l'enseignement de la mécanique

Paul GERMAIN

Joseph KAMPE DE FEacuteRI ET

Robert MAZET

Lenseignement de la meacutecanique

Les brochures de lAPM

Association des Professeurs de Matheacutematiques

de lEnseignement Public

29 rue dUim Paris 5~)

EXTRAIT DES STATUTS

Article II -LAssociation a pour but leacutetude des questions inteacuteresshysant lenseignement des Matheacutematiques et la deacutefense des inteacuterecircts professionnels de ses membres Elle institue ou encourage des reacuteushynio~s des discussions des enquecirctes sur lenseignement des Matheacuteshymatiques en France ou agrave leacutetranger

LAPM est ouverte agrave tous les Collegravegues enseignant dans les Faculteacutes les Grandes Ecoles les Lyceacutee~ les Collegraveges Classiques Modernes ou Techniques les Ecoles Nationales Professionnelles les Cours Compleacutementaires ou les Centres dApprentissage

COTISATION - Elle comprend labonnement au Bulletin ainsi que les fascicules deacutenonceacutes

Cotisation normale l 0 NF Cotisation reacuteduite (stagiaires CPR eacutelegraveves

des ENS et des IPES jeunes gens accomplissant leur service militaire reshytraiteacutes) 5 NF

ABONNEMENT (personnes nappartenant pas agrave lEnseignement Public bibliothegraveques etc )

France et Communauteacute 12 NF - Autres pays 15 NF Le numeacutero 3 NF

MODE DE PAIEMENT Virement postal (adresseacute au centre de chegraveques du tireur) ou mandat-carte agrave ladresse

APM 29 rue dUlm - PARIS 5e- CCP Paris 5708-21

RECOMMANDATIONS DU TRESORIER ---- Indications agrave portar sur Je talon du chegraveque 1deg Nom (en majuscules) et preacutenom- 2deg Adresse ougrave doit ecirctre envoyeacute le Bulletin - 3deg Ancienne adresse en cas de changement- 4deg Nom de leacutetablissement ougrave lon exerce - 5deg Nom de leacutetablissement preacuteceacutedent en cas de mutation en fin danneacutee scolaire

NB - Toute nouvelle adheacutesion demandeacutee en cours danneacutee scolaire compte agrave partir du l er octobre preacuteceacutedent Elle donne droit agrave tous les bulletins deacutejagrave parus au cours de lanneacutee scolaire sous reacuteserve quils ne soient pas eacutepuiseacutes

Paul GERMAIN Professeur agrave la Sorbonne

Joseph KAMPE DE FEacuteRIET Professeur agrave la Faculteacute des Sciences de Lille

Robert MAZET Professeur agrave la Faculteacute des Sciences de Poitiers

Lenseignement de la mecan1que

Association des Professeurs

de Matheacutematiques de lEnseignement Public

PARIS- 1961

1

laquo Afin que aux deacutepens dautrui Sage je menseignasse raquo

REGNIER

laquo Cest assez deacutesagreacuteable de ne pouvoir plus rien apprendre pour toute la viemiddot Nos aiumleux sen tenaient aux enseignements quils avaient reccedilus dans leur jeunesse mais nous il nous faut recommencer tous les cinq ans si nous ne voulons pas ecirctre complegravetement deacutemodeacutes raquo

GŒTHE (Les affiniteacutes eacutelectives)

Les brochures de lAPM mettent agrave la disposition des professeurs

des textes utiles agrave lenseignement

Ou bien ces textes sont ineacutedits ou bien ils ont deacutejagrave pa~u soit dans

le Bulletin de IAPM soit ailleurs Dans tous les cas il a paru inteacuteshy

ressant de regrouper des eacutecrits sous une forme commode pour les maicirctres

qui auront agrave sen servir

Brochures parues ~- -

1 Le langage simple et preacutecis des matheacutematiques modernes rar A REVUZ et L LESIEUR Professeurs agrave la Faculteacute des Sciences de Poitiers (avril 1960) (eacutepuiseacutee)

2 Congruences Paratactiques de cycles par Paul ROBERT Inspecteur geacuteneacuteral honoraire de lInstruction Publique (avril 1960) t

3 Recherche dune axiomatique commode pour le premier enseignement de la geacuteomeacutetrie eacuteleacutementaire rar Gustave CHOQUET Professeur agrave la Sorbonne (feacutevrier 1961 )

4 Le calcul des probabiliteacutes et lenseignement par A HUISMAN R FORTET E MOURIER A FUCHS D DUGUE G-T GUILBAUD J BOUZITAT J VILLE et F GENUYS (novembre 1961 )

5 Lenseignement de la meacutecanique par P GERMAIN J KAMPE DE FE RI ET et R MAZET (novembre 196 1)

Brochures en preacuteparation ~~~

6 Lalgegravebre et lenseignement Tome groupes anneaux et corps par Andreacute et Gershymaine REVUZ

7 Lenseignement de lastronomie

8 Le cineacutema dans lenseignement des matheacutematiques

Lenseignement de la meacutecanique - APMEP - 1961

AVERTISSEMENT

laquo Le meacutepris quon a pour les middotarts meacutecaniques semble avoir influeacute jusquagrave un certain point sur leurs inventeurs mecircmes les noms de ces bienfaiteurs du genre humain sont presque tous inconnus tandis que lhistoire de ses destructeurs cest-agrave-dire des conqueacuterants nest ignoreacutee de personne raquo

nALEMBERT

Apres avoir organiseacute agrave lintention speacuteciale des professeurs des cycles de confeacuterences sur lalgebre la topologie la mesure des grandeurs le calcul des probabiliteacutes la Socieacuteteacute Matheacutematique de France et lAssociashytion des Professeurs de Matheacutematiques de lEnseignement Public penseshyrent que le moment eacutetait peut-ecirctre venu deacutetudier les rapports entre les sciences physiques et les matheacutematiques Mais le sujet eacutetait trop vaste un cycle de confeacuterences ny aurait pas suffi Le projet eacutetait trop ambishytieux Comment couvrir tous les domaines exploreacutes par les physiciens Il parut sage et au fond assez naturel de se limiter agrave la meacutecanique classhysique la partie la plus matheacutematique de la physique la branche la plus physique de la matheacutematique

Cest dans res conditions quune dizaine de confeacuterences eurent lieu doctobre 1959 agrave nwi 1960 agrave lInstitut Henri-Poincareacute devant un audishytoire de professeurs des divers ordres denseignement toujours aussi nombrellx et attentifs

Les exposeacutes comme ceux qui ont fait lobjet de publications anteacuterieushyres sont conccedilus non pour des eacutetudiants ou des neacuteophytes nayant jamais entendu parler de ces sujets Ils sont destineacutes agrave des professeurs qui ont eacutetudieacute la meacutecanique il y a plus ou moins longtemps qui 01it agrave en enseishygner les eacuteleacutements et qui eacuteprouvent donc le besoin dun laquo retour aux sources raquo Ces maicirctres sont avides de parfaire leur formation et daccroicirctre leur culture scientifique Leur attention nest jamais eacutetrangere au souci dameacuteliorer leur enseignement Les confeacuterenciers -lont compris voyez plutocirct limportance quils accordent agrave laspect peacutedagogique de leur sujet

Des confeacuterences qui ont eacuteteacute reacutedigeacutees et publieacutees en _geacuteneacuteral dans le Bulletin de lAPM on a retenu pour les reacuteunir en brochure celles qui inteacuteressent le plus directement lenseignement de - la meacutecanique Tout naturellement est venu sajouter un texte de circonstance sur les proshygrammes eacuteleacutementaires ce texte dune actualiteacute particuliere au moment de sa publication (novembre 1961) alors que la reacuteforme des programmes des classes terminales est agrave lordre du jour nous semble dun inteacuterecirct permanent pour ceux qui auron( agrave _ en~etgner ougrave que ce soit ces premiers eacuteleacutements

Comment exprimer aux auteurs de cette brochure la reconnaissance que leur doivent auditeurs des confeacuterences et lecteurs La reacutedaction de lAPM a le privilege de pouvoir lexprimer mais ce ne sont encore que des mots Le renouvellement et le deacuteveloppement des eacutetudes de meacutecanishyque seront nous en sommes assureacutes un teacutemoignage reacuteel de linfluence heureuse et durable quauront ces exposeacutes

La Reacutedaction de lAP M


TABLE DES MATIEgraveRES

Paul GERMAIN

Principes et classique (1)

notions fondamentales de la meacutecanique 5

Robert MAZET

Les meacutethodes de la n1eacutecanique vibratoire des structures deacuteformables (2) - 13

Joseph KAMPEacute DE FEacuteRIET

Les eacutequations fondamentales de la meacutecanique des milieux continus (3) 25

Paul GERMAIN Pour lintroduction deacuteleacutements de dynan1ique dans le programme de Matheacutematiques de la classe de Matheacuteshy

matiques Eleacutementaires 33

Indications bibliographiques 39

(1)

(2) (3)

Paru dans le no 207 du Bulletin de lAPM (juin 1960) Bulletin APM ndeg 209 (octobre-novembre 1960) Bulletin APM ndeg 214 (janvier-feacutevrier 1961)


PRINCIPES ET NOTlONS FONDAMtENTALES

DE LA MECANI Q~ UE CLASmiddotSIQmiddotUE

par Paul GERMAIN

Professeur agrave la Sorbonne

Rien ne semble aussi connu et mecircme aussi clair que les reacutesultats de cette vieille discipline agrave la fois respecteacutee c01nme n1egravere des theacuteories plus modernes de la physique matheacutematique et 1neacutepriseacutee com1ne vrailnent deacute1nodeacutee Pourtant lexpeacuterience 1nontre que lon ne saisit pas toujours tregraves bien ce que jappellerai le laquo statut raquo de la 1neacutecanique classique

La preacutesente eacutetude na pas dautre preacutetention en eacutenonccedilant et explishyquant les bases de la meacutecanique que de servir dintroduction agrave lactuel ltycle de confeacuterences Puisse celui-ci entraicircner chercheurs et professeurs agrave marquer une plus grande attention pour cette branche de la science Parcourir ainsi les chemins ltlt trop connus raquo () de lunivers de la meacutecanique est certes 1noins enthousias1nant que dexplorer les riches ou surprenants paysages du n1onde de la physique n1oderne Neacuteanmoins refaire de temps en temps cette promenade peut ecirctre instructif

Il convient de bien situer dabord le Inonde de la n1eacutecanique classishyque dans le prolonge1nent de celui de la geacuteomeacutetrie euclidienne concepshytuellement et historiquement il en est bien ainsi Le processus de la formation dune discipline matheacutematique ou plutocirct physico-Inatheacutematishyque est toujours le 1Tiecirc1ne on cherche agrave la suite dune reacuteflexion sur certains aspects du Inonde physique dans lequel nous vivons agrave uumlnaginer nn scheacutema clair permettant de construire un laquo n1onde ideacutealiseacute raquo facile agrave eacutetudier par les techniques 1natheacuten1atiques et que lon pourra cmnpa~ rer apregraves en avoir reconnu les divers aspects au n1odegravele c01nplexe que lexpeacuterience reacuteelle nous propose

Le premier monde scheacute1natique ainsi construit est celui de la geacutemneacuteshytrie classique cest le n10nde matheacutematique des formes et de leacutetendue Le miracle grec consiste preacuteciseacuten1ent en la deacutefinition de ce monde ideacutealiseacute On peut dire encore que les Grecs ont reacuteUssi agrave rationaliser les formes et leacutetendue

Certes le monde de la geacuteomeacutetrie est encore extrecirc1nenwnt pauvre Les ecirctres qui le cmnposent lignes surfaces et volumes ny figurent que ~ous un aspect fort primitif Dautre part cet univers est figeacute aucune eacutevolution ne peut y ecirctre deacutecrite Dans la conquecircte scientifique leacutetape suivante agrave reacutealiser eacutetait bien celle du mouvement Le monde rationaliseacute qui permet la description et leacutetude du mouvement est preacuteciseacutement celui de la meacutecanique Cette entreprise se reacuteveacutela autre1nent difficile que la

2 Lenseignement de la meacutecanique - APMEP - 1961

-6shy

pre1niegravere et vingt siegravecles seacuteparent la creacuteation par lesprit humain du monde ideacutealiseacute de la meacutecanique de celle de la geacuteomeacutetrie

Nous essaierons donc de parcourir les eacutetapes qui ont permis de pas~ ser dun monde agrave lautre ou si lon veut denrichir le monde de la geacuteon1eacuteshytrie Mais lagrave un choix simpose on peut suivre soit lordre historique soit lordre logique tel quil nous apparaicirct actuelle1nent Sans IneacuteconnaicircshyLre tous les aspects que peut offrir le premier point de vue pour une reacuteflexion sur les deacuten1arches de la penseacutee humaine face agrave un problegraveme veacuteritablement essentiel je choisirai deacutelibeacutereacuten1ent le second en raison de lobjectif que je me propose

Le plan de cet exposeacute sera donc le suivant la premiegravere partie preacuteshysentera le n1onde ideacuteal de la meacutecanique classique (cineacute1natique cineacutetishyque dynmnique et loi fondamentale ou ltlt regravegle du jeu raquo de la theacuteorie) Ja seconde partie eacutetudiera comment ce scheacutema sadapte aux conditions reacuteelles middot

1 CINEacuteMATIQUE

La premiegravere des notions nouvelles quil faut introduire pour enrishychir le monde de la geacuteomeacutetrie est celle de temps La donneacutee dune geacuteOineacuteshytrie et dune deacutefinition du temps permet de deacutefinir une cineacutematique cest-agrave-dire un cadre dans lequel des mouvements pourront ecirctre deacutecrits Preacutecisons dailleurs tout de suite que cette notion de te1nps cineacutematique introduite ici est fort eacuteloigneacutee de la notion qui sera finalement retenue par la meacutecanique complegraveten1ent constitueacutee de nouvelles preacutecisions seront donc introduites par la suite

De faccedilon plus preacutecise ce temps cineacuten1atique est deacutefini par la donshyneacutee dune variable reacuteelle t se donner une valeur de t cest deacutefinir une date on peut ainsi deacutefinir une dureacutee seacuteparant deux dates ainsi que la notion de date anteacuterieure ou posteacuterieure agrave une autre

Ceci poseacute on dira quune famille de figures geacuteomeacutetriques agrave un parashyJnegravetre CSt) deacutefinie pour toute valeur de t appartenant agrave un certain inter- t valle ( 7 ) deacutetermine leacutevolution dun 1necirc1ne systegraven1e (S) si on peut eacutetablir entre les points des figures CSt ) et CS ~) une correspondance

1 1 ponctuelle biunivoque II Ct1 t2) telle que pour toutes valeurs de t t1 i 2 t3 appartenant agrave lintervalle ( 7 ) IT(t t) soit la transformation idenshytique et que

IT(t1 t3) = IT(t1 t2) IT(t2 t3) eest-agrave-dire que si TI (t1 t2) fait correspondre agrave un point M1 de CSt ) un point M2 de CSt ) et IT(t2 t3) un point M3 de CSt ) au point M2 de (S1 ~ ) alors TI Ct1 t3) fait correspondre preacuteciseacute1nent M~ de CSt ) au point M1 de CSt

1 )

Nous ninsisterons pas ici sur les structures matheacute1natiques mises en œuvre dans ces deacutefinitions elles permettent leacutedification de geacuteneacuterashylisations purement abstraites conduisant agrave ce quon appelle parfois la topologie dynamique


-7shy

On dit que le systegrave1ne (S) introduit c01nme on vient de dire est un solide (au sens de la cineacutematique) si les transformations II sont des deacuteplacements de la geacuteomeacutetrie euclidienne Cette notion permet de preacuteshyciser la deacutefinition du mouvernent on dit quun point M est en eacutequilibre par rapport agrave un solide (S) si la reacuteunion de M et de (S) constitue un 8olide on dit encore que M est azz repos par rapport agrave (S) Si le point M nest pas en eacutequilibre par rapport agrave (S) on dit que M est en mouvement par rapport agrave ce solide Cest ainsi que la notion de mouve1nent (ou deacutequilibre) na de sens que si on preacutecise le solide par rapport auquel on veut deacutefinir le mouvement (ou leacutequilibre) Un solide par rapport auquel on observe des mouvements eacuteventuels est aussi appeleacute un sysshytegraveme de reacutefeacuterence ou un repegravere un point qui est constamment en eacutequishylibre par rapport agrave un solide (S) est dit lieacute agrave ce solide

Nous ninsisterons pas ici sur les notions classiques qui sintrodui sent sans difficulteacute trajectoire dun point vitesse acceacuteleacuteration On eacutetend ces deacutefinitions agrave tous les points dun systegraven1e que lon suit dans son mouvement (par rapport agrave un certain repegravere deacutetermineacute) cest-agrave-dire reacutepeacutetons-le un ensemble de figures geacute01neacutetriques CSt) muni dune corresshymiddotpondance ponctuelle II

Le fait quun mouve1nent nest deacutefini que lorsque le repegravere est preacuteshyciseacute conduit agrave imaginer les relations entre les mouvements dun mecircn1e systegraveme deacutefinis par rapport agrave deux repegraveres en mouvement lun par rapshyport agrave lautre Ainsi sintroduisent la fameuse loi de composition des vitesses et celle de la composition des acceacuteleacuterations La theacuteorie du chanshygement de repegravere en cineacutematique classique achegraveve ce tableau rapide de la premiegravere phase de leacutelaboration de la n1eacutecanique Notons lextrecirc1ne geacuteneacuteshyraliteacute de la notion de temps en cineacute1natique toute fonction f(t) croisshysante et deux fois continucircment deacuterivable constitue un repeacuterage du temps cineacutematique

2 CINEacuteTIQUE

Les systegravemes consideacutereacutes nont encore que des proprieacuteteacutes geacuteomeacutetrishyques Leacutetape suivante va consister agrave leur donner une masse

