machines asynchrones : éléments de correction · une machine comportant deux paires de pôles est...

Machines asynchrones : éléments de correction I.Présentation...................................................................................................................................................2

1.Constitution et principe de fonctionnement..............................................................................................22.Moteur ou génératrice...............................................................................................................................23.Le glissement............................................................................................................................................2

II.Le schéma équivalent...................................................................................................................................21.Mise en place pour une phase...................................................................................................................22.Simplification du schéma.........................................................................................................................3

a.Position du problème...........................................................................................................................3b.Conséquences......................................................................................................................................3

3.Schémas équivalents usuels......................................................................................................................34.Détermination des éléments du schéma équivalent...................................................................................3

a.Essai à vide avec le rotor en courtcircuit............................................................................................3b.Essai avec le rotor en courtcircuit, bloqué et sous tension réduite......................................................4

III.Bilan de puissance......................................................................................................................................61.Fonctionnement en moteur.......................................................................................................................62.Fonctionnement en génératrice.................................................................................................................7

IV.Couple électromagnétique..........................................................................................................................81.Introduction..............................................................................................................................................82.Expression du couple électromagnétique en fonction des éléments du schéma équivalent.......................83.Courbe représentative de l'évolution du couple en fonction du glissement...............................................8

a.Asymptotes et points particuliers.........................................................................................................8b.Courbe représentative..........................................................................................................................8c.Évolution du couple électromagnétique en fonction de la vitesse (en tr/min)......................................8d.Fonctionnements moteur et génératrice...............................................................................................8

4.Stabilité du fonctionnement......................................................................................................................9a.Point de fonctionnement......................................................................................................................9b.Condition de stabilité...........................................................................................................................9c.Exemples.............................................................................................................................................9

V.Diagramme vectoriel des intensités (appelé aussi diagramme du cercle)...................................................151.Introduction............................................................................................................................................152.Trajet du point de fonctionnement :........................................................................................................153.Propriété.................................................................................................................................................16

VI.Démarrage et variation de vitesse.............................................................................................................161.Introduction............................................................................................................................................162.Action sur la valeur efficace des tensions statoriques.............................................................................163.Action sur la résistance rotorique............................................................................................................174.Fonctionnement à V/f constante.............................................................................................................185.Variation du nombre de pôles.................................................................................................................196.Changement du sens de rotation.............................................................................................................19

VII.Fonctionnement en génératrice (parfois appelé alternateur asynchrone).................................................271.Réversibilité............................................................................................................................................272.Utilisation...............................................................................................................................................28

a.Freinage.............................................................................................................................................28b.Fourniture d’énergie à un réseau........................................................................................................28c.Production d’énergie en site isolé......................................................................................................32

I. Présentation

1. Constitution et principe de fonctionnement

2. Moteur ou génératrice

3. Le glissement

Exercice 1 (Une seule réponse possible)

1. Un moteur comporte quatre pôles, il est alimenté parun réseau triphasé de fréquence 50 Hz. Sa vitesse desynchronisme vaut :

1500 tr/min 3000 tr/min 750 tr/min

2. La vitesse de synchronisme d’un moteur est égale à1000 tr/min, son arbre tourne à 970 tr/min. Leglissement est égal à :

3 % 3,1 % 3 %

3. Un moteur comporte une paire de pôles. Il estalimenté sous 50 Hz et tourne à 2900 tr/min. Leglissement est égal à :

3,4 % 3,3 % 3,3 %

4. Une machine comportant deux paires de pôles estalimentée par un réseau triphasé de fréquence 50 Hz.Son arbre tourne à 1600 tr/min. Le glissement est égalà :

6,7% 6,2 % 6,7 %

5. Un moteur comportant trois paires de pôles estalimenté par un réseau triphasé de fréquence 50 Hz.Son glissement vaut 5%. L’arbre tourne à :


6. Un moteur triphasé est alimenté par un réseautriphasé de fréquence 50 Hz. À l’arrêt son glissementest égal à :

0 1 Impossible à définir

7. La vitesse de synchronisme d’un moteur alimentésous 50 Hz est égale à 1500 tr/min. Le moteurcomporte :

une paire deux paires quatre pairesde pôles

8. La vitesse de synchronisme d’un moteur alimentésous 50 Hz vaut 1000 tr/min. Lorsque la fréquence estégale à 25 Hz, la vitesse de synchronisme est de :


9. Quelle est la fréquence de l’alimentation triphaséed’un moteur comportant six pôles dont la vitesse desynchronisme vaut 1000 tr/min ?

157 Hz 50 Hz 25 Hz

10. La vitesse de synchronisme d’une machinealimentée sous 50 Hz vaut 1500 tr/min. Si sa vitesse estégale à 1550 tr/min, elle fonctionne en :

Moteur Génératrice Impossible à définir

11. Un moteur comportant quatre pôles est alimenté parun réseau triphasé de fréquence 50 Hz et tourne à 1350tr/min. La fréquence des courants rotoriques est égaleà :

5 Hz 50 Hz Impossible à déterminer

12. Lorsqu’un moteur, alimenté sous tension defréquence fixe, accélère, son glissement :

augmente diminue Impossible àdéterminer

II. Le schéma équivalent

1. Mise en place pour une phase

Machines asynchrones TS2 ET 20142015

2. Simplification du schéma

a. Position du problème

b. Conséquences

3. Schémas équivalents usuels

Req et Leq sont les impédances rotoriques ramenées au stator.

• Lorsque les pertes dans le fer sont négligeables,

• Représentation de l'inductance de fuites au stator

4. Détermination des éléments du schéma équivalent

Le schéma équivalent étudié est représenté cicontre :Les essais à faire pour déterminer les éléments sontidentiques pour toutes les machines asynchrones.

Dans ce qui suit, des valeurs numériques sontproposées. Les tensions statoriques ont une fréquenceégale à 50 Hz.

a. Essai à vide avec le rotor en courtcircuit.La valeur efficace des tensions statoriques est nominale ainsi que leur fréquence.


Aucune charge mécanique n’est accouplée sur l’arbre. La vitesse de rotation est supposée égale à la vitesse desynchronisme.

On mesure Vs, Is0 et Ps0 (wattmètre triphasé ou méthode des deux wattmètres ouwattmètre monophasé correctement branché).

