labouidya com-num_master 2012 (chapitre iii)
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Labouidya Com-num_master 2012 (Chapitre III)TRANSCRIPT
Pr. Ouidad LABOUIDYA COMMUNICATIONS NUMÉRIQUES
Pr. Ouidad LABOUIDYA [email protected]
Master Réseaux et Télécommunications
2011 - 2012
Pr. Ouidad LABOUIDYA COMMUNICATIONS NUMÉRIQUES
PLAN DU COURS
Chapitre I : Introduction aux communications numériques.
Chapitre II : Modulations et transmission en bande transposée.
Chapitre III : Codages et transmission en bande de base.
ENSEIGNEMENT DES COMMUNICATIONS NUMERIQUES
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Pr. Ouidad LABOUIDYA COMMUNICATIONS NUMÉRIQUES
PLAN DU COURS
Chapitre I : Introduction aux communications numériques.
Chapitre II : Modulations et transmission en bande transposée.
Chapitre III : Codages et transmission en bande de base.
ENSEIGNEMENT DES COMMUNICATIONS NUMERIQUES
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CHAPITRE III : CODAGES ET TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
1. Introduction
2. Mise en équation
3. Classification
4. Codes bande de Base (BB) usuels
5. Transmission en Bande de Base
6. Conclusion
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1. INTRODUCTION
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
Signal en Bande de Base (BB) Signal n’ayant pas subit de
transposition en fréquence
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1. INTRODUCTION
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
En général, les lignes de transmission ne laissent pas passer la composante
continue d'un signal, ce qui les rend mal adaptées à la transmission
d'information binaire en bande de base.
Les récepteurs répartis le long de la ligne et les transformateurs placés à ses
extrémités éliminent cette composante continue, ce qui rend impossible de
transmettre et de recevoir une longue suite de 1 ou de 0.
Il est donc important de modifier les suites binaires afin de mieux les adapter
aux caractéristiques des différents liens de communication.
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1. INTRODUCTION
CHAPITRE III
En effet, le signal binaire est une suite de 0 et de 1. Si on observe ce signal, la
composante continue est forte et implique beaucoup de puissance électrique à
dépenser.
Une étude spectrale du signal binaire de base montre que la majorité du
spectre se trouve en basse fréquence, or les basses fréquences sont difficiles
à transmettre.
En bande de base, il n'y a pas de modulation par définition, il est donc nécessaire
de travailler le signal de base binaire par un codage pour améliorer les
performances de transmissions et diminuer la consommation électrique.
En plus, le codage pourra faciliter les mécanismes de synchronisations des
horloges entre l'émetteur et le récepteur.
Codages et transmission en bande de base
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1. INTRODUCTION
CHAPITRE III
Un codage en bande de base ≠ codage de source ou canal
Consiste à :
o Choisir une forme d’impulsion de tension
o des niveaux de tension
Ceci afin de transmettre un débit D dans un canal de bande passante B.
Le codage en BB assure :
o une DSP compatible avec la fonction de transfert du canal,
+ o transmission de la fréquence horloge.
Codages et transmission en bande de base
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1. INTRODUCTION
CHAPITRE III
Source
Destination
Codage de la source
Codage du canal
Codage BB
Décodage BB Décodage
du canal
Décodage de
la source
CANAL
Chaine de transmission en bande de base :
Codages et transmission en bande de base
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1. INTRODUCTION
CHAPITRE III
Codage NRZ
Codage bipolaire
Codage Manchester
Codage de Miller
Exemples de codage en BB :
Codages et transmission en bande de base
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1. INTRODUCTION
CHAPITRE III
De
nsité
Sp
ectr
ale
de p
uis
sa
nce
De
nsité
Sp
ectr
ale
de p
uis
sa
nce
De
nsité
Sp
ectr
ale
de p
uis
sa
nce
De
nsité
Sp
ectr
ale
de p
uis
sa
nce
Codage NRZ
Codage bipolaire
Codage Manchester
Codage de Miller
DSP correspondantes :
Codages et transmission en bande de base
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1. INTRODUCTION
CHAPITRE III
Principales qualités d’un codes :
La largeur de la plage de fréquence du spectre doit être la plus étroite
possible.
La répartition fréquentielle de la puissance peu de puissance sur les
fréquences faibles, mais aucune puissance à la fréquence nulle.
Le codage de l’horloge Synchronisation de l’horloge du récepteur sur
le signal reçu.
Codages et transmission en bande de base
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2. MISE EN EQUATION
CHAPITRE III
Le but du codage est d’adapter la suite de bits à transmettre aux
caractéristiques de la transmission.
Le codeur transforme une suite 𝑑𝑘 𝑘≥0 initiale généralement binaire (de
bits) en une suite codée 𝑎𝑘 𝑘≥0 (de symboles) généralement binaire ou
ternaire.
Puisqu’il n’y a pas de modulation par transposition en fréquence, le codage
est dit en bande de base :
la plage de fréquences utilisée par le signal issu de la suite codée est la
même que celle de la suite initiale s(t).
dans ce cas, le codeur génère à partir d’une fonction g(t) le signal a(t).
𝒔 𝒕 = 𝒅𝒌 𝜹 𝒕 − 𝒌𝑻𝒃𝒌
𝒂 𝒕 = 𝒂𝒌 𝒈 𝒕 − 𝒌𝑻𝒃𝒌
Filtre de
mise en
forme g(t)
Source binaire Signal émis en BB
Codages et transmission en bande de base
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2. MISE EN EQUATION
CHAPITRE III
𝑎𝑘 pris dans un alphabet de tension {A0, A1, · · · , AM−1} à M niveaux de
tension possibles (cas d'un codage de tension M-aire),
g(t) une forme d'impulsion (ex : rectangulaire de durée T, triangulaire de durée
T, impulsion de Nyquist de durée T).
T est la durée du symbole transmis avec T = n.Tb, (transmission d'un n-uplet
d'éléments binaires choisi parmi M = 2n éléments possibles).
On a donc en sortie du codeur ligne :
Le débit binaire D = 1/Tb (en bits/s),
la rapidité de modulation R = D/log2(M) (en Bauds).
Codages et transmission en bande de base
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CHAPITRE III
Exemple 1 : cas binaire avec une fonction rectangulaire g (t)
• M = 21 ,
• 1 seul élément binaire transmis pendant T = 1.Tb ,
• 𝑎𝑘 peut prendre les amplitudes A0 = 0 et A1 = +a.
2. MISE EN EQUATION
Codages et transmission en bande de base
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CHAPITRE III
Exemple 2 : cas quaternaire avec une fonction rectangulaire g (t)
• M = 22 = 4, n = 2 ,
• 2 éléments binaires transmis simultanément, T = 2.Tb
• 𝑎𝑘 peut prendre par exemple les amplitudes A0 = -1, A1 = +1, A2 = -3 et A1 = +3.
(Cas d’un format ou code bipolaire)
2. MISE EN EQUATION
Période significative
Codages et transmission en bande de base
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CHAPITRE III
Densité Spectrale de Puissance (DSP) d'un signal codé :
Le signal émis a(t) est sous forme d’un produit de convolution :
On remarquera que la fonction g(t) est déterministe, nous pouvons donc
calculer sa transformée de Fourier G(f) (Voir cours traitement du signal).
Par contre a(t) est aléatoire car issue d'un signal binaire lui-même aléatoire, on
ne peut donc calculer sa transformée de Fourier A(f). Par contre, on peut
calculer sa densité spectrale de puissance (DSP) 𝛾𝑎𝑎 𝑓 à partir de
l'autocorrélation 𝑅𝑎𝑎 𝜏 :
où 𝑅𝑎𝑎 𝜏 est donnée par :
𝑅𝑎𝑎 𝜏 = 𝐸 𝑎(𝑡)𝑎∗(𝑡 − 𝜏) = lim
𝑇→∞
1
𝑇 𝑎(𝑡)𝑎∗(𝑡 − 𝜏)𝑇
2−𝑇
2
𝑑𝑡
2. MISE EN EQUATION
𝑎 𝑡 = 𝑔 𝑡 ∗ 𝑠 𝑡 = 𝑔 𝑡 ∗ 𝑑𝑘 𝛿 𝑡 − 𝑘𝑇𝑏𝑘
= 𝑎𝑘 𝑔 𝑡 − 𝑘𝑇𝑏𝑘
Codages et transmission en bande de base
𝐷𝑆𝑃(𝑎) = 𝑇. 𝐹. (𝑅𝑎𝑎)
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CHAPITRE III
Densité Spectrale de Puissance (DSP) d'un signal codé :
On aboutit à la Formule de Bennet :
En général, la source est sans "mémoire", i.e. :
𝑅𝑎𝑎 𝑛 = 𝐸 𝑎𝑘 ∙ 𝑎𝑘+𝑛 = 𝐸 𝑎𝑘 𝐸 𝑎𝑘+𝑛
= 𝐸 𝑎𝑘2
= 𝑎 2 C’est-à-dire Γ𝑎 𝑛 = 0.
2. MISE EN EQUATION
𝛾𝑎𝑎 𝑓 = 𝐺(𝑓)2 𝜎𝑎2
𝑇+ 𝑎 2
𝑇2 𝛿(𝑓 −
𝑘
𝑇)
𝑘
+ 2
𝑇 Γ𝑎 𝑛 cos (2𝜋𝑛𝑓𝑇)
𝑛
𝐷𝑆𝑃 𝑎 𝑓 = 𝐷𝑆𝑃 𝑔 𝑓𝜎𝑎2
𝑇+ 𝑎 2
𝑇2 𝛿(𝑓 −
𝑘
𝑇)
𝑘
+ 2
𝑇 Γ𝑎 𝑛 cos (2𝜋𝑛𝑓𝑇)
𝑛
Codages et transmission en bande de base
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CHAPITRE III
Densité Spectrale de Puissance (DSP) d'un signal codé :
La suite {𝑎𝑘} est aléatoire, de caractéristiques :
Moyenne : 𝑎 = 𝐸 𝑎𝑘
Variance : 𝜎𝑎2 = 𝑉𝑎𝑟 𝑎𝑘 = 𝐸 𝑎𝑘
2 − 𝑎 2 = 𝑎2 − 𝑎 2
Autocorrélation : 𝑅𝑎𝑎 𝑛 = 𝐸 𝑎𝑘 ∙ 𝑎𝑘+𝑛 = Γ𝑎 𝑛 + 𝑎 2
où Γ𝑎 𝑛 = 𝑅𝑎𝑎 𝑛 − 𝑎 2 est la fonction d’autocorrélation des {𝑎𝑘} centrés.
