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Lecture..

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Numérisation – Partie II

Qu’est-ce que la Numérisation ?

1. Convolution

2. Échantillonnage

3. Représentationspectrale

4. Théorème deShannon–Whittaker. Numérisation – Partie II..

......1. 1. Convolution et échantillonnage

1. Convolution

2. Échantillonnage

3. Représentationspectrale

4. Théorème deShannon–Whittaker

1. Convolution1. Convolution et échantillonnage

.Définition..

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Soit le filtre h :

x(t)−−→h(t) y(t)−−→

1. Convolution

2. Échantillonnage

3. Représentationspectrale

4. Théorème deShannon–Whittaker

1. Convolution1. Convolution et échantillonnage

.Linéarité..

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h est un système linéaire si :

+∞

∑i=−∞

aixi(t)h(t)−−→

+∞

∑i=−∞

aiyi(t).

.Invariance temporelle..

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Le système est invariant dans le temps si :

x(t) h(t)−−→ y(t) =====⇒ x(t− t0)h(t)−−→ y(t− t0).

1. Convolution

2. Échantillonnage

3. Représentationspectrale

4. Théorème deShannon–Whittaker

1. Convolution1. Convolution et échantillonnage

.Réponse impulsionnelle..

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h(t) est la réponse impulsionnelle du filtre appliqué àl’impulsion de Dirac δ (t) :

δ (t)−−→ h(t) h(t)−−→

.algorithme efficace..

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Ces propriétés permettent l’écriture d’un algorithme ef-ficace :

x(u)δ (t−u) h(t)−−→ x(u)h(t−u)

1. Convolution

2. Échantillonnage

3. Représentationspectrale

4. Théorème deShannon–Whittaker

1. Convolution1. Convolution et échantillonnage

.Produit de convolution..

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Le signal x(t) pouvant être décrit par un produit avecun peigne de Dirac :

x(t) =∫ +∞

−∞x(u)δ (t−u) du

le signal y(t) est alors un produit de convolution (cf.prop. de linéarité) :

y(t) = x(t)⊗h(t) =∫ +∞

−∞x(u)h(t−u) du

1. Convolution

2. Échantillonnage

3. Représentationspectrale

4. Théorème deShannon–Whittaker

1. Convolution1. Convolution et échantillonnage

.Élément neutre..

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x(t)⊗δ (t) =∫ +∞

−∞x(u)δ (t−u) du

=∫ +∞

−∞x(t−u)δ (u) du

= x(t)

.Transformée de Fourier d’un produit de convolution..

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x(t)⊗y(t) ⇌ X(ω) Y(ω)x(t) y(t) ⇌ X(ω)⊗Y(ω)

1. Convolution

2. Échantillonnage

3. Représentationspectrale

4. Théorème deShannon–Whittaker

2. Échantillonnage1. Convolution et échantillonnage

.Définition..

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Le signal discret s[t] est un peigne de Dirac de fréquenceFe =

1Te

pondéré par les valeurs du signal continu s(t) :

s[t] =+∞

∑k=−∞

s(kTe)δ (t−kTe)

avec δ (t) ={

1 si t = 00 sinon

1. Convolution

2. Échantillonnage

3. Représentationspectrale

4. Théorème deShannon–Whittaker

2. Échantillonnage1. Convolution et échantillonnage

.Période et fréquence d’échantillonnage..

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L’intervalle de temps constant entre les acquisitionsd’un signal analogique est appelé la période d’échan-tillonnage Te et sa fréquence d’échantillonnage estωe = (2π)/Te.

1. Convolution

2. Échantillonnage

3. Représentationspectrale

4. Théorème deShannon–Whittaker

2. Échantillonnage1. Convolution et échantillonnage

.Relation entre x(t) et xe(t)..

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xe(t) =+∞

∑k=−∞

x(kTe)δ (t−kTe)

= x(t)(

+∞

∑k=−∞

δ (t−kTe)

)= x(t)∆Te(t)

xe(t) est le produit de x(t) avec ∆Te(t).

