lois de comportement pour le calcul de structures sous

ColloqueMECAMAT–FatiguedesStructuresetdesMatériaux–24-27janvier2017

Loisdecomportementpourlecalculdestructuressouschargementcyclique:choixetinfluencesurlesréponses

asymptotiques

E.Charkaluk

LaboratoiredeMécaniquedesSolides,UMRCNRS7649EcolePolytechnique,Palaiseau

RésuméOnaborde ici lamodélisationducomportementélasto(visco)plastiquedematériauxenvuedeladéterminationdesréponsesasymptotiquesdestructuressoumisesàdeschargementscycliques. On insiste sur les concepts d’écrouissage, sur les effets liés à la structure(contraintesrésiduelles,écrouissagestructurel)etsurl’influencedecesdifférentsaspectssurles réponses asymptotiques. Même si le cadre est très général, tous ces aspects ont étéprincipalementdéveloppéspourlesmatériauxmétalliques.

Motsclés:écrouissage;adaptation;contraintesrésiduelles;structures1.IntroductionLaplupartdescritèresd’amorçageenfatigue,qu’ilssoientassociésàdelafatigueàgrandsoufaiblesnombres de cycles, supposent une réponse dite «stabilisée» de la structure, c’est à dire uneadaptation élastique ou une accommodation plastique, et c’est cette réponse qui est ensuiteanalysée [MOR 05, SOC 99]. De plus, il est bien connu qu’en fatigue, la présence de contraintesrésiduelles,héritéesleplussouventduprocédédefabrication,affecteconsidérablementlesduréesdevie.Ainsi,quecesoitpourladéterminationdeceschampsdecontraintesrésiduellesoupourladétermination des réponses asymptotiques, le dimensionnement de structures, a minimamétalliques, sous chargements cycliques fait généralement appel à une modélisationélasto(visco)plastiqueducomportementdumatériau.Onseplacedoncicidanslecadrerestreintdesmatériauxmétalliquesquiagénéralementdictélesmodèlesetconceptsdiscutés,maiscesdernierspeuventcependantsouventêtregénéralisésàd’autresclassesdematériaux.Danscecadre,si lesnotionsdecritèresetsurfacesdeplasticitésontdéjàtrèsanciennes(voir[LUB08] pour un large survol de la plasticité), les principaux travaux s'intéressant à la modélisationélastoviscoplastique du comportement des matériaux sous chargement cyclique ont réellementdébuté avec l'essor des industries nucléaire et aéronautique. On retiendra les travaux de Prager[PRA58], Armstrong et Frederick [ARM66], Lemaitre et Chaboche [résumés dans LEM85] sur lamodélisation de l'écrouissage, de Lemaitre [LEM71], Chaboche [CHA77], Cailletaud [CAI79],Sehitoglu[SEH89] sur les lois viscoplastiques à écrouissage cinématique et isotrope ou encore deCailletaud [CAI95] sur la généralisation de ces lois avec plusieurs potentiels de dissipation. D’unemanièregénérale,onpeutseréféreràLemaitreetChaboche[LEM85],Françoisetal.[FRA94]ainsiqu'àBessonetal.[BES01]pouruneprésentationgénéraleducadredemodélisation.


2.Modélisationducomportementélasto(visco)plastique

2.1 CadregénéralDanstoutcequisuit,lecadregénéraldelaviscoplasticitéestretenu,laplasticitéenconstituantuncas limite. La modélisation du comportement élastoviscoplastique des matériaux suppose derépondre à deux questions[SUQ 04] : quand a lieu l’écoulement viscoplastique et comments’effectue-t-il?Laréponseà lapremièrequestionest liéeà lanotiondesurfaceseuil (oufonction,surfacedecharge,généralementnotée f )etlaseconderéponseestliée,poursimplifier,àlanotionde loi d’écrouissage faisant intervenir les déformations viscoplastiques. On a généralementl’habitudedes’appuyersurdescomportementscaractériséspardesloisnefaisantintervenirqu’uneseuledéformationviscoplastique[LEM85],maiscelan’estenrienrestrictif.L'écrouissage,quant à lui, est généralementdécomposéenunepart isotrope,qui correspondà lavariationdelatailledelasurfaceseuilaprèsdéformationetquiestunscalairesouventnoté R ,etenunepartcinématique,quicorrespondaudéplacementducentredelasurfaceseuildansl'espacedescontraintesetquiestuntenseursouventnoté X .Cecadrepermetalorsdeprendreencompte,