• Représenter le schéma de câblage pour cet essai et indiquer le mode opératoireVoir http://www.etasc.fr/index.php/page/cours/essaiVide/machineAsynchrone

Vs = 230 VIs0 = 2,8 APs0 = 200 W

• Quelle est la valeur du glissement pour cet essai ? En déduire la valeur de Ist. Représenter le schéma équivalent« utile » pour cet essai.

Comme g=ns– n

ns et n=ns alors g=0 donc

Rg→∞

et Ist →∞ .Le schéma équivalent utile est représenté cicontre.• Quel élément consomme de la puissance active ? Quel élément

consomme de la puissance réactive ?La puissance active est consommée par Rf et la puissanceréactive est consommée par Lm .

Rappeler les relations entre :• la puissance active pour l’essai à vide, l’un des éléments du schéma équivalent et la valeur efficace de la tension

ou de l’intensité.

Puissance active Ps0=3V s

2

R f

• la puissance réactive pour l’essai à vide, l’un des éléments du schéma équivalent et la valeur efficace de latension ou de l’intensité.

Puissance réactive : Qs0=3V s

2

Lmω

• En déduire les relations permettant le calcul de Lm et Rf à partir des grandeurs mesurées dans cet essai.

La relation Ps0=3V s

2

R f

donne Rf=3V s

2

P s0

et la relation Qs0=3V s

2

Lmω donne Lm=3

V s2

Qs0ω.

Application numérique :

Rf=3V s

2

P s0

=32302

200=793 Ω et Lm=3

V s2

Qs0ω=3

2302

√(3×230×2,8)2−2002

×2π×50=0,26 H

Remarque : calcul de la puissance réactive

Qs0=√Ss02 −Ps0 ² √(3×230×2,8)2−2002

Remarques :• Pour atteindre la vitesse de synchronisme, un moteur auxiliaire peut être accouplé avec la machine asynchrone, il

fournit alors les pertes mécaniques.• Si aucune machine auxiliaire n’est utilisable, il est possible de séparer les pertes fer des pertes mécaniques en

relevant l’évolution des pertes à vide en fonction du carré de la valeur efficace de la tension d’alimentation. Laprolongation de cette courbe (théoriquement une droite) vers l’axe des ordonnées donne les pertes mécaniques.En effet si la valeur efficace des tensions est nulle alors les pertes dans le fer sont nulles et il ne reste que lespertes mécaniques.

• Si la résistance statorique n’est pas négligeable (cas des machines de faible puissance), il est possible de lamesurer lors d’un essai en continu. Lors de l’essai à vide, les pertes par effet Joule au stator devront être prisesen compte.


b. Essai avec le rotor en courtcircuit, bloqué et sous tension réduite.L’arbre est bloqué par un frein à poudre ou un sabot. Le moteur est à l’arrêt. La valeur efficace des tensionsstatoriques est réglée pour que l’intensité efficace des courants statoriques soit nominale.

On mesure Vscc, Iscc et Pscc (wattmètre triphasé ou méthode des deux wattmètres ou wattmètremonophasé correctement branché).

• Représenter le schéma de câblage pour cet essai et indiquer le mode opératoireVoir http://www.etasc.fr/index.php/page/cours/essaiCC/machineAsynchrone

Vscc = 40 VIscc = 4,8 APscc = 230 W

• Quelle est la valeur de g lors de cet essai ? Représenter le schéma équivalent utile pour cet essai.

Comme g=ns– n

ns et n=0 alors g=1

donc Rg=R .

Le schéma équivalent utile est représenté cicontre.• Quels éléments consomment de la puissance

active ? Quels éléments consomment de lapuissance réactive ?

La puissance active est consommée par Rf etR et la puissance réactive est consommée parLm et L .

• Exprimer la puissance Pfcc consommée par Rf lors de cet essai. En déduire l’expression de la puissanceconsommée par la résistance R en fonction de Vscc, Pscc et Rf.

La résistance Rf a été déterminée précédemment (essai à vide) donc Pfcc=3V scc

2

R f

.

La puissance consommée par la résistance R est égale à la puissance statorique diminuée de la puissance

consommée par Rf (théorème de Boucherot) soit PR=Pscc – P fcc=Pscc –3V scc

2

R f

• Calculer les pertes par effet Joule au rotor.

On utilise la relation PR=Pscc – 3V scc

2

Rf

qui donne PR=230 –3402

793≈224 W

• Calculer jscc (le calcul de son cosinus permet de le déterminer), l’intensité est en retard sur la tension.

Puissance apparente Sscc=3V scc Iscc et cosϕscc=Pscc

Sscc

=230

3×40×4,8=0,399 soit ϕscc≈66 °

• Représenter Iscc, Is0cc et Istcc sur un diagramme de Fresnel (Vscc est placé verticalement et orienté vers le haut). LireIstcc sur le diagramme de Fresnel (il est aussi possible de déterminer Istcc en utilisant les nombres complexes).

Voir http://www.etasc.fr/index.php/page/cours/essaiCC/machineAsynchroneOn obtient Istcc=4,3 A• Exprimer les pertes par effet Joule au rotor en fonction de R et de Istcc. En déduire R.

Puisque PR=3 RI stcc2 alors R=

PR

3 I stcc2 =

2243×4,32 ≈4Ω

En appliquant la même démarche avec la puissance réactive, déterminer L.

La puissance réactive pour l'inductance Lm s'écrit Qmcc=3V s

2

Lm ω=3

402

0,26×2π×50=59 var

La puissance réactive totale s'écrit Qscc=√Sscc2

−Pscc2

=√(3×40×4,8)2−2302

=528 varLa puissance réactive pour l'inductance L est égale à la différence des puissances calculées précédemmentQL=Q scc−Qmcc=528−59=469 var (théorème de Boucherot).


http://www.etasc.fr/index.php/page/cours/essaiCC/machineAsynchrone

Puisque QL=3 Lω I stcc2 alors L=

QL

3ω I stcc2 =

4693×2π×50×4,82 =21,6 mH

Exercice 2On considère une machine dont les caractéristiques sont les suivantes :• 220 V – 380 V 4 pôles, le stator est couplé en étoile• Rotor bobiné couplé en étoile, en court circuit• Alimentation : 380 V – 50 HzUn essai à vide, sous tension nominale, a permis de mesurer l’intensité du courant en ligné : I0 = 10,5 A, et lapuissance absorbée : P0 = 1,16 kW.Un essai en charge nominale, sous tension nominale, a permis de mesurer l’intensité du courant en ligne : Inom = 23 A, la puissance absorbée : Panom = 12,6 kW et le glissement gnom = 0,038.

