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L’Univers... vu d’ailleursL’Univers... vu d’ailleursLa géométrie de l’espace dans lequel nous vivons est une propriété quenous pouvons mesurer sans en sortir. Sa forme topologique, en revanche,est une propriété globale qui ne serait évidente qu’à des dieux observantl’Univers du dehors... Et si nous essayions quand même ?

Jean-Philippe Uzan

L’univers (que d’autres appellent la Bibliothèque) se compose d’un nombre indéfini,et peut-être infini, de galeries hexagonales, avec au centre de vastes puits

d’aération [...]. Dans le couloir il y a une glace, qui double fidèlement les apparences.Les hommes en tirent conclusion que la Bibliothèque n’est pas infinie ;

si elle l’était réellement, à quoi bon cette duplication illusoire ?Jorge Luis Borgès, La Bibliothèque de Babel, 1944

es succès des modèles cosmologiques modernes – et plus géné-ralement de toute l’astrophysique – reposent sur une extrapola-tion à l’Univers dans son ensemble des lois physiquesdéterminées localement. Cette approche a été couron-née de succès avec la démonstration que les équa-tions locales de la gravité formulées par AlbertEinstein conduisaient à des modèles d’Uni-

vers dont les prédictions ont été très bien vérifiées. Cetteapproche a cependant une limitation, car la physique localene permet pas, à elle seule, de déterminer la structureglobale de notre Univers. Que peut-on observer de cettestructure? Cette question récurrente depuis plus d’unsiècle sera peut-être partiellement résolue grâce auxobservations du fond diffus cosmologique fourniespar le satellite wmap.

Dans le cadre des modèles de Big Bang décou-verts par Friedmann et Lemaître, l’espace tridi-mensionnel a une géométrie euclidienne (l’espaceordinaire de la géométrie classique où la sommedes angles d’un triangle est égale à 180 degrés),sphérique ou hyperbolique (où la somme des anglesd’un triangle est respectivement supérieure et infé-rieure à 180 degrés). Cette géométrie, liée au contenude l’Univers par les équations d’Einstein, est une pro-priété locale de l’espace. Cependant, pour une géométriedonnée, plusieurs structures globales, ou encore plusieurstopologies, sont envisageables. Par exemple, les géométrieslocales d’un plan, d’un cylindre ou d’un tore sont identiques(euclidiennes) et ces espaces ne diffèrent que par leurs propriétés glo-bales (voir l’article Dix autres mondes sont possibles, page 50). Parmi les trois

LL

Paire de cercles iden

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de trois ingrédients : la distribution ini-tiale du sable (les conditions initiales), lespropriétés locales du tambour, telles sa textureet sa géométrie, et la forme globale du tambour. Il en va demême des fluctuations de température du fond diffus cos-mologique qui sont la trace des fluctuations de densité dela matière dans l’Univers.

La topologie d’un espace change donc la nature desondes qui s’y propagent. Ainsi, dans un espace infini à unedimension et sans bord (une ligne droite par exemple),les ondes planes de toute longueur d’onde peuvent se pro-pager, tandis que sur un espace fini et toujours sans bord(comme le cercle), seules peuvent se propager les ondesdont la longueur d’onde est un sous-multiple du périmètre.La détermination des ondes pouvant se propager dansun espace de forme donnée est un problème difficile engénéral, mais qu’il nous faut impérativement résoudre sinous voulons simuler, c’est-à-dire prévoir, les vibrationsd’un Univers ayant une topologie donnée. Le cas des dif-férents espaces euclidiens est assez simple et peut êtrerésolu analytiquement, tandis que celui des espaces hyper-boliques (de courbure négative) est, pour le moment, unecomplète Terra incognita. Quant aux univers de géométrie

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géométries possibles de notre Univers, seule la géométriesphérique mène nécessairement à un espace de volumefini ; les autres conduisent à un univers infini, sauf si lecosmos possède une structure topologique non triviale(par exemple celle d’un 3-tore euclidien). Les questionssur la topologie de l’Univers rejoignent donc celles, plusanciennes, sur sa finitude.

