élèves tout en aidant les autres àcomprendre. En langue seconde, utiliser desillustrations, des objets ou le mime pourfaciliter l'acquisition du vocabulaire;

• encourager les élèves à augmenter leurrythme de performance seulement après avoiratteint un niveau élevé de justesse;

• changer la méthode d'enseignement pourrépondre aux besoins de l'individu;

• utiliser des stratégies d'enseignement quirenforcent l'acquisition de la langue seconde;

• inciter l'élève à changer sa façon de répondreou de réagir. Encourager les élèves à utiliserdes illustrations, des objets ou le mime pourles aider à s'exprimer dans la langue seconde;

• changer l'environnement pour permettre à

l'élève de mieux profiter de l'enseignement;• placer les élèves dans des groupes

d'apprentissage coopératif hétérogènes;• changer les ressources pour mieux favoriser

l'apprentissage (offrir une variété d'objets demanipulation, de ressources imprimées, delogiciels, etc.);

• permettre aux élèves d'utiliser le matériel demanipulation tant qu'ils et elles en ressententle besoin avant de passer aux représentationssymboliques;

• préparer des activités plus difficiles pour lesélèves qui ont déjà atteint un niveau élevé decompétence;

• utiliser des techniques qui permettent desuivre de près le cheminement des élèves;

• encourager les élèves, autant que possible, àparticiper à la planification, à l'enseignementet à l'évaluation;

• modifier les techniques d'évaluation pourmaximiser les informations pertinentes reçuesde l'élève;

• moins le milieu et l'approche sont rigides, plusil est facile d'adapter le programme;

• utiliser tous les services d'appui (méthodes etpersonnel) à votre disposition. L'adaptationn'est pas possible sans eux.

La dimension adaptation comprend tout ce quel'enseignant ou l'enseignante fait pour rendrel'apprentissage pertinent et adéquat pour chaqueélève. Puisque la dimension adaptation imprègnetoute la pratique de l'enseignement, le jugementprofessionnel des enseignantes et enseignantsdevient le facteur clé dans le processus de prisede décision. Ce programme d'études permet cetteflexibilité et cette prise de décision de leur part.

L'équité des sexes

Le ministère de l'Éducation, de la Formation et del'Emploi de la Saskatchewan s'est engagé àfournir une bonne éducation à tous les élèves dela maternelle à la 12e année. Il est reconnu quedes attentes fondées essentiellement sur le sexede l'élève limitent son plein épanouissement. Pourréaliser l'équité des sexes, il faut réduire lespréjugés sexistes qui limitent la participation etles choix de tous les élèves.

Certains préjugés et certaines pratiques ontdisparu, mais d'autres demeurent. L'école qui avisé l'égalité des chances pour les garçons et lesfilles doit maintenant faire un effort pourpermettre l'égalité des avantages et des résultats.

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Il incombe à l'école de créer un milieu scolaireexempt de tout préjugé sexiste en diminuant lesattentes et les attitudes attribuées à unepersonne en fonction de son sexe. On atteint cebut en favorisant une meilleure compréhensionde la question et en utilisant des ressources et desméthodes d'enseignement non sexistes. Il fautencourager les filles et les garçons à examinertoute la gamme des options par rapport à leursaptitudes, leurs capacités et leurs intérêts, plutôtque leur sexe.

Il faut tenir compte, dans les programmesd'études de la province, de la diversité des rôles etde la gamme des expériences, des comportementset des attitudes qui s'offrent à tous les membresde la société. Ce programme d'études veut assurerun contenu, des activités et des méthodesd'enseignement impartiaux, quant au sexe, etrédigés dans un langage inclusif. Les enseignantset enseignantes peuvent ainsi créer un milieuexempt de préjugés et permettant aux filles etaux garçons de partager toutes les expériences etd'avoir les mêmes possibilités de cultiverpleinement leurs capacités et leurs talents.

L'enseignant ou l'enseignante joue un rôleimportant dans l'enseignement desmathématiques. La recherche indique qu'il y atrès peu de différences entre les sexes au point devue des habiletés en mathématiques. Mais àcause de leurs expériences préscolaires etscolaires différentes, les filles n'atteignent pastoujours le même niveau d'accomplissement queles garçons au secondaire et au post-secondaire,surtout dans le domaine de la géométrie et del'orientation spatiale. L'enseignant oul'enseignante peut influencer la réussiteéventuelle de tous et toutes ses élèves en faisantun examen de ses opinions, de ses attitudes et deses attentes. L'enseignante peut démontrer lapertinence des mathématiques pour les filles ense présentant elle-même comme modèle. Grâce àl'apprentissage axé sur la coopération plutôt quesur la compétition, tous les garçons et toutes lesfilles peuvent réussir dans l'accomplissementd'activités mathématiques. L'enseignant oul'enseignante doit aussi être sensible au fait queles élèves aussi ont certains préjugés quiinfluencent leur réussite ou leurs difficultés enmathématiques. De même, les élèves sontfortement influencés par l'opinion de leurs pairs.

