lois, problèmes de synthèse

8/14/2019 Lois, problmes de synthse

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Probabilits - Problmes de synthse

Statistiques et lois usuelles

Productique des alliages mouls

Une machine fabrique en srie des pices mtalliques de forme cylindrique.

A) Dans un lot de 100 pices on a mesur les diamtres de chaque pice et on a obtenu le tableausuivant :

diamtre en mm effectif

[15,5 ; 15,7[ 2

[15,7 ; 15,9[ 11

[15,9 ; 16,1[ 68

[16,1 ; 16,3[ 16

[16,3 ; 16,5[ 3

En faisant l'hypothse que, pour chaque classe, les valeurs observes sont gales celle du centrede la classe, calculer ( 310 mm prs) une valeur approche de la moyenne et l'cart type desdiamtres des pices de l'chantillon.

B) On admet que la machine fabrique 20 pices par heure et on suppose que la probabilit qu'unepice prleve au hasard dans la production soit dfectueuse est 0,05. On dsigne parXla variablealatoire qui, toute production horaire de 20 pices, associe le nombre de pices dfectueuses decette production (on assimile la production des 20 pices un prlvement avec remise).

Xsuit une loi binomiale.

a - Calculer l'esprance mathmatique et la variance deX.

b - Dterminer 310 prs la probabilit P(X 1).

C) On dsigne parY la variable alatoire qui, chaque pice tire au hasard dans la production,associe la mesure en millimtres de son diamtre. A la suite de contrles statistiques on estime quela variable alatoire Ysuit la loi normale de moyenne = 16 et d'cart type = 0,14.

a - Dterminer la probabilit P(Y< 16,2).

b - Dterminer la probabilit P(Y> 15,7).

c - On accepte les pices dont le diamtre appartient l'intervalle [15,7 ; 16,2].

Quelle est la probabilit qu'une pice, tire au hasard dans la production soit accepte ?

Quel rebut peut-on prvoir sur un lot de 1000 pices ?Dans cette question on donnera des valeurs approches des probabilits 410 prs.

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Biotechnologie

Une entreprise fabrique en grande srie des pipettes de laboratoire. Ces pipettes sont calibres.

On s'intresse la fiabilit de la calibration l'aide d'un test gravimtrique

Toutes les probabilits demandes seront donnes au centime le plus proche.

1re partie :

1. On teste 23 pipettes pour lesquelles on obtient les rsultats suivants :

Volume en l 99,6 99,7 99,8 100 100,1 100,2 100,3 100,4Nombre de pipettes 1 1 2 8 7 2 1 1

Donner l'cart type et la moyenne de cette srie de mesures.

2me partie :

On appelle X la variable alatoire qui toute pipette, choisie au hasard, associe le rsultat du testen l. On considre que X suit la loi normale de moyenne 100 et d'cart type 0,16.

1 Calculer la probabilit d'obtenir le rsultat du test dans l'intervalle [99,7 ; 100,3].

2 Dterminer le nombre positif a, au dixime prs, tel que 80 % des mesures appartiennent l'intervalle [100 a ; 100 + a].

3me partie :

On refuse toutes les pipettes pour lesquelles le volume obtenu lors du test est strictement suprieur 100,3 lou strictement infrieur 99,7 l.

La probabilit qu'une pipette soit dfectueuse est gale 0,06.

Dans un lot d'un trs grand nombre de pipettes, on effectue un contrle sur 50 pipettes choisies auhasard. On appelle alors Y la variable alatoire qui, tout lot de 50 pipettes associe le nombre de

pipettes dfectueuses.

On assimile les prlvements de 50 pipettes des tirages de 50 pipettes avec remise.

1 Quelle est la loi de probabilit de Y?

2 On suppose dsormais que l'on peut approcher la loi de probabilit de Ypar une loi de Poisson.

a) Prciser le paramtre de cette loi.

b) Quelle est la probabilit qu'il n'y ait aucune pipette dfectueuse dans le lot ?c) Quelle est la probabilit qu'il y ait plus de 4 pipettes dfectueuses dans le lot ?

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Biochimiste

Les questions 1 et 2 peuvent tre traites indpendamment lune de lautre.

1 Au cours dune rpartition de pnicilline en flacons sur une machine automatique, on prlve intervalles plus ou moins rguliers, un flacon dont on pse le contenu, au dixime de milligramme. On

prlve ainsi un chantillon de 250 flacons dont les masses des contenus exprimes en mg serpartissent en 20 classes comme suit :

classes effectifs classes effectifs[116,5 ; 117,5[ 2 [126,5 ; 127,5[ 25[117,5 ; 118,5[ 3 [127,5 ; 128,5[ 22[118,5 ; 119,5[ 4 [128,5 ; 129,5[ 14[119,5 ; 120,5[ 10 [129,5 ; 130,5[ 15[120,5 ; 121,5[ 10 [130,5 ; 131,5[ 10

[121,5 ; 122,5[ 16 [131,5 ; 132,5[ 7[122,5 ; 123,5[ 20 [132,5 ; 133,5[ 5[123,5 ; 124,5[ 23 [133,5 ; 134,5[ 5[124,5 ;125,5[ 21 [134,5 ; 135,5[ 4[125,5 ; 126,5[ 30 [135,5 ; 136,5[ 4

a) Calculer la moyenne x la variance Vx et lcart type x de cette srie statistique en supposantque dans chaque classe, tous les lments sont situs au centre.

( x et x seront exprims 10 - 3prs par dfaut).

b) Quel est le pourcentage de flacons ayant un contenu dont la masse est de moins de 125,5 mg ?

2 Cet chantillon a permis de prendre pour estimation des paramtres de la populationcorrespondante : la moyenne = 126 , lcart type = 4 .

Soit X la variable alatoire qui, tout flacon prlev au hasard, associe la masse de son contenu,exprime en milligrammes. On suppose que X suit la loi normale n (126, 4).

a) Calculer 410 prs les probabilits :

P(X< 125) P(118 129,2)

b) On a utilis un sel de pnicilline titrant 1600 units au milligramme. Lactivit moyenne parflacon est 201.600 units. Pour obir aux prescriptions des normes en vigueur, lactivit trouve

par flacon doit tre au moins de 95 pour cent de celle annonce sur ltiquette, soit 200.000units.

b1) Quelle est la masse u du contenu du flacon correspondant cette activit minimum ?

(On exprimera la rponse 310 prs par dfaut ).

b2) Quelle est la proportion moyenne de flacons dans la population ayant une masse infrieure cette masse u ? (Cest--dire calculerP(X < u) ).

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Industries des matriaux souples

Les deux parties A et B sont indpendantes.

Une machine produit des boutons en grande quantit.

Partie A

1 On considre que la variable alatoireXqui, tout bouton, pris au hasard dans la production,associe son diamtre en mm, suit la loi normale de moyenne = 21 et d'cart type = 0,23.

Un bouton est considr comme tant de qualit infrieure si son diamtre n'est pas dans l'intervalle[20,5 ; 21,5].

Calculer le pourcentage prvisible de boutons de qualit infrieure.

2 On admet que la probabilit qu'un bouton pris au hasard dans la production soit de qualit

infrieure est 0,03. On constitue des plaques de 50 boutons pris au hasard dans la production.On note Yla variable alatoire qui, toute plaque de 50 boutons, associe le nombre de boutons dequalit infrieure qu'elle contient. La production est assez importante pour qu'on puisse assimiler le

prlvement de 50 boutons un prlvement alatoire avec remise.

a) Quelle est la loi suivie parY?

b) Calculer la probabilit de n'avoir dans une plaque aucun bouton de qualit infrieure. (rponsearrondie 310 ).

c) On dcide d'approcher la loi de Y par une loi de Poisson. Prciser son paramtre et calculer,dans le cadre de cette approximation, la probabilit d'avoir au moins 3 boutons de qualitinfrieure dans une plaque.

