lois de paroi d'ordre élevé pour les écoulements fluides

Lois de paroi d’ordre élevé pour lesécoulements fluides dans un canal rugueux:

approche unifiée et nouveaux résultats

Didier Bresch Vuk Milišic

Département Modèles et Algorithmes DéterministesLaboratoire Jean Kuntzmann

Informatique et Mathématiques Appliquées de GrenobleFrance

1er fevrier 2007

D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités

Avant propos

Cardiatis R©: conception et commercialisation de stents métalliquesmulti-couche Image 3D

Nouvelle technologieOn contrôle

- Le nombre de couches- Leur connectivité

Les expériences in vivo sur les cochons-nains:

pas de thrombus → 6 moisImages Dissections

Phénomène multi-echelle qui repose sur:- l’hémodynamique- les réactions chimiques entre le sang et les tissus des parois

Etude théorique & numerique de l’hémodynamique


Description du problème

Les propriétés géometriques du problème- Diamètre de l’artère fémorale: ∅A = 6mm- Epaisseur totale du stent: ε = 0.25mm- Epaisseur d’une spire métallique: ε = 0.04mm- Diamètre d’un globule rouge: ∅RC = 0.008mm

ε

∅A=

0.256

∼ 4%

Stent ∼ paroi rugueuse périodique dans géométrie cylindriquerectiligneLe sang dans l’artère

- Ecoulement permanent établi:profil de Poiseuille

- Plus perturbation périodique du au pouls:perturbation par le profil de Womersley

Première étape: Etude du profil de Poiseuille rugueux


Objectifs et références-On veut

comprendre la dynamique des écoulements dans conduitsrugueux =⇒ Correcteurs couche limiteéviter de discrétisation coûteuse de la paroi =⇒ Lois de paroiinclure les echelles microscopiques dans l’écoulement dePoiseuille macro =⇒ Aspects multi-échelles

Donc développements asymptotiquesadaptés pour les frontières rugueuses.

-Travaux de référence

W. Jäger, et A. Mikelic,On the roughness-induced effective boundary condition for anincompressible viscous flowJ. Diff. Equa. 2001

Y. Achdou, P. Le Tallec, F. Valentin, et O. Pironneau,Constructing wall laws with domain decomposition or asymptoticexpansion techniquesComput. Methods Appl. Mech. Eng. 1998


Plan de l’exposé

1 Problème simplifié et outils existants

2 Approche unifiée

3 Approximations d’ordre élevé

4 Loi de paroi multi-échelle et implicite

5 Les conditions sur l’entrée et la sortie du canal

6 Validation numérique


Le problème simplifié

Ecoulement: laminaire a priori

NavierStokes Poisson

Stokes

+

Plaques

Le problème simplifié

−∆u = C, ∀x ∈ Ωε,

u = 0, ∀x ∈ Γε ∪ Γ1,

u est x1 − periodique

u est la composante axialede la vitesse

x2

Ωε

x2 = 0

x2 = 1 Γ1

Γε

x1

x1 = 0 x1 = LC représente la composante axiale de −∇p du problème deStokes


Notations & Méthodologie

x2

Ω0

Γ1

Γ0x1

x2

Ωε

x2 = 0

x2 = 1

Z +

P

y2

y1

n

τ

Γ

Γ1

P0Γε

x1

x1 = 0 x1 = L

Γin Γout

Construction d’un Correcteur Couche Limite Complet (CCLC):

approximation sur Ωε

Dérivation d’une Loi de Paroi (LP):

approximation sur Ω0

Ω0 domaine lisse, Γ0 interface fictive, x var. lente, y var. rapide


La théorie de Jäger et Mikelic IL’approximation par couche limite

Le profil de Poiseuille

u0 =

C2

(1− x2) x2, ∀x ∈ Ω0,

0, ∀x ∈ Ωε \ Ω0

Saut du gradient dans la direction normale à Γ0

Le correcteur couche limite (CCL) s’en charge

−∆β = 0, ∀y ∈ Z+ ∪ P,[∂β

∂y2

]= 1, ∀y ∈ Γ,

β = 0, ∀y ∈ P0,

β periodique en y1

Mais β(y1, y2) → β = 12π

∫ 2π

0 β(α, 0)dα quand y2 → +∞

u1,1J = u0χ[Ω0]




