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JANUS232novembre2017

Lemodèle«àconstantesvariables»

Si on considère que la lumière va à une vitesse c constante, et donc que rien n epeutprogresseràunevitessesupérieure,touteinformationémiseàl’instantzérosepropageraselonunesphèresphériquederayonct.Onappellecelal’horizoncosmologique.Quandoncomparecesdeuxloisdepropagationildevientévidentqu’ontrouve,danslepassé, une situation où les particules s’éloignent les unes des autres plus vite que neprogresse cette onde électromagnétique. Entre autre, quand t =0 ( à supposerque cesmotsaientunsens)cettevitessed’éloignementseraitinfinie.Danscettephaseprimitivelesparticulessontdoncdansl’impossibilitédecommuniquerlesunesaveclesautres,etd’échangerdel’énergie.

Or, ces échanges d’énergie par collisions sont ce qui peut garantir l’homogénéité etl’uniformitéd’unmilieugazeux.Quand,en1989 lesAméricainsmirentsurorbite lepremiersatellitecapablede fournirdesinformationssur lefondderayonnementcosmologiquedansledomainedesmicro-onde(leCMB),correspondantàt=380.000ans,forcefutdeconstaterquecelui-ciétaithomogène à 10-5 près, et cela alors l’horizon cosmologique restait très inférieur àa. Ilfallaitdoncenvisagerquelquechosepourexpliquercetteremarquablehomogénéité.J’aitoutdesuitepenséeàunschémad’évolutionavecunevitessedelalumièrevariable,plus élevée dans le passé. En fait il se trouve que j’avais anticipé cette découverte enpubliantunpremierarticleen1988intitulé:

AninterpretationofcosmologicalmodelwithvariablevelocityoflightTéléchargeableà:

http://www.jp-petit.org/papers/1988-ModPhysLettA-1.PdfCethèmed’unevitessedelalumièrevariable,toujoursdanslamêmeoptique,devaitêtrereprisdesannéesplustard,d’abordparMoffat,puisparlePortugaisJoaoMagueijo:Mais ceux-ci n’envisagèrent jamais l’idée d’une variation conjointe de toutes lesconstantes.

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Cesconstantes,quellessont-elles?Sionneprendpasencomptelesphénomènesdesinteractionsforteetfaibleontrouve:

G:constantedelagravitationm:massec:vitessedelalumièreh:constantedePlancke:chargeélectriqueµo:perméabilitémagnétiqueduvide.

Alafindecesannéesquatrevingtparurentnombred’articlesconsacrésàcethèmed’unevariabilité des constantes de la physique, avec l’incidence sur les donnéesobservationnelles.Laconclusionimmédiatefutqu’onnepouvaitpasimpunémenttoucherà l’une quelconque des ces constantes sous peine de tomber sur de contradictionsingérables au plan des observations. A partir de ces constantes de bas on peut enfabriquerdenombreusesautres,quisontautantdepointsderepèredenotrephysique.Parexemplelaconstantedestructurefine:

α = e 2

εo h c

oùεo est la constante diélectrique du vide, qui se déduit des constantes indiquées ci-dessusdanslamesureoù:

c = 1µo εo

Cette constante de structure fine vaut 1/ 137,036. Elle joue un rôle clé dansl’arrangement des électrons autour des noyaux des atomes. Et on peut multiplier cesexempleàl’infini.Par ailleurs le simple fait de vouloir modifier la valeur c de posait des problèmes«d’invarianceparlatransformationdeLorentz».LamétriquedeLorentz:

ds2 = c2 dt2 − dx2 − dy2 − dz2

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traduitlefaitqu’onassimilelacoordonnéedetempsà«unecoordonnéecommelestroisautres».Lagrandeurcdt semesurealorsenmètres.Autrementdit le tempsdevient…unelongueur.

Uneparenthèserapidesurlesgroupesdematrices(indentation).Commençonsparlegrouped’Euclide2D.Ilagitsurunespaceàdeuxdimensions(x,y).Onauralestranslations:

x ' = x + Δ xy ' = y + Δ y

etlesrotations:

x ' = xcosθ − ysinθy ' = xsinθ + ycosθ

Onpeutnégociersimultanémentcesdeuxtransformationsenutilisantcettenotationmatricielle:

x 'y '1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

cosθ −sinθ Δ xsinθ cosθ Δ y

0 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟×

xy1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

Ilmanquequelquechose:lessymétries.Onpeutcomplétercelaenajoutantunparamètreselon:

x 'y '1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

λ cosθ −λ sinθ Δ xsinθ cosθ Δ y

0 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟×

xy1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

λ = ± 1

Quandonprendlapremièreexpressionmatriciellec’estleproduit«lignes-colonnes»dedeuxmatrices:

1 0 Δx0 1 Δ y0 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟×

cosθ −sinθ 0sinθ cosθ 0

0 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=cosθ −sinθ Δxsinθ cosθ Δ y

