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Magnétotellurique : Rappels sur les équations de Maxwell

et diffusion des ondes EM

- Rappels sur les mathématiques utilisées en MT et EM

- Rappels sur l’Electromagnétisme

- Propagation du champ électromagnétique

- Equations de diffusion

- Equations d’un champ monochromatique

- Potentiel électrodynamique

- Polarisation elliptique

By Djeddi Mabrouk

By

COURS DE PROSPECTION

MAGNETOTELLURIQUE

ET

ELECTROMAGNETIQUE

Chapitre III

Ce cours «cours de prospection électromagnétique et Magnétotellurique »

dispensé en licence et Master de Géophysique au département de Géophysique de

la FHC n'est pas encore entièrement achevé, il peut également subsister des

fautes (erreurs) dans le texte et des références absentes.

Si vous utilisez des données de ce travail, vous devez citer la référence en bibliographie de la façon suivante : Djeddi Mabrouk. Cours de prospection électromagnétique et Magnétotellurique, Département de Géophysique (FHC), Université M’Hamed Bougara de Boumerdes. Algérie. 2015

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I - RAPPELS SUR LES MATHEMATIQUES

INTRODUCTION

Nous rappelons très succinctement les operateurs scalaires et vectoriels car, ils

sont utilisés pour expliquer un champ géophysique .ils permettent de simplifier

l’analyse des problèmes géophysiques considérés.

Notion de scalaire

Un scalaire est déterminé par sa magnitude et il n’est pas associé à une

direction (ex : masse, le champ de température ou de pression, le potentiel

électrique…).

Notion de vecteur

Un vecteur a une magnitude et une direction (ex : vitesse, force). On décrit un

vecteur �⃗⃗� dans un système de coordonnées données (cartésien, cylindrique,

sphérique, etc...).Dans l’espace cartésien orthonormé on a :

�⃗⃗� = 𝑨. 𝒆𝒙⃗⃗⃗⃗ + 𝑨. 𝒆𝒚⃗⃗⃗⃗ + 𝑨. 𝒆𝒛⃗⃗⃗⃗ , ( 𝒆𝒙⃗⃗⃗⃗ , 𝒆𝒚⃗⃗⃗⃗ , 𝒆𝒛⃗⃗⃗⃗ ) sont des vecteurs unitaires

𝒆𝑨⃗⃗⃗⃗ = �⃗⃗�

⎜�⃗⃗� ⎜ Avec ⎜�⃗⃗� ⎜ = √𝑨𝒙

𝟐 + 𝑨𝒚𝟐 + 𝑨𝒛

𝟐 : la norme du vecteur �⃗⃗�

Produit scalaire de deux vecteurs �⃗⃗� et �⃗⃗�

�⃗⃗� . �⃗⃗� = �⃗⃗� . �⃗⃗� = ⎜�⃗⃗� ⎜. ⎜�⃗⃗� ⎜. 𝐜𝐨𝐬∅

- Lorsque les deux vecteurs sont perpendiculaires, leur produit scalaire est nul

- Le produit scalaire de deux vecteurs est commutatif et le résultat de ce produit

scalaire est un scalaire.

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Produit vectoriel de deux vecteurs

�⃗⃗� × �⃗⃗� = ⎜�⃗⃗� ⎜.⎜�⃗⃗� ⎜. 𝐬𝐢𝐧∅ . 𝒏⃗⃗⃗⃗

�⃗⃗� le vecteur unitaire normal à la surface délimitée par le plan (�⃗⃗⃗� ,�⃗⃗� ).

Le produit vectoriel de deux vecteurs est aussi un vecteur.

Définition d’un champ

Lorsque dans une région de l’espace, on a affecté à tout point une grandeur

scalaire 𝑪(𝒙 , 𝒕) ou vectorielle �⃗⃗� (𝒙 , 𝒕) , on a défini ce qu’on désigne par un

champ respectivement scalaire ou vectoriel.

Fig1. Champ magnétique terrestre est une grandeur vectorielle

A titre d’exemple : les champs de gravité �⃗⃗� (𝒙, 𝒕) , électrostatique �⃗⃗� , magnétique

terrestre �⃗⃗� (𝒙, 𝒕) , champ de vitesses (écoulement de fluides) sont des champs

vectoriels fig.1

Le potentiel gravitationnel, la température, la pression, le potentiel électrostatique,

champ d’altitude (météo) sont des champs scalaires.

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Gradient scalaire

Soit une grandeur scalaire 𝐌, son gradient scalaire est défini par :

𝒈𝒓𝒂𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝑴 = �⃗⃗� 𝑴 = 𝝏𝑴

𝝏𝒙𝒆𝒙⃗⃗⃗⃗ +

𝝏𝑴

𝝏𝒚𝒆𝒚⃗⃗⃗⃗ +

𝝏𝑴

𝝏𝒛𝒆𝒛⃗⃗⃗⃗

Avec �⃗⃗� = ( 𝝏

𝝏𝒙 ,

𝝏

𝝏𝒚 ,

𝝏

𝝏𝒛 )

Le gradient évalue les changements de la fonction scalaire selon les 3 coordonnées

𝒙, 𝒚, 𝒛. Il détermine les changements et la direction vers laquelle se font les

variations maximales.

Divergence vectoriel

Soit un vecteur �⃗⃗� ( 𝑨𝒙 , 𝑨𝒚 , 𝑨𝒛 ) .La divergence du vecteur en coordonnées

cartésiennes est par définition :

𝒅𝒊𝒗 �⃗⃗� = �⃗⃗� . �⃗⃗� = 𝝏𝑨𝒙

𝝏𝒙 +

𝝏𝑨𝒚

𝝏𝒚 +

𝝏𝑨𝒛

𝝏𝒛

Le résultat de la divergence d’un vecteur est un scalaire. Elle caractérise comment

un champ évolue dans sa propre direction étant donné que l’opérateur fait

intervenir des dérivées partielles.

- Si 𝒅𝒊𝒗 �⃗⃗� ≠ 𝟎 alors on dit que le champ détient une source ou un puits de

champ, il est dit à flux non – conservatif.

- Si 𝒅𝒊𝒗 �⃗⃗� = 𝟎 Le flux est dit à champ conservatif

- La divergence d'un vecteur est un nombre.

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Rotationnel d’un vecteur

On définit le rotationnel par l’expression suivante :

𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� = �⃗⃗� × �⃗⃗� = ( 𝝏𝑨𝒛

𝝏𝒚 -

𝝏𝑨𝒚

𝝏𝒛 ) . 𝒆𝒙⃗⃗⃗⃗ + (

𝝏𝑨𝒙

𝝏𝒛 -

𝝏𝑨𝒛

𝝏𝒙 ) . 𝒆𝒚⃗⃗⃗⃗ + (

𝝏𝒚

𝝏𝒙 -

𝝏𝑨𝒙

𝝏𝒚 ) . 𝒆𝒛⃗⃗⃗⃗

Le résultat du rotationnel d’un vecteur est aussi un vecteur. Il fait intervenir les

dérivées partielles croisées d’un champ de vecteur. Il définit le cisaillement d’un

champ de vecteur.