u0 =

C2

(1− x2) x2, ∀x ∈ Ω0,

0, ∀x ∈ Ωε \ Ω0



−∆β = 0, ∀y ∈ Z+ ∪ P,[∂β

∂y2

]= 1, ∀y ∈ Γ,

β = 0, ∀y ∈ P0,

β periodique en y1

Mais β(y1, y2) → β = 12π

∫ 2π


u1,1J = u0χ[Ω0] + ε

∂u0

∂x2(x1, 0)

(β

(xε

)D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités



u0 =

C2

(1− x2) x2, ∀x ∈ Ω0,

0, ∀x ∈ Ωε \ Ω0



−∆β = 0, ∀y ∈ Z+ ∪ P,[∂β

∂y2

]= 1, ∀y ∈ Γ,

β = 0, ∀y ∈ P0,

β periodique en y1

Mais β(y1, y2) → β = 12π

∫ 2π


u1,1J = u0χ[Ω0] + ε

∂u0

∂x2(x1, 0)

(β

(xε

)− βχx2>0


La théorie de Jäger et Mikelic IIL’approximation par couche limite

u1,1J = u0χ[Ω0]+ε

∂u0

∂x2

(β − βχx2>0

)

+βε∂u0

∂x2(1−x2)χx2>0

Mais cette approximation est discontinue sur Γ0:

ajout de d , le “contre-flot” solution de−∆d = 0, ∀x ∈ Ω0,

d = 0, ∀x ∈ Γ1,

d = 1, ∀x ∈ Γ0

L’erreur sur le saut est formellement d’ordre O(ε).



u1,1J = u0χ[Ω0]+ε

∂u0

∂x2

(β − βχx2>0

)+βε

∂u0

∂x2(1−x2)χx2>0

Mais cette approximation est discontinue sur Γ0:ajout de d , le “contre-flot” solution de

−∆d = 0, ∀x ∈ Ω0,

d = 0, ∀x ∈ Γ1,

d = 1, ∀x ∈ Γ0




u1,1J = u0χ[Ω0] + ε

∂u0

∂x2

(β − βx2χx2>0

)Mais cette approximation est discontinue sur Γ0:ajout de d , le “contre-flot” solution de

−∆d = 0, ∀x ∈ Ω0,

d = 0, ∀x ∈ Γ1,

d = 1, ∀x ∈ Γ0



La théorie de Jäger et Mikelic IIILes estimations

On se donne:l’erreur d’ordre zero W 0 = uε − u0∥∥W 0

∥∥H1(Ωε)

≤√

ε∥∥W 0∥∥

L2(Ω0)≤ ε

l’erreur au premier ordre W 1 = uε − u1,1J∥∥W 1

∥∥H1(Ωε)

≤ ε∥∥W 1∥∥

L2(Ω0)≤ ε

32

Les preuves reposent sur→ Les estimations a proiri de base sur Ωε

→ Poincaré sur Ωε \ Ω0

→ Le problème adjoint sur Ω0


Lois de paroi I

Réécriture de la solution comme somme de composantesmacro (→ variables lentes)micro (→ variables rapides) de moyenne micro nulle

u1,1J = u0χ[Ω0] + βε

∂u0

∂x2(1− x2)χx2>0

+ ε∂u0

∂x2

(β

(xε

)− βχx2>0

)On moyenne sur une période de la variable rapide :

u1 ≡ u1,1J = u0χ[Ω0] + βε

∂u0

∂x2(1− x2)χx2>0

et u1 résout le pbm macro :−∆u1 = C, ∀x ∈ Ω0,

u1 = εβ∂u1

∂x2+ 0(ε2), ∀x ∈ Γ0,

u1 = 0, ∀x ∈ Γ1,


Lois de paroi I


u1,1J = u0χ[Ω0] + βε

∂u0

∂x2(1− x2)χx2>0 + ε

∂u0

∂x2

(β

(xε

)− βχx2>0

)