0 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

Attention: il faut respecter l’ordre dans la multiplication, car lamultiplication de deux matrices n’est pas commutative. Détaillons cette

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multiplication, pour ceux «qui ont un peu oublié». Les autres pourrontsautercepassage.Nousallonsmettreenlumièreleslignesetlescolonnes:

Agauche,ladécompositiondelapremièrematricecarréettrois«vecteurslignes».Au milieu, une décomposition en trois «vecteurs colonnes». Adroite,lescaseoùonplaceralerésultatdel’opération.Quantonchoisitlaièmelignedelapremièrematriceetlajièmecolonnedelasecondeonobtientdeuxvecteurs.Adroite,danslacasecorrespondantàlaiième ligneetà la jième colonneonplacera le résultatduproduit scalairedecesdeuxvecteurs.Donnonsunexemple:

Aurésultat:

Au passage vous pourrez vérifier qu’on doit respecter l’ordre, dans ceproduit.

Leproduitdematricesn’estpascommutatif- La première matrice représente l’écriture matricielle groupe destranslations2D,àdeuxparamètres Δ x , Δ y .- La seconde l’écriture matricielle du groupe des rotations 2D, à unparamètreθ qu’onappeleraSO(2).

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La seconde écriture matricielle, qui représente l’élément du grouped’Euclide2D,E(2)estleproduitdetroismatrices:

λ cosθ −λ sinθ Δxsinθ cosθ Δ y

0 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

λ 0 00 1 00 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟×

1 0 Δx0 1 Δ y0 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟×

cosθ −sinθ 0sinθ cosθ 0

0 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟×

Le premier groupe de matrices permet l’inversion des objets, dematérialiserlasymétriemiroir:

x 'y '1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

λ 0 00 1 00 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟×

xy1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

λ xy1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

λ = ± 1

Donclegrouped’Euclideestleproduitdetroisgroupes:

symétries× translations× rotationsSionseconcentresurlesmatrices:

λ cosθ −λ sinθ 0sinθ cosθ 0

0 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

λ 0 00 1 00 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟×

cosθ −sinθ 0sinθ cosθ 0

0 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

qui combinent rotation et symétrie, on appelera cesmatrices a et ondiraqu’ellesappartiennentaugroupeO(2).Opour«orthogonale».Lesmatricesorthogonalessontdesmatricestellesqueleproduitdeaparsatransposéeestégalàlamatriceunité.Latransposéed’unematriceestlerésultatdelapermutationdestermesdecettematricesparrapportàladiagonaleprincipale.OnnotecetteopérationdetranspositionavecunelettreTcommececi:

transposée de a = T a Ainsi:

transposée deλ cosθ −λ sinθ 0sinθ cosθ 0

0 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

λ cosθ sinθ 0−λ sinθ cosθ 0

0 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

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Leproduitdesdeuxdonnelamatriceunité:

I =1 0 00 1 00 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

Laconditiond’orthogonalitédesmatricesas’écritdonc:

T a × a = I

Qu’onécriraplussimplement:

T a a = I

Maintenantnousallonsfaireunechosequevousnetrouverezpasdansleslivres,mais que je trouve éclairant. Vous verrez plus loin pourquoi. Nousécrironscettedéfinition:

T a × I × a = I ou

T a I a = I Pourquoi interposer cettematriceunité aumilieu, alorsqu’ellene changerienàl’affaire?Vousverrezplusloin.On peut alors opter pour une écriture plus compacte de cesmatrices enposant:

X = xy

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ C =

ΔxΔ y

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

alorsl’écriturematricielledevient:

X '1

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= a C

0 1⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟× X

1⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

Cestlevecteurtranslation2D.Commentpasserau3D?Legrouped’Euclide3D,E(3)seraleproduitdestranslations,dessymétriesetdesrotations3D.Commentécrirecesmatrices?Onn’aurapasbesoindelefaire.Ilsuffiradesedirequelesmatricesa,danscecontexte,sontdesmatricesorthogonalesetque:

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X '1

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= a C

0 1⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟× X

1⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟avec T a I a = I

Onpourraitensuitedéfinirlegrouped’Euclideà4dimensions,cinq,etc….Etças’écriraitpareil.Maiscegrouped’Euclidenetombepasduciel.C’est legrouped’isométriedel’espaceeuclidien.En3Ddéfiniparsamétrique:

ds2 = dx2 + dy2 + dz2 Onpeutécrirecetteexpressionselon:

dx2 + dy2 + dz2 = dx dy dz( )1 0 00 1 00 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

dxdydz

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

que je peux aussi écrire:

T dX I dX attendu qu’une matrice ligne est latransposéed’unematricecolonne.Je dirai aussi que cettematrice unité appartient à l’ensemble dematricesmiroirGdontlestermesdiagonauxvalent ± 1

