m06 - statistiquester-tsc[1]

SOMMAIRE

Gnralits :................................................................................................................................ 2 I. II. III. IV. V. Dfinitions :.................................................................................................................... 2 Apport de la statistique aux conomistes : ..................................................................... 2 Les limites de la mthode statistique : ........................................................................... 2 Le vocabulaire utilis en statistique : ............................................................................. 3 Quelques symboles mathmatiques utiliss : ................................................................. 5

Chapitre I : La reprsentation graphique.................................................................................... 6 I. Le diagramme en btons : .............................................................................................. 6 II. Le tuyau dorgue : .......................................................................................................... 6 III. Le diagramme :............................................................................................................... 7 IV. Le polygone des frquences : ......................................................................................... 7 V. La courbe cumulation (courbe des f cumuls) : ............................................................. 8 VI. Le diagramme polaire : .................................................................................................. 9 VII. Les graphiques secteurs :........................................................................................... 11 Chapitre II : LES PRANCIPALES CARACTERISTIQUES DUN SERIE ........................... 12 INTRODUCTION.................................................................................................................... 12 SECTION 1 .............................................................................................................................. 12 I. LES MOYENNES....................................................................................................... 12 II. La mdiane (Me) .......................................................................................................... 23 III. Le Mode : ................................................................................................................. 25 IV. Le choix dune caractristique de tendance centrale :.............................................. 27 SECTION 2 .............................................................................................................................. 28 I. Lintervalle de variation ou ltendue : ........................................................................ 28 II. Lintervalle inter quartile : ........................................................................................... 29 III. Lcart absolu moyen :............................................................................................. 31 SECTION III ............................................................................................................................ 33 I. La dtermination algbrique de la concentration ......................................................... 33 II. La dtermination graphique de la concentration la courbe de Lorentz GINI............... 35 Chapitre III :Les Sries double entres : Rgression Linaire (Corrlation) ........................ 37 I- notion de tableau de contingence : ............................................................................... 37 II- gnralisation du tableau de contingences : ................................................................. 38 III- La rgression linaire ................................................................................................... 39 IV- la corrlation linaire :.................................................................................................. 43 Chapitre IV : Analyse des sries chronologiques..................................................................... 47 I Gnralits : .................................................................................................................... 47 II lanalyse de la tendance longue : trend .................................................................... 48 CHAPITRE V :Populations et chantillons, recensements et sondages .................................. 49 I. Quelques termes de base : ............................................................................................ 49 II. Exemples: ........................................................................................................ 50 III. tapes d'une enqute statistique : .................................................................... 50 EXERCICES ............................................................................................................................ 52

STATISTIQUE DESCRIPTIVE

Statistique descriptiveGENERALITES : I. Dfinitions : On appelle statistique la mthode scientifique qui vise observer, collecter, analyser des donnes quantitatives. La statistique descriptive est la partie de la statistique qui sert dcrire un phnomne, c--d de mesurer, classer les mesures, prsenter ces mesures par quelques indicateurs de manire donner une ide simple et rapide dun phnomne tudi. Les statistiques se sont des donnes chiffres relatives un phnomne tudi. EX : des statistiques du chmage.

II. Apport de la statistique aux conomistes :La statistique est un outil indispensable tant aux thoriciens quaux praticiens de lconomie.

1. La statistique est utile aux thoriciens :

Elle permet de mettre en vidence (rvler) lexistence dinterdpendance entre diffrents phnomnes conomiques. EX : M=P*T Elle permet de tester la validit dune hypothse thorique. Investissement = f (revenu) =0.76R+124 Consomm Revenu thsauris Epargn Investi

2. La statistique est utile aux praticiens de lconomie :

La statistique permet aux entrepreneurs de mieux contrler la gestion de leurs entreprises. Elle permet galement au pouvoir public de mieux dfinir leurs politiques conomique, fiscale, montaire et demploi.

III. Les limites de la mthode statistique :Pour viter des erreurs dinterprtation due une mauvaise utilisation statistique, il faut savoir : 1. La statistique sintresse au grand nombre, elle ignore les cas particuliers. 2. La rsultante dun grand nombre dinformations peut tre diffrente de la sommation de ces diffrentes informations. *comportement collectif # sommation des comportements individuels 3. Quand on tudie un phnomne on nest jamais certain que lon dispose de toues les informations le concernant.