On moyenne sur une période de la variable rapide :

u1 ≡ u1,1J = u0χ[Ω0] + βε

∂u0

∂x2(1− x2)χx2>0


u1 = εβ∂u1

∂x2+ 0(ε2), ∀x ∈ Γ0,

u1 = 0, ∀x ∈ Γ1,


Lois de paroi I


u1,1J = u0χ[Ω0] + βε

∂u0

∂x2(1− x2)χx2>0 + ε

∂u0

∂x2

(β

(xε

)− βχx2>0

)On moyenne sur une période de la variable rapide :

u1 ≡ u1,1J = u0χ[Ω0] + βε

∂u0

∂x2(1− x2)χx2>0


u1 = εβ∂u1

∂x2+ 0(ε2), ∀x ∈ Γ0,

u1 = 0, ∀x ∈ Γ1,


Lois de paroi II

Résultats de convergence∥∥uε − u1∥∥

L2(Ω0)≤

∥∥∥uε − u1,1J

∥∥∥L2(Ω0)

+∥∥∥u1,1

J − u1∥∥∥

L2(Ω)

≤∥∥W 1

∥∥L2(Ω0)

+ εK∥∥β − β

∥∥L2(Ω0)

≤ K ε32 + K ′ε

32

Parce que ∥∥β − β∥∥

L2(Ω0)≤ ε

12


L’approche d’Achdou et al.

Extension linéaire dans la région rugueuse

u0 =

[C2

(1− x2) x2

]χ[Ω0] +

[∂u0

∂x2x2

]χΩε\Ω0 ≡ u0

[ext]

Pas besoin de corrections du saut de ∇u à travers Γ0

=⇒ mais corriger u sur la frontère Γε

Résolution du problème cellule−∆β = 0, ∀y ∈ Z+ ∪ P,

β = −y2, ∀y ∈ P0,

Résultats numériques pour NS stationnaire pour Re ∼ 1ε

Pas de différence entre lois de paroi du premier et du secondordre

u1,1A = u0

[ext]

+ ε∂u0

∂x2(x1, 0)

(β − β

)+ βε

∂u0

∂x2(1− x2)




u0 =

[C2

(1− x2) x2

]χ[Ω0] +

[∂u0

∂x2x2

]χΩε\Ω0 ≡ u0

[ext]




β = −y2, ∀y ∈ P0,



u1,1A = u0

[ext] + ε∂u0

∂x2(x1, 0)

(β − β

)

+ βε∂u0

∂x2(1− x2)




u0 =

[C2

(1− x2) x2

]χ[Ω0] +

[∂u0

∂x2x2

]χΩε\Ω0 ≡ u0

[ext]




β = −y2, ∀y ∈ P0,



u1,1A = u0

[ext] + ε∂u0

∂x2(x1, 0)

(β − β

)+ βε

∂u0

∂x2(1− x2)


Notre motivation

1 Trouver le lien entre les deux approches

2 Approximations d’ordre élevéExplicite

-> Dérivation-> Taux de convergence

Implicite-> Dérivation-> Taux de convergence


Connection entre Jäger et al et Achdou et alFormellement

De manière évidente:

u0A = u0

J + x2∂u0

∂x2(x1, 0)χΩε\Ω0

De façon moins évidente:Le pbm cellule de Jäger = relèvement particulier du pbmd’Achdou

βJ = βA + y2χP

De plusβJ = βA

Alors

u1,1J = u1,1

A + ε∂u0

∂x2βχ[Ωε\Ω0]x2


Connection entre Jäger et al et Achdou et alConvergence

Localisation dans Ωε \ Ω0 de la différence

u1,1J = u1,1

A + ε∂u0

∂x2βχ[Ωε\Ω0]x2

implique que

Proposition ∥∥∥u1,1J − u1,1

A

∥∥∥H1(Ωε)

≤ Cε32

-> Même ordre de convergence par rapport à uε

-> Même loi de paroi-> Mais technique de Achdou et al. plus facile à étendre

aux ordres supérieurs.


