ARTICLE

Le troisième coefficient du viriel du gaz de Bose unitaireYvan Castin et Félix Werner

Résumé : Nous entendons par gaz de Bose unitaire un système composé de bosons sans spin interagissant dans l'onde s parun potentiel de longueur de diffusion infinie et de portée (réelle ou effective) presque négligeable, système pour l'instantabstrait mais dont la tentative de réalisation avec des atomes froids est en cours. À partir de la solution analytique connuedu problème a trois corps dans un piège harmonique, et de méthodes précédemment développées pour des fermions, nousdéterminons le troisième cumulant b3, puis le troisième coefficient du viriel a3 de ce gaz, dans le cas spatialementhomogène, en fonction de sa température et du paramètre a trois corps Rt caractérisant l'effet Efimov. Un point marquantest qu'en convertissant des séries en des intégrales (par une méthode des résidus inverse), puis en utilisant un petitparamètre inattendu, l'angle de masse � = �/6 des trois bosons, on peut pousser l'estimation complètement analytique deb3 et de a3 jusqu'a une erreur en pratique négligeable.

No. PACS: 67.85.–d.

Abstract: By unitary Bose gas we mean a system composed of spinless bosons with s-wave interaction of infinite scatteringlength and almost negligible (real or effective) range. Experiments are currently trying to realize it with cold atoms. From theanalytic solution of the three-body problem in a harmonic potential, and using methods previously developed for fermions, wedetermine the third cumulant b3 and the third virial coefficient a3 of this gas, in the spatially homogeneous case, as a functionof its temperature and the three-body parameter Rt characterizing the Efimov effect. A key point is that, converting series intointegrals (by an inverse residuemethod), and using an unexpected small parameter (the three-bosonmass angle � = �/6), one canpush the full analytical estimate of b3 and a3 up to an error that is in practice negligible.

1. Introduction

Le domaine des gaz quantiques a pris, depuis une dizained'années, un tournant décisif, celui des interactions fortes, grâce a lapossibilité de donner a la longueur de diffusion dans l'onde s desvaleurs arbitrairement grandes (en valeur absolue) par la techniquedes résonances de Feshbach magnétiques [1, 2]. Ceci ouvre l'étuded'un objet fascinant, le gaz unitaire, dans lequel les interactions en-tre particules ont une longueur de diffusion infinie dans l'onde s etune portée négligeable. L'amplitude de diffusion a deux corps dansl'onde s atteint alors lemodulemaximal autorisé par l'unitarité de lamatrice S, et le gaz est en interaction maximale.

Pour les gaz de fermions de spin 1/2, la réalisation et la caracté-risation expérimentales du régime d'interaction forte ont été unplein succès [3, 4], culminant récemment avec la mesure del'équation d'état du gaz unitaire, aussi bien a haute qu'a bassetempérature T [5–7]. Dans le cas non polarisé de spin, ceci a permisune comparaison très fine avec les approches théoriques, elles-mêmes poussées dans leurs retranchements. À température nulle,en pratique T/TF �� 1, où TF est la température de Fermi, lesmesures ont confirmé la précision des plus récents calculs varia-tionnels a surface nodale fixée, pour ce qui est du nombre univer-sel � = �/(kBTF), � étant le potentiel chimique du gaz [8]. Pour latransition de phase superfluide, les expériences confirment laclasse d'universalité attendue et trouvent une valeur de la tem-pérature critique Tc qui confirme celle des calculs de Monte-Carloquantique les plus récents [9]. Au-dessus de Tc, les mesures del'équation d'état éffectuées a l'Institut de technologie du Massa-chusetts [7, 10] sont en accord avec la méthode de Monte-Carlodiagrammatique [10]. Finalement, dans le régime non dégénéréT > TF, les expériences réalisées a l'École normale supérieure [5]

ont pu confirmer la valeur du troisième coefficient du viriel a3 dugaz spatialement homogène, déja déduite théoriquement [11] de lasolution analytique du problème a trois corps dans un piège har-monique [12] et reproduite depuis par des méthodes diagramma-tiques [13, 14]; ces expériences devancent même la théorie enobtenant la valeur de a4, non encore extraite théoriquement defaçon fiable du problème a quatre corps [15].

En ce qui concerne les gaz de bosons sans spin en interactionforte, les études expérimentales sont moins avancées, a cause del'effet Efimov [16] : l'attraction effective a trois corps prédite parEfimov, et a l'origine de ses fameux trimères faiblement liés donton a désormais une signature expérimentale [17], exalte les pertesd'atomes dans les gaz dues aux collisions a trois corps avec forma-tion très exothermique de dimères fortement liés. Dans la limi-te unitaire, on ne peut pour l'instant préparer un gaz de Bosestable et a l'équilibre thermique que dans le régime non dégénéré��3 �� 1 [18], où � est la densité du gaz et � = (2��2/mkBT)1/2 lalongueur d'onde thermique de de Broglie : le taux de collisionélastique a deux corps, en (�/m)��, l'emporte alors sur le taux depertes a trois corps, en (�/m)�2�4 [19]1. Il existe heureusementquelques pistes a explorer pour réduire les pertes, comme la misea profit dans un réseau optique de l'effet Zénon quantique qu'ellesinduisent [21] ou simplement l'utilisation de résonances de Fesh-bach étroites [22, 23].