Afin de démontrer la pertinence desmathématiques dans la vie quotidienne, on doitchoisir des exemples qui proviennent du vécu desfilles, tout autant que de celui des garçons. Dèsun bas âge, les élèves doivent comprendre que la

plupart des professions et métiers demandent desconnaissances et des habiletés mathématiques.L'enseignant ou l'enseignante doit être attentif àson interaction avec ses élèves et s'assurer quechaque élève participe activement aux activitésdans la classe. Quand l'interaction entre lesélèves renforce des attitudes et descomportements négatifs, on peut en discuter aveceux afin de les aider à développer une meilleurecompréhension de leurs habiletés et de leurpotentiel. Toutes ces actions supportent etrenforcent le principe de l'équité des sexes dans lecontexte des mathématiques.

Les perspectives et le contenuindiens et métis

Il est question de l'intégration aux programmesd'études des perspectives et du contenu indiens etmétis dans plusieurs documents dont Directions,Five Year Action Plan for Native CurriculumDevelopment et Indian and Metis EducationPolicy from Kindergarten to Grade XII. Ilss'accordent tous pour faire une recommandationcapitale:

«Le ministère de l'Éducation de laSaskatchewan reconnaît le caractèreunique des Indiens et des Métis, et leurplace unique et légitime dans la sociétécontemporaine et historique. Le ministèrereconnaît que les programmes d'étudesdoivent être modifiés pour mieux répondreaux besoins des Indiens et des Métis et queces modifications seraient dans l'intérêt detous les élèves.»

L'inclusion des perspectives indiennes, métisseset inuit est dans l'intérêt de tous les élèves dansune société pluraliste. Voir sa culture représentéedans tous les aspects du milieu scolaire permetaux enfants d'acquérir un sentiment positifd'appartenance au groupe. Le choix de ressourcesrelatives aux Indiens, aux Métis et aux Inuitstimule chez les élèves autochtones desexpériences significatives et développe chez tousles élèves une attitude favorable à l'égard desIndiens, des Métis et des Inuit. Cette prise deconscience de sa propre culture et de celle desautres favorise le développement d'une image desoi positive, favorise l'apprentissage, permet demieux comprendre la société pluraliste qu'est leCanada et soutient les droits de la personne.

En Saskatchewan, les élèves indiens, métis etinuit viennent de divers milieux socioculturels

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(Grand Nord, milieu rural et milieu urbain). Leséducateurs et éducatrices ont besoin de cultiverleurs connaissances des autres cultures pourmieux comprendre cette diversité. Lesenseignants et enseignantes des élèves d'origineautochtone sont avantagés par une meilleureprise de conscience de la socio-linguistiqueappliquée, de la théorie de l'apprentissage de lalangue maternelle et de la langue seconde, et desvariétés dites «standard» et «non standard» del'anglais. Il faut que les enseignants etenseignantes utilisent diverses stratégiesd'enseignement qui tiennent compte desconnaissances, cultures, styles d'apprentissage etpoints forts des élèves autochtones, et qui lesexploitent. Pour une mise en oeuvre efficace detous les programmes d'études, il faut desadaptations qui seront sensibles aux besoins deces élèves.

En Saskatchewan, il incombe aux enseignants etenseignantes d'intégrer aux unités appropriéessuffisamment de contenu relatif aux Indiens, auxMétis et aux Inuit et de prévoir des ressources quiprésentent les perspectives authentiques de cespeuples autochtones. Les enseignants etenseignantes doivent également évaluer toutesles ressources pour voir si elles contiennent despréjugés, et apprendre aux élèves à les dépister.

En résumé, le ministère de l'Éducation, de laFormation et de l'Emploi de la Saskatchewans'attend à ce que les programmes d'études et lematériel didactique:

• présentent une image positive des Indiens, desMétis et des Inuit;

• renforcent les convictions et les valeurs despeuples indiens, métis et inuit;

• comprennent des questions contemporainesaussi bien qu'historiques;

• reflètent la diversité au point de vue droit,politique, société, économie et régiongéographique des Indiens, des Métis et desInuit.

