le cadre des regimes stationnaires

Cours PC Brizeux Ch. E3 Rgimes stationnaires 21

- 21

C H A P I T R E E 3C H A P I T R E E 3 RGIMES STATIONNAIRES

1. LE CADRE DES REGIMES STATIONNAIRES

Dans tout ce chapitre, nous nous plaons dans le cadre des rgimes stationnaires, cest- -dire indpendants du temps. Aucune des grandeurs considres ici ne peut donc dpendre du temps, toute

drive du type

!

"" t

est donc identiquement nulle.

En particulier les distributions de charges seront telles que

!

"#" t

= 0. En ce qui concerne ltude du

champ lectrique, le cadre des rgimes stationnaires contient bien videmment celui des rgimes statiques associs des charges immobiles dans le rfrentiel dtude. Il est cependant plus large puisquon peut imaginer des distributions mobiles mais satisfaisant la condition nonce plus haut : imaginons par exemple le cas dun cylindre infini charg uniformment et se dplaant paralllement son axe.

Lquation de conservation de la charge implique quen rgime stationnaire, une distribution de

courants est ncessairement telle que

!

div j

!

= 0 . Ceci revient dire que le flux de

!

j est le mme travers toute section dun tube de courant : en rgime stationnaire, pour des circuits filiformes, lintensit est la mme en tout point du circuit . Elle est de plus videmment indpendante du temps (on parle souvent de courant continu).

Rq. La loi des noeuds est une autre consquence de div

!

j = 0. Sur la figure ci-dessous, un courant I se rpartit dans deux branches en I1 et I2. Si lon crit que le flux de

!

j est nul travers la surface ferme ! , on obtient, compte tenu des changements dorientation de surface au passage surface ouverte - surface ferme :

I1

I2

n

n

n

S2

S1

!

j dS= 0 = j dS

S

"" +#

"" j dSS1

"" + j dSS2

"" = $I + I1 + I2 do la loi des nuds : I = I1 + I2.


- 22

2. CHAMP ELECTRIQUE STA TIONNAIRE

2.1. Rappel de la loi de Coulomb

Considrons une distribution volumique de charges " (P) lintrieur dun volume #. Le champ

!

E stationnaire cr en tout point M de lespace est donn par :

!

E(M) =1

4"# 0

$(P)ur2

P%&

d& Cette expression est applicable pour toute distribution, mme dextension infinie. Elle est connue sous le nom de loi de Coulomb. Pour des distributions dextension finie, le potentiel V associ est calculable par :

V(M) = !!!# 14$%0 " (P)

r d#

!

u

!

d"

M

rP

Rq.1 Ces expressions stendent aux distributions limites surfaciques, liniques et ponctuelles en

remplaant lintgrale volumique en intgrale surfacique, curviligne ou simple somme. Rq.2 Lexpression du potentiel montre notamment quil tend vers 0 quand on sloigne linfini

de la distribution. Cest un choix qui rend unique la solution prise pour le potentiel.

2.2. Proprits fondamentales

2.2.1. Flux et divergence : Thorme de Gauss

Comme nous lavons remarqu au chapitre prcdent, lquation de Maxwell-Gauss est la mme

dans tout type de rgime. Les proprits associes sappliquent donc au champ lectrique stationnaire. Rappelons que cette quation scrit :

div

!

E =

!

"#0

Ainsi le flux de

!

E travers toute surface ferme scrit :

le flux de

!

E travers toute surface ferme est gal au quotient par %0 de la charge totale contenue dans le volume dlimit par cette surface :

!

E.dS=Qint" 0

S

##


- 23

Le thorme de Gauss permet par exemple, par un choix de surfaces judicieux, de calculer

!

E plus facilement que par la loi de Coulomb, dans des problmes forte symtrie o la direction du champ est connue priori.

Ainsi, pour des distributions symtrie sphrique, le champ lextrieur de la distribution est

le mme que si la charge tait rassemble en son centre.

2.2.2. Circulation et Rotationnel : potentiel V

En rgime stationnaire, lquation de Maxwell-Faraday scrit :

!

rot

!

E=

!

0 Tout champ vectoriel rotationnel identiquement nul drive dun gradient. Cest pourquoi nous

pouvons associer au champ

!

E un scalaire V, dfini une constante additive prs . Lusage veut quon ait en fait pos :

!

E =

!

" gradV On retrouve bien videmment la forme particulire de la relation liant en gnral le champ

lectrique aux potentiels V et

!

A en rgime stationnaire o le terme -

!

