interférences chapitre ii : interférences lumineuses 1...

Spéciale PSI - Cours "Optique ondulatoire" 1

Interférences

Chapitre II : Interférences lumineusesObjectif :

• Définir le phénomène d’interférence.

• Conditions d’obtention d’interférence en optique.

1. Généralités

1.1. Représentation scalaire des ondes (rappels)

Selon la nature de la grandeur vibratoire, les ondes peuvent être :

• scalaires, comme par exemple les ondes acoustiques de pression,

• vectorielles, comme les ondes électromagnétiques.Dans ce dernier cas, la superposition de deux ou plusieurs ondes en un point conduit à composer des champs vectoriels

n’ayant en général pas la même direction. Par exemple le champ électrique résultant s’écrirait : �E = �E1 + �E2On rappelle que dans un grand nombre de situations, l’intensité lumineuse, due à la superposition de plusieurs ondes élec-tromagnétiques, peut être déterminée au moyen d’un modèle simplifié, où le champ électrique est associé à une grandeurscalaire.Cette approximation est justifiée :

• dans le cas très fréquent d’ondes non polarisées dont les directions de propagation sont voisines ;

• pour des ondes polarisées dont on sait que les directions de polarisation sont voisines.Il n’est alors plus nécessaire de garder à la grandeur vibratoire son caractère vectoriel et l’on adoptera une notation

scalaire pour la vibration lumineuse : en chaque point M on associe à la lumière monochromatique une vibration scalaire,appelé signal lumineux, du type

s(M, t) = s0 cos(�k.�r − ωt

)

ou en notation complexe

s(M, t) = s0 exp[i(�k.�r − ωt

)]

1.2. Interférence

Il y aura un phénomène d’interférence lorsque l’intensité de la superposition de plusieurs ondes n’est pas la somme desintensités de chacune de ces ondes. Ce phénomène se produit dans une même région de l’espace (champ d’interférence)où se superposent plusieurs ondes (nous nous limiterons dans ce chapitre au cas de deux ondes) qui possèdent la propriétéd’être à la fois :

• synchrones : c’est à dire avoir la même fréquence ν,

• cohérentes : c’est à dire présenter un déphasage ϕ, en général variable selon le point de l’espace (point du champd’interférence) considéré, mais demeurant constant sur une durée au moins égale au temps de réponse τR durécepteur.

1.3. Exemple

Une bulle de savon éclairée en lumière naturelle (blanche) réfléchit une lumière dont la couleur dépend de l’épaisseur.

Optique ondulatoire. Chapitre II : Interférences lumineuses 2

2. Expression de l’intensité dans un phénomène d’interférence de deux ondes

2.1. Position du problème

Supposons qu’en un point M donné se superposent deux ondes satisfaisant aux conditions énoncées dans le paragrapheprécédent. En particulier les phases des deux sources, désignées par ϕ01 et ϕ02 sont supposées être indépendantes du temps(sources cohérentes).Les amplitudes de leurs vibrations respectives s’écrivent scalairement au point M , en regroupant sous la notation ϕ ledéphasage dû à la propagation avec la phase à l’origine de la source :

s1(M, t) = s01 cos (ϕ01 + k r1 − ωt) = s01 cos (ϕ1 − ωt)s2(M, t) = s02 cos (ϕ02 + k r2 − ωt) = s02 cos (ϕ2 − ωt)

S1

S2

r1

r2

M

Nous allons dans un premier temps effectuer le calcul détaillé de l’intensité lumineuse recueillie par un récepteur placé enM , puis nous montrerons comment le résultat peut s’obtenir très rapidement en utilisant la notation complexe.

2.2. Calcul détaillé

Ecrivons les intensités lumineuses I1(M, t) et I2(M, t) que l’on obtiendrait au pointM si chacune des sources S1 et S2 émettaitseule (rappel : un récepteur lumineux détecte une intensité lumineuse correspondant à une intensité moyenne proportionnelleà la valeur moyenne dans le temps du carré du signal lumineux (du champ électrique) :

I1(M) = K⟨s21(M, t)

⟩t= K s201

⟨cos2 (ϕ1 − ωt)

⟩t=1

2K s201

I2(M) = K⟨s22(M, t)

⟩t= K s202

⟨cos2 (ϕ1 − ωt)

⟩t=1

2K s202

Si les deux sources émettent simultanément, l’amplitude s(M, t) de la vibration résultante s’écrit :

s(M, t) = s1(M, t) + s2(M, t)

et donc :[s(M, t)]

2= [s1(M, t) + s2(M, t)]

2= s21(M, t) + s

22(M, t) + 2s1(M, t)s2(M, t)

