L1-S1 2005-2006

TP

PHYS 102 :

LUMIERE, IMAGES ET COULEURS

chambre noire faisceau de fibres optiques

arc-en-ciel mirage supérieur

Université Paris-Sud, Centre scientifique d'Orsay

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Introduction générale au module L102 :

Le module L102 comprend des cours, TD et TP intégrés. Il s’agit d’une introduction àl’optique de base : optique dite « géométrique »1. Il est organisé sur deux principes :• Il est axé sur l’expérimentation, l’idée étant que vous découvrirez d’abord les notions par

vous-mêmes à travers les expériences que vous réaliserez, puis interpréterez. Dans lamesure du possible, des expériences qualitatives sont proposées avant les expériencesquantitatives correspondantes. Le cours vient ensuite synthétiser et compléter les notionsacquises.

• Le cours est le plus ouvert possible sur la vie quotidienne, tant pour les expériencesproposées (fibres optiques, mirages, couleurs des objets, fonctionnement de l’œil, etc) quepour les ouvertures suggérées tout au long, documents à l’appui (fibres optiques ettélécommunications, arc-en-ciel, télescope Hubble, illusions d’optique, etc).

Ce module comprend 6 séances de 4h. Chaque séance porte sur un thème donné et a lieu dansune salle particulière.Ce polycopié sera votre outil essentiel. Il est prévu pour être complété au fur et à mesure : uncertain nombre de questions vous sont posées, des schémas sont à remplir, etc.Deux des séances feront également l’objet d’un compte-rendu à rendre à la fin de la séance.

1 Sauf au dernier chapitre, qui constitue une ouverture.

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SOMMAIRE

CHAPITRE 1 : Nature de la lumière, domaine de l’optiquegéométrique……………………………………………………………………5

CHAPITRE 2 : Etude quantitative de la loi de la réfraction; introductionaux incertitudes……………………………………………………………….25

CHAPITRE 3 : Etude quantitative de la loi de la réfraction; introductionauxincertitudes……………………………………………………………………41

CHAPITRE 4 : Etude quantitative de la loi de la réfraction; introductionaux incertitudes………………………………………………………………63

CHAPITRE 5 : Etude quantitative de la loi de la réfraction; introductionaux incertitudes………………………………………………………………81

CHAPITRE 6 : Etude quantitative de la loi de la réfraction; introductionaux incertitudes………………………………………………………………93

EXERCICES…………………………………………………………………117

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CHAPITRE 1 :

NATURE DE LA LUMIERE, DOMAINE DE L’OPTIQUE

GEOMETRIQUE

Sa l l es : « l as er » 03 8 ou 138

Une éclipse totale de Soleil

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SOMMAIRE DU CHAPITRE 1 :

A. QU’EST-CE QUE LA LUMIÈRE ?................................................................................................... 7A.1 INTRODUCTION.................................................................................................................................. 7

A.2 MODÈLE DU RAYON LUMINEUX, PROPAGATION RECTILIGNE DE LA LUMIÈRE ................................. 7

A.3 RÉFLEXION ET RÉFRACTION DE LA LUMIÈRE .................................................................................. 10

A..3.a) Mise en évidence qualitative ..................................................................................................... 10

A.3.b) Petit historique............................................................................................................................ 12

A.3.c) Rappel des lois de Snell-Descartes ............................................................................................. 12

A.3.d Phénomène de réflexion totale, application à la fibre optique..................................................... 13

A.4 MODÈLE ONDULATOIRE OU CORPUSCULAIRE................................................................................. 15

A.5 MODÈLE DE L’ONDE ÉLECTROMAGNÉTIQUE .................................................................................. 16

A.6 MODÈLE DES PHOTONS ................................................................................................................... 17

A.7 LA DUALITÉ ONDE-CORPUSCULE .................................................................................................... 17

A.8 CONCLUSION : LA SUITE DE L’HISTOIRE… ..................................................................................... 17

B. QU’EST-CE QUE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE ? .......................................................................... 19B.1 INTRODUCTION, ET DÉFINITION DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE....................................................... 19

B.2 LES DEUX HYPOTHÈSES FONDAMENTALES DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE ..................................... 19

B.3 DOMAINE DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE ......................................................................................... 19

B.4 NOTIONS UTILES POUR CE COURS ................................................................................................... 20

B.4.a Les ondes électromagnétiques...................................................................................................... 20

B.4.b La propagation de la lumière dans le vide ................................................................................... 22

B.4.c La propagation de la lumière dans les milieux matériels homogènes.......................................... 22

B.4.d Complément : propagation de la lumière dans un milieu inhomogène ; phénomène de mirage . 23

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A. Qu’est-ce que la lumière ?

A.1 Introduction

Dès l’Antiquité, plusieurs théories différentes de la nature de la lumière ont été proposées pardes philosophes grecs, dont Démocrite, Pythagore, Empédocle, Platon, Aristote... Parmi cesthéories, celle d’Euclide affirme que la lumière est émise par l’œil.

Question : que pensez-vous de cette idée ? Comment pourriez-vous la réfuter ?

L’affirmation précédente montre une mauvaise séparation entre l’objet et le sujet quil’observe (c’est la base de la science, mais elle n’en était encore qu’à ses balbutiements..).Par la suite, les savants ont compris que la lumière était une entité propre, indépendante dusujet qui la regarde. Al Hazen notamment, un scientifique arabe du XIe siècle, a été l’un despremiers à développer cette idée. Pourtant, ses travaux ont été mal compris par les savantsoccidentaux, trop marqués par la pensée antique. Ainsi, à la fin du XVe siècle, soit plus de 400ans après Al Hazen, trouve-t-on encore référence à la théorie d’Euclide selon laquelle « lavision se faisait par l’émission d’un esprit visuel, allant de l’œil à la chose vue » (GrégoireReisch, 1486).

A.2 Modèle du rayon lumineux, propagation rectiligne de la lumière

Gloire

Expérience 1 : ombre portée d’un objet

Étudier l’ombre d’un objet éclairé par une source de lumière blanche, soit ponctuelle(autant que possible), soit étendue. Qu’en concluez-vous sur la façon dont la lumièrese propage?

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Expérience 2 : matérialisation d’un « rayon » lumineux

Après avoir lu attentivement l’encadré sur les dangers du laser, allumez le laserqui est sur votre table. Voyez-vous clairement le faisceau ? Faites tomber un peu depoudre de craie sur le trajet du laser. Qu’observez-vous maintenant ? Expliquez.

Encadré : les dangers du laser

Le faisceau laser constitue un moyen très performant pour transporter une grande densitéd’énergie sur d’assez grandes distances. Les risques liés au faisceau sont donc surtout desrisques d’incendie ou de brûlure. Ces risques dépendent en particulier de la puissance. Leslasers très puissants peuvent brûler les tissus vivants (certains sont utilisés en médecinecomme bistouris).La plupart des lasers, même de faible puissance, peuvent provoquer de graves lésions dansl’œil. En effet, un faisceau parallèle qui atteint l’œil est focalisé sur la rétine. Toute lapuissance est ainsi concentrée sur quelques cellules seulement. Les lésions provoquéesdépendent alors de la puissance du laser et peuvent aller jusqu’à la destruction complète descellules de la rétine, laissant alors définitivement aveugles les zones atteintes. Ainsi, mêmepour un laser de faible puissance (inférieure à 1, laser dit de classe II) tel que ceux que vousutilisez en TP, il est encore plus dangereux et dommageable pour l’œil de regarder le faisceaudans l’axe que de regarder le soleil en face ! Il convient donc d’observer quelques règles desécurité lors de vos manipulations :• NE REGARDEZ JAMAIS LE FAISCEAU DANS L’AXE.• Evitez les risques de réflexions parasites : prenez soin, avant de manipuler, d’enlever tout

objet métallique ou vitreux (montre, bagues, bracelets..) qui pourraient les provoquer.• Un obturateur mécanique vous permet d’occulter le faisceau sans éteindre le laser.

Utilisez-le chaque fois que vous modifiez les éléments placés sur le parcours du faisceau.• Ne cherchez pas à enlever ou modifier les rideaux noirs disposés autour de votre table.• Ne luttez pas contre le réflexe de fermeture des paupières.

Euclide avait en fait émis le postulat suivant :« Les rayons émis par l’œil se transmettent en ligne droite. »

Nous avons déjà abordé le fait que les rayons ne sont en réalité pas émis par l’œil. Discutonsmaintenant les deux autres affirmations contenues dans cette phrase.• Euclide suppose implicitement l’existence de rayons lumineux. Un rayon lumineux est

une abstraction mathématique, pas un véritable objet physique. On peut le considérercomme la limite d’un pinceau de lumière infiniment fin (un faisceau laser est un finpinceau de lumière). Par abus de langage, on utilisera parfois le terme « rayon » pourdésigner le faisceau laser.

• Le principe de propagation rectiligne de la lumière (dans un milieu homogène, commenous le verrons plus loin) est une des deux hypothèses fondamentales de l’optiquedite aujourd’hui « géométrique ».

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Encadré : les éclipses

Schéma de principe expliquant les éclipses de soleil

éclipse totale éclipse annulaire éclipse partielle

Les éclipses s’expliquent très bien dans le cadre de la propagation rectiligne de la lumière.Prenons le cas d’une éclipse de Soleil : la Lune est alors située entre celui-ci et la Terre. Onconsidère l’ombre géométrique du Soleil derrière la Lune : on constate qu’il existe une zoned’obscurité totale (ombre) où l’éclipse est totale, et une zone de pénombre où l’obscurité n’estque partielle. Pour d’autres positions de la Lune par rapport à la Terre, la zone d’ombren’intersecte pas la Terre : on a alors, au lieu d’une éclipse totale, une éclipse annulaire oupartielle (cf schéma ci-dessus).De la même façon, on peut décrire une éclipse de Lune en échangeant les rôles de la Terre etde la Lune.

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A.3 Réflexion et réfraction de la lumière

A . 3 . a ) M i s e e n é v i d e n c e q u a l i t a t i v e

Expérience 3 (à réaliser par l’enseignant) : réflexion et réfraction en lumière blanche

Montrer ce qu’il advient d’un faisceau parallèle de lumière blanche à l’interface air / eau(utiliser une grande cuve remplie d’eau).

Expérience 4 (à réaliser par l’enseignant) : réflexion et réfraction d’un faisceau laser

Même expérience que précédemment, avec un faisceau laser à la place de la sourcede lumière blanche.

Que concluez-vous de ces deux expériences ?

Expérience 5 : réflexion et réfraction d’un faisceau laser dans le cas air/altuglas

Vous disposez sur votre table d’un dispositif expérimental prévu pour l’étude de laréflexion et la réfraction d’un faisceau laser. Il s’agit d’une platine munie d’unecouronne d’altuglas2 rouge, pouvant tourner sur son socle. Elle est également munied’une graduation permettant des mesures d’angles.

Allumez le laser, puis positionnez la platine de telle sorte que le laser passe au centrede celle-ci (le vérifier en faisant tourner la platine sur elle-même).

Obturez le faisceau laser, puis placez l’hémicylindre d’altuglas dans la partie centralede la couronne. Cet hémicylindre permet d’étudier ce qu’il advient d’un rayon lors d’unchangement de milieu : on peut ainsi étudier le passage air-altuglas ou altuglas-air.

Que devient le « rayon » laser lors d’un passage airÆaltuglas ? Repérez les différents« rayons » présents et nommez-les. Complétez le schéma ci-après.

2 L’altuglas est une marque déposée par la société Altulor pour désigner une matière plastique disponible sous laforme de plaques de polymétacrylate de méthyle.

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air

altuglas

irayon

incident

Pour un passage airÆaltuglas , observez-vous toujours un faisceau réfracté et unfaisceau réfléchi ?

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A . 3 . b ) P e t i t h i s t o r i q u e

Par définition, la réfraction est le changement de direction de la lumière lors de la traversée del’interface entre deux milieux différents.Historiquement, la réflexion et la réfraction de la lumière ont également été étudiées très tôt.Vous venez de voir ces phénomènes qualitativement. Il est naturel d’essayer de les quantifieren mesurant les angles de réflexion et de réfraction pour différents milieux. Vous le ferez à laséance suivante. Cependant, nous allons dès à présent anticiper sur ce qui a été faithistoriquement en ce sens.Ainsi, Ptolémée (en 130) a mesuré assez précisément les angles de réflexion et de réfractionpour différents milieux. Al Hazen (au XIe siècle) a établi la loi de la réfraction (il a généraliséla loi trouvée pour les petits angles par Ptolémée). Kepler (1571-1630) a redécouvert la loi dela réfraction pour les petits angles, qui dit que l’angle de réfraction et l’angle d’incidence sontproportionnels.Enfin, Snell (1591-1626) à Leyde a découvert empiriquement la loi de la réfraction : c’est sonnom que l’histoire a retenu… Du moins dans les pays anglo-saxons, car en France cette loi estassociée au nom de Descartes : la raison (outre un certain chauvinisme…) en est queDescartes (1596-1650) a été le premier à publier la loi de la réfraction sous sa forme actuelle(avec des sinus), en se basant sur les résultats expérimentaux de Snell. Dans ce cours, nousappellerons les lois de la réflexion et de la réfraction « lois de Snell-Descartes ».Les lois de la réflexion et de la réfraction de la lumière constituent la deuxièmehypothèse fondamentale de l’optique dite « géométrique ».Il semble alors naturel de se demander d’où viennent ces lois, qui sont pour l’instantempiriques, c’est-à-dire tirées de l’expérience, mais pas établies sur une base théorique. C’estce qu’a fait Fermat (1601-1665) : il a posé le « principe de moindre temps » qui dit que lalumière choisit le chemin le plus court (en temps). Ceci implique que la lumière va plus vitedans l’air que dans les autres milieux, en contradiction avec une idée de Descartes pour qui lalumière va moins vite dans l’air que dans les autres milieux3. À partir de ce principe, il a pudémontrer les lois de Snell-Descartes de la réflexion et de la réfraction4.

A . 3 . c ) R a p p e l d e s l o i s d e S n e l l - D e s c a r t e s

La réfraction se produit lorsqu’un faisceau lumineux passe d’un milieu à un autre. Lagrandeur qui caractérise un milieu donné vis-à-vis de ses propriétés optiques est appeléeindice de réfraction noté n, qui est toujours supérieur à 1. C’est une sorte de « pouvoirréfractant » du milieu, c’est-à-dire son aptitude plus ou moins grande à dévier la lumièrelorsqu’elle arrive du vide. En effet, le vide est le milieu de référence, c’est un cas limite,d’indice 1. L’air a un indice très proche de 1.L’eau a un indice de 1.33, celui du verre est entre 1.5 et 1.7..La surface de séparation entre les deux milieux transparents est appelée interface ou dioptre.Le rayon incident est repéré par rapport à la normale à cette interface.

3 Comme nous le verrons plus loin, Descartes avait tort sur ce point.4 Pour l’énoncé du principe de Fermat, et une analogie mécanique simple de celui-ci, voir l’exercice 6 desexercices des chapitres 1 et 2.

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Loi 1 (dite « du plan d’incidence ») : le rayon incident sur l’interface entre les deux milieuxtransparents, le rayon réfléchi et le rayon réfracté sont dans un même plan, appelé pland’incidence, perpendiculaire à l’interface.Loi 2 (de la réflexion) : le rayon incident et le rayon réfléchi font des angles égaux avec lanormale à la surface de séparation.Loi 3 (de la réfraction) : les angles i1 et i2 que font respectivement les rayons incident etréfracté avec la normale à l’interface sont liés par la relation :

n1 sini1 = n2 sini 2où n1 et n2 désignent les indices respectifs des milieux 1 et 2.

A . 3 . d P h é n o m è n e d e r é f l e x i o n t o t a l e , a p p l i c a t i o n à l a f i b r e o p t i q u e

Expérience 6 : mise en évidence de la réflexion totale

Pour un passage altuglasÆair, observez-vous toujours un faisceau réfracté et unfaisceau réfléchi ? Sinon, qu’advient-il du faisceau incident ? Quelles sont lesconditions dans lesquelles il n’y a plus de réfraction ?

Ce phénomène de réflexion totale que vous venez d’observer est utilisé pour le guidage de lalumière dans les fibres optiques, de plus en plus utilisées dans le domaine destélécommunications (voir l’encadré correspondant, ainsi que l’exercice 2.1). Comment est-ilpossible de guider la lumière ? La théorie des fibres optiques est complexe, nous aborderonsici leur fonctionnement uniquement du point de vue de l’optique géométrique. Tout d’abord,nous allons montrer que la lumière peut être guidée par une simple règle en altuglas.

Expérience 7 : guide de lumière dans l’altuglas

Faites entrer le faisceau laser par un bout de la règle en altuglas à votre disposition. Enorientant convenablement celle-ci par rapport au faisceau, que constatez-vous ? Quelphénomène est responsable de la propagation du faisceau dans la règle ? Jusqu’àcombien de réflexions pouvez-vous observer ? Que pouvez-vous dire de l’intensité dufaisceau à la sortie de la règle par rapport à l’entrée ? Représentez ci-dessous ce quevous observez sur un schéma aussi exact que possible.

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Expérience 8 : fibre optique

Faites entrer le faisceau laser par un bout de la fibre en optimisant l’orientation de lafibre par rapport au laser. Qu’observez-vous ? Expliquez. Que pouvez-vous dire del’intensité en sortie de fibre ? Quelles sont à votre avis les difficultés rencontréeslorsqu’on veut transmettre de la lumière par fibre optique ?

Voici enfin une expérience inattendue, que vous devriez pouvoir interpréter sans difficulté.

Expérience 9 (à réaliser par l’enseignant) : fontaine lumineuse

L’eau d’un récipient transparent s’écoule par un orifice latéral proche de sa base. Onfait passer un faisceau laser à travers le récipient, dans l’axe de l’orifice d’évacuation.Qu’observez-vous ? Expliquez.

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A.4 Modèle ondulatoire ou corpusculaire

Revenons à la question de la nature de la lumière. Jusqu’ici, nous avons vu qu’elle étaitconstituée de rayons lumineux, qu’elle se propageait en ligne droite jusqu’à ce qu’ellerencontre un changement de milieu où elle est alors déviée et réfléchie à la fois.

Expérience 10 : diffraction d’un faisceau laser par une fente fixe ou un cheveu

Placez, soit une fente réglable, soit un cheveu devant le faisceau laser. Qu’observez-vous ? Avez-vous déjà vu cette expérience au lycée ? Avez-vous déjà observé unphénomène similaire dans la vie quotidienne ?

Expérience 11 (à réaliser par l’enseignant) diffraction d’un faisceau laser par une fentevariable

Varier la largeur de la fente placée devant le faisceau laser. Que constatez-vous ?

Le phénomène que vous venez d’observer s’appelle la diffraction5. Ce terme signifie que lesrayons lumineux sont déviés de leur trajectoire après avoir rencontré un obstacle. Cettedéviation par rapport à la propagation rectiligne n’est pas due à une réflexion ou à uneréfraction. Ce phénomène est typique d’une onde. On l’observe fréquemment avec les ondes àla surface de l’eau (diffraction des vagues par les rochers au bord de la mer, par exemple).Le phénomène de diffraction de la lumière a été observé pour la première fois par Grimaldi(1618-1663) à Bologne et par Hooke (1635-1703) à Londres.Newton (1642-1727) a longuement hésité sur le fait de savoir si la lumière était constituée depetites particules, ou si elle était une onde. À la fin, il penchait plutôt pour le modèlecorpusculaire (et c’est ce que l’on retient en général de ses idées sur la nature de la lumière).En effet, sa principale objection à la nature ondulatoire de la lumière est qu’il ne voyait pascomment expliquer la propagation rectiligne en terme d’ondes qui s’étalent dans toutes lesdirections.En même temps que Newton défend sa théorie corpusculaire de la lumière, le HollandaisHuygens (1629-1695), développe au contraire une théorie ondulatoire de la lumière. Cettethéorie prédit que la lumière va moins vite dans les milieux les plus denses (contrairement auxprédictions de Newton et Descartes) ; de plus, elle lui permet de démontrer les lois de laréflexion et de la réfraction.En Angleterre, le poids des idées de Newton est très important et les idées nouvelles perceront 5 Attention à ne pas confondre réfraction et diffraction, ce sont deux phénomènes physiques très différents…

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difficilement… Il faudra attendre le Français Augustin Fresnel (1788-1827) et l'AnglaisThomas Young (1773-1829) pour remettre en cause les idées de Newton. Young a introduitun nouveau concept, celui d’interférences, qui lui a permis d’expliquer les couleurs des filmsminces (tels que les films de savon). Fresnel a amélioré le modèle ondulatoire de Huygens (ila développé un modèle de propagation par ondelettes) en l’établissant sur des basesmathématiques plus solides (on parle aujourd’hui de « principe de Huygens-Fresnel »). Sur labase de ce modèle ondulatoire, il a pu expliquer la propagation rectiligne, réduisant ainsi ànéant la principale objection de Newton au modèle ondulatoire.Foucault (1819-1868) montra plus tard que la vitesse de la lumière est plus faible dans l’eauque dans l’air (voir exercice 1.3), réfutant ainsi les idées de Newton sur le sujet et validant lemodèle ondulatoire de la lumière.Si dès lors, il ne fait plus de doute que la lumière est bien une onde, sa nature et le milieu danslequel elle se propage n'ont pas fini de poser problème aux physiciens …L'une des réponses est venue du développement de l’électricité et du magnétisme.

A.5 Modèle de l’onde électromagnétique

La contribution fondamentale à ce modèle a été apportée par James Clerk Maxwell (1831-1879), un théoricien anglais. Maxwell a réalisé en électricité et magnétisme ce que Newtonavait fait en mécanique : il a posé un petit nombre d’équations fondamentales dont tout lereste découle. Les fameuses équations de Maxwell (au programme de L2), qui sont lefondement de l’électromagnétisme jouent le même rôle que le principe fondamental de ladynamique (que vous connaissez) en mécanique classique. Dans ces équations, une grandeurhomogène à une vitesse apparaît naturellement. Quand il a calculé la valeur de cette grandeur,il est tombé pile sur la valeur de la vitesse de la lumière précédemment mesurée par Foucault !Il en a tout naturellement conclu que la lumière est une onde électromagnétique. Celasignifie que les grandeurs qui se propagent sont un champ électrique et un champmagnétique6.La vérification expérimentale de cette idée de Maxwell a été réalisée par Hertz (en 1887), quia généré des ondes électromagnétiques en utilisant un dipôle électrique oscillant.La question qui se pose désormais est celle du milieu dans lequel se propage cette ondeélectromagnétique. En effet, toutes les ondes connues jusqu’alors se propageaient dans unmilieu donné (ondes à la surface de l’eau, ondes sonores - dans l’air par exemple…). Lesupport de propagation de la lumière a été appelé « éther » par les physiciens et a fait l’objetd’une querelle dont nous n’entrerons pas dans les détails. L’expérience de Michelson etMorley (1887) n’a pas pu mettre en évidence la présence de l’éther (plus précisément, lemouvement relatif de la Terre par rapport à l’éther). Poincaré (1854-1912) a le premier mis endoute l’existence de l’éther. Einstein (1879-1955) a définitivement rejeté ce concept. Selonlui :La lumière se propage dans le vide, avec une célérité c dont la valeur est la même danstout référentiel galiléen.Pour les physiciens, la difficulté conceptuelle était d’accepter l’idée d’une onde se propageantsans milieu matériel pour la soutenir, une onde « qui se soutient elle-même ». On passe ainsidu concept d’éther à celui de champ (électromagnétique).

6 Un champ (vectoriel) est une fonction vectorielle du point de l’espace où l’on se trouve. Les champs électriqueet magnétique sont des vecteurs, dont la valeur dépend du point de l’espace où l’on se trouve.

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A.6 Modèle des photons

Alors que le modèle de l’onde électromagnétique était accepté par tous les physiciens,Einstein (en 1905) a également remis au goût du jour le modèle corpusculaire de la lumière :la lumière est constituée de « grains » de lumière, les photons, d’énergie hν, où ν est lafréquence de l’onde électromagnétique et h est la constante de Planck. Cette modélisationétait indispensable à la compréhension de l’effet photoélectrique, un effet précédemmentdécouvert par Hertz. Grossièrement, l’effet photoélectrique correspond au phénomènesuivant : lorsqu’on éclaire un métal, on arrive à lui faire émettre des électrons dans certainesconditions, qui ne sont pas explicables dans le cadre de la théorie électromagnétique.

A.7 La dualité onde-corpuscule

Au début du XXème siècle, la mécanique quantique apparaît, son objet d’étude est le mondemicroscopique. Les concepts de particule et d’onde se trouvent brouillés à cette échelle. Enfait, aussi bien pour la lumière (photons) que pour la matière (électrons, protons,atomes…) il existe un double aspect ondulatoire et corpusculaire. Suivant les expériencesque l’on réalise, on pourra mettre en évidence l’un ou l’autre de ces deux aspectscomplémentaires.Pour la lumière, comme on l’a déjà vu, l’aspect ondulatoire est révélé par des expériences dediffraction, d’interférences… L’aspect corpusculaire est mis en évidence par l’effetphotoélectrique.Pour la matière, on avait jusque là l’image des électrons comme de petites boules de billard.De Broglie (1892-1987) fait en 1923 l’hypothèse qu’une longueur d’onde est associée auxélectrons. Cette hypothèse est vérifiée en 1927 par l’expérience de Davisson et Germer danslaquelle ils font diffracter des électrons.

