La Logique des propositionsLa Logique des propositions

Intuition : Qu’est-ce qu’une proposition ? Quelque chose qui Intuition : Qu’est-ce qu’une proposition ? Quelque chose qui est est vrai vrai ou ou faux faux !!

Ex : ‘il pleut’ , ‘il fait beau’, l’herbe est mouillée’, ‘ il y a un Ex : ‘il pleut’ , ‘il fait beau’, l’herbe est mouillée’, ‘ il y a un bon film à la télévision ce soir’…bon film à la télévision ce soir’…

On peut aussi fabriquer d’autres énoncés. Par ex : ‘il fait On peut aussi fabriquer d’autres énoncés. Par ex : ‘il fait beau ou l’herbe est mouillée’ qui peut être vrai ou faux. beau ou l’herbe est mouillée’ qui peut être vrai ou faux. Donc c’est aussi une propositionDonc c’est aussi une proposition

Proposition bien formées : reconnaître les propositions qui Proposition bien formées : reconnaître les propositions qui ont un sensont un sens

Par exemple la proposition p1 Par exemple la proposition p1 p2 n’est pas une p2 n’est pas une proposition. Elle n’est pas bien formée.proposition. Elle n’est pas bien formée.

LangageLangageL’alphabet auxiliaire contient le seul symbole L’alphabet auxiliaire contient le seul symbole formuleformule, ,

l’axiome.l’axiome.Les réécritures sont :Les réécritures sont :FormuleFormule ff/ a / b /…/(/ a / b /…/(formuleformule formuleformule).).Si F est l’ensemble des formules bien formées définies par ce Si F est l’ensemble des formules bien formées définies par ce

langage.langage.Soit {Soit {vv, , ,,} un ensemble de symboles logiques. } un ensemble de symboles logiques.

Les formules qui les utilisent sont des abréviations de Les formules qui les utilisent sont des abréviations de formules de F où :formules de F où :

vv désigne la formule ( désigne la formule (ff ff))x, x, x désigne la formule (x x désigne la formule (x ff))x,y, x x,y, x y ssi ((x y ssi ((x y ) y ) y) y)x,y, x x,y, x y ssi ((x y ssi ((x (y (y ff)) )) ff))x,y, x x,y, x y ssi (((x y ssi (((x y) y) ((y ((y x) x) ff)) )) ff))

LangageLangage

• Un sous-ensemble de F : les Un sous-ensemble de F : les axiomesaxiomes , ,• (A1)(A1) (a (a (b (b a)) a))• (A2)(A2) ((c ((c ( a ( a b )) b )) (( c (( c a ) a ) (c (c b))) b)))• (A3)(A3) (((a (((a ff) ) ff a) a)

• Un ensemble de Un ensemble de règles d’inférencerègles d’inférence : :• (R1) [(R1) [substitutionsubstitution] : si ] : si xx est une formule, alors une formule est une formule, alors une formule yy

appartient à R1(appartient à R1(xx) ssi il existe une application qui, à tout symbole non ) ssi il existe une application qui, à tout symbole non logique logique aiai, fait correspondre une formule , fait correspondre une formule zizi, et , et yy est la formule obtenue est la formule obtenue en remplaçant chaque occurrence de en remplaçant chaque occurrence de aiai dans dans xx par par zizi. .

ExempleExemple: si : si xx est une formule ( est une formule (a a aa), et ), et yy la formule la formule ((a ((a b) b) (a (a b)), yb)), y appartient à R1( appartient à R1(xx) car on l’obtient en remplaçant chaque ) car on l’obtient en remplaçant chaque occurrence du symbole a dans occurrence du symbole a dans xx par la formule par la formule (a (a b) b)

• (R2)[(R2)[modus ponensmodus ponens] : si ] : si x , yx , y sont deux formules, et que sont deux formules, et que yy a la forme a la forme (x (x z),z), alors alors R2(x, y)R2(x, y) est l’ensemble contenant l’unique élément est l’ensemble contenant l’unique élément zz..ExempleExemple: si : si xx est la formule est la formule (a (a a), ya), y la formule la formule((a ((a a) a) (b (b c)), c)), la la

seul formule appartenant à seul formule appartenant à R2(x,y)R2(x,y) est est (b (b c). c).