Le récepteur lumineux détecte alors une intensité lumineuse I qui s’écrit, en posant ϕ = ϕ2 − ϕ1, différence de phase queprésentent à tout instant les vibrations en M :

I(M) = K⟨s2(M, t)

⟩t= K

⟨s21(M, t) + s

22(M, t) + 2s1(M, t)s2(M, t)

⟩t

= K⟨s21(M, t)

⟩t+K

⟨s22(M, t)

⟩t+ 2K 〈s1(M, t)s2(M, t)〉t

= I1(M) + I2(M) + 2K 〈s01s02 cos (ϕ1 − ωt) cos (ϕ2 − ωt)〉t= I1(M) + I2(M) + 2Ks01s02 〈cos (ϕ1 − ωt) cos (ϕ2 − ωt)〉t

= I1(M) + I2(M) + 2Ks01s02

⟨1

2cos (ϕ2 − ϕ1) +

1

2cos (ϕ1 + ϕ2 − 2ωt)

⟩

t

= I1(M) + I2(M) + 2√I1(M)I2(M) 〈cos (ϕ2 − ϕ1) + cos (ϕ1 + ϕ2 − 2ωt)〉t

= I1(M) + I2(M) + 2√I1(M)I2(M) cos (ϕ2 − ϕ1)


On a doncI = I1 + I2 + 2

√I1I2 cosϕ avec ϕ = ϕ2 − ϕ1

Remarque : c’est lorsque nous écrivons que :

〈cos (ϕ2 − ϕ1)〉t = 〈cos (ϕ02 + k r2 − ϕ01 − k r1)〉t= cos (ϕ02 + k r2 − ϕ01 − k r1)

qu’intervient la condition essentielle de cohérence des deux ondes.

2.3. Calcul rapide

La méthode utilisant la notation complexe présentée ci-après pour deux ondes reste bien sûr valable et encoreplus efficace pour trois, N ou une infinité d’ondes.Dans le plan complexe, ou en représentation de Fresnel :

1I

Axe origine des phases

2II

φ2

φ1

s1(M, t) = s01 cos (ϕ01 + k r1 − ωt) = s01 cos (ϕ1 − ωt)⇒ s1(M, t) = s01 exp [i (ϕ1 − ωt)] = s01 exp (iϕ1) exp (−iωt)s2(M, t) = s02 cos (ϕ02 + k r2 − ωt) = s02 cos (ϕ2 − ωt)⇒ s2(M, t) = s02 exp [i (ϕ2 − ωt)] = s02 exp (iϕ2) exp (−iωt)

L’intensité lumineuse donnée par un récepteur est proportionnelle à la valeur moyenne dans le temps du carré du signallumineux

I(M) = K⟨s2(M, t)

⟩t

Pour une onde monochromatique

I(M) = 12Ks

20

soit en notation complexe

I(M) = 12Kss

∗

Exercice n◦ 01 : Démontrer, en utilisant la notation complexe, qu’on retrouve bien le même résultat que précédement.Remarque : On ne s’intéresse le plus souvent qu’aux variations de l’intensité lumineuse et la constante 1

2K est ”oubliée”:

I(M) ≡ s s∗ = [s01 exp (iϕ1) + s02 exp (iϕ2)] [s01 exp (iϕ1) + s02 exp (iϕ2)]∗ = ...

2.4. Cas particulier de deux ondes de même amplitude

Si les deux vibrations qui interfèrent ont la même amplitude s01 = s02 = s0 on a I1 = I2 = I0 et l’intensité totale est donnéepar :

I = 2I0 (1 + cosϕ)

3. Description du champ d’interférences

Sans décrire en détail le champ d’interférences, nous le ferons plus loin dans le chapitre sur des cas particuliers, signalons dèsmaintenant quelques points fondamentaux.


3.1. Etat d’interférence, franges d’interférences

Le terme 2√I1I2 cosϕ(M), caractéristique d’un phénomène d’interférences à deux ondes, s’appelle terme d’interférences.

La différence de phase ϕ(M) varie selon la position du point M puisque

ϕ(M) = (ϕ02 + k r2)− (ϕ01 + k r1)

La valeur de ϕ(M) définit l’état d’interférence des vibrations qui interfèrent. A un état d’interférence donné correspondune intensité I constante et le lieu des points M pour lesquels l’intensité I(M) garde une valeur constante est appelé franged’interférence :

ϕ(M) = cste⇔ état d’interférence constant ⇔ frange d’interférence

Les valeurs remarquables de la différence de phase sont :

• ϕ(M) = 2qπ avec q ∈ Z ⇒ cosϕ(M) = 1⇒ frange lumineuse (vibrations en phase) :

