CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET METIERS PARIS

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CHAIRE DE TRAVAUX PUBLICS ET BATIMENT

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SPECIALITE CONSTRUCTION - AMENAGEMENT

Option : Btiment

Sujet: Les structures en bton arm soumis aux phnomnes d'instabilits, Prsentation et

exemples

Hicham ALLALI

1

Table des matires

Liste des figures4

Rsum.5

I. Introduction ................................................................................................................. 5

II. INSTABILIT Flambement .................................................................................. 5 1) Mcanisme du flambement. ..................................................................................... 5 2) Poutre dEuler .......................................................................................................... 6 3) Longueur de flambement et lancement .................................................................. 7

a. Les poteaux isols ................................................................................................ 7

b. Les poteaux de btiments ..................................................................................... 8

c. Les murs et les voiles ........................................................................................... 9

III. Prise en compte des imperfections gomtriques et des effets du second ordre ....... 11

1) Imperfections gomtriques ................................................................................... 11 a. Cas forfaitaire ..................................................................................................... 12

b. Cas des lments isols ...................................................................................... 12

c. Cas des structures ............................................................................................... 13

2) Effets du second ordre ........................................................................................... 14 a. cas les lments isols ........................................................................................ 14

b. Cas des btiments ............................................................................................... 14

IV. Mthode gnrale ...................................................................................................... 15

1) Notions dexcentricit interne et externe. .............................................................. 16 a. Excentricit externe ............................................................................................ 17

b. Excentricit interne ...................................................................................... 19

2) Etudes de lquilibre .............................................................................................. 20 V. Mthode base sur la rigidit nominale ..................................................................... 22

1) Domaine de validit ............................................................................................... 22 2) Rigidit nominale ................................................................................................... 22

a. Cas ou , / < , ...................................................................... 22 b. Cas ou / , ....................................................................................... 23

3) Principe de la mthode ........................................................................................... 23

2

VI. Mthode base sur la courbure nominale .................................................................. 24

1) Domaine de validit ............................................................................................... 24 2) Principe de la mthode ........................................................................................... 24 3) Calcul de la courbure ............................................................................................. 25

VII. Application : vrification au flambement par la mthode de lestimation de la courbure ................................................................................................................................... 26

1) Ncessit du calcul au flambement ........................................................................ 27 2) Sollicitations du premier ordre en pied de poteau ................................................. 27 3) Courbure ................................................................................................................ 27 4) Moment ultime de calcul total ............................................................................... 28 5) Calcul des armatures .............................................................................................. 29 6) Vrification au flambement ................................................................................... 29

VIII. Conclusion gnrale .................................................................................................. 31

Rfrences bibliographiques...32

3

Liste des figures

Figure 1: poutre comprime ................................................................................................. 5

Figure 2: poteau en compression .......................................................................................... 6

Figure 3: Exemple de modes flambement et longueurs efficaces correspondantes dans le cas dlments isols. ................................................................................................................. 7

Figure 4 : longueur libre dans le cas des poteaux des btiments. ......................................... 8

Figure 5 : convention de notation du voile (selon EC2)....................................................... 9 Figure 6 : Valeur de pour des murs non-raidi latralement ............................................ 10 Figure 7: Valeur de B pour divers condition de rive .......................................................... 11

Figure 8 : poteau isol contrevent et non contrevent ...................................................... 13

Figure 9: systme de contreventement ............................................................................... 13

Figure 10: diagramme contrainte dformation ................................................................... 16 Figure 11 : reprsentation de lexcentricit externe en fonction de la courbure ................ 19

Figure 12 : Diagramme, effort normal, courbure et lexcentricit interne ......................... 20

Figure 13 : Diagramme de lquilibre ................................................................................ 21

4

Rsum :

Les lments lancs sont calculs gnralement en tenant compte des effets du second ordre du fait dune excentricit non ngligeable, limperfection gomtrique sajoute une dformation due au moment correspondant la charge excentr. Cette dformation entrane un moment complmentaire qui lui-mme gnre une dformation.

Llancement des structures est le paramtre principal qui dtermine si une vrification de second ordre doit avoir lieu. Llancement est fonction de plusieurs paramtres tels que la longueur de llment, les conditions dappui...etc. Si llancement de la structure est suprieur un lancement limite dfini par la rglementation, la structure doit tre dimensionne en tenant compte des effets du second ordre.

Si les conditions ne sont pas runis pour ngliger les effets du second ordre. On pourra alors employer trois mthodes pour les dterminer. Chaque mthode a son principe et un domaine dapplication dfini.

Mthodes de la rigidit nominale : le principe de cette mthode consiste amplifier le moment du premier ordre.

Mthode de lestimation de la courbure : le principe de la mthode consiste ramener la vrification au flambement un calcul lELU de rsistance en se donnant la valeur de lexcentricit du second ordre de faon forfaitaire.

La mthode gnrale : base sur une analyse non-linaire incluant La non-linarit gomtrique et la non linarit des lois de comportement des matriaux. L'quilibre l'tat limite de stabilit de forme consiste dmontrer qu'il existe un quilibre entre la courbure due aux efforts externe et celle due aux efforts internes.