La notion de masse utiliseacutee en meacutecanique classique est un cas parshyticulier de la notion Inatheacutematique de mesure qui consiste agrave faire corshyrespondre agrave tout ensemble dit mesurable un n01nbre positif ou nul correspondance satisfaisant au postulat dadditiviteacute totale A un instant donneacute on qualifie de mateacuteriel un point dont la masse est non nulle Prashytiquement les autres ensembles mesurables envisageacutes par la meacutecanique sont des reacuteunions darcs mateacuteriels de surfaces mateacuterielles de volu1nes 1nateacuteriels les masses de ces ensembles eacutetant deacutefinies agrave laide de masses speacutecifiques lineacuteaires superficielles ou volumiques

Toutes ces notions tregraves suumlnples sont deacutefinies agrave un instant donneacute mais leur eacutevolution est reacutegleacutee par la premiegravere loi de la meacutecanique classhysique la loi de conservation de la masse la masse de toute partie dun systegraveme que lon suit dans son mouvement est indeacutependante dzz temps

Il convient dinsister sur le parti pris de la meacutecanique classique son univers est un univers continu Une tige fine un disque de faible


-8shy

eacutepaisseur une boule pleine de notre univers physique seront habituelshylement scheacutematiseacutes en meacutecanique par un segment rectiligne mateacuteriel un cercle mateacuteriel une sphegravere mateacuterielle aux 1nasses deacutefinies agrave partir dune n1asse speacutecifique Il se peut que le physicien mette en eacutevidence que cette tige en fait nest pas continue quelle est forn1eacutee datomes et quen reacutealiteacute ltlt il y a plus de vide que de plein raquo le meacutecanicien classique nen a cure tout au n1oins agrave ce stade de la scheacuten1atisation et il sen tient agrave la conception continue de la 1natiegravere aussi grossiegravere que cette conception puisse lui paraicirctre

Introduire les masses dans le monde de la cineacutematique constitue une discipline nouvelle la cineacutetique Un de ses outils essentiels est linteacuteshygrale prise sur un certain agraveomaine 9J par rapport agrave une distribution des masses

JJJ f(M)d~(M) A toute fonction scalaire (ou vectorielle) deacutefinie sur u~ systegraven1e (S)

on peut ainsi associer un nombre (ou un vecteur) reacutesultat de cette int~shygration sur (S) de la fonction donneacutee Si la distribution des masses se reacuteduit agrave un nombre fini de masses ponctuelles finies ces inteacutegrales sont des smnmes finies si la distribution est deacutefinie par une masse speacutecifi-shyque volumique une telle inteacutegrale pourra sexprimer cmnme une inteacuteshygrale de volume

Linteacuterecirct dune telle deacutefinition nest pas seulement de rasse1nbler sous une n1ecircme notation des expressions analytiques qui sans elle seraient diffeacuterentes mais surtout de permettre une eacutecriture eacuteleacutementaire des deacuteriveacutees particulaires cest-agrave-dire des deacuteriveacutees par rapport au temps de certaines grandeurs attacheacutees agrave un systegraveme que lon suit dans son mouvement En effet si lon deacutesigne par 9J un systegrave1ne que lon suit

dans son mouvement et par _ le symbole de cette deacuterivation particushyd

liegravere on peut eacutecrire en vertu de la loi de conservation de la masse

dfmiddot l d f dl - ~ M t) p(M) = d- (~1) d (J( M)(1 9J 9J l

par deacuterivation sous le signe somme seulement En opeacuterant ainsi on pourra deacutefinir le centre dinertie dun systegraveme (S) sa vitesse et son acceacuteleacuteration

Parmi les notions de cineacutetique (deacutefinies agrave un instant t fixeacute) signashylons le torseur des quantiteacutes de mouvement [0] deacutefini agrave partir du cha1np

des vitesses V(M) qui constitue la densiteacute massique deacutetenninant ce torshyseur la reacutesultante geacuteneacuterale et le moment reacutesultant en un point 0 sont

shy

les inteacutegrales prises par rapport agrave la distribution de 1nasses de V(M) et

de OM A V(M) [moment en 0 de V(M) ] Le torseur degraves quantiteacutes dacceacuteshyleacuteration [c4 J se deacutefinit de mecircme agrave partir du champ des acceacuteleacuterashy

- d tions y(M) On sait - [0] = [ c4 ] Leacutenergie cineacutetique est linteacutegrale de

dt

la fonction scalaire ~ V2(M) p ar r apport agrave la distribution de masse 2


- 9middot shy

3 DYNAMIQUE

La derniegravere notion neacutecessaire pour constituer la meacutecanique est une scheacutematisation de la nation vulgaire defforts exerceacutes sur un systegraveme (S) Cette scheacutematisation constitue la dynamique

La distinction essentielle agrave faire est celle defforts inteacuterieurs agrave (S) - efforts exerceacutes par certaines parties du systegraverne sur dautres parties du systegraveme - et defforts exteacuterieurs - efforts exerceacutes sur (S) par des systegraven1es autres que (S) Seuls les efforts exteacuterieurs reccediloivegravent une deacutefishynition matheacutematique preacutecise Se donner un systegraveme defforts (ou forces si le mouvement se fait sans chocs ce quon supposera pour comrnencer)

exerceacutes sur (S) cest se donner sur (S) un champ de vecteurs f(M) et

une mesure (w) -ou distribution de masses fictives- f(M) est appeleacute la densiteacute de forces relative agrave la mesure (w)

On porte speacutecialement son attention sur le torseur [ 9 ] des forces exteacuterieures exerceacutees sur (S) sa reacutesultante geacuteneacuterale et son rnmnent reacuteshy

Joshysulant sont les inteacutegrales prises par rapport a la rnesure (w) de f(M) et

- Jo- Joshy

de OM A f(M) Si (w) sidentifie avec la distribution des masses reacuteelles Jo-

on dit que f(M) est la densiteacute rnassique des forces si (w) consiste en p points de (S) de mesure finie eacutegale agrave P1 PP le systegraverne de fo~ces

Jo- Joshy

est celui de p forces finies f(PI) f(PP) Si (w) est deacutefini par une meshy

sure speacutecifique volurnique f(M) est la densiteacute volumique des forces exteacuteshyrieures

Tel est briegravevement deacutecrit le monde de la meacutecanique classique Comme il est sin1ple et pauvre La geacuteomeacutetrie euclidienne une notion de temps calqueacutee sur celle de nmnbre reacuteel une notion de masse deacutefinie par des fonctions scalaires des efforts exteacuterieurs deacutefinis par des champs de vecteurs peut-on penser agrave quelque chose de plus simple si ce quon veut scheacutematiser doit faire intervenir les notions plus ou moins preacutecises de point dapplication de direction dintensiteacute Liinagination des n1eacutecaniciens classiques nest pas alleacutee chercher des notions bien subtiles pour bacirctir ce monde ideacutealiseacute t

Il reste maintenant agrave deacutefinir la regravegle du jeu dans cet univers cest-agraveshydire formuler la relation entre les efforts (qui scheacutematisent ce quon appelle ltlt causes raquo dans le langage ordinaire) et la description du moushyvement (les ltlt effets raquo) Lagrave encore soulignons la simpliciteacute de cette regravegle en redonnant leacutenonceacute bien classique de la loi fondamentale de la meacute canique classique qui reacutegit tous les mouvements imaginables ceux de la meacutecanique des solides comme ceux de la meacutecanique des fluides ceux des corps eacutelastiques comme ceux des corps plastiques Il existe au moins un repegravere - dit repegravere absolu - ct une maniegravere de mesurer le temps - mesure absolue du temps -- tels que agrave chaque instant et pour tollte partie dun systegraveme le torseur des quantiteacutes dacceacuteleacuteration est eacuteqniuashylent au torseur des forces exteacuterienres appliqueacutees agrave cette partie soit [o4] = [9 ]

Le cas particulier de leacutequilibre conduit agrave [ 9 ] = 0 qui exprilne comme corollaire le theacuteoregraveme geacuteneacuteral de la statique


- 10shy

De la loi fondamentale on deacuteduit le theacuteoregraveme de laction et de la reacuteaction si ~1 -et ~2 sont deux systegravemes disjoints en mouvement ou non le torseur [ 912] des forces exteacuterieures agrave Il2 exerceacutees sur Il2 par les eacuteleacutements de Il1 est apposeacute agrave chaque instant au torseur [ 9 21] des forces exteacuterieures agrave Il1 exerceacutees sur ~1 par les eacuteleacutements de Il2 Il suffit dappliquer la loi fondamentale agrave ~1 ~2 et au systegraveme Il1 + Il2

Remarquons aussi que la notion de temps se trouve consideacuterableshyment preacuteciseacutee par la loi fondamentale La mesure du temps de la dynashymique na plus lextraordinaire arbitraire du temps de la cineacutematique Si t deacutesigne une mesure absolue du temps toute autre mesure absolue du temps T (cest-agrave-dire pour laquelle la loi fondamentale reste valable) est deacutefinie par T =at + b ougrave a gt 0 et b sont des constantes Lorigine des temps est eacutevidemment sans grande importance la seule chose imshyportante qui reste arbitraire cest la deacutefinition dune uniteacute de dureacutee

Nous ne pouvons poursuivre ici leacutetude du scheacutema de la meacutecanique

classique ni montrer comment au cours des siegravecles le deacuteveloppement de cette eacutetude est agrave lorigine de nombreux enrichissements de la penseacutee scientifique Par contre il est indispensable dinsister sur lincessant dialogue qui va seacutetablir entre le monde ideacutealiseacute (preacutesenteacute volontairement sous un aspect theacuteorique) et celui de lexpeacuterience physique Est-il besoin de souligner que leacutelaboration des notions et des lois fondan1entales qui ont eacuteteacute rappeleacutees plus haut sont le fruit dune reacuteflexion historique sur les donneacutees de lexpeacuterience Mecircme si lon considegravere ce scheacutema comme acquis il reste dailleurs pour le mettre en correspondance avec le n1onde de notre expeacuterience physique agrave reacutepondre aux questions suishyvantes

1) Comment choisir dans notre monde physique un repegravere qui tienshydra le rocircle dun de-s repegraveres absolus citeacute dans la loi fondamentale

2) Comment effectivement deacutefinir et mesurer dans notre Inonde physique le temps pour que celui-ci puisse ecirctre assimileacute au temps absolu t citeacute dans la loi fondamentale

3) Comment mesurer pratiquement les masses et les forces dans le monde physique pour que le scheacutema preacutevu risque decirctre applicable

Ces deacuteterminations faites il deviendra possible de tester la validiteacute du scheacutema proposeacute en comparant les mouvements observeacutes physiqueshyment avec les mouvements homologues calculeacutes dans le cadre de la meacuteshycanique Dans telle ou telle eacuteventualiteacute on pourra ainsi preacuteciser la valishyditeacute du scheacutema construit

En reacutealiteacute les opeacuterations qui viennent decirctre eacutenonceacutees dans un ordre deacutetermineacute pour la commoditeacute de lexposeacute sont indissociables Et lon sait que cet ajustement des deux mondes a demandeacute des siegravecles de labeur humain On oublie trop souvent aujourdhui quelle suite defforts tant sur le plan theacuteorique que sur le plan de lexpeacuterimentation lhumaniteacute a ducirc consentir dans des conditions fort difficiles pour obtenir le reacutesultat que lon sait


11shy

Nous ne pouvons deacutecrire ieacutei que fort briegravevement les principaux aspects de la voie utiliseacutee Insistons toutefois sur son caractegravere dialecshytique et sur sa progression par approximations successives qur lon retrouve aussi bien lorsquil sagit dadapter le scheacutema de la meacutecanique classique au 1nouvement des corps ceacutelestes quagrave celui des systegravemes au voisinage de la Terre

Commenccedilons par examiner dabord le cas bien connu du 1nouve1nent des planegravetes En premiegravere approximation prenons comme repegravere absolu un repegravere dont lorigine est au centre du Soleil et dont les directions sont lieacutees aux eacutetoiles dites fixes prenons comme temps absolu celui qui est deacutefini par le mouvmnent diurne Lobservation du 1nouvement des planegravetes a conduit aux lois de Kegravepler Or dans notre Inonde theacuteorique de la meacutecanique lorsque des points mateacuteriels eacutevoluent conformeacutement agrave ces lois cest que la reacutesultante des forces appliqueacutees agrave chacun deux est proportionnelle agrave leur masse et inversement proportionnelle au carreacute de la distance agrave lorigine du repegravere Telle est la pre1niegravere phase du processhysus dialectique dont il a eacuteteacute question on utilise la loi fonda1nentale pour deacuteduire les forces en jeu de lobservation du mouvement Par une geacuteneacuteshyralisation bien naturelle le reacutesultat acquis nous met en possession de la loi de lattraction newtonienne qui nous donne la possibiliteacute de connaicircshytre les fqrces en preacutesence dans le mouvement des planegravetes On peut alors reprendre le problegraveme Si lorigine du repegravere absolu est maintenant plashyeeacutee au centre dinertie ~u systegraveme solaire (ce qui est leacutegitime si on neacuteglige linfluence des eacutetoiles sur les 1nouvements des corps de ce sysshytegraveme) on est en n1esure par une nouvelle application de la loi fondashymentale (connaissant les forces trouver le mouvement) de poser le problegraveme du mouvement des planegravetes dans le cadre de la meacutecanique cest le fameux problegraveme des n corps On est conduit agrave former un sysshytegraveme deacutequations diffeacuterentielles dont la solution doit permettre la preacuteshyvision des positions des diffeacuterentes planegravetes agrave des instants deacutetermineacutes Mais dans ce systegraveme certains paramegravetres demeurent inconnus le rapshyport des masses des diffeacuterentes planegravetes et du Soleil la deacutefinition preacutecise du temps absolu Toute la question est lagrave en choisissant convenableshyment le rapport de ces masses en preacutecisant la mesure du temps utiliseacutee parvient-on agrave rendre compte du mouvement observeacute On connaicirct la reacuteponse le seul eacutecart significatif concerne une diffeacuterence de 43 secondes par siegravecle dans le deacuteplacement du peacuteriheacutelie de Mercure On constate donc que le temps qui correspond le mieux au temps absolu de la meacutecanique peut ecirctre deacutefini agrave partir des mouvements orbitaux des planegravetes et de leurs satellites tels quils sont preacutevus theacuteoriquement

Des remarques analogues peuvent ecirctre deacuteveloppeacutees en ce qui concerne la meacutecanique des systegravemes au voisinage de la Terre en un lieu geacuteographique donneacute Si on observe par rapport agrave la Terre des corps assimilables agrave des points mateacuteriels en chute libre dans le vide on veacuterifie que leur acceacuteleacuteration est constante Appliquant la loi fondamentale de la meacutecanique apregraves avoir montreacute _que le repegravere lieacute agrave la Terre pouvait ecirctre consideacutereacute comme absolu pour leacutetude de ce genre de mouvement onmiddot en deacuteduit que laction de la Terre est deacutefinie par une densiteacute massique

)looshy

constante defforts g Si maintenant on suspend ces corps agrave un dynamoshy


- 12shy

Inegravetre en appliquant la loi fondamentale on voit que laction du dynashymomegravetre sur un corps est opposeacutee agrave laction de la Terre (loi fondamenshytale de la Statique) et que laction du corps sur le dynamon1egravetre est donc eacutegale agrave celle de la Terre sur le corps (theacuteoregraveme de laction et de la reacuteacshytion) Dougrave leacutetalonnage du dynamomegravetre et la possibiliteacute de se servir de cet instrument pour con1parer les masses

On notera que ces deux expeacuteriences - chute des corps dans le vide eacutequilibre du dynamomegravetre - qui sont celles auxquelles il suffit de faire appel pour pouvoir mesurer des masses dans le mode dexposition proshyposeacute ici sont preacuteciseacutement celles qui sont utiliseacutees dans dautres exposeacutes pour justifier ce quon appelle alors leacutegaliteacute de la masse inerte et de la masse pesante Lorsquon a ainsi inventorieacute les masses des systegravemes en preacutesence et les forces qui agissent sur eux on est en mesure de veacuterifier lexactitude des lois de la meacutecanique et dutiliser ces lois pour la preacuteshyvision

Les reacutesultats ainsi obtenus sont si remarquables quils ont pu laisser

croire agrave certains que les concepts et les lois de la meacutecanique classique eacutetaient des caracteacuteristiques rigoureuses et deacutefinitives de notre univers physique Or il doit ecirctre bien clair quil nexiste pas de lois deacutefinitives au sens strict Il y a ajustement - combien remarquable certes - dun scheacutema matheacutematique agrave certains aspects de notre monde physique extrecircmement complexe Il ny a pas il ne peut y avoir identificashytion rigoureuse Il ny a jamais eu et il ny aura jamais de crise concernant telle ou telle theacuteorie physico-matheacutematique la crise nexiste tout au plus que dans la conscience de ceux qui accordent une foi quasi-meacutetaphysique agrave tel scheacutema construit par la 3cience Ce qui peut advenir cest simplement la deacutecouverte dun pheacutenomegravene ou bien 1ii1e reacuteflexion nouvelle eacuteclairant tel aspect de lexpeacuterience qui reacuteveacutelerait linadaptation des scheacutemas anteacuterieurs agrave la description et agrave lexplication des nouveaux aspects expeacuterimentaux

Par exemple le temps de la meacutecanique classique assez malenconshytreusement qualifieacute de temps absolu neacutechappe pas agrave cette condition des t ecirctres de la science II est dans la nature des choses et non dans limshyperfection de nos moyens de mesure ou de calcul que sa deacutetermination expeacuterimentale ne puisse ecirctre preacuteciseacutee au-delagrave dune certaine limite Lanashylyse dEinstein a montreacute comment cette notion dun temps indeacutependant du repegravere dans lequel sont faites les observations est insoutenable dans un univers ougrave la vitesse des signaux agrave notre disposition est limiteacutee Les deacuteveloppements de la physique quantique soulignent dautres insuffishysances Ce qui est eacutetonnant ce ne sont pas ces insuffisances cest plutocirct que les caracteacuteristiques de notre univers sont telles que lesprit humain ait pu parvenir agrave deacutegager un scheacutema aussi simple que celui de la meacutecashynique classique permettant de rendre compte de faccedilon satisfaisante dun large champ dexpeacuterience Il est permis de penser que le deacuteveloppement des sciences dans leur ensen1ble aurait pu ecirctre seacuterieusement compromis si un tel scheacutema navait pas trouveacute un champ dapplication aussi eacutetendu