Imax = I1 + I2 + 2√I1I2

• ϕ(M) = (2q + 1)π avec q ∈ Z ⇒ cosϕ(M) = −1⇒ frange sombre (vibrations en opposition de phase) :

Imin = I1 + I2 − 2√I1I2

Remarques :1) Entre deux franges lumineuses (ou deux franges sombres) consécutives, ϕ(M) varie de 2π.2) Entre une frange lumineuse et une frange sombre adjacentes, ϕ(M) varie de π.3) Lorsqu’on se déplace dans le champ d’interférences, la conservation de l’énergie impose que la moyenne spatiale de

l’intensité soit égale à la somme des intensités que produiraient séparément les deux sources, les interférences ne faisantque modifier la répartition d’énergie :

〈I(M, t)〉M =⟨I1 + I2 + 2

√I1I2 cos (ϕ)

⟩M

= I1 + I2 + 2√I1I2 〈cos (ϕ)〉M

= I1 + I2

3.2. Contraste (visibilité) des franges

3.2.1. Définition

On définit le contraste (visibilité) des franges par :

V = Imax−IminImax+Imin

• Lorsque l’intensité lumineuse minimale est nulle, les franges lumineuses se détachent sur un fond noir et sont alorsparfaitement observables : le contraste vaut 1.

• Lorsque l’intensité minimale n’est pas nulle, les franges lumineuses se détachent moins bien et le contraste est alorsinférieur à 1.

• A la limite où l’intensité minimale est égale à l’intensité maximale, on n’observe bien sûr plus de franges et le contrasteest alors nul.

3.2.2. Expression du contraste dans une interférence d’ondes d’intensités différentes

Avec les notations précédentes on a

I = I1 + I2 + 2√I1I2 cos (ϕ) = (I1 + I2) (1 + V cos (ϕ)) avec V = 2

√I1I2

I1+I2

On obtient alors les tracés suivants de l’intensité en fonction de ϕ pour différentes valeurs du contraste :


∆φ

0−π π−4π −2π 2π 4π

I/I0

∆φ

0−π π−4π −2π 2π 4π

I/I0

V = 1 V = 0, 4

Simulation (Maple)Simulation (Maple)

Exercice n◦ 02 : Démontrer les résultats précédents.

3.3. Expression du déphasage ϕ

3.3.1. Différence de marche ”géométrique”

On rappelle que pour une onde monochromatique de pulsation ω et de longueur dans le vide λ0, la différence de phase dûeà la propagation des ondes à tout instant entre les points A et B d’un même rayon lumineux est :

(ϕA→B)geo =2π

λ0(AB)

Utilisons cette relation pour exprimer ϕgeo(M) = (ϕ2(M)− ϕ1(M))geo :

S1

S2

M

L’onde (1) est de la forme s1(M, t) = s01 cos (ϕ01 + k r1 − ωt) = s01 cos (ϕ1 − ωt) et

ϕS1→M =2π

λ0(S1M)


de même pour l’onde (2)

ϕS2→M =2π

λ0(S2M)

on a donc

ϕgeo(M) = (ϕ2(M)− ϕ1(M))geo = ϕS2→M − ϕS1→M⇒ ϕgeo(M) =

2πλ0δgeo avec δgeo = (S2M)− (S1M)

δgeo est la différence entre le chemin optique parcouru par les ondes (2) et celui parcouru par les ondes (1).

3.3.2. Différence de marche ”optique”

Il faut ajouter à la différence de marche géométrique une différence de marche supplémentaire qui prend en compte lesdéphasages supplémentaires introduits, par exemple, par des réflexions air-verre.

Conclusion :

La valeur de ϕ(M) définissant l’état d’interférence des vibrations qui interfèrent en M est

ϕ(M) = 2πλ0δ avec δ = δgeo + δsup

La différence de marche optique δ se décompose en deux termes :

• Une différence de marche géométrique entre le point M et les sources S1 et S2

δgeo = (S2M)− (S1M)

• Une différence de marche supplémentaire δsup qui prend en compte les déphasages supplémentaires.

3.3.3. S1 et S2 à distance finie

Dans la suite du cours nous supposons l’indice n constant.Si les deux sources sont à distances finies, le lieu des points M pour lesquels δgeo(M) est une constante est constitué parl’ensemble des hyperboloïdes de révolution dont les foyers sont S1 et S2.

S1

S2

En général, l’observation des franges s’effectuant sur un plan soit parallèle à S1S2, soit perpendiculaire à S1S2, noussommes conduits à étudier ces deux cas particuliers importants.


