lame julien hillairet co-directeurs de thèse jérôme sokoloff / sylvain bolioli applications du...
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LAME
Julien HILLAIRET
Co-Directeurs de thèse
Jérôme SOKOLOFF / Sylvain BOLIOLI
Applications du formalisme des faisceaux gaussiens à la modélisation de l'interaction
d'une onde électromagnétique avec un objet 3D complexe
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Champincident
Champrayonné
? Les méthodes rigoureuses (MoM,...) ne sont pas adaptées à des problèmes de grandes tailles. ONERA : ELSEM3D
Les méthodes asymptotiques (lancer de rayons,...) sont adaptées en haute fréquences. ONERA : FERMAT
Contexte de l'étude
Calcul de champs rayonnés
Plusieurs approches :
Solution complémentaire : les faisceaux gaussiens (FG)Avantages :
Nombre de faisceaux < nombre de rayonsPas de caustiques
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Sommaire
État de l'art : les faisceaux gaussiens (FG)Propriétés principalesProblématiques
Interactions avec des parois de forte courbureSpectre d'un faisceau gaussien conforme.
Diffraction d'un faisceau gaussienDiffraction 2D par un demi-plan infini ;Diffraction 3D par une surface rectangulaire finie.
Applications des faisceaux gaussiensContexte de la propagation EM.
Conclusion et perspectives
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Surface de décomposition
État de l'art
Décomposition des champs EM en FG
Champ EM
(connu)
Champ initial défini sur une surface courbe
Décomposition en FG
Propagation des FG
Faisceaux gaussiens
Interactions des FG avec la scène
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Décomposition de champs en FG
Décomposition de champs peu divergents
Décomposition multi-modale : surfaces courbes(F.Minato, O.Pascal, J.Sokoloff).
Décomposition de champs divergents
Décomposition de Gabor / frames de Gabor : surfaces planes ou cylindriques(L.Felsen,C.Letrou, D.Lugara) ;
Décomposition sur une surface sphérique en champ lointain (P.Schott) ;
Décomposition multi-faisceau gaussiens : surfaces courbes(A.Chabory).
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Faisceaux Gaussiens
Un FG est un faisceau dont :L'amplitude transverse est gaussienneLa propagation peut se formuler analytiquement
E(x,y,z=0)
Plan transverse
Décomposition en spectre d'ondes planes du champ
dans le plan initial (analytique)
Méthodes asymptotiques
Propagation du faisceau
Formulations analytiques
E(x,y,z=0)
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z
Propagation d'un FG
Plusieurs formulations analytiquesApproche classique (multimodale) ;Approche spectrale : paraxiale ;Approche spectrale : champ lointain.
R
Matrice de courburecomplexe du FG
Zone de validitéformulation champ lointain
Zone de validitéformulation paraxiale
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Interaction d'un FG
Interaction d'un FG avec une surface courbe
1 FG incident → 1 FG Réfléchi et 1 FG Transmis (lois ABCD/phase matching)
1 FG incident → Champs Réfléchi et Transmis (coefficients R&T analytiques puis décomposition en FG)
Surface très courbe : Faisceaux Gaussiens “Conformes”
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Problèmes restés ouverts en début de thèse:Interactions avec des parois de forte courbure (FGC) ;
Diffraction d'un FG.
Problématiques
??
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Interactions avec des parois de forte courbure
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Parois de forte courbure
Contexte originel : interactions antennes/radômesradômes de forte courbure
Surface (virtuelle)de décomposition en FG
Décomposition en FG
Lorsque l'angle entre : • la normale n à la surface en M • la direction du vecteur de Poynting P local d'un faisceau,
est important :
la décomposition en FG n'est plus valide !
zoom
Champ Transmis
Champ Réfléchi
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Parois de forte courbure
Introduction aux Faisceaux Gaussiens ConformesDes faisceaux adaptés aux surfaces courbes
Surface de décompositiontrès courbe
Champ incident
Approche : Calcul des courants équivalents J et M sur la surface Décomposition de ces courants en courants « gaussiens »
Rayonnement de ces courants « gaussiens » : FGCapproximation quadratique de la surface localehypothèse grande distance
Allure gaussiennesur la surface
Expressionanalytique
Evolution linéaire de la phase
sur la surface
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Parois de forte courbure
Interaction d'un FGC avec un diélectriqueExemple : radôme de pointe
r
Le champ incident sur la paroi interne est décomposé en FGC
La propagation analytique des FGC est valide à grande distance
Pour procéder comme avec les FG : spectre d'ondes planes
Spectre d'ondes planes d'un FGC•Généralement défini sur un plan
•Un FGC est défini pour une surface courbe !
?
