l d a r l du tracé de figures aux concepts et énoncés...

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Andr RevuzAndr Revuz

Du trac de figures aux concepts et noncs gomtriques

Marc GodinMarie-Jeanne Perrin-Glorian

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Plan

Introduction

Partie 1 : Gomtrie physique. Travail sur des figures matrielles Partie confrence Partie atelier

Partie 2 : Gomtrie thorique. Travail sur des figures gomtriques dfinies par des noncs Partie confrence Partie atelier

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Introduction

Quelques rflexions et hypothses la base dune approche de la gomtrie visant une progression cohrente de 6 ans (et mme de la maternelle) 15 ans (la fin du collge)

Pourquoi conserver dans l'enseignement secondaire une place consquente lenseignement de la gomtrie synthtique ?

Objet principal de la gomtrie lmentaire Deux aspects de la gomtrie accorder et faire

interagir : gomtrie physique / gomtrie thorique Les objectifs et les points dancrage de notre approche

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Pourquoi une gomtrie des figures ?

Fondement des nombres sur les grandeurs gomtriques Modlisation de lespace sensible Crer lintuition gomtrique pour sen servir dans les

reprsentations et le traitement dautres problmes, pas seulement en mathmatiques

Le modle de lespace euclidien vient dans un deuxime temps quand on a construit un modle de la gomtrie appuy sur lespace sensible

Se fonder dabord sur laxiomatique dEuclide complte par Hilbert mais en intgrant les transformations. Laxiomatique sous-jacente la gomtrie du collge na pas besoin dtre minimale.

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Objet principal de la gomtrie lmentaire

Dans lespace Dcrire des objets, positions et dplacements ainsi que des

transformations dobjets (agrandissements et rductions) Prvoir des positions, dcrire des relations entre deux objets Calculer des rapports de grandeurs.

Gomtrie plane : dcrire des figures et des relations entre figures, comment les construire, dcrire et prvoir des dplacements et transformations de figures dans le plan. Dcrire : noncer un ensemble si possible minimal de proprits qui

suffisent caractriser la figure et en tirer dautres proprits consquences par dduction. Importance des conditions ncessaires et suffisantes pour minimiser les dductions faire.

La construction mme de la figure peut tre problmatique (une description ne donne pas toujours un procd de construction).

Donner un programme de construction : donner une suite dinstructions qui permettent de construire une figure dcrite par un nonc.

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Deux aspects de la gomtrie accorder et faire interagir

Deux modes de validation radicalement diffrents Gomtrie physique (G1 pour HK, problmatique pratique pour BS)

Lobjet dtude est la figure matrielle trace sur le papier ou sur lcran. La validation se fait par superposition avec un calque.

Deux figures sont identiques (gales) si elles concident par superposition. Gomtrie thorique (G2 pour HK, problmatique gomtrique pour BS)

Lobjet dtude est une figure thorique dfinie par des proprits (donnes par des noncs ou un codage sur un schma).

La validation se fait par dduction en utilisant des proprits dj valides. Certaines des proprits sont prises comme axiomes ; les proprits dj

valides et qui mritent dtre retenues parce quon les utilisera souvent sont des thormes.

Dautres proprits sont donnes comme hypothses : elles sont spcifiques de la figure considre.

Comment aborder cette rupture dans lenseignement ? Problmatique spatio-gomtrique : faire interagir les deux, taille de lespace Mettre en vidence la rupture : petites provocations : irrationnels Mettre en dfaut la gomtrie physique ou sen servir comme point dappui ?

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Les points dancrage de notre approche

Mettre laccent sur la continuit entre ces deux gomtries : sappuyer sur la construction de figures de la gomtrie physique en y faisant entrer des raisons de la gomtrie thorique. Les proprits des figures de la gomtrie thorique se traduisent par des

proprits visuelles des figures matrielles qui les reprsentent Dans la gomtrie physique, on peut tablir un rpertoire de figures et de

proprits quon connat et qui permettent dviter daller jusqu la superposition

Lenseignement lcole est centr sur les proprits des figures classiques, quadrilatres et triangles particuliers en mlant gomtrie et mesure dans le but daller vite des connaissances utiles socialement. Nous pensons que cela contribue au malentendu dans le passage G2.