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STATISTIQUE DESCRIPTIVE 4. Il ne faut pas oublier que la statistique nest quun outil au service de lconomiste, ce qui nous oblige de ne jamais, oublier de faire une analyse conomique des rsultats. Les mmes causes # les mmes effets. Les corrlations mmes trs parfaites ne signifient pas toujours quil y a interdpendance entre les phnomnes tudis.

IV. Le vocabulaire utilis en statistique :1. Population statistique :Ex : Age des tudiants de 1reanne : lensemble tudi cest lge.

Ensemble sur lequel porte ltude

2. Unit statistique : Une population se compose dlments chaque lment est appel unit statistique.EX : la population dtudiants : lunit statistique est un tudiant.

3. Caractre statistique : Cest le critre retenu pour tudier une populationContinu quantitatif discontinu, discret Qualitatif Un caractre est dit quantitatif lorsquil est mesurable Continu : cest un caractre qui peut prendre toutes les valeurs dun intervalle donn. EX : ge Il peut tre Discontinu : cest un caractre qui ne peut prendre que quelques valeurs dans un intervalle donn EX : le nombre des frres, Mnage Un caractre est dit qualitatif lorsquil nest pas mesurable EX : la nationalit, les catgories sociales professionnelles.

4. Modalit statistique : de caractre :On appelle une modalit les diffrentes situations possibles dun caractre. EX : caractre sexe : modalits possibles : M/F Caractre tat matrimonial : 4 modalits possibles : clibataire/mari/divorc/veuf.

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5.

Effectifs (frquences absolues) :

Cest le nombre dunits statistiques relatif une modalit donne : 45Age Effectifs 17-18 200 18-19 350 19-20 50 Effectifs total 600

6. Frquence relative :Cest la part des effectifs dune modalit. EX : 200/600=33/100 est la frquence relative de premire modalit

7. Srie statistique :Distribution de frquences, distribution de statistiques ou tableau statistique, cest un tableau qui nous donne lensemble des valeurs mesurant le caractre. EX : sexe Masc. Fm. total Salaires (dh) [40-60[ [60-70[ [70-80[ total Effectifs 200 100 300 Effectifs 10 25 05 40 Srie avec des classes. Nombre denfants 2 3 4 5 total Srie simple. Arbre de mnages 18 28 10 4 60

8. Classes :On appelle classe un groupement de valeurs du caractre selon des intervalles qui peuvent tre gaux ou ingaux. Pour chaque classe on peut dfinir : Une limite infrieure Une limite suprieure Intervalle de classe (amplitude)= limite (sup)- limite (inf) Centre de classe = [limite (sup) + limite (inf)]/2 NB : [40-60[ signifie quon comptabilise les salaris qui gagnent entre 40 et 60DH, en incluant ceux qui gagnent 40 DH et excluant ceux qui gagnent 60Dh.

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V. Quelque symboles mathmatiques utiliss :1. Les valeurs du caractre = x1, x2,, xi,, xnNotes x1 x2 x3 x4 Nbre dtudiants 10 x1 25 x2 12 x3 4 x4

x1, x2,, xi,, xn= N =effectif total

2. Les effectifs sont symboliss par : x1, x2,, xi,, xn 3. Frquence relative :

Fi = effectif de la modalit i / effectif total

4. Loprateur somme (Notation : n variables x1+ x2++ xi+.+ xn= xii =1 n

)

Proprits :

axi = a xii =1 i =1

n

n

a + xi = a xi = n.a + xii i =1

n

n

5. Lopration de produit : ( )Notation : le produit de x variable scrit : X1.x2.x3.xn =

xii =1

n

Proprit :

a = a ni =1

n

axi = a ni =1

n

xii =1

n

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CHAPITRE I : LA REPRESENTATION GRAPHIQUELintrt dun graphique cest de synthtiser des informations statistiques dune manir image, cest dire globale.

I. Le diagramme en btons :On sen sert pour reprsenter des sries caractre discret. Cordonn Nombre denfants Nombre de mnage 40 . 0 25 30 . 1 42 20 . 2 38 10 . 3 15 . . . . . . .Les valeurs de 4 6 0123456 caractre 5 Total 128 Abscisse

II. Le tuyau dorgue :On se sert de ce graphique pour reprsenter des sries caractre qualitatif EX : La population une station balnaire est compose de : Allemands : 45% Franais : 30% Espagnoles : 15% Autres : 10%

50% 45% 40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% Allemands Franais Espagnoles Autres Srie1

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III. Le diagramme :Il permet de reprsenter des sries de caractres ou les observations sont regroupes en classe. a. Cas ou les intervalles de classe sont gaux :50% 45% 40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0%1

Allemands Franais Espagnoles Autres

Remarque : 1) Lorsque une des limites de classe nest pas prcise dans un tableau il convient de prendre comme intervalle de classe le mme que celui de la classe suivante ou prcdente. 2) La surface des rectangles est proportionnelle leur effectif. b. Cas ou les intervalles de classe ne sont pas gaux :

EX : Rpartition de population selon leurs salaires.25

Srie1 20

15

10

5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Pour tracer lhistogramme, on commence par corriger les effectifs.