Le programme d'études des mathématiquesappuie ces recommandations de diverses façons:

• encourage l'enseignant ou l'enseignante àcréer des problèmes provenant del'environnement des élèves;

• encourage les élèves à créer des problèmes quitiennent compte de leurs intérêts et quiproviennent de leur environnement;

• favorise l'apprentissage actif afin de faciliter laréussite et de développer la confiance en soi;

• recommande l'apprentissage concret et

pictural avec lequel l'élève est à l'aise;• encourage la collecte de données;• démontre la pertinence des mathématiques en

l'intégrant aux autres domaines d'étude et à lavie quotidienne;

• encourage le travail coopératif;• encourage la communication des idées

mathématiques dans les quatres savoirs;• incorpore des idées mathématiques provenant

des cultures indiennes, métisses et inuit.

Les douze principes de laphilosophie indienne

tirés de l'Arbre sacré

Lors d'une conférence tenue à Lethbridge enAlberta en décembre 1982, des Anciens, des chefsspirituels et des professionnels indiens venus detoutes les régions du Canada ont défini leséléments fondamentaux qu'ils considéraientcommuns à toutes les philosophies indiennes duCanada. Ces éléments sont à la base des travauxen cours actuellement à l'Université deLethbridge, le Projet de développement desquatre mondes («Four Worlds DevelopmentProject»).

Bien que ces éléments philosophiques soient denature historique, ils continuent à être un facteurdans la vision du monde des peuples indiens etmétis à l'époque contemporaine.

1. L'approche holistique. Tout est relié. Toutdans l'univers fait partie d'un tout unique.Tout est lié de certaine façon à autre chose. Iln'est donc possible de comprendre une choseque si l'on comprend comment cette chose estliée au reste.

2. L'évolution. Toute la création est en étatd'évolution constante. La seule chose qui soittoujours la même, c'est que tout passe par descycles de changements qui se répètent. Unesaison suit l'autre. Les êtres humains naissent,vivent leur vie, meurent et entrent dans lemonde des esprits. Tout évolue. Les chosessubissent deux sortes de changements, car leschoses se font (la formation) et elles se défont(la désagrégation). Ces deux sortes dechangements sont nécessaires et sont toujoursliées les unes aux autres.

3. Les changements arrivent par cycles ou selondes constantes. Ils n'arrivent pas au hasard ouaccidentellement. Il est parfois difficile de voiren quoi un changement donné est lié à tout le

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reste. Cette difficulté s'explique ordinairementpar le fait que notre point de vue (la situationà partir de laquelle nous considérons lechangement) limite notre capacité de voirclairement.

4. Ce que l'on voit et ce que l'on ne voit pas. Lemonde physique est réel. Le monde spirituelest réel. Ce sont deux aspects de la mêmeréalité. Et pourtant, ce sont des lois distinctesqui régissent l'un et l'autre. Toute violationdes lois spirituelles peut affecter le mondephysique. Toute violation des lois physiquespeut affecter le monde spirituel. Une vieéquilibrée respecte les lois de ces deuxdimensions de la réalité.

5. Les êtres humains ont une dimensionspirituelle et une dimension physique.

6. Les êtres humains peuvent toujours acquérirde nouveaux talents, mais au prix d'efforts. Lepeureux peut devenir courageux, le faible, fortet intrépide, la personne insensible peutapprendre à se soucier des sentiments desautres et la personne matérialiste peutacquérir la capacité d'introspection et écoutersa voix intérieure. Le processus que l'êtrehumain utilise pour développer ces nouvellesqualités peut être appelé «l'apprentissagevéritable».

7. Il existe quatre dimensions de «l'apprentissagevéritable». Ces quatre aspects de la nature dechaque personne sont reflétés dans les quatrepoints cardinaux du cercle de l'esprit. Cesquatre aspects de notre être se développentpar l'exercice de la volonté. On ne pourra direqu'une personne a fait un apprentissagecomplet et harmonieux si ces quatredimensions de son être n'ont pas étéimpliquées dans le processus.

8. La dimension spirituelle du développementhumain peut être envisagée comme unensemble de capacités liées entre elles.

La première, c'est la capacité d'être sensible àdes réalités qui n'ont pas d'existencematérielle, comme les rêves, les visions, lesidéaux, les enseignements, les objectifs et lesthéories spirituels, et d'intégrer ces réalitésdans notre vie.

La deuxième, c'est la capacité d'accepter cesréalités comme le reflet (sous forme dereprésentation symbolique) d'un potentielinconnu ou non réalisé nous permettant defaire quelque chose ou d'être quelque chose deplus ou de différent de ce que nous sommes àl'heure actuelle.

La troisième, c'est la capacité d'exprimer cesréalités immatérielles à l'aide de symboles,comme ceux du langage, des arts ou desmathématiques.

La quatrième, c'est la capacité d'utiliser cetteexpression symbolique pour orienter notreaction future, c'est-à-dire nos efforts pourtransformer en réalité vivante ce quin'apparaissait auparavant que comme unepossibilité.