On néglige dans ce qui suit les résistances et inductances de fuitesstatoriques ainsi que les pertes mécaniques. On donne cicontre, leschéma équivalent simplifié d’une phase de la machine.

1. Exploitation de l’essai à vide :Calculer le facteur de puissance de la machine à vide ; calculer lesvaleurs de R0 et X0.

Facteur de puissance à vide : cos0=P0

S 0

et S0=3V n I 0=3×220×10,5=6930 VA ce qui donne

cos0=11606930

=0,167 (le facteur de puissance d'une machine asynchrone à vide est médiocre).

La puissance active P0 est « consommée » par R0 : P0=3V n

2

R0

soit R0=3V n

2

P0

=3×2202

1160=125 Ω

La puissance réactive Q0=S 02−P0

2=69302

−11602=6832 var est « consommée » par X0 : Q0=

3V n2

X 0

soit X0=3V n

2

Q0

=3×2202

6832=21,2 Ω

Remarque : X0 est la réactance qui correspond à l'inductance Lm du cours, on a X0=Lmω

2. Exploitation de l’essai nominal :a. En raisonnant sur une phase, calculer les puissances active P2, réactive Q2 et apparents S2 consommées par ledipôle (D).

La puissance active totale pour une phase est notée Pt, elle est égale à au tiers de la puissance absorbée lors de

l'essai nominal et à la somme des puissances pour R0 et R2

g (notée P2 dans l'énoncé).

La puissance pour R0 est la même que pour l'essai à vide car dans les deux cas la tension est nominale, d'où la

relation P2=P t−P0

3=Panom−P0

3=

12600−11603

=3813 W

Le raisonnement est le même pour les puissances réactives ce qui donne Q2=Qt−Q0

3. La valeur de la

puissance réactive pour une phase est obtenue par Q t= S t2−P t

2=V n I nom

2−P t

2

On obtient Qt=√(220×23)2−(

126003

)2

=2820 var soit Q2=Qt−Q0

3=2820−

68323

=543 var

La puissance apparente S2 est reliée aux puissance active P2 et réactive Q2 par S2=P22Q 2

2 ; en utilisant les

valeurs précédentes : S2=381325432

=3850 VA


b. Calculer les valeurs de R2 et X2.

La résistance R2

g « consomme » la puissance active P2 telle que P2=

R2

gI 2

2

L'inductance X2 « consomme » la puissance réactive X2 telle que Q2=X 2 I 22

Pour déterminer R2 et X2, il faut connaître I2, cela est possible à partir de la puissance apparente S2 :

S2=V 2 . I 2 donc I 2=S 2

V 2

=3850220

=17,5 A

La relation P2=R2

gI 2

2 donne R2=g .P2

I 22 =0,038 .

381317,52 =0,473

La relation Q2=X 2 I 22 donne R2=

Q2

I 22 =

54317,52 =1,77

Exercice 3 (Une seule réponse possible)

On étudie une machine dont le schéma équivalent pour une phase estreprésenté cicontre.Indications relevées sur la plaque signalétique :400 V ; 45 A ; 24 kW ; 1450 tr/minUn essai à vide à la vitesse de synchronisme a permis de mesurer lapuissance P = 1300 W, la valeur efficace des tensions composéesU = 400 V et l’intensité efficace des courants en ligne I = 15 A.

Un essai en court circuit rotor bloqué a permis de mesurer la puissance P = 1450 W, la valeur efficace des tensions composées U = 63 V et l’intensité efficace des courants en ligne I = 45 A.

1. Lors d’un essai à vide à la vitesse de synchronisme (rotor courtcircuité), le schéma équivalent devient :

2. Lors de l’essai à vide, la puissance apparente estégale à (en kVA) :

31,2 10,4 18,0 54,0

3. Lors de l’essai à vide, la puissance réactive est égaleà (en kvar) :

31,1 10,3 17,9 54,0

4. La résistance équivalente Rf a pour valeur :

110 W 40,7 W 123 W

5. L’inductance magnétisante Lm a pour valeur (enmH) :

16,3 49,4 28,4 9,4

6. Lors de l’essai en court circuit rotor bloqué, lapuissance réactive est égale à (en kvar) :

4,69 8,38 759

7. Lors de l’essai en court circuit rotor bloqué, lapuissance pour l'ensemble des résistances est égale à :

36 W 97,5 W 32,3 W

8. Lors de l’essai en court circuit rotor bloqué ,l’intensité dans la résistance R est égale à :

38,0 A 45,0 A 42,6 A

9. La résistance équivalente R a pour valeur :

0,781 W 0,260 W 0,233 W


10. Lors de l’essai en court circuit rotor bloqué, lapuissance réactive pour l’inductance Lm est égale à :

775 var 256 var 445 var 1344 var

11. L’inductance équivalente L a pour valeur :

2,32 mH 7,77 mH 2,59 mH

III. Bilan de puissance

1. Fonctionnement en moteurLa puissance absorbée est électrique, la puissance utile est mécanique• Puissance absorbée : Pa=3V s I s coss (il ne faut pas oublier de multiplier par trois car la machine est

triphasée).• Pertes par effet Joule au stator : P js=3 Rs I s

2 avec Rs la résistance d’un enroulement statorique. Ces pertessont négligées dans de nombreux problèmes. Dans ce cas, la résistance n’apparaît pas sur le schéma équivalent.

• Pertes dans le fer au stator : Pfer=3V s

2

Rf

(Attention au trois !). Ces pertes sont négligées dans de très

nombreux problèmes. Dans ce cas, la résistance n’apparaît pas sur le schéma équivalent.• Puissance transmise au rotor : c’est la puissance reçue par le stator diminuée des pertes dans le fer

Ptr=Pa−P fer ou Ptr=3V s I st cosst avec jst le déphasage entre Vs et Ist.Remarque : si les pertes par effet Joule au stator ne sont pas négligeables alors Ptr=Pa−P js−P fer

Le seul élément du rotor équivalent qui consomme de la puissance active est Rg

, la puissance transmise au rotor

peut aussi s’écrire Ptr=3.Rg

I st2 (il ne faut pas oublier de multiplier par trois car la machine est triphasée).

