1ère STI2D

Livret 1 : le second degré

Tronc commun, 2021-2022

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Le coursSecond degré et parabole

Définition 1 Une fonction polynôme du second de-gré est une fonction f définie sur R par une expressionde la forme :

fpxq � ax2 � bx� c

avec a � 0, b et c deux réels. On dit que c’est sa formedéveloppée.

Exemple 1 La fonction f donnée par :

fpxq � 2x2 � 7x� 3

peut s’écrire

2loomoona

x2 � 7loomoonb

x� �3loomoonc

et donc a � 2, b � 7 et c � �3. On donne maintenantquelques pièges à éviter.

(i) Il faut remettre les coefficients dans l’ordre (le« x2 », ensuite le « x » et enfin le terme constant). Parexemple :

2x� 5x2 � 3 � p�5qloomoon

a

x2 � 2loomoonb

x� p�3qloomoon

c

(ii) Si on rencontre « x2 seul » par exemple, c’est-à-dire sans coefficient, on doit mettre un 1. Par exemple :

x2 � 3x� 2 � 1loomoona

x2 � 3loomoonb

x� 2loomoonc

(iii) Si il manque « x », ou le coefficient constant, ondoit mettre un 0. Par exemple :

3x2 � 7 � 3loomoona

x2 � 0loomoonb

x� 7loomoonc

(iv) Si vous rencontrez un signe «� » seul, il faut rem-placer par �1. Par exemple :

�x2 � x� 1 � p�1qloomoon

a

x2 � p�1qloomoon

b

x� 1loomoonc

Définition 2 La courbe d’une fonction polynôme dusecond degré est appelée une parabole.

L’exemple type est celui de la parabole de la fonctioncarrée x ÞÑ x2 (ou y � x2), dont on donne la courbe ci-dessous. On donne à la suite une propriété à bien retenir.

Propriété 1 Soit f une fonction polynôme du se-cond degré donnée par fpxq � ax2 � bx� c.

(i) Si a ¡ 0, alors « les branches de la parabolesont vers le haut ».

(ii) Si a   0, alors « les branches de la parabolesont vers le bas ».

Exemple 2 On donne ci-dessous trois paraboles et lesigne de a.

3

Variations

Théorème 1 Soit f une fonction polynôme du se-cond degré de la forme f : x ÞÑ ax2 � bx � c. Si onnote :

α ��b

2a

alors, on a un des deux scénarios ci-dessous :(i) si a ¡ 0

x

f

�8 α �8

fpαqfpαq

(ii) si a   0

x

f

�8 α �8

fpαqfpαq

Noter qu’il est inutile d’apprendre par cœur le théo-rème : il suffit de « dessiner l’allure de la parabole » enregardant le signe de a.

Exemple 3 On veut réaliser le tableau de variations dela fonction f définie par fpxq � x2 � 6x� 1.

On fait une lecture des coefficients de f : a � 1, b � 6et c � �1. On a donc :

α ��b

2a ��6

2� 1 � �3.

Comme a � 1 ¡ 0, les branches de la parabole sont « versle haut ». D’où :

x

f

�8 �3 �8

�10�10

avec fpαq � fp�3q � p�3q2 � 6� p�3q � 1 � �10.

Définition 3 Le sommet d’une parabole d’une fonc-tion polynôme du second degré f : x ÞÑ ax2 � bx� cest le point de cordonnée Spα; fpαqq.

Exemple 4 On donne ci-dessous une parabole et sonsommet :

En outre, on observe que 2 est le minimum de f sur R.

Propriété 2 Soit f : x ÞÑ ax2 � bx � c une fonc-tion polynôme du second degré et α � �b{2a. Alorsla droite d’équation x � α est un axe de symétrie deCf .

Exemple 5 Ci-dessous, on donne la courbe de la fonctionf : x ÞÑ x2 � 4x� 1.

On fait le calcul de α :

α ��b

2a ��4

2� 1 � �2

et on retrouve bien l’équation x � �2 pour l’axe de symé-trie.

4

Signes

Définition 4 Soit f une fonction polynôme du se-cond degré, et soit r P R. On dit que r est une racinede f si fprq � 0.