Dans le prsent rapport, jai prsent le principe de chaque mthode, son domaine dapplication et leurs conditions dapplication. Une application numrique est prsente la fin pour illustrer lutilisation de la mthode de la courbure nominale qui est la plus utilis pour dimensionner et vrifier les poteaux vis--vis du flambement.

Une tude de cas par les trois mthodes est faite pour comparaison. On a constat que la mthode de la courbure est moins longue en termes ditration faire.

5

I. Introduction

Lorsquils sont comprims, les lments structuraux lancs sont susceptibles de voir leur capacit portante affecte par les phnomnes dinstabilit. Sagissant dun lment comprim axialement, un tel phnomne est dsign flambement .

Dans ce document, on va dfinir les instabilits qui affectent les lments en bton arm, les paramtres qui interagissent dans le calcul de ce phnomne, les conditions de vrification et de dimensionnement vis--vis de ces instabilits.

Un exemple de calcul sera prsent la fin du document pour dmontrer le calcul mener pour vrifier la stabilit dun poteau vis--vis du flambement par la mthode de lestimation de la courbure

II. INSTABILIT Flambement

1) Mcanisme du flambement.

Le flambement est la ruine due linstabilit dun lment ou dune structure sous compression purement centre en labsence de charges transversales

Considrons une pice lance (telle que sa longueur soit trs suprieur sa plus grande dimension transversale), de ligne moyenne rectiligne, de section droite constante, articule ses deux limites, et soumettons la un effort normal de compression centr.

Figure 1: poutre comprime

On constate exprimentalement que :

Si F < Fc (charge critique), la poutre revient dans sa position dquilibre. Si F = Fc la poutre conserve la forme qui lui a t confre par la force F. Si F > Fc, la poutre flchit, subit de grandes dformations et sapproche des

conditions de rupture.

Avec Fc est la valeur critique de la charge, le flambement apparat lorsque llment comprim est lanc et subit une charge suprieure la charge critique.

6

2) Poutre dEuler

Considrons une poutre droite OO articule ses extrmits et soumise un effort normal de compression F. Soit S laire de sa section suppose constante.

Supposons que la poutre soit lgrement flchie, en tout point dabscisse x ( partir de O), elle est soumise, outre leffort normal de compression, un moment flchissant M= -Fy. La flche est dtermine par lquation :

= = Soit lquation diffrentielle

+ = 0 Cette quation a une infinit de solutions, dont la plus faible valeur est donne par

lexpression :

=

Figure 2: poteau en compression

Les rsultats prcdents concernent la poutre articule ses deux extrmits. Ces rsultats sont fondamentaux et servent de rfrence tous les autres cas.

Dune manire gnrale, il est admis : = "#$ m : tant le coefficient numrique dpendant du mode de fixation de la pice ses deux

extrmits. Il est donn dans le tableau ci-dessous :

m Mode de fixation aux extrmits

1 Pice articule ses deux extrmits

4 Pice parfaitement encastre ses deux extrmits

2 Pice demi encastre ses deux extrmits

2 Pice articule une extrmit et parfaitement encastre lautre

1/4 Pice encastre une extrmit et libre lautre (mt)

7

En appelant i = %/& le rayon de giration de la poutre et llancement de la poutre, la contrainte critique devient : = #'

3) Longueur de flambement et lancement

a. Les poteaux isols

La dtermination de la longueur de flambement du composant constitue ltape la plus dlicate de son dimensionnement. La longueur de flambement dun composant dpend de la longueur de flambement l0 qui est valu en fonction de la longueur libre l des poteaux et de leurs liaisons effectives.

Quelles que soient les conditions dappui aux extrmits, ltude dun poteau sera ramene celle dun poteau de longueur l0.

Figure 3: Exemple de modes flambement et longueurs efficaces correspondantes dans le cas dlments isols.

La valeur de l0 dpend de la raideur des pices qui limitent le dplacement ou la rotation des extrmits du poteau. Or, il est difficile dvaluer ces raideurs qui dpendent des sollicitations, du ferraillage tabli, du degr plus ou moins grand de fissuration des sections etc.

Sur le schma prcdent, les diffrents cas correspondent aux conditions dappuis suivantes :

Cas a => Poteau bi-articul. Cas b => Poteau encastr en pied et libre en tte. Cas c => Poteau encastr en pied et articul en tte. Cas d => Poteau bi-encastr. Cas e => Poteau encastr en pied avec un mouvement horizontal (uniquement)

possible en tte.

8

Cas f => Poteau partiellement encastr en tte et en pied (la longueur de flambement sera fonction des rotations aux extrmits. Ce cas correspond une structure noeuds fixes.

Cas g => Poteau partiellement encastr en pied et libre en tte. Ce cas correspond une structure noeuds dplaables

Les cas a d reprsentent les cas classiques que lon rencontre dans le btiment. Les trois derniers cas sont des cas particuliers qui ncessitent une analyse plus fine des conditions aux limites, notamment le calcul des rotations en fonction des raideurs relles dappuis.

b. Les poteaux de btiments

Dans le cas de poteaux de btiment, on appelle longueur libre l la longueur entre faces suprieures de deux planchers conscutifs :

Figure 4 : longueur libre dans le cas des poteaux des btiments.