Partie B

La machine se drgle au fil du temps et on dcide donc de noter chaque jour le pourcentage deboutons de qualit infrieure produit par cette machine.

Jours :xi 1 2 3 4 5 6% de boutons :yi 2,5 2,6 2,8 3,3 3,2 3,4

1 Reprsenter cette srie statistique double par un nuage de points en portant en abscissesxi et enordonnesyiavec comme units graphiques 1 cm pour un jour en abscisses et 2 cm pour 1 % enordonnes.

2 a) Donner une quation de la droite de rgression dey enx.

(les coefficients la caractrisant seront donns 110 prs).b) Tracer cette droite sur le graphique de la question 1.

3 On suppose que l'quation prcdente est une bonne reprsentation du phnomne "drglage de lamachine" tudi (du ler au 15me jour). Estimer le pourcentage de boutons de qualitinfrieure produits, au 8me jour, au 9me jour.

On admet au maximum 4 % de boutons de qualit infrieure. Quel jour faudra-t-il rviser la machine ?

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Equipement technique nergie

Dans cet exercice, les calculs seront effectus 310 prs.

Les parties A et B sont indpendantes.A - L'tude du cot de maintenance annuel d'une installation de chauffage dans un immeuble de

bureaux, en fonction de l'ge de l'installation, a donn les rsultats suivants :

Agexi (en annes) 1 2 3 4 5 6Cotyi (en KF) 7,55 9,24 10,74 12,84 15,66 18,45

1 Reprsenter le nuage de points Mi(xi, yi) dans un repre orthogonal

(units graphiques : 2 cm en abscisse, 1 cm en ordonne).

Peut-on envisager un ajustement affine de ce nuage ?

2 a) Dterminer le coefficient de corrlation linaire de la srie statistique double (xi,yi).

Le rsultat obtenu confirme-t-il l'observation faite au 1 ?

b) Dterminer, par la mthode des moindres carrs, une quation de la droite de rgression D de yenx. Tracer D dans le mme repre qu'au 1.

c) En admettant que l'volution du cot constat pendant 6 ans se poursuive les annes suivantes,donner une estimation du cot de maintenance de l'installation lorsqu'elle aura 8 ans.

B - Une tude statistique montre que la probabilit de l'vnement "une intervention au moins estncessaire sur l'installation au cours d'un mois donn" est 0,125. On admet que la ncessit d'intervenir

au cours d'un mois ne dpend pas du mois considr. On note X la variable alatoire qui, chaqueanne, associe le nombre de mois o il a fallu intervenir sur l'installation.

1 Expliquer pourquoiXsuit une loi binomiale et donner les paramtres n etp de cette loi.

2 Calculer la probabilit des vnements suivants :

a) on n'est pas intervenu dans l'anne.

b) on est intervenu un seul mois dans l'anne.

c) on est intervenu au moins deux mois dans l'anne.

3 On se propose d'approcher la loi de X par une loi de Poisson de paramtre = np.

En utilisant cette loi de Poisson, dterminer les probabilits respectives des vnements dfinis auxquestions 2a, 2b et 2c. Les valeurs sont-elles bien compatibles avec les rsultats du 2 ?

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Travaux publics

Une machine fabrique des tiges.

On mesure la longueur de 100 tiges et on obtient les rsultats suivants :

Intervalles en mm centres de classes effectifs[16,17[ 16,5 1[17,18[ 17,5 5[18,19[ 18,5 11[19,20[ 19,5 56[20,21[ 20,5 13[21,22[ 21,5 11[22,23[ 22,5 3

1 - Dterminer les valeurs approches 10 - 2 prs de la moyenne x et de l'cart type de cettesrie statistique, en supposant que dans chaque classe, tous les lments sont situs au centre.

Dterminer la classe mdiane. En admettant que la rpartition de l'effectif est uniforme l'intrieurde chaque classe, dterminer la mdiane M. Que reprsente M?

2 - On admet pour la suite que, la variable alatoire Xqui, toute tige produite par la machine, associela taille de cette tige, suit la loi normale de paramtres = 19,7 et = 1,1.

a) Calculer 410 prs la probabilit de l'vnement X 20,5

b) Donner l'intervalle [ - h ; + h] tel que la variable alatoireXprenne ses valeurs dans cetintervalle avec la probabilit 0,95.

c) Une tige est dfectueuse lorsque sa taille n'est pas dans l'intervalle [17 ; 22].

Calculer 410 prs la probabilit qu'une tige soit dfectueuse.

d) On appelle Y la variable alatoire qui, chaque lot de 100 tiges, associe le nombre de picesdfectueuses de ce lot. (On assimilera le tirage des 100 tiges un tirage alatoire non exhaustif).

Expliquer pourquoi Ysuit une loi binomiale et donner les paramtres de cette loi binomiale.

On peut approcher cette loi par la loi de Poisson montrer que le paramtre est 2,5.

Dterminer la valeur approche 310 prs de la probabilit de l'vnement Y 2 .

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Agencement

Une entreprise produit des pices cylindriques.

A - On prlve un chantillon de 20 pices dont on mesure les diamtres en millimtres et on obtientles rsultats suivants :

121,3 120 119,7 122,2 119,4120,2 121,4 119,5 120,8 121118,9 122 120,4 121 121,4119,7 121,1 121,9 121,4 119,2

Dterminer les valeurs approches 210 prs de la moyenne et de l'cart type de l'chantillon.

B- On admet que la variable alatoire qui, toute pice produite par l'entreprise, associe son diamtreen mm suit la loi normale de moyenne 120,6 et d'cart type 1.

1 Calculer la probabilit de l'vnement (X 120).2 Une pice, produite par cette entreprise, est accepte si et seulement si la valeur de son diamtre en

mm appartient l'intervalle [119,5 ; 121,5].

Quelle est la probabilit - qu'une telle pice soit accepte ?

- qu'une telle pice soit refuse ?

3 On prlve au hasard, des lots de dix pices (on assimile ces tirages des tirages alatoires de 10pices avec remise). Quelle est la probabilit que, sur dix pices, une au plus soit refuse ?

Les calculs de probabilits seront donns sous forme de valeurs dcimales approches 4

10 prs.

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quipement technique nergie

Une machine fabrique des rsistances chauffantes en grandes sries. Parmi la production, on prlve

un certain nombre de pices au hasard. A chacune dentre elles, on associe sa longueur lexprime enmillimtres. On dfinit ainsi une variable alatoire L. On suppose que L suit une loi normale et ondsigne par sa moyenne et par son cart type.1 - Dans cette question, une pice produite est dclare acceptable si 392,5 l 407,5 et

dfectueuse dans le cas contraire.

La moyenne des longueurs des pices de la fabrication est = 400.

a) Sachant que = 5,2 , calculer le pourcentage de pices dfectueuses de la production.

b) Un rglage de la machine permet de modifier lcart type sans changer la moyenne. Quel doittre le nouvel cart type pour que le pourcentage de pices dfectueuses soit de 10 %.

c) Le taux de pices dfectueuses tant de 10 %, on effectue des contrles de longueur desrsistances de la fabrication.

Pour cela, on extrait des chantillon alatoires de 6 pices.

Comme leffectif est ngligeable devant le nombre de pices produites, les tirages successifssont considrs comme indpendants. On sait que, la variable alatoire Xqui, tout tirage de 6

pices, associe le nombre de pices dfectueuses tires, suit une loi binomiale.