LES METHODES DE LA MECAN-IQUE VImiddotBRATOIRE

DES STRUCTURES DEFORMABLES par R MAZET

Professeur agrave la Faculteacute des Sciences de Poitiers

Directeur scientifique agrave lONERA

Le titre laquo Vibrations raquo annonceacute pour cette confeacuterence - titre que je nai pas choisi - est certainen1ent ou trop ambitieux ou trop vague Je Ille propose de limiter mon sujet agrave un rapide exposeacute des meacutethodes deacutetude des vibrations libres des structures deacuteformables Contrairement 1 ce que vous attendez peut-ecirctre jirai de labstrait au concret pensant que lauditoire qui Ille fait lhonneur de meacutecouter a par vocation le goucirct des repreacutesentations abstraites et par ailleurs quil est plus inteacuteshyressant de tenlliner par les applications pratiques courantes qui se font loujours agrave laide de meacutethodes simplifieacutees agrave lextrecircme Je montrerai donc eom1nent la reacutesolution dun problegraveme de vibrations se simplifie progresshysivement gracircce agrave des approximations successives dont aucune (disons-le tout de suite pour rassurer les esprits rigoureux) ne porte atteinte agrave la preacutesentation logique de la theacuteorie

Consideacuterons trois exeillples de systegravemes simples pour lesquels nous nous de1nanderons quel peut ecirctre laspect de leur mouvement conseacutecutif agrave un lacirccher ou agrave une impulsion (eacutetude de la vibration libre)

a) Barreau encastreacute agrave une extreacutemiteacute vibrant en extension-compresshysion (section pouvant varier faiblement avec x) (fig 1)

Inconnue deacuteplace1nent u(x t) de la section dabscisse x

oll(i)Conditions aux limites u(o t) = 0 -- ___ 0

ocirc X

3


-14shy

Conditions initiales u(x o) = u0(x)

ocircu(xO) --- _ no(x)

ocirc

On eacutecrit le theacuteoregraveme de la quantiteacute dacceacuteleacuteration projeteacutee sur Ox pour la tranche (x x+ ocircX) soumise aux efforts normaux v et -(v+ ocirc v)

Ocirc[l

avec v = - ES - ocirc x

OcircJ1 ocirc( ocirctz)pS- = - ES- (1)

ocircf2 ocircX ocircX

b) Barreau encastreacute agrave une extreacutemiteacute vibrant en torsion (section cirshyculaire dont le rayon peut varier faiblement avec x) (fig 2)

Inconnue middot rotation 6(x t) de la section dabscisse x

ocirc8(1 1)Conditions aux limites 6(o t) == 0 --= 0

ocircX -

ocircamp(xo)Conditions initiales 6(x o) = 60 (x) - amp 0 (x)

ocircl

On eacutecrit le theacuteoregraveme du n1oment dynamique par rapport agrave Ox pour bulli

1

la tranche (x x + ocircx) soumise aux couples de torsion C et - (C + ocircC)

avec C=-GJ - ocirc x

2ocirc ) ocirc ocirc() )

oJ- = -(GJ- (2) ocirc2bull ocircX ocircX

c) Laine encastreacutee agrave une extreacutemiteacute vibrant en flexion (section recshy


-15 shy

langulaire plate dont la petite dimension peut varier faiblement avec x) (fig 3)

Inconnue translation ~(x t) de la section dabscisse x

-~

x

Conditions aux limites

ocircCcedil(ol) ocirclCcedil(lt) ocirclCcedil(f middot ~(o t) = 0 --==0 --- 0 -- O

ocircX ocircX2 ocircX 3

dmiddottmiddot middottmiddot 1 ( ) ( ) ocircCcedil(xo) ( )Con 1 wns lili Ia es ~ x o = ~0 x ocirc

=c 0 x

On eacutecrit le theacuteoregraveme de la quantiteacute dacceacuteleacuteration projeteacutee sur Oy pour la tranche (x x+ ox) soumise aux efforts tranchants t et

oA o2~ -(t+ o-t) avec -t = -- et A (moment de flexion en x)=- El -

ocircX ocircX2

ocirc2s ocirc2 ocirc~ccedil ) pS ocirc[2 = - ocircXz (_El ocircr2 bull (3)

Les eacutequations dont deacutepend la solution de ces divers problegravemes ont un aspect cmnmun ce sont des eacutequations aux deacuteriveacutees partielles assorshyties de conditions aux limites On notera toutefois que leur forme diffegravere dun problegraveme (a b) agrave lautre (c) Malgreacute la simpliciteacute des exemples choishysis~ leur inteacutegration nest pas simple si les coefficients des deacuteriveacutees parshylieUes sont des fonctions de x et non des constantes

Or il existe une meacutethode absolument geacuteneacuterale convenant agrave toutes les structures vibrantes et se precirctant aiseacutement aux calculs numeacuteriques soit agrave la main soit par des n1achines de grande capaciteacute Cest cette meacutethode que je voudrais vous exposer

Consideacuterons un solide naturel A0 en eacutequilibre stable Sur toute coushypure fictive ocirc S effectueacutee en un point quelconque P 0 de A0 normalemept

agrave une direction quelconque Il seacutechangent entre les moleacutecules seacutepareacutees

par ocirc S des forces directement opposeacutees +ro ocircS exerceacutee par +sur _

et - -0 s exerceacutee par re sur n (ro est la contrainte correspondant agrave z


au point P 0 ) (fig 4) Sur toute fraction du solide ces forces dites eacutelastishyques eacutequilibrent les forces exteacuterieures Sous des forces exteacuterieures faishybles elles sont neacutegligeables Nous les supposerons nulles (solide dans son eacutetat neutre)

Supposons que ce solide vienne pour une raison quelconque agrave se deacuteformer en fonction du temps (contrairement agrave un solide theacuteorique qui lui serait par deacutefinition indeacuteformable) et que dans cette deacuteformashytion le deacuteplacement (ou eacutelongation) de chacun de ses points P 0 soit

Picircgt soit petit La loi de leacutelasticiteacute exprime que la contrainte - sexershyccedilant agrave chaque instant sur une coupure fictive ocirc S effectueacutee en un point

_ quelconque P de A (ex - A0) normalement agrave la direction n est eacutegale au

produit par _ dun certain tenseur dordre trois qui est une fonctionshynelle lineacuteaire de la deacuteformation au point P cette derniegravere eacutetant deacutefinie

par la connaissance des eacutelongations P0 P= tCP0) dans un certain voisishynage de P 0 (x y z)

_ __ _ Ccedil = f1Cx y zJt) P 0 P = f(P 0 ) Icirc 11 = f2Cx y z [t)

( ~ = f3(X y z[t)

7= 9J (f) - eacuteleacute1nents de 9J fonctions lineacuteaires des deacuteriveacutees partielles f1 f2 fJ

Rassurez-vous je nai pas lintention de vous entraicircner dans le calcul tensoriel et pour expliquer cette relation je vais particulariser la fa1nille de deacuteformations possibles du solide dans les mouvements libres que nous eacutetudions

Nous supposerons quil existe une famille de surface 10(x y z) = h telle que lintersection de A0 et de chaque surface de la famille soit indeacuteshyformable (la deacuteformation du solide est alors dite unidimensionnelle) Consideacuterons les deux sections infiniment voisines I0(h) et 1~ (h + ocirc h) elles isolent un eacuteleacutement ocirc u0 du solide (tranche infiniment mince) soit G0(h) le centre de graviteacute de cet eacuteleacutement


-17shy

Lorsque le solide se deacuteforme les forces suppleacutementaires qui agissent sur cet eacuteleacutement et tendent agrave le rappeler vers sa position deacutequilibre (forshyces de rappel) sont les diffeacuterentielles des forces eacutelastiques agissant sur la section IJ0 forces que lon peut reacuteduire en G0 agrave une force et un couple Dapregraves la loi de leacutelasticiteacute ces deux grandeurs sont des fonctions lineacuteaishyres de la deacuteformation repreacutesenteacutee par le deacuteplacement relatif de la secshytion Il~ par rapport agrave la section IJ0 bull Le deacuteplacement de IJ0 deacutepend en principe de six paramegravetres mais si lon impose deu~ conditions agrave leacutelongation de G0 (eacutelongation dite laquo polariseacutee raquo) et si lon tient compte du theacuteoregraveme de Lameacute sur la reacuteciprociteacute des contraintes tangentielles (il exprime que la tranche est en eacutequilibre autour de G0 ou encore que le

tenseur 9J est sy1neacutetrique) trois des quatre paramegravetres sexpriment en fonction de lun deux A(h) et de ses deacuteriveacutees successives par rapport agrave h

Finalement la simple connaissance de A(h t) deacutefinit le mouvement de tous les points P 0 de A0 bull Cest le cas des trois exemples mentionneacutes au deacutebut

Signalons sans insister que labsence de ces hypothegraveses silnplificashytrices nous conduirait agrave traiter simultaneacutement trois fonctions indeacuteperrshydantes Ccedil 1) ~ de trois variables indeacutependantes despace x y z au lieu dune seule fonction dune seule variable et des inteacutegrales triples au lieu dinteacutegrales simples (avec eacuteventuellement lemploi de coordonneacutees curshyvilignes au lieu de coordonneacutees carteacutesiennes) sans que la meacutethode de reacutesolution qui va suivre soit en rien changeacutee

Revenons au cas simplifieacute Laction reacutesultante oF (force ou couple) qui agit sur la tranche o v et la rappelle vers sa position deacutequilibre o v0

est de la forme suivante en appelant ~(x t) [au lieu de A(h t)] le parashymegravetre qui deacutefinit leacutelongation de ladite tranche

02 oF = - A (c o~ ccedil 1x) ox

ocircX ocircX2

A eacutetant une fonction lineacuteaire de ~ et de middotses deacuteriveacutees (~ nest preacutesent luishymecircme que dans le cas dun appui eacutelastique en P 0 )

02 Consideacuterons A ( C o( ( ) On peut leacutecrire

ocircX ocircX2

A(1 _ ~ middot)ccedilox ocircX2

et la consideacuterer comme le produit de lopeacuteration lineacuteaire A(x) appliqueacutee agrave ~(x) A(x)~(x) (A est un opeacuterateur) Leacutequation agrave reacutesoudre est de la forme geacuteneacuterale (principe de la meacutecanique appliqueacute agrave la tranche)

o2 (pS ox)a 2

___ =- A(x)~(x) ox (5) eacute) [

(~Sa2 fonction eacuteventuelle de x) dont (1) (2) (3) sont des cas particuliers

Nous allons transformer A(x)~(x) en un autre produit faisant intershyvenir non les deacuteriveacutees successives de ~(x) au point P 0 mais lensemble des valeurs de ~(x) sur la varieacuteteacute A0 de P 0 autrement dit passer du point de vue local au point de vue global


-18shy

Pour cela il suffit de faire la remarque suivante ~(x xl) eacutetant une fonction donneacutee de x et de X1 lorsque x et X1 appartiennent tous deux agrave A 0(o l) supposons connue g(x xl) continue veacuterifiant en x les condishytions aux limites et telle que

A(x)g(x x1) =~(x x1) (6)

Soit dautre part lopeacuteration

Bf(x Ccedil)~(~) =par deacutefinitionj z

f(x Ccedil)~(Ccedil) o ~ 0

[B fait intervenir toutes les valeurs de ~ sur A0 pondeacutereacutees par la foncshytion arbitraire f(xJ ~)]

Supposons connue la fonction k(xJ ~) deacuteduite de g(x X1) par la forshynlule

Bk(x ~)g(x x1) =~(x x1) (7) On a alors ~(x) eacutetant une fonction continue quelconque veacuterifiant les

conditions aux limites A(x)~(x) = Bk(x ~)~(~) (8)

En effet on peut repreacutesenter ~(x) par Bg(x ~)p(Ccedil) leacutequation inteacuteshygrale

J g(x Ccedil)p(Ccedil) a Ccedil=(x)

deacutefinissant sous des conditions tregraves larges p(~) dune maniegravere unique La veacuterification de leacutegaliteacute des deux membres de (8) compte tenu de (6) [lineacuteaire ] et de (7) est alors immeacutediate

Leacutequation (5) prend ainsi la forme inteacutegro-diffeacuterentielle

2~ JlpSa2 - =- k(x ~) ~(~) o~ (9) of2 o

qui reacutepond bien au but que nous nous proposions (agrave noter que toute solution veacuterifie automatiquement les conditions aux limites)

Nous avons donc agrave choisir ~(x XI) et agrave deacuteterminer successivement g(x x1) et k(x ~) Nous prendrons pour ~ la plus simple

( ) oH(xx1 ) u XXl =

ox H(x XI) eacutetant la fonction de Heaviside relative agrave X1 (fig 5) ~ est la

H ~

1 ------shy--r------~

0 1 x

Fig 5


i 1

l

-19shy

fonction de Dirac Cest la plus simple parce que nimporte quelle autre fonction Acirc peut sexprimer immeacutediatement par une combinaison lineacuteaire de fonctions de Dirac

Acirc(X Xl) = rl Acirc(X Ccedil) ( H(Ccedil Xl) = rl Acirc(X Ccedil) Acirc(Ccedil Xl) oeJ () J 0

g(x x1) sappelle alors la fonction de Green ou fonction dinfluence Sa signification est tregraves simple elle repreacutesente leacutelongation en tout point x sous une action uniteacute (couple ou force) appliqueacutee au point X1 En effet

- A(x)g(x x1) ox + o H(x x1) = 0 exprime que le solide est en eacutequilibre La fonction g(x x1) a donc une signification physique directe et lon peut dans un cas concret soit la calculer soit la deacuteterminer au moyen dexpeacuteriences

On deacutemontre que g(x x1) est symeacutetrique en x et X1 proprieacuteteacute tregraves importante conseacutequence du theacuteoregraveme de Lameacute et du fait que Acirc(x x1) est symeacutetrique (A est un opeacuterateur dit hermitique)

Il en est alors de mecircme de k(x Ccedil) appeleacutee fonction de raideur speacuteshycifique

Nous avons maintenant agrave inteacutegrer (9) Cherchons des solutions de la forme ~(x t) = oc(x)q(t) cest-agrave-dire

des solutions dans lesquelles leacutelongation soit agrave tout instant affine agrave une deacuteformeacutee oc(x) que nous appellerons forme de reacutefeacuterence

~z

-) k(x Ccedil) oc(Ccedil) o Ccedil q(t) 0 = Constte cr q(t) ~Sa2oc(x)

Dougrave q(t)- crq(t) = 0 et (10)

pSa2a ~(x) +J k(x o~m ( = 0 (11)

eacutequation inteacutegrale de Fredholm qui nadmet de solution oc(x) que si cr prend certaines valeurs en nombre infini appeleacutees valeurs propres Leacutequilibre oc= 0 eacutetant stable par hypothegravese les valeurs de cr sont toutes leacuteelles et neacutegatives soient -w 1

2 -w 2 2 bullbull -uJz 2 bullbullbull rangeacutees par ordre de module croissant

A chaque valeur wi gt 0 correspond 1 o une forme de reacutefeacuterence ocix) deacutefinie agrave un facteur constant pregraves

nous supposerons ce facteur fixeacute pour chaque forme (forme normaliseacutee propre dont les eacutelongations ont des valeurs finies)

2o un mouvement q + w qi= 0 qui est un mouvement sinusoiumldal de freacutequence angulaire wi (freacutequence propre) deacutependant de deux consshytantes arbitraires que nous supposerons tregraves petites et dans lequel la forme propre figeacutee dans sa forme eacutevolue par affiniteacute entre deux posishytions situeacutees tregraves pregraves de part et dautre de la position deacutequilibre oc= 0 et respectant toutes deux les conditions aux limites [qit) sera donc consideacutereacute con1n1e tregraves petit de mecircme que q et q middot ]


-20shy

Un tel rnouvement possible si les conditions initiales sy precirctent sappelle un mode propre de vibration

La solution geacuteneacuterale de leacutequation (9) est une superposition de moshydes propres

~(x t) = _2 oclx) qi(t Ci Di) (12) 1

les constantes Ci et Di eacutetant deacutefinies par les conditions initiales ((x o middot ocirc~ -middot(x o) ocirc

En pratique la seacuterie (12) converge tregraves vite et il suffit den prendre quelques termes Si par exemple on se limite agrave

~(x t) - rJl(x)ql(t cl Dl) + rJ2(X)q2(t c2 D2) cela veut dire que lon considegravere toute deacuteformation du solide comme suffisamment bien approcheacutee par une combinaison lineacuteaire des forshyInes rJl(x) et rJ2(X) convenablement doseacutees Cela veut encore dire quon a ~ubstitueacute au solide un systegraveme fictif agrave deux degreacutes de liberteacute dont le solide ne se distingue pratiquement pas Il arrive mecircme souvent quon ne prenne quun terme (forme propre fondamentale) Exemple lame en flexion (les modes supeacuterieurs samortissent vite)

Pour eacutetendre ce qui preacutecegravede aux structures deacuteformables complexes

1 par exemple aux voilures davions) pour lesquelles qes calculs exacts seraient fort longs on revient agrave leacutequation (9) et on la ren1place par une eacutequation approcheacutee obtenue en remplaccedilant la varieacuteteacute continue A0 par une varieacuteteacute discregravete (0 X1 X2 Xn) [ xn = l] Posons xi- x _1 = ocircxi

Leacutequation seacutecrit en faisant successivement Ccedil= X1 xn et mulshytipliant par LlXt LlXn

~ 1 S1a1 2 OcircX1 ~ ~ + k(Xl Xl) OcircX1 OcircX1 ~1 + k(Xl X2) LlX1 AgraveX2 ~2 1 middot+- + k(x1 Xn)OcircXl OcircXn ~n = 0 (13)