9. Les êtres humains doivent prendre une partactive à la réalisation de leur propre potentiel.

10.La porte que nous devons tous franchir si nousvoulons devenir plus que ce que noussommes maintenant, ou en être différent,est la porte de la volonté. Il faut qu'unepersonne décide de faire le voyage. La voiea une patience infinie. Elle sera toujours làpour ceux qui décident de la suivre.

11.Quiconque s'embarque pour le voyage dudéveloppement personnel (c'est-à-dires'engage et respecte son engagement)recevra de l'aide. Des guides et desprofesseurs apparaîtront et des protecteursspirituels protègeront le voyageur. Levoyageur n'aura pas à subir d'épreuvesqu'il n'aura déjà la force de surmonter.

12.La seule source d'échec du voyage sera si levoyageur manque aux enseignements del'Arbre sacré.

Reproduit avec autorisation:

Four Worlds Development PressProjet de développement des quatre mondesUniversité de Lethbridge4401 University Drive

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Lethbridge (Alberta) T1K 3M4

Les approches pédagogiques

Les enseignants et enseignantes doiventutiliser un grand éventail de stratégies et deméthodes d'enseignement pour donner auxélèves la chance d'approfondir leurcompréhension et de perfectionner leur aptitude àfaire des recherches, à comprendre les nouvellessituations et en dégager la signification, à fairedes hypothèses et fournir des arguments et enfin,à faire appel à tout un assortiment de stratégiespour résoudre des problèmes qui relèvent tant dudomaine des mathématiques que d'autresdisciplines. Ils et elles doivent en outre offrir auxélèves plus de possibilités de travailler en petitsgroupes, d'apprendre de manière autonome,d'apprendre entre pairs, et de participer à desdiscussions de classe animées par l'enseignant ouenseignante.

Ces stratégies ou méthodes d'enseignementsignifient que l'enseignant ou l'enseignantesera non plus celui ou celle qui dispensel'information mais bien celui ou celle quifacilite l'apprentissage. Dans la mesure dupossible, on présentera les nouveaux concepts aumoyen de situations qui encouragent les élèves àexplorer, à formuler et à tester des hypothèses, àdémontrer des généralisations, à discuter desrésultats de leurs recherches et à appliquer cesrésultats. Grâce à cet enseignement, les élèvesdevraient pouvoir apprendre les mathématiquesde manière créative et autonome et ainsi,améliorer leur confiance en soi et leur habileté àfaire des mathématiques. En fait, la résolution deproblèmes ne devrait pas être seulement unmoyen d'apprendre mais aussi un but. Le rapportentre la résolution de problèmes et d'autresstratégies d'enseignement est tout à faitfondamental. Par exemple, pour que les élèvespuissent s'exercer à appliquer un processus derésolution de problèmes, il faut que la situationd'apprentissage en soit une qui leur permette dedécouvrir par eux-mêmes les principesmathématiques à acquérir.

Le document intitulé Approches pédagogiques:Infrastructure pour la pratique de l'enseignement(ministère de l'Éducation de la Saskatchewan,1993) offre un cadre qui permet de comprendre etde mettre en pratique diverses méthodesd'enseignement.

L'utilisation de la technologie dans

l'enseignement devrait influer sur l'enseignementet l'apprentissage des mathématiques.L'enseignant ou enseignante peut se servir delogiciels pour faire des démonstrations, les élèvespeuvent les utiliser individuellement pour étudierdes exemples supplémentaires, pour mener desenquêtes indépendantes, pour recueillir etrésumer des données dans le cadre d'un projet oupour terminer des travaux. On trouvera plus derenseignements sur toute une variété destratégies pédagogiques utilisées dansl'enseignement des mathématiques dansCurriculum Evaluation Standards for SchoolMathematics (National Council of Teachers ofMathematics, 1989) ou dans les livrets de Sériestratégies d'enseignement publiés parSIDRU/SPDU.

Une liste partielle de stratégies et de méthodesqui s'appliquent particulièrement àl'enseignement des mathématiques pourrafaciliter le choix de l'enseignant ou l'enseignante.Enseignement interactif:

• le remue-méninges;• l'enseignement par les pairs;• la discussion;• l'apprentissage coopératif;• la résolution de problèmes;• le tutorat en groupes;• les entrevues.

Enseignement direct:

• l'enseignement explicite;• l'exposé;• le questionnement didactique;• les exercices;• les comparaisons.

Enseignement indirect:

• l'enquête;• la discussion réfléchie;• l'acquisition de concepts.

Apprentissage expérientiel:

• les excursions;• les expériences;• les jeux;• la visualisation guidée;• les sondages;• les objets de manipulation.

Étude indépendante:

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• le rapport;• l'enseignement assisté par ordinateur;• les devoirs;• les exercices;• les centres d'apprentissage.