D'un point de vue théorique, l'étude du gaz de Bose unitaire enest elle-même a ses prémices. La plupart des travaux ne prennentpas en compte de manière exacte les corrélations a trois corps etplus [24–26]; ils ne peuvent donc rendre compte quantitativementdu fait que les interactions entre bosons a la résonancemettent enjeu le paramètre a trois corps Rt, une longueur donnant l'échelled'énergie globale dans le spectre des trimères d'Efimov (que ne

Reçu 21 décembre 2012. Accepté 7 février 2013.

Y. Castin et F. Werner. Laboratoire Kastler Brossel, École Normale Supérieure, CNRS et UPMC, 24 rue Lhomond, 75231 Paris, France.

Auteur correspondant : Yvan Castin (courriel : yvan.castin@lkb.ens.fr).1Ceci est vrai a un facteur sans dimension près fonction périodique de ln(Rt/�) [18, 20], où Rt est le paramètre a trois corps.

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Rev. can. phys. 91: 382–389 (2013) dx.doi.org/10.1139/cjp-2012-0569 Publié à www.nrcresearchpress.com/cjp le 26 février 2013.

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peut ici fournir la longueur de diffusion puisqu'elle est infinie).Aussi les différentes phases quantiques sous lesquelles le systèmede Bose unitaire pourrait exister a l'équilibre thermique, en fonc-tion de la température, restent-elles encore a explorer. À tempéra-ture nulle, l'ajout d'une interaction de cœur dur a trois corps, quipermet d'ajuster la valeur de Rt et empêche aussi l'effondrementdu système sur lui-même, a conduit a montrer, par des calculsnumériques limités a une dizaine de particules, que les bosonsforment un état lié a N corps, dont l'énergie semble varier liné-airement en N [27], ce qui suggère une phase a densité plafonnée agrand N, par exemple, une phase liquide. À haute température(plus précisément a basse densité ��3 ¡ 0), l'angle d'attaque na-turel est celui du développement du viriel [28], dont nous rap-pelons ici la forme pour le gaz spatialement homogène [29] :

P�3

kBT� �

n≥1

an(��3)n (1)

où P est la pression du gaz. Le coefficient an constitue précisémentle nième coefficient du viriel. En pratique, il sera plus commode dedéterminer les coefficients bn du développement du grand poten-tiel �h en puissances de la fugacité z = e�, le potentiel chimique� tendant vers –∞ :

�h � V

�3kBT�

n≥1

bnzn (2)

V étant le volume du système et = 1/(kBT). Comme –�h est lelogarithme de la fonction de partition grand canonique, il estnaturel de baptiser le coefficient bn nième cumulant. La connais-sance de tous les cumulants jusqu'a l'ordre n inclus permet dedéterminer tous les coefficients du viriel jusqu'aumême ordre. Onnotera que a1 = b1 = 1 par construction; les expressions d'ordresupérieur utiles ici se déduisent simplement des relations thermo-dynamiques �h = –PV et N = –∂��h [29] :

a2 � b2 et a3 � 4b22 2b3 (3)

Au contraire du cas fermionique, le cumulant b3 et le coefficient duviriel a3 des bosons a la limite unitaire ne sont pas de purs nombres,mais ce sont des fonctions du paramètre a trois corps qui n'ont pasencore été explicitement déterminées. Depuis les études fondatri-ces [30], il existe certes des expressions formelles de b3 dans le casquantique général, mettant en jeu les équations de Faddeev [31], lamatrice S [32], des diagrammes de Mayer [33] et un opérateurd'Ursell [29, 34]. La forme la plus opérationnelle semble être cellede [31] écrite en termes d'une amplitude de diffusion a trois corps[35], mais son évaluation pour le gaz de Bose unitaire est, a notreconnaissance, purement numérique et limitée aux contributionsde moment cinétique relatif nul [35]. Ici, nous montrons au con-traire que b3 peut être obtenu analytiquement, a partir de la solu-tion du problème a trois bosons harmoniquement piégés [12, 36].

Dans la première étape de la résolution, on considère le systèmea l'équilibre thermique dans le potentiel harmonique U(r) =m�2r2/2, � étant donc la pulsation d'oscillation libre, et l'onexprime le troisième cumulant B3(�) du gaz piégé, défini par ledéveloppement (5) a venir, en termes des fonctions de partitiondes problèmes a n corps piégés, 1 ≤ n ≤ 3. En physique théorique,un « régularisateur harmonique » formel a ainsi déja été introduitpour obtenir les second [37] et troisième [38, 39] coefficients duviriel d'un gaz d'anyons. La même technique a ensuite été utiliséedans le cas des atomes froids fermioniques [11], pour tirer parti dufait que le problème a trois corps est soluble dans la limite uni-

taire; notons qu'il ne s'agit alors plus seulement d'un artifice decalcul puisque ce piégegage est réalisable expérimentalement.

Dans la seconde étape, on fait tendre la raideur du piège verszéro. Comme le montre l'application de l'approximation de den-sité locale [11], en fait exacte dans cette limite, les cumulants bn dugaz homogène sont alors donnés par [11, 37]

bn

n3/2� lim

�¡0Bn(�) � Bn(0

�) (4)

Dans [11], cette limite avec n = 3 est évaluée numériquement pourles fermions. Nous nous attacherons ici a montrer qu'il est en faitpossible d'aller beaucoup plus loin analytiquement.