A.8 Conclusion : la suite de l’histoire…

La deuxième moitié du XXe siècle a vu le développement de l’optique moderne et de sesapplications fantastiques, notamment dans le domaine des télécommunications grâce au laseret à la fibre optique (voir l’encadré sur les lasers dans le chap.6, et celui sur la fibre optiquedans ce chapitre).En conclusion de cette partie, nous citerons (après traduction) l’excellent livre de HechtOptique (voir la bibliographie à la fin de ce poly) :« Il est merveilleux d’observer que la question sur la nature de la lumière demeure, tandisque la réponse change subtilement. »

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Encadré : la fibre optique, principal support des télécommunications

Faisceau de fibres optiques

C’est en 1988 que le premier câble transatlantique à fibre optique a été installé au fond del’océan. L’aventure des routes sous-marines de télécommunications ne date pas d’hierpuisqu’elle débute en 1851 avec la première liaison télégraphique entre Calais et Douvres enGrande-Bretagne. Aujourd’hui, 200 000 km de câbles sont posés chaque année dans tout ceque la planète compte de mers et d’océans, et plus de 2/3 des communications mondialess’effectuent par câble, contre 1/3 seulement par satellite. L’Ile-de-Batz, un des navirescâbliers d’Alcatel, a achevé en 2002 l’installation de la liaison entre Lannion (France),Manasquan, Shirley (sur la côte est des Etats-Unis) et Bude (Grande-Bretagne). Ce projet,dénommé Apollo, a ajouté 12770 km aux routes de l’information qui s’étendent sous lesocéans du globe. Le câble abrite 4 paires de fibres optiques d’une capacité de 3.2 Térabits parseconde (l’équivalent d’environ cinquante millions de communications téléphoniquessimultanées) ainsi que les câbles électriques des répéteurs que l’on trouve tous les 50 km. Cesderniers servent en effet à amplifier le signal optique laser qui porte l’information, puisque lapropagation dans la fibre ne se fait pas sans pertes. L’Ile-de-Batz creuse un sillon sous l’eaudans la vase et la roche pour y poser le câble à deux mètres sous terre et jusqu’à 2000 m deprofondeur. C’est la seule méthode pour le protéger des filets de pêche et des ancres desbateaux. Le trajet, déterminé mètre par mètre, évite les gouffres, les zones volcaniques, lesreliefs trop accidentés et les épaves ! Mais attention, la fibre optique n’est pas seulementenfouie sous les mers.. Elle est aussi majoritairement utilisée dans les communicationsterrestres, et elle est présente le long des autoroutes, des voies ferrées, et sous nos piedslorsque nous marchons sur les trottoirs des villes. Enfin, elle est utilisée dans le domainemédical (endoscope).(d’après un article de C. Doré, août 2002)

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B. Qu’est-ce que l’optique géométrique ?

B.1 Introduction, et définition de l’optique géométrique

Dans la partie précédente, nous avons adopté une démarche essentiellement historique autourde la question de la nature de la lumière. Ici, nous allons définir brièvement le cadre del’optique géométrique, qui est celui de ce module, et donner quelques notions utiles pour lasuite de ce cours. Définissons tout d’abord l’optique géométrique :L’optique géométrique est l’étude de la marche des rayons lumineux et de la formation desimages dans les instruments d’optique.

B.2 Les deux hypothèses fondamentales de l’optique géométrique

Comme nous l’avons vu dans la partie précédente, ces deux hypothèses sont les suivantes :• Un faisceau lumineux est constitué de rayons lumineux rectilignes indépendants les uns

des autres.• Lorsqu’un rayon lumineux arrive à l’interface entre deux milieux transparents d’indices

différents, il subit une réflexion et une réfraction, qui obéissent aux trois lois de Snell-Descartes.7.

L’optique géométrique ignore donc la nature de la lumière…On peut alors se demander pourquoi l’optique géométrique marche « aussi bien » et qu’on aitpu s’en contenter pendant aussi longtemps ? En effet, les instruments d’optique ont été conçusgrâce aux connaissances de l’optique géométrique8, et les raffinements de l’optiqueondulatoire n’ont été nécessaires que pour augmenter leur pouvoir de résolution (limite dediffraction)…

B.3 Domaine de l’optique géométrique

Les lois de Snell-Descartes se démontrent dans le cadre de l’électromagnétisme. Ce qui estposé, ce sont les équations de Maxwell. La notion de rayon lumineux a d’ailleurs un sens dansce cadre : on peut montrer qu’il s’agit des lignes suivant lesquelles l’énergie de l’ondeélectromagnétique se propage.L’optique géométrique n’est valable que dans des conditions bien précises, mais cesconditions sont souvent réalisées expérimentalement. On peut effectuer la comparaison avecla mécanique classique qui s’applique pour la vie de tous les jours ; la mécanique quantique,qui englobe la mécanique classique, devant être utilisée dans des conditions plus subtiles (engénéral, la mécanique quantique doit être utilisée pour les objets de très petite taille).Soit d la dimension caractéristique du système considéré.• Le domaine de l’optique géométrique est le suivant : c’est celui où la taille du système

est très grande par rapport à la longueur d’onde de l’onde électromagnétique, soitd >> λ

Dans ce cas, on peut montrer rigoureusement (à partir des équations de Maxwell) quel’équation donnant la trajectoire des rayons lumineux ne dépend que des propriétésgéométriques du milieu considéré ; par contre, elle est absolument indépendante de la natureondulatoire de la lumière. C’est pour cela qu’on a pu énoncer des lois correctes en optiquegéométrique sans avoir aucune connaissance sur la nature d’onde électromagnétique de lalumière !… Par ailleurs, on peut remarquer que l’optique géométrique ignore à la fois l’aspectondulatoire et corpusculaire de la lumière…

7 On peut montrer que les lois de Snell-Descartes découlent du principe de Fermat, que l’on pose alors.8 Par exemple, le télescope et le microscope ont été tous deux inventés en Hollande au XVIIème siècle.

20

Le domaine de l’optique proprement dite est plus vaste, il déborde de celui de l’optiquegéométrique :• L’optique ondulatoire s’applique lorsque d est du même ordre de grandeur que la

longueur d’onde λ.• L’optique quantique est le domaine tel que la dimension typique (ici, la taille des

particules de matière considérées) d soit très petite devant la longueur d’onde, soit d << Grossièrement, l’optique géométrique est apparue au XVIIIe siècle, l’optique ondulatoire auXIXe siècle et l’optique quantique au XXe siècle. Quelle sera l’optique du XXIe siècle ? !

B.4 Notions utiles pour ce cours

B . 4 . a L e s o n d e s é l e c t r o m a g n é t i q u e s

Une onde lumineuse est une onde électromagnétique constituée d’un champ électrique et d’unchamp magnétique qui varient périodiquement dans le temps. Considérons le cas simpled’ondes sinusoïdales se propageant dans le vide. Dans ce cas, les champs9 E et B sont situésdans un plan perpendiculaire à la direction de propagation de l’onde (c’est aussi la directiondu rayon lumineux de l’optique géométrique…)

Structure d’une onde électromagnétique à un instant donné

Comme il s’agit d’une onde, on a une double périodicité temporelle mais aussi spatiale :• En un point donné de l’espace, les champs électrique et magnétique oscillent

périodiquement : la période temporelle est notée T ; elle est l’inverse de la fréquence ν.• À un instant donné (c’est le cas de la figure ci-dessus) on voit apparaître la périodicité

spatiale de l’onde que l’on appelle longueur d’onde et que l’on note usuellement λ.Une onde électromagnétique constituée d’une seule fréquence (ou, de manière équivalente,d’une seule longueur d’onde) est dite monochromatique. La lumière d’un laser s’en approche.Elle contient en effet une bande de longueurs d’onde très étroite : on parle alors de lumièrequasi-monochromatique.

Remarque : « chroma » signifie couleur en grec ancien. Monochromatique signifie donc « uneseule couleur ». la notion de couleur étant largement subjective, on préférera caractériser unesource de lumière par sa fréquence ou sa longueur d’onde (dans le vide). La couleur pourratoutefois servir de repère.Dans le cas où l’onde électromagnétique contient plusieurs fréquences, elle est ditepolychromatique.La lumière visible ne constitue qu’une petite partie des ondes électromagnétiques : celles dontla longueur d’onde (dans le vide) est comprise entre 0.4 et 0.7 µm. Les ondes

9 Par convention, les vecteurs sont notés en gras.

21

électromagnétiques couvrent en fait une très large gamme de fréquences, depuis les ondesradios peu énergétiques jusqu’aux ondes gamma de très haute énergie.

Spectre électromagnétique

Dans le vide, la longueur d’onde et la fréquence d’une onde électromagnétique sont reliéespar la relation :

=c

où c est la célérité de propagation de la lumière dans le vide et vaut c = 299792.458 km.s-1. Ilvous suffira de retenir sa valeur approchée :

c 3 108 m.s-1

Remarque :Depuis 1983, cette valeur a été fixée par décret comme « valeur exacte » de la vitesse de lalumière. Cette valeur sert depuis à définir le mètre dans le système international d’unités : lemètre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une durée de1/299792458 de seconde. La seconde est, elle, définie de manière très précise par des horlogesatomiques.

22

B . 4 . b L a p r o p a g a t i o n d e l a l u m i è r e d a n s l e v i d e

Le vide est un milieu homogène et isotrope :• homogène signifie que ses propriétés sont les mêmes en tout point de l’espace• isotrope signifie qu’il n’y a pas de direction privilégiéePrincipe de propagation rectiligne I : dans le vide, la lumière se propage en ligne droite demanière isotrope avec une célérité c constante.Cette notion de propagation rectiligne est naturelle. C’est elle qui permet par exempled’interpréter le phénomène des éclipses (et aussi, bien évidemment, l’expérience des ombresportées que vous avez réalisée au 1.2.a).Principe de retour inverse de la lumière : en raison de ce principe de propagation rectiligne, latrajectoire de la lumière ne dépend pas de son sens de propagation.

B . 4 . c L a p r o p a g a t i o n d e l a l u m i è r e d a n s l e s m i l i e u x m a t é r i e l s h o m o g è n e s

Nous avons vu au 2.4.a qu’une onde électromagnétique est caractérisée par sa fréquence et salongueur d’onde. Qu’en est-il dans un milieu matériel ? Nous considérons ici le cas desmilieux transparents homogènes et isotropes. Dans ce cas le principe de propagation rectiligneest toujours vérifié, par contre la lumière se propage avec une célérité de valeur plus faibleque sa valeur dans le vide.Principe de propagation rectiligne II : dans un milieu transparent, isotrope et homogène, lalumière se propage en ligne droite de manière isotrope avec une célérité v constante, qui vaut :

v =c

noù n est l’indice du milieu, c’est une caractéristique intrinsèque du milieu (à une fréquencedonnée, voir remarque ci-dessous)Comme v ≤ c, on a toujours n ≥1.

Remarque :La période temporelle de l’onde ne dépend pas du milieu de propagation. Par contre, lapériode spatiale est reliée à la célérité qui dépend du milieu, en dépend. Si l’on veutcaractériser une onde monochromatique, on parle soit de sa fréquence, soit de sa longueurd’onde dans le vide.

Notons également que l’indice d’un milieu dépend de la fréquence de l’onde considérée. Cephénomène est celui de la dispersion optique, il sera vu plus en détail au chapitre 6.

23

B . 4 . d C o m p l é m e n t : p r o p a g a t i o n d e l a l u m i è r e d a n s u n m i l i e u i n h o m o g è n e ; p h é n o m è n e d e m i r a g e

Expérience 12 (à faire par l’enseignant) : courbure d’un faisceau lumineux

On dispose du sucre en poudre au fond d’une cuve que l’on remplit doucement d’eau.Après quelques minutes d’attente, on envoie un faisceau laser légèrement incliné versle haut à travers la cuve.

Qu’observez-vous ? Faire un schéma. Pourquoi le faisceau est-il courbé ?

On voit ici que le principe de propagation rectiligne n’est pas toujours valide. Il n’est vraiqu’en milieu homogène. En milieu inhomogène, les rayons lumineux sont courbes.Dans le cas d’un « véritable » mirage, le milieu considéré n’est plus l’eau, mais l’air. L’indicede l’air dépend de la température. Dans l’atmosphère, la température n’est pas uniforme, doncl’indice non plus. Le trajet des rayons lumineux est donc courbe : c’est le phénomène demirage. Pour plus de détails sur l’interprétation du phénomène de mirage, voir l’exercice 2.2

24

Encadré : les mirages

Le mirage inférieurQuand la température de l’air diminue lorsqu’on s’éloigne d’une surface chauffée par le soleil(asphalte, sable..), il se produit le phénomène de mirage inférieur (ou « mirage du désert »).La densité de l’air augmente quand on s’éloigne de la surface chauffée, et l’indice aussi. Onpeut alors montrer que les rayons lumineux provenant du ciel sont courbés vers le haut (voirl’exercice 3 des exercices relatifs aux chapitres 1 et 2). L’œil d’un observateur perçoit le refletdu ciel comme si le sol se comportait comme un miroir : c’est le mirage de l’oasis desDupondt dans l’album de Hergé « Tintin au pays de l’or noir ». La figure suivante montre lestrajets réel (2) et apparent (3) des rayons lumineux dans le cas d’un mirage inférieur (le trajet1 correspondrait au cas d’un milieu homogène).

principe du mirage inférieur exemple (W. Tape, 1985)

Le mirage supérieurAu contraire du « mirage du désert », il se produit lorsque la surface est plus froide que l’airau-dessus d’elle. Les rayons lumineux sont alors déviés vers le sol.

principe du mirage supérieur exemple (Cantal, 1900)

25

CHAPITRE 2 :

ETUDE QUANTITATIVE DE LA LOI DE LA REFRACTION

INTRODUCTION AUX INCERTITUDES

Sa l l es : « l as er » 03 8 ou 138

Sur cette image, on voit à la fois à travers la vitre, et l’image réfléchie par cette vitre.

26

SOMMAIRE DU CHAPITRE 2 :

A. INTRODUCTION AUX INCERTITUDES ET AU TRACÉ DE GRAPHES ............................................ 27A.1MESURE PHYSIQUE, ERREUR ET INCERTITUDE ................................................................................ 27

A.1.a) Mesure physique, erreur aléatoire............................................................................................... 27

A.1.b) Notion d’incertitude.................................................................................................................... 27

A.1.c) Incertitude absolue et relative..................................................................................................... 28

A.1.d) Précision et exactitude d’une mesure, erreur systématique........................................................ 28

A.2 CALCUL D’INCERTITUDES ............................................................................................................... 29

A.3 CHIFFRES SIGNIFICATIFS SUR UN RÉSULTAT................................................................................... 30

A.4 MODÉLISATION ET INCERTITUDES .................................................................................................. 30

A.4.a) Recommandations pour le tracé des points expérimentaux........................................................ 31

A.4.b) Incertitude sur la détermination de la pente d’une droite ........................................................... 31

A.5 A RETENIR SUR LES INCERTITUDES................................................................................................. 32

DÉFINITIONS .......................................................................................................................................... 32

B. ÉTUDE QUANTITATIVE DE LA LOI DE LA RÉFRACTION ........................................................... 33B.1 INTRODUCTION................................................................................................................................ 33

B.2 DESCRIPTION ET RÉGLAGE DU DISPOSITIF EXPÉRIMENTAL ............................................................ 34

B.3 ETUDE EXPÉRIMENTALE DE LA RÉFRACTION AIRÆALTUGLAS ...................................................... 35

B.3.a) Description qualitative du phénomène........................................................................................ 35

B.3.b) Etude quantitative du phénomène............................................................................................... 36

B.3.c) Analyse des résultats expérimentaux : loi de la réfraction.......................................................... 36

B.3.d) Détermination de l’indice de l’altuglas....................................................................................... 37

B.4 ÉTUDE EXPÉRIMENTALE DE LA RÉFLEXION TOTALE LORS DU PASSAGE ALTUGLAS Æ AIR ........... 38

B.4.a) Mise en évidence qualitative du phénomène .............................................................................. 38

B.4.b) Mesure de l’angle d’incidence limite ......................................................................................... 38

B.4.c) Interprétation du phénomène ...................................................................................................... 38

B.4.d) Détermination de l’indice de l’altuglas....................................................................................... 39

Attention :Cette séance va être l’occasion de rédiger un compte rendu que vous remettrez à la fin de laséance et qui comptera dans la note correspondant à ce module. Il vous suffira de répondresur feuille séparée au fur et à mesure aux questions apparaissant dans ce poly (indiquées parun symbole « > » ). Un seul compte rendu est demandé par binôme, mais vous avez fortementintérêt à garder un exemplaire des réponses aux questions.

27

A.Introduction aux incertitudes et au tracé de graphes

A.1Mesure physique, erreur et incertitude

A . 1 . a ) M e s u r e p h y s i q u e , e r r e u r a l é a t o i r e

Que ce soit pour des raisons liées à l’économie (industrie, agriculture) ou aux sciences(astronomie par exemple), la mesure est l’une des plus anciennes activités humaines. Lamesure d’une grandeur, quelle qu’elle soit, donne un résultat x qui est en général différent dela valeur x0 de la grandeur que l’on cherche à mesurer, et que nous appellerons valeur deréférence. Par définition, cette valeur de référence reste inaccessible à l'expérience, quelle quesoit la qualité des appareils utilisés pour la mesure.

Si l’on effectue plusieurs mesures successives de la même grandeur, on constate qu’on obtientdes résultats différents à chaque mesure. La dispersion des résultats de mesure estinéluctable : les appareils ne sont pas parfaits, les graduations sont plus ou moins épaisses, lesconditions de mesure (température, humidité..) varient à chaque essai, et le geste oul'appréciation de l'expérimentateur est aussi un facteur dans de nombreuses situations.Par définition, l’erreur de mesure est la différence entre la valeur x mesurée et la valeur deréférence x0 :

e = x – x0

Notons que l’erreur sur chaque mesure reste, de même que la valeur de référence, inaccessibleà l'expérience.Mais la réalisation de plusieurs mesurages permet d'estimer la dispersion des résultats et lavaleur autour de laquelle ils sont répartis. La dispersion obtenue est le fruit d’une erreur ditealéatoire, c’est-à-dire qui se produit au hasard, de manière imprévisible.

A . 1 . b ) N o t i o n d ’ i n c e r t i t u d e

L’erreur de mesure étant toujours inconnue, en grandeur et en signe, on va chercher à estimerla valeur absolue de l’erreur ; c’est cette estimation de la valeur absolue de l’erreur que l’onappelle incertitude.Deux méthodes sont possibles pour estimer une telle incertitude de mesure :• Soit on effectue un grand nombre de mesures successives de la même grandeur, et on

trace un histogramme de la série de mesures obtenue ; l’incertitude est alors directementreliée à la largeur de l’histogramme obtenu.

• Souvent, on ne peut pas répéter plusieurs fois une mesure. On estime alors directementl’incertitude sur une mesure, soit en tenant compte des caractéristiques des appareilsutilisés, soit par une évaluation personnelle si l’appareil de mesure est simple (prenant encompte les conditions de mesure). Par exemple, une mesure avec une règle graduée donneun résultat avec une incertitude que l'on estime généralement à une demi-graduation (maisceci suppose que les graduations sont bien lisibles, que l’expérimentateur a une bonnevue…). C’est cette deuxième méthode que vous utiliserez en TP.

L'incertitude sur le résultat du mesurage d'une grandeur x est notée x :On écrit alors le résultat sous la forme :

x - x < x0 < x + xCe que l'on écrit également de façon plus condensée en :

x0 x x

28

Ces deux expressions équivalentes définissent un intervalle « de confiance » à l’intérieurduquel on affirme que la valeur de référence doit se trouver. Dans certains cas, des tablesstatistiques permettent de préciser le taux de confiance fixé (68%, 95%…).La difficulté pour le scientifique est parfois de trouver un compromis entre un intervalle leplus petit possible (voir ci-dessous $1.1.d) et une confiance la plus grande possible…

A . 1 . c ) I n c e r t i t u d e a b s o l u e e t r e l a t i v e

• L’incertitude x précédemment définie est appelée incertitude absolue. Elle a la mêmedimension que la grandeur mesurée. C’est souvent elle que l’on évalue dans une mesuredirecte, mais elle n’est pas forcément une bonne indication de la précision de la mesure.En effet, mesurer une distance de 1 km à 1 cm près est intuitivement beaucoup plus précisque de mesurer 1 m à 1 cm près.

• On définit donc la notion d’incertitude relative, qui est tout simplement le rapport del’incertitude absolue à la grandeur mesurée, soit x/x. Ce rapport forme un nombre sansdimension que l’on écrit souvent comme un pourcentage (car les incertitudes usuelles sontsouvent de l’ordre de quelques pour cents). Ainsi, si l’on reprend les deux exemplesprécédents :1 km à 1 cm près : l’incertitude relative vaut 10-5 = 0.001%1 m à 1 cm près : l’incertitude relative vaut 10-2 = 1%Remarque : chiffres significatifsDans le premier cas, on écrira d = 100 000 cm (= 1,00000 km) ; dans le second, on écrirad = 100 cm (= 1,00 m). Voir $ A.3.

A . 1 . d ) P r é c i s i o n e t e x a c t i t u d e d ’ u n e m e s u r e , e r r e u r s y s t é m a t i q u e

Lorsque l’erreur aléatoire est faible (et donc la dispersion des résultats de mesure aussi), onparle de mesure précise.Mais attention, cela ne signifie pas pour autant que le résultat obtenu est proche de la valeurde référence. En effet, il peut exister, un écart reproductible entre la valeur mesurée et lavaleur cherchée : on parle alors d’erreur systématique. Par exemple, un appareil peut être malétalonné : le zéro peut être mal réglé, l’échelle peut être mal graduée, il peut y avoir uneerreur de conversion…Lorsque l’erreur systématique est faible, on dit que la mesure est exacte.Les notions de précision et d’exactitude sont indépendantes : une mesure peut être inexacte etprécise, inexacte et imprécise, exacte et imprécise, ou encore exacte et précise (cassouhaité !).L'illustration ci-dessous est celle d'une cible d'un stand de tir à la fête foraine… Et si l'ondonne un bon fusil à un bon tireur…

29

A.2 Calcul d’incertitudes

Il est utilisé dans le cas où la grandeur cherchée x n’est pas mesurée directement, mais estreliée à la grandeur mesurée a via une fonction connue :

x = f(a)Par exemple, on mesure la surface d’un studio assimilé à un carré de côté a = 5.65m, à a =1cm près. On désire connaître l’incertitude x sur la surface x = a2 mesurée.Comment s’y prendre ?

Que pensez-vous des idées suivantes :

• δx = δa

• δx = (δa)2

Un dessin peut éventuellement aider…

Voyez-vous une autre méthode possible, qui marcherait « à tous les coups » ?10

Nous allons maintenant voir une méthode permettant parfois une approximation rapide maisbonne.L’erreur sur a s’écrit ea = a – a0, où a est la valeur mesurée et a0 la valeur de référence.Cette erreur entraîne une erreur sur x qui s’écrit ex = x – x0 = f(a) – f(a0)On peut former le rapport ex / ea ce qui donne :

ex

ea

f (a) f ( a0)

a a0On reconnaît le taux de variation de la fonction f au voisinage de a0. La dérivée de f parrapport à a au point a0 s’écrit par définition :

df

da a0

lima a0

f ( a ) f (a0)

a a0

Si ex et ea sont suffisamment petits, on peut donc écrire approximativement :

exdf

daea

L'incertitude étant une estimation de la valeur absolue de l'erreur, on pourra donc écrire dansce cas :

xdf

daa

À titre d’exercice, reprenez l’exemple du carré, et réfléchissez à l’approximationeffectuée quand on écrit la formule ci-dessus pour évaluer l’incertitude sur l’aire ducarré (faire un dessin). Dans quelles conditions la méthode de calcul utilisant la dérivéeest-elle qualitativement valable ?

10 Aide : penser à des encadrements

30

A.3 Chiffres significatifs sur un résultat

Les chiffres significatifs d'un nombre sont ceux dont on est certain (sauf éventuellement ledernier à droite). Après l’estimation de l’incertitude, il convient d'ajuster le nombre dechiffres du résultat trouvé en ne conservant pour sa valeur que les chiffres dont on peut êtrecertain, compte tenu de l’incertitude. Par exemple :Si on trouve x = 8,02137 ± 0,057 mOn écrira x = 8,02 ± 0,06 m

Remarque : l’incertitude elle-même est rarement connue avec une grande précision. Onl’arrondit donc en général à 1 chiffre significatif.

Il ne faut pas confondre le nombre de chiffres significatifs avec le nombre de chiffres après lavirgule.Par exemple :85,639 a 5 chiffres significatifs et 3 chiffres après la virgule. L’incertitude porte a priori sur lechiffre 9.8563,9 a aussi 5 chiffres significatifs mais 1 seul chiffre après la virgule. L’incertitude porteencore sur le chiffre 9.8563,900 : cette écriture sous-entend qu’il y a 7 chiffres significatifs, l’incertitude portantcette fois sur le dernier 0 à droite.