Laplacien

Le laplacien d’un champ scalaire est défini par :

∆𝑼 = 𝛁𝟐𝑼 = �⃗⃗� .( �⃗⃗� 𝑼 ) = 𝝏𝟐𝑼

𝝏𝒙𝟐 +

𝝏𝟐𝑼

𝝏𝒚𝟐 +

𝝏𝟐𝑼

𝝏𝒛𝟐

Flux du champ de vecteurs.

Par définition, le flux du champ de vecteur �⃗⃗� à travers une surface dont le vecteur

unitaire normal à la surface s’écrit �⃗⃗� est:

∅ = ∬ �⃗⃗� . 𝒅𝒔⃗⃗ ⃗⃗ = ∬�⃗⃗� . �⃗⃗� . 𝒅𝒔 avec 𝒅𝒔⃗⃗ ⃗⃗ = �⃗⃗� . 𝒅𝒔

Théorème de Green-Ostrogradsky

Soit un champ vectoriel �⃗⃗� défini dans un espace donné. On veut calculer le flux ∅

du vecteur �⃗⃗� à travers une surface fermée.

Le Théorème de Green-Ostrogradsky en coordonnées cartésiennes est :

∭𝒅𝒊𝒗 �⃗⃗� 𝒅 𝑽 = ∯�⃗⃗� . 𝒅𝒔⃗⃗ ⃗⃗

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Ainsi, la divergence d’un vecteur est le flux extérieur d’un champ de vecteurs par

unité de volume. Ce théorème, largement utilisé permet de passer d’une intégrale

volumique à une intégrale surfacique .Cette formule est appelée "théorème

d'Ostrogradsky" ou "théorème de Gauss-Ostrogradsky" ou encore "théorème de la

divergence".

Théorème de Stokes

Le Théorème de Stokes en coordonnées cartésiennes est :

∫ �⃗⃗� . 𝒅𝒍⃗⃗⃗⃗ = ∬𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� . 𝒅𝒔⃗⃗ ⃗⃗

La circulation du vecteur �⃗⃗� sur un parcours fermé 𝑳 est égale au flux de 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� à

travers une surface quelconque s’appuyant sur 𝑳. Ce théorème permet de faire le

passage d’une intégrale simple à une intégrale surfacique.

Théorème (simplifié) de décomposition de Helmholtz.

Tout champ vectoriel �⃗⃗� peut se décomposer en :

�⃗⃗� = 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∅ + 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝚿 ⃗⃗⃗⃗

∅ : est appelé par définition le potentiel scalaire.

𝚿 ⃗⃗⃗⃗ : Le potentiel vecteur.

On choisit en général 𝜳 tel que 𝒅𝒊𝒗 𝚿 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝟎

On dit qu’un champ est solénoïdal ou à flux conservatif lorsque 𝑑𝑖𝑣 �⃗⃗⃗� = 0 . Dans

cette décomposition, on peut alors écrire �⃗⃗� = 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ Ψ ⃗⃗⃗⃗ car 𝑑𝑖𝑣 (𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� ) = 0 ∀�⃗⃗�

0n dit qu’un champ est irrotationnel lorsque 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� = 0 .Dans la décomposition

de Helmholtz, on peut alors écrire

𝑨 ⃗⃗ ⃗ = 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∅ car, 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ (𝒈𝒓𝒂𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∅) = 𝟎 , ∀∅.

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Principales formules de base

�⃗⃗� . ( �⃗⃗� U) = �⃗⃗� 𝟐U soit 𝒅𝒊𝒗 (𝒈𝒓𝒂𝒅 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ U) = ∆U

�⃗⃗� ×( �⃗⃗� U) = 𝟎 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ (𝒈𝒓𝒂𝒅 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ U) = 𝟎

�⃗⃗� . ( �⃗⃗� × 𝒂 ⃗⃗ ⃗ ) = 𝟎 𝒅𝒊𝒗 (𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� ) = 𝟎

�⃗⃗� × ( �⃗⃗� × �⃗⃗� ) = �⃗⃗� ( �⃗⃗� . �⃗⃗� ) − �⃗⃗� 𝟐 �⃗⃗� soit 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ (𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� ) = 𝒈𝒓𝒂𝒅 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ (𝒅𝒊𝒗 �⃗⃗� ) − ∆�⃗⃗�

II - RAPPELS SUR L’ELECTROMAGNETISME

1- Équations des états stationnaires

Equations locales.

Les équations locales relient en chaque point les expressions des champs, des

charges et des courants.

Forme différentielle

① 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� = 𝟎 ⇨ �⃗⃗� × �⃗⃗� = 𝟎

Le champ électrique �⃗� dérive d’un potentiel scalaire ( �⃗⃗� = − 𝒈𝒓𝒂𝒅⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝑽)

② 𝒅𝒊𝒗 �⃗⃗� = 𝝆 ⇨ �⃗⃗� . �⃗⃗� = 𝝆 soit 𝒅𝒊𝒗 �⃗⃗� = 𝝆

𝜺𝟎 ⇨ �⃗⃗� . �⃗⃗� =

𝝆

𝜺𝟎

C’est le théorème de Gauss, qui relie le champ aux sources.

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③ 𝒅𝒊𝒗 �⃗⃗� = 𝟎 ⇨ �⃗⃗� . �⃗⃗� = 𝟎

Cela signifie que �⃗⃗� est à flux conservatif : il n’y a pas de charges

magnétiques

④ 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗⃗� = 𝒋 ⇨ �⃗⃗� × �⃗⃗⃗� = 𝒋 = 𝝈 . �⃗⃗�

Théorème d’Ampère avec 𝒋 = 𝝈 . �⃗⃗� (la loi d’ohm)

Forme intégrale

① ∮ �⃗⃗� . 𝒅𝒍⃗⃗⃗⃗ =0

② ∬ �⃗⃗� . 𝒅𝑺⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑸 = ∭𝝆 . 𝒅𝑽

𝑸 : charge totale contenue à l’intérieur de la surface, 𝝆 densité volumique.

③ ∬ �⃗⃗� . 𝒅𝑺⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝟎

④ ∫𝑯.⃗⃗⃗⃗ 𝒅𝒍⃗⃗⃗⃗ = 𝑰 = ∬ 𝒋 . 𝒅𝑺⃗⃗⃗⃗ ⃗

Ces équations sont complétées par les relations du milieu :

- Dans le vide (en l’absence de sources externes).

�⃗⃗� = 𝜺𝟎. �⃗⃗� et �⃗⃗� = 𝝁𝟎. �⃗⃗⃗�

-Dans un diélectrique parfait.