2. Expression de �B3 en termes de fonctions departition canoniques

Lorsque le potentiel chimique � ¡ –∞ a température fixée, cequi correspond a une limite de faible densité, le grand potentieldu gaz de Bose unitaire piégé admet le développement

� � kBTZ1�n≥1

Bnzn (5)

où ZN est la fonction de partition canonique a N particules, z = exp(�)est la fugacité, etBn(�) est lenièmecumulantdugazpiégé. Par construc-tion, B1(�) � 1. On a aussi, par définition, � = −kBT ln(1 + �N≥1ZNzN). Enidentifiant ordre par ordre en z, comme, par exemple, dans [11], ontrouve

B2 �Z2

Z1

1

2Z1 et B3 �

Z3

Z1

Z2 �1

3Z12 (6)

En réalité, on souhaite calculer l'écart au gaz parfait,

Bn � Bn Bn(0) (7)

où Bn(0)(�) est le nième cumulant du gaz parfait piégé. On in-

troduit de même ZN � ZN ZN(0), où l'on notera que Z1 = 0.

Comme il y a de plus séparabilité du centre de masse dans unpiège harmonique, aussi bien pour le gaz parfait que pour legaz unitaire, et que le spectre du centre de masse est le mêmeque celui du problème a un corps, on se ramène a des fonctionsde partition du mouvement relatif a n corps, repérées par lesigle « rel » :

B2 � Z2

Z1

� Z2rel (8)

B3 � Z3

Z1

Z2 � Z3rel Z2 (9)

Il reste a utiliser les expressions du spectre dumouvement relatif,connues a la limite unitaire jusqu'a n = 3 [12, 36].

2.1. Cas N = 2Comme les interactions modifient le spectre du mouvement

relatif seulement dans le secteur de moment cinétique l = 0, etqu'a la limite unitaire, leur effet se résume a un décalage vers lebas de �� du spectre non perturbé El�0,n

(0) � (2n � 3/2)�� [40], ontrouve

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Z2rel � (ex 1)�

n≥0

ex(2n�3/2) �ex/2

1 � ex� B2 (10)

où l'on a posé x = ��. On en déduit, en utilisant l'équation (8) etZ1 = [e–x/2/(1 – e–x)]3, que

Z2 �e2x

(1 ex)2(1 e2x)(11)

On en déduit aussi le second cumulant du gaz de Bose unitairespatialement homogène, en calculant

B2(0)(�) �

1

2� 1

2 ch(x/2)�3

puis en prenant la limite � ¡ 0 et en utilisant (4) :

b2

23/2�

1

2�

1

24(12)

2.2. Cas N = 3Comme il a été montré dans [12], le problème a trois bosons

piégés admet une classe particulière d'états propres, qualifiésdans la suite d'états laughliniens, dont la fonction d'onde s'annulelorsqu'il y a au moins deux particules au même point. Ces étatsont donc des énergies indépendantes de la longueur de diffusiona et ne contribuent pas a Z3. Il reste donc a sommer sur les étatspropres non laughliniens pour le cas sans interaction (a = 0) etpour la limite unitaire (1/a = 0).

Dans le cas a = 0, en utilisant comme dans [11] l'ansatz d'Efimovpour la fonction d'onde a trois corps2, on trouve les énergies pro-pres non laughliniennes du mouvement relatif

Erel(0) � (ul,n(0) � 1 � 2q)�� de dégénérescence 2l � 1 (13)

où l, n et q décrivent l'ensemble des entiers naturels, l quantifiantlemoment cinétique et q l'excitation dumode hyperradial [41]. Lesu(0) ≥ 0 sont les racines de la fonction s � 1/� [(l s)/2 � 1] :

ul,n(0) � l � 2 � 2n (14)

En réalité, il ne faudrait garder dans le spectre (13) que les racinesphysiques, pour lesquelles l'ansatz d'Efimov n'est pas identique-ment nul. Les deux racines non physiques connues sont u(0) = 4pour l = 0, et u(0) = 3 pour l = 1. Mais ceci ne jouera pas de rôle dansla suite.

Dans le cas 1/a = 0, on utilise l'ansatz d'Efimov comme dans [12],que l'on soumet aux conditions au contact de Wigner–Bethe–Peierls, ce qui conduit a l'équation transcendante �l(s) = 0, avec[42]

�l(s) � cos � (sin �)l� [(l � 1 � s)/2]� [(l � 1 s)/2]

�1/2� (l � 3/2)

× 2F1�l � 1 � s

2,l � 1 s

2, l �

3

2; sin2�� (15)

où 2F1 est la fonction hypergéométrique de Gauss, et l'on a in-troduit, selon l'habitude, l'angle de masse, qui vaut pour troisbosons

� � arcsin1

2�

�

6(16)

En pratique, on utilisera aussi la représentation établie dans [43]pour les fermions et aisément transposée au cas bosonique, entermes des polynômes de Legendre Pl(X) :

�l(s) �l pair

cos � 2

sin ��0

�

d�Pl�sin �

sin �� cos(s�)

cos(s�/2)(17)

�l(s) �l impair

cos � �2

sin ��0

�

d�Pl�sin �

sin �� sin(s�)

sin(s�/2)(18)

qui permet d'écrire explicitement �l(s) avec la fonction sinus etdes fractions rationnelles en s.