On peut considrer de faon forfaitaire :

L0= 0,7 l pour les poteaux lintrieur assembls des poutres de plancher ayant au moins la mme raideur.

L0= l pour les poteaux dextrmits ou de rive

Cependant, on peut galement mener un calcul exact de la longueur de flambement dun poteau partir de la rigidit des lments environnants.

On distingue deux cas de figure pour le calcul de la longueur de flambement L0:

Elments contrevents structure noeuds fixes (schma f ci-dessus) :

Elments non-contrevents dessus)

Les coefficients kA et kB partiels :

O : ( = rotation de flexion EI = rigidit a la flexion de la colonne, l = longueur libre de la colonne entre nus des liaisons dextrmit.

c. Les murs et les voiles

Le dimensionnement dun voile est similaire au dimensionnement dun poteau. Il est donc ncessaire de pouvoir estimer son lancement et

La convention de notation est la suivante (issue de lEC2):

Figure 5

Pour dterminer la longueur de flambement dun mur, on fait la distinction entre deux de figure :

Mur raidi ou non en dehors du plan, par des voiles perpendiculaires par exemple. Mur arm ou non-arm.

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contrevents structure noeuds dplaables (schma g ci

sont les coefficients de souplesse relatifs des encastrements

) = (* = rotation de flexion,

a la flexion de la colonne, l = longueur libre de la colonne entre nus des liaisons dextrmit.

Les murs et les voiles

Le dimensionnement dun voile est similaire au dimensionnement dun poteau. Il est donc ncessaire de pouvoir estimer son lancement et sa longueur de flambement.

La convention de notation est la suivante (issue de lEC2):

5 : convention de notation du voile (selon EC2)Pour dterminer la longueur de flambement dun mur, on fait la distinction entre deux

Mur raidi ou non en dehors du plan, par des voiles perpendiculaires par exemple.arm.

structure noeuds dplaables (schma g ci-

sont les coefficients de souplesse relatifs des encastrements

l = longueur libre de la colonne entre nus des liaisons dextrmit.

Le dimensionnement dun voile est similaire au dimensionnement dun poteau. Il est donc sa longueur de flambement.

: convention de notation du voile (selon EC2) Pour dterminer la longueur de flambement dun mur, on fait la distinction entre deux cas

Mur raidi ou non en dehors du plan, par des voiles perpendiculaires par exemple.

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La gne apporte par les voiles transversaux peut tre prise en compte dans le calcul de la longueur efficace des voiles au moyen dun facteur donn par leurocode 2 au 12.6.5.1. Dans lexpression (12.9) et dans le tableau 1 (tab. 12.1 de lEC 2), on remplace alors lw par l0.

l0 = lw

Avec : lw hauteur libre de llment coefficient qui dpend des conditions dappui :

pour les poteaux, il convient en gnral de retenir = 1 ; pour les poteaux et les voiles libres une extrmit = 2 ;

Valeur de pour des murs non-raidi latralement Dans ce cas, le coefficient est dtermin partir du tableau suivant :

Figure 6 : Valeur de pour des murs non-raidi latralement Valeur de pour des murs raidis latralement Dans ce cas, le coefficient est dtermin partir du tableau suivant :

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Figure 7: Valeur de B pour divers condition de rive

Elancement mcanique du voile

A partir de la longueur de flambement du voile, on peut dterminer son lancement mcanique not , en utilisant la formule suivante :

+ = ,121 III. Prise en compte des imperfections gomtriques et des

effets du second ordre

Cette thorie est une des notions les plus importantes dans le calcul de rsistance au flambement.

1) Imperfections gomtriques

On appelle effets du premier ordre les effets des actions cres par les imperfections gomtriques. Ils ne tiennent pas compte des effets de dformation de la structure.

Lanalyse des lments et des structures doit tenir compte des effets dfavorables des imperfections gomtriques ventuelles de la structure ainsi que des carts dans la position des charges.

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Les imperfections doivent tre prises en compte aux tats limites ultimes, la fois dans les situations de projet durables et dans les situations de projet accidentelles.

Il ny a pas lieu de considrer les imperfections aux tats limites de service

a. Cas forfaitaire

Les imperfections sont reprsentes par une inclinaison globale i de la structure (2 = (,343" ,= $6,, valeur de base recommande et utiliser pour lAnnexe nationale franaise.

34 = 789 : 6$1 ; Coefficient de rduction relatif la longueur ou la hauteur, l = longueur ou hauteur en mtres.

3" = " coefficient de rduction relatif au nombre dlments. o m = nombre dlments verticaux contribuant leffet total

b. Cas des lments isols

Il sagit dlments effectivement isols ou dlments dune structure pouvant tre traits comme tels pour les besoins du calcul. Ces lments sont considrs comme:

contrevents, lorsquils ne contribuent pas la stabilit horizontale densemble de la structure laquelle ils appartiennent ;

non contrevents, dans le cas contraire.