J Posons 9iSia i 2 ocirc xi = miiJ k(xi xi) ocirc xi ocirc xi = Kij = Kjimiddot

Le systegraveme (13) peut seacutecrire en une seule eacutequation matricielle [ ---m ___ J~ + [ K ] Ccedil= 0 (14) ~

Matrice Matrice des inerties des raideurs

Leacutenergie cineacutetique du systegraveme (z pSa 2 (~) 2

ocircX traiteacutee de mecircme 2 J 0 ocircl

1 ~ Y2 1 Y [__devient T =- LI Ill ii -oi =- _ m __ l Y _2 i 2

En comparant (1-3) ou (14) avec les eacutequations de Lagrange relatives aux ~ibull on voit quil existe une eacutenergie potentielle

1 - vS = 2 Ccedil[K]c

donc que toute vibration libre conserve son eacutenergie totale initiale


-21shy

Pour deacuteterminer [K] appliquons aux points X1 X2 Xn des actions exteacuterieures quelconques (forces ou couples) Soient (ho~1 ltIgtno~r leur travail virtuel lorsque chaque ~ varie seul (14) devient

[--m__ ]( + [K]Ccedil = ltP

Si les ltIgt sont constants la nouvelle position deacutequilibre sera (=[K]- 1 0 =[G] ltP

[G] est la matrice des coefficients dinfluence

g(xl x1) gCx1 x2) )

g(x2 x1) middot middot middot middot middot middot middot

( g(xn Xn)

Pour une structure quelconque les diffeacuterents eacuteleacutements de cette mashytrice sont calculables par les proceacutedeacutes de la Reacutesistance des Mateacuteriaux ou mesurables expeacuterimentalement Ils sont alors connus avec une cershytaine approxhnation On en deacuteduit par inversion

[K] = [G] - 1 bull

Quant agrave [ -- ~~~ - ] on lobtient en reacutepartissant judieusement la masse de la structure entre les points X1 X2 bull Xn (les opeacuterations deacutecrites ici pour trouver [K ] et [ ~ m ~ sont valables sans aucune restriction sur lesJ

liberteacutes de deacuteplacement des points P 0 de la structure agrave partir de leur position deacutequilibre)

Le systegraveme mateacuteriel fictif ainsi deacutefini sappelle systegraveme conservatif de remplacement Son degreacute de liberteacute est n ses paramegravetres de position sont ~1 bull ~no Sa vibration libre obeacuteit au systegraveme (14) Il se distingue dautant moins de la structure reacuteelle que celle-ci possegravede moins de reacutesisshytances passives (frottements aux assemblages viscositeacute des mateacuteriaux) et que le nombre des points P ci dits ltlt de reacutepartition raquo est plus grand et plus uniformeacutement distribueacute

On peut en donner une image exacte agrave laide de masses et de resshysorts Exemple le barreau de re1nplacement travaillant en extensionshycompression donne lieu au scheacutema de la figure 6 qui convient aussi bien par une transposition eacutevidente au barreau en torsion

Fig 6


-22 shy

La reacutesolution de (14) est classique soit par la meacutethode de leacutequation caracteacuteristique soit par celle du changement de variables Appliquons la seconde

~=[ cx ] q [ --- rn ___ ] [cx ]q + [K] [ a]q =O

Symeacutetrisons

[cx] [--- rn_ ] [ v ] q + [cx ] [K J [oJq = 0 (15)

Deacuteterminons [oc] de telle sorte que [a ] [--- rn _J [ a J et [a ] [ K J r a] soient simultaneacutement diagonales on constate que chaque colonne de [~J est alors deacutetermineacutee agrave une affiniteacute pregraves Fixons cette affiniteacute (norshymalisation) dougrave

al 1 CX1 2 C1n) CX~1

[cx J= dont tous les eacuteleacutements aik sont deacutetermineacutes (

ow )

[ex ][---rn _l [aJ = [ --- -middot__]

[~] [KJ[ cx J = [---y__ ] [ --tJ- ___ ] q + [---~ ]q=O

Les nouvelles variables sont seacutepareacutees (deacutecoupleacutees massiquement shyagrave cause de cela on dit que les formes de reacutefeacuterence sont orthogonales shyet eacutelastiquement) pkqk+ykqk= Ucirc donne pour qk(t) une vibration sinusoiumldale de freacutequence

wt= jyk (k = 1 2 n)v [Lk

La forme de reacutefeacuterence correspondante est

~1 = OCtk bull ~2 = oc2kbull ~n = ocnkbull

La k e colonne de [oc] dessine donc la ke forme propre Celle-ci est dautant plus voisine de la k e forme propre vraie ock (x) et wj dautant plus voisine de w Je vraie pour un nombre et une distribution donneacutes des t points P oi que son rang apregraves classement selon les freacutequences croisshysantes est moins eacuteleveacute

Fig 7

Exemple lame en flexion avec 4 points de reacutepartition (fig 7) [~1 = 0 exprime la condition dencastrement ]

Le mode fondamental est toujours tregraves bien obtenu (reacutesultat deacutemonshytreacute par lord Rayleigh) En pratique on prend pour commencer un nomshy


- 23 shy

bre de points de reacutepartition assez eacuteleveacute par exemple soixante sur une voilure davion et lon ne retient que les dix agrave douze premiers modes propres ce qui suffit pour les calculs de preacutevision au stade projet Tous ees calculs se font par voie matricielle et leur meacutecanisation est tregraves aiseacutee

Ce qui preacutecegravede est encore tregraves incomplet Jaurais souhaiteacute vous

parler des 1neacutethodes qui permettent dobtenir directe1nent par essais dynamiques sur la structure lorsquelle est construite les freacutequ~nces et les formes propres ainsi que les matrices [ -- fL - ] et r - y - J Jaurais souhaiteacute vous parler aussi des forces suppleacutementaires creacuteeacutees par le vent relatif lorsque lavion est en vol et du problegraveme deacutelicat de la stabiliteacute des configurations deacutequilibre sous leffet de ces forces additionnelles qui ne sont pas conservatives

Tout cela vous aurait sans doute inteacuteresseacute mais deacutepassait trop les limites dune seule confeacuterence Je preacutefegravere en rester sur limpression que jespegravere vous avoir communiqueacutee de lefficaciteacute dun instrument matheacuteshymatique qui arrive agrave faire entrer les mouvements dune structure deacuteforshymable aussi complexe quun avion dans un moule deacutependant dun tregraves petit nombre de paramegravetres et cela avec une preacutecision remarquablement satisfaisante pour les besoins de la pratique



LES EQUATIONS FONDAMENTALES

DE LA MECANIQUE DES MILIEUX CO~ NT INUS

Dapregraves une confeacuterence de

M Joseph KAMPEacute DE FEacuteRIET

Professeur a la Faculteacute des Sciences de Lille ()

Le but de cet exposeacute nest pas de discuter dun point de vue philoshysophique des principes de la meacutecanique des milieux continus Il sagit de preacutesenter agrave la lunliegravere dune expeacuterience deacutejagrave longue de lenseigneshyment la mise en eacutequations du problegraveme geacuteneacuteral de la 1neacutecanique des 1nilieux continus Nos preacuteoccupations sont donc essentielle1nent peacutedagoshygiques

Pour celui qui fait des Matheacutematiques pures aucune arriegravere-penseacutee ne peut venir troubler sa reacuteflexion meneacutee dans le cadre des seules Matheacuteshymatiques Pour celui qui eacutetudie une branche quelconque des Matheacuteinashytiques appliqueacutees il y a dualiteacute entre loutil matheacutematique quil doit manier et la reacutealiteacute physique quil veut serrer daussi pregraves que possible par la theacuteorie quil eacutelabore Cette dualiteacute est la source de difficulteacutes qui proviennent le plus souvent de lemploi que lon se trouve a1neneacute agrave fairE doutils Inatheacutematiqucs plus ou 1noins familiers Au beau Inilieu dune theacuteorie sur leacutelectriciteacute ou la meacutecanique il faut alors pour le professeur ouvrir une parenthegravese et rappeler ou deacutemontrer telle regravegle sur la convershygence des seacuteries Cette rupture dans lexposeacute dune theacuteorie de meacutecanishyque est peacutedagogique1nent deacutesastreuse

Cest pourquoi dans lexposeacute qui va suivre jai chercheacute agrave eacuteviter ces eacutecueils Pour cela jobserverai les principes suivants 1) reacuteduire au minin1um le bagage des Matheacute1natiques utiles 2) faire la reacutevision preacutea- t labie de ces outils Inatheacuteinatiques soit en en reprenant la theacuteorie complegravete soit en recherchant seulement les eacutenonceacutes les plus corrects des reacutesultats essentiels de toute maniegravere aYoir fait cette reacutevision degraves labord eacutevitera tout laquo retour aux sources raquo Inatheacutematiques dans le cours de lexposeacute consacreacute agrave la meacutecanique propren1ent dite 3) proscrire tous les raisonnements fondeacutes sur la consideacuteration deacuteleacutements infiniinent petits qui sils sont con1plets entraicircnent des deacutemonstrations longues et

( ) Ce texte a eacuteteacute reacutedigeacute dapregraves la confeacuterence faite par M Kampeacute de Feacuteriet le 10 deacutecembre 1959 agrave lInstitut Henri-Poincareacute dans lecadre du cycle sur la Meacutecanique organiseacute par 1a Socieacuteteacute Matheacutematique de France et lAPM agrave lintention speacuteciale des professeurs Lauteur nayant pu revoir ce texte en raison dun long seacutejour agrave leacutetranger M Paul GERMAIN Professeur agrave la Sorbonne a bien voulu me proposer dutiles et importantes corrections Je lui en exprime ma vive reconnaissance Gracircce agrave ~on aide jespegravere avoir traduit fidegravelement la penseacutee de M Kampeacute de Feacuteriet dougrave se deacutegageait de faccedilon eacutevidente pour les auditeurs leacutegal souci de veacuteriteacute scientifique et defficaciteacute peacutedagogique - G W


-26shy

fastidieuse-s et sils sont abreacutegeacutes omettent ou risquent domettre des deacutetails importants la formule de Green suffit dans tous les cas

LES OUTILS MATHEacuteMATIQUES

Ceux que nous utiliserons sont au nombre de deux

1) Lemme du calcul des variations - Soit une famille de domaishynes (Da) dans lespace agrave trois dimensions par exemple telle quau voishysinage de tout point il y ait un domaine (D) de la famille soit f(P) une fonction continue du point P si pour tout domaine (D) de la famille

f(P)d = OJ IJ)

alors en tout point P f(P) = O La famille de domaines (D) peut ecirctre con1poseacutee des paralleacuteleacutepipegravedes

aux faces perpendiculaires aux axes de coordonneacutees ou bien de tous les triangles dun plan semblables agrave un triangle donneacute

2) Formule de Green dans la deacutemonstration de laquelle se trouvent concentreacutes les seuls raisonnements sur eacuteleacutements infiniment petits auxshyquels nous aurons recours (D) deacutesigne un dmnaine de lespace limiteacute par une frontiegravere formeacutee dun nombre fini de surfaces reacuteguliegraveres (par surface reacuteguliegravere il faut entendre une surface ougrave le plan tangent varie

de faccedilon continue) () Soit un chan1p vectoriel F continu sur (D) et sur sa frontiegravere (S) admettant une divergence

_ ocircX ocircY ocircZ div F=-+-+ shy

ocircx ocircy ocircz continue dans (D) mais qui nest astreinte agrave aucune hypothegravese restricshy

tive sur (S) Soit le vecteur orienteacute vers linteacuterieur de (D) normal agrave leacuteleacutement de surface dcr de (S) La fonnule de Green est alors

1

di v P tl = - - Fd cr amp tD (S)

ougrave le second membre repreacutesente un flux entrant

LES HYPOTHEgraveSES DE LA MEacuteCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

Le milieu continu peut ecirctre subdiviseacute par la penseacutee en parties disshytinctes et ceci dune infiniteacute de faccedilons Laction de la partie (2) sur la partie (1) - voir figure 1 - deacutefinit les forces inteacuterieures qui veacuterifient les hypothegraveses suivantes

Hypotbese H1 les forces inteacuterieures sont des actions de contact

() Lintroduction de cette hypothegravese est essentielle la formule de Green restant valable si (D) est un paralleacuteleacutepipegravede par exemple et non pas seulement une surface laquo plus ou moins ellipsoiumldale raquo comme celle que lon dessine geacuteneacuteralement lorsquon deacutemontre la formule


-27shy

repreacutesenteacutees par des vecteurs deacutefinis sur (S) qui limite la partie (1)

soit Egraves (P) pour laction au point P de la partie (2) sur (1)

Hypothegravese H2 la reacutesultante des forces inteacuterieures peut se mettre sous la forme dune inteacutegrale de surface

r Es(P)dcrJ (-) ainsi que le moment reacutesultant de ces forces (en un point 0)

r OP A Es(P)dcrJ (Sl

E CP) est donc une densiteacute superficielle de force5

FIG 1

Hypothegravese H3 (S) eacutetant la frontiegravere seacuteparatrice des reacutegiOJS (1) et (2) (S) eacutetant la frontiegravere seacuteparatrice des reacutegions (l) et (2) ctune autre subdivision du milieu continu si (S) et (S) sont tangentes en P

~ (P) = E (P) Cette hypothegravese exprime une localisation des efforts internes au deuxiegraveme degreacute En P on peut caracteacuteriser (S) par le vecteur unitaire

de sa norn1ale ~ [nous adoptons la convention permanente que ce vecshyteur unitaire est orienteacute vers linteacuterieur de la reacutegion (1)] On pourra

_ _ _ donc eacutecrire E(P n) au lieu de Es (P) pour deacutesigner leffort par eacuteleacutement

de surface cest un vecteur qui deacutepend des deux vecteurs -n -shyet OP (soit le point P)

LES EacuteQUATIONS GEacuteNEacuteRALES

Pour eacutecrire les eacutequations geacuteneacuterales du mouvement dun milieu continu nous appliquons le principe geacuteneacuteral de la meacutecanique le sysshytegraveme formeacute par les forces exteacuterieures les forces inteacuterieures et les forces dinertie doit ecirctre eacutequivalent agrave zeacutero Comme dans tout problegraveme de meacuteshycanique il sagit par un fractionnement convenable du systegraveme complet quitte agrave introduire les forces de liaison correspondantes demiddot pouvoir eacutecrire autant deacutequations que le problegraveme comporte dinconnues Dans le cas des milieux continus il y a une infiniteacute de degreacutes de liberteacute on chershyche domiddotnc agrave obtenir des eacutequations valables en tout point ce que nous ferons par application du principe de calcul des variations et non par passage agrave la limite dun domaine fini agrave un domaine infiniment petit


-28shy

On introduit les notations vectorielles suivantes ~ 3shy

E(P i) repreacutesente laction des points situeacutes par rapport agrave P du cocircteacute des x plus petits sur les points situeacutes par rapport agrave P du cocircteacute des x plus grands la seacuteparation entre ces points eacutetant un eacuteleacutement de surface dont

la normale en P est le vecteur unitaiimiddote 7 de laxe des x (ou un vecteur

eacutequipollent) Les composantes de E(P i) sont noteacutees

Pxx(xyz) igtxy(xyz) Pxz (xyz)

On deacutefinit de mecircme ~ ~

E(P j) de composantes Pyx(xyz) Pyy(xyz) Pyz(xyz) ~

E(P k) de composantes igtzx(xyz) Pzy(xyz) Pzz(xyz)

rlans lesquelles xyz deacutesignent eacutevidemment les coordonneacutees de P

Ct ~ y eacutetant les composantes du vecteur unitaire le vecteur des

efforts internes E(P ) a des composantes Ex Ey Ez qui sont des foncshy

tions de x y z (donc de P) et de t~ ~ y (donc de )

Enonccedilons dabord les reacutesultats que nous allons eacutetablir

1 o E(P ) est une fonctionnelle lineacuteaire et homogene de iumlgt ce qui seacutecrit

Ex = a Pxx + ~ Pyx +y Pzx CI) Ey =- a Pxy +p1 middotyy+ y Pzy

) Ez == a Pxz + ~ Pyz +y Pzz

On veacuterifie par un calcul de changen1ent de coordonneacutees que les neuf coefficients P forment un tenseur dordre deux que lon deacutesignera dans

toute la suite par P (proprieacuteteacute 1)

2o Ce tenseur Pest symetrique ce qui se traduit par les eacutequashytions (l)

(l) lgtxy = Pyx Pyz = Pzy Pxz = Pzx

3o X Y et Z deacutesignant les composantes de la reacutesultante des forces exteacuterieures agissant en P eacutetant la densiteacute du 1nilieacuteu continu (masseCcedilgt

rapporteacutee agrave luniteacute de volume) et Yxbull Yu Yz deacutesignant les con1posantes de lacceacuteleacuteration du point consideacutereacute les eacutequations fonda1nentales du moushyvement seacutecrivent

1 1

(X- x) = o xx+ oPyx + oPzx p y ox oy oz

(Il) 1 (Y _ ) = o Pxy + o Pyy + o Pzy9 1middot - ox ozoy

oPxz oPyz oPzz a(Z -- Yz) -==--= - +-+-middot1 ox middot oy oz

Lensemble des eacutequations (J) Cl) ei (11) traduit toutes Jes conseacuteshyquences de lapplication de la loi fondamentale de la meacutecanique


29 -

Etablissement des eacutequations (II ) bull

Il est plus facile de com1nencer par eacutetablir les eacutequations (li) La famille CD~) des domaines consideacutereacutes est celle des paralleacuteleacutepipegravedes dont les faces sont perpendiculaires aux axes de coordonneacutees On applique agrave un tel paralleacuteleacutepipegravede (D) - dont il faut bien souligner quil est de dimensions quelconques pas neacutecessairement infiniment petites - le principe de la meacutecanique

En projection sur laxe des x la reacutesultante des forces exteacuterieures est linteacutegrale triple eacutetendue au volume de (D)

f pXd-r (0)

la reacutesultante des forces dinertie est linteacutegrale triple

-( pyx d -r ( f) J

et la reacutesultante des actions de contact est linteacutegrale de surface eacutetendue agrave la frontiegravere (S) de (D)