Nous parlons de grandeur et non de mesure dans la gomtrie physique comme dans la gomtrie thorique : si la taille des figures est fixe, cest par des grandeurs quon se donne

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Les points dancrage de notre approche

Il est essentiel daborder les oprations (addition, soustraction, multiplication et division par un entier) sur les grandeurs gomtriques indpendamment de leur mesure pour quelles puissent servir dappui pour la construction des nombres.

Il faut apprendre mesurer avec la rgle gradue ou avec le rapporteur. Mais la mesure est pour nous du ct des nombres et pour quelle puisse jouer son rle dans la conceptualisation des nombres, il faut aussi (dabord ou simultanment) travailler la mise bout bout des longueurs, laddition des aires et des angles

Notre objectif long terme : Penser une progression cohrente de la gomtrie du cours prparatoire jusqu la fin du collge coordonne une progression sur les nombres

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Nos hypothses

Pour faire de la gomtrie, il faut dvelopper la fois un raisonnement logique partir dnoncs et un regard gomtrique sur les figures. 1re hypothse : ce regard gomtrique sur les figures nest pas

naturel (cf. Duval) et il est ncessaire de le travailler pour quil se dveloppe chez les lves

2me hypothse : il est possible de dvelopper le langage et les concepts gomtriques en articulation avec un travail sur les figures de la gomtrie physique.

Autrement dit, il est possible de travailler sur les figures dans la gomtrie physique de faon dvelopper une vision des figures qui sera ncessaire dans la gomtrie

thorique (G2) un rapport aux objets gomtriques et la notion de proprit qui

sera en adquation avec celui de la gomtrie thorique (G2).

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Quentendons-nous par figure ?

Figure matrielle (gomtrie physique mais aussi gomtrie thorique)

Figure gomtrique : ensemble dobjets gomtriques avec leurs relations quon peut dcrire par des noncs

Figure code (dans la 2me partie)

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Premire partie Gomtrie physique

Travail sur des figures matrielles

Construction de triangles Diffrentes visions des figures Des instruments pour tracer des figures Une situation pour faire voluer le regard sur les figures : restauration de figure avec cot sur les instruments Enrichir une figure avec des nouveaux tracs Augmenter lpaisseur smiotique de la figure et du vocabulaire Le langage accompagnant les actions matrielles

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Reproduction de triangles

Atelier :Voici un polygone. Tracez en un du mme genre (quadrilatre ou pentagone) sur votre feuille et 1) reproduisez le avec comme seuls

instruments une rgle non gradue et un petit morceau de papier aux bords arrondis.

2) imaginez diffrents moyens de le reproduire et indiquez les instruments utiliss

Site de Marc

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Diffrentes visions des figures

Vision surfaces ou D2 (vision naturelle) Dans une vision surfaces , n voit

des surfaces juxtaposes la rigueur superposes,

Des lignes et des points peuvent apparatre mais les lignes sont seulement des bords de

surfaces, les points sont des sommets de surfaces ou,

en cas de superposition, des intersections de bords.

On ne peut pas crer de nouvelles lignes

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Vision lignes (ou D1) Dans une vision lignes la figure est constitue de

lignes qui peuvent se tracer avec des instruments : la rgle pour les droites, les demi-droites (quon peut

prolonger) et les segments, le compas pour les cercles ou les arcs de cercles.

Les points sont des extrmits de lignes ou des intersections de lignes quon a dj.

On peut tracer des segments (voire des demi-droites ou des droites) qui relient des points quon a dj.

On ne peut pas crer de nouveaux points Sur lexemple, on verra plus ou moins de lignes

supports des cts. Il peut rester difficile de prolonger des lignes pour

dfinir des points dont le lien avec la figure nest pas direct

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Vision points (ou D0) Dans une vision points de la figure, on peut

crer des points par intersection de deux lignes et les points peuvent dfinir des lignes : il faut deux points (ou un point et une direction)

pour dterminer une droite, une demi-droite ; pour un segment, il faut deux points ou un point et

une longueur sur une demi-droite dj trace ; il faut deux points pour dterminer un cercle (le

centre et un point du cercle) ou un point et une longueur.