G =±1 0 00 ±1 00 0 ±1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

On va passer à cette histoire d’isométrie etmontrer par exemple que lesmatricesorthogonalesconserventleslongueurs.SoitMunematriceagissantsurunvecteurXselon:

X ' = M X LalongueurduvecteurXest L = t X I X LalongueurduvecteurX’est L ' = t X ' I X ' ExprimonsqueL’=L

L ' = t X ' I X ' = t( M X ) I M X Mais lànousallonsnousservird’un théorème(jevous laisse lesoinde ledémontrer):

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t ( AB ) = t B t A

Appliquéàlaformuleci-dessusçadonne:

L ' = t X ' I X ' = t X (t M I M ) X Onvoitqu’onauraL’=LsilesmatricesMobéissentàlaloi:

t M I M = I

brefsicesmatricesMsontdesmatricesorthogonales.Onvérifieraquelestranslations conservent les longueurs. Ainsi les matrices du grouped’Euclidenesontriend’autresquelesélementsdugrouped’isométried’unespaceeuclidien,définiparsamétrique.Maintenant nous allons passer à l’espace de Minkowski, défini par samétriqueLorentzienne(onprendraicic=1pouralléger):

ds2 = dt2 − dx2 − dy2 − dz2 = ds dx dy dz( )1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

dtdxdydz

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

Onvoitapparaîtrelamatrice-miroir:

G =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

Sionpose:

ξ =

txyz

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

Onaura:

ds2 = tdξ G dξ Cherchonsquel est le grouped’isométriede cet espacedeMinkowski.Onreconduit le calcul établi pour l’espace euclidien et on arrivera à laconclusionquelegroupedéfiniaxiomatiquementpar:

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t L ×

1 0 0 00 −1 0 00 0 00 0 0 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

× L =

1 0 0 00 −1 0 00 0 00 0 0 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

ou t L G L = G

C’est ladéfinitiondugroupedeLorentz.Nousallonspouvoir lemanipulersansjamaisl’expliquer,enlelaissantsouslaformedecettelettreLSionrajouteunvecteurtranslationspatio-temporelle:

C =

dtdxdydz

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

onobtiendralegrouped’isométriedel’espacedeMinkowski,àsavoir….LegroupedePoincaré!

L C0 1

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

Vous comprenezmaintenant pourquoi j’avais écrit lamétrique du grouped’Euclideselon:

ds2 = tdX I dX àcausedecetteévidentanalogieaveclamétriquedel’espacedeMinkowki:

ds2 = tdξ G dξ Quand à la ressemblance entre le groupe d’Euclide et le groupe dePoincaré:

a C0 1

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟L C0 1

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

Jen’insistepas….Cela vous permet de sentir que le groupe de Lorentz représente desrotationshyperboliquesdansunespace4D,quiconserventleslongueurs,àconditionquecelles-cisoientexpriméesàl’aidedelamatriceG.

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Par exemple, en physique théorique, on aura le quadrivecteur composé àpartirdel’énergieetdel’impulsion:

Ec

px

py

pz

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

EnfaisantagirlegroupedeLorentzsurcevecteuronauralaconservationdelalongueurdecevecteur,untrucquevousavezvudansvoscourssurlarelativité.Maisc’estbeaucouppluscommoded’envisagercelasous l’angledelagéométrie.Toujours est-il, et là je vais refermer cette parenthèse-groupes, que si onrajoute la vitesse de la lumière dans ces expressions, en écrivant lamétrique

ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2 etc…etc….Etsicescalairecvarie,onauradesproblèmes«d’invarianceparLorentz».Cane«tourneraplusrond».

Findecetteparenthèse-groupes,signaléeparcetteindentation.On revient à cette histoire de variation des constantes. Si on compulse les particulespubliés là-dessus il ressortquesion toucheàuneseuledeces fichuesconstantes ilyaimmédiatement quelque chose qui se met à déconner. Les atomes ne veulent plus seformer,lesétoilesnefonctionnentplus,etc…etc….C’estcelaquiavaitvaluàBrandonCarterd’énoncerson

PrincipeAnthropiqueDugrecanthropos,quiveutdirel’homme.Celaditquecesconstantesontétédéterminée(parquoi?làilfaudraitrépondreàcettequestion)detellemanière:- Quelesgalaxiesseforment

- Quelesétoiles(etmaintenantlescollisionsd’étoilesàneutrons)créentlesatomeslourds

- Dontserontforméeslesplanètes

- Lesquellesserontpeupléesdevolcansquirecracherontdesgazdansl’atmosphère

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- Tandisquecelle-cibénéficierad’unapportaqueuxgrâceauximpactsdescomêtes.

- Lespremiersêtresvivants,devégétaux,apparaîtront,souslaformed’alguesbleuesqui

créerontdel’oxygènelibre

-Qu’absorberontlespoissons,puislesêtresvivantévoluantendehorsdumilieumarin

- Quiévoluerontàleurtour,donnantnaissantàl’homme

- Qui enfin construira la gare de Perpignan laquelle, comme l’a tout de suite comprisSalvatoreDali,estlecentredel’univers.