Calculer la probabilit de lvnement : X> 1.

2 - La machine est rgle, lors de sa mise en marche, de telle sorte que la moyenne des longueurs est = 400. Mais cette moyenne varie en cours de fabrication et on dcide de procder un nouveaurglage ds que < 398. Des contrles sont effectus aprs 1,2,3 et 4 heures de fonctionnement et

donnent les estimations des moyennes suivantes :

h (heure) 0 1 2 3 4

m (moyenne estime) 400 399,81 399,62 399,46 399,20

a) En utilisant la calculatrice, dterminer par la mthode des moindres carrs, une quation de ladroite de rgression de m en h : m = h +

b) La moyenne vraie peut scrire = ah + b.

On prend comme estimation de a la valeur de et comme estimation de b la valeur .

On admet que la tendance observe pendant les 4 premires heures de fonctionnement sepoursuit.

Dduire de a), une heure prs, une estimation du nombre dheures sparant linstant duprochain rglage de linstant de la mise en marche de la machine.

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Calcul de probabilits - lois usuelles

Comptabilit

Les parties B et C sont indpendantes de la partie A.

Un fabricant de vtements de sport et de loisirs commercialise directement une partie de sa production.

Partie A : Vente d'un modle prcis de vtements.

Le fabricant s'intresse la vente d'un modle compos d'une veste d'alpinisme et du pantalon assorti.On propose l'achat de la veste avant celui du pantalon.

La probabilit qu'un client, choisi au hasard, achte la veste est 0,2. La probabilit qu'un client, choisiau hasard, achte le pantalon quand il a achet la veste est 0,7 et la probabilit qu'il achte le pantalon

quand il n'a pas achet la veste est 0,1.

1 - a) Montrer que la probabilit qu'un client, choisi au hasard, achte le modle complet est 0,14.

b) Calculer la probabilit qu'un client, choisi au hasard, achte :

le pantalon (avec ou sans la veste)

au moins une des deux pices.

2 - La veste est vendue 1250 F et le pantalon 550 F.

On noteX la variable alatoire qui, chaque client choisi au hasard, associe sa dpense, enfrancs, pour ce modle.

tablir la loi de probabilit deXen compltant, aprs l'avoir reproduit, le tableau suivant :

k 0P(X= k) .. ..

Partie B :Montant total des achats effectus par la clientle.

On note Y la variable alatoire qui, chaque client, choisi au hasard, associe le montant total de sesachats en francs.

On suppose que Y suit une loi normale de moyenne et d'cart type .

Une tude statistique ralise sur un grand nombre de clients a permis d'tablir que = 550 et = 195.

1 - On choisit au hasard un client. Calculer, avec la prcision des tables, les probabilits desvnements suivants :

a) le montant de ses achats est infrieur 600 F ;

b) le montant de ses achats est de 400 F au moins ;

c) le montant de ses achats est compris entre 400 F et 800 F.

2 - Le fabricant dcide, au cours d'une campagne promotionnelle, d'accorder une remise aux clientsdont le montant des achats est suffisamment lev.

A partir de quel montant, 5 % des clients bnficieront-ils de cette remise ?

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Informatique de gestion

Une usine fabrique des objets d'un certain type.

Chacun de ces objets est constitu de deux lments a et b.

Les rsultats demands seront, s'il y a lieu, arrondis 210 prs.

1. On tire au hasard l'un des objets dans la production.

On dsigne par A l'vnement "l'lment a de l'objet prsente un dfaut de fabrication",

et par B l'vnement "l'lment b de l'objet prsente un dfaut de fabrication".

Les deux vnements A et B sont indpendants et on donne :P(A) = 0,1 etP(B) = 0, 2.

a) CalculerP(A B) etP(A B).

b) La dfectuosit d'un lment au moins suffit faire dclasser un objet : il n'est plus de premier

choix, mais de deuxime choix.Soit E l'vnement : "l'objet est de deuxime choix".

Montrer queP(E) = 0,28. En dduire la probabilit de l'vnement : "l'objet est de premierchoix".

2. On noteXla variable alatoire qui, chaque objet tir au hasard dans la production, associe lenombre d'lments dfectueux de cet objet.

a) Utiliser les rsultats des questions prcdentes pour donner :P(X= 0) etP(X= 2).

En dduireP(X= 1).

b) Calculer l'esprance mathmatique deX.

c) Sachant qu'un objet tir au hasard dans la production est de deuxime choix, quelle est laprobabilit pour que cela provienne de la dfectuosit d'un et d'un seul lment ?

3. On prlve un chantillon de 100 objets, pris au hasard et avec remise, dans la production.

On note Yla variable alatoire qui, chaque chantillon de ce type, associe le nombre d'objets dedeuxime choix dans cet chantillon.

a) Quelle est la loi de probabilit suivie parY? Donner ses paramtres.

b) Donner la moyenne et l'cart type de Y.

c) On veut calculer le nombre =P(Y 20). Expliquer pourquoi le calcul de , par utilisationdirecte de la loi de Y, est long.

On considre qu'on peut approcher la loi de Ypar une loi normale. Donner ses paramtres.On noteZune variable alatoire qui suit cette loi normale.

On admet que la probabilitP(Z 19,5) est une approximation satisfaisante de .

CalculerP(Z 19,5).

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Btiment (Nouvelle Caldonie)

Une usine fabrique des " robinets - vannes " pour le btiment.

Deux dfauts de fabrication seulement sont possibles, un dfaut not a et un dfaut not b .1 Une tude statistique a montr que, pour un robinet tir au hasard dans la production d'une journe,

la probabilit de l'vnement

A : le robinet prsente le dfaut " a " est P(A) = 0,01 et la probabilit de l'vnement

B : le robinet prsente le dfaut " b " est P(B) = 0,05 .

Dans cette question on donnera la valeur exacte de chaque probabilit.

On admet que les vnements A et B sont indpendants.

Calculer la probabilit des vnements suivants.

a) C : le robinet prsente les deux dfauts ;b) D : le robinet prsente au moins un dfaut ( et peut tre les deux ) ;

c) E : le robinet ne prsente aucun des deux dfauts ;

d) F : le robinet prsente un et un seul des deux dfauts .

2 Dans la production d'une journe on prlve un robinet au hasard en supposant que chaque robineta la mme probabilit d'tre choisi. On admet que la probabilit que le robinet ne prsente aucundes deux dfauts a et b est 0,9405.

On prlve ainsi cinq robinets avec remise, de telle faon que les cinq tirages d'un robinet soientindpendants.

Soit X la variable alatoire qui un tel prlvement de cinq robinets, associe le nombre derobinets ne prsentant aucun des deux dfauts a et b .

a) Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale. Donner les paramtres de cette loi.

b) Dterminer la probabilit de l'vnement

G : quatre robinets au moins n'ont aucun des deux dfaut .

On donnera une valeur approche 410 prs du rsultat.

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Mcanique et automatismes industriels

Dans un atelier, une machine A permet de couper des plaques d'acier. La variable alatoire qui, chaque plaque prleve au hasard dans la production, associe sa longueur suit la loi normale de

moyenne M= 100 et d'cart type = 1, (les longueurs tant exprimes en cm).

1re QUESTION :

a) Quelle est, 210 prs par dfaut, la probabilit qu'une plaque, prleve au hasard dans laproduction, ait une longueur extrieure l'intervalle [98, 102] ?

b) Trouver une valeur approche 210 prs du nombre a tel que 90 % des plaques aient unelongueur dans l'intervalle [ 100 a , 100 + a].

