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MARI Mathieu – Optimisation de l’aire et du périmètre des polygones inscrits dans une ellipse 2013

1

DOSSIER DE TIPE

Sujet : Optimisation de l’aire et du périmètre de polygones inscrit dans une ellipse

Sommaire

I. Le cas du cercle

1) Les triangles ……………………………………………………………………………...2

2) Les quadrilatères ………………………………………………………………………...3

II. Le cas des ellipses

1) Optimisation de l'aire des polygones inscrits dans l'ellipse ………………………….…..5

2) Quelques propriétés et définitions concernant l'ellipse ……………………………….…6

3) Les deux théorèmes de Poncelet …………………………………………………………7

III. Optimisation du périmètre

1) Identification des polygones à périmètre maximal ………………………………………8

2) Une méthode algorithmique pour obtenir les polygones rebonds …………………….…10

3) Une méthode théorique pour obtenir les polygones rebonds ……………………………12

Annexes :

- Calcul des paramètres de l’ellipse inscrite ………………………………………….………20

- CAML : programmes de traçage des graphes ………………………………………………21

- MAPLE : Les formules de Cayley …………………………………………………….……23


2

I. Le cas du cercle

En cherchant à résoudre un problème de probabilités sur la présence du centre d’un cercle dans un triangle pris au hasard, inscrit dans celui-ci, j’ai placé dans un graphique l’ensemble des couples (aire, périmètre²) d’un polygone inscrit dans un cercle.

J’ai obtenu le graphe suivant :

1) Les triangles

Triangles inscrits dans le cercle maximisant le périmètre à aire fixée : Les triangles isocèles à

angle principal 3π<

Distribution des couples (aire, périmètre²) pour des triangles inscrits dans un cercle

Triangles inscrits dans le cercle minimisant le périmètre à aire fixée : Les triangles isocèles à

angle principal 3π>

J’ai tracé en rouge la distribution les triangles isocèles, elle correspond au contour de ce graphe. On identifie le triangle équilatéral, c’est celui qui est d’aire et de périmètre maximal.

La droite verte illustre l’inégalité isopérimètrique du graphe : 1

² 12 3

A

p≤

Ceci peut se traduire par : pour tout point M du graphe, la droite reliant l’origine à M a un coefficient directeur plus grand que celui de la droite verte (correspondant au triangle équilatéral).

La distribution des triangles isocèles à angle principal 3π< semble être un segment de droite reliant le

triangle plat de périmètre² : (4R)² (R : rayon du cercle) et le triangle équilatéral :

On veut donc pouvoir écrire (pour un cercle de rayon 1) : 44

² 163 3

iso isop A= +


3

Graphe de f sur [ ]0, 3π

Cependant les calculs nous indiquent que cette égalité est fausse, mais en traçant la fonction :

2

44( ) ²( ) ( ) 16

3 344

4(sin ²( ) 4sin( )cos( ) 2cos( )) sin( )(1 cos ) 83 3

x

f x p x A x

x x x x x

= − − =

+ + − + −

On a ( )max | ( ) |, [0, / 3] 0.255 16f x x π∈ ≈ ≪

Donc « à 1.6% près », on peut dire que 44

² 163 3

iso isop A= +

2) Les quadrilatères

Après avoir étudié les triangles, j’ai tracé la distribution correspondant aux quadrilatères dans un cercle.

Quadrilatères inscrits dans le cercle minimisant le périmètre à aire fixée : Les trapèzes à 3 côtés de même longueur

Distribution des couples (aire, périmètre²) pour des quadrilatères inscrits dans un cercle

Contrairement au cas des triangles isocèles, pour les rectangles on a l’égalité (dans un cercle de rayon 1) :

² 16 8rect rectP A= +

Le carré est « la pointe », optimisant à la fois l’aire et le périmètre.

L’inégalité isopérimétrique associée au graphe : 1

² 16

A

p≤


4

II. Le cas de l’ellipse

Après avoir étudié le cas du cercle, on s’intéresse, de façon plus générale au cas de l’ellipse. Quels graphes obtient-on si l’on remplace le cercle par une ellipse ?

On prend une ellipse de rapport demi-grand-axe/demi-petit-axe = 3

On choisit pour chaque graphe respectivement un triangle ou un quadrilatère inscrit dans cette ellipse puis on calcule son aire et son périmètre et on place un point dans le graphique au point (aire, périmètre²) correspondant.