Toutcelaavecunjeudeconstantesajustédemanièretrèspointue,sansquoicescénarion’auraitpusedérouler.Cesconstantessont:

G , m , c , h , e , µo{ }

Maiscescénarioestrégléparquoi?

Constructiondelarelationdejaugegénéralisée

(generalizedgaugeRelationship)

L’ingénieurestfamilierdelatechniqueditedel’analysedimensionnelle.Celle-ciluipermetenparticulierdefaireapparaître,danslesdifférentstermesdel’équationquiretientsonattention des nombres sans dimension, qui lui permettent de situer les importancesrelatives de ceux-ci. Nous n’allons pas opérer dans ce qui va suivre, stricto sensu, uneanalysedimensionnelledeséquations,maisnousinspirerdecettetechniqueenrendanttouteslesquantitésquis’ytrouventsansdimension,enfaisantapparaîtredesgrandeurscaractéristiques, ceci s’appliquant non seulement aux longueurs et au temps,mais auxconstantesprésentesdansleséquations.

Ecrivons d’abord, pêle-mêle, les équations de notre physique:

L’équationdeSchrödinger:

− h 2

2m( ΔΨ +U Ψ ) = i h

2π∂Ψ∂t

L’équationdechampd’Einstein:

Rµν −

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R gµν = − 8π Gc2 Tµν

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L’équationdeBoltzmann:

∂ f∂t

+ vi ∂ f∂r i

− ∂φ∂r i

∂ f∂v i

= ( f ' f '1∫∫ − f f1 ) g b db d ε

LeséquationsdeMaxwell:

∇ × E = − ∂B∂t

∇× B = µo J +1c 2

∂E∂t

ΔV + ρe

εo= 0

∇ .B=0

Sinousdécidonsderendretoutesceséquationsadimensionnelles il fautquetoutes lesgrandeursquiy figurent, sansexception, soientexpriméesde façonadimensionnelle,ycompris les «constantes» et y compris, bien entendu l’espace et le temps, en usant dejauges d’espace et de temps. Pour tous ces objets on fera apparaître des quantitéscaractéristiquesfrappéesd’unchapeau,ainsi:

r = r ξ t = t τ

r devient (la jauge d’espace), qu’on appelleraaplus loin, et t une jauge de temps. Onferaapparaître,cefaisant,uneprofusiondegrandeursadimensionnelles,souslaformedelettresgrecques.Aupassageonécrira:

∇ = 1

rδ

Δ = 1r 2 δ

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Puisquenousavonscessixconstantes:

G , m , c , h , e , µo{ }

Celanousamèneraàposer:

G = G Γ m = m β c = cϖ h = hθ e = eϑ µo = µo µ

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Enopérantainsi,toutesnoséquationsserontainsiécritesdemanièreadimensionnelleetlaquestionquenousposonsest:Existe-t-ilunerelationlianttouteslesgrandeursliant:

G , m , c , h , e , µo , r , t{ }

quilaissetoutesleséquationsdelaphysiqueinvariantes?Commeonvalevoir,laréponseestpositive.C’estcequej’aiétablidansmesarticlesde1988-1995,passés totalement inaperçus, fautedepouvoirassurer lapromotiondemesidéesdansdescolloquesetdansdesséminaires,ycomprisàl’échelleinternationale.Anticipantsurcerésultat, jedonnelepourquoid’unetelledémarche.Eneffet,pourquois’intéresser à une telle propriété, qui rend impossible toute mesure, puisque, lesinstrumentsdemesureétantconstruitsaveccesmêmeséquations,doncaveccesmêmesconstantes,ils«dériventparallèlement»aveclesgrandeursqu’ilssontcensésmesurer.Endonnantuneimage:vouloir,àtraversuneexpérienceconceptuelle,proposerquelquechosequitémoigne«aufildutemps»deladérivedecesconstantesseraitcommetenterde mesurer la variation de longueur d’une table en fer, sous l’effet d’une variation detempérature, en utilisant une règle faite du même métal, qui donc se dilaterait de lamêmemanière.En supposant que l’univers, dans ces étranges conditions, évolue en suivant un tel«processusdejauge»ceciaura,commeonneverra,deuxincidences.Dans ces relations de jauge généralisées que nous allons établir, au résultat, on peut

choisirn’importelaquelledeshuitgrandeursci-dessusetexprimerenfonctiondecelle-ci

les variations de la jauge d’espace r , qu’on pourra appeler par la suite a ou R, peuimporte.Toujoursest-ilqu’ontomberasurlapropriétésuivante:

c ∝ 1

r

ou c ∝ 1

a

Alors,quandoncalculel’évolutiondel’horizoncosmologique,çan’estplussimplementct,maisuneintégrale,puisquecvarieaufildel’évolution,etontrouveralorsquecethorizoncosmologiquesuitl’évolutiondela«taille»del’universlui-même:

L’horizoncosmologievariecommea

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Ainsi l’homogénéitéde l’universest-elleassuréeà toutes lesépoques,sansavoirbesoindefairerecoursàla«théoriedel’inflation»etàun«champd’inflatons».Cesidéesgénéralesétantposées,nousallonsétablircette«relationdejaugegénéralisée»,travailquiesttoutàfaitàlaportéed’unlecteurduniveaumathsup.Unteltravailaétédûmentpubliéen1988-1995maisn’aattiré l’attentiond’aucuncosmologiste.Personnen’arefaitlecalculquivasuivre.

Avantdeprésentercecalcul jevoudraisciterdeuxchoses,àcaractèreanecdotique. Un personnage a beaucoup fait parler de lui, dans cetteaffaire de vitesse de la lumière variable. C’est le jeune JoaoMagueijo,ayantunpostedeprofesseurdephysiquethéoriqueàImperialCollege.Ilestégalementl’auteurd’unbestseller,traduitetreprisparl’éditeurDunod:

PlusvitequelalumièreToutetentativededialogueraveccechercheurs’estsoldéeparunéchec.En2008,devantmerendreàImperialCollege,jeluiaiproposédefaireunexposélà-bas.Réponse:unrefus,avecétrangeargument«Cen’estpasmoi,cesontlesautres».Par la suite j’ai créé une bande dessinée, gratuitement téléchargeablesurlesitedeSavoirsansFrontières.http://www.savoir-sans-frontieres.com/JPP/telechargeables/Francais/plus_rapide_lumiere/plus_rapide_lumiere.htmCommecelle-ciavaitétérapidementtraduiteenportugais,http://www.savoir-sans-frontieres.com/JPP/telechargeables/Portuguais/plus_vite_lumiere_portugais/plus_vite_lumiere_portugais.htmj’aidemandéàMagueijodelapréfacer.

PasderéponsePlusrécemment,j’aiparticipéenaoût2017aucolloqueCOSMO17quisetenaitàParis.UncertainBandengerger,Canadien,présentasavisionde l’universprimitif. C’estun stringman,un«hommedes cordes» etpour lui, l’univers primitif est un «gaz de cordes». On trouvera unarticledeluidanslenumérod’octobre2017delarevueLaRecherche.A l’issue de son exposé, j’ai demandé la parole et questionnéBrandenberger à propos d’une justification de l’homogénéité del’universprimitifparunsystèmedeconstantesvariables. Ilasourienmerépondant«ilyaiciunhommequiaaussitravaillédanscettevoie

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etvouspourrezdiscuteraveclui».Ilaalorsdésignéunjeunethésardcanadien1.Vouspouveztraduirecelaparlaréaction:

-Ceshistoiresdeconstantesvariables,c’estdelafoutaise.Parcontre,ungazdecordes,çac’estsérieux!Restonsdansleschosessérieuses.

Qu’aurais-pufaire,lorsdececolloque?Répliquer:

-Non, c’est votremodèledegazde cordesqui est inconsistant. Laissez-moivousexpliquer.Les200congressistesprésentsm’auraienthuéaussitôtetfichudehors!

Revenonsàcetétablissementdelarelationdejaugeuniverselle.

Lefaitdeprésenterledétaildececalculàdeslecteursniveaumathsupreprésenteenfaitlaseulechancepourquecetteidée,quiadéjàplusde30ans, fassesonchemin.Carcescalculs,personnen’aeulacuriositédelesrefaire.

Dansleséquationsfigurentdesvitesse.Onseraalorstentédeposer:

V = V ζ

Mais puis qu’il s’agit d’invariance, on voit tout de suite apparaître celle du facteur de

Lorentz

1− V 2

c 2 .Etcomme c = cϖ celle-cientraînera V ∝ c .Donc il seraplussimple

detenircompted’embléedecelaenintroduisantunevitesseadimensionnelleζ selon:

V = cζ 1Endiscutantparlasuiteaveccejeunechercheurcelui-ciilm’aaussitôtdit«qu’iln’avaitpasfairgrandchosedanscedomaine».