Approximation 1er ordre exacte sur Γε

A partir de l’approximation précédenteLe reste O(ε2) mais l’erreur est linéaire sur Γε

Comme β ∈ [0, 1],

u1,1 = u0ext + ε

∂u0,ε

∂x2

(β

(xε

)− βx2

)

L’approximation est exacte sur Γε

u1,∞ = 0, ∀x ∈ Γε

On a éliminé l’erreur sur Γε mais il reste encore les erreursPollution sur Γ1

Linéarisation du profil dans Ωε \ Ω0




Comme β ∈ [0, 1], on peut recommencer indéfiniment

u1,1 = u0ext + ε

∂u0,ε

∂x2

(β

(xε

)− βx2

)

L’approximation est exacte sur Γε

u1,∞ = 0, ∀x ∈ Γε






Comme β ∈ [0, 1], ce qui donne :

u1,∞ = u0ext +

ε

1 + εβ

∂u0,ε

∂x2

(β

(xε

)− βx2

)L’approximation est exacte sur Γε

u1,∞ = 0, ∀x ∈ Γε




Propriétés et estimations

L’approximation u1,∞ est solution de−∆u1,∞ = Cχ[Ωε\Ω0], ∀x ∈ Ωε,

u1,∞ = 0, ∀x ∈ Γε,

u1,∞ =ε

1 + εβ

∂u0,ε

∂x2

(β − β

), ∀x ∈ Γ1,

Proposition

On pose W 1,∞ = uε − u1,∞∥∥W 1,∞∥∥H1(Ωε)

≤ C1ε + C2e−1ε

l’erreur est seulement due au terme source

On a besoin de l’approximation 2nd ordre


Approximation d’ordre deuxConstruction formelle

Extension du profil de Poiseuille sur tout Ωε.

u0ext(x) =

C2

(1− x2)x2, ∀x ∈ Ωε

Sur Γε, on a

u0ext = ε

∂u0

∂x2

(xε

)︸︷︷︸

corrigé par CCL 1er o.

+ε2

2∂2u0

∂x22

(xε

)2

pbm cellule du 2nd ordre−∆γ = 0, ∀y ∈ Z+ ∪ P,

γ = −y22 , ∀y ∈ P0,

Approximation macroscopique du 2nd ordre

u2,∞ = u0ext+

ε

1 + εβ

∂u0

∂x2

(β

(xε

)− βx2

)+

ε2

2∂2u0

∂x22

(γ

(xε

)2− γx2


Approximation d’ordre deuxSérie exacte et résultat de convergence

On itère jusqu’à ce que l’approx. soit exacte sur Γε

u2,∞ = u0ext

+ε

1 + εβ

∂u0

∂x2

(β

(xε

)− βx2

)+

ε2

2∂2u0

∂x22

[(γ

(xε

)2− γx2

)− γ

ε

1 + εβ

(β

(xε

)− βx2

)]

Proposition

On pose W 2,∞ = uε − u2,∞,∥∥W 2,∞∥∥H1(Ωε)

≤ Ce−1ε ,∥∥W 2,∞∥∥

L2(Ω0)≤ C

√εe−

1ε


Loi de paroi du 2nd ordre

On sépare les variables micro des variables oscillation rapide

u2,∞ = u2 + ε∂u2

∂x2

(β

(xε

)− β

)+

ε2

2∂2u2

∂x2

(γ

(xε

)− γ

)où u2 est explicite et satisfait

−∆u2 = C, ∀x ∈ Ω0

u2 = εβ∂u2

∂x2+

ε2

2γ

∂2u2

∂x22

, ∀x ∈ Γ0,

u2 = 0,∀x ∈ Γ1

Proposition (Estimation d’erreur)