Cette puissance est aussi appelée puissance électromagnétique.• Pertes par effet Joule au rotor P jr=3. R I st

2 (il ne faut pas oublier de multiplier par trois car la machine esttriphasée). La résistance R représente la résistance d’une phase du rotor ramenée au stator. Les pertes par effetJoule au rotor sont reliées à la puissance transmise au rotor par P jr=gP tr .

• Pertes dans le fer au rotor : elles sont négligeables car les courants rotoriques ont une fréquence faible.• Puissance mécanique : c’est la part de puissance transmise au rotor qui est effectivement transformée en

puissance mécanique. Elle est égale à la puissance transmise au rotor diminuée des pertes par effet Joule aurotor : Pm=P tr−P jr

D’après ce qui précède Pm=P tr−gP tr=1−g P tr

Pm=3.Rg

I st2−3. R I st

2=3Rg−RI st

2=3 R1−g

gI st

2

Tout se passe comme si la puissance mécanique était

consommée par la résistance fictive R1−g

g parfois

appelée résistance « motionnelle ».Cette résistance apparaît sur le schéma équivalent cidessus.• Puissance utile : elle est égale à la puissance mécanique diminuée des pertes mécaniques Ppertesméca.

Pu=Pm−Ppertesméca

Ppertesméca correspond aux frottements sur les paliers, à la ventilation, …Ces pertes n’apparaissent pas sur le schéma équivalent (elles sont parfois intégrées à larésistance Rf). Elles sont négligées dans de très nombreux problèmes.

• RendementC’est le rapport de la puissance utile sur la

puissance active =Pu

Pa

.


Si les pertes mécaniques, dans le fer et par effet Joule au stator sont négligeables, le rendement s’écrit :

=Pm

Pa

=1−gP tr

Ptr

=1−g

Si le glissement est élevé, le rendement d’un moteur asynchrone est faible car les pertes par effet Joule au rotoraugmentent avec le glissement.Le rendement peut être déterminé à partir d’essais directs, de la méthode des pertes séparées ou de méthodesd’opposition.

2. Fonctionnement en génératrice

La puissance absorbée est mécanique, lapuissance utile est électrique.Comme pour le fonctionnement moteur, onrecense les pertes dans le fer, les pertes pareffet Joule au rotor et les pertes mécaniques.

Exercice 4On considère le même moteur que celui de l'exercice 2.• Quel est le couplage des enroulements statoriques ?Il est indiqué « étoile » dans l'énoncé. On peut le justifier à partir des indications de la plaque (220 V – 380 V) et del'alimentation (380 V – 50 Hz).• Pour la charge nominale, calculer les grandeurs suivantes : vitesse de rotation (en tr/min), facteur de puissance,

moment du couple utile, rendement.

Le glissement est donné par la relation g=ns –n

ns

soit gns=ns– n qui donne −gns+ns=n soit

finalement n=(1−g)ns (il faut savoir redémontrer cette relation mais il peut être utile de la connaître parcœur). Pour achever le calcul de la vitesse n , il faut déterminer la vitesse de synchronisme ns . Puisque

Ωs=ωp (p est le nombre de paires de pôles) et Ωs=

2πns

60 alors ns=

60 fp

=60×50

2=1500 tr/min

D'où la vitesse : n=(1−g)ns=(1−0,038)×1500=1443 tr/min

Facteur de puissance : cosϕ=Panom

Snom

et Snom=√3U I nom donc

cosϕ=Panom

Snom=√3U I nom

=12600

√3×380×23=0,83

Calcul de la puissance utile Pu : toutes les pertes autres que dans le fer au stator ( P0 ) et par effet Joule aurotor ( P jr=3 R2 I2

2 ) étant négligées, on peut écrire

Pu=Panom−P0−R2 I 22=12600−1160−0,473×17,52

=11000 kWLe couple utile Cu est relié à la puissance utile Pu (qui serait indiquée sur la plaque car point de

fonctionnement nominal) et à la vitesse de rotation de l'arbre Ω (en rad/s) par Cu=Pu

Ω ce qui donne

Cu=Pu

Ω=

110002 π×1443

60

=72,8N.m

Exercice 5La plaque signalétique d’un moteur asynchrone donne les indications suivantes :400 V ; 16,5 A ; cos j = 0,82 ; 8,5 kW ; 4 pôles ; 50 Hz ; 1420 tr/min


1. Calculer son rendement et les pertes totales.La plaque indique la puissance utile, elle est ici mécanique car il s’agit d’un moteur. La puissance absorbée est

électrique (au stator) et se calcule par Pa=3V I cosϕ=3×400

√3×15×0,82=8522 W . Le rendement est égal

à u

a

850099,7%

8522

P

Pη = = = ce qui est excellent !!! (voire trop beau…). Les pertes totales sont égales à 22 W…

2. Comparer le rendement calculé à la question précédente et sa valeur approchée si les pertes mécaniques etstatoriques (dans le fer et par effet Joule) sont négligeables.

D’après le cours, la valeur approchée du rendement dans les conditions décrites est donnée par la relation 1 gη = − .

Calcul du glissement s

s

1500 14205,33%

1500

n ng

n

− −= = = soit un rendement approché de 94,7%. Ceci confirme que

les indications de la plaque sont optimistes.

Exercice 6

La machine étudiée comporte quatre pôles et est alimentée sous une fréquencede 50 Hz. À son point de fonctionnement nominal, l’intensité efficace est égaleà 40 A, la valeur efficace d’une tension simple vaut 230 V, le facteur depuissance 0,87 et la vitesse de rotation 1350 tr/min. Le schéma équivalent pourune phase est représenté cicontre.

I. Bilan des pertes

1. Que valent les pertes par effet Joule au stator ?Elles sont supposées nulles car aucune résistance statorique n’est représentéesur le schéma.

2. Que valent les pertes dans le fer au stator ?Elles sont nulles aussi car il n’y a pas de résistance en parallèle avec Lm.

3. Le schéma équivalent donnetil des indications sur les pertes mécaniques ? Non.

II. Bilan de puissance

1. Calculer la puissance absorbée.

2. Pa=3V I cosϕ=3×230×40×0,87=24 kW

3. Calculer la puissance transmise au rotor.Elle est égale à la puissance absorbée car il n’y a ni pertes par effet Joule ni pertes dans le fer.