2me QUESTION :

On suppose maintenant que 3 % des plaques coupes par la machine A sont rejetes parce que leurlongueur ne convient pas. Dans un lot contenant un trs grand nombre de plaques, on en prlve n.

Xest la variable alatoire qui, tout chantillon de n plaques, associe le nombre de plaques dont lalongueur est incorrecte. Le prlvement des n plaques est assimil un prlvement alatoire avecremise.

a) Quelle est la loi suivie parX?

b) On suppose n = 5 , calculerP(X= 2).

c) On suppose n = 100, quel est le paramtre de la loi de Poisson par laquelle on peut approcher la loideX?

Donner, alors, une valeur approche 210 prs deP(X= 8) ; deP(X> 2).

3me QUESTION :

La machine A coupe 500 plaques par jour dont 3 % sont rejetes.

On lui adjoint une machine B ; 9 % des plaques coupes par cette machine B sont rejetes .

a) La machine B coupe 1000 plaques par jour.

Quelle est alors la probabilit qu'une plaque coupe dans l'atelier soit rejete ?

b) On veut que la probabilit de rejet d'une plaque reste infrieure 0,05.

Quel nombre maximum de plaques peut-on couper avec la machine B, sachant que A coupe 500plaques par jour ?

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lectrotechnique

A - Une usine fabrique en grande srie des pices susceptibles de prsenter un dfaut A dans 3% descas, ou un dfaut B dans 7% des cas. L'apparition d'un dfaut est indpendante de l'apparition de

l'autre. Calculer la probabilit qu'une pice tire au hasard :

a) prsente les deux dfauts ;

b) prsente au moins l'un des deux dfaut ;

c) prsente un seul dfaut ;

d) ne prsente aucun dfaut.

B - On prlve au hasard 250 pices dans la production. La production tant importante le tirage peuttre assimil un tirage avec remise.

1 Soit X la variable alatoire qui, tout prlvement alatoire de 250 pices, fait correspondre lenombre de pices prsentant le dfaut A.

a) Quelle est la loi de probabilit de X?

b) On admet que la loi de X peut tre approche par une loi de Poisson. En dterminer leparamtre . Calculer alors la probabilit que, parmi 250 pices, il y en ait au plus 3prsentant le dfaut A.

2 Soit Y la variable alatoire qui, tout prlvement de 250 pices, fait correspondre le nombre depices prsentant le dfaut B. On dcide d'approcher la loi de la variable discrte Y par la loinormale de paramtres m = 17,5 et = 4,03.

On note Zune variable alatoire suivant la loi normale n (17,5 ; 4,03).

a) Justifier les valeurs de m et .

b) Calculer la probabilit qu'il y ait au plus 20 pices prsentant le dfaut B c'est dire P(Z20,5) c) Calculer la probabilit que le nombre de pices prsentant le dfaut B soit compris au senslarge entre 15 et 20, c'est dire :P(14,5 Z 20,5).

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tudes et conomie de la construction

On tudie une production de pices en grande srie.

I - On dsigne parXune variable alatoire qui suit la loi normale de moyenne m = 400, d'cart type = 0,16.

1 Calculer P(399,90 X 400,20).

2 Dterminer le nombre rel a tel que P(400 a X 400 + a) = 0,92.

II - Une tude a montr que le pourcentage de pices dfectueuses dans la production tait de 8 % ; onprendra 0,08 comme probabilit qu'une pice prise au hasard dans la production soit dfectueuse.

On contrle des chantillons alatoires de 50 pices et on appelle Y la variable alatoire qui, toutchantillon alatoire de 50 pices, associe le nombre de pices dfectueuses de cet chantillon.

La production tant importante le tirage peut tre assimil un tirage avec remise.

1 On admet que la variable alatoire Ysuit une loi binomiale ; prciser les paramtres.Calculer P(Y= 4) puis P(Y 3).

2 On approche la loi binomiale suivie par Y par une loi de Poisson. Trouver son paramtre et calculerensuite des approximations de P(Y= 4) et P(Y 3).

III - On rappelle que le pourcentage de pices dfectueuses dans la production est de 8 %. On met enplace un contrle de fabrication pour les reprer. Si un dfaut est dtect, la pice est rejete. Dans lesautres cas, elle est accepte.

Sachant que 10% des pices dfectueuses chappent au contrle, calculer les probabilits desvnements suivants :

A : "une pice, tire au hasard dans la production, est rejete"B : "une pice, tire au hasard dans la production, est accepte"

C : "une pice, tire au hasard dans la production, est dfectueuse et accepte".

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Travaux publics

A) Une entreprise de Travaux publics commande en trs grande quantit des bordures de trottoir en bton pour reconstituer son stock. Elle s'adresse deux usines A et B qui lui fournissent

respectivement3

2et

3

1de ses commandes. Le pourcentage de bordures inutilisables livres par

l'usine A est 8 %, le pourcentage de bordures inutilisables livres par l'usine B est 5 %.

1) Quel est le pourcentage de bordures inutilisables reues par l'entreprise ?

2) On examine une bordure au hasard. Elle est inutilisable.

Quelle est la probabilit qu'elle vienne de l'usine A ?

B) L'entreprise de travaux publics prlve au hasard 50 bordures dans le stock. On admet que laprobabilit qu'une bordure ne soit pas utilisable est 0,07. On noteXla variable alatoire qui, chaque

chantillon de 50 bordures prleves au hasard, associe le nombre de bordures inutilisables de ce lot(prlvement assimil un tirage avec remise). On admet queXsuit une loi binomiale.

1) En donner les paramtres.

2) Calculer la probabilit que les 50 bordures soient utilisables.

3) Calculer la probabilit qu'au plus 2 bordures soient inutilisables.

C) L'entreprise dcide de s'quiper d'une table de coffrage pour fabriquer elle-mme ses bordures.

On noteL la variable alatoire associant chaque bordure tire au hasard de la production sa longueur.On admet queL suit la loi normale de paramtres m = 100 cm et = 0,5 cm.

On prlve une bordure au hasard.

a) Calculer, 310 prs, la probabilit qu'elle mesure plus de 100,6 cm.

b) Calculer, 310 prs, la probabilit que sa longueur soit comprise entre 99,2 cm et 100,8 cm.

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Conception de produits industriels

Trois ouvriers travaillent successivement sur une chane de montage, au mme poste, pendant vingt-quatre heures.

Louvrier O1 fabrique 2000 pices dont 40 sont dfectueuses.

Louvrier O2

fabrique 1800 pices dont 90 sont dfectueuses.

Louvrier O3

fabrique 2200 pices dont 88 sont dfectueuses.

1 On tire au hasard et avec remise 5 pices parmi les 1800 pices fabriques par louvrier O2. SoitX

la variable alatoire qui, tout tirage alatoire et avec remise de 5 pices, associe le nombre de picesdfectueuses obtenues au cours des cinq tirages.

a) Dterminer la probabilitp de lvnement: la premire pice tire est dfectueuse .

Montrer queXsuit une loi binomiale dont on dterminera les paramtres.

b) Quelle est la probabilit dobtenir deux pices dfectueuses au cours de ces cinq tirages ?

2 Dans la production totale des trois ouvriers, on choisit une pice au hasard. Pour k{1, 2, 3}, ondsigne par O

kB lvnement: la pice tire a t fabrique par louvrier O ket cest une bonne

pice .

a) Calculer la probabilit de chacun des vnements O1 B, O

2 B et O

3 B.

b) Quelle est la probabilit, note P(O2/ B), que la pice choisie ait t fabrique par louvrier O 2

sachant que cest une bonne pice ?