Exemple 6 Par exemple, pour f : x ÞÑ x2 � 2x � 4. Onse demande si 3 est une racine de f :

fp3q � 32 � 2� 3� 6 � 9 � 0

donc comme fp3q est non nul, 3 n’est pas une racine de f .On se demande si 2 est une racine de f :

fp2q � 22 � 2� 2� 6 � 0

et donc 2 est une racine de f .

Notons que les racines correspondent exactement àl’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses, commeci-dessous :

Définition 5 Soit f : x ÞÑ ax2 � bx � c une fonc-tion polynôme du second degré. On dit que f est sousforme factorisée il existe deux réels r1 et r2 telles que :

fpxq � apx� r1qpx� r2q

quel que soit x P R. Les réels r1 et r2 sont les racinesde f .

Exemple 7 Plusieurs exemples.(i) Pour f : x ÞÑ 3px� 2qpx� 5q on a :

fpxq � 3loomoona

�x� 2loomoon

r1

��x� 5loomoon

r2

�

(ii) Pour f : x ÞÑ px� 1qpx� 3q on a :

fpxq � 1loomoona

�x� 1loomoon

r1

��x� 3loomoon

r2

�

(iii) Pour f : x ÞÑ 7px� 3qpx� 2q :

fpxq � 7loomoona

�x� 3loomoon

r1

��x� p�2q

loomoonr2

�

car en effet x� 2 � x� p�2q.(iv) Pour f : x ÞÑ 4px� 1q2 :

fpxq � 4loomoona

�x� 1loomoon

r1

��x� 1loomoon

r2

�

car en effet px� 1q2 � px� 1qpx� 1q.

Théorème 2 Une fonction polynôme du second de-gré à deux, une, ou aucune racine. Si il n’a qu’uneseule racine, on dit que c’est une racine double.

On donne la méthode ci-dessous, à connaître, qui per-met de déterminer le tableau de signe d’une fonction po-lynôme du second degré.

Exemple 8 Déterminer le tableau de signe de f : x ÞÑ2px� 1qpx� 3q.

On cherche le signe de x� 1. Pour x P R :

x� 1 ¥ 0 ô x ¥ 1.

On cherche le signe de x� 3. Pour x P R :

x� 3 ¥ 0 ô x ¥ �3.

D’où :

x

2

x� 1

x� 3

fpxq

�8 �3 1 �8

�

� 0 �

� 0 �

� 0 � 0 �

On observe, en fait général, qu’une fonction polynômedu second degré est du signe de a sauf entre ces racines.Comme ci-dessous, ce qui illustre l’exemple d’avant :

5

6

Les exercices1 Compléter le tableau ci-dessous :

ax2 � bx� c a b c

3x2 � 2x� 1

2x2 � 2x� 5

3x� 2� 7x2

2� 3x2

1� x� x2

x2 � x� 1

2x2

�4x2 � x

x2 � x

x2 � 100

102 � 103x� 104x2

x� x2

x� 1� x2

x� 10� 0, 1x2

1, 3x� 2, 5x2 � 1, 4

12, 131� 0, 112x� 231, 11x2

5 7 3

2 7 3

�5 7 �3

1 �2 �1

1 0 1

2 1 0

�1 1 �1

2 0 0

9 �8 �7

1 2 3

1 0 1

�1 0 �1

2 2 0

�2 0 �2

1 0 0

2 Après avoir développé les quantités ci-dessous, in-diquer si elles sont les expressions d’une fonction polynômedu second degré et si c’est le cas, préciser les coefficientsde la forme développée.

1. px� 3q2 ;2. px� 1q2 ;3. px� 3q2 ;4. px� 2q2 ;5. p5� xq2 ;6. px� 9q2 ;7. p4� xq2 ;8. p2x� 3q2 ;9. p3x� 2q2 ;

10. p5x� 6q2 ;11. p2� 5xq2 ;12. p2x� 1q2 ;13. p1� 2xq2 ;14. p3x� 4q2 ;15. p4� 3xq2 ;16. p10x� 1q2 ;17. p7x� 5q2,18. p3x� 1q2.