Outre la résolution de problèmes qui dominel'enseignement des mathématiques et estincorporée dans tous les volets du document, onfavorise l'apprentissage coopératif pourl'apprentissage des mathématiques en langueseconde.

L'apprentissage coopératif est une méthodeinteractive au cours de laquelle les élèves enpetits groupes hétérogènes travaillent ensemblepour atteindre un but commun. C'est uneméthode qui encourage des relationsinterpersonnelles plus positives et l'entraide dansl'apprentissage des élèves.

Voici quelques éléments essentiels del'apprentissage coopératif:• l'interdépendance positive: les élèves

travaillent ensemble à un but commun. Ils ouelles partagent le matériel et les informations.Chaque membre de l'équipe a un rôle à jouer.La réussite du groupe dépend de la réussite dechacun de ses membres;

• la responsabilité individuelle: les élèves sontévalués individuellement aussi bien qu'engroupe. Chaque membre du groupe estresponsable du travail du groupe;

• l'interaction personnelle et directe: les élèvesdoivent être assis de façon à pouvoir se parleret travailler ensemble facilement;

• les habiletés interpersonnelles: l'enseignant oul'enseignante doit établir des objectifsspécifiques par rapport aux habiletésinterpersonnelles, les enseigner explicitement,les modéliser, donner aux élèves l'occasion deles mettre en pratique dans leur groupe et lesévaluer;

• l'objectivation: les élèves ont l'occasion deréfléchir à la manière dont leur groupe afonctionné. Ils et elles identifient ce qui a bienfonctionné et ce qui a besoin d'amélioration. Ilsou elles proposent des solutions pour améliorerle fonctionnement de leur groupe à l'avenir.

L'enseignement en langueseconde

Au fur et à mesure que la pédagogie spécifique àl'immersion se raffine, les éducateurs et

éducatrices deviennent plus conscients desstratégies d'enseignement et des environnementspédagogiques qui facilitent l'apprentissage dansla situation unique que représente l'immersionfrançaise dans un contexte anglophone. La langueet l'apprentissage sont liés inextricablement. «Ledéveloppement des habiletés langagières estindispensable au développement continu desconnaissances dans chaque matière»(Introduction aux apprentissages essentielscommuns: Manuel de l'enseignant, ministère del'Éducation de la Saskatchewan, 1988). Lorsquela langue est une langue seconde et que le milieufrançais est créé artificiellement, il faut faireparticulièrement attention à s'assurer que ledéveloppement des habiletés langagières ait bienlieu au rythme nécessaire pour soutenir undéveloppement continu des connaissances danschaque matière scolaire. Les programmesd'études qui sont destinés à être enseignés dansla langue première des élèves ne peuvent êtreutilisés sans adaptation dans un contexte delangue seconde tel que celui de l'immersion. Deplus, des adaptations aux stratégiesd'enseignement et à l'environnement pédagogiquecontribueront également à enrichirl'apprentissage non seulement de la langue, maiségalement des diverses matières.

Voici quelques exemples du genre d'adaptationqui peut être apporté au programme d'études demathématiques en anglais pour le rendre plusefficace et pour combler les besoins de la clientèled'immersion. Les enseignantes et enseignantssont invités à continuer ce processus d'adaptationdans le même sens.

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Le contenu

• On doit porter une attention spéciale sur levocabulaire essentiel pour chaque unité,surtout à l'intermédiaire et au secondaire où levocabulaire devient de plus en plus spécialisé.

Les stratégies d'enseignement

• On privilégie les stratégies qui favorisent lacommunication orale et écrite, tout en gardantun équilibre entre les quatre savoirs, mais encommençant le plus souvent par l'oral.

• Les techniques d'évaluation sont choisies pourmaximiser les informations pertinentes reçuesde l'élève.

L'environnement pédagogique

• On doit créer un milieu riche en indices decompréhension.

• L'arrangement physique des salles de classedoit encourager la communication orale entreélèves et doit être flexible.

• On doit créer un milieu qui favorise lacommunication en français à l'école, ou fournirun centre de ressources bien garni enressources en français.

Pour plus de détails, consulter Enseignement etapprentissage en langue seconde, ministère del'Éducation, de la Formation et de l'Emploi de laSaskatchewan, 1994.

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L'évaluation

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Les buts de l'évaluation

L'évaluation est une démarche qui consiste àrecueillir des renseignements sur l'apprentissageou le développement de l'élève, à analyser et àinterpréter ces renseignements en vue de porterun jugement sur la situation de l'élève et deprendre une décision relative à son cheminementultérieur. L'évaluation joue un rôle essentiel dansla démarche d'enseignement et d'apprentissage.Son but principal est d'informer l'enseignant oul'enseignante, l'élève, ses parents etl'administration, de la direction que doit prendrel'enseignement.

