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MAT 1720 A :Calcul différentiel

et intégral I

Approximationaffine (suite)

Estimation deserreurs

Les taux liés

MAT 1720 A : Calcul différentiel etintégral I

Paul-Eugène ParentDépartement de mathématiques et de statistique

Université d’Ottawa

le 5 octobre 2015


et intégral I



Les taux liés

Au menu aujourd’hui

1 Approximation affine (suite)

2 Estimation des erreurs

3 Les taux liés


et intégral I



Les taux liés

Rappel

Soit f : D → R une fonction différentiable tels que f (a) etf ′(a) nous sont donnés.Alors l’approximation affine de f au point a est

La( x︸︷︷︸a+∆x

) = f ′(a)(x − a︸︷︷︸∆x

) + f (a).

On écrit habituellement

f (a + ∆x) ≈ La(a + ∆x).


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Exemple

Calculez l’approximation affine de la fonction f (x) =√x + 3

au voisinage du point a = 1. Estimez les valeurs√3.98 et√

4.02.Solution : On doit calculer f (1) et f ′(1), c’est-à-dire,• f (1) =

√1 + 3 = 2 ;

• f ′(x) =1

2√x + 3

. Donc f ′(1) = 14 .

Conclusion : L’approximation affine est

L1(x) =x − 14

+ 2.


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Les taux liés

Estimons d’abord√3.98.

√3.98 =

√0.98 + 3 = f (0.98)

≈ L1(0.98) =0.98− 1

4+ 2 = 1.995.

Comparons à la vrai valeur√3.98 ≈ 1.99499371.


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Les taux liés

En un deuxième temps estimons√4.02.

√4.02 =

√1.02 + 3 = f (1.02)

≈ L1(1.02) =1.02− 1

4+ 2 = 2.005.

La vrai valeur est√4.02 ≈ 2.00499376.


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y =√x + 3


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Estimation des erreurs

Idée : Soit “a” une quantité obtenue suite à une mesure(exemple : longueur, masse, ...). Cette mesure n’est pasparfaite. Elle a certainement une erreur associée ∆xprovenant de celui qui a pris cette mesure, l’humain, etprovenant de l’instrument utilisé. Malgré cela nous voulonsl’utiliser afin d’évaluer une quantité f (a) (exemple : aired’une surface, le volume d’un objet, ...).Question : Etant donnée cette erreur ∆x attribuée à notremesure, quelle est l’erreur que l’on commet lors du calculf (a) ?


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Les taux liés

On fait l’hypothèse que “vous” êtes un technicien compétentet que votre compagnie vous fournit des instruments de“bonne” qualité, c’est-à-dire,

∆x est petit !

On estime alors l’erreur associée à f (a) de la façon suivante :

| f (a + ∆x)− f (a)︸︷︷︸la vrai erreur

| ≈ |La(a + ∆x)− f (a)| = |f ′(a)| ·∆x .


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Exercice

Supposons que l’on mesure le rayon d’une sphère :r = (21± 0.05)cm. Si l’on calcule le volume de la sphère àl’aide de cette mesure alors quelle erreur faisons-nous ?Solution : Ici ∆r = 0.05. On se rappelle que le volume d’une

sphère est V =43πr3.

La dérivée est donc V ′ = 4πr2. On peut donc estimer l’erreur

∆V ≈ |V ′(21)| · 0.05 = 277.1 cm3.


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Cette erreur, est-elle grande ou petite ? Pour répondre àcette question nous introduisons la notion de

DéfinitionL’erreur relative associée à une valeur mesurée ou calculée“y ” est

∆y

y.

Dans notre exemple l’erreur relative associée au volume est

|V ′(21)|∆r

V (21)=

4π(21)2 ·∆r43π(21)3

= 0.007,

c’est-à-dire une erreur relative de 0.7%.


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L’erreur relative sur la mesure du rayon est

∆r

r=

0.0521

= 0.0024,

c’est-à-dire une erreur relative de 0.24%.ATTENTION : En général, le plus de calculs que vous faitesà l’aide d’une mesure, plus grande sera l’erreur associée à vosrésultats.


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Les taux liés

1) On gonfle un ballon à un taux de 100 cm3/s. A quellevitesse le rayon s’accroît-il lorsque le diamètre atteint 50 cm ?Solution : Le volume, V (t), et le rayon, r(t), sont tous lesdeux des fonctions du temps.

• Nous savons quedV

dt= 100 cm3/s ; et

• ce que nous recherchonsdr

dt

∣∣∣∣r=25 cm

.


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Le volume et le rayon sont tous les deux liés par la relation

V =43πr3.

Donc

dV

dt= 4πr2 · dr

dtpar la dérivation en chaîne.

Conclusion :

dr

dt

∣∣∣∣r=25 cm

=1

4π(25)2dV

dt

=100

4π(25)2 ≈ 0.013 cm/s.


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2) Une échelle glisse vers le bas selon le dessin suivant.


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Les taux liés

Quelle est la vitesse atteinte par le haut de l’échelle lorsque lepied de l’échelle est à 1.80m du mur ?Solution : Les positions du pied de l’échelle, x(t), et du hautde l’échelle, y(t), sont toutes les deux des fonctions dutemps.

• Nous savons quedx

dt= +0.3m/s ; et

• ce que nous recherchonsdy

dt

∣∣∣∣x=1.80m

.


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Les taux liés

Les deux quantités x et y sont liées par le Théorème dePythagore, c’est-à-dire,

x2 + y2 = 32 = 9.

En appliquant la dérivation en chaîne on trouve

2xdx

dt+ 2y

dy

dt= 0.

Doncdy

dt= −x

y

dx

dt= − x√

9− x2

dx

dt.

Conclusion :dy

dt

∣∣∣∣x=1.80m

= − 1.8√9− (1.8)2

· 0.3 = −0.225m/s.


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3) On remplit un réservoir d’eau à un taux de 2m3/min. Si leréservoir à la forme d’un cône tel qu’indiqué sur le dessin,alors à quelle vitesse le niveau d’eau s’accroît-il lorsquecelui-ci atteint 3m ?


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Les taux liés

Solution : Le volume, V (t), et la hauteur, h(t), sont tous lesdeux des fonctions du temps.

• Nous savons quedV

dt= 2m3/min ; et

• ce que nous recherchonsdh

dt

∣∣∣∣h=3m

.

Les deux quantités V et h sont liées par la relation

V =13πr2h.

Deux variables ? ! ?


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Les taux liés

En fait r et h sont liés par

Donc

V =13π

(h

2

)2

· h =112πh3.


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Les taux liésEn utilisant la dérivation en chaîne

dV

dt=

π

12· 3h2 · dh

dt.

Doncdh

dt

∣∣∣∣h=3m

=4π· 132 · 2 ≈ 0.28m/min.

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