entreautresetplusoumoinsbien,leseffetsderochet[CHA91,OHN93]ouencoredevieillissementliés à des changementsmicrostructuraux [CAI79,NIC99, SMI99] par l'ajout de variables internes.Une synthèse très complète a été réalisée par Chaboche [CHA08]. L'ensemble des travauxprécédemmentcitésamontréque,danslecasgénéral,unereprésentationsuffisammentcomplèteducomportementplastiqueouviscoplastiquedenombreuxmatériauxmétalliquesfaisaitappelàunécrouissageisotropeetàunouplusieursécrouissagescinématiques,tousnonlinéaires.Nous nous plaçons cependant ici dans un cadre plus simple en découplant les modèles decomportementdeceuxassociésauxchangementsmicrostructuraux,à l’endommagement,etenneconsidérant pas explicitement les couplages physicochimiques (oxydation par exemple). Le cadreretenu,sousl’hypothèsedespetitesperturbations,correspondalorsauxhypothèsessuivantes.Letenseurdesdéformationstotalessedécomposedemanièreadditiveentroisparties:

ε = ε e +ε an +ε th [1]

où ε e , ε an , ε th sont respectivement les tenseurs de déformation élastique, anélastique et

thermique.La fonction de charge f choisie pour décrire la frontière du domaine élastique correspond ici aucritèredevonMises:

f = J2 A( )− R [2]

où J2 A( ) = 32A : A et A = dev σ( )− X . X est ici considéré purement déviatorique car la

déformationplastiqueestsupposées’effectuersanschangementdevolume.Danslecasdesmatériauxstandardsgénéralisés[HAL75],onpeutmontrerquelesloisd’écoulementanélastiques !ε an respectent alors la règle de normalité qui s’écrit sous la forme d'un scalaire, le

multiplicateurviscoplastique !λ ,portéparunedirectionnormaleàlasurfacedechargedansl’espacedesdéviateurs:

!ε an =!λAA

[3]

Dans le cas desMSG, cette relation découle de la définition de la surface de charge et la loi est diteassociée.Cetterelationestgénéraliséedanslecasdesmodèlesnonassociés.


2.2 Modélisationdel’écrouissage

2.2.1Elastoplasticité

Ainsi,sousceshypothèses,unmodèledésormaisclassiquedeplasticitéàécrouissagescinématiqueetisotropenonlinéaires[LEM85]estdéfiniparleséquationssuivantes:

R = R0 + g p( )

!X = 23C !α avec !α = !ε an −

32γCX !p

⎧

⎨⎪

⎩⎪

[4]

oùC etγ sontlesparamètresliésàl’écrouissage,R0 estlalimited’élasticitéinitiale, g p( ) estune

fonction non linéaire de la déformation plastique cumulée définie par p = 23!ε an : !ε an

0

t

∫ dt et le

multiplicateur anélastique !λ est déterminé par la condition de cohérence vérifiée à tout instant,!f = 0 .Cemodèleestaujourd’huitrèslargementutilisédanslecalculdestructure,saprésencedanslaplupartdescodesdecalculparélémentsfinisenexpliqueenpartie lesuccès.Onpeuttoutefoisnoter son incapacité à représenter correctement les effets de rochet, c’est à dire de déformationprogressive de la structure.On pourra se reporter pour cela à [POR 00] qui fait une comparaisonintéressanted’uncertainnombredeloisd’écrouissageutiliséesdanscecasprécisetmontre,danslecas d’essaismultiaxiaux, l’influence considérable de la loi d’écrouissage sur les vitesses de rochetsimulées,comparéesauxrésultatsexpérimentaux.Cetyped’essai,nontrivial,peutdoncêtretoutàfaitpertinentetdiscriminantdanslechoixd’uneloid’écrouissage.2.2.2Elastoviscoplasticité

Demême,unmodèlesimpledeviscoplasticitéàécrouissagecinématiquelinéaireetàviscositénonlinéairedutypeNorton-Hoffseradéfiniparlegrouped’équationssuivant:

R = R0!X =C !ε an

!λ = 32

J2 A( )− RK

n

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

[5]

où K et n sont les paramètres liés à la viscosité et − sont les crochets de Mc Caulay qui

indiquent que u = u si u > 0 , sinon 0. Ces modèles de plasticité et de viscoplasticité sont

largementdiscutésdans[LEM85,BES01]etconstituentdespremièresétapesdanslamodélisationd’uncomportementanélastique.Ainsi,lecomportementdépendantounondemanièreévidentedela température et de la vitesse, des modèles élastoplastiques ou élastoviscoplastiques serontretenus.Parexemple,danslecasdelafatiguethermiqueàgrandnombredecyclesdestructuresenacier304soumisesàdestempératuresmaximalesinférieuresà300°C,unmodèleplastiquesemblesuffisantenvuede leurdimensionnement [AMI05]. Ilenestdemêmepourdes freinagesà faibleénergie sur des disques de freins en fonte [NGU02] qui entraînent des températures maximalesinférieures à 400°C. En revanche, dès que la température maximale devient très importante(moteurs automobiles, turbines terrestres ou aéronautiques, …), une modélisation viscoplastiques’imposeafindepouvoirprendreencompte,entreautres,leseffetsdelavitessededéformationoudu temps (fluage, relaxation) et, selon la complexité des comportements rencontrés, un modèle


relativement simple comme celui présenté auparavant, associant viscosité non linéaire du typeNortonetécrouissagecinématiquelinéaire,peutêtresuffisant[CHA02].Cependant,untelmodèlepossède quelques limites liées, entre autres, à la modélisation de la viscosité ne permettant pastoujoursdereprésentercorrectementà lafois l’influencedelavitessededéformationet l’effetdutemps (fluage, relaxation).Danscecas, cesontgénéralement les loisd’écrouissageou lepotentielvisqueuxquisontenrichisdeplusieursmanièresdifférentes:- combinaisondeplusieursécrouissagescinématiques,- introduction de termes de restauration dans la loi d’écrouissage [BUC04]. Les lois

d’écrouissageutiliséesicisontalors:

R = R0 +Q 1− exp(−bp)( )

!X = 23C !α avec !α = !ε an −

32γCX !p− X

XJ2 (X)M

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟m

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

[13.7]

où M et m sont deux paramètres de restauration dépendant du matériau et de latempérature.

- définitiond’unnouveaupotentielvisqueux[SZM07],inspiréde[DYS98,CHA01]conduisantàl’écrituresuivantedumultiplicateuranélastique

!λ = !ε0 1+J2 A( )− R

H

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

2⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟sinh

J2 A( )− RK

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ [13.8]

où !ε0 ,H etK sonttroisparamètresdépendantdumatériauetdelatempérature.

Ces deux derniers exemples permettent de représenter le comportement viscoplastique dans unelarge gamme de sollicitations isothermes ou anisothermes, comme en témoignent la Figure 1,extraite de [BUC04]. On pourra se reporter à [CHA 09] pour plus d’éléments sur le calcul et ledimensionnementenfatiguethermique.

Figure 1. Comparaison entre modèle et résultats expérimentaux dans le cas d’essaisthermomécaniqueshors-phase(àgauche)eten-phase(àdroite)entre250°Cet850°CpourunacierF17TNb[BUC04].

2.3 Implémentationnumériqueetidentificationdesparamètres

Afind’implémenterdetelsmodèlesdecomportementdansuncodedecalculparélémentsfinis,unschéma implicite utilisant la technique du retour radial, proposée initialement par [NGU77] etdétailléedans[SIM98],peutêtreutilisé(voirdétailsdans[CON04a]).Ceschémapermetd'obteniruneconvergence rapideetune réponsemécanique inconditionnellementstable.D’autres schémassontprésentésdans[BES01].Ladernièreétapeavantdepouvoirréaliseruncalculdestructureestl’identificationdesparamètresconstitutifsdesmodèlesetce,éventuellement, sur toute lagammede température d’utilisation. Classiquement, cette identification est réalisée à partir d’essais


uniaxiaux isothermes en minimisant une fonctionnelle coût [CON 04b], norme représentant un«écart»entrecourbesexpérimentalesetcourbessimulées,etce,enutilisantdifférentestechniquesd'optimisation comme des méthodes de gradient ou des algorithmes évolutionnaires [CON04b,AND07].

