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MATH Sciences Economiques L1 – Gaël ISOIRD

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-Re

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Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre :

"Accès à l'université" chez DUNOD

Les supports de cours ne sont pas complets, ils ne contiennent ni les

démonstrations, ni certains schémas et exemples vus en cours.

Pour une bonne compréhension du cours, la présence et l'écoute en cours restent

vivement conseillés.


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Chapitre VII :

Fonction logarithme,

exponentielle,

puissance


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I. Fonction logarithme népérien 1) Définitions Quand � ∈ ℤ − {−1} la fonction � ⟼ � admet pour primitives sur ℝ�

∗ , les fonctions

� ⟼ ��

��+ � ou c est une constante réelle. Or sur ℝ�

∗ , la fonction � ⟼ �� est

continue, elle admet donc des primitives sur ℝ�∗ :


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Definition :

On appelle fonction logarithme népérien, noté ln, la primitive sur ℝ�∗ , qui s’annule

en 1 de la fonction � ⟼ ��

Remarque : d’autres notations sont possibles, on a :

ln(x)=ln x = Log x=L x


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2) Propriétés essentielles

A. Conséquences immédiates de la définition

ln 1 = 0 et pour tout � ��]0 , +∞[ "ln x$% = ��

On note indifféremment : "ln x$% = ln ′� = ''�

ln �

Si la fonction ( est dérivable sur ) :

• Si ("�$ > 0, ''�

ln"("�$$ = +,"�$+"�$

-(. )

• Si ("�$ ≠ 0, ''�

ln |("�$ | = +,"�$+"�$

-(. )


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Exemples :

• sur ] − 1, +1[ ''�

ln"1 − �²$ = 23��2�²

• sur ] − ∞, −1[ ∪]1, +∞[ ''�

ln"�3 − 1$ = 3��²2�

• sur ℝ − {−1,1} ''�

ln |1 − �3 | = ''�

ln |�3 − 1 | = 3��2�²


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B. Propriétés algébriques

Soit a et b deux nombres réels strictement positifs, on a :

• 56 7 × 9 = 56 7 + 56 9

• 56 79

= 56 7 − 56 9

• 56 7: = : 56 7 avec � ∈ ℚ

• "<: 7 = <: 9$ ⟺ "7 = 9$

• "<: 7 > >� ?$ ⟺ "7 > ?$


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3) Limites 5@A

�→C�56 D = −∞, la courbe représentative de ln admet pour asymptote l’axe des

ordonnées.

5@A �→�E

56 D = +∞ FG 5@A �→�E

56 DD

= C , la courbe représentative de ln admet une

branche parabolique de direction les abscisses

5@A �→�

56 DD2�

= 5@A H→C

56"��I$I

= � est la valeur de la dérivée en 1


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4) Le nombre e

Le nombre solution unique dans ℝ�∗ de l’équation ln x = 1 est noté e, on a donc ln e =

1

Remarque :

� ≈ 2,718281828 … est un nombre irrationnel et on peut noter que � = 1 + ��!

+�3!

+ �P!

+ ⋯


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5) Tableau de variations et représentation graphique Dans un repère orthonormé, on a :


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Remarque :

La fonction ln est une bijection de]0; +∞[ -(. ] − ∞; +∞[, elle est strictement

croissante sur ]0; +∞[

• Elle admet une fonction réciproque

• Si a et b sont 2 nombres réels strictement positifs, on a :

ln S = ln ? ⇔ S = ?

ln S < ln ? ⇔ S < ?