Le tronc commun offre à l'élève les connaissances,les capacités et les habiletés nécessaires à sonéducation future, son travail futur et sa viequotidienne. Ceci demande qu'on s'éloigne desméthodes traditionnelles d'enseignement etd'évaluation. Traditionnellement, l'évaluation del'apprentissage de l'élève ne s'intéressait qu'aucontenu factuel et le progrès était évalué aumoyen de méthodes telles que les examens écrits.Cependant, afin d'évaluer l'apprentissage dansdes domaines tels que la créativité et leraisonnement critique, l'apprentissage autonomeet les capacités et valeurs personnelles et sociales,il est nécessaire d'utiliser des méthodes nontraditionnelles. De plus en plus, l'enseignant oul'enseignante aura recours à des stratégies tellesque l'observation, l'entrevue, le travail écrit etoral et l'évaluation de la performance pourrecueillir des données afin d'évaluer le progrès del'élève.

Bien que la responsabilité pour l'établissement del'évaluation des élèves et la manière de rapportercette évaluation revienne à l'administration del'école, à l'administration de la commissionscolaire ou conseil scolaire fransaskois et au corpsenseignant, l'enseignant ou l'enseignante a laresponsabilité quotidienne de l'évaluation de sesélèves. Cette personne est en effet la mieux placéepour évaluer les progrès de l'élève grâce à uneplanification soigneuse, des stratégiesd'évaluation appropriées et un jugementprofessionnel fondé.

Principes de base

Le ministère de l'Éducation, de la Formation et del'Emploi de la Saskatchewan offre des principesde base pour aider les enseignants et les

enseignantes à planifier l'évaluation de l'élève detelle manière qu'elle guide efficacementl'enseignement, et favorise la confiance en soi etla connaissance de soi de l'élève. En voici quelque-uns:

• l'évaluation fait partie intégrante de ladémarche d'enseignement etd'apprentissage. Il faut la prendre enconsidération tout au long de la démarche deplanification de l'enseignement;

• l'évaluation doit faire l'objet d'uneplanification rigoureuse;

• l'évaluation est intimement liée aux objectifsdu programme d'études;

• l'évaluation doit aider les enseignants et lesenseignantes à pourvoir aux besoinsindividuels des élèves pour permettrel'appréciation de toute la gamme de capacités,d'intérêts et de styles d'apprentissage;

• l'enseignant ou l'enseignante doit indiquer àl'avance à ses élèves comment ils et ellesseront évalués au cours de l'année;

• les activités, les situations de communicationutilisées à des fins d'évaluation, ainsi que lesméthodes d'évaluation doivent être justes etimpartiales;

• l'évaluation doit aider l'élève à participeractivement à son apprentissage en luifournissant une rétroaction positive etconstructive.

Dans le cadre du programme d'études demathématiques, on veillera à respecter les lignesdirectrices suivantes:

• l'évaluation doit s'effectuer dans un contextesignifiant et similaire à celui del'enseignement: si par exemple les élèves,encore à l'étape concrète, additionnent,soustraient, multiplient ou divisent despolynômes en faisant des activités demanipulation avec des tuiles d'algèbre, onévaluera ces habiletés en observant les élèvesutiliser les tuiles d'algèbre et non au moyend'un test traditionnel écrit;

• en choisissant des objectifs et des méthodesd'évaluation, l'enseignant ou l'enseignante doitprendre en considération les besoinsindividuels de l'élève: on ne cherche pastoujours à recueillir les mêmes

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renseignements sur tous les élèves;

• pour être reliée aux objectifs du programmed'études de mathématiques, l'évaluation doitviser plus que la vérification desconnaissances: elle doit aussi informer desprogrès de l'élève sur des aspects tels que lamise en oeuvre de stratégies de réflexion,l'intérêt pour les mathématiques, la prise deconscience de valeurs sociales, l'appréciationde la valeur de la technologie dans la société;

• l'évaluation n'est pas compétitive: elle vise àpromouvoir et à mesurer les progrès del'individu, et non à comparer les performancesde celui-ci à une norme ou à ses pairs; demême, l'élève doit avoir assez de temps pourrépondre à tous les items des instruments demesure;

• l'évaluation sommative se fait surtout enréférence aux objectifs généraux duprogramme, alors que l'évaluation formativepeut être guidée par des objectifs spécifiques;

• on doit faire la distinction entre l'évaluationdu contenu en mathématiques et l'évaluationde la langue seconde: il faut donner lapossibilité aux élèves d'exprimer leurcompréhension de notions mathématiques pardes moyens non verbaux ou non écrits, ou dese servir de moyens non verbaux ou non écritscomme soutien de l'expression en langueseconde dans les situations d'évaluation.