Rappels mathématiques :
Si X est une variable aléatoire discrète à valeurs dans un ensemble dénombrable
fini, en notant ses valeurs 𝑥1, … , 𝑥𝑛 et 𝑝1, … , 𝑝𝑛 les probabilités correspondantes,
alors son espérance mathématique est définie par :
𝐸 𝑋 = 𝑥𝑖𝑝𝑖
𝑛
𝑖=1
2. MISE EN EQUATION
Codages et transmission en bande de base
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CHAPITRE III
Densité Spectrale de Puissance (DSP) d'un signal codé :
On obtient alors dans le cas d'un code BB à symboles indépendants et
identiquement distribués (même probabilité d'apparition pour chaque symbole) :
Et donc :
2. MISE EN EQUATION
Codages et transmission en bande de base
𝛾𝑎𝑎 𝑓 = 𝐺(𝑓)2 𝜎𝑎2
𝑇+ 𝑎 2
𝑇2 𝛿(𝑓 −
𝑘
𝑇)
𝑘
𝛾𝑎𝑎 𝑓 =𝜎𝑎2
𝑇𝐺(𝑓) 2 +
𝑎 2
𝑇2 𝐺(
𝑘
𝑇 )
2
𝛿(𝑓 −𝑘
𝑇)
𝑘
Spectre continu Spectre de raies
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CHAPITRE III
Densité Spectrale de Puissance (DSP) d'un signal codé :
La densité spectrale de puissance 𝛾𝑎𝑎 𝑓 d'un signal numérique a(t) est
constituée d'éventuelles raies et du module au carré de la transformée de
Fourier G(f ) de l'impulsion g(t).
Parmi les propriétés recherchées dans certains codes en bande de base, celle
de la présence de raies à la fréquence d'horloge du code (fhorl−code = 1/T) est très
importante.
Cette propriété permet la synchronisation du récepteur à l'aide par exemple
d'une PLL, ....
2. MISE EN EQUATION
Codages et transmission en bande de base
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CHAPITRE III
3. CLASSIFICATION
Terminologie des codes en lignes :
Valence : Nombre d‘états significatifs du signal numérique.
Etat :
• une amplitude
• une fréquence
• une phase
• Valeur constante
Significatif : représentatif d'un symbole
Polarité : Signe possible du signal
signal unipolaire : valeurs ≥ 0 ( 0, +1, +2, . . .) ou ≤ 0 ( 0, -1, -2, . . .)
signal antipolaire : valeurs symétriques par rapport à 0, sans 0 (±1, ±2, . . .)
signal bipolaire : signal antipolaire, plus la valeur 0
Codages et transmission en bande de base
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CHAPITRE III
3. CLASSIFICATION
Terminologie des codes en lignes :
Exemples :
Codages et transmission en bande de base
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CHAPITRE III
3. CLASSIFICATION
Terminologie des codes en lignes :
Exemples :
Bivalent
Unipolaire
Bivalent
Antipolaire Tétravalent
Antipolaire
Bivalent
Bipolaire
Un signal antipolaire permet ainsi de distinguer entre une absence de transmission et
la transmission d'un message constant qui correspondrait à la séquence 0000000… .
Codages et transmission en bande de base
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CHAPITRE III
3. CLASSIFICATION
Les codes en BB peuvent être classés suivant les arguments ci-après :
Codes (ou formats) NRZ et RZ,
RZ = Return to Zero : l'impulsion utilisée repasse par zéro pendant T
NRZ = Non Return to Zero : l'impulsion utilisée ne repasse pas par zéro pendant T
Codes (ou formats) M-aires unipolaires ou antipolaires,
M-Aires : information codée sur plusieurs niveaux de tension
Les codes unipolaires , un seul signe, càd toutes les différentes amplitudes
possibles de ak pour un codes M-aire sont toutes positives (ou toutes négatives)
leurs moyennes ne sont pas nulles.
Les codes antipolaires sont symétriques par rapport à 0, ils peuvent être à
moyenne statistique nulle.
Codes avec ou sans mémoires
Codes BB sans mémoire : transcodage systématique.
Codes avec mémoire utilisent les valeurs des bits précédemment transmis
Codages et transmission en bande de base
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4. CODES BANDE DE BASE (BB) USUELS
CHAPITRE III
Code NRZ (Non Return to Zero)
Il s’agit de coder les éléments binaires un par un (code binaire) par un certain niveau
de tension, sans retour de la tension au niveau 0 pendant la durée d’un symbole
(Non Retour à Zéro, NRZ). On distingue les codes NRZ unipolaires et les codes
NRZ antipolaires.
Code NRZ unipolaire
Exemple :
Codages et transmission en bande de base
unipolaire
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4. CODES BANDE DE BASE (BB) USUELS
CHAPITRE III
Code NRZ unipolaire
La DSP du signal binaire NRZ unipolaire :
g(t) = a RectT (t) G(f) = a T sinc(𝜋𝑓𝑇)
• 𝑎𝑘 ∈ 0 ; 1 𝑒𝑡 :
• Moyenne : 𝑎 = 1 2
• Variance : 𝜎𝑎2 = 𝑎2
− 𝑎 2 = 1 2 − 1 4 = 1 4
• Autocorrélation : Γ𝑎 𝑛 = 𝑅𝑎𝑎 𝑛 − 𝑎 2 = 0 (source sans mémoire)
On obtient alors, en appliquant la formule de Bennet :
(voir chapitre II partie I)
Codages et transmission en bande de base
𝛾𝑎𝑎 𝑓 =𝑎2 𝑇
4
sin𝜋𝑓𝑇
𝜋𝑓𝑇
2
+ 𝑎2
4 𝛿(𝑓)
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4. CODES BANDE DE BASE (BB) USUELS
CHAPITRE III
Code NRZ antipolaire
Le signal binaire NRZ antipolaire est obtenu à partir d’une impulsion rectangulaire
g(t) de durée T et d’amplitude a et de l’alphabet {−1,+1}.
Exemple :
1
0
Codages et transmission en bande de base
0
1
Horloge antipolaire
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4. CODES BANDE DE BASE (BB) USUELS
CHAPITRE III
Code NRZ antipolaire
Code simple, utilisé couramment entre l'ordinateur et ses périphériques.
codage antipolaire dans lequel le signal n'est jamais nul.
Par conséquent, le récepteur peut déterminer la présence ou non d'un signal.
Codages et transmission en bande de base
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4. CODES BANDE DE BASE (BB) USUELS
CHAPITRE III
Code NRZ antipolaire
La DSP du signal binaire NRZ antipolaire :
g(t) = a RectT (t) G(f) = a T sinc(𝜋𝑓𝑇)
• 𝑎𝑘 ∈ −1; 1 𝑒𝑡 :
• Moyenne : 𝑎 = 0
• Variance : 𝜎𝑎2 = 𝑎2 − 𝑎 2 = 1
• Autocorrélation : Γ𝑎 𝑛 = 𝑅𝑎𝑎 𝑛 − 𝑎 2 = 0 (source sans mémoire)
On obtient alors, en appliquant la formule de Bennet :
𝛾𝑎𝑎 𝑓 = 𝑎2 𝑇sin 𝜋𝑓𝑇
𝜋𝑓𝑇
2
Codages et transmission en bande de base
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4. CODES BANDE DE BASE (BB) USUELS
CHAPITRE III
Code NRZ antipolaire
La DSP du signal binaire NRZ antipolaire donne :
Le lobe principal est de largeur 1/T et contient 91% de la puissance du signal.
𝑎2 𝑇
𝐷𝑆𝑃
𝑓 1/ 𝑇 2/ 𝑇 3/ 𝑇
𝛾𝑎𝑎 𝑓 = 𝑎2 𝑇sin 𝜋𝑓𝑇
𝜋𝑓𝑇
2
Codages et transmission en bande de base
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CHAPITRE III
Code RZ (Return to Zero)
Les éléments binaires sont codes un par un (code binaire) et la tension passe à zéro
avant la fin d’un symbole.
Code RZ unipolaire
Dans le cas du code binaire RZ unipolaire, le 0 est codé par 0 et le 1 par une
tension passant de « a » à 0 au cours de la durée d’un symbole.
Exemple :
La DSP est très semblable à celle du RZ bipolaire (voir ci-dessous) + Raie de
synchronisation à la fréquence d’horloge 1/T.
4. CODES BANDE DE BASE (BB) USUELS
Codages et transmission en bande de base
unipolaire
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CHAPITRE III
Code RZ bipolaire
Le signal binaire RZ bipolaire est obtenu à partir d’une impulsion rectangulaire de
durée θ < T (typiquement θ = T/2) et d’amplitude a et de l’alphabet {−1,+1}.
Exemple :
Code ternaire (3 niveaux) simple, limite les interférences entre symboles, permet
le codage de l'horloge.
4. CODES BANDE DE BASE (BB) USUELS
Codages et transmission en bande de base
Horloge bipolaire
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Code RZ bipolaire
La DSP du signal binaire RZ bipolaire a pour expression :
La DSP est très semblable à celle du signal NRZ antipolaire, si ce n’est que les
lobes sont deux fois plus larges.
4. CODES BANDE DE BASE (BB) USUELS
CHAPITRE III
𝛾𝑎𝑎 𝑓 = 𝑎2 𝑇sin 𝜋𝑓𝑇
𝜋𝑓𝑇
2
𝑎2 𝑇
𝐷𝑆𝑃
𝑓 2/ 𝑇 4/ 𝑇 6/ 𝑇
Codages et transmission en bande de base
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CHAPITRE III
Code NRZI (Non Return to Zero Invert)
Le code NRZI est une variante du NRZ. Mais attention son nom est trompeur, il ne
s'agit pas du code NRZ inversé. Pour un 1 le signal reste constant, et pour un 0 le
signal est inversé en milieu de période d'horloge.
Exemple :
4. CODES BANDE DE BASE (BB) USUELS
Horloge
Codages et transmission en bande de base
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CHAPITRE III
Code NRZI (Non Return to Zero Invert)
Code binaire, indépendant de la polarité, adapté à la transmission photonique.
Le codage NRZI est utilisé pour le FDDI, fast ethernet ...
Le codage NRZI possède de nombreux avantages, dont :
• La détection de la présence ou non du signal
• La nécessité d'un faible courant de transmission du signal
Par contre, il possède un défaut : la présence d'un courant continu lors d'une
suite de 1, gênant la synchronisation entre émetteur et récepteur.
4. CODES BANDE DE BASE (BB) USUELS
Codages et transmission en bande de base
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CHAPITRE III
Code biphase appelé aussi Manchester
Exemple :
4. CODES BANDE DE BASE (BB) USUELS
+ a
- a
Le signal biphase est obtenu à partir de l’impulsion représentée figure ci-dessous
et de l’alphabet {−1,+1}. Le bit transmis est caractérisé par la présences d’un front
montant ou descendant en T/2.
Horloge
Codages et transmission en bande de base
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Code biphase appelé aussi Manchester
La DSP du signal biphase a pour expression :
la densité spectrale du codage Manchester est nulle pour f=0 et "proche de zéro" à
son voisinage. De ce fait, ce signal logique codé peut être transmis facilement par
couplage inductif (transformateur) à l'inverse des signaux TTL, NRZ, RZ polaire, RZ
binaire qui possèdent une densité spectrale maximale au voisinage de f=0
4. CODES BANDE DE BASE (BB) USUELS
CHAPITRE III
𝑓 4/ 𝑇
𝐷𝑆𝑃
2/ 𝑇 6/ 𝑇
𝛾𝑎𝑎 𝑓 = 𝑎2 𝑇4 sin4 𝜋𝑓𝑇/2
𝜋𝑓𝑇 2
Codages et transmission en bande de base
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CHAPITRE III
Code biphase appelé aussi Manchester
Code binaire, équilibré, conservation de l'horloge, spectre très large (le double).
Codage utilisé par Ethernet.