Si l'on ne précise pas la valeur de l'incertitude, un nombre écrit avec ses chiffres significatifssous-entend que l'incertitude porte sur le dernier chiffre à droite (le dernier digit). Onconsidère alors que l'incertitude est de l'ordre du demi-digit.Par exemple, écrire k = 10.2, sous-entend : k = 10.2 ± 0.05

A.4 Modélisation et incertitudes

Dans de nombreuses situations, c'est une série de mesures qu'il faut analyser : taille enfonction de l'âge, tension électrique en fonction du temps, pression en fonction de l'altitude,etc.L'analyse est alors la confrontation à un modèle mathématique traduit par une fonction.

Dans de nombreuses situations, on se ramène à un modèle linéaire (par changement devariable par exemple) et l'on cherche à analyser l'alignement des points expérimentaux11. Ondétermine alors les paramètres décrivant la droite : pente et ordonnée à l’origine. Ils ont eux-mêmes alors une incertitude.

11 La droite est la seule courbe expérimentale que l’on peut reconnaître à l’œil à coup sûr ! !

31

A . 4 . a ) R e c o m m a n d a t i o n s p o u r l e t r a c é d e s p o i n t s e x p é r i m e n t a u x

Voici quelques conseils pour le tracé de graphes : • Prendre du papier millimétré.• Choisir les échelles et les origines sur chaque axe de façon à bien étaler le graphe sur la

feuille.• Indiquer les grandeurs représentées sur les deux axes : nom et dimension ; indiquer

l’échelle choisie.• Représenter les points de mesures (xi, y i) par des croix aux branches parallèles aux axes,

de façon à bien faire apparaître l’abscisse et l’ordonnée.• Indiquer les incertitudes : on représente l’incertitude xi sur le point xi par un trait de

longueur 2 xi centré sur le point xi et parallèle à l’axe des x (on parle de barre d’erreur).De même pour l’incertitude yi.

A . 4 . b ) I n c e r t i t u d e s u r l a d é t e r m i n a t i o n d e l a p e n t e d ’ u n e d r o i t e

On se place ici dans le cas où le graphe tracé est une droite, et où l’on souhaite déterminer lapente de cette droite.On trace à l’œil la meilleure droite passant le plus près possible du plus grand nombrepossible de points expérimentaux, munis de leurs barres d’erreur12. On peut ensuitedéterminer la pente de cette droite ; pensez à faire apparaître explicitement les points que vousutilisez pour mesurer la pente de la droite (qui n’ont rien à voir avec des pointsexpérimentaux).Comment connaître l’incertitude sur la pente de la droite?Une façon simple consiste à tracer deux droites supplémentaires, l’une de pente minimale etl’autre de pente maximale qui passent au mieux par les points munis de leur barres d’erreur.Les pentes de ces deux droites sont respectivement pmin et pmax.On peut alors donner le résultat sous la forme p ± pavec

ppmax pmin

2

ppmax pmin

2

12 Attention, cette « meilleure droite » peut très bien ne passer par aucun point expérimental…

32

A.5 A retenir sur les incertitudes

x : valeur mesurée ; x0 : « vraie valeur » inconnue

Définitions• Erreur de mesure : x-x0

• Incertitude absolue x : estimation de la valeur absolue de l’erreurOn note x0 x x ou x - x < x0 < x + xRemarque : grandeur positive, même dimension que x

• Incertitude relative x

xRemarque : grandeur positive, sans dimension, souvent en % ; donne une idée de la précisionde la mesure

Comment évaluer une incertitude ?• Directement, par évaluation personnelle

• Si la grandeur intéressante x est reliée à une grandeur mesurée a : xdf

daa

Remarque : méthode approximative, valable quand l’incertitude relative n’est pas trop élevée.

Pente d’une droite : p± p

Avec ppmax pmin

2

Et ppmax pmin

2où pmax et pmin sont les pentes des deux droites de pentes extrêmes passant au plus proche despoints expérimentaux munis de leurs barres d’erreur.

33

B. Étude quantitative de la loi de la réfraction

B.1 Introduction

Les trois lois de Snell-Descartes ont été rappelées au chapitre précédent, vous les aviez déjàvues au lycée. Ici on va adopter une démarche expérimentale pour étudier quantitativement laloi de la réfraction, et au passage mieux saisir la notion d’incertitude de mesure, fondamentaleen physique expérimentale. De plus, pour contribuer à mettre en évidence l’évolution desidées en physique, on se propose de suivre, du moins par certains côtés, l’approche historique.

Encadré : la démarche expérimentaleLa démarche expérimentale présente en général trois phases que l’on peut schématiser ainsi.∗ Dans un premier temps, un aspect qualitatif et semi-quantitatif13, qui correspond à plusieursactivités en parallèle :• On observe le phénomène (dont, souvent, on a déjà une certaine idée…) : ici, le

comportement d’un faisceau lumineux à la traversée d’une interface séparant deux milieuxdifférents.

• On identifie les paramètres pertinents : ici, des angles, mesurés par rapport à une droite deréférence, la normale au dioptre au point d’incidence.

• Ensuite, on fait varier un paramètre (ici, l’angle d’incidence), en balayant le domaineaccessible et on observe comment évolue l’autre paramètre (ici, l’angle de réfraction).Ceci permet de voir l'interdépendance des paramètres et/ou de déterminer le domaine desmesures à effectuer ensuite (ici, on définit ainsi le domaine angulaire balayé pour chacundes deux paramètres, ce qui permet entre autre de définir les échelles des graphiques).

.∗ Dans un deuxième temps, un aspect quantitatif : on effectue un certain nombre de mesuresen fonction des observations précédentes. Suivant les cas, les résultats sont simplementreporté dans un tableau pour des calculs ultérieurs, ou directement reportés dans un graphique(on parle alors souvent de "points expérimentaux").∗ Dans un troisième temps, on modélise les résultats : suivant les cas, on se limite àreprésenter les résultats par une valeur ou une relation mathématique (loi empirique) ou bienon essaie d’interpréter à l’aide d’une modélisation du phénomène faisant intervenir d'autreslois ou principes.

Enfin, cette séance va être l’occasion de rédiger un bref compte-rendu que vous remettrez àla fin de la séance et qui comptera dans la note correspondant à ce module. Il vous suffira derépondre sur feuille séparée au fur et à mesure aux questions apparaissant dans ce poly(indiquées par un symbole « > » ). Un seul compte-rendu est demandé par binôme, mais vousavez fortement intérêt à garder un exemplaire des réponses aux questions.

13 Ici, cette étude qualitative a, en fait, déjà été réalisée à la séance précédente. Nous nous concentrons plus icisur l’aspect quantitatif

34

B.2 Description et réglage du dispositif expérimental

Nous allons ici utiliser le même matériel que lors de la séance précédente, cependant nousallons décrire plus précisément ce matériel, dans le but de réaliser maintenant des mesuresquantitatives.

Expérience 1 : Réglages

Ce matériel consiste en une platine tournante, munie d’une couronne d’altuglas rouge,et pouvant tourner sur son socle. Elle est également munie d’une graduationpermettant des mesures angulaires.

Platine tournante. A gauche, la platine munie de la couronne d’altuglas. A droite, schéma de principemontrant la platine munie de l’hémicylindre d’altuglas correctement positionné Le ppar rapport à la

source laser

Le principe du réglage est le suivant :

Allumez le laser. Positionnez, en le glissant sur la table, le plateau tournant afin defaire passer le faisceau au-dessus des graduations 0 et 360 de la graduation, puisfaites tourner le plateau afin de vérifier que le faisceau passe toujours bien par lecentre.

Obturez le faisceau laser, puis placez l’hémicylindre d’altuglas dans la partie centralede la couronne. Positionnez-le de façon à superposer sa face plane avec lesgraduations 90 et 270 de la platine.

Le dispositif ainsi réglé, vous pouvez tourner la platine sur elle-même. La face plane del’hémicylindre constitue le dioptre plan qui sera étudié dans cette séance. La normaleest ainsi repérée par la graduation 0 de la platine ; la lecture de l’angle d’incidence estdonc immédiate.

> Quel est l’intérêt de la couronne d’altuglas ?

> Pourquoi utilise-t-on un hémicylindre, et non un simple barreau posé sur la platine ?

35

B.3 Etude expérimentale de la réfraction14 airÆaltuglas

B . 3 . a ) D e s c r i p t i o n q u a l i t a t i v e d u p h é n o m è n e

On étudiera le cas d’une interface air Æaltuglas ici.

Expérience 2 :réfraction air/altuglas

> Que devient le « rayon » laser lors d’un passage airÆaltuglas ? Repérez lesdifférents « rayons » présents et nommez-les. Complétez le schéma ci-dessous(reproduisez-le sur votre compte-rendu).

airindice 1

altuglasindice n

irayon

incident

> Quels sont les paramètres pertinents ? Les nommer et les définir proprement.

> Quel est le domaine de variation de l’angle d’incidence i ?

> Quel est le domaine de variation de l’angle de réfraction r ?

> Comment varie l’intensité des faisceaux lumineux incident et réfracté lorsque i varie ?

14 On met de côté la réflexion, faute de temps..

36

B . 3 . b ) E t u d e q u a n t i t a t i v e d u p h é n o m è n e

Faites varier l’angle d’incidence i entre 0 et 90°, et mesurer à chaque fois l’angle deréfraction r correspondant. Prendre en tout une dizaine de points maximum.

• De plus, estimer les incertitudes i et r sur chaque mesure (attention, l’incertitudepeut varier d’un point à un autre), et expliquer comment vous faites cetteestimation.

> Présenter les résultats obtenus sous forme d’un tableau de valeurs dont on trouve unexemple ci-dessous :

i (°) δi (°) r (°) δr (°)

Attention, laisser 4 colonnes supplémentaires dont on verra plus loin l’intérêt.

> Combien valent les incertitudes relatives i / i et r / r en moyenne ? Que pensez-vous de ces valeurs ?

B . 3 . c ) A n a l y s e d e s r é s u l t a t s e x p é r i m e n t a u x : l o i d e l a r é f r a c t i o n

Depuis Ptolémée (IIe siècle après J.C.), les physiciens ont essayé de trouver la loi de laréfraction à partir des données expérimentales.• Première idée : y a-t-il proportionnalité entre l’angle d’incidence et l’angle de réfraction ?

> Tracez rapidement la courbe de l’angle de réfraction r en fonction de l’angled’incidence i (inutile de mettre les barres d’erreur ici) et répondez à la question ci-dessus.

• Seconde idée : en faisant intervenir une fonction mathématique, peut-on aboutir à uneprésentation linéaire ?

Kepler a montré que la loi de proportionnalité était valable pour les petits anglesseulement. La loi des sinus a été établie expérimentalement par le Hollandais Snell en1620, mais sa découverte a été publiée tardivement. C’est Descartes qui a publié cette loisur la base des résultats de Snell en 1637.

> Tracer le graphe sin i = f (sinr) (après avoir complété le tableau précédent par unecolonne pour sini et une colonne pour sinr) et commenter.

37

> La courbe obtenue doit-elle passer exactement par le point (0,0) ? Pourquoi ?

> Y a-t-il un fait expérimental précédemment observé dont la loi de la réfraction nerend pas compte ? A votre avis, quelle branche de l’optique faut-il considérer pourinterpréter ce fait ?

B . 3 . d ) D é t e r m i n a t i o n d e l ’ i n d i c e d e l ’ a l t u g l a s .

> Expliquer comment déterminer expérimentalement l’indice de l’altuglas à partir devos données expérimentales, et connaissant la loi de la réfraction (écrite en termesd’indices de réfraction). Pourquoi ne pas estimer l’indice à partir d’un seul couple demesures (i,r) ?

> Trouver par le calcul (se reporter à la partie 1 de ce chapitre) comment s’écritl’incertitude affectant la valeur de sini, soit (sini), connaissant l’incertitude i sur l’anglei. En quelle unité doivent être exprimés les angles i et i ? Compléter le tableauprécédent en ajoutant des colonnes pour (sini) et (sinr).

Ajouter les barres d’erreur sur le graphe sin i = f (sinr) et déterminer la valeur del’indice n de l’altuglas et son incertitude n. Présenter le résultat sous la forme :

n = ±

38

B.4 Étude expérimentale de la réflexion totale lors du passage altuglas Æ air

B . 4 . a ) M i s e e n é v i d e n c e q u a l i t a t i v e d u p h é n o m è n e

Expérience 3 : réfraction altuglas/air

> Pour un passage altuglasÆair, observez-vous toujours un faisceau réfracté et unfaisceau réfléchi ? Sinon, qu’advient-il du faisceau incident ? Quelles sont lesconditions dans lesquelles il n’y a plus de réfraction ?

> Définir l’angle d’incidence limite noté ilim et faire deux schémas, l’un décrivant cequ’il advient du faisceau incident pour i < ilim, l’autre traitant le cas i > ilim.

B . 4 . b ) M e s u r e d e l ’ a n g l e d ’ i n c i d e n c e l i m i t e

> Mesurer l’angle ilim . Estimer son incertitude ilim, en justifiant la valeur trouvée. Enfin,écrire le résultat sous la forme suivante :

ilim = ±

B . 4 . c ) I n t e r p r é t a t i o n d u p h é n o m è n e

> Montrer, en utilisant la loi de la réfraction, que dans le cas du passage d’un milieuplus réfringent à un milieu moins réfringent15, il n’existe un rayon réfracté que pour desvaleurs d’angle d’incidence i inférieures à une valeur ilim que l’on précisera.

15 Un milieu moins réfringent signifie un milieu d’indice plus faible ; un milieu plus réfringent signifie un milieud’indice plus élevé.

39

B . 4 . d ) D é t e r m i n a t i o n d e l ’ i n d i c e d e l ’ a l t u g l a s

> Expliquer comment déterminer l’indice de l’altuglas à partir du 2.4.b) et du 2.4.c)

> Calcul d’incertitude : calculer n en fonction de ilim

> En déduire la valeur de l’indice de l’altuglas avec son incertitude :

n = ±

> Des deux déterminations de l’indice de l’altuglas que vous avez effectuées, laquellevous paraît la plus précise ? Pourquoi ?

40

41

CHAPITRE 3 :

IMAGES OPTIQUES

Sa l l es : « i m a ge s » 032 ou 14 0

« La dame à la licorne, la vue, tapisserie du XVe siècle

42

SOMMAIRE DU CHAPITRE 3 :

A. INTRODUCTION ............................................................................................................................ 43A.1 PETIT HISTORIQUE........................................................................................................................... 43

A.2 NOTION D’IMAGE ............................................................................................................................ 43

A.3 IMAGE RÉELLE ET IMAGE VIRTUELLE ............................................................................................. 44

B. NOTION DE STIGMATISME ........................................................................................................... 44B.1 STIGMATISME RIGOUREUX : EXEMPLE DU MIROIR PLAN ................................................................ 44

B.1.a) Expérience et observations ......................................................................................................... 44

B.1.b) Interprétation............................................................................................................................... 45

B.1.c) Notion de stigmatisme ; image optique ...................................................................................... 46

B.1.d) Retour sur les notions d’images réelle et virtuelle...................................................................... 46

B.2 STIGMATISME APPROCHÉ : EXEMPLE DU DIOPTRE PLAN ................................................................ 47

B.2.a) Expériences ................................................................................................................................. 47

B.2.b) Interprétation............................................................................................................................... 48

B.2.c) Notion de stigmatisme approché................................................................................................. 50

B.2.d) Conditions de Gauss ................................................................................................................... 50

C. ÉTUDE DU MIROIR CYLINDRIQUE/SPHÉRIQUE........................................................................... 51C.1 DÉFINITIONS ET NOTATIONS ........................................................................................................... 51

C.2 MODÉLISATION DU MIROIR DANS LES CONDITIONS DE GAUSS....................................................... 52

C.2.a Foyer............................................................................................................................................. 52

C.2.b Relation de conjugaison ............................................................................................................... 53

C.3 CONSTRUCTIONS GÉOMÉTRIQUES D’IMAGES.................................................................................. 54

D. ÉTUDE DU DIOPTRE SPHÉRIQUE ................................................................................................ 56D.1DÉFINITIONS ET CONVENTIONS........................................................................................................ 56

D.2STIGMATISME ET FOYER IMAGE....................................................................................................... 56

D.3MODÉLISATION DU DIOPTRE SPHÉRIQUE DANS LES CONDITIONS DE GAUSS................................... 58

D.3.a Relation de conjugaison ............................................................................................................... 58

D.3.b Foyers........................................................................................................................................... 59

43

A. Introduction

A.1 Petit historique

Parmi les cinq sens dont dispose l’être humain pour appréhender le monde, la vision est sansdoute un des plus essentiels. La possibilité de voir le monde est due au fait que notre œilforme des images des objets qui l’entourent, pourvu que ces objets soient éclairés par de lalumière. Mais l’homme a également cherché à créer lui-même des images, et ce depuis trèslongtemps. Ainsi, par la peinture (depuis la préhistoire), il a cherché à former des images dumonde plus ou moins fidèles (avant la photographie, le seul moyen d’avoir un portrait d’unepersonne était de la peindre le plus fidèlement possible !). La chambre noire, décrite parLéonard de Vinci vers 1515, complétée par un miroir, était utilisée pour le dessin par lesartistes de l’époque.

Principe de la chambre noire : la lumière pénétrant par un petit trou dans un mur d’une pièce obscureprojette sur le mur d’en face l’image inversée de celui-ci.

En 1822, Nicéphore Niepce invente la photographie : avec du bitume de Judée déposé sur uneplaque de verre, et une chambre noire, il réalise la première photographie.

La première photographie, par N. Niepce (1822), intitulée “Point de vue de la fenêtre”

A.2 Notion d’image

Lorsqu’on observe le monde :• Soit on observe « directement » les objets : dans ce cas, soit l’objet lui-même émet de la

lumière (lampe…), soit l’objet réfléchit plus ou moins la lumière d’une source (soleil,lampe…) avant de parvenir à notre œil. Nous verrons le fonctionnement de l’œil auchapitre 5.

• Soit la lumière provenant de l’objet subit une ou plusieurs réflexion (s) et/ou réfraction(s)avant de parvenir à notre œil. Dans ce cas, on observe, non pas l’objet directement, maisune image de cet objet.

Par exemple, prenons le cas d’un arbre situé au bord d’un lac calme. On peut regarder soitl’arbre lui-même, soit son reflet dans le lac (son image dans le lac).Notons que le sens courant du mot image est plus vaste que celui du physicien opticien. En

44

effet, image signifie ordinairement « représentation bidimensionnelle d’un objet » (voirl’encadré sur les images non optiques).Dans ce chapitre, nous allons voir la définition précise de l’image optique, au sens del’optique géométrique.

A.3 Image réelle et image virtuelle

• L’objet observé directement à l’œil –c’est-à-dire que la lumière provenant de cet objet ouréfléchie par lui arrive directement à notre œil, sans subir de réflexion ni de réfraction- estappelé objet réel.

Pour former une image optique de cet objet, on intercale maintenant entre l’objet etl’observateur un système optique (ensemble de lentilles et/ou de miroirs en général) qui obligela lumière à se réfléchir ou à se réfracter avant de parvenir à l’œil de l’observateur, quiobserve désormais, non plus l’objet directement, mais une image de cet objet.• Dans le cas où cette image peut être projetée sur un écran, on parlera d’image réelle.• Dans le cas contraire, si l’image ne peut être que perçue par l’œil, et non mise en évidencesur un écran, on parlera d’image virtuelle.

Pouvez-vous citer un exemple d’image réelle et un exemple d’image virtuelle de la viecourante ?

B.Notion de stigmatisme

B.1 Stigmatisme rigoureux : exemple du miroir plan

B . 1 . a ) E x p é r i e n c e e t o b s e r v a t i o n s

Le miroir est un objet de notre quotidien auquel nous sommes habitués. Mais d'où provientl'image que nous voyons de nous-même ou d'un objet ? Peut-on l’observer sur un écranjudicieusement placé ?

Expérience 1 : image dans un miroir plan

Posez un objet sur la table et placez le miroir verticalement, à une vingtaine decentimètres. Regardez l’image de l’objet. Où vous paraît-elle située ?

Prenez maintenant la plaque de plexiglas et mettez-la à la place du miroir. Utilisezcomme objet une lampe de poche allumée (ou une petite ampoule), et observezl’image par réflexion de cette lampe. Utilisez une seconde lampe identique maiséteinte, et tentez de la superposer à l’image de la première. Où se trouve alors lalampe éteinte ? Pouvez-vous maintenant préciser où se trouve l’image de la lampeallumée, de même que l’image de l’objet dans le miroir plan (expérience précédente) ?

45

Caractériser l’image :

Dans quel sens est-elle16 ? Est-elle réelle ou virtuelle ?

Se déplace-t-elle lorsque l ‘observateur se déplace ? Est-elle nette ?

B . 1 . b ) I n t e r p r é t a t i o n

Tracer au moins trois rayons issus du point A de l’objet et venant se réfléchir sur lemiroir : effectuer le tracé avec précision en tenant compte des lois de Snell-Descartesvues précédemment. Faire de même avec 3 rayons issus du point B.

Cette construction permet-elle de retrouver les caractéristiques de l’imageprécédemment établies ?

16 Le sens d’une image est à comprendre par rapport à la verticale : une image droite a « la tête en haut » et uneimage inversée a « la tête en bas ».

46

B . 1 . c ) N o t i o n d e s t i g m a t i s m e ; i m a g e o p t i q u e

Stigmatisme rigoureux : un système optique est dit rigoureusement stigmatique pour toutcouple de points A et A' , lorsque tout rayon passant par un point objet A passe par un pointimage A' après avoir traversé le système optique.On dit que A et A' sont conjugués par le système optique ; ce couple est unique.Leurs positions sont liées par une relation algébrique, appelée relation de conjugaison.

Image optique : en optique géométrique, on dit qu’il y a image optique d’un objet à traversun système optique s’il y a stigmatisme. Ainsi, au sens strict, il n’y a pas d’image optiquefloue. Soit il y a une image, soit il n’y en a pas.Remarques :• Ces définitions sont vraies quelle que soit la nature des points, réelle ou virtuelle.• Peu de systèmes optiques sont rigoureusement stigmatiques ; parfois, ils ne le sont que

pour des points particuliers du système.

Que peut-on conclure quant au stigmatisme du miroir plan ?

B . 1 . d ) R e t o u r s u r l e s n o t i o n s d ’ i m a g e s r é e l l e e t v i r t u e l l e

Donnons maintenant une définition plus formelle des notions d’images réelle et virtuelle :• Lorsque tous les rayons issus d’un point A de l’objet vont réellement se rencontrer en un

point A’, A’ est une image réelle du point A. La lumière est réellement présente en A’, onpeut y mettre un écran et observer l’image.

• Lorsque les rayons issus du point A de l’objet sortent du système optique en semblantprovenir d’un point A", A" est une image virtuelle du point A. A" est situé à l’intersectionde prolongements "arrières" de rayons lumineux (voir schéma ci-dessous), il n’y a pas delumière au point A" et en y plaçant un écran on ne verra rien. Par contre notre œil (et lecerveau) interprétera la lumière qui lui parvient comme provenant du point A". On peutdonc le voir à l’œil une image virtuelle, mais on ne peut pas la "recueillir" sur un écran.Note : conventionnellement, le prolongement de rayons lumineux est tracé en pointillés,pour indiquer qu’il n’y a pas de lumière réellement présente en cet endroit.

47

système optique

A

A'

système optique

A'' A

écran

oeil

A’ est une image réelle A’’ est une image virtuelle

Revenons sur l ‘image précédemment obtenue dans le miroir (expérience 1), et sur laconstruction que vous avez réalisée au 2.1.b) pour l’interpréter. Lequel des deuxdessins ci-dessus s’applique-t-il à votre construction ?

B.2 Stigmatisme approché : exemple du dioptre plan

Vous avez vu dans le chapitre 1 ce qu'on appelle un dioptre : la surface de séparation de deuxmilieux d'indices différents.La surface calme d'un plan d'eau, par exemple, constitue un dioptre plan.En regardant un tel plan d'eau, on peut y apercevoir le fond - dont les cailloux semblent àportée de main - ou une branche qui plonge et semble cassée au niveau de la surface de l'eau.

Nous allons tenter d'expliquer - à l'aide des lois de Snell-Descartes - pourquoi nous pouvonsobserver de tels phénomènes.

B . 2 . a ) E x p é r i e n c e s

Expérience 2 : expérience du bâton brisé

• Dans une cuve remplie d’eau, on introduit la moitié d’une tige (un crayon, parexemple) en l’inclinant par rapport à la verticale. Observer la partie immergée par ledessus. Que constatez-vous ?

48

• Placez maintenant le crayon verticalement, et regardez sur le côté en plaçant vosyeux au niveau de l’interface eau/air. Observez le crayon : en vous plaçantexactement en face, en vous décalant vers la gauche, puis vers la droite...

Comment vous apparaît la partie immergée ? Cela dépend-il de votre position ?