2.3. Voie efimovienneDans le secteur demoment cinétique nul, l = 0,�l(s) admet dans

iR� une unique racine u0,0 [12], notée habituellement

u0,0 � s0 � i|s0| |s0| � 1,006 237 825… (19)

Cette racine donne naissance a la voie efimovienne, dans laquelleles énergies propres �q(�) du mouvement relatif sont solutionsd'une équation transcendante [12, 36] que l'on peut récrire commedans [20] pour rendre explicite et univoque la dépendance en lenombre quantique q � N :

Im ln � �1 � s0 �q/(��)

2 � �|s0|

2ln�2��Et � � q� � 0 (20)

la fonction ln �(z) étant prise avec sa détermination standard(ligne de coupure sur R). Dans la limite � ¡ 0 a q fixé, cecireproduit la suite géométrique des trimères d'Efimov :

�q(�) ¡ �q(0�) � e2�q/|s0|Et (21)

ce qui montre que

Et �2exp[(2/|s0|)Im ln � (1 � s0)]�

2

mRt2

Rt étant le paramètre a trois corps suivant la convention de [12].Dans une limite stricte de portée nulle, q décrirait Z et le spec-tre serait non borné inférieurement, ce qui interdiraitl'équilibre thermique du système. Cependant, comme l'a notéEfimov [16], dans tout modèle donné d'interaction de portée bnon nulle, y compris dans la réalité expérimentale, la formegéométrique (21) du spectre n'est valable que pour les trimèresayant une énergie de liaison très petite devant �2/(mb2),

2En effet, les états non laughliniens du gaz parfait sont la limite pour a ¡ 0– des états non laughliniens du cas avec interaction, pour lesquels un ansatz de type Faddeev sur la fonction d'onde

est justifié, �(r1, r2, r3) � (1 � P13 � P23)F(r, �, C), où Pij transpose les particules i et j, r = r2 – r1, � � (2r3 r1 r2)/3 et C = (r1 + r2 + r3)/3. Ceci se voit en intégrant formellement l'équation deSchrödinger pour une interaction en � régularisé, en termes de la fonction de Green du Hamiltonien a trois corps sans interaction.

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d'éventuels autres états trimères plus profondément liés étanthors de la limite unitaire et non universels. Ici, le nombrequantique q = 0 correspond donc simplement au premier étatqui atteint (presque) la limite unitaire. Pour qu'une interactionpuisseprétendre, a l'équilibre thermique, permettre la réalisationdugaz de Bose unitaire, il est nécessaire que q = 0 corresponde au vraitrimère fondamental, ce qui est bien le cas pour le modèle de laréférence [27] et pour la résonance de Feshbach étroite [44–47] : dansces deux situations, on a en effet

Et ≈e2�/|s0|�2

mb2��

�2

mb2

et le spectre des trimères peut être considéré comme entièrementefimovien, comme il est supposé dans ce travail.

2.4. Voies universellesLes racines réelles positives (u0,n)n≥1 de �0(s), et les racines

(ul,n)n≥0 de �l(s) pour l > 0, qui sont toutes réelles [12] et que l'onchoisit donc positives, donnent naissance aux états universels,c'est-a-dire non efimoviens, avec des énergies propres du mouve-ment relatif indépendantes de Rt :

Erel � (ul,n � 1 � 2q)�� de dégénérescence 2l � 1 (22)

où (l, n) décrit donc N2∗, et q décrit N, l'étoile indiquant l'exclusionde l'élément nul, ici (0,0). On notera la similitude avec le cas sansinteraction (13), le nombre quantique q ayant la même originephysique [41]. Comme dans le cas sans interaction, il faudraitéliminer du spectre (22) les racines non physiques, qui donnent unansatz d'Efimov nul. Cependant, ces racines non physiques sontexactement les mêmes dans les deux cas3, ce qui nous autorise ales inclure formellement dans les fonctions de partition Z3 et Z3

(0),leurs contributions (non physiques) se compensant exactementdans Z3. En regroupant les contributions des systèmes avec etsans interaction de mêmes nombres quantiques, nous obtenonsfinalement :

Z3rel � �

q≥0

[e�q(�) ex(u0,0(0) �1�2q)] � �

(l,n)�N2∗�q≥0

(2l � 1)

× [ex(ul,n�1�2q) ex(ul,n(0)�1�2q)] (23)

2.5. De commodes réarrangementsAfin de séparer les problèmes dans le passage a la limite � ¡ 0,

il est commode de décomposer (23) en la somme d'une contribu-tion purement efimovienne S(�) et d'une contribution purementuniverselle �(�), a des restes additifs près R(�) et �(�). On étudieradans la suite la série efimovienne

S(�) � �q≥0

[e�q(�) e2qx] (24)

qui reproduit la première somme de (23) au reste près

R(�) � �q≥0

[e2qx ex(u0,0(0) �1�2q)] � 1 e3x

1 e2x(25)

On va voir aussi qu'il est doublement astucieux d'introduire lasérie universelle

�(�) � �(l,n)�N2∗

�q≥0

(2l � 1)[ex(ul,n�1�2q) ex(vl,n�1�2q)] (26)

où l'on a posé

vl,n � l � 1 � 2n (27)

D'abord, comme mis a profit numériquement dans la référence[11], �l,n n'est autre que l'équivalent de ul,n a grand l ou n introduitdans l'équation (17) de la référence [12]4, ce qui assure une rapideconvergence de la série �(�). Ensuite, comme il est apparent sur laforme (15), les (�l,n)n≥0 sont les pôles positifs de la fonction �l(s);l'écriture (26) évoque donc le théorème des résidus, ce que nousexploiterons bientôt. Comme vl,n � ul,n