Caractéristiques du codage Manchester :
• Bonne résistance au bruit (2 niveaux)
• Bonne adaptation aux supports à bande passante large
• Beaucoup de transitions, donc facilité de synchronisation d'horloge
Le principal inconvénient de ce code réside dans la grande largeur de son
spectre, ce qui le confine aux supports à large bande comme les câbles coaxiaux
4. CODES BANDE DE BASE (BB) USUELS
Codages et transmission en bande de base
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CHAPITRE III
Code de Miller appelé aussi "Delay mode"
Reprend les principes du codage Manchester. Un 1 est représenté par un front,
descendant ou montant au milieu de la période d'horloge. Pour un 0, il n'y a pas de
front. Et à partir de deux 0, le signal permute au début de à chaque période, ceci
afin de ne pas avoir de signal continu.
Exemple :
4. CODES BANDE DE BASE (BB) USUELS
Horloge
Codages et transmission en bande de base
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CHAPITRE III
Code de Miller appelé aussi "Delay mode"
Code binaire dense, conservation de l'horloge et indépendance de la polarité.
Les caractéristiques du codage de Miller sont les suivantes :
• permet des débits élevés sur support à bande passante limitée
• une puissance non nulle est transmise pour la fréquence nulle, ce qui peut
introduire des distorsions
Le principal inconvénient de ce code tient en une moins grande immunité vis-à-
vis du bruit que les codes précédents.
4. CODES BANDE DE BASE (BB) USUELS
Codages et transmission en bande de base
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CHAPITRE III
Code bipolaire simple appelé aussi AMI "Alternate Mark Inversion"
Exemple :
Code ternaire, équilibré, indépendant de la polarité, dérive de l'horloge (suite de 0).
4. CODES BANDE DE BASE (BB) USUELS
dm1 le m ème bit de la sous-suite des bits à 1
Exemple fondamental où l’on peut agir sur les corrélations entre symboles Pour
modifier le spectre. Il s’agit d’une transmission avec un alphabet ternaire ak ∈ {−1,
0,+1} où l’on code les bits 0 par le symbole 0 et les bits 1 alternativement par +1 et −1.
Horloge
Codages et transmission en bande de base
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CHAPITRE III
Exercices d’application :
EXERCICE 1 :
On envoie la suite de bits : 01001110.
Quels sont les signaux correspondants en NRZ, RZ, NRZI, Manchester, Miller et AMI?
EXERCICE 2 :
Dans les trames normalisées E1, on utilise le code Bipolaire AMI qui consiste à coder
un 0 par une absence de tension électrique et un 1 par une tension alternativement
positive et négative.
1) Quelle est la suite binaire codée de la figure ci-dessous ?
2) Sachant qu'une trame E1 correspond à un débit de 2 Mbits/s, quelle est la durée
d'un moment élémentaire (durée d'un signal numérique) ?
4. CODES BANDE DE BASE (BB) USUELS
Codages et transmission en bande de base
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CHAPITRE III
Code bipolaire entrelacé d'ordre 2
Construction de 2 sous-suites à partir de la sous-suite des bits à 1 :
la sous-suite des 1 pairs et celle des 1 impairs.
Chaque sous-suite est indépendamment codée en alternance.
Exemple :
Spectre très étroit, code complexe qui ne résout pas le problème lié aux longues
suites de 0. Les longues suites de 1 présentent un battement dont la fréquence
est réduite (de moitié) par rapport au codage bipolaire simple.
4. CODES BANDE DE BASE (BB) USUELS
Horloge
Codages et transmission en bande de base
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CHAPITRE III
Code Bipolaire Haute Densité d'ordre n HDBn (High Density Bipolar) :
Même codage que le code AMI + une transformation des suites de plus de n
zéros basée sur la violation de l'alternance :
le (n+1)ième zéro éventuel est alors substitué, en le représentant comme un 1
(bit de viol noté V), mais en violant la règle d'alternance des signes.
Afin de conserver une valeur moyenne nulle au signal, on est amené à alterner la
polarité des "viols" entre eux. Mais il se peut que le récepteur ne sache plus
distinguer un symbole d’un bit de viol :
ce qui entraîne l'emploi d'une autre substitution notée B (bit de bourrage), de
même polarité (signe) que le bit de viol V qui le succède et placée en tête de
groupe des (n+1).
4. CODES BANDE DE BASE (BB) USUELS
Codages et transmission en bande de base
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CHAPITRE III
Code Bipolaire Haute Densité d'ordre n HDBn (High Density Bipolar) :
Une suite consécutive de (n+1) bits à 0 est codée soit par :
(a) : suite de n zéros suivis d'un bit de viol : [000...00] → [000...0V]
ou
(b) : suite formée d'un bit de bourrage (noté B), n-1 zéros, suivis d'un bit de viol;
les bits B et V ayant même polarité : [000...00] → [B00...0V]
Pour assurer l'équilibrage :
On choisit la forme (a) si le nombre de bits à 1 suivant le dernier bit de viol est
impair, la forme (b) sinon.
4. CODES BANDE DE BASE (BB) USUELS
Codages et transmission en bande de base
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CHAPITRE III
Code Bipolaire Haute Densité d'ordre n HDBn (High Density Bipolar) :
Remarques :
• le premier bit à 1 (suivant un bit de viol) est codé avec la valeur inverse du bit
de viol qui le précède.
• On considère que la suite est conventionnellement précédée d'un bit de viol.
• Dans une très longue suite de zéros tous les blocs successifs (sauf parfois le
premier) sont codés dans la forme (b).
A la réception un bit x est détecté comme bit de bourrage s’il s’agit d’un niveau ±a
suivi de deux 0 et d’un bit de même polarité que x.
4. CODES BANDE DE BASE (BB) USUELS
Codages et transmission en bande de base
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CHAPITRE III
Code Bipolaire Haute Densité d'ordre n HDBn (High Density Bipolar) :
Exemple :
Exercice d’application :
4. CODES BANDE DE BASE (BB) USUELS
Horloge
Codages et transmission en bande de base
Horloge
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CHAPITRE III
Codes par blocs nBmL ou à multi niveaux ou à transformation de valence
Il code (pas nécessairement de façon unique) chaque bloc de n bits binaires (B)
par un bloc de m symboles pris dans un alphabet de taille L.
L'alphabet L étant généralement binaire, ternaire, ou plus rarement quaternaire
(noté resp. B, T, Q).
La condition de faisabilité s'écrit : 2n ≤ Lm
Notation : nBmL, par exemple 4B5B
Certains codes précédents peuvent être perçus comme des codes par blocs
(surtout si le bloc à coder est réduit à un seul bit n=1) :
Exemple :
• RZ bipolaire ∈ 1B/2T (2T : 2 symboles dans un alphabet de 3 éléments {-a ,0 ,+a}),
• Manchester ∈ 1B/2B ( 2B : 2 symboles dans un alphabet de 2 éléments {-a ,+a})
4. CODES BANDE DE BASE (BB) USUELS
Codages et transmission en bande de base
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CHAPITRE III
Codes par blocs nBmL ou à multi niveaux ou à transformation de valence
De par leur nature, ces codages supposent une meilleure qualité de transmission,
notamment obtenue par fibre optique, car ils sont sensibles aux parasites.
Les codages par blocs entraînent une implémentation plus complexe que les
codages en ligne vus précédemment car ils sont plus sensibles à la diaphonie et
offrent un rapport signal à bruit moins élevé. Par contre, ils permettent de
diminuer la fréquence du signal de transmission grâce à une plus grande
redondance d'information.
Les codages par blocs sont généralement associés à des codages en ligne,
notamment sur des supports en cuivre qui sont sujets aux perturbations
électromagnétiques. Par exemple, les réseaux ATM utilisent une association
4B5T+NRZI.
4. CODES BANDE DE BASE (BB) USUELS
Codages et transmission en bande de base
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CHAPITRE III
Codes par blocs nBmL ou à multi niveaux ou à transformation de valence
Exemple : code 2B1Q, codage à quatre niveaux
La condition de faisabilité s'écrit : 2n ≤ Lm soit : 22 = 4 ≤ 41 = 4
Remarque : Transmission simultanée de deux bits .
4. CODES BANDE DE BASE (BB) USUELS
Codages et transmission en bande de base
a
a
a
a
a
T
2B : 2 bits binaires
1Q : 1 symbole dans
un alphabet de taille 4
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CHAPITRE III
Codes par blocs nBmL ou à multi niveaux ou à transformation de valence
Exemple : code 2B1Q, codage à quatre niveaux
Densité spectrale de puissance d’une suite binaire aléatoire
– de 0 à 1/T → 90% de la puissance totale
– Maximum de la puissance à f = 0
4. CODES BANDE DE BASE (BB) USUELS
Codages et transmission en bande de base
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CHAPITRE III
Codes par blocs nBmL ou à multi niveaux ou à transformation de valence
Exemple : code 2B1Q, codage à quatre niveaux
• Avantages : Débit doublé
• Inconvénients :
– Rapport S/N détérioré
– Perte de la synchronisation sur les séquences de bits identiques
– Le canal doit passer le continu
– Nécessité de maintenir la polarité (repérer les fils)
• Applications : RNIS, HDSL
Remarques :
La plupart de ces codes acceptent plusieurs variantes. Par exemple en inversant la
convention de codage de la parité (0/1) ou en modifiant les conditions initiales.
4. CODES BANDE DE BASE (BB) USUELS
Codages et transmission en bande de base
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CHAPITRE III
Exercices d’application :
EXERCICE 1 : Code CMI (Coded Mark Impulsion)
En se basant sur la définition de ce code, compléter le chronogramme suivant.
Conclure.
4. CODES BANDE DE BASE (BB) USUELS
Codages et transmission en bande de base
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CHAPITRE III
Exercices d’application :
EXERCICE 1 : Code CMI (Coded Mark Impulsion)
En se basant sur la définition de ce code, compléter le chronogramme suivant.
Conclure.
Interprétations : Code CMI (Coded Mark Impulsion), ce code est une synthèse du
code AMI pour le 1 et le code Manchester pour le 0. Son spectre a la même forme
que celui du Manchester + une raie pour 𝑓 = 1 𝑇 que l’on peut isoler par filtrage
pour restituer l’horloge.
4. CODES BANDE DE BASE (BB) USUELS
Codages et transmission en bande de base
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CHAPITRE III
EXERCICE 2 : même question pour le codage MLT3
• Transmission d’un 0 : signal reste constant
• Transmission d’un 1 : signal change selon la séquence +a 0 –a 0 +a 0 –a …
• Intérêt : réduit le spectre du signal
• Inconvénient : désynchronisation après une longue suite de 0
• Exemples d’utilisation : Fast Ethernet, ATM
4. CODES BANDE DE BASE (BB) USUELS
Codages et transmission en bande de base
MLT3
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Réception et régénération du signal numérique
Principe de la régénération
La régénération du signal numérique à partir du signal électrique reçu nécessite
quatre opérations :
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
1. Reconstituer l’horloge
2. Définir des instants
d’échantillonnage
3. Filtrer le bruit
4. Retrouver les différents niveaux de codage
dans le signal atténué et bruité à l’aide de
seuils de tensions
y(ti)
régénéré
y(t)
x(t)
𝜆
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Réception et régénération du signal numérique
Principe de la régénération
• Exemple de signal reçu avec une erreur de décision sur un bit :
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Réception et régénération du signal numérique
Récupération de l’horloge :
• Le dispositif de récupération du rythme permet de fixer les instants de
décision de l'échantillonneur.