Expérience 3 : la pièce au fond du verre

Déposer une pièce de monnaie au fond d'un récipient vide (opaque de préférence17).Positionner l'œil de façon que le récipient masque toute la pièce. Remplir le récipientlentement pour que la pièce ne bouge pas : observer jusqu'à ce que la pièceapparaisse totalement, l'œil restant fixe. Que constatez-vous ?

B . 2 . b ) I n t e r p r é t a t i o n

Nous allons nous concentrer sur l’interprétation de l’expérience 3, l’expérience 2s’interprétant de manière similaire.

• Un point objet a-t-il une image par un dioptre ?

Le schéma ci-dessous représente un point (lumineux) A (un point d’un poisson parexemple) dans de l’eau d’indice n = 1.33. Au-dessus, on trouve de l’air d’indice 1(milieu dans lequel se trouve le pêcheur…).

Tracer plusieurs rayons issus de A, ainsi que leur devenir après traversée du dioptre :réaliser ces tracés précisément, avec les valeurs numériques des angles. Tracer alorsles prolongements arrières des rayons situés dans l’air.

Semblent-ils tous provenir d'un même point ?

17 Si l’on utilise une cuve en verre, « opacifier » la paroi latérale en plaquant un morceau de papier contre laparoi verticale de la cuve. Le phénomène à observer est en effet plus spectaculaire si la paroi est opaque.

49

Peut-on parler d’image géométrique du point A ? Que peut-on dire sur le stigmatismedu dioptre plan ?

• Pourquoi voit-on néanmoins une « image » ?

Reprendre la construction ci-dessus en ne considérant que les rayons pouvantatteindre l’œil de l’observateur. Quelle conclusion en tirez-vous ? L’ « image » dépend-elle de la position de l’observateur ?

50

B . 2 . c ) N o t i o n d e s t i g m a t i s m e a p p r o c h é

Il est nécessaire de considérer ce stigmatisme approché, car le miroir plan est le seul systèmeoptique rigoureusement stigmatique pour tous les points de l’espace.

• Un système optique présente un stigmatisme approché pour un couple de points A et A’ sil'on peut limiter un faisceau tel que tout rayon de ce faisceau issu de A passe au voisinaged'un point A’ après avoir traversé le système.

L'approximation ainsi faite dépend du détecteur : par exemple, dans le cas de l’œil, la rétineest formée de cellules élémentaires de quelques microns de diamètre. De même un filmphotographique est formé de petits grains dont la taille dépend de la sensibilité du film. Ainsi,deux points lumineux voisins qui impressionnent la même cellule ne sont pas séparés parl’observateur, et un stigmatisme approché est suffisant pour obtenir une image nette.

B . 2 . d ) C o n d i t i o n s d e G a u s s

Considérons le cas d’un système centré, c’est-à-dire possédant un axe de symétrie derévolution appelé axe optique, la limitation du faisceau correspond à des conditions précises,appelées conditions de Gauss :

Un système centré est utilisé dans les conditions de Gauss s’il n’est traversé que par desrayons proches de l’axe et faisant avec celui-ci un angle faible (rayons paraxiaux).

Remarque : ces conditions assurent que les angles d'incidence des différents rayons sur lesdifférents éléments du système sont suffisamment petits pour assimiler le sinus à l'angle : laloi de la réfraction alors se réduit à n i = n r . C’est l’approximation linéaire de l’optiquegéométrique (cf Kepler).

Dans le cadre de l’approximation de Gauss, un système centré :• est stigmatique : tout point de l’axe possède une image (au sens du stigmatisme approché)

sur l’axe.• est aplanétique : pour tout objet plan et perpendiculaire à l’axe optique, son image est

également plane et perpendiculaire à l’axe optique.

51

C.Étude du miroir cylindrique/sphérique

Le miroir plan est certainement l’élément optique le plus utilisé dans la vie courante, mais onutilise également des miroirs "courbes" dans de nombreuses situations : miroirs de toilette,rétroviseurs de voiture, fond des blocs optiques des phares de voiture, miroirs à certainscarrefours, etc.

Un miroir à un carrefour

La forme donnée à ces miroirs dépend de leur utilisation. Suivant les cas ils pourront êtresphériques, cylindriques ou paraboliques. Dans cette partie, nous étudierons la modélisationde miroirs cylindriques ou sphériques.

Miroir cylindrique et miroir sphérique

C.1 Définitions et notations

Un miroir sphérique est une portion de sphère dont on a couvert la surface d’une couchetotalement réfléchissante, en général composée d’un dépôt métallique. Un miroir cylindriqueest une telle surface mais il est constitué d'une portion de cylindre.De tels miroirs sont caractérisés par un axe optique, un centre et un rayon de courbure.Suivant le sens de la courbure, le miroir sera dit concave ou convexe.

C S

miroir concave

CS

miroir convexe

Sur les deux schémas ci-dessus, la lumière arrive conventionnellement par la gauche. Lesmiroirs sont représentés par leur coupe selon un plan vertical. C est le centre de courbure dumiroir, et S est appelé le sommet. L’axe en pointillé est l’axe optique, axe de symétrie de

52

révolution de miroir.

Expérience 4 (à réaliser par l’enseignant) :

Éclairer un miroir concave par un faisceau de lumière parallèle à l‘axe du miroir.Observer les rayons réfléchis : que voit-on ? Faire un schéma.

Le miroir est-il un système rigoureusement stigmatique ?

C.2 Modélisation du miroir dans les conditions de Gauss

Dans les conditions de Gauss, les faisceaux sont limités à des rayons proches de l'axe et peuinclinés. Dans ce cas, on considère le système comme stigmatique (stigmatisme approché).Les miroirs sont alors schématisés de la façon suivante :

C S S C

miroir concave miroir convexeReprésentation symbolique d’un miroir sphérique concave ou convexe, utilisé dans les conditions deGauss.

C . 2 . a F o y e r

Le point où convergent les rayons parallèles à l’axe optique est appelé foyer image et noté F.La distance focale du miroir est la distance SF.

Expérience 5 :

Réaliser l’image d’un objet très éloigné en utilisant le miroir sphérique dont vousdisposez sur votre table. Expliquer pourquoi on peut déduire de cette expérience uneestimation de la distance focale du miroir, et mesurer cette distance focale. Compareravec les tables voisines.

53

C . 2 . b R e l a t i o n d e c o n j u g a i s o n

On cherche l’image A’ d’un point A sur l’axe optique du miroir, dans les conditions de Gauss.En utilisant la loi de Snell-Descartes de la réflexion, on peut montrer que la position de A’ estdonnée par :

1

SA'

1

SA

2

SCCette relation constitue la relation de conjugaison du miroir sphérique. Les distances sontalgébriques : l’orientation positive conventionnelle de l’axe optique est vers la droite.Nous ne démontrerons pas cette relation, la démonstration étant très similaire à celle qui seraeffectuée pour le dioptre sphérique.

Que donne la relation de conjugaison dans les deux cas particuliers suivants :

• Point A à l’infini. Par définition, le point image correspond au foyer image F’. Trouvezla position de ce point, et réalisez la construction géométrique correspondante, dansle cas d’un miroir concave et dans le cas d’un miroir convexe.

• Point A’ à l’infini. Le point objet A correspondant est le foyer objet F. En invoquant unprincipe vu au chapitre 1, montrer sans calcul que F’ et F sont confondus dans ce casparticulier.

Remarque : les foyers image et objet sont confondus dans le cas d’un miroir sphérique, maisce n’est pas vrai en général.

54

C.3 Constructions géométriques d’images

Expérience 6 : regardez votre image dans les miroirs plan, concave et convexe à votredisposition. Que constatez-vous ? ÊEtes-vous capable de distinguer le miroir concavedu convexe ?

On cherche l’image d’un objet AB plan et perpendiculaire à l’axe optique. On sait que, dansles conditions de Gauss, l’image A’B’ de cet objet sera également plane et perpendiculaire àl’axe optique. Il suffit donc de chercher l’image B’ de B. En effet, l’image A’ de A sera, surl’axe optique, à la verticale de B’.Pour trouver l’image de B, il suffit de considérer deux rayons particuliers passant par B. Onpeut utiliser :• Un rayon passant par B et le centre de courbure C du miroir : ce rayon étant confondu

avec la normale au miroir, il n’est pas dévié après réflexion.• Un rayon passant par B et parallèle à l’axe optique. Ce rayon passera donc par le foyer

image F’ (= F ici), par définition de celui-ci.

Exemple de construction géométrique de l’image d’un objet AB, dans le cas d’un miroir convexe.

Dans le cas de la construction ci-dessus, l'objet AB est situé en deçà du foyer. Quellessont les caractéristiques de l’image dans ce cas ?

Réaliser une construction analogue dans le cas d’un miroir sphérique égalementconcave, l’objet AB étant cette fois situé entre le foyer F et le sommet S du dioptre.

55

Réaliser la construction de l’image d’un objet, dans le cas d’un miroir convexe.

Note : Dans le cas où l’image A’B’ de l’objet AB est virtuelle, on la symbolise par untrait pointillé.

ÊEtes-vous maintenant capable, grâce à toutes ces constructions géométriques,d’interpréter l’expérience 6 et de distinguer les miroirs concave et convexe ?

Expliquer l’association suivante : « concave/maquillage », « convexe/rétroviseur », àl’aide des constructions précédentes.

56

D. Étude du dioptre sphérique

Un dioptre sphérique est une surface de séparation courbée entre deux milieux d’indices n etn’ pour laquelle on peut définir un centre C et un rayon de courbure .Un exemple en est la surface de l’œil. En effet, la lumière arrivant sur notre œil rencontre toutd’abord une surface pratiquement sphérique constituée d’un milieu transparent qui sépare l’airextérieur (d’indice 1) de l’humeur aqueuse d’indice 1.33.Les dioptres sphériques sont aussi à la base de la construction des lentilles (minces ouépaisses, convergentes ou divergentes, voir les chapitres suivants) qui sont des éléments debase pour la formation des images.

D.1Définitions et conventions

Comme pour les miroirs sphériques, on a deux sortes de dioptres sphériques : concaves etconvexes.

C S

dioptre concave

n n'

CS

dioptre convexe

n n'

Sur les deux représentations ci-dessus, la lumière se propage de la gauche vers la droite. L’axeoptique représenté en pointillés est orienté conventionnellement positivement vers la droite.Le rayon de courbure algébrique du dioptre est défini par R SC . Il est positif dans le casd’un dioptre convexe, négatif dans le cas d’un dioptre concave.

Dans la pratique il est difficile de ne faire franchir qu'un seul dioptre à la lumière. Dans lesexpériences qui suivent, l'un des dioptres est plan et la lumière y arrive perpendiculairementde sorte qu'aucun phénomène de réfraction ne dévie les rayons.

D.2Stigmatisme et foyer image

Expérience 7 (à réaliser par l’enseignant) : éclairer un dioptre sphérique par un faisceaude lumière parallèle à l’axe du dioptre. Observer les rayons réfractés. Faire un schéma.

Le dioptre sphérique est-il un système rigoureusement stigmatique ?

57

Interpréter qualitativement l’expérience précédente grâce à la loi de la réfraction, encomplétant les deux schémas suivants :

Quel est l’effet de la courbure ? Pour répondre à cette question, complétez le schémasuivant :

58

D.3Modélisation du dioptre sphérique dans les conditions de Gauss

D . 3 . a R e l a t i o n d e c o n j u g a i s o n

On cherche l’image A’ d’un point A situé sur l’axe optique du dioptre, dans les conditions deGauss. Nous allons chercher la position du point A’, en utilisant la loi de la réfraction. Larelation de conjugaison liant les positions de A et A’ ne dépend pas du type de dioptre étudié.Nous l’établirons dans un cas particulier : un dioptre sphérique convexe avec n < n’.

CS

n < n' n'

A A'

i

rα α'ω

I

H

+

Les conventions et notations sont définies sur la figure ci-dessus :• Les distances sont algébriques, l’axe optique étant orienté vers la droite.• Les angles sont également algébriques, orientés dans le sens trigonométrique.Pour trouver l’image de A, on trace deux rayons particuliers issus de A : l’un est l’axe optiquelui-même, l’autre est un rayon quelconque issu de A incident sur le dioptre en I avec un anglei, réfracté avec un angle r < i (car n’ < n) et intersectant l’axe optique en A’, l’imagecherchée.Dans le cadre de l’approximation de Gauss, tous les angles (α, α’, ω, i et r) sont petits. La loide la réfraction s’écrit donc :

n i = n’ r (1)On a dans AIC :

α + ω + π - i = πD’où :

i = ω + αDe même, dans A’IC :

α’ + r + π - ω = π

59

D’où :r = ω - α’

Pour trouver l’expression de ω, α et α’, on utilise l’approximation des petits angles : onconfond H et S et on assimile les angles à leurs tangentes :

tanHI

AH

HI

AS

HI

SA

' tan 'HI

HA'

HI

SA'

tanHI

HC

HI

SCOn remplace α, α’ et ω par ces expressions dans (1), qui devient donc :

n'

SA'

n

SA

n' n

SCCette relation est la relation de conjugaison du dioptre sphérique, et on peut montrer qu’elleest tout à fait générale dans la limite des conditions de Gauss.

Remarque : à partir de cette relation, on peut trouver la relation de conjugaison pour le dioptreplan (qui peut aussi se démontrer directement, bien entendu), en faisant tendre le rayon decourbure SC vers l’infini.

D . 3 . b F o y e r s

Par définition, le foyer image F’ est le point conjugué d’un point A « à l’infini », on obtient :n'

SF'

n' n

SCLe foyer objet est le point conjugué d’un point image A’ à l’infini :

n

SF

n' n

SCPar exemple, dans le cas particulier de la figure du 3.3, SC 0 et n < n’, donc SF' 0 etSF 0 : F’ est à droite du dioptre et F à gauche.On voit que dans ce cas, les foyers image et objet ne sont pas confondus, contrairement au casdu miroir sphérique.Remarque : vérifiez que l’expression obtenue de la distance focale SF’ en fonction du rayonde courbure du dioptre est bien cohérente avec le schéma que vous avez complété au 4.1 (effetde la courbure du dioptre).

60

Encadré : Miroirs paraboliques

Les miroirs paraboliques sont difficiles à réaliser, mais ont une propriété de convergence toutà fait particulière : il y a stigmatisme rigoureux pour le foyer : tout rayon parallèle à l'axepasse par le foyer du miroir.

Stigmatisme rigoureux de la paraboloïde Peinture de Giulio Parigi vers 1600, Florence

En termes exacts, il s'agit d'une surface dénommée paraboloïde, obtenue par la rotation d’uneparabole autour de son axe de symétrie.La légende dit qu'Archimède a tenté d'incendier la flotte romaine à Syracuse en utilisant desmiroirs paraboliques18 pour enflammer les voiles (voir la gravure ci-dessus).De nos jours, le principe du paraboloïde est utilisé pour la fabrication des projecteurs et desphares automobiles (l'ampoule est placée au foyer d'un réflecteur parabolique), et aussi dansles relais hertziens et les radars (armée, tours de contrôle des aéroports, antennes réceptricesde télévision). Dans ces différentes applications, la paraboloïde est utilisée comme récepteurou comme émetteur.Signalons également l’existence de fours solaires : par exemple, celui (ci-dessous) d’Odeillopermet d’atteindre une température de plus de 3000°C en son foyer (il est utilisé pour larecherche en matériaux).

Four solaire d’Odeillo (Pyrénées Atlantique) Antenne parabolique

Pour plus d’informations, voir : http://serge.mehl.free.fr/anx/miroirpara.html

18 Archimède aurait utilisé une juxtaposition de miroirs hexagonaux afin d’obtenir une forme concaveassimilable à un paraboloïde de révolution. (voir à l’adresse suivante :https://www.cs.drexel.edu/~crorres/Archimedes/Mirrors/Tzetzes.html)

61

Encadré : le télescope spatial Hubble

Ce télescope a été mis sur orbite en avril 1990. Il a permis de progresser dans la réponse à desquestions telles que : à quelle vitesse l’Univers se dilate-t-il ? Grossièrement, il comportedeux miroirs qui collectent la lumière provenant des astres. Dès le début, les astronomes sesont rendu compte que les images qu’ils réalisaient comportaient une grossière aberration :certains rayons lumineux sortent des conditions de Gauss ; en conséquence, les rayonsprovenant d’un même point ne convergent pas tous au même endroit, et « l’image » obtenueest floue (voir figure de gauche ci-dessous). En 1993, des astronautes de la navette spatialeEndeavor ont réussi à corriger ce défaut (voir figure de droite ci-dessous) en installant unenouvelle caméra comprenant sa propre optique corrective.

Images de la galaxie M-100 prises par Hubble Space Telescope avant (gauche) et après (droite)réparation de l’aberration « de sphéricité ».

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Encadré : quelques images « non optiques »

Au cours du XXe siècle, de nouvelles méthodes pour obtenir des images, qui ne sont pasbasées sur l’optique, ont été inventées. Ces nouvelles méthodes permettent d’explorer lemonde à une échelle plus petite (par exemple, de « voir » les atomes), ou d’observer ce qui estcaché à notre œil (l’intérieur du corps humain, par exemple).• L’optique est le domaine des ondes électromagnétiques dont la longueur d’onde est

comprise entre 0.4 et 0.7 µm environ.• On peut réaliser des images à l’aide d’ondes électromagnétiques dans une autre gamme de

longueur d’ondes, par exemple avec des rayons X dont la longueur d’onde est compriseentre 10 nm et 1 pm (10-12 m). Les radiographies du corps humain sont ainsi obtenuesgrâce à des rayons X (voir figure a).

• On peut obtenir des images grâce à des ondes mécaniques ultrasonores, c’est le principede l’échographie (voir figure b).

• Des particules constitutives de la matière, comme les électrons ou les neutrons, peuventservir à réaliser des images. La microscopie électronique (par réflexion, par transmissionou à balayage - MEB), très utilisée notamment en biologie, est sans doute l’exemple leplus connu (figures c, d et e).

• Il existe enfin des techniques particulières pour « voir » les surfaces à l’échelle atomique ;citons la microscopie à effet tunnel (STM) qui permet d’imager des surfaces conductrices(figure g), et la microscopie à force atomique (AFM) qui permet d’obtenir des images desurfaces isolantes (figure f).

a) b) • Une « radio » des poumons ; b) Une échographie d’un fœtus

c) d) e) c) Image d’une crevette obtenue en MEB ; d) Image MEB de microcristaux de cuivre (de taillequelques m) ; e) Soies d’abeille et grains de pollen (la taille d’un grain est de l’ordre de 10 m) enMEB

f) g) f) Image AFM d’un nanotube de carbone (la largeur du tube est de 50 nm environ) ; g) Image STMd’atomes de phosphore, ordonnés à droite, désordonnés à gauche.

63

CHAPITRE 4:

FORMATION D’IMAGES PAR UNE LENTILLE CONVERGENTE

Sa l l es : « l en t i l l e s» 03 7 ou 15 0

Une représentation de Sherlock Holmes, muni de son indispensable loupe

64

SOMMAIRE DU CHAPITRE 4 :

A. INTRODUCTION ............................................................................................................................ 65A.1 PETIT HISTORIQUE........................................................................................................................... 65

A.2 EXPÉRIENCES SUR LES LENTILLES CONVEXES ................................................................................ 65

A.2a) Que voit-on à travers une lentille convexe ?................................................................................ 65

A.2.b) Que devient la lumière émise par une source et qui passe dans une loupe ?.............................. 66

A.2.c Convergence d'un faisceau........................................................................................................... 68

B. MODÉLISATION DES LENTILLES MINCES CONVERGENTES : FOYERS ET DISTANCE FOCALE . 69B.1 FOYER IMAGE .................................................................................................................................. 69

B.2 FOYER OBJET ................................................................................................................................... 69

B.2.a) Expérience................................................................................................................................... 69

B.2.b) Modélisation ............................................................................................................................... 70

B.3 MESURES DE LA DISTANCE FOCALE ................................................................................................ 70

C. OBTENTION D’IMAGES PAR DES LENTILLES CONVERGENTES .................................................. 72C.1 EXPÉRIENCES .................................................................................................................................. 72

C.2 CONSTRUCTIONS GÉOMÉTRIQUES AVEC LE MODÈLE DES LENTILLES MINCES................................ 73

C.2.a Cas où l'objet est à une distance de la lentille supérieure à la distance focale ............................. 73

C.2.b Cas où l'objet est à une distance de la lentille inférieure à la distance focale.............................. 75

D. RELATION DE CONJUGAISON OBJET-IMAGE.............................................................................. 76D.1 DÉMONSTRATION À PARTIR DES PROPRIÉTÉS DES DIOPTRES.......................................................... 76

D.2 MODÈLE GÉOMÉTRIQUE DES LENTILLES MINCES ........................................................................... 77

D.3 SIGNIFICATION DU CARACTÈRE ALGÉBRIQUE................................................................................. 77

D.4 NOTION DE GRANDISSEMENT.......................................................................................................... 78

D.5 VÉRIFICATION EXPÉRIMENTALE DANS LE CAS OBJET RÉEL / IMAGE RÉELLE ................................. 78

Attention :Cette séance va être l’occasion de rédiger un compte rendu que vous remettrez à la fin de laséance et qui comptera dans la note correspondant à ce module. Il vous suffira de répondresur feuille séparée au fur et à mesure aux questions apparaissant dans ce poly (indiquées parun symbole « > » ). Un seul compte rendu est demandé par binôme, mais vous avez fortementintérêt à garder un exemplaire des réponses aux questions.

65

A. Introduction

A.1 Petit historique

On raconte qu'en l'an 57, Néron observe les combats de gladiateurs au travers d’une émeraudemontée sur bague : correction de myopie ou lunettes de soleil ? Les pierres précieuses etautres verres étaient connus pour leurs vertus optiques depuis l’Égypte pharaonique : « Uneécriture mince et embrouillée paraît plus grosse et plus distincte à travers une boule remplied’eau ». (Sénèque).Ce n'est qu'au XIe siècle que la loupe, constituée d'une lentille de verre épais, fait sonapparition. Les copistes s'en servent pour mieux voir les caractères des livres qu'ilsreproduisent. À la fin du XIIIe siècle, le physicien florentin Salvino Degli Armati découvreque, si on amincit la lentille ou si on change sa courbure, on voit nettement les objets situés àune certaine distance.Au XVIe siècle, le microscope et la lunette astronomique ont été inventés en Hollande. Dansles deux cas, il s’agit d’une association de plusieurs lentilles.Depuis, de nombreux dispositifs optiques comprenant des lentilles ont été inventés, qu’ils’agisse du projecteur de cinéma, de l’appareil photo, de la caméra, etc.

$La lentille est ainsi devenue un élément essentiel en optique. Dans cette séance, nous nouslimiterons à l’étude des lentilles minces convergentes . Les lentilles minces divergentes serontétudiées dans la prochaine séance.

A.2 Expériences sur les lentilles convexes

A . 2 a ) Q u e v o i t - o n à t r a v e r s u n e l e n t i l l e c o n v e x e ?

Expérience 1 : on regarde un objet proche

Prenez la loupe à main. Vérifiez qu'il s'agit bien d'une lentille convexe (ne mettez pasvos doigts directement sur la lentille). Regardez un objet en approchant la loupe àquelques centimètres.

> Comment apparaît l'objet ?

> Si vous éloignez la loupe de l'objet : y a-t-il un moment où l'on ne peut plus voirl'objet, même en partie ? Si oui, mesurer approximativement la distance qui séparealors la loupe à l'objet.

66

Expérience 2 : on regarde un objet lointain

> Regardez un objet éloigné (distance de 2 à 3 mètres, par exemple, objet bien éclairé)à travers la loupe. Comment apparaît l'objet ?

> Placer un papier calque entre la loupe et votre œil. Qu'observez-vous ?

A . 2 . b ) Q u e d e v i e n t l a l u m i è r e é m i s e p a r u n e s o u r c e e t q u i p a s s e d a n s u n e l o u p e ?

Expérience 3 : utilisation d’une petite ampoule

Allumez l'ampoule sur support. Approchez une feuille de papier (calque) et vérifiez quela lumière est émise dans toutes les directions et, en éloignant la feuille, quel'éclairement s'estompe progressivement.

Interceptez alors une partie de la lumière émise ainsi dans toutes les directions avec laloupe et essayez de voir ce qui se passe au-delà de la loupe : déplacez une feuille depapier blanc (ou un papier calque), regardez sur le mur, etc.

> Représentez ci-dessous par un dessin, l'expérience que vous venez de réaliser.Complétez par une représentation du faisceau de lumière intercepté par la loupe.

Expérience 4 : un trou dans un écran

Dorénavant, on utilisera les lentilles sur support et le banc d'optique.

67

Banc d'optique :Lentilles sur supportspouvant être alignées

sur un rail (banc)

Utilisez la source de lumière sur support et placez à sa sortie, un petit écran noir percéd'un trou recouvert de papier diffusant. Placez la lentille convergente L2 sur le banc àenviron 30 cm de la source.

> Déplacez un papier calque entre le trou et la lentille, puis de l'autre côté de la lentille.Que constatez-vous ? Faites ci-dessous le schéma de l'expérience en indiquant lalumière émise par le trou source, le faisceau intercepté par la loupe, et le faisceau del'autre côté de la loupe.

Expérience 5 : deux trous dans un écran

Reprendre l'expérience précédente en remplaçant l'écran percé d'un trou par un écranéquivalent percé de deux trous.

