l3 c 04-flexion

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3- La flexion simple

POUTRE SIMPLE

COUVERTURELINTEAU


. On définit la flèche f comme la déformation maximale d’un élément de structure soumis à une flexion simple (Mf)

. La flèche f est proportionnelle aux forces F exercées sur l’élément cad proportionnelle à Mf dans chaque section.

. Si F et h ne changent pas, la flèche f la plus grande se trouve sur l’axe de symétrie car (Mf est maximal sur cet axe).

POUTRE SIMPLE

3.1 Introduction - considérations générales

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3- La flexion simple. Si F et la hauteur de l’élément sont constantes, la flèche f est inversement proportionnel à la largeur b de l’élément (pour un même matériau).

f1 . b1 = f2 . b2 = cteh

b1 b2

. Si b =cte, on remarque quef . h1

3 = f . h23 = cte h1 h2

LA HAUTEUR D’UNE POUTRE A BEAUCOUP PLUS D’IMPORTANCE QUE SA LARGEUR D’UN POINT DE VUE DES FLEXIONS SIMPLES


LA HAUTEUR D’UNE POUTRE A BEAUCOUP PLUS D’IMPORTANCE QUE SA LARGEUR D’UN POINT DE VUE DES FLEXIONS SIMPLES

Autrement dit :

b1 b2 b1 + b2

x.h

x . hSi non lamellé colléEt non riveté

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Il existe un plan tel que la matière ne subit pas de déformations longitudinales. C’est le plan neutre (axe neutre ou fibre neutre) PoOn remarque :. Au dessus de Po, la matière subit un effort de compression (raccourcissement). Au dessous de Po, la matière subit un effort de traction (allongement)

Ces deux efforts sont d’autant plus forts que l’on s’éloigne de l’axe neutre

Po

3.2 Décomposition du phénomène


On doit constater que les sollicitations de flexion provoquent :. Des contraintes normales n aux sections droites

. Des contraintes de traction d’un côté du plan neutre

. Des contraintes de compression de l’autre côté du plan neutre

. Des contraintes de cisaillement longitudinales (et donc par réciprocité transversales)

Comment connaître n et t en chaque point ?

3.2 Décomposition du phénomène

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. L’axe neutre est défini par le centre de gravité de la section

I = y 2dSS

∫∫. On peut définir le Moment d�inertie de la section °/ à l�axe neutre [unité m4]

I v

. et le Module d�inertie en m3

Axe neutre

y v=ymax

v= distance àl�axe neutre

(S)

3.3- Moment et Module d�inertie - Contrainte normale


Ainsi, on peut montrer qu�en 1 pt quelconque repéré par y dans une section de moment d�inertie I et de module d�inertie I/v, soumise à la flexion due à Mf,

La contrainte normale est

n = Mf / (I/y)

et elle a donc pour valeur maximale

nmax = Mf / (I/v)

Axe neutre

y

(S)

T

Mf

3.3- Moment et Module d�inertie

vV=ymax (V= distance max à l�axe neutre )

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. La répartition de la contrainte de cisaillement longitudinale et transversale est donnée par :

t = ( T. W ) / ( I . L)

avec W = ∫∫S y dS

. La contrainte tangentielle est nullesur les fibres les plus extérieures et maximales sur la fibre neutre.

. C�est pour cela, que pour qu�un profilé en H on ne tient compte que de l�âme pour calculer tmax et tmoyen

S

y

L

A.N.

to

x

3.3- Moment et Module d�inertie


La conception cherche à placer la matière à la plus grande distance possible de l�axe neutre en gardant au niveau de celui-ci le minimum pour résister à la contrainte tangentielle

1- une poutre de bois présente toujours une hauteur supérieure à sa largeur et peut même présenter une âme d�épaisseur plus faible

3.3- Conséquences

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2- Les profilés d�acier présentent des ailes qui constituent l�essentiel du moment d�inertie (alors que l�âme résiste au cisaillement ou sont creux, le métal central n�ayant que très peu de rôle.

3- Les tôles ne sont pas utilisées sans ondulation ou plissage.

3.3- Conséquences


4- Un plancher n�est pas posé avec de longues portées mais sur des solivespermettant d�avoir avec moins de bois plus d�inertie, elles-même éventuellement supportées par des poutres de grandes hauteur.

3.3- Conséquences

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Dans la pratique, I et I/v sont donnés.(cf documentation jointe). Par ex, pour les sections rectangulaires,

I = b. h3 / 12

I/v = b. h2 / 6

. pour les profilés

I = S. h2 / 2

I/v = S.h

b

h

h

3.4- Mise en pratique


La sollicitation de flexion peut entraîner des concentrations de contraintes. On simplifie alors :

. La contrainte normale maximale ne pas dépasser Ra (en traction comme en compression)

. La contrainte maximale tangentielle ne pas dépasser Rag

. La flèche ne doit pas dépasser une valeur fixée (la déformation ne doit pas dépasser une certaine valeur)(en générale donnée par la Réglementation)par exemple, les déformations maximales du gros-�uvre sont fixées de telle sorte que le second-�uvre ne souffre pas


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3- La flexion simpleInéquations d�équarrissageA- Résistances au contraintes

� nmax = Mf / (I/v) ≤ Ra

� tmax = T. W0 / (I/L0) ≤ Rag (dans le cas général)avec tmax :

tmax = k . T / S ≤ Rag

avec k = 3/2 ; k = 4/3 ; k=1 et S = Sâme(nmax et tmax se situant respectivement au niveau de Mfmax et Tmax pour une section constante)

B- Déformation : on vérifie que la flèche maximale est inférieure à une valeur donnée par :

� Flèche : f = (fonction connue de charge, E, I, l) ≤ 1/ NN = 150 pour console ou partie sans circulationN = 200 éléments supportant une couvertureN = 300 éléments supportant matériaux verriers, pannesN= 400 pour les solivesN = 500 pour les poutres maîtresses (avec circulation)



Exercice : Soit une panne de section constante sur appuis simples supportant une charge uniformément répartie p = 800 daN/m sur sa longueur l de 5m.Quelles dimensions lui donner selon qu�elle est :

* bois(Ra = 10MPa E = 7 500 MPa Rag = 1,2 MPa)

* Acier(Ra = 160MPa E = 200 000 MPa Rag = 100 MPa)

Données :Mf max = (p.l2) / 8 au centre la poutreT max = (p.l) / 2 aux appuisf = (5 p.l4) / (384 E.I)Panne => f ≤ 1/300Comment faire : Calculer Mfmax, Tmax et f et appliquer les inéquations d�équarrissage

PANNE

l3 c 04-flexion

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