Contextes de l'évaluation

On distingue trois contextes à l'évaluation del'élève: l'évaluation diagnostique, l'évaluationformative et l'évaluation sommative.

L'évaluation diagnostique

L'évaluation diagnostique a lieu généralement endébut d'année ou en début d'unité. Son butprincipal est d'identifier les intérêts des élèves etde faire un bilan des acquis de façon à planifierun programme qui corresponde aux besoins dechaque élève.

L'évaluation formative

L'évaluation formative est un contrôle continudes progrès de l'élève. Le but principal del'évaluation formative est d'améliorerl'enseignement et l'apprentissage de l'élève. Elle

donne à l'enseignant ou l'enseignante uneinformation valable sur les modifications qu'il ouelle doit apporter à son enseignement. Ce typed'évaluation lui permet de comprendre le degréd'apprentissage des élèves de la matièreenseignée et le degré de développement desconnaissances, de la compréhension, des habiletéset des attitudes des élèves. Cette évaluationpermet ensuite d'orienter les élèves pour leurapprentissage futur et de les encourager àprendre la responsabilité de leur propre progrès.

L'évaluation formative s'effectue souvent de façoninformelle et dans le cadre des activitésd'apprentissage: au cours d'entretiens, parl'observation lors des activités de groupes, etc.

L'évaluation sommative

L'évaluation sommative s'effectue à la fin d'unepériode d'apprentissage (la fin d'une unité, del'étude d'un thème, d'un trimestre ou d'unsemestre, d'une année). Elle représente une sortede résumé des progrès de l'élève et vise àdéterminer dans quelle mesure on a atteint lesobjectifs généraux du programme d'études.

Les évaluations sont rarement strictementformatives ou strictement sommatives. Parexemple, l'évaluation sommative peut être utiliséede façon formative pour permettre à l'enseignantou l'enseignante de décider de changer sesstratégies d'enseignement ou d'autres aspects duprogramme de l'élève. De même, l'évaluationformative peut l'aider à porter des jugements surles progrès des élèves. Cependant, il estimportant d'expliquer clairement l'objectif del'évaluation aux élèves et de leur dire si elle serautilisée pour l'évaluation sommative.

Les enseignants et enseignantes ont recours auxtrois types d'évaluation pendant une annéescolaire.

La démarche d'évaluation

L'évaluation n'est pas une démarcherigoureusement séquentielle, mais plutôtcyclique, à l'intérieur de laquelle on peut observerles quatre étapes décrites ci-dessous.

La préparation

Au cours de cette étape, on définit les objectifs de

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l'évaluation (c'est-à-dire ce que l'on cherche àévaluer), le contexte de l'évaluation (diagnostique,formative ou sommative) et les critères dejugement, puis on sélectionne une méthoded'évaluation appropriée pour ces circonstances.Ces décisions peuvent être prises en consultationavec l'élève.

La mesure

Au cours de cette phase, l'enseignant oul'enseignante établit des méthodes d'évaluation,élabore ou choisit des instruments de mesure, lesutilise et recueille des renseignements sur l'élèveen regard des objectifs à évaluer. De plus,l'enseignant ou l'enseignante organise et analyseles données pour faciliter leur interprétation, etensuite compare les données recueillies à uncritère de référence.

L'enseignant ou enseignante continue à prendredes décisions au cours de cette étape. Il ou elledoit par exemple repérer et éliminer les préjugés(tels que ceux fondés sur le sexe ou sur la culture)dans les stratégies et les instruments de mesureet déterminer où, quand et comment se fera lamesure.

On doit tenir les élèves au courant des objectifsévalués et des méthodes utilisées pour la collectedes données, et on doit les évaluer dans lecontexte de situations non menaçantes.

L'évaluation

Au cours de cette phase, l'enseignant oul'enseignante examine les données recueillies entenant compte de considérations pertinentes (lessituations particulières de l'élève, le programmed'études, le temps de l'année, la variété desressources, etc.) afin d'établir un jugement sur lesprogrès accomplis. Son analyse devrait l'amener àprendre une décision et établir un plan d'action,c'est-à-dire à planifier les stratégies, activités etleçons qui seraient le plus aptes à promouvoir denouveaux progrès.

La phase de réflexion

L'enseignant ou l'enseignante réfléchit àl'efficacité des phases précédentes: la méthodeutilisée correspondait-elle aux objectifs à évaluer?A-t-elle permis de mettre en évidence ce que l'oncherchait à observer? Les difficultés decompréhension et d'expression en langue secondeont-elles pu fausser l'évaluation?