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Ainsi,
Spectre d'ondes planes d'un FGC (1)
On part des intégrales de courants de Franz :
On utilise le développement en ondes planes d'un point source (Weyl, 1919):
avec :
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Inversion de l'ordre d'intégration
Méthode du Point col
Spectre d'ondes planes d'un FGC (2)
Opérateurs différentiels
Expression spectrale d'un FGC
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Spectre d'ondes planes d'un FGC (3)
avec
Spectre d'ondes planes d'un FGC :
Métrique de la surface courbe
Forme (pseudo) quadratique
Matrice de courbure complexe
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kxs ,ky
s
Évaluation par la méthode du col Expression analytique
en zone proche
Évaluation asymptotique du spectre d'ondes planes
Obtention d'une expression analytique du champ
Problème : validité de l'évaluation asymptotiqueValide en zone lointaine
Limitations en zone proche dues à la position du point col : une évaluation numérique est possible, mais coûteuse en temps de calcul.
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Diffraction d'un faisceau gaussien
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Diffraction d'un FG
ContexteCas de figure d'un FG interceptant une arête
BibliographieMéthodes de champs (OG/TGD, TUD...)Méthodes de courants (OP/TPD...)
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Diffraction 2D d'un FG : approches utilisables
Cas d'un plan semi-infini (problème 2D) :
Deux solutions exactes : Utilisation du Spectre d'Ondes Planes (SOP) ;Théorie du Point Source Complexe (PSC).
Une solution approchée :Hypothèse de l'Optique Physique (OP)
Plan conducteur semi-infini
Effet de
l'arête?
Es
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Diffraction 2D d'un FG : approches utilisables
Utilisation du spectre d'ondes planesLe FG incident est décomposé en ondes planes ;
On connaît le champ diffracté par chacune des ondes planes (Sommerfeld, 1896) ;
Le champ diffracté par le FG correspond à la somme des ondes planes diffractées.
Plan conducteur semi-infini
EdFG
Formulation exacte et intégrale.
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Diffraction 2D d'un FG
Plan conducteur semi-infini
Paramètres :Incidence : 45°
Polarisation TE
Centre du faisceau sur l'arête
Calcul du champ proche
Spectre d'ondes planes (intégration numérique)
Spectre d'ondes planes
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Diffraction 2D d'un FG : approches utilisables
Théorie du point source complexe
Le rayonnement d'un point source dont les coordonnées sont complexes correspond approximativement à un FG paraxial.
L'expression du champ diffracté par un point source complexe correspond à celle d'un pointsource réel (Stratton, 1941).
Plan conducteur semi-infini
r
Formulation exacte et analytique.
~ ~
~
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Diffraction 2D d'un FG
Point source complexe(expression analytique)
Plan semi-infini : Point source complexe
Plan conducteur semi-infini
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Diffraction 2D d'un FG : approches utilisables
Hypothèse de l'Optique Physique (OP)On calcule le courant électrique OP sur le demi-plan :
On calcule le champ rayonné par ce courant :
Évaluation asymptotiqueExpression analytique.
Plan conducteur semi-infini
Er
Hi(S)
n̂Formulation approchée
et analytique.
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Diffraction 2D d'un FG
Optique Physique(expression analytique)
Plan semi-infini : Optique Physique
Plan conducteur semi-infini
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Diffraction 2D d'un FG
Plan semi-infini : comparaisons des approchesSpectre d'ondes planes
(intégration numérique)Optique Physique
(expression analytique)
Champ rayonné lointain
Différences : en zone proche et en dehors des directions principales de rayonnement
Φ
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Diffraction d'un FG
Plan semi-infini : bilan
OPPSC(FG parax.)
SOP
2D
3D(vect.)
Exact
Analytique
Approx.
Analytique
Approx.
Analytique
Exact
1 intégrale
Exact
2 intégrales
Astigmatis.
Polarisation
Compromisentre
précisionet temps de
calcul
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S
Diffraction 3D par un FG : surface finie et OP
OP pour une surface finie (3D) :
Évaluation asymptotique. Hypothèses :
Point d'observation en zone lointaine ;
Matrice de courbure du FG incident constante sur la surface éclairée ;
“Découpage” du domaine d'intégration
HHi
Courant de l'OP sur la surface S
avec
Es
Forme canoniquepropice à l'utilisation
de la méthode du point col
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Développement asymptotique connu
1er terme analytique
Diffraction 3D d'un FG : Optique Physique
« Découpage » du domaine d'intégration (1)
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A B
D C
Même approche :(4 intégrales doubles
avec 2 bornes)
approximations uniformes
A BC
D
4 termes analytiques
2 Développements asymptotiques uniformes en cascade
4 termes an.
Diffraction 3D d'un FG : Optique Physique
« Découpage » du domaine d'intégration (2)
Finalement : le développement asymptotique global correspond à la somme de 1+4+4=9 termes analytiques.
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Diffraction 3D d'un FG
Application numérique (1)
dBPlaque :• taille : 20x20
FG incident : centre en (x,y,z)=(10,0,10)
angle zenith : 0°
angle azimuth : 0°
Observation : angles zenith : -90° à 90°
angle azimuth: 0°
distance obs : 1000
composante E
Légende :
• Intégration numérique OP
• Expr. Analytique OP
• Différence
Très bonne correspondance entre intégration numérique
et expression analytique.