Système de déductionSystème de déduction

Un système de déduction permet de définir la notion de Un système de déduction permet de définir la notion de preuvepreuve..

Une preuveUne preuve est une liste finie de formules x[i] pour est une liste finie de formules x[i] pour

11 i i m, telle que pour tout i dans cet intervalle,m, telle que pour tout i dans cet intervalle,

• Ou bien x[i] est un axiomeOu bien x[i] est un axiome

• Ou bien il existe une règle d’inférence Rj et des Ou bien il existe une règle d’inférence Rj et des entiers ientiers i11, …, i, …, inn tous strictement inférieurs à i, et tels tous strictement inférieurs à i, et tels

que x[i] appartienne à Rj(x[ique x[i] appartienne à Rj(x[i11],…,x[i],…,x[inn]).]).

Un théorèmeUn théorème est une formule x telle qu’il existe une est une formule x telle qu’il existe une preuve x[i] pour 1preuve x[i] pour 1 i i m avec x = x[m]m avec x = x[m]

ExempleExemple: [réflexivité] : (a : [réflexivité] : (a a)est un théorème de a)est un théorème de la logique propositionnelle la logique propositionnelle

x[1] : (c x[1] : (c (a (a b)) b)) ((c ((c a) a) ( c ( c b) (A2) b) (A2)

x[2] : (ax[2] : (a(b(ba))a))((a((ab)b)(a(aa)) R1(c/a, a/b, b/a)a)) R1(c/a, a/b, b/a)

x[3] : a x[3] : a (b (b a) (A1) a) (A1)

x[4] : (a x[4] : (a b) b) (a (a a) R2(X(2),X(3)) a) R2(X(2),X(3))

x[5] : a x[5] : a (b (b a) a) (a (a a) R1(b/ b a) R1(b/ b a) a)

x[6] : a x[6] : a a R2(X(5), X(3)) a R2(X(5), X(3))

Si E est un ensemble de formules, on notera ThSi E est un ensemble de formules, on notera Thss(E) l’ensemble des formules prouvables par un système déductif S lorsqu’il ajoute à son stock d’axiomes les éléments de E. Nous avons donc défini les théorèmes par ThThlplp(Ø).

Une propriété qui cause des soucis à la communauté de l’I.A., est la propriété de monotonie qui s’énonce ainsi : si l’ensemble E inclut l’ensemble F, alors l’ensemble Th(E) inclut l’ensemble Th(F).

Règles de valuationRègles de valuation

Dans cette logique, l’ensemble des valeurs de vérité V comprend deux symboles : Dans cette logique, l’ensemble des valeurs de vérité V comprend deux symboles : vraivrai et et faux.faux.

Un Un modèlemodèle est une fonction est une fonction vv de l‘ensemble des symboles non logiques (a, b, …) de l‘ensemble des symboles non logiques (a, b, …) dans V.dans V.

Si la formule est le symbole Si la formule est le symbole ff, sa valeur est faux;, sa valeur est faux;Si elle est atomique, i.e., si elle se réduit à un symbole non logique a, sa valeur est Si elle est atomique, i.e., si elle se réduit à un symbole non logique a, sa valeur est

v(a);v(a);

Si elle est da formeSi elle est da forme (p(p q), sa valeur est vrai sauf si v(p) est vrai et v(q) est faux. q), sa valeur est vrai sauf si v(p) est vrai et v(q) est faux.

Il existe des formules dont la valeur ne dépend pas de la valeur choisie pour les Il existe des formules dont la valeur ne dépend pas de la valeur choisie pour les symboles non logiques. Puisque V a deux éléments, il peut en exister de deux symboles non logiques. Puisque V a deux éléments, il peut en exister de deux sortes:sortes:

• Celles qui prennent la valeur vraiCelles qui prennent la valeur vrai la valeur que l’on attribue à leurs symboles la valeur que l’on attribue à leurs symboles non logiques : on les appelle non logiques : on les appelle tautologies.tautologies.