On obtient lorsque l’on parcourt l’ensemble des triangles et rectangles inscrits dans l’ellipse les deux nuages de points ci-dessous.

Distribution des couples (aire, périmètre²) pour des

triangles inscrits dans une ellipse Distribution des couples (aire, périmètre²) pour des triangles inscrits dans une

ellipse

On identifie sur chacun des graphes deux segments de droites :

- L’horizontal (en rouge) correspond aux polygones à 3 et 4 côtés inscrits dans l’ellipse maximisant le périmètre.

- Le vertical (en bleu) correspond à l’optimisation de l’aire Ces deux distributions en segments de droite traduisent le fait qu’il existe une infinité de triangles

maximisant le périmètre et une infinité de triangles maximisant l’aire.

Cette partie vise à identifier l’ensemble des polygones à n côtés inscrits dans une ellipse donnée optimisant l’aire ; la troisième partie tente d’identifier les polygones maximisant le périmètre (comment savoir si un polygone donné dans une ellipse optimise le périmètre ?) et tente de trouver une approche algorithmique puis théorique afin de générer cet ensemble de polygones (comment dessiner dans une ellipse un polygone qui optimise le périmètre ?).


5

1) Optimisation de l'aire des polygones inscrits dans l'ellipse

On peut considérer l’ellipse comme l’image d’un cercle par une affinité. Les triangles inscrits dans l’ellipse sont alors les images des triangles inscrits dans le cercle.

Or l’aire d’une surface à laquelle on applique une affinité de rapport α est multipliée parα , quelle que soit la direction de l’affinité.

En effet, on considère une partie du plan 2Σ ⊂ ℝ (bornée et d’intérieur non vide). On pose 'Σ la surface obtenue par affinité de Σ de rapport α suivant la direction(0 )x .

Soit la fonction indicatrice de Σ : 1 si ( , )

1 : ( , )0 sinon

x yx yΣ

∈Σ→

On a (( , ) ( , ) ')x y x yα∈Σ ⇔ ∈Σ c’est-à-dire '1 ( , ) 1 ( , )x y x yαΣ Σ=

L’aire de 'Σ vaut 2

' '1 ( , )A x y dxdyΣ Σ= ∫∫R

et en faisant le changement de variable 'x xα=

On trouve : 2 2

' '1 ( ', )( ') 1 ( ', ) 'A x y dx dy x y dx dy Aα α α αΣ Σ Σ Σ= = =∫∫ ∫∫R R

● Par exemple, pour un triangle :

' ' 'A B C ABCA Aα=

Comme les polygones optimisant l’aire dans le cercle sont les polygones réguliers, les polygones maximisant l’aire dans l’ellipse sont les « dilatés » des polygones réguliers.

L’infinité de polygones maximisant l’aire (segment bleu) s’explique par le fait que deux affinités de même rapport dans deux directions différentes conduisent a priori à deux polygones différents et donc (a priori) à deux périmètres différents.

Pour savoir si un polygone inscrit dans une ellipse de demi- grand et petit- axe A et B est d’aire maximale, il suffit donc d’appliquer une affinité de rapport B/A dans la direction du grand axe et voir si l’on obtient un polygone régulier.

Pour fabriquer un polygone maximisant l’aire dans une ellipse il suffit d’effectuer le procédé inverse.


6

Pour connaître l’aire maximale d’un polygone à n côtés inscrit dans une ellipse de demi- grand et petit- axe A et B, il suffit de connaître l’aire d’un polygone régulier à n côtés inscrit dans un cercle de rayon B et de la multiplier par A/B.

● Aire d’un polygone régulier à n côtés inscrit dans un cercle de rayon B :

² cos( ) sin(/ / )nP nB n nA π π=

● Pour un polygone à n côtés inscrit dans une ellipse de demi grand et petit axe A et B, on a donc :

max. . cos( ) sin( / )/n A B nnA ππ=

► On ne peut pas raisonner de la même manière pour identifier les polygones de périmètre maximal car la modification de la longueur d’un segment de droite par une affinité dépend de sa direction.

2) Quelques propriétés et définitions concernant l'ellipse

Pour démontrer les résultats sur le périmètre, des résultats théoriques sur la géométrie des ellipses sont nécessaires et notamment les deux théorèmes de Poncelet.

Propriété de la bissectrice :

Soit ε un ellipse de foyers 1

F et2

F . M ε∈ .