> Faites ci-dessous le schéma de l'expérience en indiquant la lumière émise par le trousource, les faisceaux interceptés par la loupe, et les faisceaux de l'autre côté de laloupe.

68

A . 2 . c C o n v e r g e n c e d ' u n f a i s c e a u

Expérience 6 : convergence d'un faisceau parallèle

Les sources de lumière blanche dont vous disposez comprennent une ampoule et unelentille appelée "condenseur" qui permet de mieux collecter la lumière à la sortie del'ampoule. Une tirette située à l'arrière de la lampe permet de faire plus ou moinsconverger le faisceau à la sortie de la lampe.

Agir sur cette tirette afin de former un faisceau de lumière parallèle, ce que l'onvérifiera en intercalant une feuille de papier dans le faisceau et en la déplaçant le longdu banc.

> Placer une lentille convexe dans ce faisceau de lumière parallèle. Reprenez la feuillede papier et déplacez-la à nouveau le long du banc. Que constatez-vous ? Lephénomène est-il modifié si vous déplacez la lentille le long du banc ?

Expérience 7 (à réaliser par l’enseignant) : visualisation du trajet des rayons d’unfaisceau parallèle

Grâce à la « laser ray box » montrer le trajet de quelques rayons parallèles à latraversée d’une lentille convergente biconvexe.

> Faire le schéma correspondant à votre observation.

> La lentille est-elle un système stigmatique ?

69

B. Modélisation des lentilles minces convergentes : foyers et distance focale

Le problème du stigmatisme a déjà été rencontré dans la séance précédente. Nous avons vuque l'on pouvait dans certains cas, se contenter d'un stigmatisme approché. Pour cela, il fauten général se placer dans des conditions particulières dites de Gauss. Pour les lentilles, cesconditions sont respectées si les objets restent au voisinage de l'axe optique et si le diamètrede la lentille est faible devant le rayon de courbure des faces. Ceci revient à pouvoir négligerl’épaisseur de la lentille devant la distance focale : on parle alors de lentille mince.

B.1 Foyer image

Dans le modèle dit des "lentilles minces" que l'on étudiera ici, un faisceau incident parallèle àl’axe optique ressort d’une lentille convergente en convergeant en un point, qui est le foyerobjet, noté F’. La distance entre le centre O de la lentille et le point F’ est appelée distancefocale, et elle est en général notée f ’. Ce paramètre suffit à caractériser la lentille.La figure ci-dessous indique la façon dont on schématise une lentille mince convergente etmontre la convergence d’un faisceau incident parallèle à l’axe optique (axe de symétrie derévolution de la lentille) au foyer image F'.

> Quelle est approximativement la distance focale de la lentille que vous avez utilisée ?

B.2 Foyer objet

L'application du principe de retour inverse de la lumière nous indique alors que,"réciproquement" la lumière provenant d'un point tel que le foyer, doit ressortir sous formed'un faisceau parallèle.

B . 2 . a ) E x p é r i e n c e

Expérience 8 : mise en évidence du foyer objet

Placez dans le faisceau issu de la source, un morceau de papier ou de carton percéd'un trou et concentrez (avec la tirette du condenseur) le faisceau sur l'ouverture.Déplacez la feuille de papier derrière l'ouverture. Vous devez constater que,maintenant le faisceau est divergent.

> Cherchez maintenant la position de la lentille que vous avez utilisée précédemmentpermettant d'obtenir de nouveau un faisceau parallèle. Dessinez sur un schéma ce quevous observez. À quelle distance de la lentille se trouve alors l'ouverture ?

70

B . 2 . b ) M o d é l i s a t i o n

Il existe un point appelé foyer objet et noté F, tel que tout faisceau provenant de F sort de lalentille sous forme d'un faisceau parallèle à l’axe optique.Pour une lentille mince, ce point F est symétrique de F’ par rapport à O.

B.3 Mesures de la distance focale

Le seul paramètre qui caractérise une lentille mince convergente est sa distance focale. Il estdonc important de pouvoir au moins l’estimer.

Expérience 9 : mesure simple

> Reprenez l'expérience avec le faisceau parallèle et déterminez ainsi la distancefocale des lentilles mises à votre disposition sur la table.

> Pourquoi le fait d'obtenir l'image d'une source éloignée (image sur le sol, parexemple, d'une lampe de plafond) permet-il de déterminer la distance focale d'unelentille ? Faites l'expérience avec une des lentilles et comparer le résultat.

> Pourquoi cette méthode n'est pas adaptée à une grande focale ?

71

Expérience 10 : auto-collimation

Il s'agit d'une méthode simple permettant une détermination précise de la distance focale d'unelentille convergente : l'idée est de réaliser, grâce à un miroir, l'image d'un objet sur l'objet lui-même.

> Vous pouvez utiliser comme objet soit un trou, soit une diapositive éclairée par lasource blanche. Placez alors dans le prolongement la lentille que vous venez d'utiliser.Placez le miroir immédiatement derrière la lentille. Déplacer l’ensemble {lentille +miroir} le long du banc jusqu’à obtenir dans le plan de la diapositive une image nette etde même taille que celle-ci (pour voir cette image, il est nécessaire d'inclinerlégèrement le miroir). La distance focale est obtenue par mesure de la distance entrela lentille et l’objet. Noter la distance focale trouvée.

> Interpréter l’expérience précédente en considérant le point A de l'objet qui se trouvesur l'axe optique de la lentille (indiquer le sens de propagation de la lumière par uneflèche):

72

C. Obtention d’images par des lentilles convergentes

C.1 Expériences

Expérience 11 : différents types d’images obtenues par une lentille convergente

Choisissez une diapositive. Faites-en l’image sur un écran, en utilisant la même lentilleque précédemment. Pour cela, déplacer l’écran jusqu’à ce que vous obteniez uneimage nette.

> Vérifiez qu’il n’y a qu’une position de l’écran où l’image est nette, c'est le lieu del’image optique de la diapositive par la lentille. L’image est-elle réelle ou virtuelle ?Dans quel sens est-elle ?

Vous allez maintenant éloigner progressivement la lentille de la diapositive. Pourchaque nouvelle position de la lentille, cherchez la nouvelle position de son image endéplaçant l'écran.

> Comment évolue l'image (position, taille, luminosité) ?

> Approchez maintenant la lentille de la diapositive. Y a-t-il une distance en deçà delaquelle vous n'arrivez plus à trouver l'image sur l’écran? Si oui, quelle est l'ordre degrandeur de cette distance ?

> Regardez à travers la lentille (attention de ne pas vous éblouir : ne regardez pas droitdans l'axe du faisceau). Que voyez-vous ? S'agit-il d'une image réelle ou virtuelle ?

73

C.2 Constructions géométriques avec le modèle des lentilles minces

Comme vous avez pu le constater, suivant les cas, soit l'image est réelle et peut être visualiséesur un écran, soit elle est virtuelle et seulement visible à l'œil. Dans tous les cas, l’image d’unpoint est bien un point, et on a bien une véritable image au sens de l’optique géométrique.La position de cette image peut être trouvée par simple construction géométrique. En effet,nous avons vu que :- un rayon incident parallèle à l’axe optique émerge en passant par le foyer image F’ ;- un rayon incident et passant par le foyer F émerge parallèlement à l’axe optique.À celles-ci, on peut ajouter :un rayon lumineux passant par le centre O de la lentille n’est pas dévié.Ces trois propriétés sont résumées sur la figure ci-dessous :

Nous allons maintenant chercher à interpréter les observations que vous avez faites.Pour cela, nous allons modéliser la diapositive par un segment AB, représenté par une flèchede A vers B, A étant situé sur l’axe optique, et AB étant perpendiculaire à l’axe optique (voirschéma suivant).Par définition, l’image de B est un point (B'), tel que tout rayon issu de B passe par B'. Il suffitdonc de trouver deux rayons particuliers : le point B' cherché sera à l'intersection des deuxrayons émergents. Deux des trois rayons particuliers indiqués ci-dessus peuvent alors servirpour trouver B' par construction géométrique.Différents cas vont être envisagés.

C . 2 . a C a s o ù l ' o b j e t e s t à u n e d i s t a n c e d e l a l e n t i l l e s u p é r i e u r e à l a d i s t a n c e f o c a l e

Dans la figure ci-dessous, nous avons considéré l'objet AB proche du foyer objet (AF < f ').Nous avons représenté les trois rayons particuliers qui permettent de trouver la position dupoint B' (deux d'entre eux auraient suffi).

> L’image A’B’ est-elle réelle ou virtuelle ? Dans quel sens est-elle ? Quelle est sa taillepar rapport à celle de l’objet ?

74

À quelle(s) expérience(s) de la première partie cela correspond-il ? À quelleapplication pratique ce cas vous fait-il penser ?

> Réalisez vous-même les constructions géométriques nécessaires pour trouverl’image A’B’ dans le cas suivant : AF = f ’. D’après votre construction géométrique,l’image A’B’ est-elle réelle ou virtuelle ? Dans quel sens est-elle ? Quelle est sa taillepar rapport à celle de l’objet ? Que vaut dans ce cas la distance A’F’ ?

> Même chose dans le cas AF > f’. D’après votre construction géométrique, l’imageA’B’ est-elle réelle ou virtuelle ? Dans quel sens est-elle ? Quelle est sa taille parrapport à celle de l’objet ?

75

> À quelle(s) expérience(s) de la première partie cela correspond-il ? À quelleapplication ce cas vous fait-il penser ?

C . 2 . b C a s o ù l ' o b j e t e s t à u n e d i s t a n c e d e l a l e n t i l l e i n f é r i e u r e à l a d i s t a n c e f o c a l e

> Réalisez ensuite la construction géométrique dans le cas où l’objet AB est entre Fet O (on rappelle que le prolongement d’un rayon se trace en pointillés). De quel côtéde la lentille est située l’image ? Cela vous surprend-il ? Est-elle réelle ou virtuelle ?Est-elle droite ou renversée ? Est-elle plus grande ou plus petite que l’objet ?

> À quelle(s) expérience(s) de la première partie cela correspond-il ? À quel instrumentd’optique très simple cette expérience vous fait-elle penser ?

76

D. Relation de conjugaison objet-image

D.1 Démonstration à partir des propriétés des dioptres

Une lentille est un corps transparent homogène d’indice n, limité par deux dioptres dont l’unau moins est sphérique, l’autre face pouvant être plane ou sphérique. Chaque rayon passantsuccessivement les deux dioptres subit deux réfractions suivant les lois de Snell-Descartes.La lentille est un système centré.Si nous considérons le cas de lentilles minces, c’est-à-dire dont l’épaisseur peut êtreconsidérée comme négligeable (devant les rayons de courbure des deux faces), lefranchissement des deux dioptres se fait dans le cadre de l'approximation de Gauss ainsi quenous l'avons étudié dans le chapitre précédent.On peut alors trouver la relation de conjugaison entre un point objet A et son point image A’,comme suit.

Soit A" le conjugué de A par le premier dioptre sphérique de centre C1 et de sommet S1. On a(d’après la relation de conjugaison pour le dioptre sphérique vue au chapitre 3) :

n

S1A"

1

S1A

n 1

S1C1(1)

Soit A’ le conjugué de A" par le second dioptre sphérique de centre C2 et de sommet S2. Ona :

1

S2A'

n

S2A''

1 n

S2C2(2)

Comme la lentille est mince, on néglige son épaisseur, et on confond donc S1 et S2 qu’on notedésormais O. En additionnant (1) et (2), on obtient ainsi :

1

OA'

1

OA(n 1)(

1

S1C1

1

S2C2)

Ceci constitue la formule de conjugaison des lentilles minces. Elle est en fait vraie quel quesoit le type de lentille, plan/convexe, biconvexe, plan/concave ou biconcave, pourvu que lesconditions de Gauss soient vérifiées (ici, elles interviennent car on a utilisé la relation deconjugaison pour le dioptre sphérique, dont on a vu au chapitre 3 la démonstration dans lecadre de l’approximation de Gauss).

Le foyer image F’ est le conjugué d’un point objet A situé à l’infini. Il est donné par :

1

OF'(n 1)(

1

S1C1

1

S2C2)

1

f '

On voit facilement que OF' 0 pour une lentille plan/convexe ou biconvexe.

77

Le foyer objet F est le conjugué d’un point image A’ situé à l’infini. Il est donné par :

1

OF(n 1)(

1

S1C1

1

S2C2)

1

f '

OF 0 pour une lentille plan/convexe ou biconvexe.On peut donc simplifier la relation de conjugaison sous la forme suivante :

1

OA'

1

OA

1

f '

D.2 Modèle géométrique des lentilles minces

La géométrie simple du modèle des lentilles minces respecte bien cette relation.Si l'on reprend le schéma de construction de l'image réelle d'un objet réel (ci-dessous) et que

l'on considère les triangles semblables OAB et OA'B', on trouve : OA

OA

AB

BA ''' =

De même, en considérant les triangles semblables FAB et F'A'B', on trouve :

FA

FO

OF

AF

AB

BA =='

'''',

d'où : ?'''. OFAFFA −= (relation dite de "conjugaison avec origines aux foyers").

En combinant avec la relation précédent, on peut écrire :'.'.)''.(''.'.' OAOAOFOAOAOFOAAFOAOAOF +=+==

D'où, l'on tire :

'

1

'

11

OFOAOA=−

D.3 Signification du caractère algébrique

Ces relations sont algébriques : ceci signifie que la valeur de OA', par exemple, peut êtrepositive ou négative.Si 0' >OA , ceci correspond à un faisceau qui converge au-delà de la lentille : il s'agit donc

d'une image réelle. Si 0' <OA , le point A' est un point en deçà de la lentille, d'où sembleprovenir les rayons : l'image est virtuelle.Un objet dit réel (pour la lentille considérée) correspond à un point source placé en deçà de lalentille : 0<OA .

78

D.4 Notion de grandissement

Le grandissement (linéaire) de l’image par rapport à l’objet est défini par : AB

BA ''=

Il s’agit d’une grandeur algébrique, dont le signe renseigne sur le sens de l’image par rapportà celui de l’objet. La valeur absolue de γ indique bien de combien l'image A'B' est plus grande(ou plus petite) que l'objet AB.Cette notion est particulièrement utile pour les instruments d’optique.

D.5 Vérification expérimentale dans le cas objet réel / image réelle

Expérience 12 : On utilise une lentille convergente de distance focale f ' connue.

Réaliser un objet lumineux en accolant une diapositive à une source de lumièreblanche. Placer l'ensemble à l'extrémité d'un banc d'optique.

> Positionner la lentille à une distance supérieure à f ' et chercher l'image (réelle) endéplaçant l'écran. Le dispositif étant ainsi préparé, réaliser plusieurs mesures des

distances objet - lentille et lentille – écran. En déduire les valeurs algébriques de OA et

'OA . Compéter le tableau ci-dessous.

OA

'OA

OA

1

'

1

OA

> Représentez ensuite les mesures ci-dessus dans un graphique 1 OA' f (1 OA). Endéduire une autre mesure de la distance focale de la lentille utilisée.

79

Encadré : les instruments d’optique

Il s’agit d’objets construits par l’homme permettant de réaliser des images optiques. On lesclasse en deux catégories :• les instruments visuels : ils fournissent une image virtuelle regardée par l’œil. Ils servent

soit à la vision rapprochée (loupe, microscope), soit à la vision d’objets éloignés(jumelles, lunette, télescope)

• les instruments de projection : ils forment une image réelle sur un écran ou sur undétecteur (vidéoprojecteur, objectif d’appareil photo).

Pour comparer ces instruments entre eux, on utilise les notions de• grandissement (cf 4.4) : donne la taille de l’image par rapport à celle de l’objetgrossissement : compare l’angle sous lequel on voit l’objet à l’œil nu avec celui sous lequelon voit son image donnée par l’instrument• champ : définit la portion de l’espace visible à travers l’instrumentIls peuvent être composés soit d’une seule lentille (loupe), soit d’associations de lentilles(lunette, microscope), soit de miroirs uniquement (télescope)…

• Le microscope aurait été inventé en Hollande à la fin du XVIe siècle. Au XVIIe,Leeuwenhoek est le premier à observer des cellules et des micro-organismes avec unmicroscope. Un microscope comprend deux lentilles : un objectif de courte focale(typiquement de l’ordre du cm) qui forme une image fortement agrandie de l’objet. Cetteimage est par construction dans le plan focal objet de l’oculaire, qui en donne donc uneimage à l’infini (donc que l’œil peut regarder sans accommoder). Lorsqu’on fait la miseau point, on déplace l’ensemble (objectif + oculaire) de telle sorte à amener l’objet « aubon endroit » pour que son image intermédiaire par l’objectif soit bien dans le plan focalobjet de l’oculaire. Le chiffre indiqué sur l’objectif est le grandissement de l’objetlorsqu’il est situé à cette position particulière.

F1 F'1F2 F'2

A

B A'

B'objectif

oculaire

principe du microscope photo d’un microscope

• La lunette aurait été inventée en Hollande également, au début du XVIe siècle, et utiliséepour la première fois par Galilée à des fins d’observations astronomiques. Elle est forméeégalement d’une association de deux lentilles. Elle fonctionne un peu à l’inverse dumicroscope : comme elle sert à regarder des objets très éloignés, la première lentille(objectif) est de grande focale et la deuxième (oculaire) de courte focale. C’est un systèmeafocal : ceci signifie que le foyer image de l’objectif est confondu avec le foyer objet del’oculaire. Ainsi, l’image d’un objet très éloigné est située dans le plan de ce foyercommun à l’objectif et à l’oculaire, et l’image résultante est à l’infini, ce qui évite là aussià l’œil d’accommoder.

80

F'1=F2 F'2

objectif

oculaire

A'

B'

principe de la lunette photo d’une lunette

• Le télescope aurait été inventé par Newton au XVIIE siècle. Le télescope spatial Hubblefonctionne sur le même principe que le premier télescope de Newton. Ce principe est lesuivant : un miroir concave de grande taille forme une image de l’astre observé dans sonplan focal. Cette image est ensuite généralement renvoyée sur un oculaire à l’aide d’undeuxième miroir, de petite taille.

principe du télescope Hubble Space Telescope

81

CHAPITRE 5:

LENTILLES DIVERGENTES

ŒIL HUMAIN

Sa l l es : « l en t i l l e s» 03 7 ou 15 0

82

SOMMAIRE DU CHAPITRE 5 :

A. LENTILLES DIVERGENTES.......................................................................................................... 83A.1 EXPÉRIENCES INTRODUCTIVES : QUE VOIT-ON À TRAVERS UNE LENTILLE CONCAVE ? ................ 83

A.2CARACTÉRISATION DES LENTILLES MINCES DIVERGENTES : FOYERS ET DISTANCE FOCALE.......... 83

A.2.a) Foyer image ................................................................................................................................ 83

A.2.b) Foyer objet.................................................................................................................................. 85

A.2.c) Distance focale : valeur algébrique et mesure ............................................................................ 85

A.3 IMAGES OBTENUES PAR UNE LENTILLE DIVERGENTE ..................................................................... 87

A.3.a) Expériences................................................................................................................................. 87

A.3.b) Constructions géométriques ....................................................................................................... 87

A.4. FORMULES DE CONJUGAISON......................................................................................................... 88

B. ETUDE DE L’ŒIL HUMAIN............................................................................................................. 89B.1.DÉCOUVERTE DU FONCTIONNEMENT DE L’ŒIL HUMAIN ................................................................ 89

B.2.ANATOMIE DE L’ŒIL ....................................................................................................................... 89

B.2.a) Structure...................................................................................................................................... 89

B.2.b) Accommodation.......................................................................................................................... 90

B.3 DÉFAUTS DE L’ŒIL .......................................................................................................................... 91

83

A. Lentilles divergentes

A.1 Expériences introductives : que voit-on à travers une lentille concave ?

Expérience 1 : on regarde un objet proche

Lors de la séance précédente, vous avez vu les caractéristiques des lentillesconvergentes ; vous devez donc être en mesure d’identifier, parmi les lentilles dontvous disposez sur votre table, celles qui sont convergentes. Par déduction la ou leslentille(s) qui restent doivent être divergentes. Vérifiez que cette (ces) lentille(s)restante(s) est (sont) concave(s) (ne mettez pas vos doigts directement sur lalentille). Regardez un objet de près, à travers cette lentille. Comment apparaît l’objet ?Comparez avec ce qu’on obtient pour une lentille convergente.

Expérience 2 : on regarde un objet lointain

Regardez un objet éloigné (distant de 2 à 3 mètres par exemple) à travers la lentilledivergente. Comment apparaît l’objet ? Comparer avec le cas d’une lentilleconvergente.

A.2Caractérisation des lentilles minces divergentes : foyers et distance focale

A . 2 . a ) F o y e r i m a g e

• Expérience

Expérience 3 : effet d’une lentille divergente sur un faisceau de lumière parallèle

Former un faisceau de lumière parallèle, et placer une lentille divergente sur son trajet.Qu’observe-t-on derrière la lentille (comme d’habitude, déplacer une feuille de papier lelong du faisceau) ?

84

Placez-vous assez loin pour ne pas être ébloui, et placez votre œil dans le faisceau, enregardant vers la lampe. Que constatez-vous ?

Expérience 4 (à réaliser par l’enseignant) : visualisation du trajet des rayons d’unfaisceau parallèle

Grâce à la « laser ray box », montrer le trajet de quelques rayons parallèles à latraversée d’une lentille divergente biconcave.

Faire le schéma correspondant à votre observation.

• ModélisationL’effet d’une lentille mince divergente est de faire diverger un faisceau incident parallèle àson axe optique. Ce faisceau semble provenir d’un point (comme vous l’avez constatéexpérimentalement) qui est le foyer image F’. Attention, ici F’ est du côté du faisceau incident(contrairement au cas du foyer image d’une lentille convergente), aucun rayon n’y converge.C’est un foyer virtuel.Ci dessous la schématisation d'une lentille divergente et la place de son foyer image.

85

A . 2 . b ) F o y e r o b j e t

De même, on définit le foyer objet F par la propriété suivante : tout rayon incident sur lalentille qui irait converger en F ressort de la lentille en étant parallèle à l’axe optique.

A . 2 . c ) D i s t a n c e f o c a l e : v a l e u r a l g é b r i q u e e t m e s u r e

De même que pour une lentille mince convergente, le seul paramètre qui caractérise unelentille mince divergente est sa distance focale. Comme pour les lentilles convergentes, ladistance focale est la distance entre le centre O de la lentille et le foyer image (ou objet) F’.Le fait que le foyer image se trouve en deçà de la lentille se traduit par une valeur algébriquenégative de la distance focale : 0' <OF (voir plus loin, §4)

Comment peut-on mesurer la distance focale d’une lentille divergente ? Vu ses propriétés, unemesure directe est plus difficile que dans le cas de la lentille convergente.Une première idée est de se ramener à une lentille convergente, en accolant la lentilledivergente dont on souhaite mesurer la focale à une lentille convergente connue, et bienchoisie.On propose ci-dessous d’utiliser une autre méthode utilisant des lentilles convergentes,appelée « méthode de Badal ».

Expérience 5 : mesure de la distance focale par la méthode de Badal

Le principe de cette méthode est illustré par les deux figures suivantes (voirl’exercice 5.2) :

86

L1 L2

A A'

F'2F2

L1

L2

A

F'2F2

A''

L

D

Dans un premier temps, on place un petit trou au foyer (on peut aussi mettre une diapodans le plan focal) objet d’une lentille convergente (L1 sur le dessin ci-dessus) (réfléchircomment..). On place ensuite une deuxième lentille convergente L2, de distance focaleconnue. On obtient une image du trou source dans le plan focal image de L2.

Ensuite, on intercale la lentille divergente dont on cherche à déterminer la focale entreles deux lentilles précédentes, dans le plan focal objet de L2. L’image du trou source setrouve décalée d’une distance D à mesurer. La focale f’ de la lentille divergente estdonnée par (voir l’exercice 5.2 pour la démonstration) :

f 'f2

'2

D

où f2’ est la distance focale image de la lentille convergente L2.

Réaliser la mesure et noter la valeur de la focale de la lentille divergente que vousavez trouvée :

87

A.3 Images obtenues par une lentille divergente

A . 3 . a ) E x p é r i e n c e s

Expérience 6 : images par une lentille divergente

Essayer de former une image réelle d’une diapositive, à l’aide d’une lentille divergente.Que constatez-vous ?

Regardez l’image de l’objet à travers la lentille. Que constatez-vous ?

A . 3 . b ) C o n s t r u c t i o n s g é o m é t r i q u e s

L’expérience que vous venez de faire peut être interprétée par une construction géométrique,valable dans le cadre du modèle des lentilles minces, sachant que les règles de constructiongéométrique vues pour les lentilles convergentes restent vraies pour une lentille divergente, entenant bien compte de la particularité des foyers.

Compléter le schéma ci-dessous, afin de trouver l’image A’B’ de l’objet AB. L’imageA’B’ est-elle réelle ou virtuelle ? Droite ou inversée ? Plus grande ou plus petite quel’objet AB ?

A F'

B

O

axe optique

Finalement, comment peut-on distinguer facilement une lentille convergente d’unlentille divergente ?