On pose W 2 = uε − u2 = uε − u2,∞ + u2,∞ − u2

∥∥W 2∥∥

L2(Ω0)≤

∥∥W 2,∞∥∥L2(Ω0)

+ C′ε[∥∥β − β

∥∥L2(Ω0)

+ ε‖γ − γ‖L2(Ω0)

]D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités

Loi de paroi du 2nd ordre

On sépare les variables micro des variables oscillation rapide

u2,∞ = u2 + ε∂u2

∂x2

(β

(xε

)− β

)+

ε2

2∂2u2

∂x2

(γ

(xε

)− γ

)où u2 est explicite et satisfait

−∆u2 = C, ∀x ∈ Ω0

u2 = εβ∂u2

∂x2+

ε2

2γ

∂2u2

∂x22

, ∀x ∈ Γ0,

u2 = 0,∀x ∈ Γ1

Proposition (Estimation d’erreur)

On pose W 2 = uε − u2 = uε − u2,∞ + u2,∞ − u2∥∥W 2∥∥

L2(Ω0)≤ Ke−

1ε + K ′ε

32


Conclusion partelle: résultat négatif

Il est impossible d’atteindre des ordres de convergence élevéssans inclure l’influence microscopique des CCL

Simulations numériques dans Achdou et al.:pas de différences entre lois de paroi 1er et 2nd ordres:pas d’explication.

On cherche des approximations incluantles oscillations microscopiques des CCL


Lois de paroi multi-échelle d’ordre unDérivation formellle

L’approximation u1,∞ = u1 + ε∂u1

∂x2

(β

( xε

)− β

)résout

−∆u1,∞ = C, ∀x ∈ Ω0,

u1,∞ = ε∂u1

∂x2β

(xε

), ∀x ∈ Γ0

Mais le CCL pollue sur Γ1

Nouvelle loi de paroi−∆U = C, ∀x ∈ Ω0,

U = ε∂u1

∂x2β

(xε

), ∀x ∈ Γ0

U = 0, ∀x ∈ Γ1

Proposition

On pose W 1bl = uε − U = uε − u1,∞ + u1,∞ − U

‖uε − U‖L2(Ω0) ≤∥∥W 1,∞∥∥

L2(Ω0)+

∥∥u1,∞ − U∥∥

L2(Ω0)


Lois de paroi multi-échelle d’ordre unDérivation formellle

L’approximation u1,∞ = u1 + ε∂u1

∂x2

(β

( xε

)− β

)résout

−∆u1,∞ = C, ∀x ∈ Ω0,

u1,∞ = ε∂u1

∂x2β

(xε

), ∀x ∈ Γ0

Mais le CCL pollue sur Γ1

Nouvelle loi de paroi−∆U = C, ∀x ∈ Ω0,

U = ε∂u1

∂x2β

(xε

), ∀x ∈ Γ0

U = 0, ∀x ∈ Γ1

Proposition

On pose W 1bl = uε − U = uε − u1,∞ + u1,∞ − U

‖uε − U‖L2(Ω0) ≤ Cε32 + C′e−

1ε


Lois de paroi multi-échelle d’ordre deux

De la même manière−∆V = C, ∀x ∈ Ω0,

V = ε∂u2

∂x2β

(xε

)+

ε2

2∂2u2

∂x22

γ(x

ε

), ∀x ∈ Γ0

V = 0, ∀x ∈ Γ1

Proposition

Si on pose W 2bl = uε − V, on a∥∥W 2

bl

∥∥L2(Ω0)

≤ Ce−1ε

Conclusion:

Pour l’écoulement de Poiseuille V est exponentiellement prochede la solution du problème rugueux


Loi de paroi multi-échelle et impliciteDérivation

Lois de Paroi standard: implicites mais pas multi-échelleLois précédentes multi-échelle mais explicites

nécessité de calculer u1 ou u2, β ou γ.

