logiquecombinatoirecourscompletnajdi

8/3/2019 LogiqueCombinatoireCoursCompletNajdi

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mi-additionneur avec NA Pour t r a ~ o r m e r R et S, on p a s ~ p a r l'involution

s (x , y) = x y + s (x, y) - x y + x y

R=xy=xy=(xy, ., , / r

yl.(" 1 ,1

34

able de vrit -> circuit en porte./NAND. avec additionneur c o m p ~ i t R O X _ Y l _ ~ ~ _ l RO, ,

000 o o001 1 o010 1 o011 o 1100 1101 19110 o 11 1 1 1

Avantage de la mthode: construction systma Inconvnient: pas toujours optimal en nb de portes 36

able de vrit -> circuit en parti /NAND

Mthod our passer de la table e vrit aucircuit ralis vec des NA (et des ET) 2 couches de po

Premire couche: Pour chaque v ur de f(Xi) g ~ 1 On fait u AND de tous les Xi en~ a n t Xi si Xi =1 ouXi si . =0

0 xime couche: on fait un NAND deorties des NAND de la premire couche Ncessite des portes NAND a plus de 2 entres

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Logique 3 tats Algbre de Boole et circuits logiques: logique 2

tats Etat 0 (tat faux ou tat physique courantlectrique nul) Etat 1 (tat vrai ou tat physique courantlectrique non nul )

Logique 3 tats Extension de la logique 2 tats ~ v e c un tr9isime

tat: tat indfini Utilit principale: activer ou dsactiver des parties d'uncircuit lies aux mmes sorties ou lments

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1As.". . .__....- . . tltsNOIIIlRES EHVIRGULE FLOTIANTE ZlOIllbfts ""ordres d paDdeur txtrimelnent T8riables SU 5FLOA TING POINT IZpettdanl exil'" UH pridsiOil allul JUS'lu'au denaieT dll::i.NUMBERS sipUk:alif. En 'Dotation d k i m a \ e ~ paT' exemt>le.les a.stronomes pouvent manier des nombres allan, au-". I..escnimisltz utilisent des nombres 5'talant colT''': 1 et moins deSIGNIFICATION 10-". Les physiciClU font appel Ioule la gamme employeDE LA VIRGULE ll'lr les asltOUOales el les chimistes. Des uombres . . . . . .FLOTIANTE ex.raordillainomenl ,rands ou peU. . "" soat jlUlUlis calcula

FLOATING POINT a " ' ~ DDe prdsioa .JlaDt jusqu'au. dCrllier dicil. ODq ou dbS/GNIFICA"NCE ou lou'. aulre q . . . .. ut>I.ntire d< dIgIIs lIpJiru:atifs peulsufrue. l ' . r exemple, le aolUbre ddIIlal : 11.837.485.968.483,425,463.77".856.308.291

est trs gr3l1d et imposant. Mais il y a voire au.cun caso une rd\c fJrdrion est ncessaire. Ce nombre arrondi Acin, ~ , i l ' s sigOit'icatifs deviC'ndr.ait :

2.637.500.000.000.000.000.000.000.00(\, OC-:FORMAT EN VIRGULE faon maladroite de reprsenter les nombns, inutilerncrnFLOTANTE longue et gn:ratrice d-erreurs puisqu'on doit compter lesFLOATING POINT zros 1criture et la lecture avec une bonne chance de seFORMAT tromper. Le nombre denait plat ! IR r e p r i : s e n t ~ au moyen

du format en vif'2ule natlaDte, comme suit:

ce C'!ui est idenrique :ExpoAm

\0.28375 x 10"MANTISSE Comme mont ci-


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l ' ; U N V t : K : : ' I V " ~ " .i..tS c-oa ... , .n.o_ ~ - r ' C " _ .. 50_"-- .......VIRGULE FLOTIANTE '"'" ct dclm_ ao prso.'ont pas d ~ ' ~ " ; ' ' t l " , ' ; D r t t C u i i O n : - . ~ o 'C' .. FLOA TING rD/Nf Pour convenir !.ln nombre binaire en virgule flottante dans .-'\ "1f..,~ L . : A . t . P9NVEfI!il0N spn o!guivalent dcimaJ, on doit d'abord convortlr la man , . --, tJ..i . :t l':XDOS!Dt dans Je'Jrs quivalents dc1mau;;:. COffimC'o:pliqu au chapitre Il. Oll multiplie ensuite l'exposant dcimal par 0.30103. Prc:nons k:

nombre bina.ire en virguJe Ooltame :

La mantisse est convercie en une fraction cimalc de la faOn suvanlt :2" ' 1'1 ... 2 ' + 2....... 2"'.05. D.25 +006.25 ... O,C156ZS .