3.3.3.1. Plan d’observation parallèle à S1S2

O

x

y

S1

zS2

M

Da

L’intersection des hyperboloïdes précédents avec un plan parallèle à S1S2 donne des arcs d’hyperboles. Au voisinagede 1’axe ces arcs d’hyperboles sont assimilables à des segments de droites : c’est ce que nous allons montrer. Désignonspar :

• D la distance entre le plan d’observation et les sources S1 et S2,

• a la distance des sources S1 et S2.

On a alors −−→OM = x�ex + y�ey et

−−→OS1 =

a

2�ey −D�ez et

−−→OS2 = −

a

2�ey −D�ez

donc

−−−→S2M = x�ex +

(y +

a

2

)�ey +D�ez et

−−−→S1M = x�ex +

(y − a

2

)�ey +D�ez

⇒ S2M =

√x2 +

(y +

a

2

)2+D2 et S1M =

√x2 +

(y − a

2

)2+D2

On suppose queD� a, |x| , |y|� λ

En effectuant un développement limité au second ordre en a/D, x/D, y/D :

S2M =

[x2 +

(y +

a

2

)2+D2

]1/2

= D

[1 +

( xD

)2+

( yD

)2+

( a

2D

)2+ay

D2

]1/2

= D

[1 +

1

2

( xD

)2+1

2

( yD

)2+1

2

( a

2D

)2+1

2

ay

D2+ o

((&

D

)2)]

et S1M = D

[1 +

1

2

( xD

)2+1

2

( yD

)2+1

2

( a

2D

)2− 12

ay

D2+ o

((&

D

)2)]

Si le parcours s’effectue dans un milieu homogène d’indice n alors

ϕgeo(M) =2π

λ0δgeo avec δgeo = (S2M)− (S1M) = n [S2M − S1M ]

soit δgeo = nD

[ay

D2+ o

((&

D

)2)]

δgeo ≈ nayDSi la différence de chemin optique se limite à la différence de marche géométrique, alors :

ϕ(M) = 2πλ0δgeo =

2πnayλ0D

= 2πayλD

Et dans le cas où les deux ondes transportent la même intensité lumineuse :

I = 2I0 (1 + cos (ϕ)) = 2I0(1 + cos

(2πayλD

))


L’intensité lumineuse ne dépend que de la seule coordonnée y : les franges d’interférences sont donc des segments de droites(n’oublions pas que x� D) parallèles à l’axe des x donc perpendiculaires à S1S2.La répartition d’intensité lumineuse sur le plan d’observation est périodique. La période de la fonction est appelée l’interfrangeet notée i :

i est l’interfrange⇒ I(y) = I(y + i)

Cette période vaut ici :

i = λDa

Remarquons que aD représente l’angle 2α (très petit) que font entre elles les directions de propagation des ondes qui interfèrent.

L’interfrange peut donc encore s’écrire : i = λDa = λ

2α .Les franges sont d’autant plus serrées que l’angle 2α entre les directions de propagation des ondes quiinterfèrent est grand.Le cas particulier α = 0 s’interprétant aisément : l’écran (au voisinage de O) est alors un plan équiphase pour chacune desdeux ondes qui interfère, la différence de phase ϕ et donc l’intensité lumineuse I sont alors constantes en tout point de l’écran.Les deux ondes interfèrent toujours mais il n’y a plus de ”franges” d’interférences (on parle alors de ”teinte plate”), ce quicorrespond au cas limite d’un interfrange infiniment grand.Il est donc possible de réécrire l’intensité lumineuse sous la forme simplifiée :

I(y) = 2I0(1 + cos

(2πyi

))

x

y

p=1

i

p=2p=3p=4

p=-1p=-2p=-3p=-4

Frange lumineusecentrale p=0

i

Les franges lumineuses sont obtenues quand le déphasage est un multiple entier de 2π, ϕ = 2pπ, soit :

ϕ =2πδ

λ0= 2pπ⇒ p =

δ

λ0∈ Z

La valeur particulière p = 0 correspond à la frange située sur le plan médiateur de S1S2, donc en y = 0.Cette grandeur sans dimension p constitue donc une numérotation des franges lumineuses à compter de la frange ”centrale”: on la nomme ordre d’interférence.

franges brillantes⇔ δλ0= p ∈ Z ⇔ ϕ = 2pπ

Les franges sombres s’intercalent à i/2 entre les franges brillantes et sont obtenues pour :

franges sombres⇔ δλ0= p+ 1

2 ; p ∈ Z ⇔ ϕ = (2p+ 1)π

3.3.3.2. Plan d’observation perpendiculaire à S1S2

O

x

y

S1 zS2

M

D

a

O’


Les hypothèses restent les mêmes qu’au paragraphe précédent : D� a, |x| , |y|� λL’intersection des hyperboloïdes précédents avec un plan perpendiculaire à S1S2 donne des cercles. Nous allons calculer ladifférence de marche géométrique au voisinage de 1’axe O′O.Posons : ρ =

√x2 + y2.