�⃗⃗� = 𝜺. �⃗⃗� et �⃗⃗� = 𝝁. 𝑯⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝝁 ∶ perméabilité magnétique d’un milieu isotrope (en absence de moment

magnétique permanent) .Elle correspond à l’énergie stockée ou perdue dans un

milieu suite aux phénomènes d’induction magnétique

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-Dans un conducteur

𝐝𝐢𝐯 𝐣 = 𝟎 ⇨ �⃗⃗� . 𝐣 = 𝟎 Elle définit le principe de conservation de la charge

et 𝒋 = 𝝈 . �⃗⃗�

2- Equations des états quasi-stationnaires

Les principales équations des états quasi – stationnaires sont :

① 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� = − 𝝏�⃗⃗�

𝝏𝒕 ⇨ �⃗⃗� × �⃗⃗� = −

𝝏�⃗⃗�

𝝏𝒕 : c’est la relation de Faraday.

② 𝒅𝒊𝒗 �⃗⃗� = 𝝆 ⇨ �⃗⃗� . �⃗⃗� = 𝝆 soit 𝒅𝒊𝒗 𝑬 ⃗⃗ ⃗ = 𝝆

𝜺𝟎 ⇨ �⃗⃗� . �⃗⃗� =

𝝆

𝜺𝟎 :

C’est le théorème de Gauss, qui relie le champ aux sources.

③ 𝒅𝒊𝒗 �⃗⃗� = 𝟎 ⇨ �⃗⃗� . �⃗⃗� = 𝟎

�⃗⃗⃗� est à flux conservatif : il n’y a pas de charges magnétiques.

④ 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗⃗� = 𝒋 ⇨ �⃗⃗� × �⃗⃗⃗� = 𝒋 Théorème d’Ampère.

Remarque

Les relations du milieu sont identiques qu’en régime stationnaire. En régime

quasi-stationnaire, il suffira de changer les équations des champs stationnaires de

façon à prendre en considération les effets des phénomènes d’induction

magnétique.

𝒅𝒊𝒗 𝒋 = 𝟎 ⇨ �⃗⃗� . 𝒋 = 𝟎 représente le principe de conservation de la

charge. En régime quasi - stationnaire 𝑗 est évidemment analogue.

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En régime quasi stationnaire le champ électrique total �⃗⃗� est considéré comme

étant la somme d’un champ électrostatique �⃗⃗� 𝒔 et d’un champ électromoteur

d’induction �⃗⃗⃗� i avec �⃗⃗� = �⃗⃗� 𝒔 + �⃗⃗� i

Le champ électromoteur d’induction �⃗⃗� i est donné par la loi de l’induction

magnétique.

Dans un circuit (c) la force électromotrice induite par une modification de flux

est égale à la circulation du champ �⃗⃗� i , soit :

𝒆 = − 𝐝∅

𝐝𝐭 = ∫𝐄𝐢.⃗⃗⃗⃗ 𝐝𝐥⃗⃗⃗⃗ ⃗ comme ∅ = ∬ �⃗⃗� . 𝐝𝐒⃗⃗ ⃗⃗ 𝒂𝒍𝒐𝒓𝒔 𝒆 = −

𝛛

𝛛𝐭∬ �⃗⃗� . 𝐝𝐒⃗⃗ ⃗⃗ = − ∬

𝛛�⃗⃗�

𝛛𝐭. 𝐝𝐒⃗⃗ ⃗⃗

L’utilisation du théorème de Stokes permet d’écrire que la circulation de �⃗⃗� i est

égal au flux de son rotationnel :

𝒆 = ∫𝑬𝒊⃗⃗⃗⃗ . 𝒅𝒍⃗⃗⃗⃗ = ∬𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� i. 𝒅𝑺⃗⃗⃗⃗ ⃗ d’où 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� 𝒊 = −

𝝏�⃗⃗�

𝝏𝒕

Étant donné que 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� = 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� 𝒔 + 𝒓𝒐𝒕⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑬⃗⃗ ⃗i et que 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� 𝒔 = 𝟎 d’où

𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� = 𝝏�⃗⃗�

𝝏𝒕 ⇨ �⃗⃗� × �⃗⃗� = −

𝝏�⃗⃗�

𝝏𝒕

Le champ électromoteur d’induction peut se formuler en fonction d’un potentiel

vectoriel �⃗⃗� soit �⃗⃗� 𝒊 = − 𝝏�⃗⃗�

𝝏𝒕 .

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3 - équations en régime variable

Quand le régime est variable l’intensité du courant n’est plus constante le long du

circuit et il y a généralement des circuits ouverts. Il s’en suit que :

Par suite de la modification d’intensité du courant électrique, il pourra y avoir

accumulation de charges en certains points du circuit, et l’équation de

conservation de la charge 𝒅𝒊𝒗 𝒋 = 𝟎 ne sera plus valable.

Lorsque le circuit est ouvert, il n’est plus possible d’appliquer le théorème

d’Ampère qui a permis d’écrire 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗⃗� = 𝒋 .

Dans tous les cas, la charge 𝝈(𝒕) à la surface du conducteur sera variable,

produisant un champ électrique variable dont les conséquences ne pourront être

négligées. Maxwell est le premier à mettre en évidence l’importance de ce champ

et a découvert qu’il avait des propriétés magnétiques identiques qu’un courant

fictif appelé depuis le courant de déplacement de Maxwell. C’est ce courant de

déplacement qui sera responsable de la propagation du champ

électromagnétique.

Dans le cas ou la charge 𝒒 intérieure à la surface ( 𝑺 ) change au cours du temps

l’intensité totale à travers (𝑺) représente la charge qui sort par unité de temps.

Elle est égale à ;

𝒊 = − 𝒅𝒒

𝒅𝒕

Dans cette formule, 𝒅𝒒

𝒅𝒕 représente la modification de charge intérieure, et

l’intensité sortante.

𝒊 est positive si 𝒅𝒒

𝒅𝒕 est négative c’est-à-dire si la charge intérieure diminue.

Etant donné que 𝒒 = ∭ 𝝆 . 𝒅𝑽𝑽

, il vient

i = ∬ 𝒋 𝒔

. 𝒅𝑺⃗⃗⃗⃗ ⃗ = − 𝒅𝒒

𝒅𝒕 = −∭

𝝏𝝆

𝝏𝒕 . 𝒅𝑽

𝑽

soit, ∬ 𝒋 𝒔

. 𝒅𝑺⃗⃗⃗⃗ ⃗ = ∭ 𝒅𝒊𝒗𝒋 .𝑽

𝒅𝑽 ⇨ 𝒅𝒊𝒗𝒋 + 𝝏𝝆

𝝏𝒕 = 𝟎

Cette équation décrit la conservation de l’électricité pour les régimes variables.

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Equation de Maxwell-Ampère

A partir de l’équation précédente 𝒅𝒊𝒗 𝒋 + 𝝏𝝆

𝝏𝒕 = 𝟎 et le théorème de Gauss

𝒅𝒊𝒗 �⃗⃗� = 𝝆 .

La dérivation par rapport au temps de cette dernière donne :

𝝏𝝆

𝝏𝒕 = 𝒅𝒊𝒗

𝝏�⃗⃗�

𝝏𝒕 et l’équation de la conservation de l’électricité pour les régimes

variables s’écrit.

𝒅𝒊𝒗 𝒋 + 𝒅𝒊𝒗 𝝏�⃗⃗�

𝝏𝒕 = 𝒅𝒊𝒗 ( 𝒋 +

𝝏�⃗⃗�

𝝏𝒕) = 𝟎

Cette relation exprime la conservation du flux total.