Sur lexemple, on peut identifier des points qui permettent de dfinir les lignes : la donne de A, B, C, D (le quadrilatre) dtermine

E et F. Le choix de G sur (EF) dtermine les petits

triangles

AB

CD

E

F

G

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Des instruments pour tracer des figures

Dans la gomtrie physique, les figures matrielles se tracent avec des instruments : les tracs main leve, ventuellement cods sont des schmas

Dans la gomtrie thorique, les figures matrielles se tracent main leve ou avec des instruments, la figure de travail est la figure gomtrique (immatrielle)

Nous considrons des instruments de trac varis Des instruments qui permettent de transporter toute la figure : gabarits,

pochoirs, calque Des instruments qui permettent de transporter des informations D2 sur la

figure : gabarit ou pochoir dchir, calque trop petit, morceau de papier opaque sur lequel on peut crire, querre, compas dangle, rgle bords parallles

Des instruments qui permettent de tracer des lignes ou de reporter des longueurs sur une ligne dj trace : rgle, compas, rglet (morceau de rgle informable sur le bord), querre et compas dangle dans certaines de leurs utilisations.

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Une situation pour faire voluer le regard sur les figures

Restauration de figure avec cot sur les instruments Une situation (TSD) est dfinie par

Le problme et la rgle du jeu Le milieu Les variables didactiques Les connaissances en jeu

Le problme et la rgle du jeu : Une restauration de figure est une reproduction de figure mais avec des contraintes particulires : Une figure modle est donne (en vraie grandeur ou non) Une partie de la figure obtenir (amorce) est donne soit par son trac,

soit par un instrument qui permet de reporter des informations D2 de la figure initiale mais sans donner toute linformation.

On dispose dinstruments varis qui ont un cot dutilisation

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Une situation pour faire voluer le regard sur les figures

Restauration de figure avec cot sur les instruments

Le milieu : le modle, lamorce, les instruments et leur cot Les variables (didactiques) fixer :

Le modle

Lamorce

Les instruments disposition et leur cot

Les connaissances en jeu : examiner dans chaque cas. Choisir le milieu et la rgle du jeu en fonction des connaissances supposes disponibles et de celles dont on veut favoriser lmergence.

Exemples

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Restauration de figure : un exemple Avec des tracs, sans gabarit

Exemple damorce Cot :

0 point pour la rgle ; 5 pts pour un report de longueur avec un rglet ; 5 pts par usage du compas, du compas dangle ou

de lquerre. Il manque deux segments qui sont dtermins

par un point On peut chercher des lignes de construction de la figure

sur le modle Cela permet de trouver la direction dun segment

manquant sur lequel se trouve ce point. On peut complter lamorce.

Il manque une deuxime ligne pour trouver le point. On peut la trouver sur le modle puis la reporter sur la figure complter.

Reste tracer le dernier segment et gommer des lignes de construction

On peut reproduire uniquement avec une rgle

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Restauration de figures

Exemple : favoriser le reprage dalignements ; le moins de reports de longueur possible (voir article Grand N 79)

Donner un cot aux instruments : trac la rgle gratuit ; report de longueur : 5 points. On peut mme diffrencier Prolongement dun segment existant : 1 point Nouveau trac la rgle : 0 point

1 Restaurer la figure complte partir de la pice 1

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Restaurer le patron dun octadre rgulier

Le patron du dodcadre. Triangles juxtaposs. Comment conomiser les instruments ? Un mme cercle

peut servir pour plusieurs triangles

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Restaurer un hexagone rgulier

Restaurer un hexagone partir dune amorce Compas : 5 euros Rgle : gratuit Report de longueur : 2 euros

Avec la symtrie, on en dduit la construction dun milieu la rgle et au compas

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Des apprentissages gomtriques

Quels sont les apprentissages gomtriques viss dans la restauration de figure ?

La pratique des objets gomtriques et de leurs relations Une droite peut toujours se prolonger Il faut deux points pour dfinir une droite Il faut un support rectiligne pour reporter une longueur et trouver un point

sinon on prend un compas qui donne tous les points une distance fixe dun point donn

Il faut deux lignes pour dterminer un point Enrichir une figure avec des nouveaux tracs avec un projet dutilisation dans

la restauration : ces lments nouveaux sont relis ceux quon a dj et ceux quon cherche obtenir.

Augmenter lpaisseur smiotique de la figure (elle devient porteuse dinformations qui ne sont pas visibles demble mais quil faut rechercher) et du vocabulaire (par exemple un carr, un rectangle sera progressivement porteur de relations de plus en plus nombreuses entre ses lments : angles, sommets, cts, et ceux de la figure enrichie : diagonales, axes de symtrie etc.