4. Calculer les pertes par effet Joule au rotor.

Elles sont données par la relation jr tr aP gP gP= = . Calcul du glissement s

s

1500 135010%

1500

n ng

n

− −= = = ce qui

donne Pjr = 2,4 kW.

5. Calculer le rendement si les pertes mécaniques sont négligeables.D'après le cours 1 gη = − soit 90%.

Exercice 7L’essai décrit à la page suivante a été réalisé sur un moteur,comportant deux paires de pôles, dont le stator estcouplé en étoile : l’ampèremètre indique 4 A et le voltmètre 24 V.

1. Calculer la résistance d’un enroulement statorique.Lors de cet essai, la source continue alimente deux enroulements statoriques connectés en série (faire un schéma).

Si Rs est la résistance d’un enroulement du stator alors U c=2 Rs. I c soit Rs=U c

2 . I c

=24

2×4=3Ω (Uc et Ic

sont la tension et l’intensité continue).

2. L’intensité efficace nominale est égale à 3,4 A. Calculer les pertes par effet Joule au stator.

P js=3×3,3×3,42=104 W


En fonctionnement « normal », la valeur efficace des tensionscomposées est égale à 400 V et leur fréquence 50 Hz. Dans cesconditions, les pertes dans le fer sont égales à 120 W.

3. On étudie un point de fonctionnement caractérisé par un facteurde puissance égal à 0,84, une vitesse de rotation de 1430 tr/min etune intensité efficace de 3,0 A.

a. Calculer la puissance absorbée.

Pa=√3U I cosϕ=3×400×3×0,84=1746 Wb. Calculer la puissance transmise au rotor.

Il faut soustraire les pertes par effet Joule au stator ainsi que les pertes dans le ferPtr=Pa−P js−Pfer=1746−104−120=1522 W

c. Calculer les pertes par effet Joule au rotor.

P jr=g Ptr et g=ns –n

ns

=1500 –1430

1500=4,67 % donc P jr=

4,67100

1522=70 W

d. Calculer la puissance mécanique.Elle est obtenue en enlevant les pertes par effet Joule à la puissance transmise au rotor :Pm=P tr−P jr=1522−70=1452 W .

e. Le rendement pour ce point de fonctionnement est égal à 79,5%. Évaluer les pertes mécaniques.La puissance utile est déterminée à partir de la puissance absorbée et du rendementPu=ηPa=0,795×1746=1388 W . Les pertes mécaniques Pméca sont égales à la différence entre la puissance

mécanique et la puissance utile : Pméca=Pm−Pu=1485−1388=64 W

IV. Couple électromagnétique

1. Introduction

La puissance transmise au rotor l’est à un champtournant à la vitesse de synchronisme Ws (en rad/s).

La puissance mécanique est transmise à un arbretournant à la vitesse W (en rad/s).

Le couple électromagnétique peut donc être calculé à partir des deux relations suivantes :

Cem=P tr

sou C em=

Pm

Ces deux relations sont équivalentes.

En effet S=

1−g donc C em=

P tr

1−g

=P tr1−g

et comme Ptr 1−g=Pm alors C em=Pm

2. Expression du couple électromagnétique en fonction des éléments du schéma équivalent.

3. Courbe représentative de l'évolution du couple en fonction du glissement Cem=f (g)

a. Asymptotes et points particuliers

b. Courbe représentative

c. Évolution du couple électromagnétique en fonction de la vitesse (en tr/min).La courbe cidessous représente l’évolution du couple électromagnétique en fonction de la vitesse de rotation del’arbre.


• Placer les vitesses ns (synchronisme), 2ns et ns.

• Repérer les vitesses correspondant auxcouples minimal et maximal et indiquer lazone de fonctionnement pour lesglissements faibles.

• Repérer le couple de démarrage.Voirhttp://www.etasc.fr/index.php/page/cours/CourbeCemN/machineAsynchrone

d. Fonctionnements moteur et génératriceSi le produit Cem.W est positif alors la machine fonctionne en moteur. Dans le cas contraire elle fonctionne engénératrice.Indiquer sur le graphe Cem = f(n) cidessus les zones de fonctionnement en moteur et en génératrice.Pour le fonctionnement en génératrice : si la vitesse est négative, on parle de génératrice frein. Si la vitesse estpositive et supérieure à la vitesse de synchronisme, on parle de génératrice hypersynchrone. Placer cesfonctionnements sur le graphe.Voir http://www.etasc.fr/index.php/page/cours/CourbeCemNFctMoteurGene/machineAsynchrone

4. Stabilité du fonctionnement

a. Point de fonctionnement

Le couple résistant de la chargemécanique est noté Cr. Le point defonctionnement mécanique se situe àl’intersection des caractéristiques descouples électromagnétique et résistant.

b. Condition de stabilitéLe point de fonctionnement est stablesi :

d C r

d

dC em

d

Cette équation signifie que la pente de la courbe représentative du couple résistant doit être supérieure à la pente dela courbe représentative du couple électromagnétique.

• Dans l’exemple cidessus : d C r

d0 et

d Cem

d 0 si le point de fonctionnement est en P1, l’inégalité est

vérifiée, le point de fonctionnement est stable.

• Dans l’exemple cidessus : si le couple résistant augmente de ∆Cr (il passe de Cr à Cr + ∆Cr) alors d

d t0 ,

d’après la loi de la dynamique pour les systèmes en rotation : C em−C rC r=Jd

d t. Le moteur ralentit et

le point de fonctionnement passe de P1 à P2.

c. Exemples• Moteur entraînant une charge imposant un couple résistant constant (cas du levage)


Le point de fonctionnement initial sesitue en P1.L’alimentation statorique étantsupprimée, la machine ralentit.Si l’alimentation est rétablie avantl’arrêt total du groupe alors le point defonctionnement peut se situer en P2 ouP3.

Dans les deux cas d C r

d Ω=0 et

d C em

d Ω>0 : les points P2 et P3 correspondent à des fonctionnements instables,

la vitesse et le couple vont évoluer.

Au point P2 d

d t0 : la vitesse augmente et le point de fonctionnement se « dirige » vers P1.

Au point P3 d

d t0 : la vitesse diminue et le groupe décroche (la vitesse s’annule).

Pour ce type de charge mécanique, lespoints de fonctionnements situés en dehorsde l’intervalle [gmax, gmax] sont instables.

