les quaternions et les rotations

7/24/2019 Les Quaternions Et Les Rotations

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LES QUATERNIONS ET LES ROTATIONS

1. Les nombres complexes C

La construction du corps non commutatifH de quaternions est une variante plus compliquede la construction du corps commutatif C de nombres complexes. Donc on commence enrappelant la construction de C partir de R.

Les nombres complexes scrivent a+bi avec a, b R. Donc C est un espace vectoriel surR de dimension 2 avec base{1, i}. La loi daddition de C est celle que C possde en tantquespace vectoriel. La multiplication est R-bilinaire , et 1est llment neutre. Cela signifiequon peut dvelopper un produit comme

(a + bi)(c + di) =ac + adi + bci + bdi2. (1)

Finalement on fixei2 = 1. Cela nous donne la formule(a+ bi)(c +di) = (acbd)+(ad +bc)i.Quand on dfinit C et ses oprations dans cette faon, il nest pas vident a priorique la

multiplication est associative ou commutative. Les autres proprits des lois laddition estassociative et commutative avec un lment neutre 0 et des opposs avec z + (z) = 0, etil y a la loi de distributivit se dduisent des faits que C est un R-espace vectoriel et lamultiplication est bilinaire. Pour lassociativit de la multiplication, on pourrait dvelopperles deux membres de lquation

(a + bi)(c + di)

(e + f i) = (a + bi)

(c + di)(e + f i)

et les comparer. Mais cest un peu lourd. Aprs dveloppement il y a 8 termes de chaque ct.Mais cause de la bilinarit de la multiplication, on peut rduire ce calcul la vrificationquon a (uv)w = u(vw) pour u,v , w {1, i}. Cela remplace un calcul lgrement gros avec8 + 8 termes par 8 petits calculs. De plus 7 des 8 calculs sont pris en charge par le lemmesuivant.

Lemme 1.1. SoitEun ensemble muni dune loi de multiplicationEE Eavec un lmentneutre1 E satisfaisant 1u= u1 =u pour toutu E. Alors pour toutu, v E on a

(1u)v= 1(uv), (u1)v= u(1v), (uv)1 =u(v1).

En effet, toutes ces expressions sont gales uv. Ce lemme soccupe de tous les calculs de(uv)w= u(vw) avec u,v , w {1, i} avec au moins un des nombres u, v, w est1. Il nous resteun seul calcul

(ii)i= (

1)i=

i= i(

1) =i(ii). (2)

Donc la vrification de lassociatitivit de la multiplication dans C peut se rduire au petitcalcul (2), si on prend compte de la bilinarit de la multiplication et des proprits de llmentneutre1.

. La R-bilinaritsignifie que pour r R et u,v, w C (ou H) on a

(u + v)w= uw + vw, (ru)v= r(uv), u(v+ w) = uv + uw, u(rv) =r(uv).

Cest dire, pour tout u C les applications C C envoyant zz u et zuz sont R-linaires.

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2 LES QUATERNIONS ET LES ROTATIONS

La commutativit de la multiplication dans C se rduit dans la mme faon la vrificationquon a uv = vupour u, v {1, i}. Cela se fait trs facilement parce que le neutre 1 commuteavec tout lment, et i comme tout lment commute avec lui-mme.

Une autre approche la dfinition des nombres complexes est didentifier C au lespace de

matricesCmat=

a bb a

a, b R

M2(R). (3)Les lments de Cmat scrivent donc a1 + bj avec a, b R et

1=

1 00 1

, j=

0 11 0

. (4)

Donc Cmat est un R-espace vectoriel de dimension 2 avec base{1,j} . Comme 1 est lamatrice identit, il est llment neutre pour la multiplication des matrices. La multiplicationdes matrices donne

12 =1, 1j= j1 = j, j2 = 1, (5)et en dveloppant

(a1 + bj)(c1 + dj) = (ac bd)1 + (ad + bc)j. (6)Donc lapplication : C Cmat envoyant a+ bi a1+ bj est une bijection telle que lessommes et produits de membres correspondants de C et Cmat correspondent : (x+ y) =(x) +(y) et (xy) = (x)(y). On dit que Cmat est un anneau isomorphe au C usuel.Lavantage deCmatpar rapport la dfinition prcdente de C est que la multiplication dansCmat est la multiplication de matrices, qui est connue dtre associative. Donc la vrificationdirecte de lassociativit de la multiplication nest pas ncessaire pour CmatLe dsavantage deCmatest quil faut vrifier que le produit de deux membres de Cmatreste dans le sous-espaceCmat de M2(R). Mais par la R-bilinarit de la multiplication, il suffit de montrer que lesproduits de membres de la base{1,j}sont dans Cmat, et ceci est fait dans (5).

La conjugaison complexe a une interpretation matricielle jolie. Pour une matrice 22dfinissons sa conjuguedans la faon suivante :

A=

a b

c d

, conj(A) =

d bc a

. (7)

Pour toute matrice 2 2on aA conj(A) = conj(A)A= (ad bc)1. (8)

On critdet A= ad bc ; cest le dterminantdeA. Pour une matrice z = a1 + bj Cmat, ona conj(z) =a1 bj. Donc on a bien retrouv la conjugaison complexe. On a det z= a2 +b2,qui est un rel >0 quand z =0.

Le choix du sous-espace vectoriel Cmat M2(R)nest pas un hasard. Chaque z Cdfinitlapplication linaire de multiplication par z

z : C Cw zw. (9)

Ecrivons les membres de R2 comme des vecteurs colonnes ( xy) au lieu de la notation (x, y)classique. Alors on peut identifier C=R2 en identifiant x+yiC ( xy)R2. Alors pour

. On choisit la lettre j cause des notations dans Hmat ci-dessous.


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LES QUATERNIONS ET LES ROTATIONS 3

z = a + bi C, lapplication z : C C de (9) sidentifie lapplication R2 R2 envoyantx

y

a bb a

x

y

. (10)

Voil les matrices de Cmat.

2. Les quaternions : version matricielle Hmat

On commence avec lapproche matricielle. Dfinissons

Hmat=

z ww z

z, w C

M2(C). (11)

Les membres de Hmat scriventa + bi c dic di a bi

=a1 + bi + cj + dk (12)

aveca, b, c, d R et

1=

1 00 1

, i=

i 00 i

, j=

0 11 0

, k=

0 ii 0

. (13)

Donc Hmat est un sous-espace vectoriel rel de M2(C) de dimension 4 avec base{1, i,j, k}.Calculons les produits de membres de la base. La matrice identit1 est llment neutre pourla multiplication des matrices

12 =1, 1i= i1 = i, 1j= j1 = j, 1k= k1 = k. (14)

Les carrs des autres membres de la base sont

i2 = 1, j2 = 1, k2 = 1. (15)Les autres produits sont

ij= k, jk= i, ki= j,

ji= k, kj= i, ik= j. (16)Donc tous les produits de membres de la base de Hmat sont dans Hmat. Par la bilinarit dela multiplication de matrices, on en dduit que tout produit de membres de Hmat reste dansle sous-espace vectoriel rel Hmat M2(C). Donc la multiplication de matrices se restreint une multiplication Hmat Hmat Hmat.

Laddition et la multiplication dans Hmatest laddition et la multiplication de matrices, doncelles vrifient toutes les proprits de celles-ci : lassociativit, la distributivit, les propritsdes lments neutres 0 et 1. Laddition est commutative, mais la multiplication ne lest pas(voir (16)). De plus, comme Hmat est un espace vectoriel rel, il y a aussi une opration demultiplication par un scalaire r R :

r(a1 + bi + cj + dk) =ra1 + rbi + rcj + rdk.

La multiplication Hmat Hmat Hmat est R-bilinaire.Lopration de conjugaison de (7) envoye

a + bi c dic di a bi

a bi c + dic + di a + bi

.

Donc on aconj(a1 + bi + cj + dk) =a1 bi cj dk (17)


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On a

det


= |a + bi|2 + |c + di|2 =a2 + b2 + c2 + d2,

qui est rel et qui est >0 pour a1 + bi + cj + dk =0. On voit que tout membre de Hmat sauf0 a un inverse dans Hmat

(a1 + bi + cj + dk)1 = 1

a2 + b2 + c2 + d2(a1 bi cj dk).

Important : La division nest pas rellement une opration fondamentale au mme niveauque laddition, la multiplication et les opposs et inverses. Diviserr pars veut dire multiplier

r et s1. Pour des rels, dont la multiplication est commutative, la notation rs ne pose pasde problme parce quil ny a quune valeur possiblers1 =s1r. Pour les quaternions, avecune loi de multiplication non commutative, la notation symtrique u

vnest pas utilise parce

quelle a deux interpretations asymtriques et distinctesuv1 =v1u.Dans le cadre des quaternions, on met dans un dnominateur uniquement un

rel non nul.