Les calculs de probabilits seront donns sous forme de valeurs dcimales approches 4

10

prs.

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Travaux publics

Un atelier est constitu de 30 postes de travail identiques ; chaque poste est quip d'une machine A etd'une machineB fonctionnant de faon indpendante. On considre les vnements suivants :

A : "La machine A est dfaillante pour une journe de fonctionnement."

B : "La machine B est dfaillante pour une journe de fonctionnement."

On noteP(A) = 0,1 etP(B) = 0,03.

N.B. : - Les trois questions sont indpendantes.

- Les probabilits seront donnes 310 prs par dfaut.

1 Pour une journe de fonctionnement et pour un poste de travail alatoires, dterminer :

a) la probabilit que les deux machinesA etB tombent en panne.

b) la probabilit que l'une au moins des deux machines tombe en panne.

c) la probabilit qu'une machine et une seule tombe en panne.

2 On appelleXla variable alatoire qui, un jour tir au hasard, associe aux 30 postes, le nombre depostes de travail dans lesquels une machine et une seule est en panne.

Les 30 postes fonctionnent de manire indpendante.

On admet que la probabilit qu'une machine et une seule soit en panne est 0,124.

a) Dterminer, en la justifiant la loi de probabilit de la variable alatoireX.

b) Calculer la probabilit que, parmi 30 postes, il y en ait 4 exactement qui comportent unemachine et une seule en panne.

c) Calculer la probabilit que, parmi 30 postes, il y en ait au moins 2 qui comportent une machineet une seule en panne.

d) On approche la loi de Xpar une loi de Poisson.

Prciser le paramtre de cette loi de Poisson.

e) Refaire les calculs des questions b) et c) l'aide de la loi de Poisson.

3 A chaque pice produite par un atelier on associe sa longueur. On admet que l'on dfinit ainsi unevariable alatoire Y qui suit la loi normale de moyenne m1 = 6,003 et d'cart type1 = 0,005.

Une pice est juge acceptable si sa longueur appartient l'intervalle [5,990 ; 6,010].

Dterminer la probabilit qu'une pice prise au hasard dans la production d'une journe soit

accepte.

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Les parties A et B sont indpendantes.

On considre un lot d'un grand nombre de pices fabriques ; ces pices sont de mme nature, le tiersd'entre elles ont t usines par une machine M1, les deux autres tiers ont t usines par une machineM2 ( une pice quelconque a t usine soit par M1, soit par M2 ).

les productions de ces deux machines sont indpendantes.

Les longueurs tant exprimes en millimtres, on sait que :

La variable alatoire X1 qui, chaque pice fabrique par M1, associe sa longueur, suit la loi normalede moyenne 52,1 et d'cart type 0,16.

La variable alatoire X2 qui, chaque pice fabrique par M2, associe sa longueur, suit la loi normalede moyenne 52 et d'cart type 0,15.

Partie A :

Une pice est juge acceptable si sa longueur est comprise entre 51,7 et 52,4.

1 - Pour cette question, on donnera des rsultats la valeur dcimale arrondie 310 prs.

a) Dterminer la probabilit qu'une pice, tire au hasard, usine par M1 soit acceptable.

b) Dterminer la probabilit qu'une pice, tire au hasard, usine par M2soit acceptable.

2 - On tire au hasard une pice dans le lot des pices fabriques par M1 ou par M2 .

a) Dterminer la probabilit que cette pice soit fabrique par M1 .

Dterminer la probabilit que cette pice soit fabrique par M2 .

b) En utilisant tous les rsultats prcdents dterminer la probabilit que cette pice soitacceptable.

Les calculs de probabilits seront donns sous forme de valeurs dcimales approches 10 4 prs.

Partie B :

On admet que la probabilit de tirer une pice acceptable dans le lot de pices fabriques par M1oupar M2estp = 0,97. On tire au hasard dans le lot des pices fabriques des chantillons de 10 pices.Compte tenu du grand nombre de pices du lot ces chantillons seront assimils des chantillons

prlevs avec remise.On note X la variable alatoire qui, tout chantillon de dix pices, associe le nombre de picesacceptables obtenues. On admet que la loi de probabilit deXest une loi binomiale.

1 - Donner les paramtres de la loi de probabilit deX.

2 - Dterminer la probabilit d'avoir au plus deux pices dfectueuses dans un tel chantillon.

On donnera la valeur dcimale arrondie 310 prs.

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Productique

Dans un atelier 3 machines qui fonctionnent de faon indpendante, sont utilises pour fabriquer despices identiques. La production journalire de la machine M1 est n1 = 1000 pices avec uneproportion de pices dfectueuses dep

1= 0,05 ; pour la machine M

2nous avons n

2= 750 pices avec

p2 = 0,03 et pour M3 n3= 500 pices avec p3 = 0,02.

1 Dans la production totale dun certain jour on choisit, au hasard, une pice : celle-ci estdfectueuse. Quelle est la probabilit quelle ait t fabrique par M1?

2 On prlve, au hasard et avec remise, 3 pices uniquement de la production journalire de lamachine M1 (p1 = 0,05). Montrer que la variable alatoire qui, tout prlvement alatoire et avecremise de 3 pices, associe le nombre de pices dfectueuses, suit une loi binomiale dont on

prcisera les paramtres.

Quelle est la probabilit quune seule des 3 pices soit dfectueuse ?

3 On prlve, au hasard et avec remise, 10 pices de la production journalire de la machine M3 (p3 =

0,02). Montrer que la variable alatoire qui, tout prlvement alatoire et avec remise de 10pices, associe le nombre de pices dfectueuses, suit une loi binomiale dont on donnera lesparamtres. Calculer, en utilisant cette loi binomiale dabord, puis une loi de Poisson dont ondterminera le paramtre, la probabilit quune des 10 pices soit dfectueuse.

4 Sur une pice, prleve au hasard dans la production, on contrle 2 dimensions x et y qui doiventavoir respectivement 650,0 mm et 830,0 mm, on dfinit ainsi deux variables alatoires Xet Yquiassocient chaque pice leurs dimensionsx ety.

On tolre sur chaque dimension 0,1 mm en plus ou en moins. Les mesures sur un grand nombre depices ont permis dobtenir :

la moyenne de X : E(X) = 650,01 mm et lcart type deX: (X) = 0,05 mm.

la moyenne de Y : E(Y) = 830,02 mm et lcart type de Y: (Y) = 0,06 mm.

On suppose que les variables alatoires X et Y sont indpendantes et gaussiennes.

a) Calculer le pourcentage de pices dont la dimensionx est acceptable.

b) Calculer le pourcentage de pices dont la dimensiony est acceptable.

c) Calculer le pourcentage de pices dfectueuses.

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Assistant en cration industrielle 2002

Un magasin spcialis dans la vente de tlphones portables fait une promotion sur un type d'appareil

A. Dans une journe 150 personnes se prsentent indpendamment. La probabilit qu'une personneachte l'appareil A est 0,4. On appelle X la variable alatoire reprsentant le nombre d'articles Avendus en une journe.

1. Quelle est la loi de probabilit de la variable alatoire X? Calculer l'espranceE(X) et l'cart type (X) de la variable alatoireX.

2. On admet que la loi de la variable alatoire X peut tre approxime par une loi normale demoyenne m = 60 et d'cart type = 6. Calculer les probabilits suivantes : P(X 72),P(X 69)etP(69 X 72).

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Informatique de gestion 2002

Toutes les probabilits demandes dans cette exercice seront donnes sous leur forme dcimale

arrondie 310 prs.