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Le langage accompagnant les actions matrielles

Le langage qui accompagne les actions matrielles sur les figures ou qui les dcrit est essentiel si lon veut que ces actions participent la conceptualisation des objets gomtriques

Un exemple vido en CE2 sur la symtrie

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Une sance sur la symtrie en CE2

Pour chaque figure dire si elle est symtrique ou non et pourquoi

La moiti de la classe reoit le groupe de figures 1 o la figure 2 est symtrique lautre moitireoit les figures 1 o cest la figure 3 qui est symtrique

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Deuxime partieGomtrie thorique

Travail sur des figures gomtriques dfinies par des noncs

Retour sur la notion de figure Les figures codes Les figures cls Restauration et dmonstration Construction de figures Des constructions associes des figures cls A la recherche de figures cls

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Retour sur la notion de figure

Figure est pour nous un terme gnrique qui englobe : figure matrielle (plutt que dessin) objet du travail ou reprsentant

une figure gomtriques ; figure gomtrique : ensemble dobjets gomtriques avec leurs

relations quon peut dcrire par des noncs figure code i.e. figure caractrise par des proprits donnes par

des noncs ou par des signes (codes) ajouts la figure matrielle, que celle-ci soit lobjet mme du travail ou quelle reprsente une figure gomtrique immatrielle.

Quand dit-on que deux figures sont identiques ? Pour les figures matrielles :

Superposition directe/ aprs retournement agrandissement prs : comment le vrifier ?

Pour les figures gomtriques, on dira quelles sont identiques si elles vrifient les mmes proprits. La notion de proprit est lie laxiomatique sous-jacente, par exemple

plan orient ou non.

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Les figures codes

Dans le cadre de la gomtrie physique on travaille sur la figure matrielle. Le code est constitu de signes ports sur la figure matrielle pour indiquer des proprits vrifies instrumentalement. Il peut avoir diffrentes fonctions : Dans une recherche de proprits dune figure, mmoriser les

proprits reconnues et vrifies afin de poursuivre la recherche d'autres proprits.

indiquer, sur une figure main leve, les proprits qu'une figure construire doit satisfaire

indiquer, au fur et mesure de la construction d'une figure les proprits utilises.

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Les figures codes

Dans le cadre de la gomtrie thorique, la figure matrielle est une reprsentation d'une figure gomtrique, on travaille sur la figure gomtrique. Le code est constitu de certaines proprits identifies pour la figure ; ces proprits peuvent tre nonces en langue naturelle ou traduites par des signes conventionnels sur une figure matrielle qui reprsente la figure gomtrique et sert de support pour le codage. Ce code a galement plusieurs fonctions : les mmes fonctions que celles dj identifies pour la gomtrie

physique, la diffrence essentielle prs que les proprits ne sont pas valides instrumentalement mais dduites partir d'hypothses et d'noncs d'un rpertoire (dfinitions, axiomes, thormes).

indiquer les proprits affirmes par les hypothses ou confirmes logiquement pendant une dmonstration.

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Figures codes et dmonstration

Dans un problme de gomtrie, on ne dispose en gnral que dune partie des proprits que vrifie une figure et il sagit didentifier et de prouver de nouvelles proprits gomtriques vrifies par la figure. Autrement dit, dans les dmonstrations, il sagit denrichir le code dune figure code. Un des objectifs de l'activit gomtrique est donc d'enrichir le codage des figures gomtriques.

Deux figures codes diffrentes peuvent correspondre la mme figure gomtrique.

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Construction de figures

Construction dune figure matrielle vrifier aux instruments

Exemple : construire un rectangle dont une diagonale et un ct sont donns

Contrairement la restauration ou la reproduction, les proprits de la figure construire ne sont pas identifier dans un modle mais sont donnes sous forme de texte ou de figure main leve code.

Si les connaissances de celui qui construit la figure ne lui permettent pas de rpondre directement au problme, il est amen rechercher les proprits sur lesquelles peut s'appuyer la construction en faisant l'analyse d'un schma cod (souvent main leve) portant les proprits obtenir pour les relier ventuellement celles qu'il sera possible d'utiliser pour la construction (phase danalyse).

Au cours de cette analyse, il est amen enrichir la figure pour en rechercher dautres proprits partir desquelles on peut mener la construction. Mme si on est en gomtrie physique, il est ncessaire de passer un minimum par la gomtrie thorique dans cette phase danalyse.