Proposition 2.1. Pouru, v Hmat etr R on aconj(u + v) = conj(u) + conj(v), conj(ru) =r conj(u),

conj(uv) = conj(v) conj(u), conj(conj(u)) =u. (18)

La conjugaison est donc une opration R-linaire et auto-inverse qui inverse lordre deproduits.

Preuve. La seule formule qui nest pas immdiatement claire est conj(uv) = conj(v) conj(u).On rduit par la R-bilinarit de la multiplication dans Hmat aux cas particuliers u, v{1, i,j, k}quon vrifie la main.

3. Les quaternions : version abstraite H

On peut dfinir les quaternions sans utiliser des matrices. On dfinit H comme un espacevectoriel sur R de dimension4 avec base {1,i ,j ,k}. Ses membres sappellent des quaternions,et ils scrivent sous la formea + bi + cj + dkaveca,b, c, d R. La structure despace vectorielrel nous donne dj deux oprations : laddition et la multiplication par un scalaire rel

(a + bi + cj+ dk) + (e + f i + gj+ hk) = (a + e) + (b + f)i + (c + g)j+ (d + h)k, (19)

r(a + bi + cj+ dk) =ra + rbi + rcj+ rdk. (20)

. Une autre dmonstration se fait en notant quon aconj(A) = P tAP1 pour P = ( 0 11 0

). Alors on dduit

de t(AB) = tB tA et de P(CD)P1 = (P CP1)(P DP1) quon a conj(AB) = conj(B) conj(A) pour toutesmatricesA, B.

Pour les savants : Notre conjugaison A P tAP1 est lanti-involution induite sur M2(C) = HR Cpar la conjugaison deH. Linvolution A P AP1 est linvolution sur M2(C) = HR C induite par laconjugaison deC. Le sous-espaceHmat M2(C) est le sous-anneau de matrices invariantes sous la dernire

involution, qui est ( a bc d

)

d c

b a

.


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La multiplication H H Hest dfinie pour les membres de la base par les mmes formulesque (14)(16) :

12 = 1, 1i= i1 =i, 1j = j 1 =j, 1k= k1 =k,

i2

= 1, j2

= 1, k2

= 1,ij = k, jk= i, ki= j,

ji = k, kj = i, ik = j.

(21)

On peut se souvenir des signes dans les deux dernires lignes de formules en notant lasuivante :Siu, v, wsont trois membres conscutifs de la suite priodiquei, j, k, i,j ,k ,i ,j, k, . . . ,alors on auv= w et vu = w.

Ce produit stend deux quaternions gnraux par bilinarit

(a0+ a1i + a2j+ a3k)(b0+ b1i + b2j+ b3k)

= (a0b0 a1b1 a2b2 a3b3) + (a0b1+ a1b0+ a2b3 a3b2)i+ (a

0b

2+ a

2b

0+ a

3b

1 a

1b

3)j+ (a

0b

3+ a

3b

0+ a

1b

2 a

2b

1)k. (22)

En pratique, on dveloppe le produit en termes de produits dlments de la base {1,i ,j ,k},puis on applique les formules (21) aux termes. Par exemple

(4 + i)(2 3j) = 4 2 4 3j+ i 2 i 3j= 8 12j+ 2i 3k= 8 + 2i 12j 3k.Dfinition 3.1. Un quaternion est relsil est de la former = r + 0i + 0j + 0k avec r R. Ilest imaginaire pursil est de la forme bi + cj+ dk avec b, c, d R. Lensemble de quaternionsrels sidentifie R. On notera

Hpur = {quaternions imaginaires purs} = {bi + cj+ dk | b,c,d R} H. (23)Tout quaternion a une partie relleet une partie imaginaire

e(a + bi + cj+ dk) =a R, (24)m(a + bi + cj+ dk) =bi + cj+ dk Hpur. (25)

La partie relle dun quaternion est donc bien un nombre rel, mais la partie imaginaire a troiscomposantes.

Les quaternions rels commutent avec tous les autres

r(a + bi + cj+ dk) =ra + rbi + rcj+ rdk = (a + bi + cj+ dk)r,

et la multiplication avec un quaternion rel r concide avec la multiplication par le scalairer R dans lespace vectoriel H.

Parmi les quaternions rels sont0 = 0 + 0i + 0j+ 0k et1 = 1 + 0i + 0j+ 0k.

Thorme 3.2. Soitu, v,w Hetr R. Alors les oprations de(19)(22)ont les propritssuivantes

(u+v) +w= u+ (v+w), u+v= v+u, u+0= u,

u(v+w) =uv+uw, (u+v)w= uw+vw, ru= ur,

1u= u, 0u= 0, (1)u= u,u+ (u) =0, (uv)w= u(vw).

(26)


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La multiplication nest pas commutative : uv= vu en gnral. Toutes les formules se d-duisent facilement de (19)(22) sauf lassociativit(uv)w= u(vw). On peut dmontrer lasso-ciativit dans deux manires.

Premire dmonstration de lassociativit dans H. Lapplication de H vers Hmat envoyant lequaterniona + bi + cj+ dk en la matrice

a1 + bi + cj + dk=


Hmat M2(C)

est une bijection. La multiplication dans Hmatest dfinie comme la multiplication des matrices,qui est associative. Les produits calculs dans Hmat dans (14)(16) et les produits dfinisdans H dans (21) correspondent. Donc si u, v, w Hmat sont les membres correspondant u ,v ,w H, lquation (uv)w = u(vw) dans Hmat implique lquation (uv)w = u(vw) dansH.

Deuxime dmonstration de lassociativit dansH. En dveloppant les produits de quater-nions gnraux par la bilinarit, on se rduit avoir dmontrer (uv)w = u(vw) pouru ,v ,w {1,i ,j ,k}. Si on au = 1ou v = 1ou w = 1, alors lquation se dduit du lemme1.1.Donc les cas importants sont u, v ,w {i,j,k}.

Dabord traitons les cas avec u= i. Ils sont

(ii)i= (1)i= i= i(1) =i(ii),(ii)j = (1)j= j = ik = i(ij)(ii)k = (1)k = k = i(j) =i(ik),(ij)i= ki= j =i(k) =i(ji),(ij)j =kj= i= i(1) =i(jj ),

(ij)k= kk= 1 =ii = i(jk),(ik)i= (j)i= k = ij = i(ki),(ik)j= (j)j = 1 =i(i) =i(kj),(ik)k= (j)k= i= i(1) =i(kk).

(27)

Ensuite notons que dans les quations (21) dfinissant le produit des i, j, k si on substitue

simultanment i j et j k et k i, alors lensemble de formules ne changent pas. Doncsi on fait ces mmes substitions dans le calcul montrant par exemple (ii)j=i(ij), on obtientun calcul montrant (jj )k = j(jk). En faisant ces substitution dans les calculs ci-dessus, ontrouve des calculs montrant (jv)w= j (vw)pour tout v, w {i,j,k}.

Similairement si dans les calculs ci-dessus on substitue simultanment i k et j i etk j, on trouve des calculs montrant (kv)w= k(vw) pour tout v, w {i,j,k}. Dfinition 3.3. Le conjugudun quaternion est

a + bi + cj+ dk= a bi cj dk. (28)Donc la conjugaison quaternionique ne change pas la partie relle, et elle change tous les

signes dans la partie imaginaire.

Thorme 3.4. Soitu, v H etr R. Alors on au+v= u+v, ru= ru,

u= u, uv= v u.

Ainsi le conjugu dun produit est le produit des conjugus dans lordre inverse. Cestcomme dans les formules pour les transposes et inverses de matrices t(AB) = tB tA et(AB)1 =B1A1.


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Preuve. Les trois premires formules sont immdiates. La R-linarit de la conjugaison etla R-bilinarit de la multiplication entranent quil suffit de vrifier uv = v u pour u, v{1,i ,j ,k}. On a 12 = 1 = 12. Pour u {i,j,k} on a 1u =u = u1 et u1 =u = 1u etu2 =

1 =u2. Finalement, si u, v, w sont trois termes conscutifs dans i ,j ,k ,i ,j ,k ,. . . , alors

on a uv= w = w= (v)(u) =v uet vu = w= w = (u)(v) =u v. Thorme 3.5. Soitu= a + bi + cj+ dk un quaternion (aveca,b, c, d rels). Alors

uu= uu = a2 + b2 + c2 + d2. (29)

Ainsi on a toujoursuu R, et on auu> 0 pouru =0.Preuve. On a

uu=

a + (bi + cj+ dk)

a (bi + cj+ dk)=a2 + (bi + cj+ dk)a a(bi + cj+ dk) (bi + cj+ dk)2=a2 + 0 (bi + cj+ dk)(bi + cj+ dk)=a2 b2i2 + c2j2 + d2k2 + bc(ij+ ji) + bd(ik+ ki) + cd(jk + kj)=a2 (b2 c2 d2 + 0)=a2 + b2 + c2 + d2.