On a le choix entre les deux mthodes ci-dessous (qui conduisent au mme moment extrme dans llment) :

Ajout dune excentricit additionnelle lexcentricit (du premier ordre) de la force extrieure : ?2 = (2 $@6 o , est la longueur efficace de flambement de llment ;

Ou remplacement de linclinaison par une force transversale dans la position conduisant au moment maximal :

A2 = (2B lments non contrevents, A2 = 2(2B: lments contrevents

Figure 8

Une solution alternative simplifie consiste a prendre en compte une excentricit additionnelle telle que : ei= l0/400

c. Cas des structures

On remplace linclinaison globale par une force transversale gale aux composantes horizontales des efforts normaux dans les lments inclins.A2 = (2BC D

A2 = (2 B13

8 : poteau isol contrevent et non contrevent

Une solution alternative simplifie consiste a prendre en compte une excentricit /400.

Cas des structures

Figure 9: systme de contreventement

On remplace linclinaison globale par une force transversale gale aux composantes horizontales des efforts normaux dans les lments inclins. BE:GHIJ ?KKKL7?KN?H9LJ?O?9L?7?9LBC +BE

2: P Q90?JN?H9LJ?O?9L?7?9L.

: poteau isol contrevent et non contrevent

Une solution alternative simplifie consiste a prendre en compte une excentricit

On remplace linclinaison globale par une force transversale gale aux composantes

H9LJ?O?9L?7?9L

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A2 = (2 . BEGHIJ ?KN8QGJQS7?N?LH8LIJ? 2) Effets du second ordre

Le point dapplication de leffort normal nest en fait jamais plac parfaitement au centre de la section, do la cration de petits efforts dsaxs: on appelle effets du second ordre tous les effets additionnels des actions provoqus par les dformations de la structure sous leffet des charges axiales.

Lorsquils sont pris en compte, il faut vrifier lquilibre et la rsistance du poteau ltat dform, en tenant compte des effets de fissuration, des proprits non linaires des matriaux et du fluage.

Les effets du second ordre doivent tre pris en compte lorsquon prvoit quils affecteront de manire significative la stabilit densemble de la structure ainsi que latteinte de ltat limite ultime dans des sections critiques (NF EN 1992-1-1 prcite, article 5.1.4).

Les imperfections doivent tre prises en compte aux tats limites ultimes, la fois dans les situations de projet durables et dans les situations de projet accidentelles, il ny a pas lieu de considrer les imperfections aux tats-limites de service. Dans les btiments, les effets du second ordre sont ngligs sils reprsentent moins de 10 % des effets du premier ordre.

a. Cas les lments isols

Un poteau isol est dit peu lanc si son lancement 0 est infrieur une valeur limite lim : les effets du second ordre sont alors ngligs.

TUVWX6,YZ[\ Avec :

] = >>^,.6_`aaavec eff coefficient de fluage effectif. Par dfaut, A = 0,7 si on connait pas le coeffiecient de fluage.

b = 1 + 2c avec = YdaefYgagf .(ratio mcanique darmatures). Si nest pas connu, on peut prendre une valeur de B= 1,1.

C =1,7 rm avec rm=M01/M02 (rapport des moments du 1er ordre). Si rm nest pasconnu, on peut prendre C=0,7.

M01 et M02 sont les moments du 1er ordre, tels que |M02 |>|M01| Si les moments provoquent des tractions sur la mme face, il convient de prendre rm positif (ce qui donne C 1,7 ). En compression simple, on prend en gnral rm=1.

b. Cas des btiments

Une autre mthode de lEurocode permet de dterminer la ncessit ou non de prendre en compte les effets du 2nd ordre lchelle globale dun btiment. On peut ngliger les effets globaux du second ordre dans un btiment si on satisfait la condition suivante :

h,i j> 9k9k + 1,6nonp6 h,i , qui reprsente la charge verticale totale.

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ns reprsente le nombre dtages. L est la hauteur totale du btiment au-dessus du niveau dencastrement du

moment. Ecd est la valeur de calcul du module dYoung du bton. On prend en gnral le

module dYoung court terme du bton (Ecm). Ic est linertie (en section non fissure) des lments de contreventements.

Attention bien calculer cette inertie dans le plan de contreventement.

LEC2 propose de prendre k1=0,31 mais indique que ce coefficient peut tre modifi dans lannexe nationale de chaque pays (lannexe Franaise propose galement de prendre k 1= 0,31

Sil est possible de dmontrer que les lments de contreventements restent en inerties non-fissures, on peut remplacer le coefficient k1par un coefficient k 2= 0,62 valeur propose par lEC2 et le DAN France, et qui peut tre modifie).

Si lune des conditions nest pas valide, les effets du second ordre sont pris en compte. On peut alors employer une mthode gnrale ou deux mthodes simplifies qui sont les suivantes :

une mthode base sur une rigidit nominale ; une mthode base sur une courbure nominale.

IV. Mthode gnrale

Elle est base sur les courbes contrainte-dformation du bton et de lacier et sur la relation contrainte-dformation pour lanalyse structurale non linaire donne larticle 3.1.5 de la norme NF EN 1992-1-1: cette analyse tient compte de la non-linarit gomtrique et leffet du fluage doit tre pris en compte.