On a

[S2M ]2= ρ2 +

(D +

a

2

)2et [S1M ]

2= ρ2 +

(D− a

2

)2

On suppose queD� a, |x| , |y|� λ

En effectuant un développement limité au troisième ordre en a/D, x/D, y/D :

S2M =

[ρ2 +

(D+

a

2

)2]1/2

= D

[1 +

( aD

)+

(ρ2 + a2

4

D2

)]1/2

= D

1 + 1

2

[(aD

)+

(ρ2+a2

4

D2

)]+

(−18

) [(aD

)+

(ρ2+a2

4

D2

)]2

+(116

) [(aD

)+

(ρ2+a2

4

D2

)]3+ o

((�D

)3)

= D

[1 +

1

2Da+

1

2D2ρ2 − 1

4D3aρ2 + o

((&

D

)3)]

et S1M = D

[1− 1

2Da+

1

2D2ρ2 +

1

4D3aρ2 + o

((&

D

)2)]

Si le parcours s’effectue dans un milieu homogène d’indice n alors

ϕgeo(M) =2π

λ0δgeo avec δgeo = (S2M)− (S1M) = n [S2M − S1M ]

soit δgeo = nD

[a

D− aρ2

2D3+ o

((&

D

)3)]

= na

[1− ρ2

2D2+ o

((&

D

)2)]

δgeo ≈ na(1− ρ2

2D2

)

Si la différence de chemin optique se limite à la différence de marche géométrique, alors :

ϕ(M) = 2πλ0δgeo =

2πnaλ0

(1− ρ2

2D2

)

Et dans le cas où les deux ondes transportent la même intensité lumineuse :

I = 2I0 (1 + cos (ϕ)) = 2I0[1 + cos

(2πnaλ0

(1− ρ2

2D2

))]

L’intensité lumineuse ne dépend que de la seule coordonnée ρ : les franges d’interférences sont donc des cercles centrés surl’axe S1S2, on leur donne le nom d’anneaux.En introduisant comme précédemment l’ordre d’interférence p,

p =δ

λ0=na

λ0

(1− ρ2

2D2

)

et en remarquant que na représente la différence de marche δ0 > 0 dans la direction S1S2, donc au centre O des anneaux onpeut écrire :

p =δ

λ0=δ0λ0

(1− ρ2

2D2

)= p0

(1− ρ2

2D2

)> 0


expression dans laquelle p0 > 0 désigne l’ordre d’interférence au centre de la figure d’interférence.Le rayon ρP de la frange d’ordre p vaut :

ρP = D√2√

p0−pp0

Les franges lumineuses sont toujours obtenues quand le déphasage est un multiple entier de 2π, ϕ = 2pπ c’est à dire quandp = δ

λ0∈ N .

Remarquons que, contrairement au champ d’interférence formé des franges rectilignes obtenues quand le plan d’observationest parallèle à S1S2 :

• La répartition d’intensité lumineuse n’est pas une fonction périodique de ρ,

• L’ordre d’interférence au centre n’est pas nul, p0 = na/λ0,

• L’ordre d’interférence décroît à partir du centre de la figure,

• Les anneaux ne sont donc pas équidistants.

En supposant que le centre de la figure est lumineux, c’est à dire que p0 est entier, le K eme anneau lumineux à compterdu centre est d’ordre p tel que :

p = p0 −K

Et donc le rayon de ce Keme anneau lumineux à compter du centre est donné par :

ρP = D√

2p0

√p0 − p = D

√2p0

√K

Les anneaux se resserrent donc à mesure que l’on s’éloigne du centre de la figure.Plus l’ordre d’interférence au centre est grand (c’est à dire plus a est grand) plus les anneaux sont rapprochés.

Anneaux avec un centre lumineuxSimulation (Maple)

Le cas particulier p0 = 0 s’interprétant aisément : la différence de phase ϕ des deux ondes qui interfère et donc l’intensitélumineuse I sont alors constantes en tout point de l’écran. Les deux ondes interfèrent toujours mais il n’y a plus de ”franges”d’interférences : on obtient alors une ”teinte plate”.Exercice n◦ 03 : Trouver comment évolue la figure d’interférence (suivre un anneau dans son déplacement, p étant attaché à un

anneau) quand a augmente puis quand a diminue.