( ( J Pxx + ~ Pyx + middot Pzx) rlcr ( )

On veacuterifie cette derniegravere valeur de la faccedilon suivante par exemple pour les faces CS1 ) et CS2) de (S) qui sont perpendiculaires agrave laxe des x CS2) eacutetant par r8pport agrave (S) dn cocircteacute des x supeacuterieurs sur (S) œ =-= 1 P = 0 y = 0 sur CS2) () =- 1 ~ = 0 y = 0 et la reacutesultante des forces de contact sur CS1) et sur CS2) est

r Pxxdcr -1 Pxxdcr bull (S 1) (S~)

On ferait le n1ecircme calcul pour les quatre autres facteurs de (D) Gracircce agrave la formule d e Green linteacutegrale rle surface est transformeacutee en inteacutegrale triple

(o Pxx ocirc Pvx o Pzx)a xx+ BI)vx+rPzx)dcr = - - - +-- + -- dTr(P bull (S) bull tD oX oy oZ

Lannulation de la reacutesultante geacuteneacuterale des actions sur (D) seacutecrit donc

[ [p(X-middotrn) _ (o Pxx + o Pvx + o Pzx)j d-r = Ucirc bull(D) -middot o x oy oz

Si nous appliquons maintenant le lem1ne du calcul des variations

la fonction sous le signe J eacutetant continue en tout point linteacutegrale

eacutetant nulle pour tout (D) la fonction sous le signe est nulle en tout

point Les deux autres eacutequations (II) sobtiennent eacutevidemment de la mecircme faccedilon


-30shy

La symeacutetrie du tenseur P (formules l)

Le moment reacutesultant des forces appliqueacutees agrave (D) est nul Il est la smnme du moment reacutesultant des forces exteacuterieures et du moment reacutesulshytant des forces dinertie dune part soit

1 fxp(Y-y 11 )-y p(X-yx) ]d-r (D)

qui dapregraves les eacutequations (Il) pourra seacutecrire

j - r (ocirc Pxv o Pvy o Pzv) (ocirc Pxx o Pvx o lzx) -fx--+--+-- -y --+-- +-- d-r tDJ _ oX ocircf oz oX ocircJ oZ _j

et dautre part du moment reacutesultant des actions de contact

r ( [rx(x Pxv- y Pxx) + ~(xPvv- y Pvx) +y(x Pzy- y Pzx) ] du

~ middotshy

qui dapregraves la formule de Green pourra seacutecrire

- ~~(xPxv-y Pxx)+ ~ (xPvv- y Pvx)+ __(x Pzv-yPzx)ld- (D) ocircX oy ocircZ _

Lannulation du mmnent reacutesultant des actions sur (D) seacutecrit donc finashylement en tenant compte de (Il)

1 (Pxv- Pvx)d-r(1))

et pour les mecircmes raisons que preacuteceacutedemment [continuiteacute des P et nashyture des (D) J on trouve la premiegravere eacutequation (l)

Pxy-Pvx = O et les autres eacutequations (l) ~obtiendraient eacutevidemment de la mecircme faccedilon

Equations du teacutetraegravedre

Etant donneacute un plan (TI) quelconque tout point Q de lespace est le sommet dun teacutetraegravedre QABC tel que les arecirctes QA QB QC soient l parallegraveles respective1nent aux axes Ox Oy et Oz de reacutefeacuterence A B et C appartenant agrave (TI) et y deacuteterminant un triangle ABC qui reste semblable agrave lui-mecircn~e lorsque Q varie (TI) restant fixe Soit (D) le domaine deacutefini par le teacutetraegravedre QABC (S) sa frontiegravere formeacutee par les faces (SI) CS2) et (S3) respectivement perpendiculaires agrave Ox Oy et Oz et (il) la face ABC (voir fig 2)

Ecrivons que les forces agissant sur le treacutetraegravedre ont une reacutesultante nulle en projection sur Ox on obtient

r p(X-yx)d-r+ I Exdcr = O bull (D) bull (S)

Dapregraves les eacutequations (Il) linteacutegrale triple est eacutegale agrave

( (o Pxx +o Pvx +ocirc Pzx)d-r J(D) ocircX ay ocircZ


-31 shy

qui dapregraves la formule de Green eacutequivaut agrave

- ( ( z Pxx + pPyx +y Pzx)dcr bull (S)

La pre1nieacutere eacutequation devient donc

0 x

FIG 2

Or pour la face CS1) cette inteacutegrale de surface se reacuteduit agrave

J (Ex-Pxx)dcr (SJ)

qui est nulle car Ex = Pxx en tout point de CS1) les inteacutegrales de surface eacutetendues aux faces CS2) et (Sg) sont nulles pour les 1necircmes raishysons Il ne reste donc que

[ Ex-(aPxx+~Pyx+ y Pzx)] dcr = O t- (ocirc)

Les domaines (A) dinteacutegration satisfont agrave lhypothegravese du lemme du


- 32 shy

calcul des variations la fonction sous le signe J est continue La nulshy

liteacute de linteacutegrale de surface pour tout (~) entraicircne

Ex = œPxx + ~ Pvx -+- middot Pzx premiegravere eacutequation du systegraveme (1) On comprend pourquoi ces eacutequashytions (1) sont deacutesigneacutees le plus souvent sous le nmn deacutequations ou de formules du teacutetraegravedre

CONCLUSION

Les eacutequations (1) (I) et (II) valables en tout point P de tout 1nilieu continu contiennent dix fonctions inconnues les trois composantes de lacceacuteleacuteration du point P et les six composantes du tenseur syineacutetrishy

que P Elles sont insuffisantes par elles-mecirc1nes pour eacutetudier un problegraveme preacutecis et doivent ecirctre compleacuteteacutees dans chaque discipline de meacutecanique (eacutelasticiteacute meacutecanique des fluides plasticiteacute etc ) par des hypothegraveses compleacutementaires reliant le tenseur des contraintes aux eacuteleacutements geacuteon1eacute- triques ou cineacutematiques de la deacuteformation du milieu Ceci na rien de surprenant si lon se souvient quen meacutecanique des systegrave1nes de solides il convient de con1pleacuteter les eacutequations fonda1nentales par les lois du frotshytement qui relient les efforts inteacuterieurs (contact entre deux solides) agrave la deacuteformation des systegrave1nes (glissement roulement et pivotement dun solide par rapport agrave lautre)

Ainsi un fluide est un n1ilieu continu dans lequel par hypothegravese

les con1posantes de P ne deacutependent que des composantes du tenseur des

vitesses de deacuteformation V En meacutecanique des fluides classiques on supshypose en outre que cette deacutependance est lineacuteaire et non homogegravene et compte tenu des hypothegraveses cmnpleacutementaires dhomogeacuteneacuteiteacute et disotroshy

pie du milieu on peut expriiner les cmnposantes de p- en fonction de

celles de V agrave laide de deux coefficients Cest ainsi que lon est conduit partir de (II) cmnpte tenu de ces relations suppleacutementaires aux ceacutelegraveshybres eacutequations de Navier-Stokes qui reacutegissent les eacutecoule1nents des 8 fluides (classiques) visqueux ou non


POmiddotUR LImiddotNTR0 1DUCTION DELEMmiddotENmiddotTS DE DYNAMIQUE

DANSmiddot LE PR10GRAMmiddotME DE MATHEMAT1QUES

DE LA CLASS~ E DE MATHEMATIQUES ELEM E N~AI R ES

par Paul GERMAIN


Parmi toutes les raisons qui expliquent le deacuteveloppement insuffisant des eacutetudes et des recherches de Meacutecanique en France et la deacutesaffection des eacutetudiants pour cette branche pourtant capitale de la science tant par ses applications que par les problegravemes geacuteneacuteraux quelle pose du point de vue theacuteorique et du point de vue expeacuteruumlnental la plus uumlnportante tient certainen1ent agrave la maniegravere dont en est organiseacutee linitiation dans les elasses terminales du Second Degreacute Celle-ci est laisseacutee pour la plus grande part agrave nos collegravegues physiciens qui ont eacutetabli middotdes prograinmes assez preacutetentieux le n1atheacute1naticien narrivant que tregraves tard apregraves lui pour revoir de faccedilon plus scrupuleuse des notions eacuteleacutementaires de cineacutematique Si lenseignen1ent de Meacutecanique donneacute en Matheacute1natiques Eleacutementaires et dans le progranune de physique de propeacutedeutique eacutetait correcte1nent exposeacute et agrave n1oitieacute assuumlnileacute la tacircche du professeur de Meacutecashynique geacuteneacuterale serait fort aiseacutee Il nen est Inalheureuseinent rien Il doit reprendre le tout agrave la base car aucune notion na eacuteteacute con1prise et surtout il doit lutter contre les ideacutees fausses qui ont genneacute dans lesprit des eacutetudiants

Les propos qui preacutecegravedent peuvent paraicirctre exageacutereacutement seacutevegraveres donnons seule1nent quelques exemples pris dans le progranune de Meacutecashynique tels quils se trouvent deacuteveloppeacutes dans un des livres de physique de Matheacute1natiques Eleacute1nentaires (jai pris celui que n1a fille a dans les mains cette anneacutee) On y deacutefinit au deacutepart dans un paragraphe speacutecial (tregraves rapiden1ent) les forces inteacuterieures et exteacuterieures et le paragraphe

middot suivant consacreacute aux forces de liaisons conunence par laquo Il faut encore Inentionner les forces de liaisons qui agissent sur un systegrave1ne raquo cOinme si ces forces constituaient une nouvelle cateacutegorie distincte des preacuteceacuteshydentes On eacutenonce que lensemble des forces inteacuterieures fonne un systegraveme de valeurs eacutequivalent agrave zeacutero Mais ougrave et quand leacutelegraveve a-t-il appris ce quest un systegraven1e de valeurs eacutequivalent agrave zeacutero La suite de la phrase est censeacutee leacuteclairer ltlt leur reacutesultante geacuteneacuterale est nulle et leur n101nent reacutesultant par rapport agrave un axe est nul raquo Sagit-il dun axe arbitraire ou dun axe particulier On aborde la statique on parle dun systegraven1e de points au repos sans preacuteciser par rapport agrave quel repegravere Si je dors dans un train ou dans Ina chambre suis-je au repos

Arrivons agrave la cineacuten1atique Il est une seule fois question en petites lettres de la notion de systegraven1es de con1paraison dans la deacutefinition de la trajectoire alors que cette notion de repegravere est certaine1nent la plus in1portante agrave deacutegager et agrave faire con1prendre Cette lacune capitale devient eacuteclatante dans leacutenonceacute du principe fondamental de la dynamique ougrave il


-34shy

nest nulle1nent precise que leacutenonceacute nest valable que pour certains repegraveres particuliers (les repegraveres absolus) et pour des mesures de ten1ps absolues Si leacutelegraveve na pas cmnpris cela agrave quoi bon lui parler plus tard de la force centrifuge Avec des principes eacutenonceacutes de faccedilon aussi vague nul eacutetonnen1ent si les applications font lobjet de raisonnements discushytables~ Voici typiquement ce qui est eacutecrit agrave propos de la 1nachine dAtwood

ltlt Le fil et la poulie sont supposeacutes avoir des poids neacutegligeables soit P le poids de chacun des cylindres A et B soit p le poids de surcharge ce poids constitue la force n1otrice qui deacuteplace tout le systegraveme de poids total 2 P + p On peut montrer que tout se passe cmnme si le systegrave1ne eacutetait indeacuteformable Sous laction de la force 1notrice p il acquiert une acceacuteleacuteration de valeur numeacuterique y Si au 1necircme lieu ce systegraven1e tombait en chute libre son acceacuteleacuteration aurait pour valeur nu1neacuterique g raquo Suit le calcul donnant le reacutesultat

Quel est le systegraveme dont on parle Sil cmnprend la poulie il nest certaine1nent pas exact que tous les points du systegrave1ne ont une acceacuteleacuteshyration de valeur nu1neacuterique y Sil ne la comprend pas la force motrice p nest pas lunique force exteacuterieure appliqueacutee au systegraveme Quest-ce~ dailleurs que la valeur nun1eacuterique de lacceacuteleacuteration dun systegraveme Vraiment comn1ent peut-on espeacuterer que les eacutelegraveves y comprennent quelshyque chose et con1ment seacutetonner ensuite des inepties quils vont continuer agrave eacutecrire sur les problegrave1nes de Ineacutecanique quand leur initiation a eacuteteacute faite dans de telles conditions Je pense quil est inutile dinsister sur la suite Theacuteoregraven1es du centre de graviteacute de la quantiteacute de n1ouveinent du mmnent cineacutetique dynan1ique des systegraven1es agrave 1nasse variable tous ces chapitres de la 1neacutecanique trop difficiles pour un eacutelegraveve de ce niveau sont ainsi massacreacutes avec une preacutesentation sans rigueur laissant ineacutevitable1nent aux eacutelegraveves (et surtout aux Ineilleurs) luumlnpression que la meacutecanique est une science ougrave il faut pour reacuteussir avoir le don de justifier en piquant quelques fonnules de-ci de-lagrave des reacutesultats que lon aura eu le flair de deviner

Il apparaicirct donc extrecircn1ement deacutesirable que le progran1n1e de nlatheacuteshy

Inatiques co1nprenne quelques eacuteleacutements de dynamique pour quau 1noins une fois les eacutelegraveves puissent con1prendre la nature de la meacutecanique Celle- t ci est historiquen1ent la seconde science physico-Inatheacutematique La premiegravere la geacutemneacutetrie euclidienne a construit ce scheacutema ideacuteal qui rend compte de la fonne des objets constituant le monde physique La Ineacutecashynique deacutegageacutee vingt siegravecles apregraves la geacuteomeacutetrie (car la scheacutematisation eacutetait autre1nent deacutelicate) construit agrave partir de la geacuteomeacutetrie classique le scheacutema ideacutealiseacute qui permet de rendre compte du n1ouvement des corps

Une telle introduction de la dynamique dans les program1nes de Matheacuten1atiques Eleacuteinentaires risque de rencontrer des oppositions aussi agrave titre personnel et indicatif voici concregravetement le contenu du n1inimum indispensable dont lintroduction dans les nouveaux program1nes serait je pense un eacuteleacute1nent indispensable pour redresser une situation quil faut bien qualifier de deacutesastreuse (1)

(1) Dans les nouveaux programmes certaines questions ne figurant pas au proshygramme actuel se trouveront vraisemblablement introduites En particulier inteacutegrale ou primitive dune fonction continue eacutequation diffeacuterentielle y + UJ2y = 0 en anashylyse produit scalaire produit vectoriel et deacutefinitions des coordonneacutees polaires en geacuteomeacutetrie


-35 shy

Les eacuteleacutements de cineacutematique du point devraient comprendre eacutevishydenunent la deacutefinition du n1ouvement dans un repegravere donneacute- trajectoire vmiddotecteur vitesse et vecteur acceacuteleacuteration - cest-agrave-dire du point de vue Inatheacutematique lintroduction de la notion de deacuteriveacutee dune fonction vectorielle (2) dune variable reacuteelle Il est clair quon ne pourrait n1anquer dinsister sur le fait essentiel que cette deacuteriveacutee deacutepend du repegravere choisi Des applications silnples sont neacutecessaires par exemple mouvement rectiligne varieacute n1ouvement circulaire Inouveinent vibratoire silnple cmnposantes de la vitesse en coordonneacutees polaires 1nouvement dans lespace dun point dont le vecteur acceacuteleacuteration est constant mouve1nent dont le vecteur acceacuteleacuteration est dirigeacute vers un centre fixe et proportionnel au vecteur joignant le point au centre fixe

Il paraicirctrait souhaitable dintroduire la vitesse areacuteolaire (en vue de la loi de Kepler) et peut-ecirctre plus geacuteneacuteralement les proprieacuteteacutes geacuteneacuteshyrales des Inouveinents agrave acceacuteleacuteration centrale (agrave partir de la deacuteriveacutee de

OM A V(M) par exe1nple) ainsi que la loi de cmnposition des vitesses et celle des acceacuteleacuterations dans le cas ougrave le mouve1nent dentraicircne1nent est un Inouveinent de translation

La dynamique serait alors reacuteduite agrave quelques eacuteleacutements Il sagit essentielle1nent en se lilnitant au cas du point mateacuteriel de donner un eacutenonceacute correct de la loi fondamentale de la dynamique On expliquerait aux eacutelegraveves conunent pour rendre compte des Inouvements lexpeacuterience courante la plus vulgaire et les notions deacutejagrave rencontreacutees en physique conduisent agrave enrichir le cadre de la cineacuten1atique de deux notions noushyvelles

a) Masse un point Inateacuteriel scheacute1natisation dun objet de petites dilnensions est un point geacutemneacutetrique affecteacute dun coefficient positif

b) Force pour scheacute1natiser du point de vue matheacuten1atique la notion vulgaire deffort qui cause engendre ou modifie un mouvement on repreacutesente cet effort par un vecteur appeleacute force (notion Inatheacuteinatique la plus siinple pour repreacutesenter quelque chose qui doit avoir un point dapplication une direction une intensiteacute) Entre les eacuteleacutements du Inonde ideacutealiseacute de la Ineacutecanique ainsi deacutefinis on introduit une regravegle du jeu la loi fondamentale de la dynmnique

laquo Il existe au n1oins un repegravere (dit repegravere absolu) et une Inaniegravere de Inesurer le ten1ps (dite 1nesure absolue du ten1ps) tels que pour tout

~ ~ ~

point Inateacuteriel et agrave chaque instant on a leacutegaliteacute f =my f reacutesultante des forces appliqueacutees au point Inateacuteriel m masse et y acceacuteleacuteration dans le repegravere absolu raquo Pour ne pas induire les eacutelegraveves dans le doute on devra preacuteciser dans chaque problegrave1ne quel est le repegravere consideacutereacute cmnme absolu On expliquera par exe1nple que _pour les mouvements usuels un repegravere lieacute agrave la Terre (les murs de la salle) peut ecirctre consideacutereacute com1ne repegravere absolu Dans le cours dastronon1ie on pourra expliquer quel est le repegravere qui peut leacutegitiine1nent ecirctre consideacutereacute cmn1ne absolu pour leacutetude dyna1nique des corps du systegraveme solaire Si on a eacutetudieacute la composition des acceacuteleacuterations dans le cas dun mouvement de translation unifonne on pourra deacutegager la notion dinvariance galileacuteenne