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Voyons comment nous pourrins procéder pour faire émerger ces relations de jauge.Prenonsparexemplel’équationdeMaxwell:

∇ × E = − ∂B∂t

Onposera,aurisquedetomberenpannedelettresgrecques:

E = E ϑ B = B ς

Lamisesousformeadimensionnelledonnera:

1rE δ ×ϑ = − B

t∂ς∂τ

Mais, dimensionnellement, un champ électrique c’est aussi un champ magnétiquemultiplié par une vitesse, de telle sorte qu’on peut poser: E = c B , puisque V variecomme c etonobtient:

crδ ×ϑ = − 1

t∂ς∂τ

Dansceprocessusdejaugequenousenvisageons,touteslesgrandeursavecchapeauvontvarier «conjointement» demanière à laisser les équations invariantes. L’invariance decetteéquationdeMaxwellentraîneraquedansceprocessus:

r ∝ c t

Voilànotrepremièrerelationdejauge.Onlaretrouveraenmaintsendroits.DèslorsnotreéquationdeMaxwell,adimensionnelle,devient:

δ ×ϑ = − ∂ς∂τ

Nousvoulonsquelagéométriedesobjetsresteinchangéeaufildeceprocessusdejauge.Celavautaussipourlagéométriedesobjetsdel’espace-temps,doncdesgéodésiques.OninscriradanscettehistoirequelesloisdeKeplerserontinvariantes,c’estàdireque:

t2 ∝ r 3 ou r ∝ t 2/3

Autrerelationdejauge.

Considéronsmaintenantl’équationdeBoltzmann:

∂ f∂t

+ vi ∂ f∂r i

− ∂φ∂r i

∂ f∂v i

= ( f ' f '1∫∫ − f f1 ) g b db d ε

Ona: vi = cζ i r

i = r ξ i

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Φ estlepotentielgravitationnel.Enadimensionnelonposera Φ = G m

rϕ

Onpeutécrirel’équation:

∂∂t

+ vi ∂∂r i

− ∂φ∂r i

∂∂v i

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟f = ( f ' f '1∫∫ − f f1 ) g b db d ε

Cequinousdonnera:

1t∂∂t

+ crζ i ∂

∂ξ i −G mr c

∂φ∂ξ i

∂∂ζ i

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟f = ( f ' f '1∫∫ − f f1 ) g b db d ε

Avantdenouspréoccuperdusecondmembre,l’invariancedonnera,pourlestroistermesdupremiermembre:

1t∝ cr

∝ G mr c

quinousdonneuneautrerelationdejauge:

G mc 2

∝ r

or

2G mc 2 est la longueurde jeansassociéeàunemassem. Onendéduitquedansce

processusdejaugelalongueurdejaugevariecommelajauged’espace t .

On pourrait appliquer ce traitement de lamise sous forme adimensionnelle du secondmembremaisilnenousapporteraitpasderelationdejaugesupplémentaire.Parcontre,prenonsl’équationdechamp:

Rµν −

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R gµν = − 8π Gc2 Tµν

Dimensionnellement parlant, le premier membre est en

1r 2 ( le tenseur de Ricci est

fabriquéavecdesdifférentiellesdusecondordre).Adroiteletenseur Tµν est;delafaçon

dontnousavonsécritcetteéquation,conformeauchoixdulivred’AdlerSchiffererBazinaladimensiond’unemassevolumique,c’estàdired’unnombrededensiténmultipliépar

unemassem.Maislaconservationdesespècesfaitque n ∝ 1

r 3 .Donccesecondmembre

varieracomme mr3 .Doncl’invariancedel’équationdechampvaavec:

G ∝ c 2 et m ∝ r

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Les équationsde la physique impliquent la conservationde l’énergie.Doncnous allonsécrirequenosrelationsdejaugefontdemême,c’estàdireque:

m c 2 = cst

Cequinousdonneimmédiatement:

c ∝ 1

r

et:

G ∝ 1

r

Passonsàl’équationdeSchrödinger:

− h 2

2m( ΔΨ +U Ψ ) = i h

2π∂Ψ∂t

Quand on passe toutes ces équations sous une forme adimensionnelles, les contraintessur les différents termes nous fournissent des relations de jauge. La dimension de

l’opérateurΔ est

1r 2 . En comparant lepremier termedupremiermembreet celuidu

secondmembreilvient:

h 2

m1r 2 ∝ 1

t

cequinousdonnefinalement

h ∝ t

Comme la fréquence ν variera comme 1t cela ira de pair avec la conservation de

l’énergie hν , ce qu’on aurait pu poser comme principe. Même chose pour l’énergie

gravitationnelle G m2

r.

NouspouvonsformerlalongueuretletempsdePlanck,etnousconstatonsque:

LP = hG

c 2 ∝ r tP = hG

c 5 ∝ t

SinousformonslalongueuretletempsdeJeans,nousconstateronsque:

LJ ∝ r tJ ∝ t

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En fait, cette histoire est générale. Dans ce processus de jauge universel toutes leslongueurs caractéristiques varient comme la jauge d’espace r et tous les tempscaractéristiquesvarientcommelajaugedetemps t .