3.3.4. S1 et S2 à l’infini : interférences de deux ondes planes

Lorsque les sources S1 et S2 sont à l’infini, il n’est plus question bien sûr pour obtenir la différence de phase ϕ en un pointMdu champ d’interférences d’évaluer δgeo = (S2M)− (S1M) = n [S2M − S1M ] puisque les chemins optiques (S2M) et (S1M)sont infinis.


Il faut alors revenir à l’expression de définition de la phase d’une onde plane progressive monochromatique ϕ = ϕ0+�k.�r−ωt.Si �u1 et �u2 sont les vecteurs unitaires sur les directions de propagation des ondes (1) et (2) :

{ϕ1(M, t) = ϕ01 +

�k1.�r − ωt avec �k1 = 2πλ �u1 et �r =

−−→OM

ϕ2(M, t) = ϕ02 +�k2.�r − ωt avec �k2 = 2π

λ �u2 et �r =−−→OM

Le déphasage en M est donc :

ϕ = ϕ2(M, t)− ϕ1(M, t) =(�k2 − �k1

).�r + ϕ02 − ϕ01

Nous pouvons choisir l’origine O telle que ϕ02 − ϕ01 = 0 et donc écrire :

ϕ = ϕ2(M, t)− ϕ1(M, t) =(�k2 − �k1

).�r = ϕ(M)

ϕ(M) reste constant sur tout plan normal à(�k2 − �k1

). �u1 et �u2 sont symétriques par rapport à ces plans.

Sur un plan perpendiculaire à la bissectrice des deux directions �u1 et �u2 :(�k2 − �k1

)= 2k sinα �uy ⇒ ϕ(M) = ϕ(y) = 2ky sinα =

4πy sinα

λ

x

y

S1∞

z

S2∞

1kr

αα

2kr

Les franges sont donc rectilignes, équidistantes, l’interfrange i vaut :

i = λ2 sinα

Remarquons que si l’angle α est faible :

i =λ

2 sinα≈ λ

2α

On retrouve alors le résultat du § 3.3.3.1.

4. Conditions d’obtention des interférences lumineuses

4.1. Position du problème

Le traitement mathématique précédent repose sur l’existence d’ondes de même fréquence (synchrones) et de déphasage constantdans le temps (cohérentes) émises par deux sources distinctes S1 et S2.La réalisation expérimentale avec deux vibreurs à la surface d’un liquide ou deux haut-parleurs alimentés par le mêmegénérateur met facilement en évidence un système d’ondes stationnaires présentant des maxima et des minima d’intensitécorrespondant aux franges d’interférences évoquées précédemment.En revanche si nous observons la portion d’espace éclairée par deux lampes, nous ne décelons pas ces variations d’intensitélumineuse.La raison pourrait être que la lumière émise n’est pas monochromatique mais l’expérience reprise avec la lumière émise pardeux lampes spectrales, par exemple deux lampes à vapeur de mercure dont on aurait préalablement isolé par exemple laraie verte (c’est la plus lumineuse) avec un filtre convenable ne donnerait pas plus de résultats.Pour en comprendre la raison il faut décrire, ne serait-ce que de façon très sommaire, le processus d’émission lumineuse àl’échelle microscopique.


4.2. Emission à l’échelle microscopique

4.2.1. Temps de cohérence

Les radiations émises par les atomes de gaz d’une source thermique, comme les lampes spectrales utilisées en travaux pratiques,ne peuvent pas être modélisées par une onde sinusoïdale ”idéale” du type :

s = s0 cos (ωt+ ϕ)

Si nous considérons un atome du gaz remplissant l’ampoule, deux différences essentielles existent :

• D’une part, l’amplitude du champ électrique émis décroît comme le ferait l’amplitude des élongations d’un oscillateuramorti (mais ce n’est pas le point le plus fondamental ici),

• D’autre part, la phase de l’onde émise n’est pas constante dans le temps mais va varier de façon aléatoire à chaquenouvelle excitation par choc entre l’atome émetteur et un autre atome du gaz.

En désignant par τ c l’ordre de grandeur de l’intervalle de temps entre deux chocs et en négligeant la décroissance del’amplitude, l’onde émise peut être schématisée par une succession de trains d’onde de durée τ c (représenter τc sur lesfigures ci-dessous) :

On peut écrire, la phase restant constante sur un train d’onde mais présentant un ”saut” aléatoire d’un train d’ondes ausuivant :

s = s0 cos (ωt+ ϕ(t)) avec{ϕ(t2)− ϕ(t1) = 0 pendant la durée d’un train d’ondeϕ(t2)− ϕ(t1) = Ψ aléatoire si t2 − t1 > τc