88

A.4. Formules de conjugaison

La formule de conjugaison vue au chapitre précédent s’applique également dans le cas d’unelentille mince divergente dans les conditions de Gauss. Rappelons qu’elle s’écrit :

1

OA'

1

OA(n 1)(

1

S1C1

1

S2C2)

avec S1 S2 O (lentille mince)La construction correspondante, pour une lentille biconcave, est montrée ci-dessous :

1 n 1

C2C1 S1 S2A A'

Retrouvons la position des foyers objet et image :Foyer image : c’est le conjugué d’un point objet à l’infini, il est donc donné par :

1

OF'(n 1)(

1

S1C1

1

S2C2)

1

f '

Ici OF' 0 donc le foyer image F’ est bien situé à gauche de la lentille.De même la position du foyer objet F est donnée par :

1

OF(n 1)(

1

S1C1

1

S2C2)

1

f '

Ici OF 0 : le foyer objet est situé à droite de la lentille.

89

B.Etude de l’œil humain

B.1.Découverte du fonctionnement de l’œil humain

Vers l'an 1000, AlHazen (au Caire) a décrit l'œil humain comme étant constitué de troisrégions : aqueuse, cristalline et vitreuse. Kepler en 1604 émit l'idée que la vision est due aufait que "l'image du monde extérieur est projetée sur la rétine". Cette idée fut confirmée parune expérience spectaculaire réalisée en 1625 par Scheiner (un jésuite allemand), au cours delaquelle il observa sur la rétine d'un animal une image inversée de la scène extérieure.

B.2.Anatomie de l’œil

B . 2 . a ) S t r u c t u r e

La pupille agit comme un diaphragme de diamètre variable (2 à 8 mm) afin de contrôler laquantité de lumière entrant dans l’œil.L’œil peut en première approximation être considéré comme constitué d’une lentilleconvergente, le cristallin, situé à une distance fixe (≅ 1.7 cm) d’une surface sensible, la rétine(voir schéma). Le cristallin donne d’un objet une image renversée sur la rétine (cf expériencede Scheiner citée plus haut). Celle-ci est constituée de cellules photosensibles : les cônes et lesbâtonnets (voir le chapitre 6 pour plus de détails sur les cônes et les bâtonnets). L’ensemble{rétine + nerf optique} code l’image sous forme d’influx nerveux et le transmet au cerveauqui l’interprète : retournement de l’image, et impression de relief grâce aux informationstransmises par les deux yeux. L’endroit où arrive le nerf optique est dépourvu de cellulesréceptrices et constitue donc une zone aveugle de la rétine.

Expérience 7 : la tache aveugle

Nous vous proposons maintenant une expérience spectaculaire permettant de prendreconscience de l'existence de votre nerf optique.

90

Fermez l'œil gauche, et regardez fixement la croix. Éloignez et rapprochez la feuille devotre œil. Pour une certaine position de la feuille, le cercle doit disparaître de votrechamp de vision, et réapparaître quand on éloigne ou rapproche la feuille.

B . 2 . b ) A c c o m m o d a t i o n

L’œil normal au repos ne voit nets que les objets situés à l’infini (punctum remotum, point leplus éloigné en latin) : la distance focale du cristallin est alors égale à 1.7 cm. Lorsque l’objetse rapproche, le cristallin augmente sa courbure (et ainsi, diminue sa distance focale) par unjeu de muscles, pour maintenir une image nette au niveau de la rétine (voir le dessin ci-dessous). Cette augmentation de convergence est limitée, et on note δ la distance à l’œil dupoint le plus proche que l’on peut voir net. δ est appelée punctum proximum (point le plusproche). La distance δ varie beaucoup avec l’âge : quelques centimètres pour un enfant, del’ordre de 25 cm pour un adulte, plus d’un mètre pour les personnes âgées.

Expérience 8 : modélisation de l’accommodation de l’œil

Utiliser l’un des « modèles d’œil » de Jeulin pour simuler :

• un œil qui regarde un objet à l’infini (pas d’accommodation)

• un œil qui regarde un objet situé à distance finie (accommodation).

91

B.3 Défauts de l’œil

oeilplage d'accommodation

punctum remotum punctum proximum

Les principaux défauts de la vision sont les suivants :• La myopie : c’est un décalage simultané du punctum proximum et du punctum remotum

vers les courtes distances. Elle se compense à l’aide de lentilles divergentes.• L’hypermétropie : c’est un décalage simultané du punctum proximum et du punctum

remotum vers les grandes distances. Elle se compense à l’aide de lentilles convergentes.• L’astigmatisme : l’œil n’a pas la symétrie de révolution autour de son axe.• La presbytie : c’est une réduction avec l’âge de la souplesse des muscles du cristallin. Le

punctum proximum s’éloigne, alors que le punctum remotum reste inchangé.

œil myope œil myope corrigé

œil hypermétrope œil hypermétrope corrigé

Expérience 8 :

Reprendre le modèle d’œil de Jeulin et simuler :

• un œil myope qui regarde un objet à l’infini, sans correction

• un œil myope qui regarde un objet à l’infini, avec correction

Faire de même dans le cas d’un œil hypermétrope.

Expérience 9 :

Si vous avez un défaut de vision et que vous portez des lunettes, déterminer si vosverres sont convergents ou divergents (grâce à la méthode utilisée jusqu’à présentpour reconnaître les lentilles convergentes et divergentes) et vérifiez que votreconnaissance de votre défaut visuel est compatible avec les explications quiprécèdent.

Si vous êtes astigmate, comment pouvez-vous le vérifier sur vos verres de lunette ?

92

Encadré : les yeux des différents animaux

• Les plus rudimentaires fonctionnent avec un simple petit trou sans lentille, sur le principede la chambre noire. C'est le cas du serpent à sonnette ou de la seiche.

• D'autres animaux comme la langouste ou certains insectes ont un œil "multifacetté"constitué par un arrangement de multiples petites lentilles, chacune effectuant l'imaged'une portion de l'espace, le cerveau se chargeant d'en réaliser la synthèse.

• Enfin, la pieuvre, certaines araignées et les vertébrés (dont l'être humain) possèdent desyeux qui forment une seule image réelle sur un écran sensible, la rétine. Dans ce cas l’œilest modélisé par une seule lentille.

Encadré : l’histoire des lunettes

Depuis un peu plus de 700 ans, l'être humain est en mesure d'améliorer savision. Dans l'Antiquité (comme le rapporte Pline l'Ancien), des "pierres delecture" telle que l'émeraude furent utilisées comme loupes. Ce n'est quevers la fin du 13ème siècle, date à laquelle des inventeurs vénitiens mirentsur le marché des "bésicles clouantes", que les aides visuelles eurent unécho croissant (au départ, elles étaient surtout répandues chez les érudits,les philosophes et les médecins). Les lunettes sous leur forme actuellefurent inventées en Angleterre autour de 1850.

Encadré : quelques illusions d’optique

Comme nous l’avons vu, l'image formée sur la rétine est transmise au cerveau sous forme designaux codés. L'interprétation qu'en fait le cerveau peut parfois être ambiguë, et ce sont ceserreurs d'interprétation qui provoquent parfois des « illusions d'optique ».

Illusion de Hering : voyez-vous les ligneshorizontales ?

Lequel de ces deux monstres est le plus grand ?

Vous trouverez de nombreuses illusions d’optique à l’adresse suivante :http://www.chez.com/ophtasurf/oeil_cameleon.htm

93

CHAPITRE 6 :

COULEURS - SPECTROSCOPIE

Sa l l es : « i m a ge s » 032 ou « i m age s- spe ct r o » 140

94

SOMMAIRE DU CHAPITRE 6 :

A. NOTION DE COULEUR ................................................................................................................... 95A.1 LUMIÈRE, COULEUR, SPECTROSCOPIE ............................................................................................ 95

A.2 NATURE ET PERCEPTION DES COULEURS : LA COULEUR EST-ELLE UNE CARACTÉRISTIQUE LIÉE À

L’OBJET ? ............................................................................................................................................... 96

A.3 L’ŒIL ET LA VISION DES COULEURS................................................................................................ 97

A.3.a) La structure de l’œil.................................................................................................................... 97

A.3.b) Notre vision des couleurs ........................................................................................................... 98

A.4 REPRODUCTION DES COULEURS...................................................................................................... 98

A.4.a) Synthèse additive et couleurs primaires ..................................................................................... 98

A.4.b) Synthèse soustractive................................................................................................................ 100

B. SPECTRES LUMINEUX .................................................................................................................. 102B.1 NOTION DE SPECTRE LUMINEUX, DISPERSION .............................................................................. 102

B.1.a) Qu’est-ce qu’un spectre lumineux ? ......................................................................................... 102

B.1.b) Comment disperser la lumière ? ............................................................................................... 102

B.2 SPECTRE D’UNE LAMPE À INCANDESCENCE.................................................................................. 103

B.2.a) Obtention du spectre à partir d’une fente source ...................................................................... 103

B.2.b) Spectre continu : théorie du « corps noir » ............................................................................... 104

B.3 SPECTRE DE RAIES D’UNE LAMPE SPECTRALE .............................................................................. 106

B.3.a) Obtention de spectres de différentes lampes spectrales, à l’aide d’un réseau ou d’un prisme . 106

B.3.b) Spectre de raies en émission : modèle quantique de l’atome ................................................... 109

B.4 SPECTRES D’ABSORPTION ............................................................................................................. 113

B.5 SYNTHÈSE...................................................................................................................................... 114

95

A.Notion de couleur

A.1 Lumière, couleur, spectroscopie

L’arc-en-ciel (figure 1) est un phénomène quechacun a pu observer de nombreuses fois. Sescouleurs, sa forme d’arc plus ou moins étenduont toujours fasciné. Ne dit-on pas qu’untrésor se trouve au pied des arcs-en-ciel ?

Arc-en-ciel

Pendant près de vingt siècles, physiciens et philosophes se sont interrogés sur la nature de lalumière et ont tenté d’expliquer les couleurs. Le philosophe latin Sénèque avait déjà noté, audébut de notre ère, que les couleurs de l’arc-en-ciel étaient les mêmes que celles obtenues enfaisant passer la lumière du soleil à travers un morceau de verre taillé de façon à comportertrois angles : on a là l’une des premières utilisations du prisme pour l’étude des couleurs.

Le prisme sera utilisé par de grandssavants comme Descartes ouGrimaldi, au XVIIe siècle, mais ilfaudra attendre Isaac Newton et sesexpériences historiques d’analyse dela lumière (figure 2) pourcomprendre que la lumière "blanche"est composée de « lumièresélémentaires homogènes ».

Expériences de Newton

Newton imaginait des particules matérielles, mais, en 1814, Fresnel proposa un modèleondulatoire encore utilisé. Aujourd'hui, nous disons que la lumière est en général constituéede différentes radiations monochromatiques.Nous commencerons ce cours-TP par une réflexion et quelques expériences sur la nature et laperception de ce que nous appelons communément les « couleurs ». Ensuite, nouscaractériserons qualitativement différents spectres lumineux (c’est-à-dire l’ensemble delongueurs d’onde ou « couleurs » qui composent la lumière) à l’aide d’un prisme. Dans uneversion plus élaborée, cette technique, dite de spectroscopie, trouve des applications dans denombreux domaines de la physique comme l’astrophysique, la chimie, la biologie, lamédecine, ou même les télécommunications.

96

A.2 Nature et perception des couleurs : la couleur est-elle une caractéristique liée àl’objet ?

La couleur n’est en général pas une qualité physique intrinsèque d’un objet : elle résulte, saufpour les sources de lumière dites primaires (flamme, filament d’une ampoule…), del'interaction entre la matière de l'objet et la lumière qui l'éclaire : lumière renvoyée par l'objetéclairé (planète éclairée par le Soleil, visage sous une lampe…) ou lumière transmise (àtravers un filtre coloré par exemple).De plus, la couleur est in fine l’impression produite sur notre cerveau, via notre œil, par lesradiations lumineuses issues d’un objet. Elle résulte donc de l’interaction entre l’objet, lalumière et l’œil de l’observateur.

Les savants de l’Antiquité pensaient que les objets produisaient de petites particulesque nos yeux captaient. Différents objets émettaient des particules de couleurdifférente, et ainsi leur apparence était-elle différente. Cela vous semble-t-il unedescription juste ? Justifiez.

Vous avez à votre disposition quelques filtres colorés. De quelle couleur un objetrouge nous apparaît-il à travers un filtre vert ? Et un objet bleu ? Justifiez votreréponse.

Que pensez-vous des affirmations suivantes : les pommes Golden sont jaunes et lespommes Granny-Smith sont vertes ?

97

A.3 L’œil et la vision des couleurs

A . 3 . a ) L a s t r u c t u r e d e l ’ œ i l

Vous avez déjà étudié la structure de l’œil dans le cadre des défauts de vision. Dans cettepartie, on s'intéresse aux photorécepteurs responsables de la vision des couleurs, situés sur lacouche la plus interne de l'œil : la rétine, elle-même constituée de 2 couches :• la choroïde qui absorbe la lumière et l’empêche de se diffuser dans l’œil• la couche nerveuse de la rétine qui contient les cellules visuelles. Parmi celles-ci, les

photorécepteurs se divisent entre bâtonnets et cônes, qui tirent leur nom de leur forme.La rétine humaine comporte environ 125 millions de bâtonnets et 6 millions de cônes. Ilsreprésentent 70% des récepteurs de notre organisme, ce qui souligne l’importance des yeux etde l’information visuelle. Les cônes et les bâtonnets assurent des fonctions différentes de lavision. Les bâtonnets sont plus sensibles à la lumière que les cônes mais ils ne distinguent pasles couleurs ; ils permettent la vision nocturne mais seulement en noir et blanc. Les cônespermettent la reconnaissance des couleurs mais requièrent davantage de lumière et donc ilsn’interviennent pas dans la vision nocturne.

Comprenez-vous pourquoi on peut dire : « la nuit tous les chats sont gris » ?

Encadré : la vision des couleurs chez les chats et les chiens

Contrairement à l’homme, la plupart des mammifères sont nocturnes et la présence d’ungrand nombre de bâtonnets dans la rétine est une adaptation qui procure à ces animaux uneexcellente vision de nuit. Ils ont donc une vision des couleurs limitée. Les chats et les chiens,par exemple, perçoivent le monde en tons pastel.

98

A . 3 . b ) N o t r e v i s i o n d e s c o u l e u r s

La vision des couleurs chez l’homme repose sur trois types de cônes, sensibles à deslongueurs d’onde différentes :

- les cônes bleus absorbent le mieux les longueurs d’onde autour de 455 nm- les cônes verts absorbent le mieux les longueurs d’onde autour de 530 nm- les cônes rouges absorbent le mieux les longueurs d’onde autour de 575 nm.

Courbes de réponse des cônes : de gauche à droite : pour les bleus, les vert et les rouges

La figure ci-dessus montre les courbes de réponse des cônes en fonction de la longueurd’onde. Les intervalles de longueurs d’onde qui sont absorbés par les différents cônes ne sontpas séparés les uns des autres mais se chevauchent. Ainsi, une lumière bleuâtre autour de500 nm stimule principalement les cônes verts, mais aussi les bleus et les rouges dans unemoindre mesure. La perception d’une lumière jaune autour de 575 nm stimule les cônes vertset rouges. Le cerveau recrée la couleur perçue en combinant les informations des trois typesde cônes, ce qui permet la vision des couleurs intermédiaires. Le gris ou le brun, par exemple,ne résultent pas de l’absorption d’une seule longueur d’onde : ce sont des couleurs desynthèse que le cerveau réalise par le mélange de différentes longueurs d’onde. Si tous lescônes sont stimulés de manière égale, nous voyons du blanc.

A.4 Reproduction des couleurs

A . 4 . a ) S y n t h è s e a d d i t i v e e t c o u l e u r s p r i m a i r e s

Une couleur est dite primaire si elle ne peut être obtenue par le mélange d’autres couleurs.Dans le système RVB (RGB en anglais), système de base pour les écrans informatiques, lesécrans de télévision ou les logiciels de traitement d’images, il existe trois couleurs primairesqui ont donné son nom au système : le rouge, le vert et le bleu. La restitution des couleurs parles écrans informatiques et les écrans de télévision, repose sur la synthèse dite additive de cestrois couleurs primaires

Disque de Newton : la figure ci-dessous montre un disque découpé en quartierscolorés. Mis en rotation suffisamment rapidement, on voit le disque blanc. Pouvez-vousexpliquer pourquoi ? En quoi le phénomène de « persistance rétinienne » intervient-ilici pour expliquer l’expérience ?

Disque de Newton

99

Expérience 1 (à réaliser par l’enseignant) : synthèse additive19

Réaliser l’addition des trois couleurs primaires (rouge, vert et bleu), en superposanttrois faisceaux.

Complétez le schéma ci-dessous en indiquant les couleurs observées.

Encadré : le principe des écrans dits cathodiques20

Dans le système RVB (RGB en anglais), il existe trois couleurs - dites primaires - qui ontdonné son nom au système : le rouge, le vert et le bleu. Afin d’obtenir d’autres couleurs, ditesintermédiaires, on fait varier l’intensité des faisceaux lumineux. C’est comme cela que l’onreconstitue les couleurs sur un écran de télévision ou sur les écrans d’ordinateur (cathodique) :chaque point de l’écran est constitué en réalité de 3 pastilles (luminophores) permettantd'émettre du rouge, du vert et du bleu et ce, avec une intensité dépendant du faisceauélectronique qui provoque l'émission. La couleur du point, vu de loin, est le résultat del'addition de ces trois couleurs.

Les tubes FST-Invar (Flat Square Tube)dont les luminophores sont ronds.

Les tubes Cromaclear de Nec dont lemasque est constitué d'alvéoles (lameilleure technologie).

A faire chez vous :

Prenez une loupe de forte puissance et approchez-vous de l'écran d'un ordinateur oud'un moniteur TV allumé. Comparer votre observation aux schémas ci-dessus.

19 Voir le site suivant : http://www.ac-poitiers.fr/sc_phys/cres_lr/eleves/optique/multicol.htm, pour desanimations sur la synthèse additive

20 Voir http://www.ac-poitiers.fr/sc_phys/cres_lr/eleves/optique/ecrantv.htm

100

A . 4 . b ) S y n t h è s e s o u s t r a c t i v e

La méthode soustractive consiste à soustraire à dela lumière blanche ses composantes bleues, vertesou rouges à l’aide de filtres (filtres de gélatine,peintures, encres…) respectivement jaune,magenta ou cyan 21.

Les nuances intermédiaires sont obtenues enfaisant varier l’absorption des filtres. Ce principeest essentiellement utilisé pour l’impression descouleurs (trichromie).Le cercle des couleurs des peintres est unereprésentation conventionnelle de la gamme descouleurs visibles. Sur le cercle illustré ci-contre,on représente à la fois les couleurs et la façon donton peut les dégrader par les valeurs, en allant aucentre du cercle vers le blanc, et à l'extérieur versle noir.

Cercle des couleurs des peintres

Expérience 2 (à réaliser par l’enseignant) : synthèse soustractive des couleurs

Réaliser la synthèse soustractive des couleurs en superposant trois filtres colorés(jaune, magenta et cyan).

Complétez le schéma ci-dessous en indiquant les couleurs observées.

21 Un tableau à la fin de cette section donne les intervalles de longueurs d’onde correspondant aux couleursévoquées dans le texte

101

Interprétation :Les filtres sont caractérisés par leur courbe de transmission en fonction de la longueur d'onde.Un filtre bleu-vert par exemple, aura un bon coefficient de transmission autour de 500 nm, etne transmettra pas les autres longueurs d'ondes du visible.

Courbe de transmission spectrale d'un filtre bleu-vert Kodak : on remarque que ce filtre laisse aussipasser les infrarouges ce qui peut être un inconvénient pour certains détecteurs.

De façon schématique, on peut représenter les courbes de réponse spectrale des filtres de basepermettant la synthèse soustractive :

Courbes modélisées de transmission spectrale des filtres cyan, magenta et jaune

Expliquez l'effet sur la lumière blanche de la superposition de deux de ces filtres

Pour finir, voici un tableau donnant les intervalles de longueurs d’onde pour quelquescouleurs courantes :

Couleur longueur d'onde (nm)Rouge ~ 625-740Orange ~ 590-625Jaune ~ 565-590Vert ~ 520-565Cyan ~ 500-520Bleu ~ 450-500Magenta ~ 430-450Violet ~ 380-430

102

B.Spectres lumineux

B.1 Notion de spectre lumineux, dispersion

B . 1 . a ) Q u ’ e s t - c e q u ’ u n s p e c t r e l u m i n e u x ?

C’est la décomposition en longueurs d’onde (ou fréquences) du rayonnement émis par unesource de lumière. On distingue les spectres visibles des spectres « invisibles », allant desrayons ultraviolets, X ou gamma à haute fréquence, aux ondes infrarouges, radio ouhertziennes à basse fréquence. Dans cette partie, on s’intéresse aux spectres visibles dedifférentes sources. La nature des spectres est très différente d’une source à l’autre.

B . 1 . b ) C o m m e n t d i s p e r s e r l a l u m i è r e ?

Pour étudier un spectre, c’est-à-dire le contenu en longueurs d’onde d’un rayonnementlumineux, il faut un instrument permettant de séparer (on dit de disperser) les longueursd’onde.Le prisme a été le premier instrument pour étudier la composition de la lumière. L'indice duverre étant plus important pour les petites longueurs d’ondes que pour les grandes, le bleu estplus dévié que le rouge.On utilise depuis très longtemps des dispositifs plus performants, inventés par Fraunhofer audébut du XIXe siècle : les réseaux.Schématiquement, un réseau (dit "par transmission") est constitué d'un grand nombre defentes identiques et parallèles de très faible largeur. La distance entre deux fentes est appelée« pas du réseau ». La lumière qui est envoyée sur le réseau est alors diffractée à la sortie dechaque fente. La superposition des ondes ainsi diffractées conduit à des interférencesconstructives ou destructives suivant l'angle et la longueur d'onde.Les ordres de grandeur des paramètres caractéristiques varient beaucoup d’un réseau à l’autre.Les réseaux utilisés ici en travaux pratiques ont un pas de quelques microns (soit quelquescentaines de fentes par millimètre !)

Figure 3 : Représentation schématique d’un spectrographe à réseau par transmission

C'est ce type de phénomène que vous observez chaquejour avec un cédérom : dans ce cas, c'est l'ensembledes cuvettes de l'enregistrement numérique qui faitoffice de réseau.

103

B.2 Spectre d’une lampe à incandescence

La nature chromatique de la lumière a été pour la première fois démontrée par Newton en1666. Il constata que la lumière blanche provenant du Soleil, passant à travers un prisme deverre, en émergeait sous forme d’une bande de couleur allant du rouge au bleu, tel un « arc-en-ciel ». Il constata également qu’aucune nouvelle couleur ne pouvait être créée lorsque cettelumière passait à travers un deuxième prisme mais que les couleurs pouvaient se recombiner,pour former de la lumière blanche, si le deuxième prisme était orienté en sens opposé aupremier.Afin d’étudier et de caractériser le spectre de la lumière blanche, nous vous proposons derefaire ici la première partie de cette expérience historique. Pour cela, nous allons envoyer surun prisme un faisceau de lumière « blanche » issue, non du Soleil, mais d’une lampe àincandescence.

Vous disposez d’une source de lumière, qui comprend une ampoule, une lentilleinterne (appelée « condenseur ») et une tirette située à l’arrière. L’ensemble permet derégler la forme du faisceau en sortie en le faisant converger plus ou moins.

B . 2 . a ) O b t e n t i o n d u s p e c t r e à p a r t i r d ’ u n e f e n t e s o u r c e

Expérience 3 :

Allumez la lampe. Placez une fente de largeur réglable à la suite et assurez-vousqu’elle est bien en face de la lampe. Réglez la tirette de façon à éclairer complètementla fente.

Placez la lentille mise à votre disposition à distance de la fente. Placez alors un écranà la suite et déplacez-le jusqu’à obtenir l’image (nette) de la fente. Vous pouvez jouersur la taille de celle-ci en rapprochant ou en éloignant la lentille de la fente, et enrecherchant la netteté en déplaçant l’écran. Soignez à chaque fois l’alignement del’ensemble des éléments présents : il peut être nécessaire d’ajuster aussi les hauteursavec les pieds à vis de la fente ou de la lentille.

Interposez alors, entre la lentille et l’écran, un prisme placé sur un plateau sur pied, defaçon à ce qu’une de ses arêtes soit dans le faisceau incident. Ajustez la hauteur sinécessaire. Tournez légèrement le prisme et recherchez le faisceau émergeant endéplaçant l’écran autour du prisme.

Que constatez-vous ? Décrivez. Reproduisez (en couleur) ce que vous voyez surl’écran.

Dans cette expérience, on observe deux phénomènes : la déviation et la dispersion dela lumière. Expliquez ces deux termes.

104

Quelle est la couleur la plus déviée, le rouge ou le bleu ?

On dit que le spectre de la lumière blanche est un spectre continu. Expliquez ce terme.

Élargir la fente, puis la rétrécir. Otez la fente. D’après ces observations, la fente voussemble-t-elle utile ? En quoi ?