3 Même chose que l’exercice ci-dessus.

1. px� 3qpx� 1q ;2. px� 1qpx� 2q ;3. px� 1qpx� 4q ;4. 2px� 1qpx� 2q ;5. 6px� 2qpx� 3q ;6. 3px� 3qpx� 3q ;

7. �px� 3qp�2q ;8. �2px� 1qpx� 8q ;9. 5px� 1qpx� 2q ;10. 3px� 1qpx� 2q ;11. 2px� 1qpx� 9q,12. px� 6qpx� 7q.

4 Déterminer le signe du coefficient a en observantchaque parabole ci-dessous.

5 Pour les fonctions polynômes ci-dessous dont ondonne l’expression, déterminer α et le tableau de varia-tion.

7

1. f : x ÞÑ x2 � 8x� 1 ;2. f : x ÞÑ x2 � 2x� 3 ;3. g : u ÞÑ 2u2�8u�1 ;4. g : t ÞÑ 3t2�12t�1 ;

5. h : x ÞÑ x2 � 2x� 1 ;6. h : x ÞÑ 2x2�9x�1 ;7. i : x ÞÑ 3x2� 7x� 2,8. i : x ÞÑ �x2�8x�1.

6 On donne ci-dessous plusieurs paraboles :

Compléter :

Courbe α fpαq S signe de a

C1

C2

C3

C4

C5

7 Répondre aux questions ci-dessous, en justifiant.1. Est-ce que 2 est une racine de f : x ÞÑ x2 � 5x� 1 ?2. Est-ce que 1 est une racine de f : x ÞÑ x2 � x� 1 ?3. Quelles sont les racines de g : x ÞÑ x2 � 9 ?4. Quelles sont les racines de g : x ÞÑ x2 � 36 ?5. Quelles sont les racines de g : x ÞÑ x2 � 4 ?

6. Quelles sont les racines de g : x ÞÑ x2 � 1 ?7. Quelles sont les racines de g : x ÞÑ x2 � 7 ?8. Quelles sont les racines de g : x ÞÑ x2 � 3 ?9. Quelles sont les racines de g : x ÞÑ x2 � 5 ?10. Est-ce que 10 est une racine de h : x ÞÑ x2 � 1 ?

Est-ce que h peut avoir des racines ?11. Quelles sont les racines de h : x ÞÑ px� 3qpx� 1q ?12. Quelles sont les racines de h : x ÞÑ px� 2qpx� 5q ?13. Quelles sont les racines de h : x ÞÑ px� 1qpx� 2q ?14. Quelles sont les racines de h : x ÞÑ 2xpx� 9q ?15. Quelles sont les racines de h : x ÞÑ px� 9qpx� 8q ?16. Quelles sont les racines de h : x ÞÑ px� 2qpx� 7q ?17. Quelles sont les racines de h : x ÞÑ px� 2q2 ?18. Quelles sont les racines de h : x ÞÑ 4px� 3qpx� 1q ?19. Quelles sont les racines de h : x ÞÑ �7px�3qpx�1q ?

8 On se donne ci-dessous la courbe de la tension Uen volts aux bornes d’un élément d’un circuit électriqueen fonction du temps en minutes.

On admet que la courbe est composée de 5 morceaux :

8

(i) sur s � 8, 0r, la fonction U est nulle, c’est à direque pour tout t   0, on a Uptq � 0 ;

(ii) sur r0, 2s, la courbe de la fonction U est une pa-rabole, notée P1 ;

(iii) sur s2, 10r, la fonction U est constante et vaut 4,c’est à dire que pour tout 2   t   10, on a Uptq � 4,

(iv) sur s10,�8r, la courbe de la fonction U est uneautre parabole, notée P2.Déterminer les expressions des fonctions f1 et f2 des pa-raboles P1 et P2.