Indiquer sur le graphe Cem = f(n) ci contre,les zones de fonctionnements stables etinstables pour une charge mécaniqueimposant un couple résistant constant.

Voirhttp://www.etasc.fr/index.php/page/cours/pointFnctCrCst/machineAsynchrone

• Moteur entraînant une charge imposant un couple résistant quadratique (dépendant du carré de lavitesse, cas des ventilateurs).

Le graphe ci contre représente le coupleélectromagnétique d’un moteur ainsi queles couples résistants de deux chargesquadratiques. Indiquer le point de fonctionnement pourla charge « Cr2 ». Estil stable ? Indiquer le point de fonctionnement pourla charge « Cr1 ». Estil stable ?Pourquoi estil souhaitable d'éviter unfonctionnement de longue durée avec lacharge « Cr1 » ?

Les deux points de fonctionnement sont stables car la pente de la caractéristique Cem=f (n) est dans les deuxcas plus faible que la pente des courbes C rx=f (n) .Le point de fonctionnement à vitesse « faible » doit être évité car le rendement de la machine est alors faible (leglissement étant proche de 0,5, le rendement est de l'ordre de 50 %).


Exercice 8Un moteur asynchrone présente la caractéristique mécaniquecicontre :

1. Donner le moment du couple au démarrage, le momentdu couple maximum.

Au démarrage, le couple est égal à 12,6 N.m. Le couplemaximal est égal à 16,4 N.m (lecture sur le graphique).Le moteur est accouplé successivement à trois chargesmécaniques dont le moment du couple résistant est constant :Cr1 = 8 N.m, Cr2 = 14 N.m et Cr3 =10 N.m.

2. Le moteur peutil démarrer dans chacun des cas ?Pour Cr2, le couple à l’arrêt (au démarrage) est inférieur au couple résistant, le moteur ne peut pas démarrer. Le démarrage n’est possible que pour Cr1 et Cr3.

3. On admet que le moteur entraîne la charge Cr2 (ledémarrage s'est effectué à l'aide d'un dispositif extérieur).

a. Vérifier que l'on obtient deux points d'intersection sur la caractéristique mécanique :• le point A avec n = 663 tr/min• le point B avec n = 1 348 tr/min.L’horizontale correspondant à 14 N.m est tracée sur la caractéristique Cu=f (n) , on retrouve bien les deuxpoints de fonctionnement correspondant aux vitesses annoncées.b. Le point de fonctionnement du moteur se situe en B. On suppose que pour une raison extérieure (perturbation) lavitesse de l'ensemble « moteur + charge » augmente légèrement. À l'aide de la caractéristique, montrer que lemoment du couple moteur diminue légèrement. Comment évolue alors la vitesse ?

Si la vitesse augmente alors le couple utile diminue (voir courbe). Dans ce cas u r

d

dC C J

t

Ω− = est négatif car Cu < Cr.

d0

dt

Ω < donc la vitesse diminue et le point de fonctionnement « retourne » en B.

c. Le point de fonctionnement du moteur se situe en A. On suppose que pour une raison extérieure (perturbation)la vitesse de l'ensemble « moteur + charge » augmente légèrement. À l'aide de la caractéristique, montrer que lemoment du couple moteur augmente légèrement. Comment évolue alors la vitesse ? En déduire qu'il s'agit d'unezone instable.

Si la vitesse augmente alors le couple utile augmente (voir courbe). Dans ce cas u r

d

dC C J

t

Ω− = est positif car

Cu > Cr. Le terme d

0dt

Ω > donc la vitesse augmente et le point se déplace vers B. Pour ce type de charge, la zone de

fonctionnement comprise entre la vitesse nulle et celle pour laquelle le couple est maximal est instable.


Exercice 9 (Extrait BTS 2010)Cet exercice porte sur le dimensionnement d'un moteur asynchrone destiné à entraîner un ventilateur d'extractiond'air dans une usine de fabrication de meubles.On souhaite déterminer les conditions d'alimentation de la machine permettant d'obtenir la vitesse d'extraction à lavaleur souhaitée, v' = 23 m.s1.

I. Modèle par phase de la machine asynchrone en régime permanent

Pour obtenir la caractéristique mécanique de la machineasynchrone, on utilise le modèle équivalent simplifié d'unephase du moteur représenté cicontre.

On néglige les pertes mécaniques ainsi que les pertes par effetJoule au stator : pM≈0 et p js≈0

Des essais ont été réalisés sur le moteur afin de calculer la valeur de chaque élément.• Essai à vide sous tension nominale : n0≈1500 tr.min−1 ; P0=5,10 kW et I 0=86 A

• Essai en charge nominale : les valeurs sont celles de la plaque signalétique soient 110 kW ; 1484 tr.min1 pourf =50 Hz ; 230 V / 400 V ; h = 0,946 ; cos j = 0,85 et il a été mesuré au stator : P = 116 kW et I = 198 A.

1. Quelles puissances modélisent les éléments RF et R du modèle équivalent ?

Pour RF , il s'agit des pertes dans le fer et pour R les pertes par effet Joule au rotor.

2. Les valeurs numériques obtenues sont XM=2,69 Ω ; X=0,167 Ω et r=15 m Ω . Compléter cesrésultats en calculant la valeur numérique de RF .

Les pertes dans le fer correspondent aux pertes à vide (les pertes par effet Joule au stator et les pertes mécaniques

étant négligées) et sont représentées par RF donc P0=3V 2

RF

ce qui donne RF=3V 2

P0

=32302

5100=31,1Ω

On considérera ces quatre valeurs constantes pour la suite du problème.

II. Puissance transmise au rotor

1. Exprimer la puissance Ptr transmise au rotor en fonction de rg

et du courant I ' .

On a Ptr=3rgI '2

2. Montrer qu'avec les hypothèses envisagées, cette puissance transmise peut aussi s'écrire Ptr=T u .ΩS avecT u moment du couple utile du moteur.

Les pertes mécaniques étant négligées, les couples utile et électromagnétique sont égaux (pas de couple de pertes),on peut donc écrire Ptr=T u .ΩS .

3. En déduire l'expression de T u en fonction de r , g , I ' et ΩS

D'après la question 1 : Ptr=3rgI '2 et d'après la question 2 : Ptr=T u .ΩS donc T u=

Ptr

ΩS=3

rgΩS

I '2

III. Couple utileLes conditions de fonctionnement du moteur dans cette application font que son glissement reste toujours inférieurà 2 %.