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Diffraction 3D d'un FG
Application numérique (2)
dB Plaque :• taille : 20x20
FG incident : centre en (x,y,z)=(0,0,50)
angle zenith : 0°
angle azimuth : 0°
Observation : angles zenith : -90° à 90°
angle azimuth: 0°
distance obs : 1000
composante E
E
Légende :
• Intégration numérique OP
• Expr. Analytique OP
• Méthode des Moments (MoM)
• Différence entre MoM et OP analytique
Très bonne correspondance entre OP numérique et OP analytique
partout.
Bonne correspondance entre OP et MoM
pour les premiers lobes.
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Diffraction 3D d'un FG
Application numérique (3)
dB Plaque :• taille : 10x10
FG incident : centre distant de 30 angle zenith : 45°
angle azimuth : 0°
Observation : angles zenith : -90° à 90°
angle azimuth: 0°
distance obs : 1000
composante E
E
i=45°
E
Légende :
• Intégration numérique OP
• Expr. Analytique OP
• Méthode des Moments (MoM)
• Différence entre MoM et OP analytique
E
Légende :
• Intégration numérique OP
• Expr. Analytique OP
• Méthode des Moments (MoM)
• Différence entre MoM et OP analytique
E
Bonne correspondance entre OP numérique et OP analytique
partout.
Bonne correspondance entre OP et MoM
pour les premiers lobes.
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Diffraction 3D d'un FG
Application numérique (4)Plaque :• taille : 10x10
FG incident : centre distant de 50 angle zenith : 45°
angle azimuth : 0°
Observation : angles zenith : -90° à 90°
angle azimuth: 37°
distance obs : 1000
composantes E et E
dB
i=45°
obs
=37°
EE
Légende :
• Intégration numérique OP
• Expr. Analytique OP
• Méthode des Moments (MoM)
• Différence entre MoM et OP analytique
Bonnes correspondances entre OP numérique et OP analytique.
Correspondances entre OP et MoM
uniquement pour les premiers lobes.
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Diffraction 3D d'un FG : synthèse
Domaine de validité de la solution analytique
Hypothèses :
Haute-fréquence ;
Optique Physique ;
Observation en zone lointaine ;
Matrice de courbure constante sur la surface
Type de surface :
conductrice et rectangulaire ;
Taille minimum : 5λ x 5λ (OP) ;
Pas de taille maximum ;
Faisceaux gaussiens :
Angle d'incidence maximum : environ 60° ;
formulations pour FG paraxiaux ou champ lointain.
Exemple de temp de calcul :
MoM (référence) : 30 min
OP numérique : 2 min
OP analytique : 1 sec
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Applications des FG
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Applications des FG
Utilisation du lancer de faisceaux gaussiens :
Radômes diélectriques mono/multi-couches
Propagation EM indoor
Propagation EM outdoor (couverture telecom)
εr 3
εr 2
εr 1
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Applications des FG : propagation
Exemple : propagation EM sur de grandes distances
Le champ incident sur le plan est décomposé en FG (paraxiaux);
On compare avec la résolution de l'équation parabolique (code ONERA-LAME, EPEE3D) ;
Le sol conducteur est modélisé par le théorème des images ;
Indice de réfraction de l'atmosphère = 1
planconducteur
(1 GHz)
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Faisceaux Gaussiens (45 min)Équation parabolique (6h30)
Plan parallèle à la direction de propagation
Applications des FG : propagation
Champ réfléchiChamp procheChamp lointain
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Applications des FG : propagation
Plan transverse à la direction de propagation (Composante principale (E
x), à 500m du plan)
coupe
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Application des FG : propagation
Exemple : Propagation dans une valléedB
ouverture circulaire uniforme ;
décomposée en 472 FG(lointain) ;
=30° (>20°).
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Conclusion et perspectives
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Conclusion
Parois diélectriques très courbes :formulation du spectre d'ondes planes d'un FGC ;calcul numérique des interactions ;calcul analytique pour des parois en zone lointaine.
Diffraction d'un FG2D :
2 formulations exactes : SOP/PSC1 formulation approchée : OP
3D : 2 formulations approchées : OPnon uniformeUniforme (sans singularités ou discontinuités)
Applications des FG radômes contexte de propagation EM
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Perspectives
Mathématiques :Développements asymptotiques possibles ?Modification de la forme des FGC ?Diffraction 3D : triangle
Physiques :Utilisation des FGC pour des radômes très courbes Applications des FG à des problèmes complets
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Lancer de faisceaux gaussiens
Surface de faible courbure diélectriques ou métalliques :
faisceaux gaussiens « classiques ».
Surface de forte courburediélectrique ou métallique:
faisceaux gaussiens conformes.
Arête diffractante métallique :
diffraction d’un faisceau gaussien « classiques ».
Radôme diélectrique/multicouches : f.g. « classiques » et conformes.
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Merci pour votre attention
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Re[exp(j k g(x))] pour g(x) = x^2 - 4x
x
Développement asymptotique d'intégrales
Principe (phase stationnaire)
xs
Point stationnaire :
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Configuration des mesures
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Configuration des mesures
Mesures de champs diffractés
Dipôle
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Application du spectre d'ondes planes d'un FGC
Configuration
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Application du spectre d'ondes planes d'un FGC
Champs incidents sur la surface
Page 53/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007
Application du spectre d'ondes planes d'un FGC
Champs transmis