"r A

" t est identiquement nul

En outre, le thorme de Stokes transforme ces proprits locales en proprits intgrales : ainsi, tout champ lectrique stationnaire est circulation conservative : sa circulation le long dun contour ferm est toujours nulle.

!

C"

!

E.

!

dl = 0 : tout champ

!

E stationnaire est circulation conservative

De mme :

!

" C r E .dr

1C

2

# = V1 V2 La circulation dun champ lectrique stationnaire le long de tout contour allant dun point 1

un point 2 est gale la diffrence de potentiel entre le premier et le deuxime point. Dun point de vue topographique, nous pouvons dire, de faon un peu image, que le champ

lectrique stationnaire ne tourne pas. Plus concrtement, les lignes de champ, qui ne peuvent se refermer, sont orthogonales aux surfaces quipotentielles et diriges vers les potentiels dcroissants.

2.2.3. quation de Poisson

Combinons enfin div

!

E = "%0 et

!

E = -

!

gradV. Nous obtenons :

div (-

!

gradV) = "%0 => &V +

!

"#0

= 0


- 24

Cette quation, appele quation de Poisson, constitue en fait une quation locale relative au

potentiel V, quation qui le relie ses sources. Cest lintgration de cette quation sur une distribution de charges dextension finie, avec le choix

dun potentiel nul linfini, qui aboutit la loi de Coulomb du potentiel :

V(M) =

!

"###

!

14"#0

$(P)r

d#

! Remarquons enfin que les deux quations de Maxwell relatives

!

E permettent de construire totalement le champ lectrique stationnaire et contiennent notamment la loi de Coulomb qui en est une consquence .

2.3. Analogie champ lectrostatique champ gravitationnel

2.3.1. Force dinteraction gravitationnelle

La force dinteraction gravitationnelle qui

sexerce entre deux masses ponctuelles m1 et

m2 a pour expression :

!

F1" 2 = #Gm1m2

r2ur ,

force quexerce la masse m1 sur la masses m2 o G reprsente la constante de gravitation universelle

G = 6,67.10-11N.m2.kg-2.

m1

m2

r

!

ur

!

F1" 2

Cette expression est analogue celle de linteraction lectrostatique :

!

F1" 2 =q1q2

4#$0r2 ur .

Les diffrences fondamentales entre ces deux forces proviennent dune part du fait que linteraction gravitationnelle est forcment attractive alors que linteraction lectrostatique peut tre rpulsive, et dautre part du fait que la gravitation joue un rle ngligeable lchelle atomique face linteraction lectrostatique alors que cest le contraire lchelle macroscopique (la matire est globalement neutre).

2.3.2. Champ gravitationnel

On peut donc considrer que la masse m1 cre dans tout lespace un champ gravitationnel que peut

ressentir toute masse m2 place en son voisinage :

!

G = "Gm1r2ur .

Pour une distribution volumique de masse, nous aurons donc :

!

G(M) = "G (P)ur2

P# $

%%%d$ Cette expression est applicable pour toute distribution, mme dextension infinie. (P) reprsente la

masse volumique au point P.


- 25

2.3.3. Thorme de Gauss pour les champs gravitationnels

Lanalogie entre formelle entre ces deux types

dinteraction dites Newtonienne est la suivante :

Electrostatique Gravitation q m

!

14"# 0

-G Le thorme de Gauss de linteraction gravitationnel

est donc :

!

G.dS

S

"" = #4$GM int qui permet de dterminer le champ gravitationnel

!

G cre par une distribution de masse. Dans cette expression, Mint reprsente la masse comprise dans le volume dlimit par la surface ferme S.

Nous allons prsent tudier plus particulirement deux exemples de distributions de charges et les

champs et potentiels correspondants : - le condensateur plan idal - les distributions dipolaires

2.4. Le condensateur plan idal

2.4.1. Champ et potentiel

Nous modlisons un condensateur plan idal par deux plans conducteurs infinis parallles, distants de

e, et portant des densits superficielles uniformes et - sur leurs faces en regard :

!

E

!

E+

!

E+

!

C+

!

u

!

d"

M

rP


- 26

En ralit, un condensateur rel, de taille finie, est caractris par des effets de bord qui le

diffrencient du modle idal. Cependant, quand les dimensions des faces du condensateur sont grandes devant lpaisseur e, le condensateur se rapproche du modle idal, ce qui justifie son intrt.

La symtrie du systme montre que le champ

!

E est de la forme

!

E = E(z)

!

ez. En appliquant le thorme de Gauss un cylindre daxe z, interne au condensateur, et donc vide de

charges, on voit que

!