1. Montrer qu'en première approximation X≪rg

D'après l'énoncé r=15 m Ω ce qui donne rg=

150,02

=750 m Ω=0,75Ω . Puisque X=0,167 Ω alors

X=0,1670,75

rg=0,23

rg

, on peut supposer X≪rg

.


2. En tenant compte de ce résultat, relier la valeur efficace I' du courant à la valeur efficace V de la tension v.

Avec le résultat précédent, on peut écrire : V=rgI ' donc I '=

gVr

3. Le moment du couple utile peut alors s'écrire sous la forme simple T u=A (ΩS−Ω) c'est à direT u=K (nS−n)

Montrer que le coefficient K a pour expression K=3V 2

r.ΩS2 .

2π

60, si les vitesses sont exprimées en tours par

minute.

Dans les question précédentes, on a établi T u=3r

gΩS

I ' 2 et I '=

gVr

ce qui donne T u=3r

gΩS

(gVr

)2

en remplaçant I ' par son expression. En simplifiant par g et r : T u=3V 2

ΩS

gr

En remplaçant le glissement par son expression : g=nS – n

nS

, on obtient T u=3V 2

ΩS

1r

nS– n

nS

. Il suffit de

remplacer nS par son expression en fonction de ΩS , nS=60ΩS

2π, pour obtenir

T u=3V 2

ΩS

1r(nS– n)

2π

60ΩS

soit T u=3V 2

rΩS2

2 π

60(nS –n) . En posant K=

3V 2

rΩS2

2 π

60, on obtient

T u=K (nS−n)

4. En déduire la condition sur la tension V et la fréquence f que le variateur de vitesse doit assurer pour rendre cecoefficient K constant.

Dans l'expression K=3V 2

rΩS2

2 π

60, la vitesse de synchronisme dépend de la fréquence : ΩS=

2π fp

avec p

le nombre de paires de pôles. Le terme 3r

2 π

60 étant constant, il faut que

V 2

ΩS2 , donc

VΩS

le soit.

Finalement VΩS

=V

2π fp

=pV2π f qui est constant si

Vf

est constant.

5. Calculer K à l'aide des valeurs nominales.La vitesse de synchronisme est égale à 1500 tr/min (vitesse de l'essai à vide) ; la vitesse de rotation est égale à

1484 tr/min et la puissance utile est égale à 110 kW ce qui donne un couple utile T u=110.103

2 π×148460

=714 N.m .

Finalement K=T u

nS−n=

7141500−1484

=44,6 SI

On peut aussi utiliser la relation K=3V 2

rΩS2

2 π

60 avec ΩS=

2π fp

=2π×50

p=157 rad/s ce qui donne

K=3×2302

15.10−3×1572

2π

60=44,9 SI

Les deux valeurs trouvées sont proches de celle proposée dans l'anoncé.

IV. Point de fonctionnementLa condition précédente étant remplie, la caractéristique mécanique T u=f (n) du moteur est, dans sa zone utile,la droite d'expression T u=44,9. (nS−n) (attention : erreur dans l'énoncé)


1. Tracer cette droite pour la fréquence f = 50 Hz, dans le même repère que la caractéristique mécanique duventilateur (documentréponse cidessous). On placera les points de fonctionnement correspondant àT u=0 N.m et T u=900 N.m .

Pour T u=0 N.m , la vitesse est égale à la vitesse de synchronisme

Pour T u=900 N.m : n=−T u

44,9+nS=

−90044,9

+1500=1480 N.m

Décrire de quelle manière se déplace cette droite si le variateur réduit la fréquence des tensions.Si la fréquence varie alors la vitesse de synchronisme varie mais K = 44,9 reste constante : on obtient une droiteparallèle à la précédente.

2. En déduire l'effet de la réduction de fréquence sur le débit d'air du ventilateur.Si la fréquence diminue alors la vitesse de rotation diminue et il en est de même pour le débit d'air du ventilateur.Le moment du couple correspondant au point de fonctionnement, adopté pour diminuer la consommationénergétique (vitesse d'extraction réglée à 23 m.s1) vaut T=510 N.m .

3. À l'aide du document réponse cidessus, déterminer la fréquence f 1 de la fréquence que doit imposer levariateur pour obtenir ce point de fonctionnement.

La droite parallèle à la caractéristique précédente est placée sur le graphe pour que le point de fonctionnement soitégal à 510 N.m. On lit la vitesse de synchronisme nS1 sur l'axe des abscisses, c'est à dire à peu près 1370 tr/min.

La relation nS1=60 f 1

p donne f 1=

pnS1

60=

2×137060

=45,7 Hz (la vitesse de synchronisme est égale à

1500 tr/min pour 50 Hz, la machine comporte donc 2 paires de pôles).

Exercice 10 (Extrait BTS 2010)Cet exercice porte sur le dimensionnement de machines asynchrones entraînant des broches d'usinage.

I. Caractéristique mécanique de la machine asynchrone

Chaque machine asynchrone entraînant une broche possèdetrois paires de pôles. On rappelle, cicontre, le schémaéquivalent d'une phase de cette machine en régimepermanent sinusoïdal, où V est le nombre complexeassocié à la tension simple du réseau, R est la résistance d'unenroulement rotorique ramenée au stator, elle vaut 0,54 W.


La machine asynchrone est pilotée par un variateur à commande en Vf=4,6 V.Hz−1 constant, où f est la

fréquence des courants statoriques (de pulsation w) et V la valeur efficace de la tension simple du réseau.Dans l'ensemble du problème, on néglige les pertes mécaniques de la machine.

1. Dans les conditions de fonctionnement de la machine, on considère que Lω est très inférieur à Rg

.

Exprimer I r la valeur efficace du courant I r en fonction de V, R et du glissement g.

Pour la branche représentant le rotor ( Lω en série avec Rg

), la loi d'Ohm permet d'écrire

V=( j Lω+Rg

) I r . Avec l'hypothèse Lω≪Rg

, on peut écrire V=RgI r ce qui donne V=

RgI r donc

I r=gVR

pour les valeurs efficaces.

2. En déduire l'expression de la puissance électromagnétique Pem de la machine en fonction de V, R et g.La puissance électromagnétique est une autre appellation de la puissance transmise au rotor. Toute la puissance

transmise au rotor étant « consommée » parRg

, il est possible d'écrire Pem=3RgI r

2=3V

RgV=3V 2 R

g

3. Rappeler la définition du glissement g en fonction de la vitesse de synchronisme NS et de la vitesse derotation Nm de la machine.