La bissectrice extérieure de �1 2F MF est la tangente en

M àε .

Définition : Deux ellipses sont homofocales si elles possèdent les mêmes foyers.


7

3) Les deux théorèmes de Poncelet Petit théorème de Poncelet : Soit ε une ellipse de foyers 1F et 2F et M un point à l’extérieur de ε .

Alors les tangentes à ε passants par M ont même bissectrice que �

1 2F MF .

Le grand théorème de Poncelet :

Soient ε et Γ deux ellipses telles que Γ soit strictement à l’intérieur de ε et telles qu’il existe un polygone à n côtés inscrit dans ε et circonscrit à Γ . Soient ,A B ε∈ tels que ABsoit tangent à Γ .

Alors il existe un polygone à n côtés inscrit dans ε et circonscrit à Γ dont AB est un ses côtés.


8

III. Optimisation du périmètre

1) Identification des polygones à périmètre maximal

Afin de faciliter les démonstrations, nous appellerons PGP (Plus Grand Périmètre) un polygone

inscrit dans ε (une ellipse) à n côtés tel qu’on ne puisse pas trouver de polygone à n côtés inscrit dans ε de périmètre strictement supérieur.

Des manipulations géométriques sur le logiciel GéoGébra m’ont conduit à étudier le lien entre les PGP et les polygones rebonds que je définis ci-dessous : Définition : Soit ε une ellipse. Le polygone inscrit dans E sera dit rebond si la bissectrice extérieure de chacun des sommets est tangente à ε . ► Ces polygones correspondent au trajet que suivrait la lumière sur un miroir elliptique ou une boule de billard sur une table en forme d’ellipse. On montrera entre autres, que les polygones rebonds sont exactement les PGP que l’on cherche. La démonstration rebond ⇔ PGP se fera en plusieurs étapes :

- la propriété 1 constitue l’implication PGP ⇒ rebond. - Pour la réciproque on montrera que : ● On peut inscrire dans un polygone rebond une ellipse homofocale à ε (propriété 2) ● Pour tout point A de ε , il existe un unique polygone rebond à n côtés ayant A comme sommet (propriété 3). ● L’ellipse inscrite dans un polygone rebond est commune à tous les polygones rebonds. ● Tous les polygones rebonds à n côtés ont le même périmètre (propriété 4).

Propriété 1 : Si un polygone est PGP alors il est rebond.


9

Démonstration par l’absurde : non rebond non PGP⇒

Soit ε une ellipse, et 1( ,..., )nA A un polygone à

n côtés non rebond inscrit dans ε

D’après la définition, il existe un sommet A i

tel que la tangente T en ce point soit distincte de

la bissectrice extérieure B de l’angle �1 1A A Ai i i− +

B T≠

On pose

{ }1 1 1 1, i i i i i iH M A M MA A A A A− + − += + > +

H est l’ensemble des points strictement à l’extérieur de l’ellipse de foyers 1iA− et 1iA+

passant par iA . Comme B est la tangente à cette

ellipse en iA , que B T≠ , et que le contour

d’une ellipse est 1C , on a nécessairement :

H ε ∅≠∩

Donc il existe A'i ε∈ tel que

1 1 1 1' 'i i i i i i i iA A A A A A A A− + − ++ > +

Et donc comme les autres sommets restent inchangés, on a :

1 1( ,..., ',..., ) ( ,..., ,..., )i n i nP A A A P A A A> Et on conclut que 1( ,..., )nA A n’est pas PGP


10

2) Une méthode algorithmique pour les obtenir

On veut définir par récurrence une suite de polygones ( )p p∈Π

ℕ à n côtés de ε tendant vers un polygone

rebond.

Soit 0 0 1( ,..., )nA A −Π = un polygone convexe (les points

doivent être dans l’ordre) à n côtés inscrit dans ε .

Soit 0 1 1( , ,..., )p nA B B −Π =

On fabrique 1'B tel que

�{ }0 1 1 2 0 2 0 2' ' max ,A B B B A M MB M A B ε+ = + ∈ ∩

1'B est le point tel que, l’ellipse de foyers 0A et 2B et passant

par 1'B soit tangente à ε en 1'B

Remarque : �0 1 2'A B B est rebond.