Les applications devront rester tregraves suumlnples pour ecirctre tregraves correcshy

(2) La notion et les calculs des deacuteriveacutees des fonctions usuelles ont deacutejagrave eacuteteacute eacutetudieacutees en Premiegravere Il semble donc raisonnable dintroduire la notion de deacuteriveacutee dune foncshytion vectorielle en Matheacutematiques Eleacutementaires


-36shy

ternent traiteacutees On insistera sur les deux maniegraveres dintroduire la loi fondamentale

1) Le n1ouvernent dun point rnateacuteriel est connu par rapport agrave un repegravere on en deacuteduit la force sexerccedilant sur le point

2) La force agissant sur le point est connue Je problegraveme est de preacutevoir le mouvement

Par exernple on observe que le n1ouvement de chute des corps dans le vide est unifonneacutement acceacuteleacutereacute on en deacuteduit lexistence de la pesanteur Connaissant ce reacutesultat on peut eacutetudier le mouvernent dun point pesant dans le vide et rnettre ainsi en eacutevidence le rocircle des donneacutees initiales

Un point pesant est attacheacute agrave un ressort il est en eacutequilibre par rapport agrave la Terre (prise con1n1e repegravere absolu) On en deacuteduit la loi dacshytion du ressort Supposant que le ressort exerce une force de rappel proportionnelle agrave la distance agrave un point fixe on en deacuteduit le rnouvernent du point consideacutereacute

Sans insister ici sur les applications tregraves simples qui peuvent ecirctre proposeacutees je voudrais inontrer pour terminer que sans proposer de linclure dans le programrne la question du point rnateacuteriel soumis agrave une attraction newtonienne peut ecirctre traiteacutee de faccedilon tregraves eacuteleacutementaire Le professeur qui traiterait cette question agrave titre dexercice pourrait je

crois inteacuteresser tregraves vivement les eacutelegraveves Si Test le vecteur unitaire de

OM et si le point rnateacuteriel de rnasse m est attireacute suivant la force centrale ~

m tJ- i 1 t 1 middot l t t l - --J 1 es c au que e rnouvernen es p an car 2

M

J

d - -- __ ~ shydt (OM A V) = OM A y = O

OM reste orthogonal agrave un vecteur fixe non nul si OM0 et Va donneacutees initiales ne sont pas colineacuteaires On peut prendre dans ce plan des coorshydonneacutees polaires et r 2 8 = C Or

_ y~ fLigt- fLdJ Y = - r2 z = - Cze = Cdi (1)


37shy

] eacutetant le vecteur unitaire deacuteduit de 7 par rotation de + ~ Donc

(2)

A est un vecteur constant unitaire e un scalaire constant On peut ainsi

eacutetudier lhodographe du mouve1nent En projetant leacutegaliteacute (2) sur j r 6 = ~ = ~ [ 1 + e sin (ltfl- 6)]

r=err sin (6- lt)) + ~1 (3)

On reconnaicirct immeacutediatement que la trajectoire est une conique de foyer 0

et dexcentriciteacute e La deacutetermination de e et A en fonction des donneacutees initiales se fait sans ambiguiumlteacute agrave partir de (2) et la discussion est in1meacuteshy

diate Enfin si leacutelegraveve a appris que~ r2 d 6 est leacuteleacutement daire la troisiegraveme

loi de Keacutepler dans le cas dune trajectoire elliptique (T2 a3 = 41t2 p) reliant la peacuteriode au demi-grand axe seacutetablit tregraves facilement

Reacuteciproquement si on connaicirct le mouvement (lois de Kepler) on en deacuteduit la force On eacutecrit leacutequation de lellipse (ltfl constant)

r = e [r sin (6 ~ ltfl) + h] 1 1 1 r = eh+ h sin (cp- 6)

On en deacuteduit les composantes de la vitesse et une eacutegaliteacute analogue agrave (2) ( - (

V=~middot+~l eh 1 h

Aeacutetant un vecteur constant et par deacuterivation

C2- C ~ -i y=- -z6 =--shy

eh eh r2

On a ainsi un nouvel exe1nple de lutilisation dialectique de la loi fonshydamentale

Contrairement agrave ce que lon croit parfois cette eacutetude est donc tregraves eacuteleacutementaire Elle pennet de donner beaucoup plus dinteacuterecirct aux lois de Kepler et agrave la loi de gravitation newtonienne eacutenonceacutees dans le cours dastronomie Ces consideacuterations sin1ples sont immeacutediatement susceptishybles deacuteveiller chez leacutelegraveve des aperccedilus nouveaux et combien enrichissants sur le rocircle culturel des Matheacutematiques rocircle qui est souvent conccedilu de faccedilon eacutetroite Il existe une conception bassement utilitaire des Matheacuteshymatiques qui est trop souvent celle des ingeacutenieurs et des scientifiques non n1atheacuten1aticiens ( ltlt les Matheacutematiques sont un outil raquo ) une concepshytion normative celle dun grand nombre de professeurs du Second Degreacute ( ltlt les Matheacutematiques sont loccasion dapprendre agrave raisonner correcteshyment raquo) une conception estheacutetique et tregraves deacutetacheacutee celle des matheacutemashyticiens purs qui parfois ont tendance agrave consideacuterer leur science indeacuteshypendamn1ent du progregraves geacuteneacuteral de la connaissance scientifique Toutes ces conceptions oublient trop souvent cet ideacuteal culturel des Matheacutemashytiques qui se propose agrave laide dune scheacutematisation de plus en plus fine de cemstruire sans cesse les mondes matheacutematiques qui permettent agrave lesprit humain de dominer linfinie complexiteacute de la nature Cet ideacuteal de


- 38shy

lesprit hurnain qui offre agrave lhomn1e son langage et ses meacutethodes se reacutevegravele la clef la plus efficace avec laide du travail incessant de lexpeacuteshyrience scientifique pour maicirctriser la compreacutehension de lunivers Il est regrettable de ne pas le faire entrevoir aux eacutetudiants dans la classe de Matheacuternatiques au n10n1ent ougrave lon cherche agrave les faire reacutefleacutechir sur le deacuteveloppernent des Sciences dans le cours de philosophie

Je ne vois rien dans ce qui est proposeacute ici con1me introduction eacuteleacuteshy

mentaire de notions de dynarnique qui puisse gecircner nos collegravegues matheacuteshyrnaticiens des lyceacutees rien qui ne se preacutesente cmnme authentiquement matheacute1natique (ce neacutetait pas le cas des leccedilons sur le frotten1ent qui figuraient autrefois au progra1nn1e de statique) Il me paraicirct logique que le matheacute1naticien se charge de cette introduction Si le vœu que jeacutemets ici eacutetait suivi je suis sucircr que les conseacutequences ne 1nanqueraient pas decirctre heureuses pour le deacuteveloppe1nent de la meacutecanique Pourquoi agrave la faveur des changements de program1ne ne pas opeacuterer cette introduction Pour deacutedom1nager le physicien de cette perte on pourrait lui confier me se1nble-t-il nmnbre de questions figurant dans le cours dastronmnie et qui sont indiscutable1nent de la physique par exe1nple tout ce qui est relatif agrave la constitution physique du Soleil de la Lune des planegravetes des eacutetoiles shy

Il serait inteacuteressant je pense que les professeurs du Second Degreacute fassent connaicirctre leur reacuteaction sur cette proposition


INDICATIONS BIBLIOGRAPHIQUES

1 Histoire de la meacutecanique Fondements

R DuGAS Histoire de la 1neacutecanique (1950) La meacutecanique au xvnbull siegravecle (1 954)

P CosTABEL Leibniz et la dyna1nique (Hennann 1960)

P PAINLEVEacute Les aximnes de la 1neacutecanique exmnen critique (Gaushythier-Villars 1922)

H POINCAREacute La science et lhypothegravese (3bull partie la meacutecanique classique) (Flanunarion 1906)

2 Traiteacutes cours et exposeacutes divers

P APPELL Traiteacute de meacutecanique rationnelle (5 vol) (Gauthier-Vilshylars)

L BRILLOUIN Les tenseurs en n1eacutecanique et en eacutelasticiteacute (Masson 1936)

J CHAZY Meacutecanique ceacuteleste (collection Euclide Presses Universishytaires de France)

DESTOUCHES CAZIN CHAZY La meacutecanique classique dans lEncycloshypeacutedie franccedilaise pennanente tmne II Physique

DESTOUCHES et CAZIN Eleacute1nents de cineacutematique (Hern1ann 1961)

J PEacuteREgraveS Meacutecanique geacuteneacuterale (Masson 1953) Cours de n1eacutecanique des fluides (Gauthier-Villars 1936)

J W LEECH Eleacute1nents de 1neacutecanique analytique (n1onographie Dunod)

Y RocARD Dynamique geacuteneacuterale des vibrations (Masson 1949)

NB - Les indications bibliographiques preacuteceacutedentes sont stricteshyInent lilniteacutees agrave la n1eacutecanique classique et agrave des ouvrages eacutecrits en franshyccedilais Louvrage de Leech contient une bregraveve mais utile bibliographie douvrages en anglais


CAHORS lMP A CouESLANT- 9middot7715- Deacutepocirct leacutegal IV-1961 Printed in France


En preacuteparation pour paraicirctre au deacutebut de 1962

Andreacute et Germaine REVUZ

COURS DE LAPM IGROUPESANNEAUX CORPS

Brochure de lAPM no 6

Ce volume entiegraverement ineacutedit de 180 pages aurait pu sintituler ltlt Les grands commenccedilants raquo ou encore ltlt Les professeurs de Matheacutemashytiques parlent aux professeurs de Matheacutematiques raquo Ces titres ltlt ironishyques raquo auraient souligneacute certains aspects originaux de louvrage

A la demande de nombreux collegravegues A Revuz preacutesident de lAPM fut solliciteacute dorganiser un cours suivi pour les professeurs deacutesireux de reprendre on pourrait dire agrave la base leur formation matheacutematique Concevant sa tacircche de preacutesident de faccedilon concregravete Revuz ne fit pas de discours un cours seulement Les auditeurs en gardent le vif et savoushyreux souvenir et ils en redemandent

Au fur et agrave mesure Mme Revuz a reacutedigeacute les exposeacutes qui furent roneacuteotypeacutes et distribueacutes aux auditeurs Mieux elle reacutedigea les corrigeacutes des nombreux exercices proposeacutes par le maicirctre agrave ses enthousiastes mais pas toujours laquo bons eacutelegraveves raquo

Le texte plusieurs fois relu et corrigeacute va maintenant ecirctre eacutediteacute Le travail deacuteducation mutuelle entrepris par lAPM au seul service de lenseignement et de la science au seul service par conseacutequent de la jeushynesse prend ainsi un nouveau deacuteveloppement

Il nest pas inutile de souligner que l APM entreprend ce lourd trashyvail deacutedition avec ses seules ressources Tous les maicirctres qui profiteront de son effort auront donc agrave cœur de laider Comment

1 o En rejoignant les rangs de lAssociation des Professeurs de Matheacuteshymatiques de lEnseignement Public si ce nest pas deacutejagrave fait (voir couvershyture p 2)

2deg En demandant au treacutesorier de lAPM les conditions de souscripshytion au Cours de lAPM

LrsquoAPMEP en quelques mots

Fondeacutee en 1910 lrsquoAPMEP est une association minus totalement indeacutependante politiquement et syndicalement et beacuteneacutevole minus qui repreacutesente les enseignants de matheacutematiques de la maternelle agrave lrsquouniversiteacute LrsquoAPMEP se preacuteoccupe simultaneacutement minus des contenus des programmes minus des compeacutetences requises des eacutelegraveves minus des meacutethodes drsquoenseignement et de formation minus des horaires et effectifs en particulier des deacutedoublements de classes minus de lrsquoharmonisation entre les cycles minus de la valorisation des matheacutematiques comme instrument de formation et non de seacutelection LrsquoAPMEP est un lieu de minus libre parole et de confrontation drsquoideacutees minus deacutemarches coopeacuteratives drsquoauto-formation minus propositions pour une politique drsquoenseignement des matheacutematiques LrsquoAPMEP intervient pour minus deacutefendre ses positions minus inteacutegrer les nouveaux outils (calculatrices logiciels de geacuteomeacutetrie de calcul) minus faciliter les eacutevolutions et les deacutemarches drsquoeacutequipe (formation initiale et permanente

laboratoires de maths) LrsquoAPMEP agit pour preacuteserver donner ou redonner aux eacutelegraveves minus le goucirct des matheacutematiques minus le plaisir drsquoen faire Pour lrsquoAPMEP faire des matheacutematiques crsquoest minus identifier formuler un problegraveme minus expeacuterimenter sur des exemples minus conjecturer un reacutesultat minus bacirctir une deacutemonstration minus mettre en œuvre des outils theacuteoriques minus controcircler les reacutesultats et leur pertinence minus communiquer une recherche une solution minus deacutevelopper simultaneacutement

o le travail individuel et le travail collectif des eacutelegraveves o le sens de lrsquoeacutecoute et du deacutebat o la perseacuteveacuterance o les capaciteacutes drsquoimagination drsquoesprit critique de coheacuterence et de rigueur

Faire des matheacutematiques crsquoest œuvrer pour minus la formation de lrsquoesprit minus lrsquointeacutegration dans la vie sociale culturelle et professionnelle

Plus drsquoinformations sur wwwapmepfr

Association des Professeurs de Matheacutematiques

de lEnseignement Public

29 rue dUim Paris 5~)

EXTRAIT DES STATUTS

Article II -LAssociation a pour but leacutetude des questions inteacuteresshysant lenseignement des Matheacutematiques et la deacutefense des inteacuterecircts professionnels de ses membres Elle institue ou encourage des reacuteushynio~s des discussions des enquecirctes sur lenseignement des Matheacuteshymatiques en France ou agrave leacutetranger

LAPM est ouverte agrave tous les Collegravegues enseignant dans les Faculteacutes les Grandes Ecoles les Lyceacutee~ les Collegraveges Classiques Modernes ou Techniques les Ecoles Nationales Professionnelles les Cours Compleacutementaires ou les Centres dApprentissage

COTISATION - Elle comprend labonnement au Bulletin ainsi que les fascicules deacutenonceacutes

Cotisation normale l 0 NF Cotisation reacuteduite (stagiaires CPR eacutelegraveves

des ENS et des IPES jeunes gens accomplissant leur service militaire reshytraiteacutes) 5 NF

ABONNEMENT (personnes nappartenant pas agrave lEnseignement Public bibliothegraveques etc )

France et Communauteacute 12 NF - Autres pays 15 NF Le numeacutero 3 NF

MODE DE PAIEMENT Virement postal (adresseacute au centre de chegraveques du tireur) ou mandat-carte agrave ladresse

APM 29 rue dUlm - PARIS 5e- CCP Paris 5708-21

RECOMMANDATIONS DU TRESORIER ---- Indications agrave portar sur Je talon du chegraveque 1deg Nom (en majuscules) et preacutenom- 2deg Adresse ougrave doit ecirctre envoyeacute le Bulletin - 3deg Ancienne adresse en cas de changement- 4deg Nom de leacutetablissement ougrave lon exerce - 5deg Nom de leacutetablissement preacuteceacutedent en cas de mutation en fin danneacutee scolaire

NB - Toute nouvelle adheacutesion demandeacutee en cours danneacutee scolaire compte agrave partir du l er octobre preacuteceacutedent Elle donne droit agrave tous les bulletins deacutejagrave parus au cours de lanneacutee scolaire sous reacuteserve quils ne soient pas eacutepuiseacutes







PARIS- 1961

1


REGNIER




















AVERTISSEMENT


nALEMBERT









Paul GERMAIN



Robert MAZET







(1)

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par Paul GERMAIN








-6shy




1 CINEacuteMATIQUE






1 )



-7shy




2 CINEacuteTIQUE






-8shy












shy




dt



- 9middot shy

3 DYNAMIQUE







- Jo- Joshy



Jo- Joshy







- 10shy











11shy




)looshy



- 12shy
















ocirc X

3


-14shy



ocirc


Ocirc[l







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ocircl


1







-15 shy



-~

x





=c 0 x



ocircX ocircX2
















( ~ = f3(X y z[t)





-17shy








ocircX ocircX2



ocircX ocircX2



o2 (pS ox)a 2

___ =- A(x)~(x) ox (5) eacute) [




-18shy


A(x)g(x x1) =~(x x1) (6)












2~ JlpSa2 - =- k(x ~) ~(~) o~ (9) of2 o





H ~

1 ------shy--r------~

0 1 x

Fig 5


i 1

l

-19shy









~z



pSa2a ~(x) +J k(x o~m ( = 0 (11)







-20shy



~(x t) = _2 oclx) qi(t Ci Di) (12) 1


















-21shy





g(xl x1) gCx1 x2) )


( g(xn Xn)


[K] = [G] - 1 bull





Fig 6


-22 shy


~=[ cx ] q [ --- rn ___ ] [cx ]q + [K] [ a]q =O

Symeacutetrisons

[cx] [--- rn_ ] [ v ] q + [cx ] [K J [oJq = 0 (15)




ow )

[ex ][---rn _l [aJ = [ --- -middot__]

[~] [KJ[ cx J = [---y__ ] [ --tJ- ___ ] q + [---~ ]q=O






Fig 7




- 23 shy

















-26shy





f(P)d = OJ IJ)








1








-27shy







FIG 1









-28shy























1 1






29 -




f pXd-r (0)


-( pyx d -r ( f) J














-30shy



1 fxp(Y-y 11 )-y p(X-yx) ]d-r (D)





~ middotshy




1 (Pxv- Pvx)d-r(1))