(0) 1, �(�) reproduit laseconde somme de (23) au reste près

�(�) � �(l,n)�N2∗

�q≥0

(2l � 1)[ex(vl,n�1�2q) ex(ul,n(0)�1�2q)] (28)

Par la méthode des fonctions génératrices, il vient

�l≥0

(2l � 1)elx � �1 2d

dx� 1

1 ex�

1 � ex

(1 ex)2

Ceci, habilement joint aux égalités (11) et (25), conduit a �(�) = Z2 + 1 – R(�), et (9) se réduit a l'écriture limpide

B3(�) � S(�) � �(�) � 1 (29)

Cette équation (29) est l'équivalent bosonique des expressions fer-mioniques (56), (58) de la seconde référence [11], dont elle diffèrepar la contribution S(�) de la voie efimovienne.

3. Transformations analytiques et limite � ¡ 0La quantité physique la plus pertinente étant le troisième cu-

mulant du gaz spatialement homogène, il nous faut maintenant,en vertu de (4), faire tendre la raideur du piège vers zéro. Un calculexplicite pour le gaz parfait piégé donne

B3(0)(�) �

1

3�ex(1 ex)

1 e3x �3 ¡�¡0

1

34(30)

Dans le cas unitaire, la méthode de la référence [20] permet dedéterminer exactement S(0+); de plus, comme nous allons le voir,la sommation sur n dans l'équation (26) et le passage a la limitex ¡ 0 peuvent être effectués analytiquement, et les intégralesrésultantes dans �(0+), très simples a évaluer numériquement,peuvent aussi être utilement approchées en prenant l'angle demasse � comme petit paramètre.

3.1. Travail sur la contribution efimovienne S(�)Un nombre positif A arbitraire mais ��1 étant choisi, nous

partageons comme dans la référence [20] les termes de la série (24)en trois classes, S = S1 + S2 + S3, et nous faisons tendre � vers zéro.

3Si a = 0, on impose que la fonction d'onde � ne diverge pas en 1/r lorsque r = r2 – r1 ¡ 0. Si 1/a = 0, on impose que � n'a pas de terme en r0 dans son développement en puissances de r (a r1 + r2et r3 fixés). Lorsque � � 0, les deux contraintes sont satisfaites simultanément, auquel cas u(0) et u coïncident.4Cette équation (17) pour l < 2 contient d'ailleurs une erreur, induite par une mauvaise numérotation des racines non physiques.

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Dans la classenuméro 1, dite quasi-liée, contenant les états tels que�q(�)� A��, les trois bosons occupent une zone de l'espace petitedevant la taille [�/(m�)]1/2 du fondamental de l'oscillateur harmo-nique, si bien que le spectre est proche de celui (21) de l'espace libre :

�q(�) � �q(0�)�1

1 � |s0|2

6 � ��

�q(0�)�2 � …� (31)

Comme �q(0�) est une suite géométrique, le remplacement de

�q(�) par �q(0�) dans S1 conduit a une erreur d'ordre celle commise

sur le dernier terme, en x/A, qui tend donc vers zéro. Pour lamêmeraison, l'indice maximal q1 dans cette classe croît seulement loga-rithmiquement, en (|s0|/2�) ln [Et/(2��)], ce qui autorise a rem-placer chaque terme e–2qx par 1, l'erreur commise sur S1 tendant laaussi vers zéro, comme xq1

2. On garde donc

S1 � �q�0

q1

[e�q(0�) 1] � o(1) (32)

La classe numéro 2 est celle des états intermédiaires, |�q(�)| �A��. Comme l'espacement entre les �q(�) est d'ordre �� aumoins5,cette classe comporte un nombre fini O(A) de termes, chaqueterme tendant vers zéro avec �, si bien que S2 = o(1).

La classe numéro 3, celle des états tels que A� �q(�), reconstruitles états de diffusion efimoviens de l'espace libre lorsque � ¡ 0.On dispose pour cette classe d'un développement a grand q,

�q(�)

��� 2q � (�q(�)) � O�1q� (33)

où la fonction de l'énergie (�), sans dimension, est donnée parl'équation (C6) de la référence [20]. Dans chaque terme de S3, oneffectue donc l'approximation e2qx e�q[1 � x (�q)], et l'on rem-place la somme sur q par une intégrale sur l'énergie, en utilisant laquasi-équidistance des niveaux �q�1 �q � 2��[1 � O(��/�q)] [49], sibien que

S3 � 1

2�A��

�∞

d�e� (�) � O(1) (34)

En regroupant les trois classes et en explicitant (�) comme dans[20], on obtient finalement pour � ¡ 0 :

S(0�) � ��q≥0

[e�q(0�) 1]� �

|s0|

� � 12ln(e�Et)

�p≥1

ep�|s0|Re[�(ip|s0|)(Et)ip|s0|]� (35)

où � = 0,577 215…est la constante d'Euler, et l'énergie des trimèresdans l'espace libre �q(0

�) est donnée par (21). Notons que la contri-bution de ces états liés � q≥0 e

�q(0�) est divergente, et qu'il estdonc nécessaire de la regrouper avec celle du continuum pourobtenir le contre-terme –1 assurant la convergence de la sommedans (35); dans le cas du deuxième coefficient du viriel d'unplasma, les états liés (a deux corps cette fois) ont un spectre hy-drogénoïde, et il faut le contre-terme plus élaboré −(1 � �q) pourfaire converger la somme [50]6.