... 000390625

.. 0.83203125

12&+134+ Hi -!' 1 -209D'o: 0.11010101)C 2" ' - ' - 0 .83203125 2::

Pour p.u$er de la base 2 . la'"base JO, considrons !'quauon :

" ~ - - ,b ) / - 4 . in prenanl les logaril hmes on 0 tient : 4J" ft;,


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. 2..0,,

...

o. z.l '110.6 i 4 on; f.. oz.o l.!11,, '/..( Oc> 'J t)


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Logique 3 tats Une porte, un lment de circuit de logique 3

tats possde une entre supplmentaire E: Enable

Si E = 1, alors les sorties de cette porte/lment sont actives etont une valeur de 0 ou 1 Si E = 0, alors les sorties ne sont pas actives et n'ont pas designification, comme si les sorties taient dconnectes

E: variante complmente Activ 0 et dsactiv 1 On peut connecter deux sorties ensemble, seule cellequi est active positionnera la valeur (0 ou 1) du

conducteur connectant ces deux sorties Mulliplexage (voir suite) 38

Logique 3 tats Exemples de portes/composants de logique 3 tatsi ~ 0 11 01----tr

dE E E1(1) (2) (3)

Portes (1) et (2) Elments les plus simples: active ou dsactive la sortie 0selon la valeur de E

Pour (1) : si E = 1 alors = i, si E = 0, alors 0 = ? (indfini) Pour (2) : si E = 0 alors 0 = i, si E = 1, alors 0 = ? (indfini)

Porte (3) : active les 4 sorties en fonction de E Si E = 1, alors chaque Ox = ix pour tous les x, sinon tous lesoxsont indfinis 39

Logique 3 tats L ~ Exemple de circuita. f > , Sb )x L 1

J Selon la valeur de x, S correspond la sortie d'une des 2portes Six=Oalors S=ab Si x = 1 alors S = i l +b = a b

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Circuits logiques de base Dans beaucoup de circuits, on retrouvera

certaines f o n c t i o n n a l i t ~ s / c o m p o s a n t s logiquesi' hl..


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Multiplexeur X entres et 1 sortie Selon une adresse, la sortie prend la valeurd'une des X entres Circuit combinatoire avec

Une sortie K Une adresse code sur n bitsn 2 entres kx

42

.J, Multiplexeur 4 entres(J' \, Logigramme et symbole pour le multiplexeur

4 entreskO

k1 ~ l 01k2 10 Kk2 k3 111 1 1k3 a b

1 1 11 1 1 ~ ~

1 1 1 1 1 1

..

1 Multiplexeur 4 entres

kD 11

.Selon la valeur de a et b,on ne redirige qu'un deskl quatre kx vers K

l , 1 t.--Kk2

1 k3

4 entres, adresse sur 2 bits: a et b Table de vrit

1 a 1 b 1 K 1+ - - - + - - - + - - - - + ,.o 1 0 1 kao 1 1 1 k 1

1 1 0 1 k 21 1 1 1 K3

K(a, b)=kOab+k 1 ab+k 2 ab+k 3 ab D'autres choix de multiplexage sont possibles43

Multiplexeur 4 entres Variante avec logique 3 tats

a b a b~ 45


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Dmultiplexeur 1 entre, X sorties Selon une adresse, une des X sorties prend

la valeur de l'entre Circuit combinatoire avec

2n sorties kx 1 entre K Une adresse code sur n bits

1

46 1

Dmultiplexeur 4 sorties Logigramme et symbole pour le dmultiplexeur

4 sortiesD-kO

K O O E ~1 klK----1 T I)-kl 10 k211 k3D-k2 1 1abD-k3~ a b 48

1 i

Dmultiplexeur 4 sorties 4 sorties, adresse sur 2 bits: a et b Valeurs des kx sorties selon a et b

1 a 1 b 1 ka 1 k l 1 k2 1 k3 1+- - -+ - - -+ - - - -+ - - - -+ - - - -+ - - - -+

1

1

111

a 1 a 1a 1 1 11 1 a 11 1 1 1ka=abK

Kaaa

k2=abK1

11

1

1

aKaa

1111

aaKa

1111

aaaK

1111

kl=abKk3=abK

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Codeur Active un code selon l'une des X entres a c t j v e ~