IV. Le polygone des frquences :Il permet de donner une image plus lisse du phnomne que lhistogramme. On lobtient en joignant les milieux des sommes des rectangles de lhistogramme.

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. . . . . . . . 0 10 20 30 40 50 60 Remarque : 1) La surface sous le polygone = la surface de lhistogramme. 2) Lorsquil y a un trs grand nombre de classe, lintervalle de classe devient de plus en plus petit et le polygone de frquences se transforme en cours de frquence.

Courbe de frquences

V. La courbe de cumulation (courbe des f cumuls) :Elle permet de connatre le nombre dobservations suprieures ou infrieures une valeur donne. Les 2 types de courbes de cumulation : Courbe cumulative croissante : permet de connatre le nombre dobservations infrieures une valeur donne. Courbe cumulative dcroissante : il permet de connatre le nombre dobservations suprieures une valeur donne. a) Salaire [10-20[ [20-30[ [30-40[ [40-50[ [50-60[ [60-70[ Total Cas dune variable continue : xi 9 13 22 10 7 4 65 Xi cumuls 9 22 44 54 61 65 Moins de la borne suprieure Xi cumuls 65 56 43 21 11 4 Plus de la borne infrieure

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Remarque : On obtiendrait le mme graphique si on remplace les frquences absolues par les frquences relatives (les pourcentages) Courbe cumule dcroissante Courbe cumule croissante70 60

50

40

30

20

10

0 1 2 3 4 5 6 7

b) Cas dune variable discrte (discontinue) NB denfants (xi) 1 2 3 4 Total NB de mnage 5 10 30 20 65 Xi cumuls 5 15 45 65 =xi

Xi 65 40 20 10 Xi 0 1 2 3 4 5

VI. Le diagramme polaire :On lutilise pour reprsenter des sries chronologiques cest dire des sries ou les observations seront des temps rguliers.

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STATISTIQUE DESCRIPTIVEa) Les principes des coordonnes polaires : un point M dans lespace est parfaitement repr : Si on connat ses coordonnes cartsiennes (x, y). Si on connat ses coordonnes polaires (e, o).

Y e O b)

M

X Le diagramme polaire :

Soit la srie chronologique suivante : chiffre daffaire mensuel Anne Janvier Fvrier Mars Avril Mai Juin Juillet Aot Septembre Octobre Novembre dcembre 1999 55 53 65 50 43 41 35 30 34 40 45 55 2000 65 75 72 40 42 38 32 34 38 40 33 45

Lide est de prsenter chaque mois par un axe, nous aurons donc 12 axes, chaque axe faisant avec son voisin un angle.

Avr . 30 . 20 . 10 . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 80 70 60 50 40 30 20 10 10 20 30 40 50 60 70 80 10 . 20 . 30 . Oct.

Juillet

Jan

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VII. Les graphiques secteurs :

On les utilise pour reprsenter une srie exprime en pourcentages. EX : Pourcentage de touristes.

FR All Esp Autres

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CHAPITRE II : LES PRANCIPALES CARACTERISTIQUES DUN SERIE INTRODUCTIONAvec la reprsentation graphique nous avons vu comment synthtiser une srie avec image. Dans ce chapitre nous allons voir comment synthtiser une srie par quelques chiffres. Ces nombres sont appels caractristiques dune srie. Soit les srie suivantes : Serie1 : 78-79-80-83 Srie2 : 60-70-80-90-100 Srie3 : 1-1-1-1-396 Les sries ont toutes la moyenne 80 mme si elles sont trs diffrentes les unes que les autres. Les valeurs de la 1re srie sont proches de la moyenne alors que celles de la 3me sont loignes de la moyenne. Il y a donc ncessit, pour rsumer une srie de donnes de la prsenter en 2 types de caractristiques : - les caractristiques de valeurs centrales. - les caractristiques de dispersion.