En substituant u = a bi cj dk pour u, on trouveuu= a2 + (b)2 + (c)2 + (d)2 =a2 + b2 + c2 + d2.

Dfinition 3.6. La norme dun quaternion u = a+bi+ cj + dk (avec a,b, c, d rels) est lerel

u =uu=

a2 + b2 + c2 + d2.

On a

u

>0 pour tout u

= 0, et

0

= 0.

Le thorme et la dfinition nous donnent alors les formule

uu= u2 R0, u = u (30)pour tout quaternion u, avecu2 >0 pour u =0.

La norme dun quaternion est lanalogue du module|z| = zz = a2 + b2 dun nombrecomplexez= a + bi.

En multipliant (30) par le rel 1u2 , on trouve une formule pour linverse de u.

Thorme 3.7. Soitu un quaternion avecu =0. Alorsu est inversible avecu1 = 1u2 u.Corollaire 3.8. Soitu un quaternion avecu = 1. Alorsu est inversible avecu1 =u.Thorme 3.9. Soitu =0 etv =0 des quaternions. Alors on auv =0 et(uv)1 =v1u1.

Noter que(uv)1 =v1u1 =u1v1 en gnral parce que la multiplication de quaternionsnest pas commutative.

Preuve. Par le thorme 3.7, u et v sont inversibles. Le produit uv des deux inversibles etinversible avec inverse v1u1 (car uvv1u1 = 1 et v1u1uv = 1), et un inversible est nonnul.


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Ces deux derniers thormes sont non triviaux. Dans M2(R) il y a des matrices qui sontqui sont ni nulles ni inversibles, et parfois le produit de deux matrices non nulles est nulle. Parexemple, A= ( 1 00 0 ) et B = (

0 00 1 ) ne sont ni nuls (de rang 0) ni inversibles (de rang maximal

2), et leur produit est nul : AB= ( 0 00 0 ).

Thorme 3.10. Soitu, v des quaternions etr un rel. Alors on auv = uv.En particulier pour r R et u H on aru = |r|u.

Preuve. On a

uv2 =uvuv= uvvu= uv2u.Commev2 est un rel, il commute avec tous les quaternions. Do on a

uv2 =uuv2 = u2v2 = uv2.En prenant les racines carres de ces rels, on trouveuv = uv.

Les matrices de Hmat se retrouvent dans la manire suivante. On identifie les nombres

complexes aux quaternions de la forme a + bi= a + bi + 0j + 0k. On munit H dune structurede C-espace vectoriel en utilisant la multiplication droite par les membres de C :

C H H(z, u) uz.

Comme chaque quaternion a une unique criture sous la forme

u= a + bi + cj+ dk = 1(a + bi) + j(c di) = 1z+ jw,avec z = a+bi et w = c di dans C, on voit que{1, j} est une base du C-espace vectorielH. Chaque quaternion a aussi une unique criture sous la forme

u= a + bi + cj+ dk= (a + bi) + (c + di)j = z + wj.

Noter quon a wj =j w pour tout w C.Maintenant pour chaque u H on a une application

u : H Ha ua.

Cette application est C-linaire parce quelle vrifie

u(a+b) =u(a+b) =ua+ub= u(a) + u(b),

u(az) =u(az) = (ua)z = u(a)z.

La multiplication gauche par des lments de H commute avec la multiplication droite parles lments deC. Pour u = z + wj avecz , w C, laction de u sur la base {1, j} est donnepar

u(1) = (z+ wj)1 =z + wj = 1z+ jw,

u(j) = (z+ wj)j= w+ zj = 1(w) +jz .Donc la matrice de u dans la C-base{1, j}de H est

z ww z

.


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4. La gomtrie de R3

Lapplication la plus importante des quaternions est aux rotations de R3. Donc rappelonsun peu de la gomtrie de R3.

Deux vecteurs u= (u1, u2, u3)et v= (v1, v2, v3)dans R3 ont un produit scalaire u

v

R

et un produit vectoriel u v R3 :u v= u1v1+ u2v2+ u3v3,

u v= (u2v3 u3v2, u3v1 u1v3, u1v2 u2v1).Certains crivent u v au lieu de u v. Les deux produits sont bilinaires ,et ils vrifientu v= v u et u v= v u et ainsi u u= 0. La norme euclidiennedun vecteur est

u =

u u=

u21+ u22+ u

23.

Pour r un rel on aru =|r|u. On au 0 pour tout u R3, et on au > 0 pourtout u =0.

Deux vecteurs uet v sont orthogonauxsils vrifient u

v= 0. Langleentre deux vecteurs

non nuls est dfini par 0 etcos =

u vuv . (31)

Le produit vectoriel vrifie

u (u v) = 0, v (u v) = 0, u v = uv sin . (32)Les deux premires formules de (32) se vrifient par substitution. Pour la troisime on vrifiela formuleu v2 = u2v2 (u v)2 par substitution. Par (31) on a donc

u v2 = u2v2(1 cos2 ) = u2v2 sin2 avec dans un intervalle o sin 0.Proposition 4.1. Une famille{u, v} de deux vecteurs dansR3 est libre si et seulement si ona u v=0. Quand ceci est vrifi, le plan vectoriel orthogonal u v est le plan engendrparu etv :

Ru + Rv= {x R3 | (u v) x= 0}. (33)Preuve. Montrons que les vecteurs u, v sont lis ssi u v = 0. Il y a deux cas : (i) Si u= 0ouv= 0, alors u, v sont lis et satisfont u v= 0. (ii) Si u =0et v = 0, alors ils sont lisssi il existe r Rnon nul avecu= rv. Et par (32) ils satisfont u v= 0ssi on asin = 0,qui signifie = 0 ou = et donc u = rv avec r > 0 ou r < 0. Les deux conditions sontquivalentes.

Les formules (32) montrent quon a(u v) (ru +sv) = 0 pour tout r, s R. Donc on alinclusion

dans (33). Quandu, v sont libres et donc u

v

=0, lensemble gauche est un

espace vectoriel de dimension 2, et lensemble droite est un sous-espace vectoriel de R3 necontenant pas u v (on a (u v) (u v) = u v2 >0). Donc lensemble droite est unsous-espace vectoriel de R3 de dimension < 3. Donc linclusionest une galit =.

. Cest dire pouru, v,w R3 etr R on a

(u+ v) w= u w + v w, (ru) w= r(u w), u (v +w) = u v + u w, u (rv) =r(u v)

et similairement pour le produit vectoriel.


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Dfinition 4.2. Une base orthogonale de R3 est une famille de trois vecteurs{u, v,w} nonnuls avec

u v= u w= v w= 0. (34)Une telle famille est toujours libre et ainsi une base de R3.

Unebase orthonormede R3 est une famille de trois vecteurs{u, v,w}avecu = v = w = 1, u v= u w= v w= 0. (35)

Cest une base orthogonale dont tous les membres sont de norme 1.

Proposition 4.3. Une famille{u, v,w} de trois vecteurs est une base orthonorme deR3 siet seulement si elle satisfait

u = v = 1, u v= 0, w= u v. (36)Preuve. () Pour trois vecteurs vrifiant (36), langle entre u et v vrifie 0 et cos = 0 par la formule (31). Par consquent sin = 1. Les formules (32) donnent lesconditions manquantes de la dfinition dune base orthonorme

u w= u (u v) = 0, v w= v (u v) = 0,w = u v = uv sin = 1 1 1 = 1.() Soit{u, v,w}une base orthonorme de R3. Par le () ci-dessus{u, v, u v}est une

base orthonorme de R3. Par consquent w et u v sont tous les deux orthogonaux u et v et de norme 1. Ils sont donc des gnrateurs de norme 1 de la droite vectorielle orthogonaleau plan vectoriel Ru+ Rv. Il y a exactement deux tels gnrateurs, qui sont opposs. Parconsquent w et u v sont gaux ou opposs.

Chaque base ordonne deR3, comme deR2, a uneorientation: elle est directe ou indirecte.

Pour R2 une base ordonne{a, b}aveca= (a1, a2) et b= (b1, b2) est directesi elle vrifie

deta1 b1a

2 b

2 =a1b2

a2b1 > 0.

Si le dterminant est 0. Do

r = 0. En faisant les produits scalaires de ru + sv + t w= 0 avec v=0 et w=0, on dduit s = 0 et t = 0.