On appelle ce temps τ c le temps de cohérence de la source considérée.En un point donné, la durée de réception du train d’onde est τ c ; pendant cette durée l’onde émise par un atome garde unephase à l’origine constante, donc reste cohérente.A un instant déterminé, la longueur du train d’onde est &c = cτc appelée longueur de cohérence (temporelle).L’ordre de grandeur de ce temps de cohérence τc dépend de la nature de la source comme le montre le tableau ci-dessous :

Source Temps de cohérence τSource ”classique” 10−10 s

Laser 10−7 s


Comparons ce temps de cohérence τ c à la période T des ondes lumineuses (T ≈ 10−15 s ) et au temps de réponse τR desrécepteurs qui constitue la durée minimale d’une observation. Pour l’oeil, le temps de réponse est de l’ordre du dixième deseconde. Certaines cellules photoélectriques très rapides peuvent descendre en dessous de la milliseconde mais dans tous lescas :

τR︸︷︷︸temps de réponse du récepteur

� τ c︸︷︷︸temps de cohérence de la source

� T︸︷︷︸période de la vibration lumineuse

Retenons donc que pendant l’observation d’un phénomène lumineux, la phase de l’onde émise par chaqueatome de la source va donc varier un très grand nombre de fois et ce de façon aléatoire.

4.2.2. Incohérence des vibrations émises par deux atomes différents

Si maintenant nous considérons deux atomes différents, jouant le rôle des sources S1 et S2 du § 2., la différence de phaseϕ(t) = ϕ2(t)− ϕ1(t) subit les mêmes fluctuations aléatoires pendant la durée d’observation de telle sorte que :

〈cos (ϕ2(t)− ϕ1(t))〉t = 0

La valeur moyenne de l’intensité lumineuse détectée par le récepteur s’écrit donc, en reprenant le calcul du § 2 :

I(M) = K⟨s2(M, t)

⟩t= K

⟨s21(M, t) + s

22(M, t) + 2s1(M, t)s2(M, t)

⟩t

= K⟨s21(M, t)

⟩t+K

⟨s22(M, t)

⟩t+ 2K 〈s1(M, t)s2(M, t)〉t

= I1(M) + I2(M) + 2K 〈s01s02 cos (ϕ1 − ωt) cos (ϕ2 − ωt)〉t= I1(M) + I2(M) + 2Ks01s02 〈cos (ϕ1 − ωt) cos (ϕ2 − ωt)〉t

= I1(M) + I2(M) + 2Ks01s02

⟨1

2cos (ϕ2 − ϕ1) +

1

2cos (ϕ1 + ϕ2 − 2ωt)

⟩

t

= I1(M) + I2(M) + 2√I1(M)I2(M) 〈cos (ϕ2 − ϕ1) + cos (ϕ1 + ϕ2 − 2ωt)〉t

= I1(M) + I2(M) + 2√I1(M)I2(M) [〈cos (ϕ2 − ϕ1)〉t + 〈cos (ϕ1 + ϕ2 − 2ωt)〉t]

⇒ I(M) = I1(M) + I2(M)

Deux atomes différents, et donc à fortiori deux sources lumineuses distinctes constituées chacune d’un très grand nombred’atomes différents, ne constituent pas deux sources cohérentes c’est à dire conservant une différence de phase constantependant une durée d’observation. Dans ce cas le terme d’interférence prend une valeur moyenne nulle et l’intensité résultanteest la somme des intensités des ondes qui se superposent.

Conclusion :

Sources cohérentesAddition des amplitudes

Pour 2 ondes : I(M) = I1 + I2 + 2√I1I2 cos (ϕ(M))

Sources incohérentes Addition des intensitésPour 2 ondes : I(M) = I1 + I2

4.3. Obtention de deux sources de lumière cohérentes : interféromètre

4.3.1. Définition

D’après l’étude précédente, la seule possibilité pour obtenir des interférences lumineuses est de superposer lesondes issues d’une seule et même source S (en fait issues d’un même atome) que nous supposerons pour le moment detrès petite dimension : on parle alors de source ponctuelle.Un interféromètre est un système optique qui, recevant les ondes émises par une seule et même source :

• élabore deux ou plusieurs ondes cohérentes,

• fait parcourir à ces ondes des chemins optiques différents,

• superpose ces ondes qui alors interfèrent.