On fabrique de la même façon pour tout 1i n≤ − , 'iB le point optimisant la somme 1 1'i iB M MB− ++

pour �1 1'i iM B B ε− +∈ ∩ . On pose alors 1 0 1 1( , ' ,..., ' )p nA B B+ −Π = .

1p+Π est bien convexe (on a conservé l’ordre).

Et pour toute modification partielle : 0 1 1 1 0 1 1 1( ,..., ' , ' , ,..., ) ( ,..., ' , , ,..., )i i i n i i i nP A B B B B P A B B B B− + − − + −≥

Donc 1, p pp P PΠ + Π∀ ≥ . Et �1 1 11, 1 , ' est rebondp p i i i i iP P i n B B B B BΠ + Π − += ⇔ ∀ ∈ − = ⇔� � . Donc pΠ est rebond.

Les polygones rebonds sont donc exactement les points fixes de l’application 1p p+Π → Π .

D’autre part, 1

,( ) converge

p p

p

p

p

p P PP

P Pε

+Π Π

ΠΠ

∀ ≥⇒ <

.

Posons lim ( )ppP P∞→∞

Π = . Si on suppose de ( )p pΠ converge vers ∞Π alors nécessairement, ∞Π est rebond et

( )P P∞ ∞Π = car l’application périmètre est continue. En admettant que PGP ⇔ rebond, on a maxP P∞ = .

Cependant, rien ne prouve a priori la convergence des polygones, mais comme l’ensemble des polygones à n côtés convexes inscrits dans ε est un compact, on peut affirmer qu’il existe une suite extraite convergente.

De plus, a priori on ne sait pas si maxlim ( )ppP P

→∞Π = .


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Afin de tester expérimentalement la convergence des polygones vers un polygone rebond, je me suis

placé dans le cas du cercle. Dans ce cas, l’unique polygone rebond à n côtés est le polygone régulier.

J’ai défini une distance au polygone régulier comme étant la somme des valeurs absolue des angles entre le sommet du polygone et celui du polygone régulier correspondant, en considérant un sommet commun aux deux polygones.

( ) | |reg ii

d αΠ =∑

Je représente alors un polygone par une liste triée de réels compris entre 0 et 1, où chaque élément de la liste représente l’angle du sommet correspondant.

On suppose que l’on fixe le premier sommet, correspondant à l’angle 0.

L’algorithme précédant appliqué au polygone à n côtés [ ]1 10, ,..., na a − (on a 1 10 ... 1na a −< < < < ) se

résume dans le cas du cercle à transformer ia en 1 1''

2i i

i

a aa− ++ = pour tout 1i n≤ − .

En posant,

[ ] [ ]( )1 1 1 1 10, ' ,..., ' 0, ,...,p n p na a f a a+ − −Π = = Π = j’ai tracé dans un graphe 50 courbes

représentant la fonction 0

( )

( )reg p

reg

dp

d

Π→

Π pour

des pentacontagones quelconques.

Ce graphe semble indiquer qu’il y a bien convergence vers le polygone régulier des polygones inscrits dans le cercle et que la vitesse de convergence est assimilable à une exponentielle décroissante, ce qui illustre l’efficacité de cet algorithme. ► L’approche algorithmique est cependant insuffisante car même si la convergence vers les polygones rebonds semble effective, aucun argument théorique ne le justifie et même en l’admettant, cette méthode ne peut que permettre de « s’approcher des polygones rebonds » mais ne permet pas d’en fabriquer exactement un.


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3) Une méthode théorique pour obtenir les polygones rebonds

J’ai placé 6 triangles rebonds dans une ellipse.

Il semblerait qu’une ellipse soit tangente à l’ensemble des côtés de ces triangles.

De plus, la position des deux foyers laisse penser que cette ellipse est homofocale à la grande ellipse.

Conjecture : il existe une ellipse homofocale à ε inscrite dans tous les polygones rebonds.

Démonstration de la conjecture :

Commençons par démontrer la propriété ci-dessous :

Propriété 2 : Soit ε une ellipse. Une polygone inscrit dans ε est rebond si et seulement si il existe une ellipse homofocale inscrite dans ce polygone.

Démonstration :

On suppose que l’angle �ABC est rebond.

Soit β la bissectrice de �1 2F BF

D’après la propriété de la �ABC bissectrice, β

est perpendiculaire à la tangente à ε en B, donc par définition des polygones rebonds,

β est la bissectrice intérieure de �ABC.