• Celle qui prennent la valeur faux dans les mêmes conditions : ce sont les Celle qui prennent la valeur faux dans les mêmes conditions : ce sont les antilogiesantilogies..

Propriété:Propriété: (A1), (A2) et (A3) sont des tautologies. (A1), (A2) et (A3) sont des tautologies.

Le système de déduction et les règles de valuation peuvent Le système de déduction et les règles de valuation peuvent être reliés par deux propriétés;être reliés par deux propriétés;

Correction :Correction : toutes les formules qui sont des théorèmes sont toutes les formules qui sont des théorèmes sont aussi des tautologies.aussi des tautologies.

Complétude :Complétude : toutes les formules qui sont des tautologies toutes les formules qui sont des tautologies sont aussi des théorèmes.sont aussi des théorèmes.

Théorème :Théorème : la logique des propositions est à la fois correcte la logique des propositions est à la fois correcte et complète.et complète.

Connaissances propositionnellesConnaissances propositionnelles

Nous disposons maintenant d’un système déductif apte à Nous disposons maintenant d’un système déductif apte à accomplir un certain type d’inférences. Peut-on alimenter ce accomplir un certain type d’inférences. Peut-on alimenter ce système par des connaissances?système par des connaissances?

Les seuls ‘’point d’entrée’’ sont les symboles non logiques. Que Les seuls ‘’point d’entrée’’ sont les symboles non logiques. Que se passe-t-il si nous décidons d’interpréter ces symboles se passe-t-il si nous décidons d’interpréter ces symboles comme de connaissances?comme de connaissances?

Exemple:Exemple: Jean affirme ‘’si Bernard est coupable, Sophie l’est Jean affirme ‘’si Bernard est coupable, Sophie l’est aussi’’;aussi’’;

Bernard dit : Jean est coupable et Sophie ne l’est pas’’;Bernard dit : Jean est coupable et Sophie ne l’est pas’’;Sophie assure qu’elle n’est pas coupable, mais qu’au moins l’un Sophie assure qu’elle n’est pas coupable, mais qu’au moins l’un

des deux protagonistes l’est.des deux protagonistes l’est.On suppose que chacune de ces personnes ment ssi elle est On suppose que chacune de ces personnes ment ssi elle est

coupable. Quels est (sont) le(s) coupable(s)?coupable. Quels est (sont) le(s) coupable(s)?On choisit un langage à 3 symboles non logiques, J,B et S, on On choisit un langage à 3 symboles non logiques, J,B et S, on

interprète ceux-ci par : interprète ceux-ci par : ‘’Jean (resp. Bernard, Sophie) ‘’Jean (resp. Bernard, Sophie) est coupable’’est coupable’’

Ce que jean affirme est traduit par:Ce que jean affirme est traduit par:

(B(B S) S)

Cette formule a la valeur vrai ssi jean est coupable d’où:Cette formule a la valeur vrai ssi jean est coupable d’où:

(F1) (F1) J J (B(B S)S)

De même, ce que dit Bernard de traduit par :De même, ce que dit Bernard de traduit par :

(J (J S) S)

Cette formule a la valeur vrai ssi Bernard est coupable d’où:Cette formule a la valeur vrai ssi Bernard est coupable d’où:

(F2) (F2) B B (J (J S) S)

Enfin, ce qu’assure Sophie est : Enfin, ce qu’assure Sophie est :

(( S S (J (J B)) B))

Cette formule a la valeur vrai ssi Sophie est coupable d’où:Cette formule a la valeur vrai ssi Sophie est coupable d’où:

(F3) (F3) S S ( ( S S (J (J B))B))