9 Compléter le tableau ci-dessous :

apx� r1qpx� r2q a r1 r2

2px� 3qpx� 4q

3px� 1qpx� 6q

px� 2qpx� 9q

�px� 1qpx� 10q

3px� 2qpx� 4q

3px� 2qpx� 4q

�3px� 2qpx� 4q

2px� 3q2

px� 1q2

�px� 7q2

2 3 1

2 �3 1

1 1 �10

�3 3 �3

2 0 1

�1 2 0

7 0 0

�1 �6 12

10 On donne un tableau ci-dessous, qu’on complè-tera

Courbe Signe de a r1 r2

C1

C2

C3

C4

C5

à partir des paraboles ci-dessous :

11 Déterminer le tableau de signe de :

1. px� 2qpx� 4q ;2. px� 2qpx� 4q ;3. px� 1qpx� 5q ;4. 5px� 9qpx� 7q ;5. �3px� 2qpx� 4q ;6. 2px� 3qpx� 4q ;7. �7px� 2qpx� 1q ;8. 9px� 5qpx� 7q ;

9. �2px� 2q2 ;10. 3px� 3q2 ;11. �px� 1qpx� 3q ;12. �6px� 10qpx� 9q ;13. �px� 1qpx� 2q ;14. �px� 10q2 ;15. px� 1qpx� 2q,16. �px� 3qpx� 6q.

12 Déterminer le tableau de signe et de variation dela fonction g dont on donne la courbe ci-dessous :

9

13 Déterminer le tableau de signe et de variation dela fonction g dont on donne la courbe ci-dessous :

14 Avec les courbes de fonctions polynômes du se-cond degré ci-dessous

résoudre graphiquement :1. fpxq   �3 ;2. gpxq ¤ �2 ;3. hpxq ¡ 1,

4. ipxq ¥ 2.15 On donne ci-dessous plusieurs paraboles dont les

expressions sont de la forme y � ax2 � k :

Compléter :

Courbe k a expression

C1

C2

C3

C4

C5

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Annexe : point à connaître sur les parabolesOn propose quelques éléments à connaître pour tracer

la courbe d’une fonction polynôme du second degré.

ExplicationsCi-dessous, on donne la courbe de la fonction carré :

et on observe que l’image de 1 est 12 � 1, que l’imagede 2 est 22 � 4 etc. On admet le fait suivant : la courbed’une fonction polynôme du second degré quelconque,c’est la courbe de la fonction carré (c’est-à-dire une pa-rabole) dans un autre repère. Par exemple :

ci-dessous la fonction f est la fonction carrée et la fonc-tion g est une fonction polynôme du second degré. Onconstate que pour g, on a α � 2 et Sp2; 3q. Si on se placedans le repère en pointillé, on retrouve une copie de lacourbe de la fonction f , à savoir la parabole donnée parla fonction carré.

Ci-dessus, pour lire le coefficient a, on constate le faitsuivant : on trace la droite passant par l’abscisse 1 et pa-rallèle à l’axe de ordonnées. L’ordonnée de l’intersectionavec une parabole de la forme y � ax2 donne directementle coefficient a. Par exemple, pour la parabole ci-dessusdont les branches sont vers le bas, on observe que l’ordon-née de l’intersection de la droite et de la parabole a pourordonnée �0.5 : comme son sommet est Op0; 0q, cette pa-rabole est donnée par y � �0, 5x2.

Enfin, on observe le fait suivant : ci-dessous on trouvela courbe de la parabole donnée par y � x2 � 1

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Ci-dessus, on observe en pointillé y � x2 et en traitplein la courbe donnée par y � x2 � 1. Pour obtenir laparabole donnée par y � x2 � 1, on translate de 1 enordonnée la courbe de la fonction carré.

La méthode avec un exemplePour lire les coefficients d’une fonction polynôme du

second degré donnée par y � ax2 � k avec a � 0 et k P Rdont on observe la courbe comme ci-dessous,

dans l’ordre :(1 ) on repère le sommet S de la parabole ;

(2 ) on note l’ordonnée du sommet : c’est le réel k ;dans l’exemple, on trouve k � 3 ;

(3 ) on trace un repère orthonormé d’origine S :

(4 ) dans ce repère (en pointillé ici) on déterminel’image de 1 : c’est le réel a ; ci-dessous :

Ainsi, a � �2. Bref, la parabole est celle donnée pary � �2x2 � 3.

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