13

Soit Γ l’ellipse homofocale à ε tangente à ( )AB et 'C tel que ( ')BC soit tangente à Γ .

D’après le petit théorème de Poncelet, � est la bissectrice de 'ABCβ

Donc ( ) ( ')BC BC=

Conclusion :

- Si une ellipse homofocale est tangente à un des côtés d’un polygone rebond, alors (par récurrence évidente) elle est tangente à tous ses côtés.

- Réciproquement, si une ellipse homofocale est inscrite dans un polygone, alors celui-ci est rebond en appliquant le petit théorème de Poncelet.

Propriété 3 : Soit A ε∈ , alors il existe un unique polygone rebond ayant A comme sommet.

Existence :

Soit ( , )A B ε∈ ,

On fabrique une suite finie de segments de telle sorte que tous les angles formés soient rebonds.

On considère M le point final obtenu comme une fonction de B.

On a B M→ est continue.


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Soit B tel que M soit "avant" A

Soit B' tel que M' soit "après" A

En appliquant le théorème de Bolzano :

�0 0 0' , ( )B BB M M B Aε∃ ∈ = =∩

Le polygone obtenu est-il rebond ?

Soit Γ tangente à 0( )AB

D’après la propriété 2, par une récurrence évidente, ( )HA est tangente à Γ .

Donc d’après le petit théorème de Poncelet, �

0 est rebondHAB

► On a entre autre démontré que si un polygone à n côtés possède n – 1 angles rebonds, alors le dernier l’est également.

Unicité : Si deux polygones rebonds (de même nombre de côtés) on un sommet en commun alors ils sont égaux.

Soit deux polygones distincts à n côtés ayant A comme sommet en commun. Il existe deux ellipses homofocales distinctes Γ et 'Γ inscrites dans chacun des deux polygones. On suppose par exemple que Γ est à l’intérieur de 'Γ . En dessinant chacun des polygones on se rend compte que le polygone circonscrit à Γ va « boucler » strictement avant celui circonscrit à 'Γ . Cette absurdité prouve l’unicité d’un polygone rebond de sommet A.

► L’unicité peut également se démontrer par le fait que la fonction B M→ est « strictement croissante » en utilisant le théorème de la bijection.


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Nous savons à présent que chaque polygone rebond est circonscrit à une certaine ellipse homofocale. Le grand théorème de Poncelet permet de montrer que tous les polygones rebonds à n côtés sont inscrits à la même ellipse.

Unicité (conjecture) : Soient deux polygones rebonds à n côtés et Γ et 'Γ leur ellipse homofocale inscrite respective. Alors, 'Γ = Γ

Démonstration :

Illustration avec des triangles

Soit Π un polygone rebond de ε

Et Γ l’ellipse homofocale inscrite dans Π .

SoitA ε∈ ,

D’après le grand théorème de Poncelet, il existe

un polygone AΠ inscrit dans ε et circonscrit à

Γ ayant A comme sommet.

Comme Γ et ε sont homofocales, AΠ est

rebond (propriété 2), puis l’unicité de AΠ

(propriété 3) implique celle de Γ .

► On peut à présent caractériser l’ensemble des polygones rebonds comme étant l’ensemble des polygones inscrits dans ε et circonscrits à Γ .

Cette nouvelle caractérisation des polygones nous permet de les générer, il suffit de connaître les paramètres de Γ .

Nous avons démontré que PGP ⇒ rebond. Une condition nécessaire à la réciproque est que tous les polygones rebonds aient le même périmètre.


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Propriété 4 : Tous les polygones rebonds sont de même périmètre. Démonstration :

1

1

1 1

On pose ( ) ( cos , sin )

(en réalité n'importe quel paramétrage surjectif et régulier

convient). On construit le polygone rebond (( ),..., ( )).

On note ( )son périmetre.