E est uniforme. En appelant enfin U la diffrence de potentiel entre les plaques, nous obtenons, en faisant circuler le champ dune plaque lautre : U = Ee.

Nous aurions pu aussi calculer directement le potentiel entre les plaques partir de lquation de

Poisson : par symtrie, le potentiel ne dpend que de z (les surfaces quipotentielles sont des plans

horizontaux). Lquation de Poisson entre les plaques devient &V = 0, soit

!

d2Vdz2

= 0. Do V = az + b.

Soit encore V =

!

Ue

z + b et enfin

!

E = -

!

gradV = -

!

dVdz

!

ez = -

!

Ue

!

ez.

Nous pouvons enfin calculer le champ en fonction de . Par superposition,

!

E est la somme des champs crs par chacun des plans :

Le plan cre le champ

!

E+ = -

!

"2#0

!

ez pour z < e, et

!

"2#0

!

ez pour z > e (il suffit dappliquer Gauss

un cylindre du type C+ ).

De mme le plan - cre

!

E- = +

!

"2#0

!

ez pour z < 0, et -

!

"2#0

!

ez pour z > 0.

Le champ

!

E est donc nul lextrieur des plaques et vaut -

!

"#0

!

ez entre les plans.

Rq. Nous retrouvons la discontinuit de la composante normale du champ

!

E la traverse dune

surface charge , gale

!

"#0

, consquence conjointe des quations de Maxwell et du modle

surfacique.

2.4.2. Capacit dun condensateur plan

Pour un condensateur rel, dont les plaques ont une surface S, la charge porte par la plaque charge

est q = S (lautre plaque porte alors la charge - q). Do q = %0 ES = %0

!

Ue

S. Cette charge est donc

proportionnelle la diffrence de potentiel entre les plaques : le facteur de proportionnalit est la capacit du condensateur, grandeur positive exprime en farads. Tout condensateur possde une capacit C telle q = CU. Pour le condensateur plan :

q = CU C capacit dun condensateur

condensateur plan C = %0

!

Se


- 27

2.4.3. Aspect nergtique

Nous savons quun condensateur possdant une charge q a galement une nergie qui sexprime par

EE =

!

12

!

q2

C

Nous pouvons exprimer diffremment cette nergie en faisant intervenir le champ

!

E cr entre les plaques du condensateur. En raisonnant sur lexemple du condensateur plan :

EE =

!

12

!

q2

C =

!

12

!

" 2S2e#0S

=

!

12

%0E2 Se =

!

12

%0E2 #

Cette dernire expression fait apparatre lnergie comme distribue dans le volume # =Se du

condensateur avec la densit volumique dnergie (ici uniforme) wE =

!

12

%0E2.

Nous verrons dans le prochain chapitre que ce rsultat est tout fait gnral :

A toute distribution de charges crant, priori dans tout lespace, un champ

!

E, est associe une nergie rpartie galement dans tout lespace,

avec la densit volumique wE =

!

12

%0E2

Cette nergie reprsente en fait lnergie ncessaire pour constituer la distribution de charges

(charges qui sont en interaction) et par la mme pour tablir le champ

!

E .

2.5. Distribution dipolaire

2.5.1. Potentiel cr grande distance par une distribution de charges quelconque

Parmi toutes les distributions de charges, les distributions dipolaires constituent un groupe

particulirement intressant : considrons en effet une distribution volumique caractrise par " en tout point dun volume fini # et dterminons le potentiel cr grande distance par cette distribution. Il sagit en fait de calculer V en M tel que, si on a choisi une origine quelconque O au voisinage de la distribution, la distance OM = r est grande devant les dimensions de la distribution elle-mme.

Do PM2 = (

!

PO +

!

OM)2 = r2 + OP2 - 2

!

OP.

!

OM . Soit, au premier ordre :

!

1PM

=

!

=1r

1+OP.OM

r2+ o

1r3"

# $

%

& '

(

) *

+

, -

Le potentiel en M se dveloppe alors en :

V(M) =

!

14"# 0r

!

"### "( P) d# +

!

"###

!

" (P)4#$0

OP.OMr3

d# +

!

"###

!

"(P)4#$0

o(

!

1r3

)d#


- 28

!

r

"

P

"

er

"

e!"

E

La premire intgrale reprsente simplement la charge totale de la distribution : on retrouve qu

grande distance, au premier ordre en

!

1r, le potentiel cr en M est celui dune charge ponctuelle ; la

distribution est dite alors monopolaire.

2.5.2. Distribution dipolaire : moment dipolaire

Par contre, si cette charge totale est nulle, on doit sintresser au deuxime terme quon peut crire :

!