Le fond et la formeL’observation du fond diffus cosmologique est certaine-ment la mieux adaptée à la recherche d’une topologie del’espace. En effet, ses photons ont été émis au même ins-tant dans tout l’Univers (environ 380 000 ans après le BigBang) et sont les plus anciens que l’on pourra jamaisobserver (voir l’article Le rayonnement fossile, page 44). Grâceà ce fond diffus, on sonde la structure de l’espace sur deséchelles de l’ordre de 6000 megaparsecs. De plus, les petitesfluctuations de température que l’on y observe et qui sontla trace des hétérogénéités engendrées lors des premiersinstants de l’Univers contiennent des informations sur laforme globale de l’espace. Pour comprendre pourquoi, repre-nons une image suggérée par Jean-Pierre Luminet del’Observatoire de Paris-Meudon. Quand on fait vibrer lasurface d’un tambour saupoudrée d’une fine couche desable, les grains se regroupent en petites dunes. Ces struc-tures s’alignent sur les zones de la peau du tambour quioscillent avec la plus faible amplitude. Elles sont caracté-ristiques des ondes sonores susceptibles de se propager àla surface du tambour. Ainsi, ces motifs sont la conséquence

1. Dans un espace euclidien à deux dimensions (a), la sur-face de dernière diffusion est un cercle (en blanc). Si un observa-

teur y découvre deux paires de points strictement identiques (en rougeet en vert), il en déduira peut-être que son univers, pour euclidien qu’il

soit, est refermé sur lui-même en un cylindre (b). Les points d’une pairesont alors identiques parce qu’il s’agit d’un seul et même point obser-

vable dans deux directions distinctes du fait de la topologie particulière ducylindre. Dans le cas tridimensionnel (c), la surface de dernière diffusionest une sphère et, si elle se recoupe elle-même, ce sont des paires de cerclesidentiques (en rouge) qui nous en informeront. Des simulations de la sur-face de dernière diffusion dans un espace torique montrent qu’il est pos-sible d’y déceler ces paires de cercles. On les met en évidence en accolanttrois copies de cette surface (ci-contre, à gauche).

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sphérique, avec Roland Lehoucq, duservice d’Astrophysique du CEA, et le mathé-

maticien américain Jeffrey Weeks, nousen avons déterminé les « modes devibration» pour deux familles topo-logiques infinies : les espaces com-pacts de géométrie sphérique dontles domaines fondamentaux sont deforme lenticulaire ou prismatique(d’où leurs noms d’espaces-lentille etd’espaces-prisme).

Les grands cerclesÀ quoi reconnaît-on un fond diffus émis dans un espacedoté d’une topologie non triviale ? Les photons du fonddiffus cosmologique sont tous émis au même instant desorte que la surface de dernière diffusion est une sphèrecentrée autour de la Terre et dont le rayon (environ 13 mil-liards d’années-lumière) correspond au chemin parcourupar ces photons depuis la date de leur émission. Imaginonsque nous vivions dans un espace euclidien, mais à deuxdimensions et de topologie cylindrique (voir la figure 1).La surface de dernière diffusion devient un cercle dessinésur le cylindre. Si son diamètre est plus grand que le péri-mètre du cylindre, cette surface se recoupe. De manièregénérale, si l’Univers est doté d’une topologie, la surfacede dernière diffusion peut se recouper elle-même. Dansnotre espace à trois dimensions, une intersection de la sphèrede dernière diffusion avec elle-même est un cercle qui estobservable dans deux directions différentes du ciel. La topo-logie cosmique se traduit, par conséquent, par l’existencede paires de cercles inscrits sur le fond du ciel et le longdesquels les fluctuations de température du fond diffussont strictement identiques. En utilisant cette idée, NeilCornish, de l’Université du Montana, David Spergel, del’Université de Princeton et Glenn Starkmann, de l’Uni-versité de Cleveland, ont proposé une méthode de détec-tion de la topologie cosmique. La beauté de cette méthodeest que sa mise en application ne nécessite pas de présup-poser une topologie particulière du cosmos et qu’elle estégalement indépendante du modèle cosmologique au senslocal du terme, c’est-à-dire des hypothèses que l’on fait surles conditions initiales des fluctuations de densité et surla valeur des paramètres cosmologiques. De surcroît, onpeut reconstruire la topologie recherchée à partir de la posi-tion et de l’orientation relative de ces cercles. En effet, lescercles sont localisés sur les parois du domaine fondamentalde l’espace, de sorte que la découverte d’une paire de cerclesnous donne deux de ces parois. Cependant, pour appli-quer cette méthode, on a besoin d’une carte du fond dif-fus cosmologique couvrant tout le ciel et d’une bonnerésolution angulaire. Celle qui a été obtenue par le satel-lite COBE avait une résolution d’environ dix degrés et ne

permettait pas cette étude ; elle pourra être utilisée sur lesdonnées du satellite WMAP.