Minimum de déviation

Faites tourner le prisme autour d’un axe vertical, toujours dans le même sens, etconstater qu’à un moment le spectre s’arrête, puis repart dans l’autre sens. On ditqu’on est « au minimum de déviation ». Expliquer ce terme à l'aide d'un schéma.

B . 2 . b ) S p e c t r e c o n t i n u : t h é o r i e d u « c o r p s n o i r »

Dans une lampe à incandescence, l’émission est celle d’un matériau chauffé. Vous connaissezles expressions « chauffé au rouge » ou « chauffé à blanc » en parlant du fer que l’on veutforger, par exemple. Ces expressions indiquent que la lumière émise par le corps chauffédépend de sa température.

105

Encadré : le corps noir

Lorsqu’un corps solide est porté à incandescence, il émet un rayonnement possédant toutes leslongueurs d’onde, et la quantité de rayonnement émis par longueur d’onde est distribuésuivant une courbe, dite de Planck. La figure ci-dessous montre cinq exemples de courbes dePlanck.

Courbes de Planck correspondant à un corps noir à différentes températures

La longueur d’onde à laquelle un maximum d’énergie est émise, m , décroît lorsque la

température augmente selon la loi de Wien :

T

Cm = ,

où C est une constante et T la température du corps chauffé. Cette dépendance est illustrée surla figure ci-dessus. Le rayonnement émis par le corps chauffé, et décrit par la courbe dePlanck, peut être ainsi caractérisé par la température du corps en question. Ainsi, le Soleil, quise trouve à une température de 6000° C environ, a une longueur d’onde au maximumd’émission qui se situe dans le jaune. Le corps humain, qui est à 37° C, correspond à unelongueur d’onde au maximum d’émission située dans l’infrarouge.

Tête de chat vue dans l’infra-rouge (http://www.astrosurf.org/lombry/seti-polymorphisme9.htm) : lescouleurs sont évidemment de fausses couleurs (l'image a été colorisée avec un jeu de teinte permettantde distinguer les zones chaudes et froides)

On appelle « corps noir » un tel corps, c'est-à-dire un corps chauffé dont le rayonnement suitla courbe de Planck. Le Soleil et le corps humain ne sont qu’approximativement des « corpsnoirs ».L'énergie émise par unité de surface d'un « corps noir » ne dépend que de la température decelui-ci et est donnée par la loi de Stefan-Bolzmann :, W = σT4

où la constante de Stefan.

106

B.3 Spectre de raies d’une lampe spectrale

Dès 1802, Wollaston montrait, en faisant passer la lumière du soleil à travers une fente finesuivie d’un prisme, que la bande des couleurs de l’arc-en-ciel était interrompue par plusieurs« raies » noires. Wollaston considérait ces raies noires comme de simples divisions entre lescouleurs. Fraunhofer observe, quant à lui, dans la première décennie du XIXe siècle, descentaines de raies noires dans le spectre du soleil. Kirchoff, en 1859, démontre que leslongueurs d’onde correspondant à ces raies noires dans le spectre solaire coïncident avec leslongueurs d’onde d’émissions de lumière observées en laboratoire dans des gaz de faibledensité et chauffés à haute température. Il en déduisit que chaque élément produit son proprespectre de raies caractéristiques de sa nature.Nous allons vérifier qualitativement cette assertion. Pour cela, vous allez utiliser une sourcede lumière émettant plusieurs longueurs d’onde distinctes. Les lampes à vapeur de mercure,de cadmium, etc. sont appelées « lampes spectrales ». Vous disposez de plusieurs lampesspectrales : il s’agit de cylindres montés sur pied et reliés à un boîtier d’alimentation via uncordon.

Hors alimentation, ôtez délicatement le capot en métal. Décrivez. A quoi sert lecapot ?

B . 3 . a ) O b t e n t i o n d e s p e c t r e s d e d i f f é r e n t e s l a m p e s s p e c t r a l e s , à l ’ a i d e d ’ u n r é s e a u o u d ’ u n p r i s m e

Le capot soigneusement remis en place, allumez la lampe (vous pouvez par exemplechoisir Hg ou Cd). Attendre quelques minutes. Lire ou relire l’encadré suivant.

Encadré : Utilisation des lampes à vapeur de mercure

Les lampes à vapeur de mercure émettent des ultraviolets. Ceux-ci réagissent directementavec la cornée et peuvent conduire à une opacification (cataracte, cécité des neiges). Le risqueest d'autant plus grand que cet effet est parfaitement indolore et peut se révéler après coup !NE PAS UTILISER LES LAMPES SANS LEUR CACHE. TOURNER LE CACHE DEMANIERE A NE PAS RECEVOIR DIRECTEMENT DANS LES YEUX LALUMIEREEMISE PAR L'AMPOULE.Par ailleurs, les lampes sont alimentées par un transformateur spécifique. Pour brancher,débrancher ou changer de lampe, il faut couper l'alimentation du transformateur.Enfin, une fois éteinte, une lampe spectrale ne se rallume pas. Il faut attendre qu'ellerefroidisse. N'éteignez donc une lampe que lorsque votre expérience est terminée ou lorsquevous savez ne pas vous en servir pendant une durée assez longue.

107

Expérience 4 : obtention du spectre à l’aide d’un réseau

Regarder la source (indiquer votre choix) à travers un réseau.

Décrire ce que vous observez : forme, répartition et couleurs des taches lumineuses.

Relever la séquence des couleurs en partant de la tache de même couleur que lasource, soit à droite, soit à gauche. Après avoir repéré une dizaine de taches, queconstatez-vous ?

Un réseau sépare par diffraction les longueurs d’ondes qui constituent le spectre d’une sourcelumineuse. On peut donc observer le spectre de la source incidente au-delà du réseau. En fait,le spectre (la séquence de couleurs caractéristique de la source) se répète plusieurs foislorsqu’on s’éloigne de la tache centrale. On obtient donc plusieurs « reproductions » du mêmespectre. Chaque reproduction du spectre correspond à un ordre de diffraction. L’ordre 0 estcaractérisé par le fait que les longueurs d’onde du spectre ne sont pas déviées : la lumièrepasse à travers le réseau comme s’il n’était pas là. Les ordres à gauche de l’ordre 0 (enregardant vers la source) seront comptés négativement. Les ordres observés à droite de l’ordre0 seront comptés positivement.

Repérer l’ordre 0 : le décrire. Qu’est-ce qui vous permet de le reconnaître ?

Repérer l’ordre -1 : où se situe-t-il par rapport à l’ordre 0 ? Toutes les longueursd’onde sont-elles déviées d’un même angle ? Quel groupe de couleurs forme l’ordre -1 ?

La séquence des couleurs du spectre se retrouve-t-elle à tous les ordres (-1, -2, -3…) ? Sinon, qu’observez-vous ?

108

Expérience 5 : obtention du spectre à l’aide d’un prisme

Placer la lentille et l’écran de façon à obtenir, comme dans l’expérience avec la lampeà incandescence, l’image de la fente sur l’écran. Interposez le prisme entre la lentille etl’écran. Déplacez l’écran de façon à retrouver le spectre de la lumière déviée par leprisme.

Que constatez-vous ? Décrivez. Reproduisez (en couleur) ce que vous voyez à l’écran.Précisez quelle lampe vous avez utilisée.

D’après vos observations, le bleu est-il plus ou moins dévié que le rouge ?

Ce que l’on observe à l’écran est le « spectre » de la lumière. Le spectre n’étant constitué quede quelques composantes de couleurs différentes, on dit qu’il s’agit d’un spectre discontinu oudiscret. On dit encore que c’est un spectre de raies.

Rôle de la fente

Ouvrez avec précaution la fente au maximum. Fermez-la ensuite progressivement etnotez les modifications que cela induit sur les raies. Quel est l’effet sur la séparationdes raies ? Et sur leur luminosité ?

Spectre d’une autre lampe spectrale

En reprenant le réglage précédent, changer de lampe spectrale (par exemple, si vousaviez utilisé la lampe Hg, prenez la lampe Cd et réciproquement).

Attention : éteindre d’abord l’alimentation avant de débrancher et rebrancher leslampes. (Rappel : une lampe spectrale doit refroidir avant de pouvoir êtrerallumée.)

Décrivez ce que vous observez. Qualifiez le spectre obtenu. Comparez ce spectreavec celui que vous aviez avec l’autre lampe. Quelle est la principale différence entreces deux spectres ? Qu’en concluez vous ?

109

B . 3 . b ) S p e c t r e d e r a i e s e n é m i s s i o n : m o d è l e q u a n t i q u e d e l ’ a t o m e

En physique quantique les niveaux d’énergie d’un atome sont quantifiés (discrets), ce quisignifie qu’un atome ne peut pas avoir n’importe quelle valeur d’énergie ; celle-ci ne peutprendre que certaines valeurs bien précises, et il en est donc de même pour les énergieslibérées ou absorbées par un atome.On peut illustrer ce fait sur le schéma suivant :

Sur le dessin ci-dessus, E1 et E2 représentent deux des niveaux d’énergie possibles d’unatome. Le point jaune est un électron qui peut avoir soit l’énergie E1 soit l’énergie E2. Pourque l’électron passe du niveau E1 au niveau E2 (E2 > E1), il faut lui fournir de l’énergie, parexemple thermiquement (en chauffant) ou électriquement (en appliquant une décharge). Unefois sur le niveau E2 (état dit excité), l’électron se « désexcitera » tout seul, en émettant unphoton (un quantum d'énergie lumineuse) d’énergie hν = E2 – E1, où h est une constanteappelée constante de Planck. Ainsi l’énergie est restituée sous forme de lumière dont la

longueur d’onde, qui dépend de l’énergie, a alors une valeur bien précise = hc

E2 − E1

, où c est

la vitesse de la lumière. Nous venons de voir un processus d’émission de lumière, diteémission spontanée. Dans le cas des lampes spectrales, la lumière est émise par les atomesexcités de vapeurs métalliques (mercure, cadmium, deutérium par exemple). Les atomespouvant se désexciter depuis plusieurs niveaux, la lumière émise est donc en généralconstituée d’émissions de plusieurs longueurs d’onde distinctes.

110

Encadré : séries de Balmer et de Lyman, modèle "de Bohr" de l’atome d’hydrogèneEn 1885, Balmer a montré que les longueurs d’onde des raies brillantes observées dans levisible dans le spectre de l’hydrogène peuvent être représentées par une simple formuleempirique :

1 = R1

22 − 1

n2

où est la longueur d’onde de chaque raie et R est une constante appelée constante deRydberg. n est un entier prenant les valeurs 3, 4, 5 …La série de raies dont les longueurs d’onde se trouvent dans le domaine visible et sont décritespar la formule ci-dessus est appelée série de Balmer. Cette série est illustrée ci-dessous. Elleconverge vers une longueur d’onde limite à la valeur 3646 Å (il faudrait donner une imageavec des nm), qui correspond à n dans la formule précédente.

Longueurs d’onde de la série de Balmer de l’hydrogène.Des travaux menés dans l’ultra-violet par Lyman ont mené à la découverte d’une nouvellesérie, la série de Lyman. Paschen a découvert, quant à lui, une série dans l’infra-rouge. D’unefaçon générale, il semblait que toutes les séries pouvaient être décrite par des formulesempiriques de la forme :

1 = R1

n12 − 1

n22

où 1n = 1, 2, 3, … et 2n = 1n +1, 1n +2, etc. La valeur de R = 109,678 1−cm .

Ces séries de raies peuvent être interprétées en termes de structure de l’atome sur la base destravaux de Niels Bohr qui, en 1913, proposant une vision révolutionnaire de la physique,devenue depuis la physique quantique. $ L’énergie de l'atome est quantifiée, c'est-à-dire ne

peut prendre que les valeurs est2n

RhcEn −= .

Le signe négatif indique qu'il s'agit bien d'une énergie de liaison. Pour arracher l'électron, ilfaut fournir de l'énergie à l'atome.Les changements d'énergie ne peuvent donc être que du type En2 - En1. La lumière émise émislors d'une telle transition qui correspond à un photon d'énergie hv est donc telle que :

12 nn EEhc

h −== . On retrouve donc bien la relation précédente des séries de raies.

Les longueurs d’onde limites associées aux différentes séries correspondent aux transitionsentre l’état d’énergie de plus haute énergie possible et l’état fondamental. Si plus d’énergieque celle correspondant à la longueur d’onde limite est fournie à l’électron, celui-ci sera ôtéde l’atome, qui est alors ionisé.

111

Encadré : Applications des lasers

a) b) c) a) Spectacle son et lumière utilisant des lasers ; b) laser à semi-conducteur (la monture fait 9 mm dediamètre) ; c) découpage de pièces métalliques par laserLe mot « laser » vient de l' acronyme LASER qui signifie « light amplification by stimulatedemission of radiation », soit « amplification de lumière par émission stimulée derayonnement ».Principe :Reprenons le modèle d’atome quantique avec ses niveaux d’énergie discrets (B.3.b).Nous avons vu le principe de l’émission de lumière, dite spontanée. C’est sur ce principe quefonctionnent les lampes spectrales.Les lasers fonctionnent, eux, sur le principe de l’émission stimulée : dans ce cas, un photonémis par émission spontanée va désexciter un électron excité au niveau E2, et le forcer àretomber sur le niveau E1, en émettant un deuxième photon identique au premier. Pour cela, ilfaut qu’il y ait en permanence plus d’électrons sur le niveau E2 que sur le niveau E1, ce quin’est pas naturel (il faut réaliser ce que l’on appelle un « pompage optique »). En effet , unphoton d’énergie hν = E2 – E1 arrivant sur un électron se trouvant sur le niveau E1 aexactement la bonne énergie pour pouvoir être absorbé par l’atome, et réémis. Dans ce cas, iln’y a pas « production » de photons. Pour que ce soit le cas, il faut qu’il y ait plus d’électronssur le niveau E2 que sur le niveau E1.Ensuite, on amplifie cette lumière émise par émission stimulée : pour cela, les photons émisfont des aller-retours dans une cavité réfléchissante contenant les atomes utiles ; ainsi, unmême photon sert un grand nombre de fois à stimuler des émissions de photons par cesatomes.HistoriqueLe principe de l’émission stimulée a été trouvé en premier par A. Einstein en 1917. Lepremier maser (i.e. un laser, mais à micro-ondes au lieu d’être dans le domaine de l’optique) aété fabriqué aux USA en 1953 par Ch. Townes (prix Nobel de physique 1964). Le premiervéritable laser a été fabriqué par Th. Maimann en 1960.Les différents types de lasers :Il existe des lasers émettant de la lumière continûment, ou au contraire par impulsions. Lesatomes qui sont successivement excités et désexcités sont à l’état gazeux, liquide ou solide.Lasers à gaz : on peut citer le laser He-Ne utilisé en TP (rouge), le laser à CO2 (infra-rouge,puissant), le laser à argon qui peut émettre du vert à l’ultra-violet et qui est utilisé dans lesspectacles « son et lumière ».Laser à solide : le YAG est un laser très intense émettant dans l’infra-rouge, permettant dedécouper des métaux, des diamants..Les lasers à semi-conducteurs, plus récents, sont de petite taille et peu intenses ; ils sontutilisés dans les lecteurs de CD, les imprimantes laser, comme pointeurs lasers, commesources de lumière dans les fibres optiques.. Au départ ils émettaient dans le rougeuniquement, mais on sait maintenant en fabriquer qui émettent dans le bleu ou le vert.

112

Laser à liquide : les lasers à colorants produisent un rayonnement puissant, par impulsions.Leur intérêt est qu’on peut émettre une longueur d’onde au choix dans une large gamme.Quelques applications :En médecine, ils sont utilisés pour détruire des cellules, traiter des cancers, établir desdiagnostics, positionner précisément un patient…Pour faire des mesures : ils servent à mesurer des distances très précisément (hauteur d’unhélicoptère, mesure de la distance Terre-Lune..).Dans le domaine de la communication : le transport d’information se fait de plus en plus viade la lumière laser qui se propage dans une fibre optique.Remarque finale : On sait maintenant faire des lasers à atomes. Il s’agit bien d’un faisceaud’atomes et non plus de lumière ! Les premiers à l’avoir réalisé sont Andrews, Mewes etKetterle (USA) en 1997. Ketterle a eu le prix Nobel de physique en 2001 pour cettedécouverte22.

22 C’est également l’un des domaines de recherche poursuivi par l’équipe du Pr Alain Aspect à l’Institutd’Optique de l’Université Paris-Sud, Orsay (voir http://atomoptic.iota.u-psud.fr)

113

B.4 Spectres d’absorption

Les raies noires observées par Fraunhofer dans le spectre du Soleil sont le résultat del’absorption de certaines longueurs d’onde du spectre par la matière solaire présente entre lesatomes émetteurs et l’observateur terrestre. En effet, la lumière, lorsqu’elle interagit avec lamatière, peut être absorbée. S’il s’agit de gaz atomique, l’absorption a lieu selon les mêmeslongueurs d’onde que celles correspondant à l’émission : éclairé par une lumière blanche dontle spectre est continu, la lumière transmise présente des raies sombres montrant que la lumièrecorrespondante a été absorbée.

Encadré : Hélium, du grec (soleil)Savez-vous que le nom d'hélium donné au gaz rare vient du grec (Hélios) qui signifieSoleil ? Et savez-vous pourquoi ? C'est simplement parce que c'est dans le Soleil que l'on ad'abord découvert la présence de cet élément, et ce, en étudiant finement le spectre de lalumière solaire. C'est Fraunhofer qui, dès 1814, a relevé le premier les raies sombres dans lespectre de la lumière solaire, raies qui portent désormais son nom.

Ces raies ne sont autres que les raies d'absorption de l'hélium qui constitue l'essentiel de lacouronne solaire. La lumière en provenance du cœur du Soleil traverse cette atmosphère et lesatomes d'hélium qui s'y trouvent absorbent les composantes correspondant aux transitionsd'énergie possibles.

Nous vous proposons ici d’étudier le spectre d’absorption de filtres ou de colorants.

Reprendre la source de lumière blanche. Intercalez sur le trajet des filtres colorés oudes colorants suivant disponibilité.

Reproduire en couleur ce que vous observez. Précisez le filtre ou le colorant utilisé.

Comment expliquez-vous la couleur observée ? Que devient d’après vous la (ou les)radiation qui ont disparu ?

114

Placez le filtre avant puis après le prisme. Cela change-t-il quelque chose ?

Interprétation : spectres d’absorptionDans le modèle quantique un atome dans un état de basse énergie 1E , peut absorber un

quantum de rayonnement ayant la valeur nécessaire pour passer de l’état 1E à l’état 2E . Ileffectue alors une transition et passe dans un état excité. La longueur d'onde de la lumièreabsorbée par un atome est donc la même que celle qu'il peut émettre par désexcitation.

B.5 Synthèse

Lois de Kirchoff :a. Un corps incandescent produit une émission lumineuse dont le spectre est

continu, c’est-à-dire une bande de lumière présentant les couleurs de l’arc-en-ciel

b. Un gaz à basse pression chauffé produit une émission lumineuse dont lespectre est formé de raies brillantes . C’est le spectre d’émission des atomes.

c. Si un faisceau de lumière à spectre continu passe à travers un gaz, alors lalumière est absorbée par le gaz aux longueurs d’onde exactement identiques àcelle que le gaz émettrait dans les conditions du b. Le spectre présente des raiessombres : c’est un le spectre d’absorption atomique.

Interprétation :a. Un corps porté à incandescence émet un rayonnement dont la distribution en

énergie suit une courbe de Planck. Cette distribution est caractérisée par latempérature du corps en question. La longueur d’onde à laquelle se produit lemaximum d’émission varie en inverse de cette température. Un corps dont lerayonnement a ces propriétés est appelé « corps noir ».

b. Les spectres d’émission sont dus à des transitions atomiques d’états excitésvers des états de plus basse énergie. L’énergie perdue est émise sous la formed’une quantité élémentaire d’énergie, le photon, dont la fréquence, ou de façonéquivalente la longueur d’onde, est proportionnelle à la différence d’énergieentre l’énergie de l’état de départ celle de l’état d’arrivée. Un spectred’émission est caractéristique de l’élément qui le produit.

c. Les spectres d’absorption sont produit par l’absorption de longueurs d’ondeparticulières d’un rayonnement continu lors de transitions d’un état d’énergiebasse à un état d’énergie haute (état excité).

115

Annexe : Table des longueurs d’onde

Tables des longueurs d’onde (nm) dans le spectre visible des raies intenses dequelques éléments :

Cadmium Césium Hélium Mercure Potassium441.5 455.5* 402.6 404.7* 404.4*467.8* 459.3* 438.8 407.8 404.7480.0* 519.7 447.1* 435.8* 418.6508.6* 525.7 492.2 491.6 693.6514.4 584.4 501.6 546.1* 766.5*609.9 601.0 504.8 577.0 769.9*611.1 603.4 587.6* 579.1*632.5 621.3 667.8633.0 638.7 706.5643.8 658.6* 728.1734.6 672.3*738.5 687.0739.9 697.3*

722.9*

Sodium Néon Rubidium Thallium Zinc449.4 603.0* 420.2* 535.0* 468.0449.8 607.4* 421.6 655.0 477.2*568.8 614.3* 536.3 671.4 481.1*589.0* 633.4* 543.2 518.2589.6* 638.3* 565.4 636.2*

640.2* 606.1*650.7* 616.0*659.9* 629.9*692.9*703.2*717.4*724.5*

116

117

EXERCICES

118

SOMMAIRE DES EXERCICES :

EXERCICES ...................................................................................................................................... 117

SOMMAIRE DES EXERCICES : ...................................................................................................... 118

EXERCICES DU CHAPITRE 1 : .................................................................................................... 120

1.1)MESURE DE LA DISTANCE TERRE-LUNE .................................................................................... 1201.2)DOMAINES DE L’OPTIQUE............................................................................................................ 1201.2.1)EXPÉRIENCE DE HERTZ (*) ......................................................................................................... 120

1.2.2)CIRCUIT ÉLECTRIQUE OSCILLANT À LA FRÉQUENCE DU SECTEUR ............................................. 120

1.2.3)ATOME VU PAR RX OU PAR LA LUMIÈRE (OPTIQUE).................................................................. 120

1.3)MESURE DE LA VITESSE DE LA LUMIÈRE (FOUCAULT, 1862) (*).............................................. 1211.4)LE PRINCIPE DE FERMAT ET LE PROBLÈME DU SAUVETEUR (*)............................................... 122

EXERCICES DU CHAPITRE 2 : .................................................................................................... 123

2.1) FIBRE OPTIQUE À SAUT D’INDICE............................................................................................... 1232.2)PHÉNOMÈNE DE MIRAGE ............................................................................................................. 123

EXERCICES DU CHAPITRE 3: ..................................................................................................... 125

3.1)CHAMP D’UN MIROIR PLAN ......................................................................................................... 1253.2) DEUX MIROIRS............................................................................................................................. 1253.3)RÉFLECTEUR FORMÉ PAR UN TRIÈDRE DE TROIS MIROIRS (*) ................................................. 1253.4)OÙ LE PÊCHEUR VOIT-IL LE POISSON ? ...................................................................................... 1263.5) QUE VOIT LE POISSON?............................................................................................................... 1273.6)MIROIR SPHÉRIQUE CONCAVE .................................................................................................... 1273.7)TÉLESCOPE DE NEWTON ............................................................................................................. 1273.8)MODÉLISATION DE L’ŒIL PAR UN DIOPTRE SPHÉRIQUE........................................................... 127

EXERCICES DU CHAPITRE 4 : .................................................................................................... 129

4.1)DEMI-LENTILLE............................................................................................................................ 1294.2)DISTANCE MINIMALE ENTRE L'OBJET ET L'IMAGE ................................................................... 1294.3)DEUX POSITIONS POUR UNE LENTILLE ....................................................................................... 1294.4)UTILISATION DE LA LOUPE .......................................................................................................... 1294.5) FORMULES DE CONJUGAISON : FORMULE DE NEWTON ........................................................... 130

119

EXERCICES DU CHAPITRE 5 : .................................................................................................... 131

5.1) OBJET RÉEL ................................................................................................................................. 1315.2) RELATION DE NEWTON ; MÉTHODE DE BADAL POUR DÉTERMINER LA FOCALE D’UNE

LENTILLE DIVERGENTE...................................................................................................................... 1315.3)ŒIL HYPERMÉTROPE................................................................................................................... 131

EXERCICES DU CHAPITRE 6 : .................................................................................................... 132

6.1)ETUDE D’UN SPECTRE DE GALAXIE............................................................................................. 1326.2)PRINCIPE DE L’ARC-EN-CIEL....................................................................................................... 136

(*) exercice plus difficile, facultatif

120

EXERCICES DU CHAPITRE 1 :

1.1)Mesure de la distance Terre-Lune

En 1969, lors de la mission Apollo XIV, Neil Armstrong et Edwin Aldrin ont déposé, à lasurface de la Lune un réflecteur laser (voir exercice 2 du chapitre 3). Ce réflecteur laserpermet de renvoyer vers la Terre des faisceaux d’impulsions laser tirés de centre d’étudescomme le CERGA près de Grasse ou la station Mac Donald au Texas. Une impulsion laser estun signal lumineux très bref. On mesure avec une grande précision la durée mise par cetteimpulsion pour effectuer un aller-retour Terre-Lune.Lors d’un tir d’impulsion laser, le temps de parcours d’une impulsion pour un aller-retourTerre-Lune est 2.65s . Déterminer la distance Terre-Lune au moment de la mesure.