2n (en gnral) entres 1 entre active (valeur 1) Les autres sont toutes dsactives (valeur 0)

Code en sortie: sur n bits Exemple classique de codeur

Numrotation de 0 2n -1 des entres Le code reprsente le numro de "entre cod enbinaire

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- - - - - -

-1

Codeur sur 3 bits 3 bits Sx en sortie et 8 entres Ey

EO El E2 E3 E4 ES E6 E7 1 sa - ~ ~ ~ ~ ~ ~ - - - ~ - ~ ~ ~ ~ ~ - - + - 1 1 a

1 1 11 1 a

1 1 11 1 a

1 1 11 1 a

1 1 1

81 82

a aa a1 a1 aa 1a 11 11 1

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Dcodeur Active une des X sorties selon un code

Code: sur n bits Nombre de sorties: 2n (en gnral)

Exemple classique de dcodeur Numrotation de 0 2n -1 des sorties Le code reprsente le numro cod en binaire dela sortie activer

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JFA09 1 BOOLE

ALGEBRE DE BOOLE

I) DEFINITIONS :

1) Prsentation :

Les circuits lectroniques sont classs en deux grandes catgories : les circuits digitaux

(numriques) et les circuits analogiques.

Dans un circuit analogique, les signaux lectriques ont une amplitude variant continuellement.

Cette amplitude peut prendre un nombre trs lev de valeurs entre le minimum et le maximum. Un

amplificateur basse frquence, par exemple, est un circuit analogique. Il amplifie aussi bien les

signaux faibles que les signaux forts. L'amplitude varie sans cesse, suivant le niveau de la voix ou de

la musique amplifier.Un circuit digital est un circuit dans lequel les signaux ne peuvent avoir que deux niveaux, soit

le niveau 1, soit le niveau 0. Un interrupteur, par exemple, est un circuit digital. Les circuits logiques

utilisent la technique digitale

Les circuits logiques ont besoin dune alimentation pour fonctionner, cette alimentation ne sera

pas reprsente pour ne pas compliquer les schmas, mais elle existera toujours !!!

2) Introduction :

* En logique binaire, on a deux symboles possibles : 0 et 1.

* En lectricit, on a deux possibilits : prsence ou absence de courant ou de tension.

En associant les deux, on obtient deux choix possibles :

- En logique positive :

Une logique est dite positive si l'on associe le potentiel lectrique le plus lev l'tat 1.

1 -> Prsence de courant ou de tension.

0 -> Absence de courant ou de tension.


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JFA09 2 BOOLE

- En logique ngative :

Une logique est dite ngative si l'on associe le potentiel lectrique le plus lev l'tat

logique 0.

0 -> Prsence de courant ou de tension.

1 -> Absence de courant ou de tension.

Remarque :

D'une faon gnrale, dans les schmas logique, on travaille en logique positive.

Le niveau logique 0 correspond la tension 0V.

Le niveau logique 1 correspond une tension positive (5V ou 12V par exemple).

* Chronogrammes :

On reprsente les tats logiques en fonction du temps.

3) Variable logique :

Une variable logique ou binaire, note X, est une grandeur qui ne peut prendre que deux tats

(0 ou 1):

X = 0 si X 1

X = 1 si X 0

Un interrupteur K ne peut prendre que deux tats, il est ouvert, ou il est ferm. L'tat de cet

interrupteur peut tre dcrit par une variable logique X. En gnral, on attribue la valeur 0 cette

variable quand K est ouvert, et la valeur 1 quand K est ferm

4) Oprateurs logiques :

On dfinit cinq oprateurs logiques de base :

OUI,

NON,

OU Inclusif, (et son complment),

ET, (et son complment),

OU Exclusif, (et son complment).

5) Fonction logique :

Une fonction logique est une associations de variables, relies par des oprations, qui ne peut

prendre que deux valeurs (0 et 1). Par suite une fonction logique pourra son tour tre considre

comme une variable vis--vis d'une autre fonction logique (fonction de fonction).


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JFA09 3 BOOLE

Exemple :

Si S dpend de e1 et e2, S est une fonction des variables e1 et e2

S=e1+e2

6) Table de vrit :La fonction S peut-tre dfinie partir d'un tableau appel TABLE DE VERITE, qui indique la

valeur de S, selon les valeurs de e1 et de e2. Chaque table de vrit dfinit une fonction logique.

e1 e2 S

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Remarque :

L'tat 1 est aussi appel tat haut (H); l'tat 0 est l'tat bas (B, L).