𝒋 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝒋 + 𝝏�⃗⃗�

𝝏𝒕

𝒋 𝑫 = 𝝏�⃗⃗�

𝝏𝒕 : est appelé courant de déplacement de Maxwell.

Elle montre qu’un champ électrique variable produit un champ magnétique,

𝒋 𝑫 possède toutes les propriétés magnétiques d’un courant de conduction et

permet d’étendre le théorème d’Ampère au courant total, d’où l’équation de

Maxwell- Ampère.

𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗⃗� = 𝒋 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝒋 + 𝝏�⃗⃗�

𝝏𝒕

En l’absence de courant de conduction 𝒋 , on a :

𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗⃗� = 𝝏�⃗⃗�

𝝏𝒕 Ce qui explique qu’un champ électrique variable produit un

champ magnétique. En quelque sorte, cette équation est l’équation de production

du champ magnétique.

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4- Les équations de Maxwell

Forme générale

① 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� = − 𝝏�⃗⃗�

𝝏𝒕 ⇨ �⃗⃗� × �⃗⃗� = −

𝝏�⃗⃗�

𝝏𝒕

C’est la relation de Faraday .Elle relie le champ électrostatique au champ

électromoteur d’induction

② 𝒅𝒊𝒗 �⃗⃗� = 𝝆 ⇨ �⃗⃗� . �⃗⃗� = 𝝆 soit 𝒅𝒊𝒗 �⃗⃗� = 𝝆

𝜺𝟎 ⇨ �⃗⃗� . �⃗⃗� =

𝝆

𝜺𝟎

C’est le théorème de Gauss qui relie le champ aux sources.

③ 𝒅𝒊𝒗 �⃗⃗� = 𝟎 ⇨ �⃗⃗� . �⃗⃗� = 𝟎 �⃗⃗� est à flux conservatif : il n’y a pas de

charges magnétiques.

④ 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗⃗� = 𝒋 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝒋 + 𝝏�⃗⃗�

𝝏𝒕 : C’est l’équation de Maxwell- Ampère.

Relation de milieu

- Dans le vide.

�⃗⃗� = 𝜺𝟎. �⃗⃗�

�⃗⃗� = 𝝁𝟎. �⃗⃗⃗�

-Pour le cas d’un milieu matériel parfait du point de vue diélectrique et

magnétique.

�⃗⃗� = 𝜺. �⃗⃗�

�⃗⃗� = 𝝁. �⃗⃗⃗�

-Dans un milieu conducteur.

𝒅𝒊𝒗𝒋 + 𝝏𝝆

𝝏𝒕 = 𝟎

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En présence de charge et de courants

En présence de charges et de courants dans le vide, les équations de maxwell

sont :

① 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� = − 𝝏�⃗⃗�

𝝏𝒕 ⇨ �⃗⃗� × �⃗⃗� = −

𝝏�⃗⃗�

𝝏𝒕

② 𝒅𝒊𝒗 �⃗⃗� = 𝝆

𝜺𝟎 ⇨ �⃗⃗� . �⃗⃗� =

𝝆

𝜺𝟎 ,

avec 𝝆 ∶ densité de charges par unité de volume(C/m3)

③ 𝒅𝒊𝒗 �⃗⃗� = 𝟎 ⇨ �⃗⃗� . �⃗⃗� = 𝟎

④ 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� = 𝝁𝟎 𝒋 + 𝜺𝟎 𝝁𝟎 𝝏�⃗⃗�

𝝏𝒕 ,

avec 𝒋 = 𝝈. �⃗⃗� : densité de courant de conduction (A/m2)

En absence de charges et de courants

En l’absence de charges et de courants dans le vide, les équations de maxwell

sont :

① 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� = − 𝝏�⃗⃗�

𝝏𝒕 ⇨ �⃗⃗� × �⃗⃗� = −

𝝏�⃗⃗�

𝝏𝒕

② 𝒅𝒊𝒗 �⃗⃗� = 𝟎 ⇨ �⃗⃗� . �⃗⃗� = 𝟎

③ 𝒅𝒊𝒗 �⃗⃗� = 𝟎 ⇨ �⃗⃗� . �⃗⃗� = 𝟎

④ 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� = 𝜺𝟎 . 𝝁𝟎.𝝏�⃗⃗�

𝝏𝒕

Ces équations montrent que la modification de l’un des champs entraine

l’apparition de l’autre et, par conséquent, la propagation de ce champ.

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III - Propagation du champ électromagnétique

L’équation de propagation du champ électromagnétique se déduit des équations

de Maxwell examinées ci-dessus.

Établissons le rotationnel de l’équation 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� = − 𝝏�⃗⃗�

𝝏𝒕

Le rotationnel ne contenant que des dérivées par rapport aux variables d’espace x,

y, z et 𝝏

𝝏𝒕 est une dérivation par rapport au temps t, on peut donc écrire :

𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� = − 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ( 𝝏�⃗⃗�

𝝏𝒕 ) = −

𝝏

𝝏𝒕 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� = −

𝝏

𝝏𝒕 ( 𝜺𝟎 𝝁𝟎

𝝏�⃗⃗�

𝝏𝒕) = − 𝜺𝟎. 𝝁𝟎.

𝝏𝟐𝑬

𝝏𝟐𝒕

Correspond à l’application de la formule 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� = 𝒈𝒓𝒂𝒅⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝒅𝒊𝒗 �⃗⃗� − 𝛁𝟐�⃗⃗�

Dont 𝒅𝒊𝒗 �⃗⃗� = 𝟎 d’où

𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� = − 𝛁𝟐�⃗⃗� ⇨ 𝛁𝟐�⃗⃗� − 𝜺𝟎 . 𝝁𝟎.𝝏𝟐𝑬

𝝏𝟐𝒕 = 𝟎

Par élimination de �⃗⃗� , on trouverait de même pour �⃗⃗� en prenant le rotationnel.

𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� = 𝜺𝟎. 𝝁𝟎.𝝏�⃗⃗�

𝝏𝒕 ⇨ 𝛁𝟐�⃗⃗� − 𝜺𝟎 . 𝝁𝟎.

𝝏𝟐 �⃗⃗�

𝝏𝟐𝒕 = 𝟎

D’où finalement

𝛁𝟐�⃗⃗� − 𝜺𝟎 . 𝝁𝟎.𝝏𝟐�⃗⃗�

𝝏𝟐𝒕 = 𝟎 et 𝛁𝟐�⃗⃗� − 𝜺𝟎. 𝝁𝟎 .

𝝏𝟐�⃗⃗�

𝝏𝟐 𝒕 = 𝟎

Soit 𝛁𝟐�⃗⃗� − 𝜺𝟎. 𝝁𝟎 . 𝝏𝟐�⃗⃗�

𝝏𝟐 𝒕 = 𝟎 ⇨ 𝛁𝟐�⃗⃗� − 𝑽−𝟐

𝝏𝟐�⃗⃗�

𝝏𝟐 𝒕

Ou �⃗⃗� représente soit le champ électrique, soit le champ magnétique.