3.2. Travail sur la contribution universelle �(�)Isolons dans la définition (26) de �(�) la contribution du mo-

ment cinétique l et effectuons la somme sur q, pour obtenir

� � �l≥0

�l avec �l �l � 1/2

sh x �n≥�l,0

(exul,n exvl,n) (36)

Or la fonction �l(s) admet une racine simple7 en ul,n et un pôlesimple8 en vl,n, ce qui fait que sa dérivée logarithmique admet unpôle en ces deux points, avec un résidu égal a +1 et –1, respective-ment. Par application inverse du théorème des résidus, on trouvedonc pour l > 0 que

�l(�)�l�0 l � 1/2

sh x�C

dz

2i�

�l′(z)

�l(z)exz (37)

où l'intégrale de chemin est prise sur le contour C venant de z = +∞ +i� (� > 0), longeant l'axe réel par au-dessus, le traversant près del'origine puis tendant vers z = +∞ – i� en longeant l'axe réel par endessous. Ce contour enserre en effet toutes les racines positives(ul,n)n≥0 et tous les pôles positifs (vl,n)n≥0 de la fonction �l(z). Comme�l(z) (l > 0) n'a pas d'autres racines ou pôles dans le demi-plan Rez ≥ 0, on peut déplier C autour de l'origine et le rabattre sur l'axeimaginaire pur z = iS :

�l(�)�l�0 l � 1/2

� sh x�0

�∞

dS�l

′(iS)

�l(iS)i sin(xS) (38)

où l'imparité de �l′(iS)/�l(iS) justifie l'omission de la contribution

en cos (xS) et permet de limiter l'intégrale a S > 0. Prendre la limitex ¡ 0 est alors élémentaire, et une simple intégration par partiesconduit au joli résultat :

�l(0�)�

l�0

2l � 1

2��0

�∞

dS ln��l(iS)

cos �� (39)

5En effet, la dérivée par rapport a �q/(��) du membre de gauche de l'équation (20) est uniformément bornée, d'après la relation 8.362(1) de la référence [48].6Le changement de Rt en Rt � e�/|s0|Rt, d'après (20), a comme seul effet sur le spectre efimovien de rajouter un état « q = –1 », si bien que S(0�)� exp(Ete

2�/|s0|)� S(0�). Cette propriété fonctionnelle

détermine S(0+) (et reproduit donc les deux premières contributions de (35)) a une fonction inconnue additive près de ln (Et) de période 2�/|s0|.7Pour démontrer par l'absurde l'absence de racine multiple, il faut rappeler que la partie hyperangulaire de l'ansatz d'Efimov est �(�) � (1 � P13 � P23)(�(�)/sin 2�)Yl

ml(�/�), où l'on a ajouté auxnotations de la note 2 la variable � = atan (r/�), l'harmonique sphérique Yl

ml, l'ensemble � des cinq hyperangles et une fonction �(�) s'annulant en �/2. L'équation de Schrödinger impose alors(4 – s2 – �)� = 0, où � est le laplacien sur l'hypersphère, donc � � � [l(l � 1)/cos2�]� � s2�. Les conditions au contact de Wigner--Bethe--Peierls pour 1/a = 0 imposent de plus la condition auxlimites ��(0) � [4( 1)l/cos �]�(�/2 �) � 0, qui est essentiellement l'équation transcendante �l(s) = 0 (voir la note 8). Si s > 0 en est une racine double, �(�) � �s2�(�) obéit aux mêmes conditionsaux limites que �(�), avec � � � [l(l � 1)/cos2�]� � s2� � �. Alors �(�) � (1 � P13 � P23)[�(�)/sin 2�]Yl

ml(�/�) obéit aux conditions au contact de Wigner–Bethe–Peierls pour 1/a = 0, et a l'équation

inhomogène (4 – s2 – �)� = �, dont le produit scalaire a gauche avec � conduit a l'absurdité 0 ��d5�|�(�)|2, par hermiticité du laplacien aux conditions au contact fixées.8Pour des valeurs particulières de � autres que �/6, par exemple, � = �/5, la fonction 2F1 dans (15) s'annule en s = �l,n, auquel cas �l,n n'est pas un pôle de �l(s). Cependant, la véritable forme de

l'équation transcendante sur s, donnée dans la note 7 et dont les ul,n doivent être solutions, est �l(s)/{�[(l + 1 + s)/2]�[(l +1 – s)/2]} = 0; on a alors une racine parfaitement acceptable ul,n = �l,n, qui n'estcependant pas racine de �l(s) et qui a donc été « oubliée » par la forme (15). Comme ces racines et pôles « fantômes » de �l(s) sont confondus, ils ne contribuent pas a �l(�).

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D'après les formes (17) et (18), la fonction�l(iS)/cos � tend exponen-tiellement vers un a l'infini, si bien que l'intégrale dans (39) estrapidement convergente.