La partie C peut tre traite indpendamment des deux autres.

Une entreprise vend 2 types de meubles : 1M , 2M respectivement 419 euros et 509 euros l'unit.

La demande mensuelle en meubles 1M est une variable alatoire X qui suit la loi normale

)15;85(n .

La demande mensuelle en meubles 2M est une variable alatoire Y qui suit la loi normale

)8;52(n .

On suppose queXet Ysont indpendantes.

Partie A

Dans cette question, on suppose que le stock est suffisant pour satisfaire la demande.

Ainsi, l'entreprise vend mensuellementXmeubles 1M et Ymeubles 2M .

Calculer les probabilits (un mois donn) d'avoir les vnements suivants :

1V : on vendra au plus 80 meubles 1M ;

2V : on vendra au plus 70 meubles 2M .

Partie B

Dans cette question, le stock n'est pas obligatoirement suffisant pour satisfaire la demande.L'entreprise dispose en dbut de mois d'un stock de 80 meubles 1M et 70 meubles 2M .

Quelles sont les probabilits des vnements suivants :

S1 : il y aura rupture de stock en meubles 1M ;

S2 : il y aura rupture de stock en meubles 2M ;

S : il y aura rupture de stock (en meubles 1M ou 2M ) .

(La rupture de stock concerne la fin du mois, et signifie que la demande est suprieure au stock).

Partie C

Un mois donn est dit rentable si le chiffre d'affaires de ce mois dpasse 70 000 euros.

1. Exprimer (en euros) le chiffre d'affairesZdu mois en fonction deXet Y.

2. Calculer l'esprance mathmatique deZ.

3. On admet que Z suit la loi normale )7400;62083(n

.Quelle est la probabilit qu'un mois donnsoit rentable ?

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4. On note R le nombre de mois rentables d'un semestre, et on suppose l'indpendance entre lesvnements rentable ou non rentable des mois successifs.

Justifier le rsultat suivant :R suit la loi binomiale )142,0;6(b .

5. Quelle est la probabilit que sur les 6 mois d'un semestre, on en ait au moins deux rentables ?

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Loi binomiale - loi de Poisson - loi normale

En assistance technique d'ingnieur

Une usine fabrique en grande quantit des crous.

On appelle Xla variable alatoire qui, chaque crou pris au hasard dans la production, associe sondiamtre intrieur exprim en millimtres. On admet que cette variable alatoire suit la loi normale demoyenne = 10 et d'cart type = 0,05.

1) a) Calculer la probabilit qu'un crou, pris au hasard dans la production, ait un diamtre infrieur 9,9 mm.

b) Calculer la probabilit qu'un crou, pris au hasard dans la production, ait un diamtresuprieur 10,01 mm.

c) Dterminer le rel positif tel que P(10 X 10 + ) = 0,9974.

2) Un crou est rejet par le service "contrle de qualit" si son diamtre intrieur n'est pas comprisentre 9,85 et 10,15 millimtres.

On dsigne parY la variable alatoire qui, tout chantillon non exhaustif de n crous tests parle service "contrle", associe le nombre d'crous rejets.

a) Quelle est la probabilit qu'un crou soit rejet ?

b)Quelle loi suit Y. Quelle est son esprance mathmatique ?

c)Pourn = 1000, si l'on considre un trs grand nombre d'chantillons de 1000 crous quel est lenombre moyen d'crous rejets dans un tel chantillon ? DterminerP(Y= 0).

c) Dterminer la valeur minimale n0 de n pour que la probabilit d'avoir au moins un crou rejetdpasse 0,9.

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lectronique

Une machine automatique fabrique des condensateurs de 5 F en trs grande srie.

La variable alatoireXqui, chaque condensateur prlev au hasard, associe sa capacit exprime en F suit la loi normale de moyenne = 4,96 F et d'cart type = 0,05 F.

On considre qu'un condensateur est acceptable si sa capacit est comprise entre les deux valeurs4,85 F et 5,15 F. La machine est bien rgle si 99 % de sa production est acceptable.

1) Calculer la probabilit qu'un condensateur alatoire soit acceptable. La machine est-elle bien rgle?

2) Dans cette fabrication, on suppose maintenant que la probabilit qu'un condensateur soitacceptable est de 98,6 %. On considre des chantillons de dix condensateurs de cette fabrication(on assimilera le choix des dix condensateurs un tirage avec remise).

Quelle est la probabilit que neuf condensateurs au moins, dans un tel chantillon, soient

acceptables.

Les rsultats seront donns sous forme de valeurs dcimales approches 410 prs.

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lectrotechnique

Une machine usine des pices. On dsigne parX la variable alatoire qui, chaque pice prleve auhasard dans la production, associe sa longueurx. On suppose que X suit la loi normale de moyenne = 54 et dcart type = 0,2.

Une pice est considre comme dfectueuse si x < 53,6 ou x > 54,3.

1 a) Calculer la probabilitp quune pice soit dfectueuse.

b) Pour vrifier que la machine ne sest pas drgle, on dtermine des cotes dalerte m - h etm + h dfinies par : P(m h X m + h) = 0,95.

Calculer 110 prs les cotes dalerte.

2 On admet que la probabilit quune pice soit dfectueuse estp = 0,09.

Un acheteur achte un lot de 40 pices. On dsigne par Y la variable alatoire qui, tout lot de 40

pices prlev au hasard dans la production, associe le nombre de pices dfectueuses de ce lot.On assimile un tel lot un tirages avec remise et on admet que Ysuit une loi binomiale.

Calculer les probabilits :- de navoir aucune pice dfectueuse dans le lot.

- davoir au plus deux pices dfectueuses.

Les calculs de probabilits seront donns sous forme de valeurs dcimales approches 310 prs.

tudes et conomie de la construction

Une machine est charge de conditionner des paquets de poudre d'additif pour ciment.

La variable alatoire M qui, tout paquet prlev au hasard dans la production, associe sa masse,exprime en grammes, suit une loi normale d'cart type constant gal 30 et dont la moyenne m peuttre modifie par un rglage de la machine.

Un paquet est refus au contrle final si sa masse est infrieure ou gale 955 g.

Dans tout le problme, les probabilits demandes seront arrondies 310 prs.

On a rgl la machine pour que = 1000 g.

1 Quelle est la probabilit qu'un paquet prlev au hasard dans la production soit refus au contrle ?2 On prendra 0,07 comme valeur approche de cette probabilit. On effectue le contrle en prlevant

priodiquement un lot de 100 paquets, extraits de la production au hasard et avec remise.

On appelleXla variable alatoire qui, chaque lot, associe le nombre de paquets refuss.

a) Expliquer pourquoiXsuit une loi binomiale dont on prcisera les paramtres.

b) Calculer la probabilit de l'vnement "X= 3 ".

3 On admet que l'on peut approcher la loi deXpar une loi de Poisson.

a) Quel doit tre le paramtre de cette loi de Poisson ?

b) Dterminer la probabilit que, dans un lot, 5 paquets au plus soient refuss.

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Comptabilit et gestion

Dans un centre de renseignements tlphoniques, une tude statistique a t ralise sur le tempsd'attente, exprim en secondes, subi par la clientle avant d'amorcer la conversation avec un employ.

Les rsultats de cette tude conduisent supposer que la variable alatoire Xqui, tout appel alatoired'un client, associe le temps d'attente qu'il subit, suit la loi normale de moyenne 18 et d'cart type 7,2.

1 Calculer la probabilit que, lors d'un appel au centre, un client :

- n'ait subir aucune attente (c'est direP(X 0)).

- ait subir une attente de plus de vingt secondes.