SECTION 1 : Les Caractristiques de Valeur Centrale :I. LES MOYENNESA- La moyenne arithmtique : A-1 Dfinition Etant donne n observations quon va appeler X1,X2 ,X3,Xi,Xn on appelle une moyenne arithmtique simple le nombre Somme de toutes les observations

=Le nombre dobservations

=

x1 + x 2 + ....... + xi + ...... + x n n

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n Lorsque les observations sont groupes c'est--dire que lon observe N1 fois X1 N2 fois X2 La moyenne arithmtique scrit :x1 + x1 + ..... + x 2 + x 2 + ...... n1 + n 2 + .... + n n

=

xi =n

n

i

: Une moyenne arithmtique simple

=

=

n xi =n n i

n

i

Une moyenne arithmtique pondre

ni =1

i

A-2 Application Exercice1 : soit la srie de notes suivante : 2-6-12-10-12-10-10-62 + 6 + 12 + 10 + 12 + 10 + 10 + 6 68 = 8 8 = 8,5 =

Exercice2 : soit la srie des notes de lexercice qui peut tre prsente de la manire suivante : Notes xi Effectifs ni ni xi= 68 = 8,5 8n i =1 i i

n x = ni

2 6 10 12 total

1 2 3 2 8

2 12 30 24 68

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Exercice3 : soit les srie suivante : rpartition selon lage

age

Ni

=

3155 = 35,85 Annes 88 Moyenne de lage ou lage moyen

[20 25[ [25 30[ [30 35[ [35 40[ [40 45[ [45 50[TOTAL

Centre de classe xi

ni xi

8 10 20 25 15 10 88

22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5

180 275 650 937,5 637,5 475 3155

a-3 Mthode des simplifications des calculs Lorsque les calculs sont compliqus, on peut les simplifier en prcdant un changement de variable Par changement dchelle : Tout variable Xi peut scrire : Xi= a Xi a= nouvelle chelle ExXi 24 36 = = a 1 1 * * * Xi 24 36 Xi 24 36 = = a 6 6 * * * Xi 4 6

Xi= nouvelle variable

a=1 Xi = Xi

a=6 a =6

Xi = 4 Xi = 6

par changement dorigine et dchelle : tout variable Xi peut scrire

xi = x 0 + axi'X0 = nouvelle origine

a : n.chelle

Xi : n. variable

Ex : Xi 14 22 X0 = 4 = 4 + + a 2 2 * * Xi 5 9

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Si on pose xi = x0 + axi' xi' =

xi x0 a

La moyenne arithmtique : ni x i = ni

n (x + ax ) = n x n + a n x = n n x = x +a ni 0 ' i i 0 i i i i ' i 0 i ' i

' i

= x 0 + a avec X0= n origine a: n chelle xi' : n variable

' i

n x = ni i

' i

= x0 + a xi'

On utilise cette relation pour simplifier les calculs de la manire suivante On prend pour X0 la valeur de caractre la plus frquente On prend a lintervalle des classes lorsque les classes sont gaux Application : Calculez la moyenne avec changement du variable x0 = 37,5 cest le centre de classe modale a= 5 xi =( xi - x0)/5 Age 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 total effictifs 8 10 20 25 15 10 88 xi 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5 xi= (xi- x0)/a -3 -2 -1 0 1 2 ni*xi -24 -20 -20 0 15 20 -29

' i

n x = ni i

' i

= 37,5+5(-29/88)=35,8 ans

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a-4 calcul de la moyenne arithmtique laide des frquences relatives

= =

n x ni i

i

=

n1 x1 + n2 x 2 + ...... + ni xi + nn x n ni

ni x i n x n x + 2 2 + ......... + n n n i ni ni

= f i xi + f 2 x 2 + ........ + f n x n

ni

ni

:

frquence relative xi 10 11 12 13 14 Ni 5 8 10 12 5 40 fi 0,125 0,20 0,25 0,30 0,125 fixi 1,25 1,6 2,5 3,6 0,75 12,7

do : = f1x1 +f2x2 +.+fnxn

= =12,7

fixi

B- La moyenne gomtrique : b-1 Dfinition tant donne n observations connues individuellement (x1,x2,x3,,,,,,,,,,, xn) on appelle moyenne gomtrique simple de ces n observations la grandeur G t.p : G= n X 1. X 2..... Xn = ( X 1. X 2.... Xn) 1/n

i =n G = xi i =1 b-2 calcul de G

1

n

lorsque les observations sont groupes ; chaque pondr Xi sera pondr par leffectif correspondant, la moyenne gomtrique scrit : G = n X 1. X 1. X 1 * X 2. X 2. X 2 * X 3 * X 3 X 3 N= n1+n2 +..+nn

G= n X 1n1. X 2 n 2. X 3 n 3.... Xn nn .

calculer G est plus facile en passant par le logarithme, en effet.