Ce sont les équations de propagation des deux grandeurs vectorielles �⃗⃗� et �⃗⃗� .

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Il en résulte que le champ EM se propage avec la vitesse :

𝑪 = 𝟏

√𝜺𝟎 . 𝝁𝟎 ⇨ 𝜺𝟎 . 𝝁𝟎

. 𝑪𝟐 = 𝟏 (vitesse dans le vide)

𝝁𝟎 = 4𝝅 . 𝟏𝟎−𝟕 𝑯.𝒎−𝟏 (perméabilité du vide)

𝜺𝟎 = 𝟏/𝟑𝟔. 𝝅. 𝟏𝟎𝟗 𝑭.𝒎−𝟏 (Permittivité du vide)

De ce fait, une onde électromagnétique est définie entièrement en tout point de

l’espace et à tout moment à l’aide de quatre grandeurs vectorielles champ

électrique(�⃗⃗� ) , induction électrique ( �⃗⃗� ), induction magnétique, (�⃗⃗� ) et le champ

magnétique (�⃗⃗⃗� ).

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IV - Équations de diffusion

En régime quasi stationnaire, l’équation d’une onde monochromatique sinusoïdale

sera :

𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗⃗� = 𝒋 = 𝝈 . �⃗⃗�

𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� = 𝐢.𝛚. 𝛍 . �⃗⃗⃗�

Le rotationnel de ces deux équations est :

𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗⃗� = 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝒋 = 𝝈 . 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗�

𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� = 𝐢.𝛚. 𝛍 . 𝒓𝒐𝒕 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗⃗�

D’où

𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗⃗� = 𝐢.𝛚. 𝛍 . 𝝈. �⃗⃗⃗�

et

𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� = 𝐢.𝛚. 𝛍 . 𝝈. �⃗⃗�

Comme 𝒅𝒊𝒗�⃗⃗⃗� = 𝟎 et 𝒅𝒊𝒗�⃗⃗� = 𝟎

L’application de l’expression vectorielle

𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� = 𝒈𝒓𝒂𝒅⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝒅𝒊𝒗 �⃗⃗� − 𝛁𝟐�⃗⃗� donne

∆�⃗⃗⃗� + 𝐢.𝛚. 𝛍. 𝝈. �⃗⃗⃗� = 𝟎 et ∆�⃗⃗� + 𝐢.𝛚. 𝛍. 𝝈. �⃗⃗� = 𝟎

Comme la magnétotellurique utilise les basses fréquences c’est-à-dire

𝝎𝟐. 𝛍. 𝛆 ≪ 𝛚.𝛍. 𝝈 ou 𝝎 ≪ 𝝈

𝛆

18

Alors ces équations sont appelées équations de diffusion.

Posons.

𝐤𝟐 = 𝐢.𝛚. 𝛍. 𝝈 ou 𝒌 = √𝛚.𝛍. 𝝈 √𝒊 = √𝛚.𝛍. 𝝈 𝒆𝒊𝝅

𝟒 = (𝒊 + 𝟏) √𝛚.𝛍.𝝈

𝟐

∆�⃗⃗⃗� + 𝐤𝟐 . �⃗⃗⃗� = 𝟎 et ∆�⃗⃗� + 𝐤𝟐 . �⃗⃗� = 𝟎

(∆ −𝐢.𝛚. 𝛍. 𝝈)�⃗⃗� = 𝟎 Etant appelée équation de diffusion pour l’induction �⃗⃗� (ou �⃗⃗⃗� )

(∆ −𝐢.𝛚. 𝛍. 𝝈)�⃗⃗� = 𝟎 Est l’équation de diffusion pour le champ électrique �⃗⃗� .

Dans le cas d’une onde plane qui se propage avec la profondeur z, la solution est

de la forme :

𝑩 = 𝑩𝟎𝒆−𝒌𝒛 + 𝑩𝟏𝒆

+𝒌𝒛

𝑬 = 𝑬𝟎𝒆−𝒌𝒛 +𝑬𝟏𝒆

+𝒌𝒛

𝐤 = √𝐢.𝛚. 𝛍. 𝝈 = √𝛚.𝛍. 𝝈 . √𝐢 est appelé nombre d’onde

√𝐢 = √𝒆𝒊(𝝅

𝟐) = ± 𝒆𝒊(

𝝅

𝟒) = ± [ 𝐜𝐨𝐬

𝝅

𝟒 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏

𝝅

𝟒 ] = ±

𝟏+𝒊

√𝟐

Pour Re k > 𝟎 et Im > 0 alors

𝒌 = 𝒆𝒊(𝝅𝟒) √𝛚. 𝛍. 𝝈 = (𝟏 + 𝒊)√𝛚.𝛍. 𝝈/𝟐

Désignons √𝛚.𝛍. 𝝈/𝟐 = 𝟐𝝅

𝝀 alors 𝒌 = (𝟏 + 𝒊)

𝟐𝝅

𝝀

Comme 𝛚 = 𝟐𝝅𝒇 = 𝟐𝝅/𝑻 , 𝝈 = 𝟏/𝝆 et si on suppose que 𝛍 = 𝛍𝟎 = 𝟒𝝅. 𝟏𝟎−𝟕

On obtient 𝝀 = √𝟏𝟎𝟕. 𝝆. 𝑻

19

𝝆 : En ohm. Mètre 𝑻 : période en seconde, 𝒇 : fréquence en Hz

𝛍𝟎 ∶ En ohm. s/m, 𝝀 ∶ longueur d’onde en mètre

V - Equations d’un champ monochromatique

Dans de nombreux problèmes en magnétotellurique on utilise des champs

harmoniques et variables dans le temps .Pour simplifier le problème utilisons le

champ magnétique �⃗⃗⃗�

�⃗⃗⃗� (𝒕) = 𝐇𝒙 (𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 − 𝛂𝒙)�⃗⃗� 𝒙 + 𝐇𝒚 (𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 − 𝛂𝒚)�⃗⃗� 𝒚 + 𝐇𝒛 (𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 − 𝛂𝒛)�⃗⃗� 𝒛

H𝑥 , H𝑦 , H𝑧, α𝑥 , α𝑦 𝑒𝑡 α𝑧 sont les amplitudes et les phases correspondantes.