Le cas l = 0 nécessite un petit ajustement du raisonnement précé-dent. D'une part, le pôle v0,0 de la fonction �0(s) ne contribue pas a�(�), puisque le couple (l, n) = (0, 0) est dans la voie efimovienne.D'autre part, l'existence des zéros efimoviens ±i |s0| de�0(s) empêchele rabattement du contour C sur l'axe imaginaire pur. Ces deuxproblèmes sont résolus en considérant la fonction (s2 v0,0

2 )/(s2

s02)�0(s) plutôt que la fonction �0(s) elle-même : le préfacteur ration-nel supprime les pôles ±v0,0 et les zéros ±s0 sans compromettre l'utileinvariance par parité. Dans la limite � ¡ 0, ceci conduit a9

�0(0�) �

1

2��0

�∞

dS ln� S2 � 1

S2 |s0|2

�0(iS)

cos � � (40)

À partir de l'écriture (17) et (18) des fonctions �l(s = iS), onobtient en quelques minutes, avec les outils d'intégration nu-mérique des logiciels de calcul formel, la valeur du termeconstant dans B3(0+) :

1 � �(0�) � 1 0,364 037… � 0,635 962… (41)

On constate que (�l(0+))l≥1 forme une suite alternée de module(rapidement) décroissant, l'erreur commise dans une tronca-ture sur l étant donc bornée par la valeur absolue du premierterme négligé. Analytiquement, on peut d'ailleurs obtenir lebel équivalent10

�l(0�) ~

l¡∞� l

��1/2 [tan(�/2)]l

cos(�/2)(cos �)3/2(42)

où � est l'angle de masse (16).

3.3. Une évaluation entièrement analytiqueL'intéressante propriété de décroissance rapide de �l(0+) avec

le moment cinétique, a défaut d'explication physique, peut êtrecomprise par le fait que, pour l > 0, les écarts a un de �l(iS)/cos �

tendent vers zéro en –(–�)l, comme il est apparent sur l'écriture(15) :

�l(S) ��l(iS)

cos � 1 �

�¡0O(�l) (43)

Comme � =�/6, on trouve déja pour l = 1 que la valeurmaximale de|�l(S)|, atteinte en S = 0 et 0,273, est petite. Ceci donne l'idée detraiter chaque �l (pour l > 0) comme un infiniment petit d'ordre l.Le développement en série de ln [1 + �l(S)] en puissances de �l dans(39) est convergent et génère un développement convergent de�l(0+) :

�l(0�)�

l�0�n≥1

�l(n) où �l

(n) � (2l � 1)(1)n

n�R

dS

4�[�l(S)]n (44)

L'intégrale correspondante peut être calculée en principe analy-tiquement par la méthode des résidus, pour 0 < � < �/2, qui con-duit a des séries exprimables en termes des fonctions de Boseg�(z) � � k≥1 (z

k/k�), encore appelées polylogarithmes, mais cecidevient rapidement fastidieux a grand l ou n. Nous nous limitonsdonc aux infiniment petits d'ordre trois inclus. Pour n ≤ 2, il est enfait plus simple de calculer directement la somme sur tous lesl ≥ l de �l

(n), notée �1:∞(n) . Nous retenons finalement

�(0�) ≈ �0(0�) � �1:∞

(1) � �1:∞(2) � �1

(3) (45)

Les deuxième et troisième termes de l'approximation (45) peuventêtre exprimés simplement pour � quelconque11 :

�1:∞(1) �

1

� cos �(1 � sin �)

argth(sin �)

� cos � sin �(46)

�1:∞(2) �

2�

�2 sin � cos3�

4[(7/8) (3) Re C3 � Im C2]

(� sin � cos �)2(47)

avec la fonction de Riemann et C� = g�(e2i�) – (1/2�)g�(e4i�). Pour� = �/6, on a plus simplement Re C3 = (7/18) (3) et Im C2 �

(3/72)[� ′(1/6) � ′(5/6)], où � est la fonction digamma et �= sadérivée première. Par concision, nous donnons la valeur dudernier terme de (45) seulement pour � = �/6 :

�1(3) �

64

�33�17D3

432

14 (3)

3

403 (5)

27� 2�

�16

9�2�17D3

54� 5D1

322 (3)

3 36�

�32

3�3�5D1

9

112 (3)

27�

8

3 2ln 3� (48)

avecDk = �(k)(1/3) – �(k)(2/3), �(k) étant la dérivée kième de la fonctiondigamma, voir la relation 8.363(8) de la référence [48].

Il reste a approcher analytiquement le premier terme de (45),soit la contribution universelle a moment cinétique nul �0(0+)donnée par (40). Comme le développement en série du logarithmeautour de un est inadapté a ce cas, on effectue un développementdirect au second ordre en puissances de l'angle de masse12 :d'après (17)

�0(iS)

cos �� 1

2

ch (S�/2)

4

3�2

1 � S2/4

ch (S�/2)� O(�4) (49)

Ceci permet d'abord d'approcher la racine efimovienne

9Une variante de cette intégrale apparaît dans l'équation (87) de [43], ce qui établit un lien inattendu entre b3 et la valeur de Rt/R* sur une résonance étroite (de longueur de Feshbach R*).10Dans (15), avec s = iS, on explicite 2F1 par l'habituelle série, disons sur k � N, voir la relation 9.100 de la référence [48]. On prend la limite l ¡ +∞ a y � k/l et ! � S/l1/2 fixés, on approxime chaque

terme par son équivalent de Stirling, et l'on remplace la somme sur k par une intégrale sur y. La fonction intégrande obtenue contient un facteur elu(y), où u(y) = 2[y + (1/2)]ln (y + 1/2) – (y + 1) ln (y + 1) – y ln y + 2y ln (sin �), ce qui permet de faire usage de la méthode de Laplace et conduit a �l(S) � [(–1)l+121/2/l cos � cos (�/2)][tan (�/2)]l exp[–(1/2)!2 cos �] (quantité définiedans (43)), dont le report dans (39) donne (42).11Ceci résulte entre autres de l'équation (35) de la référence [43] adaptée au cas bosonique. Dans (46), elle a permis d'exprimer �l

(1) en termes de la fonction de Legendre associée Ql(X), a écrire sous

la forme 8.821(3) de la référence [48] pour pouvoir sommer sur l. Dans (47), on l'a combinée a l'identité de Parseval–Plancherel (pour intégrer sur S) et au fait que les polynômes (l + 1/2)1/2Pl(X) formentune base orthonormale de l'espace des fonctions L2([–1, 1]) (pour sommer sur l).12Ce qui est justifié même sous le signe somme, puisque l'intégrale sur S dans (40) converge sur une distance d'ordre unité.