La question est de savoir s’il existe une ou La question est de savoir s’il existe une ou plusieurs assignations des valeurs de vérité de plusieurs assignations des valeurs de vérité de J,B, S qui donnent simultanément la valeur J,B, S qui donnent simultanément la valeur vrai à ces trois formules (donc à leur vrai à ces trois formules (donc à leur conjonction)conjonction)

JJ BB SS B B SS

(F1)(F1) J J S S (F2)(F2) S S (J (J B) B) (F3)(F3)

VV VV VV VV FF FF VV FF VV

VV VV FF FF VV VV FF VV VV

VV FF VV VV FF FF FF FF VV

VV FF FF VV FF VV VV VV VV

FF VV VV VV VV FF VV FF VV

FF VV FF FF FF FF VV VV VV

FF FF VV VV VV FF FF FF VV

FF FF FF VV VV FF FF FF FF

Exemple 2Exemple 2

Les nautiles sont des céphalopodes;Les nautiles sont des céphalopodes;

Les céphalopodes sont des mollusques;Les céphalopodes sont des mollusques;

Les mollusques ont généralement une coquille;Les mollusques ont généralement une coquille;

Les céphalopodes n’en ont généralement pas;Les céphalopodes n’en ont généralement pas;

Les nautiles en ont une.Les nautiles en ont une.

a est un nautile,a est un nautile,

b est un céphalopode,b est un céphalopode,

c est un mollusque.c est un mollusque.

Soient Na, Nb, Nc, Céa, Céb, Céc, Ma, Mb, Mc, Coa, Cob, Coc Soient Na, Nb, Nc, Céa, Céb, Céc, Ma, Mb, Mc, Coa, Cob, Coc 12 symboles non logiques que nous interprétons par 12 symboles non logiques que nous interprétons par

‘’‘’a (respectivement b, c) est un nautile’’.a (respectivement b, c) est un nautile’’.

‘’‘’(Respectivement, céphalopode, mollusque, coquille)’’(Respectivement, céphalopode, mollusque, coquille)’’

En ignorant pour l’instant les connaissances utilisant le mot En ignorant pour l’instant les connaissances utilisant le mot ‘’généralement’’ nous avons :‘’généralement’’ nous avons :

(Na (Na Céa); (Nb Céa); (Nb Céb); (Nc Céb); (Nc Céc); Céc);

(Céa (Céa Ma); (Céb Ma); (Céb Mb); Céc Mb); Céc Mc); Mc);

(Na (Na Coa); (Nb Coa); (Nb Cob); (Nc Cob); (Nc Coc); Na; Céb; Mc. Coc); Na; Céb; Mc.

Si on ajoute les connaissances dans lesquelles figure le mot Si on ajoute les connaissances dans lesquelles figure le mot ‘’généralement’’ sans prendre en compte la nuance introduite ‘’généralement’’ sans prendre en compte la nuance introduite par ce mot, il vient :par ce mot, il vient :

• (Ma (Ma Coa); (Mb Coa); (Mb Cob); (Mc Cob); (Mc Coc); Coc);

• (Céa (Céa Coa); (Céb Coa); (Céb Cob); (Céc Cob); (Céc Coc)Coc)

par deux applications du modus ponens sur Céb, (Céb par deux applications du modus ponens sur Céb, (Céb Mb) Mb) puis (Mb puis (Mb Cob) on peut conclure Cob et Cob) on peut conclure Cob et

Par Céb et Céb Par Céb et Céb Cob on peut conclure Cob on peut conclure Cob . Cob .

On obtient un système incohérentOn obtient un système incohérentPour éviter cette incohérence, la seul solution est de modifier la Pour éviter cette incohérence, la seul solution est de modifier la

traduction de ‘’généralement’’ : on exclut explicitement les traduction de ‘’généralement’’ : on exclut explicitement les exceptions connues, et on traduit :exceptions connues, et on traduit :

‘’ ‘’ Les céphalopodes qui ne sont pas des nautiles n’ont pas de Les céphalopodes qui ne sont pas des nautiles n’ont pas de coquille’’coquille’’