Existe-t-il une loi multi-échelle et implicite ?On propose de résoudre

−∆Υ = C, ∀x ∈ Ω0,

Υ = εβ(x1

ε, 0)

∂Υ

∂x2, ∀x ∈ Γ0,

Υ = 0, ∀x ∈ Γ1,

On a besoin seulement de β( x1ε , 0).

A-t-on convergence ?


Loi de paroi multi-échelle impliciteConvergence

ThéorèmeHypothèses:

P0 suffisamment régulierP0 ne touche pas Γ

on pose W 1bl,i = uε −Υ,

Alors on a : ∥∥W 1bl,i

∥∥L2(Ω0)

≤ K ε32 .

où K constante indépendante d’ε.

Idée de la preuve1 Décomposer W 1

bl,i = uε − U + U −Υ ≡ W 1bl + Θ

2 Se ramener à un problème de Robin sur Θ

3 Utiliser les résultats de convergence sur lois de paroi u1,U


Conditions aux limites verticales

Jusqu’ici: périodique en x1−∆u = C, ∀x ∈ Ωε,

u = 0, ∀x ∈ Γε ∪ Γ1,

u est x1 − periodique

Que se passe-t-il si à la place on veut imposer Neumanhomogène ?

−∆u = C, ∀x ∈ Ωε,

u = 0, ∀x ∈ Γε ∪ Γ1,

∂u∂x1

= 0, sur Γin ∪ Γout

Clairement, le CCL complet

u1,∞ = u1 + ε∂u1

∂x2(x1, 0)

(β

(xε

)− β

)ne satisfait pas Neuman homogène

Des termes lateraux apparaissent dans toutes les estimations àpriori

On a besoin de CCL verticauxD.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités

CCL vertical IProblèmatique

Relèvement sDirichletSi on pose w = u − s où s = g sur le bord

−∆w = f + ∆s,

=⇒ (∇w ,∇v) = l(v) +

(∂s∂n

, v)

+ (∇s,∇v), ∀v ∈ H10

On estime seulement ‖∇s‖L2 .

Neuman, ∂s∂n = ∂u

∂n

−∆w = f + ∆s, =⇒ (∇w ,∇v) = l(v) +

(∂s∂n

, v)

+ (∇s,∇v)

car v /∈ H10 . Le terme de bord reste sauf si le relèvement est

lui-même solution

Jäger & Mikelic: s localisé près du bord, norme H1 de l’erreurjudicieuse au premier ordre∥∥∥∥ ∂s

∂n

∥∥∥∥H−

12 (Γin)

≤ ε




−∆w = f + ∆s,

=⇒ (∇w ,∇v) = l(v)

+

(∂s∂n

, v)

+ (∇s,∇v), ∀v ∈ H10

On estime seulement ‖∇s‖L2 .Neuman, ∂s

∂n = ∂u∂n

−∆w = f + ∆s, =⇒ (∇w ,∇v) = l(v) +

(∂s∂n

, v)

+ (∇s,∇v)


lui-même solution

Jäger & Mikelic: s localisé près du bord, norme H1 de l’erreurjudicieuse au premier ordre∥∥∥∥ ∂s

∂n

∥∥∥∥H−

12 (Γin)

≤ ε




−∆w = f + ∆s,

=⇒ (∇w ,∇v) = l(v)

+

(∂s∂n

, v)

+ (∇s,∇v), ∀v ∈ H10

On estime seulement ‖∇s‖L2 .Neuman, ∂s

∂n = ∂u∂n

−∆w = f + ∆s, =⇒ (∇w ,∇v) = l(v) +

(∂s∂n

, v)

+ (∇s,∇v)


lui-même solutionJäger & Mikelic: s localisé près du bord, norme H1 de l’erreurjudicieuse au premier ordre∥∥∥∥ ∂s

∂n

∥∥∥∥H−

12 (Γin)

≤ ε


CCL vertical IINouvelle approche

On corrige en micro sur le domaine semi-infini Π+ (k → +∞)y2

E

B

Z+

PΓ

Z+ + e1

P + e1 y1P + ke1. . .