( ) || || ||

n

n k k

A t a t b t

A t A t

P t

P t A A A A

ε

+

= ∈

= + 1

1

1

1 1 1 11

1

1

||

, ,

( )( ) ; ( )

( )||

On pose représente la vitesse

relative de ( ),ce vecteur est tangent à k

n

k

n

n n n nk

kk k

k kk

k k

A A A A A A A A

dA tv t v t

dt

A Ae t

A A

A t ε

−

=−

=

+

+

= ⟨ ⟩ + ⟨ ⟩

=

=

∑

∑

1

1

et ( )|| || ||

nn

n

A Ae t

A A=

1 11 1 1 1

1 11 1

1 1 1 1

1

1 11

2 , 2 ,'( ) , ,

2 , 2 ,

, , ,

n nn n k k k k

n n k k kk k

n n k k k k

n

n n n k kk

A A v v A A v vP t e v v e v v

A A A A A A A A

e v e v e v

− −+ +

+= =

+ +

−

+=

⟨ − ⟩ ⟨ − ⟩= + = ⟨ − ⟩ + ⟨ − ⟩

⟨ ⟩ ⟨ ⟩

= ⟨ ⟩ − ⟨ ⟩ + ⟨ ⟩

∑ ∑

1

1 1 11 2

, , , 0 ,n n

k k n k k kk k

e v e e v e e v t−

−= =

− ⟨ ⟩ = ⟨ − ⟩ + ⟨ − ⟩ = ∀ ∈∑ ∑ ∑ ℝ

En effet, le vecteur 1i ie e− −

est la bissectrice intérieure de �1 1i i iA A A− + , et comme le polygone est supposé

. rebond, on a 1, , 0i i ii e e v−∀ − =

Conclusion : Tous les polygones rebonds à n côtés relativement à ε ont le même périmètre. Corollaire : Un polygone est de périmètre maximal si et seulement si il est rebond

En effet, Il existe au moins un PGP (d’après le théorème de Heine) car l’ensemble des polygones est un compact et le périmètre une fonction continue. Ce polygone est un polygone rebond, puis, tous les polygones rebonds ont le même périmètre, c'est-à-dire le périmètre maximal) . Ainsi tous les rebonds sont PGP.


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Calcul des paramètres :

Afin de pouvoir générer tous les polygones PGP grâce à cette méthode, il ne reste plus qu’à connaître les paramètres de l’ellipse homofocale inscrite, j’ai donc commencé par calculer les paramètres de l’ellipse inscrite dans le cas des triangles. Soit ε l’ellipse circonscrite de demi- grand et petit – axes : A et B Soit Γ l’ellipse inscrite de demi- grand et petit – axes : a et b Le triangle rouge est rebond. Je traduis les conditions pour que l’ellipse homofocale soit inscrite à l’intérieur. Conditions : (1) : ellipses et homofocales : ² ² ² ²

(2) : ( , ) : ( ) cos , ( ) sin ,

² ²1

² ²² ²

(3) : ( , ) : 1² ²

'( )(4) : (NI) est tangente à :

'( ) tan

(5): ( ),

a b A B

M x y x t a t y t b t

x y

a ba p

N a pA B

y t p b

x t a A a t

A x A aM NI

y p

ε

ε

Γ − = −∈ Γ = =

+ =

− ∈ + =

Γ = =− +

− +∈ =

Après calculs (en annexe) on trouve les solutions suivantes :

4 4 4 4. ² ² . ² . ² ² ².

² ² ² ²A B A A B A B B B A A B A Ba et b

A B B A+ − − + − −= =− −

On en déduit le périmètre du des triangles PGP dans l’ellipse :

4 4

max4 4

2 3( ² ² ² ²)

² ² 2 ² ²

A B A B A BPA B A B A B

+ + + −=+ + + −

► Cette méthode est simple mais assez limitée et très laborieuse : pour connaître l’ellipse correspondante aux heptagones rebonds par exemple, il faut d’abord réussir à en identifier un, puis essayer de trouver les conditions satisfaisantes. J’ai réussi à trouver une méthode théorique générale donnant les conditions que je cherche pour des polygones à n côtés.


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Les formules de Cayley : On représente la conique d’équation cartésienne :

2 22 2 2 0ax bxy cy dx ey f+ + + + + = par la matrice :

a b d

b c e

d e f

;

Cayley a su trouver la condition sur Γ et ε pour qu’il existe un polygone convexe à n côtés à la fois circonscrit à Γ et inscrit dans ε :

Soit G et E les matrices respectives de Γ et ε . On développe en séries entières la fonction :

( )0

det kk

k

G xE xσ+∞

=

+ =∑

La condition recherchée est alors la solution de l’équation :

2 1

1 2

...

0 si 2 1p

p p

n p

σ σ

σ σ

+

+

= = +⋮ ⋱ ⋮

⋯

ou

3 1

1 2 1

...