Figure2.ValléedeminimadelafonctioncoûtmontrantlecouplageentrelesparamètresvisqueuxKet m d’un modèle viscoplastique à écrouissage cinématique linéaire identifié pour un alliaged’aluminiumA356[CON04b].Cependant, comme le montre la Figure 2, les lois d’écrouissages viscoplastiques généralementchoisies et les techniques d’identification retenues conduisent non seulement et de manièreévidenteàlanonunicitédelasolution,maissurtoutàl’existencedevalléesdeminima.Unemanièreoriginale d’aborder cette question est alors de tenter d’identifier dans le comportementelastoviscoplastiqueretenu,ladissipationintrinsèqueetlapartd’énergiestockéedansl’écrouissagevia l’étudedescouplages thermomécaniquesdans le cadrede laThermodynamiquedesProcessusIrreverssibles[GER73].Uncertainnombredetravauxmontrealorsquelamesuredesvariationsdetempératuresouschargementscycliquesliéesauxcouplagesthermoplastiquespeutêtretoutàfaitdiscriminante[HAK05,VIN08].

Figure 3. Réponses asymptotiques obtenues sur un collecteur d’échappement sous chargementthermomécaniquecyclique[SZM07].

3.Calculsdestructure

3.1 Réponsesasymptotiques


Commecelaaétésoulignédansl’introduction,onpeutrappelericiquel’approcheproposéeconsisteàdéterminerlaréponsemécaniquestabiliséedelastructure.C'estellequivaservirensuiteàdéfinirladuréedevieàl’aidededifférentscritèresd’amorçagedefissuresenfatigue.Onrappellequelesdifférentes réponses asymptotiques d’une structure sont l’adaptation élastique, l’accommodation(visco)plastiqueetlerochetetlacomplexitéd’unestructure(géométrie,chargement,etsurtoutloid’écrouissage retenue) peut entrainer localement des réponses très différentes (voir figure 3,extraitede[SZM07]).

3.2 CalculsdirectsAinsi,mêmesiellessontutiliséesici, lesméthodesincrémentalesclassiquesnesontpasforcémentles plus performantespour déterminer cette réponsepuisqu'elles nécessitent le calcul de tous lescyclesintermédiairesavantd'atteindrelecyclestabilisé.Unepremièresolutionconsisteàeffectuerdes«sautsdecycles» (cyclesskip) [NIC02].Desméthodesalternativespermettantdedéterminerdirectement cette réponse stabilisée peuvent également être envisagées, sous des hypothèsesrelativementrestrictivespourcertaines[ZAR90],ounon[MAI02,NGU02].Uneétudecomparativedediversesméthodesdecalcul,simplifiéesounon,aétéréaliséeparAmiableetal.[AMI05]etplusrécemmentpar[BAU16]quimontreenparticulierlapertinencedesméthodesdirectes.

Figure 4.Comparaisonentre calculs cycliquesdirects (DCA) et incrémentaux (INC)dans le casd’unchargementéquibiaxialsuruneéprouvetteplane[BAU16].

4.ConclusionCecoursabordel’élastoviscoplasticitésousl’angleducalculdestructures.Onretiendraqueleschoixqui sont faits quant aux lois d’écoulements viscoplastiques et aux lois d’écrouissage ont uneinfluence très importante sur les réponses asymptotiques des structures (adaptation,accommodation, rochet). Il est donc primordial de disposer d’essais de validation discriminants(multiaxiauxparexemple)et/oud’uncadredemodélisationplusrichecommelaTPIassociéeàdesmesures thermomécaniques. Des stratégies numériques alternatives aux calculs incrémentauxpeuventégalementêtremisesenœuvreafindedéterminerplusrapidement,voiredirectement,lesréponses asymptotiques des structures. C’est alors ces réponses qui seront analysées en vue dudimensionnementenfatigue.

RemerciementsAndrei Constantinescu, Habibou Maïtournam et Ky Dang Van pour les discussions toujourspassionnantessur lesconceptsd’adaptationetd’accommodationetLucRémypournos fructueuxéchangesdans le cadred’uncoursde fatigue thermique [CHA09]dontunepartiedece coursestextraite.


Références

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