L3 - Economie & Gestion

Statistique InferentielleSujet A - Controle Continu n°2

Duree 1h30 - Annee universitaire 2021 - 2022

Recommandations : Soigner la redaction. La note prendra largement en compte la qualite des explications.La copie-brouillon et la copie qui ne comporte que des resultats sont mal percues par le correcteur. Lesexercices sont independants, des extraits de tables statistiques sont donnes en annexe. Aucun document n’estpermis. Les machines a calculer non programmables sont autorisees. Les dictionnaires pour les etudiantsetrangers sont autorises.

Exercice 1 : ( Bareme de notation : a) 1.5 pt b) 3 pts c) 1.5 pt d) 2.5 pts e) 1.5 pt = 10 pts)

Le tableau ci-dessous donne la repartition de 250 vehicules vendus par la centrale automobilede Lyon selon le type de moteur (Thermique, Hybride) et la marque des deux constructeurs francais(Peugeot-Citroen, Renault). Le vehicule thermique est alimente par un carburant essence ou gazole(diesel). Le vehicule hybride est equipe de deux moteurs, un thermique et un electrique afin de reduirela consommation de carburant.

Marque du constructeur francaisType de moteur Peugeot-Citroen Renault TotalThermique 82 78 160Hybride 63 27 90Total 145 105 250

a) Completer les proportions suivantes :- ....% des vehicules hybrides vendus par la centrale automobile sont de marque Peugeot-Citroen.- ....% des vehicules de marque Renault vendus par la centrale automobile sont de type thermique.b) Peut-on conclure avec un risque d’erreur α = 5%, qu’il y a un lien entre le type de moteur du

vehicule et la marque de son constructeur ?Un journaliste du magazine Auto-Journal local a emis l’hypothese selon laquelle la centrale auto-

mobile de Lyon a vendu plus de Peugeot-Citroen hybrides que de Renault hybrides.c) Determiner les proportions des vehicules hybrides vendus par les deux constructeurs.d) Peut-on conclure avec un risque d’erreur α = 5%, que l’hypothese emise par le journaliste est

vraie ?e) A quoi correspond le carre de la valeur de la statistique de test sous l’hypothese nulle H0 que

vous avez obtenue en d) ?

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Sujet A : Controle Continu n°2 de Statistique inferentielle 2021-2022 1 R. Abdesselam

Exercice 2 : ( Bareme de notation : a) 2 pts b) 2.5 pts c) 2.5 pts d) 3 pts = 10 pts)

Quel placement bancaire choisir ? On veut comparer les rendements annuels de deux types debanques pour les particuliers, les classiques avec agence et les direct en ligne. Les rendements deces deux types de banques sont supposes normalement distribues. Les reultats obtenus sont presentesdans le tableau ci-dessous.

Type de banque Classique LigneNombre de banques 12 8

Rendement annuel moyen observe (%) 2.50 2.90Variance observee 0.11 0.21

a) Peut-on conclure avec un risque d’erreur α = 5%, que le rendement annuel moyen de la banqueclassique est inferieur a 3 ?

b) Peut-on considerer comme vraisemblable au seuil de signification α = 5%, l’hypothese selonlaquelle les variances des rendements annuels de ces deux types de banques sont differentes ?

c) Peut-on affirmer avec un risque d’erreur α = 5%, que le rendement annuel moyen de la banqueclassique est plus faible que celui de la banque en ligne ?

On a releve au hasard parmi les clients des deux banques, un echantillon de rendements annuelsdes clients de la banque classique et des clients de la banque en ligne. Les rendements annuelsobserves sont donnes dans le tableau suivant :

m = 7 rendements annuels - Banque classique 2,50 2,50 2,45 2,55 2,65 2,25 2,60n = 8 rendements annuels - Banque en ligne 2,50 3,30 2,70 2,90 2,85 2,80 3,20 2,95

d) Peut-on conclure avec un risque d’erreur α = 5%, que les distributions des rendements annuelsdes clients de la banque classique et de la banque en ligne sont significativement differentes ?

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Sujet A : Controle Continu n°2 de Statistique inferentielle 2021-2022 2 R. Abdesselam

Table de la loi Normale Centree Reduite : U → N(0;1)Φ : Fonction de repartition : Φ(u) = P(U ≤ u) ; Φ(−u) = P(U ≤−u) = 1−Φ(u)

u 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.53590.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.57540.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.61410.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.65170.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.68790.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.70540 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.72240.6 0.7258 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7518 0.75490.7 0.7580 0.7612 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.78520.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7996 0.8023 0.8051 0.8079 0.8106 0.81330.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.83891.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.86211.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.88301.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.90151.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.91771.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.93191.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9430 0.94411.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9485 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.95451.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.96331.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9610 0.97061.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9762 0.97672.0 0.9773 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817

Exemples : Φ(1.26) = P(U ≤ 1.26) = 0.89617 ; Φ(u) = P(U ≤ u) = 97.50%⇒ u = 1.96

Table de la loi de Student - Fractiles de la loi de Student a ν degres de liberteValeur du fractile t - Fonction de repartition : P = F(t) = P(Tν ≤ t).

