manipuler et expérimenter en mathématiquesplace de la séance de resolution de probleme(s) dans la...
TRANSCRIPT
Manipuler et expérimenter en
mathématiques
Thierry Dias
Chercheur en mathématiques
Sylvie COUSTIER CPAIEN -Oullins 2012
TRI
• Trier les problèmes selon un critère défini
• Ecrire le critère de regroupement en haut
de chaque colonne du tableau constitué
• Critère de réussite: faire apparaître les
différents « types » de problèmes
Critères retenus • Organisation gestion de données
• Logique espace / géométrie
• Logique suite numérique
• Partage
• Tri de données utiles/inutiles
• Échanges / grandeurs et mesures
• Déduction
• Une étape / deux étapes
• 1 question / question intermédiaire
• Durée
• Sans donnée numérique
• Additif simple
• Choix des données numériques
• Cycle 2 / Cycle 3
• Géométrie / calcul d’aire
« Il y a problème dès qu’il y a
réellement quelque chose à chercher,
que ce soit au niveau des données ou
du traitement et qu’il n’est pas possible
de mettre en jeu la mémoire seule ». Equipe Ermel- INRP
une culture scientifique à l'école
Acquérir des connaissances
• concepts
• objets
• relations
Développer des attitudes
• recherche
• raisonnement
• pensée critique
savoirs
savoir faire
savoir être
Construire des capacités
• méthodes
• techniques
• procédures
Des catégories de problèmes…
Première classification : à partir des
formes d’énoncés
Deuxième classification : à partir des
notion mathématiques
Troisième classification : à partir des
objectifs pédagogiques
Quatrième classification: à partir des
procédures utilisées
A partir des formes d’énoncés
Situation à vivre + Enoncé oral
Enoncé écrit, situation imaginée •Texte et document réel : publicité,
extrait de tarif…
•Texte et image(s) : photo, dessin…
•Texte littéral et texte visuel: tableau, diagramme, carte, schéma… •Texte
Présence ou absence de question(s),
place de celle(s)-ci dans l’énoncé
A partir des notions des différents domaines des mathématiques
NUMERATION
Types de nombres
TECHNIQUE OPERATOIRE
Opérations utilisées
GRANDEURS ET MESURES
Domaine et unité de mesure
GEOMETRIE
Différents objets géométriques
OBS. ET GESTION DE DONNEES
Différents outils de traitement de données
A partir des objectifs pédagogiques Place de la séance de RESOLUTION DE
PROBLEME(S) dans la séquence d’enseignement
Séance de relevé des savoirs et de mise
en questionnement: problème ouvert (recherche)
Séance de formalisation: problème pour
apprendre (échanges sur les procédures)
Séance(s) de mémorisation et
d’entrainement des savoirs et des
procédures: problèmes d’application (différenciation)
A partir des objectifs pédagogiques
Place de la séance de RESOLUTION DE PROBLEME(S) dans
la séquence d’enseignement
•Séance d’évaluation: problèmes
d’application
•Séance de remédiation: problèmes
d’application et/ou de
réinvestissement (différenciation)
ACTION
VALIDATION
FORMULATION
INSTITUTIONALISATION
Expérimenter
Manipuler
Représenter
Mettre en mots Faire des hypothèses Anticiper sur l’effet de la procédure
Argumenter
Prouver
Justifier Stabiliser les savoirs
S’entrainer
Mémoriser
agir dire
prouver
retenir
Selon la situation d’apprentissage, un même problème peut
avoir différentes fonctions.
12
APPRENDRE CHERCHER
Situation
problème
Problème
d’application
directe
Problème de
réinvestissement
- transfert
Problème
ouvert
construire une
nouvelle
connaissance
ou découvrir
un nouvel
aspect d’une
connaissance
antérieure
S’entrainer à
maîtriser le
sens d’une
connaissance
nouvelle
Problème
complexe
Utilisation de
plusieurs
connaissances
construites dans
différents contexte
Développer des
capacités à
chercher:
différentes
solutions,
pas de solution
Résolution
experte
inconnue des
élèves
13
« J'ai 250
œufs.
Combien de
boîtes de 6
sont
nécessaires
pour les
ranger ? »
CE1:
Problème
Ouvert
Les élèves ne connaissent pas
la technique de la division. Ils
sont face à un défi intellectuel
qu'ils doivent relever.
Ils vont utiliser différentes
procédures personnelles:
dessin, calculs partiels…
CE2:
Situation
Problème
Ils ne connaissent pas encore la
technique de la division.
Ils vont analyser les procédures
utilisées et leurs limites pour
identifier la procédure experte:
introduction de la technique
opératoire de la division.
CM2 :
Problème
d'application
La division a été étudiée.
Les élèves sont censés
reconnaître un problème de
division et utiliser la technique
opératoire pour le résoudre.