‘’‘’Les mollusque qui ne sont pas des céphalopodes non nautiles en Les mollusque qui ne sont pas des céphalopodes non nautiles en ont une’’. Soitont une’’. Soit

((Céa ((Céa Na) Na) Coa); Coa);

((Céb ((Céb Nb) Nb) Cob); Cob);

((Céc ((Céc Nc) Nc) Coc); Coc);

((Ma ((Ma (Céa (Céa Na)) Na)) Coa); Coa);

((Mb ((Mb (Céb (Céb Nb)) Nb)) Cob); Cob);

((Mc ((Mc (Céc (Céc Nc)) Nc)) Coc). Coc).

Ce système est cohérent puisqu’il admet des modèles : Na, Céa, Ce système est cohérent puisqu’il admet des modèles : Na, Céa, Céb, Ma, Mb, Mc, Coa ont la valeur vrai; Nb et Cob ont la Céb, Ma, Mb, Mc, Coa ont la valeur vrai; Nb et Cob ont la même valeur;même valeur;

Si Céc est faux, Nc est faux et Coc vraiSi Céc est faux, Nc est faux et Coc vrai

On constate que parmi les conclusions attendues On constate que parmi les conclusions attendues

(a et c portent une coquille, b n’en porte pas), (a et c portent une coquille, b n’en porte pas),

seule la première est démontrable : en effet, Coa est vrai dans tous seule la première est démontrable : en effet, Coa est vrai dans tous les modèles – le théorème de complétude assure alors que Coa les modèles – le théorème de complétude assure alors que Coa est démontrable -, est démontrable -,

et comme il existe des modèles où Coc est faux, Coc n’est pas et comme il existe des modèles où Coc est faux, Coc n’est pas démontrable (s’il l’était, d’après le théorème de correction, Coc démontrable (s’il l’était, d’après le théorème de correction, Coc serait vrai dans tous les modèles); serait vrai dans tous les modèles);

Même chose pour Même chose pour Coc Coc

La première traduction est inutilisable, puisque d’un système La première traduction est inutilisable, puisque d’un système incohérent, on peut tirer n’importe quelle conclusion;incohérent, on peut tirer n’importe quelle conclusion;

La deuxième, plus satisfaisante, est cependant peu utile puisqu’elle La deuxième, plus satisfaisante, est cependant peu utile puisqu’elle ne permet pas d’obtenir toutes les conclusions souhaitéesne permet pas d’obtenir toutes les conclusions souhaitées

On voudrait pouvoir traduire une connaissance comme On voudrait pouvoir traduire une connaissance comme ‘’Les mollusques, sauf ceux dont vous savez qu’ils ‘’Les mollusques, sauf ceux dont vous savez qu’ils sont des céphalopodes, ont une coquille’’, sont des céphalopodes, ont une coquille’’,

Mais une telle expression est incompatible avec la Mais une telle expression est incompatible avec la propriété de monotonie : en effet, nous demandons de propriété de monotonie : en effet, nous demandons de conclure :conclure :

‘’‘’a coquille’’ à partir de F = {mollusque} mais de ne a coquille’’ à partir de F = {mollusque} mais de ne plus le conclure à partir de plus le conclure à partir de

E = {mollusque, céphalopode}. E = {mollusque, céphalopode}. On se trouve bien dans un cas où l’ensemble E inclut On se trouve bien dans un cas où l’ensemble E inclut

l’ensemble F, alors que l’ensemble Th(E) ne doit pas l’ensemble F, alors que l’ensemble Th(E) ne doit pas inclure l’ensemble Th(F).inclure l’ensemble Th(F).

DécidabilitéDécidabilité

On dit qu’une logique est décidable s’il existe un On dit qu’une logique est décidable s’il existe un procédé de calcule qui pour toute formule, procédé de calcule qui pour toute formule, indique en un temps fini s’il s’agit ou non d’un indique en un temps fini s’il s’agit ou non d’un théorème de cette logique.théorème de cette logique.

La logique des proposition est décidable. La logique des proposition est décidable.