1. Convolution

2. Échantillonnage

3. Représentationspectrale

4. Théorème deShannon–Whittaker

2. Échantillonnage1. Convolution et échantillonnage

1. Convolution

2. Échantillonnage

3. Représentationspectrale

4. Théorème deShannon–Whittaker

3. Représentation spectrale1. Convolution et échantillonnage

.Sa transformée de Fourier..

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Xe(ω) = T F {x(t)}(ω)⊗T F {∆Te(t)}(ω)

= X(ω)⊗ fe ∑k∈Z

δ (ω −kωe)

= fe ∑k∈Z

(X(ω)⊗δ (ω −kωe)) (Linéarité)

= fe ∑k∈Z

X(ω −kωe)

1. Convolution

2. Échantillonnage

3. Représentationspectrale

4. Théorème deShannon–Whittaker

3. Représentation spectrale1. Convolution et échantillonnage

1. Convolution

2. Échantillonnage

3. Représentationspectrale

4. Théorème deShannon–Whittaker

4. Théorème de Shannon–Whittaker1. Convolution et échantillonnage

.Théorème de reconstruction..

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Pour assurer une reconstruction exacte du signal analo-gique x(t) à partir de sa version échantillonnée, la fré-quence fe d’échantillonnage doit respecter la contraintesuivante :

fe ≥ 2fmax

où fmax est la fréquence maximale du signal analogique.

1. Convolution

2. Échantillonnage

3. Représentationspectrale

4. Théorème deShannon–Whittaker

4. Théorème de Shannon–Whittaker1. Convolution et échantillonnage

1. Convolution

2. Échantillonnage

3. Représentationspectrale

4. Théorème deShannon–Whittaker

4. Théorème de Shannon–Whittaker1. Convolution et échantillonnage

5. Quantificationuniforme

6. Variantes

. Numérisation – Partie II..

......1. 2. Quantification

5. Quantificationuniforme

6. Variantes

5. Quantification uniforme2. Quantification

.Définition..

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La source à quantifier est :▶ soit un ensemble de valeurs réelles,

un signal audio (mono) par exemple,▶ soit un ensemble de vecteurs à composantes

réelles,une image couleur par exemple.

L’ensemble des valeurs ou vecteurs possibles forment ledictionaire B de la source.Ce dictionaire est construire sur un alphabet A.

5. Quantificationuniforme

6. Variantes

5. Quantification uniforme2. Quantification

.Définition..

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La quantification consiste alors à affecter aux vecteursdu dictionaire B des vecteurs provenant d’un diction-naire B d’alphabet A t.q.

|A|< |A|

.Remarques..

......Un représentant pour plusieurs vecteurs de la source.Il y a obligatoirement des pertes.

5. Quantificationuniforme

6. Variantes

5. Quantification uniforme2. Quantification

5. Quantificationuniforme

6. Variantes

5. Quantification uniforme2. Quantification

.Définition..

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La quantification scalaire uniforme fixe :▶ Le nombre de niveaux de quantification,▶ Le pas de quantifcation.

Sinon elle est scalaire non-uniforme..Définition..

......Elle est paire ou impaire suivant que la valeur nulle estune frontière entre deux intervalles ou non.

5. Quantificationuniforme

6. Variantes

5. Quantification uniforme2. Quantification

5. Quantificationuniforme

6. Variantes

6. Variantes2. Quantification

.Définition..

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La quantification à zone morte double l’intervalle au-tour de la valeur nulle :

Ik =

[−δ ,+δ [ si k = 0[kδ ,(k+1)δ [ si k > 0[(k−1)δ ,kδ [ si k < 0

5. Quantificationuniforme

6. Variantes

6. Variantes2. Quantification

.Définition..

......La quantifcation matricielle est scalaire,mais les inter-valles ont chacun leur propre valeur de pondération.

Les deux plus basses fréquences sont conservées pourchaque bloc 8x8 de l’image.