• La récupération de rythme sera d'autant plus facile que le signal possède
beaucoup de transition. Par exemple en codage NRZ unipolaire, une longue
suite de « 0 » ( ou de « 1 ») peut interrompre la récupération. Sur un code
Manchester ou RZ bipolaire le risque est moins grand.
• Le comparateur à seuil 𝜆 est tel que :
o si y(ti) > 𝜆, la sortie correspondra à un « 1 »
o si y(ti) < 𝜆, la sortie correspondra à un « 0 »
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Réception et régénération du signal numérique
Récupération de l’horloge
• Récupération de la raie spectrale de l’horloge par filtrage :
Si le format du signal numérique en bande de base est sans raie spectrale à la
fréquence horloge, il est nécessaire de régénérer la porteuse.
Une possibilité est d’utiliser une opération non-linéaire (telle qu’une mise au
carré du signal) suivi d’un filtre passe-bande pour faire apparaitre la fréquence
porteuse.
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
Signal
numérique
reçu
Horloge
récupérée
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Réception et régénération du signal numérique
Récupération de l’horloge
• Reconstitution de l’horloge à l’aide d’une PLL :
Si le format du signal numérique en bande de base contient une raie spectrale
à la fréquence horloge, une PLL permet de générer le signal d’horloge.
La sortie de l'oscillateur commandé par une tension VCO va se verrouiller sur la
fréquence du signal se trouvant à son entrée c.à.d. la fréquence de la porteuse.
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
Comparateur
de phase Filtre de boucle
VCO
Signal
reçu (RZ)
Horloge récupérée
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Réception et régénération du signal numérique
Seuils de tension et instants d’échantillonnage
Il s’agit de retrouver les différents niveaux de codage dans le signal atténué et bruité
à l’aide de seuils de tensions
Interférence entre symboles (IES) (en anglais ISI «Inter Symbols Interference») :
La principale influence du canal de transmission sur le signal numérique va être
l'étalement des impulsions . Cet étalement est lié à T (durée d'un symbole) et à la
bande passante B du canal.
La figure ci-dessous montre le phénomène d'interférence entre symboles :
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Réception et régénération du signal numérique
Seuils de tension et instants d’échantillonnage
Interférence entre symboles : exemple
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
Seuil de
décision
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Réception et régénération du signal numérique
Seuils de tension et instants d’échantillonnage
Le diagramme de l’œil est un outil graphique permettant de visualiser la présence
d’IES affectant une communication et de qualifier la qualité du signal numérique reçu.
Diagramme de l’œil
• Le principe consiste à envoyer à travers un canal de transmission une série de
symbole (binaire) connu, de mesurer la réponse à la sortie de canal et de
superposer les tracés du signal reçu sur un multiple de la durée T du symbole.
• On réalise donc la superposition des intervalles [i×T; (i+1)×T].
• Ce type de diagramme peut être généré à l’aide d’un oscilloscope synchronisé
sur le débit du signal.
• La ressemblance du résultat graphique avec un œil a donné le nom à ce
diagramme.
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Réception et régénération du signal numérique
Seuils de tension et instants d’échantillonnage
Diagramme de l’œil
Si l'on superpose les symboles successifs par paires sur un oscilloscope, on obtient le
diagramme de l’œil :
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Réception et régénération du signal numérique
Seuils de tension et instants d’échantillonnage
Diagramme de l’œil : exemple
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
Données
Horloge
Acquisition de la séquence de données
101 sur front montant de l’horloge
Acquisition de 2 séquence s
superposées 101 et 011
Acquisition en répétitif de séquences
superposées donne naissance au
diagramme de l’œil
"1"
"0"
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Réception et régénération du signal numérique
Seuils de tension et instants d’échantillonnage
Interprétation du diagramme de l’œil
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
Ouverture
verticale
Temps d’échantillonnage
optimal
Niveau de
décision
optimal
Amplitude crête
Marge
de bruit
Ouverture
horizontale
Incertitude de
synchronisation
Le diagramme de l’œil met en évidence :
• une ouverture verticale (immunité au
bruit),
• une ouverture horizontale (immunité
au déphasage de l’horloge : intervalle
de temps permettant un
échantillonnage correct),
• une incertitude de synchronisation
(amplitude de la gigue d’horloge du
point de passage par zéro),
(effet produit lorsque les différents cycles
de l’horloge passent par 0 à des instants
différents).
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Réception et régénération du signal numérique
Seuils de tension et instants d’échantillonnage
Interprétation du diagramme de l’œil
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
Le principe général est que plus l'aire
centrale (fenêtre d’observation) est
grande, plus la qualité du signal reçu est
bonne :
• La largeur est liée à la facilité à
synchroniser et différencier les
échantillons successifs
• La hauteur du lobe central traduit le
rapport d'énergie entre le signal
original et le bruit de canal.
• La largeur de la fenêtre d’observation
est la durée d’un symbole (T)
Ouverture
verticale
Temps d’échantillonnage optimal
Niveau de
décision
optimal
Amplitude crête
Marge
de bruit
Ouverture
horizontale
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Réception et régénération du signal numérique
Seuils de tension et instants d’échantillonnage
Interprétation du diagramme de l’œil : risque d'erreur
Influence du canal (Modèle du canal ≡ filtre passe bas de fréquence de coupure 𝑓𝑐)
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
Niveau de décision
𝒇𝒄 ∼ 𝟏 𝑻
Fenêtre d’observation (œil)
Reconstitution possible
𝒇𝒄 < 𝟏 𝑻
Pas de fenêtre d’observation
Reconstitution impossible
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Réception et régénération du signal numérique
Seuils de tension et instants d’échantillonnage
Interprétation du diagramme de l’œil : risque d'erreur
Influence du bruit sur le canal : en présence de bruit, les contours sont moins nets et
l'ouverture se réduit
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
Niveau de décision
SNR 20 dB
Fenêtre d’observation (œil)
Reconstitution possible
SNR 10 dB
Pas de fenêtre d’observation
Reconstitution impossible
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Réception et régénération du signal numérique
Seuils de tension et instants d’échantillonnage
Interprétation du diagramme de l’œil : risque d'erreur
Influence du type de codage (multi-niveaux)
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
Niveaux de décision
Pour un canal de bande passante donnée, plus le débit
augmente, plus l‘œil a tendance à se fermer
Transmission binaire Transmission M-aire
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Réception et régénération du signal numérique
Seuils de tension et instants d’échantillonnage
Interprétation du diagramme de l’œil : risque d'erreur
Influence de l’interférence entre symboles IES :
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
Les courbes ne se croisent
pas en un même point
avec IES
Les courbes se croisent en un
même point à l’ouverture
maximale de l’œil
sans IES
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Réception et régénération du signal numérique
Filtre de réception
La conception d’un système de transmission numérique en bande de base a pour
objectif de minimiser l’effet du bruit et de l’interférence entre symboles (ISI) de
manière à maintenir le taux d’erreur à un taux très faible.
Solution pour le bruit de canal : filtre adapté.
Solution pour l’interférence entre symboles : critère de Nyquist.
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Filtre de réception
Soit le système de transmission binaire en bande de base suivant :
• Amplitudes ak des impulsions : +1 pour un symbole binaire dk = 1, −1 pour un
symbole binaire dk = 0 , T = Tb (transmission binaire)
• En pratique on peut également envisager des transmissions M-aires, impliquant
plus de 2 niveaux d’amplitude possibles, le choix d’une amplitude particulière ak
dépend alors d’une séquence de plusieurs bits
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
Pulse
generation
𝑑𝑘
𝑎𝑘 𝑎(𝑡) 𝑠(𝑡) 𝑥(𝑡)
𝑤(𝑡)
𝑦(𝑡) 𝑦(𝑡𝑖)
𝑑′𝑘
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Filtre de réception
• La séquence ak passe ensuite dans un filtre de mise en forme g(t), produisant le
signal :
𝑎 𝑡 = 𝑎𝑘 𝑔 𝑡 − 𝑘𝑇𝑏𝑘
• Le signal passe à travers un canal de réponse h(t) : devient s(t), puis est
corrompu par le bruit 𝑤(t) (AWGN : bruit blanc additif gaussien de PSD N0/2),
• Le signal reçu 𝑥(t) passe à travers un filtre de réception c(t),
• La sortie du filtre de réception 𝑦 (t) est échantillonnée à cadence symbole, de
manière synchrone avec l’émetteur,
Les échantillons reçus 𝑦𝑖 = 𝑦(𝑡𝑖) sont soumis à un organe de décision qui les
compare à un seuil 𝜆.
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Exemple simulé d’une transmission en BB
L’objectif est de faire apparaitre de manière simple le phénomène d’émission,
réception et régénération d’un signal NRZ antipolaire, illustré à travers un
exemple de simulation.
Transmission idéale, dans un canal de transmission non bruité
On s'intéresse tout d'abord dans notre étude au cas "idéal" : le canal de
transmission transporte le signal émis jusqu'au récepteur sans le perturber des
quelconques signaux parasites. On parle dans ce cas de canal de
transmission idéal.
On transmet dans la simulation numérique suivante le message de 20 bits :
0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
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Pr. Ouidad LABOUIDYA COMMUNICATIONS NUMÉRIQUES
Exemple simulé d’une transmission en BB
Transmission idéale, dans un canal de transmission non bruité
La réception du signal émis se fait à distance de la source d'émission. L’antenne de
réception est figuré par une marque rouge.
Le signal qui se propage s'atténue avec la distance parcourue. C'est une propriété
physique et mathématique de la propagation d'ondes : les fronts d'onde sont
circulaires, centrés sur la source, et contiennent la même énergie ; comme le rayon
de ces cercles augmente lorsque l'onde s'éloigne de la source ...
CHAPITRE III
5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Codages et transmission en bande de base
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Pr. Ouidad LABOUIDYA COMMUNICATIONS NUMÉRIQUES
Exemple simulé d’une transmission en BB
Emission et transmission d'un signal
Le message de 20 bits suivant : 01101010101110010100 a été émis et réceptionné.
on observe une distorsion fréquentielle du signal transmis. Ce canal a une bande
passante finie : les composantes hautes fréquences des signaux sont atténuées
voire coupées.
Le signal reçu est nettement déformé, même en absence de bruits parasites.
L'objectif est donc maintenant de reformer ce message original, avec le moins
d'erreur possible.
CHAPITRE III
5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Codages et transmission en bande de base
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Pr. Ouidad LABOUIDYA COMMUNICATIONS NUMÉRIQUES
Exemple simulé d’une transmission en BB
Réception et détection d'un message
Le signal reçu est ensuite échantillonné, c'est-à-dire qu'on le convertit en un signal
numérique. On applique alors une règle de décision sur chacun des échantillons : si
celui-ci est positif, on considère qu'il correspond à un "1" envoyé, s'il est négatif on
considère au contraire qu'un "0" a été envoyé.
On reconstruit ainsi le message original (cas idéal : absence de bruit environnant).
Le message reconstitué (en rouge) est conforme au message envoyé (en bleu).
CHAPITRE III
5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Codages et transmission en bande de base
79/140
Pr. Ouidad LABOUIDYA COMMUNICATIONS NUMÉRIQUES
Exemple simulé d’une transmission en BB
Transmission dans un canal réel bruité
Dans le cas précédent de la communication numérique dans un canal de
transmission idéal, le message reçu est bien conforme au message émis, et ce sans
traitement particulier.