Comme 𝒆−𝒊(𝝎𝒕−𝜶) = 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 − 𝜶 ) − 𝒊 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕 − 𝜶)

On peut écrire alors

𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 − 𝜶 ) = 𝑹𝒆 [ 𝒆−𝒊(𝝎𝒕−𝜶) ]

D’où �⃗⃗⃗� (𝒕) = 𝐇𝒙. 𝑹𝒆 [ 𝒆−𝒊(𝝎𝒕−𝛂𝒙) ]�⃗⃗� 𝒙 + 𝐇𝒚. 𝑹𝒆 [ 𝒆

−𝒊(𝝎𝒕−𝛂𝒚) ]�⃗⃗� 𝒚 +

𝐇𝒛. 𝑹𝒆 [ 𝒆−𝒊(𝝎𝒕−𝛂𝒛) ]�⃗⃗� 𝒛 = 𝑹𝒆 {[ 𝐇𝒙𝒆

𝒊𝛂𝒙 �⃗⃗� 𝒙 ] + 𝑹𝒆 [ 𝐇𝒚𝒆𝒊𝛂𝒚 �⃗⃗� 𝒚 ] +

[ 𝐇𝒛𝒆𝒊𝛂𝒛 �⃗⃗� 𝒛 ]𝒆

−𝒊𝝎𝒕}

Désignons par �⃗⃗⃗̌� = 𝐇𝒙𝒆𝒊𝛂𝒙 �⃗⃗� 𝒙 + 𝐇𝒚𝒆

𝒊𝛂𝒚 �⃗⃗� 𝒚 + 𝐇𝒛𝒆𝒊𝛂𝒛 �⃗⃗� 𝒛

d’où �⃗⃗⃗� (𝒕) = 𝑹𝒆 {[ 𝑯𝒙𝒆𝒊𝛂𝒙 �⃗⃗� 𝒙 ] + 𝑹𝒆 [ 𝐇𝒚𝒆

𝒊𝛂𝒚 �⃗⃗� 𝒚 ] + [ 𝐇𝒛𝒆𝒊𝛂𝒛 �⃗⃗� 𝒛 ]𝒆

−𝒊𝝎𝒕} se

réduit à

�⃗⃗⃗� (𝒕)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑹𝒆 [ �⃗⃗⃗̌� 𝒆−𝒊𝝎𝒕 ]

20

Les grandeurs complexes �⃗⃗̌� , �⃗⃗̌� , �⃗⃗̌� et �̌� ( densité de charges électriques)

peuvent s’écrire par analogie comme suit :

�⃗⃗̌� = 𝑩𝒙𝒆𝒊𝜷𝒙 �⃗⃗� 𝒙 + 𝐁𝒚𝒆

𝒊𝜷𝒚 �⃗⃗� 𝒚 + 𝐁𝒛𝒆𝒊𝜷𝒛 �⃗⃗� 𝒛 �⃗⃗� = 𝑹𝒆 [ �⃗⃗̌�

𝒆−𝒊𝝎𝒕 ]

�⃗⃗̌� = 𝐄𝒙𝒆𝒊𝝋𝒙 �⃗⃗� 𝒙 + 𝐄𝒚𝒆

𝒊𝝋𝒚 �⃗⃗� 𝒚 + 𝑬𝒛𝒆𝒊𝝋𝒛 �⃗⃗� 𝒛 �⃗⃗� = 𝑹𝒆 [ �⃗⃗̌�

𝒆−𝒊𝝎𝒕 ]

�⃗⃗̌� = 𝐃𝒙𝒆𝒊∅𝒙 �⃗⃗� 𝒙 + 𝑫𝒚𝒆

𝒊∅𝒚 �⃗⃗� 𝒚 + 𝐃𝒛𝒆𝒊∅𝒛 �⃗⃗� 𝒛 �⃗⃗� = 𝑹𝒆 [ �⃗⃗̌�

𝒆−𝒊𝝎𝒕 ]

�̌� = 𝝆 𝒆𝒊 𝜽 𝝆 = 𝑹𝒆 [ 𝝆 ̌𝒆−𝒊𝝎𝒕 ]

𝐁𝒙(𝒚,𝒛) , 𝜷𝒙(𝒚,𝒛), 𝐄𝒙(𝒚,𝒛), 𝝋𝒙(𝒚,𝒛) , 𝐃𝒙(𝒚,𝒛) , ∅𝒙(𝒚,𝒛) , 𝝆 , 𝜽 sont les amplitudes et les

phases des composantes vectorielles de �⃗⃗� , �⃗⃗� , �⃗⃗� et de la densité de charge 𝝆.

En substituant les expressions de �⃗⃗⃗� , �⃗⃗� , �⃗⃗� , �⃗⃗� , 𝝆 dans les équations

𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗⃗� = 𝒋 𝒄 + 𝝏�⃗⃗�

𝝏𝒕 = 𝒋 𝒄 +𝒋 𝒅 = 𝒋 avec 𝒅𝒊𝒗 𝒋 𝒄 = −

𝝏𝝆

𝝏𝒕

𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� = − 𝝏�⃗⃗�

𝝏𝒕 , 𝒅𝒊𝒗 �⃗⃗� = 𝝆 et 𝒅𝒊𝒗 �⃗⃗� = 𝟎

avec 𝝆 ∶ densité de charges par unité de volume(C/m3) .A ne pas confondre avec

le même terme utilisé pour designer la résistivité des matériaux.

On obtient :

𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑹𝒆 [ �⃗⃗⃗̌� 𝒆−𝒊𝝎𝒕 ] = 𝑹𝒆 [ 𝒓𝒐𝒕 �⃗⃗⃗̌� 𝒆−𝒊𝝎𝒕 ] = 𝑹𝒆 [𝝈 �⃗⃗̌� 𝒆−𝒊𝝎𝒕 ] + 𝑹𝒆 [ �⃗⃗̌�

𝝏

𝝏𝒕𝒆−𝒊𝝎𝒕]

𝑹𝒆 [ 𝒓𝒐𝒕 �⃗⃗̌� 𝒆−𝒊𝝎𝒕 ] = − 𝑹𝒆 [ �⃗⃗̌�

𝝏

𝝏𝒕𝒆−𝒊𝝎𝒕 ]

𝑹𝒆 [𝒅𝒊𝒗 �⃗⃗̌� 𝒆−𝒊𝝎𝒕 ] = 𝟎

21

𝑹𝒆 [𝒅𝒊𝒗 �⃗⃗̌� 𝒆−𝒊𝝎𝒕 ] = 𝑹𝒆 ( 𝝆 ̌𝒆−𝒊𝝎𝒕 )

On obtient respectivement :

𝒓𝒐𝒕 �⃗⃗⃗̌� 𝒆−𝒊𝝎𝒕 = 𝝈 �⃗⃗̌� 𝒆−𝒊𝝎𝒕 − 𝒊.𝝎. �⃗⃗̌� 𝒆−𝒊𝝎𝒕

𝒓𝒐𝒕 �⃗⃗̌� 𝒆−𝒊𝝎𝒕 = 𝒊. 𝝎. �⃗⃗̌� 𝒆−𝒊𝝎𝒕

𝒅𝒊𝒗 �⃗⃗̌� 𝒆−𝒊𝝎𝒕 = 𝟎

𝒅𝒊𝒗 �⃗⃗̌� 𝒆−𝒊𝝎𝒕 = 𝝆 ̌𝒆−𝒊𝝎𝒕

En conclusion : si les vecteurs complexes des champs 𝑯,̌⃗⃗⃗⃗ 𝑬,̌⃗⃗ ⃗ �⃗⃗̌� et �⃗⃗̌� satisfont aux

équations précédentes, alors les vecteurs réels �⃗⃗⃗� , �⃗⃗� ,�⃗⃗� et �⃗⃗� satisfont

automatiquement les équations de Maxwell.