2 On imagine qu'au cours d'une certaine semaine, un mme client doive donner au centre cinq appelsindpendants les uns des autres.

On note Y la variable alatoire qui, cinq appels, associe le nombre de fois o, lors des cinqappels, le temps d'attente est suprieur vingt secondes.

Prciser la loi de probabilit suivie parYet donner ses paramtres. CalculerP(Y= 2) etP(Y 1).

Les rsultats seront donns sous forme de valeurs dcimales approches 410 prs.

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lectrotechnique

A. Une collectivit utilise N machines de type M qui fonctionnent de faons indpendantes.

On a observ que, au cours d'un mois de service, une machine de ce type : soit, ne tombe pas en panne,soit, tombe en panne une fois et une seule avec la probabilitp = 0,04.

On noteXla variable alatoire qui, tout mois choisi au hasard, associe le nombre de machines parmilesNmachines de type M qui tombent en panne au cours de ce mois de service.

1 Quelle est la loi de probabilit de la variable alatoire ? Donner l'expression de P(X = k) enfonction deNet k, (kentier naturel, 0 k N). Calculer l'esprance et la variance deX.

2 On suppose, dans cette question, que N = 100 et que la loi de probabilit deXpeut tre approchepar une loi de Poisson dont on dterminera le paramtre . Calculer, dans ces conditions, laprobabilit que, au cours d'un mois de service au moins cinq machines tombent en panne.

B. Soit Yla variable alatoire qui, toute machine de type M choisie au hasard, associe sa dure de

vie, en annes. On suppose que Ysuit la loi normale de moyenne m = 12 et d'cart type = 1,5.1 Calculer la probabilit p' qu'une machine ait une dure de vie d'au moins 14 ans.

2 Dans cette question, on prend p' = 0,09 . Une collectivit utilise 1000 machines de type M.Quelle est la probabilit qu'il y ait au moins 100 machines dont la dure de vie soit suprieure 14ans ? (On admet que la variable alatoire Zdiscrte, qui tout lot alatoire non exhaustif de 1000machines, associe le nombre de machines dont la dure de vie est suprieure 14 ans, peut treapproche par une loi normale dont on dterminera les paramtres).

Les calculs de probabilits seront donns sous forme de valeurs dcimales approches 310 prs.

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Ralisation d'ouvrages chaudronnes

Une entreprise produit en grande srie des cylindres mtalliques dont le diamtre, exprim enmillimtres, doit appartenir l'intervalle de tolrance : [190 , 194].

On considre que les cylindres dont le diamtre est infrieur 190 mm sont irrcuprables alors queceux dont le diamtre est suprieur 194 mm peuvent tre rusins et ne sont pas tous perdus.

A) On estime qu'il y a dans la production 5 % de dchets.

On tire n cylindres d'un lot contenant un trs grand nombre de cylindres (tirages assimils des tiragesindpendants). On appelleX la variable alatoire qui chaque preuve de ce type associe le nombrede cylindres irrcuprables.

1) Dans cette question on considre n = 5 .

a) Quelle est la loi de probabilit deX? Donner les paramtres de cette loi.

b) Calculer, 310 prs, la probabilitP(X= 2).

2) Dans cette question on considre n = 50. Quelle est la loi de probabilit suivie parX?

On admet que celle-ci peut tre approche par une loi de Poisson.

Dterminer son paramtre et calculer, 310 prs, la probabilitP(X 3).

B) Soit Y la variable alatoire qui, chaque cylindre, prlev au hasard dans la production, associeson diamtre, en millimtres.

On estime que la variable alatoire Ysuit la loi normale de paramtres :

= 192,16 et = 1,31.

On voudrait ramener le pourcentage de dchets 2,5 %, c'est dire obtenir la probabilit :

P(Y< 190) = 0,025 en changeant sans changer .

1) Calculer , 210 prs, la nouvelle valeur de .

2) En dduire dans ces conditions le pourcentage, sur une trs grande srie, de pices rusiner.

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Une entreprise produit en grande srie des pices cylindriques. Soit X la variable alatoire qui, chaque pice prleve au hasard dans la production, associe son diamtre, en millimtres. On admet

que la variable alatoireXsuit la loi normale de moyenne 61,5 mm et d'cart type 0,4 mm.

1) Dterminer, dans ces conditions, la probabilit qu'une pice, tire au hasard dans la production, aitun diamtre compris entre 60,4 mm et 62,6 mm.

2) Une pice est dclare dfectueuse si son diamtre est soit infrieur 60,4 mm soit suprieur 62,6mm. Calculer la probabilit qu'une pice, tire au hasard dans la production, soit dfectueuse.

3) On prlve 100 pices par tirages alatoires indpendants. Soit Y la variable alatoire qui, tout prlvement de ce type associe le nombre de pices dfectueuses. On admet que la loi deprobabilit de Ypeut tre approche par une loi de Poisson. On utilise cette approximation pourtoute la suite du problme.

a) Montrer que le paramtre de cette loi de Poisson est 0,6.

b) Calculer la probabilit d'obtenir 2 pices dfectueuses exactement.

c) Calculer la probabilit d'obtenir au moins 3 pices dfectueuses.

NB : les valeurs approches des probabilits seront donns 410 prs par dfaut.

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Mcanique et automatismes industriels

Une fabrique de desserts glacs dispose d'une chane automatise pour remplir et emballer descnes de glace.

Partie A

Chaque cne est rempli avec de la glace la vanille.

On dsigne parX la variable alatoire qui, chaque cne, prlev au hasard dans la production,associe la masse (exprime en grammes) de glace qu'il contient.

On suppose queXsuit la loi normale de moyenne = 100 et d'cart type .

1 Dans cette question, 22=

On choisit au hasard, un cne rempli de glace. Calculer 210 prs, la probabilit que la massede glace qu'il contient soit comprise entre 95g et 105g.

2 Un cne est considr comme "bon" lorsque la masse de glace qu'il contient appartient l'intervalle[95, 105]. Dterminer la valeur du paramtre telle que la probabilit de l'vnement "le cne est

bon" soit gale 0,95 (on donnera le rsultat avec deux dcimales).

Partie B

Les cnes de glaces sont emballs individuellement puis conditionns en lots de 2000 pour la vente engros (ces conditionnements sont assimils des prlvements avec remise).

On considre que la probabilit qu'un cne prsente un dfaut quelconque avant conditionnement engros est gale 0,0005.

On nomme Z la variable alatoire qui, chaque lot de 2000 cnes prlevs au hasard dans laproduction, associe le nombre de cnes dfectueux prsents dans le lot.

1 Quelle est la loi suivie par la variable alatoireZ?

2 On admet que la loi suivie parZpeut tre approche par une loi de Poisson.

a) Dterminer le paramtre de cette loi.

b) Si un client reoit un lot contenant au moins 5 cnes dfectueux, l'entreprise procde alors unchange de ce lot. Calculer la probabilit qu'un lot soit chang.

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Informatique de gestionCalcul des probabilits (TP2)

Les deux questions de lexercice sont indpendantes.

En priode de rentre scolaire, lassociation des tudiants dun lyce interroge les lves des sectionsde BTS sur lopportunit dun achat group, un prix promotionnel, de micro-ordinateurs depoche . 200 tudiants se dclarent intresss, mais on considre que la probabilit quun tudiantintress achte un ordinateur est gale 0,7. Dautre part, le choix de chaque tudiant se faitindpendamment de celui des autres.