Malheureusement, une transmission réelle est toujours perturbée.
Par exemple, lors d'une transmission en espace libre (GSM, WIFI, ondes
hertziennes, ...) de nombreuses autres sources parasites, telles que d'autres sources
de message distinctes peuvent venir interférer avec le signal transmis.
Ces perturbations dégradent alors la qualité du signal reçu, la phase finale de
détection risque d'être entachée d'erreurs.
CHAPITRE III
5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Codages et transmission en bande de base
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Pr. Ouidad LABOUIDYA COMMUNICATIONS NUMÉRIQUES
Exemple simulé d’une transmission en BB
Emission, transmission sur un canal bruité
La simulation suivante présente des sources aléatoires de bruit, dont l'amplitude
maximum ne dépasse pas 20 % de l'amplitude du signal à transmettre.
Ces sources parasites de bruit viennent se superposer à la propagation du signal
utile, et dégrade donc inévitablement le signal reçu.
CHAPITRE III
5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Codages et transmission en bande de base
81/140
Pr. Ouidad LABOUIDYA COMMUNICATIONS NUMÉRIQUES
Exemple simulé d’une transmission en BB
Emission, transmission sur un canal bruité
On peut remarquer par exemple, que même en absence d'émission de la source, le
récepteur capte toujours un signal non négligeable.
Le problème est alors de pouvoir détecter parmi ce signal de fond, le signal
contenant le message de l‘émetteur.
CHAPITRE III
5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Codages et transmission en bande de base
82/140
Pr. Ouidad LABOUIDYA COMMUNICATIONS NUMÉRIQUES
Exemple simulé d’une transmission en BB
Réception d'un signal transmis sur un canal bruité
Le bruit a nettement perturbé le signal reçu. On arrive encore néanmoins, sans post-
traitement particulier, à récupérer un message binaire "proche" de l'original.
Toutefois ce résultat n'est en fait guère satisfaisant : sur les 20 bits émis, 5 reçus sont
erronées.
CHAPITRE III
5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Codages et transmission en bande de base
83/140
Pr. Ouidad LABOUIDYA COMMUNICATIONS NUMÉRIQUES
Exemple simulé d’une transmission en BB
Réception d'un signal transmis sur un canal bruité
Le taux d'erreur est de 25 %, ce qui est amplement suffisant pour rendre inutilisable
n'importe quel programme, inaudible n'importe quel fichier sonore numérique ...
On peut préciser néanmoins que pour certaines applications, comme la téléphonie
mobile un tel taux d'erreur (quoique encore un peu trop élevé) dégrade certes la
qualité de la communication mais ne la rend pas inutilisable.
Le bruit qui entache cette communication est aléatoire, au contraire du signal émis et
que l'on souhaite récupérer.
On peut, en utilisant cette hypothèse, mettre en œuvre un post-traitement, c'est-à-
dire un traitement après réception, visant à atténuer ce bruit parasite : c'est une
opération de filtrage.
CHAPITRE III
5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Codages et transmission en bande de base
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Pr. Ouidad LABOUIDYA COMMUNICATIONS NUMÉRIQUES
Exemple simulé d’une transmission en BB
Filtrage et détection d'un message
On filtre le signal reçu, avec un filtre adapté au signal envoyé.
On observe, après filtrage, non seulement une atténuation du bruit parasite, mais
aussi, une mise en valeur du signal utile.
L'amplitude du signal utile, celui que l'on cherche à détecter, est amplifiée, ce qui
facilite d'autant plus la détection et la reconstruction du message émis.
CHAPITRE III
5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Codages et transmission en bande de base
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Exemple simulé d’une transmission en BB
Filtrage et détection d'un message
Une seule erreur persiste au final, après filtrage, soit un taux d'erreur de 5 % qu'il est
possible d'améliorer en utilisant un codage de canal.
Le filtre adapté a permis de diviser par 5 le nombre d'erreurs lors de la détection du
message dans le signal bruité reçu.
CHAPITRE III
5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Codages et transmission en bande de base
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Filtre adapté
Problème : détecter le signal s(t) à partir du signal bruité 𝒙(t)
Le signal à la sortie du canal (entrée du filtre de réception) s’écrit :
𝑥(t) = s(t) + 𝑤(t) 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇
• T : période d'observation,
• s(t) : signal utilisé pour transmettre le 0 ou le 1,
• 𝑤(t) : bruit additif blanc gaussien de densité spectrale de puissance N0/2.
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Filtre adapté
Objectif : choisir c(t) de manière à maximiser le rapport signal à bruit
𝑺 𝑵 à la sortie du filtre au moment de l'échantillonnage T
• Le signal à la sortie du filtre est donné par :
𝑦(t) = 𝑥 𝑡 ⨂𝑐(𝑡) = s0(t) + 𝑛(t)
avec s0 (t) et 𝑛(t) les composantes filtrées liées à s(t) et 𝑤(t).
• Au moment de l'échantillonnage T, le rapport signal à bruit est :
𝑆 𝑁 = 𝑠0(𝑇)
2
𝐸 𝑛2(𝑡)
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Filtre adapté
• Effet d’un filtre sur le signal reçu s (t) :
𝑠0 𝑡 = 𝐶 𝑓 𝑆 𝑓 exp 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑓
+∞
−∞
→ Au moment de l’échantillonnage :
𝑠0 𝑇2 = 𝐶 𝑓 𝑆 𝑓 exp 𝑗2𝜋𝑓𝑇 𝑑𝑓
+∞
−∞
2
• Effet du filtre sur le bruit 𝑤(t) :
La densité spectrale de puissance du bruit à la sortie du filtre est 𝑆𝑁 𝑓 = 𝑁0
2 𝐶(𝑓) 2,
→ La puissance moyenne du bruit est alors :
𝐸 𝑛2(𝑡) = 𝑆𝑁 𝑓 𝑑𝑓 = 𝑁02 𝐶(𝑓) 2+∞
−∞
𝑑𝑓
+∞
−∞
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Filtre adapté
• Le rapport signal à bruit est alors :
𝑆 𝑁 = 𝑠0(𝑇)
2
𝐸 𝑛2(𝑡)= 𝐶 𝑓 𝑆 𝑓 exp 𝑗2𝜋𝑓𝑇 𝑑𝑓+∞
−∞
2
𝑁02
𝐶(𝑓) 2+∞
−∞ 𝑑𝑓
• Pour chercher la borne supérieure de S/N c -à -d maximiser le rapport S/N, on
utilise l’inégalité de Schwarz :
→ Si deux fonctions complexes Ψ1(𝑥) et Ψ2(𝑥) vérifiant :
Ψ1(𝑥)2+∞
−∞ 𝑑𝑥 < ∞ et Ψ2(𝑥)
2+∞
−∞ 𝑑𝑥 < ∞
Alors :
Ψ1 𝑥 Ψ2 𝑥 𝑑𝑥
+∞
−∞
2
≤ Ψ1 𝑥2
+∞
−∞
𝑑𝑥 Ψ2(𝑥)2
+∞
−∞
𝑑𝑥
L’égalité est obtenue uniquement lorsque : Ψ1 𝑥 = 𝑘 Ψ2∗(𝑥) , 𝑘 constante
arbitraire.
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Filtre adapté
• Appliquons l’inégalité de Schwarz à notre rapport S/N :
𝑆 𝑁 = 𝐶 𝑓 𝑆 𝑓 exp 𝑗2𝜋𝑓𝑇 𝑑𝑓+∞
−∞
2
𝑁02 𝐶(𝑓) 2+∞
−∞ 𝑑𝑓
en substituant : Ψ1(𝑥) → 𝐶 𝑓 et Ψ2(𝑥) → 𝑆 𝑓 exp 𝑗2𝜋𝑓𝑇
→ On obtient alors :
𝐶 𝑓 𝑆 𝑓 exp 𝑗2𝜋𝑓𝑇 𝑑𝑓
+∞
−∞
2
≤ 𝐶 𝑓 2+∞
−∞
𝑑𝑓 𝑆(𝑓) 2+∞
−∞
𝑑𝑓
Par conséquent :
𝑆 𝑁 ≤ 2
𝑁0 𝑆(𝑓) 2+∞
−∞
𝑑𝑓
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Filtre adapté
• Le maximum qu’on peut avoir comme rapport signal à bruit est :
(𝑆 𝑁) 𝑚𝑎𝑥 = 2
𝑁0 𝑆(𝑓) 2+∞
−∞
𝑑𝑓
et il est indépendant de 𝐶 𝑓
• L’égalité Ψ1 𝑥 = 𝑘 Ψ2∗(𝑥) se traduit dans notre cas pour le filtre de réception
optimal :
𝐶𝑜𝑝𝑡 𝑓 = 𝑘 𝑆∗ 𝑓 exp (−2𝜋𝑗𝑓𝑇)
• La réponse impulsionnelle du filtre optimal est alors :
𝑐𝑜𝑝𝑡 𝑡 = 𝑘 𝑆∗ 𝑓 𝑒𝑥𝑝 −2𝜋𝑗𝑓(𝑇 − 𝑡) 𝑑𝑓+∞
−∞
= 𝑘 𝑆 −𝑓 𝑒𝑥𝑝 −2𝜋𝑗𝑓(𝑇 − 𝑡) 𝑑𝑓+∞
−∞
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
= 𝑘 𝑠(𝑇 − 𝑡)
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Filtre adapté
• La réponse impulsionnelle du filtre optimal est alors :
𝑐𝑜𝑝𝑡 = 𝑘 𝑠(𝑇 − 𝑡)
Le filtre optimal a une réponse impulsionnelle qui est, à un facteur k près, la
version retournée et décalée de la forme d’onde s(t) utilisée en émission.
Le filtre c(t) est dit adapté au signal s(t). Un tel filtre est donc appelé filtre adapté
(matched filter)
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Propriété du filtre adapté
La transformée de Fourrier du signal à la sortie du filtre adapté :
𝑆0 𝑓 = 𝐶𝑜𝑝𝑡 𝑓 𝑆 𝑓 = 𝑘 𝑆∗ 𝑓 𝑆 𝑓 exp −𝑗2𝜋𝑓𝑇 = 𝑘 𝑆(𝑓) 2 exp (−𝑗2𝜋𝑓𝑇)
La valeur du signal échantillonné à la sortie du filtre est :
𝑠0 𝑇 = 𝑆0 𝑓 exp 𝑗2𝜋𝑓𝑇 𝑑𝑓 = +∞
−∞
𝑘 𝑆(𝑓) 2+∞
−∞
𝑑𝑓
Par l’identité de Parseval, l’énergie du signal (impulsion de base) reçue à l'entrée
du filtre de réception vaut en effet :
𝐸 = 𝑠2+∞
−∞
𝑡 𝑑𝑡 = 𝑆(𝑓) 2+∞
−∞
𝑑𝑓
Donc :
𝑠0 𝑇 = 𝑘 𝐸
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Propriété du filtre adapté
Puissance moyenne du bruit en sortie du filtre :
𝐸 𝑛2(𝑡) = 𝑁02 𝐶(𝑓) 2+∞
−∞
𝑑𝑓
Or : 𝐶𝑜𝑝𝑡 𝑓 = 𝑘 𝑆∗ 𝑓 exp (−2𝜋𝑗𝑓𝑇), par suite :
𝐸 𝑛2(𝑡) = 𝑘2𝑁02 𝑆(𝑓) 2+∞
−∞
𝑑𝑓 =𝑘2𝑁0𝐸
2
Enfin le rapport S/N :
(𝑆 𝑁) 𝑚𝑎𝑥 = 𝑘𝐸 2
𝑘2𝑁0 𝐸 2 = 2𝐸
𝑁0
Propriété fondamentale du filtre adapté : le rapport signal à bruit en sortie du filtre
adapté ne dépend que du rapport entre l’énergie E du signal d’entrée et la densité
spectrale de puissance N0 du bruit blanc à l’entrée et non de la forme de
l’impulsion utilisée en émission.