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Une fois la construction ralise, on vrifie les proprits demandes avec les instruments. En gomtrie dynamique, il faudra vrifier que la figure ne se dforme pas.

On peut envisager une solution pratique en ajustant les instruments (pour lexemple fabriquer une querre dont un ctde langle droit a la dimension donne et lajuster sur la diagonale. Se pose ici la question de lusage gomtrique de lquerre : on doit poser un ct de langle droit de lquerre sur une droite quon a dj. Comme on ne peut reporter une longueur que sur une droite quon a dj.

On a ainsi un usage diffrent de lquerre qui ne sert plus reporter un angle droit (lment D2 dune figure) mais tracer une perpendiculaire une droite quon a dj : les deux cts de langle droit jouent des rles diffrents.

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Dans les problmes de construction de la gomtrie thorique Le codage qui est donn est un objectif atteindre : il faut montrer quil existe

une figure gomtrique vrifiant les proprits demandes et quon peut exhiber un procd squentiel qui, partir des donnes, permette dobtenir tous les lments de la figure avec leurs proprits par des tracs de droites et cercles.

Les proprits obtenir ne sont en gnral pas celles qui permettent de construire la figure et, l encore, il faut procder une analyse en enrichissant la figure pour trouver dautres proprits qui entranent celles quon cherche. La diffrence principale est au niveau de la validation des proprits et des instruments quon sautorise pour la construction. La solution peut ne pas tre unique.

Exemples Construire un rectangle dont une diagonale et un ct sont donns (en

grandeur) Construire un cercle tangent aux cts dun angle Construire un triangle connaissant (en grandeur) un ct et les hauteurs

issues des extrmits de ce ct.

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Construire un triangle connaissant un ct et les hauteurs issues des extrmits de ce ct

Analyse : recherche de conditions ncessairesLe problme revient construire deux triangles rectangles de mme hypotnuse donne dont un ct de langle droit est donn.

On est ramen la construction dun triangle rectangle connaissant lhypotnuse et donc linscription des triangles rectangles dans un cercle.

Parmi tous les triangles il faut prendre ceux dont le ct de langle droit a la bonne dimension.

Ce nest possible que si ces dimensions sont infrieures celle de lhypotnuse donc si les longueurs donnes pour les hauteurs sont infrieures celle donne pour le ct.

Synthse : Si les conditions sur les longueurs sont vrifies (longueur du ct > longueurs des hauteurs), on a 4 solutions deux deux symtriques par rapport au support du ct donn

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Les figures cls

Dans lexemple prcdent, la figure des deux triangles rectangles de mme hypotnuse, isole du grand triangle, aide identifier le cercle cest--dire une ligne sur laquelle seront les pieds des hauteurs.Reste alors trouver lautre ligne qui permettra de dterminer chacun de ces points.

Dans la gomtrie thorique, la dduction se fait par dmonstration partir daxiomes, de dfinitions et de thormes. Ces axiomes, dfinitions et thormes sont exprims dans des noncs qui traduisent des proprits de figures. Les figures qui correspondent ces noncs de gomtrie lmentaire seront reconnatre dans des figures plus complexes : il faudra les isoler comme sous-figure, voire complter la figure donne pour faire apparatre des lignes qui se dfinissent partir des lignes donnes mais napparaissent pas au premier coup dil.

Un thorme de gomtrie lmentaire peut ainsi souvent se traduire (au moins en partie) par deux figures codes : lune reprsentant les hypothses et lautre la conclusion.

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Les figures cls

Une figure cl est une figure matrielle code susceptible d'enrichissement du code parce que celui-ci correspond au codage des hypothses ou de la conclusion d'un thorme.

La figure cl reprsente donc une partie des proprits d'une figure gomtrique (immatrielle) qui possde d'autres proprits que celles reprsentes et qui sont relies celles-ci par un thorme.

Les figures cls jouent un rle essentiel dans les dmonstrations. Si la figure code reprsente les hypothses d'un thorme, on peut

l'enrichir des conclusions. Si la figure cl reprsente la conclusion d'un thorme en partant de ce

que l'on cherche dmontrer, on peut lui associer la figure cl des hypothses de ce thorme et rechercher comment on pourrait les dmontrer (progression en remontant dans la recherche d'un chemin entre les hypothses et la conclusion).

La reconnaissance des figures cls est donc un point sensible de l'apprentissage de la gomtrie.