Cest la mthode dintgration des courbures o lon retient le diagramme contrainte dformation du bton et on itre les calculs jusqu quilibre des efforts internes et externes.

Pour une analyse au second ordre (flambement), leurocode 2 retient la loi contrainte dformation du calcul des sections mais o lon remplace dans lexpression 3-14 la valeur de fcm par fcd et la pente Ecm par Ecd = Ecm /1,2.

Avec fcm= fck + 8 MPa

Pourquoi ce remplacement ? Car le diagramme fait appel au module de dformation Ecm du bton ; et lanalyse pourrait donc sous-estimer les dformations et ne pas donner une scurit suffisante surtout quand le second ordre est pris en compte.

Le diagramme parabole rectangle est proscrit pour ltude du second ordre.

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Figure 10: diagramme contrainte dformation

Leurocode 2 dfinit un module tangent lorigine Ec pris gal 1,05.Ecm pour valuer les courbures et les dformations (1/r).

Cette mthode est applicable sous certaines conditions :

Le poteau doit avoir une section constante (aussi bien pour le bton que pour les armatures).

La ligne moyenne est symtrique par rapport la section mdiane. Le poteau doit tre bi-articul ou encastr en pied et libre en tte. Le poteau doit reprendre en tte des moments en ttes qui conduisent des

excentricits non ngligeables (comme par exemple des poteaux de btiments non-intgrs au contreventement).

Le poteau doit tre soumis un effort normal constant. Le poteau doit tre soumis un moment du 1er ordre constant et maximum l/2. Les sections planes restent planes. On considre une parfaite adhrence entre le bton et les armatures (pas de

glissement). Le bton tendu est nglig.

1) Notions dexcentricit interne et externe.

Lquilibre dun poteau est caractris par un quilibre entre lexcentricit interne et lexcentricit externe.

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Lexcentricit externe est directement lie la dformation externe du poteau, c'est--dire la courbure que ce dernier va prendre.

Lexcentricit interne est directement lie la rsistance du poteau, fonction de la section et de la qualit du bton ainsi que de la quantit et de la disposition des armatures.

Le principe de dimensionnement des poteaux est donc de dterminer les dimensions et le ferraillage dun poteau de faon ce que sa rsistance soit suprieure aux effets appliqus.

En dautres termes, on cherche dimensionner le poteau de faon ce que lexcentricit interne (qui traduit la rsistance du poteau) soit suprieure la rsistance externe.

a. Excentricit externe

Concernant les forces externes, il faut majorer les forces agissantes en fonction de la dforme du poteau. Lexcentricit externe est donc directement lie la courbure du poteau.

On assimile le poteau un mat encastr en pied et on assimile la dforme : une demi-onde de sinusode pour un poteau bi-articul ; un quart donde de sinusode pour un poteau en console.

Le moment du second ordre est le moment supplmentaire qui correspond la flche f :

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Dans le repre Oxy li lextrmit libre du poteau, la dforme a pour quation :

= q. K89 r , QO?qq 0?7Qr87Q ??9LL?. La courbure est donne par la relation : 1J = Dq ,6 K89 r , Soit, en pied du poteau et en valeur absolue : 1J = Dq ,6 KH8Lq = ?6 = ,6 . 1J

Lexcentricit externe ou excentricit de leffort normal dans la section la plus sollicite (en pied de poteau) vaut donc :

?`t = ?> + ?6 = ?> + ,6 . 1J Do sa reprsentation dans le repre (e,1/r ) :

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Figure 11 : reprsentation de lexcentricit externe en fonction de la courbure

b. Excentricit interne

Etudions maintenant ce qui se passe l'intrieur de la section quelconque dfinie par le schma suivant (avec un nombre n de barres): extrait de la matrise de leurocode 2 Jean-ROUX-Eyrolles:

Dans cette section, l'tat de dformation est dfini par sa courbure qui correspond la pente du diagramme des dformations. 1J = unr = ukvr D O D Nv

B2 = w xyzny . N{ +, |]vzkv\>

*2 = w xyzny . O D NvN{ +, |]vzkv\> Nv = B2?2\t

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Daprs les diagrammes contraintes-dformations de lacier et du bton, les contraintes sont fonction des dformations relatives, donc de la courbure 1/r daprs les relations de compatibilit.

Do, en liminant les contraintes, puis les dformations, on obtient une relation de la forme :

B2, ?2\t, >~) Cette relation se traduit, dans le plan (e, 1/r) par

Figure 12 : Diagramme, effort normal, courbure et lexcentricit interne

2) Etudes de lquilibre

Pour dfinir l'quilibre de la section, on superpose les deux types de courbes vues prcdemment, et on cherche les intersections possibles.

Si les deux courbes n'ont pas d'intersection, il n'y a pas d'quilibre possible. Si les deux courbes ont une intersection, il y a un quilibre possible qui peut tre

stable ou instable.

21

Figure 13 : Diagramme de lquilibre

La charge critique Nu,c correspond la courbe des Ni qui est la tangente la droite eext

Si en E1, on carte le poteau de sa position d'quilibre en augmentant sa courbure, on a eint qui croit plus vite que eext, ce qui tend le poteau a revenir sa position initiale. On a donc un quilibre stable.