14"# 0

[

!

"### "( P)

!

OP d#] .

!

r r3

, soit en posant

!

P =

!

"###"( P)

!

OP d#,

V(M) =

!

14"# 0

.P.rr3

+ o(

!

1r3

)

Le vecteur

!

P est appel moment dipolaire lectrique de la distribution, elle-mme dipolaire (si

!

P

est non nul !) : le potentiel cr grande distance nest plus en

!

1rmais en

!

1r2

. Si

!

P est nul, on doit

calculer le terme suivant du dveloppement, la distribution devenant au moins quadrupolaire... Revenons sur lexpression de

!

P, qui na dintrt que si la charge totale est nulle. On peut alors dcomposer cette dernire en charges positives " + de barycentre A+, et charges ngatives " -, de barycentre A-, avec les expressions :

!

"###" +(P) d# = (

!

"###" ( (P) d# = q

!

"### " +(P)

!

OP d# = q

!

OA+ et

!

"###" ( (P)

!

OP d# = - q

!

OA"

Do

!

P = q

!

OA+ - q

!

OA" = q

!

A"A+ On retrouve lquivalence de la distribution deux charges ponctuelles - q et q, places en A- et A+.

Ce rsultat montre en outre que

!

P est indpendant du choix de lorigine O, cest une grandeur intrinsque, caractristique de la distribution.

2.5.3. Champ cr : topographie

On retiendra donc les expressions classiques du potentiel et

du champ pour un diple lectrostatique :

V(M) =

!

14"# 0

P.rr3

!

E (M) =

!

14"#0

2Pcos$r 3

er +Psin$

r 3e$

%

& '

(

) *


- 29

La topographie du champ est indique sur la figure ci-dessous : les lignes de champ , ouvertes,

divergent partir des charges positives et convergent vers les charges ngatives :

!

P-q +q

2.5.4. Diple et champ extrieur : aspect nergtique

De mme que pour le condensateur plan, nous allons dgager un aspect nergtique du diple.

Cependant il ne sagira pas dune nergie propre du diple mais dune nergie dinteraction avec un champ extrieur

!

E : cest en quelque sorte lnergie des deux charges +q et -q du diple dans le champ cr

!

E. Comment dfinir cette nergie ? Si nous admettons qu une distribution de charges D1 crant le champ

!

E1 nous associons la

densit dnergie wE1=

!

12

%0E12, et une distribution D2 la densit wE2 =

!

12

%0E22, lensemble D1 + D2

qui cre par superposition le champ

!

E1 +

!

E2, nous devons associer la densit w =

!

12

%0(

!

E1 +

!

E2)2.

Remarquons ds prsent que w " wE1 + wE2 : les nergies, contrairement aux champs, ne sont

pas additives. La densit totale dnergie de la distribution comprend un terme dnergie mutuelle %0

!

E1.

!

E2 qui correspond aux interactions entre les charges de D1 et celles de D2. Cest cette nergie mutuelle que nous nous proposons de calculer dans lexemple du diple et dun

champ extrieur. Rappelons que lnergie potentielle dinteraction dune charge ponctuelle q et dun champ extrieur

!

E (non ncessairement uniforme) scrit :

Emut = qV o V est le potentiel associ

!

E au point o se trouve q.


- 30

!

u

!

d"

M

rP

Dans le cas du diple, Emut = qVA+ + (-q)VA- Mais VA+ - VA- = -

!

E .

!

A" A+ car le champ est quasi uniforme sur la petite distance

!

A" A+ des charges. Enfin, par dfinition, p = q

!

A"A+ moment dipolaire. Do :

Emut = -

!

p.

!

Eext nergie dun diple dans un champ extrieur.

2.5.5. Actions subies

Rappelons que dans un champ extrieur uniforme , un diple subit une force rsultante nulle

!

F = 0 (

!

F = q

!

E + (-q)

!

E =

!

0 ) . Il y subit un couple

!

C =

!

p )

!

E (

!

C =

!

OA" ) - q

!

E +

!

OA+ ) q

!

E = q (

!

A" A+ )

!

E). Lexpression prcdente de lnergie dun diple dans un champ extrieur nous permet de calculer la

force subie dans un champ non uniforme. Il suffit en effet dcrire que lnergie potentille dinteraction entre le diple et le champ extrieur est justement reli la force subie par le diple suivant la relation

!

Fel = -

!

gradEmut =

!

grad(

!

p.

!

E)

!

F el =

!

grad(

!

p.

!

E) : force subie par un diple dans un champ extrieur.