Comme �⃗⃗� = 𝜺. �⃗⃗� et �⃗⃗� = 𝝁. �⃗⃗⃗� , il s’en suit que

𝒓𝒐𝒕 �⃗⃗⃗̌� = 𝝈 �⃗⃗̌� − 𝜺. 𝒊.𝝎. �⃗⃗̌� 𝒓𝒐𝒕 �⃗⃗̌� = 𝒊.𝝎. 𝝁. �⃗⃗⃗̌�

𝒅𝒊𝒗 (𝝁�⃗⃗⃗̌� ) = 𝟎 et 𝒅𝒊𝒗 (𝜺�⃗⃗̌� ) = 𝝆 ̌

Habituellement, on écrit �⃗⃗⃗� , �⃗⃗� , �⃗⃗� , �⃗⃗� et 𝝆 à la place de 𝐇,̌⃗⃗⃗ 𝐄,̌⃗⃗⃗ �⃗⃗̌� , �⃗⃗̌� et 𝝆 ̌

22

VI- Potentiel électrodynamique

A partir des équations :

𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗⃗� = 𝒋 𝒄 = 𝝈 . �⃗⃗�

𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� = 𝐢.𝛚. 𝛍 . �⃗⃗⃗�

Et sachant que 𝒅𝒊𝒗�⃗⃗⃗� = 𝟎 et 𝒅𝒊𝒗�⃗⃗� = 𝟎

Alors le champ magnétique peut être exprimé par la relation

�⃗⃗⃗� = 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� ou �⃗⃗� désigne le potentiel électrodynamique vectoriel

En substituant �⃗⃗⃗� = 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� dans 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� = 𝐢.𝛚. 𝛍 . �⃗⃗⃗� on obtient

𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� = 𝐢.𝛚. 𝛍 . 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� soit 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� − 𝐢.𝛚. 𝛍 . 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� = 𝟎 ou

𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ (�⃗⃗� − 𝐢. 𝛚. 𝛍 . �⃗⃗� ) = 𝟎

Et ainsi �⃗⃗� − 𝐢.𝛚. 𝛍 . �⃗⃗� = − 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑼

�⃗⃗� − 𝐢. 𝛚. 𝛍 . �⃗⃗� dont le rotationnel est nul dérive d’une fonction scalaire appelée

le potentiel électrodynamique scalaire.

�⃗⃗� = 𝐢. 𝛚. 𝛍 . �⃗⃗� − 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑼

Ecrivons l’’équation de Maxwell 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗⃗� = 𝝈 . �⃗⃗� en fonction du potentiel

électrodynamique .On obtient :

𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� = 𝐢. 𝛚. 𝛍 . 𝝈 . �⃗⃗� − 𝝈 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑼

Comme 𝐤𝟐 = 𝐢. 𝛚. 𝛍. 𝝈 et en appliquant la relation

𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� = 𝒈𝒓𝒂𝒅⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝒅𝒊𝒗 �⃗⃗� − 𝛁𝟐�⃗⃗� on obtient

∆�⃗⃗� + 𝐤𝟐 . �⃗⃗� = 𝒈𝒓𝒂𝒅(𝒅𝒊𝒗 �⃗⃗� + 𝝈 𝑼 )

23

Comme �⃗⃗⃗� = 𝒓𝒐𝒕⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ �⃗⃗� , il en resulte que

𝒅𝒊𝒗 �⃗⃗� = − 𝝈 𝑼

Et ∆�⃗⃗� + 𝐤𝟐 . �⃗⃗� =0

En introduisant �⃗⃗� = 𝐢. 𝛚. 𝛍 . �⃗⃗� − 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑼 dans 𝒅𝒊𝒗�⃗⃗� = 𝟎 et 𝒅𝒊𝒗�⃗⃗⃗� = 𝟎

On déduit que pour les deux champs ∆𝐔 + 𝐤𝟐 𝐔 = 0

ψ

24

VII - Polarisation elliptique

On dit qu’une onde est polarisée elliptiquement lorsque l’extrémité de son

vecteur du champ électrique �⃗⃗� retrace dans le plan d’onde (plan de

vibration) une ellipse. Le vecteur �⃗⃗� du champ electrique a pour origine le

centre de l’ellipse. (fig.2)

Fig.2

Ou 𝐭𝐚𝐧𝝍 = 𝒃

𝒂 est l’ellipticité, 𝒂 et 𝒃 sont les axes de l’ellipse.

En prospection electromagnétique, il arrive que l’ on mesure le champ

electromagnetique resultant composé du champ primaire �⃗⃗⃗� 𝒑 et du

champ secondaire �⃗⃗⃗� 𝒔 dont la fréquence ne change mais ils se different

par leur orientation spatiale et par leur phase. Par conséquent la composante

horizontale et la composante verticale du champ resultant �⃗⃗⃗� 𝑹 peuvent

avoir des phases differentes.

Lorsque 𝑶𝑿 et 𝑶𝒀 sont les axes de l’ellipse dans le plan d’onde, les

extremités du champ électrique �⃗⃗� ont pour coordonnées 𝑿 et 𝒀 . Elles ont

pour coordonnées fig 2

25

𝑿 = 𝒂 𝐜𝐨𝐬𝝎𝒕 et 𝒀 = 𝒃 𝐬𝐢𝐧𝝎𝒕 avec (après élimination du temps)

𝑿𝟐

𝒂𝟐+

𝒀𝟐

𝒃𝟐= 𝟏

Fig 3

Le vecteur �⃗⃗� est confondu avec 𝑶𝑨 , car pour 𝒕 = 𝟎 on obtient 𝑿 = 𝒂 et 𝑌 =

0, on a au point 𝑨 , 𝒅𝒚

𝒅𝒕= 𝒃.𝝎 , ici 𝒃.𝝎 > 𝟎 (Ellipse gauche car 𝒀 croit).On

peut procéder la même analyse pour tous les autres cas. Fig.3

Quand un champ électromagnétique primaire �⃗⃗⃗� 𝒑 interagit avec un matériau

conducteur, alors un champ électromagnétique secondaire �⃗⃗⃗� 𝒔 se créait avec un

déphasage de 𝝅

𝟐 + 𝝋 par rapport à �⃗⃗� 𝑝 .