Subsistent cependant quelques difficultés. En effet, lesfluctuations du fond diffus ne sont pas simplement duesaux hétérogénéités de la densité de matière dans le plasmaprimordial au moment de l’émission du fond diffus. Deuxautres sources viennent perturber cette information : la pre-mière est le mouvement du plasma à la surface de der-nière diffusion qui décale la longueur d’onde des photons

par effet Doppler. La seconde est nommée effet Sachs-Wolfe intégré et correspond aux fluctuations de tem-pérature engendrées sur le trajet des photons, entre leurémission et leur réception sur Terre (lors de l’interac-tion avec le champ de gravité variable des structuresen formation). D’autres effets tendent à voiler l’infor-

mation sur la topologie : les effets d’avant-plan, les dis-torsions gravitationnelles et notre propre galaxie dont lerayonnement doit être soustrait aux observations. Pour véri-fier que l’information topologique survit à toutes ces défor-mations et que les algorithmes de recherche seront capablesde la déceler dans les données, il nous fautsimuler des cartes du fond diffus pro-duites par diverses topologies, cequi n’est possible que depuisrécemment. Avec Alain Riazuelo,du Service de physique théoriquedu CEA, R. Lehoucq et J. Weeks,nous avons produit de telles cartesde haute résolution, à partir descalculs que nous avions faits sur les oscil-lations existant dans des espaces de topologies variées.Les premiers résultats indiquent que nos algorithmes derecherche sont encore capables de retrouver la topologiede l’espace dans les données, malgré l’effet Doppler etl’effet Sachs-Wolfe intégré. Des études sont en cours pourdéterminer les dégâts causés par les émissions d’avant-plan.

En attendant leur conclusion, on peut essayer de limi-ter le nombre des topologies acceptables pour décrire l’es-pace grâce au spectre de puissance des fluctuations detempérature du fond diffus. Ce spectre fournit deux infor-mations troublantes. Tout d’abord, les résultats de WMAPindiquent une géométrie de l’espace très proche du cas eucli-dien (courbure nulle), mais avec une valeur très légèrementpositive de la courbure (géométrie sphérique). Cela a desconséquences encourageantes en ce qui concerne la possi-bilité de détecter la topologie cosmique.

En effet, dans la plupart des espaces hyperboliques pos-sibles (espaces de courbure négative), l’échelle topologique(le diamètre de la dimension refermée, patent dans le casdu cylindre) est de l’ordre de grandeur du rayon de cour-bure de l’espace, lequel est beaucoup plus grand que la taillede l’Univers observable. Dans un tel espace, la plupart desobservateurs ne voient pas de répétition du domaine fon-damental : leur surface de dernière diffusion est troppetite pour se recouper. Ceci signifie que, dans les espaceshyperboliques, on est presque toujours dans l’impossibi-lité de détecter la topologie, même si elle existe. Dans lesunivers plats (euclidiens), il n’y a pas d’échelle caractéris-tique, car ils sont invariants par dilatation : l’échelle topo-logique est alors arbitraire et n’a, a priori, aucune raison

2. Des espaces sphériques (à courburepositive) repliés de manière particulière et quel’on nomme espaces-lentille amènent des recou-pements de la surface de dernière diffusionconstituant des séries de cercles identifiablesaprès une rotation.

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d’être reliée à la taille de l’Univers observable. Autrementdit, si nous vivions dans un univers parfaitement eucli-dien et que nous détections une structure topologique, ellenous poserait un problème de coïncidence aiguë : pourquoicette échelle topologique est-elle si finement ajustéequ’elle est à la fois plus petite que l’Univers observable etsuffisamment grande pour ne pas avoir laissé de trace fla-grante dans d’autres types d’observations ? Finalement lecas le plus favorable est celui d’une courbure légèrementpositive, c’est-à-dire d’un Univers à géométrie sphérique.Dans ce cas, plus la topologie devient « tortueuse », plusl’espace devient petit, sa taille apparente n’étant qu’une illu-sion produite par la répétition d’une cellule de base, oudomaine fondamental, minuscule à l’échelle de l’Universobservable. En conséquence, il existe toujours un grandnombre (un nombre infini, en fait) d’espaces sphériquespour lesquels l’échelle topologique est plus petite quel’échelle de courbure. Si nous découvrions une topologiedans un espace sphérique, il nous resterait à comprendreson origine, mais il n’y aurait pas à proprement parler deproblème de coïncidence. Ces espaces sphériques, généra-lement délaissés dans le contexte cosmologique, offrentdonc des propriétés topologiques intéressantes étudiéesdepuis plusieurs années dans notre groupe (J.-P. Luminet,Evelyse Gausmann, de l’Université de Sao Paulo, R. Lehoucq,J. Weeks et A. Riazuelo).