!

C =

!

p )

!

E : moment subi par un diple dans un champ extrieur.

3. CHAMP MAGNETIQUE STA TIONNAIRE

3.1. Rappel de la loi de Biot et Savart

3.1.1. Loi de Biot et Savart

Toute distribution de courants, dextension finie ou non, cre, en rgime stationnaire, un champ

magntique

!

B donn par la loi de Biot et Savart :

!

B =

!

04"

!

P" #

$$$!

j (P) )

!

PMPM 3

d#


- 31

Pour des circuits filiformes, la loi de Biot et Savart prend la forme simplifie :

!

B =

!

04"

!

C" I

!

dl )

!

PMPM 3

3.1.2. Application : champ sur laxe dune spire

Le problme admet laxe de la spire

comme axe de rvolution mais, comme le montre lallure des lignes de champ releves exprimentalement, seul laxe de la spire est une ligne de champ simple (on pouvait dailleurs le prvoir par symtrie). On se contentera donc du calcul du champ sur cet axe par la loi de Biot et Savart.

!

B =

!

04"

!

C" I

!

dl )

!

PMPM3

Or PM = cste = (z2 + a2)1/2 et

!

PM =

!

PO +

!

OM

I

En outre,

!

C"

!

dl )

!

OM = (

!

C"

!

dl))

!

OM =

!

0

Enfin,

!

C"

!

dl )

!

PO =

!

C" a dl

!

uz = 2$a2

!

uz

Do

!

B =

!

0I4"2" a2

PM3

!

uz

quon met sous la forme :

P

O M

a!

"

B

"

dl

!

B =

!

0I2a

sin3*

!

uz

La spire "enserre" donc les lignes de champ, comme un anneau. Si on considre le systme de

plusieurs spires coaxiales parcourues par le mme courant dans le mme sens, on obtient un solnode circulaire . Ce solnode canalise encore plus les lignes de champ dans son intrieur, et ceci dautant plus quil a une grande longueur. A la limite, sil est infiniment long, il "empche" les lignes de champ de sortir et le champ est identiquement nul lextrieur (noter le parallle avec le condensateur plan infini ). Nous examinerons ce systme au paragraphe 3.4 .


- 32

3.2. Proprits fondamentales

3.2.1. Circulation et rotationnel : Thorme dAmpre

En rgime stationnaire, lquation de Maxwell-Ampre scrit :

!

rot

!

B = 0

!

j Cette proprit locale de

!

B montre bien que ce champ tourne autour de ses sources : les courants. Ce fait est exprimentalement vrifi sur toutes les cartes de champ magntique stationnaire...

Lapplication du thorme de Stokes nous donne alors la proprit intgrale correspondante relative la circulation :

!

C"

!

B.

!

dl =

!

S""

!

rot

!

B.

!

dS =

!

S""

!

j .

!

dS

Cette dernire intgrale reprsente le courant enlac par le contour C, do :

!

C"

!

B.

!

dl = 0Ienlac

La circulation de

!

B le long dun contour ferm quelconque est gale au produit par 0 du courant algbrique enlac par ce contour.

!

C"

!

B.

!

dl = 0 Ienlac

! Il importe de remarquer que ce thorme nest pas valable en rgime variable o lquation de Maxwell-Ampr e scrit diffremment.

Rq. Le signe du courant dpend de celui du produit scalaire

!

j .

!

dS, donc de la convention dorientation de surface, elle-mme dpendante de la convention dorientation du contour. Le rsultat global est par contre videmment indpendant de ces conventions.

Dun point de vue pratique, le thorme dampre permet un calcul rapide du champ

!

B pour des distributions de courants forte symtrie : il ressemble en cela au thorme de Gauss pour

!

E .

3.2.2. Exemple dapplication du thorme dAmpre : champ magntique cre par un fil infini.

Calculons le champ

!

B cr par un fil infini vertical de rayon a parcouru par un courant dintensit I

rparti uniformment dans le fil avec la densit j =

!

I"a2

.

Tout plan vertical contenant le fil est plan de symtrie : le champ est donc orthogonal un tel plan, il est donc orthoradial (noter la diffrence avec

!

E). Le problme admet laxe du fil comme axe de rvolution et le module du champ ne dpend que de la distance r cet axe. En rsum le champ est de la forme

!

B = B(r)

!

r e " . Les lignes de champ sont des cercles horizontaux centrs sur laxe du fil.


- 33

Lutilisation du thorme dAmpre est donc ici vidente : on va faire circuler

!