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|s0| � � �8�2

3�3�1 �

�2

4 � � O(�4) (50)

où � = (2/�) argch2 = 0,838 401…, d'une façon qui reproduit (pour� = �/6) sa valeur exacte (19) a un pour mille près. Ensuite, aprèsquelques applications du théorème des résidus, on obtientl'approximation désirée jusqu'a l'ordre trois inclus :

�0(0�)

1 � �2

8

2�2

9�3��1 �

�2

4 � (51)

Pour � = �/6, notre approximation analytique (45) conduit alors a

1 � �(0�) 1 0,364 613… � 0,635 386… (52)

qui reproduit la valeur exacte (41) a un pour mille près. Cetteprécision semble en pratique bien suffisante, compte tenu del'incertitude actuelle des mesures de l'équation d'état des gazatomiques froids [5–7] et du fait que b3 est le coefficient d'un termequi doit rester petit dans un développement a basse densité.

4. ConclusionNous avons montré qu'il est possible de déterminer de façon

entièrement analytique le troisième cumulant b3 du gaz de Boseunitaire spatialement homogène, de paramètre a trois corps Rt etde longueur d'onde thermique de Broglie �, en ce sens que lerésultat13

b3 � 33[S(0�) � C] avec C � 0,648… (53)

est somme d'une fonction S(0+) de �/Rt donnée exactement parl'équation (35), et d'une constante C dont une originale représen-tation intégrale, non contente d'en trivialiser l'évaluation numéri-

que, autorise le développement perturbatif a un ordre arbitraire,poussé ici jusqu'a trois, avec l'angle de masse � = �/6 comme petitparamètre. Ceci donne accès au troisième coefficient du viriel a3du gaz de Bose unitaire, par combinaison des relations (3) et (12).

Comme le montre la figure 1, notre résultat a physiquementl'intérêt de couvrir la transition entre deux régimes extrêmes,celui de basse température, kBT �� Et, où b3 est dominé par lacontribution du trimère fondamental d'énergie –Et :

b3 33 eEt (54)

avec Et " �2/(mRt2), et le régime kBT �� Et, où les trimères sont

presque complètement dissociés :

b3 33|s0|

2�ln(e��2�C/|s0|Et) (55)

L'approximation exponentielle (54) est en accord avec l'expression(193) de la référence [30], déduite très simplement de la conditiond'équilibre chimique du gaz. L'approximation logarithmique (55)peut, elle aussi, a un facteur constant près a l'intérieur du loga-rithme, être déduite d'un calcul complètement différent du nôtre,celui du coefficient de perte a trois corps L3 déduit de la diffusioninélastique de trois bosons dans l'espace libre [18], en le combi-nant a l'équation (25) de la référence [20] qui relie, par des argu-ments généraux, ∂b3/∂(ln Rt) a L3 dans la limite de faibleinélasticité de cette diffusion.

En pratique, dans le régime de température où l'approximationlogarithmique (55) reproduit bien nos valeurs de b3, il sera cer-tainement difficile d'assurer que la limite unitaire est atteinte,c'est-a-dire que les effets de portée (réelle ou effective) du potentield'interaction sont négligeables. En particulier, il n'est pas garantique le changement de signe de b3 a haute température, prédit par lathéorie efimovienne de portée nulle utilisée ici14, puisse être observésur un modèle plus réaliste comme ceux des références [27, 44–46],ou dans une expérience d'atomes froids. La réponse a cette questionnécessite l'étude d'un modèle spécifique d'interaction, et doit doncêtre réservée a un travail ultérieur.

RemerciementsCe travail a été effectué dans le cadre du projet FERLODIM fi-

nancé par le Conseil Européen de la Recherche. Nous remercionsnos collègues de l'équipe des fermions froids du LKB, en particu-lier Nir Navon, ainsi que Xavier Leyronas du LPS, pour d'utilesdiscussions sur le gaz de Bose unitaire et les coefficients du viriel.

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13En effet, C � 1 � �(0�) � B3(0)(0�), voir (7), (29), (30) et (41).

14À partir de l'expression complète (53), on trouve que b3 = 0 pour kBT/Et 112,56.

Fig. 1. Le troisième cumulant b3 du gaz de Bose unitairespatialement homogène : b3 est multiplié par eEt puis représentéen fonction de la température T par un trait continu. Les lignestiretées à gauche et à droite correspondent respectivement auxapproximations (54) et (55), multipliées elles aussi par eEt. (–Et) estl'énergie du trimère (efimovien) fondamental et = 1/(kBT).

0,1 1 10 100kBT/Et

-2

-1

0

1

2

3

4

5

e-βE

t b3

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