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Critère de Nyquist
• Si la largeur de bande du canal de transmission est infinie ou très grande, alors le
signal est transmis sans grande déformation : on parle de canal idéal
→ En pratique : c’est l’approximation d’un canal à bande passante large par
rapport au spectre du signal émis (canal à large bande)
• Dans le cas échéant, on dit que le canal est à bande étroite ou limitée.
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Critère de Nyquist
Problème : Influence du canal de transmission sur le signal
numérique (l'étalement des impulsions).
• Le filtre d'émission g(t) est utilisé pour limiter la largeur de bande du signal.
→ Considérons le cas le plus simple de transmission : le canal est parfait, donc le
bruit est absent. Il s'avère que même dans telles conditions favorables la
transmission correcte peut être impossible (IES) si le filtre de mise en forme g(t)
est mal choisi.
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Critère de Nyquist
Objectif : Améliorer les performances du système de transmission
(Annuler ou réduire les interférences)
• Critère de Nyquist : interférences nulles aux moments de l’échantillonnage
On montre que pour obtenir en réception un signal sans IES, il faut que la
condition suivante soit respectée :
𝐵 ≥ 1
2𝑇= 𝑅
2
T : la durée d’un symbole
R=1/T : la rapidité de la modulation
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
IES
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Critère de Nyquist
Filtre de Nyquist idéal :
• Spectre G(f ) rectangulaire, de bande passante 𝐵 = 𝐵𝑚𝑖𝑛 = 1
2𝑇 (bande de
fréquence minimale nécessaire à la transmission en bande base sans IES dite :
bande de Nyquist)
• L'impulsion de base g(t) correspondante dans le domaine temporel :
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
𝑔 𝑡 = sin (2𝜋𝐵𝑡)
2𝜋𝐵𝑡= 𝑠𝑖𝑛𝑐 2𝜋𝐵𝑡
= 𝑠𝑖𝑛𝑐 𝜋𝑓𝑡 , 𝑓 = 1 𝑇
2𝐵𝐺(𝑓)
𝑓 𝐵
𝑔(𝑡)
𝑡 𝑇
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Critère de Nyquist
Filtre de Nyquist idéal :
Les impulsions successives, échantillonnées aux instants t = 0, ±T, ±2T, · · ·
n’interfèrent pas les unes sur les autres
• Avantage : Filtre le plus économique en bande passante
• Inconvénient : Les lobes secondaires du sinc sont importants et présentent une
forte pente aux moments d’échantillonnage.
→ De petites variations de la période d’échantillonnage dues aux imperfections
du système de synchronisation, conduisent à l’apparition de contribution
importantes de l’impulsion précédente au moments d’échantillonnage, donc à
IES.
→ Filtre irréalisable en pratique.
Solution: extension de la bande passante depuis la valeur minimale B = 1/2T vers
une valeur ajustable entre B et 2B.
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Critère de Nyquist
Filtre en cosinus surélevé :
Solution : extension de la bande passante depuis la valeur minimale B = 1/2T vers
une valeur ajustable entre B et 2B.
Une solution généralement retenue dans les équipements de transmission est le
filtre en cosinus surélevé (raised cosine spectrum), qui a cependant l’inconvénient
d’augmenter la bande passante du canal :
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
𝑔(𝑡)
, Ω = 𝜋𝑓
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Critère de Nyquist
Filtre en cosinus surélevé :
Illustration de l’annulation de l’IES, pour l’émission du message 110 :
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Critère de Nyquist
Filtre en cosinus surélevé :
Sa fonction de transfert est :
𝐺 𝑓 =
𝑇 𝑓 ≤1 − 𝛼
2𝑇
𝑇
2 1 + cos
𝜋𝑇
𝛼 𝑓 −
1 − 𝛼
2𝑇 1 − 𝛼
2𝑇≤ 𝑓 ≤
1 + 𝛼
2𝑇
0 𝑓 ≥1 + 𝛼
2𝑇
(1 + cos ) : Filtre en cosinus surélevé.
• 𝑓N = 1/2T est la fréquence de Nyquist,
• R =1/T est la rapidité de modulation du signal numérique
• 𝛼 est le coefficient de “roll-off” ou “facteur de débordement” tel que : 0 ≤ 𝛼 ≤ 1.
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Critère de Nyquist
Filtre en cosinus surélevé :
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
• Réponse impulsionnelle du filtre en cosinus
surélevé, pour différents facteurs de débordement :
assurant le passage par 0 aux instants adéquats
𝑔 𝑡 = 𝑇𝐹−1 𝐺(𝑓) = 𝑠𝑖𝑛𝜋𝑡𝑇𝜋𝑡𝑇
∙ 𝑐𝑜𝑠𝜋𝛼𝑡𝑇
1 −2𝛼𝑡𝑇
2
• Réponse en fréquence du filtre en cosinus surélevé,
pour différents facteurs de débordement :
La largeur de bande est :
𝐵 = 1 + 𝛼 𝐵𝑚𝑖𝑛 =(1 + 𝛼)
2𝑇=𝑅(1 + 𝛼)
2
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Critère de Nyquist
Filtre en cosinus surélevé :
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
• Influence du facteur de débordement α sur le diagramme de l’œil :
• L’ouverture horizontale indique une résistance à un décalage des instants
d’ échantillonnage. Ainsi plus l’œil est ouvert en largeur, plus l’accumulation des
interférences dues au décalage des instants d’échantillonnage auront une
influence moindre en terme de probabilité d’erreur. C’est le cas pour les fonctions
en cosinus surélevé lorsque α augmente.
Diagramme de l’œil pour α=0,5 Diagramme de l’œil pour α=1
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Egalisation
• La présence inévitable de bruit (dégradation du rapport signal à bruit) et
d’interférences inter symboles (déformation due aux limitations de la bande
passante du canal et à sa dispersion) introduit des erreurs dans le dispositif de
décision.
• La conception des filtres d’émission et de réception vise à réduire le bruit et l’IES :
→ Solution pour le bruit de canal : filtre adapté
→ Solution pour l’interférence entre symboles : critère de Nyquist
• En principe, si le canal est parfaitement connu, il est possible en théorie de
minimiser voire d’annuler l’IES à l’aide de filtre d’émission et de réception, de telle
sorte que la chaîne complète de transmission forme un canal de Nyquist.
• En pratique, on ne connaît que très rarement les caractéristiques du canal. En
outre, il peut exister des imperfections dans l’implantation des filtres.
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Egalisation
Problème : En pratique, bruit et IES se produisent simultanément, ce qui
conduit à maintenir une IES résiduelle et variable dans le temps.
• Si la réponse impulsionnelle ou la réponse fréquentielle d’un filtre ou d’un canal
respecte les critères de Nyquist, l’IES peut être annulé afin que l’ensemble la
cascade ’ filtre d’émission + canal + filtre de réception ’ forme un filtre de Nyquist
[𝑮(𝒇)𝑯(𝒇)𝑪 𝒇 ].
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
Pulse
generation
𝑑𝑘
𝑎𝑘 𝑎(𝑡) 𝑠(𝑡) 𝑥(𝑡)
𝑤(𝑡)
𝑦(𝑡) 𝑦(𝑡𝑖)
𝑑′𝑘 𝑮(𝒇) 𝑯(𝒇) 𝑪(𝒇)
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Egalisation
Objectif : Compenser les effets parasites du canal et annuler l’IES.
L’égaliseur va se charger de cette opération.
• Un égaliseur est un filtre de réception particulier qui vise à compenser les effets
parasites du canal et annuler l’IES.
• En bande de base, si les filtres d’émission et de réception forment un filtre de
Nyquist, le rôle de l’égaliseur sera de compenser l’effet du canal :
𝐸 𝑓 = 1
𝐻(𝑓) 𝑠𝑢𝑟 [−𝐵, 𝐵]
où 𝐸 𝑓 représente la fonction de transfert de l’égaliseur et B la bande passante du
canal.
• Comme la paire des filtres d’émission et de réception forment un filtre de Nyquist,
on peut parfaitement reconstituer la séquence d’entrée {ak}. Du point de vue
spectral, on a « égalisé » la réponse du canal.
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Egalisation
Quelques structures classiques d’égaliseurs :
a. Egaliseur transverse ou linéaire :
• Les égaliseurs transverses sont les plus simples à mettre en œuvre. Il s’agit de
simples filtres numériques linéaires à réponse impulsionnelle finie pour lesquels
les méthodes de calcul et d’implantation sont bien connues :
Les coefficients 𝑏𝑖 constituent la réponse impulsionnelle de l’égaliseur, de longueur
M, 𝑥[𝑛] est la séquence d’observations et 𝑦 𝑛 la sortie de l’égaliseur.
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
𝑦 𝑛 = 𝑏𝑖 𝑥[𝑛 − 𝑖]
𝑀−1
𝑖=0
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Egalisation
Quelques structures classiques d’égaliseurs :
a. Egaliseur transverse ou linéaire :
• Calcul des coefficients d’un égaliseur transverse
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Egalisation
Quelques structures classiques d’égaliseurs :
a. Egaliseur transverse ou linéaire :
• Malgré leur simplicité, les égaliseurs transverses sont peu efficaces puisque la
fonction de transfert du canal doit être parfaitement connue, stationnaire et causal
(échantillons nuls pour n<0), ce qui est rarement le cas en pratique.
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Egalisation
Quelques structures classiques d’égaliseurs :
b. Egaliseur « zero forcing » :
• Un égaliseur à zero forcing cherche à compenser exactement la fonction de
transfert du canal, afin d’annuler complètement l’IES et l’on dit que interférence
entre symboles est forcée à zéro. On a ainsi la fonction de transfert du filtre
égaliseur l’inverse de celle du canal :
• A partir de la transformée en Z, on peut en déduire la réponse impulsionnelle du
filtre, connaissant celle du canal. M représente l’ordre du filtre et R un retard afin
de prendre en compte une partie non causale de la réponse du canal :
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
𝐸 𝑓 = 1
𝐻(𝑓)
𝐸 𝑧 = 1
𝐻(𝑧) ⟺ 𝑒 𝑖 ℎ 𝑛 − 𝑖 = 𝛿(𝑛 − 𝑅)
𝑀−1
𝑖=0
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Egalisation
Quelques structures classiques d’égaliseurs :
b. Egaliseur « zero forcing » :
• Ce filtre présente néanmoins plusieurs défauts. Le premier concerne le risque
d’instabilité. En effet, si H(z) présente des zéros de module supérieur à 1, alors
E(z) possède des pôles instables.