II). DIFFERENTES FONCTIONS LOGIQUES :

1) Fonction OUI :

* Dfinition :

La fonction OUI effectue l'galit entre deux variables. Elle sert transmettre et

amplifier l'information.

* En lectricit :

Au repos (a=0), la lampe est teinte (S=0). Si on appuie sur a (a=1), la lampe s'allume

(S=1). On peut donc crire la relation S=a. Donc un contact travail reprsente la variable.


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JFA09 4 BOOLE

* Table de vrit :

a S

0 0

1 1

* Equation :

S=a

* En lectronique :

Symbole normalis :

Ancien Symbole :

* Chronogrammes :

2) Fonction NON : (NO)

* Dfinitions :

La fonction NON (ou ngation) effectue le complment logique (ou l'inverse) d'une

variable. On le note en ajoutant une barre sur la variable ( x est le complment de x et se lit x

barre).Cette dfinition conduit aux relations suivantes :

10;01

On en dduit que le complment de A est gale A barre ( A ); et le complment de A

barre est gale A.


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JFA09 5 BOOLE

Donc si A = 0 alors A = 1

Et si A = 1 alors A = 0

Il est possible de complmenter plusieurs fois une variable ou un groupe de variables.

Exemple : A = A

* En lectricit :

Au repos (a=0), la lampe est allume (S=1) ; si on appuie sur a (a=1), la lampe s'teint

(S=0); On peut donc crire S=a . Donc un contact repos reprsente le complment de la

variable.

* Table de vrit :

a S

0 1

1 0

* Equation :

S=a

* En lectronique :

Symbole normalis :

Ancien symbole :


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JFA09 6 BOOLE

* Chronogrammes :

3) Fonction ET : (AND)

* Dfinitions :Cette opration, aussi appele intersection, applique deux variables, conduit au

produit, ou fonction ET de ces deux variables. On la note par le signe entre les deux

variables x et y, mais plus simplement xy ou xy. Le rsultat est gal 1 si les deux variables

valent 1.

En lectricit :

Au repos, la lampe est teinte; la lampe s'allume seulement si l'on appuie sur a et b.On est

donc en prsence d'une fonction ET.

Remarque :

Le ET en lectricit se ralise en mettant les contacts en srie.


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JFA09 7 BOOLE

* Table de vrit :

a b S

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Remarque :

En gnralisant, pour que S soit 1, il faut que toutes les variables d'entres soient 1.

Le ET logique est quivalent une multiplication.

* Equation :

baS .

* En lectronique :

Symbole normalis :

Ancien symbole :

* Proprits :

AAA .

0. AA

AA .1 0.0 A


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JFA09 8 BOOLE

* Chronogrammes :

4) Fonction OU (Inclusif) : (OR)

* Dfinitions :

Cette opration, aussi appele runion, applique deux variables, conduit la somme,

ou fonction OU de ces deux variables. On la note par le signe U entre les deux variables x U y,

ce qui vite de la confondre avec l'addition arithmtique, mais en pratique, on la notera sous la

forme x+y. Le rsultat est gal 1 si l'une ou l'autre des variables ou les deux valent 1.

* En lectricit :

Au repos, la lampe est teinte; La lampe s'allume si l'on appuie sur a ou sur b. On est

donc en prsence d'une fonction OU.

Remarque :

Le OU en lectricit se ralise en mettant les contacts en parallle.


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JFA09 9 BOOLE

* Table de vrit :

a b S

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Remarque :

En gnralisant, il suffit qu'une des variables d'entres soit 1 pour que la sortie soit 1.

Le OU logique est quivalent une addition ;sauf la dernire ligne, car A et B sont des

tats et pas des valeurs numriques.

* Equation :

baS

* En lectronique :

Symbole normalis :

Le 1 signifie que pour que la sortie passe 1, il faut que le nombre d'entres au

niveau 1 soit gal ou suprieur 1.

Ancien symbole :

* Proprits :

A + A = A

A + A = 1

1 + A = 1

0 + A = A


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JFA09 10 BOOLE

* Chronogrammes :

5) Fonction OU Exclusif : (XOR) (OU disjonctif ou Dilemme)

* Dfinition :

La fonction OU Exclusif est encore appele fonction d'anti-concidence car sa sortie n'est

l'tat 1 que lorsque les 2 entres sont dans des tats diffrents.