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On en dduit que le dterminant est invariant quand on fait une permutation cyclique des 3colonnes

det P(u, v,w) = det P(v,w, u) = det P(w, u, v).

En revanche lanti-symtrie du produit vectoriel implique que le dterminant change de signequand on change deux colonnes

det P(u, v,w) = det P(v, u,w) = det P(w, v, u) = det P(u,w, v).Proposition 4.5. Une famille de trois vecteurs{u, v,w} dans R3 est une base de R3 si etseulement si on adet P(u, v,w) = 0.Preuve. Montrons que cest une base ssi (u v) w = 0. Cest quivalent par (38).

Les trois vecteurs sont libres ssi{u, v} est libre et w Ru+ Rv. Par la proposition 4.1ces conditions sont quivalentes u v=0 et (u v) w= 0. Et ces deux conditions sontquivalentes la seule (u v) w = 0. Dfinition 4.6.

Une famille ordonne de trois vecteurs {u

,v

,w

} dansR3

est unebase directe

de R3 si on a det P(u, v,w) > 0. Cest une base indirectesi on a det P(u, v,w) < 0. (Cestune famille lie si on a det P(u, v,w) = 0.)

Proposition 4.7. Une base orthonorme{u, v,w} satisfaisant w = u v dans (36) estdirecte. Elle satisfait aussi u= v w etv= w u.

Une base orthonorme satisfaisant w= u v est indirecte.Preuve. Une base orthonorme satisfaisant (36) avec w = u v vrifie det P(u, v,w) =(u v) w= w w= 1.

Une base orthonorme avec w= u v vrifie det P(u, v,w) = w w= 1.

La base canonique

{i,j, k

}avec

i= (1, 0, 0), j= (0, 1, 0), k= (0, 0, 1) (39)

est une base orthonorme directe de R3, ainsi que{(1, 0, 0), (0, cos , sin ), (0, sin , cos )}Corollaire 4.8. Soit{u, v,w} une base orthonorme directe deR3. Alors{v,w, u}, {w, u, v}sont aussi des bases orthonormes directes de R3, comme aussi{u, v,w} et{v, u, w}.

Mais{v, u,w}, {u,w, v}, {w, v, u}, {u, v, w} et{u, v, w} sont des bases orthonor-mes indirectes.

Proposition 4.9. Soitu un vecteur deR3 avecu = 1. Alors il existe vecteursv et w telsque{u, v,w} soit une base orthonorme directe de R3.

Preuve. On choisit un vecteurs= (x,y,z) = (0, 0, 0) avec u s= u1x + u2y+ u3z = 0, et onpose t= u set puis v= 1ss et w= 1tt. Cela suffit par la proposition 4.3.

Le produit scalaire se calcule en utilisant les cordonnes par rapport une base orthonor-me quelconque.

Proposition 4.10. Soit{u, v,w} une base orthonorme de R3 etr = a1u+a2v+ a3 w ets= b1u + b2v + b3 w des vecteurs. Alorsr s= a1b1+ a2b2+ a3b3.


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Preuve. On dveloppe

r s= (a1u + a2v + a3 w) (b1u + b2v + b3 w)=a1b1u u + a1b2u v + a1b3u w + a2b1v u + a2b2v v

+ a2b3v w + a3b1 w u + a3b2 w v + a3b3 w w=a1b1 1 + a1b2 0 + a1b3 0 + a2b1 0 + a2b2 1

+ a2b3 0 + a3b1 0 + a3b2 0 + a3b3 1=a1b1+ a2b2+ a3b3.

Le rsultat analogue pour le produit vectoriel exige une base orthonorme directe.

Proposition 4.11. Soit{u, v,w} une base orthonormedirectedeR3 etr= a1u+a2v+a3 wets= b1u + b2v + b3 w des vecteurs. Alors

r s= (a2b3 a3b2)u + (a3b1 a1b3)v + (a1b2 a2b1)w.Cette proposition se dmontre par des substitutions comme la prcdente et en utilisant les

formules u

v= w, v

w= u et w

u= v de la proposition4.7.

5. Les rotations dans R3

Il y a deux notions de rotations dans Rn en utilisation. Pour les distinguer on les appelerarotations et isomtries directes. Nous regarderons seulement les rotations linaires, qui sontcelles qui fixent lorigine 0= (0, 0, . . . , 0). On verra que les deux notions sont quivalentes pourR3 [et R2] mais pas pour Rn avec n 4. Informellement :

Rotation: Une rotation fixe un sous-espace (affine ou vectoriel) de dimension n 2dansRn appel laxe une droite dans R3, ou un point dans R2 et agit sur les plansorthogonaux laxe dans la mme manire quune rotation du plan.

Isomtrie directe: Une isomtrie directe linaire est une application linaire f : Rn Rn correspondant un changement du systme de coordonnes des coordonnesusuelles (x ,y ,z) (ou (x1, x2, . . . , xn)) vers les coordonnes par rapport une baseorthonorme directe de Rn.

Nous tudions les rotations dans R3 autour daxes passant par lorigine 0 = (0, 0, 0). Ces

rotations-l envoyent0 0et sont desapplications linaires def: R3 R3. Pour dcrireune telle application linaire, il suffit de choisir une base {u, v,w} deR3 et donnerf(u),f(v)et f(w)parce quun membre gnral de R3 scrit ru + sv + twavecr, s, t R, et son imageserait

f(ru + sv + tw) =rf(u) + sf(v) + tf(w). (40)

Maintenant soit{u, v,w}une base orthonorme directe de R3. La rotation dangle autourde u (cest dire autour de laxe Ru) devrait

(1) fixer laxeRu

, et(2) agir sur le plan vectoriel orthogonal u dans la mme faon quune rotation du planR2 dangle centre lorigine. Ce plan orthogonal uest Rv + Rw.

Soite1= (1, 0)et e2= (0, 1)les membres de la base canonique de R2. Alors la rotation de

R2 dangle centre lorigine est lapplication linaire Rot avec

Rot(e1) = cos e1+ sin e2,

Rot(e2) = sin e1+ cos e2. (41)


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Ceci motive la dfinition suivante.

Dfinition 5.1. Soit u R3 un vecteur avecu = 1. Par la proposition 4.9 il existev,w R3 avec{u, v,w}une base orthonorme directe de R3. Soit R.

La rotation dangle autour deu est lapplication linaire Rotu

,: R3

R3 avec

Rotu,(u) =u

Rotu,(v) = cos v + sin w,

Rotu,(w) = sin v + cos w.(42)

Donc la matrice de lapplication linaire Rotu, dans la base{u, v,w}de R3 est

A =

1 0 00 cos sin

0 sin cos

. (43)

Noter que les coefficients dans les lignes de (42) deviennent les coefficients dans les colonnesde (43).

Proposition 5.2. (a) La rotationRotu, dangle autour de u ne dpend pas du choix dev,w compltant la base orthonorme directe{u, v,w}.

(b) Les rotationsRotu, etRotu, concident.(c) Les rotations dangles et+ 2n avecn Z concident.Comme u etu engendrent le mme axe Ru, une rotation autour de lun est aussi une

rotation autour de lautre, mais dans le sens oppos.La dmonstration usuelle de cette proposition utilise des matrices de passage pour les chan-

gements de base. Nous allons dmontrer plusieurs formules pour les matrices et quaternionsassocies des rotations o il sera immdiatement visible que la rotation ne dpend que de et u, et quon aRotu, = Rotu,.

6. Le groupe spcial orthogonal SO(3, R)

Maintenant regardons les matrices A M3(R) qui induisent des isomtries linaires surR3.

Dfinition 6.1. La transpose dune matrice A est la matrice tA obtenue en changeant leslignes et les colonnes de A. Cest dire si A= (aij )et

tA= (bij) avec aij et bij les coefficientdans la i-me ligne et j-me colonne, alors on a bij =aji.

Par exemple

A=

0 1 20 1 3

1 0 0

,

tA=

0 0 11 1 0

2 3 0

.

Quand on travaille avec des matrices, souvent on identifie les vecteurs u= (u1, u2, u3) R3avec les colonnes u=

u1u2u3

. Le produit scalaire devient

u v= u1v1+ u2v2+ u3v3=

u1 u2 u3v1v2

v3

= tuv (44)


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Pour les produits de matrices on a

t(AB) = tB tA (45)

parce que le coefficient dans la i-me ligne et j-me colonne de t(AB) comme de tB tA est le

produit (scalaire) de la j-me ligne de A et de la i-me colonne de B.

Dfinition 6.2. Une matrice carre A Mn(R) est orthogonalesi elle satisfait tAA= In.Elle est spciale orthogonalesi elle satisfait tAA= In etdet A= 1.