-31 shy




0 x

FIG 2


J (Ex-Pxx)dcr (SJ)





- 32 shy




CONCLUSION












par Paul GERMAIN







-34shy









-35 shy








~ ~ ~





-36shy










M

J





37shy


(2)



r=err sin (6- lt)) + ~1 (3)








V=~middot+~l eh 1 h


C2- C ~ -i y=- -z6 =--shy

eh eh r2




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AVERTISSEMENT


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Paul GERMAIN



Robert MAZET







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1 )



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2 CINEacuteTIQUE






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1








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FIG 2


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CONCLUSION












par Paul GERMAIN







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M

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r=err sin (6- lt)) + ~1 (3)








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C2- C ~ -i y=- -z6 =--shy

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Paul GERMAIN



Robert MAZET







(1)

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par Paul GERMAIN








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1 CINEacuteMATIQUE






1 )



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2 CINEacuteTIQUE






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- Jo- Joshy



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Fig 6


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CONCLUSION












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M

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r=err sin (6- lt)) + ~1 (3)








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Paul GERMAIN



Robert MAZET







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1 CINEacuteMATIQUE






1 )



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Fig 5


i 1

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Fig 6


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Symeacutetrisons

[cx] [--- rn_ ] [ v ] q + [cx ] [K J [oJq = 0 (15)




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[~] [KJ[ cx J = [---y__ ] [ --tJ- ___ ] q + [---~ ]q=O






Fig 7




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FIG 1









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1 (Pxv- Pvx)d-r(1))










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FIG 2


J (Ex-Pxx)dcr (SJ)





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CONCLUSION












par Paul GERMAIN







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M

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(2)



r=err sin (6- lt)) + ~1 (3)








V=~middot+~l eh 1 h


C2- C ~ -i y=- -z6 =--shy

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Robert MAZET







(1)

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par Paul GERMAIN








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1 CINEacuteMATIQUE






1 )



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2 CINEacuteTIQUE






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- Jo- Joshy



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o2 (pS ox)a 2

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2~ JlpSa2 - =- k(x ~) ~(~) o~ (9) of2 o





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0 1 x

Fig 5


i 1

l

-19shy









~z



pSa2a ~(x) +J k(x o~m ( = 0 (11)







-20shy



~(x t) = _2 oclx) qi(t Ci Di) (12) 1


















-21shy





g(xl x1) gCx1 x2) )


( g(xn Xn)


[K] = [G] - 1 bull





Fig 6


-22 shy


~=[ cx ] q [ --- rn ___ ] [cx ]q + [K] [ a]q =O

Symeacutetrisons

[cx] [--- rn_ ] [ v ] q + [cx ] [K J [oJq = 0 (15)




ow )

[ex ][---rn _l [aJ = [ --- -middot__]

[~] [KJ[ cx J = [---y__ ] [ --tJ- ___ ] q + [---~ ]q=O






Fig 7




- 23 shy

















-26shy





f(P)d = OJ IJ)








1








-27shy







FIG 1









-28shy























1 1






29 -




f pXd-r (0)


-( pyx d -r ( f) J














-30shy



1 fxp(Y-y 11 )-y p(X-yx) ]d-r (D)





~ middotshy




1 (Pxv- Pvx)d-r(1))










-31 shy




0 x

FIG 2


J (Ex-Pxx)dcr (SJ)





- 32 shy




CONCLUSION












par Paul GERMAIN







-34shy









-35 shy








~ ~ ~





-36shy










M

J





37shy


(2)



r=err sin (6- lt)) + ~1 (3)








V=~middot+~l eh 1 h


C2- C ~ -i y=- -z6 =--shy

eh eh r2




- 38shy












































par Paul GERMAIN








-6shy




1 CINEacuteMATIQUE






1 )



-7shy




2 CINEacuteTIQUE






-8shy












shy




dt



- 9middot shy

3 DYNAMIQUE







- Jo- Joshy



Jo- Joshy







- 10shy











11shy




)looshy



- 12shy
















ocirc X

3


-14shy



ocirc


Ocirc[l







ocircX -


ocircl


1







-15 shy



-~

x





=c 0 x



ocircX ocircX2
















( ~ = f3(X y z[t)





-17shy








ocircX ocircX2



ocircX ocircX2



o2 (pS ox)a 2

___ =- A(x)~(x) ox (5) eacute) [




-18shy


A(x)g(x x1) =~(x x1) (6)












2~ JlpSa2 - =- k(x ~) ~(~) o~ (9) of2 o





H ~

1 ------shy--r------~

0 1 x

Fig 5


i 1

l

-19shy









~z



pSa2a ~(x) +J k(x o~m ( = 0 (11)







-20shy



~(x t) = _2 oclx) qi(t Ci Di) (12) 1


















-21shy





g(xl x1) gCx1 x2) )


( g(xn Xn)


[K] = [G] - 1 bull





Fig 6


-22 shy


~=[ cx ] q [ --- rn ___ ] [cx ]q + [K] [ a]q =O

Symeacutetrisons

[cx] [--- rn_ ] [ v ] q + [cx ] [K J [oJq = 0 (15)




ow )

[ex ][---rn _l [aJ = [ --- -middot__]

[~] [KJ[ cx J = [---y__ ] [ --tJ- ___ ] q + [---~ ]q=O






Fig 7




- 23 shy

















-26shy





f(P)d = OJ IJ)








1








-27shy







FIG 1









-28shy























1 1






29 -




f pXd-r (0)


-( pyx d -r ( f) J














-30shy



1 fxp(Y-y 11 )-y p(X-yx) ]d-r (D)





~ middotshy




1 (Pxv- Pvx)d-r(1))










-31 shy




0 x

FIG 2


J (Ex-Pxx)dcr (SJ)





- 32 shy




CONCLUSION












par Paul GERMAIN







-34shy









-35 shy








~ ~ ~





-36shy










M

J





37shy


(2)



r=err sin (6- lt)) + ~1 (3)








V=~middot+~l eh 1 h


C2- C ~ -i y=- -z6 =--shy

eh eh r2




- 38shy










































-6shy




1 CINEacuteMATIQUE






1 )



-7shy




2 CINEacuteTIQUE






-8shy












shy




dt



- 9middot shy

3 DYNAMIQUE







- Jo- Joshy



Jo- Joshy







- 10shy











11shy




)looshy



- 12shy
















ocirc X

3


-14shy



ocirc


Ocirc[l







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1







-15 shy



-~

x





=c 0 x



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( ~ = f3(X y z[t)





-17shy








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ocircX ocircX2



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___ =- A(x)~(x) ox (5) eacute) [




-18shy


A(x)g(x x1) =~(x x1) (6)












2~ JlpSa2 - =- k(x ~) ~(~) o~ (9) of2 o





H ~

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0 1 x

Fig 5


i 1

l

-19shy









~z



pSa2a ~(x) +J k(x o~m ( = 0 (11)







-20shy



~(x t) = _2 oclx) qi(t Ci Di) (12) 1


















-21shy





g(xl x1) gCx1 x2) )


( g(xn Xn)


[K] = [G] - 1 bull





Fig 6


-22 shy


~=[ cx ] q [ --- rn ___ ] [cx ]q + [K] [ a]q =O

Symeacutetrisons

[cx] [--- rn_ ] [ v ] q + [cx ] [K J [oJq = 0 (15)




ow )

[ex ][---rn _l [aJ = [ --- -middot__]

[~] [KJ[ cx J = [---y__ ] [ --tJ- ___ ] q + [---~ ]q=O






Fig 7




- 23 shy

















-26shy





f(P)d = OJ IJ)








1








-27shy







FIG 1









-28shy























1 1






29 -




f pXd-r (0)


-( pyx d -r ( f) J














-30shy



1 fxp(Y-y 11 )-y p(X-yx) ]d-r (D)





~ middotshy




1 (Pxv- Pvx)d-r(1))










-31 shy




0 x

FIG 2


J (Ex-Pxx)dcr (SJ)





- 32 shy




CONCLUSION












par Paul GERMAIN







-34shy









-35 shy








~ ~ ~





-36shy










M

J





37shy


(2)



r=err sin (6- lt)) + ~1 (3)








V=~middot+~l eh 1 h


C2- C ~ -i y=- -z6 =--shy

eh eh r2




- 38shy










































-7shy




2 CINEacuteTIQUE






-8shy












shy




dt



- 9middot shy

3 DYNAMIQUE







- Jo- Joshy



Jo- Joshy







- 10shy











11shy




)looshy



- 12shy
















ocirc X

3


-14shy



ocirc


Ocirc[l







ocircX -


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1







-15 shy



-~

x





=c 0 x



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( ~ = f3(X y z[t)





-17shy








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ocircX ocircX2



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___ =- A(x)~(x) ox (5) eacute) [




-18shy


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2~ JlpSa2 - =- k(x ~) ~(~) o~ (9) of2 o





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0 1 x

Fig 5


i 1

l

-19shy









~z



pSa2a ~(x) +J k(x o~m ( = 0 (11)







-20shy



~(x t) = _2 oclx) qi(t Ci Di) (12) 1


















-21shy





g(xl x1) gCx1 x2) )


( g(xn Xn)


[K] = [G] - 1 bull





Fig 6


-22 shy


~=[ cx ] q [ --- rn ___ ] [cx ]q + [K] [ a]q =O

Symeacutetrisons

[cx] [--- rn_ ] [ v ] q + [cx ] [K J [oJq = 0 (15)




ow )

[ex ][---rn _l [aJ = [ --- -middot__]

[~] [KJ[ cx J = [---y__ ] [ --tJ- ___ ] q + [---~ ]q=O






Fig 7




- 23 shy

















-26shy





f(P)d = OJ IJ)








1








-27shy







FIG 1









-28shy























1 1






29 -




f pXd-r (0)


-( pyx d -r ( f) J














-30shy



1 fxp(Y-y 11 )-y p(X-yx) ]d-r (D)





~ middotshy




1 (Pxv- Pvx)d-r(1))










-31 shy




0 x

FIG 2


J (Ex-Pxx)dcr (SJ)





- 32 shy




CONCLUSION












par Paul GERMAIN







-34shy









-35 shy








~ ~ ~





-36shy










M

J





37shy


(2)



r=err sin (6- lt)) + ~1 (3)








V=~middot+~l eh 1 h


C2- C ~ -i y=- -z6 =--shy

eh eh r2




- 38shy










































-8shy












shy




dt



- 9middot shy

3 DYNAMIQUE







- Jo- Joshy



Jo- Joshy







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11shy




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- 12shy
















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3


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1







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ocircX ocircX2



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2~ JlpSa2 - =- k(x ~) ~(~) o~ (9) of2 o





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0 1 x

Fig 5


i 1

l

-19shy









~z



pSa2a ~(x) +J k(x o~m ( = 0 (11)







-20shy



~(x t) = _2 oclx) qi(t Ci Di) (12) 1


















-21shy





g(xl x1) gCx1 x2) )


( g(xn Xn)


[K] = [G] - 1 bull





Fig 6


-22 shy


~=[ cx ] q [ --- rn ___ ] [cx ]q + [K] [ a]q =O

Symeacutetrisons

[cx] [--- rn_ ] [ v ] q + [cx ] [K J [oJq = 0 (15)




ow )

[ex ][---rn _l [aJ = [ --- -middot__]

[~] [KJ[ cx J = [---y__ ] [ --tJ- ___ ] q + [---~ ]q=O






Fig 7




- 23 shy

















-26shy





f(P)d = OJ IJ)








1








-27shy







FIG 1









-28shy























1 1






29 -




f pXd-r (0)


-( pyx d -r ( f) J














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~ middotshy




1 (Pxv- Pvx)d-r(1))










-31 shy




0 x

FIG 2


J (Ex-Pxx)dcr (SJ)





- 32 shy




CONCLUSION












par Paul GERMAIN







-34shy









-35 shy








~ ~ ~





-36shy










M

J





37shy


(2)



r=err sin (6- lt)) + ~1 (3)








V=~middot+~l eh 1 h


C2- C ~ -i y=- -z6 =--shy

eh eh r2




- 38shy










































- 9middot shy

3 DYNAMIQUE







- Jo- Joshy



Jo- Joshy







- 10shy











11shy




)looshy



- 12shy
















ocirc X

3


-14shy



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1







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( ~ = f3(X y z[t)





-17shy








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ocircX ocircX2



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___ =- A(x)~(x) ox (5) eacute) [




-18shy


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2~ JlpSa2 - =- k(x ~) ~(~) o~ (9) of2 o





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0 1 x

Fig 5


i 1

l

-19shy









~z



pSa2a ~(x) +J k(x o~m ( = 0 (11)







-20shy



~(x t) = _2 oclx) qi(t Ci Di) (12) 1


















-21shy





g(xl x1) gCx1 x2) )


( g(xn Xn)


[K] = [G] - 1 bull





Fig 6


-22 shy


~=[ cx ] q [ --- rn ___ ] [cx ]q + [K] [ a]q =O

Symeacutetrisons

[cx] [--- rn_ ] [ v ] q + [cx ] [K J [oJq = 0 (15)




ow )

[ex ][---rn _l [aJ = [ --- -middot__]

[~] [KJ[ cx J = [---y__ ] [ --tJ- ___ ] q + [---~ ]q=O






Fig 7




- 23 shy

















-26shy





f(P)d = OJ IJ)








1








-27shy







FIG 1









-28shy























1 1






29 -




f pXd-r (0)


-( pyx d -r ( f) J














-30shy



1 fxp(Y-y 11 )-y p(X-yx) ]d-r (D)





~ middotshy




1 (Pxv- Pvx)d-r(1))










-31 shy




0 x

FIG 2


J (Ex-Pxx)dcr (SJ)





- 32 shy




CONCLUSION












par Paul GERMAIN







-34shy









-35 shy








~ ~ ~





-36shy










M

J





37shy


(2)



r=err sin (6- lt)) + ~1 (3)








V=~middot+~l eh 1 h


C2- C ~ -i y=- -z6 =--shy

eh eh r2




- 38shy










































- 10shy











11shy




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- 12shy
















ocirc X

3


-14shy



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1







-15 shy



-~

x





=c 0 x



ocircX ocircX2
















( ~ = f3(X y z[t)





-17shy








ocircX ocircX2



ocircX ocircX2



o2 (pS ox)a 2

___ =- A(x)~(x) ox (5) eacute) [




-18shy


A(x)g(x x1) =~(x x1) (6)












2~ JlpSa2 - =- k(x ~) ~(~) o~ (9) of2 o





H ~

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0 1 x

Fig 5


i 1

l

-19shy









~z



pSa2a ~(x) +J k(x o~m ( = 0 (11)







-20shy



~(x t) = _2 oclx) qi(t Ci Di) (12) 1


















-21shy





g(xl x1) gCx1 x2) )


( g(xn Xn)


[K] = [G] - 1 bull





Fig 6


-22 shy


~=[ cx ] q [ --- rn ___ ] [cx ]q + [K] [ a]q =O

Symeacutetrisons

[cx] [--- rn_ ] [ v ] q + [cx ] [K J [oJq = 0 (15)




ow )

[ex ][---rn _l [aJ = [ --- -middot__]

[~] [KJ[ cx J = [---y__ ] [ --tJ- ___ ] q + [---~ ]q=O






Fig 7




- 23 shy

















-26shy





f(P)d = OJ IJ)








1








-27shy







FIG 1









-28shy























1 1






29 -




f pXd-r (0)


-( pyx d -r ( f) J














-30shy



1 fxp(Y-y 11 )-y p(X-yx) ]d-r (D)





~ middotshy




1 (Pxv- Pvx)d-r(1))










-31 shy




0 x

FIG 2


J (Ex-Pxx)dcr (SJ)





- 32 shy




CONCLUSION












par Paul GERMAIN







-34shy









-35 shy








~ ~ ~





-36shy










M

J





37shy


(2)



r=err sin (6- lt)) + ~1 (3)








V=~middot+~l eh 1 h


C2- C ~ -i y=- -z6 =--shy

eh eh r2




- 38shy










































11shy




)looshy



- 12shy
















ocirc X

3


-14shy



ocirc


Ocirc[l







ocircX -


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1







-15 shy



-~

x





=c 0 x



ocircX ocircX2
















( ~ = f3(X y z[t)





-17shy








ocircX ocircX2



ocircX ocircX2



o2 (pS ox)a 2

___ =- A(x)~(x) ox (5) eacute) [




-18shy


A(x)g(x x1) =~(x x1) (6)












2~ JlpSa2 - =- k(x ~) ~(~) o~ (9) of2 o





H ~

1 ------shy--r------~

0 1 x

Fig 5


i 1

l

-19shy









~z



pSa2a ~(x) +J k(x o~m ( = 0 (11)







-20shy



~(x t) = _2 oclx) qi(t Ci Di) (12) 1


















-21shy





g(xl x1) gCx1 x2) )


( g(xn Xn)


[K] = [G] - 1 bull





Fig 6


-22 shy


~=[ cx ] q [ --- rn ___ ] [cx ]q + [K] [ a]q =O

Symeacutetrisons

[cx] [--- rn_ ] [ v ] q + [cx ] [K J [oJq = 0 (15)




ow )

[ex ][---rn _l [aJ = [ --- -middot__]

[~] [KJ[ cx J = [---y__ ] [ --tJ- ___ ] q + [---~ ]q=O






Fig 7




- 23 shy

















-26shy





f(P)d = OJ IJ)








1








-27shy







FIG 1









-28shy























1 1






29 -




f pXd-r (0)


-( pyx d -r ( f) J














-30shy



1 fxp(Y-y 11 )-y p(X-yx) ]d-r (D)





~ middotshy




1 (Pxv- Pvx)d-r(1))










-31 shy




0 x

FIG 2


J (Ex-Pxx)dcr (SJ)





- 32 shy




CONCLUSION












par Paul GERMAIN







-34shy









-35 shy








~ ~ ~





-36shy










M

J





37shy


(2)



r=err sin (6- lt)) + ~1 (3)