Au point E2, c'est l'inverse qui se produit, on a donc un quilibre instable.

On dit que la stabilit gnrale d'une section est assure si, pour une dforme donne, on peut trouver un tat de dformation interne qui satisfait les deux conditions suivantes :

B2\tu, 1J B`t?L?2\t u, 1J = *2\t u,

1JB2\t u, 1J ?`t = ?> + q;

Cette mthode a l'avantage de pouvoir tre applique n'importes quelles formes de section mais prsente l'inconvnient d'tre longue appliquer (calcul itratif).

.

22

V. Mthode base sur la rigidit nominale

1) Domaine de validit

La mthode de la rigidit nominale consiste tenir compte des effets du second ordre par amplification du moment du premier ordre.

Cette mthode sapplique aux ossatures et aux poteaux isols condition que leur rigidit soit estime dune faon approprie.

Pour les structures hyperstatiques, il faut tenir compte des effets dfavorables de la fissuration des lments adjacents llment considr. Pour simplifier, dfaut dun calcul plus prcis, on peut admettre :

Que les sections sont entirement fissures ; Que le module du bton vaut :

no,`aa = no1 + `aa Avec :

Ecd= valeur de calcul du module dlasticit donne au 6.2, eff= coefficient de fluage effectif.

Cette mthode nest retenir que si lAnnexe nationale dun pays lautorise (ce qui est le cas de lAnnexe nationale franaise).

2) Rigidit nominale

La rigidit nominale dun poteau ou dun lment dossature est donne par la formule = )nnon + )kkk no = gg valeur de calcul du module de dformation du bton. Ic inertie de la section bton. Es module dlasticit de lacier. k = 2 Yd6 46 D inertie des armatures par rapport au centre de gravit de la

section de bton seul, c tant lenrobage de larmature longitudinale. Kc coefficient qui tient compte de la contribution des armatures. Les coefficients Kc et Ks dpendent du ratio darmatures en place :

a. Cas ou , < , jk=1 et jn = >^_ j> = , 0.2 avec 9 = fYgagf

23

b. Cas ou ,

jk=0 et jn = ,,>^_ On voit que lorsque le pourcentage darmatures dpasse 1% de la section de bton, on ne

tient plus compte des armatures dans lestimation de la rigidit nominale. Bien que lEC2 nindique pas la raison de cette limite, on peut en faire linterprtation suivante :

Lorsque quun poteau contient trop darmatures, ces dernires vont reprendre un effort de compression important et tre sujette au flambement.

De plus, une trop grande section darmatures va engendrer des problmes dadhrence entre les aciers et le bton.

Par consquent, on voit que la mthode de la rigidit nominale nest intressante que pour des poteaux ayant un pourcentage darmatures infrieur 1%. Au-del, seule la section de bton participe la rigidit nominale.

3) Principe de la mthode

Le moment total, incluant les effets du second ordre, est dfini comme une valeur majore du moment du 1er ordre

*i = *,o 1 + BZBo D 1 *,o moment du 1er ordre ( lELU) tenant compte des imperfections gomtriques. N Ed : effort normal agissant lELU

est un coefficient qui dpend de la distribution des moments du 1er ordre et du 2nd ordre. Dans le cas dlment isol, de section constante et soumis un effort normal constant, on peut dterminer ce coefficient laide de la formule suivante :

= 6, Le coefficient C0 dpend de la distribution du moment du 1er ordre :

C0=8 si le moment est constant.

C0=9,6 pour une distribution parabolique.

C0=12 pour une distribution triangulaire symtrique.

Dans le cas des lments non soumis une charge transversale, on prend galement C0=8

Dans le cas ou un lment ne rempli pas les conditions prcdentes (section variable, effort normal variable, rpartition de moment autres), on prend = 1.

Leffort NB reprsente la charge de flambement (charge critique dEuler) base sur la rigidit nominale :

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BZ = 6 ,6 On utilise ensuite ce moment de calcul pour faire un dimensionnement en flexion

compose, le plus souvent en section entirement comprime.

On voit bien que le calcul doit tre itratif car il faut connatre la section darmature pour pouvoir dterminer la rigidit nominale et donc les efforts du second ordre.

VI. Mthode base sur la courbure nominale

1) Domaine de validit

La mthode de la courbure consiste tenir compte des effets du second ordre en se donnant la valeur de lexcentricit du second ordre de faon forfaitaire.

Cette mthode sapplique aux lments isols dans lesquels leffort normal est constant sur toute leur hauteur et pour lesquels la longueur efficace est connue.

Cette mthode nest retenir que si lAnnexe nationale dun pays lautorise (ce qui est le cas de lAnnexe nationale franaise).

2) Principe de la mthode

Le principe de la mthode consiste ramener la vrification au flambement un calcul lELU de rsistance en se donnant la valeur de lexcentricit du second ordre de faon forfaitaire.

Le moment de calcul vaut : Med=M 0Ed + M 2

M0Ed moment du 1er ordre incluant les imperfections gomtriques.