La condition dtre orthogonale scrit aussi

tA= A1. (46)

Les ensembles

O(n, R) = {A Mn(R) | A est orthogonale} (47)SO(n, R) = {A Mn(R) | A est spciale orthogonale} (48)

sappellent le groupe orthogonal et le groupe spcial orthogonal, respectivement.

Thorme 6.3. Une matrice coefficients rels

A=

u1 v1 w1u2 v2 w2

u3 v3 w3

est dansO(3, R) si et seulement si ses colonnesu, v, w forment une base orthonorme deR3.Elle est dansS O(3, R) si et seulement si ses colonnesu, v, wforment une baseorthonormedirecte deR3.

Preuve. Les lignes de tA sont tu, tv et tw. Donc

tAA=

t

utvtw

u v w =

t

uu t

uv t

uwtvu tvv tvwtwu twv tww

=u u u v u wv u v v v w

w u w v w w

Cette matrice est gale la matrice identit I3 si et seulement si u, v, w satisfont

u u= v v= w w= 1, u v= u w= v w= 0, (49)qui sont les conditions (35) dfinissant une base orthonorme. Donc A est orthogonale si etseulement si u, v, w est une base orthonorme.

La matrice A est spciale orthogonale si en plus det A = det(u, v, w) est gal 1. Maiscette condition caractrise les bases orthonormes qui sont directes (voir (38)).

Par exemple les deux matrices

A=

1 0 00 1 0

0 0 1

, B =

925

1225 45

1225

1625

35

45 35 0

,

sont orthogonales parce que leurs colonnes u, v, w sont des bases orthonormes de R3. MaisA nest pas dans S O(3, R) parce que pour ses colonnes on a w = u v. En revanche B estdans S O(3, R) parce que ses colonnes vrifient w = u v.


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Thorme 6.4. SoitA M3(R). Les conditions suivantes sont quivalentes :(a) A est une matrice orthogonale.(b) On a u v= Au Av pour tout u, v R3.(c) On a

u

=

Au

pour toutu

R3.

Donc les matrices orthogonales sont les matrices des isomtries linaires, cest dire desisomtries fixant lorigine. Elles prservent les normes de vecteurs et les angles entre vecteurs.

Preuve. (a)(b) : Par les formules (44) et (45) on au v= t u v= t u I3v, Au Av= t (Au)(Av) = tutAAv.

Ces deux quantits sont gales pour tout u, v R3 si et seulement si on a I3 = tAA, ce quicaractrise les matrices orthogonales.

(b)(c) : Les produits scalaires dterminent les normes et vice-versa par les formulesu = u u

u v=1

2 (u + v2

u2

v2

).

De cela on dduit facilement quune matrice prserve les normes ssi elle prserve les produitsscalaires.

Thorme 6.5. La matrice I3 est dans SO(3, R). De plus, si A et B sont dans SO(3, R),alorsA1 etAB sont dansSO(3, R).

Pour dmontrer ce thorme (et le thorme9.1ci-dessous) il faut connaitre quelques pro-prits du dterminant.

Thorme 6.6. SoitK un corps commutatif. PourA M3(K)soitdet A Kle dterminantdfini par la formule (37). On dmontrera ces proprits dans le paragraphe suivant.

(a) On adet I3= 1. PourA

M3(K) on adettA= det A.

(b) PourA, B M3(K) on adet AB= (det A)(det B).(c) PourB M3(K) les condition suivantes sont quivalentes : (i) det B= 0, (ii) B nest

pas inversible,(iii) il existe v Kn avecBv= 0 et v =0.(c) SiP M3(K) est inversible, on adet P1 = 1det P.

Preuve du thorme6.5. On a tI3 = I3= I13 etdet I3= 1. Donc I3 est dans SO(3, R).

Pour A dans SO(3, R), alors on a tA = A1. Par consquent C = tA est inversible etsatisfait tC=A = C1. Donc Cest orthogonale. De plusdet C= det tA= det A= 1. DoncC SO(3, R).

Pour A, B SO(3, R) on a t(AB) = tB tA = B1A1 = (AB)1 et on a det AB =(det A)(det B) = 1 1 = 1. Donc AB SO(3, R).

7. Les quaternions et les rotations

On identifie lensembleHpur de quaternions imaginaires purs lespace R3 en identifiant lequaternion imaginaire pur x= x1i + x2j+ x3k au vecteur x= (x1, x2, x3) de R

3.

Proposition 7.1. Soit x, y Hpur des quaternions imaginaires purs, etx, y les vecteurs deR3 correspondants. Alors on ae(xy) =x y, etm(xy) est le quaternion imaginaire purcorrespondant au vecteurx y.


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Cest la formule (22) avec les substitutionsa0= 0et b0= 0correspondant aux quaternionsimaginaires purs.

Corollaire 7.2. Soit x un quaternion imaginaire pur, correspondant u R3. Alors x2 =

x

2 est un quaternion rel ngatif, et cest


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ruu = ru2 = r. En crivant a =e x, on a a = 12 (x+ x) et ainsie u(x) = 12

u(x) +

u(x)

= 12

u(x) + u(x)

= u

12 (x+ x)

= u(a) = a =e x. En crivant r =x2, on

au(x)2 = u(x)u(x) = u(x)u(x) = u(xx) = u(r) = r =x2. Finalement si z estimaginaire pur, on a

e u(z) =

e z= 0et donc u(z) est aussi imaginaire pur.

Lemme 7.7. Soitx un quaternion qui commute avec toutz Hpur. Alorsx est rel.Preuve. Si x = a + bi + cj+ dk commute avec tous les quaternions imaginaires purs, alors ona xi= ixet xj=jx. En substituant et dveloppant cela donne

ai b ck+ dj = ai b + ck dj, aj+ bk c di= aj bk c + di.En simplifiant, cela donne 2dj 2ck= 0 et2di + 2bk = 0. Donc on a b= c = d = 0, et parconsquent x = a est rel.

Thorme 7.8. Soitu, v U des quaternions unitaires.(a) On au= IdH ssi on au= 1.(b) On au v= uv et1u = u.(c) On au = v ssi on au= v.

Preuve. (a) Clairement pour u= 1 on a uxu= x. Rciproquement si on a u(x) = uxu = xpour tout x H, alors on a ux = uxuu= xu pour tout x. Alors par le lemmeu est rel, et doncpar la proposition7.5on a u= 1.

(b) On a u(v(x)) = uvxvu = (uv)xuv = uv(x). Par consquent u u = uu = 1 =IdH. Donc on a

1u = u.

(c) On a u = v ssi on a IdH = u 1v = u v = uv ssi on a uv =1 ssi on au= uvv = v.

Par le thorme 7.6 on peut restreindre chaque u une application R-linaire sur lesquaternions imaginaires purs

u : Hpur

Hpur

x uxu (52)Ces application linaires vrifient les proprits analogues celles dmontres dans le thorme7.8.

Lidentification entre Hpur et R3 qui identifie xi + yj + zk Hpur (x ,y ,z) ou

xyz

dans

R3 identifie u une application linaire

Rotu : R3 R3. (53)

Thorme 7.9. Soitu, v U des quaternions unitaires.(a) Si{x, y,z} est une base orthonorme directe de R3, alors{Rotu(x), Rotu(y), Rotu(z)}

est aussi une base orthonorme directe de R3. Par consquent la matrice de Rotu est dansSO(3, R).

(b) On aRotu = IdR3 ssi on au= 1.(c) On aRotu Rotv = Rotuv etRot1u = Rotu.(d) On aRotu= Rotv ssi on au= v.

Preuve. (a) Soitx, y, zles quaternions imaginaires purs correspondant x, y,z. Par le thorme7.3ils vrifient les quations (50). Par le thorme7.6quand on appliqueu x, y, z, les imagescontinuent vrifier (50). Ces images sont les mmes que les images sous u. On en dduitque{Rotu(x), Rotu(y), Rotu(z)}est aussi une base orthonorme directe de R3.


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En particulier limage sous Rotu de la base canonique de R3 est une base orthonorme

directe de R3. Ces images sont les colonnes de la matrice de Rotu. Par le thorme 6.3 lamatrice deRotu est alors dans SO(3, R).

Soit maintenant x un quaternion pur avecx

= 1. Par le corollaire7.2on a x2 =

1. Parconsquent la multiplication de quaternions de la forme a + bx(avec a, b R) vrifie la mmeformule que la multiplication dans C

(a + bx)(c + dx) = (ac bd) + (ad + bc)x.avecx remplaant i C. Pour la conjugaison on a a + bx= a bx, encore comme les nombrescomplexes. Il sensuit que pour les quaternions de la forme

ex = cos + sin x,

avec rel on a les formules familires

(cos + sin x)(cos sin x) = cos + sin x2 = 1,(cos + sin x)(cos + sin x) = cos(+ ) + sin(+ )x.