* En lectricit :

OU


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JFA09 11 BOOLE

Au repos, la lampe est teinte; La lampe s'allume si l'on appuie sur a ou sur b, mais elle

s'teint si l'on appuie sur les deux. En rsum S=1 si et seulement si l'on appuie exclusivement

sur a ou sur b. On est donc en prsence d'un OU exclusif.

* Table de vrit :

a b S

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Attention au pige, en gnralisant 3 entres, il faudra d'abord effectuer un OU

exclusif entre deux variables d'entre, puis effectuer le suivant entre le rsultat

prcdent et la troisime variable d'entre.

Remarque :

Le OU exclusif est quivalent une addition modulo 2 (1 + 1 = 0 et je retiens 1).

* Equations :

baS

babaS ..

)).(( babaS

* En lectronique :

Symbole normalis :

Ancien symbole :

* Proprits :

AA 1 AA 0


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JFA09 12 BOOLE

* Chronogrammes :

6) Fonction NON ET : (NAND)

* Dfinition :

La fonction NON ET n'est l'tat 0 que si toutes les entres sont l'tat 1. Ds que l'une

des entres est l'tat 0, la sortie passe l'tat 1.

* En lectricit :

Au repos, la lampe est allume; La lampe s'teint si l'on appuie sur a et sur b. On est doncen prsence d'une fonction NON ET.


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JFA09 13 BOOLE

* Table de vrit :

a b S

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Remarque :

En gnralisant, la sortie est 0 seulement quand toutes les variables d'entres sont au

niveau 1.

* Equations :

babaS .

* En lectronique :

Symbole normalis :

Ancien symbole :


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JFA09 14 BOOLE

* Chronogrammes :

7) Fonction NON OU (Inclusif) : (NOR) (NI)

* Dfinition :

La sortie ne se trouve 1 que si toutes les entres sont l'tat 0.

* En lectricit :

La lampe s'allume seulement au repos.

* Table de vrit :

a b S

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

Remarque :

En gnralisant, La sortie est 1 seulement lorsque toutes les entres sont 0.


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JFA09 15 BOOLE

* Equations :

babaS .

* En lectronique :

Symbole normalis :

Ancien symbole :

* Chronogrammes :

8) Fonction NON OU (Exclusif) : (EXNOR) (Egalit ou Concidence ou Identit)

* Dfinitions :

La sortie est 1 quand les entres sont gales.

* En lectricit :


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JFA09 16 BOOLE

OU

Au repos, la lampe est allume; La lampe s'teint si l'on appuie sur a ou sur b, mais elle

s'allume si l'on appuie sur les deux.

* Table de vrit :

a b S

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

* Equations :

baS

babaS ..

)).(( babaS


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JFA09 17 BOOLE

* En lectronique :

Symbole normalis :

Ancien symbole :

* Chronogrammes :

III) DIFFERENTES RELATIONS :

1) Relations de bases :

Les oprations fondamentales sont :

la somme, le produit, le complment.

* Toute variable A a un inverse appel complment ,et not A tel que :

A + A = 1 A . A = 0

* Les oprations sont commutatives :

A + B = B + A

A . B = B . A

* Les oprations sont distributives :


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JFA09 18 BOOLE

- Distributivit du ET par rapport au OU

Une table de vrit permet de vrifier que :

A.(B + C) = A.B + A.C

Cette proprit autorise dvelopper ou, inversement, mettre en facteurs

comme en algbre classique.Exemple :

A=xyz + xq +w = x.(y.z+q)+w

- Distributivit du OU par rapport au ET

De mme, on peut vrifier que :

A + (B.C) = (A+B).(A+C)

Cette relation est intressante pour mettre une expression sous forme de produit

logique (ET) de OU logique.

Exemple :

A= x+(y.z.q) +w = (x+y).(x+z).(x+q)+w

2) Autres relations :

ATTENTION :

AA.BA AB)(AA

BA.BAA A.BB)A(A

EXERCICES :

AA.1)BA.(BBA.A.BX

C)A.(B.C)BA.(B.CBA.A.B1X

B.C.DA.B.B.C.DAA.B2X

B.CAC)B).(A(A3X

B.C.DAD)C).(AB).(A(AX4

.BAB.A)BAB).((AX5

CABABABCA

CACBABACACAABCACABCBC

...)1.(.