Ce sont donc les trains d’ondes émis par un même atome au même moment, donc cohérents, qui interféreront au pointM après avoir été déphasés de ϕ(M) dans l’interféromètre.Bien sûr aucune source, même de très petite dimension, ne renferme un seul atome. Mais si l’étendue spatiale de la sourceest suffisamment faible, ce déphasage ϕ(M) sera le même pour tous les atomes.Nous supposons donc pour le moment que l’étendue spatiale de cette source est suffisamment faible pour que le déphasage


ϕ(M) ne dépende pas du point considéré sur la source : c’est ce qu’il faut comprendre par ”source ponctuelle”.Chacun d’entre eux donne en M par interférences, une intensité instantanée de la forme :

i(M) = i1 + i2 + 2√i1i2 cos (ϕ(M))

Et comme les différents atomes constituent des sources incohérentes entre elles, il y a addition de toutes ces intensitésavec en chaque point M le même état d’interférence si la source est ”ponctuelle” :Par conséquent si la source comporte N atomes :

I(M) = Ni(M) = Ni1 +Ni2 + 2√Ni1Ni2 cos (ϕ(M))

= I1 + I2 + 2√I1I2 cos (ϕ(M))

4.3.2. Schémas de principe

On peut classer les interféromètres en deux familles suivant la technique utilisée pour diviser l’onde incidente : les inter-féromètre par division du front d’onde et les interféromètres par division d’amplitude.

• Interféromètre par division du front d’onde :L’interféromètre se compose le plus souvent de deux (ou plus) systèmes optiques semblables (les voies de l’interféromètre),chacun d’eux limitant spatialement, de par ses propres dimensions, l’onde émise par la source.Les deux ondes qui interfèrent sont donc issues d’une division géométrique de l’onde incidente issue de la source.

• Interféromètre par division d’amplitude :Chaque rayon du faisceau émis par la source est divisé en deux (ou plus) grâce à une (ou plusieurs) réflexion partielle,généralement sur une lame semi-transparente spécialement conçue à cet effet.Les deux ondes qui interférent sont donc issues d’une division énergétique de l’onde incidente issue de la source.

Voie (1)

Voie (2)

source Champd’interférences

Voie (1)

Voie (2)

source

Lame séparatrice

Exercice n◦ 04 : Miroirs de Fresnel : Soit le système interférentiel des miroirs de Fresnel représenté ci-dessous.

S

M1

M2

arête

1) Préciser la nature de cet interféromètre.2) Dessiner le champ d’interférence.


Exercice n◦ 05 : Interféromètre de Mach-Zehnder : on considère le système interférentiel de Mach-Zehnder représentéci-dessous :

SP1

SP2

ondes planes

M1

M2

Les deux séparatrices et les deux miroirs sont parallèles entre eux et l’onde plane incidente arrive sur la première séparatrice avecun angle de 45◦.

1) Quelle est la nature de ce système interférentiel ?2) Dans quelles zones peut-on observer des interférences ?3) Dessiner et préciser le champ d’interférence lorsque l’on tourne le miroir M1 d’un angle α petit.Cet interféromètre est d’utilisation courante pour la mesure des variations de pression dans l’air s’écoulant autour d’une maquette.

Ces variations se traduisent par des modifications d’indice de l’air et, donc, par des déformations de franges. Il est ainsi possible demettre en évidence et de mesurer les particularités de l’écoulement de l’air.

4.3.3. Cohérence temporelle

On considère un interféromètre éclairé par une source ponctuelle S émettant des trains d’ondes de durée moyenne τc. Chaquetrain d’onde, de longueur &c, se divise en deux trains d’ondes qui arrivent en un point M du champ d’interférences aprèsavoir emprunté la voie 1 ou la voie 2 d’où un retard

∆t =(SM)2c

− (SM)1c

=δgeoc

• si ∆t � τ c, donc si |δgeo| � &c, les deux trains d’ondes qui se superposent en M sont toujours issus du même traind’onde émis par S. Les deux ondes sont cohérentes et il y a interférences.

• si ∆t � τ c, donc si |δgeo| � &c, les deux trains d’ondes qui se superposent en M sont toujours issus du même traind’onde émis par S. Les deux ondes sont cohérentes et il y a interférences.

La cohérence temporelle de deux ondes est une condition nécéssaire pour observer des interférences : ladifférence de marche géométrique doit être inférieure à la longueur de cohérence temporelle

|δgeo|� &c

S

S1

S2

MS

S1

S2

M

Exercice n◦ 06 : Un système interférentiel produit, à partir d’une source ponctuelle S, deux ondes de même intensité quiinterfèrent sur un écran. La structure temporelle de la source est décrite par un modèle de trains d’ondes, de même fréquenceν, de même durée τc, et de même amplitude.


1) En un pointM de l’écran, la différence de marche est δ (M). Déterminer la valeur moyenne du déphasage ϕ en fonctionde δ (M) et de la longueur de cohérence &c.2) En déduire l’expression du contraste au voisinage de M .3) Comment évolue le contraste sur la figure d’interférences si elle comporte de nombreuses franges ?

interférences chapitre ii : interférences lumineuses 1...

Documents