B sur une ligne de champ. Le sens du courant tant connu, il oriente implicitement le fil et la logique veut quon choisisse le sens de parcours correspondant sur le cercle, ce qui donnera videmment un champ positif (mais on aurait pu faire linverse, le sens rel du champ tant indpendant de la convention choisie). On a alors sur ce cercle :

!

C"

!

B.

!

dr = 2 $r B(r).

Deux cas se prsentent suivant quon est

lintrieur ou lextrieur du fil :

r > a : I enlac = I => B(r) =

!

0"2#r

(mme rsultat

que pour un fil "mince")

r < a : I enlac = j $r2 = I (

!

ra)2 => B(r) =

!

0I2"

ra2

.

!

B

!

uz

!

ur!

u"

!

A

3.2.3. Flux et divergence

La premire quation de Maxwell, identique dans tous les rgimes scrit :

div

!

B = 0 Tout champ magntique

!

B est donc flux conservatif : son flux travers toute surface ferme est nul. Cest une proprit tout fait gnrale dun champ magntique.

le flux de

!

B travers toute surface ferme est nul :

!

S""

!

B.

!

dS =

!

0

Rq.

!

B tant divergence nulle, ses lignes de champ ne peuvent diverger partir de points source : il nexiste pas de "charge magntique". Par contre ces lignes de champ peuvent fort bien se refermer.

De la proprit de conservation du flux, il ressort notamment que : - le flux de

!

B est le mme travers toute section dun tube de champ magntique : un resserrement des lignes de champ magntique correspond donc forcment une intensification de ce champ.

- le flux de

!

B est le mme travers toute surface sappuyant sur un mme contour.


- 34

Nous retrouvons enfin le lien entre

!

B et le potentiel vecteur

!

r A sous la forme :

!

B =

!

rot

!

A Enfin, la relation liant

!

B

!

A est galement intressante sous forme intgrale. Prenant une surface S quelconque et exprimant le flux de

!

B travers cette surface, il vient :

!

S""

!

B.

!

dS =

!

C"

!

A .

!

dl

en utilisant la formule de Stokes : le flux de

!

B travers toute surface est gal la circulation de

!

A le long du contour ferm associ.

Nous admettrons enfin sans dmonstration la formule donnant lexpression du potentiel vecteur cr en un point M de lespace par une rpartition de courants confine dans un volume # , formule que nous donnons ici pour indication :

!

A (M) =

!

P" #

$$$!

04"

j (P)r

d#

On notera les analogies fortes entre cette formule et celle reliant le potentiel V une distribution de

charges " .

! Les deux quations locales relatives

!

B permettent de construire totalement le champ magntique stationnaire : elles contiennent notamment la loi de Biot et Savart qui peut en est une consquence .

Nous allons prsent tudier plus particulirement deux exemples de distributions de courants et les

champs et potentiels correspondants : - Le solnode circulaire infini - Le diple magntique

3.3. Le solnode circulaire

3.3.1. Champ et potentiel-vecteur

Idalement, un solnode circulaire idal est form dune infinit de spires circulaires de mme axe,

de mme rayon, parcourues par le mme courant et rparties rgulirement raison de n spires par unit de longueur du solnode .

En pratique, on ralise un enroulement hlicodal de pas trs faible (spires jointives). Le solnode a

en outre une longueur finie et donc des effets de bord. Nanmoins, il se rapprochera dautant plus du cas idal que le rayon R des spires sera faible devant la longueur L du solnode.


- 35

I... ...

Solnoide idal I Solnoide rel

Le problme admet laxe des cylindres comme axe de rvolution et les modules de

!

B et

!

A ne peuvent dpendre que de la distance r cet axe. En outre tout plan orthogonal cet axe est plan de symtrie,

!

B orthogonal ce plan est donc colinaire laxe des cylindres :

!

B = B(r)

!

r e "

C1

C2

C3

!

r e z

!

r e r

!

r e "

!

r e z

On peut nouveau utiliser le thorme dAmpre en prenant des contours rectangulaires comme

lindique la figure ci-dessus. On peut orienter ces contours de sorte que leur normale positive soit de mme sens que le courant dintensit I dans le demi-espace o on les considre : les courants ventuellement enlacs seront alors positifs.

La circulation du champ nest non nulle que sur les cts horizontaux du contour, de longueur

!

l l. Sur un contour tel que C1, il vient :

!

l (B(r1) - B(r2)) = 0 puisquaucun courant nest enlac..

!

B est donc uniforme lextrieur des cylindres. Pour les raisons invoques plus haut, il est identiquement nul : on peut dire que les courants canalisent et emprisonnent le champ lintrieur.