ν P 0,925 0,93 0,935 0,94 0,95 0,955 0,96 0,97 0,975 0,98 0,99 0,995

10 1,559 1,603 1,650 1,700 1,812 1,877 1,948 2,120 2,228 2,359 2,764 3,16911 1,548 1,591 1,636 1,686 1,796 1,859 1,928 2,096 2,201 2,328 2,718 3,10612 1,538 1,580 1,626 1,674 1,782 1,844 1,912 2,076 2,179 2,303 2,68 1 3,05517 1,508 1,548 1,591 1,637 1,740 1,798 1,862 2,015 2,110 2,224 2,567 2,89818 1,504 1,544 1,587 1,632 1,734 1,792 1,855 2,007 2,101 2,214 2,552 2,87819 1,500 1,540 1,583 1,628 1,729 1,786 1,850 2,000 2,093 2,205 2,540 2,86120 1,497 1,537 1,579 1,624 1,725 1,782 1,844 1,994 2,086 2,197 2,528 2,845

Exemple : ν = 10 d.d.l. P(T10 ≤ t) = 0.975 ⇒ t =+2.228 et P(T17 ≤−t) = 0.025 ⇒ t =−2.110

Table de la loi de Fisher-SnedecorValeur f de la variable de Fisher-Snedecor F(ν1;ν2) ayant la probabilite 2.5% d’etre depassee.

ν1 : degres de liberte du numerateur ν2 : degres de liberte du denominateurFonction de repartition : F( f ) = P(F(ν1 ,ν2)≤ f ) = 97.50%

ν2 ν1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

5 10.01 8.43 7.76 7.39 7.15 6.98 6.85 6.76 6.68 6.62 6.57 6.52 6.49 6.466 8.81 7.26 6.60 6.23 5.99 5.82 5.70 5.60 5.52 5.46 5.41 5.37 5.33 5.307 8.07 6.54 5.89 5.52 5.29 5.12 4.99 4.90 4.82 4.76 4.71 4.67 4.63 4.6010 6.94 5.46 4.83 4.47 4.24 4.07 3.95 3.85 3.78 3.72 3.66 3.62 3.58 3.5511 6.72 5.26 4.63 4.28 4.04 3.88 3.76 3.66 3.59 3.53 3.47 3.43 3.39 3.3612 6.55 5.10 4.47 4.12 3.89 3.73 3.61 3.51 3.44 3.37 3.32 3.28 3.24 3.21

Exemples : ν1 = 5 et ν2 = 10 : P(F97.5% ; 2 ; 5 ≤ f ) = 0.975 ⇒ f = 4.24P(F2.5% ; 5 ; 10 ≤ f ′) = 0.025P(F97.5% ; 10 ; 5 ≤ f ) = 0.975 ⇒ f = 6.62 ⇒ f ′ = 1

f = 16.62 = 0.1511

Sujet A : Controle Continu n°2 de Statistique inferentielle 2021-2022 3 R. Abdesselam

Tables de Wilcoxon - Echantillons independantsTest bilateral Tests Unilateraux

m α = 5% α = 1% m α = 5% α = 1%6 0 * 6 2 *7 2 * m : la mediane de X−Y . 7 2 *8 3 0 WX la somme des rangs des differences positives. 8 5 *9 5 1 Valeur critique w∗ tel que : P(WX ≤ w∗). 9 8 210 8 3 m : taille de l’echantillon de X, le plus petit echantillon. 10 10 411 10 5 n : taille de l’echantillon de Y, (m≤ n). 11 13 712 13 9 ∗ indique que le test ne peut etre significatif. 12 17 913 17 9 13 21 12

Test unilateral Test bilateral Test unilateral”risque a gauche” ”risque a droite”

{ H0 : m = 0H1 : m < 0.

{ H0 : m = 0H1 : m 6= 0.

{ H0 : m = 0H1 : m > 0.

Rejet de H0 si Wx ≤ w∗ Rejet de H0 si Wx ≤ w∗ Rejet de H0 si Wx > w∗

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Table de la loi du χ2ν d.d.l. Fonction de repartition : F(k) = P(χ2

ν ≤ k)

ν P 0.010 0.020 0.025 0.050 0.100 0.150 0.200 0.800 0.900 0.950 0.975 0.980 0.990

1 0.000 0.001 0.001 0.004 0.016 0.036 0.064 1.642 2.706 3.841 5.024 5.412 6.642 0.020 0.040 0.051 0.103 0.211 0.325 0.446 3.219 4.605 5.991 7.378 7.824 9.213 0.115 0.185 0.216 0.352 0.584 0.798 1.005 4.642 6.251 7.815 9.348 9.837 11.354 0.297 0.429 0.484 0.711 1.064 1.366 1.649 5.989 7.779 9.488 11.143 11.668 13.285 0.554 0.752 0.831 1.145 1.610 1.994 2.343 7.289 9.236 11.070 12.833 13.388 15.09

Exemples : ν = 2 d.d.l. F(k) = P(χ22 ≤ k) = 0.95 ⇒ k = 5.991

k = 7.378 ⇒ F(7.378) = P(χ22 ≤ 7.378) = 0.975

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Table U de Mann-Whitney - Echantillons independantsValeurs seuils ou critiques - Test bilateral : risque d’erreur α = 5%

nm 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

3 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 84 1 2 3 4 4 5 6 7 8 9 10 11 11 12 13 145 2 3 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 17 18 19 206 5 6 8 10 11 13 14 16 17 19 21 22 24 25 277 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 348 13 15 17 19 22 24 26 29 31 34 36 38 419 17 20 23 26 28 31 34 37 39 42 45 4810 23 26 29 33 36 39 42 45 48 52 5511 30 33 37 40 44 47 51 55 58 6212 37 41 45 49 53 57 61 65 6913 45 50 54 59 63 67 72 7614 55 59 64 67 74 78 8315 64 70 75 80 85 9016 75 81 86 92 9817 87 93 99 10518 99 106 11219 113 11920 127

m et n les tailles des echantillons independants (m≤ n)

Conclusion : Non Rejet de l’hypothese nulle H0 si la plus petite valeur des deux statistiques de test Ux et Uy (test bilateral) : min(Ux,Uy) > u∗ :valeur critique lue dans la table.

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Sujet A : Controle Continu n°2 de Statistique inferentielle 2021-2022 4 R. Abdesselam