.....)..(.).(...AB.AX6

CBAA.B.C.CB.AC.BA.C.B.AX7

3) Thorme de DE MORGAN :

a) 1er Thorme :

Le complment d'un produit de variables, est gal la somme des complments de

variables.

CBAA.B.C


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JFA09 19 BOOLE

b) 2me Thorme :

Le complment d'une somme de variables, est gal au produit des complments de

variables.

C.B.ACBA

Ils permettent des simplifications remarquables des quations logiques, donc des

rductions de schmas.

Exemple :

Trouver le complment de :

B.CAX

C.DA.BX1

C.DA.BX2

ED...CA.B.CBA.AX3

IV) Ralisation des fonctions logiques l'aide des diffrents oprateurs :

Toute fonction logique peut-tre ralise de manires suivantes :

- Soit avec des oprateurs ET, OU, NON.

- Soit avec des oprateurs NON ET (NAND).

- Soit avec des oprateurs NON OU (NOR).

Le schma obtenu s'appelle le logigramme.

Exemple : Soit la fonction telle que .baba.F

.Ralisation avec des oprateurs ET, OU, NON :

Schma :

V) LES SYSTEMES LOGIQUES :

1) Dfinition :

Toute fonction logique peut-tre ralise de manires suivantes :

- Soit avec des oprateurs ET, OU, NON.


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JFA09 20 BOOLE

- Soit avec des oprateurs NON ET (NAND).

- Soit avec des oprateurs NON OU (NOR).

Nous dirons que ces groupes doprateurs forment un systme complet .

On appelle fonction logique, une combinaison de variables boolennes relies par des oprateurslogiques :

c).d).(ab(aF

Le schma obtenu s'appelle un logigramme.

Exemple : Raliser le schma de l'quation suivante :

d.bca.F

Schma :

Exercice : Rechercher l'quation et reprsenter le logigramme d'un systme correspondant au

fonctionnement suivant :

S= a + b si x = 1

S= a . b si x = 0

Solution :

xb)..(ab).x(aS

xb..ab.xa.xS

b.x)xb.a.(xS

b.xb.a.xS a


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JFA09 21 BOOLE

Schma :

VI) FONCTIONS LOGIQUES :

1) Fonction compltement dfinie :

Une fonction est compltement dfinie quand on connat sa valeur (0 ou 1) pour toutes les

combinaisons possibles des variables d'entres.Ces combinaisons sont au nombre de 2n pour n

variables d'entres. On tablit alors la table de vrit de la fonction.

Exemple : Table de vrit de la fonction majorit sur 3 variables : la fonction vaut 1 si la

majorit des variables d'entres sont 1. Il y a 23 = 8 combinaisons des 3 variables a, b, c. La

fonction F est compltement dfinie si on connat son tat logique (0 ou 1) pour chacune de ces 8combinaisons. On aura la table de vrit suivante :


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JFA09 22 BOOLE

c b a F

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

2) Fonction incompltement dfinie :

Une fonction est incompltement dfinie quand sa valeur est indiffrente ou non spcifie pour

certaines combinaisons des variables d'entres. Ce cas se rencontre lorsque certaines combinaisons

sont impossibles physiquement. On notera X la valeur de la fonction dans ce cas. Ces cas non dfinis

sont trs intressants pour la simplification des fonctions.

Exemple : Table de vrit de la fonction majorit pour 4 variables d'entres.


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JFA09 23 BOOLE

d c b a F

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0

0 0 1 1 X

0 1 0 0 0

0 1 0 1 X

0 1 1 0 X

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 0 0 1 X

1 0 1 0 X

1 0 1 1 1

1 1 0 0 X

1 1 0 1 1

1 1 1 0 1

1 1 1 1 1

c) Forme NON ET :

Dans la pratique, on est amen raliser des fonctions avec une seule sorte de portes

logiques, ici des NON ET. Il faut donc expliciter la fonction avec seulement des multiplications.La mthode consiste complmenter 2 fois la fonction et utiliser le thorme de DE

MORGAN avec une seule des complmentations.

Exemple : Si on prends la fonction majorit prcdente :

a.b.cca.b..cba..b.caF1

a.b.cca.b..cba..b.caF1

)a.b.c).(ca.b.).(.cba.).(.b.ca(F1


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JFA09 25 BOOLE

d) Forme NON OU :

On peut aussi raliser la fonction avec seulement des NON OU. Il faut donc expliciter la

fonction avec seulement des additions. On la complmente 2 fois, et on utilise le thorme de

DE MORGAN.