LalongueurdeCompton λ c =

hm c

,parexemple,variecomme r

Ilnousresteàréglerlecasdesdeuxdernières«constantes»,àsavoirlachargeélectriqueunitaireeetlaperméabilitémagnétiqueduvide µo .OnpeuréglertoutcelaenquelqueslignesenécrivantquelerayondeBohrvariecomme r :

Rb ∝

h2

me e2 ∝ r

Cequidonneaussitôt:

e ∝ r

Introduisons la constante de structure fine et exprimons qu’elle reste invariante par leprocessusdejauge:

α = e2

εo h c= cst

quidonneimmédiatement:

εo ∝ cst et µo ∝ r

On peut vérifier immédiatement que ces relations rendent invariantes toutes leséquationsdeMaxwelletqueparexempleladistancedeDebyevariecomme r ,etquelessections efficaces de collision varient comme r

2 , tandis que les libres parcours varientcomme r etlestempsdelibreparcourscomme t .

En résumé, nous pouvons pondérer toute les grandeurs, temps, longueur, constantes,présentesdansleséquationsdenotrephysiqueparlesgrandeurs«chapeau»(autrementdit envisager un processus de jauge généralisé») et faire en suite que ces équationsrestent invariantes, ceci à condition que ces grandeurs restent liées par un certainnombrederelations.Sinousprenonscommeparamètredirecteurcesloiss’écriront:

G∝1

rc∝ 1

rm∝r h∝r3/2 µo ∝r e∝ r t∝r3/2

Onobtientalorsunevitessedelalumièrequin’estplusconstante,maisdécroîtaufildel’expansioncosmique.

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Intégrationdecesrelationsdansunmodèlecosmologique

Comme le notait si bien StevenWeinberg dans son célèbre livre «Les trois premièresminutes» la description de la genèse cosmique colle assez bien quand on se limite aupremiercentièmedeseconde.Avant,çadevientproblématique.

Onsaitaussiqu’ilya«leproblèmedulithium».Danscettephaseprimitivel’universsecomporte exactement comme une bombe thermonucléaire. Le composant initial,l’hydrogène,estchaudetdense.Donclafusionproduitdel’hélium.Là,çacolle.Maisilyaaussi productiond’un autre élément léger, le lithium.Et dans ce cas l’accord estmoinsbon.Mais nous n’entrerons pas là-dedans. Entre autre parce que, pour ce point précis,nousn’avonspasdesolutionàpréciser.

Le problème c’est quand on veut remonter à une période antérieure à ce premiercentième de seconde. Alors on lit des tas de discours sur ces époques antérieures:10-33 seconde, 10-43 seconde, l’époque quantique, pré-quantique, etc …. Il y a mêmebeaucoupdegensquientendentremonterplusavantencore:

Quandonveutremonterdanscepasséonestcenséétudierl’étatdel’universquandcelui-ci aurait des densités et des température encore plus élevées. On parle alors desupersymétrie,deGrandUnification.

Lesphysiciens tententd’avancer enutilisant leurs accélérateursdeparticules.Mais cessimulationsd’universprimitifsontellesvalables?

Pas nécessairement. Le paramètre énergie est là,mais ilmanque le paramètre densité.Doncleparamètrepression.

Quandonlancedesprotonslesunscontrelesautresc’estunfestivaldequarks.Danslesannées soixante je crois on découvre que ces quarks, dotés de charges électriquesfractionnaires, ne supportent pas l’état libre. On a alors l’impression, plutôt que deprogresserdansundémontageenrègledelamatière,quiavaitsibiencommencé,deseheurteràquelquechose.

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Toujoursest-ilquecesexpériencesnepermettentpasdefaireapparaîtrelesparticulesdelasupersymétrie.D’oùlepapierduphysicienthéoricienPierreSalati,danslarevueCieletEspace(JANUS21)quiémetundoutesurl’existencedetellesparticules.Ils’interrogesurcedésertquisemblepeuplercetespacedetemps,desoriginesàcepremiercentièmedeseconde.

Onpeutallerplusloinetsedemander:cepassé-làcorrespond-t-ilàunephysique?

Onpourraitremplirunepièceentièreavectoutcequiaétéécritetpubliéetquiconstitueunetentativededescriptiondel’universdanssaprimeenfance.Lamécaniquequantiqueest mise abondamment à contribution, alors que le mariage Gravitation et MécaniqueQuantiquen’ajamaisétéconsommé.

On a déjà présenté, dans des vidéos précédentes un toy model qui se présente sousl’aspectd’uncubeémoussé:

Ilyahuit«masses»quisontreprésentéespardeshuitièmesdesphère.Cesportionsdesurfacesontséparéespardesélémentseuclidiens,portionsdeplanouquartsdecylindre.

On évoque la conservation de la masse en imposant que l’aire contenue dans ces«triangles géodésiques» soit constante. Dans l’expansion cosmique, telle qu’on se lareprésente,cesontlesportionseuclidiennes(le«vide»ou«legazdephotons»)quisedilatent.

Quandonconsidèrecetteévolutionenremontantletemps,sionconservelamassevientunmomentoù lesquartsdesphèredeviennent jointifs ( stade2 ).Audelà iln’estpluspossibled’assurerlaconstancedecesaires.