V=~middot+~l eh 1 h


C2- C ~ -i y=- -z6 =--shy

eh eh r2




- 38shy










































- 12shy
















ocirc X

3


-14shy



ocirc


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1







-15 shy



-~

x





=c 0 x



ocircX ocircX2
















( ~ = f3(X y z[t)





-17shy








ocircX ocircX2



ocircX ocircX2



o2 (pS ox)a 2

___ =- A(x)~(x) ox (5) eacute) [




-18shy


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2~ JlpSa2 - =- k(x ~) ~(~) o~ (9) of2 o





H ~

1 ------shy--r------~

0 1 x

Fig 5


i 1

l

-19shy









~z



pSa2a ~(x) +J k(x o~m ( = 0 (11)







-20shy



~(x t) = _2 oclx) qi(t Ci Di) (12) 1


















-21shy





g(xl x1) gCx1 x2) )


( g(xn Xn)


[K] = [G] - 1 bull





Fig 6


-22 shy


~=[ cx ] q [ --- rn ___ ] [cx ]q + [K] [ a]q =O

Symeacutetrisons

[cx] [--- rn_ ] [ v ] q + [cx ] [K J [oJq = 0 (15)




ow )

[ex ][---rn _l [aJ = [ --- -middot__]

[~] [KJ[ cx J = [---y__ ] [ --tJ- ___ ] q + [---~ ]q=O






Fig 7




- 23 shy

















-26shy





f(P)d = OJ IJ)








1








-27shy







FIG 1









-28shy























1 1






29 -




f pXd-r (0)


-( pyx d -r ( f) J














-30shy



1 fxp(Y-y 11 )-y p(X-yx) ]d-r (D)





~ middotshy




1 (Pxv- Pvx)d-r(1))










-31 shy




0 x

FIG 2


J (Ex-Pxx)dcr (SJ)





- 32 shy




CONCLUSION












par Paul GERMAIN







-34shy









-35 shy








~ ~ ~





-36shy










M

J





37shy


(2)



r=err sin (6- lt)) + ~1 (3)








V=~middot+~l eh 1 h


C2- C ~ -i y=- -z6 =--shy

eh eh r2




- 38shy



















































ocirc X

3


-14shy



ocirc


Ocirc[l







ocircX -


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1







-15 shy



-~

x





=c 0 x



ocircX ocircX2
















( ~ = f3(X y z[t)





-17shy








ocircX ocircX2



ocircX ocircX2



o2 (pS ox)a 2

___ =- A(x)~(x) ox (5) eacute) [




-18shy


A(x)g(x x1) =~(x x1) (6)












2~ JlpSa2 - =- k(x ~) ~(~) o~ (9) of2 o





H ~

1 ------shy--r------~

0 1 x

Fig 5


i 1

l

-19shy









~z



pSa2a ~(x) +J k(x o~m ( = 0 (11)







-20shy



~(x t) = _2 oclx) qi(t Ci Di) (12) 1


















-21shy





g(xl x1) gCx1 x2) )


( g(xn Xn)


[K] = [G] - 1 bull





Fig 6


-22 shy


~=[ cx ] q [ --- rn ___ ] [cx ]q + [K] [ a]q =O

Symeacutetrisons

[cx] [--- rn_ ] [ v ] q + [cx ] [K J [oJq = 0 (15)




ow )

[ex ][---rn _l [aJ = [ --- -middot__]

[~] [KJ[ cx J = [---y__ ] [ --tJ- ___ ] q + [---~ ]q=O






Fig 7




- 23 shy

















-26shy





f(P)d = OJ IJ)








1








-27shy







FIG 1









-28shy























1 1






29 -




f pXd-r (0)


-( pyx d -r ( f) J














-30shy



1 fxp(Y-y 11 )-y p(X-yx) ]d-r (D)





~ middotshy




1 (Pxv- Pvx)d-r(1))










-31 shy




0 x

FIG 2


J (Ex-Pxx)dcr (SJ)





- 32 shy




CONCLUSION












par Paul GERMAIN







-34shy









-35 shy








~ ~ ~





-36shy










M

J





37shy


(2)



r=err sin (6- lt)) + ~1 (3)








V=~middot+~l eh 1 h


C2- C ~ -i y=- -z6 =--shy

eh eh r2




- 38shy










































-14shy



ocirc


Ocirc[l







ocircX -


ocircl


1







-15 shy



-~

x





=c 0 x



ocircX ocircX2
















( ~ = f3(X y z[t)





-17shy








ocircX ocircX2



ocircX ocircX2



o2 (pS ox)a 2

___ =- A(x)~(x) ox (5) eacute) [




-18shy


A(x)g(x x1) =~(x x1) (6)












2~ JlpSa2 - =- k(x ~) ~(~) o~ (9) of2 o





H ~

1 ------shy--r------~

0 1 x

Fig 5


i 1

l

-19shy









~z



pSa2a ~(x) +J k(x o~m ( = 0 (11)







-20shy



~(x t) = _2 oclx) qi(t Ci Di) (12) 1


















-21shy





g(xl x1) gCx1 x2) )


( g(xn Xn)


[K] = [G] - 1 bull





Fig 6


-22 shy


~=[ cx ] q [ --- rn ___ ] [cx ]q + [K] [ a]q =O

Symeacutetrisons

[cx] [--- rn_ ] [ v ] q + [cx ] [K J [oJq = 0 (15)




ow )

[ex ][---rn _l [aJ = [ --- -middot__]

[~] [KJ[ cx J = [---y__ ] [ --tJ- ___ ] q + [---~ ]q=O






Fig 7




- 23 shy

















-26shy





f(P)d = OJ IJ)








1








-27shy







FIG 1









-28shy























1 1






29 -




f pXd-r (0)


-( pyx d -r ( f) J














-30shy



1 fxp(Y-y 11 )-y p(X-yx) ]d-r (D)





~ middotshy




1 (Pxv- Pvx)d-r(1))










-31 shy




0 x

FIG 2


J (Ex-Pxx)dcr (SJ)





- 32 shy




CONCLUSION












par Paul GERMAIN







-34shy









-35 shy








~ ~ ~





-36shy










M

J





37shy


(2)



r=err sin (6- lt)) + ~1 (3)








V=~middot+~l eh 1 h


C2- C ~ -i y=- -z6 =--shy

eh eh r2




- 38shy










































-15 shy



-~

x





=c 0 x



ocircX ocircX2
















( ~ = f3(X y z[t)





-17shy








ocircX ocircX2



ocircX ocircX2



o2 (pS ox)a 2

___ =- A(x)~(x) ox (5) eacute) [




-18shy


A(x)g(x x1) =~(x x1) (6)












2~ JlpSa2 - =- k(x ~) ~(~) o~ (9) of2 o





H ~

1 ------shy--r------~

0 1 x

Fig 5


i 1

l

-19shy









~z



pSa2a ~(x) +J k(x o~m ( = 0 (11)







-20shy



~(x t) = _2 oclx) qi(t Ci Di) (12) 1


















-21shy





g(xl x1) gCx1 x2) )


( g(xn Xn)


[K] = [G] - 1 bull





Fig 6


-22 shy


~=[ cx ] q [ --- rn ___ ] [cx ]q + [K] [ a]q =O

Symeacutetrisons

[cx] [--- rn_ ] [ v ] q + [cx ] [K J [oJq = 0 (15)




ow )

[ex ][---rn _l [aJ = [ --- -middot__]

[~] [KJ[ cx J = [---y__ ] [ --tJ- ___ ] q + [---~ ]q=O






Fig 7




- 23 shy

















-26shy





f(P)d = OJ IJ)








1








-27shy







FIG 1









-28shy























1 1






29 -




f pXd-r (0)


-( pyx d -r ( f) J














-30shy



1 fxp(Y-y 11 )-y p(X-yx) ]d-r (D)





~ middotshy




1 (Pxv- Pvx)d-r(1))










-31 shy




0 x

FIG 2


J (Ex-Pxx)dcr (SJ)





- 32 shy




CONCLUSION












par Paul GERMAIN







-34shy









-35 shy








~ ~ ~





-36shy










M

J





37shy


(2)



r=err sin (6- lt)) + ~1 (3)








V=~middot+~l eh 1 h


C2- C ~ -i y=- -z6 =--shy

eh eh r2




- 38shy

















































( ~ = f3(X y z[t)





-17shy








ocircX ocircX2



ocircX ocircX2



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-18shy


A(x)g(x x1) =~(x x1) (6)












2~ JlpSa2 - =- k(x ~) ~(~) o~ (9) of2 o





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0 1 x

Fig 5


i 1

l

-19shy









~z



pSa2a ~(x) +J k(x o~m ( = 0 (11)







-20shy



~(x t) = _2 oclx) qi(t Ci Di) (12) 1


















-21shy





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( g(xn Xn)


[K] = [G] - 1 bull





Fig 6


-22 shy


~=[ cx ] q [ --- rn ___ ] [cx ]q + [K] [ a]q =O

Symeacutetrisons

[cx] [--- rn_ ] [ v ] q + [cx ] [K J [oJq = 0 (15)




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[~] [KJ[ cx J = [---y__ ] [ --tJ- ___ ] q + [---~ ]q=O






Fig 7




- 23 shy

















-26shy





f(P)d = OJ IJ)








1








-27shy







FIG 1









-28shy























1 1






29 -




f pXd-r (0)


-( pyx d -r ( f) J














-30shy



1 fxp(Y-y 11 )-y p(X-yx) ]d-r (D)





~ middotshy




1 (Pxv- Pvx)d-r(1))










-31 shy




0 x

FIG 2


J (Ex-Pxx)dcr (SJ)





- 32 shy




CONCLUSION












par Paul GERMAIN







-34shy









-35 shy








~ ~ ~





-36shy










M

J





37shy


(2)



r=err sin (6- lt)) + ~1 (3)








V=~middot+~l eh 1 h


C2- C ~ -i y=- -z6 =--shy

eh eh r2




- 38shy










































-17shy








ocircX ocircX2



ocircX ocircX2



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___ =- A(x)~(x) ox (5) eacute) [




-18shy


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2~ JlpSa2 - =- k(x ~) ~(~) o~ (9) of2 o





H ~

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0 1 x

Fig 5


i 1

l

-19shy









~z



pSa2a ~(x) +J k(x o~m ( = 0 (11)







-20shy



~(x t) = _2 oclx) qi(t Ci Di) (12) 1


















-21shy





g(xl x1) gCx1 x2) )


( g(xn Xn)


[K] = [G] - 1 bull





Fig 6


-22 shy


~=[ cx ] q [ --- rn ___ ] [cx ]q + [K] [ a]q =O

Symeacutetrisons

[cx] [--- rn_ ] [ v ] q + [cx ] [K J [oJq = 0 (15)




ow )

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[~] [KJ[ cx J = [---y__ ] [ --tJ- ___ ] q + [---~ ]q=O






Fig 7




- 23 shy

















-26shy





f(P)d = OJ IJ)








1








-27shy







FIG 1









-28shy























1 1






29 -




f pXd-r (0)


-( pyx d -r ( f) J














-30shy



1 fxp(Y-y 11 )-y p(X-yx) ]d-r (D)





~ middotshy




1 (Pxv- Pvx)d-r(1))










-31 shy




0 x

FIG 2


J (Ex-Pxx)dcr (SJ)





- 32 shy




CONCLUSION












par Paul GERMAIN







-34shy









-35 shy








~ ~ ~





-36shy










M

J





37shy


(2)



r=err sin (6- lt)) + ~1 (3)








V=~middot+~l eh 1 h


C2- C ~ -i y=- -z6 =--shy

eh eh r2




- 38shy










































-18shy


A(x)g(x x1) =~(x x1) (6)












2~ JlpSa2 - =- k(x ~) ~(~) o~ (9) of2 o





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0 1 x

Fig 5


i 1

l

-19shy









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pSa2a ~(x) +J k(x o~m ( = 0 (11)







-20shy



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( g(xn Xn)


[K] = [G] - 1 bull





Fig 6


-22 shy


~=[ cx ] q [ --- rn ___ ] [cx ]q + [K] [ a]q =O

Symeacutetrisons

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[~] [KJ[ cx J = [---y__ ] [ --tJ- ___ ] q + [---~ ]q=O






Fig 7




- 23 shy

















-26shy





f(P)d = OJ IJ)








1








-27shy







FIG 1









-28shy























1 1






29 -




f pXd-r (0)


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-30shy



1 fxp(Y-y 11 )-y p(X-yx) ]d-r (D)





~ middotshy




1 (Pxv- Pvx)d-r(1))










-31 shy




0 x

FIG 2


J (Ex-Pxx)dcr (SJ)





- 32 shy




CONCLUSION












par Paul GERMAIN







-34shy









-35 shy








~ ~ ~





-36shy










M

J





37shy


(2)



r=err sin (6- lt)) + ~1 (3)








V=~middot+~l eh 1 h


C2- C ~ -i y=- -z6 =--shy

eh eh r2




- 38shy










































i 1

l

-19shy









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pSa2a ~(x) +J k(x o~m ( = 0 (11)







-20shy



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-21shy





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( g(xn Xn)


[K] = [G] - 1 bull





Fig 6


-22 shy


~=[ cx ] q [ --- rn ___ ] [cx ]q + [K] [ a]q =O

Symeacutetrisons

[cx] [--- rn_ ] [ v ] q + [cx ] [K J [oJq = 0 (15)




ow )

[ex ][---rn _l [aJ = [ --- -middot__]

[~] [KJ[ cx J = [---y__ ] [ --tJ- ___ ] q + [---~ ]q=O






Fig 7




- 23 shy

















-26shy





f(P)d = OJ IJ)








1








-27shy







FIG 1









-28shy























1 1






29 -




f pXd-r (0)


-( pyx d -r ( f) J














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~ middotshy




1 (Pxv- Pvx)d-r(1))










-31 shy




0 x

FIG 2


J (Ex-Pxx)dcr (SJ)





- 32 shy




CONCLUSION












par Paul GERMAIN







-34shy









-35 shy








~ ~ ~





-36shy










M

J





37shy


(2)



r=err sin (6- lt)) + ~1 (3)








V=~middot+~l eh 1 h


C2- C ~ -i y=- -z6 =--shy

eh eh r2




- 38shy










































-20shy



~(x t) = _2 oclx) qi(t Ci Di) (12) 1


















-21shy





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( g(xn Xn)


[K] = [G] - 1 bull





Fig 6


-22 shy


~=[ cx ] q [ --- rn ___ ] [cx ]q + [K] [ a]q =O

Symeacutetrisons

[cx] [--- rn_ ] [ v ] q + [cx ] [K J [oJq = 0 (15)




ow )

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[~] [KJ[ cx J = [---y__ ] [ --tJ- ___ ] q + [---~ ]q=O






Fig 7




- 23 shy

















-26shy





f(P)d = OJ IJ)








1








-27shy







FIG 1









-28shy























1 1






29 -




f pXd-r (0)


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~ middotshy




1 (Pxv- Pvx)d-r(1))










-31 shy




0 x

FIG 2


J (Ex-Pxx)dcr (SJ)





- 32 shy




CONCLUSION












par Paul GERMAIN







-34shy









-35 shy








~ ~ ~





-36shy










M

J





37shy


(2)



r=err sin (6- lt)) + ~1 (3)








V=~middot+~l eh 1 h


C2- C ~ -i y=- -z6 =--shy

eh eh r2




- 38shy










































-21shy





g(xl x1) gCx1 x2) )


( g(xn Xn)


[K] = [G] - 1 bull





Fig 6


-22 shy


~=[ cx ] q [ --- rn ___ ] [cx ]q + [K] [ a]q =O

Symeacutetrisons

[cx] [--- rn_ ] [ v ] q + [cx ] [K J [oJq = 0 (15)




ow )

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Fig 7




- 23 shy

















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1








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FIG 1









-28shy























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29 -




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-31 shy




0 x

FIG 2


J (Ex-Pxx)dcr (SJ)





- 32 shy




CONCLUSION












par Paul GERMAIN







-34shy









-35 shy








~ ~ ~





-36shy










M

J





37shy


(2)



r=err sin (6- lt)) + ~1 (3)








V=~middot+~l eh 1 h


C2- C ~ -i y=- -z6 =--shy

eh eh r2




- 38shy










































-22 shy


~=[ cx ] q [ --- rn ___ ] [cx ]q + [K] [ a]q =O

Symeacutetrisons

[cx] [--- rn_ ] [ v ] q + [cx ] [K J [oJq = 0 (15)




ow )

[ex ][---rn _l [aJ = [ --- -middot__]

[~] [KJ[ cx J = [---y__ ] [ --tJ- ___ ] q + [---~ ]q=O






Fig 7




- 23 shy

















-26shy





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1








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FIG 1









-28shy























1 1






29 -




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-31 shy




0 x

FIG 2


J (Ex-Pxx)dcr (SJ)





- 32 shy




CONCLUSION












par Paul GERMAIN







-34shy









-35 shy








~ ~ ~





-36shy










M

J





37shy


(2)



r=err sin (6- lt)) + ~1 (3)








V=~middot+~l eh 1 h


C2- C ~ -i y=- -z6 =--shy

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- 38shy










































- 23 shy

















-26shy





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1








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FIG 1









-28shy























1 1






29 -




f pXd-r (0)


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~ middotshy




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-31 shy




0 x

FIG 2


J (Ex-Pxx)dcr (SJ)





- 32 shy




CONCLUSION












par Paul GERMAIN







-34shy









-35 shy








~ ~ ~





-36shy










M

J





37shy


(2)



r=err sin (6- lt)) + ~1 (3)








V=~middot+~l eh 1 h


C2- C ~ -i y=- -z6 =--shy

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- 38shy





















































-26shy





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1








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FIG 1









-28shy























1 1






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-31 shy




0 x

FIG 2


J (Ex-Pxx)dcr (SJ)





- 32 shy




CONCLUSION












par Paul GERMAIN







-34shy









-35 shy








~ ~ ~





-36shy










M

J





37shy


(2)



r=err sin (6- lt)) + ~1 (3)








V=~middot+~l eh 1 h


C2- C ~ -i y=- -z6 =--shy

eh eh r2




- 38shy










































l'enseignement de la mécanique

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