Exemple : si on prends la fonction majorit prcdente

)cba).(cbc).(aba).(cba(F0F1

)cba).(cbc).(aba).(cba(F0

)cba()cb(ac)ba()cba(F0

Schma :

12

3

1

F012

3

1

4

5

12

3

1

4

123

1

4

b

12

3

1

4

a

12

3

1

12

3

1

4

12

3

1

c

Transformer les 3 entres en 2 entres.

Il suffit de rajouter 2 barres l o ca nous arrange pour avoir 2 entres :

)cba()cb(ac)ba()cba(F0

)cba()cba(c)ba()cba(F0


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JFA09 26 BOOLE

12

3

1

12

3

1

b

1

2

31

12

3

1

12

3

1

c

12

3

1

12

3

1

1

2

3

1

12

3

1

12

3

1

a

12

3

1

12

3

1

12

3

1

1

2

3

1

12

3

1

12

3

1

12

3

1

12

3

1

12

3

1

12

3

1

F0

e) Nombre de circuits intgrs utiliss :

Pour calculer le nombre de circuits intgrs utilises, il faut partir dun circuit intgr qui

possde 14 broches. On utilise 2 broches pour lalimentation. Il en reste donc 12 broches.

Si on veut des portes 1 entre :

Il y a donc 1 broche en entre plus 1 pour la sortie soit 2 broches par porte !

Donc 12 broches / 2 broches par portes = 6 portes 1 entre par Circuit Intgr (C.I.).

Si on veut des portes 2 entres :

Il y a donc 2 broches en entre plus 1 pour la sortie soit 3 broches par porte !

Donc 12 broches / 3 broches par portes = 4 portes 2entres par CI.



Donc 12 broches / 4 broches par portes = 3 portes 3 entres par CI.



Donc 12 broches / 5 broches par portes = 2 portes 4 entres par CI.



Donc 12 broches / 9 broches par portes = 1 porte 8 entres par CI.


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JFA09 27 BOOLE

f) Portes restantes :

Une fois le nombre de circuits intgrs dtermin, il peut rester des portes logiques non

utilises. Ces portes pour ne pas consommer inutilement cause des parasites, doivent tre

branches en entre un potentiel donn (soit VCC, soit GND), et laisses en lair pour la

sortie (On met une croix verte sous Orcad Capture).

Exemples :

12

3

1

&1

2

311 2

g) Diminution du prix :

Pour des raisons de simplicit et matrielles, on est amen rechercher la forme la plus

rduite d'une fonction. On arrive ce rsultat par des mises en facteur, et avec l'algbre deBoole, pour trouver des facteurs communs.

1er Exemple : Simplifier la fonction suivante :

a.b.cca.b..cba.ca.b.F1 a.cb.ca.bF1

En faire le logigramme, le moins cher, et compter le nombre de C.I. utiliss et reprsenter

les portes restantes.

2me Exemple :

Faire de mme en transformant les portes 3 entres en portes 2 entres.


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KARNAUGH 1 JFA08

Tableaux de KARNAUGH

A).Prsentation de la mthode :La mthode de KARNAUGH consiste prsenter les tats dune fonction logique, non sous la forme

dune table de vrit, mais en utilisant un tableau double entre. Cela permet dviter la simplificationalgbrique de la fonction.

Chaque case du tableau correspond une combinaison des variables dentres, donc une ligne de la

table de vrit.

Le tableau de Karnaugh aura autant de cases que la table de vrit possde de lignes.

Les lignes et les colonnes du tableau sont numrotes selon le code binaire rflchi, donc chaque fois

que lon passe dune case lautre, une seule variable change dtat.

On peut numroter les cases pour que ce soit plus facile remplir, mais attention lordre de

numrotation !

Tableau de Karnaugh 2 variables dentre :

\ b

a\ 0 1

0 0 1

1 2 3


\b.a

c\ 00 01 11 10

0 0 1 3 2

1 4 5 7 6



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KARNAUGH 2 JFA08

\b.a

d.c\ 00 01 11 10

00 0 1 3 2

01 4 5 7 6

11 12 13 15 14

10 8 9 11 10

I ).Comment remplir le tableau :A partir de la table de vrit, on inscrit dans les cases les 0 et les 1 de la fonction, en respectant

les tats des variables dentre, dans lordre de la table de vrit.