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G= n X 1. X 2.... Xn = ( X 1. X 2. X 3..... Xn ) log G = 1/n log (X1.X2..Xn) = 1/n [log X 1 + log X 2..... + log Xn]

1/ n

log XiLog G= Ni

La moyenne gomtrique pondren n G = n x1n1 .x 2 2 ........x n n n n G = x1n1 .x 2 2 .......x n n

(

)

1

n

n n log x1n1 .x2 2 .....xn n 1 nn n1 n2 log G = log x1 .x2 ........xn = n n

(

)

(

)

=

n1.logx1 + n2 logx2 +...... nnn + n n

log G =

n log ni i

xi

Application : calculer la moyenne gomtrique7,316 = 0,9145 8 G = 10 0,9145 = 8,2 log G =

xi 2 6 10 12 Total

ni 1 2 3 2 8

log xi 0,301 0,772 1 1,158

ni log xi 0,301 1,556 3,0 2,158 7,316

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Cc-1 Dfinition

la moyenne harmonique :

tant donne n observations connues individuellement x1,x2,x3 ..xn on appelle moyenne hormique le nombre H tel que :

1 = H H=

1

x1

+

1 + ...... + 1 xn x2 = n

1xn

i

n 1

moyenne harmonique simple.

xi

Si les observations sont groupes la moyenne harmonique scrit :

1 = M

x1 . 1

x1

+ x2 . 1

+ ..... + nn . 1 x2 xn = n1 + n2 + ......nn

n 1x ni i

i

H=Moyenne harmonique pondre

n n 1xi i

i

xi2 6 10 12 total

ni1 2 3 2 8

c-2 Application

1/ xi 0,5 0,166 0,1 0,083

ni.1/ xi0,5 0,332 0,2 0,166 1,298

1 = H

x

i

1

xi

ni

=

1,298 8

H=c-3 Remarque

8 = 6,16 1,298

1 = H

n 1x ni i

i

=

n .X ni i

i

avecX i =

1 xi

Linverse de la moyenne = moyenne des inverses

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D

-La moyenne quadratique :

Dfinition : Etant donn n observations connues individuellement X1 ; X2 ;..xn 2 2 x12 + x 2 + ..... + x n xi2 2 2 Q = Q = n nQ=

xn

2 i

moyenne quadratique simple

si les observations sont groupes, la moyenne quadratique scrit : 2 2 n .x 2 + n2 .x 2 + ...... + nn .x n Q2 = 1 1 n1 + n2 + ...... + nn2

Q

n .x = ni i2 i

2 i

Q=

n .x ni i

2 i

moyenne quadratique pondre

Application :

Q2 =

n .x ni i

=

664 = 83 8

Q = 83 = 9.1

xi 2 6 10 12 total

Ni 1 2 3 2 8

Xi 4 36 100 144

Ni. Xi 4 72 300 288 664

Q

2

n .x = ni i

2 i

=

n .X ni i

i

avecX i = xi2

Carr de la moyenne = la moyenne des carrs

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Gnralisation de la notion moyennes : d.1moyenne dordre r

on appelle moyenne dordre r la quantit Mr tel que :r r x r + x 2 + ........ + x n Mr = 1 n r r x1r + x 2 + .... + x n n

1

n

M rr =

1 Si r= 1 M 1 =

x1 + x 2 + x3 + ....... + x n 1 M1 = n2 2 x12 + x 2 + ....... + x n 2 M 2 = Q2 M 2 = Q n

2 si r= 2 M 2 =

1 si r= -1 M 1 =

x11 + x 2 1 + ...... + x n 1 1 1 = H 1 = M1 = H n M 1 H

si r=

0.

M 0 = G

d.2-

le classement des moyennes : les ingalits entre les moyennes :

On dmontre que les moyennes sordonnent selon la valeur de r c--d que si : r1 < r 2 M r1 < M r2 Ce qui nous donne : M 1 < M 0 < M 1 < M 2

H

m06 - statistiquester-tsc[1]

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