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Restauration et dmonstration

La dmarche de restauration d'une figure matrielle est une bonne initiation la dmarche de dmonstration. reproduire ou restaurer une figure suppose de s'appuyer sur

certaines proprits pour raliser une figure qui vrifiera d'autres proprits, consquences de celles-l.

De mme, dans la dmonstration, on connat certaines proprits d'une figure et on cherche en dduire d'autres, consquences de celles-l.

La grande diffrence est que, dans un cas, la validation des proprits se fait l'aide d'instruments matriels et dans l'autre l'aide d'un raisonnement logique appuysur des dfinitions et thormes qu'on peut considrer comme des instruments thoriques.

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Cas de la restauration d'une figure matrielle avec des instruments de trac

La figure reproduire fait l'objet d'une recherche plus ou moins exhaustive des proprits de la figure.

Dans le cas d'une restauration, une partie de la figure obtenir est djtrace (l'amorce). Des proprits de la figure obtenir sont donc djvrifies ; il faut trouver des proprits permettant de relier les autres parties de la figure obtenir cette amorce qui est prise comme point de dpart. Cette recherche est analogue celle dun chemin qui relie hypothses et conclusion dans une dmonstration.

Pour la reproduction comme pour la restauration, il peut tre ncessaire d'enrichir la figure reproduire par de nouveaux tracs pour faire apparatre les proprits ncessaires pour la construction. Cet enrichissement se fait l'aide des instruments de trac.

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Cas de la restauration d'une figure matrielle avec des instruments de trac

Les proprits qui ont servi la construction sont codes, Il reste vrifier (justifier) que la figure construite est bien conforme la figure demande.

La validation de la reproduction peut se faire par superposition mais aussi par vrification avec les instruments des proprits de la liste.

On peut, lors de ces reproductions de figures matrielles donner aux lves l'occasion de s'apercevoir quun mme cahier des charges peut donner lieu des constructions diffrentes et aussi que des cahiers de charges diffrents peuvent aboutir une mme figure et s'interroger sur les diffrents cahiers des charges...

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Cas de la dmonstration Certaines proprits d'une figure gomtrique sont

dcrites dans un nonc. En gnral (ce n'est pas le cas dans un problme de construction), ces proprits permettent de construire avec des instruments une figure matrielle qui la reprsente. Il s'agit de dduire d'autres proprits de la figure.

Il s'agit donc cette fois d'enrichir une figure code. L'enrichissement peut se faire de deux manires : en faisant apparatre des proprits consquences de celles qui sont donnes, ou en recherchant des proprits qui permettraient de dduire celles qu'on cherche dmontrer. Cet enrichissement amne ventuellement considrer de nouveaux objets gomtriques qui ne faisaient pas partie de la description initiale.

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Cas de la dmonstration Les outils pour dmontrer sont des noncs (axiomes ou

thormes) qui sont reprsents par des figures cls qu'il s'agit de reconnatre dans la figure en gnral plus complexe du problme cherch. Dans un thorme, une figure cl a deux codages : celui des hypothses et celui de la conclusion ; il s'agit donc d'identifier dans la figure du problme des figures cls avec l'un de leurs codages qui figure dans un rpertoire connu. Si c'est le codage des hypothses, on pourra enrichir la figure de nouveaux codes (ceux des conclusions). Si c'est le codage des conclusions, il faut rechercher le code des hypothses comme conclusion d'une autre figure cl code.

Les figures-cls peuvent ainsi tre considres comme des instruments permettant de construire du code.

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Exemples

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Des constructions lies des figures cls

Exemple : constructions des milieux

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Augmenter lpaisseur smiotique

Des mots : un carr, cest.Enrichissement des significations

Des figures : derrire une figure, on en voit dautres

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A la recherche de figures cls

Discussion ouverte sur les propositions des participants.

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Merci de votre attention

www.aider-ses-eleves.com

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Gomtrie thorique : les figures sont dfinies partir de points qui sobtiennent partir dintersection de droites et de cercles. On ne considre que des rapports de grandeurs ; une grandeur tant donne par un segment, on en dduit les autres

La ralisation matrielle de la figure avec des instruments physiques dpend des instruments disposition

Exemple : constructions des milieux : je pense que tu en as plusieurs qui rfrent aux paralllogrammes, la symtrie Thals, avec la rgle bords parallles etc

l d a r l du tracé de figures aux concepts et énoncés...

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