(54)

Thorme 7.10. Soit x R3 avecx = 1 et soit R. Soit x Hpur le quaternionimaginaire pur correspondant, et soit

u(x, ) =e

2x = cos 2 + sin

2x. (55)

AlorsRotu(x,) : R3 R3 est la rotation linaire daxex et dangle.

Preuve. Compltonsxen une base orthonorme directe {x, y,z} deR3. Alors les quaternionsassocis x, y, z Hpur vrifient (50). Comme x commute avec toute combinaison linaire de 1et xon a

u(x,)(x) = (cos 2 + sin

2x)x(cos

2 sin 2x) = (cos 2+ sin 2x)(cos 2 sin 2x)x= x.

Mais on a xy=

yx, do

u(x,)(y) = (cos 2+ sin

2x)y(cos

2 sin 2x) = (cos 2 + sin 2x)(cos 2 + sin 2x)y

= (cos + sin x)y= cos y+ sin z.

Similairement on a

u(x,)(z) = (cos + sin x)z= sin y+ cos z.Quand on identifie les quaternions imaginaires purs aux vecteurs de R3 on trouve les quationsde (42). Donc Rotu(x,) : R

3 R3 est la rotation linaire daxex et dangle . Thorme 7.11. La rotationRotu : R

3 R3 induite par un quaternion unitaireu = a + bi +cj +dk Uavecu = 1 est la rotation dangle = 2 arccos aautour dex= 1

b2+c2+d2(b,c,d).

La rotation induite paru= 1

est triviale.

Preuve. Pour u = 1, ce sont des valeurs de etxqui donnent u(x, ) =a + bi + cj+ dk dans(55). On a dj trait le cas u= 1. Thorme 7.12. Soita, b R3 de norme1, et soit , R. Si Rota, Rotb,= IdR3 ,alorsRota, Rotb,= Rotc, avec0<


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et avecc= 1vv pour

v= cos 2 sin2

b + cos 2sin 2 a + sin

2sin

2a b.

Pour continuer il est commode didentifierH

R

R3

et dcrire les membres du dernierespace sous la forme a+ p avec a R un scalaire et p R3 un vecteur. Il pourrait semblerbizarre dcrire la somme dun scalaire et dun vecteur, mais ce sont essentiellement les par-ties relle et imaginaire pure dun quaternion. Le produit quaternionique associative de deuxvecteurs est alors pq= (p q) + p q par la proposition7.1.

On peut utiliser le produit quaternionique pour dduire quelques proprits des produitsvectoriel et scalaire.

Lemme 7.13. Soitx, y R3. Alors on ax (x y) = (x y)x x2y.Preuve. Pour le produit quaternionique on a (xx)y= x2y et

x(xy) =x((x y) + x y) = (x y)x x (x y) + x (x y)= (x y)x + x (x y)

Comme le produit quaternionique est associative, on a x2y= (x y)x + x (x y). Explicitons ces applicationsu etRotu. Dcomposonsu en ses parties relle et imaginaire :

u= a + (bi + cj+ dk) =a +p. La valeur de u en x= xi + yj+ zk est alors

u(x) = (a +p)x(a p) =a2x+ a(px xp) pxp. (56)En convertissant la notation scalaire-plus-vecteur, on a

px xp= (p x) + p x + (x p) x p= 2p x,

pxp= p((x p) + x p) = (x p)p + (p x p) p (x p)= (x p)p + p (p x) = 2(p x)p p2x.

La dernire galit vient de la formule du lemme7.13.Finalement commeu= a+(bi+cj+dk) =a+ p est un quaternion unitaire, on au2 = a2 + p2 = 1. On trouvep2 = 1 a2. Ensubstituant dans (56) on trouve

Rota+p(x) = (2a2 1)x + 2(p x)p + 2ap x. (57)

Cest cette formule quon

8. Les matrices de rotations

La proposition se vrifie par des calculs avec des matrices de passage pour des changementsde base. Mais on peut viter ces calculs-l en notant que dans (64) ci-dessous on a une formulepour Rotu, qui ne dpend que de u et . Donc (a). De plus cette formule (64) est invariantequand on y substitue (u, )pour (u, ). Donc (b).Thorme 8.1. Les rotations de R3 autour dunu fix vrifient :

Rotu,0= IdR3 , Rotu, Rotu, = Rotu,+, Rot1u, = Rotu,. (58)


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Preuve. La formule Rotu,0 = IdR3 est valide parce quen substituant = 0 dans (43) ontrouve la matrice identit I=I3. La formule Rotu, Rotu, = Rotu,+ est valide parce quele produit de matrices

1 0 00 cos sin 0 sin cos

1 0 00 cos sin 0 sin cos

vaut1 0 00 cos cos sin sin cos sin sin cos

0 cos sin + sin cos cos cos sin sin

=

1 0 00 cos(+ ) sin(+ )

0 sin(+ ) cos(+ )

.

La formule pour Rot1u, se dduit des deux autres.

La matrice (43) dcrit laction de Rotu, sur les cordonnes dun vecteur par rapport labase orthonorme directe{u, v,w}. En principe la matrice de Rotu, par rapport la basecanonique{i,j, k} de (39) et les cordonnes usuelles se calcule dans la manire suivante.Ecrivonsu= (u1, u2, u3), v= (v1, v2, v3)et w= (w1, w2, w3). Soit

P =

u1 v1 w1u2 v2 w2

u3 v3 w3

. (59)

Soit A la matrice de (43). Selon la thorie des matrices de passage pour les changements debase, la matrice deRotu, dans la base canonique est alors

Ru, = P AP1. (60)

Cette formule a son intrt, mais beaucoup de calculs on utilise une autre formule.

Thorme 8.2. SoitM M3(R) et soit{u, v, w} une base deR3 avecu = u1u2u3 , v = v1

v2v3

etw=

w1w2w3

. Supposons quon a

Mu= a1u + a2v + a3w,

Mv= b1u + b2v + b3w,

Mw= c1u + c2v + c3w.

(61)

Soit

P=

u1 v1 w1u2 v2 w2

u3 v3 w3

, A=

a1 b1 c1a2 b2 c2

a3 b3 c3

.

Alors on aM=P AP1.

Preuve. Les trois colonnes du produit M P sont Mu, Mv et Mw. Les trois colonnes de P Asont a1u+ a2v+ a3w, b1u+ b2v+ b3w et c1u+ c2v+ c3w. Les quations (61) sont ainsiquivalentes M P =P A. On en dduit M=M P P1 =P AP1.

La matrice (43) dcrit laction de Rotu, sur les cordonnes dun vecteur par rapport labase orthonorme directe{u, v,w}. En principe la matrice de Rotu, par rapport la base


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canonique{i,j, k} de (39) et les cordonnes usuelles se calcule dans la manire suivante.Ecrivonsu= (u1, u2, u3), v= (v1, v2, v3)et w= (w1, w2, w3). Soit

P =

u1 v1 w1

u2 v2 w2u3 v3 w3

. (62)

Soit A la matrice de (43). Selon la thorie des matrices de passage pour les changements debase, la matrice deRotu, dans la base canonique est alors

Ru, = P AP1. (63)

Cette formule a son intrt, mais beaucoup de calculs on utilise une autre formule.

Thorme 8.3 (Formule de Rodrigues). Pour toutx R3 on aRotu,(x) = cos x + (1 cos )(u x)u + sin u x. (64)

Preuve. Soit f(x) le membre de droite de (64). Alors lapplication f: R3

R3

est unecombinaison linaire de trois applications linaires. Lapplication x x envoye u u,v v et w w. Lapplication x (u x)uenvoye u u, v 0 et w 0. Lapplicationx u xenvoyeu 0,v wet w v. La matrice defdans la base {u, v,w} est alors

cos

1 0 00 1 0

0 0 1

+ (1 cos )

1 0 00 0 0

0 0 0

+ sin

0 0 00 0 1

0 1 0

,

et cest la mme que (43).

La formule de Rodrigues (64) permet de calculer les images des vecteursi = (1, 0, 0),j= (0, 1, 0)et k= (0, 0, 1)et donc la matrice Ru, deRotu, par rapport la base canonique.

Thorme 8.4. Soitu= (u1, u2, u3) R3 avecu = 1, et soit R. Alors la matrice dela rotationRotu, dans la base canonique deR

3 est

Ru, = cos

1 0 00 1 0

0 0 1

+(1cos )

u

21 u1u2 u1u3

u1u2 u22 u2u3

u1u3 u2u3 u23

+sin

0 u3 u2u3 0 u1

u2 u1 0

. (65)

Preuve. Par la formule de Rodrigues lapplication Rotu, est la combinaison linaire de troisapplications linaires. La matrice de la premire application x xest la matrice identit. Ladeuxime application envoye

i= (1, 0, 0)

(u

i)u= u1(u1, u2, u3) = (u

21, u1u2, u1u3).