Z+ + ke1

Γ

Π+ −∆τin = 0, dans Π+,

∂τin

∂n=

∂β

∂n(0, y2) sur E

τin = 0, sur B

Au premier ordre on écrit alors

u1,∞ = u1 + ε∂u1

∂x2(x1, 0)

(β

(xε

)− β − (τin + τout)

(xε

))u2,∞ = u2 + ε

∂u2

∂x2(x1, 0)

(β

(xε

)− β − (τin + τout)

(xε

))+

ε2

2∂2u2

∂x22

(γ

(xε

)− γ − (ϑin + ϑout)

(xε

))D.Bresch & V. Milišic Lois de parois d’ordre élevé pour un écoulement avec ruguosités

CCL vertical IILes nouvelles lois de paroi multi-échelle

ExpliciteAu premier ordre

−∆U = C, ∀x ∈ Ω0,

U = ε∂u1

∂x2(x1, 0) (β − (τin + τout))

(x1

ε, 0

), ∀x ∈ Γ0,

U = 0, ∀x ∈ Γ1,∂U∂n

= 0 sur Γin ∪ Γout

Implicte−∆Υ = C, ∀x ∈ Ω0,

Υ = ε(β − (τin + τout))(x1

ε, 0

) ∂Υ

∂x2, ∀x ∈ Γ0,

Υ = 0, ∀x ∈ Γ1,∂Υ

∂n= 0 sur Γin ∪ Γout

Mêmes résultats de convergence sous condition de decroissancesuffisante à l’infini des τin + τout


Validation numériqueLe cas 2D

Calcul solution exacte uε∆

Canal rugueux longueur fixée L = 10,Frontière rugueuse périodique,

P0 = y ∈ R / y2 = −cos(y1)/2 − 12 − δ, δ = 5e − 2,

rheolef code éléments finis 2DCalcul sur une seule cellule macro

Construction d’une sol. approchée1 Les problèmes cellule β∆, γ∆

2 Extraire info pértinente

u1 β U β(y1, 0), β, ∂u0

∂x2

u2 β, γ V β(y1, 0), β, γ(y1, 0), γ, ∂u0

∂x2, ∂2u0

∂x22

Υ β∆(y1, 0)

3 Calcul des solutions macro sur le domaine lisse Ω0

Faire varier ε

Calcul de l’erreur sur le domaine entier (0, L)× (0, 1)


Estimations d’erreuren norme L2(Ω0)

0.001

0.01

0.1

1

10

0.1 1ε

uε∆ − u0

∆

uε∆ − u1

∆

uε∆ − u2

∆

uε∆ −Υ∆

uε∆ − U∆

uε∆ − V∆


Estimations d’erreuren norme L2(Ω0)

Si on pose ∥∥W i∥∥

L2(Ω0)= Cεαi

approx. α

uε∆ − u0

∆ 1.11uε

∆ − u1∆ 1.4786

uε∆ − u2

∆ 1.3931uε

∆ − V∆ 1.768uε

∆ − V∆ 2-3.6uε

∆ −Υ∆ 1.6227

Ces estimations ne sont pas optimales:errors de projection de uε sur les maillages des solutions approx

macro


Conclusions & perspectives

Conclusions1 Le cas linéaire: pleine compréhension des mécanismes des CCL2 Pas de loi de paroi moyennée d’ordre élevé3 Premier ordre implicite incluant les oscillations4 Preuve numérique de l’optimalité des résultats théoriques

Perspectives- Perturber→ flux→ géometrie

- Flot de Womersley- Le cas non-linéaire- Les géométries spécifiques des stents multi-couche de Cardiatis

Remerciementsoutien financier de Cardiatis


lois de paroi d'ordre élevé pour les écoulements fluides

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