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II. Fonction exponentielle

népérienne 1) Définitions La fonction exponentielle népérienne souvent appelée fonction exponentielle (notée

exp) est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien. On a :

V = FDW"�$ ⇔ � = 56 V

7XYZ � ∈ ℝ Y[ V ∈ ℝ�∗


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Remarque :

Pour tout � �� ℝ, ln"��$ = �

Pour tout � �� ℝ�∗ , e]^ _ = �


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2) Propriétés La réciprocité des fonctions ln et exp, et les propriétés de la fonction ln permettent

d’obtenir les résultats suivants :

A. Propriétés algébriques

Soit ` �a b deux nombres réels :

YC = �

Y� = Y

Y∝ > 0


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Y7 × Y9 = Y7�9

Y7

Y9 = Y729

"Y7$: = Y:.7

"Y7 = Y9$ ⟺ "7 = 9$

"Y7 > Y9$ ⟺ "7 > ?$


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B. Dérivées

La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ telle que :

"Y�$% = Y�

Si u est dérivable sur un intervalle I,

ee�

Yf"�$ = gYf"�$h%

= f%"�$. Yf"�$


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C. Limites

5@A D→2E

FD = C� La courbe représentative de �� admet pour asymptote l’axe des

abscisses.

5@A D→�E

FD = +∞ et et et et 5@A D→�E

FD

D= +∞ La courbe représentative de �� admet une

branche parabolique de direction l’axe des ordonnées

5@A D→C

FD2�D

= � est la valeur de la dérivée de �� en 0


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3) Tableau de variations et représentation graphique


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III. Les fonctions logarithme et

exponentielle de base a Pour a>0

La fonction � ↦ S� définie par S� = ��.]^ } est appelée exponentielle de base a

On peut noter :��~}"�$ = S�


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Pour 7 > 0 �a S ≠ 1

La fonction � ↦ >��}"�$ définie par >��}"�$ = ]^ �]^ }

est appelée logarithme de base a


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Remarques :

• La fonction logarithme népérien est la fonction logarithme de base e >�"�$ =]^ �]^ �

= >��"�$

• La fonction logarithme de base 10 est la fonction logarithme décimal >��"�$ =]^ �

]^ ��


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• Formules de changement de base

Si S �a ? ∈ ℝ�∗ − {1}�� S

<��9"�$ = 56 �56 9

= 56 �56 7

× 56 756 9

= <��7"�$ × <��9"7$

9� = Y�.56 9 = Y�.56 7×56 956 7 = Y�.56 7×<��79 = 7�×<��79


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Pour 7 > 0 �a S ≠ 1

V = 7� ⇔ <: V = <: 7�

⇔ <: V = �. <: 7

⇔ � = <: V<:7

⇔ � = <��7V


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24

Les propriétés des exp et log en base a se déduisent immédiatement des exp et log de base e.

En particulier :

• S� = 1 • S� × S� = S��

• }�

}� = S�2�

• �

}� = S2�

• "S�$� = S�×�


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Dans le plan muni d’un repère orthonormé :


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IV. La fonction puissance (avec

exposants réels) On sait que �� = ��.]^ � donc on retrouve des résultats déjà connus :

��

�� =�

��.]^ � =

��

��.]^ � =��

�� = �. ��2�


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On pourra donc étudier les fonctions du type :

� ↦ f"�$X"�$ 7XYZ f"�$ > 0

En ramenant

f"�$X"�$ = YX"�$.56 f"�$


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V. Conséquences des limites des

fonctions log, expo et

puissance


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4) Croissance comparée A partir des deux résultats fondamentaux suivants :

5@A �→�E

56 DD

= C�

5@A D→�E

FD

D= +∞

On peut démontrer les 4 résultats suivants


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Si S �a � -��a ��(� ��?.�- .é�>- S�� S > 1 �a � > 0

5@A �→�E

56 DDA = C

5@A D→�E

�D

DA = +∞

On a coutume de dire "mais ce n’est pas une démonstration$ que au voisinage de l’infini, l’exponentielle de base >1 « l’emporte » sur la fonction puissance et la fonction puissance « l’emporte » sur la fonction ln


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Si S �a � -��a ��(� ��?.�- .é�>- S�� S > 1 �a � > 0

5@A �→C�

DA. 56 D = C

5@A �→2E

|D|A. �D = C


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5) Formes indéterminées exponentielles Si on a une fonction du type

f"�$X"�$ = YX"�$.56 f"�$

Plusieurs cas d’indétermination peuvent apparaitre

On essaie alors de se ramener à une des 4 limites du paragraphe précédent

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