Donc la premire colonne de la deuxime matrice est

u21

u1u2u1u3

. La troisime application envoye

i u i= (0, u3, u2).

Donc la premire colonne de la troisime matrice est

0u3u2

. Les autres colonnes se calculent

similairement en utilisant j et k.


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Exemple 8.5. Quelle est la matrice Ede la rotation dangle = 3 autour de v = (1, 1, 1) ?

On remarque dabord quev = 12 + 12 + 12 = 3. Le u parallle avecu = 1 est1

vv= 1

3(1, 1, 1). On a cos = 12 ,1 cos = 12 etsin =

3

2 . Donc la matrice est

E= 12

1 0 00 1 00 0 1

+ 1213 13 131

313

13

13

13

13

+ 32 13 0 1 11 0 1

1 1 0

= 23 13 232

323 13

13 23 23

9. Valeurs propres

Thorme 9.1. SoitA M3(R). AlorsA est la matrice dune rotation si et seulement siAest dansSO(3, R).

Pour dmontrer ce thorme il faut connaitre aussi les notions de valeur propre et de vecteurpropre.

Dfinition 9.2. Soit A Mn(C) une matrice carre coefficients complexes. Un nombrecomplexe est une valeur propre de A si la matrice A

In nest pas inversible. Pour une

valeur propre de A le sous-espace E(A) = ker(A In) Cn nest pas rduit {0}.Il sappelle lespace propre de A associ la valeur propre . Ses membres sont les vecteurspropresassocis la valeur propre .

Quand on a A Mn(R)et R, le sous-espace rel E(A) = ker(A In) Rn est aussiappel lespace propre de Aassoci .

Un vecteur propre v de A associ la valeur propre satisfait (AIn)v= Avv= 0.Donc il vrifie

Av= v (66)

avec A Mn(C), C et 0= v Cn. Cette quation est souvent appele lquation desvaleurs propres.

Proposition 9.3. SoitRu, la matrice de la rotation dangle autour deu R3

. SupposonsRu,= I3 (cest dire 0 mod 2). Alors = 1 est une valeur propre de Ru,, et lesvecteurs propres associs sont lesru avecr R.Preuve. Pour = 1 lquation des valeurs propres est Ru,x = x, et ceci est vrifi pour lesx qui sont fixs par Ru,. Pour une rotation non triviale ce sont exactement les vecteurs danslaxe Ru de la rotation.

La cl du thorme9.1 est le lemme suivant, qui sera dmontr dans le paragraphe suivant.

Lemme 9.4. SoitA dansSO(3, R). Alors= 1 est une valeur propre deA.

Preuve du thorme9.1. () SoitRu, la matrice de la rotation dangle autour dun u R3avecu = 1. Soit u, v, w la base orthonorme directe de R3 de la dfinition5.1. Soit A etP les matrices de (43) et (62). Par (63) on a Ru, =P AP1. Or Pest dans SO(3, R)parceque ses colonnesu, v, wforment une base orthonorme directe de R3. EtA et dansS O(3, R)

parce que ses colonnes

100

,

0cos sin

,

0 sin

cos

sont aussi une base orthonorme directe deR3.

Par le thorme6.5 les matrices P1 et Ru, =P AP1 sont aussi dans S O(3, R).() CommeI3 est une matrice de rotation (dangle 0), il suffit de montrer que tout A =I3

dans S O(3, R) est une matrice de rotation. Par le lemme 9.4 une telle A a = 1 comme unevaleur propre. Soit z un vecteur propre non nul associ (donc vrifiant Az= z et z =0). En


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posantu = 1zz, on trouve un vecteur propre vrifiantAu= u et u = 1. Par la proposition4.9on peut complter u en une base orthonorme directe u, v, w de R3.

On a Au = u. Par la proposition 6.4 on a Ax Ay = x y pour tout x, u R3. On endduit quon a u

Av= Au

Av = u

v= 0 et u

Aw = Au

Aw = u

w= 0. Donc Av et

Aw sont orthogonaux u. Mais v et w engendrent le plan vectoriel orthogonal u. Donc ilexiste a,b, c, dR avec Av = av+bw et Aw = cv+dw. Mais par les propositions 4.10et6.4on a aussi

1 =v v= Av Av= (av + bw) (av + bw) =a2 + b2,0 =v w= Av Aw= (av + bw) (cv + dw) =ac + bd,1 =v v= Av Av= (cv + dw) (cv + dw) =c2 + d2.

Donc les vecteurs (a, b), (c, d)R2 sont sur le cercle unit du plan R2 et sont orthogonaux.Il existe donc R avec (a, b) = (cos , sin ) et (c, d) = ( sin , cos ). On a ainsi

Au= u

Av= cos v + sin w,Aw= ( sin v + cos w).

La matrice dans la base u, v, w de lapplication linaire R3 R3 envoyant x Ax estdonc une des matrices suivantes

A =

1 0 00 cos sin

0 sin cos

, B =

1 0 00 cos sin

0 sin cos

.

Si P est la matrice de colonnes u, v, w, alors on a A = P AP1 ou A = P BP1. On a

det A= 1parce que Aest dans S O(3, R), mais par le thorme6.6on a

det P BP1 = (det P)(det B)

1

det P= det B =

cos2

sin2 =

1.

Donc on a A= P BP1. Par consquent A = P AP1, et A est la matrice de la rotationdangle autour de u.

10. Dduire (u, ) de la matrice dune rotation

Supposons queAest une matrice spciale orthogonale. AlorsAest la matrice dune rotation.Mais comment trouve-t-on laxe u et langle de cette rotation ?

Une complication : vu que les matrices de rotations satisfont

Ru, =Ru,, Ru, =Ru, = tRu, =R1u,le vecteur u et langle sont bien dfinis seulement signe prs, et les diffrents choix de

signesu et correspondent deux matrices spciales diffrentes (sauf quand = 0 ou= ) qui sont inverses.

Dfinition 10.1. La tracedune matrice dans M3(R)est la somme de ses coefficients diago-naux

Tr A= Tr

a11 a12 a13a21 a22 a23

a31 a32 a33

def= a11+ a22+ a33.


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Par exemple pour les trois matrices apparaissant dans la version matricielle (64) de laformule de Rodrigues on a

Tr I3= Tr

1 0 00 1 00 0 1

= 1 + 1 + 1 = 3,

Tr

u

21 u1u2 u1u3

u1u2 u22 u2u3

u1u3 u2u3 u23

=u21+ u22+ u23= u2 = 1,

Tr

0 u3 u2u3 0 u1

u2 u1 0

= 0 + 0 + 0 = 0.

(67)

et on a aussi

Tr A =

1 0 00 cos

sin

0 sin cos

= 1 + cos + cos = 1 + 2 cos . (68)

Les proprits lmentaires de la trace sont bien connues.

Thorme 10.2. SoitA, B,P M3(R) avecP inversible, et soitr R.(a) On aTr(A + B) = Tr A + Tr B, et on aTr(rA) =r Tr A, et aussiTr tA= Tr A.(b) On aTr(AB) = Tr(BA) et on aTr(P AP1) = Tr A.

Thorme 10.3. Soit A = Ru, SO(3, R) la matrice dune rotation dangle . Alors satisfait

Tr A= 1 + 2 cos

et donc

arccosTr(A)

1

2 (mod 2).

Preuve. La premire formule se dduit soit de

Tr A= Tr Ru, = Tr(P AP1) = Tr A = 1 + 2 cos ,

soit de (65) et (67) et donc

Tr A= Tr Ru, = cos 3 + (1 cos ) 1 + sin 0 = 1 + 2 cos .La deuxime formule se dduit de la premire.

Par exemple pour la matrice

B=

925

1225

45

1225 1625 3545 35 0

, (69)

on a Tr B= 925 + 1625+ 0 = 1. Donc cos =

Tr(B)12 = 0et 2 (mod 2).

Thorme 10.4. Soit A = Ru, la matrice dune rotation non triviale (A= I3) autour delaxe engendr par un u R3 avecu = 1. Soit x R3 un vecteur non nul satisfaisant (A I)x= 0. Alors on a u= 1xx.


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(A I)x= 0 et x = 0, u= 1xx.

Pour la matrice B ci-dessus on a

B I=

925

1225 45

1225

1625

35

45 35 0

1 0 00 1 0

0 0 1

=

1625

1225 45

1225 925 3545 35 1

.

Donc on cherche les x =

xyz

tels que

1625

1225 45

1225 925 3545 35 1

xy

z

=

00

0

.