0 si 2p

p p

n p

σ σ

σ σ

+

+ −

= =⋮ ⋱ ⋮

⋯

► La démonstration des formules de Cayley nécessite des arguments de géométrie projective inabordables en maths spé, je me contenterai donc de les appliquer dans le cadre de mon problème.

Dans mon problème, Γ et ε sont homofocales, on peut donc le simplifier en choisissant une base adaptée aux axes des ellipse de sorte que :

2

2

10 0

10 0

0 0 1

A

EB

= −

et

2

2

10 0

10 0

² ²0 0 1

a

GB A a

= − + −

car Γ et ε sont homofocales.

Avec des matrices diagonales on a la fonction relativement simple :

( ) ( )2 2 2 2 2 2

1 11det x x

xA a B B A a

G xE = + + − − − + +


19

Pour 0x ≥ , cette fonction est négative, quitte à passer en complexe, je choisis de développer en séries :

( )0

det kk

k

G xE xσ+∞

=

− + =∑

Grâce à Maple, j’ai traduit ces conditions et j’ai construit la procédure : : ( , , ) ( , )axes A B n a b→ ; J’ai pu constater que pour n = 3, les deux résultats concordaient. Puis en exécutant la procédure avec n = 7, j’ai pu fabriquer un heptagone rebond. >

Heptagone rebond et son ellipse inscrite


20

Annexe : calcul des coordonnées de l’ellipse inscrite. Conditions : (1) : ellipses et homofocales : ² ² ² ²

(2) : ( , ) : ( ) cos , ( ) sin ,

² ²1

² ²² ²

(3) : ( , ) : 1² ²

'( )(4) : (NI) est tangente à :

'( ) tan

(5): ( ),

a b A B

M x y x t a t y t b t

x y

a ba p

N a pA B

y t p b

x t a A a t

A x A aM NI

y p

ε

ε

Γ − = −∈ Γ = =

+ =

− ∈ + =

Γ = =− +

− +∈ =

. .( ) . ² ² ² .tan 1

. . . ² ² ² ²

² ² ²².( )² ( )². ² ²(1 )( )² ( )²( ²(1 )) ( )²(1 )( ² ² ²)

² ² ²² ² ²

²(1 )( )² ( )²(1 )( ² ² ²)² ²

²( ² ²)( ² ²)² (

²

y a b a A y a A x y x x At

x b a p x b y b a a

a x xp A x A a y B A x A a b A a B a A

A a aa a a

B A A a B a AA A A

BA a A a

A

+ −= = ⇒ = ⇒ + = =

− = + ⇒ − − = + − = + − + −

⇒ − − = + − + −

⇒ − − =

4 4 4

)²( ² ²)( ² ² ²)

² ²( ² ²)² ( )²( ² ² ²) ( )² ( ² ² ²) ²( ² 2 . ²) ²( ² ² ²)

² ²²( 2 . ²) ²( ² ²)

²( ² ²) .(2 . ²) 0, ' ². ( ² ²)

A a A a B a A

B BA a A a B a A A a B a A B A a A a A B a A

A AB a A a A a A

a A B a A B A A B A A B

+ − + −

⇒ − = + + − ⇒ − = + − ⇒ − + = + −

⇒ − + = −⇒ − + − = ∆ = + −

4 4 4 4. ² ² . ² . ² ² ².

² ² ² ²

A B A A B A B B B A A B A Ba et b

A B B A

+ − − + − −= =− −

4 4

max4 4

2 3( ² ² ² ² )

² ² 2 ² ²

A B A B A BP

A B A B A B

+ + + −=+ + + −


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Annexe : Programmes informatiques CAML graphes :

#open "graphics";; open_graph "";; let A = 300.0 ;; let B = 100.0 ;; let Pi = atan(1.0)*.4.0 ;; let prefix ^ (xa,ya) (xb,yb) = xa *. yb -. ya *. xb ;; let prefix -* (xa,ya) (xb,yb) = xa -. xb , ya -. yb ;; let absf a = if a < 0.0 then (-.a) else a;; let norme (x,y) = sqrt(x*.x +. y*.y) ;; let point (x,y) = plot x y ;; let aire_ref = Pi *. A *. B ;; let peri_ref = 4.0 *. (A +. B) ;; let foi = float_of_int ;; let iof = int_of_float ;; let Sx = foi (size_x ()) ;; let Sy = foi (size_y ()) ;; let aire_triangle a b c = absf( (a -* b) ^ (a -* c) )/.2.0;; let aire_poly_conv l = let rec aux l a = match l with x::y::r -> (aire_triangle x y a) +. aux (y::r) a |_ -> 0.0 in match l with a::r -> aux r a |_ -> 0.0;; let perimetre l = let rec aux l a = match l with x::y::r -> norme(x -* y) +. aux (y::r) a |[x] -> norme(x -* a) |_ -> 0.0 in match l with a::r -> aux (a::r) a |_ -> 0.0 ;;