M2 Moment nominal du second ordre.

Lorsque llment est soumis deux moments diffrents ( chacune de ses extrmits), on peut les remplacer par un moment quivalent :

*,` = 0,6*,6 +*,>0,4*,6 ; Avec :

M02 et M01 de mme signe sils donnent des tractions du mme ct de llment, de signe oppos dans le cas contraire,

Le moment M2 est calcul partir de la courbure : M2=Ned e

Ned : effort normal agissant de calcul. ?6 = >~ $@n L0 longueur de flambement On prend c=8 si le moment est constant, c= 10 dans les autres cas.

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3) Calcul de la courbure

Pour dterminer la courbure partir de la formule ci-dessous, il faut que la section droite soit constante et que le ferraillage soit symtrique 1J = )~)_ 1J,

Avec :

Kr= coefficient de correction dpendant de leffort normal,

)~ = 9 D 99 D 9CE$ 1 9 = fYgagf 9 = 1 + c c = YdaefYgagf 9CE$ = 0.4

K= coefficient de correction tenant compte du fluage, )_ = 1 + .?q 1 = 0,35 + qn200 D +150

>~@ = ef,,.o

Avec uo = aefd d hauteur utile de la section.

De la mme faon, on utilise ensuite ce moment de calcul pour faire un dimensionnement en flexion compose le plus souvent en section entirement comprime (diagrammes dinteraction).

Si lon cherche vrifier au flambement un lment dont les armatures sont connues, on vrifie que :

]k = ]k>]k6 ; ]k,~h = ]k>,~h]k6,~h ;

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VII. Application : vrification au flambement par la mthode de

lestimation de la courbure Enonc

Sollicitations :

Pu=0.3 MN et Nser= 0.105 MN excentres de e0 = 9,6 cm, poids propre nglig. Poteau isol contrevent

Matriaux :

bton : fck=30 MPa , ef=2; aciers : S 500 palier horizontal ;

On se propose :

Dexaminer la ncessit du calcul au flambement en supposant ef inconnu ; De calculer le moment total (premier ordre et second ordre) par la mthode de

lestimation de la courbure ; De calculer les armatures longitudinales dans le cas o la section est arme

symtriquement ; De vrifier le poteau au flambement

Corrig

Caractristiques des matriaux :

Bton :

fck

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qno = 3nn agg = 1. 25/1,5=16,7 MPa qn" = qn + 8 = 33*PQ n" = 22000 ag>, ,. = 31476*PQ qnt" = 0,3qj6/ = 2,56*PQ Acier :

qo = aed = 435*PQ 1) Ncessit du calcul au flambement

Daprs lnonc la section darmatures non encore dtermine As= 0 cm et la longueur de flambement pour un poteau libre en tte encastr en pieds l0=2l=12m

= U@>6 = >6>6,. = 104 Poteau isol : = U@V >? 6,...

] = >>^,.6_`aaavec eff coefficient de fluage effectif. Par dfaut, A=0,7 si on ne connait pas le coefficient de fluage.

b = 1 + 2c avec = YdaefYgagf .(ratio mcanique darmatures). Si nest pas connu, on peut prendre une valeur de B= 1,1.

C =1,7 rm avec rm=M01/M02 (rapport des moments du 1er ordre). Si rm nest pas connu, on peut prendre C=0,7.

9 = fYgagf = ,.,,.>, = 0,112

= 104 > lim = 32,21 Donc il y a une ncessit de prendre les effets du second ordre. 2) Sollicitations du premier ordre en pied de poteau

NEd= 0,3 MPa et e=9,6 cm.donc MEd= 0,0288 MNm Poteau isol dune structure contrevente ei=l0/400 = 0,03 cm

Sollicitations corriges pour le calcul en flexion compose:

Bo = 0,3*B*o = 0,3. 0,096 + 0,03 = 0,038*B7?, = 0,096 + 0,03 = 0,126 ; 3) Courbure

La mthode de lestimation de la courbure est impose par lnonc.

La courbure est obtenue par la formule : 1J = )~)_ 1J,

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Avec :

Kr= coefficient de correction dpendant de leffort normal,

)~ = 9 D 99 D 9CE$ 1 9 = fYgagf = 0,112 9 = 1 + c = 1 c = YdaefYgagf = 0GI8KI? QK?L8H9?KL89H99I? 9CE$ = 0.4 Donc )~ = >,,>>6>,, = 1,48 On prend Kr=1

K= coefficient de correction tenant compte du fluage, = 0,35 + qn200 D +150 = 0,35 + 25200 + 104150 = D0,218 )_ = 1 + .?q 1 Donc )_ = 1

>~@ = ef,,.o = 6,>.>,,,.,, = 0,01387>

Avec uo = aefd = 6,,,,, = 2,175. 10 Donc

>~@ = 0,01387> 1J = 1.1.0,0138 = 0,01387> 4) Moment ultime de calcul total

?6 = ,6 1J On a c=10 donc ?6 = 1210 10,0138 = 0,1997 Donc le moment corrig compte tenu des effets du second ordre calcul avec la formule suivante :