• En outre, comme les canaux ont généralement des comportements de type passe
bas, ce type d’égaliseur est généralement un filtre de type passe haut. Si le bruit
est large bande, alors il s’ensuit une nette dégradation du rapport signal à bruit en
sortie du filtre.
• Enfin, ce type d’égaliseur est statique et n’est pas utilisable pour un canal non
stationnaire. Il nécessite une estimation préalable de la réponse impulsionnelle du
canal.
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Egalisation
Quelques structures classiques d’égaliseurs :
c. Egaliseur à maximum de vraisemblance :
• La présence d’IES est caractéristique d’une mémoire dans le signal lié à un canal
imparfait.
• Comme il existe une interdépendance entre les symboles reçus, il est possible de
reconstituer la séquence de symboles transmis en maximisant la vraisemblance
d’apparition du symbole.
• Cela se fait en général en utilisant un algorithme de Viterbi. Celui-ci permet de
sélectionner dans un treillis le chemin de métrique le plus faible.
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Egalisation
Quelques structures classiques d’égaliseurs :
c. Egaliseur à maximum de vraisemblance :
• L’algorithme de Viterbi ne peut s’appliquer que sur un signal avec un bruit blanc
superposé.
• L’égaliseur à maximum de vraisemblance est sans doute celui qui affiche les
meilleures performances, mais c’est aussi le plus complexe. Il ne s’applique qu’à
des séquences binaires courtes.
• Comme les autres égaliseurs, il nécessite aussi une estimation préalable de la
réponse impulsionnelle du canal.
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Egalisation
Quelques structures classiques d’égaliseurs :
d. Egaliseur adaptatif
• Tous les égaliseurs précédents souffrent du défaut de considérer le canal
stationnaire.
• En pratique, les paramètres de l’égaliseur peuvent être remis à jour régulièrement,
grâce à l’utilisation de séquence d’apprentissage.
• Mais la période de remise à jour doit être suffisamment faible et rien n’empêche le
canal de se modifier entre deux remises à jour.
• Les égaliseurs adaptatifs résolvent le double problème de méconnaissance du
canal et d’évolution dans le temps du canal.
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Egalisation
Quelques structures classiques d’égaliseurs :
d. Egaliseur adaptatif
• Les égaliseurs adaptatifs basés sur l’algorithme de gradient stochastique sont
parmi les plus simples au niveau implémentation, stable et peu couteux.
• Cette approche vise à minimiser l’erreur quadratique entre les séquences d’entrée
et de sortie de l’égaliseur, les coefficients du filtre étant modifiés au cours du
temps.
• Néanmoins, les performances de ce type d’égaliseur peuvent être limitées dans le
cas de variations brutales du canal.
• Il existe beaucoup d’autres techniques d’égalisation beaucoup plus avancées
parmi lesquelles les égaliseurs récursifs à retour de décision et les égaliseurs
autodidactes.
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Détection en présence du bruit
Problème : A cause du bruit ajouté par le canal, la probabilité d’une
erreur d’interprétation des symboles reçus n’est pas nulle. Le problème
du récepteur ici est de décider de l’affectation des symboles reçus à l’un
des symboles composant l’alphabet de départ.
• Etape appelée décision : elle doit être effectuée de manière à minimiser le risque
de mauvaise détection du signal en élaborant une règle de décision
• Des performances en termes de taux d’erreur binaire seront associées à cette
règle dans le cadre d’un canal et d’un bruit donné.
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
𝑦(𝑡𝑘)
𝑡𝑘 = 𝑘𝑇𝑏
𝑦(𝑡𝑘)
𝑦(𝑡𝑘)
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Détection en présence du bruit
Objectif : Déterminer la règle de décision optimale dans le cas d’un
signal binaire traversant un canal AWGN, puis les performances en
terme de taux d’erreur binaire.
• Un signal émis en bande de base s(t) traverse un canal AWGN caractérisé par un
bruit blanc gaussien d’écart type σ et arrive en entrée du récepteur.
• Après avoir été filtré et échantillonné, le signal 𝑦(𝑡𝑖) arrive en entrée d’un
comparateur à seuil qui va déterminer quel est l’état binaire pris par le symbole
reçu.
• Le récepteur est supposé parfaitement synchronisé (connaissance parfaite de la
position des intervalles de durée Tb) et la forme des impulsions est connue.
• Le but du problème est de déterminer le seuil λ du comparateur à seuil qui va
minimiser l’erreur d’interprétation du message binaire.
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Détection en présence du bruit
Probabilité d'erreur :
Rappels : Fonction d’erreur de Gauss complémentaire ERFC
• Le calcul de la probabilité d’erreur implique la connaissance de la distribution
statistique de la perturbation. Un modèle couramment utilisé car suffisamment
réaliste est la distribution de Gauss, dont la densité de probabilité est :
où σ est l’écart type et μ est la valeur moyenne.
• La probabilité d’erreur, c'est-à-dire que la variable aléatoire x dépasse un seuil a,
peut se calculer comme :
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
𝑓 𝑥 = 1
2𝜋 𝜎 𝑒𝑥𝑝 −
𝑥 − 𝜇 2
2𝜎2
𝑃 𝑒 = 𝑃 𝑥 ≥ 𝑎 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1 − 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎
−∞
+∞
𝑎
(1)
(2)
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Détection en présence du bruit
Probabilité d'erreur :
• Une loi de probabilité est dite normale et centrée si μ=0 et si l’écart type σ=1, son
intégrale entre -∞ et +∞ est égale à 1. Celle-ci s’écrit :
• La fonction d’erreur de Gauss notée erf(z) est une fonction commune en analyse
et correspond à la probabilité qu’une variable normale centrée réduite prenne une
valeur dans l’intervalle [-z ;+z]. Elle s’écrit donc :
• Cette fonction n’est pas calculable par simple intégration, mais est fourni dans des
tables et logiciels de calculs numériques. La fonction d’erreur de Gauss
complémentaire erfc(z) se calcule à l’aide de l’équation suivante :
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
𝑓 𝑥 = 1
2𝜋 𝑒𝑥𝑝 −
𝑥2
2
erf 𝑧 = 2
𝜋 𝑒𝑥𝑝 − 𝑥2 𝑑𝑥𝑧
0
erfc 𝑧 = 1 − erf 𝑧 = 2
𝜋 exp − 𝑥2 𝑑𝑥+∞
𝑧
(3)
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Détection en présence du bruit
Seuil de décision pour un signal binaire traversant un canal AWGN :
• Les symboles 0 et 1 sont représentés par des impulsions rectangulaires positives
ou négatives, d’amplitudes 𝑎0 et 𝑎1 et de durée T=Tb
• Le signal en entrée du comparateur peut s’écrire :
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
𝑦(t) = 𝑠 𝑡 ⨂𝑐(𝑡) + 𝑛(t), 𝑛(t) composante filtrée liée à 𝑤(t).
𝑦𝑘 = 𝑦 𝑡𝑘 = 𝑎𝑘 + 𝑛𝑘 𝑜ù 𝑎𝑘 = 𝑎0 𝑠𝑖 𝑠𝑘 = 0𝑎𝑘 = 𝑎1 𝑠𝑖 𝑠𝑘 = 1
𝑦(𝑡𝑘)
𝑡𝑘 = 𝑘𝑇𝑏
𝑦(𝑡𝑘)
𝑦(𝑡𝑘)
Comparateur
à seuil λ
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Détection en présence du bruit
Seuil de décision pour un signal binaire traversant un canal AWGN :
• Comme le bruit est de type gaussien, la densité de probabilité du bruit peut
s’écrire à l’aide de la fonction suivante [voir (1)] :
• On peut en déduire la densité de probabilité de l’amplitude prise par le signal 𝑦𝑘 en entrée de l’étage de décision :
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
𝑓 𝑥 = 1
2𝜋 𝜎 𝑒𝑥𝑝 −
𝑥 − 𝜇 2
2𝜎2
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Détection en présence du bruit
Seuil de décision pour un signal binaire traversant un canal AWGN :
• Une erreur se déclare dans les 2 cas suivants :
→𝑎𝑘 = 𝑎0 et 𝑑𝑘 = 1, en terme de probabilité cela s’écrit :
→𝑎𝑘 = 𝑎1 et 𝑑𝑘 = 0, en terme de probabilité cela s’écrit :
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
𝑃 𝑑𝑘 = 1 𝑎 = 𝑎0 = 𝑓 𝑥 𝑎0
+∞
𝜆
𝑑𝑥 , 𝑜ù 𝑓 𝑥 𝑎0 =1
2𝜋 𝜎 𝑒𝑥𝑝 −
𝑥 − 𝑎02
2𝜎2
𝑃 𝑑𝑘 = 0 𝑎 = 𝑎1 = 𝑓 𝑥 𝑎1
𝜆
−∞
𝑑𝑥 , 𝑜ù 𝑓 𝑥 𝑎1 =1
2𝜋 𝜎 𝑒𝑥𝑝 −
𝑥 − 𝑎12
2𝜎2
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Détection en présence du bruit
Seuil de décision pour un signal binaire traversant un canal AWGN :
• La probabilité d’apparition d’une erreur peut donc s’écrire sous la forme suivante :
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
𝑃 𝑒 = 𝑃 𝑑𝑘 = 1 ∙ 𝑃 𝑑𝑘 = 1 𝑎 = 𝑎0 + 𝑃 𝑑𝑘 = 0 ∙ 𝑃 𝑑𝑘 = 0 𝑎 = 𝑎1
𝑃 𝑒 = 𝑃 𝑑𝑘 = 1 ∙ 𝑓 𝑥 𝑎0
+∞
𝜆
𝑑𝑥 + 𝑃 𝑑𝑘 = 0 ∙ 𝑓 𝑥 𝑎1
𝜆
−∞
𝑑𝑥
𝑃 𝑒 = 𝑃 𝑑𝑘 = 1 ∙ 1 − 𝑓 𝑥 𝑎0 𝑑𝑥𝜆
−∞
+ 𝑃 𝑑𝑘 = 0 ∙ 𝑓 𝑥 𝑎1
𝜆
−∞
𝑑𝑥 [voir (2)]
𝑃 𝑒 = 𝑃 𝑑𝑘 = 1 + 𝑃 𝑑𝑘 = 0 ∙ 𝑓 𝑥 𝑎1 − 𝑃 𝑑𝑘 = 1 ∙ 𝑓 𝑥 𝑎0 𝑑𝑥𝜆
−∞
(4)
[voir (2)]
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Détection en présence du bruit
Seuil de décision pour un signal binaire traversant un canal AWGN :
• Nous cherchons à déterminer λ pour minimiser l’erreur, c'est-à-dire :
• Cela est possible si le contenu de l’intégrale de (4) est annulé :
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
𝑑𝑃(𝑒)
𝑑𝜆 𝜆 = 0
𝑃 𝑑𝑘 = 0 ∙ 𝑓 𝑥 𝑎1 − 𝑃 𝑑𝑘 = 1 ∙ 𝑓 𝑥 𝑎0 = 0
𝑃 𝑑𝑘 = 0
𝑃 𝑑𝑘 = 1= 𝑓 𝑥 = 𝜆 𝑎0𝑓 𝑥 = 𝜆 𝑎1
= 𝑒𝑥𝑝 −
𝜆 − 𝑎02
2𝜎2
𝑒𝑥𝑝 − 𝜆 − 𝑎1
2
2𝜎2
ln𝑃 𝑑𝑘 = 0
𝑃 𝑑𝑘 = 1= 1
2𝜎2 𝜆 − 𝑎1
2 − 𝜆 − 𝑎02
ln𝑃 𝑑𝑘 = 0
𝑃 𝑑𝑘 = 1= 𝜆 𝑎0 − 𝑎1𝜎2
+ 𝑎12 − 𝑎0
2
2𝜎2
[voir (1)]
(5)
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Détection en présence du bruit
Seuil de décision pour un signal binaire traversant un canal AWGN :
• De l’équation (5), on déduit :
• Si les 2 états binaires sont équiprobables ( 𝑃 𝑑𝑘 = 0 = 𝑃 𝑑𝑘 = 1 = 1
2 ), on
détermine le seuil de décision suivant :
• Ce résultat assez intuitif montre que le récepteur optimal possède le seuil de
décision à mi-distance entre les amplitudes liées aux 2 états binaires.