1.2)Domaines de l’optique

1.2.1)Expérience de Hertz (*)

En 1887, Hertz a réussi à mettre en évidence expérimentalement une onde électromagnétique.Pour cela, l’émetteur était constitué d’un dipôle alimenté par une étincelle, et le détecteurd’une boucle de fil coupée proche d’un fil de cuivre. L’étincelle reçue au niveau du détecteurpermet de mettre en évidence la transmission d’une onde électromagnétique, dont il a pumesurer la longueur d’onde, de l’ordre du mètre.• A quel domaine d’ondes électromagnétiques l’onde créée par Hertz appartenait-elle ?• Pour interpréter ses expériences, peut-on utiliser le modèle de l’optique géométrique ?• Comment pensez-vous que Hertz a pu mesurer la longueur d’onde de cette onde ?

1.2.2)Circuit électrique oscillant à la fréquence du secteur

Prenons un circuit électrique oscillant à la fréquence du secteur. Pourquoi peut-on négligertout phénomène de propagation d’ondes électromagnétiques à l’échelle du circuit ?

1.2.3)Atome vu par RX ou par la lumière (optique)

• Quelle est l’ordre de grandeur de la taille d’un atome ?• Les atomes peuvent émettre ou absorber de la lumière (spectres de raies) Dans quel

domaine de l’optique faut-il se placer pour étudier ce phénomène?• Pour étudier la structure des cristaux (c’est-à-dire la manière dont les atomes sont empilés

régulièrement pour former un cristal), on envoie sur le cristal que l'on veut étudier unfaisceau de rayons X de longueur d’onde de l’ordre de 0.1 nm. Dans quelle branche del’optique doit-on se placer ?

121

> 1.3)Mesure de la vitesse de la lumière (Foucault, 1862) (*)

Foucault détermina la vitesse de la lumière grâce à un dispositif reposant sur un miroirtournant. Cette méthode a permis de mesurer la vitesse de la lumière dans l’air et dans l’eau.Deux théories s’affrontaient à l’époque : l’une (corpusculaire, dans la lignée de Newton)affirmait que la vitesse de la lumière était plus élevée dans l’eau que dans l’air, l’autreaffirmant l’inverse (sur la base d’un modèle ondulatoire). L’expérience de Foucault a montréque la vitesse de la lumière dans l’eau (225400 km/s) était moins élevée que dans l’air.Principe :Un rayon issu d’une source lumineuse se réfléchit sur un miroir tournant à grandevitesse (300 tours par seconde). Le miroir tournant est alors à sa position initiale.

Le rayon lumineux est réfléchi vers le miroir sphérique, suivant la loi de la réflexion (i=r).Pendant que le rayon effectue un aller-retour entre les points I et I’, le miroir plan a tournéd’un angle θ.

Le rayon lumineux se réfléchit à nouveau sur le miroir plan, et ne retrouve pas sa directioninitiale : il est dévié d’un angle α.

122

• Montrer que α = 2 θ.• On donne les valeurs expérimentales suivantes :

- Vitesse de rotation du miroir : 300 tours par seconde- Distance entre le miroir tournant et le miroir sphérique d2 = 5 m- Angle de déviation obtenu : 2θ = 26 secondes d’arc

• Retrouver la valeur de la vitesse de la lumière.

1.4)Le principe de Fermat et le problème du sauveteur (*)

Le principe de Fermat établi en 1658 par Pierre de Fermat s’énonce de la manière suivante :« Pour aller d’un point à un autre, la lumière suit, parmi toutes les trajectoires possibles, celledont le temps de parcours est extrémal. »À partir de ce principe on montre que la lumière se propage en ligne droite dans un milieuhomogène , et on peut aussi démontrer les lois de la réflexion et de la réfraction.Ici, on se propose de faire une analogie mécanique du principe de Fermat.Prenons une plage de sable et la mer. Un sauveteur situé sur la plage aperçoit un nageur (N)en difficulté dans l’eau. Il se porte à son secours, et souhaite bien sûr mettre le minimum detemps pour atteindre le nageur. Quel chemin doit-il suivre, sachant que sa vitesse dans l’eauest plus faible que quand il court sur le sable ?

N

S

123

EXERCICES DU CHAPITRE 2 :

2.1) Fibre optique à saut d’indice

z

r

againe, indice n2

coeur, indice n1θ

α iO

On considère une fibre optique cylindrique dans l’air. Cette fibre est constituée d’un cœurcylindrique de rayon a, d’indice uniforme n1 , entourée d’une gaine d’indice n2 avec 1 < n2 <n1 .• A quelle condition sur θ le rayon entrant dans la fibre subit-il une réflexion totale sur la

gaine, et donc se propage-t-il dans la fibre ?• Calculer numériquement la valeur maximale θ0 de θ pour que le rayon se propage dans la

fibre. On donne n1 = 1.5 et n2 = 1.49• Dessiner les trajets de deux rayons dans la fibre ayant des θ différents. Que se passe-t-il si

l’on éclaire la face d’entrée de la fibre avec un faisceau convergent au point O d’ouverturesupérieure à θ0 ?

2.2)Phénomène de mirage

Prenons le mirage le plus fréquent : le mirage inférieur. On rappelle que ce mirage se produitquand la terre est plus chaude que l’air au-dessus d’elle. Quand on s’écarte de la surface,l’indice optique augmente.Dans cet exercice, on propose de modéliser l'air par une succession de fines coucheshorizontales où la température est considérée comme constante. Chaque couche possède doncun indice, mais l'indice diffère d'une couche à l'autre.

• Utiliser la loi de la réfraction de Snell-Descartes pour comprendre, à l’aide d’unraisonnement géométrique simple, dans quel sens doit s’incurver le rayon optique issu del’arbre tracé sur le dessin ci-dessous.

• Interpréter également l’expérience du laser dans l’eau sucrée (expérience 12 du chap.1),par le même raisonnement.

124

>

?

> dessin à compléter mirage sur la route>

125

EXERCICES DU CHAPITRE 3:

3.1)Champ d’un miroir plan

Une personne est placée à une distance D d’un miroir plan. Avec son chapeau, elle mesure1,80 m, ses yeux étant à 1,50 m du sol. Déterminer graphiquement le champ du miroir pourque cette personne se voie entièrement dans le miroir. En déduire à quelle hauteur H du soldoit être le miroir, et quelle doit être sa hauteur h.Le champ d’un miroir est la région de l’espace vue par un observateur à travers un miroir.

3.2) Deux miroirs

On considère un ensemble de 2 miroirs plans M1 et M2 formant un angle droit (schéma ci-dessous).Un petit objet lumineux est placé dans l'angle formé par les miroirs.1) Combien l'objet A a-t-il d'images ? Combien d'images un observateur peut-il enapercevoir?2) Placer avec précision les images du point A.3) Représenter les trajets des rayons lumineux (1) et (2) dans le système.4) Compléter le schéma en faisant apparaître les faisceaux de lumière arrivant dans l'œil del'observateur et les images qu'il peut alors voir.

3.3)Réflecteur formé par un trièdre de trois miroirs (*)

Un système réfléchissant est formé par trois miroirs plans orthogonaux formant un trièdretrirectangle Oxyz réfléchissant vers l’intérieur du trièdre.Montrer qu’un rayon incident subissant trois réflexions successives sur chacune des troisfaces ressort parallèlement à lui-même et en sens contraire.On pourra déterminer ce que deviennent, après réflexion, les composantes d’un vecteurunitaire porté par le rayon et dirigé dans le sens de la propagation.

Ce dispositif permettant de renvoyer ayant n’importe quel angle d’incidence est utilisé dansplusieurs applications :

126

Il est utilisé aussi bien pour les mesures géodésiques terrestres que pour déterminer la distanceTerre-Satellites ou Terre-Lune. De tels réflecteurs ont été déposés sur la Lune lors despremières missions Apollo (voir exercice 1 du chapitre 1). Les réflecteurs radars dits« passifs » des bateaux sont également basés sur le même principe.

Siteslunaires où les différentes missions Apollo ont laissé des réflecteurs Réflecteur trièdre

3.4)Où le pêcheur voit-il le poisson ?

airindice 1

eauindice n

A

A'i

rH

• Montrer, à l’aide de constructions géométriques, que « l’image » (au sens du stigmatismeapproché) d’un point A donné dans l’eau dépend de la position de l’œil de l’observateur.

• On se place dorénavant dans le cas où l’œil de l’observateur se situe non loin de laverticale du point A (angles i et r petits). Montrer que dans ce cas, la position de« l’image » A’ de A est donnée par :

HA'

HA

1

n

1 n2 sin2 i

1 sin2 i

127

3.5) Que voit le poisson?

Le poisson voit-il toute la scène ?Comment lui apparaît-elle ?(Complétez l'illustration ci-contre parun dessin à main levé pour traduirevotre idée)

3.6)Miroir sphérique concave

On considère un miroir sphérique concave de 60 cm de rayon. Un faisceau de lumièreparallèle arrive sur le miroir selon la figure ci-contre.1) Tracer différents rayons réfléchis correspondant à des angles d'incidence inférieurs à 15°(dessin à l'échelle 1/10e)2) En déduire que tous les rayons réfléchis vont converger en un point (qui sera noté F) donton donnera la position.3) Quelle est dans les conditions précédentes, l'image d'un point source à l'infini ?4) Tracer un rayon lumineux d'incidence 60°. Le rayon réfléchi passe-t-il par F ?5) On appelle C le centre de courbure du miroir. Représenter la situation décrite en 1) enutilisant la représentation symbolique des miroirs sphériques.

miroir concave3.7)Télescope de Newton

Dans un télescope, l'élément collectant et concentrant la lumière n'est pas une lentille maisune miroir concave. sphérique de rayon R. Il donne des étoiles observées des images situéesdans le plan focal du télescope. Celui-ci est dirigé vers une étoile S1, c’est-à-dire que l’axeoptique a exactement la direction de la lumière provenant de S1. Une deuxième étoile S2 estsituée à une distance angulaire α de S1.Construire les images S1’ et S2’ des deux étoiles, et calculer leur distance angulaire.A. N. : R = 20 m, S1’S2’ = 3 cm.

3.8)Modélisation de l’œil par un dioptre sphérique

Le modèle le plus simple de l'œil, compte tenu de la proximité des valeurs des indices del’humeur aqueuse, de l’humeur vitrée et du cristallin, consiste à les considérer comme un seulmilieu d’indice intermédiaire d'indice égal à 1.35. On parle du modèle de "l'œil réduit".L’œil est alors équivalent à un seul dioptre sphérique qui sépare l'air d'un milieu d'indicen = 1,35, et de rayon de courbure R = 6 mm. Le plan focal du modèle correspond à la rétine,écran sur lequel se forme l'image.• À partir de la relation de conjugaison pour un dioptre sphérique, dont on rappellera la

condition d'application, calculer les distances focales f et f' du dioptre sphérique, distancesdéfinies à partir du sommet S du dioptre.

.

128

œil réduit

• La pupille de l'œil s'ouvre, enmoyenne, avec un diamètre de 4 mm.On considère donc maintenant unrayon incident parallèle à l'axe et à unedistance de 2 mm de cet axe. Soit Φ’ lepoint d’intersection du rayon réfractéavec l’axe optique. Calculer la distanceHΦ’ (le point H étant défini par lafigure ci-contre).

• Comparer à la distance focale f'.Conclusion: l'œil peut-il être considérécomme gaussien ?

129

EXERCICES DU CHAPITRE 4 :

4.1)Demi-lentille

On considère un montage permettant d'observer sur un écran l'image d'une flamme de bougiegrâce à une lentille convergente.• Compléter le schéma ci-dessous en faisant apparaître les foyers de la lentille.

• On place un écran devant la lentille de façon à cacher la moitié supérieure de la lentille.Quelle est la conséquence sur ce qu'on observe sur l'écran ? Compléter le schémaprécédent en faisant apparaître le faisceau de lumière issu d'un point de la flamme dans lecas décrit à la question 2. Vérifiez expérimentalement vos conclusions.

> 4.2)Distance minimale entre l'objet et l'image

• Montrer qualitativement qu’il existe une distance minimale entre un objet donné et sonimage réelle par une lentille convergente, et trouver la valeur de cette distance.

• Faire une démonstration analytique du résultat précédent à l'aide de la relation deconjugaison.

• Vérifiez expérimentalement vos conclusions.

4.3)Deux positions pour une lentille

Si un objet et un écran se trouvent à une distance fixée supérieure à 4f’, il existe deuxpositions possibles de la lentille pour obtenir une image sur l'écran.• Justifier par un raisonnement qualitatif (et un schéma) cette propriété et préciser la

"corrélation" entre les deux positions.• Faire une démonstration à l'aide des formules de conjugaison.• Vérifiez expérimentalement vos conclusions.

4.4)Utilisation de la loupe

On s'intéresse aux conditions d'observation d'un objet à travers une loupe.• On considère le cas d'un œil normal ne faisant pas d'effort d'accommodation. Quelle doit

être la place de l'objet par rapport à la loupe ? La position de l'œil de l'observateur a-t-elleune importance a) sur la netteté de ce qu'il voit, b) sur la partie de l'objet qu'il voit ?

• Si l'observateur approche sa loupe de l'objet, que devient l'image ? Peut-il continuer devoir net sans accommoder ?

Faites l’expérience afin de vérifier vos conclusions.. Arrivez-vous à sentir quand votre œilaccommode ou non ?

130

4.5) Formules de conjugaison : formule de Newton

1. Établir la relation de conjugaison "avec origine aux foyers" pour une lentille minceconvergente dans le cas d'un objet réel donnant une image réelle :

FAF ' A ' OFOF' f' 2

(Aidez-vous d’une construction géométrique)2. En déduire la relation de conjugaison "avec origine au centre optique" dans ce même cas.3. Montrer qu'il en est de même pour un objet réel donnant une image virtuelle.

131

EXERCICES DU CHAPITRE 5 :

5.1) Objet réel

Une lentille divergente ne peut donner qu'une image virtuelle d'un objet réel.• Montrer par un raisonnement qualitatif que la propriété indiquée est évidente.• Faire une construction géométrique• Le démontrer à l'aide des relations de conjugaison

5.2) Relation de Newton ; méthode de Badal pour déterminer la focale d’unelentille divergente

Reprenez la méthode de Badal vue en séance et démontrez la relation donnant l’expression de

la focale de la lentille divergente : f 'f2

'2

D (aide : utilisez la formule de conjugaison de

Newton vue à l’exercice 4.5)

5.3)Œil hypermétrope

Sur l’œil : pensez à faire les exercices 3.5 et 4.4 si vous n’avez pas eu le temps lors desséances précédentes.

On modélise ici l’œil par une lentille mince L2 convergente de centre O2 et de distance focalef2’ (au repos). La distance entre O2 et le plan de la rétine est de 20 mm.• Quelle doit être la valeur de la distance focale f2’ pour que l’œil puisse former sur la rétine

l’image d’un objet à l’infini ?• L’individu désire observer un objet situé à son punctum proximum, situé 25 cm en avant

de L2 en accommodant (il s’agit du cas d’accommodation maximale). Quelle doit être lanouvelle valeur de la distance focale de L2 pour que l’image soit toujours sur la rétine ?Commenter la valeur trouvée.

• L’œil est hypermétrope : f2’ = 20 mm au repos, et la distance entre O2 et le plan de larétine est de 19.8 mm. Où se forme l’image A’ d’un point A situé à l’infini ? Quelledevrait être la distance focale pour que l’œil soit sans défaut ?

• Pour corriger cet œil, on ajoute un verre correcteur assimilé à une lentille mince L1 dedistance focale f1’, à une distance e = 1 cm en avant de L2. On peut montrer que la

distance focale résultante f’ est donnée par : 1

f '

1

f1'

1

f2'

e

f1' f2 '. Calculer

numériquement f’. Le verre est-il convergent ou divergent ?• Cette lentille correctrice est taillée dans un verre d’indice n = 1.5. Sachant que les rayons

de courbure des deux faces sont les mêmes (en valeur absolue), calculer leur valeur.

132

EXERCICES DU CHAPITRE 6 :

6.1)Etude d’un spectre de galaxie

On sait depuis 1929 que l’Univers est en expansion, c'est-à-dire qu’en l’absence de touteforce, la distance séparant deux points quelconques de l’Univers augmente au cours du temps.Ainsi, lorsque depuis la Terre on observe des galaxies (vastes ensembles de gaz et d’étoilesgravitant dans l’espace), on voit celles-ci s’éloigner de nous (sauf les plus proches qui sontattirées vers notre propre galaxie par gravité). Un rayonnement se propageant dans l’espacesubit l’expansion et sa longueur d’onde, comme toute longueur dans l’Univers, augmente lorsde son trajet. Ainsi, un rayonnement émis par une galaxie lointaine à la longueur d’onde em

est observé sur terre à la longueur d’onde obs supérieure à em . Le rayonnement reçu

apparaît donc plus ROUGE que le rayonnement émis. On appelle décalage vers le rouge la

quantitéem

emobsz−= . Plus une galaxie est loin de nous, plus son rayonnement observé est

décalé vers le rouge. La mesure de z permet donc de déterminer l’éloignement d’une galaxiepar rapport à la nôtre. Par exemple, notre galaxie a un décalage vers le rouge z = 0 tandis quela galaxie la plus lointaine jamais observée a un décalage vers le rouge z ≈ 6. Pour mesurer ledécalage vers le rouge d’une galaxie, on identifie sur le spectre de cette galaxie quelques raiescaractéristiques dont on connaît les longueurs d’onde d’émission au repos em et on mesureles longueurs d’ondes observées obs correspondantes. Dans cet exercice, nous vousproposons d’appliquer cette procédure à la détermination du décalage vers le rouge d’unegalaxie.

La figure 1 montre le spectre observé d’une galaxie, c’est-à-dire l’intensité du rayonnementobservé en fonction de la longueur d’onde. Celui-ci présente quelques raies d’émissionrepérées par les lettres A à E. Noter que la lettre D repère deux raies voisines (une intense etune moins intense immédiatement à gauche). La figure 2 présente une vision détaillée dechaque raie.

1) Mesure des longueurs d’onde observées obs : à l’aide de la figure 2, évaluer la longueur

d’onde observée obs pour chacune des raies A à E (attention, deux raies pour D). Reporter

vos résultats dans le tableau ci-dessous en précisant les unités.Estimez l’incertitude obs sur obs .

Table 1 : Mesures des longueurs d’ondes observées sur le spectre d’une galaxieRaie A B C D1 D2 E

obs

2) Identification des raies Les raies observées sont dues à deux éléments très abondants dans l’Univers et que l’onretrouve dans les galaxies : l’hydrogène et l’oxygène. On donne les longueurs d’onded’émission au repos pour quelques raies caractéristiques de l’hydrogène et de l’oxygène dansla table 2 ci-dessous :

133

Table 2 : Longueurs d’onde d’émission em (en Angstroems) de quelques raies

caractéristiques d’Oxygène et d’Hydrogène dans le domaine visible.O1 3727 H1 4340O2 4959 H2 4861O3 5007 H3 6563

En pratique, afin d’identifier les raies du spectre de la galaxie, les astrophysiciens sont amenésà faire une hypothèse sur la nature d’une raie donnée, et à vérifier ensuite si cette hypothèseest compatible avec les longueurs d’onde des autres raies du spectre. Si tel n’est pas le cas, ondoit faire une autre hypothèse, et ainsi de suite.On peut ici par exemple faire l’hypothèse que la raie A correspond à la raie d’oxygène O1.Calculer le décalage vers le rouge z correspondant à cette hypothèse. En utilisant cette valeur,calculer, à partir de vos mesures des longueurs d’onde observées consignées table 1, leslongueurs d’ondes d’émission em correspondant aux autres raies B, C, D1, D2 et E.

Compléter la table 3.

Table 3 : Calcul des longueurs d’ondes em (en Angstroems) sous l’hypothèse que A=O1

Raie A B C D1 D2 E

em 3727

En comparant les tables 2 et 3, pouvez-vous proposer une identification de chacune des raiesobservées ? Pour chaque raie identifiée, la valeur obtenue table 3 est-elle compatible avec lavaleur tabulée table 2 (justifier) ? L’hypothèse précédente vous semble-t-elle satisfaisante ?Reporter les résultats de votre identification table 4.

Table 4 : Identification des raies observéesA B C D1 D2 EO1

3) Calcul du décalage vers le rouge z de la galaxie observéeComment évalueriez-vous le décalage vers le rouge z à partir de l’ensemble des mesures table1 ? Que vaut z par cette méthode ?Calculer analytiquement l’incertitude z sur z en fonction de obs , z et obs . Evaluer

numériquement z pour les raies A et E. Conclusion.

4) Distance à la galaxie observéePour des galaxies pas trop lointaines ( z <<1), la distance à laquelle se trouve une galaxie de

l’observateur s’écrit d = c

H0

z avec c la vitesse de la lumière dans le vide et H0 une constante

(constante de Hubble) caractérisant la vitesse d’expansion de l’Univers aujourd’hui. Lesmesures les plus récentes donnent H0 = 2.310−18 s−1 . Calculer d et l’exprimer enkilomètres, puis en années-lumière (1 AL = 0.95 1013 km). Combien de temps s’est-il écoulédepuis que le signal lumineux que nous observons de cette galaxie a été émis ? (Rq : il nes’agit là en fait que d’un calcul approché, mais il donne un bon « d’ordre de grandeur »)

134

Figure 1 : Spectre de galaxie dans le domaine visible. En abscisse : longueur d’onde enangstrœms.

135

Figure 2 : Détail de chaque raie. En abscisse : longueur d’onde en angstroems.

136

6.2)Principe de l’arc-en-ciel

Pour modéliser un arc-en-ciel, nous allons décrire la réfraction et la réflexion de la lumièredans une goutte d’eau assimilée à une sphère transparente d’indice optique n.

1) Propagation d’un rayon lumineux dans une sphère :

a) Un rayon lumineux pénètre dans une goutte d’eau au point I, formant un angle i avec lanormale à la surface en I. Représenter sur la figure 1 le rayon incident et le rayon réfractéainsi que l’angle r que fait le rayon réfracté avec la normale en I.

Figure 1

b) Indiquer sur la figure 1 la déviation raD d’un rayon lumineux se réfractant à l’entrée de la

goutte d’eau, définie comme l’angle entre le rayon réfracté et le prolongement du rayonincident. Calculer raD en fonction des angles i et r.

c) Le rayon traverse la goutte pour atteindre la surface opposée en I’. Exprimer l’angle r’ queforme ce rayon avec la normale à la surface en I’. Exprimer en fonction de r la déviation

reD subie par le rayon pour une réflexion à l’intérieur de la goutte d’eau (voir figure 2)

Figure 2

137

d) Le rayon ressort de la goutte en étant réfracté une nouvelle fois à sa surface (figure 3).Montrer que la déviation D du rayon ressortant de la goutte par rapport à la direction durayon incident vaut riD 42 −+= .

Figure 3

e) Calculer la différentielle dD/di en fonction de dr/di. Montrer, en utilisant la loi de laréfraction, que l’angle D passe par un extremum mD (on admettra qu’il s’agit d’un

maximum) pour une valeur mi de l’angle d’incidence vérifiant la relation

3/)4(sin 22 nim −= . Calculer numériquement mi et mD pour n=1,33.

Pour les rayons incidents avec i proche de mi , la lumière ressortant de la goutte est déviée

d’un angle D proche de mD . Pour cette raison, lorsque la goutte est éclairée par un faisceau

parallèle, l’intensité lumineuse déviée dans une direction donnée présente un maximum pourla direction correspondant à cette déviation mD .

2) Propriétés de l’arc-en-ciel

a) Géométrie : Un observateur placé en O (figure 4) tourne le dos au soleil. Les rayons issusdu soleil sont considérés parallèles entre eux et se propagent suivant la direction Soleil –Observateur. Expliquer pourquoi toutes les gouttes d’eau vues par l’observateur sousl’angle α =180- Dm lui renvoient de la lumière. Quelle est la symétrie de l’arc-en-ciel (justifier) ? Quel est l’axe de symétrie ?

Question subsidiaire : l’arc observé dépend-il de la taille des gouttes d’eau ?

138

Figure 4

b) Dispersion : L’indice de l’eau varie légèrement avec la longueur d’onde du rayonnement.On donne les valeurs numériques suivantes :

Violet Bleu Jaune Rougeλ (µm) 0,434 0,486 0,589 0 ,656n 1,3404 1,3372 1,3330 1,3312

Calculer les angles apparents des arcs associés à chacune des couleurs proposées. Quel estl’ordre des couleurs de cet arc-en-ciel ?Remarque : l’arc décrit ici est le plus lumineux (arc primaire). Quand le phénomène estsuffisamment lumineux, on arrive parfois à distinguer un arc secondaire nettement moinsintense, à des valeurs d’angle plus élevées, et dont la séquence des couleurs est inversée parrapport à l’arc primaire. Cet arc secondaire s’interprète en considérant non pas une mais deuxréflexions des rayons lumineux à l’intérieur de la goutte d’eau.