MEd=M0Ed+M2

Avec M0Ed=0,038 M2=NEd.e2 moment du second ordre o NEd effort normal agissant de calcul

NEd=0,300 MN donc M2= 0,3.0,199=0,0597 MNm

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Donc MEd=0,038 + 0,0597 =0,0977 MNm

5) Calcul des armatures

La section tant arme symtriquement, nous utiliserons les diagrammes dinteraction :

Pour une section symtrique (bton et armatures), il convient de prendre en compte le supplment dexcentricit :

?, = *Qr 2077 3 = 40030 = 13.377; On recalcule le moment pour cette excentricit additionnel *o = *o + Bo?, donc *o = 0,0977 + 0,3.0,02 = 0,1037*B7

Calcul des arguments dentre dans labaque dinteraction : = fC.4.agf = ,,>,,.,,,.>, = 0,097 Bo = Bo et = fC.4.agf=0,112 En utilisant le diagramme dinteraction on trouve = 0,13 Donc la section darmatures ] = ]k> + ]k6 = . x. agfaef]k> = ]k6 ; ]k> = ]k6 = >6. x. agfaef = AN : ]k> = ]k6 = >6 0,130.40.40 >,= 3,99 cm

Comme nous avons ]k> + ]k6 > ]k,~h = 07 nous effectuons une vrification au flambement pour la section darmatures que nous venons de dterminer et que nous adopterons comme section relle.

6) Vrification au flambement

Dispense de vrification au flambement avec la nouvelle section darmature

= U@V >? 6,... ] = >>^,.6_`aaavec eff inconnu donc, A=0,7 b = 1 + 2c avec = YdaefYgagf . = 6.,.,.,.>, = 0,13 donc B= 1,122. C =1,7 rm avec rm=M01/M02 (rapport des moments du 1er ordre). Si rm nest

pas connu, on peut prendre C=0,7. 9 = fYgagf = ,.,,.>, = 0,112

= 104 > UVW = 33,51 Donc on a une ncessit de prendre en compte les effets du second ordre.

Pour cette itration, la section darmatures nintervient que pour le calcul du Coefficient Kr o elle est prise en compte par le biais du coefficient,

Comme, Bo = 0,300*Bcalcul total sont inchangs et on peut conserver la section trouv ci

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Pour cette itration, la section darmatures nintervient que pour le calcul du Coefficient Kr o elle est prise en compte par le biais du coefficient, 9 1 c.

*B BCE$ 0,4.40.16,7 1,06*B donc le Kr et le moment de al sont inchangs et on peut conserver la section trouv ci-dessus. A

Pour cette itration, la section darmatures nintervient que pour le calcul du Coefficient

donc le Kr et le moment de dessus. As1=3,99 cm

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Finalement on trouve que le poteau dont la section des armatures As= 3,99 cm quon a calcul est vrifi au flambement puisque:

]k = ]k> = 3,997]k6 = 3,997;]k,~h = :]k>,~h = 3,997]k>,~h = 3,997;

Le tableau ci-dessus montre une synthse de calcul avec deux mthodes diffrentes. On constate que la mthode de la rigidit nominale demande plus ditrations que la mthode de la courbure. Le dtail de calcul des deux mthodes est en annexe.

Synthse:

Itration Section As initiale Elancement Elanc. lim EI (MN.m)

Med de calul

total

1er et 2nd

Ordre(MN.m)

As calcule (cm) stabilit du poteau

1 8,00 103,92 32,80 5,03 0,40 48,45 Poteau instable

2 48,45 103,92 32,80 8,39 0,10 7,36 Poteau stable

3

4

5

Synthse:

Itration Section As initiale Elancement Elanc. lim Courbure

Moment

Total (1er et

2nd ordre)

As calcule (cm) stabilit du poteau

1 8,00 103,92 32,80 0,01 0,11 7,97 OK

Mthode de la rigidit nominale

Mthode de la courbure

VIII. Conclusion gnrale

LEurocode 2 propose de justifier ou de dimensionner les structures vis--vis des instabilits par trois mthodes diffrentes, chaque mthode est applique dans des conditions dtermines.

Le choix de la methode sera en fonction du domaine dapplication de celle-ci. Si les conditions de llment justifier ou dimensionner permet dutiliser plusieurs mthodes, le critre conomique sera dterminant dans le choix du calculateur, c'est--dire que lingnieur va prviligier celle qui lui permettra de gagner en temps de calcul et en conomie du matriel de construction (section dacier par exemple). La mthode de la courbure nominale a lavantage dtre la moins longue dans le calcul et elle donne des sections plus conomique par rapport aux autres mthodes.

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Rfrences bibliographiques:

PAS J., cours Bton Arm Conservatoire National des Arts et Mtiers . 2010-2011

PAILLET J.M., Calcul des structures en bton arm, AFNOR et Groupe Eyrolles, 2009 ;

J. ROUX. Matrise de lEurocode 2, AFNOR et Groupe Eyrolles, 2009. Norme europenne EN 1992-1-1. Eurocode 2 : Calcul des structures en bton

Partie 1 : Rgles gnrales et rgles pour les btiments. AFNOR, avr. 2004.