En utilisant le contour C3, il apparat que

!

B est galement uniforme lintrieur des cylindres. En utilisant le contour C2, on a :

!

l B - 0) = 0 n

!

l I => B = 0nI .

En rsum :

!

Bext =

!

0

!

B int = 0nI

!

r e z

On retrouve la discontinuit de

!

B la traverse de la nappe surfacique de courant que reprsentent les spires : cette discontinuit affecte la composante tangentielle de

!

B et si lon note js = nI le courant surfacique quivalent aux spires, il vient :

!

Bext -

!

B int = 0 js

!

e" #er = 0 j s#er


- 36

En ce qui concerne

!

A, sa direction est encore donne par des considrations de symtrie :

!

A est un vecteur polaire et tout plan contenant laxe des cylindres est un plan dantisymtrie.

!

A doit donc tre orthogonal un tel plan, il ne peut tre quorthoradial, son module ne dpendant que de r (symtrie cylindrique et extension infinie suivant z) :

!

A = A(r)

!

r e "

En faisant circuler

!

A le long de cercles centrs sur laxe, on lobtient en utilisant lgalit de cette circulation et du flux de

!

B, connu, travers la surface correspondante.

On retrouve les 2 cas :

r < a : 2$r A(r) = $r2 0nI => A(r) =

!

0nIr2

r > a : 2$r A(r) = $a2 0nI => A(r) =

!

0nIa2

2r

!

r e z

!

r e r

!

r e "

Notons la continuit de

!

A la traverse des spires. En outre, lintrieur du solnode, le potentielvecteur est tel que :

!

A =

!

12

0nI

!

ez " rer =12

B" r

Il est facile de montrer que ce rsultat est gnralisable tout champ magntique uniforme dans un

problme symtrie cylindrique.

A un champ magntique uniforme en symtrie cylindrique, on peut associer le potentiel vecteur

!

A =

!

12

!

B )

!

r r

3.3.2. Inductance propre - Gnralisation

Nous pouvons calculer le flux du champ magntique cr par le solnode travers la surface

dune spire : comme ce champ est uniforme et normal la surface des spires, nous obtenons :

+ = B$a2 = 0nI $a2

Notons que ce flux est bien du signe de I : si I est positif, le champ

!

B a le mme sens que laxe z qui est aussi la normale positive aux spires.

Pour un solnode rel proche du solnode idal, le nombre total de spires N et la longueur l du

solnode permettent de calculer le flux travers la totalit des spires :

, = N+ = N 0

!

Nl

I $a2 = 0

!

N2

l$a2 I = LI


- 37

Ce flux est donc proportionnel lintensit du courant circulant dans les spires : le facteur de

proportionnalit, positif, est appel inductance propre (ou coefficient dinductance propre), du solnode. Retenons pour le solnode :

L = 0

!

N2

l$a2

Ce rsultat est en fait gnral : tout circuit filiforme C, parcouru par un courant I cre dans tout

lespace un champ magntique

!

B (M) proportionnel lintensit I (cf. Biot et Savart). On peut dfinir le flux de

!

B travers la surface mme du circuit, appel flux propre du circuit. Ce flux, par lintermdiaire de

!

B, est lui-mme proportionnel I : on appelle inductance propre L du circuit filiforme la constante de proportionnalit qui ne dpend que de la gomtrie du circuit.

Si on choisit dorienter le circuit de sorte que I soit

positif,

!

B et

!

dS sont partout de mme sens et le flux galement positif : L est donc ncessairement positive.

Lunit lgale de L est le Henry (H) et lordre de

grandeur usuel des inductances disponibles en laboratoire est de 0,1 1 H.

!

B I

C

!

dS

En rsum :

, = L I

avec L > 0 en Henry.

Rq. On voit lanalogie entre L et la capacit propre C dun condensateur.

3.3.3. Aspect nergtique

Nous savons quune bobine dinductance L parcourue par une intensit I possde lnergie :

EB =

!

12

LI2

Si nous reprenons le cas du solnode, nous pouvons crire :

EB =

!

12

0

!

N2

l$a2 I2 =

!

12

!

B2

0l $a2

Cette dernire expression fait apparatre lnergie comme distribue dans le volume # = l $a2 du

solnode avec la densit volumique dnergie (ici uniforme) wB =

!

12

!

B2

0.

Nous verrons dans le prochain chapitre que ce rsultat est tout fait gnral :

A toute distribution de courants crant, priori dans tout lespace, un champ

!

B, est associe une nergie rpartie galement dans tout lespace,

avec la densit volumique wB = 12

!