PROGRESSIVITE DES
APPRENTISSAGES
• MATERNELLE / Début de CP:
Situation vécue, non écrite
• Au cours du CP idem ci-dessus +…
De la situation vécue à la situation représentée
et introduction d’un énoncé écrit
• Au CE1 idem ci-dessus +…
De la situation représentée avec énoncé au
problème évoqué (énoncé écrit seul)
ENSEIGNER DES STRATEGIES DE
RESOLUTION
Mise en commun
• Inventorier les procédures de résolution
• Débattre de leur validité
• Les comparer, les confronter
• Garder trace des procédures efficaces
Conséquences : La diversité est possible
La différenciation est réelle
Le partage entre pairs est efficace
Les progrès sont ressentis par l’élève
RÉSOUDRE UN PROBLÈME:
Les étapes cognitives
• Appropriation (Dévolution)
• Elaboration d’une stratégie
16
Phase de structuration Représentation du problème
• Mise en œuvre de
la stratégie
« Écrits privés », traces intermédiaires
Phase d’opérationnalisation
• Transcription du résultat Phase de formalisation
Lecture de l’énoncé
Recherche d’une procédure
Instanciation de la procédure
Exécution de la procédure
Communication de la réponse
RÉSOLUTION UN PROBLÈME
Résultats obtenus à un problème proposé à
l’entrée en 6ème
Un enfant veut acheter des CD. Il possède 1 billet
de 20€, 4 billets de 5€ et 8 pièces de 2€.
Combien de CD à 9€ l’un peut-il acheter ?
Cet exercice obtient 59,3% de réussite.
Analyse
mots du lexique de la vie courante, situation simple
nombres familiers depuis le CP
possibilité d’utiliser des procédures personnelles représentant
plusieurs niveaux d’abstraction
Maîtrise insuffisante de la langue ?
Mauvaise connaissance des nombres ?
Mauvaise maîtrise des méthodes de calcul ?
Un enfant veut acheter des CD. Il possède 1 billet
de 20€, 4 billets de 5€ et 8 pièces de 2€. Combien
de CD à 9€ l’un peut-il acheter ?
Qu’est-ce qu’un problème ? Comment faire pour le résoudre ?
Quand on interroge les élèves en difficulté on obtient les réponses suivantes
Seul le maître est capable de dire si le
résultat est juste.
Un problème a toujours une solution.
Un problème fait toujours intervenir
des nombres.
Il n’y a qu’une façon de résoudre un
problème.
Un problème se présente toujours
sous la forme d’un énoncé qui se
termine par une question.
C’est le résultat qui compte.
Pour résoudre le problème, il faut
utiliser les dernières notions
étudiées en classe. Pour trouver la solution, il
faut déjà savoir.
Quelques pistes pour « apprendre à résoudre »
Pour s’approprier le problème
Pour élaborer ou rechercher une procédure
Pour exécuter la procédure et valider sa solution
Aide pour s’approprier le problème
Varier les supports de présentation -Situation réelle
-Situation représentée : dessin, schéma,
document
-Situation communiquée oralement
-Situation communiquée par un énoncé écrit
Varier les problèmes
-Avec des nombres mais sans calcul
-Sans nombres : géométrie, logique
-Numériques avec essais successifs
-Sans solution - Absurdes
-Situations inhabituelles
23
Les obstacles Les aides
l’élève doit
se représenter
la situation
Aider les élèves à se représenter le
contexte
-Choisir des énoncés en rapport avec la
vie de la classe et la «vie quotidienne»
-Proposer des énoncés à l’oral
-Faire raconter l’énoncé avec ses
propres mots
- Faire mimer l’énoncé
- Proposer d’utiliser du matériel pour
simuler la situation
- Inciter à s’appuyer sur l’illustration
(représenter par le dessin, le schéma)
Lecture de l’énoncé
24
Les
obstacles
Les aides
l’élève
doit se
représenter
la tâche
Aider l’élève à se représenter ce qu’on
cherche
- Identifier la catégorie* à laquelle
appartient le problème : reconnaitre la
structure du problème
- faire un schéma des données du
problème
- comparer ce nouvel énoncé à celui du
problème de référence (affiche ou fiche outil)
25
LE VOCABULAIRE
Les obstacles Les aides
connaitre les
termes
spécifiques
distinguer le
sens courant et
le sens en
mathématiques
Aider l’élève à s’approprier le
vocabulaire des mathématiques
- Réalisation de référentiel: construire un
dictionnaire mathématiques Ex: classification des
mots utilisés en mathématiques (exemple un changement : diminuer,
ajouter, partager…)
- Polysémie des mots (langage courant / mathématique)
ex : la différence = soustraire/distinguer
- Utilisation de synonymes Ex : «136 –73 j’enlève
73 à 136 ou je cherche la différence entre 136 et 73 ou ce qu’il faut
ajouter à 76 pour avoir 136»
-Travailler la maitrise des petits mots
comme : l’un, l’une, chacun, chaque, plus
que, moins que, de plus, de moins…
MAITRISE DE LA LANGUE ET MATHS
26
LA FORME ET LA PLACE DE LA QUESTION
Les obstacles Les aides
La question est
le plus souvent
posée à la fin de
l’énoncé
La forme
injonctive
(impératif ou
infinitif) n’est pas
toujours reconnue
comme une
question ou une
tâche à effectuer
Aider les élèves à identifier le
questionnement
-Formuler la question en début d’énoncé
permet à l’élève d’anticiper ce qu’il faut faire
et de sélectionner plus facilement les
données.