Topologie et fluctuationsL’autre aspect intriguant du spectre de puissance des fluc-tuations fourni par WMAP est la confirmation d’un mys-tère soulevé par le satellite COBE dans les années 1990 : lesfluctuations de grand diamètre apparent sont anormale-ment faibles. De même que les ondes qui se propagent dansun espace circulaire ont une longueur d’onde sous-multipledu périmètre qui ne saurait excéder la longueur de ce péri-mètre, il se pourrait que cette limitation vers les grandeséchelles soit un signe de la finitude du cosmos selon l’unede ces dimensions.

Dans le contexte d’un univers torique eucli-dien, les données de WMAP nous condui-sent à conclure que, si la constantecosmologique est nulle (si l’expansioncosmique n’accélère pas), il ne peutexister que huit « copies » du domainefondamental du tore à l’intérieur del’univers observable (et au plus 49 sila constante cosmologique est non nulle).Nous avons mené une étude semblable pourles espaces sphériques lentilles, excluant aussi une grandepartie de ces espaces. Usn travail préliminaire sur les don-nées de WMAP suggère que le modèle qui reproduit lemieux le spectre de puissance est celui d’un tore dedomaine à peu près cubique : ses trois longueurs carac-téristiques mesureraient environ deux tiers du diamètrede l’Univers observable.

Toutefois, seule la découverte de corrélations spé-ciales, tels les cercles superposables, constituerait la preuved’une topologie cosmique. Comme Borgès l’avait pressenti,les effets de miroir engendrés par la topologie seraient une

preuve de la finitude de l’Univers. Il existe peut-être d’autresindices. Ainsi, si l’Univers est doté d’une topologie, il existedes directions privilégiées et, par conséquent, l’hypothèsed’isotropie et d’homogénéité globale de l’Univers n’estpas respectée. Il s’ensuit que l’espace n’est pas vu exacte-ment de la même façon depuis chacun de ses points, cequi a peut-être des implications décelables sur le fond dif-fus. Pour le moment, elles n’ont pas été étudiées.

Les résultats de WMAP relancent l’intérêt des cosmolo-gistes pour une hypothèse longtemps délaissée. La simula-

tion de cartes du fond diffus aura été une étapedécisive dans le développement des algo-

rithmes de recherche de la topologie. Il nousreste à prouver que la qualité des donnéesse prête à cette étude. Si c’est le cas, uneréponse pourrait être donnée d’ici unan, sinon il faudra attendre les résultats

de la mission Planck pour conclure.

Espace euclidien sans topologie

Nombre de répétitionsdu domaine fondamentaldans l'Univers observable :

Ampl

itude

des

fluc

tuat

ions

Taille angulaire des fluctuations90° 2°

1 0851351720,26

3. Dans un univers fini, la taille des fluctuations du plasma pri-mordial est limitée. On a simulé le spectre de puissance de ces fluctua-tions pour différents univers toriques (courbes colorées). Par rapportau cas d’un univers euclidien infini (en blanc) ces univers toriques pré-sentent un déficit de fluctuations d’autant plus important que le domainefondamental du tore est petit, c’est-à-dire qu’il se répète un grand nombrede fois dans l’Univers observable. Un univers dont le domaine fonda-mental est presque aussi grand que l’Univers observable (en orange) estquasiment impossible à discerner de l’Univers sans topologie.

Jean-Philippe UZAN travaille à l’Institut d’Astrophysique de Pariset au Laboratoire de Physique Théorique d’Orsay.

J. WEEKS, R. LEHOUCQ et J.-P. UZAN, Detecting topology in a nearly flatspherical universe, in Class. Quant. Grav., n° 21, p. 1529, 2003.

R. LEHOUCQ, L’univers a-t-il une forme ? Paris, Flammarion, 2002.

J. WEEKS, The shape of space, Marcel Dekker, 2002.

A. RIAZUELO, J.-P. UZAN, R. LEHOUCQ et J. WEEKS, Simulating cosmic micro-wave background maps in multi-connected universe, astro-ph/0212223.

J.-P. UZAN, A. RIAZUELO, R. LEHOUCQ et J. WEEKS, Cosmic microwavebackground constraints on multi-connected spherical spaces, astro-ph/0303580.

Auteur&Bibliographie

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