Cest le systme linaire

1625 x + 1225 y 45 z= 0,

1225 x 925 y+ 35 z= 0,45 x 35 y z= 0.

En remplaant les deuxime et troisime quations par (E2) = (E2) + 3

4 (E1) et (E3) =

(E3) + 54 (E1), on trouve un systme linaire quivalent

1625 x + 1225 y 45 z= 0,

0 = 0,

2z= 0.On peut prendre y comme variable libre, et on trouve z = 0 et x = 34 y. Donc x = (3, 4, 0)est une solution non nulle, et laxe de la rotation de matrice B est engendr par le vecteur de

norme1u= 1

32 + 42 + 02(3, 4, 0) = ( 35 , 45 , 0).

Alors B est la matrice de la rotation dangle 2 ou2 autour de u = ( 35 , 45 , 0). Mais quelest le signe de langle (en fixant u) ? Pour rpondre, on a besoin de quelques notions.

Dfinition 10.5. Une matrice A M3(R) est symtrique si elle satisfait A = tA. Unematrice B M3(R) est anti-symtriquesi elle satisfait B= tB. De telles matrices ont lesformes

A=

a r sr b t

s t c

, B =

0 w vw 0 u

v u 0

.

Thorme 10.6. SoitA M3(R) une matrice. AlorsAsym = 12 (A +

tA) Aanti = 12 (A tA) (70)sont respectivement symtrique et anti-symtrique et satisfont A = Asym +Aanti. Cest leseul couple de matrices symtrique et anti-symtrique dont la somme estA.

Dfinition 10.7. On appelleAsym = 12 (A+tA)la partie symtriquedeA et Aanti = 12 (A tA)

la partie anti-symtrique.


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Les matrices R et R1 = tR des rotations dangles autour deu sont transposes.Par consquent, elles ont les mmes parties symtriques, mais des parties anti-symtriquesopposes

1

2

(R+ tR) = 1

2

( tR+ R), 1

2

(R

tR) =

1

2

( tR

R)

Donc pour dterminer le signe de avec u fix (ou vice-versa), on peut regarder la partieanti-symtrique de la matrice de rotation.

La forme matricielle (65) de la formule de Rodrigues crit la matrice de rotationRu,commeune combinaison linaire de trois matrices. Les deux premires sont des matrices symtriques.La troisime est anti-symtrique. Donc la partie symtrique de Ru, est

12 (Ru,+

t Ru,) = cos

1 0 00 1 0

0 0 1

+ (1 cos )

u

21 u1u2 u1u3

u1u2 u22 u2u3

u1u3 u2u3 u23

.

La partie anti-symtrique de Ru, est

12 (Ru, tRu,) = sin 0

u3 u2

u3 0 u1u2 u1 0

.

Thorme 10.8. SoitA = Ru, la matrice de la rotation dangle autour deu= (u1, u2, u3) R3 avecu = 1. SoitA=

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

. Alors on a

sin (u1, u2, u3) =a32 a23

2 ,

a13 a132

,a21 a12

2

. (71)

Comme on au = 1, cela nous donne une formule|sin | =

a32 a232

,a13 a13

2 ,

a21 a122

(72)en plus de la formule

|sin

|=

1

cos2 .

La matrice B ci-dessus se dcompose en parties symtrique et anti-symtrique

B=

925

1225 45

1225

1625

35

45 35 0

=

925

1225 0

1225

1625 0

0 0 0

+

0 0

45

0 0 3545 35 0

,

On dduit quon asin (u1, u2, u3) =35 , 45 , 0. On a|sin | = 35 , 45 , 0 = 1(mais on

a dj vu quon a cos = 0, et cela implique|sin | = 1). En prenant sin =1, on dduitque B est la matrice de la rotation dangle2 autour de

35 ,

45 , 0

.

Exemple 10.9. La matrice

C=

0 0 11 0 0

0 1 0

est dans SO(3, R) et est donc une matrice de rotation. On a Tr(C) = 0. Donc langle de la

rotation satisfait cos = Tr(C)12 =12 . On a donc =23 . Aussi|sin |=

32 . La partie

anti-symtrique de C est

Canti = 12 C 12 tC= 12

0 0 11 0 0

0 1 0

12

0 1 00 0 1

1 0 0

=

0

12

12

12 0 12

12 12 0

.


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Langle et le vecteur u avecu = 1 dans laxe de la rotation satisfont alors (sin )u =( 12 ,

12 ,

12 ). Si on choisit le signe sin =

3

2 , alors u= 2

312 (1, 1, 1) =

13

(1, 1, 1). Donc Cest la

matrice de la rotation dangle 23 autour de 1

3(1, 1, 1)(ou autour du vecteur parallle (1, 1, 1)).

Dans lexemple8.5 on a calcul la matrice E de la rotation dangle

3 avec le mme axe.Comme langle de lexemple actuel est le double de langle prcdent, on devrait avoir E2 =C.Ceci se confirme par calcul.

Exemple 10.10. La matrice

D=

13

23

23

23 13 2323

23 13

est dans SO(3, R). Sa trace est Tr(D) =1, donc on a cos = Tr(D)12 =1 et = . Onasin = 0. La matrice D est symtrique. Sa partie anti-symtrique est 0, et elle nous fournitlinformation (sin )u= 0 et donc|sin | = 0 = 0, mais elle ne nous fournit pas laxe. Pourlaxe on cherche unx

=0avec (D

I)x= 0. Donc on rsout le systme

43

23

23

23 43 2323

23 43

xy

z

=

00

0

.

Les solutions sont les (x,y,z) multiples de (1, 1, 1). Donc on a encore u = 13

(1, 1, 1). Les

signes ne sont pas importants cette fois parce que les rotations dangles et autour dumme axe concident. En comparant aux exemples prcdents on a E3 =E C=C E= D.

11. Quelques dmonstrations

Dans ce paragraphe on dmontre le lemme 9.4.On utilise la notion suivante.

Dfinition 11.1. SoitA M3(C). Soit Tun indtermin, et C[T] lanneau de polynmes enT coefficients dans C.

Le polynme caractristiquede A est le dterminant

PA(T) = det(AT I3) = deta11 T a12 a13a21 a22 T a23

a31 a32 a33 T

= det Ac2(A)T+Tr(A)T2 T3

En dveloppant on trouve un polynme de degr 3 dont les coefficients dpendent des coeffi-cients de A. Le terme de degr 3 estT3. Le terme constant se calcule en posant T = 0, etdonc PA(0) = det(A 0I3) = det A. Les coefficients de T et de T2 nous intresse moins ici.

Or un polynme de degr 3dans C[T]se factorise comme

P(T) =a(T 1)(T 2)(T 3)aveca C, et avec 1, 2, 3 Cles racinesdeP(T), les seuls nombres complexes vrifiantP(i) = 0. Pour le polynme caractristique de A M3(C) comme ci-dessus on a a= 1.Thorme 11.2. Soit A M3(C) et soit 1, 2, 3 les racines du polynme caractristiquedeA tel quil y ait une factorisationPA(T) = (1 T)(2 T)(3 T). Alors1, 2, 3 sontles valeurs propres deA, et on a123= det A.


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Lide est que lesisont les nombres complexes vrifiantPA() = det(AI3) = 0. Maisle dterminant dune matrice 3 3est 0 ssi la matrice est non inversible, et les Ctels queA I3 est non inversible sont par dfinition les valeurs propres de A.

Pour la dernire partie de lnonc : les deux formules pourPA(T)donnentPA(0) = det(A

0I3) = det A et PA(0) = (1 0)(2 0)(3 0) =123. Donc on a det A= 123.Thorme 11.3. Soit AM3(R). Si C est une valeur propre(non relle) de A, alorsson conjugu est aussi une valeur propre deA.

Lide est que pour A M3(R) le polynme caractristique PA(T) = det(A T I3) =a0 +a1T +a2T

2 + a3T3 a des coefficients rels donc vrifiant ai = ai. On en dduit que

pour tout nombre complexe on a PA() = PA(). Donc si on a PA() = 0 on a aussi

PA() =PA() = 0. Comme les racines de PA(T)sont les valeurs propres de A, cela dmontrele thorme.

Thorme 11.4. SoitA O(3, R) et un valeur proprerelle deA. Alors= 1.Lide est que les vecteurs propres x associes aux valeurs propres relles dune matrice

relle A sont les solutions non nulles du systme linaire (A I3)x= 0 coefficients rels,et on peut trouver des solutions relles. Donc il y a un vecteur propre x R3 avecAx= xet x =0. Par le thorme6.4on a

x = Ax = x = ||x.En divisant parx = 0on trouve|| = 1.

12. SU(2, C) et su(2, C)

13. Les quaternions entiers et les sommes de quatres carrs

les quaternions et les rotations

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