• Si le train d’impulsions est binaire de type ’ NRZ antipolaire ’ : les symboles 1 et 0
sont représentés par des impulsions rectangulaires d’amplitude ±A et de durée
T=Tb , alors le seuil optimal :
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
𝜆 = 𝑎0 + 𝑎12+ 𝜎2
𝑎0 − 𝑎1ln𝑃 𝑑𝑘 = 0
𝑃 𝑑𝑘 = 1
𝜆 = 𝑎0 + 𝑎12
𝜆 = 0
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Détection en présence du bruit
Taux d’erreur binaire théorique d’un signal binaire sur un canal AWGN :
• Avec le seuil de décision calculé dans les conditions précédentes, il est possible
de déterminer les performances en terme de probabilité d’erreur. On reprend
l’équation :
• Symboles équiprobables : 𝑃 𝑑𝑘 = 0 = 𝑃 𝑑𝑘 = 1 = 1
2
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
𝑃 𝑒 = 𝑃 𝑑𝑘 = 1 ∙ 𝑃 𝑑𝑘 = 1 𝑎 = 𝑎0 + 𝑃 𝑑𝑘 = 0 ∙ 𝑃 𝑑𝑘 = 0 𝑎 = 𝑎1
𝑃 𝑒 = 𝑃 𝑑𝑘 = 1 ∙ 𝑓 𝑥 𝑎0
+∞
𝜆
𝑑𝑥 + 𝑃 𝑑𝑘 = 0 ∙ 𝑓 𝑥 𝑎1
𝜆
−∞
𝑑𝑥
𝑃 𝑒 =1
2∙ 𝑓 𝑥 𝑎0
+∞
𝜆
𝑑𝑥 +1
2∙ 𝑓 𝑥 𝑎1
𝜆
−∞
𝑑𝑥 (6)
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Détection en présence du bruit
Taux d’erreur binaire théorique d’un signal binaire sur un canal AWGN :
• Comme le seuil est placé de manière symétrique par rapport à a0 et a1, on peut
faire intervenir A, qui correspond à l’amplitude du signal :
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
𝑃 𝑒 𝐴 = 𝑎1 − 𝑎02
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Détection en présence du bruit
Taux d’erreur binaire théorique d’un signal binaire sur un canal AWGN :
• En analysant l’équation (6) à l’aide de la figure précédente et en exploitant les
propriétés de symétrie d’une fonction gaussienne, on peut écrire :
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
𝑃 𝑒 =1
2∙ 𝑓 𝑥 𝑎0
+∞
𝜆
𝑑𝑥 +1
2∙ 𝑓 𝑥 𝑎1
𝜆
−∞
𝑑𝑥
𝑃 𝑒 =1
2∙ 𝑓(𝑥)−𝐴
−∞
𝑑𝑥 +1
2∙ 𝑓(𝑥)+∞
𝐴
𝑑𝑥
𝑃 𝑒 =1
2∙ 1 − 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
+𝐴
−𝐴
𝑃 𝑒 =1
2∙ 1 − 2 ∙
1
2𝜋 𝜎 𝑒𝑥𝑝 −
𝑥2
2𝜎2𝑑𝑥
+𝐴
0
(7)
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Détection en présence du bruit
Taux d’erreur binaire théorique d’un signal binaire sur un canal AWGN :
• En effectuant le changement de variable suivant : 𝑢 = 𝑥
2 𝜎 , l’équation (7) devient :
• En se reportant à l’équation (3), on remarque que la fonction erfc apparaît dans
l’équation précédente, qui peut s’écrire sous la forme ci-dessous :
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
𝑃 𝑒 = 1
2 1 −
2
𝜋 𝑒𝑥𝑝+𝐴
2 𝜎
0
−𝑢2 𝑑𝑢
𝑃 𝑒 = 1
2 erfc
𝐴
2 𝜎 (8)
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Détection en présence du bruit
Taux d’erreur binaire théorique d’un signal binaire sur un canal AWGN :
• Si on note A l'amplitude du signal utile correspondant à un '1' émis et si on
considère que pour un '0' émis l'amplitude vaut -A, l'énergie utile moyenne par bit
transmis est :
𝐸𝑏 = 𝑃 𝑎𝑘 = 0 ∙ −𝐴2 + 𝑃 𝑎𝑘 = 1 ∙ 𝐴
2 = 𝐴2
• On considère qu’un bruit blanc gaussien (AWGN : Additif White Gaussian Noise)
possède une énergie 𝑁0, une moyenne nulle et une variance 𝜎2 = 𝑁0 2
L’équation de la probabilité d’erreur (8) peut donc s’écrire sous la forme suivante :
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
𝑃 𝑒 = 1
2 erfc
𝐸𝑏
2 𝑁0 2
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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE
Détection en présence du bruit
Taux d’erreur binaire théorique d’un signal binaire sur un canal AWGN :
• La probabilité d’erreur dans un canal binaire symétrique dépend uniquement du
rapport Eb/N0 entre l’énergie du signal transmis par bit Eb et celle du bruit N0 :
Le seuil de décision d’un récepteur est choisi afin de minimiser le taux d’erreur
binaire. Dans le cas d’un canal AWGN, il est possible de déterminer les
performances en terme de taux d’erreur binaire connaissant le rapport signal à
bruit.
CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base
𝑃 𝑒 = 1
2 erfc
𝐸𝑏𝑁0
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Conception d’un système de transmission numérique en bande de base :
Divers types de codes en BB :
• Les codes sur fronts facilitent la reconstitution de l’horloge et autorisent les
changement de polarité mais présentent un doublement de la bande
passante
• Les codes multi niveaux augmentent le débit au détriment du rapport S/N
Il n’y a pas de code BB optimal, il faut choisir le code en fonction de l’application
visée (caractéristiques du support, débit de transmission voulu …)
CHAPITRE III
6. CONCLUSION
Codages et transmission en bande de base
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Conception d’un système de transmission numérique en bande de base :
Canal à bande limitée : Interférences entre symboles
Critère de Nyquist : annuler les interférences aux instants d'échantillonnage
• Filtre idéal de Nyquist
• Filtre en cosinus surélevé
Diagramme de l’œil : pour analyser le niveau des interférences
Filtre adaptatif : maximiser le rapport signal à bruit 𝑺∕𝑵 à la sortie du filtre au
moment de l'échantillonnage
Egalisation : compenser les effets parasites du canal et annuler l’IES
CHAPITRE III
6. CONCLUSION
Codages et transmission en bande de base
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Planification d’une transmission numérique :
Vue générale d’un canal de transmission bruité et des contraintes associées à
respecter pour limiter l’apparition d’erreur de transmission :
CHAPITRE III
6. CONCLUSION
Codages et transmission en bande de base
Cod BB/ Mod BT
Déco / Démo
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Planification d’une transmission numérique :
Pour réaliser une liaison numérique sans erreurs, les données suivantes sont
nécessaires pour planifier la transmission :
• Le taux d’erreur binaire maximal, qui permet de déterminer le rapport signal à
bruit minimal et donc le seuil de sensibilité du récepteur
• Le débit binaire de la source
• La fonction de transfert du canal. Dans le cas d’une transmission numérique, est-
ce que des interférences inter-symboles sont à craindre ?
• La bande passante du canal et la bande de fréquence allouée pour la
transmission (ainsi que les tolérances d’émission sur les canaux adjacents)
• La densité spectrale de bruit N0, le rapport signal sur bruit minimal au niveau du
récepteur S/N ou le rapport signal à bruit par bit Eb/N0. Celui-ci dépend de la
spécification en terme de taux d’erreur binaire, de la modulation employée et des
techniques de codage de source et de canal.
• La puissance d’émission disponible et tolérable (réglementation des émissions)
CHAPITRE III
6. CONCLUSION
Codages et transmission en bande de base
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Planification d’une transmission numérique :
Une fois ces données connues, il est nécessaire de :
• Déterminer le débit binaire et le nombre de bits utilisés pour coder les différents
symboles. Ils dépendent de la largeur de bande et de la probabilité d’erreur
• Déterminer la forme des signaux élémentaires, les modulations et le filtrage
associé, afin de fixer l’encombrement spectral (efficacité spectrale)
• Concevoir les différents étages du récepteur pour minimiser l’effet du bruit et des
interférences inter symboles (filtrage, égalisation, synchronisation, décision)
• Dans le cas d’une transmission numérique, vérifier si le taux d’erreurs binaires est
acceptable, ajouter du codage canal et une marge de bruit si nécessaire
CHAPITRE III
6. CONCLUSION
Codages et transmission en bande de base
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Planification d’une transmission numérique :
Le respect des conditions de Nyquist et de la capacité maximale d’un canal
permet en théorie d’annuler l’interférence inter symboles. Mais dans un canal
réel, différentes techniques doivent être mises en jeu afin de minimiser le taux
d’erreur. Au niveau de l’émetteur, on peut :
• Ajouter des codes détecteur/correcteur d’erreur, entrelacer les données
• Réaliser un codage en ligne (modulations, mise en forme électrique) adapté au
canal
• Filtrer le signal
• Pratiquer des accès multiples (son intérêt reste l’optimisation de l’utilisation du
canal)
• Ajouter de la diversité
Au niveau du récepteur, la réduction des erreurs d’interprétations des données
est principalement assurée par l’égaliseur qui compense les effets parasites du
canal. Il est nécessaire de soigner la conception du régénérateur
(synchronisation, amplification, filtrage, décision).
CHAPITRE III
6. CONCLUSION
Codages et transmission en bande de base
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Pour les trois chapitres :
Fondements de la théorie de la transmission de l'information, Auteur : Alexandru
Spătaru, Éditeur : PPUR presses polytechniques, 1987.
Systèmes de communications numériques, Auteur : Gaël Mahé, 2010 – polycopié
de cours - UFR de Mathématiques et Informatique Université Paris Descartes.
Introduction aux communications numériques, auteurs : Michel Joindot, Alain
Glavieux. Collection: Sciences Sup, Dunod – 2007.
Extrait de Radiocommunications numériques, Tome 1 (sous la direction de G.
Baudoin), Dunod, Paris 2002. Chapitre rédigé par J.-F. Bercher (ESIEE-Paris).
www.esiee.fr/~bercherj/New/polys/PolyEgal.pdf.
CHAPITRE III
BIBLIOGRAPHIE
Codages et transmission en bande de base
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