1 Lassociation cherche tout dabord dterminer le nombre de machines quelle doit commander son fournisseur pour limiter le risque de rester avec des ordinateurs invendus. On appelle X lavariable alatoire gale au nombre dordinateurs commands par les 200 tudiants intresss.

a) Justifier queXsuit une loi binomiale dont on donnera les paramtres.

b) On convient, dans cette question, dapprocher la loi suivie parX par une loi normale

desprance mathmatique m et dcart type . On note Yla variable alatoire suivant cette loinormale.

Donner les valeurs de m et de (pour on donnera la valeur arrondie au centime).

En utilisant cette approximation, calculer la probabilit que le nombre dordinateurscommands par les 200 tudiants intresss soit infrieur ou gal 128 (on donnera unevaleur approche au centime).

Dterminer le nombre maximal N dordinateurs que lassociation doit commander aufournisseur pour que le risque de garder des machines invendues soit limit 1,5 %, cest--dire dterminer le plus grand entierNtel queP(Y N) 0,015.

2. Lassociation dcide finalement de commander 125 ordinateurs (quon supposera maintenant tous

vendus) et prend sa charge la garantie du matriel pendant 4 ans sous la forme suivante : chaquetudiant propritaire dune machine verse une somme de Xfrancs une caisse de lassociation quiassume alors le cot des rparations ventuelles. On supposera que :

- la probabilit quun ordinateur tombe en panne est de 0,04 et, sil est rpar une fois pendant cettepriode de 4 ans, il fonctionne alors correctement jusquau bout de cette priode ;

- les pannes ventuelles des 125 ordinateurs sont indpendantes les unes des autres ;

- le cot de chaque opration est fix forfaitairement 300 F.

a) On appelle Z la variable alatoire gale au nombre dordinateurs rparer pendant cettepriode de 4 ans.

Quelle est la loi suivie parZ? Donner ses paramtres.Dans la suite, on convient dapprocher la loi de Z par une loi de Poisson de paramtre .

b) Justifier que = 5 et dterminer, laide de la table de la loi de Poisson, le plus petit entiernaturel n tel que la probabilit de lvnement le nombre dordinateurs rparer pendant cette

priode de 4 ans est infrieur ou gal n est suprieure ou gale 0,99.

c) Soit S la variable alatoire gale au montant, en francs, de la caisse la fin des 4 ans.

Montrer que S= 125X- 300Z.

Dterminer la valeur minimale de Xpour que le risque que lassociation perde de largent soitlimit 0,01, cest--dire tel queP(S< 0) 0,01.

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lectrotechnique 2000 (Nouvelle Caldonie)Calcul des probabilits 1 (TP2 - TP4)

On produit en grande srie des tiges. chaque tige de la production on associe sa longueurx exprimeen millimtres. On dfinit ainsi une variable alatoireX. On admet queXsuit la loi normale demoyenne 171 et d'cart type 6,2.

1. On prlve, au hasard, une pice de la production.

1.1 Calculer la probabilit que la pice ait une taille infrieure 160 mm.

1.2 Calculer la probabilit que la pice ait une taille suprieure 195 mm.

2. Dterminer, avec la prcision permise par les tables, le rel rtel que : ( ) P X r =171 0,984 .

Donner la valeur approche de r une unit prs par excs.

3. Une pice est juge dfectueuse si sa longueur n'est pas lment de l'intervalle [156, 186].

3.1 Calculer, 10 3 prs, la probabilit qu'une pice prise au hasard dans la production soitdfectueuse.

3.2 On prlve, au hasard et avec remise, un chantillon de 20 tiges dans la production. On dsigneparYla variable alatoire prenant pour valeurs le nombre de tiges dfectueuses d'un telchantillon. Quelle est la loi de probabilit suivie par la variable alatoire Y. Calculer 10 3

prs, la probabilit que sur 20 tiges prleves, au plus 2 soient dfectueuses.

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Groupement A : lectrotechnique-Gnie optique-Techniques physiquespour l'industrie et le laboratoire 2001

Calcul des probabilits 1 (TP2 - TP4 - TP5)

Dans cet exercice, tous les rsultats seront donns 10 4 prs.

La question 3 peut tre traite indpendamment des questions 1 et 2.

Une entreprise produit des batteries de tlphone portable. Au cours de la production peuventapparatre deux dfauts indpendants que l'on appellera dfautA et dfautB.

La probabilit que le dfautA apparaisse vaut 0,02 et la probabilit que le dfautB apparaisse vaut0,01.

1 Calculer la probabilit qu'une batterie produite soit dfectueuse, c'est--dire qu'elle comporte aumoins un des deux dfauts.

2 On prlve au hasard dans la production un chantillon de 100 batteries. La production estsuffisamment importante pour que ce prlvement soit assimil un tirage avec remise.

SoitXla variable alatoire qui tout chantillon de taille 100 associe le nombre de batteriesdfectueuses.

a) Quelle est la loi de probabilit que suit la variable alatoireX? Donner son esprancemathmatique et sa variance.

b) On admet que la loi deXpeut tre approche par une loi de Poisson. Quel est le paramtre decette loi de Poisson ?

En utilisant cette approximation, calculer la probabilit que l'chantillon comporte plus de deuxbatteries dfectueuses.

3 On s'intresse dans cette question la dure de dcharge des batteries. On note Yla variablealatoire qui tout chantillon de 100 batteries associe la moyenne des dures de dcharge. Onadmet que la variable alatoire Ysuit la loi normale de paramtres m = 80 et = 0,4 .

a) Calculer la probabilit ( )P Y79 81 .

b) Dterminer le rel a tel que ( ) P Y a =0,95 . On donnera la valeur dcimale approche 10 2 prs par dfaut de a.

c) Calculer la probabilit de l'vnement " ( )Y80 sachant que ( )Y 79 ,34 ".

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Groupement B 2002 (sujet de secours)

Les deux parties A et B sont indpendantes.

Dans cet exercice l'unit de longueur est le millimtre.

Une machine fabrique en grande srie un certain type de pices rectangulaires en tle.

A - On note L la variable alatoire qui, toute pice prleve au hasard dans la production d'unejourne, associe sa largeur. On admet queL suit la loi normale de moyenne 58,11 et d'cart type 0,15.

1. Dterminer la probabilit 1p qu'une pice prleve au hasard dans cette production ait une largeur

comprise entre 57,90 et 58,30. Arrondir 410 .

2. Une pice a une largeur acceptable lorsque celle-ci est suprieure 57,90 (les pices trop largespouvant tre recoupes). Dterminer la probabilit

2

p qu'une pice prleve au hasard dans cette

production ait une largeur acceptable. Arrondir 310 .

B - On suppose maintenant que la probabilit qu'une pice prleve au hasard dans la production d'unejourne soit dfectueuse est 0,06. On prlve au hasard 50 pices. La production est assez importantepour qu'on puisse assimiler ce prlvement un tirage de 50 pices avec remise. On note Xla variablealatoire qui, tout chantillon de 50 pices ainsi prleves, associe le nombre de pices dfectueuses.

1. Expliquer pourquoiXsuit une loi binomiale. En dterminer les paramtres.

2. Dterminer la valeur approche arrondie 310 de la probabilit de chacun des vnementssuivants :

1E : l'chantillon ne comporte aucune pice dfectueuse ;

2E : l'chantillon comporte une seule pice dfectueuse ;

3E : l'chantillon comporte au moins deux pices dfectueuses .

3. On admet que la loi suivit parXpeut tre approche par une loi de Poisson de mme esprancemathmatique.

a) Dterminer le paramtre de cette loi.

En utilisant cette loi, dterminer la nouvelle probabilit de chacun des trois vnements dfinis laquestion 2. Arrondir 210 .

lois, problèmes de synthèse

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