let tri l = let rec insere e l2 = match l2 with [] -> [e] |x::r -> if x < e then x::(insere e r) else e::x::r in let rec aux l1 l2 = match l1 with [] -> l2 |x::r -> aux r (insere x l2) in aux l [];; let rec angle_point = function [] -> [] |t::r -> (A *. cos(t), B *. sin(t))::(angle_point r);; let rand_poly n= let rec insere e l = match l with [] -> [e] |x::r -> if x < e then x::(insere e r) else e::x::r in let rec genere_liste_angle = function 0 -> [] |n -> insere (random__float (2.0 *. Pi)) (genere_liste_angle (n-1)) in angle_point (genere_liste_angle n);; let place x y = (match (point_color x y) with 16777215 -> set_color 14474460 ; |0 -> set_color black |c -> set_color (c - 657930) ); plot x y ;;

let trace_graph_simple n = let poly = ref [] in while true do poly := rand_poly n ; place (100 + iof( Sx *. (aire_poly_conv !poly)/.aire_ref )) (50 + iof( Sy *. (perimetre !poly)/.peri_ref)) done; ;; let isoceles () = let t = random__float (Pi) in angle_point [-.t ; 0.0 ; t];; let rectangle () = let t = random__float (Pi/.2.0) in angle_point [-.Pi+.t; -.t;t;Pi-.t];; let trapezes () = let t = random__float (Pi/.3.0) in angle_point [-.3.0*.t;-.t;t;3.0*.t] ;; let trace_graph_carre n = let poly = ref [] in while true do poly := rand_poly n ; place (100 + iof( Sx *. (aire_poly_conv !poly)/.aire_ref )) (50 + iof( Sy *. ((perimetre !poly)/.peri_ref )*. ((perimetre !poly)/.peri_ref))) done; ;; let trace_graph_poly f = let poly = ref [] in while true do poly := f (); plot (100 + iof( Sx *. (aire_poly_conv !poly)/.aire_ref )) (50 + iof( Sy *. ((perimetre !poly)/.peri_ref )*. ((perimetre !poly)/.peri_ref)));; done;


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Annexe : Programmes informatiques CAML convergence vers le polygone régulier :

let rec optimisation = function x1::a::[] -> x1::[(x1 +. 1.0)/.2.0] | x1::a::x2::r -> let t = (x1+.x2)/.2.0 in x1::(optimisation (t::x2::r)) |l->l ;; let tri l = let rec insere e l2 = match l2 with [] -> [e] |x::r -> if x < e then x::(insere e r) else e::x: :r in let rec aux l1 l2 = match l1 with [] -> l2 |x::r -> aux r (insere x l2) in aux l [];; let absf a = if a < 0.0 then -.a else a;; let rand_poly n = let rec aux = function 1 -> [] |n -> (random__float 1.0)::(aux (n-1)) in 0.0::(tri (aux n));; let distance_reg l = (* On définit une distance sur l'espace des polynomes *) let angle = 1.0/.float_of_int(list_length l) in let rec aux l i = match l with [] -> 0.0 | x::r -> absf(x -. i*.angle) +. aux r (i+.1.0) in aux l 0.0 ;; #open "graphics";; open_graph "";; let trace_courbe pas l = set_color black ; moveto 30 30 ; lineto 1200 30 ; moveto 30 30 ; line to 30 680 ; set_color blue ; let poly = ref l in let d = distance_reg l in moveto 30 630 ; for i = 1 to (1200/pas) do poly := optimisation !poly ; lineto (30 + pas*i) (30 + int_of_float(600.0*.(dis tance_reg !poly)/.d)) done ;; clear_graph () ;; trace_courbe 1 (rand_poly 150);;


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Annexe Programmes Formules de Cayley (MAPLE)


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mari mathieu - École normale supérieuremmari/content/papers/mathieu_mari... · 2018-09-12 ·...

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