B2

0


- 38

Cette nergie reprsente en fait lnergie ncessaire pour tablir le courant dans le circuit et par la mme pour tablir le champ

!

B.

3.4. Le diple magntique

3.4.1. Moment magntique dun circuit filiforme

A tout circuit filiforme nous associons un vecteur moment magntique dfini par :

!

m = -

!

S

dont lunit lgale est le T.m2.

Rq. La notion de moment magntique est "analogue" celle de moment dipolaire lectrique, mais son intrt est plus grand car le moment dipolaire lectrique dune distribution na de sens que si sa charge totale est nulle, alors que le moment magntique est une caractristique de toute distribution de courants dextension finie. En effet, une distribution de courants est au minimum dipolaire : il ny a pas de monople magntique. Ceci revient dire galement que toute de courants dextension finie se comporte grande distance "de la mme faon". Elle prend alors, nous allons le voir, le nom de diple magntique.

3.4.2. Champ cr : topographie

A grande distance, cest dire des distances grandes devant les dimensions propres dun circuit

filiforme, lexprience montre que la topographie du champ magntique cre par le circuit est analogue celle du champ lectrique cre par une distribution de charges dipolaire. Le circuit filiforme prend alors le nom de diple magntique. Il est rductible la donne de son moment magntique

!

m . Lanalogie des cartes de champ voque

prcdemment nous permet dadmettre une expression identique celle du champ lectrique dun diple lectrique soit, en coordonnes polaires :

Br =

!

04"

2mcos#r 3

B* =

!

04"

msin#r 3

avec symtrie de rvolution autour de laxe du diple. On admettra galement lexpression du potentiel

vecteur :

!

A = 04"

m # rr 3

= 04"

msin$r 2

e%

!

r e r

!

r e "

!

r B


- 39

Rq. Ceci peut paratre surprenant puisque, on la vu,

!

E et

!

B nont pas les mmes proprits , donc la mme topographie. Il faut bien comprendre que lquation des lignes de champ des deux types de diple ne sont valables que loin de ceux-ci.

En fait quand on se rapproche des diples, on constate bien que les lignes de champ de

!

E divergent partir du barycentre des charges positives et convergent vers le barycentre des charges ngatives : elles sont ouvertes.

Au contraire les lignes de champ de

!

B tournent autour de la boucle de courant : elles sont fermes.

-q +q

!

p

!

m

3.4.3. Diple et champ extrieur : aspect nergtique

Quand nous dplaons un circuit filiforme parcouru par un courant dans un champ extrieur

!

B, les forces de Laplace subies par ce circuit travaillent. Quand le champ

!

B est stationnaire, il est possible dassocier une nergie potentielle dinteraction ce travail.

Nous admettrons sans dmonstration son expression pour un diple magntique. Cette nergie

ressemble fortement celle du diple lectrique dans

!

E extrieur puisquelle scrit :

EPmut = -

!

m .

!

B

3.4.4. Actions subies

Nous allons tout dabord tablir un rsultat valable pour tout circuit filiforme plac dans un

champ extrieur

!

B uniforme. Tout circuit ferm plac dans un champ extrieur uniforme subit une force qui est la rsultante des forces lmentaires de Laplace sexerant sur les lments de circuit :

!

F = Idr " B=

C

# IdrC

#$

%

& & &

(

) ) ) " B= 0

Tout circuit filiforme plac dans un champ extrieur

!

B uniforme subit de la part de celui-ci une rsultante des forces de Laplace nulle.

Nous admettrons que le moment de ces forces de Laplace vaut :

!

C = m " B


- 40

De mme que pour la rsultante, cette expression reprsente donc le couple subi par tout circuit filiforme plac dans un champ extrieur uniforme .

Pour un circuit quelconque plac dans un champ non uniforme, les dimensions dun diple

magntique tant petites par rapport lchelle dtude, le champ varie peu sur des distances de lordre de ces dimensions et nous garderons lexpression du moment des forces de Laplace trouv prcdemment mme en cas de champ non uniforme.

En revanche la rsultante des forces de Laplace, non nulle, peut tre obtenue partir de lexpression

de lnergie donne prcdemment . Il suffit en effet dcrire, comme pour le diple lectrostatique :

!

FL = -

!

gradEpmut =

!

grad(

!

m.B) Nous donnons donc pour indication :

!

FL =

!

grad (

!

m .B) : force subie par un diple magntique dans un champ extrieur.

!

C = m " B : moment subi par un diple magntique dans un champ extrieur

le cadre des regimes stationnaires

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