D'après le cours g=NS−Nm

NS

4. Montrer que le moment du couple électromagnétique s'exprime :

Cem=K.(NS – N m) avec K=3 . p2

120 .π . R. (Vf

)2

où NS et Nm sont exprimées en tr.min1.

D'après le cours Cem=P em

ΩS

et ΩS=2π N s

60 soit Cem=

60Pem

2π NS

. En remplaçant Pem par son

expression trouvée à la question 2, on obtient Cem=

60×3V 2 gR

2π NS

. En remplaçant g par son expression dans

la dernière équation : Cem=

60×3V 2 NS−Nm

N S

1R

2π NS

=60×3V 2

(NS−Nm)

R×2πNS2

. Il reste à remplacer N s par son

expression en fonction de la fréquence et du nombre de paires de pôles soit N s=60 fp

ce qui donne :

Cem=60×3V 2

(NS−Nm)

R×2π(60 fp

)2 =

p2×3V 2

(N S−N m)

R×2π60 f 2 =3 p2

120 πR(Vf)

2

(N S−N m). On retrouve l'expression

donnée dans l'énoncé en posant K=3 p2

120π R(Vf

)2

.

Remarque : il est possible d'utiliser cette relation par la suite même si elle n'a pas été démontrée.

5. Vérifier que K = 2,81 N.m .tr1.min

D'après l'énoncé, p=3 ; Vf=4,6 et R=0,54Ω ce qui donne K=

3×32

120π×0,544,62

=2,8 SI

6. Calculer NS pour une fréquence des courants statoriques f = 46 Hz.

On utilise la relation N s=60 fp

qui donne N s=60×46

3=920 tr/min

7. Pour f = 46 Hz, tracer Cem en fonction de Nm sur le document réponse cidessous.


Cette courbe est une droite passant par le point [920 tr/min ; 0 N.m].Il faut déterminer un deuxième point, par exemple pour Nm=910 tr/min :Cem=2,8 .(910 – 900)=28 N.m

Voir le document réponse.

8. Sur ce même document réponse est fourni le tracé du moment du couple résistant C r appliqué au moteurasynchrone pour une vitesse d'avance V a=40 mm.min−1 . Déterminer les coordonnées [C em0 ; N m0] dupoint de fonctionnement du système en l'état initial.

On lit sur la caractéristique Nm0=906 tr/min et Nm0=39 N.m

II. Mise en sécurité de la machineSur un cycle de fonctionnement, les broches atteignent la vitesse de rotation la plus élevée lors de la phase definition. Ainsi, en cas d'arrêt d'urgence du système (suite par exemple à une intrusion dans la zone de sécurité), c'estdurant cette phase que les contraintes pour stopper les broches sont les plus importantes.

La machine asynchrone entraînant une broche exerce unmoment de couple utile Cu sur l'arbre d'entrée (voirla figure cicontre). Les frottements secs exercent sur cemême arbre un moment de couple C0=0,5 N.m .On note J le moment d'inertie du système ramené surl'arbre de la machine.

1. Appliquer le principe fondamental de la dynamiquesur l'arbre de la machine, on notera Ωm la vitesseangulaire de rotation de la machine exprimée en rad.s1.

Cu– C0=JdΩM

dt


2. Dans le fonctionnement initial, la machine s'arrêtait en rouelibre ( Cu=0 N.m ). Le profil d'évolution de la vitesse estreprésente sur la figure cicontre.

3. Calculer la quantité dΩm

dt lors de cette phase de

décélération.

La vitesse est décroissante, dΩm

dt sera donc négative. La

vitesse initiale de 906 tr/min doit être convertie en rad/s ce qui

donne Ωm=2π Nm

60=

2π×90660

=94,9 rad/s d'où :

dΩm

dt=

0−94,910

=−9,49 rad/s2

4. En déduire que la valeur du moment d'inertie estJ=52,7 .10−3 kg.m2 .

On remplace Cu par zéro dans l'équation Cu– C0=JdΩM

dt ce qui donne –C0=J

dΩM

dt et finalement

J=−C01

dΩM

dt

=−0,51

−9,49=52,7 .10−3 kg.m2

comme indiqué dans l'énoncé.

On désire maintenant obtenir le profil de vitesse proposé sur le document réponse cidessous à droite.

5. Calculer la quantité dΩm

dt lors de cette nouvelle phase de décélération.

On recalcule la vitesse initiale Ωm=2π Nm

60=

2π×156060

=163,4 rad/s puis

dΩm

dt=

0−163,40,3

≈−545 rad/s2

6. Calculer le moment du couple utile Cu correspondant à cette phase de décélération.

On cherche Cu dans l'équation Cu– C0=JdΩM

dt soit

Cu=C0+JdΩM

dt=0,5+52,7 .10−3

×(−545)=−28,2 N.m

7. Sur ce document réponse, tracer la courbe Cu en fonction du temps.Il est égal à 28,2 N.m durant la phase de freinage.

8. Rappeler l'expression de la puissance utile Pu fournie par la machine asynchrone. En déduire le tracé dePu en fonction du temps sur le document réponse.

Expression de la puissance utile Pu=CuΩm . Comme la vitesse décroît linéairement, il en est de même pour lapuissance qui commence à Pu=−28,2×163,4=−4610 W et termine à 0 W.

9. Indiquer le mode de fonctionnement de la machine asynchrone lors de cette phaseLa vitesse est positive et le couple négatif, la machine fonctionne en génératrice.

10. Calculer la puissance maximale Pm à dissiper (on négligera les pertes de la machine).Elle égale à 4610 W d'après le calcul précédent.


Pour ce faire, on associe à chaque variateur de brocheune résistance de freinage R = 60 W (figure cicontre).En début de freinage, à la fermeture de l'interrupteur K,la tension du bus continu vaut ubus (t)=600 V

11. Calculer la puissance PR dissipée dans larésistance R en début de freinage.

On utilise la relation

PR=U busmax

2

R=

6002

60=6000 W

12. Comparer PR et Pm . La résistance de freinage estelle correctement dimensionnée ?La résistance est dimensionnée pour une puissance supérieure à celle à dissiper, c'est donc correct.


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