- Lire l’énoncé sans lire la question :
demander à l’élève de dessiner ou d’écrire ce
qu’il a compris de l’énoncé, demander d’écrire
la question que l’élève a en tête.
-Reconnaitre la forme interrogative: reformuler
la question avec inversion du sujet.
-Rédiger une question pour chaque catégorie
de problèmes.
27
LES DONNEES DU PROBLEME
Les obstacles Les aides
Les données
doivent être
accessibles
Distinguer les
données utiles et
inutiles
Connaitre les
techniques et
automatismes
pour traiter les
données
Aider les élèves à s’approprier les
données
- Simplifier les données numériques :
utiliser des nombres plus petits, des
nombres entiers
- Pratiquer des séances de calcul
mental ; calcul automatisé et calcul
réfléchi
- Utiliser des données avec des
relations maitrisées : les doubles, les
multiples, l’angle droit…
- Choisir les unités maitrisées
- Réduire / augmenter le nombre de
données
28
LES ETAPES DU PROBLEME
Les obstacles Les aides
Les étapes
correspondent à
l’ordre des
informations
contenues dans
l’énoncé.
Elles peuvent
être explicites
(présence d’une
question) ou
implicites
Identifier les informations explicites et les
informations implicites :
-Trouver la / les question(s)
intermédiaire(s)
- Définir les étapes de la
résolution
Difficultés pour élaborer ou rechercher une procédure
Des blocages psychologiques
Une richesse variable des réseaux de connaissances stockés
en mémoire
La non maîtrise de certaines techniques opératoires
Favoriser la diversité des procédures
Exploiter cette diversité
Aider à progresser vers les résolutions
expertes: comparaisons, justifications
Entrainer: calcul mental, calculs écrits
La non maîtrise des procédures
Classer les problèmes par procédures,
relever des exemples de résolutions
Difficultés pour exécuter la procédure et valider sa
solution
Difficultés à exécuter la procédure de résolution
Remédiations Entrainement
Difficultés à contrôler la représentation du
problème, la procédure de résolution ou le
résultat
Valider par la cohérence du
résultat: ordre de grandeur, unité
Roland CHARNAY
CONCLUSIONS
• Concevoir le parcours de résolution de problème de l’élève: en équipe
• Etablir une progressivité dans les problèmes proposés, les procédures et les représentations
• S’attacher à des outils communs de classements de référence par les procédures : affiches évolutives, qui peuvent passer de classes en classes, outil individuel élève dans l’école (portfolio de problèmes résolus)
• Penser les séances d’entrainement : calcul mental, rituels : énigmes, jeux, séries de petits problèmes simples.
OUVERTURES
• Mise en place d’un labo maths de classe,
d’école…
• Résolution de problèmes dans tous les
domaines d’enseignement : vie de classe,
EPS, sciences, géographie, histoire, étude de
la langue
matériel à manipuler : jetons, cartes, pions, cubes,
buchettes, planche de bois + clous + élastiques, jeux,
Tangrams, matériel fabriqué sur demande des élèves…
supports : calques, feuilles A4, A3, quadrillages,
feuilles cartonnées, brouillon, calendrier, grands
tableaux, schémas (ou ébauches de schémas),
agrandissements
outils : feutres, surligneurs, ciseaux, règles, crayons,
colle, ficelle
instruments : instruments pour tracer, pour mesurer,
calculatrices, files numériques, tables d’addition, de
multiplication, ordinateur
ça demande beaucoup de
matériel ?
Expérimenter, manipuler ??
Exemple 1 : à la bonne place (éval. Ce2)
Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la place qui convient 367 582 309
300 400 500 600
300 309 400 367 500 582 600
DEUX EXEMPLES
150 personnes se répartissent en équipes de 6 personnes. Combien y a-t-il d’équipes ?
150 personnes se serrent la main. Combien de poignées de mains sont échangées ?
Exemples monnaie
Dans un restaurant, on propose :
•Deux entrées
•Trois plats principaux
•Deux desserts
•Combien de menus «entrée+plat+dessert»
peut-on composer?
LES DEUX CERCLES SONT BLEUS
LE TRIANGLE EST VERT
IL Y A UNE FORME ROUGE A GAUCHE D’UNE FORME BLEUE