La fonction exponentielle

Limites

Ce cours porte exclusivement sur la notion de limite relative a` la fonction

exponentielle.

1 Lidee generale

La fonction exponentielle peut etre introduite selon plusieurs approches :

comme la bijection reciproque de la fonction logarithme neperien ;

comme la seule fonction egale a` sa derivee ;

comme la fonction qui crot plus vite que xn, n N.

2 La theorie

2.1 Les limites de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle admet les limites suivantes :

limx+

ex = + et lim

x

ex = 0

1

2.2 Approximation affine de eh

Au voisinage de 0, 1 + h constitue une approximation affine de eh et on

a la limite suivante :

limh0

eh 1

h= 1

2.3 Croissances comparees

La fonction exponentielle crot plus vite que nimporte quelle autre fonc-

tion, ce qui permet decrire R que :

limx+

ex

x= + et lim

x

xe

x = 0

2

3 Exercices pratiques

3.1 Exercice 1

Determiner la limite quand x tend vers 0 par valeurs superieures de la

fonction ex1

x .

limx0+

x = 0

limx0+

1

x= +

Le principe de sommation des limites permet donc decrire :

limx0+

x1

x=

Par consequent, dapre`s les proprietes de la fonction exponentielle, on ob-

tient :

limx0+

ex

1

x = 0

3

3.2 Exercice 2

Determiner la limite quand x tend vers + de la fonction xe1

x .

limx+

x = +

limx+

1

x= 0

limx+

e1

x = 1

limx+

xe1

x = +

4

3.3 Exercice 3

Determiner la limite quand x tend vers + de la fonction x7 e3x+1.

limx+

x7 = +

limx+

3x + 1 = +

limx+

e3x+1 = +

limx+

e3x+1 =

On a donc une forme indeterminee du type + . Pour lever cette

indetermination, on met x7 en facteur :

x7 e

3x+1 = x7(

1e3x+1

x7

)= x7

(1 e2x+1

ex

x7

)

Or, dapre`s les croissances comparees, limx+

ex

x= +, R, donc on

obtient :

limx+

ex

x7= +

limx+

e2x+1

ex

x7= +

limx+

1 e2x+1e

x

x7=

limx+

x7

(1 e2x+1

ex

x7

)=

limx+

x7 e

3x+1 =

5

3.4 Exercice 4

Determiner la limite quand x tend vers + de la fonctione

x x

2ex + 3.

limx+

ex = +

limx+

2ex = +

limx+

2ex + 3 = +

limx+

ex x = + dapre`s les croissances comparees

On a donc une forme indeterminee du type

. Pour lever cette indetermination,

on met ex en facteur :

ex x

2ex + 3=

ex

(1

x

ex

)

ex

(2 +

3

ex

) = 1x

ex

2 +3

ex

Or, dapre`s les croissances comparees, limx+

x

ex= 0, R, donc on ob-

tient :

limx+

x

ex= 0 et lim

x+

3

ex= 0

Par consequent, on a directement :

limx+

1x

ex

2 +3

ex

=1

2

limx+

ex x

2ex + 3=

1

2

6