masse et énergie

Masse et énergie

x1

x2

x3

x0 / c

Intervalle

Son carré = ds2 = c2 dt2 – dx2 – dy2 – dz2

= somme (de i et j = 0 à 3) des hi j dxi dxj

= carré de dx0 – carré de dx1 – carré de dx2 – carré de dx3

hi j =

1 0 0 0

0 - 1 0 0

0 0 -1 0

0 0 0 - 1

Idée essentielle 1 : l’intervalle remplace le tempsIdée essentielle 2 : quatre dimensions

Signature = + - - -

Tenseur métrique

Unité : le mètre !

x

y

z

t

Décor fixe

Horloge

Ceci est un référentiel

Mouvement

La seule grandeur qui se conserve d’un référentiel à un autre !

Pour les corps lents, ds = c dt

hi j =

1 0 0 0

0 - 1 0 0

0 0 -1 0

0 0 0 - 1


Signature = + - - -

Tenseur métrique

Ancienne vitesse = vα = dxα / dt Quadri vitesse = ui = dxi / ds

Quadri accélération = γi = dui / dsAncienne accélération = aα = dvα / dt

Ancienne force = Fα = m aα Quadri force = F i = m γi

Avant 1905 Après 1905


hi j =

1 0 0 0

0 - 1 0 0

0 0 -1 0

0 0 0 - 1


Signature = + - - -

Tenseur métrique




Euh … les unités ?

Une quadri vitesse n’a pas d’unité

Une quadri accélération est en m-1

Une ancienne force est en N = kg m s-2

Une quadri force est en kg m-1 ?





Euh … les unités ?

Une quadri vitesse n’a pas d’unité

Une quadri accélération est en m-1

Une ancienne force est en N = kg m s-2

Une quadri force est en kg m-1 ?

Pour les corps lents (vitesse << c)

ui = dxi / c dt = vi / c

γi = dui / c dt = dvi / c2 dt

γi = ai / c2

ui = vi / c

Il faut multiplier par le carré de c !

Quadri force = F i = m c2 γi


Quadri vitesse = ui = dxi / ds

Quadri accélération = γi = dui / ds


Fi ds = dui est une multiplication d’une force par une distance parcourue, donc est un travail

En particulier F 0 ds = m c2 γ0 ds = m c2 du0

u0 = dx0 / ds = c dt / (c2 dt2 – dx2 – dy2 – dz2)1/2c dt / dt

1 – v2

c2

=

c

u0 = 1

1 – v2

c2

u1 = dx1 / ds ux = dx / (c2 dt2 – dx2 – dy2 – dz2)1/2dx / dt

1 – v2

c2

=

c

v

1 – v2

c2

c


Fi ds = dui Est une multiplication d’une force par une distance parcourue, donc est un travail

En particulier F 0 ds = m c2 γ0 ds = m c2 du0 = variation de m c2 u0

u0 = 1

1 – v2

c2

= u0 (X) Avec X = v2 / c2 Petit pour les corps lents !

u0’(0) = δu0 / δx quand δx est petit

u0(X) = (1 – X)1/2 Dérivée = u0’(X) = (1 – X)-1/2 (– 1)2

1

2

1donc u0’(0) =

δu0 = u0’ (X ) δx, avec δx = X u0(0) = 1

u0(X) = u0(0) + δu0 = u0’(0) δx + u0(0) =1

2X + 1

1

2= v2 / c2 + 1

Retour à la physique m c2 u0 =1

2m v2 + m c2

Pour un lycéen en classe de première s

Pour un corps lent : v2

c2est très petit devant 1ε =

u0 1 – v2

c2

= 1 (Carré de u0) 1 – v2

c2= 1

u0 = u00 + e

Quand v est petit et non nul

Quand v est nul

correction

= 1 + e

1 – ε + 2 e – 2 ε e = 1

– ε + 2 e – 2 ε e = 0

(1 + e)2 = 1(1 – ε)

(1 + 2 e + e2) = 1(1 – ε)

(1 + (2 + e) e) = 1(1 – ε)

(1 + 2 e) = 1(1 – ε)

– ε + 2 e (1 – ε e) = 0

Très petit devant 1

– ε + 2 e = 0

e = 1

2ε

u0 = 1 +1

2ε

u0 = 1

1 – v2

c2

En particulier F 0 ds = m c2 γ0 ds = m c2 du0 = variation de m c2 u0v2

c2u0 = 1 +

1

2

F0 ds = m c2

1 – v2

c2

Soit pour les corps lents = m c2 +1

2m v2

Pour un élève en collège


Fi ds = dui Est une multiplication d’une force par une distance parcourue, donc est un travail

En particulier F 0 ds = m c2 γ0 ds = m c2 du0 = variation de m c2 u0

Retour à la physique m c2 u0 =1

2m v2 + m c2

Energie du corps au repos = m c2 Rappel : c = 300 000 km s-1 = 300 000 000 m s-1

Joules kg

m s-1

1 kg : 90 000 000 000 000 000 Joules

1 g TNT = 4184 Joules6,3×1013 J est l'énergie dégagée par le bombardement d'Hiroshima.

= 9 x 1016 Joules

Ordre de grandeur : 1000 fois moins …

masse et énergie

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