26

Dans un plan (𝒙, 𝒛) qui contient les deux vecteurs �⃗⃗⃗� 𝒑 𝑒𝑡 �⃗⃗⃗� 𝒔 , on peut

décomposer chacun de ces vecteurs en deux composantes spatiales suivants des

coordonnées rectangulaires 𝒙 et 𝒛

- Selon l’axe des 𝑿 on a :

|�⃗⃗⃗� 𝒑 𝒎𝒂𝒙𝒙 |. 𝐬𝐢𝐧𝝎𝒕 et |�⃗⃗⃗� 𝒔 𝒎𝒂𝒙

𝒙 |. 𝐬𝐢𝐧 (𝝎𝒕 – 𝝅

𝟐 − 𝝋)

�⃗⃗⃗� 𝑹𝒙 = |�⃗⃗⃗� 𝒑 𝒎𝒂𝒙

𝒙 |. 𝐬𝐢𝐧𝝎𝒕 − |�⃗⃗⃗� 𝒔 𝒎𝒂𝒙𝒙 |. 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 – 𝝋)

Selon l’axe des 𝒛 on a :

|�⃗⃗⃗� 𝒑 𝒎𝒂𝒙𝒛 |. 𝐬𝐢𝐧𝝎𝒕 et |�⃗⃗⃗� 𝒔 𝒎𝒂𝒙

𝒛 |. 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕 − 𝝅

𝟐− 𝝋 )

�⃗⃗⃗� 𝑹 𝒛 = |�⃗⃗⃗� 𝒑 𝒎𝒂𝒙

𝒛 |. 𝐬𝐢𝐧𝝎𝒕 − |�⃗⃗⃗� 𝒔 𝒎𝒂𝒙𝒛 |. 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 – 𝝋)

Comme 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 – 𝝋) = 𝐜𝐨𝐬𝝎𝒕 . 𝒄𝒐𝒔 𝝋 + 𝐬𝐢𝐧𝝎𝒕 . 𝒔𝒊𝒏 𝝋

On obtient :

�⃗⃗⃗� 𝑹𝒙 = ⎜�⃗⃗⃗� 𝒑 𝒎𝒂𝒙

𝒙 ⎜. 𝐬𝐢𝐧𝝎𝒕 - ⎜�⃗⃗⃗� 𝒔 𝒎𝒂𝒙𝒙 ⎜.𝐜𝐨𝐬𝝎𝒕 . 𝒄𝒐𝒔 𝝋 - ⎜�⃗⃗⃗� 𝒔 𝒎𝒂𝒙

𝒙 ⎜𝐬𝐢𝐧𝝎𝒕 . 𝒔𝒊𝒏 𝝋

= ( ⎜�⃗⃗⃗� 𝒑 𝒎𝒂𝒙𝒙 ⎜ − ⎜�⃗⃗⃗� 𝒔 𝒎𝒂𝒙

𝒙 ⎜ . 𝒔𝒊𝒏 𝝋 ) . 𝐬𝐢𝐧𝝎𝒕 − ( ⎜ �⃗⃗⃗� 𝒔 𝒎𝒂𝒙𝒙 ⎜ . 𝒄𝒐𝒔 𝝋 ) . 𝐜𝐨𝐬𝝎𝒕

Le champ résultant �⃗⃗⃗� 𝑹 𝒙 suivant l’axe 𝐗 peut se mettre sous la forme

�⃗⃗⃗� 𝑹 𝒙 = �⃗⃗� . 𝐬𝐢𝐧𝝎𝒕 + �⃗⃗� . 𝐜𝐨𝐬𝝎𝒕

Le champ résultant �⃗⃗⃗� 𝑹𝒛 suivant l'axe 𝐙 peut se mettre sous la forme.

27

�⃗⃗⃗� 𝑹𝒛 = �⃗⃗� . 𝐬𝐢𝐧𝝎𝒕 + �⃗⃗� . 𝐜𝐨𝐬𝝎𝒕

D’ou �⃗⃗⃗� 𝑹 peut se mettre sous la forme qui suit.

�⃗⃗⃗� 𝑹 = �⃗⃗� . 𝐬𝐢𝐧𝝎𝒕 + �⃗⃗� . 𝐜𝐨𝐬𝝎𝒕

On remarque que les vecteurs �⃗⃗� et �⃗⃗� .sont déphasés de 𝝅

𝟐 . Cela indique que le

vecteur �⃗⃗⃗� 𝑹 se déplace dans un plan et que son extrémité retrace une ellipse.

De manière mathématique

�⃗⃗⃗� 𝑹 = �⃗� + �⃗⃗� = �⃗� 𝒎𝒂𝒙 𝐬𝐢𝐧𝝎𝒕 + �⃗⃗� 𝒎𝒂𝒙 𝐜𝐨𝐬𝝎𝒕

𝐬𝐢𝐧𝝎𝒕 = �⃗�

�⃗� 𝒎𝒂𝒙 𝐜𝐨𝐬𝝎𝒕 =

�⃗⃗�

�⃗⃗� 𝒎𝒂𝒙

Comme 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝝎𝒕 + 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝝎𝒕 = 𝟏

On a alors :

( �⃗�

�⃗� 𝒎𝒂𝒙 ) ² + (

�⃗⃗�

�⃗⃗� 𝒎𝒂𝒙 )² = 𝟏 .

Elle représente l’équation d’une l’ellipse

La force électromotrice induite dans le matériau conducteur est (loi de Faraday) :

𝒆 = − 𝒅∅

𝒅𝒕 = ∮𝑬.⃗⃗ ⃗ 𝒅𝒍⃗⃗⃗⃗

comme ∅ = ∫ 𝑩.⃗⃗ ⃗𝒔

𝒅𝒔⃗⃗ ⃗⃗ et 𝑩.⃗⃗ ⃗ = 𝝁. �⃗⃗⃗�

28

On obtient :

𝒆 = −𝒅

𝒅𝒕( 𝑩.⃗⃗ ⃗ 𝑺 ) = −𝝁. 𝑺. �⃗⃗⃗� 𝒑

𝒅

𝒅𝒕( 𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕) = −𝝁. 𝑺 . 𝝎. �⃗⃗⃗� 𝒑 . 𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕

Si on désigne par 𝒆𝒐 = −𝝁. 𝑺 . 𝝎. �⃗⃗⃗� 𝒑 on obtient

𝒆 = 𝒆𝒐 . 𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕

S : étant la surface de la boucle

L’anomalie conductrice de résistance 𝑹 et d’inductance 𝑳 produit des courants

que l’on peut calculer à l’aide de la loi de Kirchhoff :

𝒆 = 𝑹𝑰 + 𝑳 𝒅𝑰

𝒅𝒕

La solution de cette équation différentielle est :

fig 4

29

𝒆 = 𝑼𝑹 + 𝑼𝑳

𝑼𝑹 = 𝑹. 𝑰

𝑼𝑳 = 𝑳 𝒅𝑰

𝒅𝒕 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝒆 = 𝑹𝑰 + 𝑳

𝒅𝑰

𝒅𝒕

1- La solution générale (sans second membre) est :

𝑹 𝑰 + 𝑳 𝒅𝑰

𝒅𝒕 = 𝟎

𝑰(𝒕) = 𝑨. 𝒆−𝒕/𝝉 et 𝝉 =𝑹

𝑳

2- La solution particulière est :

𝒅𝑰(𝒕)

𝒅𝒕= 𝟎 ce qui donne 𝒆 = 𝑹. 𝑰(𝒕) , 𝑰(𝒕) =

𝒆

𝑹

3- la solution de l’équation differentielle sera :

𝑰(𝒕) = 𝒆

𝑹 {𝟏 − 𝒆

(− 𝒕

𝝉) }

NB.La liste des références bibliographiques sera reportée à la fin du cours (dernier

chapitre)

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