A partir de la fonction logique, on doit dabord la mettre sous la forme somme de produits, pourpouvoir remplir la table.

Dans le cas o la fonction est incompltement dfinie, on mettra un X dans les cases

correspondantes.

Exemple : Reprsenter la fonction majorit 3 variables dans le tableau de Karnaugh

\b.a

c\ 00 01 11 10

0

0 0 1 01 0 1 1 1

F

II ).Cases adjacentes :On va rechercher dans le tableau les cases adjacentes qui contiennent des 1. Cest--dire les cases

dont une seule variable dentre change. Ce sont les cases qui sont cote cote.

Problme dadjacence dans un tableau 4 variables dentre :

Chercher les cases adjacentes aux cases grises.


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KARNAUGH 1 JFA08

\b.a

d.c\ 00 01 11 10

00 *

01 * *

11 *

10

\b.a

d.c\ 00 01 11 10

00 *

01

11 *

10 * *

\b.a

d.c\ 00 01 11 10

00 *

01

11 *

10 * *

III ).Comment faire les regroupements :Pour faire les simplifications, on procde des regroupements de cases adjacentes. On effectue

des regroupements de 2

n

cases adjacentes (1, 2, 4, 8, 16, cases). En effectuant ainsi lesregroupements, on limine les variables qui changent dtat, et on conserve celles qui restent fixes.

On peut utiliser une mme case pour plusieurs regroupements. On doit prendre au moins une fois

tous les 1 du tableau. En pratique, on utilise cette mthode jusqu 4 ou 5 variables, pour plus de

variables dentre, on rutilise lalgbre de BOOLE.

\b.a

c\ 00 01 11 10

0 0 0 1 0

1 0 1 1 1

F

IV ).Lecture des regroupements :On en dduit la fonction simplifie en prenant tous les regroupements de 1 effectus. Pour chaque

regroupement, on ne garde que les variables dentres en abscisse et en ordonnes qui restent fixes

(et donc on limine les variables qui changent !) et on fait un ET logique entre chaque variables. Une

variable 0 est prise comme variable barre. Et on fait un OU logique entre chaque regroupement.

F= a.b + b.c + a.c

On ne doit plus pouvoir simplifier la fonction lue, sauf y rechercher des OU exclusifs si on a

des 1 en diagonale.

Cas dune fonction incompltement dfinie :

Pour les simplifications, on peut utiliser certaines cases X comme des 1 si cela facilite les

regroupements, et 0 dans le cas contraire. Mais on ne peut attribuer quune seule valeur, une case

X donn.

Reprenons lexemple de la fonction majorit 4 variables dentre :


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KARNAUGH 2 JFA09

\b.a

d.c\ 00 01 11 10

00 0 0 X 0

01 0 X 1 X

11 X 1 1 1

10 0 X 1 X

F= b.a + d.c

V ).Exercice :Commande de feux tricolores :

On dispose de 3 boutons de commande des feux rouge (r), orange (o) et vert (v) qui permettent

dallumer les lampes Rouge (R), Orange (O) et verte (V). Le rouge est prioritaire sur le Orange qui

est prioritaire sur le vert.

Construire la table de vrit, simplifier la fonction par la mthode de karnaugh, en faire le

logigramme.

r o v R O V

0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 1

0 1 0 0 1 0

0 1 1 0 1 0

1 0 0 1 0 0

1 0 1 1 0 0

1 1 0 1 0 0

1 1 1 1 0 0


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KARNAUGH 1 JFA09

\o.v

r\ 00 01 11 10

0 0 0 0 0

1 1 1 1 1

R

R= r

\o.v

r\ 00 01 11 10

0 0 0 1 1

1 0 0 0 0

O

O= r/.o

\o.v

r\ 00 01 11 10

0 0 1 0 0

1 0 0 0 0

V

V= r/.o/.v

1

R

&

1o

&

1

1

V&

1

&

O

&

r

&

v

&

1

On utilise 3 Circuits intgrs.

Avec des NON ET :

rR

orO .

vorV ..


80/81

KARNAUGH 2 JFA09

&

&

R

&

&

&

&

r

&

&

o

& V&

O

v

&


Avec des NON ET 2 entres seulement :

rR

orO .

vorV ..


81/81

&

&

&

& &

&

&

O&

&

v

&

r

o

&

&

R

V


logiquecombinatoirecourscompletnajdi

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