Cette phase devrait influencer les évaluationsultérieures: si l'on se rend compte qu'en effet,l'évaluation a été faussée par la difficulté del'élève à comprendre et à s'exprimer en français,on peut à l'avenir rectifier le choix du médiumutilisé par l'élève au cours des activitésd'évaluation (ce choix devrait être guidé par lesaptitudes particulières de l'élève et la décisionquant au médium à utiliser peut être prise enconsultation avec lui ou elle).

La réflexion devrait également porter surl'enseignement en général: il faut se demander,par exemple, si la majorité des élèves n'ont pasréussi, quelle est la cause de cet échec.

Voir Évaluation de l'élève: manuel del'enseignant, ministère de l'Éducation de laSaskatchewan, 1993, pour plus derenseignements au sujet de l'évaluation.

Optiques de l'évaluation

L'évaluation peut chercher à recueillir desrenseignements sur l'élève de façon à mettre envaleur ses progrès. Elle est effectuée parl'enseignant ou l'enseignante, mais il faut aussiencourager l'élève à participer activement à sonapprentissage en lui donnant l'occasion d'utiliserdes méthodes d'auto-évaluation pour suivre sespropres progrès.

Une composante importante de l'évaluationconsiste en une réflexion de l'enseignant oul'enseignante sur ses pratiquespédagogiques, dans le but d'améliorer ladémarche d'enseignement et d'apprentissage.

Le ministère de l'Éducation, de la Formation et del'Emploi de la Saskatchewan a mis en place unmécanisme qui prévoit une troisième optique del'évaluation, celle du programme lui-même. Leprogramme de mathématiques pour le secondairesera soumis à cette évaluation pour endéterminer l'efficacité.

Évaluation de l'élève

Cette section offre quelques méthodesd'organisation et une variété d'instruments demesure, à titre indicatif. Les enseignants etenseignantes ne sont pas tenus de les utiliser;elles constituent plutôt des suggestions, puisqu'ilrevient à l'enseignant ou enseignante d'exercer

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son jugement professionnel pour déterminerquelles méthodes conviennent au but précis del'évaluation. Il serait inopportun pour lesprogrammes d'études de donner auxenseignants et enseignantes des formulesprécises destinées à mesurer la performancedes élèves. La planification relative à la mesureet à l'évaluation doit tenir compte descirconstances et des buts uniques qui varieront.

L'enseignant ou enseignante choisit ou éront àl'élaboration des instruments, à la validation, à lamise à l'essai, à la correction et à l'interprétationdes données; la coopération entre les commissionsscolaires et les conseils scolaires sera nécessaire sion veut que le programme soit implanté avecsuccès.Durant l'étape de mesure, on recueillera desrenseignements auprès des élèves, du personnelenseignant et du personnel administratif. Lesrenseignements fournis par les éducateurs etéducatrices indiqueront dans quelle mesure leprogramme d'études est implanté, les forces et lesfaiblesses du programme et les problèmesrencontrés lors de l'enseignement de ceprogramme. Les renseignements fournis par lesélèves indiqueront dans quelle mesure ils et ellesatteignent les résultats d'apprentissage visés etdonneront des indications sur les attitudes desélèves vis-à-vis du programme d'études. Pourrecueillir les données auprès des élèves, on feraappel à une variété de stratégies, y compris destests écrits (objectifs et à réponse libre), despostes de performance, des entrevues, desenquêtes et l'observation.

Dans le cadre de l'étape d'évaluation, desreprésentants et représentantes de tous lesprincipaux intervenants en éducation, dont lesdirections responsables du programme d'études etde l'évaluation au ministère de l'Éducation, de laFormation et de l'Emploi de la Saskatchewan etles titulaires de classe, interpréteront lesrenseignements fournis. Les données recueilliesau cours de l'étape de mesure seront examinées,et les recommandations faites par un groupechargé de l'interprétation porteront sur lesaspects qui exigent des améliorations. Ontransmettra ces recommandations aux partisintéressés tels que la Direction du programmed'études et de l'enseignement, les commissionsscolaires et conseils scolaires fransaskois, lesécoles, les universités et les organismesd'éducation de la province.

L'évaluation portera sur tous les programmesd'études provinciaux. Des évaluations serontréalisées durant l'étape d'implantation des

nouveaux programmes d'études et ces derniersseront ensuite évalués à tour de rôle, à intervallesréguliers. Le document intitulé CurriculumEvaluation in Saskatchewan (SaskatchewanEducation, 1990) décrit plus en détailsl'évaluation du programme scolaire.

Auto-évaluation desenseignants et enseignantes

Il existe deux niveaux d'auto-évaluation desenseignants et enseignantes: la réflexion surl'enseignement quotidien en classe et l'auto-évaluation professionnelle.

Les enseignants et enseignantes perfectionnentleurs compétences en réfléchissant aux élémentsde leur enseignement, y compris à l'évaluation.Les questions suivantes peuvent les aider à mieuxré