SionassimileladimensioncaractéristiquedecesmassesmàlalongueurdeComptonquileurestassociée:

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λC = h

mc

onseditquesionveutenvisageruneévolutionoùcettegrandeurpuissevarier ilnousfaudra également tabler avec une variation, soit d’une constante présente dans cetteexpression,soitdestroisàlafois,demanièreconjointe.

Commentenvisagercesvariations?Enassurantl’invariancedeséquationsdelaphysique.D’oùcesloisdejaugeprécédemmentétablies.

Danscesconditionslavitessedelalumièren’estplusconstante.

L’horizondevientl’intégrale:

horizon= c(t) dt∫

avecunevitessedelalumièrequivariecommel’inversedeladimensioncaractéristiqueadel’univers.Dansceprocessusdejauge a ∝ t2/3 donconobtient:

horizon ∝ t− 1/3 dt∫ ∝ t2/3 ∝ a

L’horizon cosmologique ne croit plus linéairement en fonction du temps maisaccompagne l’expansion cosmique, évolue parallèlement à la croissance du facteurd’échellea. L’homogénéité de l’univers est alors assurée à toutes les époques et onn’aplusbesoinderecouriràunchampd’inflatons.

On notera que cette relation de jauge, en dehors du fait qu’elle assure l’invariance deséquations,proposeunprocessusquiconservetouteslesénergies,enparticuliercelledesphotons.Commelephénomèneduredshiftéquivautàunemesuredelaperted’énergiedesphotonsaufildel’expansion,danscettephase-là,ceredshiftdisparaît.

Leprocessusde jauge conserve aussi l’énergied’ionisationde l’atomed’hydrogène, quicorrespondàcequ’onappellelaconstantedeRydberg:

Ry =

me e4

8εo2 h2 c

= 12α 2 me c2

Oùα estcettefoislaconstantedestructurefine.

Dans un processus de «variations conjointes des constantes» cette grandeur seraitinvariante, demêmeque l’énergie cinétique des ions hydrogène et des électrons. Il n’yauraitdoncpasdésionisation.

Donc, si ce processus a lieu, ce ne peut être que dans une époque antérieure à ladésionisation.

En fait,nousvoudrions le situerquand l’espacedisponiblenepermetplusauxbaryonsd’exister. Ce qui fait que, postérieurement à cette époque ces mêmes constantes secomporteraient comme des constantes absolues. On peut les exprimer en fonction dedifférentsparamètres.Ci-aprèsl’allure(schématique)decetteévolutionenfonctiond’un

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rapport entre la densité et une densité critique (quand la Longueur de Compton seconfondraitavecladistancemoyenneentrelesparticules):

Letempsdansceprocessusdejauge

Ilesttoujourstrèshasardeuxdes’aventurerdansceslimbesdel’univers,enprétendantdécrirecequis’ypasse.Cemodèledejaugenefaitques’opposeraumodèledel’inflation,enproposantuneautrejustificationdel’homogénéitédel’universprimitif,duCMB.

Onnepeutpasdirequecenouveauschéma,quireçoitlafaveurdesthéoriciens,celuid’unBigBounce,d’unGrandRebond,suivantlacollisiondedeux«branes»soitpluscrédiblequel’inflation.

Commentintroduireuntempsquisoitmesurable,aumoinsconceptuellement?

Imaginons deux masses orbitant autour d’un centre de gravité commun, formant unsystèmequipuisseperdureraufildel’expansioncosmique.

Onpeutreprésentercettepetitehorlogeélémentaireparcecerclerouge:

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Quandon franchit ce stade2 le rayonde l’orbitede ce systèmedevraaccompagner lesvariationdufacteurd’échellea.Voicicettehorlogeélémentaire:

Si on écrit que la force de gravité qui lie ces deux masses est équilibrée par la forcecentrifugeontrouvequelavitessed’orbitationvariecommelaracinecarréedeGm/r

Quand l’horloge suit le processus de jauge,G varie comme1/r et lesmasses comme r,doncleproduitestconstant.Ainsi lapérioded’orbitationvariecommelapuissance3/2du rayonde l’orbite. C’est la loi deKepler, intégrée à ce processus de jauge. Comme lerayon de l’orbite varie comme la puissance 3/2 du temps, alors la période de rotationvariecommeletempst.

Plusonremontedanslepasséetpluscette«horloge»tournevite.

Sionsehasardeàconsidérer lenombredetoursqu’elle faitsurelle-mêmecommeunemesure du temps et qu’on envisage d’évaluer le nombre de tours effectués depuis«l’instantzéro»onobtientl’intégrale:

nombredetours ∝ dτ

τ0

t

∫ égale…l’infini.

LaversioncosmologiqueduparadoxedeZénon,déjàévoquéedansuneautrevidéo.

Dugrainàmoudrepourdesphilosophes